2. Noções de probabilidade

2.1 Experiências aleatórias. Espaço de resultados.Acontecimentos.

DefiniçãoUm procedimento ou conjunto de circunstâncias que produza resultadosobserváveis e para o qual:

se conhecem todos os resultados possíveis previamente à sua realização,1.mas não é possível prever o resultado de cada realização,2.

diz-se uma experiência aleatória.

DefiniçãoO conjunto formado por todos os resultados possíveis de uma experiência aleatóriadiz-se o seu espaço de resultados (Ω).

Exemplo - Algumas experiências aleatóriasE1 : lançamento de um dado cúbico

E2 : lançamento de duas moedas

E3 : lançamento de uma moeda até sair "cara"

E4 : ensaio da duração de uma lâmpada nova

DefiniçãoUm qualquer subconjunto de Ω diz-se um acontecimento.

Seja Ω = {ω1, …, ωn, …} um espaço de resultados. Destaquemos alguns acontecimentos

notáveis:

∅ acontecimento impossível

{ωi} acontecimento elementar

Ω acontecimento certo

DefiniçãoO conjunto de todos os acontecimentos definidos num espaço de resultados diz-se oespaço de acontecimentos de uma experiência aleatória (𝒜 ).

1 de 6

Um espaço de acontecimentos é uma σ-álgebra, ou seja:

A ∈ 𝒜 ⇒ A‾ ∈ 𝒜 ;1.

A1, …, An, … ∈ 𝒜 ⇒ ⋃i=1

+∞Ai ∈ 𝒜 .2.

DefiniçãoUma função P : 𝒜 → ℝ diz-se uma função de probabilidade. Para um qualquer

acontecimento A ∈ 𝒜 , o número real P(A) diz-se a probabilidade da ocorrência

de A.

DefiniçãoO terno (Ω, 𝒜 , P) diz-se o espaço de probabilidade de uma experiência aleatória.

2.2 Noção de probabilidade: interpretações de Laplace,frequencista e subjectivista. Axiomática de probabilidade eteoremas decorrentes.

Como definir uma função de probabilidade ou como interpretar o conceito deprobabilidade?Não há uma definição de probabilidade! É antes um conceito primitivo que tem tido,ao longo do tempo, diferentes interpretações.

Interpretação de Laplace (1749-1827)

Consideremos um espaço de resultados formado por n resultados (#Ω = n) e A ∈ 𝒜 tal

que #A = nA.

Então

P(A) =#A

#Ω=nA

n.

Limitações

Ω finito.

Resultados equiprováveis.

Interpretação frequencista

Considerem-se n repetições de uma experiência aleatória e seja nA o número de

ocorrências de um acontecimento A nessas n repetições. Então

P(A) = limn→ +∞

nA

n.

2 de 6

Limitações

Só se aplica se a experiência for repetível.É apenas uma interpretação que não fornece uma regra de cálculo.

Exemplo - 1000 lançamentos de uma moeda

Axiomática de Kolmogorov (1903-1987)

P(A) ≥ 0, ∀ A ∈ 𝒜 ;1.

P(Ω) = 1;2.

sendo A1, …, An, … acontecimentos mutuamente exclusivos então3.

P⎛⎝⎜ ⋃i=1

+∞Ai

⎞⎠⎟ = ∑

i=1

+∞P(Ai).

A partir destes axiomas pode-se provar um grande número de propriedades de umafunção de probabilidade.

Alguns exemplos

P(A‾ ) = 1 − P(A), ∀ A ∈ 𝒜 ;1.

P(∅) = 0;2.

∀ A, B ∈ 𝒜 : A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B);3.

P(A) ≤ 1, ∀ A ∈ 𝒜 ;4.

P(A∩B‾ ) = P(A ∖ B) = P(A) − P(A∩B), ∀ A, B ∈ 𝒜 ;5.

P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B), ∀ A, B ∈ 𝒜 .6.

DefiniçãoSe P(A) = 0(1) então A diz-se um acontecimento quase impossível (quase certo).

