Probabilidade, Estat stica e Processos Estoc asticos · Na confec˘c~ao dessa apostila tivemos o...

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Probabilidade, Estatıstica e Processos EstocasticosVersao 4

Allan de Sousa SoaresEdson Patrıcio Barreto de Almeida

Vitoria da Conquista - BA

2016

Introducao

Quem ira vencer a eleicao para pesidente em 2018? Qual a taxa de inflacao incidiu nos

elementos da cesta basica na cidade de Vitoria da Conquista e imediacoes em 2016? Qual a

correlacao entre o peso e a altura em um grupo de indivıduos? E bastante comum nos de-

pararmos com questionamentos como esses. Para responder a essas perguntas utilizaremos a

estatıstica, uma ciencia exata que visa fornecer subsıdios para a coleta, organizacao e inter-

pretacao de dados. Mais ainda, por meio da estatıstica, somos capazes de responder a tais

perguntas observando somente uma pequena parcela da populacao envolvida ao inves de toda

ela. Tal caracterıstica nos permite economizar tempo e poupar gastos, uma vez que a coleta e

analise de poucos dados pode ser feita de maneira relativamente rapida e menos custosa quando

comparamos com a totalidade da populacao.

Na confeccao dessa apostila tivemos o cuidado de escolher exemplos que propiciam ao leitor

uma melhor compreensao das nocoes estatısticas. Alem dos exercıcios vistos em cada capıtulo

apresentamos quatro listas com ainda mais exercıcios para que o leitor possa treinar e os

conceitos apreendidos. Ao final dos capıtulos e das listas de exercıcios incluımos as solucoes

completas de todos os exercıcios. Esperamos que o leitor tente fazer todos eles para adquirir

familiaridade com as formulas e conceitos abordados. As solucoes o ajudara a perceber os erros

que esteja cometendo, sejam erros nos calculos, por falta de atencao, seja erros de cunho mais

teorico sendo necessario, as vezes, voltar e ler a teoria novamente. Nao deixe a recorrencia ao

solucionario se tornar um habito. Tente algumas vezes, tente outros caminhos e se nada der

certo procurare um amigo ou professor para ajuda-lo.

Alem de contar com uma boa quatidade de exercıcios resolvidos de maneira corriqueira (lapis

e borracha) buscamos dar certo enfoque aos mais diversos recursos computacionais a que temos

disposicao atualmente. Tais recursos facilitam significativamente calculos morosos alem de

possibilitarem certa agilidade na interpretacao de resultados. Ao longo do texto apresentamos

a solucao computacional de alguns exercıcios e comprovacao da teoria por meio de simulacoes

que convergem para a resposta esperada (aquela conseguida por meio teorico). Os principais

recursos utilizados foram: Excel, Octave, SPSS, Wolfram Alpha (plataforma virtual) e Winplot.

1

O Excel, talvez o mais conhecido mostra-se bastante pratico na construcao de tabelas e graficos

e possui uma serie de funcoes uteis. O Octave, trata-se de uma linguagem de programacao

muito util na construcao de simulacoes e calculos mais refinados, mas exige certa habilidade do

usuario pois alguns calculos nao vem prontos. O SPSS e um software amplamente conhecido

por suas funcionalidades principalmente no campo da inferencia estatıstica com plataforma

semelhante ao Excel, porem contendo funcionalidades mais especıficas. Em alguns claculos

algebricos (calculos de integrais, solucao de equacoes etc) utilizaremos plataforma Wolfram

Alpha que e bastante util com inumeras aplicacoes na matematica de modo geral. Para o

desenho de alguns graficos utilizaremos o Winplot por trata-se de uma ferramenta de facil

manipulacao.

Ao longo do texto, normalmente apos os exercıcios, sao feitos alguns comentarios, muitas

vezes, sobre fatos intrigantes e controversos. Tais comentarios, sao de modo geral, acerca de

inquietacoes dos autores que sempre foram curiosos e preocupados com o aprendizado solido,

nao focado somente na resolucao de exercıcios. Espera-se, que ao ler este material voce nao

aceite nada como pronto e acabado. Ele corresponde a muito pouco do amplo mundo da

Estatıstica. E mais ou menos como se voce ainda estivesse dentro de casa olhando o mundo

pela janela. Sair e explora-lo so depende de voce, de seu entusiasmo e determinacao. Esse

material seria mais ou menos o seu quintal!

Por fim, uma motivacao para se estudar, principalmente a Estatıstica, esta no fato de

que tudo que e estudado na teoria, Calculo, Fısica, Quımica, Engenharias etc o e feito em

ambientes ideais. Tais ambientes sao recortes da realidade que nao existem sem o todo, isto e,

sao ambientes que se diferem do mundo real por possuırem um numero limitado de variaveis

conhecidas/consideradas que afetam o sistema em estudo. O mundo real e bastante complexo,

e quando se sai do mundo ideal matematico a Estatıstica se mostra como uma das principais

ferramentas de aproximacao entre esses dois mundos. De modo geral, quase todo estudo em

areas aplicadas perpassa pela observacao de fenomenos e construcao de modelos estatısticos

alem de conectar os diversos assuntos. Ela esta presente em praticamente todos, os cursos,

desde as engenharias, geografia (IBGE nao te lembra nada?) e ate mesmo a psicologia.

A presente edicao, em sua versao digital (esta) possui algumas funcionalidades como os

hiperlinks que nos permitem passear pelo texto de maneira mais rapida. O material foi pensado

a unir o que fazemos com papel e caneta com as maravilhas que o uso do computador podem

proporcionar.

Por fim, este material pode ser usado por qualquer um que esteja disposto a aprender.

Deve-se manter o respeito ao que estiver em posse dos autores e softwares ja citados. Qualquer

contribuicao tambem e bastante bem vinda. Obviamente o material ainda contem inumeros

2

desacertos que serao corrigidos ao longo do tempo, mais ou menos como um joalheiro que lapida

uma pedra bruta transformando-a numa bela joia.

3

Sumario

1 Introducao a Teoria das Probabilidades 12

1.1 O Conceito de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Espaco Amostral e Evento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Definicao de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5 Solucao dos Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Calculo das Probabilidades em Espacos Amostrais Finitos 18

2.1 Espacos Amostrais Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Probabilidade Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21


2.5 Diagramas de Avore e Probabilidade Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.6 No Computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Variavel Aleatoria Discreta 28

3.1 Variavel Aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 Variavel Aleatoria Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.1 Distribuicao de Probabilidade - Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2.2 Funcao de Distribuicao Acumulada/Reparticao . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31


3.5 No Computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.5.1 Uso de Contadores em Simulacoes Computacionais . . . . . . . . . . . . 34

3.5.2 Graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4 Variaveis Aleatorias Contınuas 37

4.1 Variavel Aleatoria Contıua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4

4.1.1 Distribuicao de Probabilidade - Densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1.2 Funcao de Distribuicao Acumulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40


4.4 No Computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5 Medidas de Posicao 44

5.1 Media ou Esperanca Matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2 Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.3 Moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47


5.6 No Computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6 Variancia e Desvio Padrao 52

6.1 Variancia e Desvio Padrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55


6.4 No Computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7 Lista de Exercıcios: Capıtulos 1 ao 6 58

8 Modelos Discretos de Distribuicoes de Probabilidade 74

8.1 Distribuicao de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

8.2 Distribuicao Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8.3 Distribuicao Multinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

8.4 Distribuicao de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

8.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78


8.7 No Computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8.7.1 Distribuicao Binomial no STATDISK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8.7.2 Distribuicao de Poisson no STATDISK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

9 Modelos Contınuos de Distribuicoes de Probabilidade 82

9.1 Distribuicao Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

9.2 Distribuicao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

9.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5


9.5 No Computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9.5.1 Simulacao Computacional de Uma Distribuicao Uniforme . . . . . . . . . 86

9.5.2 Simulacao Computacional da Distribuicao Exponencial . . . . . . . . . . 87

10 Distribuicao Normal 89

10.1 Distribuicao Normal de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

10.2 Distribuicao Normal Padrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

10.3 Uso da Tabela de Distribuicao Normal Padrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

10.4 Teorema do Limite Central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

10.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93


10.7 No Computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

10.8 Simulacao Computacional Referente ao Teorema do Limite Central . . . . . . . 95

11 Elementos Basicos da Estatıstica 100

11.1 Precisao e Arredondamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

11.2 Populacao, Amostra e Representatividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

11.3 Distribuicao de Frequencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

11.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104


11.6 No Computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

12 Elementos Representativos de uma Tabela e Representacao Grafica 109

12.1 Elementos da Tabela de Distribuicao e Representacao Grafica de uma

Amostra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

12.2 Representacao Grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

12.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112


12.5 No Computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114


14 Medidas de Posicao 130

14.1 Medias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

14.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135


6

14.4 Qual Media Usar? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

14.5 No Computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

15 Mais Medidas de Posicao 140

15.1 Quantis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

15.2 Moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

15.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143


15.5 Media, Mediana e Moda, qual delas escolher? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

15.6 No Computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

16 Medidas de Dispersao 148

16.1 Medidas de Dispersao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

16.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151


16.4 No Computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

17 Comportamento Grafico 157

17.1 Medidas de Assimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

17.2 Medida de Curtose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

17.3 Diagramas de Caixas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

17.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162


17.6 No Computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

17.7 Erros: Tabelas vs Dados Brutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

18 Amostragem Estatıstica 168

18.1 Princiais Aspectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

18.1.1 Dimensionamento da Amostra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

18.1.2 Composicao da Amostra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

18.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173


18.4 No Computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177


7

20 Intervalos de Confianca 206

20.1 Intervalo de Confianca Para a Media µ Quando a Variancia σ2 e Conhecida . . . 206

20.2 Intervalo de Confianca Para a Media µ Quando a Variancia σ2 e Desconhecida . 209

20.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210


20.5 No Computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

21 Mais Intervalos e Confianca 215

21.1 Intervalo de Confianca Para a Variancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

21.2 Intervalo de Confianca Para a Proporcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

21.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218


21.5 No Computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

22 Teste de Hipotese 222

22.1 Teste de Hipotese Para Parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

22.2 Testes de Significancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

22.2.1 Teste de Significancia Para a Media (σ2 conhecida) . . . . . . . . . . . . 224

22.2.2 Teste de Significancia Para a Media (σ2 desconhecida) . . . . . . . . . . 225

22.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227


22.5 No Computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

23 Mais Testes de Hipotese 230

23.1 Teste de Significancia Para a Variancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

23.2 Teste de Significancia Para Proporcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

23.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232


23.5 No Computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

24 Erros em Teste de Hipotese e Poder do Teste 236

24.1 Erros em Testes de Hipotese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

24.2 p-Valor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

24.3 Poder dos Testes de Hipotese Para Medias e Proporcao . . . . . . . . . . . . . . 239

24.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242


8

25 Correlacao e Regressao 246

25.1 Covariancia e Coeficiente de Correlacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

25.2 Regressao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

25.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249


25.5 No Computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251


27 Variaveis Aleatorias Bidimensionais 269

27.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

27.2 Funcoes de Distribuicao Conjuntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

27.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271


28 Distribuicoes Conjuntas 273

28.1 Variaveis Aleatorias Discretas Conjuntas e Funcoes Massa de Probabilidade . . . 273

28.2 Varaveis Aletorias Contınuas Conjuntas e Funcoes Densidade de Probabilidade . 275

28.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277


29 Mais Distribuicoes 281

29.1 Distribuicao Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

29.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283


30 Covariancia e Correlacao 285

30.1 Conceitos Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

30.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

30.3 Solcao dos Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

31 Introducao aos Processos Estocasticos 291

31.1 Processos Aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

31.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294


32 Caracterizacao de um Processo Aleatorio 297

32.1 Definicoes e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

9

32.2 Exercıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300


33 Media, Autocorrelacao e Autocovariancia 302

33.1 Definicoes Centrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

33.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304


34 Alguns Processos Importantes 306

34.1 Processo Estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

34.2 Processo Estacionario no Sentido Amplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

34.3 Processos Independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

34.4 Processo de Incrementos Independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

34.4.1 Processo de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

34.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

34.6 Solucao do Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

35 Autocorrelacao e Correlacao Cruzada - WSS 317

35.1 Definicoes Centrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

35.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320


36 Breve Passeio Pela Transformada de Fourier 325


37 Sistemas Lineares Invariantes no Tempo 329


37.2 Filtragem Linear de um Processo Estocastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

37.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333


38 Densidade Espectral de Potencia - WSS 335

38.1 Definicao, Propriedades e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

38.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340


39 Funcoes Cruzadas 342

39.1 Correlacoes Cruzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

10

39.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345


40 Filtragem de Processos Estocasticos 346

40.1 Principais Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

40.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348


41 Ruıdo Branco 350

41.1 Processos Gaussianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

41.1.1 Processo Ruıdo Branco Gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

41.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352


42 Introducao as Cadeias de Markov 354

42.1 Definicoes e Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

42.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357


43 Cadeias de Markov - Classificacoes e Estacionariedade 361

43.1 Classificacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

43.2 Estacionariedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

43.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364


11

Capıtulo 1

Introducao a Teoria das Probabilidades

1.1 O Conceito de Probabilidade

Ao estudarmos fenomenos de observacao devemos buscar estabelecer um modelo matematico

que melhor o explique. Tais fenomenos podem ser de dois tipos: determinısticos ou proba-

bilısticos.

Definicao 1.1.1. Fenomenos determinıticos sao aqueles cujo resultado final costuma se repetir

quando mantidas as condicoes iniciais de experimentacao.

Exemplo 1.1.2. O tempo de queda de um objeto, no vacuo, e um exemplo tıpico de fenomeno

determinıstico. Considerando h0 sendo a altura inicial, v0 a velocidade inicial, g a gravidade

local e t o tempo, conhecemos o seguinte modelo:

h = h0 + v0t− gt2

2

Ele nos fornece as diversas alturas de um objeto ao longo do tempo.

Observacao 1.1.3. Por exemplo, se considerarmos o tempo de queda de um objeto em certo

local do planeta terra, teremos algumas variaveis extras, a citar, por exemplo a resistencia do

ar. Para piorar, em casos onde haja ventos de intensidade bastante variavel, fica quase im-

possıvel prevermos o tempo de queda de um objeto. Contudo, ao final do estudo deste material

poderemos ter uma boa estimativa deste tempo com base em observacoes experimentais.

Definicao 1.1.4. Fenomenos probabilısticos sao aqueles cujo resultado pode variar entre uma

observacao e outra, mesmo mantidas todas as condicoes iniciais de experimentacao.

12

Exemplo 1.1.5. O resultado obtido no lancamento de um dado honesto e um bom exemplo de

fenomeno determinıstico. Mesmo jogando-se o dado de maneira semelhante, nao somos capazes

de prever o resultado. Apenas sabemos as possibilidades e ate mesmo as chances de cada uma

das faces aparecer e so isso.

1.2 Espaco Amostral e Evento

O estudo de um fenomeno aleatorio exige que saibamos o conjunto de todos os resultados

possıveis. Isto nos motiva a darmos a seguinte definicao:

Definicao 1.2.1. Para cada experimento aleatorio E, define-se o espaco amostral S como sendo

o conjunto de todos os possıveis resultados desse experimento.

Exemplo 1.2.2. Na jogada de um dado temos o seguinte espaco amostral:

S = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Observe que trata-se de um espaco amostral finito.

Exemplo 1.2.3. Imagine que jogemos um dado ate que a primeira face 6 ocorra. Neste caso,

o espaco amostral e dado por S = 6, 16, 26, 36, ..., 116, ..., 256, .... Observe que trata-se de um

espaco amostral infinito.

Definicao 1.2.4. Um evento e um conjunto de resultados de um experimento aleatorio, em

termos de conjuntos, e um subconjunto de S. Em particular, S e ∅ sao eventos; S e dito evento

certo e ∅ e o evento impossıvel.

Usando-se as operacoes entre conjuntos damos origem a novos eventos.

A ∪B ⇒ e o evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre, ou ambos ocorrem.

A ∩B ⇒ e o evento que ocorre se A e B ocorrem simultaneamente.

A e o evento que ocorre se A nao ocorre.

Exemplo 1.2.5. Considere o experimento aleatorio E: jogar uma moeda tres vezes e observar

os resultados. Neste caso,

S = (ca, ca, ca), (ca, ca, co), (ca, co, ca), ..., (co, co, co).

Em particular, o evento A: ocorrer pelo menos 2 faces cara e dado por:

A = (ca, ca, co), (ca, co, ca), (co, ca, ca), (co, co, co).

13

Definicao 1.2.6. Dois eventos A e B sao ditos mutuamente exclusivos se eles nao puderem

ocorrer simultaneamente, isto e, A ∩B = ∅.

Exemplo 1.2.7. Se considerarmos o experimento E: Jogar um dado e observar o resultado,

temos que, os eventosA = cair face par eB = cair face impar sao mutuamente exclusivos.

1.3 Definicao de Probabilidade

Definicao 1.3.1. Dado um experimento aleatorio E com espaco amostral S, a probabilidade de

ocorrencia de um evento A, denotada por P (A), e uma funcao definida em S que associa cada

um de seus eventos a um numero real, satisfazendo os seguintes axiomas:

i) 0 ≤ P (A) ≤ 1

ii) P (S) = 1

iii) Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos, (A∩B = ∅), entao P (A∪B) = P (A)+P (B).

Alguns teoremas decorrem da Definicao 1.3.1:

Teorema 1.3.2. Se ∅ e o conjuto vazio, entao P (∅) = 0.

Demonstracao. Dado um evento qualquer A, temos que

A ∩ ∅ = ∅ ⇒ P (A ∪ ∅) = P (A) + P (∅)⇒ P (A) = P (A) + P (∅)⇒ P (∅) = 0.

Teorema 1.3.3. Se A e o complementar de A, entao P (A) = 1− P (A).

Teorema 1.3.4. Se A ⊂ B, entao P (A) ≤ P (B).

Teorema 1.3.5. Se A1, ..., An sao eventos mutumamente exclusivos, entao

P (A1 ∪ ... ∪ An) = P (A1) + ...+ P (An).

Teorema 1.3.6. Se A e B sao eventos quaisquer, entao

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B).

Duas formulas bastante uteis na solucao de alguns exercıcios sao:

P (A ∩B) = P (A ∪B) e P (A ∪B) = P (A ∩B)

14

Exemplo 1.3.7. A probabilidade de uma mulher estar viva daqui a 30 anos e 34. Determine a

probabilidade de que esta mulher nao esteja viva daqui a 30 anos.

Solucao: Consideremos os eventos A : a mulher estar viva daqui a 30 anos. Assim, o conjunto

A representa o evento a mulher nao estar viva aqui a 30 anos. Logo,

P (A) = 1− P (A) = 1− 3

4=

1

4.

Exemplo 1.3.8. Lanca-se um dado e uma moeda. Determine a probabilidade de cair face cara

na moeda ou sair um resultado par no dado.

Solucao: Consideremos os eventos A : cair face cara na moeda e B : sair um resultado par no

dado. Assim,P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) =

1

2+

1

2− 1

4=

3

4.

Ha tres processos importantes para se obter uma estimativa da probabilidade de certo

evento.

Processo Classico, ou ”a priori”: Se um evento pode ocorrer de r maneiras diferentes, em

um total de n maneiras possıveis, com, digamos, todas igualmente provaveis, teremos entao

que a probabilidade de ocorrencia deste evento sera rn

(veremos mais tarde).

Exemplo 1.3.9. Suponha que desejemos determinar a probabilidade do aparecimento da face

cara ao se lancar uma moeda honesta. Como ha dois resultados possıveis, ”cara”e ”coroa”podemos

admitir que esta probabilidade e de 1/2. Obviamente, estamos supondo que esta moeda e total-

mente equilibrada, de modo a nao tender a nenhum dos resultados possıveis num lancamento

qualquer.

Processo da Frequencia, ou ”a posteriori”: Se apos n repeticoes de um experimento (n su-

ficientemente grande) observarmos r ocorrencias de um determinado evento, entao admitiremos

ser, aproximadamente, rn

a sua probabilidade de ocorrencia.

Exemplo 1.3.10. Se jogarmos uma moeda 1000 vezes e aparecer cara 540 vezes, estimamos a

probabilidade de ocorrencia da face cara como sendo 0, 54.

Processo Subjetivo: A probabilidade de ocorrencia de um evento A, e estimada usando-se o

conhecimento de circunstancias relevantes.

Exemplo 1.3.11. Ao tentar estimar a probabilidade de um astronauta sobreviver a uma missao

do onibus espacial, os peritos consideram enventos passados, junto com mudancas na tecnologia

e condicoes de treinamento, para desenvolver uma estimativa de probabilidade. Estima-se

atualmente que esta probabilidade seja de 0, 99.

15

1.4 Exercıcios

Exercıcio 1. Seja A o conjunto de todos os numeros naturais entre 5 e 15 que sao pares.

Descreva o conjunto A.

Exercıcio 2. Dois dados sao lancados simultaneamente. Determine o espaco amostral associ-

ado a este experimento aleatorio.

Exercıcio 3. Determine o numero de subconjuntos dos conjuntos:

a) A = 1, 2.b) B = 1, 2, 3.c) C = 1, 2, 3, ..., n.

Exercıcio 4. Tres cavalos A, B e C, estao em uma corrida; A tem duas vezes mais probabilidade

de ganhar que B, e B tem duas vezes mais probabilidade de ganhar que C. Determine a

probabilidade de vitoria de cada cavalo.

Exercıcio 5. De um baralho comum de 52 cartas extrae-se uma carta ao acaso. Descreva o

espaco amostral:

a) nao levando-se em conta o naipe;

b) levando-se em conta o naipe.

1.5 Solucao dos Exercıcios

Solucao do Exercıcio 1. Trivialmente, temos:

A = 6, 8, 10, 12, 14 .

Solucao do Exercıcio 2. Temos

S = (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), ..., (4, 6), (5, 6), (6, 6)

em que a primeira coordenada corresponde ao resultado do primeiro dado e a segunda co-

ordenada corresponde ao resultado do segundo dado. Temos portanto, um espaco amostral

composto por 36 elementos.

Solucao do Exercıcio 3. a) Note que P(A) = ∅, 1, 2, 1, 2 e, portanto, n(P(A)) = 4.

b) Analogamente ao item a, temos, n(P(B)) = 8.

c) Responder a este item e um pouco mais complexo. Note que, dado x ∈ A, temos que

16

x ∈ P(C) ou x /∈ P(C) o que nos da duas possibilidades para cada elemento de A. Logo, o

numero de elementos de P(C) e dado por

2× 2× ...× 2 = 2n

.

Solucao do Exercıcio 4. Temos que

P (A) + P (B) + P (C) = 1⇒ 2P (B) + 2P (C) + P (C) = 1⇒ 4P (C) + 2P (C) + P (C) = 1⇒

⇒ 7P (C) = 1⇒ P (C) =1

7, P (B) =

2

7, e P (A) =

4

7.

Solucao do Exercıcio 5. a) Identificando cada carta com um numero de 1 a 2, temos:

S = 1, 2, ..., 52.

b) Caso o naipe seja levado em conta, temos:

S = (as, copas) ≈ (1, 1), (as, ouros) ≈ (1, 2), ..., (rei, espadas) ≈ (13, 4).

17

Capıtulo 2

Calculo das Probabilidades em Espacos

Amostrais Finitos

2.1 Espacos Amostrais Finitos

Definicao 2.1.1. Seja S um espaco amostral finito S = a1, ..., an. Chama-se evento simples

todo evento formado por um unico elemento, isto e, Ai = ai. A cada evento simples Ai

associa-se um numero pi denominado probabilidade de Ai, satisfazendo as seguintes condicoes:

i) pi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n.

ii) p1 + ...+ pn = 1.

Se um dado evento A pode ser decomposto em termos de eventos simples como

A = Ai1 ∪ Ai2 ∪ ... ∪ Ais ,

com i1, i2, ...is ∈ 1, 2, ..., n, entao

P (A) = P (Ai1) + P (Ai2) + ...+ P (Ais).

Exemplo 2.1.2. Tres cavalos A, B e C, estao em uma corrida; A tem duas vezes mais proba-

bilidade de ganhar que B, e B tem duas vezes mais probabilidade de ganhar que C. Determine

a probabilidade de vitoria de cada cavalo.

Solucao: Seja P (A) = p1, P (B) = p2 e P (C) = p3. Temos que:

p1+p2+p3 = 1⇒ 2p2+p2+p3 = 1⇒ 2.2p3+2p3+p3 = 1⇒ 7p3 = 1⇒ p1 =4

7, p2 =

2

7e p3 =

1

7.

Definicao 2.1.3. Um espaco amostral S e dito equiprovavel se cada evento simples Ai tem

mesma probabilidade.

18

De acordo com a Definicao 2.1.3 temos que, se

A1 ∪ ... ∪ An = S,

entao

P (A1 ∪ ... ∪ An) = 1⇔ P (A1) + ...+ P (An) = 1⇔ nP (Ai) = 1⇔ P (Ai) =1

n, i = 1, 2, ..., n.

Assim, seA = Ai1 ∪ ... ∪ Air ,

entao

P (A) = r.1

n=r

n.

Exemplo 2.1.4. Num lote de 12 pecas, 4 sao defeituosas. Se duas pecas sao retiradas aleato-

riamente, calcule a probabilidade de ambas as pecas nao serem defeituosas.

Solucao: Podemos resolver considerando o evento A : ambas as pecas nao serem defeituosas.

Temos que o numero de eventos (equiprovaveis) de S e dado por:

n(S) = C122 =

12!

2!(12− 2)!= 66.

Por outro lado,

n(A) = C82 =

8!

2!(8− 2)!= 28.

Assim,

P (A) =n(A)

n(S)=

28

66=

14

33.

Observacao 2.1.5. O numero de combinacoes (a ordem dos elementos nao importa) de p

elementos tomados p a p e dado por

Cnp =

n!

p!(n− p)!.

O numero de arranjos (a ordem dos elementos importa) de p elementos tomados p a p e dado

por

Anp =n!

(n− p)!.

2.2 Probabilidade Condicional

Em alguns caso buscamos certas probabilidades tendo o conhecimento previo de certa

informacao referente a eventos ja ocorridos. Vejamos o exemplo que segue:

Exemplo 2.2.1. Em uma corrida de cavalos ha 12 competidores sendo, 4 competindo com

cavalos da raca A, e 8 com cavalos da racaB. Ao final de uma corrida, determine a probabilidade

de um corredor X usando um cavalo da raca A ter vencido, sabendo que o animal vencedor e

19

desta raca. Sem a informacao terıamos uma chance de acertar de apenas 112

. Com a informacao,

temos que a probabilidade de ter sido X o vencedor e de 14. (Obviamente estamos supondo que

todos os competidores apresentavam a mesma chance de vitoria, isto e, todos tem as mesmas

habilidade em corridas, ou possuem frequencias de vitorias iguais ou muito proximas.)

Definicao 2.2.2. Dados dois eventos, A e B, denota-se por P (A|B) a probabilidade condicional

do evento A, quando B tiver ocorrido e

P (A|B) =P (A ∩B)

P (B).

Exemplo 2.2.3. Extraem-se duas cartas de um baralho comum de 52 cartas. As duas cartas

sao extraıdas, uma apos a outra, sem reposicao. Determine a probabilidade de ambas serem

ases.

Solucao: Consideremos os eventos A : sair um as na primeira extracao e B : sair uma as na

segunda extracao. Temos que

P (A ∩B) = P (A)P (B|A) =4

52

3

51=

1

221.

Veja uma estimativa computacional da probabilidade para este problema no Exemplo 3.5.2.

Definicao 2.2.4. Um evento A e considerado independente de um outro evento B se a proba-

bilidade de A e igual a probabilidade condicional de A dado B, isto e, se

P (A) = P (A|B).

Teorema 2.2.5. Dois eventosA eB sao independentes se, e somente se, P (A∩B) = P (A).P (B).

Exemplo 2.2.6. Em uma caixa temos 7 bolas azuis e 3 pretas. Sao extraıdas duas bolas, uma

apos a outra, com reposicao. Calcular a probabilidade de ambas serem azuis.

Solucao: Considere os eventos, A: Sair bola azul na primeira extracao e B: sair bola azul

na segunda extracao. Temos que A e B sao independentes, pois P (B) = P (B|A). Assim, a

probabilidade de ambas as bolas serem azuis e dada por:

P (A ∩B) = P (A).P (B) =7

10

7

10=

49

100.

Exemplo 2.2.7. Determine a probabilidade de n pessoas (n ≤ 30) escolhidas ao acaso com-

pletarem aniversario em n dias diferentes. Admita que a probabilidade de se nascer seja a

mesma para todos os dias e que um mes possua apenas 30 dias.

20

Solucao: A primeira das n pessoas tem dia de aniversario com probabilidade 3030

= 1. Entao, se

a segunda deve fazer aniversario em um dia diferente devendo, portanto, ocorrer em um dos 29

dias restantes. Assim, a probabilidade da segunda pessoa fazer aniversario em um dia diferente

da primeira e de 2930

. Analogamente, a terceira nao podera fazer aniversario nos dias em que as

duas primeiras fazem o que portanto ocorre com uma probabilidade de 2830

. Procedendo desta

maneira, temos que a probabilidade P de n aniversarios em dias distintos e dada por:

P =30

30

29

30...

30− n+ 1

30=

(1− 1

30

)(1− 2

30

)...

(1− n− 1

30

)Em particular, para n = 8, temos P = 0, 35969. Veja o Exemplo 2.6.1.

Teorema 2.2.8. (Bayes) Sejam A1, ..., An eventos mutuamente exclusivos em um espaco

amostral S tais queA1 ∪ ... ∪ An = S.

Entao, se A e um evento qualquer de S

P (Ak|A) =P (Ak ∩ A)

Σnk=1P (Ak)P (A|Ak)

.

Exemplo 2.2.9. Tres maquinas A, B e C produzem respectivamente 40%, 50% e 10% de todas

as pecas de uma fabrica. As porcentagens de pecas defeituosas produzidas pelas respectivas

maquinas sao 3%, 5% e 2%. Uma peca e sorteada ao acaso e verifica-se que e defeituosa. Qual

a probabilidade de que a peca tenha vindo da maquina B?

Solucao: Decorre imediatamente do Teorema de Bayes

P (B|Def) =P (B ∩Def)

P (A)P (Def |A) + P (B)P (Def |B) + P (C)P (Def |C)=

0, 5.0.05

0, 4.0, 03 + 0, 5.0.05 + 0, 1.0, 02=

25

39.

Tente resolver este problema por meio de diagramas de arvore conforme apresentado no Exem-

plo 2.5.1

2.3 Exercıcios

Exercıcio 6. Em um jogo de poker extraem-se 5 cartas de um baralho de 52 cartas. Determine

a probabilidade de a) sairem 4 ”ases”; b) tres ”10”e dois ”valetes”.

Exercıcio 7. Uma maquina produz diariamente um total de 12000 porcas, que acusam, em

media, 3% de defeituosas. Determine a probabilidade de que, dentre 600 porcas escolhidas ao

acaso, 12 sejam defeituosas.

21

Exercıcio 8. Uma caixa contem 2 bolas vermelhas e 3 azuis. Extraem-se ao acaso duas bolas,

sem reposicao. Determine a probabilidade de serem ambas azuis.

Exercıcio 9. Em uma joalheria, cada um de tres armarios identicos tem duas gavetas. Em

cada gaveta do primeiro armario ha um relogio de ouro. Em cada gaveta do segundo armario

ha um relogio de prata. Em uma gaveta do terceiro armario ha um relogio de ouro, enquanto

que na outra gaveta ha um relogio de prata. Escolhido ao acaso um armario, e aberta uma das

gavetas (tambem aleatoriamente), verifica-se conter um relogio de prata. Qual a probabilidade

de a outra gaveta do armario escolhido conter um relogio de ouro?

Exercıcio 10. Dois jogadores A e B jogam alternadamente um par de dados. Ganha o jogo

aquele que primeiro obtiver um total de 7. Determine a probabilidade de

a) ganhar o jogo aquele que inicia.

b) ganhar o jogo aquele que faz a segunda jogada.


Solucao do Exercıcio 6. a) Para a escolha dos ases, temos C44 . A escolha da carta restante

e dada por C481 . Temos portanto,

P =C4

4C481

C525

=1

54145

b) Analogamente ao caso acima,

P =C4

3C42

C525

=1

108290.

Solucao do Exercıcio 7. Note que temos, neste lote de 12000, exatamente 360 pecas sao

defeituosas. Assim,

P =C360

12 C12000588

C12000600

.

Solucao do Exercıcio 8. Consideremos os eventos

A: A primeira bola ser azul

B: A segunda bola ser azul

Temos que

P = P (A).P (B|A) =3

5

2

4=

3

10.

Solucao do Exercıcio 9. Identifiquemos eventos por

22

A: Armario contendo dois relogios de ouro

B: Armaario contendo dois relogios de prata

C: Armario contendo um relogio de cada tipo

Pr: Relogio de prata

Assim,

P (C|Pr) =P (Pr ∩ C)

P (A)P (Pr|A) + P (B)P (Pr|B) + P (C)P (Pr|C)=

12.13

13.0 + 1

3.1 + 1

3.12

=1

3.

O numerador da expressao acima explica quase tudo. Note que temos apenas um armario

possıvel do qual podem sair um relogio de ouro e um de prata, o armario C. Assim, devemos

ter que o relogio de ouro esta relacionado somente ao armario C para obtermos sucesso.

Solucao do Exercıcio 10. a) Note que quem inicia so pode ganhar em jogadas de numero

ımpar e alem disso, o outro jogador tem que fracassar nas jogadas pares. O nosso espaco

amostral e dado por:

S = v, ddv, ddddv, ..,

em que v representa um resultado igual a 7(P = 1

6

)em um par de dados e d representa um

resultado diferente de 7. Logo, temos uma serie:

P (PrimeiroGanhar) =1

6+

5

6

5

6

1

6+

5

6

5

6

5

6

5

6

1

6+... =

∞∑i=1

1

6

(5

6

)2n

=∞∑i=1

1

6

(25

36

)n=

16

1− 2536

=6

11.

b) Como o segundo jogador ganha se o primeiro nao ganhar, temos

P (SegundoGanhar) = 1− P (PrimeiroGanhar) = 1− 6

11=

5

11.

2.5 Diagramas de Avore e Probabilidade Condicional

O uso de diagramas de arvore mostra-se uma ferramenta bastante util na resolucao de

problemas envolvendo probabilidade condicional. Trata-se de um diagrama explicitando todas

as possibilidades de ocorrencia em um experimento aleatorio. Em seus galhos costuma-se

colocar as probabilidades e em seus nos os eventos.

Exemplo 2.5.1. Apenas uma em cada dez pessoas de uma populacao tem certa doenca. Das

pessoas que apresentam essa doenca 80% reagem positivamente ao teste Y , equanto que 30%

dos que nao tem tuberculose reagem positivamente. Uma pessoa da populacao e selecionada

ao acaso e o teste Y e aplicado. Qual a probabilidade de que essa pessoa tenha tuberculose se

reagiu positivamente ao teste?

Solucao: De acordo com o enunciado montamos o seguinte diagrama de arvore (Figrua 2.1):

23

Figura 2.1: Diagrama de arvore.

De modo geral, percorremos os galhos multiplicando os respectiovos valores segundo a

formula:

P (Tuberculos|ReacaoPositiva) =CasosFavorarveis

Total deCasos=

=0, 1.0, 8

0, 1.0, 8 + 0, 9.0, 3= 0, 028.

Observe que, no denominador constam as somas de todos os produtos referentes aos galhos

cuja informacao e conhecida, isto e, a “reacao positiva”ao teste Y (tendo ou nao a doenca).

No numerador consta somente o(s) produto(s) do(s) fato(s) que queremos saber, isto e, a

probabilidade de um indivıduo ter a tuberculose sabendo que a reacao ao teste Y foi positiva.

Tente fazer usando o Teorema 2.2.8.

2.6 No Computador

Modelos ”a priori”nem sempre sao tao simples de se obter. O uso de simulacoes computa-

cionais, por meio de rotinas, em certos softwares, mostram-se bastante uteis na obtencao de

estimativas e validacao de modelos. Na solucao de cada exemplo a seguir, usamos a funcao rand,

do Octave, para gerar numeros aleatorios o nos possibilitando assim, obter uma estimativa da

verdadeira probabilidade em cada situacao.

Exemplo 2.6.1. Determine a probabilidade de 8 pessoas escolhidas ao acaso completarem

aniversario em 8 dias diferentes. Admita que a probabilidade de se nascer seja a mesma para

todos os dias e que um mes possua apenas 30 dias.

Solucao: A seguir apresentaremos uma rotina em Octave capaz de simular inumeras realizacoes

para um numero qualquer de grupos (N) contendo n pessoas cada (n ≤ 30 e N qualquer). Em

particular, para n = 8, ao gerarmos aleatoriamente 10000 grupos, obtemos uma estimativa de

24

0, 35920 que e bastante proxima da solucao exata (veja o Exemplo 2.2.7). A rotina apresentada

mostra em suas ultimas 9 linhas a solucao exata do problema que e 0, 35969 (com 5 casas

decimais).

Figura 2.2: Aniversarios (Rotina em Octave)

25

O resultado obtido foi:

Figura 2.3: Aniversarios (Resultados)

Vejamos a solucao de mais um exemplo por meio do Octave.

Exemplo 2.6.2. O sangue humano foi classificado em 4 tipos: A, O, B, AB. Numa certa

populacao, as probabilidades destes tipos de sangue sao respectivamente: 0, 40; 0, 45; 0, 10 e

0, 05. Qual a probabilidade de que em 5 indivıduos escolhidos ao acaso haja tres do tipo A e

dois do tipo O.

Solucao: Observe que, ao tomarmos 5 pessoas num dado grupo, temos mais que um caso a

considerar quando encontramos 5 pessoas com as caracterısticas escolhidas. Por exemplo,

(A,A,A,O,O), (A,A,O,A,O), ...

Ocorre que nem sempre e facil sabermos o numero de combinacoes (neste exemplo temos exata-

mente 10 combinacoes diferentes). A rotina a seguir (Figura 2.4), em Octave, e capaz de estimar

a probilidade procurada. Observe que o comando ”if”foi utilizado como contador, isto e, em

cada iteracao e observada a ocorrencia ou nao de um dado evento e, caso ocorra, um contador

interno aumentara de uma unidade. Ao final, temos apenas uma simples divisao entre casos

favoraveis (indicado por ”cont”) e o total de realizacoes (indicado por ”N”). Em particular,

obtemos, testando 100000 grupos (de 5 indivıduos cada), a estimativa P = 0, 13073. Oberserve

que este valor esta bem proximo do valor real P = 0, 1296 (veja o Exemplo 8.3.3).

26

Figura 2.4: Tipo sanguıneo (Rotina em Octave).

27

Capıtulo 3

Variavel Aleatoria Discreta

3.1 Variavel Aleatoria

Definicao 3.1.1. Sejam E um experimento e S o espaco amostral associado. Uma variavel

aleatoria (v.a.) e uma funcao X que associa a cada elemento s ∈ S um numero real X(s).

Exemplo 3.1.2. Jogando-se uma moeda duas vezes, o espaco amostral S e dado por:

S = CaCa,CaCo, CoCa,CoCo.

Seja X o numero de faces ”cara”que aparecem. A cada ponto do espaco amostral podemos

associar um numero real para X. Assim, temos a seguinte tabela:

Resultado CaCa CaCo CoCa CoCo

X 2 1 1 0

Observacao 3.1.3. No Exemplo 3.1.2 poderıamos ter definido a v.a. da seguinte forma:

Resultado CaCa CaCo CoCa CoCo

X 1 2 3 4

3.2 Variavel Aleatoria Discreta

Definicao 3.2.1. Uma v.a. X e dita ser discreta se o numero de valores possıveis de X

for finito, ou infinito enumeravel (existe uma correspondencia biunıvoca com o conjunto dos

numeros naturais, N).

Exemplo 3.2.2. Numero de alunos aprovados em uma turma de 30 alunos da disciplina Calculo

I do IFBA:

X : 0, 1, 2, ..., 30

28

3.2.1 Distribuicao de Probabilidade - Massa

Definicao 3.2.3. Seja X uma v.a. discreta, e sejam x1, x2, ..., os valores que ela pode tomar,

dispostos em ordem crescente, tais que suas probabilidades sao dadas por:

P (X = xk) = p(xk), k = 1, 2, ...

A funcao definida desta forma recebe o nome de distribuicao de probabilidade ou funcao de massa.

De modo mais geral, a Definicao 3.2.3 pode ser reescrita como:

P (X = x) =

p(xk), x = xk

0, x 6= xk

em que consideramos os valores nao listados (x 6= xk) como tendo probabilidade nula.

Exemplo 3.2.4. Determine a distribuicao de probabilidade associada ao Exemplo 3.1.2.

Solucao: Temos

P (CaCa) =1

4P (CaCo) =

1

4P (CoCa) =

1

4P (CoCo) =

1

4.

Entao,P (X = 0) =

1

4P (X = 1) =

1

2P (X = 2) =

1

4.

Podemos organizar p(x) em uma tabela como segue:

x 0 1 2

p(x) 0, 25 0, 5 0, 25

Temos ainda a representacao por meio de um grafico de barras conforme a Figura 3.1

Figura 3.1: Grafico de barras.

29

3.2.2 Funcao de Distribuicao Acumulada/Reparticao

Definicao 3.2.5. A funcao de distribuicao cumulativa de uma v.a. X e definida como

F (x) = P (X ≤ x),

em que x ∈ (−∞,+∞).

Para o caso de uma v.a. discreta X, temos que a funcao de distribuicao cumulativa

F (X) = P (X ≤ x) =∑a≤x

p(a).

Se X toma apenas um numero finito de valores x1 < x2 < ... < xn, entao a funcao de

distribuicao cumulativa e dada por:

F (x) =

0 ,−∞ < x < x1

p(x1) , x1 ≤ x < x2

p(x1) + p(x2) , x2 ≤ x < x3

......

p(x1) + ...+ p(xn) , xn ≤ x <∞

Exemplo 3.2.6. Encontre a funcao de distribuicao cumulativa cuja tabela de distribuicao de

probabilidade e dada por:

x 0 1 2

p(x) 15

14

1120

Solucao: De acordo com o que foi posto acima, temos:

F (x) =

0 ,−∞ < x < 0

0 + 15

, 0 ≤ x < 1

0 + 15

+ 14

, 1 ≤ x < 2

0 + 15

+ 14

+ 1120

, 2 ≤ x <∞

⇒ F (x) =

0 ,−∞ < x < 0

15

, 0 ≤ x < 1

920

, 1 ≤ x < 2

1 , 2 ≤ x <∞

A funcao de distribuicao cumulativa satisfaz algumas propriedades:

i) F (−∞) = 0;

ii) F (∞) = 1;

iii) F (x) e uma funcao escada contınua a esquerda nos pontos de probilidade nao nula e contınua

nos demais pontos.

30

Figura 3.2: Grafico de F(x)

iv) P (a < x ≤ b) = F (b)− F (a);

Como consequencia de iv), temos, por exemplo:

P (a ≤ x ≤ b) = F (b)− F (a) + P (a)

Fica a cargo do leitor deduzir as formulas referentes aos calculos de:

P (a < x < b) e P (a ≤ x < b).

3.3 Exercıcios

Exercıcio 11. Seja X a v.a. denotando o resultado obtido no lancamento de um dado.

a) Determine a funcao de distribuicao de probabilidade.

b) Determine a funcao de distribuicao acumulada.

Exercıcio 12. Sabendo que a funcao de distribuicao acumulada da v.a. X e dada por:

F (x) =

0 ,−∞ < x < 0

112

, 0 ≤ x < 1

16

, 1 ≤ x < 2

13

, 2 ≤ x < 3

12

, 3 ≤ x < 4

1 , 4 ≤ x <∞

Determine P (1 ≤ x < 3) usando somente a funcao cumulativa.

31

Observacao 3.3.1. Uma outra maneira de responder o Exercıcio 12 e encontrando-se a funcao

de distribuicao de probabilidade.



a)x 1 2 3 4 5 6

P (x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6b) F (x) =

0 ,−∞ < x < 1

n6

, n ≤ x < n+ 1

1 , 6 ≤ x <∞

Solucao do Exercıcio 12. Note que

P (1 ≤ x < 3) = P (1 < x ≤ 3)− P (1) + P (3) = F (3)− F (1) + P (1)− P (3) =

= F (3)− F (1) + (F (1)− F (0))− (F (3)− F (2)) = F (2)− F (0) =1

3− 1

12=

1

4

3.5 No Computador

Como o leitor pode ter notado, em alguns casos, e de fato necessario que lancemos mao

das v.a. Ocorre, que nem sempre estamos trabalhando com v.a. numericas. Neste caso, a

v.a. serve de enumeracao do espaco amostral. Imaginemos o lancamento de uma moeda. Os

resultados possıveis sao Cara ou Coroa. Contudo, o computador nao trabalha com variaveis

nao numericas em seus calculos. Vejamos como proceder.

Exemplo 3.5.1. No lancamento de uma moeda, podemos, por conveniencia, definir a v.a. X

como sendo o numero de faces cara. Isto e,

x = 0⇒ Co x = 1⇒ Ca

A seguinte rotina (Figura 3.3), em Octave, simula o numero de faces cara em n realizacoes com

r lancamentos cada.

32

Figura 3.3: Rotina em Octave - Moeda.

Por exemplo, os resultados observados em 10 realizacoes de 100 lancamentos cada estao expres-

sos na Figura 3.4:

Figura 3.4: Moeda - Simulacao.

33

Qual o valor esperado de faces cara em 100 lancamentos de uma moeda? Sem o uso de v.a.

aleatorias seria facil estimar o numero esperado de faces cara observados? A resposta para este

problema encontra-se no Exemplo 8.2.2.

3.5.1 Uso de Contadores em Simulacoes Computacionais

Voce ja deve ter percebido que a estimativa de probabilidades por meio de simulacao com-

putacional, como visto nos capıtulos anteriores nao requer grandes conhecimentos matematicos,

mas sim, que saibamos ”contar”, ou melhor, que saibamos fazer com que a maquina conte por

nos. De modo geral, cada um dos problemas resolvidos via simulacao, se resolvidos de maneira

exata poderiam exigir conhecimentos como combinacoes, permutacoes etc. Porem, uma es-

trutura simples, apos o sorteio dos numeros aleatorios, nos permite contar facilmente os casos

favoraveis em um dado experimento aleatorio. Normalmente a estrutura de contagem de casos

favoraveis e dada por:

If condicao A ocorre

contA = contaA+1

endif

Volte nos exemplos envolvendo simulacoes e observe cuidadosamente como os contadores foram

utilizados. Vejamos mais um exemplo.

Exemplo 3.5.2. Extraem-se duas cartas de um baralho comum de 52 cartas. As duas cartas

sao extraıdas, uma apos a outra, sem reposicao. Determine a probabilidade de ambas serem

ases.

Solucao: Antes de resolver este problema note que o espaco amostral se modifica com a retirada

da primeira carta, isto e, a retirada de um segundo as tera probabilidade diferente da retirada

do primeiro. Se a carta fosse reposta o problema seria relativamente facil. Voce ira notar que a

relacao de “dependencia”entre eventos (retirada da segunda carta sem a reposicao da primeira)

nos rementem a calculos e rotinas mais complicadas.

Observe a presenca do laco:

while A == B;

b = rand;

B = floor(1+51*b);

end

Com isso evitamos que a mesma carta seja retirada mais de uma vez numa extracao de duas

cartas! Neste problema as v.a. A: Primeira carta As e B: Segunda carta As sao dependentes.

34

Figura 3.5: Rotina - Baralho.

Considerando 100000 realizacoes, obtemos 0, 00462.

Figura 3.6: Simulacao - Baralho.

Veja o valor de probabilidade exato para este problema no Exemplo 2.2.3.

3.5.2 Graficos

Os varios tipos de representacao grafica constituem uma ferramenta importante, pois fa-

cilitam a analise e a interpretacao de um conjunto de dados.

Os graficos estao presentes em diversos meios de comunicacao (jornais, revistas, internet)

e estao ligados aos mais variados assuntos do nosso cotidiano. Sua importancia esta ligada

a facilidade e rapidez com que podemos interpretar as informacoes. Os dados coletados e

distribuıdos em planilhas podem ser organizados em graficos e apresentados de uma forma

mais clara e objetiva.

35

O Excel apresenta uma grande variedade de graficos: Barras, Colunas, Setores, Segmentos

etc.

Exemplo 3.5.3. Consideremos a v.a. cuja distribuicao de probabilidades esta expressa na

tabela:

x 0 1 2 3 4 5

P (x) 0,1 0,2 0,2 0,3 0,1 0,1

O Excel dipoe de uma infinidade de graficos para representarmos a distribuicao de proba-

bilidade acima.

Figura 3.7: Graficos no Excel.

36

Capıtulo 4

Variaveis Aleatorias Contınuas

4.1 Variavel Aleatoria Contıua

Definicao 4.1.1. Uma v.a. X e dita ser contınua se seu contradomınio for um intervalo ou

uma colecao de intervalos.

Exemplo 4.1.2. Sao exemplos de v.a. contınuas:

Temperatura da cidade de Vitoria da Conquista em um dado momento.

X ∈ [6, 0; 34, 9],

em que 6, 0o e 34, 9o sao ındices historicos mınimo e maximo ocorridos entre os anos de 1976 e

2013.

Diametro de um parafuso produzido por certa maquina.

X ∈ [4, 52; 4, 54].

4.1.1 Distribuicao de Probabilidade - Densidade

Se X e uma v.a. contınua, a probabilidade de X tomar determinado valor e, em geral, zero.

Nao se pode definir uma funcao de probabilidade para uma v.a. contınua da mesma maneira

como o fizemos no caso de uma v.a. discreta.

Exemplo 4.1.3. Escolhido ao acaso um indivıduo de um grande grupo de adultos do sexo

masculino, a probabilidade de sua massa ser exatamente 65 kg (isto e, 65, 000... quilos) e zero.

Contudo, existe uma probabilidade finita (lembre-se de que o grupo e grande!), maior do que

zero, de X estar entre 67, 500 e 68, 500 quilos, por exemplo.

37

Com base nas ideias expostas acima, nos somos levados a postular a existencia de uma dada

funcao f(x) tal que:

Definicao 4.1.4. Seja X uma v.a. contınua. A funcao densidade de probabilidade f(x) e uma

funcao que satisfaz as seguintes condicoes:

1. f(x) ≥ 0

2.∫∞−∞ f(x)dx = 1

Definicao 4.1.5. A probabilidade da v.a. X estar entre a e b, por

P (a < X < b) =

∫ b

a

f(x)dx

Exemplo 4.1.6. Seja X uma v.a. contınua com a seguinte funcao densidade de probabilidade:

f(x) =

kx, 0 < x < 1

0, do cont.

a) Determine o valor de k b) Calcule P(

14< x < 3

4

).

Solucao: a) Como f(x) se trata de uma funcao de probabilidade, temos:∫ ∞−∞

f(x)dx = 1⇒∫ 0

−∞0dx+

∫ 1

0

kxdx+

∫ ∞1

0dx = 1⇒∫ 1

0

kxdx = 1⇒ k

[x2

2

]1

0

= 1⇒ k = 2.

Assim,

f(x) =

2x, 0 < x < 1

0, do cont.

b) Temos que

P

(1

4< x <

3

4

)=

∫ 34

14

2xdx =

[2x2

2

] 34

14

=

(3

4

)−(

1

4

)=

1

2

38

Figura 4.1: Representacao Geometrica da Probabilidade.

Observacao 4.1.7. O esboco do grafico de f(x) referente ao Exemplo 4.1.6 e bastante util

para entendermos o significado do item b). Observe que a probabilidade nada mais sera que a

area delimitada por f(x) e as retas x = 14

e x = 34.

4.1.2 Funcao de Distribuicao Acumulada

Analogamente ao caso, discreto, podemos definir a funcao de distribuicao acumulada (ou

funcao reparticao) F (X).

Definicao 4.1.8. A funcao cumulativa, fcd, da v.a. aleatoria contınua X e dada por

F (X) = P (X ≤ x) =

∫ x

−∞f(y)dy.

Exemplo 4.1.9. Seja X uma v.a. contınua com a seguinte funcao de probabilidade:

f(x) =

19x2, 0 < x < 3

0, do cont.

a) Determine F (x).

b) Use F (x) para calcular diretamente P (1 < X < 2).

Solucao: a) De maneira analoga ao caso discreto, repassando os somatorios para integrais,

temos:

F (x) =

∫ x−∞ 0dx, x ≤ 0∫ 0

−∞ 0dx+∫ x

019x2dx, 0 < x < 3∫ 0

−∞ 0dx+∫ x

019x2dx+

∫ x3

0dx, x ≥ 3

39

em que, sem perdas de generalidade, abusamos no uso de x. Calculando, temos:

F (x) =

0, x ≤ 0

0 +[

127x3]x

0, 0 < x < 3

0 +[

127x3]3

0+ 0, x ≥ 3

⇒ F (x) =

0, x ≤ 0

127x3, 0 < x < 3

1, x ≥ 3

b) Note que

P (1 < x < 2) = F (2)− F (1) =1

2723 − 1

2713 =

7

27.

Nao e difıcil ver que F (x) satisfaz as seguintes propriedades:

i) F (−∞) = 0;

ii) F (∞) = 1;

iii) P (a < x < b) = P (a ≤ x ≤ b) = F (b)− F (a);

iv) P (x = a) = 0;

v) F (X) e contınua.

Observacao 4.1.10. Esboce os graficos do Exemplo 4.1.9. Observe as propriedades i), ii), iii),

iv) e v).

4.2 Exercıcios

Exercıcio 13. Seja X uma v.a. contınua tal que:

f(x) =

0, x ≤ 0

kx, 0 ≤ x < 500

k(1000− x), 500 ≤ x < 1000

0, x ≥ 1000

Determine:

a) O valor de k b) P (250 ≤ x ≤ 750) c) P (x = 500) d) F (1000)

Exercıcio 14. A funcao de distribuicao acumulada de uma v.a. X e dada por:

F (x) =

1− e−2x, x ≥ 0

0, do cont

Com base na funcao acima.

a) Determine f(x) b) Calcule P (x > 2) c) Calcule P (−3 < x ≤ 4)

d) Mostre que limx→∞ F (x) = 1 e) Mostre que limx→∞ f(x) = 0.

40


Solucao do Exercıcio 13. a) Devemos ter que∫∞−∞ f(x)dx = 1. Assim,∫ ∞

−∞f(x)dx = 1⇒

∫ 0

−∞0dx+

∫ 500

0

kxdx+

∫ 1000

500

k(1000− x)dx+

∫ ∞1000

0dx = 1⇒

kx2

2|5000 + k

(1000x− x2

2

)|1000500 = 1⇒ 5002k = 1⇒ k =

1

5002

b) Temos que

P (250 ≤ x ≤ 750) =

∫ 500

250

1

5002xdx+

∫ 750

500

1

5002(1000− x)dx =

=1

2.5002x2|500

250 +1

5002

(1000x− x2

2

)|750500 =

1

2− 1

8+

15

8− 3

2=

3

4.

c) Valores pontuais tem probabilidade nula em se tratando de v.a. contınuas. Logo,

P (x = 500) = 0.

d) Note que x = 1000 e tal que todos os valores de densidade nao nula ja foram acumulados.

Logo, F (1000) = 1.

Solucao do Exercıcio 14. a) Temos que

f(x) = F ′(x) =

2e−2x, x ≥ 0

0, do cont

b) Temos que

P (X > 2) = 1− P (X ≤ 2) = 1− F (2) = 1− (1− e−2.2) = e−4.

c) Temos que

P (−3 < x ≤ 4) = P (−3 < x ≤ 0) +P (0 < x ≤ 4) = F (4)−F (0) = 1− e−8− (1− 1) = 1− e−8

d) Decorre imediatamente do fato de F (x) ser uma funcao de distriuicao cumulativa. Fazendo

as contas, temos:

limx→∞F (x) = limx→∞1− e−2x = 1− e−2.∞ = 1− 1

e2.∞ = 1− 1

∞= 1 = 0 = 1.

e) Fazendo as contas, temos:

limx→∞f(x) = limx→∞2e−2x = 2e−2.∞ = 2e−2.∞ =2

e2.∞ =2

∞= 0.

41

4.4 No Computador

A internet dispoe da plataforma Wolfram Alpha que faz praticamente tudo! Vejamos o

exemplo a seguir no qual determinamos o valor da constante k (semelhante ao que foi visto no

Exemplo 4.1.6) de modo que tenhamos uma funcao densidade de probabilidade.

Exemplo 4.4.1. Seja X uma v.a. contınua com a seguinte funcao de probabilidade:

f(x) =

k 2x+1

, 0 < x < 1

0, do cont

Determine o valor de k.

Solucao: Digitando na plataforma Wolfram Alpha como segue:

Figura 4.2: Solucao utilizando a Plataforma Wolfram Alpha.

Uma outra alternativa para o calculo de integrais e o software Winplot. Ele se apresenta

como uma ferramenta bastante util quando conhecemos a funcao densidade de probabilidade

associada a um problema, alem de apresentar o esboco da regiao ele apresenta o valor da area

correspondente a probabilidade.

42

Exemplo 4.4.2. A funcao densidade de probabilidade da v.a. X e dada por:

f(x) =

4(x+1)

(π+2ln(2))(x2+1), 0 < x < 1

0, do cont

Determine P(

13< x < 2

3

).

Solucao: Note que nao e necessario conhecer explicitamente o valor da integral (indefinida),

mas somente o valor de P(

13< x < 2

3

). Seguindo os passos no Winplot:

Passos: i) Clique em ”Equa”; ii) Clique em ”y = f(x)”, insira a equacao (defina adequadamente

os intervalos); iii) Clique em ”Um”; iv) Clique em ”Integracao”, insira os intervalos e escolha

os metodos numericos de integracao; v) Clique em ”definida”.

Figura 4.3: Integracao Definida no Winplot.

Os valores observados variam entre 0, 35109 e 0, 35110, correspondem aos diversos metodos

numericos aplicados (o que nao vem ao caso discutir aqui). Uma boa estimativa para esta

probabilidade e dada por 0, 35110.

43

Capıtulo 5

Medidas de Posicao

Veremos a seguir as chamadas medidas de posicao. Tais medidas orientam-nos quanto a

posicao da distribuicao no eixo x. Estudaremos tres das mais importantes, a media, a mediana

e a moda.

5.1 Media ou Esperanca Matematica

Definicao 5.1.1. Define-se a media ou esperanca matematica de uma v.a. como sendo:

E(X) = µx =∑i

xiP (xi), X Discreta

E(X) = µx =

∫ ∞−∞

xf(x)dx, X Continua

Exemplo 5.1.2. Suponha um jogo disputado com um unico dado honesto, em que um jogador

ganha R$ 20 se aparecer 2, R$ 40 se aparecer 4, perde R$ 30 se aparecer 6, e nao ganha nada

se aparece qualquer outra face. Determine seu ganho medio.

Solucao: Temos a seguinte tabela de distribuicao:

xi 0 20 0 40 0 −30

P (xi)16

16

16

16

16

16

Segue da Definicao 5.1.1, caso discreto

E(X) =6∑i=1

xiP (xi) = 0.1

6+ 20.

1

6+ 0.

1

6+ 40.

1

6+ 0.

1

6− 30.

1

6= 5.

Logo, ao fim de certo numero n de jogadas, espera-se que o jogador saia com algo em torno de

5n a mais do que tinha quando comecou a jogar.

44

Exemplo 5.1.3. A funcao de densidade de probabilidade da uma v.a. X e dada por:

f(x) =

112

(x+ 1) 0 < x < 4

0 do cont.

Determine o valor esperado da v.a. X.

Solucao: Usando a Definicao 5.1.1, caso contınuo

E(x) =

∫ ∞−∞

xf(x)dx =

∫ 4

0

x.1

12(x+ 1)dx =

1

12

∫ 4

0

(x2 + x)dx =

=1

12

[x3

3+x2

2

]4

0

=1

12

(43

3+

42

2

)=

22

9

Propriedades da Media

i) Se X = K e uma v.a. constante, entao

E(K) = K.

ii) Multiplicando-se uma v.a. X por uma constante, sua media fica entao multiplicada por essa

constante.

E(KX) = KE(X).

iii) Somando (ou subtraindo) uma constante a uma v.a. X, a sua media fica somada (ou

subtraıda) da mesma constante.

E(X ±K) = E(X)±K.

Caso estejamos trabalhando com duas v.a. X e Y temos a seguinte propriedade da media:

iv) A media da soma ou da diferenca de duas variaveis aleatorias e a soma ou diferenca das

medias1.

E(X ± Y ) = E(X)± E(Y )

5.2 Mediana

Definicao 5.2.1. A mediana (Md ou x) de uma v.a. X e o valor que divide a distribuicao em

duas partes iguais, isto e, F (Md) = 0, 5.

1 Embora ainda nao trabalhemos com o caso bidimensional tal propriedade e bastante util. Imagine por

exemplo uma v.a. X representando o peso de uma lata de refrigerante e uma v.a. Y representando o peso

lıquido. Neste caso, o peso medio bruto sera a soma dos pesos medios da lata e do refrigerante (lıquido). Veja

o Exemplo 16.1.13

45

Exemplo 5.2.2. Determine a mediana da v.a. X cuja distribuicao de probabilidade e dada

por:

xi −2 1 3 6 7 9

P (xi)110

210

210

110

110

310

Solucao: Basta observar que

F (3) = P (X = −2) + P (X = 1) + P (X = 3) =

=1

10+

2

10+

2

10=

1

2.

Logo, Md = 3.

Exemplo 5.2.3. Determine a mediana da v.a. X cuja distribuicao de probabilidade e dada

por:

xi −2 1 3 6 7 9

P (xi)110

110

110

310

210

210

Solucao: Note que F (3) = 310

, F (6) = 610

. Neste caso, a mediana pode ser representada pelo

menor valor a tal que F (a) > 0, 5, isto e, Md = 6.

Exemplo 5.2.4. Determine a mediana da v.a. contınua X cuja funcao densindade e dada por:

f(x) =

2x 0 ≤ x ≤ 1

0 do cont.

Solucao: Basta resolver a equacao

F (x) = 0, 5⇒∫ Md

−∞f(x)dx = 0, 5 =

∫ Md

0

2xdx = 0, 5⇒

⇒[x2]Md

0= 0, 5⇒Md2 = 0, 5⇒Md =

√0, 5.

5.3 Moda

Definicao 5.3.1. A moda (Mo) de uma v.a. X e o valor de maior probabilidade se X for

discreta e de maior densidade se X for contınua.

Caso X tenha mais de um valor satisfazendo a condicao de moda, dizemos que X e uma

distribuicao amodal. Neste caso tambem e possıvel, segundo alguns autores, classificar a dis-

tribuicao em bimodal (dois valores de moda), trimodal (tres valores de moda) etc.

46

Exemplo 5.3.2. Determine a moda das distribuicoes X e Y a seguir:

xi −2 1 3 6 7 9

P (xi)110

310

210

210

110

110

yi −2 1 3 6 7 9

P (yi)110

110

110

310

310

110

Solucao: A moda da v.a. X e Mo = 1 uma vez que X = 1 possui maior probabilidade. Por

outro lado, a v.a. Y e amodal pois nao ha um unico valor satisfazendo a condicao da moda.

Exemplo 5.3.3. Determine a moda da v.a. X cuja funcao densidade de probabilidade e dada

por

f(x) =

4x(9−x2)

810 ≤ x ≤ 3

0 do cont.

Solucao: Do calculo diferencial, temos2 x =√

3 e o valor maximo de f em [0, 3]. De fato,

d

dx

[4x(9− x2)

81

]= 0⇒ 36− 12x2

81= 0⇒ 36− 12x2 = 0⇒ x =

√3.

Alem disso,d

dx

[36− 12x2

81

](√

3) =

[−24x

81

](√

3) =−24.

√3

81< 0

Vemos que f(√

3) e um maximo local. Testando em f os valores, 0, 3 (limite inferior e superior

do intervalor [0,3]) e√

3 (faca as contas), temos que f(√

3) e o maior valor de f em [0, 3].

5.4 Exercıcios

Exercıcio 15. Uma v.a. X tem funcao de distribuicao de probabilidade dada por:

P (x) =

12x

x = 1, 2, 3, ...

0 do cont.

2O procedimento para se achar os maximos ou mınimos de f em um intervalo [a, b] ((a, b), (a, b] ou [a, b)) e

o seguinte:

i) Encontra-se os pontos crıticos xc’s (se existirem), isto e, os pontos nos quais f ′(x) = 0 ou f ′(x) nao existe.

ii) Testam-se os valores a, b (se fizer sentido), xc’s (se existirem). Entao basta observar o maior/menor valores

dentre f(a), f(b) e f(xc)’s.

Para mais detalhes consulte um livro de calculo diferencial.

47

Determine:

a) a media de X.

b) a mediana de X.

c) a moda de X.

Exercıcio 16. Seja X uma v.a. com funcao densidade de probabilidade dada por:

f(x) =

x(4−x2)

40 ≤ x ≤ 2

0 do cont.

Determine:

a) a media de X.

b) a mediana de X.

c) a moda de X.


Solucao do Exercıcio 15. Antes de mais nada, observemos os valores assumidos pela v.a.:

X : 1, 2, 3, ... 7−→ 1

2,

1

22,

1

23, ...

a) Pela definicao

E(X) =∑

xip(xi) = 1.1

2+2.

1

22+3.

1

23+4.

1

24+5.

1

25+ .... =

∞∑i=1

1

2i+∞∑i=1

1

2i+1+∞∑i=1

1

2i+2+ ... =

=12

1− 12

+122

1− 12

+123

1− 12

+ .... =1

1− 12

(1

2+

1

22+

1

23+ ...

)= 2.

( 12

1− 12

)2.1 = 2.

Acredite, e assim que se faz. Para se convencer desenvolva alguns termos dos somatorios acima

e some os primeiros temos de cada um.

b) Note que FX(1) = 0, 5. Logo a mediana deve se uma valor entre 1 e 2. Um escolha

conveniente e a media artmetica dos numero 1 e 2, isto e, Md = 32. Assim, o valor 3

2divide a

distribuicao em duas partes tais que a soma de suas probabilidades e 0, 5.

c) A moda da v.a. X e dada pelo valor de maior probabilidade, isto e, Mo = 1.

Solucao do Exercıcio 16. a) Por definicao

E(X) =

∫ ∞−∞

xf(x)dx =

∫ 2

0

xx(4− x2)

4dx =

∫ 2

0

(4x2

4− x4

4

)dx =

48

=

∫ 2

0

(x2 − x4

4

)dx =

(x3

3− x5

20

)|20 =

23

3− 25

20− 0 =

8

3− 32

20=

16

15

b) Basta resolvermos a equacao∫Md

0x(4−x2)

4dx = 1

2. Desenvolvendo o primeiro membro, temos:∫ Md

0

x(4− x2)

4dx =

∫ Md

0

(4x

4− x3

4

)dx =

∫ Md

0

(x− x3

4

)dx =

x2

2− x4

16.

Igualando esta ultima expressao a 12, temos:

x2

2− x

4

16=

1

2= y− y

2

8= 1⇒ y2−8y+ 8⇒ y1 = 4 + 2

√2 e y2 = 4−2

√2⇒Md =

√4− 2

√2.

Note que descartamos as solucoes −√

4− 2√

2,√

4 + 2√

2 e −√

4 + 2√

2 pois estas nao per-

tencem ao intervalo [0, 2].

c) Temos que Mo = max[0,2]x(4−x2)4, se existir. Vejamos:

f ′(x) =d

dx

(x(4− x2)

4

)= 1− 3x2

4.

Igualando f ′(x) a zero (o obtencao de valores crıticos), temos:

1− 3x2

4= 0⇒ x = ± 2√

3.

Note que − 2√3/∈ [0; 2]. Agora, devemos obter o maior dos valores dentre f(0), f(2) e f

(2√3

)que e justamente f

(2√3

). Assim, Mo = 2√

3.

5.6 No Computador

O computador se mostra uma ferramenta muito util na determinacao nao so de probabili-

dade como tambem das medidas de posicao. Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 5.6.1. Determine a moda e a medianada da v.a. definida no Exemplo 5.3.3.

Solucao: Utilizemos a plataforma Wolfram Alpha.

i) O calculo da mediana consiste em resulver a seguinte equacao:∫ Md

0

4x(9− x2)

81= 0, 5

Como estamos no intervalo [0, 3] o valor da mediana e dado por Md = 1, 62359. (Grafico 5.1):

ii) O calculo da moda tambem e bastante simples:

Diante do Grafico 5.2:, temos que o valor da moda e dado por Mo =√

3.

49

Figura 5.1: Mediana - Wolfram Alpha.

Figura 5.2: Moda - Wolfram Alpha.

50

Exemplo 5.6.2. Determine a media da v.a. referente ao jogo descrito no Exemplo 5.1.2.

Solucao: A rotina a seguir simula, em Octave, a situacao para um numero n de jogadas.

Figura 5.3: Rotina em Octave - Jogo.

51

Capıtulo 6

Variancia e Desvio Padrao

6.1 Variancia e Desvio Padrao

A seguir abordaremos uma das mais importantes medidas da estatıstica, o desvio padrao.

Tal medida e utilizada para avaliar o grau de variabilidade dos dados em relacao a media.

Definicao 6.1.1. O momento de ordem k de uma v.a. X em relacao a media µ e definido por

µk = E((X − µ)k)

em que

µk =n∑i=1

(xi − µ)kP (xi), X Discreta.

µk =

∫ ∞−∞

(x− µ)kf(x)dx, X Continua.

Definicao 6.1.2. O momento de ordem k em relacao a origem e definido como

µ′k = E(Xk).

A utilizacao do momento centrado na origem facilitara algumas contas.

Definicao 6.1.3. Define-se a variancia de uma v.a. X como sendo

V ar(X) = σ2X = E((X − µX)2).

Uma formula mais pratica para o calculo da variancia e conseguida da seguinte maneira:

σ2X = E((X − µX)2) = E(X2 − 2Xµ+ µ2

X) = E(X2)− E(2XµX) + E(µ2X) =

= E(X2)− 2µXE(X) + µ2X = E(X2)− 2µXµX + µ2

X = E(X2)− µ2X .

52

Temos portanto

σ2X = E(X2)− (E(X))2

Propriedades da Variancia

i) A variancia de uma constante e igual a zero.

V ar(K) = 0.

ii) Multiplicando uma v.a. por uma constante, sua variancia fica multiplicada pelo quadrado

da constante.

V ar(KX) = K2V ar(X).

iii) Somando-se ou subtraindo-se uma constante a uma v.a. nao se altera.

V ar(X ±K) = V ar(X).

Caso tenhamos duas v.a. X e Y temos a seguinte propriedade da variancia:

iv) A variacia da soma ou diferenca de duas v.a. independentes e a soma das respectivas

variancias3.

V ar(X ± Y ) = V ar(X) + V ar(Y ).

Definicao 6.1.4. Define-se o desvio padrao de uma variavel aleatoria X como sendo

σX =√σ2X .

Costumamos utilizar o desvio-padrao, como criterio de comparacao de duas ou mais v.a.

quanto ao afastamento de seus valores em relacao as suas respectivas medias. As seguintes

condicoes devem ser satisfeitas:

i) usarem a mesma unidade de medida;

ii) usarem a mesma escala;

iii) apresentarem medias aproximadamente iguais.

Caso nao tenhamos verificadas as condicoes acima, recorremos ao coeficiente de variacao, uti-

lizado para calcular a dispersao de maneira relativa.

Definicao 6.1.5. Define-se o coeficiente de variacao da v.a. X como sendo

CVX =σXE(X)

.

3 Analogamente ao exemplo dado anteriormente (Aula 5) em 1 temos que a variancia relativa ao peso bruto

seria a soma das variancias do peso da lata e do lıquido. Consequentemente, σ(X ±Y ) =√V ar(X) + V ar(Y ).

Veja o Exemplo 16.1.13

53

Exemplo 6.1.6. Determine a variancia e o desvio-padrao das distribuicoes X e Y a seguir e

determine qual apresenta valores mais dispersos em relacao a media:

xi −2 1 3 6 7 9

P (xi)110

210

210

110

110

310

yi −2 1 3 6 7 9

P (yi)210

110

210

110

310

110

Solucao: Temos que V ar(X) = E(X2)− E(X)2. Pois bem,

E(X) =6∑i

xiP (xi) = −2.1

10+ 1.

2

10+ 3.

2

10+ 6.

1

10+ 7.

1

10+ 9.

3

10= 4, 6

E(X2) =6∑i

x2iP (xi) = (−2)2.

1

10+ 12.

2

10+ 32.

2

10+ 62.

1

10+ 72.

1

10+ 92.

3

10= 35, 2

Portanto,

V ar(X) = E(X2)− E(X)2 = 35, 2− 4, 62 = 14, 04⇒ σX =√

14, 04 ≈ 3, 747.

De maneira analoga, temos:

E(Y ) =6∑i

yiP (yi) = −2.2

10+ 1.

1

10+ 3.

2

10+ 6.

1

10+ 7.

3

10+ 9.

1

10= 3, 9

E(Y 2) =6∑i

y2i P (yi) = (−2)2.

2

10+ 12.

1

10+ 32.

2

10+ 62.

1

10+ 72.

3

10+ 92.

1

10= 29, 1

Portanto,

V ar(Y ) = E(Y 2)− E(Y )2 = 29, 1− 3, 92 = 13, 89⇒ σY =√

13, 89 ≈ 3, 727.

Note que, E(X) 6= E(Y ). Assim, a pura analise do desvio-padrao pode nos enganar (pois as

medias sao diferentes). Recorremos entao ao coeficiente de variacao:

CVX =3, 747

4, 6≈ 0, 815

CVY =3, 727

3, 9≈ 0, 956

Sendo assim, percebemos que a v.a. Y apresenta maior dispersao relativa a media que a v.a.

X.

54

Exemplo 6.1.7. Determine a variancia e o desvio padrao da v.a. X cuja funcao densidade de

probabilidade e dada por X cuja funcao densindade e dada por:

f(x) =

2x 0 ≤ x ≤ 1

0 do cont.

Solucao: Temos que

E(X) =

∫ ∞−∞

x.f(x)dx =

∫ 1

0

x.2xdx = 2.

∫ 1

0

x2dx = 2

[x3

3

]1

0

= 2.1

3=

2

3.

E(X2) =

∫ ∞−∞

x2.f(x)dx =

∫ 1

0

x2.2xdx = 2.

∫ 1

0

x3dx = 2.

[x4

4

]1

0

= 2.1

4=

1

2.

Por fim,

V ar(X) = E(X2)− E(X)2 =1

2−(

2

3

)2

=1

18⇒ σX =

√1

18≈ 0, 236.

6.2 Exercıcios

Exercıcio 17. Determine a variancia e o desvio padrao do numero de pontos que podem

aparecer em uma jogada de dados.

Exercıcio 18. Seja X uma v.a. com funcao densidade

f(x) =

14−2 ≤ x ≤ 2

0 do cont.

Calcule a variancia e o desvio padrao de X.

Exercıcio 19. Seja X uma v.a. com funcao de densidade

f(x) =

e−x x ≥ 0

0 do cont.

Determine a variancia e o desvio padrao de X.


Solucao do Exercıcio 17. Temos que a v.a. X representando os pontos no lancamento de

um dado e tal que, X : 1, 2, 3, 4, 5, 6 em que p(xi) = 16

para todo xi ∈ X. Assim,

E(X) =6∑i=1

xip(xi) = 1.1

6+ 2.

1

6+ 3.

1

6+ 4.

1

6+ 5.

1

6+ 6.

1

6=

7

2.

55

E(X2) =6∑i=1

x2i p(xi) = 12.

1

6+ 22.

1

6+ 32.

1

6+ 44.

1

6+ 52.

1

6+ 62.

1

6=

91

6.

donde obtemos

V ar(X) = E(X2)− (E(X))2 =91

16−(

7

2

)2

=35

12⇒ σX =

√35

12.


E(X) =

∫ 2

−2

x.1

4dx =

x2

8|2−2 = 0.

E(X2) =

∫ 2

−2

x2.1

4dx =

x3

12|2−2 =

4

3.

Logo,

V ar(X) = E(X2)− (E(X))2 =4

3− 02 =

4

3⇒ σX =

√4

3=

2√3.


E(X) =

∫ ∞0

xe−xdx = (1− x)e−x|∞0 = 0 + 1 = 1.

E(X2) =

∫ ∞0

x2e−xdx = (−2 + 2x+ x2)e−x|∞0 = 2.

Logo,

V ar(X) = E(X2)− (E(X))2 = 2− 12 = 1.

6.4 No Computador

O Excel e uma ferramenta bastante util nos calculos da media e desvio padrao devido a

certas facilidades, como por exemplo, o ”arraste de formulas”. Vejamos a seguir como calcular,

no caso discreto, a media, a variancia e o desvio-padrao, tudo numa so planilha.

Exemplo 6.4.1. Determine a media a variancia e o desvio-padrao da v.a. X dada no Exemplo

6.1.6.

Solucao: Observe a Figura 6.1.

Passos: i) Na coluna A digitamos os valores da v.a. X; ii) Na coluna B digitamos suas

respectivas probabilidades; iii) Na celula C2 inserimos a formula ”= A2 ∗B2”e arrastamos ate

a celula C7; iv) Na celula C8 inserimos a formula ”= soma(C2 : C7)”; v) Na celulaD2 inserimos

a formula ”= A2∧2 ∗ B2”e arrastamos ate a celula D7; vi) Na celula D8 inserimos a forumala

”= soma(D2 : D7)”; vii) Nas celulas E8, F8 e G8 terminamos inserindo, respectivamente:

” = C8” ” = D8− C8∧2” ” = F8∧1/2.

56

Figura 6.1: Media, Variancia e Desvio-Padrao - Excel.

Para os calculos da media e desvio padrao quando tratamos uma v.a. contınua, pode-se

usar a plataforma Wolfram Alpha digitando exatamente as integrais que se deseja calcular!

57

Capıtulo 7

Lista de Exercıcios: Capıtulos 1 ao 6

Questoes Objetivas

Exercıcio 20. Uma moeda nao tendenciosa e lancada 4 vezes. A probabilidade de que sejam

obtidas duas caras e:

a) 38

b) 12

c) 58

d) 23

e) 34.

Exercıcio 21. Duas urnas guardam bolas brancas e pretas. Uma das urnas tem 3 bolas brancas

e 1 bola preta enquanto que a outra tem 3 bolas brancas e 3 pretas. Escolhendo-se uma urna

ao acaso e em seguida, sucessivamente e com reposicao duas de suas bolas, a probabilidade de

ocorrer uma bola branca e uma preta e:

a) 78

b) 716

c) 38

d) 732

e) 316

Exercıcio 22. Uma caixa de ferramentas contem 5 relogios, sendo 3 de ouro e 2 de prata; esta

mesma caixa tambem possui 7 pulseiras, sendo 3 de ouro e 4 de prata. Retirando-se ferramentas

de forma aleatoria e sem reposicao, a probabilidade de que uma seja relogio de ouro e a outra

uma pulseira de prata e:

a) 211

b) 1235

c) 712

d) 111

e) 12.

Exercıcio 23. Uma caixa A contem 4 pecas, sendo 3 perfeitas e 1 defeituosa. Uma segunda

caixa B contem 6 pecas sendo 4 perfeitas e 2 defeituosas. Uma experiencia consiste em retirar

uma peca de cada caixa com a expectativa de que ambas as pecas selecionadas seja perfeitas.

Apos a relizacao de cada experiencia, as pecas retiradas voltam a caixa de origem. Se a

experiencia for realizada 3 vezes, a probabilidade de que a expectativa seja satisfeita em duas

oportunidades e:

a) 12

b) 18

c) 38

d) 710

e) 16

Exercıcio 24. Uma caixa possui 8 cilındros, sendo 5 brancos e 3 verdes. A caixa tambem

contem 6 cubos, sendo 4 brancos e 2 verdes. Retirando-se apenas uma peca de forma aleatoria,

58

a probabilidade de encontrar um cubo ou uma peca da cor verde e:

a) 1014

b) 4556

c) 914

d) 1114

e) 512

Exercıcio 25. De 240 empregados, 120 dominam a matematica, 100 dominam o portugues e 40

dominam as duas areas. Considerando-se que um empregado seja escolhido ao acaso, pergunta-

se. Qual a probabilidade desse empregado nao dominar nem matematica nem portugues?

a) 136

b) 724

c) 34

d) 14

e) 1112

Exercıcio 26. A, B, C sao eventos independentes tais que P (A) = 0, 5, P (B) = 0, 6 e P (C) =

0, 5. A probabilidade de que ao menos um dos tres eventos ocorra e:

a) 0, 70 b) 0, 75 c) 0, 80 d) 0, 85 e) 0, 90

Exercıcio 27. Uma rede local de computadores e composta por um servidor e 2 clientes (A

e B). Registros anteriores indicam que, dos pedidos de certo tipo de processamento, cerca de

30% vem de A e 70% de B. Se o pedido nao for feito de forma adequada, o processamento

apresentara erro. Sabe-se que 2% dos pedidos feitos por A e 5% dos feitos por B apresentam

erro. Selecionando um pedido ao acaso, a probabilidade dele ser proveniente de A, sabendo que

apresentou erro, e:

a) 541

b) 641

c) 35

d) 235

e) 135

Exercıcio 28. Se a probabilidade de ganhar um jogo e 25%, a probabilidade de um jogador

que participe de 3 partidas, ganhar pelo menos uma vez e:

a) 57, 81% b) 25% c) 75% d) 42, 19% e) 50%

Exercıcio 29. Um lote contem 20 pecas das quais 5 sao defeituosas. Colhendo-se uma amostra

de 2 pecas, ao acaso e sem reposicao deste lote, a probabilidade de se obter pelo menos uma

peca defeituosa e:

a) 2138

b) 1938

c) 1738

d) 1538

1338

Exercıcio 30. O preco de determinada acao fica constante, aumenta ou diminui R$ 1, 00 por

dia com probabilidade 0, 3, 0, 3 e 0, 4 respectivamente. Assinale a opcao que da o valor esperado

do preco da acao amanha se seu preco hoje e R$ 8, 00.

a) R$ 7, 90 b) R$ 8, 00 c) R$ 7, 00 d) R$ 9, 00 e) R$ 8, 50

Exercıcio 31. O tempo, em segundos, necessario para processar certo programa e uma variavel

aleatoria com funcao densidade de probabilidade

f(x) =

0, 1, x ∈ (0; 1)

0, x /∈ (0; 1)

59

Assinale a opcao que corresponde a probabilidade de que o tempo de processamento exceda 7

segundos:

a) 0, 20 b) 0, 25 c) 0, 30 d) 0, 35 e) 0, 40

Exercıcio 32. O retorno mensal de certo investimento de risco pode ser modelado pela variavel

aleatoria W , com funcao de probabilidade dada a seguir:

W -5% 0% 5% 10% 15%

P (W = w) 0,4 0,15 0,25 0,15 0,05

O retorno esperado e:

a) −0, 5% b) 0, 5% c) 1, 5% d) 5% e) 7, 5%

Exercıcio 33. Uma v.a. X, tem funcao densidade

f(x) =

ce−3x, x > 0

0, x ≤ 0

O valor de P (X > 3) e dado por:

a) e−3 b) e−9 c) 1− e−9 d) 1− e−3 e) 0

Exercıcio 34. Uma v.a. aleatoria X tem funcao de densidade

f(x) =

cx2, 1 ≤ x ≤ 2

cx, 2 < x ≤ 3

0, do contrario

O valor de c e dado por:

a) 12

b) 23

c) 32

d) 296

e) 629

Exercıcio 35. A funcao de distribuicao cumulativa de uma v.a. contınua X e dada por

F (x) =

cx3, 0 ≤ x < 3

1, x ≥ 3

0, x < 0

O valor de P (1 < X < 2) e:

a) 927

b) 727

c) 127

d) 227

e) 2627

Exercıcio 36. Uma v.a. X tem funcao densidade de probabilidade

f(x) =

2e−2x, x ≥ 0

0, do cont

60

Podemos dizer que a funcao de distribuicao cumulativa da v.a. X e dada por:

a) F (x) =

1− e−2x, x ≥ 0

0, do contb) F (x) =

2− e−2x, x ≥ 0

0, do cont

c) F (x) =

e−2x − 2, x ≥ 0

0, do contd) F (x) =

e−2x

2, x ≥ 0

0, do cont

e) F (x) =

12− e−2x, x ≥ 0

0, do cont

Exercıcio 37. Consideremos um experimento aleatorio consistindo de lancar dois dados e

observar a soma dos resultados. E correto afirmar que o valor esperado e o desvio padrao desta

soma sao, respectivamente:

a) 6 e 356

b) 7 e 367

c) 7 e√

356

d) 7 e√

367

e) 72

e√

356

Exercıcio 38. Uma v.a. aleatoria X e dada por:

X −2 1 3

P (X = x) 13

16

12

E correto afirmar que E(2X + 5) vale:

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

Exercıcio 39. A funcao de densidade de uma v.a. X e:

f(x) =

e−x, x > 0

0, x ≤ 0

O valor de E((X − 1)2) e dado por:

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0.

Exercıcio 40. O numero esperado de pontos em tres jogadas sucessivas de um dado e:

a) 9 b) 9, 5 c) 10 d) 10, 5 e) 11

Exercıcio 41. Uma v.a. X tem E((X − 1)2) = 10, E((X − 2)2) = 6. O valor de σX e dado

por:

a) 1 b) 4 c)√

292

d)√

212

e)√

152

Exercıcio 42. Uma v.a. X tem funcao densidade

f(x) =

4x(1− x2), 0 ≤ x ≤ 1

0, 0 do contrario

A moda e a mediana da v.a. X sao, respectivamente:

a) 1 e 1√3

b) 1√3

e√

2−√

22

c)√

2−√

22

e 1√3

d) 0 e 1√3

e)√

2−√

22

e 1

61

Exercıcio 43. Uma v.a. X tem funcao de distribuicao cumulativa dada por:

X 1 2 3 4

F(X) a 3a 8a 10a

em que a e uma constante. Nessas condicoes, a moda da v.a. X e dada por:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 52

Exercıcio 44. Uma v.a. aleatoria X tem densidade de probabilidade dada por:

f(x) =

2e−2x, x > 0

0, x ≤ 0

O desvio-padrao da v.a. X e dado por:

a) e−1 b) 1 c) 12

d) 34

e) 14

Questoes Discursivas

Exercıcio 45. De um baralho de 52 cartas extrai-se ao acaso uma carta. Determine a proba-

bilidade de ocorrencia dos seguinte eventos:

a) saıda de um Rei b) saıda de copas c) saıda de Rei ou copas d) saıda de um

Rei mas nao de copas e) nao saıda de um Rei f) nao saıda de Rei nem copas

g) nao saıda de Rei ou nao saıda de copas

Exercıcio 46. Um aparelho eletonico e formado por duas partes, A e B. Sabe-se que a

probabilidade de falhas registradas acusa que

A falha em 20% das vezes

B falha sozinho em 15% das vezes

A e B falham simultaneamente em 15% das vezes

Nessas condicoes determine a probabilidade:

a) de B falhar b) apenas A falhar c) de A ou B falharem d) nem A nem B

falharem

e) A e B nao falharem simultaneamente

Exercıcio 47. O dono de uma respeitada galeria de arte esta interessado em adquirir certo

quadro de um pintor a fim de vende-lo futuramente. O gerente sabe que ha muitas falsificacoes

deste pintor no mercado e que algumas dessas falsificacoes sao quase perfeitas o que torna muito

62

difıcil avaliar se o quadro que ele pretende adquirir e ou nao original. Sabe-se que a cada ha 4

quadros falsos desse pintor para cada verdadeiro. Pensando em nao comprometer a reputacao

da galeria comprando um quadro falso, o gerente resolve levar o quadro a um museu de arte

para que um especialista o examine. Este especialista lhe garante que em 90% dos casos em que

lhe e pedido para examinar um quadro genuıno daquele pintor, ele identifica-o corretamente

como sendo genuıno. Mas em 15% dos casos em que examina uma falsificacao do mesmo pintor,

ele identifica-o (erradamente) como sendo genuıno. Depois de examinar o quadro que o gerente

lhe levou, o especialista diz que acha que o quadro e uma falsificacao. Qual e a probabilidade

de o quadro ser realmente uma falsificacao?

Exercıcio 48. Na vinda para o ifba certo professor tem que passar por tres cruzamentos com

semaforos. No primeiro cruzamento a probabilidade de o sinal estar vermelho e de 10%. Em

cada um dos demais cruzamentos ele costuma parar em metade das vezes que passa devido

ao sinal estar vermelho. Sabendo que os semaforos funcionam independentemente e que o

professor so para se o sinal estiver vermelho, passa em sinal verde e acelera em amarelo qual a

probabilidade de que ele tenha parado no primeiro sinal sabendo que parrou num so semaforo

durante a ida ao emprego?

Exercıcio 49. Apos alguns testes de personalidade aplicados em inumeros presidiarios de

certa instalacao, concluiu-se que 60% sao loucos, 70% sao ladroes e 25% nao sao loucos nem

ladroes. Determine a probabilidade de um indivıduo escolhido ao acaso, neste presıdio, ser

ladrao, sabendo-se que nao e louco.

Exercıcio 50. Uma moeda e viciada, de tal modo que P (Cara) = 23

e P (Coroa) = 13. Ela

e entao lancada. Se aparecer cara, entao um numero e selecionado de 1 a 9. Se aparecem

coroas, um numero e selecionado entre 1 e 5. Determine a probabilidade de ser par o numero

selecionado.

Exercıcio 51. Numa fabrica, 3 maquinas, M1, M2 e M3 fabricam parafusos, sendo a producao

diaria total de 10000 unidades. A prbabilidade de um parafuso escolhido ao acaso ter sido

produzido por M1 e 30% da probabilidade de ter sido produzido por M2. A incidencia de

defeitos na producao de cada maquina e:

M1 : 3% M2 : 1% M3 : 2%

Extrai-se ao acaso da producao diaria um parafuso. Sabendo que a probabilidade dele ser

defeituoso e de 1, 65%, determine o numero de parafusos que cada maquina produz diariamente.

63

Exercıcio 52. Joao tem a sua disposicao 3 meios de transporte diferentes, A, B e C, para se

deslocar de casa para a escola. Sabe-se que a probabilidade de:

i) chegar atrasado a escola e 60%

ii) chegar atrasado utilizando o transporte A e 80%

iii) chegar atrasado utilizando o transporte B e 50%

iv) chegar atrasado utilizando o transporte C e 60%

v) utilizar os transportes B e C e a mesma.

a) Calcule a probabilidade de Joao utilizar o transporte A.

b) Sabendo que Joao chegou atrasado a escola, calcule a probabilidade de ter utilizado os

transportes B ou C.

Exercıcio 53. Uma empresa se dedica a prestacao de servicos de selecao de pessoal por meio

da aplicacao de um teste psicologico para uma profissao especıfica. Com base em estatısticas

sabe-se que:

i) as porcentagens de indivıduos com quociente de inteligencia (QI) elevado e medio sao, re-

spectivamente, 30% e 60%.

ii) a porcentagem de indivıduos com QI medio que ficam aptos no teste e 50%.

iii) a probabilidade de um indivıduo com QI baixo ficar apto no teste e de 20%.

iv) 70% dos indivıduos com QI elevado ficam aptos no teste.

a) Qual a probabilidade de um indivıduo escolhido ao acaso ficar apto no teste?

b) Qual a probabilidade de um indivıduo ter QI baixo, sabendo-se que ficou inapto?

Exercıcio 54. Admita que 60% dos segurados no ramo automovel dizem respeito a condutores

com mais de 40 anos de idade, dos quais, 5% sofrem, pelo menos um acidente por ano. Dentre

os segurados com idade igual ou inferior a 40 anos, 3% tem um ou mais acidentes no mesmo

perıodo.

a) Qual a probabilidade de um segurado nao sofrer qualquer acidente durante um ano?

b) Qual a probabilidade de um segurado que sofreu pelo menos um acidente ter idade igual ou

inferior a 40 anos?

c) Qual a probabilidade de, numa amostra de tres segurados:

1. todos terem idade igual ou inferior a 40 anos?

2. nenhum ter sofrido qualquer acidente durante um ano?

3. todos terem idade igual ou inferior a 40 anos, dado que cada um sofreu, pelo menos, um

acidente durante o referido perıodo?

64

Solucao das Questoes Objetivas

Solucao do Exercıcio 20. Temos um total de 24(= 16) possibilidades para o espaco amostral.

Os casos favoraveis sao as permutacoes da sequencia CaCaCoCo. Sao elas:

CaCaCoCo, CaCoCaCo, CaCoCoCa, CoCaCaCo, CoCaCoCa, CoCoCaCa

Assim, temos que

P (2Caras e 2 Coroas) =6

16=

3

8

Alternativa a.

Solucao do Exercıcio 21. Temos dois casos a considerar, ambos mutuamente exclusivos:

A: A urna sorteada ser a primeira (3 bolas brancas e 1 bola preta)

B: A urna sorteada ser a segunda (3 bolas brancas e 3 bolas pretas).

A probabilidade de cada evento A e B e igual a 12.

Assim, temos:

P (1 br e 1 pr) = P (A, br, pr) + P (A, pr, br) + P (B, br, pr) + P (B, pr, br) =

1

2.3

4.1

4+

1

2.1

4.3

4+

1

2.3

6.3

6+

1

2.3

6.3

6=

3

32+

3

32+

1

8+

1

8=

7

16

Alternativa b.


P = P (rel ouro)P (pulseira prata|rel ouro) + P (pulseira prata)P (rel ouro|pulseira prata) =

=3

12.

4

11+

4

12.

3

11=

2

11

Alternativa a.

Solucao do Exercıcio 23. O problema se divide em duas partes: i) Inicialmente vejamos qual

a probabilidade de sucesso em uma unica realizacao. Temos, neste caso:

P (perf |A)P (perf |B) =3

4

4

6=

1

2

ii) Contudo, queremos ter sucesso em duas das jogadas. Podemos ter isso da seguinte forma:

SSF ou SFS ou FSS

com S indicando sucesso (ocorrer duas pecas perfeitas) e F fracasso (nao ocorrer duas pecas

perfeitas). Temos portanto,

P (SSF )+P (SFS)+P (FSS) =1

2.1

2.

(1− 1

2

)+

1

2.

(1− 1

2

).1

2+

(1− 1

2

).1

2.1

2=

1

8+

1

8+

1

8=

3

8

Alternativa c.

65

Solucao do Exercıcio 24. Consideremos os seguintes eventos C1 sair cilindro; C2 sair cubo;

B cor branca; V cor verde. Assim,

P (C2 ∪ V ) = P (C2) + P (V )− P (C2 ∪ V ) =6

14+

5

14− 2

14=

9

14.

Alternativa c.

Solucao do Exercıcio 25. Consideremos os eventos M dominar matematica e P dominar

portugues. Assim,

P (M ∪ P ) = 1− P (M ∪ P ) = 1− (P (M) + P (P )− P (M ∩ P )) =

= 1−(

120

240+

100

240− 40

240

)= 1− 180

240= 1− 3

4=

1

4.

Alternativa d.


P (A ∪B ∪ C) = 1− P (A ∩B ∩ C) = 1− 0, 5.0, 4.0, 5 = 1− 0, 1 = 0, 9.

Alternativa e.

Solucao do Exercıcio 27. Consideremos os eventos A e B conforme indicados, E pedido

apresentando e E pedido sem erro. Assim,

P (A|E) =P (A ∩ E)

P (A ∩ E) + P (B ∩ E)=

0, 3.0, 02

0, 3.0, 02 + 0, 7.0, 05=

0, 006

0, 006 + 0, 035=

6

41.

Alternativa b.

Solucao do Exercıcio 28. Considere o evento A ganhar o jogo. Assim, a probabilidade de

em 3 partidas ganhar ao menos uma e igual a

P = 1− P (B),

em que B e o evento perder todas as partidas. Portanto,

P = 1− P (A).P (A).P (A) = 1− 0, 753 ≈ 57, 81%.

Alternativa a.

Solucao do Exercıcio 29. Temos que a probabilidade de obtermos ao menos uma peca

defeituosa pode ser calculada como:

P = 1− P (A),

66

em que A corresponde ao evento de nao aparecer pecas defeituosas. Note que o total de

possibilidade em se tirar duas pecas e dado por T = C202 = 190. Por outro lado, a possibilidades

de ambas as pecas nao serem defeituosas e dada por B = C152 = 105. Logo,

P = 1− P (A) = 1− B

T= 1− 105

190=

17

38.

De outra forma, podemos supor uma peca retirada apos a outra sem reposicao:

P = 1− P (primeira boa)P (segunda boa|primeira boa) = 1− 15

20

14

19= 1− 21

38=

17

38.

Alternativa c.

Solucao do Exercıcio 30. O valor esperado e dado pela soma dos produtos dos valores

possıveis por suas respectivas probabilidades, isto e,

E(X) = 8, 00.0, 3 + 9, 00.3 + 7, 00.0, 4 = 7, 90.

Alternativa a.


P (x > 7) = 1− P (x < 7) = 1−∫ 7

0

0, 1dx = 1− 0, 1x|70 = 1− 0, 7 = 0, 3.

Alternativa c.

Solucao do Exercıcio 32. O valor esperado e dado por:

E(X) = −0, 05.0, 4 + 0.0, 15 + 0, 05.0, 25 + 0, 1.0, 15 + 0, 15.0, 05 = 0, 015 = 1, 5%

Solucao do Exercıcio 33. Inicialmente devemos obter o valor de c:∫ +∞

0

ce−3xdx = 1⇒ − c3e−3x|+∞0 = 1⇒ c = 3.

Assim,

P (X > 3) = 1− P (X ≤ 3) = 1−∫ 3

0

3e−3xdx = 1 + e−3x|30 = 1 + (e−9 − 1) = e−9.

Alternativa b.

Solucao do Exercıcio 34. Basta resolvermos a equacao intergral:∫ 2

1

cx2dx+

∫ 3

2

cxdx = 1⇒ cx3

3|21 + c

x2

2|32 = 1⇒

⇒ c

(8

3− 1

3

)+ c

(9

2− 4

2

)= 1⇒ c

29

6= 1⇒ c =

6

29.

Alternativa e.

67

Solucao do Exercıcio 35. Inicialmente encontremos o valor de c:

limx→3−

F (x) = 1⇒ 27c = 1⇒ c =1

27.

Por fim,

P (1 < X < 2) = F (2)− F (1) =1

27.23 − 1

27.13 =

8

27− 1

27=

7

27.

Alternativa b.

Solucao do Exercıcio 36.

F (x) =

0, x < 0∫ x0

2e−2x, x ≥ 0⇒ F (x) =

0, x < 0

1− e−2x, x ≥ 0

Alternativa a.


E(X) = 2.

(1

36

)+ 3.

(2

36

)+ 4.

(3

36

)+ ...+ 12.

(1

6

)= 7

Por outro lado,

E(X2) = 22

(1

36

)+ 32

(2

36

)+ 42

(3

36

)+ ...+ 122

(1

36

)=

1974

36=

329

6

Assim,

σ =√E(X2)− (E(X))2 =

√1974

36− 72 =

√35

6.

Alternativa c.


E(X) = −21

3+ 1

1

6+ 3

1

2= 1

Assim,

E(2X + 5) = E(2X) + E(5) = 2E(X) + 5 = 2.1 + 5 = 7.

Alternativa d.


E((X2 − 1)) = E(X2 − 2X + 1) = E(X2)− E(2X) + E(1) = E(X2)− 2E(X) + 1.

Pois bem,

E(X) =

∫ +∞

0

xe−xdx = −e−x(x+ 1)|+∞0 = 1.

68

E(X2) =

∫ +∞

0

x2e−xdx = −e−x(X2 − 2x+ 1)|+∞0 = 2.

Portanto,

E((X2 − 1)) = E(X2)− 2E(X) + 1 = 2− 2.1 + 1 = 1.

Alternativa d.

Solucao do Exercıcio 40. Considere as v.a. X, Y e Z como sendo os pontos obtidos no

lancamento de cada dado. Temos que

E(Y ) = E(Z) = E(X) = 1.1

6+ 2.

1

6+ ...+ 6.

1

6.

Considerando 3 dados, temos:

E(X + Y + Z) = E(X) + E(Y ) + E(Z) =7

2+

7

2+

7

2= 3.

7

2= 10, 5.

Alternativa d.


E((X − 1)2) = E(X2)− 2E(X) + 1 = 10.

E((X − 2)2) = E(X2)− 4E(X) + 4 = 6.

Resolvendo o sistema em E(X) e E(X2), temos:

E(X) =7

2, E(X2) = 16

Assim,

σX =

√16−

(7

2

)2

=

√15

2.

Alternativa e.

Solucao do Exercıcio 42. i) Moda: Do calculo diferencial, temos:

f ′(x) = 0⇒ [4x(1−x2)]′ = 0⇒ [4x−4x3]′ = 4−12x2 = 0⇒ 4(1−3x2) = 0⇒ x = ± 1√3⇒ 1√

3

Note que f ′′(x) = −24x e tal que

f ′′(

1√3

)< 0

e portando 1√3

e ponto de maximo local. Assim, a moda sera o maximo entre

0, 1, 1√3

que e

dado por 1√3.

ii) Mediana: Basta resolvermos a equacao integral:∫ Md

0

4x(1− x2)dx = 0, 5⇒Md4 − 2Md2 +1

2= 0.

69

Esta equaca biquadrada tem solucoes reais dadas por:

±

√2±√

2

2

Contudo, a unica solucao pertencente a (0; 1) e dada por:

Md =

√2−√

2

2.

Alternativa b.


F (4) = 1⇒ 10a = 1⇒ a =1

10

Assim,

X 1 2 3 4

F(X) 0,1 0,3 0,8 1

donde obtemos

X 1 2 3 4

P(X) 0,1 0,2 0,5 0,2

Portanto, Mo = 3. Alternativa c.


E(X) =

∫ +∞

0

x.2e−2xdx = −e−2x

(x+

1

2

)|∞0 =

1

2.

E(X2) =

∫ +∞

0

x2, 2e−2xdx = −e−2x

(x2 + x+

1

2

)|∞0 =

1

2

Portanto,

σx =

√1

2−(

1

2

)2

=

√1

4=

1

2.

Alternativa c.

Solucao das Questoes Discursivas


A: Saıda de um Rei e B: Saıda de uma carta de copas

70

a) P (A) = 452

= 113

b) P (B) = 1352

= 14

c) P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) = 113

+ 14− 1

52= 4

13

d) P (A−B) = P (A)− P (A ∩B) = 113− 1

52= 3

52

e) P (A) = 1− P (A) = 1− 113

= 1213

f) P (A ∩B) = P (A ∪B) = 1− P (A ∪B) = 1− 413

g) P (A ∪B) = P (A ∩B) = 1− P (A ∩B) = 1− 152

= 5152


A: o subsistema A falha e B: o subsistema B falha

Temos que

P (A) = 20%⇒ P (A) = 80%, P (B − A) = 15% e P (A ∩B) = 15%

a) P (B) = P (B − A) + P (A ∩B) = 0, 15 + 0, 15 = 0, 3

b) P (B − A) = P (A)− P (A ∩B) = 0, 2− 0, 15 = 0, 05

c) P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) = 0, 2 + 0, 3− 0, 15 = 0, 35

d) P (A ∪B) = P (A ∪B) = 1− P (A ∪B) = 1− 0, 35 = 0, 65

e) P (A ∩B) = 1− P (A ∩B) = 1− 0, 15 = 0, 85


V : quadro e verdadeiro, F : o quadro e falso e C: o quadro e identificado corretamente

Temos que

P (V ) = 20%, P (F ) = 80%, P (I|V ) = 90%⇒ P (I|V ) = 10%, P (I|F ) = 15%⇒ P (I|F ) = 85%.

Assim,

P (F |I) =P (F ).P (I|F )

P (F ).P (I|F ) + P (V ).P (I|V )=

0, 8.0, 85

0, 8.0, 85 + 0, 2.0, 1=

34

35≈ 97, 1%.


A: o professor encontra o primeiro sinal vermelho

B: o professor encontra o segundo sinal vermelho

C: o professor encontra o terceiro sinal vermelho

Temos que

P (para no primeiro sinal|parou emsomente umsinal) =

=P (A ∩B ∩ C)

P (A ∩B ∩ C) + P (A ∩B ∩ C) + P (A ∩B ∩ C) =

71

=P (A).P (B).P (C)

P (A).P (B).P (C) + P (A).P (B).P (C) + P (A).P (B).P (C)=

=0, 1.0, 5.0, 5

0, 1.0, 5.0, 5 + 0, 9.0, 5.0, 5 + 0, 9.0, 5.0, 5=

1

19≈ 5, 26%.

Solucao do Exercıcio 49. E facil ver que

P (B|A) =P (B ∩ A)

P (A)=P (B − A)

P (A)=P (B)− P (A ∩B)

P (A)=

=P (B)− (P (A) + P (B)− P (A ∪B))

P (A)=P (B)− (P (A) + P (B)− (1− P (A ∩B)))

P (A)=

=1− P (A)− P (A ∩B)

P (A)=

1− 0, 6− 0, 25

1− 0, 6=

0, 15

0, 4=

3

8= 0, 375.


P (Par) = P (Cara)P (Par|Cara) + P (Coroa)P (Par|Coroa) =2

3.4

9+

1

3.2

5=

58

135≈ 0, 4296.

Solucao do Exercıcio 51. Consideremos os seguintes eventos:

M1: Parafuso produzido por M1



D: parafuso defeituoso

De acordo com o enunciado, temos:

P (M1) = 0, 3.P (M2), P (D|M1) = 0, 03, P (D|M2) = 0, 01,

P (D|M3) = 0, 02 e P (D) = 0, 0165.

Note que

i) P (M1) = 0, 3.P (M2)

ii) P (M1) + P (M2) + P (M3) = 1

iii) P (D) = P (M1).P (D|M1) + P (M2).P (D|M2) + P (M3).P (D|M3)

Resolvendo o sistema acima, obtemos: P (M1) = 0, 15, P (M2) = 0, 5 e P (M3) = 0, 35. Portanto,

Q(M1) = 10000.0, 15 = 1500, Q(M2) = 10000.0, 35 = 5000 e Q(M3) = 10000.0, 35 = 3500.

Solucao do Exercıcio 52. Consideremos os eventos:

A: Joao utiliza o transporte A

B: Joao utiliza o transporte B

C: Joao utiliza o transporte C

72

T : Joao chega atrasado

Temos que

P (T ) = 0, 6, P (T |A) = 0, 8, P (T |B) = 0, 5, P (T |C) = 0, 6,

P (B) = P (C), P (A) + P (B) + P (C) = 1.

a)

P (T ) = P (A).P (T |A) + P (B)P (T |B) + P (C)P (T |C)⇒

⇒ 0, 6 = (1− 2.P (B)).0, 8 + P (B).0, 5 + P (B).0, 6⇒ P (B) = 0, 4

b) P (B ∪ C|T ) = P (B).P (T |B)+P (C).P (T |C)P (T )

= 0,4.0,5+0,4.0,60,6

= 1115≈ 0, 733


A: apto no teste, B: QI baixo M : QI medio, E: QI elevado

De acordo com o enuciado, temos:

P (E) = 0, 3, P (M) = 0, 6, ⇒ P (B) = 0, 1.

P (A|M) = 0, 5, P (A|B) = 0, 2, P (A|E) = 0, 7.

a) Temos que

P (A) = P (E).P (A|E) + P (M).P (A|M) + P (B).P (A|B) =

= 0, 3.0, 7 + 0, 6.0, 5 + 0, 1.0, 2 = 0, 53

b) P (B|A) = P (B).P (A|B)

P (A)= 0,1.0,8

1−0,53= 8

47≈ 0, 170


Q: ter idade superior a 40 anos, A: o segurado sofrer ao menos um acidente no ano

De acordo com os dados, temos:

P (Q) = 0, 6%, P (A|Q) = 0, 05, P (A|Q) = 0, 3.

a) P (A) = P (Q).P (A|Q) + P (Q).P (A|Q) = 0, 6.0, 95 + 0, 4.0.97 = 0, 958

b) P (Q|A) = P (A∩Q)P (A)

= P (Q).P (A|Q)P (A)

= 0,4.0,031−0,958

= 27≈ 0, 286.

c) 1. P (Q ∩Q ∩Q) = 0, 43 = 0, 064

2. P (A ∩ A ∩ A) = 0, 9583 ≈ 0, 879

3. P (Q|A ∩Q|A ∩Q|A) = 0, 2863 ≈ 0, 023

73

Capıtulo 8

Modelos Discretos de Distribuicoes de

Probabilidade

Neste capıtulo apresentaremos alguns dos principais modelos de distribuicoes discretas de

probabilidade.

8.1 Distribuicao de Bernoulli

Trata-se de uma distribuicao de probabilidade adequada aos exeperimentos que apresentam

apenas dois resultados: sucesso ou fracasso.

Definicao 8.1.1. Dizemos que uma v.a. e de Bernoulli se tem distribuicao da forma:

X −→ x1 = 1 (sucesso) x2 = 0 (fracasso)

P (X) −→ p(x1) = p p(x2) = 1− p

Uma v.a. Bernoulli satisfaz as seguintes propriedades:

Media:

µX =1∑0

P (Xi) = 0.(1− p) + 1.p = p

Variancia:

σ2X = E(X2)− µ2

X =

(1∑0

x2iP (xi)

)− µ2

X =(02(1− p) + 12p

)− p2 = p(1− p).

Exemplo 8.1.2. Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma bola dessa urna.

Seja X a v.a. representando o numero de bolas verdes. Calcular E(X) e V ar(X).

Solucao:

Temos que

74

X =

0, −→ 1− p = 3050

= 35

1, −→ p = 2050

= 25

Assim,

E(X) = p =2

5

V ar(X) =2

5.

(1− 2

5

)=

2

5.3

5=

6

25

8.2 Distribuicao Binomial

Trata-se de uma generalizacao da distribuicao de Bernoulli.

Definicao 8.2.1. Suponhamos satisfeitas as seguintes hipoteses:

i) n provas independentes e do mesmo tipo sao realizadas;

ii) cada prova admite somente dois resultados - sucesso e fracasso;

iii) a probabilidade de sucesso em cada prova e p e a de fracasso e 1− p.Seja Y a v.a. que representa o numero de sucessos em n provas. Neste caso, Y = 0, 1, 2, . . . , ..., n.

As provas definidas desta forma recebem o nome de provas de Bernoulli. Temos portanto, a

seguinte funcao de distribuicao de probabilidade

P (Y = y) = Cny · py(1− p)n−y.

Uma v.a. Binomial satisfaz as seguintes propriedades:

Media:µY = nµX = n.p

onde µX e a media de uma v.a. de Bernoulli.

Variancia:

σ2Y = nσ2

X = np(1− p).

Exemplo 8.2.2. Em 100 jogadas de uma moeda, o numero esperado de caras e,

µ = 1001

2= 50

enquanto que o desvio padrao e

σ =√

100 · 0, 5 · 0, 5 = 5.

Veja uma estimativa computacional para este problema no Exemplo 3.5.1.

75

Exemplo 8.2.3. Se 20% das pecas produzidas por uma maquina acusam defeito, determine a

probabilidade de que, em 4 pecas escolhidas ao acaso:

a) exatamente 1 apresente defeito.

b) nao seja verificado nenhum defeito.

c) pelo menos duas pecas sejam defeituosas.

Solucao: Temos que:

a) P (X = 1) = C14 · (0, 2)1 · (0, 8)3 = 0, 4096.

b) P (X = 0) = C04 · (0, 2)0 · (0, 8)4 = 0, 4096.

c) Note que

P (X ≥ 2) = 1− P (X < 2) = 1− (P (X = 0) + P (X = 1)) = 1− 0, 8192 = 0, 1808.

8.3 Distribuicao Multinomial

Esta distribuicao se trata de uma generalizacao da distribuicao Binomial.

Definicao 8.3.1. Suponhamos que os eventos A1, ..., Ak possam ocorrer com probabilidade

p1, p2, ..., pk, com p1 + ... + pk = 1. Se X1, . . . , Xk sao as v.a. indicando, respectivamente, os

numeros de vezes que A1, ..., Ak ocorrem em n provas, de modo que X1 + ...+Xk = n, entao

P (X1 = n1, ..., Xk = nk) =n!

n1!...nk!pn1

1 ...pnkk

.

Uma v.a. Multinomial satisfaz as seguintes propriedades:

Media:

µxi = npi.

Variancia:

σxi = npi(1− pi).

Exemplo 8.3.2. Um dado e lancado 10 vezes. Qual a probabilidade da face 5 aparecer duas

vezes, a face 1 aparecer tres vezes, a face 2 aparecer duas vezes e as demais uma vez?

Solucao: Seja Xi representando o numero de vezes que ocorre a face i. Neste caso,

P (X1 = 3, X2 = 2, X3 = 1, X4 = 1, X5 = 2, X6 = 1) =

=10!

3!2!1!1!2!1!

(1

6

)3(1

6

)2(1

6

)(1

6

)(1

6

)2(1

6

)≈ 0, 0025.

76

Exemplo 8.3.3. O sangue humano foi classificado em 4 tipo: A, O, B, AB. Numa certa

populacao, as probabilidades destes tipos de sangue sao respectivamente: 0, 40; 0, 45; 0, 10 e

0, 05. Qual a probabilidade de que em 5 indivıduos escolhidos ao acaso haja tres do tipo A e

dois do tipo O.

Solucao: Consideremos as v.a. A, O, B e AB definidas de maneira usual. Assim,

P (A = 3, O = 2, B = 0, AB = 0) =5!

3!2!0!0!0, 403.0, 452.0, 100.0, 050 = 0, 1296.

Veja uma simulacao computacional deste problema no Exemplo 2.6.2.

8.4 Distribuicao de Poisson

Agora veremos uma importante distribuicao descoberta e estudada por S. D. Poisson na

primeira metade do seculo XIX. Trata-se de uma distribuicao de probabilidade discreta que se

aplica a ocorrencias de eventos ao longo de uma colecao de intervalos especificados. A v.a. X

representa o numero de ocorrencias do evento nestes intervalos. Estes intervalos podem ser o

tempo, distancia, area, volume ou alguma unidade familiar.

Definicao 8.4.1. Uma v.a. Poisson satisfaz as seguintes propriedades:

Media:µX = λ

Variancia:σ2X = λ.

Seja X uma v.a. discreta que pode tomar os valores 0, 1, 2, ... e cuja funcao de probabilidade e

dada por

P (X = x) =λxe−λ

x!, x = 0, 1, 2, ...

onde λ e uma constante positiva dada.

Os requisitos para se ter uma distribuicao de Poisson sao os seguintes:

i) A v.a. aleatoria x e o numero de ocorrencias de um evento ao longo de algum intervalo.

ii) As ocorrencias devem ser aleatorias.

iii) As ocorrencias devem ser independentes uma da outra.

iv) As ocorrencias devem ser uniformemente distribuıdas 4 sobre o intervalo em uso.

4Veja a Distribuicao Uniforme na proxima aula. Em suma, equivale a dizer que eventos terao mesma

probabilidade de ocorrencia caso o subintervalo ou colecao de subintervalos (de tamanho finito) em que

estao inseridos tenham o mesmo comprimento. O comprimento de uma colecao de intervalos e dado pela soma

dos comprimentos de todos os intervalos

77

Exemplo 8.4.2. Se a probabilidade de um indivıduo acusar reacao negativa a injecao de

determinado soro e 0, 001. Sabendo tratar-se de uma v.a. de Poisson, determine a probabilidade

de que, em 2000 indivıduos:

a) exatamente 3 acusem reacao negativa.

b) mais de dois acusarem reacao negativa.

Solucao: Temos que λ = 2000 · 0, 001 = 2. Assim,

a) P (X = 3) = 23e−2

3!≈ 0, 180

b) P (X > 2) = 1 − (P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)) = 1 −(

20e−2

0!+ 21e−2

1!+ 22e−2

2!

)=

1− 5e−2 ≈ 0, 323.

8.5 Exercıcios

Exercıcio 55. Determine a probabilidade de que, em 5 jogadas de um dado, apareca 3 ao

menos duas vezes.

Exercıcio 56. Em uma famılia de 4 filhos, determine a probabilidade de termos ao menos uma

menina e um menino. (Admita igual a 0, 5 a probabilidade de nascimento de cada sexo)

Exercıcio 57. Uma caixa contem 5 bolas vermelhas, 4 brancas e 3 azuis. Extrai-se uma bola

ao acaso, anota-se a cor, repondo-se em seguida a bola na caixa. Determine a probabilidade de

que, de 6 bolas assim escolhidas, 3 sejam vermelhas, 2 sejam brancas e 1 seja azul.

Exercıcio 58. Dez por cento das pecas produzidas por certo processo de fabricacao acusam

defeitos. Determine a probabilidade de que, em uma amostra aleatoria de 10 pecas, exatamente

2 sejam defeituosas. Assuma tratar-se de uma v.a. de Poisson.


Solucao do Exercıcio 55. Trata-se de uma distribuicao binomial com p = 16

(probabilidade

de aparecer face 3). Logo,

P (X ≥ 2) = 1− P (X < 2) = 1− (P (X = 1) + P (X = 0)) =

= 1−

(C5

0

(1

6

)0(5

6

)5

+ C51

(1

6

)1(5

6

)4)≈ 0, 1962

Solucao do Exercıcio 56. Temos que se trata de uma v.a. binomial com p = 0, 5 (proba-

bilidade de se ter menina). Neste caso, a v.a. denotando o numero de meninas nao pode ser

78

mınima (0) nem maxima (4) pois devemos ter pelo menos uma crianca de cada sexo.

P (X 6= 0; 4) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) =

= C410, 510, 53 + C4

20, 520, 52 + C430, 530, 51 = 0, 54(4 + 6 + 4) =

7

8.

Solucao do Exercıcio 57. Sejam V , B e A os eventos consistindo da saıda de bolas vermelhas,

brancas e azuis respectivamente. Temos que trata-se de uma v.a.a multinomial. Assim,

P (V = 3;B = 2;A = 1) =6!

3!2!1!

(5

12

)3(4

12

)2(3

12

)1

≈ 0, 1206.

Solucao do Exercıcio 58. Temos que trata-se de uma v.a. de Poisson com λ = 1 (equivalente

a 10% de 10). Logo,

P (X = 2) =12e−1

2!≈ 0, 1839.

8.7 No Computador

O software STATDISK e bastante util quando trabalhamos com distribuicoes discretas de

probabilidades. Vejamos algumas das distribuicoes diponıveis. O STATDISK e uma ferramenta

que acompanha Triola Series Statistics Textbooks.

8.7.1 Distribuicao Binomial no STATDISK

Dada uma distribuicao Binomial com parametro (n, p) o STATDISK apresenta nao so a

media mas tambem exibe na tela os valores p(0), p(1), ..., p(n).

Exemplo 8.7.1. Certo produto tem uma taxa de reconhecimento de marca de 70% ao redor

do mundo. Supondo que selecionemos aleatoriamente 10 pessoas, determine a probabilidade de

mais que 4 pessoas reconhecam a marca.