Frequência relativa de caras

200 400 600 800 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

3 de 6

Cálculo de probabilidades em espaços de resultados finitos

Seja Ω = {ω1, …, ωn}. Quantos acontecimentos podemos definir?

Seja A = {ω1* , …, ωk

* } ⊂ Ω.

P(A) = P(

⋃i=1

k

{ωi*})

= ∑i=1

kP({ωi

*})

Caso particular: resultados equiprováveis P({ωi}) = 1 / n, ∀ i.

P(A) =k

n=

#A

#Ω

2.3 Probabilidade condicional.Não vimos ainda como levar em conta no cálculo de probabilidades o facto de aocorrência de um acontecimento poder afectar a probabilidade de outrosacontecimentos ocorrerem.

DefiniçãoSeja B ∈ 𝒜 tal que P(B) > 0. A probabilidade condicional da ocorrência de A

dado que B ocorreu é definida por

P(A ∣∣ B) =P(A∩B)

P(B), ∀ A ∈ 𝒜 .

Toda a probabilidade é condicional!

TeoremaSeja B ∈ 𝒜 tal que P(B) > 0 e defina-se a função P(• ∣∣ B) de 𝒜 em ℝ. Então

(Ω, 𝒜 , P(• ∣∣ B)) é um espaço de probabilidade.

Como consequência do teorema anterior todas as propriedades de uma função de

probabilidade são satisfeitas por P(• ∣∣ B).

Alguns exemplos

P(A‾ ∣∣ B) = 1 − P(A ∣∣ B), ∀ A ∈ 𝒜 ;1.

P(∅ ∣∣ B) = 0;2.

∀ A1, A2 ∈ 𝒜 : A1 ⊂ A2 ⇒ P(A1 ∣∣ B) ≤ P(A2 ∣∣ B);3.

P(A1∪A2 ∣∣ B) = P(A1 ∣∣ B) + P(A2 ∣∣ B) − P(A1∩A2 ∣∣ B), ∀ A1, A2 ∈ 𝒜 .4.

2.4 Teoremas da probabilidade composta e daprobabilidade total. Teorema de Bayes. Acontecimentos

4 de 6

independentes.Uma aplicação das probabilidades condicionais

P(A∩B) = P(A)P(B ∣∣ A), P(A) > 0

= P(B)P(A ∣∣ B), P(B) > 0

Teorema da probabilidade compostaP(A1∩A2∩…∩An) = P(A1)×P(A2 ∣∣ A1)×…

…× P(An−1 ∣∣ A1∩A2∩…∩An−2)×

× P(An ∣∣ A1∩A2∩…∩An−1)

DefiniçãoUma sucessão de acontecimentos A1, …, An tais que

Ai∩Aj =∅, ∀ i ≠ j1.

⋃i=1

nAi = Ω2.

diz-se uma partição do espaço de resultados Ω.

Teorema da probabilidade totalSendo A1, …, An uma partição de Ω então

P(B) = ∑i=1

nP(B ∣∣ Ai)P(Ai), ∀ B ∈ 𝒜 .

Teorema de Bayes (1702-1761)Sendo A1, …, An uma partição de Ω e B ∈ 𝒜 tal que P(B) > 0, então

P(Ak ∣∣ B) =P(B ∣∣ Ak)P(Ak)

∑i=1n P(B ∣∣ Ai)P(Ai)

, ∀ k = 1, …, n.

DefiniçãoOs acontecimentos A e B dizem-se independentes se e só se P(A∩B) = P(A)P(B).

Notas:

A e B independentes ⇒ P(A ∣∣ B) = P(A), se P(B) > 0 e P(B ∣∣ A) = P(B), se P(A) > 0;1.

todo o acontecimento é independente de ∅ e Ω.2.

Poderão dois acontecimentos disjuntos serem independentes?

5 de 6

DefiniçãoSeja H ∈ 𝒜 tal que P(H) > 0. Dois acontecimentos A e B dizem-se

condicionalmente independentes (dado H) se e só se

P(A∩B ∣∣ H) = P(A ∣∣ H)P(B ∣∣ H).

6 de 6