Solucao: Com base na Figura 8.1, temos:

P (X > 4) = 1− P (X ≤ 4) = 1− F (4) = 1− 0, 0473490 = 0, 952651.

79

Figura 8.1: Reconhecimento de marca - STATDISK

Passos: i) Clique em Analysis; ii) Clique em Probability Distributions; iii) Clique em

Binomial Distribution; iv) Insira os parametros n e p.

8.7.2 Distribuicao de Poisson no STATDISK

O STATDISK tambem da distribuicao de Poisson. Analogamente a distribuicao anterior,

temos os parametros, media, variancia e desvio-padrao exibidos na tela.

Exemplo 8.7.2. Suponha que 400 erros de impressao distribuıdos aleatoriamente em um livro

de 500 paginas. Encontre a probabilidade de que uma dada pagina nao contenha erros.

Solucao: Inserindo λ = 400500

= 0, 8 no STATDISK, temos:

Observando a Figura 8.2, temos que P (0) = 0, 44933

80

Figura 8.2: Erros de impressao - STATDISK

Passos: i) Clique em Analysis; ii) Clique em Probability Distributions; iii) Clique em

Poisson Distribution; iv) Insira o parametro λ.

81

Capıtulo 9

Modelos Contınuos de Distribuicoes de

Probabilidade

Nesta secao trataremos de alguns modelos de distribuicao contınuas de probabilidade, a

Distribuicao Uniforme e a Distribuicao Exponencial.

9.1 Distribuicao Uniforme

Definicao 9.1.1. Uma v.a. X e chamada uniforme sobre um intervalo aberto (a, b) se sua fdp

e dada por

fX(x) =

1b−a , a < x < b

0, do contrario

Sua fcd e dada por

FX(x) =

0, x ≤ a

x−ab−a , a < x < b

1, x ≥ b

A media e a variancia de uma v.a. X, uniforme sobre um intervalo aberto (a, b), sao dadas

por:

Media:

µx =a+ b

2

Variancia:

σX2 =

(b− a)2

12

82

Exemplo 9.1.2. Considere a v.a. contınua X denotando o peso (em libras) de pacotes numa

agencia dos correios. A faixa de peso de pacotes esta distribuıda unifomemente entre 45 e 60

libras.

a) Encontre a fcd.

b) Determine a probabilidade de que um pacote pese mais que 50 libras;

c) Encontre a media e o desvio padrao do peso dos pacotes.

Solucao:

a) A fcd de X e dada por

FX(x) =

0, x ≤ 45

x−4515

, 45 < x < 60

1, x ≥ 60

b)

P (X > 50) = 1− P (X ≤ 50) = 1− FX(50) = 1− 50− 45

15=

2

3

c)

µX = E(X) =45 + 60

2= 52, 5⇒ σX =

√V ar(X) =

√(60− 45)2

12=√

18, 75 = 4, 33 libras

9.2 Distribuicao Exponencial

Definicao 9.2.1. Uma v.a. X e chamada exponencial com parametro λ > 0 se sua fdp e dada

por

fX(x) =

λe−λx, x ≥ 0

0, x < 0

A fcd correspondente e dada por

FX(x) =

1− e−λx, x ≥ 0

0, x < 0

A media e a variancia de uma v.a. exponencial X sao dadas por:

Media

µX =1

λ

Variancia:

σX2 =

1

λ2

83

Exemplo 9.2.2. Assuma que a duracao de uma chamada telefonica (em minutos) e uma v.a.

exponencial X com media µ = 10min. Se alguem chega a uma cabine telefonica pouco antes

de voce chegar.

a) Determine a probabilidade de que voce tenha que esperar por menos de 5 minutos;

b) Determine a probabilidade de que voce tenha que esperar entre 5 e 10 minutos.

Solucao:

a) A fcd da v.a. X e dada por

fX(x) =

110e−x/10, x > 0

0, x < 0

P (X < 5) =

∫ 5

0

1

10e−x/10dx = −e−x/10 |50= 1− e−0,5 ≈ 0.393

b)

P (5 < X < 10) =

∫ 10

5

1

10e−x/10dx = −e−x/10 |10

5 = e−0,5 − e−1 ≈ 0, 239

Exemplo 9.2.3. Os defeitos em um fio seguem a distribuicao de Poisson com media de um

defeito para cada 100 metros. Qual a probabilidade de que o intervalo entre dois defeitos

consecutivos seja de no mınimo 250 metros.

Solucao: Temos que

λ =1

µ=

1

100

Assim,

P (X ≥ 250) = 1− P (X < 250) = 1− (1− e−250100 ) = e−2,5 ≈ 0, 0821.

9.3 Exercıcios

Exercıcio 59. Seja X distribuıda uniformemente em [−2, 2]. Determine:

a) P (X < 1), b) P(|X − 1| ≥ 1

2

)Exercıcio 60. Mostre que

µX =a+ b

2e σ2

X =(b− a)2

12,

em que X e uma v.a. sobre o intervalo [a, b].

Exercıcio 61. Uma peca de computador tem duracao dada por uma distribuicao exponencial

com parametro λ = 11000

. Determine a probabilidade de que uma destas pecas apresente defeito

antes de 1000 horas de uso.

84


Solucao do Exercıcio 59. Antes de mais nada:

fX(x) =

14, −2 ≤ x ≤ 2

0, do cont.FX(x) =

0 x < −2

x+24, −2 ≤ x ≤ 2

1, x > 2.

a) Temos que

P (X < 1) = F (1) =1 + 2

4=

3

4.

b) Temos que

P

(|X − 1| ≥ 1

2

)= P

(X − 1 < −1

2ouX − 1 >

1

2

)= P

(X <

1

2ouX >

3

2

)=

= P

(X <

1

2

)+ P

(X >

3

2

)= F

(1

2

)+ 1− F

(3

2

)=

12

+ 2

4+ 1−

32

+ 2

4=

5

8+ 1− 7

8=

3

4.


µX =

∫ ∞−∞

xfX(x)dx =

∫ b

a

x1

b− adx =

x2

2(b− a)|ba =

b2 − a2

2(a− b)=

(b+ a)(b− a)

2(b− a)=a+ b

2.

Seguindo, temos

E(X2) =

∫ b

a

x2 1

b− adx =

x3

3(b− a)|ba =

a3 − b3

3(b− a).

Para finalizar, temos

σ2X = E(X2)− (E(X))2 =

a3 − b3

3(b− a)−(a+ b

2

)2

=(b− a)(a2 + ab+ b2)

3(a− b)+

(a+ b)2

4=

=a2 − ab+ b2

3−a

2 + 2ab+ b2

4=

4a2 + 4ab+ 4b2 − 3a2 − 6ab− 3b2

12=a2 − 2ab+ b2

12=

(b− a)2

12

Solucao do Exercıcio 61. Antes de mais nada, temos:

FX(x) =

0 x < 0

1− e− 11000

x x ≥ 0

Logo,

P (X < 1000) = 1− e−1

1000.1000 = 1− e−1 ≈ 0, 6321.

85

9.5 No Computador

Apresentaremos a seguir a resolucao de alguns problemas usando simulacoes computa-

cionais. As simulacoes sao formas aproximadas de obtermos os parametros, media, variancia

etc. Para os calculos exatos basta-nos apenas um bom programa para o caculo de integrais. O

Winplot e um bom software neste caso, pois alem de esbocar o grafico nos fornece os valores

de probabilidades. Veja o Exemplo 4.4.2.

9.5.1 Simulacao Computacional de Uma Distribuicao Uniforme

O Octave dispoe, como ja foi dito, do comando ”rand”capaz de gerar numeros aleatorios

no intervalo (0, 1), de tal sorte que estes numeros estarao distribuıdos de maneira uniforme.

Vejamos como determinar a media e a variancia da v.a. definida no Exemplo 9.1.2.

Exemplo 9.5.1. Encontre a media e a variancia da v.a. definida no Exemplo 9.1.2

Solucao: Temos a seguinte rotina em Octave:

Figura 9.1: Rotina em Octave - Distribuicao Uniforme

86

Em particular, com 1000000 de iteracoes obtemos:

Figura 9.2: Simulacao com 1000000 de realizacoes - Peso e Variancia de Pacotes dos Correios

Note que os valores encontrados estao muito proximos dos valores exatos!

9.5.2 Simulacao Computacional da Distribuicao Exponencial

Assim como feito para a distribuicao uniforme no Octave, podemos gerar numeros aleatorios

de maneira que tenhamos uma distribuicao exponencial. Isso e feito por meio do comando

”exprnd(λ)”com λ conforme definido anteriormente.

Exemplo 9.5.2. Estime a solucao do item a) do Exemplo 9.2.2.

Solucao: Temos a seguinte rontina em Octave:

Em particular, em 100000 realizacoes obtemos:

87

Figura 9.3: Rotina em Octave - Distribuicao Exponencial

Figura 9.4: Simulacao com 100000 de realizacoes - Tempo de Permanencia em Cabine Telefonica

88

Capıtulo 10

Distribuicao Normal

10.1 Distribuicao Normal de Gauss

Nesta parte abordaremos a distribuicao Normal de Gauss, considerada a distribuicao mais

importante da probabilidade cuja aplicabilidade engloba uma serie de fenomenos.

Definicao 10.1.1. Seja X uma v.a. contınua. Dizemos que X tem distribuicao normal se sua

fdp e dada por:

f(x) =1

σ√

2πe−

12(x−µσ )

2

, −∞ < x <∞

Seu grafico e dado por:

Figura 10.1: Distribuicao Normal

O trabalho com a distribuicao normal de Gaus apresenta certa dificuldades o que se deve a

dificuldade em se calcular o valor da integral

P (a < x < b) =

∫ b

a

f(x)dx =

∫ b

a

1

σ√

2πe−

12(x−µσ )

2

dx,

que e sabido nao possuir uma forma fechada, sendo, em geral resolvidas por meio de series.

89

10.2 Distribuicao Normal Padrao

Seja Z uma v.a. tal que:

Zi =Xi − µσ

em que X e uma v.a. normal com media µ e variancia σ2. Temos que

E(Z) = E

(X − µσ

)=

1

σE(X − µ) =

E(X)− E(X)

σ= 0

V ar(Z) = V ar

(X − µσ

)=

1

σ2V ar(X − µ) =

V ar(X)

σ2= 1

Note que

Zi =Xi − µσ

⇒ dz =1

σdx

donde obtemos a seguinte mudanca de variavel:

ϕ(z) =1√2πe−

12z2

A funcao ϕ recebe o nome de distribuicao normal padrao. Seu grafico e dado por:

Figura 10.2: Distribuicao Normal Padrao

A funcao ϕ apresenta as seguintes propriedades:

i) ϕ(z) e simetrica em relacao a origem. ii) ϕ(z) possui um maximo em z = 0. Neste caso,

ϕ(z = 0) = 0, 39.

iii) ϕ(z) possui uma assıntota horizontal, isto e,

limz−→±∞ϕ(z) = 0.

iv) Possui inflexoes em z = −1 e z = 1.

90

Figura 10.3: Probabilidade a Direita P (0 < z < z1).

Figura 10.4: P (z1 < z < 0) e P (z1 < z < z2).

10.3 Uso da Tabela de Distribuicao Normal Padrao

Agora veremos como calcular as probabilidades sub a curva normal por meio da utilizacao

da tabela de Faixa Central Direita 10.10 associada a distribuicao normal padrao. Ela oferece a

area sob a curva normal padrao entre z = 0 e qualquer valor positivo z1, isto e,

Usando a simetria da distribuicao normal padrao podemos calcular probabilidades como

Exemplo 10.3.1. Determine as probabilidades:

a) P (0 < z < 1)

b) P (−2, 55 < z < 1, 2)

c) P (z > 1, 93)

Solucao: Em cada situacao precisamos de um desenho para facilitar. Depois utilizamos a Tabela

10.10.

a)

Figura 10.5: Esquema referente ao item a)

Para se obter a probabilidade basta tomarmos os valores correspondentes a abscissa de z na

Tabela 10.10 (valores a esquerda da origem recebem sinal negativo). Assim, temos

P (0 < z < 1) = 0, 34134

b) Analogamente,

91

Figura 10.6: Esquema referente ao item b)

P (−2, 55 < z < 1, 2) = P (−2, 55 < z < 0) + P (0 < z < 1, 2) =

= P (0 < z < 2, 55) + P (0 < z < 1, 2) = 0, 49461 + 0, 38493 = 0, 87954

c) Analogamente,

Figura 10.7: Esquema referente ao item c)

P (z > 1, 93) = 0, 5− P (0 < z < 1, 93) = 0, 5− 0, 4732 = 0, 0268.

Exemplo 10.3.2. Os pesos de alunos de uma determinada escola sao normalmente distribuıdas

com media 48, 0 kg e desvio padrao 7, 3 kg. Determine a probabilidade de um aluno medir:

a) entre 40, 0 e 60, 0 kg.

b) menos que 30, 0 ou mais que 65, 0 kg.

Solucao:

a) Inicialmente devemos transferir o problema para a forma padrao µz = 0 e σz = 1. Isto e,

z1 =X − µσ

=40, 0− 48, 0

7, 3= −1, 10

z2 =X − µσ

=60, 0− 48, 0

7, 3= 1, 64

Assim,

P (40 < x < 60) = P (−1, 10 < z < 1, 64) = P (−1, 10 < z < 0) + P (0 < z < 1, 64) =

= P (0 < z < 1, 10) + P (0 < z < 1, 64) = 0, 36433 + 0, 44950 = 0, 81383

b) Analogamente (faca o desenho e as contas), temos

P (x < 30, 0 ou x > 65, 0) = P (z < −2, 47 ou z > 2, 33) = P (z < −2, 47) + P (z > 2, 33) =

92

= (0, 5−P (0 < z < 2, 47))+(0, 5−P (0 < z < 2, 33)) = 1−P (0 < z < 2, 47)−P (0 < z < 2, 33) =

= 1− 0, 49324− 0, 4901 = 0, 01666

10.4 Teorema do Limite Central

Estudaremos um importante teorema da estatıstica conhecido como o Teorema do Limite

Central. Ele servira de base para os assuntos estudados posteriormente como dimensionamento

populacional, intervalos de confianca e testes de hipotese. Em palavras, temos:

Teorema 10.4.1. Para uma populacao com qualquer distribuicao, a distribuicao das medias

amostrais se aproxima de uma distribuicao normal, a medida que o tamanho amostral au-

menta. Alem disso, se a populacao original tem media µ e desvio-padrao σ, a media das medias

amostrais sera tambem µ, e o desvio-padrao das medias sera igual a σ√n, onde n e o tamanho

amostral.

Alguns princıpios norteiam o uso do resultado acima:

1. Para uma populacao com distribuicao qualquer, se n > 30, entao as medias amostrais tem

uma distribuicao que pode ser aproximada por uma distribuicao normal com media µ e desvio-

padrao σ√n;

2. Se n ≤ 30 e a populacao original tem uma distribuicao normal, entao as medias amostrais

tem uma distribuicao normal com media µ e desvio-padrao σ√n;

3. Se n ≤ 30, mas a populacao original nao tem distribuicao normal, entao os metodos vistos

posteriormente nao se aplicam.

10.5 Exercıcios

Exercıcio 62. Seja z uma v.a. com distribuicao normal padronizada. Determine:

a) P (−1, 48 < z < 2, 05)

b) P (z > 1, 08)

c) P (|z| < 0, 5)

d) P (|z| > 0, 3)

Exercıcio 63. A duracao de um certo componente eletronico tem media 850 horas e desvio-

padrao 45 horas. Supondo tratar-se de uma distribuicao normal, determine:

a) a probabilidade de uma peca durar menos que 750 horas.

b) a duracao de tal forma que este componente apresente uma probabilidade de defeito inferior

93

a 10%. (Dica: Uma margem de defeito baixa esta ligada a uma duracao baixa.)

c) o mesmo que o anterior, porem, com uma probabilidade de defeito inferior a 1%.


Solucao do Exercıcio 62. Faca os desenhos das respectivas regioes de probabilidade:

a) Temos que

P (−1, 48 < z < 2, 05) = P (0 < z < 1, 48) + P (0 < z < 2, 05) = 0, 43056 + 0, 47982 = 0, 91038.

b) Temos que

P (z > 1, 08) = 1− P (z < 1, 08) = 1− (0, 5 + P (0 < z < 1, 08) = 0, 5− 0, 35993 = 0, 14007.

c) Temos que

P (|z| < 0, 5) = P (−0, 5 < z < 0, 5) = 2P (0 < z < 0, 5) = 2× 0, 19146 = 0, 38292.

d) Temos que

P (|z| > 0, 3) = 1− P (|z| < 0, 3) = 1− 2P (0 < z < 0, 3) = 1− 2× 0, 11791 = 0, 76418.


P (X < 750) = P

(z <

750− 850

45

)= P (z < −2, 22) =

= 0, 5− P (0 < z < 2, 22) = 0, 5− 0, 48679 = 0, 01321.

b) Observando na tabela, temos

P (z < z1) = 0, 1⇒ P (z1 < z < 0) = 0, 5− 0, 1 = 0, 4⇒ z1 = −1, 28.

Logo,

−1, 28 =x− 850

45⇒ x = 792, 4horas.

c) Analogamente ao item anterior, temos

z1 = −2, 32⇒ −2, 32 =x− 850

45⇒ x = 745, 6horas.

94

10.7 No Computador

O software STATDISK e bastante util no estudo de distribuicoes normais. Ele apresenta

as diversas medidas ja calculadas.

Exemplo 10.7.1. Resolva o item a) do Exercıcio 62.

Solucao: Observe que nos sao fornecidos dados provenientes da funcao cumulativa, isto e,

P (Z ≤ z) (veja a parte correspondente a ”Left”). Assim, a obtecao final do valor procurado

pode ser feita da seguinte forma:

P (−1, 48 < Z < 2, 05) = F (2, 05)left − F (−1, 48)left = 0, 979818− 0, 069437 = 0, 910381.

Passos: i) Click em Analysis; ii) Click em Probability Distributions; iii) Click em Normal

Distribution; iv) Insira o valor da abscissa z.

10.8 Simulacao Computacional Referente ao Teorema do

Limite Central

Vejamos, com o auxılio do computador, uma simulacao referente ao Teorema do Limite

Central. Usaremos o octave para gerar m sequencias de tamanho n segundo uma distribuicao

dada e posteriormente analisaremos se a distribuicao de medias de tais sequencias e normal e

possui a mesma media da distribuicao original.

Exemplo 10.8.1. Simulemos a distribuicao de medias em n lancamentos de uma moeda hon-

esta. A rotina a seguir alem de simular faz a contagem de em quantos porcento das vezes

tivemos media x tal que

i) x ∈ (µ− σ;µ+ σ);

ii) x ∈ (µ− 2σ;µ+ 2σ);

iii) x ∈ (µ− 3σ;µ+ 3σ).

Ao final, apresentamos 1000 realizacoes de 100 lancamentos cada obtivemos, respectivamente,

para os itens i), ii) e iii) os valores 0, 633, 0, 94 e 0, 993 que sao bastante proximos dos valores

emprıricos 0, 68268, 0, 9545 e 0, 9973.

95

Figura 10.8: Tabela de valores da distribuicao normal de faixa a direita.

96

Figura 10.9: 1000 simulacoes de 100 lancamentos de uma moeda.

98

Figura 10.10: Tabela de valores da distribuicao Normal de faixa unilateral direita.

99

Capıtulo 11

Elementos Basicos da Estatıstica

11.1 Precisao e Arredondamento

Nesta parte, supoe-se, que as medidas utilizadas para os calculos sao valores laboratoriais,

isto e, valores cuja escrita deve levar em conta o grau de precisao de sua medida.

Exemplo 11.1.1. Os valores obtidos em laboratorio, referentes ao comprimento de certa haste

metalica foram precisamente:

medida1 = 12, 400m e medida2 = 12, 4000m

Observando superficialmente o Exemplo 11.1.1, nao parece haver qualquer diferenca entre

as mediadas 12, 400m e 12, 4000m . Contudo, as reescrevendo de maneira conveniente, temos:

medida1 = 1240, 0 cm e medida2 = 12400, 0mm

Esta forma de escrever nos indica nao so algarismo duvidoso (o unico a direita da vırgula),

mas tambem a precisao do instrumento. Na primeira medida, o instrumento utilizado foi uma

regua centimentrada, enquanto que na segunda medida percebemos a utilizacao de uma regua

milimetrada. Mais especificamente, temos que a medida1 tem 5 algarismos significativos e a

medida2 tem 6 algarismos significativos.

Ao realizarmos algumas operacoes com medidas devemos ter bastante cuidado a fim de nao

aumentarmos (ou diminuirmos) a precisao de uma medida de maneira incorreta. Contudo,

recomenda-se arredondamentos somente em respostas finais e nao em calculos in-

termediarios.

Exemplo 11.1.2. Por exemplo, um terco de 20, 3mm nao pode ser escrito como 6, 76666666mm

(admitindo ser a resposta final de um problema), mas sim como 6, 8mm. Somos tentandos a

escrever, digamos, da seguinte maneira 6, 77mm para termos maior precisao (aparente).

100

Outro cuidado importante e quando estamos trabalhando com medidas vindas de instru-

mentos com precisao diferente. Devemos sempre fornecer as respostas finais com tantos

algarismos significativos quanto for o numero de algarismo significativos da medida

mais imprecisa.

Exemplo 11.1.3. Determine o comprimento de um fio de cobre composto de duas partes cujas

medidas sao:100, 2 cm e 2000, 3mm

Solucao: Antes de tudo, devemos ajustar as medidas para uma mesma unidade, digamos cm.

Assim, temos100, 2 cm e 200, 03 cm

Somando as medidas temos:

100, 2 cm+ 200, 03 cm = 300, 23 cm

Contudo, a resposta final deve ser dada em cm visto que esta veio do instrumento de pior

precisao, isto e, 300, 2 cm.

Observacao 11.1.4. Na maioria dos casos, evita-se arredondamentos que nao sejam nas re-

spostas finais de um problema. Arredondamentos em cada etapa podem provocar grandes

discrepancias nos valores finais.

11.2 Populacao, Amostra e Representatividade

A seguir apresentaremos dois dos conceitos mais importantes para os estudos que se

seguirao.

Definicao 11.2.1. Definimos populacao como sendo o conjunto de indivıduos ou objetos que

apresentam pelo menos uma caracterıstica comum (a ser estudada).

Uma populacao pode ser considerada finita ou infinita. Na pratica, quando uma populacao

e finita, com um grande numero de elementos, considera-se-a como uma populacao infinita.

Definicao 11.2.2. Chama-se amostra um subconjunto de uma populacao, que mesmo tendo

tamanho reduzido, seja capaz de representa-la.

A capacidade de uma amostra em representar uma populacao e chamada de representatividade.

Uma amostra representativa nos permite inferir, de maneira mais rapida e barata caracterısticas

populacionais. Pesquisas nas quais toda uma populacao e avaliada estatisticamente recebem o

nome de censo. Contudo a realizacao de censos esbarra em problemas como: grandes gastos

101

(pesquisa de intencao de votos para a presidencia do Brasil), dificuldades na obtencao de dados

referentes a certos elementos da populacao (realizar uma pesquisa em todas as favelas domi-

nadas pelo trafico) etc. Uma analogia interessante, por exemplo, seria um exame de sangue.

Uma simples amostra de, digamos 5ml, nos permite detectar varias doencas em um paciente.

Imagine ter que tirar todo o sangue para analisa-lo. Em capıtulos posteriores veremos alguns

cuidados na obtencao de amostras representativas como sua dimensao e composicao.

Exemplo 11.2.3. Por exemplo, perguntar para os familiares e amigos de uma candidato a

prefeito, em quem irao votar, com a finalidade de saber quem ganhara as eleicoes na cidade.

Obviamente ja sabemos a resposta (ou temos ideia) e nada nos garante que ela represente as

intecoes de toda a cidade, mesmo que o tamanho da amostra/famılia seja grande/adequado!

Trata-se, portanto, de uma amostra viciada e provavelmente nao representativa.

11.3 Distribuicao de Frequencia

Em estatıstica, uma distribuicao de frequencia e um arranjo, em forma de tabela, dos

valores que uma ou mais variaveis assumem em uma amostra. Cada entrada na tabela contem

a frequencia, ou a contagem de ocorrencias de valores em um grupo ou intervalo especıfico.

Deste modo, a tabela de distribuicao apresenta uma resumo de todas as informacoes.

A seguir veremos os elementos necessarios para a construcao de uma distribuicao de frequencia.

Trabalharemos com um exemplo padrao (e mais outros exemplos) a fim de apresentarmos um

estudo mais completo de uma determinada situacao.

I. Dados Brutos: E o conjunto dos dados numericos obtidos apos a crıtica dos valores cole-

tados.

Exemplo 11.3.1. PADRAO: Consideremos as medidas referente ao peso (massa em kg) de 30

integrantes, do sexo masculino, de uma mesma famılia com idades variando de 50 a 70 anos.

65, 2 59, 2 51, 9 54, 7 70, 2 48, 5

69, 3 57, 4 58, 0 47, 0 55, 4 63, 2

62, 4 63, 2 49, 7 70, 4 78, 9 78, 4

64, 4 69, 9 77, 3 61, 2 61, 2 60, 4

63, 2 59, 9 61, 8 67, 5 51, 4 63, 2

II. Rol: E o arranjo dos dados brutos em ordem crescente ou decrescente.

102

47, 0 48, 5 49, 7 51, 4 51, 9 54, 7

55, 4 57, 4 58, 0 59, 2 59, 9 60, 4

61, 2 61, 2 61, 8 62, 4 63, 2 63, 2

63, 2 63, 2 64, 4 65, 2 67, 5 69, 3

69, 9 70, 2 70, 4 77, 3 78, 4 78, 9

III. Amplitude Total ou ”Range”(R): E a diferenca entre o maior e o menor valor obser-

vados.

No exemplo, temos R = 78, 9− 47, 0 = 31, 9 kg

IV. Frequencia Absoluta (fi): E o arranjo dos valores e suas respectivas frequencias.

A distribuicao de frequencias para o exemplo sera:

Xi fi

47, 0 1

48, 5 1...

...

63, 2 4...

...

78, 9 1∑30

Contudo, sendo a v.a. em questao contınua, devemos representa-la com dados organizados em

classes da forma a ` b, isto e, classes contendo valores maiores ou iguais a a (limite inferior da

classe) e menores que b (limite superior classe). Alem disso, esta forma de organizar os dados

se mostrara bastante util nos casos em que o numero de elementos e muito grande.

V. Numero de Classes (K): Usaremos a formula de Sturges

K = [1 + 3, 22log(n)],

em que n e o tamanho da amostra e “[A]”e o menor inteiro maior que A.

K = [1 + 3, 22log(30)] = 6

VI. Amplitude das Classes (h): E o Tamanho das classes h = b− a.

h = [[R/K]],

em que [[A]] e a menor unidade inteira de medida (precisao) maior ou igual a A.

h = [[31, 9/6]] = [[5, 316666...]] = 5, 4

103

VII. As Classes a ` b: Comeca-se pelo menor elemento da amostra e ate que se tenha

exatamente K classes.

Peso (kg) Quantidade

47, 0 ` 52, 4 5

52, 4 ` 57, 8 3

57, 8 ` 63, 2 8

63, 2 ` 68, 6 7

68, 6 ` 74, 0 4

74, 0 ` 79, 4 3∑30

Observacao 11.3.2. As regras para a construcao de uma tabela de distribuicao de frequencias

nao sao de todo rıgidas. Em alguns casos pode ser utilizada uma outra regra de construcao

diferente da apresentada neste material. Ainda e possıvel que nao se utilize uma regra especıfica

para determinacao do numero de linhas e/ou amplitude de classes. Contudo, isso pode gerar

erros em calculos futuros com base nos valores tabelados. Se o objetivo e uma analise superficial

ou mera exposicao da amostra, sem maiores pretensoes, nao ha problemas. Por exemplo,

poderıamos ter exposto os dados referentes a situacao anterior comecando de 45(≈47, 0) e usando h = 6, 0(≈ 5, 4).


45, 0 ` 51, 0 3

51, 0 ` 57, 0 4

57, 0 ` 63, 0 9

63, 0 ` 69, 0 7

69, 0 ` 75, 0 4

75, 0 ` 81, 0 3∑30

11.4 Exercıcios

Exercıcio 64. As alturas, em metros, de 35 alunos de uma turma de educacao fısica sao dadas

a seguir:

104

1, 451 1, 462 1, 482 1, 499 1, 523 1, 524

1, 535 1, 545 1, 559 1, 572 1, 600 1, 600

1, 630 1, 654 1, 667 1, 690 1, 720 1, 734

1, 734 1, 735 1, 740 1, 741 1, 742 1, 750

1, 755 1, 762 1, 773 1, 793 1, 799 1, 820

1, 833 1, 841 1, 913 1, 920 1, 950

a) Determine a precisao do instrumento utilizado na medicao.

b) Construa uma tabela de distribuicao de frequencia com dados agrupados em classes.

Exercıcio 65. O consumo, em kWh, de uma residencia ao longo de 42 meses e mostrado a

seguir:

130, 0 130, 1 131, 3 131, 4 132, 2 132, 3

132, 3 135, 4 135, 5 135, 7 135, 9 135, 9

136, 4 137, 0 137, 0 137, 8 138, 0 138, 9

141, 0 141, 2 142, 3 142, 3 145, 7 149, 1

150, 3 152, 0 152, 8 153, 4 154, 5 158, 4

158, 5 159, 8 160, 1 160, 1 165, 2 166, 1

169, 8 169, 9 170, 6 171, 4 171, 5 172, 0

Construa uma tabela de distribuicao de frequencia com dados agrupados em classes.


Solucao do Exercıcio 64. a) Tomando uma das medidas qualquer, temos

1, 451m = 145, 1 cm

Portanto, o instrumento de medicao utilizado foi uma regua com escala em cm.

b) Temos que

R = 1, 950− 1, 451 = 0, 499, K = [1 + 3, 22log(35)] = [5, 971899103] = 6

h = [[0, 499/6]] = [[0, 0831666...]] = 0, 084

105

Assim,

Altura (cm) Quantidade

145, 1 ` 153, 5 6

153, 5 ` 161, 9 6

161, 9 ` 170, 3 4

170, 3 ` 178, 7 11

178, 7 ` 187, 1 5

187, 1 ` 195, 5 3∑35


R = 172, 0− 130, 0 = 42, 0, K = [1 + 3, 22log(42)]] = [6, 226862715] = 7

h = [42, 0/7] = 6

Assim,

Consumo (kWh) Quantidade

130, 0 ` 136, 0 12

136, 0 ` 142, 0 8

142, 0 ` 148, 0 3

148, 0 ` 154, 0 5

154, 0 ` 160, 0 4

160, 0 ` 166, 0 3

166, 0 ` 172, 0 7∑42

Note que o valor 172, 0 foi contado na ultima classe. Na verdade isso sempre devera ocorrer

quando a obtencao de h nao necessitar de qualquer aproximacao para cima.

11.6 No Computador

Uma das coisas que mais demandam tempo antes da construcao de uma tabela estatıstica

e a arrumacao dos dados em um rol (o que facilita sua posterior contagem e evita enganos). O

software Excel apresenta uma forma bastante simples de organizarmos um rol a partir de dados

brutos. Alem disso apresentaremos os passos para uma distribuicao de frequencia usando o

Excel.

106

Exemplo 11.6.1. Os dados a seguir representam as idades de 26 alunos de um curso tecnico.

18 25 22 23 27 24 25 26 24 25 42 32 28

28 27 29 25 25 24 23 27 23 28 38 35 22

Apresente o rol e uma tabela de distribuicao de frequencia com dados agrupados em classes.

Solucao: A Figura 11.1 mostra tudo que foi solicitado.

Rol

Passos: i) Nomeie a primeira coluna (A) como Ordem e insira, a partir da celula A2, um

inteiro para cada elemento da elemento da amostra, isto e, comece de 1 e termine no numero

total de dados brutos; ii) Nomeie a segunda coluna (B) como Dados Brutos e insira os

dados brutos; iii) Nomeie a terceira coluna (C) como Rol e na sua segunda celula insira

”= MENOR($B$2 : $B$27;A2)”e depois arraste, para baixo, ate que a quantidade de celulas

seja igual ao numero de elementos;

Calculos Auxiliares

Passos: iv) Na celula E3, coloque o valor da amplitude; v) Na celula F3 coloque o seguinte

comando ”= 1+3, 22∗LOG10(26)”; vi) Na celula F5 coloque a formula ”= INT (F3)+1”(nao

usar se F3 for inteiro); vii) Na celula G3 coloque a formula ”= E3/F5”; viii) Na celula G5

coloque a formula ”= INT (G3) + 1”(nao usar se G3 for inteiro).

Tabela

Passos: ix) Mescle as celulas I1, J1K1 e escreva o tıtulo da classe Idade; x) Na celula I2

insira valor do menor dado observado; xi) Na celula K2 insira a formula ”= I2+$G$5”e arrate

ate a celula K7; xii) Na celula I3 insira a formula ”= K2”e arraste ate a celula I7; xiii) Na

coluna L coloque o tıtulo Quantidade e faca a contagem dos elementos.

Um usuario de Excel com um maior domınio desta ferramenta pode utilizar comandos ainda

mais avancados, nos quais, inserindo-se apenas os dados brutos, todos os demais passo sao

automaticos, inclusive a contagem!

107

Figura 11.1: Idade em turma de curso tecnico - Excel

108

Capıtulo 12

Elementos Representativos de uma

Tabela e Representacao Grafica

12.1 Elementos da Tabela de Distribuicao e Repre-

sentacao Grafica de uma Amostra

Na aula anterior vimos os passos para se contruir uma tabela de distribuicao na qual

os dados sao dispostos em classes. A presenca de outros itens na tabela de distribuicao de

frequencia pode nos fornecer ainda mais informacoes e/ou nos auxiliar em calculos futuros.

VIII. Pontos Medios das Classes (xi): E a media aritmetica dos limites superior e

inferior de cada classe.

Peso (kg) Quantidade xi

47, 0 ` 52, 4 5 49, 7

52, 4 ` 57, 8 3 55, 1

57, 8 ` 63, 2 8 60, 5

63, 2 ` 68, 6 7 65, 9

68, 6 ` 74, 0 4 71, 3

74, 0 ` 79, 4 3 76, 7∑30

Em particular, o valor 49, 7 pesente na segunda linha e terceira coluna, foi obtido da seguinte

forma:47, 0 + 52, 4

2= 49, 7.

Nao e necessario arredondar o ponto medio para a precisao do instrumento. Ele sera bastante

util em calculos posteriores, como por exemplo o calculo da media.

IX. Frequencia Absoluta Acumulada (Fi): E a soma das frequencias dos valores inferiores

109

ou iguais ao valor dado.

Peso (kg) Quantidade Fi

47, 0 ` 52, 4 5 5

52, 4 ` 57, 8 3 8

57, 8 ` 63, 2 8 16

63, 2 ` 68, 6 7 23

68, 6 ` 74, 0 4 27

74, 0 ` 79, 4 3 30∑30

X. Frequencia Relativa (f%i ): A frequencia relativa e dada por f%

i = fin

, isto e, ela representa

a porcentagem de amostras em certa classe.

Peso (kg) Quantidade f%i

47, 0 ` 52, 4 5 5/30

52, 4 ` 57, 8 3 3/30

57, 8 ` 63, 2 8 8/30

63, 2 ` 68, 6 7 7/30

68, 6 ` 74, 0 4 4/30

74, 0 ` 79, 4 3 3/30∑30 1

12.2 Representacao Grafica

Podemos colocar as informacoes contidas numa tabela por meio de um grafico (ou vice

versa). Vejamos alguns destes graficos.

XI. Histograma: E a representacao grafica por meio de retangulos justapostos com base sobre

as classes e alturas iguais as suas respectivas frequencias.

110

Figura 12.1: Histograma.

XII. Polıgono de Frequencia: E a representacao grafica por meio de uma linha poligonal

(fechada) ligando os pontos (xi, Fi), onde xi sao os pontos medios das classes.

Figura 12.2: Polıgono de Frequencia.

Observe que fechamos o polıgono. Coisas de Estatıstico!!!

XIII. Polıgono de Frequencia Acumulada: E a representacao grafica por meio de uma

linha poligonal (aberta) nao decrescente.

Figura 12.3: Polıgono de Frequencia Acumulada.

111

12.3 Exercıcios

Exercıcio 66. a) Complete cada uma das tabelas a seguir com o Ponto Medio das Classes,

Frequencia Acumulada e a Frequencia Relativa.

b) Para cada uma das tabelas a seguir esboce o Histograma, o Polıgono de Frequencia e o

Polıgono de frequencia acumulada.

Idade (anos) Quantidade

17 ` 20 6

20 ` 23 10

23 ` 26 5

26 ` 29 3

29 ` 32 2

32 ` 35 3∑29


145, 1 ` 153, 5 6

153, 5 ` 161, 9 6

161, 9 ` 170, 3 4

170, 3 ` 178, 7 11

178, 7 ` 187, 1 5

187, 1 ` 195, 5 4∑36



Idade (anos) Quantidade xi Fi f%i

17 ` 20 6 18, 5 6 20, 69

20 ` 23 10 21, 5 16 34, 49

23 ` 26 5 24, 5 21 17, 24

26 ` 29 3 27, 5 24 10, 34

29 ` 32 2 30, 5 26 6, 90

32 ` 35 3 33, 5 29 10, 34∑29

112

Altura (cm) Quantidade xi Fi f%i

145, 1 ` 153, 5 6 149, 3 6 16, 67

153, 5 ` 161, 9 6 157, 7 12 16, 67

161, 9 ` 170, 3 4 166, 1 16 11, 11

170, 3 ` 178, 7 11 174, 5 27 30, 55

178, 7 ` 187, 1 5 182, 9 32 13, 89

187, 1 ` 195, 5 4 191, 3 36 11, 11∑36

b) Os graficos sao apresentados a seguir:

Figura 12.4: Graficos

113

Figura 12.5: Graficos

12.5 No Computador

Conforme mencionado na Aula 3 o software Excel e bastante util no esboco de graficos.

Alem disso, temos grande facilidade no caculo de pontos medios das classes, frequencias acu-

muladas e frequencias relativas.

Exemplo 12.5.1. A tabela a seguir mostra a renda mensal de 35 famılias da classe baixa


900 ` 1000 4

1000 ` 1100 6

1100 ` 1200 11

1200 ` 1300 8

1300 ` 1400 4

1400 ` 1500 2∑35

Apresente uma tabela expandida contendo o ponto medio das classes, a frequencia acumulada

e a frequencia relativa.

Solucao: No Excel, temos:

114

Figura 12.6: Renda Familiar - Excel

Agora vejamos os passos para a complementacao da tabela com os itens pedidos. Consideremos

a tabela de distribuicao de frequencia absoluta.

Ponto Medio

Passos: i) Na celula G3 insira a formula ”= (C2 + E2)/2”e arraste ate a celula G8.

Frequencia Acumulada

Passos: ii) Na celula H3 insira a formula ”= F3”; ii) Na celula H4 insira a formula ”H3+F4”e

arraste ate a celula H8.

Frequencia Relativa

Passos: iv) Na celula I3 insira a formula ”= I3/F9”e arraste ate a celula I8.

115

Capıtulo 13


Questoes Objetivas

Exercıcio 67. A probabilidade de que, em 5 jogadas de um dado, apareca o 3 no maximo uma

vez e dada por:

a) 31253888

b) 31253742

c) 35

d) 7216

e) 1336

Exercıcio 68. Consideremos 2000 famılias com 4 filhos cada. Supondo uma probabilidade de

nascimento de 0, 5 para cada sexo e que haja uma independencia entre os nascidos, em quantas

dessas 2000 famılias poderıamos esperar terem nascidos exatamente 2 meninas.

a) 900 b) 1000 c) 1200 d) 800 e) 750

Exercıcio 69. Se 20% das pecas produzidas por uma maquina acusam defeito, entao a prob-

abilidade de que, em 4 pecas escolhidas ao acaso menos de 2 sejam defeituosas e:

a) 75, 15% b) 80, 00% c) 81, 92% d) 85, 42% e) 95, 01%

Exercıcio 70. A probabilidade de obtermos o total 7 ao menos uma vez em tres jogadas de

um par de dado e:

a) 93316

b) 712

c) 736

d) 91216

e) 125216

Exercıcio 71. Uma caixa contem 5 bolas vermelhas, 4 brancas e 3 azuis. Extrai-se uma bola ao

acaso, anota-se a cor, repondo-se em seguida a bola na caixa. Nessas condicoes a probabilidade

de que, em 6 bolas assim escolhidas, 3 sejam vermelhas, 2 brancas e 1 azul.

a) 6253221

b) 6255184

c) 25

d) 35

e) 453221

Exercıcio 72. Uma caixa contem um numero muito grande de fichas vermelhas, brancas,

azuis e pretas, na proporcao 4 : 3 : 2 : 1. Em 10 extracoes a probabilidade de que ocorram, 4

vermelhas, 3 brancas, 2 azuis e 1 preta e aproximadamente:

a) 1, 00% b) 3, 48% c) 21, 29% d) 50, 00% e) 91, 00%

116

Exercıcio 73. Dez por cento das pecas produzidas por certo processo de fabricacao acusam

defeitos. Sabendo que o numero de defeitos trata-se de uma v.a. de Poisson e correto afirmar que

a probabilidade haverem exatamente 2 pecas defeituosas em 10 extracoes e, aproximadamente:

a) 0, 06 b) 0, 10 c) 0, 13 d) 0, 15 e) 0, 18.

Exercıcio 74. Sabe-se que 3% das lampadas fabricadas por uma companhia sao defeituosas.

Assumindo que a distribuicao dos erros segue uma v.a. de Poisson e correto afirmar que a

probabilidade de que, em uma amostra de 100 lampadas 2 sejam defeituosas e:

a) 23

b) 0, 024 c) 0, 509 d) 0, 152 e) 0, 224.

Exercıcio 75. De acordo com a Divisao de Estatıstica Vital do Departamento de Saude dos

Estados Unidos, a media anual de afogamentos acidentais nos Estados Unidos e de 3, 0 por

100000 indivıduos. A probabilidade de que, em uma cidade com 200000 habitantes nao se

verifiquem afogamentos e, aproximadamente:

a) 0, 1% b) 0, 15% c) 0, 25% d) 0, 32% e) 0, 46%

Exercıcio 76. Seja X uniformemente distribuıda em −2 ≤ x ≤ 2. Entao o valor correto de

P (|X − 1| ≥ 12) e:

a) 15

b) 12

c) 14

d) 34

e) 25

Exercıcio 77. A companhia de Energia e Luz de certa cidade fornece eletricidade com nıveis

de voltagem que sao uniformemente distribuıdos entre 123, 0 e 125, 0, volts. Nestas condicoes

a probabilidade de que o nıvel de voltagem selecionado aleatoriamente seja maior que 124, 5 e:

a) 0, 25 b) 0, 30 c) 0, 41 d) 0, 75 e) 0, 82

Exercıcio 78. Suponha que o tempo de vida de uma determinada especie de inseto tenha uma

distribuicao exponencial de parametro λ = 112

dia. Suponha tambem que estes insetos atinjam

a maturidade sexual apos 3 dias de seu nascimento. Nessas condicoes, a probabilidade de que

um inseto reprodutor viva mais de 24 dias?

a) 2, 5% b) 10, 2% c) 12, 3% d) 15, 24% e) 17, 38%

Exercıcio 79. Uma fabrica utiliza dois metodos para a producao de lampadas. 70% das

lampadas sao produzidas pelo metodo A e as demais pelo metodo B. A duracao da lampada

depende do metodo pelo qual ela foi produzida, sendo que as produzidas pelo metodo A seguem

uma distribuicao exponencial com parametro 180

e as do metodo B seguem uma exponencial de

parametro 1100

. Qual a probabilidade de que, se escolhermos uma lampada ao acaso, ela dure

mais de 100 horas?

a) 12% b) 31% c) 37% d) 42% e) 52%

117

Exercıcio 80. A area sob a curva normal padronizada entre z = −0, 46 e z = 2, 21 e:

a) 0, 65064 b) 0, 7234 c) 0, 3092 d) 0, 1772 e) 0, 4864

Exercıcio 81. O valor de z tal que a area sob a curva normal padronizada a esquerda de z

seja 0, 8621 e:

a) 3, 02 b) 1, 87 c) 1, 25 d) 1, 08 e) 0, 91

Exercıcio 82. O peso medio de 500 estudantes do sexo masculino de certo colegio e 151 lb e o

desvio-padrao e 15 lb. Supondo os pesos distribuıdos normalmente, a quantidade de estudantes

que pesarao mais que 185 lb e:

a) 0 b) 2 c) 6 d) 21 e) 32

Exercıcio 83. O diametro interior medio de uma amostra de 200 arruelas produzidas por

uma maquina e de 0, 502mm, e o desvio padrao 0, 005mm. As dimensoes extremas toleradas

para esses diametros sao 0, 496mm e 0, 508mm; fora desses limites, as arruelas sao rejeitadas.

Nessas condicoes a percentagem de arruelas defeituosas (rejeitaveis) produzidas pela maquina,

supondo os diametros distribuıdos normalmente e:

a) 23, 02% b) 71, 26% c) 68, 5% d) 62, 34% e) 50, 00%

Exercıcio 84. Um professor coletou as alturas de todos os alunos de uma de suas turmas.

20 25 22 23 27 24 25 26 18 25 32 32 28

28 32 29 25 25 24 23 27 23 28 36 35 22

22 30 24 25 27 24 22 26 22 27 .

Em seguida construiu uma tabela de distribuicao de frequencia usando o numero de classes (K)

por meio da formula K ≈√n, onde n e o numero de amostras. Nessas condicoes, a amplitude

das classes que ele adotou foi:

a) 6 b) 5 c) 4, 5 d) 3 e) 2

Exercıcio 85. Considere a distribuicao de frequencia relativa a renda media de 150 famılias:

Renda fi f%i

0000 ` 1000 60 40

1000 ` 2000 40 ?

2000 ` 3000 20 ?

3000 ` 4000 x 10

4000 ` 5000 ? y

5000 ` 6000 3 ?

118

em que fi e f%i representam a frequencia simples e a frequencia relativa, respectivamente.

Nessas condicoes o valor de x+ y e dado por:

a) 8 b) 15 c) 23 d) 25 e) 30

Exercıcio 86. A tabela a seguir mostra as notas de todos os alunos de uma turma da disciplina

Probabilidade e Estatıstica.

Notas fi

0, 00 ` 2, 00 7

2, 00 ` 4, 00 15

4, 00 ` 6, 00 22

6, 00 ` 8, 00 14

8, 00 ` 10, 00 10

Sorteando-se 2 alunos ao acaso qual a probabilidade de que um deles tenha nota acima de 6, 00

e o outro tenha nota abaixo de 8, 00.

a) 2734

b) 334

c) 12872278

d) 12892278

e) 12894556

Exercıcio 87. A tabela a seguir apresenta a distribuicao de frequencias das notas de um teste

de matematica respondido por 50 alunos:

Nota fi

0, 00 ` 2, 00 4

2, 00 ` 4, 00 12

4, 00 ` 6, 00 15

6, 00 ` 8, 00 13

8, 00 ` 10, 00 6

Selecionando-se ao acaso e sem reposicao tres estudantes dentre esses 50, a probabilidade de

pelo menos um ter tirado nota igual ou superior a 2, 00 e:

a) 450

b) 950

c) 481490

d) 48894900

e) 42074900

Exercıcio 88. A renda mensal dos trabalhadores de uma empresa foi dividida em tres classes:

Classe fi

0000 ` 1000 6

1000 ` 2500 5

2500 ` 7500 4

Tres funcionarios sao sorteados ao acaso. A probabilidade de que haja pelo menos dois apre-

sentando renda mensal em classes diferentes e:

a) 45, 6% b) 65, 4% c) 75, 3% d) 84, 6% e) 92, 5%

119

Exercıcio 89. Uma v.a. X tem distribuicao normal N(4; 9). Nestas condicoes, a probabilidade

de a v.a. assumir um valor maior que 5 vale aproximadamente:

a) 0, 15 b) 0, 28 c) 0, 33 d) 0, 37 e) 0, 46


Exercıcio 90. Se 20% das bobinas de um determinado aparelho eletrico forem defeituosas,

calcule a probabilidade de, entre 4 bobinas necessarias a um cliente, escolhidas ao acaso umaser

defeituosa.

Exercıcio 91. O tempo de funcionamento sem avarias de uma determinada maquina de

producao contınua segue uma lei exponencial negativa com valor esperado igual a 4, 5 ho-

ras. Imagine que a maquina e colocada em funcionamento, apos um defeito, no instante t = 0.

Qual a probabilidade de nao ocorrerem avarias antes do instante t = 6 horas?

Exercıcio 92. O comprimento de certo fio condutor e distribuıdo normalmente com media

120 cm e desvio padrao 0, 5 cm. Nestas condicoes qual a porcentagem destes fios possui com-

primento superior a 121 cm?

Exercıcio 93. O numero de navios petroleiros que chegam diariamente a certa refinaria e uma

v.a. com distribuicao de Poisson de parametro 2. Atualmente o cais da refinaria so pode atender

no maximo 3 petroleiros por dia. Atingindo este numero, os restantes que eventualmente

aparecam deverao seguir para outro porto.

a) Qual a probabilidade de, num dia qualquer, ser preciso mandar petroleiros para outro porto?

b) De quanto deveriam ser aumentadas as instalacoes de forma a assegurar cais a todos os

petroleiros em 99, 9% dos dias?

c) Qual e o numero esperado de petroleiros que chegam por dia?

d) Qual e o numero mais provavel de petroleiros que chegam por dia?

e) Qual e o numero medio de petroleiros a serem atendidos diariamente?

f) Qual o numero esperado de petroleiros que recorrerao a outros portos diariamente?

Exercıcio 94. Em certa praia existe um servico de aluguel de barcos, destinado aos turistas

que a frequentam. O numero de turistas que procuram este servico, por hora, e considerado

uma v.a. com distribuicao de Poisson. Verificou-se que, em media, em cada hora, esse servico

e procurado por 8 turistas interessados em alugar barcos; sabe-se, por outro lado, que esse

servico funcionara ininterruptamente das 8 as 20 horas. Nessas condicoes, qual a probabilidade

de que, entre as 8 e as 9 horas, se aluguem 5 barcos?

120

Exercıcio 95. Os servicos de Gas e Eletricidade debitam mensalmente aos seus clientes um

consumo teorico T de energia eletrica calculado de tal modo que a probabilidade de o consumo

efetivo o exceder seja de 30, 85%. Suponha que um cliente cujo consumo por mes segue uma

distribuicao normal de media 400 kwh e desvio padrao 40 kwh.

a) Qual o consumo teorico que lhe e mensalmente debitado?

b) Qual a probabilidade de que, ao fim de 3 meses, o consumo teorico exceda o efetivo em mais

de 100 kwh?

Exercıcio 96. Num determinado processo de fabricacao existem 2 cadeias de montagem A

e B que funcionam independentemente. A cadeia A opera num ritmo medio de 2 montagens

por hora, e a probabilidade da cadeia B efetuar pelo menos uma montagem numa hora e de

98, 17%. Admitindo que o numero de montagens efetuadas por hora em ambas as cadeias e

uma v.a. de Poisson, determine:

a) a probabilidade de se efetuarem mais de 6 montagens numa hora com a cadeia B.

b) a probabilidade de, em 3 horas de trabalho, se efetuarem no maximo 10 montagens com a

cadeia B.

c) o numero medio de montagens efetuadas num dia de trabalho de 8 horas com ambas cadeias.

Exercıcio 97. Sabe-se que a probabilidade de cura de uma certa doenca e 20%. Poe-se a prova

um novo medicamento, que eleva a probabilidade de cura para 40%, ministrando-o a um grupo

de 20 doentes. Admite-se que o medicamento e eficaz no caso de contribuir para a cura de, pelo

menos, 8 doentes em 20. Calcule a probabilidade de se concluir pela ineficacia do medicamento,

ainda que este eleve de fato a probabilidade de cura para 40%.

Exercıcio 98. Um posto de gasolina recebe, em media, 4 clientes a cada 5 minutos. Sabendo

que o numero de clientes que chegam tratar-se de uma v.a. Poisson, determine a probabilidade

de que demore mais de 10min ate a chegada de um cliente.

121



P (X ≤ 1) = P (X = 0) + P (X = 1) = C50 .

(1

6

)0

.

(5

6

)5

+(C5

1

).

(1

6

)1

.

(5

6

)4

=3125

3888.

Alternativa a.


P (X = 2) = C42 .

(1

2

)2

.

(1

2

)2

= 6.1

16=

3

8.

Assim,

E(X = 2) = 2000.3

8= 750.

Alternativa e.


P (X < 2) = P (X = 0) + P (X = 1) = C40 .0, 2

0.0, 84 + C41 .0, 2

1.0, 83 ≈ 0, 8192.

Alternatica c.

Solucao do Exercıcio 70. Em uma unica jogada de um par de dados, a probabilidade de

ocorrer um total de 7 e dado por 16

(facil). Assim,

P (X = 7 aomenos uma vez) = 1− P (X = 7nenhuma vez) =

= 1− C30 .

(1

6

)0

.

(5

6

)3

= 1− 125

216=

91

216.

Alternativa d.

Solucao do Exercıcio 71. Indicando as bolas pela inicial, temos:

P (3V ; 2B; 1A) =6!

3!2!1!.

(5

12

)3

.

(4

12

)2

.

(3

12

)1

=625

5184.

Alternativa b.

Solucao do Exercıcio 72. Indicando as fichas pela inicial, temos:

P (4V ; 3B; 2A; 1P ) =10!

4!3!2!1!.

(4

10

)4

.

(3

10

)3

.

(2

10

)2

.

(1

10

)1

≈ 3, 48%.

Alternativa b.

122

Solucao do Exercıcio 73. Temos que λ = 10.0, 1 = 1. Assim,

P (X = 2) =12e−1

2!≈ 0, 18.

Alternativa e.

Solucao do Exercıcio 74. Temos que λ = 100.0, 03 = 3. Assim,

P (X = 2) =32e−3

2!= 0, 224.

Alternativa e.

Solucao do Exercıcio 75. Podemos considerar que o numero de afogamentos segue uma

distribuicao de Poisson. Assim, temos:

λ = 200000.3

100000= 6,

donde obtemos:

P (X = 0)60e−6

0!≈ 0, 2479%

Alternativa c.

Solucao do Exercıcio 76. Temos que trata-se de um problema envolvendo distribuicao uni-

forme. Sabemos que a funcao de distribuicao cumulativa de uma v.a. uniforme X e dada

por:

F (x) =x− (−2)

2− (−2)=x+ 2

4,−2 ≤ x ≤ 2

P (|X − 1| ≥ 1

2) = P (X − 1 ≤ −1

2) + P (X − 1 ≥ 1

2) = P (X <

1

2) + P (X >

3

2) =

= P (X <1

2) + 1− P (X <

3

2) = F

(1

2

)+ 1− F

(3

2

)=

12

+ 2

4+ 1−

32

+ 2

4=

3

4.

Alternativa d.

Solucao do Exercıcio 77. Temos que trata-se de um problema envolvendo distribuicao uni-

forme. Sabemos que a funcao de distribuicao cumulativa de uma v.a. uniforme X e dada

por:

F (x) =x− 123

2=, 123 ≤ x ≤ 125

Assim,

P (X > 124, 5) = 1− P (X < 124, 5) = 1− F (124, 5) = 1− 124, 5− 123

2= 1− 0, 75 = 0, 25.

Alternativa a.

123

Solucao do Exercıcio 78. Seja X a distribuicao do tempo de vida dos insetos, e Y a dis-

tribuicao do tempo de vida dos insetos que chegam a reproducao. Observem que Y = X + 3,

assim

FY (y) = P (Y ≤ y) = P (X + 3 ≤ y) = P (X ≤ y − 3) = FX(y − 3).

Portanto, a funcao densidade de probabilidade de Y e dada por

fY (y) =

1

12e−

(y−3)12 , se y ∈ (3,∞)

0, caso contrario.,

Agora falta encontramos qual a probabilidade de que o inseto reprodutor dure mais de 24 dias.

Usando a densidade acima temos que

P (Y > 24) = 1− P (Y ≤ 24) = 1− FY (24) = 1−∫ 24

−∞fY (y)dy = 1−

∫ 24

3

1

12e−

(y−3)12 ≈ 0, 1738.

Alternativa e.

Solucao do Exercıcio 79. Sejam XA ∼ Exp(

180

)e XB ∼ Exp

(1

100

)e considere os evento

C = Uma lampada durar mais de 100 horas, A = A lampada ter sido fabricada pelo metodo

A e B = A lampada ter sido fabricada pelo metodo B.

P (C) = P (C|A))(A) + P (C|B)P (B) = P (XA ≥ 100)0, 7 + P(XB ≥ 100)0, 3.

e, portanto,

P (C) = 0, 7

∫ ∞100

1

80e−

x80dx+ 0, 3

∫ ∞100

1

100e−

x100dx ≈ 0, 2 + 0, 11 = 0, 31.

a

Alternativa b.


P (−0, 46 ≤ Z ≤ 2, 21) = P (0 ≤ Z ≤ 0, 46)+P (0 ≤ Z ≤ 2, 21) = 0, 16419+0, 4864 = 0, 0, 65064.

Alternativa a.


P (Z < z) = 0, 8621 = 0, 5 + P (0 < Z < z)⇒ P (0 < Z < z) = 0, 3621 = 1, 08.

Alternativa d.

124


z1 =185− 151

15= 2, 27.

Assim,

P (X > 185) = P (Z > 2, 27) = 1− P (Z < 2, 27) = 1− (0, 5 + P (0 < Z < 2, 27)) =

= 0, 5− P (0 < Z < 2, 27) = 0, 5− 0, 4884 = 0, 0116.

Por fim, Q = 500.0, 0116 = 5, 8 ≈ 6.

Alternativa c.


0, 496⇒ z =0, 496− 0, 502

0, 005= −1, 2 e 0, 508⇒ z =

0, 508− 0, 502

0, 005= 1, 2.

Assim,

P (rej) = 1− P (0, 496 < X < 0, 508) = 1− P (−1, 2 < X < 1, 2) =

= 1− 2.P (0 < Z < 1, 2) = 1− 2.0, 3849 = 0, 2302.

Alternativa a.


R = 36− 18 = K =√

36 = 6⇒ h =R

K=

18

6= 3.

Alternativa d.

Solucao do Exercıcio 85. Note que x = 150.0, 1 = 15. Alme disso, a correspondente a

frequencia da classe 4000 ` 5000 e dado por:

60 + 40 + 20 + 15 + a+ 3 = 150⇒ a = 12.

Assim,

y =12

150.100 = 8.

Logo, x+ y = 15 + 8 = 23.

Alternativa c.


P (X < 8, 00 e Y > 6, 00) = 1− (P (X < 6, 00 e Y < 6, 00) + P (X > 8, 00 e Y > 8, 00)) =

= 1− 44

68.43

67− 10

68.

9

67=

1287

2278.

Alternativa b.

125

Solucao do Exercıcio 87. Seja X, Y e Z as notas retiradas pelos tres estudantes. Assim,

P (X ≥ 2 ou Y ≥ 2 ouZ ≥ 2) = 1− P (X < 2 e Y < 2 eZ < 2) =

= 1− P (X < 2).P (Y < 2|X < 2).P (Z < 2|Y < 2 eX < 2) = 1− 4

50.

3

49.

2

48=

4899

4900.

Alternativa d.

Solucao do Exercıcio 88. Identifiquemos as classes pelas letras A, B e C:

P (2 oumais classes diferentes) = 1− P (todas as classes iguais) =

= 1− (P (A,A,A) + P (B,B,B) + P (C,C,C)) =

= 1− 6

15.

5

14.

4

13− 5

15.

4

14.

3

13− 4

15.

3

14.

2

13= 1− 204

2730≈ 92, 5%.

Alternativa e.


P (X > 5) = P

(Z >

5− 4

3

)= P (Z > 0, 33) =

= 0, 5− P (0 < Z < 0, 33) = 0, 5− 0, 1293 ≈ 0, 3707.

Alternativa d.


Solucao do Exercıcio 90. Temos uma distribuicao binomial com

n = 4, p = 0, 2

Assim,

P (X = 1) = C41 .0, 2

1.0, 83 = 0, 4096.

Solucao do Exercıcio 91. Temos que λ = 14,5

. Assim,

P (t ≥ 6) = P (X = 0) = e−64,5 ≈ 0, 264


z =121− 120

0, 5= 2

Assim,

P (X ≥ 121) = P (Z > 2) = 1− P (Z ≤ 2) = 1− 0, 97725 = 0, 02275.

126


P (X = k) =2ke−2

k!.

a) P (X > 3) = 1− P (X ≤ 3) = 1− e−2(

20

0!+ 21

1!+ 22

2!+ 23

3!

)≈ 0, 1429

b) Devemos obter j tal que∑j

k=02ke−2

k!≈ 0, 999. Fazendo as contas, temos j = 8. De fato,

9∑k=0

2ke−2

k!= e−2

(20

0!+

21

1!+

22

2!+

23

3!+

24

4!+

25

5!+

26

6!+

27

7!+

28

8!

)=

= e−2.7, 387301587 = 0, 999762552

Em particular,∑7

k=02ke−2

k!= e−2.7, 380952381 = 0, 998903281 < 0, 999. Portanto, a capacidade

deveria aumentar em 5 petroleiros por dia.

c) O valor esperado e dado por E(X) = λ = 2, isto e, sao esperados, em media, 2 petroleiros

por dia.

d) Note que P (X = 1) = P (X = 2) = 2.e−2 = 0, 2706 > P (X = k) para os demais valores de

k. Portanto, chegam, mais provavelmente 1 ou 2 petroleiros por dia.

e) Temos que

E(Y ) = 0.P (X = 0) + 1.P (X = 1) + 2.P (X = 2) + 3.P (X = 3) =

= P (X = 1) + 2.P (X = 2) + 3.(1− P (X ≤ 2)) =

= P (X = 1) + 2.P (X = 2) + 3− 3.(P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)) =

= 3− 3.P (X = 0)− 2.P (X = 1)− P (X = 2) =

= 3− e−2(3.20

0!+ 2.

21

1!+

22

2!) ≈ 1, 782.

f) O numero de petroleiros que recorrem a outros postos diariamente e 0 (chegam 3), 1 (chegam

4), 2, 3, 4 ou 5. Sendo a v.a. Z denotando esses petroleiros, temos:

Z = E(X − Y ) = E(X)− E(Y ) = 2− 1, 782 = 0, 218.

Solucao do Exercıcio 94. Temos que λ = 8turistas/hora. Assim,

P (X = 5) =85e−8

5!≈ 0, 0916.

Solucao do Exercıcio 95. Consideremos as v.a.

X: consumo efetivo de energia eletrica e um cliente por mes (em kwh).

T : consumo teorico (valor fixo) debitado ao cliente por mes (em kwh).

127

Temos que P (X > T ) = 0, 3085 e X ∼ N(400; 1600). Nestas condicoes:

a)

P (X > T ) = 0, 3085⇔ P

(X − 400

40>T − 400

40

)= 0, 3085⇔

⇔ P

(N(0; 1) ≤ T − 400

40

)= 1− 0, 3085⇔

⇔ P

(N(0; 1) ≤ T − 400

40

)= 0, 6915⇔ T − 400

40= 0, 5⇔ T = 420.

b) Consideremos as v.a.

X1: consumo efetivo de energia eletrica de um cliente no primeiro mes

X2: consumo efetivo de energia eletrica de um cliente no segundo mes

X3: consumo efetivo de energia eletrica de um cliente no terceiro mes

Considerando a v.a. Y = X1 +X2 +X3, temos

Y ∼ N(400.3; 1600.3) = N(1200; 4800).

Assim,

P (3.420− Y > 100) = P (Y < 1160) = P

(N(0; 1) <

1160− 1200√4800

)=

= P (N(0; 1) < −0, 58) = 0, 281.

Solucao do Exercıcio 96. Consideremos as v.a.

X: numero de montagens da cadeia A por hora

Y : numero de montagens da cadeia B por hora

a) Temo que

P (Y ≥ 1) = 0, 9817⇒ P (Y = 0) = 1− 0, 9817 = 0, 0183⇒ λ0e−λ

0!⇒

⇒ e−λ = 0, 0183⇒ λ = −ln(0, 0183)⇒ λ ≈ 4.

Assim,

P (Y > 6) = 1− P (Y ≤ 6) = 1− P (Y = 0)− P (Y = 1)− ...− P (Y = 6) =

= 1− e−4

(40

0!+

41

1!+

42

2!+

43

3!+

44

4!+

45

5!+

46

6!

)≈ 1− 0, 8893 = 0, 1107.

b) Consideremos as v.a.

Y1: numero de montagens da cadeia B na primeira hora

Y2: numero de montagens da cadeia B na segunda hora

128

Y3: numero de montagens da cadeia B na terceira hora

Considerando a v.a.

Z = Y1 + Y2 + Y3 ⇒ λZ = 12⇒ P (Y ≤ 10) = f(0) + f(1) + ...+ f(10) =

= e−12

(120

0!+

121

1!+ ...+

1210

10!

)≈ 0, 3472.

c) Durante uma hora, temos:

E(ZX + Y ) = E(X) + E(Y ) = 2 + 4 = 6.

Em 8 horas,

E(8.Z) = 8.E(Z) = 8.6 = 48.

Solucao do Exercıcio 97. Considere a v.a. X como sendo o numero de doentes curados

no grupo de 20 em que e ministrado o novo medicamento. Temos uma distribuicao binomial

(20; 0, 4). Nestas condicoes:

P (X ≥ 8) = 1− P (Xleq7) = 1−7∑0

C20i 0, 4i0, 620−i ≈ 0, 4159.

Solucao do Exercıcio 98. Temos que λ = 2.4 = 8. Assim,

P (X = 0) =e−8.80

0!≈ 0, 0003.

129

Capıtulo 14

Medidas de Posicao

Neste e o no proximo capıtulo destacaremos algumas medidas de posicao que possibilitarao

representar um conjunto de dados relativo a observacao de determinado fenomeno de forma

resumida. Como visto anteriormente estas sao medidas que orientam-nos quanto a posicao da

distribuicao no eixo x (eixo da v.a.), possibilitando a comparacao de series de dados entre si

pelo confronto desses numeros.

14.1 Medias

Definicao 14.1.1. Define-se a media aritmetica dos dados x1, x2, ..., xk, com frequencias f1,

f2, ..., fk respectivamente, como sendo:

x =

∑ki=1 xifi∑ki=1 fi

.

Definicao 14.1.2. Define-se a media aritmetica ponderada dos dados x1, x2, ..., xk, com os

pesos w1, w2, ..., wk respectivamente, como sendo:

x =

∑ki=1 xiwi∑ki=1 wi

.

Nos casos em que tivermos dados agrupados em classes, os valores xi, na Definicao 14.1.1,

representarao os pontos medios das classes. O mesmo sera valido para as demais medias

apresentadas a logo mais.

Exemplo 14.1.3. As notas de 15 alunos de uma turma, da disciplina Calculo II, estao apre-

sentadas a seguir:

2, 8 3, 2 3, 2 4, 1 4, 5 5, 1 5, 4 5, 6 6, 3 6, 3 6, 5 7, 0 7, 8 8, 4 9, 0

130

Determine a media aritmetica das notas desta turma:

Solucao: Pela formula, temos

x =2, 8 + 3, 2 + . . .+ 9, 0

2, 8.1 + 3, 2.2 + . . .+ 9, 0.1= 5, 68 ∼= 5, 7

Exemplo 14.1.4. Em certa escola sao feitas 5 provas por ano, cada uma valendo de 0, 0 a

10, 0, cujos pesos sao, 1, 1, 1, 5, 2 e 3 respectivamente. Um aluno que tirou, 7, 0, 6, 2,

5, 4, 3, 0 e 7, 0 conseguira a media 6, 0 para passar? Considere as notas na mesma ordem

que os pesos.


x =7, 0.1 + 6, 2.1 + 5, 4.1, 5 + 3, 0.2 + 7, 0.3

1 + 1 + 1, 5 + 2 + 3= 5, 68 ∼= 5, 7.

O aluno nao passou!

Exemplo 14.1.5. Determine a media aritmetica dos pesos de 30 alunos expressos na

tabela a seguir:


47, 0 ` 52, 4 5

52, 4 ` 57, 8 3

57, 8 ` 63, 2 8

63, 2 ` 68, 6 7

68, 6 ` 74, 0 4

74, 0 ` 79, 4 3

Devemos completar a tabela acima encontrando os pontos medios das classes.

Peso (kg) Quantidade xi

47, 0 ` 52, 4 5 49, 7

52, 4 ` 57, 8 3 55, 1

57, 8 ` 63, 2 8 60, 5

63, 2 ` 68, 6 7 65, 9

68, 6 ` 74, 0 4 71, 3

74, 0 ` 79, 4 3 76, 7∑30

Assim,

x =49, 7.5 + 55, 1.3 + 60, 5.8 + 65, 9.7 + 71, 3.4 + 76, 7.3

5 + 3 + 8 + 7 + 4 + 3= 62, 48 kg ∼= 62, 5 kg

131

Definicao 14.1.6. Define-se a media geometrica dos dados x1, x2, ..., xk, com frequencias f1,


Mg =n

√xf11 x

f22 ...x

fkk . (14.1)

Teorema 14.1.7. A media geometrica dos dados x1, x2, ..., xk, com frequencias f1, f2, ..., fk

respectivamente, e dada por:

Mg = 10A,

em que A =∑ki= filog(xi)∑k

i=1 fie n =

∑ki=1 fi.

Demonstracao. Tomando o logaritmo de base 10 nos dois membros de 14.1, temos:

log(Mg) = log

(n

√xf11 x

f22 ...x

fkk

)=

1

nlog(xf11 x

f22 ...x

fkk

)=

=1

n

(log(xf11

)+ log

(xf22

)+ ...+ log

(xfkk

))=

=1

n(f1log(x1) + f2log(x2) + ...+ fklog(xk)) =

=(f1log(x1) + f2log(x2) + ...+ fklog(xk))

f1 + f2 + ...+ fk=

∑ki= filog(xi)∑k

i=1 fi

Assim,

log(Mg) =

∑ki= filog(xi)∑k

i=1 fi⇔Mg = 10A.

Exemplo 14.1.8. Determine a media geometrica dos dados:

Xi fi

1, 0475 1

1, 0525 2

1, 0930 1

Solucao:

Mg = 4√

1, 05252.1, 04751.1, 09301 = 1, 061217983 ∼= 1, 0612

Poderıamos imaginar os dados advindos, por exemplo, de taxas de crescimento de bacterias ao

longo de uma dia. Isto e, imaginemos que uma cultura de bacteria, composta, inicialmente de

100 bacterias, cresca durante 4 dias a uma taxa diaria de

132

Dia Primeiro Segundo Terceiro Quarto

Taxa 0, 0525 0, 0475 0, 0525 0, 0930

Note que a media geometrica dos dados e dada por:

Mg = 4√

1, 0475.1, 05252.1, 093 = 1, 061217983 ≈ 1, 0612

Ao final dos 4 dias, terıamos portanto:

100.1, 0475.1, 0525.1, 0525.1, 0930 = 126, 829 ≈ 127 bacterias

o que equivale a

100.1, 06124 = 126, 820 ≈ 127 bacterias

Contudo, como saber que media utilizar em um problema? Responderemos a esta pergunta

logo mais nos Exercıcios 14.1.11, 14.1.12 e 14.1.13, e na Secao 14.4.

Definicao 14.1.9. Define-se a media harmonica dos dados x1, x2, ..., xk, com frequencias f1,


Mh =

∑ki=1 fi∑ki=1

fixi

.

Exemplo 14.1.10. Determine a media harmonica dos dados:

Xi fi

47, 0 4

48, 5 5

50, 5 3

52, 0 4


Mh =4 + 5 + 3 + 4

447,0

+ 548,5

+ 350,5

+ 452,0

= 49, 30234349 ∼= 49, 3.

Exemplo 14.1.11. Uma empresa produziu, durante o primeiro trimestre do ano passado, 500,

200 e 200 unidades, em janeiro, fevereiro e marco, respctivamente. Qual foi a producao media

mensal nesse trimestre?

Solucao: Que media e essa que queremos? Queremos o valor M tal que, se a producao mensal

133

fosse sempre igual a M , a producao trimestral seria a mesma. A producao trimestral foi de

500 + 200 + 200. Se todos os meses a producao fosse igual a M , a producao trimestral seria

igual a 3M . Logo,3M = 500 + 200 + 200⇒M = 300.

A media utilizada foi a aritmetica.

Exemplo 14.1.12. Uma empresa aumentou sua producao durante o primeiro bimestre do ano

passado. Em janeiro e em fevereiro, as taxas de aumento foram 21, 0% e 8, 0%, respectivamente.

Qual foi a taxa media de aumento mensal nesse bimestre?

Solucao: Que media queremos? Queremos a taxa media i tal que, se em todos os meses a taxa

de aumento fosse igual a i, o aumento bimestral seria o mesmo. O aumento bimestral foi de

30, 68%. De fato,

100 −→ 100.1, 21 −→ 100.1, 21.1, 08 = 130, 68

Se em todos esses os meses tivessemos um aumento de taxa i (aumento sobre aumento), terıamos

100 −→ 100(1 + i) −→ 100(1 + i)2.

Entao,

100(1 + i)2 = 100.1, 21.1, 08⇒ (1 + i)2 = 1, 21.1, 08⇒

⇒ 1 + i =√

1, 21.1, 08 ∼= 1, 143153533⇒ i ∼= 14, 3%

Exemplo 14.1.13. Um concurso anual distribui entre os vencedores um premio total de

R$ 1800, 00. Nos ultimos tres anos houve 2, 1 e 3 premiados, respectivamente. Qual foi o

premio medio desses ganhadores?

Solucao: Queremos uma media tal que, se todos os premios fossem iguais a essa media, o total

distribuıdo seria o mesmo. Essa e precisamente a media aritmetica. Os premios foram de

1800/2 = 900, 1800/1 = 1800 e 1800/3 = 600. O premio medio foi de (900 + 1800 + 600)/3 =

1100 reais. Observe que a media aritmetica dos rateios e igual a

1800.12

+ 1800.11

+ 1800.13

3= 1800.

12

+ 11

+ 13

3= 1800÷ 3

12

+ 11

+ 13

= 1800.Mh(2, 1, 3).

Teorema 14.1.14. Se x1, x2, ..., xn sao numeros positivos, e x, Mg e Mh sao as medias

aritmetica, geometrica e harmonica, respectivamente, entao

Mh ≤Mg ≤ x.

134

14.2 Exercıcios

Exercıcio 99. Determine a media aritmetica das seguintes distribuicoes.

Idade (anos) Quantidade

17 ` 20 6

20 ` 23 10

23 ` 26 5

26 ` 29 3

29 ` 32 2

32 ` 35 3∑29


145, 1 ` 153, 5 6

153, 5 ` 161, 9 6

161, 9 ` 170, 3 4

170, 3 ` 178, 7 11

178, 7 ` 187, 1 5

187, 1 ` 195, 5 4∑36

Exercıcio 100. O IBAMA registrou a quantidade de macacos em certa regiao durante os anos

de 2012 a 2016:

Mes Quantidade

2012 120

2013 132

2014 148

2015 170

2016 192

Apresente uma estimativa da quantidade de macacos em 2017 se nao houver qualquer modi-

ficacao ambiental significativa (escassez de alimentos, desastres naturais etc) e taxa media de

crescimento se manter.

Exercıcio 101. Verifique o Teorema 14.1.14 em cada serie de dados a seguir:

a) 4 6 8 10

b) 1 2 4 8

c) 5 5 5 5

135



Idade (anos) fi xi xifi

17 ` 20 6 18,5 111

20 ` 23 10 21,5 215

23 ` 26 5 24,5 122,5

26 ` 29 3 27,5 82,5

29 ` 32 2 30,5 61

32 ` 35 3 33,5 100,5∑29 692,5

⇒ x =692, 5

29= 23, 87931034⇒ x = 24 anos

Altura (cm) fi xi xifi

145, 1 ` 153, 5 6 149, 3 895, 8

153, 5 ` 161, 9 6 157, 7 946, 2

161, 9 ` 170, 3 4 166, 1 664, 4

170, 3 ` 178, 7 11 174, 5 1919, 5

178, 7 ` 187, 1 5 182, 9 914, 5

187, 1 ` 195, 5 4 191, 3 765, 2∑36 6105, 6

⇒ x =6105, 6

36= 169, 6 cm

Solucao do Exercıcio 100. As taxas de crescimento observadas ate o ano de 2016 foram:

i1 = 1− 132

120= 0, 100, i2 = 1− 148

132= 0, 121, i3 = 1− 170

148= 0, 149, i4 = 1− 192

170= 0, 129.

Como o tamanho da populacao de um dado ano depende do tamanho da populacao no ano

imediatamente anterior, temos um crescimento geometrico. Supondo que o crescimento medio

seja mantido, a media geometrica a seguir nos fornecera o que desejamos:

Mg = 4√

1, 1× 1, 121× 1, 149× 1, 129 = 1, 125

Assim, espera-se que em 2017 a populacao de macacos seja aproximadamente

P = 120× 1, 1255 = 216macacos

136

ou simplesmente,

P = 192× 1, 125 = 216macacos.

A pequena diferenca entre os valores anteriores (se arredondamentos) se deve a aproximacoes

feitas em etapas anteriores.

Solucao do Exercıcio 101. Obvio.

14.4 Qual Media Usar?

A na proxima secao apresentaremos formas de calcular rapidamente cada uma das medias

abordadas. Contudo, ao observamos uma situacao, devemos decidir qual das medias utilizar

e isso nem sempre e obvio. Nos Exemplos 14.1.11, 14.1.12 e 14.1.13 respondemos a pergunta

norteadora ”Que media usar?”. Isso so foi possıvel pois conheciamos a natureza dos dados.

Contudo, dispondo apenas dos dados, advindos de uma situacao em que sua real natureza e

desconhecida, como proceder? Para entendermos qual media utilizar, devemos, antes de tudo,

saber qual a funcao da media (e tambem das medidas de posicao). A resposta e bastante

simples, a media deve representar os dados. Essa representacao deve levar em conta a

frequencia com que os dados aparecem, isto e, a media deve estar mais ”poxima”da maior parte

do dados. Vejamos agora algumas consideracoes sobre a escolha de uma dentre as tres medias,

isto e, a aquela que seja mais representativa.

A media arimetica e, de longe a mais comum dentre as tres medias. Recomenda-se seu uso

quando os dados nao apresentam valores atıpicos (valores muito grandes ou muito pequenos

com frequencia muito baixa) muito elevados. Por outro lado, a media harmonica, talvez a

menos conhecida das tres medias, presta-se muito bem nos casos, onde a maioria dos dados

se apresentam distribuidos de maneira uniforme e uma pequena parte apresenta valor elevado.

Em outras palavras, uma vez que a media harmonica de uma serie de numeros tende fortemente

para o mınimo de elementos da lista, ele tende (em comparacao com a media aritmetica) para

mitigar o impacto de grandes valores atıpicos (veja a Secao 17.3) e agravar o impacto de valores

menores.

Exemplo 14.4.1. Determine, em cada caso, a media que melhor representa as series dadas.

A : 1 1 1 2 2 2 2 3 3 4

B : 1 1 1 2 2 2 2 3 3 8

C : 0, 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3

137

Solucao: Calculando as medias aritmeticas e harmonicas das series obtemos: sao descartadas

da contagem.

Media Serie A Serie B Serie C

Aritmetica 2,1 2,7 1,71

Harmonica 1,6901 1,7341 0,6383

Observe que a serie A, tanto pode ser representada pela media aritmetica, quanto pela media

harmonica, uma vez que estas estao proximas dos dados, isto e, ambas estao entre 1 e 3 o que

corresponde ao grupo apresentando a maior parte dos dados! Por outro lado, a serie B apresenta

uma media aritmetica, embora entre 1 e 3, muito proxima do 3, quando, na verdade, deveria

esta proxima do valor 2 uma vez que os valores 1 e 2 sao mais frequentes, com 7 ocorrencias em

10 observacoes. Sendo assim, a media harmonica e mais representativa que a media aritmetica

quando tratamos da serie B. Por ultimo, a media aritmetica e a que parece representar melhor

a serie C. Note qua a media harmonica apresenta uma for tendencia em se aproximar do menor

valor 0, 1, mesmo sua frequencia sendo apenas 1 em 10.

Observando a formula da media harmonica, podemos perceber por que ela e tao boa para

avaliar series contendo dados com alto valor (em pequena quantidade) e tao ruim quando nos

deparamos com dados com baixo valor:

Elemento xk grande: xk −→ +∞

limxk−→+∞Mh(x1, ..., xk) = limxk−→+∞

∑ki=1 fi∑ki=1

fixi

=

=f1 + ...+ fk−1 + fk

f1x1

+ ...+ fk−1

xk−1+(limxk−→+∞

fkxk

) ≈Mh(x1, ..., xk−1)

Elemento x1 pequeno: x1 −→ 0

limx1−→0Mh(x1, ..., xk) = limx1−→0

∑ki=1 fi∑ki=1

fixi

=f1 + f2 + ...+ fk(

limx1−→0f1x1

)+ f2

x2+ ...+ fk

xk

−→ 0

Quanto a media geometrica, nao ha muito o que discutir, sendo sua utilizacao bastante clara.

Ela se adequa de modo geral a situcoes nas quais os dados estiverem inter-relacionados como,

por exemplo, taxas de crescimento/decrescimento, taxas de investimento, no qual a quantidade

futura aumenta/diminui levando-se em conta a quantidade atual. O Exemplo 14.1.12 e bastante

claro neste caso.

138

14.5 No Computador

O calculo das medias ja vem implementado em praticamente todos os softwares estatısticos.

Em particular, citamos o Excel e o Octave:

Excel: Escreva a formula correspondente e depois selecione os dados. Celulas em branco sao

descartadas da contagem.

Media Formula

Aritmetica =MEDIA

Geometrica =MEDIA.GEOMETRICA

Harmonica =MEDIA.HARMONICA

Octave: Escreva um vetor linha (por exemplo x = [1 3 5 6]) e use os comandos:

Media Formula

Aritmetica mean(x,”a”)

Geometrica mean(x,”g”)

Harmonica mean(x,”h”)

139

Capıtulo 15

Mais Medidas de Posicao

Dando continuidade ao que vimos no capıtulo anterior, temos outras importantes medi-

das de posicao. Primeiramente abordaremos os quantis, medidas capazes de dividir nossa

distribuicao em subdistribuicoes com mesma quantidade de dados ordenados em ordem cres-

cente (ou decrescente). Em seguida abordaremos a moda, tendo esta a funcao de apresentar o

elemento mais frequente de uma distribuicao.

15.1 Quantis

Definicao 15.1.1. Quantis sao medidas que nos possibilitam dividir uma distribuicao em

partes com igual quatidade de elementos, organizados em ordem crescente. Os dois principais

quantis sao:

Mediana: Quantil que divide uma distribuicao em duas partes, cada uma com 50% dos elemen-

tos. Notacao: x;

Figura 15.1: Mediana

Quartil: Quantis que divide uma distribuicao em quatro partes, cada uma com 25% dos ele-

mentos. Notacao: Q1, Q2, Q3;

140

Figura 15.2: Quartis

Outros dois quantis sao:

Decil: Quantis que divide uma distribuicao em dez partes, cada uma com 10% dos elementos.

Notacao: D1, D2, ... D9;

Perci: Quantis que divide uma distribuicao em cem partes, cada uma com 1% dos elementos.

Notacao: P1, P2, ... P99.

Apresentaremos um procedimento que no permite dividir uma distribuicao (dados agru-

pados) de n elementos em m partes iguais, 1, 2, 3, .., i, ...,m, de tal sorte que, em cada parte

(intervalo) contenha uma mesma quantidade de elementos. Vejamos os passos:

Passo 1: Calcula-se inm

, i = 1, 2, ...,m− 1;

Passo 2: Identifica-se a classe de Qt(i) pela Fi. Para tanto observa-se em que classe o valor de

“posicao” inm

se encontra;

Passo 3: Aplica-se a formula:

Qt(i) = lQt(i) +

(inm−∑f∗).h

fQt(i)

em que,

?lQt(i) e o limite inferior da classe associada a Qt(i);

?∑f∗ e a frequencia acumulada anterior a classe associada a Qt(i);

?h e a amplitude da classe associada a Qt(i);

?fQt(i) e a frequencia simples da classe associada a Qt(i).

Exemplo 15.1.2. Considere a seguinte distribuicao:


47, 0 ` 52, 4 5

52, 4 ` 57, 8 3

57, 8 ` 63, 2 8

63, 2 ` 68, 6 7

68, 6 ` 74, 0 4

74, 0 ` 79, 4 3

141

Determine:

a) A mediana.

b) O terceiro quartil.

c) O setimo decil.

Solucao: A tabela de frequencia acumulada nos ajudara bastante.

Peso (kg) Quantidade Fi

47, 0 ` 52, 4 5 5

52, 4 ` 57, 8 3 8

57, 8 ` 63, 2 8 16

63, 2 ` 68, 6 7 23

68, 6 ` 74, 0 4 27

74, 0 ` 79, 4 3 30

x: Note que a mediana x esta associada ao valor 1.302

= 15, que foi acumulado na terceira classe

(terceira linha). Assim,

x = lx +

(1.30

2−∑f∗).h

fx= 57, 8 +

(1.30

2− 8).5, 4

862, 525 kg ∼= 62, 5 kg

?Q3: Note que Q3 esta associado ao valor 3.304

= 22, 5 que foi acumulado na quarta classe

(quarta linha). Assim,

Q3 = lQ3 +

(3.30

4−∑f∗).h

fQ3

= 63, 2 +

(3.30

4− 16

).5, 4

7= 68, 21428571 kg ∼= 68, 2 kg

?D7: Note que D7 esta associado ao valor 7.3010

= 21 que foi acumulado na quarta classe (quarta

linha). Assim,

D7 = lD7 +

(7.3010−∑f∗).h

fD7

= 63, 2 +

(7.3010− 16

).5, 4

7= 67, 05714286 kg ∼= 67, 1 kg

15.2 Moda

Definicao 15.2.1. Ver Definicao 5.3.1.

Em uma distribuicao constando de dados nao agrupados a moda e o valor que mais aparece.

Para o caso de uma distribuicao de frequencia com dados agrupados em classes, costuma-se

utilizar a formula de Czuber. Vejamos os passos para a determinacao da Moda:

Passo 1: Identifica-se a classe modal, isto e, aquela que apresenta a maior frequencia.

Passo 2: Aplica-se a formula:

142

Mo = lMo +∆1

∆1 + ∆2

.h

em que,

? lMo e o limite inferior da classe modal;

? ∆1 corresponde a diferenca entre a frequencia da classe modal e a imediatamente anterior;

? ∆2 corresponde a diferenca entre a frequencia da classe modal e a imediatamente posterior;

? h Amplitude da classe modal.

Exemplo 15.2.2. Considere a seguinte distribuicao:


47, 0 ` 52, 4 5

52, 4 ` 57, 8 3

57, 8 ` 63, 2 8

63, 2 ` 68, 6 7

68, 6 ` 74, 0 4

74, 0 ` 79, 4 3

Determine a moda.

Solucao: Note que a classe modal e exatamente a terceira. Assim,

Mo = lMo +∆1

∆1 + ∆2

.h = 57, 8 +8− 3

(8− 3) + (8− 7).5, 4 = 62, 3 kg.

15.3 Exercıcios

Exercıcio 102. 1) Para cada uma das distribuicoes determine a mediana e a moda.

Idade (anos) Quant

17 ` 20 6

20 ` 23 10

23 ` 26 5

26 ` 29 3

29 ` 32 2

32 ` 35 3

Altura (cm) Quant

145, 1 ` 153, 5 6

153, 5 ` 161, 9 6

161, 9 ` 170, 3 4

170, 3 ` 178, 7 11

178, 7 ` 187, 1 5

187, 1 ` 195, 5 4

Exercıcio 103. A tabela a seguir apresenta uma distribuicao de frequencia acumulada referente

143

ao ganho salarial de trabalhadores de uma empresa.

Salario (R$) Fi

800, 00 ` 1200, 00 15

1200, 00 ` 1600, 00 50

1600, 00 ` 2000, 00 70

2000, 00 ` 2400, 00 80

2400, 00 ` 2800, 00 90

2800, 00 ` 3200, 00 97

3200, 00 ` 3600, 00 100

Determine o salario mais frequente e aquele cujo valor separa os 60% melhores salarios dos

demais salarios.

Exercıcio 104. A distribuicao a seguir representa o ganho salarial de trabalhadores de uma

empresa na decada de 80 em US$.

Salario (R$) N. de Empregados

80, 00 ` 180, 00 70

180, 00 ` 250, 00 140

250, 00 ` 300, 00 140

300, 00 ` 500, 00 60

Leve em conta a densidade de classe fi/hi para determinar a moda salarial.


Solucao do Exercıcio 102. i) Note que 292

= 14, 5. Assim,

Idade (anos) Quant Fi

17 ` 20 6 6

20 ` 23 10 16

23 ` 26 5

26 ` 29 3

29 ` 32 2

32 ` 35 3∑= 29

x = 20 +(29

2− 6).3

10= 23

144

Continuando, temos:

Mo = 20 +10− 6

10− 6 + 10− 5.3 = 21

ii) Note que 362

= 18. Assim,

Altura (cm) Quant Fi

145, 1 ` 153, 5 6 6

153, 5 ` 161, 9 6 12

161, 9 ` 170, 3 4 16

170, 3 ` 178, 7 11 27

178, 7 ` 187, 1 5

187, 1 ` 195, 5 4

x = 170, 3 +(36

2− 16).8, 4

11= 171, 8

Continuando, temos:

Mo = 170, 3 +11− 4

11− 4 + 11− 5.8, 4 = 174, 8

Solucao do Exercıcio 103. Temos que o valor mais frequente e dado pela moda. Assim,

Salario (R$) Fi fi

800, 00 ` 1200, 00 15 15

1200, 00 ` 1600, 00 50 35

1600, 00 ` 2000, 00 70 20

2000, 00 ` 2400, 00 80 10

2400, 00 ` 2800, 00 90 10

2800, 00 ` 3200, 00 97 7

3200, 00 ` 3600, 00 100 3

Mo = 1200 +35− 15

35− 15 + 35− 20.400 = 1428, 57

O valor que separa os 60% melhores salarios dos demais salarios e dado por D4. Note que

40×100100

= 40. Assim,

D4 = 1200 +

(40×100

100− 15

)400

35= 1485, 71.

Solucao do Exercıcio 104. Temos que determinar a classe da moda. A a classe de maior

145

densidade fi/h sera escolhida.

Salario (R$) N. de Empregados fi/h

80, 00 ` 180, 00 70 70100

= 0, 7

180, 00 ` 250, 00 140 14070

= 2

250, 00 ` 300, 00 140 14050

= 2, 8

300, 00 ` 500, 00 60 60200

= 0, 3

Logo, a classe modal e a terceira. Assim,

Mo = 250 +2, 8− 2

2, 8− 2 + 2, 8− 0, 350 = 262, 12

15.5 Media, Mediana e Moda, qual delas escolher?

As vezes precisamos escolher uma medida de posicao que melhor represente uma dis-

tribuicao. De modo geral, costumamos escolher a media. Contudo, nem sempre a media e

a opcao mais adequada. A seguir apresentamos algumas consideracoes acerca destas medidas.

? Media: A media e relativamente confiavel, de modo que, quando se selecionam amostras de

uma mesma populacao, as medias amostrais observadas costumam nao variar tanto quanto as

outras medidas de posicao. Uma outra vantagem da media e que ela leva em conta os valores

de todos os dados, contudo, ela e bastante sensıvel a cada valor, de tal forma que, a presenca

de um valor extremo (muito alto ou muito baixo em relacao ao restante) pode afeta-la consid-

eravelmente.

? Mediana: Por outro lado, a mediana e uma medida de posicao mais resistente, porque nao

se altera muito devido a presenca de apenas alguns valores extremos.

? Moda: A moda nao e muito usada com dados numericos. No entanto, a moda e a unica

medida de posicao que pode ser usada com dados no nıvel nominal de mensuracao (nomes,

categorias etc).

15.6 No Computador

O calculo dos percis e da moda e bastante facil quando dispusermos dos dados brutos

correspondentes a uma serie. Vejamos o seguinte exemplo no Octave.

Exemplo 15.6.1. Considere a seguinte serie correspondente as notas obtidas pelos alunos na

disciplina Probabilidade e Estatıstica no segundo semestre de 2015.

5, 7 6, 3 4, 7 4, 3 6, 2 9, 1 6, 1 5, 3 6, 0 5, 0 7, 2 4, 8 5, 3 3, 2

146

3, 9 5, 3 4, 2 4, 3 6, 7 8, 0 5, 0 5, 2 2, 1 7, 5 6, 1 4, 8 5, 4 5, 9

Determine:

i) A mediana, ii) o 1o quartil, iii) o 7o decil, iv) o 85o percil, v) a moda.

Solucao: Para o calculo dos quantis, usamos a funcao ”quantile(x, p)”onde x e o vetor linha cor-

respondente aos dados brutos ”x = [5.7 6.3 4.7 . . . 5.4 5.9]”e p e a quantidade de elementos

que e deixada. Em particular, temos ”Mediana = quantile(x, 0.5)”, ”Q1 = quantile(x, 0.25)”,

”D7 = quantile(x, 0.7)”, ”P85 = quantile(x, 0.85)”, ”Moda = mode(x)”. Os resultados obtidos

foram precisamente:

Figura 15.3: Quantis e Moda - Octave

Quando nao dispomos dos dados brutos, mas sim de dados dispostos e uma tabela, o calculo

dos quantis e da moda deve, em geral, ser feito de maneira manual usando-se as formulas vistas

nesta aula.

147

Capıtulo 16

Medidas de Dispersao

Veremos agora as chamadas medidas de dispersao. Tais medidas sao bastante uteis para

se avaliar o grau de variabilidade, ou dispersao, dos valores em torno da media. Servem para

medir a representatividade da media. De modo geral, quanto mais proximas de zero tais

medidas estiverem, mais representativa sera a media.

16.1 Medidas de Dispersao

Exemplo 16.1.1. Analisemos a nota de 3 alunos na disciplina Probabilidade e Estatıstica

durante o primeiro semestre de 2015.

a) 7, 0, 7, 0 7, 0

b) 6, 0, 7, 0 8, 0

c) 1, 0, 10, 0 10, 0

Note que todos os alunos possuem uma media igual a 7, 0. Contudo o aluno c) tem notas com

certo distanciamento da media. Dizemos que a media do aluno c) nao e tao representativa

quanto as medias dos alunos b) e a) (media com representatividade otima).

Definicao 16.1.2. Define-se a amplitude total como sendo a diferenca entre o maior e o menor

dos valores da serie

R = xmax − xmin.

Exemplo 16.1.3. Voltando ao Exemplo 16.1.1, temos

a) R = 7, 0− 7, 0 = 0, 0

b) R = 8, 0− 6, 0 = 2, 0

c) R = 10, 0− 1, 0 = 9, 0

148

De modo geral a amplitude total e bastante limitada pois utiliza somente dois valores, sendo

assim, bastante rudimentar. De modo geral ela apresenta certa relevancia se for relativamente

pequena!

Exemplo 16.1.4. As notas finais de um aluno em 10 disciplinas sao:

1, 0 8, 0 8, 0 9, 0 9, 0 9, 3 9, 4 9, 7 9, 9 9, 9

Note que R = 9, 9 − 1, 0 = 8, 9. Contudo, a media da distribuicao e igual a x = 8, 3. Note

que as notas se concentram acima do valor 8, 0 e portanto a amplitude total nao e tao realista

assim!

Uma medida de dispersao menos limitada que a amplitude total e a que se segue:

Definicao 16.1.5. Define-se o desvio medio como sendo a media aritmetica dos desvios abso-

lutos |di|DM =

∑|di|fi∑fi

,

em que di = x− xi.

Por que nao se utilizar a soma dos desvios sem o modulo?

Exemplo 16.1.6. Voltando ao Exemplo 16.1.1, temos:

a) DM = |7,0−7,0|.33

= 0

b) DM = |7,0−6,0|+|7,0−7,0|+|7,0−8,0|3

= 0, 67

c) DM = |7,0−1,0|+|7,0−10,0|+|7,0−10,0|3

= 4

Definicao 16.1.7. Define-se a variancia populacional como sendo a media aritmetica dos

quadrados dos desvios di

σ2 =

∑d2i fi

N

onde di = x − xi, e N e o tamanho da populacao. Nos casos onde se desconhece a populcao

utiliza-se a variancia amostral

S2 =

∑d2i fi

n− 1

onde n representa o tamanho da amostra.

Note que a variancia nao esta na mesma unidade que os dados, mas sim na unidade ao

quadrado. Sendo assim, a dispersao e geralmente associada ao desvio padrao, definido como

sendo a raiz quadrada da variancia.

σ =

√∑d2i fi

NS =

√∑d2i fi

n− 1

149

Outras formulas uteis para o calculo do desvio padrao/variancia sao:

σ =

√∑x2i − 1

n(∑xi)

2

nS =

√∑x2i − 1

n(∑xi)

2

n− 1.

Exemplo 16.1.8. Voltando ao Exemplo 16.1.1, temos:

a) S =√

(7,0−7,0)2.33−1

= 0

b) S =√

(7,0−6,0)2+(7,0−7,0)2+(7,0−8,0)2

3−1= 1

c) S =√

(7,0−1,0)2+(7,0−10,0)2.23−1

≈ 5, 20

Observacao 16.1.9. Note que uma unica das medidas de dispersao apresentadas, pode nao

ser suficiente para caracterizar uma distribuicao completamente. Isto e, podemos ter diferentes

distribuicoes apresentando, ora mesma media e mesmo desvio medio, ora mesma media e mesmo

desvio padrao. Neste caso, busca-se calcular mais de uma medida de dispersao ou analisarmos

a simetria/assimetria e curtose do grafico, como veremos logo mais.

Consideremos as distribuicoes:

a) 6, 0, 6, 0, 7, 0, 8, 0, 8, 0

b) 5, 0, 7, 0, 7, 0, 7, 0, 9, 0

Note que ambas apresentam a mesma media 7, 0 e o mesmo desvio medio DMa = DMb= 4

5.

Contudo se diferem quanto ao desvio padrao populacional Sa = 1 e Sb = 2. Neste caso, a

distribuicao b) e mais dispersa que a distribuicao a).

O mesmo problema parece ocorrer com o desvio padrao. Pois bem, vejamos:

Consideremos as populacoes compostas por numeros reais.

a) 6 7 8

b) 5, 848612181 7, 5 7, 651387819

Note que ambas apresentam a mesma media 7 e o mesmo desvio padrao amostral σa = σb = 1.

Mas o desvio medio DMa = 23

e DMb= 3.100925213. Neste caso, a distribuicao b) e mais

dispersa que a).

A caracterizacao de distribuicoes com diferentes medias pode ser feita, de maneira a observar

o tamanho relativo do desvio padrao (dispersao) em relacao a media.

Definicao 16.1.10. Define-se o coeficiente de variacao como sendo o quociente do desvio-

padrao populacional/amostral pela media da distribuicao.

CV =σ

µ× 100 (populacional)

150

CV =S

x× 100 (amostral)

Observacao 16.1.11. O arredondamento das medidas de dispersao deve, de modo geral, ser

feito com pelo menos uma casa a mais que o arredondamento das medidas de posicao.

Exemplo 16.1.12. Numa empresa, o salario medio dos homens e de R$ 4000, 00, com desvio-

padrao de R$ 1500, 00, e o das mulheres e em media de R$ 3000, 00, com desvio-padrao de

R$ 1200, 00. Em princıpio, somos levados a crer que ha uma maior dispersao quanto ao salario

dos homens. Contudo,

CVHomens =1500, 00

4000, 00× 100 = 37, 5%

CVMulheres =1200, 00

3000, 00× 100 = 40, 0%

Assim, concluımos que as mulheres ganham salarios mais dispersos em relacao a media.

Exemplo 16.1.13. Determinada maquina enche garrafas baseada no peso bruto com media

1 kg e desvio padrao 25 g. Sabendo que as garrafas tem peso 90 g com desvio padrao 8 g

determine a media e o desvio padrao do peso lıquido.

Solucao: Seja X a v.a. representando o peso bruto (lata + lıquido) e Y representando o peso

da lata. Assim, temos (veja a nota de rodape 3.)

E(X − Y ) = E(X)− E(Y ) = 1000− 90 = 910.

σ(X − Y ) =√V ar(X) + V ar(Y ) =

√252 + 82 = 26, 2 g.

16.2 Exercıcios

Exercıcio 105. A seguir, apresentaremos o consumo de energia eletrica de tres famılias ao

longo de 36 meses.


130 ` 140 4

140 ` 150 8

150 ` 160 10

160 ` 170 7

170 ` 180 4

180 ` 190 2

190 ` 200 1∑36

151


130 ` 140 1

140 ` 150 4

150 ` 160 19

160 ` 170 7

170 ` 180 3

180 ` 190 1

190 ` 200 1∑36


130 ` 140 5

140 ` 150 6

150 ` 160 7

160 ` 170 6

170 ` 180 5

180 ` 190 4

190 ` 200 3∑36

a) Determine a media, a moda, a mediana e o desvio padrao (amostral).

b) Determine qual das famılias apresenta maior dispersao relativa quanto aos gastos.

c) Voce consegue estabelecer alguma relacao entre as medidas de posicao e o desvio padrao com

base nos valores calculados? Em qual caso as medidas de posicao sao mais representativas?

Exercıcio 106. A tabela a seguir apresenta o numero de transacoes efetuadas em cada uma

das lojas dos Supermercados X:

Escala (u.m.) Loja 1 Loja 2

00 ` 10 29 74

10 ` 20 44 78

20 ` 30 26 30

30 ` 40 9 18

Calcule o desvio padrao das distribuicoes em ambas as lojas. Qual delas apresenta uma dis-

persao mais elevada?

152



xA =135× 4 + 145× 8 + 155× 10 + 165× 7 + 175× 4 + 185× 2 + 195× 1

4 + 8 + 10 + 7 + 4 + 2 + 1= 158

MoA = 150 +10− 8

10− 8 + 10− 710 = 154

xA = 150 +(18− 12)10

10= 156

b) Temos que

xB =135× 1 + 145× 4 + 155× 19 + 165× 7 + 175× 3 + 185× 1 + 195× 1

1 + 4 + 19 + 7 + 3 + 1 + 1= 159

MoB = 150 +19− 4

19− 4 + 19− 710 = 156

xB = 150 +(18− 5)10

19= 157

c) Temos que

xC =135× 5 + 145× 6 + 155× 7 + 165× 6 + 175× 5 + 185× 4 + 195× 3

5 + 6 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3= 162

MoC = 150 +7− 6

7− 6 + 7− 610 = 155

xC = 150 +(18− 11)10

7= 160

b) Temos que

SA =

√(135− 158)2 × 4 + (145− 158)2 × 8 + ...+ (195− 158)2 × 1

36− 1= 15, 0⇒

⇒ CVA =15

158× 100% = 9, 49%

SB =

√(135− 159)2 × 1 + (145− 159)2 × 4 + ...+ (195− 159)2 × 1

36− 1= 11, 5⇒

⇒ CVB =11, 5

159× 100% = 7, 23%

SC =

√(135− 162)2 × 5 + (145− 162)2 × 6 + ...+ (195− 162)2 × 3

36− 1= 18, 5⇒

⇒ CVC =18, 5

162× 100% = 11, 42%

Logo, a famılia C apresenta maior dispersao relativa.

c) Sabemos que quanto menor as medidas de dispersao (desvio padrao e coeficiente de variacao)

153

mais proximos os dados estao uns dos outros. Consequentemente, as medidas de posicao estarao

mais proximas umas das outras. De fato,

MaxDiferencaA = Max|xA − xA|, |xA −MoA|, |MoA − xA| = 4

MaxDiferencaB = Max|xB − xB|, |xB −MoB|, |MoB − xB| = 3

MaxDiferencaC = Max|xC − xC |, |xC −MoC |, |MoC − xC | = 7

Solucao do Exercıcio 106. Para a Loja 1, temos:

x1 =5× 29 + 15× 44 + 25× 26 + 35× 9

29 + 44 + 26 + 9= 16.

σ1 =(5− 16)2 × 29 + (15− 16)2 × 44 + (25− 16)2 × 26 + (35− 16)2 × 9

29 + 44 + 26 + 9= 9, 1

CV1 =9, 1

16× 100% = 56, 9%

Para a Loja 2, temos:

x2 =5× 74 + 15× 78 + 25× 30 + 35× 18

74 + 78 + 30 + 18= 15.

σ2 =(5− 15)2 × 74 + (15− 15)2 × 78 + (25− 15)2 × 30 + (35− 15)2 × 18

74 + 78 + 30 + 18= 9, 4

CV2 =9, 4

15× 100% = 62, 7%

A Loja 2 apresenta maior dispersao que a Loja 1.

16.4 No Computador

Caso tenhamos os dados brutos, o calculo do desvio padrao se da de maneira bastante

simples, podemos simplesmente usar o Octave ou outro softaware qualquer. Contudo, para

dados agruapados em classes recomenda-se o uso do Excel. Vejamos os dois casos:



5, 7 6, 3 4, 7 4, 3 6, 2 9, 1 6, 1 5, 3 6, 0 5, 0 7, 2 4, 8 5, 3 3, 2

3, 9 5, 3 4, 2 4, 3 6, 7 8, 0 5, 0 5, 2 2, 1 7, 5 6, 1 4, 8 5, 4 5, 9

Determine o desvio padrao e o coeficiente de variacao.

Solucao: No Octave usamos os comandos ”std(x, 0)”para o calculo do desvio padrao amostral e

”std(x, 1) para o calculo do desvio padrao populacional. O vetor x e inserido como no Exemplo

15.6.1. Por outro lado, o coeficiente de variacao e feito com o comando ”std(x)/mean(x)”. Os

resultados obtidos foram precisamente:

154

Figura 16.1: Desvio Padrao Para Dados Nao Agrupados - Octave

Exemplo 16.4.2. Determine o desvio padrao amostral dos dados:


47, 0 ` 52, 4 5

52, 4 ` 57, 8 3

57, 8 ` 63, 2 8

63, 2 ` 68, 6 7

68, 6 ` 74, 0 4

74, 0 ` 79, 4 3

Solucao: Construa a tabela auxiliar (sobreada em azul) conforme feito no Exemplo 12.5.1

contendo as colunas ”xi ∗ Fi”, ”di = |x − xi|”e ”d2i ∗ Fi”. Observe que a linha 9 da planilha

contem os somatorios de algumas colunas.

Passos: i) Na celula G12 inserimos a formula ”= G9/E9”; ii) Na celula H12 inserimos a formula

”= (I9/(E9− 1)) ∧ (1/2)”.

155

Figura 16.2: Desvio Padrao Para Dados Agrupados - Excel

156

Capıtulo 17

Comportamento Grafico

Nesta secao apresentaremos ferramentas capazes de nos fornecer informacoes (graficas) a

respeito do comportamento de uma distribuicao. Sao elas as medidas de assimetria, as medidas

de curtose e os diagramas de caixas. Tais ferramentas sao bastante uteis quando se busca

comparar duas distribuicoes.

17.1 Medidas de Assimetria

As medidas de assimetria indicam o grau de afastamento de uma distribuicao da unidade

de simetria. Temos tres tipos basicos de distribuicao. Vejamos cada um.

Definicao 17.1.1. Uma distribuicao e dita simetrica quando Mo = x = x.

Figura 17.1: Distribuicao Simetrica

Definicao 17.1.2. Uma distribuicao e dita asimetrica positiva quando Mo < x < x.

157

Figura 17.2: Distribuicao Assimetrica Positiva

Definicao 17.1.3. Uma distribuicao e dita asimetrica negativa quando x < x < Mo.

Figura 17.3: Distribuicao Assimetrica Negativa

Apresentaremos duas das varias formulas para o calculo do coeficiente de assimetria, dentre

elas sao uteis:

Definicao 17.1.4. Definem-se as seguintes medidas de assimetria:

1o Coeficiente de Pearson

AS =µ−Mo

σou AS =

x−Mo

S.

2o Coeficiente de Pearson

AS =Q1 +Q3 − 2x

Q3 −Q1

.

Com base nas Definicoes 17.1.1, 17.1.2, 17.1.3 e 17.1.4 temos:

AS = 0 indica uma distribuicao simetrica;

AS > 0 indica uma distribuicao assimetrica positiva;

AS < 0 indica uma distribuicao assimetrica negativa.

Devido a quantidade de maneiras de se calcular a simetria/assimetria de uma distribuicao,

recomenda-se usar as duas formulas para se ter um indicador mais preciso. Ha ainda mais uma

terceira forma de calcular a assimetria conforme apresentado na Observacao 17.6.2.

158

Exemplo 17.1.5. Considere a distribuicao:


47, 0 ` 52, 4 5

52, 4 ` 57, 8 3

57, 8 ` 63, 2 8

63, 2 ` 68, 6 7

68, 6 ` 74, 0 4

74, 0 ` 79, 4 3∑30

Calcular os dois coeficientes de Pearson.

Solucao: Apos muitas e muitas contas temos (confira),

Q1 = 56, 9, x = Q2 = 62, 5, Q3 = 68, 2, Mo = 62, 3, x = 62, 5, S = 8, 3

Por fim,

AS =x−Mo

S=

62, 5− 62, 3

8, 3≈ 0, 024

AS =Q1 +Q3 − 2x

Q3 −Q1

=56, 9 + 68, 2− 2.62, 5

68, 2− 56, 9≈ 0, 0057.

Com base nos dois coeficientes pode-se observar que a distribuicao apresenta assimetria positiva

(leve) levando-se em conta os dois coeficientes.

17.2 Medida de Curtose

Denomina-se curtose o grau de achatamento da distribuicao. Antes das classificacoes,

devemos calcular o coeficiente de curtose:

K =Q3 −Q1

2(P90 − P10)

Definicao 17.2.1. Uma distribuicao e dita mesocurtica se curva que a representa nao e

achatada nem delgada, isto e, k = 0, 263.

159

Figura 17.4: Distribuicao Mesocurtica

Definicao 17.2.2. Uma distribuicao e dita leptocurtica se sua curva e delgada (afinada), isto

e, k < 0, 263.

Figura 17.5: Distribuicao Leptocurtica

Definicao 17.2.3. Uma distribuicao e dita platicurtica se sua curva e achatada, isto e, k >

0, 263.

Figura 17.6: Distribuicao Platicurtica

Exemplo 17.2.4. Determine o tipo de curva correspondente a distribuicao amostral.


47, 0 ` 52, 4 5

52, 4 ` 57, 8 3

57, 8 ` 63, 2 8

63, 2 ` 68, 6 7

68, 6 ` 74, 0 4

74, 0 ` 79, 4 3∑30

Solucao: Apos muitas e muitas contas temos (confira),

Q1 = 56, 9, Q3 = 68, 2, P10 = 50, 2, P90 = 74, 0

160

Por fim,

K =Q3 −Q1

2(P90 − P10)=

68, 2− 56, 9

2(74, 0− 50, 2)= 0, 237 < 0, 263

e portanto a distribuicao e leptocurtica.

17.3 Diagramas de Caixas

Definicao 17.3.1. Um diagrama de caixa e um grafico de um conjunto de dados que consiste

em uma linha que se estende do valor mınimo ao valor maximo, em uma caixa com linhas

tracadas no primeiro quartil, Q1, na mediana e no terceiro quartil, Q3.

Exemplo 17.3.2. Determine o diagrama de caixas da distribuicao dada no Exemplo 17.2.4.

Solucao: Com base nos calculos apresentados no Exemplo 17.2.4, temos:

Figura 17.7: Diagrama de Caixa

Quando analisamos dados, e importante identificarmos e considerarmos valores atıpicos

(outliers) uma vez que eles podem afetar fortemente os valores de algumas estatısticas im-

portantes (tais como media e desvio padrao).

Definicao 17.3.3. Definimos a amplitude interquartılica (AIQ) como:

AIQ = Q3 −Q1.

Uma regra para se determinar valores atıpicos consiste no seguinte:

Definicao 17.3.4. Um valor e atıpico se estiver acima de Q3 por uma quantidade maior do

que 1, 5×AIQ (isto e, se for maior que Q3 + 1, 5×AIQ) ou abaixo de Q1 por uma quantidade

maior que 1, 5× AIQ (isto e, se for menor Q1 − 1, 5× AIQ).

Exemplo 17.3.5. Determine a cota superior e inferior para valores atıpicos referentes ao Ex-

emplo 17.2.4.

Solucao: Temos que

AIQ = Q3 −Q1 = 62, 8− 51, 5 = 11, 3

161

Logo, um valor sera considerado atıpico se for menor que Q1 − 1, 5 × AIQ = 34, 55 ≈ 34, 6

(nao temos) ou maior que Q3 + 1, 5 × AIQ = 79, 75 ≈ 79, 8 (nao temos). Temos portanto a

inexistencia de valores que afetem significativamente os dados.

Ao tratarmos de uma distribuicao normal, dizemos que um valor x e atıpico se o coeficiente

zx =x− xs

oux− µσ

for tal que:

zx < −2 ou zx > 2

.

Exemplo 17.3.6. Uma amostra de alturas de homens teve media 78, 27 kg e desvio padrao

11, 94 kg. Admitindo tratar-se de uma amostra proveniente de uma distribuicao normal, deter-

mine se um indivıduo que pesa 48, 34 kg possui peso considerado atıpico.

Solucao: Temos que

zx =48, 34− 78, 27

11, 94= −2, 20

Como zx = −2, 20 < −2 o peso 48, 43 e considerado atıpico.

17.4 Exercıcios

Exercıcio 107. A seguir, apresentaremos o consumo de energia eletrica de tres famılias ao

longo de 36 meses.


130, 0 ` 140, 0 4

140, 0 ` 150, 0 8

150, 0 ` 160, 0 10

160, 0 ` 170, 0 7

170, 0 ` 180, 0 4

180, 0 ` 190, 0 2

190, 0 ` 200, 0 1∑36

162


130, 0 ` 140, 0 1

140, 0 ` 150, 0 4

150, 0 ` 160, 0 19

160, 0 ` 170, 0 7

170, 0 ` 180, 0 3

180, 0 ` 190, 0 1

190, 0 ` 200, 0 1∑36


130, 0 ` 140, 0 5

140, 0 ` 150, 0 6

150, 0 ` 160, 0 7

160, 0 ` 170, 0 6

170, 0 ` 180, 0 5

180, 0 ` 190, 0 4

190, 0 ` 200, 0 3∑36

Determine os coeficientes de assimetria, o coeficiente de curtose e caracterize cada distribuicao,

construa os diagramas de caixa e determine as cotas superiores e inferiores para os valores

atıpicos. Estabeleca uma relacao entre o diagrama de caixas, a curtose e a dispersao com base

na observacao das distribuicoes.

Exercıcio 108. Considere uma amostra das alturas de mulheres, provenientes de uma pop-

ulacao normal, cuja media e desvio padroes amostrais sao dadas por x = 1, 61m e S = 0, 12m.

Determine o limite superior e inferior para as alturas nao atıpicas.


Solucao do Exercıcio 107. Aproveitando calculos anteriores e mais alguns calculos, temos:

i) AS1 = x−MoS

= 158−15415

= 0, 27 > 0 e AS2 = Q3+Q1−2Q2

Q3−Q1= 167+146−2×156

167−146= 0, 05 > 0. Portanto,

temos uma assimetria positiva.

Por outro lado, K = 167−1462(179−139)

= 0, 263. e portanto, temos uma distribuicao mesocurtica.

Temos o seguinte diagrama de caixa: As cotas superior e inferior para os valores atıpicos sao:

Sup = 167 + 1, 5× (167− 146) = 199, Inf = 146− 1, 5× (167− 146) = 115.

163

ii) AS1 = x−MoS

= 159−15611,5

= 0, 26 > 0 e AS2 = Q3+Q1−2Q2

Q3−Q1= 164+152−2×157

164−152= 0, 17 > 0.

Portanto, temos uma assimetria positiva.

Por outro lado, K = 164−1472(175−149)

= 0, 231 < 0, 263. Portanto, temos uma distribuicao leptocurtica.


Sup = 164 + 1, 5× (164− 152) = 182, Inf = 152− 1, 5× (164− 152) = 134.

iii) AS1 = x−MoS

= 162−15518,5

= 0, 38 > 0 e AS2 = Q3+Q1−2Q2

Q3−Q1= 176+147−2×160

176−147= 0, 10 > 0.

Portanto, temos uma assimetria positiva.

Por outro lado, K = 176−1472(189−137)

= 0, 279 > 0, 263. Portanto, temos uma distribuicao platicurtica.


Sup = 176 + 1, 5× (176− 147) = 220, Inf = 147− 1, 5× (176− 147) = 104.

Comparando as distribuicoes podemos observar uma clara relacao entre a dispersao, o diagrama

de caixa e a curtose. Uma caixa longa representa ao mesmo tempo uma distribuicao platicurtica

que por sua vez esta ligada a uma distribuicao com alta dispersao. Por outro lado, uma caixa

fina representa ao mesmo tempo uma distribuicao leptocutica que por sua vez esta ligada a

uma distribuicao com baixa dispersao.

Solucao do Exercıcio 108. A cota superior para os valores nao atıpicos e dada por:

xsup − 1, 61

0, 12= 2⇒ xsup = 1, 85m

A conta inferior para os valores nao atıpicos e dada por:

xinf − 1, 61

0, 12= −2⇒ xinf = 1, 37m

17.6 No Computador

Voce ja deve ter notado o quao moroso sao os calculos das medidas de assimetria e curtose

manualmente. Usando o Octave os calculos sao feitos em segundos! Vejamos um exemplo.

164



5, 7 6, 3 4, 7 4, 3 6, 2 9, 1 6, 1 5, 3 6, 0 5, 0 7, 2 4, 8 5, 3 3, 2

3, 9 5, 3 4, 2 4, 3 6, 7 8, 0 5, 0 5, 2 2, 1 7, 5 6, 1 4, 8 5, 4 5, 9

Determine os tipos de assimetria/simetria e curtose.

Solucao: No Octave usamos os comandos:

Assimetria:

1o Coeficiente de Pearson: (mean(x)−mode(x))/std(x, 0);

2o Coeficiente de Pearson: (quantile(x, 0.25)+quantile(x, 0.75)−2∗quantile(x, 0.5))/(quantile(x, 0.75)−quantile(x, 0.25));

Curtose:

(quantile(x, 0.75)−quantile(x, 0.25))/(2∗ (quantile(x, 0.90)−quantile(x, 0.1))). Os resultados

foram precisamente os seguintes:

Figura 17.8: Assimetria e Curtose

Trata-se portanto de uma distribuicao Assimetrica Positiva e Leptocurtica.

Observacao 17.6.2. O Octave apresenta outras formas de calculo do tipo de assimetria/simetria

e de curtose. Elas sao dadas por:

Assimetria: AS =”skewness(x)”= mean((x−mean(x))∧3)std(x)∧3

Se AS > 0 dizemos que a distribuicao tem assimetria positiva.

Se AS < 0 dizemos que a distribuicao tem assimetria negativa.

Se AS = 0 dizemos que a distribuicao e simetrica.

Curtose: K =”kurtosis(x)”= mean((x−mean(x))∧4)std(x)∧4

Se k > 3 dizemos que a distribuicao e leptocurtica.

Se k < 3 dizemos que a distribuicao e platicurtica.

Se k = 3 dizemos que a distribuicao e mesocurtica.

Em particular, no Exemplo 17.6.1, temos:

AS = 0, 22751 > 0 e K = 3, 6550 > 3.

Como obtido anteriormente temos uma distribuicao Assimetrica Positiva e Leptocurtica.

165

Quanto ao esboco de diagramas de caixas uma boa alternativa e software SPSS devido a

certa praticidade quando comparado aos demais. Vejamos um exemplo:

Exemplo 17.6.3. Os dados a seguir foram representam as alturas de uma amostra de 24 alunos

de uma sala de aula. A letra M refere-se a altura obtida de uma mulher e a letra H a altura

obtida de um homem.

M M H M M H H M M M H M

45 45 46 49 49 50 51 52 53 53 54 56

H M H H M M M H H H M H

56 56 57 59 60 60 63 64 64 64 65 80

Solucao: No SPSS obtemos: Observe que isso nos permite uma comparacao entre os pesos de

Figura 17.9: Grafico de Caixa - SPSS

homens e mulheres! Passos: i) Na coluna 1 (VAR00001) insira os valores das alturas; ii) Na

coluna 2 (VAR00002) insira o sexo correspondente a altura; iii) Click em ”Graphs”; iv) Click em

”Chart Builder”e depois em ”OK”; iv) Escolha a opcao ”Boxplot”; v) Escolha a opcao ”Simple

Boxplot”; vi) Arraste da parte lateral ”VAR00001”para a parte correspondente a ”Y-Axis?”e

”VAR00002”para a parte correspondente a ”X-Axis?”; vii) Click em ”OK”.

17.7 Erros: Tabelas vs Dados Brutos

Algo a se observar quando estamos trabalhando com tabelas ao inves de observarmos os

dados brutos e o erro cometido ao se utilizar uma maneira ao inves da outra. Ambas as formas

se destinam a objetivos diferentes conforme mencionado anteriormente.

Definicao 17.7.1. Dada uma medida real (exata) x e uma estimativa x definimos os erros:

Eabs = |x− x|

166

Er1 =|x− x|x

× 100%

Er2 =|x− x|x

× 100%

O erro Eabs e chamado de erro absoluto. Os erros Er1 e Er2 sao chamados de erros relativos

e sao mais uteis uma vez que nos dizem percentualmente o quanto estamos afastados do valor

exato.

Exemplo 17.7.2. Voltando ao Exemplo 11.3.1 podemos comparar os resultados obtidos via

dados brutos e os dados obtidos via tabela de distribuicao em classes.

Solucao: Os resultados foram precisamente o seguintes:

Medida Rol Tabela Er1 Interpretacao

Media Aritmetica 62,1 62,5 0,64 % Ok

Moda 63,2 62,3 0,142 % OK

Mediana 62,1 62,5 0,64 % OK

Desvio Padrao Amostral Amostral 8,34 8,33 0,12 % OK

1o Coef. Pearson -0,13 0,02 7,50 % Diverge

2o Coef. Pearson 0,07 0,01 6,00 % OK

Curtose 0,217 0,237 9,22 % OK

Observe que as medidas de assimetria apresentaram erros significativos de forma a termos

duvida quanto ao tipo de simetria. Nestes casos, se dispomos dos dados brutos devemos op-

tar por usa-los para o calculo das medidas amostrais ao inves de fazermos a tabela e depois os

calculos. Contudo, o uso da tabela mostra-se eficiente para uma analise rapida ou nos casos que

queremos determinar as medidas de posicao e dispersao, principalmente nos casos, onde a dis-

persao e baixa. Em particular, os comandos (Octave) ”skewness(x)”e ”kurtosis(x)”aplicados

aos dados brutos, nos fornecem:

AS = 0, 20479 > 0 e K = 2, 6484 < 3.

Quanto a curtose, podemos afirmar que trata-se de uma distribuicao platicurtica. Por outro

lado, ha certa divergencia no que diz respeito a simetria. Uma analise da distribuicao nos per-

mite concluir que a curva possui assimetria levemente positiva. O leitor, sempre que necessario,

deve citar as referencias utilizadas a fim de evitar enganos na hora de uma comparacao ou clas-

sificacao quanto as medidas de simetria/assimetria e curtose. E, ao final, se as diversas formulas

associadas a uma medida nao convergirem para uma mesma direcao e recomendado que nao se

leve em conta tal medida.

167

Capıtulo 18

Amostragem Estatıstica

18.1 Princiais Aspectos

Pesquisas estatısticas, em geral, sao realizadas analisando amostras extraıdas da populacao

que se pretende estudar. Fatores como tempo para a realizacao da pesquisa e seu custo tornam,

na grande maioria das vezes, inviavel o estudo de toda a populacao. Contudo, pode-se ainda

ter boa representatividade tomando-se parte da populacao (amostra). Para tanto precisaremos

observar:

? O tamanho da amostra;

? A composicao da amostra.

18.1.1 Dimensionamento da Amostra

O dimensionamento dependera de dois fatores:

? o tipo de variavel: contınua ou nominal/ordinal;

? o tamanho da populacao: finita ou infinita (muito grande).

Definicao 18.1.1. Para variaveis contınuas e populcao infinita, temos que o tamanho amostral

e dado por:

n =

(Z.σ

d

)2

Para variaveis contınuas e populcao finita, temos:

n =Z2.σ2.N

d2(N − 1) + Z2σ2

em que

-N e o tamanho populacional;

168

-Z e abscissa da curva normal padrao;

-σ e o desvio padrao populacional;

-d e o erro amostral, expresso na unidade da variavel. O erro amostral e a maxima diferenca

que o investigador admite suportar entre µ e x, isto e, |x− µ| < d.

Em certas situcoes nao temos o conhecimento de σ para a determinacao do tamanho

amostral. Neste caso temos alguns procedimentos:

i) Assuma que σ ≈ aplitude/4; (TRIOLA, 2013, pg. 87);

ii) Comece o processo de coleta da amostra sem o conhecimento de σ e, com base em varios

dos primeiros valores, calcule o desvio-padrao normal s e use-o no lugar de σ. Observe que o

valor de σ pode ser melhorado fazendo o tamanho amostral se aproximar do ideal a medida

que mais dados vao sendo analisados;

iii) Estime o valor de σ usando os resultados de algum outro estudo semelhante feito anterior-

mente.

Exemplo 18.1.2. Suponha que a variavel escolhida num estudo seja o peso de certa peca.

Pelas especificacoes do produto, o desvio-padrao e de 10 kg. Admitindo um erro amostral de

1, 5 kg, determine o tamanho populacional:

a) considerando uma populacao infinita e um nıvel de confianca de 95, 5%;

b) considerando uma populacao finita de 600 peca e um nıvel de confianca de 95, 5%;

c) considerando uma populacao infinita e um nıvel de confianca de 99%;

d) considerando uma populacao finita e um nıvel de confianca de 99%;

Solucao:

a) n =(

2.101,5

)2

= 178

b) n = 22.102.6001,52(600−1)+22.102

= 138

c) n =(

2,57.101,5

)2

= 294

d) n = 2,572.102.6001,52(600−1)+2,572.102

= 198

Observacao 18.1.3. Observe como o nıvel de confianca e o tamanho da populacao finita/infinita

estao relacionados aos tamanhos amostrais!

Definicao 18.1.4. Para variaveis nominais ou ordinais e populacao infinita, temos que o

tamanho amostral e dado por:

n =Z2pq

d2

Para variaveis nominais ou ordinais e populacao finita, temos:

n =Z2pqN

d2(N − 1) + Z2pq

169

onde

-N e o tamanho populacional;

-Z e a abscissa da curva normal padrao;

-p e estimativa da verdadeira proporcao de um dos nıveis da variavel escolhida;

-q = 1− p;-d e o erro amostral, expresso na unidade da variavel. O erro amostral e a maxima diferenca

que o investigador admite suportar entre µ e x, isto e, |p− p| < d.

Em alguns casos, nao temos qualquer estimativa de p. Neste caso, tomamos pq como 0, 25,

isto e, usamos as formulas:

n =Z2.0, 25

d2

n =Z2.0, 25

d2(N − 1) + Z2.0, 25

Exemplo 18.1.5. Suponha que a variavel escolhida num estudo seja a proporcao de eleitores

favoraveis ao candidato X. Considerando um nıvel de confianca de 99% e um erro amostral de

2%, determine o tamanho amostral:

a) admitindo uma populacao infinita e que o investigador suspeite que a porcentagem de

eleitores favoraveis seja de 30%.

b) admitindo uma populacao finita de 20000 eleitores e que o investigador suspeite que a por-

centagem de eleitores favoraveis seja de 30%.

c) admitindo uma populacao infinita e que o investigador nao tenha qualquer informacao

sobre a proporcao de eleitores favoraveis.

d) admitindo uma populacao finita de 20000 eleitores e que o investigador nao tenha qualquer

informacao sobre a proporcao de eleitores favoraveis.

Solucao:

a) n = 2,572.0,30.0,700,022

= 3468;

b) n = 2,572.0,30.0,70.200000,022(20000−1)+2,572.0,30.0,70

= 2956

c) n = 2,572.0,250,022

= 4129

d) n = 2,572.0,25.200000,022(20000−1)+2,572.0,25

= 3422

170

18.1.2 Composicao da Amostra

Definicao 18.1.6. Um metodo de amostragem e dito probabilıstico se cada elemento da pop-

ulacao tem a mesma probabilidade de ser selecionado, isto e, em uma populacao de N in-

divıduos, a probabilidade de qualquer indivıduo ser selecionado deve ser 1/N .

A utilizacao de metodos de amostragem probabilısticos garante mais credibilidade ao inves-

tigador. Alem disso, tais metodos garantem cientificamente uma amostra mais representativa

a fim de se realizar inducoes ou inferencias sobre a populacao.

Definicao 18.1.7. Define-se a amostragem aleatoria simples como sendo processo mais ele-

mentar e frequentemente utilizado. Atribui-se a cada elemento da populacao um numero dis-

tinto (se a populacao ja for numerada utilizam-se esse rotulos). Efetuam-se sucessivos sorteios

ate completar-se o tamanho da amostra n. Nestes sorteios utilizam-se as chamadas ”tabuas

de numeros aleatorios”que consistem em tabelas que apresentam sequencias dos dıgitos 0 a 9

distribuıdos aleatoriamente.

Observacao 18.1.8. Na Definicao 18.1.7 as tabelas de dıgitos aleatorios podem ser substituıdas

pelo uso de softwares especıficos. Veja o Exemplo 18.4.1.

Exemplo 18.1.9. Suponhamos uma populacao com N = 1000 elementos numerados de 000 a

999 da qual precisemos retirar 200 amostras. Usaremos a tabela de dıgitos aleatorios (Tabela

18.3). Para tanto, sorteamos uma linha, digamos a terceira. Nela encontramos a seguinte

sequencia de numeros:

822601998960999390614...

Separando em grupos de 3 dıgitos (mesma quantidade de dıgitos de N − 1), temos os seguintes

elementos amostrais:

822 601 998 960 ...

Procedemos desta forma, avancando as linhas ate completarmos as 200 amostras.

Observacao 18.1.10. Se o numero sorteado superar o maior numero dos elementos rotulados,

abandona-se o numero sorteado, prosseguindo o processo. Se o numero for repetido, devemos

abandona-lo. Se os dıgitos aleatorios de uma linha nao sao suficientes siga ara a proxima.

Definicao 18.1.11. Define-se a amostragem sistematica como sendo uma variacao da amostragem

aleatoria simples, conveniente quando a populacao esta ordenada segundo algum criterio,

171

como fichas em um fichario, listas telefonicas etc. Calcula-se o intervalo de amostragem N/n

aproximando-o para o inteiro mais proximo a. Utilizando a tabua de numeros aleatorios,

sorteia-se um numero x entre 1 e a, formando-se a amostra dos elementos correspondentes aos

numeros x, x+ a, x+ 2a, ...

Exemplo 18.1.12. Por exemplo, seja N = 1000, n = 200. Logo,

a =N

n=

1000

200= 5

Imagine que tres seja o numero sorteado entre 1 e 5. Portanto, os elementos da populacao

numerados por 3, 8, 18, ..., 998 irao compor a amostra.

Definicao 18.1.13. Definimos a amostragem estratificada como sendo o processo de subdivisao

da populacao, em pelo menos dois subgrupos (ou estratos), de modo que sujeitos no mesmo sub-

grupo compartilhem as mesmas caracterısticas e, em seguida, extraımos uma amostra aleatoria

simples de cada subgrupo (mantendo as proporcoes em relacao ao todo). As variaveis de es-

tratificacao mais comuns sao: classe social, idade, sexo, profissao ... ou qualquer outro atributo

que revele os estratos dentro da populacao.

Definicao 18.1.14. Define-se a amostragem por conglomerado como sendo o processo em que

primeiro divide-se a area da populacao em secoes (ou conglomerados) e em seguida seleciona-

se aleatoriamente alguns desses conglomerados e. Por fim, toma-se como amostra todos os

membros desses conglomerados selecionados.

Exemplo 18.1.15. Num levantamento da populacao de uma cidade, podemos dispor do mapa

indicando cada quarteirao e nao dispor de uma relacao atualizada dos seus moradores. Pode-se,

entao, escolher uma amostra dos quarteiroes e fazer uma contagem completa de todos os que

residem naqueles quarteiroes sorteados.

Observacao 18.1.16. E facil confundir amostragem estratificada com a amostragem por con-

glomerado uma vez que ambas envolvem a formacao de subgrupos da populacao. Porem,

a amostragem por conglomerado usa todos os membros de uma amostra de conglomerados,

equanto que a amostragem estratificada usa uma amostra de membros de todos os extratos.

Para maiores detalhes veja o Exemplo 3 (TRIOLA, 2013, pg.23). E possıvel que uma situacao

exija mais de um tipo de amostragem.

172

18.2 Exercıcios

Exercıcio 109. Dada a seguinte populacao (renda em $ 1000)

29 06 34 12 15 31 34 20 08 30

08 15 24 22 35 31 25 26 20 10

30 04 16 21 14 21 16 18 20 12

31 20 12 18 12 25 26 13 10 05

13 19 30 17 25 29 25 28 32 15

10 21 18 07 16 14 11 22 21 36

32 17 15 13 08 12 23 25 13 21

05 12 32 21 10 30 30 10 14 17

34 22 30 48 19 12 08 07 15 20

26 25 22 30 33 14 17 13 10 09

a) Calcule o tamanho de uma amostra para se estimar a media, sendo d = $ 2000, σ = 7000 e

1− α = 95%;

b) Retire uma amostra aleatoria simples considerando o tamanho obtido no item a);

c) Agrupe os elementos da amostra em classe;

d) Calcule a media amostral;

e) Calcule a media da populacao e verifique se |µ− x| < d.

f) Repita os itens b), c), d), e) e f) considerando uma outra amostra simples.

Exercıcio 110. A Internet esta nos afetando de muitas maneiras diferentes, de modo que ha

inumeras razoes para se estimar a proporcao de adultos que a usam. Suponha que o gerente de

uma E-Bay deseje determinar a porcentagem atual de adultos dos Estados Unidos que usam

a Internet. Quantos adultos devem ser entrevistados apara se ter 95% de confianca em que a

porcentagem amostral esteja em erro nao superior a tres pontos percentuais (d = 3% = 0, 03)?

a) Use o resultado de uma pesquisa do Pew Research Center: Em 2006, 73% dos adultos

americanos usavam Internet.

b) Suponha que nao tenhamos nenhuma informacao previa que sugira um possıvel valor da

proporcao.

173

Exercıcio 111. Suponha que desejamos estimar o QI medio para a populacao de estudantes

de estatıstica. Quantos estudantes de estatıstica devem ser selecionados aleatoriamente para

os testes de QI, se desejamos estar 95% confiantes em que a media amostral estara a menos de

tres pontos do QI media populacional (d = 3)? Assuma que o desvio padrao populacional seja

σ = 15.

Exercıcio 112. Avalie, para os casos a seguir, qual e a populacao e, nesta populacao, qual e

a amostra selecionada:

a) Para avaliar a eficacia de uma campanha de vacinacao em criancas entre 1 e 2 anos, 192

maes com filhos nesta idade forma pesquisadas sobre a ultima vez que vacinaram seus filhos.

b) Para avaliar a intencao de voto para a eleicao presidencial de 2010 no Brasil, 4205 eleitores

forma entrevistados em todas as unidades da federacao.

Exercıcio 113. As formigas formam nıveis avancados de sociedade. Estao incluıdas em uma

unica famılia, Formicidade, com 12585 especies descritas, distribuıdas por todas as regioes do

planeta, exceto nas regioes polares. Esses insetos formam aproximadamente 17% da biomassa

terrestre, portanto podem ser considerados bem sucedidos evolutivamente. Suponha que duas

amostras de formigas, colhidas de um mesmo formigueiro, sendo uma amostra com 100 ex-

emplares e outra amostra com 200 exemplares. A amostra maior e mais representativa da

populacao? Justifique sua resposta.

Exercıcio 114. Existem diversas maneiras de classificar as pessoas. Cada classificacao tem um

proposito diferente. Uma das classificacoes uteis para questoes de Marketing, por exemplo, e a

classificacao em classes sociais. Analisando os diferentes criterios propostos para a classificacao

empregados atualmente no Brasil, podemos generalizar as seguintes categorias:

1. Classe A: inclui famılias com renda mensal igual ou maior que R$ 14400, 00;

2. Classe B: inclui famılias com renda mensal entre R$ 7100, 00 a que R$ 14399, 00;

3. Classe C: inclui famılias com renda mensal entre R$ 2600, 00 a que R$ 7099, 00;

4. Classe D: inclui famılias com renda mensal igual ou menor que R$ 2599, 00.

Suponha que uma determinada populacao em estudo distribui-se nesses estratos, de acordo com

as seguintes quantidades a seguir:

Classe A: 600 Classe B: 900 Classe C: 1200 Classe D: 4800

Se temos a possibilidade de retirar no total 400 unidades amostrais para analisar o compor-

tamento de consumo dessa populacao, quantas unidades devem ser retiradas de cada classe?

Considere que o processo de amostragem deve ser estratificado.

Exercıcio 115. Identifique o tipo de amostragem utilizado em cada caso:

a) Ao escalar uma comissao para atuar em determinado projeto, uma empresa decidiu selecionar

174

aleatoriamente 4 pessoas brancas, 3 pardas e 4 negras.

b) Uma professora escreve o nome de todos os seus alunos em pedacos de papel e os coloca em

uma caixa. Depois de mistura-los, sorteia 10.

c) Um administrador de uma sala de cinema faz uma pesquisa com as pessoas que estao na fila

de espera para comprar ingresso, entrevistando uma pessoa a cada 10 presentes na fila.

d) Deseja-se selecionar uma amostra de domicılios da cidade de Sao Paulo. As ruas estao

identificadas pelas letras de A a F. As casas estao identificadas pelo nome da rua, seguido por

um numero. Primeiro foram sorteadas duas ruas (B e F) e depois, foram selecionadas ao acaso

50% dos domicılios de cada rua.



n =z2σ2N

d2(N − 1) + z2σ2=

1, 96272100

22 × 100 + 1, 962 × 72= 33

b) Suponhamos que a quinta linha da Tabela 18.3 tenha sido escolhida aleatoriamente:

2377425580...

Nossa amostra e entao dada pelos elementos das posicoes:

23 77 42 55 80 ...

Consideremos que os elementos da nossa populacao estao dispostos de tal sorte que os elementos

da primeira linha correspondem as posicoes 0, 1, 2, ...., 9 os da segunda linha aos elementos das

posicoes 10, 11, 12, ...., 19. Apos um pequeno trabalho, temos a seguinte amostra:

21 10 30 14 34 25 30 13 35 11 12

15 28 08 18 16 22 22 21 07 29 12

15 30 26 10 12 26 21 25 34 16 13

c) Temos que

min = 07, max = 35.⇒ R = 35− 07 = 28, K = [1 + 3, 22log(33)] = 6⇒ h = [[28/6]] = 5

175

Assim,

Classe Fi

07| − 12 5

12| − 17 10

17| − 22 4

22| − 27 6

27| − 32 4

32| − 37 4

d) Temos que

xBRUTO = 19, 1, xTAB = 20, 4

Como teremos testar a amostra, abandonemos o valor da media obtido por meio da tabela.

Ele seria muito bom para uma analise final. Contudo, precisaremos do valor da media x para

utilizacao posterior no item e) e, neste caso, o valor amostral nao contem perdas devido a

aproximacoes.

e) Temos que

µ = 19, 6⇒ |µ− xBRUTO| = |19, 6− 19, 1| < 2

Se dispusessemos apenas dos dados tabelados, terıamos:

|µ− xTAB| = |19, 6− 20, 4| < 2.

Contudo, vale ressaltar que o investigador nao conhece o valor real de µ (em muitas vezes ele

deseja obte-lo). Alem disso, nem sempre as amostras escolhidas sao tais que |µ− x| < d. Veja

a Secao 18.4.

f) Descanse os dedos e maos a obra ou entao utilize a rotina descrita na Secao 18.4.


n =z2pq

d2=

1, 962 × 0, 73× 0, 27

0, 032= 842.

b) Temos que

n =z2 × 0, 25

d2=

1, 962 × 0, 25

0, 032= 1068


n =(zσd

)2

=

(1, 96× 15

3

)2

= 97

Solucao do Exercıcio 112. a) Populacao: Mae com criancas de 1 e 2 anos que vacinaram

seus filhos; Amostra: 192 maes selecionadas dentre todas as maes citadas acima.

b) Populacao: Toda o indivıduo apto a votar no ano de 2010; Amostra: 4205 indivıduos

escolhidos aleatoriamente dentro da populacao citada.

176

Solucao do Exercıcio 113. Nao necessariamente. Suponhamos haver um erro metodologico

na escolha da amostra de 200 formigas e uma boa escolha para a amostra de apenas 100 formigas.

Imagine, que hajam formigas relativamente diferentes quanto a caracterıstica que se queira

investigar mas que estas saiam do formigueiro apenas em certas horas do dia. Um investigador

atento iria coletar as formigas ao longo de todo o dia. Por outro lado, um investigador preguicoso

poderia coletar todas as amostras, digamos, no meio da manha. Neste caso, a amostra estaria

comprometida e nao representaria o formigueiro. Contudo, se duas pesquisas fossem feitas,

usando uma mesma metodologia, a amostra maior (200) seria, certamente, mais representativa

que a menor (100).

Solucao do Exercıcio 114. Temos que N = 7500. Mantendo as devidas proporcoes, temos:

nA = 400× 600

7500= 32

nB = 400× 900

7500= 48

nC = 400× 1200

7500= 64

nD = 400× 4800

7500= 256

Solucao do Exercıcio 115. a) Amostragem estratificada com 3 extratos formados por pessoas

das cores, branca, parda e negra respectivamente.

b) Amostragem aleatoria simples uma vez que cada aluno tem a mesma chance de ser sorteado.

c) Amostragem sistematica.

d) Amostragem por conglomerado (selecao das ruas) seguida de amostragem aleatorias simples

(selecao de 50% da casas de cada rua).

18.4 No Computador

Voce pode ter notado que e bastante demorado o sorteio de uma amostra aleatoria usando

a tabela de dıgitos aleatorios. Uma outra alternativa e recorrermos ao Octave. Apresentaremos

a solucao do Exercıcio 109 por meio do Octave.

Exemplo 18.4.1. Resolucao do Exercıcio 109 usando o Octave.

Solucao: A rotina a seguir usa muitos passos e, exceto pela amostra, e bastante generica sendo

aplicada a uma populacao finita qualquer. Use o programa novamente para verificar se sempre

temos |µ− x| ≤ d.

177

Figura 18.1: Rotina Para Sorteio de Amostra Aleatoria e Estimadores - Octave.

178

Figura 18.2: Amostra Aleatoria e Estimadores - Octave.

179

Figura 18.3: Tabela de Dıgitos Aleatorios.

180

Figura 18.4: Tabela de Dıgitos Aleatorios - Continuacao.

181

Capıtulo 19


Questoes Objetivas

Exercıcio 116. A tabela abaixo apresenta a distribuicao de frequencias das notas obtidas num

teste de matematica, realizado por 50 estudantes.

Notas fi

0 ` 2 4

2 ` 4 12

4 ` 6 15

6 ` 8 13

8 ` 10 6

Com base nos dados, indique a afirmativa incorreta:

a) A media da distribuicao e igual a 5, 2.

b) Sendo 5, 8 a nota mınima para se obter a aprovacao, apenas 41% dos alunos foram aprovados.

c) A nota mediana e 5, 2.

d) A moda da distribuicao e 5, 2.

e) A distribuicao e assimetrica negativa.

Exercıcio 117. Considere a seguinte tabela que representa a distribuicao dos empregados

de uma instituicao bancaria segundo a remuneracao bruta mensal (em milhares de unidades

182

monetarias):

Remuneracao f%i

60 ` 80 7, 8

80 ` 100 15, 2

100 ` 120 31, 2

120 ` 140 19, 5

140 ` 160 7, 2

160 ` 200 8, 1

200 ` 250 5, 4

250 ` 300 2, 6

300 ` 350 3, 0

Nessas condicoes, e correto afirmar que:

a) O primeiro quartil e inferior a 100.

b) O segundo quartil vale 122.

c) O terceiro quartil e superior a 150.

d) A distribuicao e assimetrica positiva.

e) A distribuicao e simetrica.

Exercıcio 118. A tabela a seguir apresenta uma distribuicao hipotetica da frequencia do

numero de anos trabalhados em uma amostra de 100 aposentados.

Notas fi

0 ` 10 10

10 ` 20 20

20 ` 30 30

40 ` 40 40

Essa distribuicao:

a) tem moda igual a media.

b) tem moda menor que a media.

c) e simetrica.

d) e assimetrica a direita.

e) e assimetrica a esquerda.

Exercıcio 119. Considere a expressao

Σni=1(x− xi)

n,

183

em que x e a media aritmetica, xi representa um elemento qualquer e n o total de elementos

de uma dada distribuicao. Sobre essa medida e correto afirmar:

a) E uma boa medida de dispersao pois leva em conta todos os dados em relacao a media.

b) E uma medida de dispersao insatisfatoria devido a ausencia da raiz quadrada devido a poder

atingir valores negativos, desde que a maior parte dos elementos esteja abaixo da media.

c) E uma medida inconclusiva pois e sempre igual a zero.

d) E uma medida de dispersao que e pouco mais fraca que o desvio padrao, porem mais rapida

de ser calculada.

e) E uma medida de dispersao que calcula a dispersao remetendo-se a distancia que os elementos

estao da media.

Exercıcio 120. Uma empresa concedeu 5% de aumento de salario a todos os seus funcionarios.

O desvio padrao dos salarios, antes do aumento, era de R$ 300, 00. A variancia dos novos desvios

e:

a) 90225 b) 99225 c) 90000 d) 300 e) 315

Exercıcio 121. A media geometrica dos numeros 6 e 24 e igual a:

a) 15 b) 18 c) 12 d) 15 e) 30

Exercıcio 122. Dado um conjunto de quatro numeros cuja media aritmetica e 2, 5 se incluirmos

o numero 8 neste conjunto a nova media aritmetica:

a) continuara igual a 2, 5.

b) sera igual a 3, 6.

c) sera igual a 5, 5.

d) sera igual a 3, 24.

e) aumentara em 2.

Exercıcio 123. A media geometrica entre dois numeros e igual a 6. Se a eles juntarmos o

numero 48, entao a media geometrica entre estes tres numeros sera:

a) 12 b) 8 c) 24 d) 42 18

Exercıcio 124. Um comerciante pretende misturar 30 kg de um produto A, que custa R$ 6, 80

o quilo com um produto B que custa R$ 4, 00 o quilo para obter um produto de qualidade

intermediaria que custe R$ 6, 00 o quilo. A quantidade, em quilos, do produto B exigida nesta

mistura e:

a) 25 b) 20 c) 18 d) 16 e) 12

Exercıcio 125. Um carro faz um trajeto entre duas cidades, em duas etapas de mesma

distancia. A velocidade escalar media na 1a etapa e de 90 km/h e na 2a etapa, 60 km/h .

184

Nestas condicoes, a velocidade escalar media, em km/h, no trajeto total e:

a) 75 b) 72 c) 70 d) 68 e) 66.

Exercıcio 126. Os clientes da Distribuidora de Arroz ABC tem fichas de cadastro numeradas

consecutivamente de 261 a 963. Deve-se selecionar uma amostra aleatoria de 25 pacientes para

serem pesquisados quanto a satisfacao de atendimento por parte da Distribuidora. O numero

de elementos dessa populacao e:

a) 712 b) 710 c) 973 d) 713 e) 727

Exercıcio 127. Sobre o nıvel de mensuracao nominal, e correto afirmar que:

a) Os indivıduos sao classificados em categorias que possuem algum tipo inerente de ordem.

Neste caso, uma categoria pode ser “maior”ou ”menor”do que outra: nıvel socio-economico (A,

B, C e D, em que A representa maior poder aquisitivo), nıvel de aprendizagem (otimo, bom,

regular, fraco, pessimo), etc.

b) Este nıvel de mensuracao possui um valor zero arbitrario: temperatura (em graus Celsius),

tempo (em minutos), etc.

c) Os indivduos sao classificados em categorias segundo uma caracterıstica: sexo (masculino,

feminino), habito de fumar (fumante, nao-fumante), etc.

d) O resultado numerico da mensuracao inteira e um valor inteiro: numero de refeicoes em um

dia, frequencia de consumo semana de determinado alimento, etc.

e) Este nıvel de mensuracao possui um valor possıvel de comparacao: estatura corporal (baixo,

medio, alto).

Exercıcio 128. Sobre os metodos de amostragem nao probabilısticos e correto afirmar:

a) garantem representatividade uma vez que, sendo observada a distribuicao, visual, aleatoria,

nao obriga o experimentador a rigores mais especıficos.

b) podem prejudicar a possibilidade de generalizacoes (validade externa) de um estudo, fazendo

com que nao seja representativo em relacao a populacao. Os seus resultados sao validos para

aquele estudo determinado, nao permitindo generalizacoes para outras situacoes semelhantes.

c) aceleram a velocidade da pesquisa pois permitem generalizacoes do estudo, fazendo com que

seja maior a representatividade.

d) servem para assegurar uma certa precisao na estimacao dos parametros da populacao, re-

duzindo o erro amostral.

e) correspondem aos metodos de amostragem aleatoria simples, amostragem sistematica, amostragem

por conglomerado, etc.

Exercıcio 129. Certo jornal apresentou um instantaneo com resultados de uma pesquisa de

opniao com 21944 sujeitos. A ilustracao mostrava que 43% haviam respondido “sim”a esta

185

questao: “Voce preferiria um emprego tedioso a nenhum emprego?”A margem de erro dada era

de ±1 ponto percentual. O que ha de errado ou faltando ser informado pelo jornal?

a) a margem de erro nao pode ser negativa, e neste caso, pode assumir o valor igual a −1.

b) o tamanho total da populacao.

c) foi tomado um numero de sujeitos muito superior ao indicado.

d) o nıvel de confianca nao foi fornecido.

e) a razao entre o tamanho amostral e o tamanho populacional.


Exercıcio 130. Considere a distribuicao de 1000 empresas de um setor de atividade segundo

os resultados lıquidos (em milhares u.m.):

Resultado Liquido f%i

0 ` 1 10

1 ` 3 25

3 ` 5 35

5 ` 15 15

15 ` 25 10

25 ` 50 05

a) Represente a distribuicao usando um grafico de colunas.

b) Determine a moda e a media da distribuicao.

c) Represente graficamente as frequencias relativas acumuladas.

d) Encontre os quartis da distribuicao.

e) Determine o tipo de simetria/assimetria utilizando o 2o Coeficiente de Pearson.

Exercıcio 131. O quadro que segue descreve a distribuicao do rendimento anual (em milhares

de u.m.) de 2500 famılias da populacao de um paıs:

Resultado Liquido N o deFamilias

0 ` 1 250

1 ` 2 375

2 ` 5 625

5 ` 15 750

15 ` 25 375

25 ` 50 125

186

a) Desenhe o polıgono de frequencia relativa acumulada.

b) Determine o rendimento medio e mediano.

c) Determine o tipo de assimetria/simetria usando o 2o coeficiente de Pearson.

d) O que se pode dizer da dispersao?

Exercıcio 132. Considere o quadro seguinte com as frequencias relativas simples associadas

as distribuicoes A, B e C.

Classe A B C

50 ` 100 30 25 20

100 ` 150 50 40 60

150 ` 200 20 35 20

a) Represente as distribuicoes A, B e C utilizando um histograma. Atraves da analise das

figuras, considere possıvel indicar qual a que tem uma moda mais baixa? Em caso afirmativo,

faca-o. Em caso negativo, explicite que elemento(s) lhe falta(m).

b) Determine a moda de maneira usual, por meio da formula de Czuber e compare os resultados

com os obtidos no item anterior.

c) Considerando os valores apresentados qual a distribuicao cujo valor para a mediana e o mais

baixo. Justifique utilizando o polıgono de frequencia acumulada.

d) Encontre a mediana da maneira usual e compare com o resultados com o obtido no item

anterior.

e) Compare, apresentando e justificando todos os calculos, a dispersao associada as tres dis-

tribuicoes.

Exercıcio 133. Considere o quadro seguinte onde se resume a estrutura etaria da populacao

de uma regiao de acordo com os censos de 1960 e 2001.

Classe 1960 201

0 ` 10 19, 7 12, 0

10 ` 25 25, 7 24, 3

25 ` 40 21, 5 21, 1

40 ` 60 21, 3 23, 6

60 ` 80 11, 8 19, 0

a) Compare as duas distribuicoes no que diz respeito a media e a mediana, e discuta ate que

ponto ha sinais de envelhecimento da populacao.

b) Compare a dispersao relativa das duas distribuicoes com base num indicador de dispersao

relativo.

187

Exercıcio 134. O quadro a seguir apresenta as frequencias relativas acumuladas das idades

de tres grupos de pessoas A, B e C.

Classe A B C

30 ` 40 20 20 30

40 ` 50 70 80 80

50 ` 60 100 100 100

Das afirmacoes a seguir, indique, justificando, quais sao falsas ou verdadeiras:

a) A distribuicao que tem a media mais baixa e a mesma que tem moda mais elevada.

b) A distribuicao que tem moda mais elevada e a que tem mediana mais elevada.

c) Ha, em qualquer das distribuicoes, pelo menos 50% das pessoas com idades entre 40 e 50

anos.

Exercıcio 135. No quadro seguinte apresentam-se o numero de transacoes efetuadas em cada

uma das lojas dos Supermercados X, classificadas por nıveis de despesa, o numero de empre-

gados existentes em cada uma delas.

Escala (u.m.) Loja 1 Loja 2

00 ` 10 29 74

10 ` 20 44 78

20 ` 30 26 30

30 ` 40 9 18

N o de empregados 20 30

a) Sera possıvel afirmar que em ambas lojas, mais de 70% das transacoes tem um valor inferior

a 20u.m.?

b) Construa o polıgono de frequencia acumulada relativa de cada uma das distribuicoes e, com

base no mesmo, explicite a localizacao dos quartis.

c) Determine o valor medio por transacao e o valor medio por transacoes por empregado, em

cada uma das lojas.

d) Calcule o desvio padrao das distribuicoes em ambas as lojas. Qual delas apresenta uma

dispersao mais elevada?

Exercıcio 136. Para um estudo sobre o rendimento disponıvel mensal de duas populacoes, A

e B, foram extraıdas amostras de 10 elementos de cada uma delas. Os resultados, em milhares

de euros, foram os seguintes:

A 12 40 24 45 68 32 68 23 34 45

B 14 61 24 68 41 62 14 67 51 70

188

a) Crie uma tabela de frequencia relativas (simples e acumuladas) para cada uma das amostras,

depois de agrupar os dados, utilizando os intervalos 10 ` 30, 30 ` 50 e 50 ` 70.

Para cada um dos itens posteriores considere a distribuicao em classes obtida no item a).

b) Considerando a media aritmetica como indicador estime qual populacao apresenta maior

rendimento.

c) Represente graficamente a determinacao da Moda e da Mediana e diga, exclusivamente pela

analise das figuras, se as conlcusoes tomadas corroboram o que foi obtido no item b).

d) Utilize o desvio padrao (amostral) para comparar a dispersao das duas distribuicoes.

e) Verifique se as conclusoes do item d) sao verificadas pela analise dos diagramas de caixa

destas distribuicoes.

Exercıcio 137. Analise as situacoes descritas abaixo e decida se a pesquisa deve ser feita por

amostragem ou por censo. Justifique sua resposta.

a) Numa linha de producao de empacotamento de cafe, observar o peso dos pacotes produzidos.

b) Em uma sala de aula composta por 40 alunos, analisar suas idades.

c) Observar se a agua de uma lagoa esta contaminada.

d) Verificar a carga horaria diaria de trabalho dos funcionarios da cozinha de um restaurante.

e) Num lote de cabos de aco, verificar a resistencia dos mesmos a tracao.

f) Pesquisa de opiniao eleitoral para governador do estado de Sao Paulo.

Exercıcio 138. Analise os planos de amostragens apresentados abaixo. Voce concorda com a

maneira como foram elaborados? Justifique. Apresente as solucoes que julgar necessarias.

a)Para analisar os laboratorios de pesquisa quanto ao seu investimento na aquisicao de tecnolo-

gia de ponta, foram enviados questionarios e analisadas as respostas daqueles que responderam

o questionario.

b) Para analisar o perfil dos clientes de um banco, foram analisados ao longo de um mes 4

clientes por dia, retirados da fila do caixa , variando sistematicamente o horario da coleta.

c) Para ser conhecida a opiniao dos estudantes da UFSC sobre o Jornal Universitario, foram

colhidas as opinioes de 40 estudantes da ultima fase do curso de Jornalismo daquela instituicao.

d) Ha interesse em medir o ındice de luminosidade das salas de aula da UFSC. A coleta de

dados sera feita em todos os centros da UFSC, durante os perıodos diurno e noturno, nas salas

que estiveram desocupadas no momento da pesquisa. Cada centro sera visitado apenas uma

vez.

e) As constantes reclamacoes dos usuarios motivaram a direcao da Biblioteca Central da UFSC

a realizar uma pesquisa sobre o nıvel de ruıdo em suas dependencias. O ruıdo sera medido em

todas as secoes da Biblioteca, na primeira e na penultima semanas do semestre, de segunda a

189

sabado, durante todo o horario de funcionamento.

f) No controle de qualidade de uma fabrica de pecas, que trabalha 24 horas por dia, sete dias

por semana, um item produzido e retirado de cada maquina, a cada meia hora, para avaliacao.

O procedimento e feito durante todo o dia, ao longo da semana.

g) O Comando de um Batalhao da PMSC quer conhecer a opiniao das pessoas que residem

em sua area de atuacao, no intuito de formular novas escalas de policiamento ostensivo. Para

tanto serao feitas entrevistas com as pessoas que se passarem a pe pela frente do Batalhao, de

segunda a sexta das 8 : 30 as 12 : 00 horas e das 14 : 00 as 17 : 30 horas durante duas semanas.

h) Com a finalidade de estudar o perfil dos consumidores de um supermercado, observaram-se

os consumidores que compareceram ao supermercado no primeiro sabado do mes.

i) Com a finalidade de estudar o perfil dos consumidores de um supermercado, fez-se a coleta

de dados durante um mes, tomando a cada dia um consumidor de cada fila de cada caixa,

variando-se sistematicamente o horario de coleta dos dados.

j) Para avaliar a qualidade dos itens que saem de um linha de producao, observaram-se todos

os itens das 14 as 14 horas e trinta minutos.

k) Para avaliar a qualidade dos itens que saem de uma linha de producao, observou-se um item

a cada meia hora, durante todo o dia.

l) Para estimar a porcentagem de empresas que investiram em novas tecnologias no ultimo ano,

enviou-se um questionario a todas as empresas de um estado. A amostra foi formada pelas

empresas que responderam o questionario.

Exercıcio 139. Analise as situacoes abaixo e determine qual e o tipo de amostragem a ser

usado em cada caso, e explique por que.

a) Parte da populacao e inacessıvel e trata-se de um estudo preliminar.

b) Todos os elementos da populacao podem ser pesquisados, mas nao ha recursos para a sua

listagem total. Sabe-se tambem que a populacao subdivide-se em subgrupos semelhantes (para

os quais ha uma listagem).

c) Sabe-se que toda a populacao e listada, e que e homogenea. A amostra deve ser obtida

rapidamente.

d) Uma empresa atua em tres mercados distintos. Dispoe de uma listagem com os nomes e

enderecos de todos os clientes. Pretende pesquisar qual seria a eventual demanda de um novo

produto. Precisa fazer isso rapidamente (no ha tempo para censo).

e) A reitoria da UFSC quer conhecer as diferencas basicas entre as ideias de professores, servi-

dores e alunos sobre a instituicao. Dispoe de listas com todos os professores, alunos e servidores.

Exercıcio 140. Um pesquisador deseja estimar a proporcao de ratos nos quais se desenvolve

190

um certo tipo de tumor quando submetidos a radiacao. Ele deseja que sua estimativa nao se

desvie da proporcao verdadeira por mais de 0, 02 com uma probabilidade de pelo menos 90%.

a) Quantos animais ele precisa examinar para satisfazer essa exigencia?

b) Como seria possıvel diminuir o tamanho da amostra utilizando a informacao adicional de

que em geral esse tipo de radiacao nao afeta mais que 20% dos ratos?

Exercıcio 141. Antes de uma eleicao, um determinado partido esta interessado em estimar a

proporcao de eleitores favoraveis a seu candidato.

a) Determine o tamanho de amostra necessario para que o erro cometido na estimacao seja de,

no maximo 0, 01, com probabilidade de 80%.

b) Uma amostra piloto revelou que entre 60% e 70% dos eleitores eram favoraveis ao candidato

em questao. Com base nessa informacao, qual deve ser o tamanho de amostra de modo que as

condicoes em (a) estejam satisfeitos?

Exercıcio 142. Determine o valor de

limN→+∞Z2.σ2.N

d2(N − 1) + Z2σ2

Exercıcio 143. Em um estudo para a determinacao do perfil dos alunos da Faculdade Pitagoras,

a caracterıstica de maior interesse tem σ = 0, 3. Contudo, o investigador nao informou o nıvel

de confianca utilizado. Sabe-se que ele fez a pesquisa com 140 alunos e, alem disso, admitiu

que o erro nao poderia superar 0, 05. Nestas condicoes, qual foi a confianca adotada?

191



Q1 = 100 +25− 23

31, 2· 20 = 101, 28, Q2 = 100 +

50− 23

31, 2· 20 = 117, 31,

Q3 = 140 +75− 73, 7

7, 2· 20 = 143, 61

AS =Q3 +Q1 − 2Q2

Q3 −Q2

=143, 61 + 101, 28− 2 · 117, 31

143, 61− 101, 28= 0, 2426 > 0.

Logo, a distribuicao e assimetrica positiva.

Alternativa d.

Solucao do Exercıcio 117. i) Com alguns calculos,

x = Mo = Md = 5, 2.

o que mostra que a distribuicao e simetrica.

ii) Usando o segundo coeficiente de Pearson, temos

Q1 = 3, 42, e Q3 = 7, 0

e portanto,

AS =7 + 3, 42− 2 · 5

7− 3, 42= 0, 1173 > 0.

iii) Note que

P59 = 4 +29, 5− 16

15· 2 = 5, 8

indicando que o ındice de aprovacao correspondente a nota mınima de 5, 8 e, de fato, igual a

41%.

Alternativa e.


x =5 · 10 + 15 · 20 + 25 · 30 + 35 · 40

10 + 20 + 30 + 40= 25.

Mo = 30 +40− 30

40− 30 + 40− 0= 32

Alternativa e.

Solucao do Exercıcio 119. Alternativa d.

192

Solucao do Exercıcio 120. Sendo X representando o preco antigo, temos que

σ2(X + 0, 05X) = σ2(1, 05X) = 1, 052σ2(X) = 1, 052 · 3002 = 99225.

Alternativa b.


Mg =√

6 · 24 =√

144 = 12.

Alternativa c.


xantes =x1 + x2 + x3 + x4

4= 2, 5⇒ x1 + x2 + x3 + x4 = 10.

Por outro lado,

xdepois =x1 + x2 + x3 + x4 + x5

5=

10 + x5

5=

10 + 8

5= 3, 6.

Alternativa b.


Mgantes =√x1x2 = 6⇒ x1x2 = 36.

Assim,

Mgdepois = 3√x1x2x3 =

3√

36.48 = 12.

Alternativa a.


Vmistura =PA.VA + PBVB

PA + PB,

em que V representa o valor e P o peso. Assim,

6 =30 · 6, 80 + PB · 4

30 + PB⇒ PB = 12.

Alternativa e.


v =d

t1 + t2, v1 =

d2

t1, v2 =

d2

t1⇒

⇒ t1 =d2

v1

, t2 =d2

v2

⇒ v =d

d2

v1+

d2

v2

=2

1v1

+ 1v2

= Mh(v1, v2) = 72 km/h

Alternativa b.

193


N = 973− 261 + 1 = 713

Alternativa d.

Solucao do Exercıcio 127. Alternativa c.

Solucao do Exercıcio 128. Alternativa b.

Solucao do Exercıcio 129. Alternativa d.


Solucao do Exercıcio 130. a)

Figura 19.1: Grafico de Colunas.

b) Primeiramente determinemos a classe modal. Esta sera aquela que tem maior concentracao

de valores:

C1 =10

1= 10, C2 =

25

2= 12, 5, C3 =

35

2= 17, 5,

C4 =15

10= 1, 5, C5 =

10

10= 1, C6 =

5

25= 0, 2.

A classe modal e, portanto, a terceira. Assim,

Mo = 3 +35− 25

35− 25 + 35− 15· 2 ≈ 3, 67

A media da distribuicao e dada por:

x =0, 5 · 10 + 2 · 25 + 4 · 35 + 10 · 15 + 20 · 10 + 37, 5 · 5

10 + 25 + 35 + 15 + 10 + 5= 7, 325u.m.

c)

194

Figura 19.2: Polıgono de Frequencia Relativa Acumulada.

d) As distribuicoes de frequencias acumuladas nos ajudarao bastante.

Resultado Liquido f%i

0 ` 1 10

1 ` 3 35

3 ` 5 70

5 ` 15 85

15 ` 25 95

25 ` 50 100

Assim,

Q1 = 1 +25− 10

25· 2 = 2, 2 Q2 = 3 +

50− 35

35· 2 ≈ 3, 86

Q3 = 5 +75− 70

15· 10 ≈ 8, 33

e) Com base no item d), temos:

AS =Q3 +Q1 − 2Q2

Q3 −Q1

=8, 33 + 2, 2− 2 · 3, 86

8, 33− 2, 2≈ 0, 4584 > 0

Logo, temos uma assimetria positiva.

Solucao do Exercıcio 131. a) O polıgono de frequencia relativa acumulada e dado por:

b) O rendimento medio e dado por:

x =0, 5 · 250 + 1, 5 · 375 + 3, 5 · 625 + 10 · 750 + 20 · 375 + 37, 5 · 125

250 + 375 + 625 + 750 + 375125= 9, 025

O rendimento mediano e dado por:

Md = 2 +1250− 625

625· 3 = 5

c) Temos que

Q1 = 1 +625− 250

375· 1 = 2, Q3 = 5 +

1875− 1250

750· 10 = 13, 33

195

Figura 19.3: Polıgono de Frequencia Relativa Acumulada.

Assim,

AS =Q3 +Q1 − 2Q2

Q3 −Q1

=13, 33 + 2− 2 · 5

13, 33− 2≈ 0, 47 > 0

Temos portanto, uma assimetria positiva.

d) Temos que

S =

√((0, 5− 9, 025)2) ∗ 250 + · · ·+ ((37, 5− 9, 025)2) ∗ 125

250 + 375 + 625 + 750 + 375 + 125− 1≈ 9, 07

Em termos relativos,

CV =9, 07

9, 025· 100% ≈ 100, 50%

A dispersao relativa chega a mais de 100% do valor da media!

Solucao do Exercıcio 132. a) Os histogramas sao dados por: Quando temos dados agrupados

Figura 19.4: Histogramas

em classes, de modo geral, nao sabemos se existe a moda. Convenciona-se admitir que a moda

se encontra na classe modal e que sua localizacao dentro desta e proporcional a diferenca entre

as respectiva frequencia e as frequencias das classes adjacentes, estando a moda mais perto da

classe que tem maior frequencia. Considerando os dados apresentados, temos que a distribuicao

A apresenta moda mais baixa.

b) Temos que

MoA = 100 +50− 30

50− 30 + 50− 20.50 = 120

196

MoB = 100 +40− 25

40− 25 + 40− 35.50 = 137, 5

MoC = 100 +60− 20

60− 20 + 60− 20.50 = 125

em que concluımos o mesmo que o item anterior. Na verdade, o item anterior mostra uma

forma geometrica de obtermos uma estimativa da moda.

c) O polıgono de frequencia acumulada e dado por: Observando o polıgono de frequencia

Figura 19.5: Histogramas

acumulada podemos notar de que a distribuicao A tem mediana mais baixa. Isso e feito

observando-se a presenca de uma maior elevacao da curva o que nos diz que esta acumula

valores mais rapidamente e portanto, atinge mais rapidamente, o valor que deixa 50% dos

dados.

d) Temos que

MdA = 100 +1002− 30

50.50 = 120

MdB = 100 +1002− 25

40.50 = 131, 5

MdC = 100 +1002− 20

60.50 = 125

em que concluımos o mesmo que o item anterior. Na verdade, o item anterior mostra uma

forma geometrica de obtermos uma estimativa da mediana.

e) Sendo as medias das distribuicoes diferentes (veja abaixo), devemos recorrer ao coeficiente

de variacao:

xA = 120 e SA = 35, 18⇒ CVA =35, 18

120= 29, 32%

xB = 130 e SB = 38, 60⇒ CVB =38, 6

130= 29, 69%

xC = 125 e SC = 31, 78⇒ CVC =31, 78

125= 25, 42%

Nota-se que as distribuicoes A e B apresentam praticamente a mesma dispersao relativa com

CVA < CVB. Por outro lado, a distribuicao C apresenta a menor dispersao relativa.

197


x1960 = 31, 38 e Md1960 = 28, 21.

x2001 = 36, 81 e Md1960 = 34, 74.

Os dois valores parecem (veja o item b)) indicar que a distribuicao a idade da populacao

aumentou ao longo do tempo, pois tanto a media quanto a mediana aumentaram.

b) Temos que

σ1960 = 20, 90⇒ CV1960 =20, 90

31, 38= 0, 666.

σ2001 = 21, 59⇒ CV2001 =21, 59

36, 81= 0, 587.

Observando a dispersao relativa (pois as medias sao diferentes), temos que a populacao de 2001

apresenta valores menos dispersos o que nos fornece uma maior seguranca as medidas obtidas

no item a).

Observe que usamos σ ao inves de S o que se deve ao fato de a pesquisa se tratar de um censo.

Solucao do Exercıcio 134. Antes de mais nada devemos obter a tabela de distribuicao

relativa simples:

Classe A B C

30 ` 40 20 20 30

40 ` 50 50 60 50

50 ` 60 30 20 20

a) A afirmacao e verdadeira. Como se pode perceber

xA =35 · 20 + 45 · 50 + 55 · 30

20 + 50 + 30= 46, xB =

35 · 20 + 45 · 60 + 55 · 20

20 + 50 + 30= 45,

xC =35 · 30 + 45 · 50 + 55 · 20

20 + 50 + 30= 44.

MoA = 40 +50− 20

50− 20 + 50− 30· 10 = 46, MoB = 40 +

60− 20

60− 20 + 60− 20· 10 = 45,

MoC = 40 +50− 30

50− 30 + 50− 20· 10 = 44

a distribuicao de media mais baixa nao e a mesma de moda mais elevada.

b) A afirmacao e verdadeira. Como se pode perceber

MdA = 40+50− 20

50·10 = 46, MdB = 40+

50− 20

60·10 = 45, MdC = 40+

50− 30

50·10 = 44

a distribuicao de moda mais elevada e a mesma de mediana mais elevada.

c) Verdadeira. Como se pode perceber, temos

fA;40`50 =50

100· 100% = 50%.

198

fB;40`50 =60

100· 100% = 60%.

fC;40`50 =50

100· 100% = 50%.

e portanto, pelo menos 50% das pessoas em qualquer distribuicao tem idades entre 40 e 50

anos.

Solucao do Exercıcio 135. a) Nao e correto afirmar. De fato, observando a frequencia

acumulada da Loja 1, temos:

Fx<20 =29 + 44

29 + 44 + 26 + 9≈ 0, 68 < 0, 7

b) Os polıgonos de frequencia acumuladas sao dados por:

Figura 19.6: Polıgonos de Frequencia Acumulada Relativa.

c) O valor medio da transacao em cada loja e:

xLoja 1 =5 · 29 + 15 · 44 + 25 · 26 + 35 · 9

29 + 44 + 26 + 9≈ 16, 39u.m.

xLoja 2 =5 · 74 + 15 · 78 + 25 · 30 + 35 · 18

74 + 78 + 30 + 18≈ 14, 60u.m.

O valor medio por vendedor em cada loja e:

xV end;Loja 1 =5 · 29 + 15 · 44 + 25 · 26 + 35 · 9

20= 88, 50u.m.

xLoja 2 =5 · 74 + 15 · 78 + 25 · 30 + 35 · 18

30≈ 97, 33u.m.

d) O desvio padrao (populacional) em cada loja e:

σLoja 1 =

√(5− 16, 39)2 · 29 + (15− 16, 39)2 · 44 + (25− 16, 39)2 · 26 + (35− 16, 39)2 · 9

108≈ 9, 07.

199

σLoja 2 =

√(5− 14, 6)2 · 74 + (15− 14, 6)2 · 78 + (25− 14, 6)2 · 30 + (35− 14, 6)2 · 18

200≈ 9, 54.

Em termos relativos,

CVLoja 1 =9, 07

16, 39· 100% ≈ 55, 33%

CVLoja 2 =9, 54

14, 6· 100% ≈ 65, 34%

Em ambos pontos de vista, temos que a Loja 2 apresenta maior dispersao.

Solucao do Exercıcio 136. a) Temos as seguintes distribuicoes de frequencia:

Classes nA fAi FAi

10 ` 30 3 0, 3 0, 3

30 ` 50 5 0, 5 0, 8

50 ` 70 2 0, 2 1

Classes nB fBi FBi

10 ` 30 3 0, 3 0, 3

30 ` 50 1 0, 1 0, 4

50 ` 70 6 0, 6 1

b) Temos que

xA =20 · 3 + 40 · 5 + 60 · 2

3 + 5 + 2= 38.

xB =20 · 3 + 40 · 1 + 60 · 6

3 + 1 + 6= 46.

A media aritmetica nos permite inferir que a populacao B apresenta maior rendimento medio

que a populacao A.

c) Primeiramente vejamos a moda:

Figura 19.7: Grafico de barras.

Note que a moda, na distribuicao A esta perto de 40 enquanto que na distribuicao B esta

proxima de 60. Neste caso, o rendimento da populacao A e menor.

Quanto a mediana, temos: Note que a Mediana apresenta uma valor para B maior que 50, algo

em torno de 53, enquanto que na distribuicao A nao e proxima de 40. Neste caso, o rendimento

200

Figura 19.8: Polıgonos de Frequencia Acumuladas.

da populacao A e menor.

Assim, observando quaisquer das medidas de posicao utilizadas podemos concluir que o menor

nıvel de rendimento e visto em A.

201

d) Apos os calculos, temos:

A = 38, SA ≈ 14, 76, e CVA ≈ 38, 84%.

B = 46, SA ≈ 20, 76, e CVA ≈ 45, 13%.

Podemos concluir que a dispersao e maior na distribuicao B.

e) Os quartis sao dados por:

QA1 = 10 +

104− 0

3· 20 ≈ 26, 67, QB

1 = 10 +104− 0

3· 20 ≈ 26, 67

QA2 = 30 +

102− 3

5· 20 ≈ 38 QB

2 = 50 +102− 4

6· 20 ≈ 53, 33

QA3 = 30 +

3.104− 3

5· 20 ≈ 48 QB

3 = 50 +3.10

4− 4

6· 20 ≈ 61, 67

Portanto, considerando um mınimo 10 e maximo de 70 (comuns a ambas distribuicoes), temos:

Figura 19.9: Polıgonos de Frequencia Acumuladas.

Assim, podemos notar que a distribuicao B apresenta maior dispersao (largura da caixa).

Solucao do Exercıcio 137. a) Se houver possibilidade de agregar uma balanca automatica

ao processo produtivo pode- se utilizar censo. Pois como nao se trata de teste destrutivo, e

peso dos pacotes e importante para a imagem da empresa (e para nao haver desperdıcio) todos

os pacotes podem ser medidos.

b) Censo, porque a populacao e pequena, apenas 40 elementos.

c) Amostragem. E no mınimo contraproducente retirar toda a agua da lagoa para exame de

sua contaminacao.

d) Censo, por razoes polıticas, para que ninguem se sinta prejudicado, alem da populacao ser

pequena e acessıvel.

202

e) Amostragem. O teste e destrutivo, invalidando assim amostra.

f) Amostragem. A necessidade de rapido processamento exige amostragem, devido ao grande

tamanho da populacao que tornaria muito lenta a obtencao dos resultados, alam de muito cara.

Solucao do Exercıcio 138. a) Nao. Apenas os que responderam serao considerados. Deve-

riam ser entrevistados os responsaveis pelos laboratorios sorteados em uma amostragem prob-

abilıstica.

b) Sim. Mostra o perfil dos clientes ao longo do mes e mesmo ao longo do dia, mas apenas dos

clientes que usam os ser vicos de caixa “convencional?;

c) Nao. Se o objetivo e conhecer a opiniao dos alunos da UFSC sobre o jornal, alunos de todos

os cursos deveriam ser ouvidos, o plano esta incoerente com o objetivo da pesquisa. Deveria

ser selecionada uma amostra contendo integrantes de todos os cursos da UFSC, podendo ser

estratificada por fase predominante (quanto mais tempo na UFSC maior a probabilidade de ter

contato com o jornal e acompanhar sua evolucao, o que pode ser relevante).

d) Nao. O problema reside em medir a luminosidade apenas nas salas desocupadas no momento

da pesquisa, e em nao retornar aos centros mais de uma vez. E preciso medir os ındices de

luminosidade nos perıodos matutino, vespertino e noturno, levando em conta tambem a posicao

solar das salas.

e) Nao. Por que apenas na primeira e na penultima semana do semestre? O ideal seria realizar

medidas em todas as semanas.

f) Sim. Com este procedimento e possıvel retratar a qualidade do processo ao longo do tempo

(levando em conta os diferentes turnos, operarios, condicoes ambientais), e identificar eventuais

problemas, possibilitando a sua prevencao e correcao.

g) Nao. Os que nao passarem a pe pela frente do batalhao, e nos horarios estabelecidos, nao

terao a menor possibilidade de serem ouvidos, o que pode comprometer a confiabilidade dos

resultados da pesquisa. Seria necessario obter uma listagem das residencias, utilizar algum

mecanismo de sorteio aleatorio para selecionar algumas e entrevistar os moradores sobre a ne-

cessidade de policiamento ostensivo.

h) Nao. E os que forem ao supermercado em outros dias da semana, ou mesmo em outros

sabados do mes? Nao terao chance de participar da pesquisa, o que podera comprometer os re-

sultados. A coleta de dados precisa ser feita todos os dias, ao longo do horario de atendimento,

e por pelo menos um mes (para avaliar o efeito das diferentes datas de pagamento no consumo

dos clientes).

i) Sim. Possibilita captar todo o movimento mensal, e o movimento durante o dia (ver item h).

j) Nao. Suponha que algo aconteca as 14h31min. Um eventual problema somente seria notado

quando a avaliacao fosse repetida, e entao os prejuızos poderiam ser muito grandes.

203

k) Sim. Com este plano todo o processo produtivo e monitorado (de forma semelhante a vista

no item f), possibilitando a deteccao mais rapida de eventuais problemas.

l) Nao. Provavelmente os respondentes sao justamente as empresas que investiram em tecnolo-

gia, o que poderia dar a falsa impressao de que a situacao esta bem melhor do que realmente

esta. Uma forma de contornar este problema seria conduzir a pesquisa por telefone: obtem-se

uma listagem das empresas por porte e ramo de atuacao (via FIESC, Fecomercio, CDL’s),

seleciona-se uma amostra aleatoria (estratificada por ramo e porte) e aplica-se um questionario

com aqueles que poderiam fornecer informacoes confiaveis sobre o investimento em tecnologia

(ver item a).

Solucao do Exercıcio 139. a) Amostragem nao probabilıstica, a esmo. Como nao ha acesso

a toda a populacao seria impossıvel aplicar uma amostragem probabiıstica, e como se trata de

estudo preliminar a nao probabilıstica e aceitavel.

b) Amostragem probabilıstica por conglomerados. Ha acesso a toda a populacao (mas nao ha

recursos para listar todos os elementos) e a populacao divide-se em grupos homogeneos (que

podem ser listados).

c) Amostragem probabilıstica sistematica. Ha acesso a toda a populacao e esta e homogenea.

A amostragem sistematica, com o sorteio do ponto de partida e a retirada de elementos a in-

tervalos regulares possibilita um processamento mais rapido do que a aleatoria simples.

d) Amostragem probabilıstica estratificada proporcional. Nao ha tempo para um censo. Ha

acesso a toda a populacao (ha listagem), que pode ser considerada dividida em tres estratos

(mercados). Como se deseja conhecer a demanda por um novo produto e preciso obter in-

formacoes precisas, o que pode ser obtido com uma amostra proporcional ao tamanho de cada

estrato.

e) Amostragem probabilıstica estratificada uniforme. Ha acesso a toda a populacao (listagem),

e supoe-se que ha uma divisao em 3 estratos (embora dentro dos estratos suponha-se uma certa

homogeneidade). Como ha interesse em comparar os estratos (as opinioes dos seus integrantes)

nao ha necessidade de obter uma amostra proporcional, bastando retirar a mesma quantidade

de cada estrato.


n =z2 · 0, 25

d2=

1, 642.0, 25

0, 022= 1681.

b) Sabendo a informacao adicional, temos

n =z2 · pqd2

=1, 642.0, 2 · 0, 8

0, 022= 1076.

204


n =z2 · 0, 25

d2=

1, 282.0, 25

0, 012= 4096.

b) Devemos, sempre tomar o valor de p tal que p(1− p) seja maximo. Neste caso, p = 60%.

n =z2 · pqd2

=1, 282.0, 6 · 0, 4

0, 012= 3933.


limN→+∞Z2.σ2.N

d2(N − 1) + Z2σ2= limN→+∞

N(Z2.σ2)

N(d2(1− 1

N

)+ Z2σ2

N

) =

=Z2.σ2.N

d2(N − 1) + Z2σ2=

Z2.σ2

d2(1− 0) + 0=

(Z · σd

)2

.

Solucao do Exercıcio 143. Temos que resolver a seguinte equacao:

n =

(Z.σ

d

)2

⇒ 140 =

(Z.0, 3

0, 05

)2

⇒ Z2 =140 · 0, 052

0, 32⇒ Z = 1, 97.

O valor de confianca adotado foi de, no mınimo, 95, 2%.

205

Capıtulo 20

Intervalos de Confianca

Os calculos das medidas de posicao e dispersao vistos anteriormente nos fornecem estimati-

vas pontuais sobre um dado parametro populacional. Contudo, nao temos nenhuma indicacao

de quao boa e nossa estimativa. Neste capıtulo apresentaremos uma estimativa intervalar para

a media populacional, isto e, construiremos uma faixa de valores na qual a media populacional

deva estar. Tal faixa vira estara associada a um nıvel de confianca 1 − α (probabilidade de a

verdadeira media populacional µ estar neste intervalo).

Exemplo 20.0.2. Retira-se uma amostra de 500 brasileiros e calcula-se a media de suas alturas

encontrando-se 1, 66m. Logo, uma estimativa pontual da verdadeira altura (µ) e dada por

x = 1, 66m. Por outro lado, um intervalo de confianca nos fornecera, por exemplo, um intervalo,

[1, 58; 1, 68] com, digamos, 95% de probabilidade de conter a verdadeira media populacional µ.

20.1 Intervalo de Confianca Para a Media µ Quando a

Variancia σ2 e Conhecida

Sabemos que o estimador da verdadeira media populacional µ e dado por x. Temos dois

casos:

Populacoes Infinitas

x =d N(µ; σ

2

n

)A variavel padronizada x sera:

z =x− µ

σ√n

Segundo um nıvel de confianca de 1− α, temos:

206

Figura 20.1: IC para a media com variancia σ2 conhecida.

o que equivale a

P(−zα

2≤ z ≤ zα

2

)= 1− α

P

(−zα

2≤ x− µ

σ√n

≤ zα2

)= 1− α

Isolando a variavel µ no centro do intervalo, temos:

P

(x− zα

2

σ√n≤ µ ≤ x+ zα

2

σ√n

)= 1− α

De modo geral, usando a tabela de faixa unilateral direita repassamos α/2 para 0, 5 − α/2.

Assim, temos:

P

(x− z0,5−α

2

σ√n≤ µ ≤ x+ z0,5−α

2

σ√n

)= 1− α

Analogamente, temos

Populacoes Finitas

x =d N(µ; σ

2

n

(N−nN−1

))

P

(x− z0,5−α

2

σ√n

√N − nN − 1

≤ µ ≤ x+ z0,5−α2

σ√n

√N − nN − 1

)= 1− α

Exemplo 20.1.1. A duracao media de uma lampada de certo fabricante e σ = 30h. Foram

amostradas 100 dessas pecas obtendo-se uma duracao media de 4000h. Deseja-se construir um

intervalo de confianca para a verdadeira media:

a) ao nıvel de 95% considerando a populacao infinita.

b) ao nıvel de 99% considerando a populacao infinita.

c) ao nıvel de 95% considerando uma populacao finita de 12000 lampadas.

Solucao: Antes de resolver esta questao lembre-se que estamos trabalhando com uma tabela

de faixa central (unilateral direita). Neste caso, dado um nıvel de confianca 1 − α, devemos

inicialmente dividı-lo por 2 antes de localizar a abscissa z na Tabela 10.10. Faca um desenho

207

Figura 20.2: Esquema auxiliar.

conforme visto na Aula 10.

a) 1− α = 95% ⇒÷2 47, 5% = 0, 475 ⇒ Tabela 10.10 ⇒ z0,475 = 1, 96.

P

(4000− 1, 96

30√100≤ µ ≤ 4000 + 1, 96

30√100

)= 95%

P (3994, 12 ≤ µ ≤ 4005, 88) = 95%

Podemos concluir que o intervalo

[3994, 12; 4005, 88]

contem a verdadeira media com 95% de confianca.

b) Analogamente,

P

(4000− 2, 57

30√100≤ µ ≤ 4000 + 2, 57

30√100

)= 99%

P (3992, 29 ≤ µ ≤ 4007, 71) = 99%


[3992, 29; 4007, 71]


c) Calculando

Z0,5−α2

σ√n

√N − nN − 1

obtemos 5, 8557 e portanto,

P (4000− 5, 8557 ≤ µ ≤ 4000 + 5, 8557) = 95%

P (3994, 14 ≤ µ ≤ 4005, 86) = 95%


[3994, 14; 4005, 86]


208

20.2 Intervalo de Confianca Para a Media µ Quando a

Variancia σ2 e Desconhecida

Tratando-se de amostra retirada de uma populacao normal, contudo, desconhecendo-se a

variancia populacional σ2, pode-se mostrar que a variavel padronizada x tera distribuicao ”t”

de Student com (n− 1) graus de liberdade:

t =x− µ

S√n


Figura 20.3: IC para a media com variancia σ2 desconhecida.

Analogamente ao que foi feito anteriormente, para populacoes infinitas, temos

P

(x− tα

2

S√n≤ µ ≤ x+ tα

2

S√n

)= 1− α

e para populacoes finitas

P

(x− tα

2

S√n

√N − nN − 1

≤ µ ≤ x+ tα2

S√n

√N − nN − 1

)= 1− α

Exemplo 20.2.1. A amostra

6, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 10, 11, 12

foi extraıda de uma populacao normal. Construa um intervalo de confianca para a media ao

nıvel de 99%.

Solucao: Apos alguns calculos obtemos x = 8, 7 e S ≈ 2. Buscando o valor de t(α;ϕ) =

t(0, 01; 9) na Tabela 20.6 referente a distribuicao ”t” de Student, obtemos: t(0, 01; 9) = 3, 2498.

Assim,

P (8, 7− 3, 24982√10≤ µ ≤ 8, 7 + 3, 2498

2√10

) = 99%

209

P (6, 64 ≤ µ ≤ 10, 76)


[6, 64; 10, 76]


20.3 Exercıcios

Exercıcio 144. O diametro de certo parafuso produzidos por uma fabrica e de 0, 04 cm. A

medida do diametro de 50 parafusos acusou media 0, 945 cm. Determine intervalos de confianca

ao nıvel de 94%.

Exercıcio 145. A medida dos diametros de uma amostra aleatoria de 121 mancais fabrica-

dos por determinada maquina durante uma semana acusa media 0, 824 cm e desvio-padrao

0, 042 cm. Determine intervalos de confianca para a media ao nıvel de a) 95% e b) 99%.

Exercıcio 146. De um total de 200 notas em matematica, uma amostra aleatoria de 41 notas

acusa media de 75 e desvio-padrao de 10. a) Quais os limites de confianca de 95% para estimar

a media das 200 notas? b) Adotando certa significancia α um professor obteve o seguinte

intervalo de confianca [71, 75; 78, 25]. Qual foi a significancia usada?

Exercıcio 147. Esferas produzidas por certa fabrica acusam desvio-padrao 0, 06 cm. Uma

amostra de medidas de diametros de n destas esferas acusou media pertencente ao IC =

[4, 343; 4, 417] segundo uma confianca de 95%. Determine o valor de n.



α = 0, 06⇒ z0,5−α2

= z0,5−0,03 = z0,47 = 1, 88

Assim,

IC94% =

[x− z0,5−α

2

σ√n

;x+ z0,5−α2

σ√n

]=

=

[0, 945− 1, 88

0, 04√50

; 0, 945− 1, 880, 04√

50

]= [0, 934; 0, 956]

210


α = 0, 05⇒ t(0, 05; 120) = 1, 9799

Assim,

IC95% =

[x− t(0, 05; 120)

s√n

;x+ t(0, 05; 120)s√n

]=

=

[0, 824− 1, 9799

0, 042√121

; 0, 824− 1, 97990, 042√

121

]= [0, 816; 0, 832]

b) Temos que

α = 0, 01⇒ t(0, 01; 120) = 2, 6174

Assim,

IC99% =

[x− t(0, 01; 120)

s√n

;x+ t(0, 01; 120)s√n

]=

=

[0, 824− 2, 6174

0, 042√121

; 0, 824− 2, 61740, 042√

121

]= [0, 814; 0, 834]

Solucao do Exercıcio 146. a) Como o desvio padrao fornecido e o amostral, temos que

utilizar a distribuicao t-Student. Consultando a Tabela 20.6, temos que t(0, 05; 40) = 2, 0211.

Logo,

IC =

[75− 2, 0211

10√41

√200− 41

200− 1; 75 + 2, 0211

10√41

√200− 41

200− 1

]= [72, 18; 77, 8]

b) Tomando o caminho inverso, temos:

71, 75 = 75− t(α; 40)10√41

√200− 41

200− 1⇒ 71, 75 = 75− 1, 396t(α; 40)⇒ t(α; 40) = 2, 3281.

Consultando na linha correspondente a ϕ = 40, temos 2, 3289 ≈ 2, 3281 que corresponde

exatamente ao valor α = 0, 025.


x =4, 343 + 4, 417

2= 4, 38⇒ 4, 343 = 4, 38− 1, 96

0, 06√n⇒

⇒ 1, 960, 06√n

= 0, 037⇒√n =

1, 96× 0, 06

0, 037⇒ n =

(1, 96× 0, 06

0, 037

)2

⇒ n = 10.

20.5 No Computador

O Excel e bastante util na obtencao de intervalos de confianca.

211

Figura 20.4: IC para a media com variancia σ2 conhecida - Excel.

Exemplo 20.5.1. A duracao de vida de uma peca de equipamento e tal que σ = 5 horas.

Foram amostradas 100 dessas pecas obtendo-se a media de 500 horas. Deseja-se construir um

intervalo de confianca para a verdadeira duracao media da peca com um nıvel de 95%.

Solucao: Usando o comando ”INT.CONFIANCA.NORM”do Excel, obtemos:

Passos: i) Insira o tamanho amostral, o desvio padrao populacional, a media aritmetica amostral

e o nıvel de confianca respectivamente nas celulas A2, B2, C2 e D2; ii) Na celula F4 insira a

formula

” = C2− INT.CONFIANCA.NORM(D2;B2;A2)”;

iii) Na celula H4 insira a formula

” = C2 + INT.CONFIANCA.NORM(D2;B2;A2)”;

Exemplo 20.5.2. Uma amostra composta por 10 elementos apresenta media x = 8, 7 e desvio

padrao amostral S = 2 foi extraıda de uma populcao normal. Construa um intervalo de

confianca para a media ao nıvel de 95%.

Solucao: Usando o comando ”INT.CONFIANCA.T”do Excel, obtemos:

212


Passos: i) Insira o tamanho amostral, o desvio padrao amostral, a media aritmetica amostral

e o nıvel de confianca respectivamente nas celulas A2, B2, C2 e D2; ii) Na celula F4 insira a

formula

” = C2− INT.CONFIANCA.T (D2;B2;A2)”;


” = C2 + INT.CONFIANCA.T (D2;B2;A2)”;

Fazendo pequenos ajustes nos comandos vistos nos Exemplos 20.5.1 e 20.5.2 encontre IC

nos casos em que temos uma populacao finita N .

213

Figura 20.6: Tabela de valores da distribuicao t de Student.

214

Capıtulo 21

Mais Intervalos e Confianca

Nesta secao apresentaremos intervalos de confianca para a variancia e para proporcao.

21.1 Intervalo de Confianca Para a Variancia

Sabemos que o estimador de σ2 e S. Tratando-se de amostra retirada de uma populacao

normal, pode-se mostrar que a variavel padronizada σ2 tera distribuicao qui-quadrado com

(n− 1) graus de liberdade:

χn−1 =d (n− 1)S2

σ2


Temos os seguintes intervalos de confianca


P

((n− 1)S2

χ21−α/2

≤ σ2 ≤ (n− 1)S2

χ2α/2

)= 1− α

215

Populacoes Finitas

P

((n− 1)S2

χ21−α/2

N − nN − 1

≤ σ2 ≤ (n− 1)S2

χ2α/2

N − nN − 1

)= 1− α

Tomando a raiz quadrada em cada membro das formulas anteriores, obtemos um intervalo

de para o desvio-padrao. Temos,


P

(S

√(n− 1)

χ21−α/2

≤ σ ≤ S

√(n− 1)

χ2α/2

)= 1− α

Populacoes Finitas

P

(S

√(n− 1)

χ21−α/2

√N − nN − 1

≤ σ ≤ S

√(n− 1)

χ2α/2

√N − nN − 1

)= 1− α

Exemplo 21.1.1. A amostra

6, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 10, 11, 12

foi extraıda de uma populacao normal. Construa um intervalo de confianca para a variancia e

o desvio-padrao ao nıvel de 99%.

Solucao: Temos que S2 ≈ 4 e que χ2(0, 005; 9) = 1, 73 e χ2(0, 995; 9) = 23, 6 (Tabela 21.3).

Assim,

P

(9.4

23, 6≤ σ2 ≤ 9.4

1, 73

)= 99%

P (1, 53 ≤ σ2 ≤ 20, 81) = 99%

e

P (1, 24 ≤ σ ≤ 4, 56) = 99%

Podemos concluir que os intervalos

[1, 53; 20, 81] e [1, 24; 4, 56]

contem a verdadeira variancia e o verdadeiro desvio-padrao, respectivamente, com 99% de

confianca.

Observacao 21.1.2. E comum chamarmos o maior e o menor dos valores dentre χ21−α/2 e χ2

α/2

de χ2sup e χ2

inf respectivamente.

216

21.2 Intervalo de Confianca Para a Proporcao

O estimador da verdadeira probabilidade p e dado por f . Neste caso, sabe-se que:


f =d N(p;p.q

n

)

Populacoes Finitas

f =d N

(p;p.q

n

N − nn− 1

)Para o caso de populacoes infinitas a variavel padronizada f e dada por:

z =f − p√

p.qn

Fixando-se o nıvel de confianca 1− α temos,


P

(f − z0,5−α

2

√p.q

n≤ p ≤ f + z0,5−α

2

√p.q

n

)= 1− α

Populacoes Finitas

P

(f − z0,5−α

2

√p.q

n

N − nn− 1

≤ p ≤ f + z0,5−α2

√p.q

n

N − nn− 1

)= 1− α

217

Exemplo 21.2.1. Extraindo-se 500 pecas de uma grande producao encontrou-se 260 defeitu-

osas. No nıvel de 90% constuir um intervalo de confianca para a verdadeira proporcao de pecas

defeituosas.

Solucao: Temos que f = 260500

= 0, 52 e√

0,52(1−0,52)500

= 0, 0223. Assim,

P (0, 52− 1, 64.0, 0223 ≤ p ≤ 0, 52 + 1, 64.0, 0223) = 90%

P (0, 483 ≤ p ≤ 0, 557) = 90%


[0, 483; 0, 557]

contem a verdadeira porcentagem (ou proporcao) de pecas defeituosas com 90% de confianca.

21.3 Exercıcios

Exercıcio 148. A operacao adequada de eletrodometicos tıpicos exige nıveis de voltagem que

nao variem muito. A seguir, estao listados dez nıveis de voltagem (em volts) registrados em

certa casa em dez dias diferentes:

123, 3 123, 5 123, 7 123, 4 123, 6

123, 5 123, 5 123, 4 123, 6 123, 8

Use os dados amostrais para construir um intervalo de confianca de 95% para o desvio-padrao

de todos o nıveis de voltagem.

Exercıcio 149. Uma pesquisa feita com 1501 adultos selecionados aleatoriamente mostrou que

70% dos respondentes acreditam no aquecimento global. Ache o intervalo de confianca de 95%

para a proporcao populacional p.


Solucao do Exercıcio 148. Temos que S = 0, 15 (faca as contas). Alem disso, χ2(0, 025; 9)−2, 70 e χ2(0, 975; 9) = 19. Assim,

IC95% =

(√(n− 1)S2

χ21−α

2

;

√(n− 1)S2

χ2α2

)=

(√9× 0, 152

19;

√9× 0, 152

2, 7

)= (0, 10; 0, 27).

218

Solucao do Exercıcio 149. Temos que p = 0, 7 e z0,5−α2

= z0,475 = 1, 96. Assim,

IC95% =

(p− z0,5−α

2

√pq

n; p− z0,5−α

2

√pq

n

)=

=

(0, 7− 1, 96

√0, 7× 0, 3

1501; 0, 7 + 1, 96

√0, 7× 0, 3

1501

)= (0, 677; 0, 723).

21.5 No Computador

Assim como feito na aula anterior utilizaremos o Excel para a determinacao de intervalos

de confianca para a variancia e para a proporcao.

Exemplo 21.5.1. Admita que n = 10, S2 = 4 e que se deseje construir um intervalo de

confianca ao nıvel de 90% para a variancia.

Solucao: Usando o comando ”INV.QUIQUA”do Excel, obtemos (Ver Figura 21.1):

Figura 21.1: IC para a variancia σ2 - Excel.

Passos: i) Insira o tamanho amostral, a variancia amostral, α respectivamente nas celulas A2,

B2 e C2; ii) Na celula F4 insira a formula

” = ((A2− 1) ∗B2)/INV.QUIQUA(1− C2/2;A2− 1)”;

219


” = ((A2− 1) ∗B2)/INV.QUIQUA(C2/2;A2− 1)”.

Exemplo 21.5.2. Jogou-se uma moeda 500 vezes obtendo-se 260 faces cara. No nıvel de

confianca de 90% construir um intervalo de confianca para a verdadeira proporcao de pecas

defeituosas.

Solucao: Usando o comando ”INV.NORMP.N”do Excel, obtemos:

Figura 21.2: IC para a proporcao p - Excel.

Passos: i) Insira o tamanho amostral, a proporcao e α respectivamente nas celulas A2, B2 e

C2; ii) Na celula F4 insira a formula

” = B2− INV.NORMP.N(1− C2/2) ∗RAIZ((B2 ∗ (1−B2))/A2)”;


” = B2 + INV.NORMP.N(1− C2/2) ∗RAIZ((B2 ∗ (1−B2))/A2)”.

220

Figura 21.3: Tabela de valores da distribuicao Qui-Quadrado de faixa cumulativa esquerda.

221

Capıtulo 22

Teste de Hipotese

22.1 Teste de Hipotese Para Parametros

O uso dos testes de hipotese nos permitirao fazer inferencias quanto ao valor de uma dada

variavel aleatoria, isto e, a partir de dados amostrais, pode-se inferir sobre a populacao. Para

tanto, formula-se-a um hipotese sobre o verdadeiro valor de um parametro populacional e, faz-se

entao um teste que indicara a aceitacao ou rejeicao da hipotese formulada.

Definicao 22.1.1. Designa-se por H0, chamada hipotese nula, a hipotese estatıstica a ser

testada, e por H1 a hipotese alternativa. A hipotese nula expressa uma igualdade, enquanto a

hipotese alternativa e dada por uma desigualdade. Os tres tipos de hipotese sao:

I) H0 : µ = y Teste Bicaudal

H1 : µ 6= y

II) H0 : µ = y Teste Unicaudal

H1 : µ > y (a direita)

III) H0 : µ = y Teste Unicaudal

H1 : µ < y (a esquerda)

O valor Vc (Figura 22.1) recebe o nome de valor crıtico. Ele que separa as regiao de aceitacao

(RA) e regiao crıtica (RC). E ele que aprenderemos a calcular mais a frente.

222


Exemplo 22.1.2. A proporcao de mineiros que gostam de pao de queijo e 85%, ou seja:

H0 : p = 0, 85

H1 : p > 0, 85

Note que a hipotese H1 fica sendo a alternativa caso rejeitemos H0. Poderıamos, por outro

lado, formular uma hipotese H1 diferente. Neste caso, o investigador deve ter tido elementos

para acreditar que certamente rejeitando H0 que a verdadeira proporcao deva ser maior que

85%.

22.2 Testes de Significancia

Vejamos agora um conjunto de procedimentos genericos que adotaremos nos teste que se

seguirao:

1. Enunciar as hipotese H0 e H1;

2. Fixar o nıvel de significancia α, e identificar a variavel do teste;

3. Com o auxilio das tabelas estatısticas, considerando α e a variavel do teste, determinar a

regiao crıtica, RC (parte destacada), e a regiao de aceitacao, RA (parte nao destacada);

4. Com os elementos amostrais, calcular o valor da variavel do teste;

223

5. Concluir pela aceitacao ou rejeicao de H0 pela observacao de em que regiao se encotra a

variavel de teste obtida no item 4.

22.2.1 Teste de Significancia Para a Media (σ2 conhecida)

Supondo a variancia populacional conhecida, fixamos no item 2, a variavel de teste como

sendo a normal. No item 3 determinemos as regioes de aceitacao e rejeicao obtendo os valores

crıticos vc(α) = ±z0,5−α2

(teste bicaudal), vc(α) = −z0,5−α (teste unicaudal a esquerda) ou

vc(α) = z0,5−α (teste unicaudal a direita). Neste caso, a variavel de teste, zcal, exigida no item

4 sera dada por:

Zcal =x− µ0

σ√n

.

Exemplo 22.2.1. Um teste da resitencia de 6 cordas fabricadas por determinada companhia

acusou resistencia media de 7750 lbs, contra a alegacao do fabricante de que a resistencia media

seria de 8000 lbs. Suponhamos que σ = 130. Pode-se justificar a alegacao do fabricante ao nıvel

de a) 0, 05?

Solucao: Devemos decidir entre as hiposes:

H0 : µ = 8000 Teste Unicaudal

H1 : µ < 8000 (a esquerda)

Figura 22.2: Esquema referente ao Exemplo 22.2.1

A nossa regiao de aceitacao observando-se a Tabela 10.10 referente a distribuicao normal e:

vc(α) = −z0,45 = −1, 64⇒ RA = [−1, 64;∞)

Temos portanto, um teste unilateral. Sob H0, temos

zcal =x− µ

σ√n

=7750− 8000

130√6

= −4, 71.

Note que −4, 71 /∈ RA. Logo, rejeitamos H0 ao nıvel de 0, 05.

* Acumula-se a probabilidade de rejeicao α do lado direito da curva, isto e, dobramos o valor

de α dado antes de observarmos a Tabela 10.10.

224

Exemplo 22.2.2. Considere o Exemplo 150 tomando como hipotese alternativa H1 : µ 6= 8000.


H0 : µ = 8000 Teste Bicaudal

H1 : µ 6= 8000


A nossa regiao de aceitacao observando-se a tabela t de Student e:

vc(α) = ±z0,475 = ±1, 96⇒ RA = [−1, 96; 1, 96]


zcal =x− µ

σ√n

=7750− 8000

130√6

= −4, 71.


22.2.2 Teste de Significancia Para a Media (σ2 desconhecida)

Supondo a variancia populacional desconhecida e uma amostra pequena (n < 30), fixamos

no passo 2, a variavel de teste como sendo t de Student com ϕ = n− 1 graus de liberdade. No

passo 3 determinemos as regioes de aceitacao e rejeicao obtendo os valores crıticos vc(α;ϕ) =

±tα;ϕ (teste bicaudal), vc(α;ϕ) = −t2α;ϕ (teste unicaudal a esquerda) ou vc(α;ϕ) = t2α;ϕ (teste

unicaudal a direita). Neste caso, a variavel de teste, tcal, exigida no passo 4 sera dada por:

tcal =x− µ0

S√n

.

Exemplo 22.2.3. Um teste da resitencia de 6 cordas fabricadas por determinada companhia

acusou resistencia media de 7750 lbs com desvio padrao de 143 lbs, contra a alegacao do fabri-

cante de que a resistencia media seria de 8000 lbs. Pode-se justificar a alegacao do fabricante

ao nıvel de a) 0, 05?


225

Figura 22.4: Esquema referente ao Exemplo ??

H0 : µ = 8000 Teste Unicaudal

H1 : µ < 8000 (a esquerda)

A nossa regiao de aceitacao observando-se a Tabela 20.6 referente a distribuicao t de Student

e:

vc(α;ϕ) = −t0,1;5 = −2, 0150⇒ RA = [−2, 0150;∞)


tcal =x− µ

S√n

=7750− 8000

143√6

= −4, 28.


* Acumula-se a probabilidade de rejeicao α do lado direito da curva, isto e, dobramos o valor

de α dado antes de observarmos a Tabela 20.6.

Exemplo 22.2.4. Considere o Exemplo 22.2.3 tomando como hipotese alternativa H1 : µ 6=8000.


H0 : µ = 8000 Teste Bicaudal

H1 : µ 6= 8000


A nossa regiao de aceitacao observando-se a tabela t de Student e:

vc(α;ϕ) = ±t0,05;5 = ±2, 5706⇒ RA = [−2, 5706; 2, 5706]

226


tcal =x− µ

S√n

=7750− 8000

143√6

= −4, 28.


22.3 Exercıcios

Exercıcio 150. Um supervisor de qualidade quer testar, com base numa amostra aleatoria de

tamanho n = 35 e para um nıvel de significancia α = 0, 05, se a profundidade media de um

furo numa determinada peca e 72, 4mm. O que podemos dizer se ele obteve x = 73, 2mm e se

sabe, de informacoes anteriores, que σ = 2, 1mm? Use um teste bicaudal.

Exercıcio 151. No passado, determinada maquina produziu arruelas de espessura media de

0, 05 pols. A fim de verificar se a maquina ainda esta em boas condicoes, toma-se uma amostra

de 10 arruelas, cuja espessura media e de 0, 053 pols, com desvio padrao de 0, 003 pols. Teste

a hipotese de que a maquina ainda esta em boas condicoes, utilizando nıvel de significancia de

0, 05. Use o teste bilateral e um teste unilateral adequado.

Exercıcio 152. Os dois registros dos ultimos anos de um colegio, atestam para os calouros uma

nota media 118 (teste vocacional). Para testar a hipotese de que a media de uma nova turma e

a mesma, tirou-se, ao acaso, uma amostra de 20 notas, obtendo-se media 115 e desvio-padrao

20. Admitindo α = 0, 005, efetue um teste unilateral adequado.



RA = [−z0,5−α2; z0,5−α

2] = [−1, 96; 1, 96] e zcal =

x− µσ√n

=73, 2− 72, 4

2,1√35

= 2, 25

Como zcal /∈ RA deve-se rejeitar H0 ao nıvel de 0, 05.


RA = [−t(0, 05; 9); t(0, 05; 9)] = [−2, 2622; 2, 2622] e tcal =x− µ

s√n

=0, 053− 0, 05

0,003√10

= 3, 16.

Como tcal /∈ RA, o teste indica a rejeicao de H0 ao nıvel de 0, 05.

b) Como x > µ, o teste unilateral a direita e indicado. Note que

RA = (−∞; t(0, 01; 9)] = (−∞; 1, 8331] e tcal = 3, 16.

Como tcal /∈ RA o teste indica a rejeicao de H0 ao nıvel de 0, 05.

227

Solucao do Exercıcio 152. Como x < µ, o teste unilateral a esquerda e indicado. Note que

RA = [−t(0, 01; 19);∞) = (−2, 8609;∞] e tcal =115− 118

20√20

= −0, 6708.

Como tcal ∈ RA o teste indica a nao rejeicao de H0 ao nıvel de 0, 005.

22.5 No Computador

O Excel se mostra uma ferramenta bastante util como alternativa computacional para a

determinacao do resultado em um teste de hipotese.

Exemplo 22.5.1. Uma amostra de 25 elementos resultou media 13, 5 com desvio padrao 4, 4.

Efetuar o teste ao nıvel de 0, 05 para a hipotese µ = 16 contra µ 6= 16; e µ < 16.

Solucao: Usando o comando ”INV.T”do Excel apresentamos uma rotina que faz todos os testes,

bilateral, unilateral direito e unilateral esquerdo.

Figura 22.6: Teste de hipotese para a media - Excel.

Passos: i) Insira o tamanho amostral, a media a ser testada, a media aritmetica amostral, o

desvio padrao amostral e o nıvel de confianca respectivamente nas celulas A2, B2, C2, D2 e

E2;

ii) Na celula B5 insira a formula ”= (C2−B2)/(D2/RAIZ(A2))”

228

iii) Nas celulas H5 e J5 insira as formulas

” = INV.T (E2/2;A2− 1)” e ” = INV.T (1− E2/2;A2− 1)”

respectivamente.

iv) Na celula J6 insira a formula

” = INV.T (1− E2;A2− 1)”

v) Na celula H7 insira a formula

” = INV.T (E2;A2− 1)”

vi) Nas celulas M5, M6 e M7 insira as formulas

” = SE(E(H5 <= B5;B5 <= J5); ”Aceita− seH0”; ”Rejeita− seH0”)”

” = SE(B5 <= J6; ”Aceita− seH0”; ”Rejeita− seH0”)”

” = SE(H7 <= B5; ”Aceita− seH0”; ”Rejeita− seH0”)”

respectivamente.

229

Capıtulo 23

Mais Testes de Hipotese

Assim como feito na Aula anterior, trataremos de mais alguns teste de hipotese, neste caso,

para a variancia e para a proporcao.

23.1 Teste de Significancia Para a Variancia

Seguindo o procedimento descrito na aula anterior, escolhemos, no item 2, a variavel teste

como sendo qui-quadrado com ϕ = n−1 graus de liberdade. No item 3 determinemos as regioes

de aceitacao e rejeicao obtendo os valores crıticos vinf (α;ϕ) = χ2α;ϕ e vsup(α;ϕ) = χ2

1−α;ϕ (testes

unicaudais a esquerda e a direira respectivamente) ou (vinf (α;ϕ); vsup(α;ϕ)) = (χ2α/2;ϕ;χ2

1−α/2;ϕ)

(teste bicaudal). Assim,

χ2cal =

(n− 1)S2

σ20

.

Exemplo 23.1.1. Para testar a hipotese de que a variancia de uma populacao e 25, tirou-se

uma amostra aleatoria de 25 elementos obtendo-se S2 = 18, 3. Admitindo-se α = 0, 1, efetuar

o teste ao nıvel de significancia unicaudal a esquerda.

Solucao: Temos as seguintes hipoteses:

H0 : σ = 25

H1 : σ2 < 25

A nossa regiao de aceitacao, observando-se a Tabela 21.3 referente a distribuicao χ2, e:

vinf (α;ϕ) = χ20,1;24 = 15, 7⇒ RA = [15, 7; +∞).

Por outro lado,

χ2cal =

(25− 1).18, 3

25= 17, 56.

Como χ2cal ∈ RA nao se pode rejeitar H0 ao nıvel de 0, 10.

230

Exemplo 23.1.2. Considere o Exemplo 23.1.1 tomando a hipotese alternativa H1 : σ2 6= 25.

Solucao: Devemos decidir entre as hipotese:

H0 : σ = 25

H1 : σ2 6= 25

A nossa regiao de aceitacao observando-se a tabela χ2 e:

vinf (α;ϕ) = χ20,05;24 = 13, 8, vsup(α;ϕ) = χ2

0,95;24 = 36, 4⇒ RA = [13, 8; 36, 4].

Por outro lado,

χ2cal =

(25− 1).18, 3

25= 17, 56.

Como χ2cal ∈ RA nao se pode rejeitar H0 ao nıvel de 0, 10.

* Observe que tivemos que dividir o valor de α por dois devido a tabela ser de faixa unilateral

cumulativa. Isso ocorre pois ao rejeitarmos a hipotese nula, com chance 10% temos igualmente

chance de rejeita-la e admitir que o verdadeiro valor da variancia seja maior que 25 (5%) ou

menor que 25 (5%).

23.2 Teste de Significancia Para Proporcoes

Escolhemos, no item 2, a variavel teste como sendo a normal padrao Z. No item 3 de-

terminemos as regioes de aceitacao e e rejeicao, obtendo os valores crıticos vc(α) = ±z0,5−α2

(teste bicaudal), vc(α) = z0,5−α (teste unicaudal a direita) e vc(α) = −z0,5−α (teste unicaudal a

esquerda). Neste caso, a variavel de teste, zcal, exigida no item 4 sera dada por:

Zcal =f − p0√p0(1−p0)

n

.

Exemplo 23.2.1. As condicoes de mortalidade de uma regiao sao tais que a proporcao de

nascidos que sobrevivem ate os 60 anos e de 0, 6. Use um teste bilateral para testar a hipotese ao

nıvel de 5% se em 1000 nascimentos amostrados aleatoriamente, verificou-se 530 sobreviventes

ate 60 anos.


H0 : p = 0, 6

H1 : µ 6= 0, 6

231

A nossa regiao de aceitacao observando-se a tabela Z e:

vc(α) = ±z0,475 = ±1, 96⇒ RA = [−1, 96; 1, 96]


Zcal =f − p0√p0(1−p0)

n

=0, 53− 0, 6√

0,6(1−0,6)1000

= −4, 52.

Note que −4, 52 /∈ RA. Logo, rejeitamos H0.

23.3 Exercıcios

Exercıcio 153. No passado, o desvio padrao dos pesos de pacotes de 40, 0 oncas enchidas por

determinada maquina foi de 0, 25 oncas. Extrai-se uma amostra de 20 pacotes, que acusam

desvio padrao de 0, 32 oncas. Use o teste unilateral a direita para e determine se o aumento

aparente de variabilidade e significativo ao nıvel de 0, 01?

Exercıcio 154. Lanca-se uma moeda 100 vezes e obtem-se 60 caras. Use o teste bilateral para

testar ao nıvel de 10% a hipotese de que a moeda e honesta.



RA = (−∞;√χ2(0, 01; 19)) = (−∞; 6, 02) e χ2

cal =

√(n− 1)s2

σ2=

√(20− 1)0, 322

0, 252= 5, 58

Como χ2cal ∈ RA, nao se pode rejeitar H0 ao nıvel de 0, 01.

Solucao do Exercıcio 154. Sabemos que uma moeda e nao viciada se p = 0, 5. Assim, temos

RA = [−z0,45; z0,45] = [−1, 64; 1, 64] e zcal =f − p0√p0(1−p0)

n

=0, 6− 0, 5√

0,5×0,5100

= 2.

Como zcal /∈ RA o teste indica a rejeicao de H0 : p = 0, 5. Logo a moeda nao parece ser honesta.

23.5 No Computador

Assim como feito na aula anterior, utilizaremos o Excel para testes de hipotese para a

proporcao.

232

Exemplo 23.5.1. Um laboratorio fez oito determinacoes da quantidade de impurezas em

porcoes de certo composto obtendo variancia amostral de 0, 07. Teste a hipotese H0 : σ2 = 1

conta H1 : σ2 < 1 considerando uma significancia de 0, 1.

Solucao: Usando o comando ”INV.QUIQUA”do Excel apresentamos uma rotina que faz todos

os testes, bilateral, unilateral direito e unilateral esquerdo.


i) Insira o tamanho amostral, a variancia a ser testada, a variancia amostral e o nıvel de

confianca respectivamente nas celulas A2, B2, C2 e D2;

ii) Na celula B5 insira a formula ”= ((A2− 1) ∗ C2)/(B2)”


” = INV.QUIQUA(D2/2;A2− 1)” e ” = INV.QUIQUA(1−D2/2;A2− 1)”

respectivamente.


” = INV.QUIQUA(1−D2;A2− 1)”


” == INV.QUIQUA(D2;A2− 1)”



233



respectivamente.

Exemplo 23.5.2. Uma pesquisa revelou que das 500 donas de casas consultadas, 300 preferiam

o detergente A. Testar a hipotese ao nıvel de 0, 04 para H0 : p = 0, 5 contra p 6= 0, 5.

Solucao: Usando o comando ”INV.NORMP.N”do Excel apresentamos uma rotina que faz

todos os testes, bilateral, unilateral direito e unilateral esquerdo.


i) Insira o tamanho amostral, a proporcao a ser testada, a proporcao amostral e o nıvel de

confianca respectivamente nas celulas A2, B2, C2 e D2;

ii) Na celula B5 insira a formula ”= (C2−B2)/RAIZ((B2 ∗ (1−B2))/A2)”


” = INV.NORMP.N(D2/2)” e ” = INV.NORMP.N(1−D2/2)”

respectivamente.


” = INV.NORMP.N(1−D2)”


” = INV.NORMP.N(D2)”

234





respectivamente.

235

Capıtulo 24

Erros em Teste de Hipotese e Poder do

Teste

24.1 Erros em Testes de Hipotese

Ao testarmos uma hipotese nula, chegamos a uma conclusao que pode ser, rejeita-la ou

aceita-la. Tais conclusoes sao as vezes corretas e as vezes nao, mesmo que todos os procedimen-

tos de coleta e tratamento dos dados sejam feitos de maneira correta. Destacaremos os dois

tipos de erros chamados erros do tipo I e do tipo II.

Definicao 24.1.1. Define-se o Erro do Tipo I como sendo o erro de rejeitar a hipotese nula

quando ela e, de fato, verdadeira. O valor de significancia α e usado para representar a proba-

bilidade de se cometer o erro do tipo I.

Definicao 24.1.2. Define-se o Erro do Tipo II como sendo o erro de aceitar a hipotese nula

quando ela e falsa. O valor β e usado para representar a probabilidade de se cometer o erro do

tipo II.

Na verdade, formulamos a hipotese nula com um unico fim de rejeita-la. Esta e a atitude

mais confiavel. Por que? Simples, se por exemplo, a escolha de uma amostra aleatoria, digamos,

ao nıvel de 0, 05 indicar a rejeicao de uma hipotese nula terıamos apenas 5% de chances de

estarmos cometendo um erro do tipo I, se esta fosse verdadeira.

236

Figura 24.1: Esquema Geral dos Erros do Tipo I e II.

24.2 p-Valor

Definicao 24.2.1. Define-se o p − valor como sendo o menor nıvel de significancia que pode

ser assumido para rejeitar a hipotese nula.

Dizemos que ha significancia estatıstica quando o p − valor e menor que o nıvel de sig-

nificancia adotado. Por exemplo, quando p = 0.0001 pode-se dizer que o resultado e bastante

significativo, pois este valor e muito inferior aos nıveis de significancia usuais. Por outro lado,

se p = 0.048 pode haver duvida pois, embora o valor seja inferior, ele esta muito proximo ao

nıvel usual de 5%.

Exemplo 24.2.2. Uma amostra aleatoria simples de tamanho n = 9 e selecionada de uma

populacao normal com media µ e desvio padrao σ conhecido e igual a 3. a) Essa amostra e

utilizada para testar H0 : µ = 0 contra H1 : µ > 0. Sabe-se que a media amostral e x = 1, 3.

Determin p− valor do teste. b) Considere H0 : µ = 0 contra H1 : µ 6= 0.

Solucao: a) Inicialmente, devemos calcular o valor da variavel teste:

zcal =x− µ

σ√n

=1, 3− 0

3√9

= 1, 3

O p− valor e dado por:

P (Z > 1, 3) = 0, 5− P (0 < Z < 1, 3) = 0, 5− 0, 40320 = 0, 0968

b) Utilizando os dados do item anterior, temos:

P (Z < −1, 3 ouZ > 1, 3) = 2× 0, 0968 = 0, 1936.

237

Exemplo 24.2.3. Uma amostra aleatoria simples, de tamanho 4, de uma densidade normal

com media µ apresentou os seguintes valores: 2, 0 4, 0 3, 0 3, 0. O problema e testarH0 : µ = 2, 5

versus H1 : µ > 2, 5. Estime o p− valor associado ao teste.

Solucao: Temos que x = 3, 0 e S = 0, 82. A variavel teste e dada por:

tcal =x− µ

S√n

=3− 2, 5

0,82√4

= 1, 22.

Note que temos a variavel teste com boa aproximacao, porem esta nao se encontra, exatamente

na tabela que dispomos. Na verdade, devemos obter os limites superiores e inferiores para

cercar o p− valor. Na terceira linha (ϕ = 4− 1 = 3) da tabela 20.6, temos:

ϕ\α 0, 5 0, 25 0, 1 0, 05 0, 025 0, 01 0, 005

3 0, 76489 1, 42263 2, 35336 3, 18245 4, 17653 5, 84091 7, 45332

Temos que tcal se encontra entre os valores da segunda e terceira colunas, isto e, entre os valores

0, 76489 e 1, 3444. Somos levados, erroneamente, a dizer que 0, 5 > p > 0, 25. Contudo, estamos

em um teste unilateral, e portanto, devemos dividir esses limites por 2 (raciocınio inverso ao

teste de hipotese). Assim,

0, 25 > p > 0, 125.

Na verdade, o valor exato de p e dado por 0, 154811116 (obtido no Excel usando a funcao

= DIST.T.CD(1, 22; 3)).

Exemplo 24.2.4. Considere o teste de hipotese H0 : σ2 = 7 contra H1 : σ2 6= 7. a) Determine

o p−valor aproximado sabendo que χ2cal = 22, 5 e n = 20. b) Determine o p−valor considerando

um teste a direita.

Solucao: a) Consultando a Tabela 21.3 na linha 19, temos

χ2cal = 22, 5 ∈ [χ2(0, 5; 19);χ2(0, 75; 19)] = [18, 3; 22, 7]⇒ 0, 5 < p < 0, 75.

Usando o comando ” = 2 ∗DIST.QUIQUA.CD(22, 5; 19)”, temos p = 0, 520165873.

b) Basta dividirmos os valores obtidos no item anterior por 2, isto e, 0, 25 < p < 0, 375.

Usando o Excel, usamos o comando ” = DIST.QUIQUA.CD(22, 5; 19)” donde obtemos p =

0, 260082936.

Exemplo 24.2.5. Um fabricante garante que 90% das pecas que fornece a linha de producao

de uma determinada fabrica estao de acordo com as especificacoes exigidas. Uma amostra de

200 pecas revela 25 defeituosas.

a) Determine o p− valor associado ao teste H0 : p = 0, 9 contra H1 : p < 0, 9.

238

b) Determine o p− valor associado ao teste H0 : p = 0, 9 contra H1 : p 6= 0, 9.

Solucao: a) Temos que

zcal =f − p0√p0(1−p0)

n

=0, 875− 0, 9√

0,9×0,1200

= −1, 18

Assim,

P (Z < −1, 18) = P (Z > 1, 18) = 0, 5− P (0 < Z < 1, 18) = 0, 5− 0, 38100 = 0, 119.

b) Usando alguns dados calculados no item anterior, temos que o p− valor e dado por:

P (Z < −1, 18 ouZ > 1, 18) = 2P (0 < Z < 1, 18) = 2× 0, 119 = 0, 238.

24.3 Poder dos Testes de Hipotese Para Medias e Pro-

porcao

Vejamos como calcular a probabilidade β de ocorrencia do erro do tipo II para os testes

de hipotese

- para a media com variancia conhecida;

- para a media com variancia desconhecida;

- para a proporcao.

Deixaremos a cargo do leitor fazer o mesmo para o teste de hipotese para a variancia. Alem

disso, indicaremos uma formula para o dimensionamento de uma amostra visando visando os

testes de hipotese para os casos citados.

Definicao 24.3.1. Definimos o poder de um teste estatıtico como sendo a probabilidade de

rejeitarmos H0 quando H0 e realmente falsa, isto e, P = 1− β.

Exemplo 24.3.2. Num certo banco de dados, o tempo de realizacao de buscas e aproximada-

mente normal com media 53 s e desvio padrao 14 s. Modificou-se o sistema para reduzir o

tempo. Foram contados os tempos para 30 buscas. Admita que as 30 observacoes possam

ser consideradas uma amostra aleatoria que nao houve alteracao da variancia. Use α = 0, 01.

Calcule o poder do teste se os verdadeiros tempos fossem:

52 50 47 45 e 40,

239

em que estejamos considerando a realizacao de um teste unilateral a esquerda.

Solucao: Em qualquer dos casos a seguir, estaremos supondo que um teste unilateral a esquerda

nao tenha rejeitado H0 : µ = 53 quanddo esta deveria ser rejeitada por ser falsa. Inicialmente

devemos calcular o valor crıtico associado a H0 : µ = 53:

n = 30, σ = 14, z0,5−0,01 = z0,49 = 2, 32.

xc = µ− z0,5−ασ√n

= 53− 2, 3214√30

= 47, 07.

Agora resta-nos supor cada casos pedidos acima:

µ zβ = xc−µσ√n

P = P (z < zβ)

52 −1, 93 0, 0268

50 −1, 15 0, 1251

47 0, 03 0, 51197

45 0, 81 0, 79103

40 2, 77 0, 9972

Exemplo 24.3.3. Repita o Exemplo 24.3.2 considerando um teste bilateral.

Solucao: Temos que

n = 30, σ = 14, z0,5−0,005 = z0,495 = 2, 57

xc−inf = µ− z0,5−α2

σ√n

= 53− 2, 5714√30

= 46, 43.

xc−sup = µ+ z0,5−α2

σ√n

= 53 + 2, 5714√30

= 59, 56.

Assim,

µ zβ−inf =xc−inf−µ

σ√n

zβ−sup = xc−sup−µσ√n

P = P (z < zβ−inf ) + P (z > zβ−sup)

52 −2, 18 2, 96 0, 01617

50 −1, 40 3, 74 0, 08085

47 −0, 22 5, 48 0, 41295

45 0, 56 5, 70 0, 71226

40 2, 52 7, 65 0, 99413

Exemplo 24.3.4. Um certo tipo de pneu dura , em media, 50000 km. O fabricante investiu em

uma nova composicao de borracha, para pneus, objetivando aumentar sua durabilidade. Vinte

pneus, fabricados com esta nova composicao, apresentam desvio padrao 4000 km. Calcule o

poder do teste se a verdadeira media de durabilidade dos pneus fosse de:

55000 54000 53000 52000 e 51000,

240

em que estejamos considerando a realizacao de um teste unilateral a esquerda. (Dica: t(0, 02; 19) =

2, 5395)

Solucao: Em qualquer dos casos a seguir, estaremos supondo que um teste unilateral a es-

querda nao tenha rejeitado H0 : µ = 50000 quanddo esta deveria ser rejeitada por ser falsa.

Inicialmente devemos calcular o valor crıtico associado a H0 : µ = 50000:

n = 20, σ = 14, t(0, 02; 19) = 2, 5395.

xc = µ+ t(2α; 19)s√n

= 50000 + 2, 53954000√

20= 52271, 40.

Agora resta-nos supor cada casos pedidos acima. Com o auxilio da funcao ” = 1−DIST.T (tβ;n−1;V ERDADEIRO)”, temos:

µ zβ = xc−µs√n

P = 1− P (t < tβ)

55000 −3, 0507 0, 9967

54000 −1, 9326 0, 9658

53000 −0, 8146 0, 7873

52000 0, 3034 0, 3824

51000 1, 4215 0, 0857

Exemplo 24.3.5. Um fabricante garante que 90% das pecas que fornece a linha de producao de

uma determinada fabrica estao de acordo com as especificacoes exigidas. Um teste de hipotese

feito com 106 pecas nos, ao nıvel de 5%, possui qual poder se a verdadeira media for 80%?

Solucao: Suponhamos um teste unilateral a esquerda em que H0 : p = 0, 9 nao tenha sido

rejeitada e seja falsa. Inicialmente devemos calcular o valor crıtico associado a H0 : p = 0, 9:

n = 106, z0,5−0,05 = z0,45 = 1, 64.

fc = p− z0,5−α

√p(1− p)

n= 0, 9− 1, 64

√0, 9× 0, 1

106= 0, 85.

Continuando, temos:

zβ =fc − p√p(1−p)n

=0, 85− 0, 8√

0,8×0,2106

= 1, 29

Por fim,

P = P (z < zβ) = P (z < 1, 29) = 0, 90147.

241

24.4 Exercıcios

Exercıcio 155. Um fabricante de fibra textil esta investigando um novo fio, que a companhia

afirma ter um alongamento medio de 12 quilogramas, com desvio padrao de 0, 5 quilogramas.

A companhia deseja testar a hipotese H0 : µ = 12 contra H1 : µ < 12, usando uma amostra

aleatoria de quatro especimes.

a) Qual sera a probabilidade do erro do tipo I, se a regiao crıtica for definida como x < 11, 5

quilos?

b) Encontre o poder do teste para o caso em que o alongamento medio verdadeiro seja de 11, 25

quilogramas.

c) Encontre o poder do teste para o caso em que o alongamento medio verdadeiro seja de 11, 5

quilogramas.

Exercıcio 156. Resolva o Exercıcio 155 considerando uma amostra de 20 especimes.

Exercıcio 157. Uma companhia de produtos para consumidor esta formulando um xampu novo

e esta interessada na altura (em milımetros) da espuma. A altura da espuma tem distribuicao

aproximadamente normal, com um desvio padrao de 20 milımetros. A companhia deseja testar

H0 : µ = 175 milımetro contra H1 : µ > 175 milımetros, usando os resultados de 10 amostras.

a) Encontre a probabilidade α do erro do tipo I, se a regiao crıtica for x > 185.

b) Qual sera a probabilidade do erro tipo II, se a altura media verdadeira da espuma for 185

milımetros?

c) Qual sera a probabilidade do erro tipo II, se a altura media verdadeira da espuma for 195

milımetros?

Exercıcio 158. Sabe-se que a vida, em horas, de uma bateria e aproximadamente normal, com

desvio σ = 1, 25 horas. Uma amostra aleatoria de 10 baterias tem a vida media de 40, 5 horas.

a) Ha evidencias que suporte a alegacao de que a vida da bateria exceda 40 horas? Use α = 0, 05.

b) Qual e o p− valor para o teste do item a)?

c) Qual sera o erro β para o teste do item a) se a media verdadeira for 42 horas?

Exercıcio 159. Depois de uma pane geral no sistema de informacao de uma empresa, o gerente

administrativo deseja saber se houve alteracao no tempo de processamento de determinada

atividade. Antes da pane, o tempo de processamento podia ser aproximado por uma variavel

aleatoria normal com media de 100 minutos. Uma amostra de 16 tempos de processamento apos

a pane revela uma media x = 105, 5 minutos e um desvio padrao s = 10 minutos. Determine,

ao nıvel de 5% o poder do teste se o verdadeira tempo medio for 95 minutos.

242

Exercıcio 160. Uma amostra de 64 elementos e usada para testar H0 : p = 0, 35 contra

H1 : p 6= 35. A proporcao amostral obtida foi de f = 0, 26.Encontre o p − valor considerando

α = 0, 01.

Exercıcio 161. Um fabricante de semicondutores produz controladores usados em aplicacoes

no motor de automoveis. O fabricante afirma que a fracao defeituosa nao exceda 5%. Usando

α0, 05 determine o poder do teste de hipotese se a verdadeira proporcao e 3%.



zcal =x− µ

σ√n

=11, 5− 12

0,5√4

= −2

Logo, o p− valor e dado por

P (z < −2) = 0, 5− 0, 47725 = 0, 02275.

b) Temos que

zβ =xc − µ

σ√n

=11, 5− 11, 25

0,5√4

= 1

Logo,

P = P (z < zβ) = P (z < 1) = 0, 84134.

c) Temos que

zβ =xc − µ

σ√n

=11, 5− 11, 5

0,5√4

= 0

Logo,

P = P (z < zβ) = P (z < 0) = 0, 5.


zcal =x− µ

σ√n

=11, 5− 12

0,5√20

= −4, 47


P (z < −4, 47) = 0.

b) Temos que

zβ =xc − µ

σ√n

=11, 5− 11, 25

0,5√20

= 2, 23

Logo,

P = P (z < zβ) = P (z < 2, 24) = 0, 98745.

243

c) Temos que

zβ =xc − µ

σ√n

=11, 5− 11, 5

0,5√20

= 0

Logo,

P = P (z < zβ) = P (z < 0) = 0, 5.


zcal =x− µ

σ√n

=185− 175

20√10

= 1, 58


P (z > 1, 58) = 0, 0571.

b) Temos que

zβ =xc − µ

σ√n

=185− 185

20√10

= 0

Logo,

P = P (z > zβ) = P (z > 0) = 0, 5.

c) Temos que

zβ =xc − µ

σ√n

=185− 195

20√10

= −1, 58

Logo,

P = P (z > zβ) = P (z > −1, 58) = 1− 0, 0571 = 0, 9429.


RA = (−∞; 1, 64] e zcal =40, 5− 40

1,2510

= 1, 26.

Como zcal ∈ RA o teste nao indica a rejeicao de H0 : µ = 40.

b) O p− valor e dado por

P (z > zcal) = P (z > 1, 26) = 0, 1038.

c) Temos que

xc = 40 + 1, 641, 25√

10= 40, 6483⇒ zβ =

40, 6483− 421,2510

= −3, 33

Logo,

β = 1− P = 1− P (z > −3, 33) = 1− 0, 99957 = 0, 0004

244


tc−inf = 100− 2, 131510√16

= 94, 67 tc−sup = 100 + 2, 131510√16

= 105, 33⇒

⇒ tβ−inf =94, 67− 95

104

= −0, 132 tβ−sup =105, 33− 95

104

= 4, 132

Logo, o poder do teste e dado por:

P = P (t < tβ−inf ) + P (t > tβ−sup) = P (t < −0, 132) + P (t > 4, 132) =

= 0, 44837 + 0, 00044 = 0, 44881.


zcal =0, 26− 0, 35√

0,35×0,6564

= −1, 51


P (z < −1, 51) + P (z > 1, 51) = 2(0, 5− P (0 < z < 1, 51)) = 2(0, 5− 0, 43448) = 0, 13104.

Solucao do Exercıcio 161. Podemos supor um teste unilateral a esquerda. Assim,

n = 200, z0,5−α = z0,45 = 1, 64.

fc = 0, 5− 1, 64

√0, 05× 0, 95

200= 0, 02473⇒ zβ =

0, 02473− 0, 03√0,03×0,97

200

= −0, 44

Por fim,

P = P (z < −0, 44) = 0, 329969.

245

Capıtulo 25

Correlacao e Regressao

25.1 Covariancia e Coeficiente de Correlacao

Em teoria da probabilidade e estatıstica, correlacao, tambem chamada de coeficiente de

correlacao, indica a forca e a direcao do relacionamento linear entre duas variaveis aleatorias.

No uso estatıstico geral, correlacao se refere a medida da relacao entre duas variaveis, embora

correlacao nao implique causalidade. Neste sentido geral, existem varios coeficientes medindo

o grau de correlacao, adaptados a natureza dos dados.

Varios coeficientes sao utilizados para situacoes diferentes. O mais conhecido e o coeficiente

de correlacao de Pearson, o qual e obtido dividindo a covariancia de duas variaveis pelo produto

de seus desvios padrao.

Definicao 25.1.1. A covariancia entre duas variaveis X e Y e definida como:

CovXY = SXY =1

n− 1

n∑i=1

(xi − x)(yi − y).

Definicao 25.1.2. Define-se o coeficiente de correlacao, de Pearson, entre X e Y como sendo:

ρXY =S

SXSY=

∑ni=1(xi − x)(yi − y)√∑n

i=1(xi − x)2√∑n

i=1(yi − y)2.

Pode-se provar que

−1 ≤ ρXY ≤ 1.

O coeficiente de correlacao de Pearson mede o grau da correlacao (e a direcao dessa cor-

relacao - se positiva ou negativa) entre duas v.a.

i) Se ρXY = 1, dizemos que existe uma correlacao perfeita positiva entre as v.a. X e Y .

ii) Se ρXY = −1, dizemos que existe uma correlacao perfeita negativa entre as v.a. X e Y . Em

246

linhas simples, isto e, “se uma aumenta, a outra sempre diminui”.

iii) Se ρXY = 0, significa que as duas variaveis aleatorias nao dependem linearmente uma da

outra. No entanto, pode existir uma dependencia nao linear. Assim, um resultado apontando

ρXY = 0 deve ser investigado por outros meios.

Podemos ainda dizer que:

ρ < −0, 9 ou ρXY > 0, 9 indica uma correlacao muito forte.

−0, 9 < ρXY < −0, 7 ou 0, 7 < ρXY < 0, 9 indica uma correlacao forte.

−0, 7 < ρXY < −0, 5 ou 0, 5 < ρXY < 0, 7 indica uma correlacao moderada.

−0, 5 < ρXY < −0, 3 ou 0, 3 < ρXY < 0, 5 indica uma correlacao fraca.

0, 3 < ρXY < 0 ou 0 < ρXY < 0, 7 indica uma correlacao desprezıvel.

Exemplo 25.1.3. Os custos emparelhados das pizzas/tarifa do metro em estacoes de certa

cidade sao mostrados na tabela a seguir:

Custo da pizza 0,15 0,35 1,00 1,25 1,75 2,00

Tarifa do metro 0,15 0,35 1,00 1,35 1,50 2,00

Determine que tipo de correlacao ha entre o custo da pizza e a tarifa do metro.

Solucao: Temos que x = 1, 0833 e y = 1, 0583. Assim, construımos a seguinte tabela:

xi yi xi − x yi − y (xi − x)(yi − y) (xi − x)2 (yi − y)2

0, 15 0, 15 −0, 9333 −0, 9083 0, 8477 0, 8710 0, 8250

0, 35 0, 35 −0, 7333 −0, 7083 0, 5194 0, 5377 0, 5017

1, 00 1, 00 −0, 0833 −0, 0583 0, 0049 0, 0069 0, 0034

1, 25 1, 35 0, 1667 0, 2917 0, 0486 0, 0278 0, 0851

1, 75 1, 50 0, 6667 0, 4417 0, 2945 0, 4445 0, 1951

2, 00 2, 00 0, 9167 0, 9417 0, 8633 0, 8403 0, 8868

2, 5784 2, 7282 2, 4971

Por fim,

ρXY =2, 5784√

2, 7282√

2, 4971= 0, 9879.

Ha portanto uma correlacao positiva muito forte.

25.2 Regressao

Em alguns casos, a representacao grafica de duas variaveis X e Y pode sugerir o ajusta-

mento de uma reta ao conjunto dos pontos (xi; yyi), indicando a existencia de uma correlacao

linear entre X e Y . Esta reta e chamada de reta de regressao de Y sobre X. Ela nos permitira

escrever y (variavel dependente) como funcao de x (variavel independente).

247

Definicao 25.2.1. A reta de regressao e dada por

y = ax+ b

em que

a =

∑xiyi − nx y∑x2i − nx2 e b = y − ax.

Dentre as diversas formas de se calcular o coeficiente a, destacam-se

a = ρSYSX

=SXYSXSY

SYSX

=SXYS2X

.

Exemplo 25.2.2. Encontre a reta de regressao que ajusta os dados do Exemplo 25.1.3.

Solucao:

xi yi xiyi x2i

0, 15 0, 15 0, 0225 0, 0225

0, 35 0, 35 0, 1225 0, 1225

1, 00 1, 00 1, 0000 1, 0000

1, 25 1, 35 1, 6875 1, 5625

1, 75 1, 50 2, 6250 3, 0625

2, 00 2, 00 4, 0000 4, 0000

9, 4575 9, 7700

Assim,

a =9, 4575− 6.1, 0833.1, 0583

9, 7700− 6.1, 08332=

2, 5788

2, 7288= 0, 9450 b = 1, 0583− 0, 9450.1, 0833 = 0, 0346

Portanto,

y = 0, 945x+ 0, 0346.

248

Figura 25.1: Reta de Regressao.

25.3 Exercıcios

Exercıcio 162. Considere os dados:

xi 1 3 4 6 8 9 11 14

yi 1 2 4 4 5 7 8 9

a) Determine o coeficiente de correlacao linear entre X e Y ;

b) Encontre a reta de regessao que ajusta os valores de X aos valores de Y .

Exercıcio 163. A tabela a seguir mostra (polegadas) as alturas respectivas, x e y, de uma

amostra de 12 irmaos e seus filhos mais velhos.

xi 65 63 67 64 68 62 70 66 68 67 69 71

yi 68 66 68 65 69 66 68 65 71 67 68 70

a) Determine o coeficiente de correlacao linear entre X e Y ;

b) Encontre a reta de regessao que ajusta os valores de X aos valores de Y .

c) Estime a altura do filho mais velho de um 13o irmao, sabendo que este tem altura 72.

249



x = 7 e y = 5.

Consideremos a seguinte tabela auxiliar:

xi yi xi − x yi − y (xi − x)(yi − y) (xi − x)2 (yi − y)2 xiyi x2i

1 1 −6 −4 24 36 16 1 1

3 2 −4 −3 12 16 9 6 9

4 4 −3 −1 3 9 1 16 16

6 4 −1 −1 1 1 1 24 36

8 5 1 0 0 1 0 40 64

9 7 2 2 4 4 4 63 81

11 8 4 3 12 16 9 88 121

14 9 7 4 28 49 16 126 196

84 132 56 364 524

Com base na tabela acima, temos:

ρ =SXYSXSY

=

∑(xi − x)(yi − y)√∑

(xi − x)2√∑

(yi − y)2=

84√132√

56= 0, 977

b) Ainda recorrendo a tabela, temos:

a =

∑xiyi − nx y∑x2i − nx2 =

364− 8× 7× 5

524− 8× 72= 0, 6364 e b = y − ax = 5− 0, 6364× 7 = 0, 5452.

Logo,

y = 0, 6364x+ 0, 5452.

250


x = 66, 6667 e y = 67, 5833.

Consideremos a seguinte tabela auxiliar.

xi yi xi − x yi − y (xi − x)(yi − y) (xi − x)2 (yi − y)2 xiyi x2i

65 68 −1, 6667 0, 4167 −0, 6945 2, 7779 0, 1736 4420 4225

63 66 −3, 6667 −1, 5833 5, 8055 13, 4447 2, 5068 4158 3969

67 68 0, 3333 0, 4167 0, 1389 0, 1111 0, 1736 4556 4489

64 65 −2, 6667 −2, 5833 6, 8889 7, 1113 6, 6734 4160 4096

68 69 1, 3333 1, 4167 1, 8889 1, 7777 2, 0070 4692 4624

62 66 −4, 6667 −1, 5833 7, 3888 21, 7781 2, 5068 4092 3844

70 68 3, 3333 0, 4167 1, 3890 11, 1109 0, 1736 4760 4900

66 65 −0, 6667 −2, 5833 1, 7223 0, 4445 6, 6734 4290 4356

68 71 1, 3333 3, 4167 4, 5555 1, 7777 11, 6738 4828 4624

67 67 0, 3333 −0, 58333 −0, 1944 0, 1111 0, 3402 4489 4489

69 68 2, 3333 2, 4167 10, 4723 18, 7775 5, 8404 4970 5041

71 70 4, 3333 3 12 16 9 88 121

14 9 7 4 28 49 16 126 196

40, 3335 84, 6668 38, 9162 54107 53418

Com base na tabela acima, temos:

ρ =SXYSXSY

=

∑(xi − x)(yi − y)√∑

(xi − x)2√∑

(yi − y)2=

40, 3335√84, 6668

√38, 9162

= 0, 7027

b) Ainda recorrendo a tabela, temos:

a =

∑xiyi − nx y∑x2i − nx2 =

54107− 12× 66, 6667× 67, 5833

53418− 12× 66, 66672= 0, 4767

b = y − ax = 67, 5833− 0, 4767× 66, 6667 = 35, 8033.

Logo,

y = 0, 4767x+ 35, 8033.

c) Temos que

y(72) = 0, 4767× 72 + 35, 8033 = 70, 1257.

25.5 No Computador

O Excel se mostra bastante eficaz quando trabalhamos com correlacao e regressao. Com

poucos comandos obtemos a reta de regressao e o coeficiente de correlacao.

251

Exemplo 25.5.1. Encontremos o coeficiente de correlacao e a reta de regressao associada aos

dados do Exemplo 25.1.3.

Solucao: No Excel, obtemos:

Figura 25.2: Reta de Regressao e Coeficiente de Correlacao.

Passos: i) Insira os dados referentes a v.a. X na coluna A; ii) Insira os dados referentes a v.a.

Y na coluna B; iii) Selecione os dados referentes aos valores de X e de Y e click em “Inserir”;

iv) Click em “Dispersao”e escolha a primeira opcao no menu que ira aparecer; v) No menu

“Layout do Grafico”click em “Layout 3”; vi) De um duplo click na reta de regressao; vii) No

menu “Formatar Linha de Tendencia”marque as opcoes “Exibir Equacao no grafico”e “Exibir

valor de R-quadrado no grafico”.

252

Capıtulo 26


Questoes Objetivas

Exercıcio 164. Uma amostra aleatoria de tamanho 256 e extraıda de uma populacao nor-

malmente distribuıda e considerada de tamanho infinito. Considerando que o desvio padrao

populacional e igual a 100, determinou-se, com base na amostra, um intervalo de confianca de

86% igual a [890, 75; 909, 25]. Posteriormente, uma nova amostra de tamanho 400, independente

da primeira, e extraıda desta populacao, encontrando-se uma media amostral igual a 905, 00.

Determine o novo intervalo de confianca ao nıvel de 86%.

a) [897, 65; 912, 35] b) [899, 08; 910, 92] c) [901, 30; 908, 70] d) [903, 15; 906, 85]

e) [903, 30; 906, 70]

Exercıcio 165. Um intervalo de confianca de 95% para a media µ de uma populacao normal

de tamanho infinito e variancia desconhecida foi construıdo com base em uma amostra aleatoria

de tamanho 16. Se a variancia amostral foi igual a 4, 84, entao a amplitude do intervalo e igual

a:

a) 2, 332 b) 2, 338 c) 2, 345 d) 2, 340 e) 2, 354

Exercıcio 166. Sabe-se que se tem uma populacao normal com media µ desconhecida e desvio

padrao 3, N(µ, 9) e uma amostra de 121 observacoes. O intervalo de confianca para µ, ao nıvel

de 95% de confianca e:

a) [x− 0, 447;x+ 0, 447] b) [x− 0, 545;x+ 0, 545] c) [x− 0, 535;x+ 0, 535]

d) [x− 1, 604;x+ 1, 604] e) [x− 0, 604;x+ 0, 604]

Exercıcio 167. Com o objetivo de se estimar a idade media, µ, em anos, de ingresso no primeiro

emprego formal de jovens de determinada comunidade, selecionou-se uma amostra aleatoria de

100 jovens da populacao de jovens que ja haviam ingressado no mercado de trabalho formal. Os

253

resultados obtidos encontram-se na tabela de distribuicao de frequencias apresentada a seguir:

Consumo (kWh) Frequencia Relativa

18 ` 20 0, 10

20 ` 22 0, 30

22 ` 24 0, 35

24 ` 26 0, 25

Considere:

I. Que a populacao de onde a amostra foi retirada e infinita e tem distribuicao normal com

desvio padrao igual a 1 ano.

II. Para a estimativa pontual de µ a media aritmetica das 100 idades apresentadas, calculada

considerando que todos os valores incluıdos num intervalo de classe sao coincidentes com o

ponto medio do intervalo.

Nessas condicoes, o intervalo de confianca para µ, em anos, com nıvel de confianca igual a 77%,

baseado nessa amostra, e dado por:

a) (22, 38; 22, 62) b) (20, 40; 22, 60) c) (21, 95; 22, 85)

d) (22, 35; 22, 65) e) (20, 30; 22, 70)

Exercıcio 168. Numa cidade pretende-se saber qual a proporcao da populacao favoravel a

certa modificacao de transito. Faz-se um inquerito a 100 pessoas, e 70 declaram-se favoraveis.

Obterve-se entao o IC para a media dado por [0, 6102; 0, 7898]. A confianca adotada para a

pesquisa foi:

a) 90% b) 95% c) 95, 5% d) 99% e) 99, 5%

Exercıcio 169. Uma maquina fabrica cabos cuja resistencia a ruptura (em kg/cm2) e uma

variavel com distribuicao normal de media 100 e desvio-padrao 30. Pretende-se testar uma nova

maquina, segundo indicacoes do frabricante, produz cabos com resitencia media superior. Para

isso, observaram-se 100 cabos fabricados pela nova maquina, que apresentam uma resistencia

media de 110 kg/cm2. Um primeiro intervalo de confianca ao nıvel de 95% foi construıdo.

Suponha que pretenderıamos obter um novo intervalo de confianca com a mesma aplitude que

o anterior (95%), mas com um nıvel de confianca de 99%. O numero de cabos que deveriam

ser observados e:

a) 199 b) 183 c) 178 d) 172 e) 120

Exercıcio 170. Em um experimento obtiveram-se as seguintes medidas dos tempos (em se-

gundos) de reacao de um indivıduo a determinados estımulos:

0, 28 0, 30, 0, 27 0, 33 0, 31

254

Um IC ao nıvel de 99% para a verdadeira media e dado por:

a) 0, 298± 0, 030 b) 0, 298± 0, 021 c) 0, 298± 0, 027

d) 0, 298± 0, 049 e) 0, 298± 0, 015

Exercıcio 171. Consideremos que o projetista de uma industria tomou uma amostra de 36

funcionarios para verificar o tempo medio gasto para montar um determinado brinquedo. Os

tempos estao colocados na Tabela a seguir:

17, 1000 16, 8930 14, 6004 13, 0053 29, 6292 19, 2500 17, 7504 24, 6337

29, 3567 25, 0798 16, 7914 29, 4087 23, 8807 15, 2133 19, 1536 30, 3199

13, 0050 24, 6795 29, 3308 20, 7309 16, 4541 26, 2017 21, 7857 19, 7393

24, 6042 18, 6442 21, 2594 26, 9123 16, 9896 32, 8977 21, 3627 15, 4958

18, 3113 23, 6931 19, 5429 16, 3855 .

Dado que o projetista nao tem conhecimento da variabilidade da populacao um intervalo de

confianca com (1− α) = 0, 95 para a media µ e:

a) (19, 63; 23, 15) b) (19, 92; 22, 86) c) (19, 01; 23, 2)

d) (19, 57; 22, 86) e) (19, 57; 23, 21).

Exercıcio 172. O peso de componentes mecanicos produzidos por uma determinada empresa e

uma variavel aleatoria que se supoe ter distribuicao normal. Pretende-se estudar a variabilidade

do peso dos referidos componentes. Para isso, uma amostra de tamanho 11 foi obtida,cujos

valores em grama sao:

98 97 102 100 98 101 102 105 95 102 100

Um intervalo de confianca para o desvio padrao do peso, com um grau de confianca igual a

95% e:

a) (1, 98; 4, 96) b) (2, 09; 4, 51) c) (4, 37; 20, 34) d) (2, 10; 4, 90) e) (2, 11; 4, 33)

Exercıcio 173. Qual deve ser o tamanho de uma amostra cujo desvio-padrao populacional e

10 para que a diferenca da media amostral para a media da populacao, em valor absoluto, seja

menor que 1, com coeficiente de confianca igual a 99%.

a) maior que 400 b) entre 390 e 399 c) entre 380 e 389

d) entre 370 e 379 e) menor que 370

255

Exercıcio 174. Sabe-se que o nıvel de significancia e a probabilidade de cometermos um

determinado tipo de erro quando realizamos um teste de hipotese. Entao e correto afirmar que:

a) A escolha ideal seria um nıvel de significancia igual a zero, o que eliminaria por completo

qualquer possibilidade de erro no teste.

b) O nıvel de significancia e uma questao tıpica de amostras pequenas - em outras amostras

grandes ficam automaticamente eliminadas as possibilidades de erro.

c) Mantido o tamanho da amostra, quanto maior o nıvel de significancia menor a probabilidade

de se cometer o erro do tipo II.

d) O nıvel de significancia e a probabilidade de rejeitarmos a hipotese nula (H0) sendo a mesma

verdadeira.

e) Se “α”e o nıvel de significancia, entao 1− α e a probabilidade de nao cometermos o erro do

tipo I.

Exercıcio 175. Um comerciante afirma que pelo menos 20% do publico preferem o seu produto.

Uma amostra de 100 pessoas e escolhida para checar a afirmativa. Com um nıvel de significancia

de 5% podemos dizer que a porcentagem amostral, para que a afirmativa seja contestada, deve

assumir o valor de:

a) 19% b) 20% c) aproximadamente 13%

d) 14% e) qualquer valor menor que 20%.

Exercıcio 176. Com base em uma amostra de 100 unidades, quer-se testar, a um nıvel de

significancia de 5%, se a vida util de determinado tipo de lampada e 2000 horas (H0 : µ = 2000)

contra a hipotese de que ela seja inferiora 2000 horas (H1 : µ < 2000). Pode-se, entao, afirmar

que:

a) Ha uma probabilidade de 5% de rejeitarmos H0 quando a vida media de tais lampadas for,

de fato, 2000h.

b) Rejeitamos H0 sempre que a media encontrada na amostra for 5% menor do que 2000h.

c) O teste que iremos realizar e unilateral.

d) Ha uma probabildiade de 95% de que a media da populacao seja igual a media da amostra.

e) Como a variavel em causa e contınua, devemos usar no teste a distribuicao de Bernoulli.

Exercıcio 177. Indique qual das seguintes consideracoes sobre testes de hipotese e verdadeira.

a) O erro do tipo II e definido como a probabilidade de nao se rejeitar um hipotese nula quando

esta for falsa e o erro do tipo I e definido como a probabilidade de se rejeitar a hipotese nula

quando esta for veradeira.

b) No teste de hipotese para proporcoes, se a variancia da proporcao populacional for descon-

hecida, a estatıstica t de Student com n− 1 graus de liberdade e indicada para o teste.

256

c) Num teste de hipotese bicaudal, o p-valor e igual a duas vezes a probabilidade da regiao

extrema delimitada pelo valor calculado da estatıstica de teste.

d) Nao se pode realizar um teste de hipotese para a variancia populacional, pois a estatıstica

de teste, que segue uma distribuicao Qui-quadrado com n−1 graus de liberdade nao simetrica.

e) No teste de hipotese para a media (H0 : µ = 0) contra (H1 : µ 6= 0), ao nıvel de significanci

α, se o intervalo de confianca com 1 − α de probabilidade nao contiver µ = 0, nao se podera

rejeitar H0.

Exercıcio 178. Para testar, ao nıvel de significancia de 5%, H0 : µ = 20 versus H1 : µ > 20,

em que µ representa a media de uma distribuicao normal com variancia 25, uma amostra de

tamanho 100 sera observada. O limite inferior da regiao crıtica sera:

a) 20, 40 b) 20, 43 c) 20, 52 d) 20, 64 e) 20, 82

Exercıcio 179. Para testar H0 : µ = 5 versus H1 : µ > 5, em que µ representaa media de uma

distribuicao normal com parametros desconhecidos, foi usada uma amostra aleatoria simples

de tamanho 16, que forneceu as seguintes estatısticas: x = 6 e S = 2. O p− valor associado a

estatıstica de teste usual, que tem distribuicao t Student quando µ = 5 e:

a) p < 0, 001 b) 0, 001 < p < 0, 025 c) 0, 025 < p < 0, 05 d) 0, 05 < p < 0, 10

e) p > 0, 10

Exercıcio 180. Com relacao a testes de hipoteses estatısticas e denominando H0 como sendo

a hipotese nula e H1 a hipotese alternativa, a definicao de poder de um teste corresponde a

probabilidade de

a) nao rejeitar H0, quando H0 e verdadeira.

b) nao rejeitar H0, quando H0 e falsa.

c) nao rejeitar H0, independentemente de H0 ser falsa ou verdadeira.

d) rejeitar H0, quando H0 e verdadeira.

e) rejeitar H0, quando H0 e falsa.

Exercıcio 181. Seja uma amostra aleatoria de 25 pecas fabricadas por uma industria em que a

soma das medidas dos diametros da peca apresentou o valor de 125 cm e a soma dos quadrados

das medidas dos diametros apresentou o valor de 649 cm2. Considere que as medidas dos

diametros sao normalmente distribuıdas com uma variancia populacional desconhecida e com

uma populacao de tamanho infinito. Deseja-se testar a hipotese de que a media µ da populacao

destas medidas e igual a 5, 5 cm, sendo formuladas as hipoteses:

H0 : µ = 5, 5 e H1 : µ 6= 5, 5.

257

Utilizando o teste t de Student, obtem-se que o valor da estatıstica t (t calculado) a ser com-

parado com o t tabelado, com 24 graus de liberdade. Nessas condicoes o valor do t calculado e:

a) 2, 50 b) 2, 25 c) −2, 00 d) −2, 25 e) −2, 50

Exercıcio 182. Com respeito ao modelo de regressao linear simples, assinale a opcao correta.

a) O parametro de inclinacao da reta e igual a tangente do angulo formado entre a reta e o

eixo Oy.

b) A inclinacao da reta e proporcional a correlacao entre a variavel resposta e a variavel predi-

tora.

c) Se o modelo linear estiver bem ajustado, a correlacao entre o resıduo do modelo e a variavel

resposta deve estar proxima de −1.

d) Se o intercepto do modelo for nulo, a variavel resposta assume o valor zero quando a variavel

preditora for igual ao inverso da inclinacao da reta.

e) O parametro de inclinacao da reta e igual ao cosseno do angulo formado entre a reta e o eixo

Ox.

Exercıcio 183. A partir de uma amostra aleatoria (X1; y1), ..., (Xn; yn) foram obtidas as es-

tatısticas:

x = 12, 5, y = 19, s2x = 30, s2

y, sxy = 36.

A reta de regressao estimada de Y e X e:

a) y = 0, 667x+ 19 b) y = 1, 2x+ 12, 5 c) y = 1, 2x+ 4

d) y = 1, 2x+ 19 e) y = 22, 8x+ 80


Exercıcio 184. Uma amostra de n cigarros foi analisada para determinar o conteudo de

nicotina, observando-se um valor medio de 1, 2mg. Sabendo que o desvio padrao do conteudo de

nicotina de um cigarro e 0, 2mg, determine, com 99%, o tamanho de n para o qual a amplitude

do intervalo, contendo a verdadeira media µ, seja de 0, 23.

Exercıcio 185. Admita-se que a altura dos alunos de uma escola segue uma distribuicao

Normal com variancia conhecida e igual a 0, 051. Foi recolhida uma amostra aleatoria com

dimensao n = 25 alunos e calculada a respectiva amostral, tendo-se obtido o valor 1, 70m.

Determine a o nıvel de confianca usado na pesquisa sabendo-se que a amplitude o intervalo de

confianca para a verdadeira media µ foi de 0, 177.

258

Exercıcio 186. A direcao de Marketing de uma empresa pretende conhecer a notoriedade da

marca de determinado produto. Nesse sentido, efetuou-se um inquerito junto de 1200 pessoas

escolhidas aleatoriamente, verificando que 960 a conheciam.

a) Estime a proporcao de pessoas conhecedoras da marca atraves de um intervalo de confianca

ao nıvel de 90%.

b) Se se pretende que a amplitude do intervalo de confianca no item a) nao seja superior a

0, 034, qual deve ser a dimensao mınima da amostra?

c) Sabendo que o intervalo de confianca determinado pela Direcao de Marketing foi [0, 767; 0, 833],

calcule o nıvel de confianca utilizado.

Exercıcio 187. Suponha que o diretor de qualidade pretende averiguar se o peso dos pacotes

de arroz produzidos corresponde ao valor assinalado na embalagem. Seja X a variavel que

representa o peso de um pacote de arroz. Suponha que X ∩ N(µ; 0, 012) e que se conheca a

seguinte amostra:

1, 02 0, 98 0, 97 1, 01 0, 97 1, 02 0, 99 0, 98 1, 00

Sera que, para um nıvel de significancia de 5% se pode dizer que o peso medio corresponde ao

peso de 1 kg assinalado na embalagem?

Exercıcio 188. Numa regiao onde existem entre os maiores de 18 anos 50% de fumantes,

e lancada uma intensa campanha anti-tabagismo. Ao fim de tres meses, realiza-se um mini

inquerito junto a 100 cidadaos com mais de 18 anos, registrando-se 45 fumantes.

a) Com 1% de significancia, pode-se concluir que a campanha surtiu efeito?

b) Em caso negativo, qual seria a dimensao da amostra a partir da qual aquela porcentagem

permitiria afirmar que a campanha atingiu o fim a que se destinava?

Exercıcio 189. Num certo banco de dados, o tempo para a realizacao das buscas e aproxi-

madamente normal com media 53 s e desvio padrao 14 s. Modificou-se o sistema para reduzir

o tempo. Foram contados os tempos para 30 buscas. Admita que as 30 observacoes possam

ser consideradas uma amostra aleatoria e que nao houve alteracao na variancia. Use α = 1%.

Calcule o poder do teste se a verdadeira media de tempo fosse de:

a) 45 b) 47 c) 52

Exercıcio 190. Uma estacao de TV afirma que 60% dos televisores estavam ligados no seu pro-

grama especial da ultima segunda-feira. Uma rede competidora deseja contestar essa afirmacao

e decide usar uma amostra de 200 famılias para um teste. Deseja-se testar a hipotese H0 : p =

60% contra H1 : p < 60%. Ao final do teste verificou-se que 104 famılias tinham assistido ao

programa. Determine o p− valor associado ao teste.

259

Exercıcio 191. Levamos ao laboratorio uma amostra aleatoria de 25 caixas e constatamos

uma media do princıpio ativo de 372, 5mg. O fabricante especifica que a media de princıpio

ativo e 368mg e que o desvio padrao σ e 15mg. Determine o p− valor.

Exercıcio 192. Considere a tabela abaixo referente ao peso e altura de 10 indivıduos.

Peso (kg) 72 65 80 57 60 77 83 79 67 68

Altura (cm) 175 170 185 154 165 175 182 178 175 173

a) Determine o coeficiente de correlacao.

b) Determine a reta de regressao.

c) Determine a possıvel altura de uma pessoa que pese 73 kg.

Exercıcio 193. O quadro abaixo apresenta as vendas e as despesas em publicidade (ambas em

milhares de u.m.) de uma empresa no perıodo de 7 anos:

Ano 1 2 3 4 5 6 7

V enda 10 13 18 19 25 30 1835

Publicidade 3 3 5 6 8 9 13

a) Analise a correlacao existente entre as vendas e os gastos com publicidade.

b) Encontre a reta de regressao referente aos gastos com publicidade e as vendas.

c) Gastando-se 10000 em publicidade quanto espera-se que a empresa venda?

260



IC =

[x− zα

2

σ√n

;x+ zα2

σ√n

]=

[905− z0,07

100√400

; 905 + z0,07100√400

]= [897, 65; 912, 35].

Alternativa a.


h = tα2

s√n

= 2 · 2, 1315

√4, 84

16= 2, 345.

Alternativa c.


IC =

[x− zα

2

σ√n

;x+ zα2

σ√n

]⇒ IC =

[x− 1, 96

3√121

;x+ z1,963√121

]⇒

⇒ IC = [x− 0, 535;x+ 0, 535] .

Alternativa c.


x = 19 · 0, 1 + 21 · 0, 3 + 23 · 0, 35 + 25 · 0, 25 = 22, 5.

Assim,

IC =

[x− zα

2

σ√n

;x+ zα2

σ√n

]⇒[22, 5− 1, 2

1√100

; 22, 5 + 1, 21√100

]= [22, 38; 22, 62]

Alternativa a.

Solucao do Exercıcio 168. Sendo a variancia populacional a norma, temos:

x− zα2

√p(1− p)

n= Linf ⇒ 0, 7− zα

2

√0, 7.0, 3

100=

= 0, 6102⇒ 0, 0458zα2

= 0, 0890⇒ zα2≈ 1, 96⇒ α = 95%.

Solucao do Exercıcio 169. Ao nıvel de 95% temos:

IC =

[x− zα

2

σ√n

;x+ zα2

σ√n

]=

[110− 1, 96

30√100

; 110 + 1, 9630√100

]= [104, 12; 115, 88] .

A amplitude deste invervalo e dada por

hIC;95% = 115, 88− 104, 12 = 11, 76.

Assim, temos, que o novo intervalo deve ser tal que

2 · zα′2

σ√n

= hIC;95% ⇒ 2 · 2, 5730√n

= 11, 76⇒ n ≈ 172.

Alternativa d.

261

Solucao do Exercıcio 170. Como nao conhecemos a variancia populacional, devemos recorrer

a distribuicao t Student. Assim,

IC =

(x− tα

2


2

S√n

)=

=

(0, 298− 4, 6041

0, 0239√5≤ µ ≤ 0, 298 + 4, 6041

0, 0239√5

)=

= (0, 298− 0, 049; 0, 298 + 0, 049)

Alternativa d.

Solucao do Exercıcio 171. Temos, que x = 21, 39 e S = 5, 38. Assim,

IC =

(x− tα

2


2

S√n

)=

=

(21, 39− 2, 03

5, 38√36≤ µ ≤ 21, 39 + 2, 03

5, 38√36

)=

= (19, 57; 23, 21).

Em particular, a Tabela t Student nao possui o valor ϕ = 35. Podemos tomar algo entre os

valores 2, 0211 e 2, 0423 correspondente aos valores de ϕ = 40 e ϕ = 30 respectivamente. Neste

caso, tomamos tα2

= 2, 03.

Alternativa e.

Solucao do Exercıcio 172. Temos que S = 2, 83. Assim,

IC =

(S

√n− 1

χ21−α/2

≤ σ ≤ S

√n− 1

χ2α/2

)=

(2, 83 ·

√10

20, 5≤ σ ≤ 2, 83 ·

√10

3, 25

)= (1, 98; 4, 96)

Alternativa a.

Solucao do Exercıcio 173. Sendo h a amplitude do IC procurado, temos:

z0,5−α2

σ√n

= h⇒ 1, 9610√n

= 1⇒ n = 385.

Alternativa c.

Solucao do Exercıcio 174. Em particular, a alternativa d e falsa, muito embora engane bas-

tante. O nıvel de significancia nao deve ser confundido com probabilidade de significancia, uma

vez que nao e uma probabilidade. Por exemplo, ao fazer um teste com uma media, se fosse

possıvel repetir um numero muito grande de amostras para calcular a media, em aproximada-

mente 5% dessas amostras, seria rejeitada a hipotese nula quando esta e verdadeira. Assim,

como em um experimento real, somente e coletada uma amostra, espera-se que esta seja tal

262

que em 95% dos casos hipotese nula seja realmente falsa. Assim tem-se confianca no resultado

obtido. Como outro exemplo, ao se calcular um intervalo de confianca 95%, equivalente a um

erro Tipo I de 5%, tem-se confianca que o intervalo contem o parametro estimado. No entanto,

uma vez que reporta-se um intervalo numerico, o parametro populacional desconhecido ou esta

dentro do intervalo ou fora; nao existe uma probabilidade desse intervalo conter o parametro.

Alternativa e.

Solucao do Exercıcio 175. A afirmacao do comerciante refere-se a um teste unilateral a

esquerda. Neste caso, a regiao crıtica corresponde a (−∞;−1, 64]. Resolvendo a equacao

−1, 64 =f − 0, 2

0,2·0,8100

temos uma cota superior para o valor crıtico. Neste caso,

−1, 64 =f − 0, 2

0,2·0,8100

⇒ −1, 64 =f − 0, 2

0, 04⇒ f = 0, 2− 1, 64 · 0, 04⇒ f = 0, 1344.

Assim, qualquer valor inferior a 13, 44% indica a rejeicao da hipotese H0 formulada pelo com-

erciante. Alternativa c.

Solucao do Exercıcio 176. Novamente, tome cuidado ao considerar a alternativa a.

Alternativa c.

Solucao do Exercıcio 177. Alternativa a.


Zcal =xc − µ

σ√n

⇒ 1, 64 =xc − 20

5√100

⇒ xc = 20, 82

Solucao do Exercıcio 179. Calculando a estatıstica de teste, temos:

tcal =x− µ

S√n

=6− 5

2√16

= 2.

Observe que o valor 2 encontra-se entre 1, 7530 e 2, 1315 da tabela t Student. Os valores de α,

associados a estes numeros sao 0, 10 e 0, 05 respectivamente. Contudo, estamos em um teste

unilateral, o que nos obriga a dividı-los por 2. Assim,

0, 025 < p < 0, 05

Em particular, o valor exato de p e dado por:

0, 031972504

263

que pode ser conseguido usando o seguinte comando no Excel

= DIST.T.CD(2; 15).

Alternativa c.

Solucao do Exercıcio 180. Alternativa e.

Solucao do Exercıcio 181. Temos que∑xi = 125⇒ E(X) =

125

25= 5,

∑x2i = 649⇒ E(X2) =

649

25= 25, 96

O desvio padrao amostral e dado por:

s =

√∑x2i − 1

n(∑xi)2

n− 1=

√649− 1

25(125)2

24= 1

Logo,

tcal =x− µ

S√n

=5− 5, 5

1√25

= −2, 50.

Alternativa e.

Solucao do Exercıcio 182. Alternativa b.


a = rsysx

=sxysxsy

sysx

=sxys2x

=36

30= 1, 2, b = y − ax = 19− 1, 2 · 12, 5 = 4

Portanto,

y = 1, 2x+ 4.

Alternativa c.


Solucao do Exercıcio 184. Devemos ter que

2 · zα2

σ√n

= h⇒ 2 · 2, 570, 2√n

= 0, 23⇒ n = 20.

Solucao do Exercıcio 185. Devemos ter que

2 · zα2

σ√n

= h⇒ 2 · zα2

√0, 051√

25= 0, 177⇒ zα

2≈ 1, 96⇒ 1− α = 95%

264


1− α = 90%⇒ zα2

= 1, 64.

Logo, [f − zα

2

√p(1− p)

n; f − zα

2

√p(1− p)

n

]=

=

[0, 8− 1, 64

√0, 8 · 0, 2

120; 0, 8 + 1, 64

√0, 8 · 0, 2

120

]=

−[0, 781; 0, 819].

b) Temos que

2 · zα2

√p(1− p)

n≤ h⇒ 2 · 1, 64

√0, 8 · 0, 2

n≤ 0, 034⇒ n ≥ 1490

c) Temos que

f − zα2

√p(1− p)

n= Linf ⇒ 0, 8− zα

2

√0, 8 · 0, 2

1200= 0, 767⇒ zα

2= 2, 86⇒ 1− α = 99, 6%


H0 : µ = 1, e H1 : µ < 1.

O valor de teste e dado por:

zcal =x− µ

σ√n

⇒ zcal =0, 9933− 1

0,01√9

= −2, 01.

Note que a regiao crıtica e:

RC = (−∞; zα] = (−∞; z0,1] = (−∞;−1, 64]⇒ zcal ∈ RC

O teste indica a rejeicao de H0 ao nıvel de 5%, isto e, nao se pode dizer que o peso assinalado

na embalagem esta correto.


H0 : p = 0, 5 e H1 : p < 0, 5.

O valor de teste e dado por:

zcal =f − p√p(1−p)n

⇒ zcal =0, 45− 0, 5√

0,5·0,5100

⇒ zcal = −1.

265

Note que a regiao crıtica e:

RC = (−∞; zα] = (−∞; z0,01] = (−∞;−2, 32]⇒ zcal /∈ RC.

O teste nao indica a rejeicao de H0, isto e, ha motivos para acreditar que a campanha nao

surtiu efeito.

b) Devemos ter que

zcal < Lsup;RC ⇒0, 45− 0, 5√

0,5·0,5n

< −2, 32⇒ n ≥ 539.

Solucao do Exercıcio 189. a) Note que

µ = µ0 + δ ⇒ 40 = 53 + δ ⇒ δ = −8.

Assim, o erro β e dado por:

β = 1− ϕ(Z < −z0,5−α −

δ√n

σ

)⇒ β = 1− ϕ

(Z < −z0,49 −

(−8)√

30

14

)⇒

β = 1− ϕ(Z < −2, 32 + 3, 13) =

= 1− ϕ(Z < 0, 81) = 1− (0, 5 + 0, 29103) = 1− 0, 79103 = 0, 20897

Portanto,

P = 1− 0, 20897 = 0, 79103.

b) Note que

47 = 53 + δ ⇒ δ = −6.

O erro β e dado por:

β = 1− ϕ(Z < −z0,5−α −

δ√n

σ

)⇒ β = 1− ϕ

(Z < −z0,49 −

(−6)√

30

14

)⇒

β = 1− ϕ(Z < −2, 32 + 2, 35) = 1− ϕ(Z < 0, 03) = 1− (0, 5 + 0, 01197) = 0, 48803.

c) b) Note que

52 = 53 + δ ⇒ δ = −1.

O erro β e dado por:

β = 1− ϕ(Z < −z0,5−α −

δ√n

σ

)⇒ β = 1− ϕ

(Z < −z0,49 −

(−1)√

30

14

)⇒

β = 1− ϕ(Z < −2, 32 + 0, 39) = 1− ϕ(Z < −1, 93) = 1− (0, 5− 0, 47320) = 0, 9732.

266

Solucao do Exercıcio 190. Note que o valor de proporcao observado foi de

f =104

200= 0, 52

Temos que a estatıstica de teste e dada por:

zcal =f − p0√p0(1−p0)

n

=0, 52− 0, 6√

0,60·0,40200

= −2, 31

O p− valor e dado por:

P (Z < −2, 31) = P (Z > 2, 31) = 0, 5− P (0 < Z < 2, 31) = 0, 5− 0, 48956 = 0, 01044

Solucao do Exercıcio 191. Temos que a estatıstica de teste e dada por:

zcal =x− µ

σ√n

=372, 5− 368

15√25

= 1, 5.

Podemos imaginar que as hipotese:

H0 : µ = 368 H1 : µ > 368.

Assim, o p− valor e dado por:

P (Z > 1, 5) = 0, 5− P (0 < Z < 1, 5) = 0, 5− 0, 43319 = 0, 06681.


10∑i=1

(xi − x)2 = 703, 6,10∑i=1

(yi − y)2 = 695, 6,10∑i=1

(xi − x)(yi − y) = 634, 4.

Portanto,

ρXY =

∑ni=1(xi − x)(yi − y)√∑n

i=1(xi − x)2√∑n

i=1(yi − y)2=

634, 4√703, 6

√695, 6

= 0, 90681871.

b) Temos que

x = 70, 8, y = 173, 2,10∑i=1

xiyi = 123260,10∑i=1

x2i = 50830.

Assim,

a =

∑xiyi − nxy∑x2i − nx2 =

123260− 10 · 70, 8 · 173, 2

50830− 10 · 70, 82= 0, 9016,

b = y − ax = 173, 2− 0, 9016× 70, 8 = 109, 37

Temos portanto,

y = 0, 9016x+ 109, 37.

c) Para x = 73, temos

y = 0, 9016 · 73 + 109, 37 = 175, 19

Logo, o peso mais provavel e 175, 19 kg.

267


n∑i=1

(xi − x)2 = 77, 4286,n∑i=1

(yi − y)2 = 489, 7143,n∑i=1

(xi − x)(yi − y) = 190, 8571.

Portanto,

ρXY =

∑ni=1(xi − x)(yi − y)√∑n

i=1(xi − x)2√∑n

i=1(yi − y)2=

190, 8571√77, 4268

√489, 7143

= .

b) Temos que

x = 6, 7143, y = 21, 4286,n∑i=1

xiyi = 1198,n∑i=1

x2i = 393.

Assim,

a =

∑xiyi − nxy∑x2i − nx2 =

1198− 7 · 6, 7143 · 21, 4286

393− 7 · 6, 71432= 2, 4649,

b = y − ax = 21, 4286− 2, 4649× 6, 7143 = 4, 8785

Temos portanto,

y = 2, 4649x+ 4, 8785.

c) Para x = 10, temos

y = 2, 4649 · 10 + 4, 8785 = 29, 53

Logo, o peso mais provavel e 29530u.m..

268

Capıtulo 27

Variaveis Aleatorias Bidimensionais

27.1 Introducao

Seja S um espaco amostral simples de um experimento aleatorio. Sejam X e Y duas v.a..

Entao o par (X, Y ) e chamado de v.a. bidimensional se cada um dos X e Y associa um numero

real com cada elemento de S. Portanto, a v.a. (X, Y ) pode ser considerada como uma funcao

que a cada elemento ξ em S associa um ponto (x, y) do plano. A imagem da v.a. bidimensional

(X, Y ) e denotada por RXY e definida por

RXY = (x, y); ξ ∈ S e X(ξ) = x, Y (ξ) = y .

Se as v.a. X e Y sao discretas, entao (X, Y ) e dita uma v.a. discreta. Se as v.a. X e Y sao

contınuas, entao (X, Y ) e dita uma v.a. contınua. Se X e uma v.a. contınua e Y e uma v.a.

discreta (ou vice-versa) entao (X, Y ) e dita uma v.a. mista.

27.2 Funcoes de Distribuicao Conjuntas

Definicao 27.2.1. A funcao cumulativa de distribuicao conjunta (ou fcd conjunta) de X e Y ,

denotada por FXY (x, y) e a funcao definida por

FXY = P (X ≤ x, Y ≤ y).

Entenda P (X ≤ x, Y ≤ y) como sendo equivalente a interseccao A ∩ B, onde A =

ξ ∈ S;X(ξ) ≤ x e B = ξ ∈ S;Y (ξ) ≤ y. Neste caso, P (A) = FX(x) e P (B) = FY (y)

e portanto FXY = P (A ∩B).

269

Teorema 27.2.2. Duas v.a. X e Y sao independentes se

FXY (x, y) = FX(x)FY (y)

para todo x e y.

A funcao FXY (x, y) apresenta algumas propriedades:

i) 0 ≤ FXY (x, y) ≤ 1;

Se x1 ≤ x2 e y1 ≤ y2, entao

ii.1) FXY (x1, y1) ≤ FXY (x2, y2) ≤ FXY (x2, y2);

ii.2) FXY (x1, y1) ≤ FXY (x1, y2) ≤ FXY (x2, y2);

iii) lim(x,y)→(∞,∞)FXY (x, y) = FXY (∞,∞) = 1;

iv.1) limx→−∞FXY (x, y) = FXY (−∞, y) = 0;

iv.2) limy→−∞FXY (x, y) = FXY (x,−∞) = 0;

v.1) limx→a+FXY (x, y) = FXY (a+, y) = FXY (a, y);

v.2) limy→b+FXY (x, y) = FXY (x, b+) = FXY (x, b);

vi.1) P (x1 ≤ X ≤ x2, Y ≤ y) = FXY (x2, y)− FXY (x1, y);

vi.2) P (X ≤ x, y1 ≤ Y ≤ y2) = FXY (x, y2)− FXY (x, y1);

vii) Se x1 ≤ x2 e y1 ≤ y2, entao

P (x1 < X ≤ x2, y1 ≤ Y ≤ y2) = FXY (x2, y2)− FXY (x2, y1)− FXY (x1, y2) + FXY (x1, y1) ≥ 0.

Definicao 27.2.3. Suponha que a condicao

limy→∞(X ≤ x, Y ≤ y) = (X ≤ x, Y ≤ ∞) = (X ≤ x)

seja satisfeita desde que y ≤ ∞. Entao,

FX(x) = limy→∞FXY (x, y) = FXY (x,∞).

Analogamente,

FY (y) = limx→∞FXY (x, y) = FXY (∞, y).

As fcd FX(x) e FY (y) sao chamadas de funcoes marginais de X e Y respectivamente.

Exemplo 27.2.4. Considere o experimento de lancar uma moeda honesta duas vezes. Seja

(X, Y ) a v.a. bidimensional, onde X e o numero de caras que ocorre nos dois lancamentos e Y

e o numero de caroas que ocorre nos dois lancamentos.

a) Determine RX , RY e RXY .

b) Encontre P (X = 2, Y = 0), P (X = 0, Y = 2), P (X = 1, Y = 1).

Solucao:

270

a) RX = 0, 1, 2, RY = 0, 1, 2 e RXY = (0, 2), (1, 1), (2, 0).b)

P (X = 2, Y = 0) = P CaCa = 14

P (X = 0, Y = 2) = P CoCo = 14

P (X = 1, Y = 1) = P CaCo,CoCa = 12

Exemplo 27.2.5. A fcd conjunta da v.a. bidimensional (X, Y ) e dada por

FXY (x, y) =

(1− e−αx)(1− e−αy), x ≥ 0, y ≥ 0, α, β > 0

0, do contrario

a) Encontre as fcd marginais de X e Y .

b) Mostre que X e Y sao independentes.

c) Encontre P (X ≤ 1, Y ≤ 1), P (X ≤ 1), P (Y > 1) e P (X ≥ x, Y ≥ y).

Solucao:

a) De acordo com a definicao, temos

FX(x) = FXY (x,∞) =

1− e−αx, x ≥ 0

0, x < 0

FY (y) = FXY (∞, y) =

1− e−αy, y ≥ 0

0, y < 0

b) Desde que FXY (x, y) = FX(x)FY (y) temos que X e Y sao independentes.

c)

P (X ≤ 1, Y ≤ 1) = FXY (1, 1) = (1− e−α)(1− e−β)

P (X ≤ 1) = 1− e−α

P (Y > 1) = 1− P (Y ≤ 1) = 1− (1− e−β) = e−β

P (X > x) = 1− P (X ≤ x) = e−αx e P (Y > y) = 1− P (Y ≤ y) = e−βy

Assim, P (X > x, Y > y) = P ((X > x) ∩ (Y > y)) = P (X > x)P (Y > y) = e−αxe−βy.

27.3 Exercıcios

Exercıcio 194. Considere a funcao

F (x, y) =

1− e−(x+y), x ≥ 0, y ≥ 0

0, do contrario

Podemos dizer que a funcao F (x, y) caracteriza uma fcd conjunta de alguma v.a. bidimensional

(X, Y )?

271

Exercıcio 195. A fcd conjunta da v.a. bidimensional (X, Y ) e dada por

FXY (x, y) =

0, x < 0 ou y < 0

p1, 0 ≤ x < a, 0 ≤ y < b

p2, x ≥ a, 0 ≤ y < b

p3, 0 ≤ x < a, y ≥ b

1, x ≥ a, y ≥ b

a) Encontre as fcd marginais de X e Y .

b) Estabeleca as condicoes sobre p1, p2 e p3 para que X e Y sejam independentes.



P (1 < x < 2; 1 < y < 2) = F (2; 2)− F (2; 1)− F (1; 2) + F (1; 1) =

= (1− e−4)− (1− e−3)− (1− e−3) + (1− e−2) = e−4 − 2e−3 + e−2 = −(e−2 + e−1)2 < 0

Portanto, F (x; y) nao caracteriza uma fcd da v.a. (X;Y ).


FX(x) = limy−→+∞FXY (x; y) = FXY (X; +∞) =

0, x < 0

p3, 0 ≤ x < a

1, x ≥ a

Analogamente,

FY (y) = limx−→+∞FXY (x; y) = FXY (+∞; y) =

0, y < 0

p2, 0 ≤ y < b

1, y ≥ b

b) Devemos ter que FXY (x; y) = FX(x)FY (y). Decorre imediatamente que p1 = p2p3.

272

Capıtulo 28

Distribuicoes Conjuntas

28.1 Variaveis Aleatorias Discretas Conjuntas e Funcoes

Massa de Probabilidade

Definicao 28.1.1. Seja (X, Y ) uma v.a. bidimensional discreta, e faca (X, Y ) assumir os valores

(xi, yj) para um determinado conjunto de inteiros i e j. Seja

pXY (xi, yj) = P (X = xi, Y = yj).

A funcao pXY (xi, yj) e chamada de funcao massa de probabilidade conjunta de (X, Y ).

A funcao pXY (xi, yj) satisfaz as seguintes propriedades:

i) 0 ≤ pXY (xi, yj) ≤ 1

ii)∑∑

pXY (xi, yj) = 1

iii) P ((X, Y ) ∈ A) =∑∑

(xi,yj)∈RA pXY (xi, yj)

onde a somacao e feita sobre os pontos (xi, yj) na imagem RA correspondendo ao evento A.

Definicao 28.1.2. A funcao distribuicao cumulativa conjunta de uma v.a. (X,X) e dada por

FXY (x, y) =∑xi≤x

∑yj≤y

pXY (xi, yj)

Suponha que para um valor fixo X = xi, a v.a. Y possa assumir apenas os valores possıveis

yj(j = 1, 2, . . .). Entao

P (X = xi) = pX(xi) =∑yj

pXY (xi, yj)

273

onde a somacao e feita sobre todos os pares (xi, yj) possıveis com xi fixo.

Analogamente, podemos definir

P (Y = yj) = pXY (yj) =∑xi

pXY (xi, yj).

As fmp pxi e pyj sao chamadas de fmp marginais de X e Y respectivamente.

Teorema 28.1.3. Se X e Y sao varaveis aleatorias independentes, temos

pXY (xi, yj) = pX(xi)pY (yj).

Exemplo 28.1.4. Dois dados honestos sao lancados. Considere a v.a. bidimensional (X, Y ).

Seja X = 0 ou X = 1 conforme o primeiro dado mostra um numero par ou um numero ımpar

de pontos. Similarmente, Y = 0 ou Y = 1 conforme a face do segundo dado.

a) Encontre a imagem RXY de (X, Y ).

b) Exiba as pmf conjuntas de (X, Y ).

Solucao:

a) A imagem de (X, Y ) e dada por

RXY = (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)

b) Note que X e Y sao independentes, logo

P (X = 0) = P (X = 1) = 36

= 12

P (Y = 0) = P (Y = 1) = 36

= 12

Logo, pXY (i, j) = P (X = xi, Y = yj) = P (X = xi)P (Y = yj) = 12

12

= 14.

Exemplo 28.1.5. Considere o experimento de extrair aleatoriamente tres bolas em uma urna

contendo duas bolas vermelhas, tres bolas brancas e quatros bolas azuis. Seja (X, Y ) a v.a.

bidimensional onde X e Y denotam, respectivamente, o numero de bolas vermelhas e brancas

retiradas.

a) Exiba a imagem de (X, Y ).

b) Exiba as fmp conjuntas de (X, Y ).

c) Exiba as fmp marginais de X e Y .

d) X e Y sao independentes?

Solucao:

a) RXY = (0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1),b) As fmp conjuntas sao dadas por

274

PXY (0, 0) =

4

3

9

3

= 4

84, PXY (0, 1) =

3

1

4

2

9

3

= 18

84, PXY (0, 2) =

3

2

4

1

9

3

= 12

84

PXY (0, 3) =

3

3

9

3

= 1

84, PXY (1, 0) =

2

1

4

2

9

3

= 12

84, PXY (1, 1) =

2

1

3

1

4

1

9

3

= 24

84

PXY (1, 2) =

2

1

3

2

9

3

= 6

84, PXY (2, 1) =

2

2

3

1

9

3

= 3

84, PXY (1, 2) =

2

2

4

1

9

3

= 4

84

c) pX(0) = pXY (0, 0) + pXY (0, 1) + pXY (0, 2) + pXY (0, 3) = 484

+ 1884

+ 1284

+ 184

= 3584

,

pX(1) = 4284, pX(2) = 7

84, pY (0) = 20

84, pY (1) = 45

84, pY (2) = 18

84, pY (3) = 1

84

d) Desde que pXY (0, 0) = 4846= pX(0)pY (0) = 35

84.2084

nao sao independentes.

28.2 Varaveis Aletorias Contınuas Conjuntas e Funcoes

Densidade de Probabilidade

Definicao 28.2.1. Seja (X, Y ) uma v.a. contınua bidimensional com fcd FXY (x, y) e seja

fXY (x, y) =∂2FXY (x, y)

∂x∂y.

A funcao fXY (x, y) e chamada de funcao densidade de probabilidade conjunta de (X, Y ). As-

sim,

FXY (x, y) =

∫ x

−∞

∫ y

−∞fXY (ξ, η)dηdξ.

A funcao fXY (x, y) satisfaz algumas propriedades:

i) fXY (x, y) ≥ 0

ii)∫∞−∞

∫∞−∞ fXY (x, y)dxdy = 1

iii) fXY e contınua para todos os valores x e y, exceto possivelmente em um numero finito de

pontos.

iv) P ((X, Y ) ∈ A)∫ ∫

RAfXY (x, y)dxdy

v) P (a < x ≤ b, c < y ≤ d) =∫ dc

∫ bafXY (x, y)dxdy

275

Temos que

FX(x) = FXY (x,∞) =

∫ x

−∞

∫ ∞−∞

fXY (ξ, η)dηdξ ⇒ fX(x) =dFX(x)

dx=

∫ ∞−∞

fXY (x, η)dη

ou

fX(x) =

∫ ∞−∞

fXY (x, y)dy

Analogamente, fY (y) =∫∞−∞ fXY (x, y)dx.

As fdp fX(x) e fY (y) sao chamdas de fdp marginais de X e Y respectivamente.

Teorema 28.2.2. Se X e Y sao variaveis independentes, entao

FXY = FX(x)FY (y)

e portanto,

fXY (x, y) = fX(x)FY (y).

Vale a recıproca, isto e, se FXY (x, y) = fX(x)fY (y) entao X e Y sao independentes.

Exemplo 28.2.3. A fdp conjunta da v.a. bidimensional (X, Y ) e dada por

fXY (x, y) =

k(x+ y), 0 < x < 2, 0 < y < 2

0, do contrario

onde k e constante.

a) Exiba o valor de k.

b) Exiba as fdp marginais de X e Y .

c) X e Y sao independentes?

Solucao:

a) Devemos ter que∫∞−∞

∫∞−∞ fXY (x, y)dxdy = 1.∫ 2

0

∫ 2

0

k(x+ y)dxdy = k

∫ 2

0

∫ 2

0

(x+ y)dxdy =

= k

∫ 2

0

(x2

2+ xy

)|20 dy = k

∫ 2

0

(2 + 2y)dy = k(2y + y2) |20= 8k

Logo, 8k = 1 e portanto, k = 18.

b) fX(x) =∫∞−∞ fXY (x, y)dxdy = 1

8

∫ 2

0(x+ y)dy = 1

8

(xy + y2

2

)|20= 1

8(2x+ 2) = 1

4(x+ 1) Assim,

fX(x) =

14(x+ 1), 0 < x < 2

0, do contrario

276

Analogamente,

fY (y) =

14(y + 1), 0 < y < 2

0, do contrario

c) Observe que fXY (x, y) 6= fX(x)fY (y), e portanto, X e Y nao sao independentes.

Exemplo 28.2.4. A fdp conjunta da v.a. (X, Y ) e

fXY (x, y) =

xy, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2

0, do contrario

Determine a probabilidade do evento A = X2 + Y 2 ≤ 1.

Solucao:

Temos que P (A) =∫ ∫

RAfXY (x, y)dxdy. No caso da nossa regiao (desenhar) e aconselhavel

fazermos as seguintes mudancas de coordenadas: x = rcos(θ), y = rsen(θ) e dx = rdrdθ.

Assim, a probabilidade procurada corresponde a

P (A) =

∫ π2

0

∫ 1

0

θrcos(θ)rsen(θ)rdrdθ =

∫ π2

0

∫ 1

0

r3cos(θ)sen(θ)drdθ =

=

∫ π2

0

cos(θ)sen(θ)r4

4|10 dθ =

∫ π2

0

1

4cos(θ)sen(θ)dθ =

1

4

sen2(θ)

2|π20 =

1

8.

28.3 Exercıcios

Exercıcio 196. A v.a. bidimensional (X, Y ) e dada por

pXY (xi, yj) =

k(2xi + yj), xi = 1, 2; yj = 1, 2

0, do contrario

onde k e uma constante.

a) Determine o valor de k.

b) Exiba as fmp marginais de X e Y .


Exercıcio 197. A fmp conjunta da v.a. bidimensional (X, Y ) e dada por

pXY (xi, yj) =

kx2i yj, xi = 1, 2; yj = 1, 2, 3

0, do contrario



b) Exiba as fmp marginais de X e Y .


277

Exercıcio 198. A v.a. bidimensional (X, Y ) tem fmp conjunta

pXY (x, y) =

128xy, x = 1, 2, 4, y = 1, 3

0, do contrario

a) Calcule P (Y < X).

b) Calcule P (Y > X).

c) Calcule P (Y = X).

d) Calcule P (Y = 3).

Exercıcio 199. A fdp conjunta da v.a. bidimensional (X, Y ) e dada por

fXY (x, y) =

kxy, 0 < x < 1, 0 < y < 1

0, do contrario



b)X e Y sao independentes?

c) Calcule P (X + Y < 1).


fXY (x, y) =

kxy, 0 < x < y < 1

0, do contrario



b) X e Y sao independentes?


fXY (x, y) =

ke−(ax+by), x > 0, y > 0

0, do contrario

onde a e b sao constantes positivas e k e uma constante.


b) X e Y sao independentes?


Solucao do Exercıcio 196. a) Devemos ter∑pXY (xiyj) = 1. Assim,

k(2 · 1 + 1) + k(2 · 2 + 1) + k(2 · 1 + 2) + k(2 · 2 + 2) = 1⇒ 18k = 1⇒ k =1

18

278

b) Temos que pX(x) =∑

j p(xi; yj)

pX(xi) =1

18(2xi + 1) +

1

18(2xi + 2) =

1

18(4xi + 3), xi = 1, 2

Analogamente, pY (y) =∑

i p(xi; yj)

pY (yj) =1

18(2 · 1 + yj) +

1

18(2 · 2 + yj) =

1

18(2yj + 6), yj = 1, 2

c) Nao. Basta observar que

pXY (1; 1) =1

18(2 · 1 + 1) =

3

186= pX(1; 1)pY (1; 1) =

1

18(4 · 1 + 3) · 1

18(2 · 1 + 6) =

324

56=

14

81.

Solucao do Exercıcio 197. a) Devemos ter∑pXY (xi; yj) = 1. Assim,

k · 12 · 1 + k · 12 · 2 + k · 12 · 3 + k · 22 · 1 + k · 22 · 2 + k · 22 · 3 = 1⇒ k =1

30.

b) Temos que pX(xi) =∑

i pXY (xi; yj). Assim,

pX(xi) =1

30x2i · 1 +

1

30x2i · 2 +

1

30x2i · 3 =

1

5x2i , xi = 1, 2

Analogamente, pY (yj) =∑

j pXY (xi; yj). Assim,

pY (yj) =1

30· 12yj +

1

30· 22yj =

1

6yj, yj = 1, 2, 3

c) Sim. Note que

pXY (xi; yj) =1

30x2i yj =

1

5x2i ·

1

6yj = pX(xi)pY (yj).


P (Y < X) = pXY (2; 1) + pXY (4; 1) + pXY (4; 3) =1

28· 2 · 1 +

1

28· 4 · 1 +

1

28· 4 · 3 =

9

14.

b) Temos que

P (Y > X) = pXY (1; 3) + pXY (2; 3) =1

28· 1 · 3 +

1

28· 2 · 3 =

9

28.

c) Temos que

P (Y = X) = pXY (1; 1) =1

28.

d) Temos que

P (Y = 3) = pXY (1; 3) + pXY (2; 3) + pXY (4; 3) =1

28· 1 · 3 +

1

28· 2 · 3 +

1

28· 4 · 3 =

3

4.

279

Solucao do Exercıcio 199. a) Note que∫ 1

0

kxydydx = 1⇒∫ 1

0

kxy2

2|10dx = 1⇒

∫ 1

0

x

2dx = 1⇒ k

x2

4|10 = 1⇒ k

4= 1.

b) Temos que

fX(x) =

∫ 1

0

4xydy = 4xy2

2|10 = 2x, 0 < x < 1

fY (y) =

∫ 1

0

4xydx = 4yx2

2|10 = 2y, 0 < y < 1

donde

fXY (x, y) = 4xy = 2x · 2y = fX(x)fY (y).

Portanto, X e Y sao independentes.

c) Temos que

P (X+Y < 1) =

∫ 1

0

∫ 1−x

0

4xydydx =

∫ 1

0

4xy2

2|1−x0 dx =

∫ 1

0

(2x3−4x2+2x)dx =x4

2−4x3

3|10 =

1

6.

Solucao do Exercıcio 200. a) Temos que∫ 1

0

∫ y

0

kxydxdy = 1⇒∫ 1

0

kyx2

2|y0dy = 1⇒

∫ 1

0

y3

2dy = 1⇒ k

y4

8= 1⇒ k = 8.

b) Temos que

fX(x) =

∫ 1

x

8xydy = 4x(1− x2), 0 < x < 1.

fY (y) =

∫ y

0

8xydx = 4y3, 0 < y < 1.

Como fXY (x; y) 6= fX(x)fY (y), temos que X e Y nao sao independentes.

Solucao do Exercıcio 201. a) Temos que∫ ∞0

ke−(ax+by)dxdy = 1⇒ k

∫ ∞0

e−axdx

∫ ∞0

e−bydy = 1⇒ k

ab= 1⇒ k = ab.

b) Temos que

fX(x) =

∫ ∞0

abe−(ax+by)dy = ae−ax, x > 0.

fY (y) =

∫ ∞0

abe−(ax+by)dy = be−by, y > 0.

Note que

fXY (x; y) = abe−(ax+by) = ae−axbe−by = fX(x)fY (y).

Logo, X e Y sao independentes.

280

Capıtulo 29

Mais Distribuicoes

29.1 Distribuicao Condicional

Definicao 29.1.1. Se (X, Y ) e uma v.a. bidimensional com fmp conjunta pXY (xi, yj), entao

a fmp condicional de Y , dado X = xi e definida por

pY |X(yj|xi) =pXY (xi, yj)

pX(xi), pX(xi) > 0.

Analogamente, temos

pX|Y (xi|yj) =pXY (xi, yj)

pY (yj), pY (yj) > 0.

A funcao pY |X(yj|xi) satisfaz as seguintes propriedades

i) 0 ≤ pY |X(yj|xi) ≤ 1

ii)∑

yjpY |X(yj|xi) = 1

Teorema 29.1.2. Se X e Y sao independentes, entao

pY |X(yj|xi) = pY (yj) e pY |X(xi|yj) = pX(xi)

Exemplo 29.1.3. Considere a v.a. bidimensional (X, Y ) descrita no Exercıcio 196.

a) Exiba as fmp condicionais pY |X(yj|xi) e pX|Y (xi|yj).b) Calcule P (Y = 2|X = 2) e P (X = 2|Y = 2).

Solucao:

a) Consultando o Exercıcio 196, ou suas respostas finais, temos

pXY (xi, yj) =

118

(2xi + yj), xi = 1, 2, yj = 1, 2

0, do contrario

281

pX(xi) =1

18(4xi + 3), xi = 1, 2

pY (yj) =1

18(2yj + 6), yj = 1, 2

Assim,

pY |X(yj|xi) =pXY (xi, yj)

pX(xi)=

2xi + yj4xi + 3

, xi = 1, 2, yj = 1, 2

pX|Y (xi|yj) =pXY (xi, yj)

pY (yj)=

2xi + yj2yj + 6

, xi = 1, 2, yj = 1, 2

b) Usando as funcoes acima, temos

P (Y = 2|X = 2) = pY |X(2|2) =2.2 + 2

4.2 + 3=

6

11

P (X = 2|y = 2) = pX|Y (2|2) =2.2 + 2

2.2 + 6=

3

5

Definicao 29.1.4. Se (X, Y ) e uma v.a. bidimensional com fdp conjunta fXY (x, y), entao a

fdp condicional de Y dado X = x e definida por

fY |X(y|x) =fXY (x, y)

fX(x), fX(x) > 0.

Analogamente,

fX|Y (x|y) =fXY (x, y)

fY (y), fY (y) > 0.

A funcao fY |X(y|x) satisfaz as seguintes propriedades:

i) fY |X(y|x) ≥ 0

ii)∫∞−∞ fY |X(y|x)dy = 1

Teorema 29.1.5. Se X e Y sao independentes, entao

fY |X(y|x) = fY (y) e fX|Y = fX(x).

Exemplo 29.1.6. Considere a fdp conjunta da v.a. bidimensional (X, Y ) descrita no Exemplo

28.2.3.

a) Exiba as fdp fY |X(y|x) e fX|Y (x|y).

b) Calcule P (0 < Y < 1/2|X = 1).

Solucao:

a) Consultando o Exemplo 28.2.3, temos

fXY (x, y) =

18(x+ y), 0 < x < 2, 0 < y < 2

0, do contrario

282

fX(x) =1

4(x+ 1), 0 < x < 2

fY (y) =1

4(y + 1), 0 < y < 2

Assim,

fY |X(Y |X) =fXY (x, y)

fX(x)=

1

2.x+ y

x+ 1, 0 < x < 2, 0 < y < 2

fY |X(Y |X) =fXY (x, y)

fX(x)=

1

2.x+ y

y + 1, 0 < x < 2, 0 < y < 2

b) Usando as funcoes acima, temos

P (0 < Y < 1/2|X = 1) =

∫ 1/2

0

fY |X(y|x = 1) =

∫ 1/2

0

1

2.1 + y

1 + 1dy =

∫ 1/2

0

1

4(1 + y)dy =

5

32

29.2 Exercıcios

Exercıcio 202. Considere a fmp conjunta da v.a. bidimensional (X, Y )

pXY (xi, yj) =

130xi

2yj, xi = 1, 2, yj = 1, 2, 3

0, do contrario

Exiba as fmp condicionais pY |X(yj|xi) e pX|Y (xi|yj).

Exercıcio 203. A fdp conjunta da v.a. bidimensional (X, Y ) e

fXY (x, y) =

x+ y, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1

0, do contrario

Exiba as fdp condicionais fX|Y (x|y) e fY |X(y|x).


Solucao do Exercıcio 202. Temos que (veja a Solucao do Exercıcio 197)

pY |X(yj|xi) =pXY (xi; yj)

pX(xi)=

130x2i yj

15x2i

=1

6yj, xi = 1, 2 e yj = 1, 2, 3

pX|Y (xi|yj) =pXY (xi; yj)

pY (yj)=

130x2i yj

16yj

=1

5x2i , xi = 1, 2 e yj = 1, 2, 3


fX(x) =

∫ 1

0

(x+ y)dy =

(xy +

y2

2

)|10 = x+

1

2, 0 ≤ x <≤ 1.

283

Capıtulo 30

Covariancia e Correlacao

30.1 Conceitos Basicos

Definicao 30.1.1. O (k, n)-esimo momento da v.a. bidimensional (X, Y ) e definido por

mkn = E(XkY n) =

∑

yj

∑xixki y

nj pXY (xi, yj), caso discreto∫∞

−∞

∫∞−∞ x

kynfXY (x, y)dxdy, caso continuo

Se n = 0, nos obtemos o k-esimo momento de X, e se k = 0 nos obtemos o n-esimo momento

de Y . Logo,

m10 = E(X) = µX e m01 = E(Y ) = µY .

Se (X, Y ) e uma v.a. bidimensional discreta, entao

µX = E(X) =∑yj

∑xi

xipXY (xi, yj) =∑xi

xi

∑yj

pXY (xi, yj)

=∑xi

xipX(xi).

µY = E(Y ) =∑xi

∑yj

yjpXY (xi, yj) =∑yj

yj

(∑xi

pXY (xi, yj)

)=∑yj

yjpY (yj).

Anlaogamente,

E(X2) =∑yj

∑xi

x2i pXY (xi, yj) =

∑xi

x2i pX(xi)

E(Y 2) =∑yj

∑xi

y2jpXY (xi, yj) =

∑yj

y2jpY (yj)

Se (X, Y ) e uma v.a. bidimensional contınua, entao

µX = E(X) =

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

xfXY (x, y)dxdy =

∫ ∞−∞

x

(∫ ∞−∞

fXY (x, y)dy

)dx =

∫ ∞−∞

xfX(x)dx

285

µX = E(X) =

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

yfXY (x, y)dxdy =

∫ ∞−∞

y

(∫ ∞−∞

fXY (x, y)dx

)dy =

∫ ∞−∞

yfY (y)dy

Analogamente,

E(X2) =

∫ ∞−∞

x2fX(x)dx

E(Y 2) =

∫ ∞−∞

y2fY (y)dy

As variancias de X e Y sao dadas por

V ar(X) = E(X2)− (E(X))2

V ar(Y ) = E(Y 2)− (E(Y ))2

O (1, 1)-momento conjuntode (X, Y ) e dado por

m11 = E(XY )

o qual chamaremos de correlacao de X e Y . Se E(XY ) = 0, entao dizemos que X e Y sao

ortogonais.

Definicao 30.1.2. A covariancia de X e Y , denotada por Cov(X, Y ) ou σXY , e definida por

Cov(X, Y ) = σXY = E((X − µx)(Y − µY )).

Expandindo, temos

Cov(X, Y ) = E(XY )− E(X)E(Y ).

Se Cov(X, Y ) = 0, dizemos que X e Y nao sao correlacionados e temos que

E(XY ) = E(X)E(Y ).

Definicao 30.1.3. O coeficiente de correlacao denotado por ρ(X;Y ) ou ρXY e definido por

ρ(X, Y ) = ρXY =Cov(X, Y )

σXσY.

Exemplo 30.1.4. A empresa envia dois tipos de fac-sımiles promocionais. Um tipo contem

apenas texto e requer 40 segundos para transmitir cada pagina. O outro tipo contem imagem

em tons de cinza que leva 60 segundos por pagina. Os faxes podem conter 1, 2 ou 3 paginas.

Deixe uma variavel aleatoria X representando o comprimento de um fax em paginas 1, 2, 3.

286

Deixe a variavel aleatoria Y representando o tempo para enviar cada pagina 40, 60. Depois

de observar muitas transmissoes de fax, a empresa obtevem o seguinte modelo de probabilidade:

40 sec 60 sec

1 pag 0,15 0,1

2 pag 0,3 0,2

3 pag 0,15 0,1

a) Calcule E(X) e V ar(X).

b) Calcule E(Y ) e V ar(Y ).

c) Calcule E(XY ).

d) Calcule Cov(X, Y ).

e) Calcule ρ(X, Y ).

Solucao:

a) E(X) = 1 · 0, 250,15+0,1 + 2 · 0, 5 + 3 · 0, 25 = 2

E(X2) = 12 · 0, 25 + 22 · 0, 5 + 32 · 0, 25 = 4, 5

V ar(X) = E(X2)− (E(X))2 = 4, 5− 22 = 0, 5

b) E(Y ) = 40 · 0, 60,15+0,3+0,15 + 60 · 0, 4 = 48

E(Y 2) = 402 · 0, 6 + 602 · 0, 4 = 2400

V ar(Y ) = E(Y 2)− (E(Y ))2 = 2400− 482 = 96

c) E(XY ) =∑∑

xypXY (x, y) = 1·40·0, 15+2·40·0, 3++1·60·0, 1+2·60·0, 2+3·60·0, 1 = 96

d) Cov(X, Y ) = E(XY )− E(X)E(Y ) = 96− 2 · 48 = 0

e) ρ(X, Y ) = Cov(X,Y )σXσY

= 0

Exemplo 30.1.5. A fdp conjunta da v.a. bidimensional (X, Y ) e

fXY (x, y) =

xy, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2

0, do contrario



c) Calcule E(XY ).



Solucao:

Devemos calcular as fdp marginais fX(x) e fY (y)

fX(x) =∫∞−∞ fXY (x, y)dy =

∫ 2

0xydy = 1

2xy2 |20= 2x⇒ fX(x) =

2x, 0 ≤ x ≤ 1

0, do contrario

287

fY (y) =∫∞−∞ fXY (x, y)dy =

∫ 1

0xydy = 1

2xy2 |10= 1

2y ⇒ fY (y) =

12y, 0 ≤ x ≤ 2

0, do contrario

a) E(X) =∫∞−∞ xfX(x)dx =

∫ 1

02x2dx = 2

3

E(X2) =∫∞−∞ x

2fX(x)dx =∫ 1

02x3dx = 1

2

var(X) = E(X2)− (E(X))2 = 12− 4

9= 1

18

b) E(Y ) =∫∞−∞ yfY (y)dy =

∫ 2

012y2dy = 4

3

E(Y 2) =∫∞−∞ y

2fY (y)dy =∫ 2

012y3dy = 2

V ar(Y ) = E(Y 2)− (E(Y ))2 = 2− 169

= 29

c) E(XY ) =∫∞−∞

∫∞−∞ xyfXY (x, y)dxdy =

∫ 1

0

∫ 2

0x2y2dxdy = 8

9

d) Cov(X, Y ) = E(XY )− E(X)E(Y ) = 0

e) ρ(X, Y ) = Cov(X,Y )σXσY

= 0

30.2 Exercıcios

Exercıcio 204. Seja (X, Y ) uma variavel aleatoria bidimensional com fmp conjunta

-3 2 4

1 0, 1 0, 2 0, 2

3 0, 3 0, 1 0, 1



c) Calcule E(XY ).



Exercıcio 205. A fdp de uma v.a. bidimensional (X, Y ) e dada por

fXY (x, y) =

x+ y, 0 < x < 1, 0 < y < 1

0, do contrario



c) Calcule E(XY ).



288

Exercıcio 206. A fdp de uma v.a. bidimensional (X, Y ) e dada por

fXY (x, y) =

x2 + xy3, 0 < x < 1, 0 < y < 2

0, do contrario



c) Calcule E(XY ).



30.3 Solcao dos Exercıcios


E(X) = 1 · 0, 5 + 3 · 0, 5 = 2, E(X2) = 12 · 0, 5 + 32 · 0, 5 = 5⇒ V ar(X) = 5− 22 = 1.

b) Temos que

E(Y ) = −3 · 0, 4 + 2 · 0, 3 + 4 · 0, 3 = 0, 6, E(Y 2) = (−3)2 · 0, 4 + 22 · 0, 3 + 42 · 0, 3 = 9, 6

⇒ V ar(X) = 9, 6− 0, 62 = 9, 24.

c) Temos que

E(XY ) = 1 · (−3) · 0, 1 + 1 · 2 · 0, 2 + · · ·+ 3 · 4 · 0, 1 = 0

d) Temos que

Cov(X;Y ) = 0− 2 · 0, 6 = −1, 2

e) Temos que

ρ(X;Y ) =−1, 2√1√

9, 24= −0, 39.

Solucao do Exercıcio 205. Antes de tudo:

fX(x) = x+1

2, 0 < x < 1 e fY (y) = y +

1

2, 0 < y < 1.

a) Temos que

E(X) =

∫ 1

0

x

(x+

1

2

)=

7

12, E(X2) =

∫ 1

0

x2

(x+

1

2

)=

5

12⇒ V ar(X) =

5

12−(

7

12

)2

=11

144

b) Analogamente ao item a), temos:

E(Y ) =7

12e E(Y ) =

11

144.

289

c) Temos que

E(XY ) =

∫ 1

0

∫ 1

0

xy(x+ y)dydx =1

3

d) Temos que

Cov(X;Y ) = E(XY )− E(X)E(Y ) =1

3− 7

12· 7

12= − 1

144.

e) Temos que

ρ(X;Y ) =− 1

144√11144

√11144

= − 1

11.

Solucao do Exercıcio 206. Antes de tudo:

fX(x) =

∫ 2

0

(x2 +

xy

3

)dy = 2x2 +

2

3x, 0 < x < 1 e

∫ 1

0

(x2 +

xy

3

)dy =

y

6+

1

3, 0 < y < 2.

a) Temos que

E(X) =

∫ 1

0

x

(2x2 +

2

3x

)dx =

13

18, E(X2) =

∫ 1

0

x2

(2x2 +

2

3x

)dx =

17

30⇒ V ar(X) =

73

1620

b) Temos que

E(Y ) =

∫ 2

0

y

(y

6+

1

3

)dy =

10

9, E(Y 2) =

∫ 2

0

y2

(y

6+

1

3

)dx =

14

9⇒ V ar(X) =

26

81

c) Temos que

E(XY ) =

∫ 1

0

∫ 2

0

xy(x2 +

xy

3

)dydx =

43

54

d) Temos que

Cov(X;Y ) =43

54− 13

18

10

9= − 1

162

e) Temos que

ρ(X;Y ) =− 1

162√73

1620

√2681

= −0, 051

290

Capıtulo 31

Introducao aos Processos Estocasticos

31.1 Processos Aleatorios

Definicao 31.1.1. Um processo aleatorio ou processo estocastico e uma famılia de uma v.a.

X(t), t ∈ T definida em um dado espaco de probabilidade, indexado por um parametro T ,

onde t varia em um conjunto T .

Relembre que uma v.a. e uma funcao definida em um espaco amostral S. Portanto, um pro-

cesso aleatorio X(t), t ∈ T e realmente uma funcao de duas variaveis X(t, ξ), t ∈ T, ξ ∈ S.Para t = tk fixo, X(tk, ξ) = Xk(ξ) e uma v.a. denotada por X(tk), como ξ variando sobre S.

Em outra mao, para um ponto fixo ξi ∈ S, X(t, ξi) = Xi(t) e uma unica funcao no tempo t,

chamada realizacao do processo. Se ambos, ξ e t sao fixos, X(tk, ξ) e simplesmente um numero

real. Em geral utilizaremos X(t) para representar X(t, ξ).

Em um processo aleatorio X(t), t ∈ T, o conjunto T e chamado de conjunto de parametro

do processo aleatorio. Os valores assumidos por X(t) sao chamados estados, e o conjunto

de todos os valores possıveis forma o espaco estado E do processo aleatorio. Se o conjunto

indexador T do processo aleatorio e discreto, entao o processo e dito de parametro discreto

(tempo discreto). Um processo de tempo discreto e tambem chamado de sequencia aleatoria

e e denotada por Xn, b = 1, 2, . . .. Se T e contınuo, entao temos temos um processo de

parametro contınuo (tempo contınuo). Se o espaco estado E de um processo e discreto, entao o

processo e dito de estado discreto, muitas vezes chamado de cadeia. Neste caso, o espaco estado

E e assumido como sendo 0, 1, 2, . . .. Se o espaco estado E e contınuo, entao nos temos um

processo de estado contınuo.

291

Exemplo 31.1.2. i) Parametro Discreto X Estado Discreto: Numero de pecas em um

loja no fim de semana.

Figura 31.1: Numero de pecas em uma loja a cada fim de semana.

ii) Parametro Discreto X Estado Contınuo: Medias amostrais do diametro de pistoes.

Figura 31.2: Medida de diametros de pistoes.

292

iii) Parametro Contınuo X Estado Discreto: Numero de chamadas telefonicas recebidas

por um call-center em um perıodo de 6 horas.

Figura 31.3: Chamadas telefonicas em um call-center durante 6 horas.

iv) Parametro Contınuo X Estado Contınuo: Medidas em um eletroencefalograma.

Figura 31.4: Medidas em um eletroencefalograma.

Exemplo 31.1.3. Sejam X1, X2, . . . v.a. de Bernoulli independentes com P (Xn = 1) = p e

P (Xn = 0) = q = 1 − p para todo n. A colecao das v.a. Xn, n ≥ 1 e um processo aleatorio,

e este e chamado Processo de Bernoulli.

a) Descreva o processo de Bernoulli.

b) Construa uma tipica sequencia simples do processo de Bernoulli.

Solucao:

a) Trata-se de um processo de Bernoulli Xn, n ≥ 1 de parametro discreto e de estado discreto.

Temos que T = 1, 2, 3, e E = 0, 1.

293

b) Uma sequencia simples do processo de Bernoulli pode ser obtida pelo lancamento de uma

moeda consecutivamente. Nos atribuiremos o valor 1 se aparecer cara e o valor 0 se aparecer

coroa. Por exemplo, uma sequencia possıvel seria.

Figura 31.5: Realizacao de X(t).

Exemplo 31.1.4. Considere o processo X(t) definido por

X(t) = Y cos(ωt), t ≥ 0

onde ω e uma constante e Y e uma v.a. uniforme sobre (0, 1).

a) Descreva X(t).

b) Esboce uma realizacao simples de X(t).

Solucao:

a) Trata-se de um processo aleatorio X(t) de parametro contınuo e de estado contınuo. Temos

que T = t; t ≥ 0 e E = x;−1 < x < 1.b) Por exemplo, tres realizacoes do processo sao dadas por


31.2 Exercıcios

Exercıcio 207. Sejam Z1, Z2, . . . v.a. independentes identicamente distribuıdas com P (Zn =

1) = p e P (Zn = −1) = q = 1− p para todo n. Seja

Xn =n∑i=1

Zi, n = 1, 2, . . .

294

e X0 = 0. A colecao das v.a. Xn, n ≥ 0 e um processo aleatorio, e e chamada de passeio

aleatorio simples X(n) em uma dimensao.

a) Descreva o passeio aleatorio simples X(n).

b) Construa uma tipica realizacao de X(n).

Exercıcio 208. Seja Xn, n ≥ 0 o passeio aleatorio simples descrito no Exercıcio 207. Agora

considere o processo aleatorio definido por

Xt = Xn, n ≤ t < n+ 1

a) Descreva X(t).

b) Construa uma tipica realizacao de X(t).

Exercıcio 209. Considere os pacientes que chegam ao consultorio de um medico em um tempo

qualquer. Seja X a v.a. que denota o tempo (em horas) de atendimento do n-esimo paciente.

a) Descreva o processo aleatorio X(n) = Xn, n ≥ 1.b) Construa uma tipica realizacao de X(n).


Solucao do Exercıcio 207. a) Trata-se de um processo aleatorio de parametro discreto e de

estado discreto.

b) Uma sequencia de amostras x(n) de um passeio aleatorio simples X(n) pode ser produzido

jogando-se uma moeda a cada segundo e e fazendo x(n) aumentar uma unidade para cada face

cara que apareca e diminua de unidade para cada face coroa que apareca. Assim, por exemplo

n 0 1 2 3 4 5 6 7 . . .

Resutado Ca Co Co Ca Ca Ca Co . . .

x(n) 0 1 0 −1 0 1 2 1 . . .

Um esboco grafico da situacao e dado a seguir

295


Solucao do Exercıcio 208. a) Trata-se de um processo de parametro (ou tempo) contınuo e

de estado discreto. Temos que T = t, t ≥ 0 e E = . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . ..b) Uma realizacao x(t) do processo X(t) e dada por


Solucao do Exercıcio 209. a) Trata-se de um processo de processo de parametro discreto e

de estado contınuo.

b) Uma realizacao x(n) de X(n) e dada por


296

Capıtulo 32

Caracterizacao de um Processo

Aleatorio

32.1 Definicoes e Exemplos

Definicao 32.1.1. Considere o processo aleatorio X(t). Para um tempo fixo t1, X(t1) = X1 e

uma v.a. com fcd definida por

FX(x1; t1) = P (X(t1) ≤ x1).

FX(x1; t1) e conhecida como distribuicao de primeira ordem de X(t). Analogamente, dado t1

e t2 X(t1) e X(t2) representando duas v.a., temos a fcd conjunta de segunda ordem de X(t)

dada por

FX(x1, x2; t1, t2) = P (X(t1) ≤ x1, X(t2) ≤ x2).

Em geral, para uma distribuicao de ordem n qualquer de X(t) temos

FX(x1, . . . , xn; t1, . . . , tn) = P (X(t1) ≤ x1, . . . , X(tn) ≤ xn).

Se X(t) e um processo de tempo discreto, entao X(t) e especificado por uma colecao de fmp

pX(x1, . . . , xn; t1, . . . , tn) = P (X(t1) = x1, . . . , X(tn) = xn).

Se X(t) e um processo de tempo contınuo, entao X(t) e especificado por uma colecao de fdp

fX(x1, . . . , xn; t1, . . . , tn) =∂nFX(x1, . . . , xn; t1, . . . , tn)

∂x1 . . . ∂x2

297

Exemplo 32.1.2. Suponha que um dado seja rolado nos instantes T = 0, 1, 2, ..., e cada

resultado NT onde 1 ≤ N ≤ 6. Nos, entao, definimos os processos aleatorios X(t) tais que,

para T ≤ t < T + 1, X(t) = NT . Neste caso, o ensaio e composto por uma sequencia infinita

de rolagens. Este mapeamento e representado a seguir: A fmp de X(3, 5) e dada por


pX(3,5)(x) =

1/6, x = 1, 2, 3, 4, 5, 6

0, do contrario

Exemplo 32.1.3. Considere o processo de Bernoulli do Exemplo 31.1.3. Determine a proba-

bilidade de ocorrencia da sequencia simples obtida na parte b) deste exercıcio.

Solucao:

Desde que os Xn sao independentes, temos

P (X1 = x1, X2 = x2, . . . , Xn = xn) = P (X1 = x1)P (X2 = x2) . . . P (Xn = xn).

Assim, temos

P (X1 = 1, X2 = 0, X3 = 0, X4 = 1, X5 = 0, X6 = 1) = p3q3.

Exemplo 32.1.4. Seja X(t) = Y |cos(2πft)| um sinal cossenoidal retificado com amplitude

aleatoria Y com fdp exponencial

fY (r) =

110e−

r10 , r ≥ 0

0, do contrario

Qual e a fdp fX(t)(x)?

Solucao:

Desde que X(t) ≥ 0 para todo t, P (X(t) ≤ x) = 0 para todo x < 0. Quando x ≥ 0 e

cos(2πft) 6= 0,

P (X(t) ≤ x) = P (Y |cos(2πft)| ≤ x) = P

(Y ≤ x

|cos(2πft)|

)=

∫ x|cos(2πft)|

0

fY (r)dr =

298

∫ x|cos(2πft)|

0

1

10e−r10 dr = −e−

r10 |

x|cos(2πft)|0 = −e−

x10|cos(2πft)| − (−e−

010 ) = 1− e−

x10|cos(2πft)|

Assim, a fdc de X(t) e dada por

FX(t)(x) =

1− e−x

10|cos(2πft)| , x ≥ 0

0, x < 0

Portanto, a fdp fX(t)(x) e dada por

fX(t)(x) =FX(t)(x)

dx=

110|cos(2πft)|e

− x10|cos(2πft)| , x ≥ 0

0, x < 0

Exemplo 32.1.5. Considere o processo aleatorio X(t) do Exemplo 3 da Aula 11. Determine

as fdp de X(t) em t = 0, t = π4ω

, t = π2ω

e πω

.

Solucao:

Para t = 0 temos, X(0) = Y cos(0) = Y . Portanto,

fX(0)(x) =

1, 0 < x < 1

0, do contrario

Para t = π4ω

, X(π4ω

)= Y cos

(π4

)= 1√

2Y . Portanto,

fX(π/4ω)(x) =

√

2, 0 < x < 1√2

0, do contrario

Observacao 32.1.6. Note que a v.a. Y e uniforme em (0, 1), sendo assim, 1√2

e uniforme em(0, 1√

2

). Assim,

fX(t)(x) =1

b− a=

11√2− 0

=√

2.

Para t = π2ω

, X(π2ω

)= Y cos

(π2

)= 0. Note que X

(π2ω

)= 0 independente do valor de Y .

Portanto, a fmp de X(π2ω

)e

pX(π/2ω)(x) = P (X = 0) = 1.

Para t = πω

, X(πω

)= Y cos(π) = −Y . Portanto,

fX(π/ω)(x) =

1, −1 < x < 0

0, do contrario

299

32.2 Exercıcio

Exercıcio 210. Considere o passeio aleatorio do Exercıcio 207.

a) Exiba a probabilidade de X(n) ser igual a −2 apos 4 etapas.

b) Enumere todas as possıveis sequencias simples em que ocorra uma face cara na quarta etapa.

Exercıcio 211. Considere ξ um numero selecionado do intervalo [0, 1] e escreva

ξ =n∑i=1

bi2−i, bi ∈ 0, 1

Defina o processo X(n, ξ) = Xn = bn, sendo bn o n-esimo numero da expansao binaria. Deter-

mine:

a) P (X(1, ξ) = 0)

b) P (X(1, ξ) = 0, X(2, ξ) = 1)

Exercıcio 212. Seja ξ um numero escolhido no intervalo [−1, 1] (uniformemente distribuıdo)

e seja X(t) o processo estocatico definido por

X(t, ξ) = ξcos(2πt), t ∈ R.

Ache a fdp de X0 = X(t0, ξ).


Solucao do Exercıcio 210. A fmp da distribuicao de primeira ordem do passeio aleatorio

simples descrito no Exercıcio 1 da Aula 11 e dada por:

P (Xn = k) = pn(k) =

n

(n+ k)/2

p(n+k)/2q(n−k)/2, q = 1− p

a) P (X4 = −2) = p4(−2) =

4

1

pq3 = 4pq3

b) Temos apenas 4 sequencias simples que podem assumir um resultado X4 = −2. Sao elas

i) (x1, x2, x3, x4) = (1, 0,−1,−2)

ii) (x1, x2, x3, x4) = (−1, 0,−1,−2)

iii) (x1, x2, x3, x4) = (−1,−2,−1,−2)

iv) (x1, x2, x3, x4) = (−1,−2,−3,−2)

Solucao do Exercıcio 211. a) P (X(1, ξ) = 0) = P (b1 = 0) = 12

b) P (X(1, ξ) = 0 eX(2, ξ) = 0) = 14

300

Solucao do Exercıcio 212. Temos que X0 = X(t0, ξ) = ξcos(2πt0). Como ξ e uniformemente

ditribuıdo em [−1, 1], temos queX0 e uniformemente distribuıdo em [−cos(2πt0), cos(2πt0)] com

t0 sendo tal que cos(2πt0) 6= 0.

Assim,

fX0(x) =

1b−a , −cos(2πt0) < x < cos(2πt0)

0, do contrario⇒

⇒ fX0(x) =

12cos(2πt0)

, −cos(2πt0) < x < cos(2πt0)

0, do contrario

301

Capıtulo 33

Media, Autocorrelacao e

Autocovariancia

33.1 Definicoes Centrais

Como o caso das v.a., os processos aleatorios sao frequentemente descritos pelo uso de

medias estatısticas.

Definicao 33.1.1. A media de X(t) e definida por

µX(t) = E(X(t)),

onde X(t) e tratada como uma v.a. para um valor fixo de t

Em geral, µX(t) e uma funcao do tempo, e e frequentemente chamado de conjunto medio

de X(t). Uma medida de dependencia entre as v.a. de X(t) e fornecida pela sua funcao de

autocorrelacao.

Definicao 33.1.2. A autocorrelacao das v.a. de X(t) e definida como:

RX(t, s) = E(X(t)X(s))

Para t = s, temos:

RX(t, t) = E(X2(t)).

Definicao 33.1.3. Definimos a autocovariancia de X(t) como

KX(t, s) = RX(t, s)− µX(t)µX(s).

302

Definicao 33.1.4. O coeficiente de correlacao de X(t) e definido como o coeficiente de cor-

relacao entre X(t1) e X(t2),

ρX(t1, t2) =KX(t1, t2)√

KX(t1, t1)√KX(t2, t2)

.

E claro que, se a media se X(t) e igual a zero, entao KX(t, s) = RX(t, s). Note que a

variancia de X(t) e dada por

σX2(t) = V ar(X(t)) = E((X(t)− µX(t))2) = KX(t, s).

A esperanca tem a propriedade da linearidade, isto e, se X1 e X2 sao v.a., entao

E

(n∑i=1

aiXi

)=

n∑i=1

aiE(Xi)

onde os ai’s sao constantes.

Exemplo 33.1.5. Considere o processo aleatorio

X(t) = Y cos(ωt), t ≥ 0

onde ω e uma constante e Y e uma v.a. uniforme sobre (0, 1).

a) Exiba E(X(t)).

b) Exiba a funcao de autocorrelacao RX(t, s) de X(t).

c) Exiba a funcao de autocovariancia KX(t, s) de X(t).

d) Exiba o coeficiente de correlacao de X(t).

Solucao:

a)

E(Y ) =

∫ b

a

x1

b− adx =

∫ 1

0

x1

1− 0dx =

x2

2|10=

1

2

E(Y 2) =

∫ b

a

x2 1

b− adx =

∫ 1

0

x2 1

1− 0dx =

x3

3|10=

1

3

Logo, E(X(t)) = E(Y cos(ωt)) = E(Y )cos(ωt) = 12cos(ωt).

b)RX(t, s) = E(X(t)X(s)) = E(Y cos(ωt)Y cos(ωs)) = E(Y 2)cos(ωt)cos(ωs) = 13cos(ωt)cos(ωs)

c)KX(t, s) = RX(t, s)−E(X(t))E(X(s)) = 13cos(ωt)cos(ωs)−1

2cos(ωt)1

2cos(ωs) = 1

12cos(ωt)cos(ωs).

d) ρX(t1, t2) = KX(t1,t2)√KX(t1,t1)

√KX(t2,t2)

=112cos(ωt1)cos(ωt2)√

112cos2(ωt1)

√112cos2(ωt2)

= ±1

Em particular, temos uma correlacao linear perfeita.

Se Y = g(x), entao

E(Y ) = E(g(X)) =

∑

i g(xi)pX(xi), (caso discreto)∫∞−∞ g(x)fX(x)dx, (caso continuo)

303

Sejam X1 e X2 sao v.a. e seja Y = g(X1, X2). Entao

E(Y ) = E(g(X)) =

∑

x1

∑x2g(x1, x2)pX1X2(x1, x2), (caso discreto)∫∞

−∞

∫∞∞ g(x1, x2)fX1X2(x1, x2)dx1dx2, (caso continuo)

Exemplo 33.1.6. Seja X(t) = cos(ωt + Θ) um processo estocastico onde Θ e uma variavel

aleatoria uniforme sobre (−π, π).

a) Exiba E(X(t)).

b) Exiba a funcao de autocorrelacao RX(t, s) de X(t).

Solucao:

a) Temos que

fΘ(θ) =1

b− a=

1

π − (−π)=

1

2π

fΘ(θ) =

12π, −π < θ < π

0, do contrario

Assim,

E(X(t)) =

∫ ∞−∞

cos(ωt+ θ)fΘ(θ)dθ =

∫ ∞−∞

cos(ωt+ θ)1

2πdθ =

=1

2π

∫ π

−πcos(ωt+ θ)dθ =

1

2πsen(ωt+ θ) |π−π= sen(ωt+ θ)− sen(ωt− π) =

= sen(ωt+ π) + sen(π − ωt) = −sen(ωt) + sen(ωt) = 0.

b) Temos que

RX(t, s) = E(X(t)X(s)) = E(cos(ωt+ Θ)cos(ωs+ Θ)) =

=1

2E(cos(ω(t+s)+2Θ)+cos(ω(t−s))) =

1

2

∫ π

−πcos(ω(t+s)+2θ)

1

2πdθ+

1

2

∫ π

−πcos(ω(t−s)) 1

2πdθ =

=1

4π

sen(ω(t+ s) + 2θ)

2|π−π +

1

4πcos(ω(t− s))θ |π−π= 0 +

1

2cos(ω(t− s)) =

1

2cos(ωt).

33.2 Exercıcios

Exercıcio 213. Considere o processo aleatorio X(t) definido por

X(t) = Y cos(ωt+ Θ)

onde Y e Θ sao v.a. independentes e uniformes sobre (−A,A) e (−π, π), respectivamente.

a) Exiba a media de X(t).

b) Eixba a funcao de autocorrelacao RX(t, s) de X(t).

304

Exercıcio 214. Considere o processo aleatorio X(t) definido por

X(t) = sen(2πfct)

onde a frequencia fc e uma v.a. uniforme sobre (0,W ). Determine E(X(t)).


Solucao do Exercıcio 213. a) E(Y ) = −A+A2

= 0, E(Θ) = −π+π2

= 0

Como Y e Θ sao independentes, temos

E(X(t)) = E(Y cos(ωt+ Θ)) = E(Y )E(ωt+ Θ) = 0

b) Temos que

RX(t, s) = E(X(t)X(s)) = E(Y cos(ωt+ Θ)Y cos(ωs+ Θ)) =

= E(Y 2cos(ωt+ Θ)cos(ωs+ Θ) =

=1

2E(Y 2cos(ω(t+ s) + 2Θ) + Y 2cos(ω(t− s))) =

= 0 +1

2

∫ A

−A

∫ π

−πy2 1

2Acos(ω(t− s)) 1

2πdθdy =

1

2

∫ A

−A

y2

2A

cos(ω(t− s))2π

|π−π dy =

=1

2

∫ A

−A

y2

2A

cos(ω(t− s))2π

2πdy =1

2cos(ω(t− s)) y

3

6A|A−A=

=1

2cos(ω(t− s))

(A3

6A− (−A)3

6A

)=

1

2cos(ω(t− s))2A3

6A=A2

6cos(ω(t− s))


ffc(fc) =

1W, 0 < θ < W

0, do contrario

Assim,

E(X(t)) =

∫ W

0

sen(2πfct)1

Wdfc = − 1

W

cos(2πft)

2πt|W0 =

= − 1

W

(cos(2πWt)

2πt+

1

2πt

)=

1

2πtW(1− cos(2πtW )).

305

Capıtulo 34

Alguns Processos Importantes

Buscaremos classificar alguns dos processos aleatorios mais importantes para os estudos

que se seguirao nos proximos capıtulos.

34.1 Processo Estacionario

Definicao 34.1.1. Um processo aleatorio X(t), t ∈ t e dito estacionario ou estacionario no

sentido estrito se, para todo n e para todo conjunto de tempo (ti ∈ T, i = 1, 2, . . . , n),

FX(x1, . . . , xn; t1, . . . , tn) = FX(x1, . . . , xn; t1 + τ, . . . , tn + τ) (34.1)

para todo τ .

Portanto, a distribuicao de um processo aleatorio nao sera afetada pela mudanca na origem

do tempo, e X(t) e X(t+ τ) apresentarao as mesmas distribuicoes para todo τ . Portanto, para

uma distribuicao de primeira ordem,

FX(x; t) = FX(x; t+ τ) = FX(x) e fX(x; t) = fX(x)

Logo,

µX(t) = E(X(t)) = µ e V ar(X(t)) = σ2,

onde µ e σ sao constantes.

Analogamente, para uma distribuicao de segunda ordem,

FX(x1, x2; t1, t2) = FX(x1, x2; t2 − t1) e fX(x1, x2; t2 − t1).

Exemplo 34.1.2. O processo aleatorio X(t) apresentado na Figura 34.1 e tal que P (xi(t)) = 16.

Encotre a media e autocorrelacao de X(t) e mostre que trata-se de um processo estacinario no

306


sentido estrito.

Solucao:

E(X(t)) =1

6

6∑i=1

xi(t) =1

6(5 + 3 + 1 + (−1) + (−3) + (−5)) = 0

RX(t, s) = E(X(t)X(s)) =1

6

6∑i=1

xi(t)xi(s) =

=1

6(5.5 + 3.3 + 1.1 + (−1).(−1) + (−3).(−3) + (−5).(−5)) =

70

6

Note que qualquer translacao τ no tempo t nao altera a distribuicao. Neste caso, o processo

aleatorio em questao e estacionario no sentido estrito.

Podiamos ter calculado a variancia, mas a autocorrelacao nos ajudara a identificar

mais precisamente o tipo de estacionariedade.

Observacao 34.1.3. Uma outra maneira de se verificar se um processo e estacionario no

sentido estrito e observando se todos os momentos independem da variavel t.

Observacao 34.1.4. No resultado anterior usamos a media das v.a. x1, x2, . . . , x6. Pois bem,

Sejam X1, X2, . . . v.a. independentes e identicamente distribuıdas. Seja E(Xi) = µ e V ar(Xi) =

σ2 <∞. Defina-se a media Xn = 1n

∑ni=1 Xi. Entao, para cada ε > 0,

Lei Fraca dos Grandes Numeros: Xn converge para µ, isto e

limn→∞P(|Xn − µ| < ε

)= 1

Lei Forte dos Grandes Numeros: Xn converge quase certamente para o seu valore esperado

µ, isto e

P(limn→∞|Xn − µ| < ε

)= 1

307

34.2 Processo Estacionario no Sentido Amplo

Definicao 34.2.1. Se a condicao de estacionariedade (34.1) de um processo aleatorio nao vale

para todo n, mas vale para n ≤ k, entao dizemos que o processo aleatorio X(t) e estacionario

de ordem k. Se X(t) e estacionario de ordem 2, entao X(t) e dito estacionario no sentido amplo

ESA = WSS, ou fracamente estacionario. Se X(t) e um processo estacionario ESA, entao

i) E(X(t)) = µ (constante)

ii) RX(t, s) = E(X(t)X(s)) = RX(|t− s|) (depende da diferenca de tempo τ = s− t)

Exemplo 34.2.2. Considere o processo aleatorio Y (t) mostrado a seguir: Encotre a media e


autocorrelacao de Y (t) e mostre que trata-se de um processo estacinario no sentido estrito.

Solucao:

E(Y (t)) =1

6

6∑i=1

yi(t) =1

6(6 + 3sen(t) + (−3sen(t)) + 3cos(t) + (−3cos(t)) + (−6)) = 0

RX(t, s) = E(X(t)X(s)) =1

6

6∑i=1

xi(t)xi(s) =

=1

6(6.6+3sen(t)3sen(s)+(−3sen(t))(−3sen(s))+3cos(t)3cos(s)+(−3cos(t))(−3cos(s))+6.6) =

=1

6(72 + 18(sen(t)sen(s) + cos(t)cos(s))) =

1

6(72 + cos(s− t)) = E(X(t)X(t+ τ)) = RX(τ),

onde τ = s− t.Como Y (t) depende somente da diferenca de tempo τ = s − t, entao trata-se de um processo

estacionario no sentido amplo.

308

34.3 Processos Independentes

Definicao 34.3.1. Em um processo aleatorio X(t), se X(ti) para i = 1, 2, . . . , n sao v.a.

independentes, de modo que para n = 2, 3, . . .

FX(x1, . . . , xn; t1, . . . , tn) =n∏i=1

FX(xi, ti),

entao nos chamaremos X(t) de um processo aleatorio independente. Note que, uma distribuicao

de primeira ordem e suficiente para caracterizar um processo aleatorio independente X(t).

Exemplo 34.3.2. Considere o processo aleatorio X(t) composto pelas v.a. X1(ti), com

X1(ti), i = 2, 3, ... representando as faces obtidas no lancamento de uma moeda nos tempos

ti (X1(ti) = 1 ⇒ cara;X2(ti) = 0 ⇒ coroa, X1(t0) = 0) e X2(ti), t = 2, 3... consistindo do

resultado no lancamento de um dado, em que o estado X2(ti) varia no conjunto 1, 2, ..., 6 com

X2(t0) = 1. E obvio que

FX(x1, x2; t1, t2) = FX(x1; t1)FX(x2; t2).

34.4 Processo de Incrementos Independentes

Definicao 34.4.1. Um processo aleatorio X(t), t ≥ 0 e dito ter incrementos independentes

se, sempre que 0 < t1 < t2 < . . . < tn

X(0), X(t1)−X(t0), X(t2)−X(t1), . . . , X(tn)−X(tn−1)

forem independentes. Se X(t), t ≥ 0 tem incrementos independentes e X(t) − X(s) tem a

mesma distribuicao que X(t + h) − X(s + h), s, t, h ≥ 0, s < t, entao o processo X(t) e dito

ter estacionariedade independente de incrementos.

A caracterizacao de um processo de incrementos independentes e feita observando-se os

seguinte:

Seja X(t), t ≥ 0 um processo aleatorio com estacionariedade independente de incrementos

e assuma que X(0) = 0. Entao,

E(X(t)) = µ1t

onde µ1 = E(X(1)) e

V ar(X(t)) = σ 2t

onde σ 2 = V ar(X(1)).

Um exemplo tıpico de processo iid e o Processo de Poisson mostrado a seguir.

309

34.4.1 Processo de Poisson

Seja t uma variavel temporal. Suponha que um experimento comece em t = 0. Eventos de

um tipo particular ocorrem aleatoriamente, o primeiro em T1 e o segundo em T2, e assim por

diante. A v.a. Ti denota o tempo no qual i-esimo evento ocorre, e os valores ti de Ti (i = 1, 2, . . .)

sao chamados de pontos de ocorrencia.

Seja

Zn = Tn − Tn−1

e T0 = 0. Entao Zn denota o tempo entre o (n − 1)-esimo evento e o n-esimo evento. A

sequencia de v.a. ordenadas Zn, n ≥ 1 e as vezes chamada de processo recorrente (processo

entre chegadas). Se todas as v.a. Zn sao independentes e identicamente distribuıdas, entao

Zn, n ≥ 1 e chamado de processo de renovacao. Temos que

Tn = Z1 + Z2 + . . .+ Zn.

Tn, n ≥ 0 e algumas vezes chamado de processo de renovacao.

Definicao 34.4.2. Um processo aleatorio X(t), t ≥ 0 e dito ser um processo de contagem se

X(t) representa o numero total de eventos que tem ocorreram em todo o intervalo (0, t). Deste

modo, temos que um processo de contagem, X(t) deve satisfazer as seguintes condicoes:

i) X(t) ≥ 0 e X(0) = 0.

ii) X(t) assume somente valores inteiros.

iii) X(s) ≤ X(t) se s < t.

iv) X(t)−X(s) e o numero de eventos que ocorreram no intervalo (s, t).

Um dos mais importantes processos de contagem e o Processo de Poisson, que e definido

como segue:

Definicao 34.4.3. Um processo de contagem X(t) e dito ser um processo de Poisson com taxa

(ou intensidade) λ > 0 se

i) X(0) = 0.

ii) X(t) tem incrementos independentes.

iii) O numero de eventos em um intervalo qualquer de tamanho t e (Poisson)distruibuıdo com

media λt, isto e, para todo s, t > 0,

P (X(t+ s)−X(s) = n) = e−λt(λt)n

n!, n = 0, 1, 2, . . . .

Segue da condicao iii que o processo de Poisson tem incrementos estacionarios e que

E(X(t)) = λt e V ar(X(t)) = λt.

310

Exemplo 34.4.4. Um sistema de mensagens gravadas recebe acessos de acordo com um pro-

cesso de Poisson de taxa 15 acessos por minuto. Encontre a probabilidade de, em um intervalo

de tempo de 1 minuto, 3 acessos sejam feitos nos primeiros 10 segundos e 2 acessos sejam feitos

nos ultimos 15 segundos.

Solucao:

Considerando o tempo t em segundos, temos que a taxa λ e de 15/60 = 0, 25 acessos por

segundo. Nossa probabilidade e obtida por meio da equacao

P (N(10) = 3 e N(60)−N(45) = 2) = P (N(10) = 3)P (N(60)−N(45) = 2) =

= P (N(10) = 3)P (N(60− 45) = 2) = P (N(10) = 3)P (N(15) = 2) =

= e−0,25.10 (0, 25.10)3

3!e−0,25.15 (0, 25.15)2

2!≈ 0, 035

Para um processo de Poisson com taxa λ, os tempos entre chegadas X1, X2, . . . sao uma

sequencia aleatoria independente e identicamente distribuıda com fdp exponencial

fX(x) =

λe−λx, x ≥ 0

0, do contrario

e fcd

fXn(x) = 1− P (Xn > x) =

1− e−λx, x > 0

0, do contrario

Exemplo 34.4.5. Encontre a media e a variancia do tempo ate o decimo acesso no Exemplo

34.4.4.

Solucao:

E(0→ 10) = 10.E(T ) = 10.4 = 40 segundos

V ar(0→ 10) = 10.V ar(T )10.42 = 160 segundos

Note que E(T ) e igual ao numero medio em segundos para se receber uma ligacao. Devemos

penssar de forma semelhante para o calculo de V ar(T ).

34.5 Exercıcios

Exercıcio 215. Seja X(t) um processo estacionario no sentido amplo com µX = 0 e autocor-

relacao dada por RX(τ). Seja Y (t) = 2 + X(t). Mostre que Y (t) e estacionario no sentido

amplo.

311

Exercıcio 216. Considere o processos estocastico

X(t;A; Θ) = Acos(ω0t+ Θ)

em que A e Θ sao variaveis aleatorias uniformes sobre [0; 1] e [−π; π], com ω0 constante. Mostra

que X e estacionario no sentido amplo (WSS).

Exercıcio 217. Mostre que o processo estocastico

X(t;A) = Acos(ω0t+ θ0)

nao e estacionario no sentido amplo, em que A e uniforme sobre [−1, 1] e ω0 e θ0 sao constantes.

Exercıcio 218. Um departamento de polıcia recebe em media 5 ligacoes por hora. Qual a

probabilidade de receber 2 solicitacoes numa hora selecionada aleatoriamente?

Exercıcio 219. Um experimento mostra que o numero medio de 6 clientes por hora param

para colocar gasilina numa bomba de um posto de gasolina.

a) Qual e a probabilidade de 3 clientes pararem em uma hora qualquer selecionada aleatoria-

mente?

b) Qual e a probabilidade de 3 clientes ou menos pararem em uma hora qualquer selecionada

aleatoriamente?

c) Qual e o valor esperado, e o desvio padrao para esta distribuicao?

Exercıcio 220. Seja o processo estocastico definido por:

X(t) = Acos(ωt) +Bsen(ωt)

em que A e B sao v.a. iid de media zero.

a) Mostre que X(t) e estacionario no sentido amplo.

b) Mostre que X(t) nao e estacionario no sentido estrito. (Dica: Mostre que E(X3(t)) e

dependente de t. Veja Observacao 34.1.3.)

Exercıcio 221. Para o processo estocastico

X(t) = Asen(ωt+ θ)

em que ω e θ sao constantes e A e uma v.a. qualquer:

a) Calcule a media, a funcao de autocorrelacao e a funcao de autocovariancia.

b) Este processo e estacionario no sentido amplo?

Exercıcio 222. Encontre uma expressao para E((X(t2) − X(t1))2) em termos da funcao de

autocorrelacao.

312

Exercıcio 223. Sejam X(t) e Y (t) processos independentes, estacionarios no sentido amplo e

media nula. Mostre que o processo

Z(t) = aX(t) + bY (t),

e estacionario no sentido amplo em que a e b sao constantes.

Exercıcio 224. O processo X(t) cuja funcao de probabilidade e dada por:

P (X(t) = n) =

(at)n−1

(1+at)n+1 , n = 1, 2, ...

at1+at

, n = 0

e estacionario?

34.6 Solucao do Exercıcios


E(Y (t)) = E(2 +X(t)) = E(2) + E(X(t)) = 2 + 0 = 2

RY (t; τ) = E(Y (t)Y (t+ τ)) = E((2 +X(t))(2 +X(t+ τ))) =

= E(4 + 2X(t+ τ) + 2X(t) +X(t)X(t+ τ)) =

= 4 + 2E(X(t+ τ)) + 2E(X(t)) + E(X(t)X(t+ τ)) =

= 4 + 2 · 0 + 2 · 0 +RX(τ) = 4 +RX(τ)

Como E(X(t)) e constante e RY (t; τ) depende somente de τ temos que Y (t) e estacionario no

sentido amplo.


E(X(t;A; Θ)) = E(Acos(ω0t+ Θ)) = E(A)E(cos(ω0t+ Θ)) =

=

∫ 1

0

A1

1− 0dA ·

∫ π

−π

1

π − (−π)cos(ω0t+ Θ)dΘ =

1

2· 0 = 0

RX(t, s) = E(X(t)X(s)) = E(Acos(ωot+ Θ)Acos(ωos+ Θ)) =

= E(A2)E(cos(ωot+ Θ)cos(ωos+ Θ)) =

= E(A2)E

(1

2(cos(ω0(t+ s) + 2Θ) + cos(ω0(t− s)))

)=

=1

3

(1

2(0 + cos(ω0(t− s)))

)=

1

6cos(ω0(t− s))

Note que E(X(t)) e contante e que RX(t, s) depende apenas da diferenca t − s e nao de t ou

de s. Portanto, X e WSS.

313


E(X(t;A)) = E(Acos(ω0t+ θ0)) = E(A)cos(ω0t+ θ0) = 0.cos(ω0t+ θ0) = 0.

Por outro lado,

RX(t, s) = E(Acos(ω0t+ θ0)Acos(ω0s+ θ0)) = E(A2)cos(ω0 + t)cos(ω0 + s) =

=2

3cos(ω0t+ θ0)cos(ω0s+ θ0)

o que mostra que RX(t, s) 6= RX(τ), τ = |t− s|. Em particular, tomando

(t = 0; s = 1;ω0 = π; θ0 = π), (t = 1, 5; s = 2, 5;ω0 = 1; θ0 = π)

temos:

τ = |0− 1| = 1⇒ RX(0; 1) =2

3cos(π · 0 + π)cos(π · 1 + π) =

2

3cos(π)cos(2π) = −2

3.

τ = |1, 5−2, 5| = 1⇒ RX(1, 5; 2, 5) =2

3cos(π·1, 5+π)cos(π·2, 5+π) =

2

3cos(2, 5π)cos(3, 5π) = 0.

(Faca um teste semelhante com a solucao do exercıcio anterior.)

Portanto, X(t;A) nao e WSS.


P (X(t+ s)−X(s) = 2) = e−5 52

2!

Solucao do Exercıcio 219. a) P (X(t+ s)−X(t) = 3) = e−6 63

3!= 0, 08928

b) P (X(t+ s)−X(t) ≤ 3) = P (0) + P (1) + P (2) + P (3) = 0, 15128

c) E(X(t)) = 6 clientes, σ(X(t)) =√V ar(X(t)) =

√6 ≈ 2, 45 clientes


E(X(t)) = E(Acos(ωt)+Bsen(ωt)) = E(A)cos(ωt)+E(B)sen(ωt) = 0cos(ωt)+0sen(ωt) = 0.

RX(t1, t2) = E((Acos(ωt1 +Bsen(ωt1))(Acos(ωt2) +Bsen(ωt2)))) =

= E(A2cos(ωt1)cos(ωt2)+ABcos(ωt1)sen(ωt2)+ABcos(ωt2)sen(ωt1)+B2sen(ωt1)sen(ωt2)) =

= E(A2)(cos(ωt1)cos(ωt2) + sen(ωt1)sen(ωt2)) = E(A2)cos(t1 − t2) = E(A2)cos(τ).

Portanto, X(t) e estacionario no sentido amplo.

b) Basta mostrarmos que E(X3(t)) depende de t.

De fato,

E(X3(t)) = E((Acos(ωt) +Bsen(ωt))3) =

= E(A3cos3(ωt) + 3A2Bcos2(ωt)sen(ωt) + 3AB2cos(ωt)sen2(ωt) +B3sen3(ωt)) =

= E(A3)cos3(ωt) + E(B3)sen3(ωt).

314


E(X) = E(Asen(ωt+ θ)) = E(A)sen(ωt+ θ)

RX(t1, t2) = E(Asen(ωt1 + θ)Asen(ωt2 + θ) = E(A2)sen(ωt1 + θ)sen(ωt2 + θ)

KX(t1, t2) = RX(t1, t2)− E(X(t1)E(X(t2)) =

= E(A2)sen(ωt1 + θ)sen(ωt2 + θ)− E(A)sen(ωt1 + θ)E(A)sen(ωt2 + θ) =

= (E(A2)− (E(A))2)sen(ωt1 + θ)sen(ωt2 + θ) = σ2Asen(ωt1 + θ)sen(ωt2 + θ)


E((X(t2)−X(t1))2) = E(X2(t2)− 2X(t1)X(t2) +X2(t1)) =

= E(X2(t2))− 2E(X(t1)X(t2)) + E(X2(t1)) = RX(t2, t2)− 2RX(t1, t2) +RX(t1, t1).


E(Z(t)) = E(aX(t) + bY (t)) = aE(X(t)) + bE(Y (t)) = a.0 + b.0 = 0.

RX(t1, t2) = E((aX(t1) + bY (t1))(aX(t2) + bY (t2))) =

= a2E(X(t1)X(t2)) + abE(X(t1)Y (t2)) + abE(X(t2)Y (t1) + b2E(X(t1)X(t2)) =

= a2RX(τ) + 0 + 0 + b2RY (τ) = a2RX(τ) + b2RY (τ)

Portanto, Z(t) e estacionario no sentido amplo.

Solucao do Exercıcio 224. Devemos calcular E(X(t)) e V ar(X(t)) e verificar sua dependencia

(nao estacionariedade) ou nao dependencia (estacionariedade) da v.a. t.

E(X(t)) =∞∑0

np(n) = 0at

1 + at+ 1

1

(1 + at)2+ 2

at

(1 + at)3+ 3

(at)2

(1 + at)4+ ... =

=1

(1 + at)2l

(1 + 2

at

1 + at+ 3

(at)2

(1 + at)2+ ...

)=

1

(1 + at)2(1 + 2α + 3α + ...) , com α =

at

1 + at

=1

(1 + at)2(1− α)−2 =

1

(1 + at)2

(1− at

1 + at

)−2

=1

(1 + at)2

1

(1 + at)−2= 1

Continuando,

E(X2(t)) =∞∑0

n2p(n) =∞∑n=1

n2 (at)n−1

(1 + at)n+1=

1

(1 + at)2

∞∑n=1

n2

(at

1 + at

)n−1

=

=1

(1 + at)2

∞∑n=1

(n2 + n− n)

(at

1 + at

)n−1

=

315

=1

(1 + at)2

∞∑n=1

n(n+ 1)

(at

1 + at

)n−1

− 1

(1 + at)2

∞∑n=1

n

(at

1 + at

)n−1

=

=2

(1 + at)2

∞∑n=1

n(n+ 1)

2

(at

1 + at

)n−1

− 1

(1 + at)2

∞∑n=1

n

(at

1 + at

)n−1

=1

(1 + at)2

(2

(1− at

1 + at

)−3

−(

1− at

1 + at

)−2)

=

=1

(1 + at)2

(2

1

(1 + at)−3− 1

(1 + at)−2

)=

2

(1 + at)−1− 1 = 2(1 + at)− 1 = 1 + 2at

Por fim,

V ar(X(t)) = E(X2(t))− (E(X(t)))2 = 1 + 2at− 1 = 2at

Desde que V ar(X(t)) depende de t temos que X(t) nao e estacionario.

Observacao 34.6.1. A passagem

1 + 2α + 3α2 + ... = (1− α)−2

e justificada tomando-se S − αS em que S = 1 + 2α + 3α2 + ... = (1− α)−2. De fato,

S − αS = 1 + 2α + 3α2 + ...+ nαn−1 − α(1 + 2α + 3α2 + ...+ nαn−1)⇔

⇔ S − αS = 1 + α + α2 + ...+ αn−1 ⇔ S − αS =1

1− α⇔ S =

1

(1− α)2.

Observacao 34.6.2. A passagem (1− α)−3 =∑∞

n=1n(n+1)

2xn−1. e justificada observando-se:

i) 11−x = 1 + x+ x2 + x3 + ... =

∑∞n=1 x

n−1

ii) 1(1−x)2

= (1+x+x2 + ...)(1+x+x2 + ...) = 1+(1+1)x+(1+1+1)x2 + ... = 1+2x+3x2 + ... =∑∞n=1 nx

n−1.

iii) 1(1−x3)

= 11−x

1(1−x)2

= ...↑... = 1 + (1 + 2)x + (1 + 2 + 3)x2 + ... = 1 + 3x + 6x2 + ... =∑∞n=1

n(n+1)2

xn−1.

316

Capıtulo 35

Autocorrelacao e Correlacao Cruzada -

WSS

35.1 Definicoes Centrais

Definicao 35.1.1. A funcao de autocorrelacao de um processo de tempo contınuo WSS X(t)

e definida por

RX(τ) = E(X(t)X(t+ τ)).

Teorema 35.1.2. Propriedades de RX(τ)

i) RX(−τ) = RX(τ)

Demonstracao. Temos que

RX(τ) = E(X(t)X(t+ τ)), RX(−τ) = E(X(t)X(t− τ)).

Fazendo δ = t− τ , temos

RX(−τ) = E(X(δ + τ)X(δ)) = RX(τ).

ii) RX(0) = E(X2)


RX(0) = E(X(t)X(t+ 0)) = E(X(t)X(t)) = E(X2(t)) = E(X2).

iii) RX(0) ≥ 0

317

Demonstracao. Temos que RX(0) = E(X2(t)). Desde que X2(t) ≥ 0, temos que E(X2) ≥0.

iv) Se um processo tem um componente periodico, entao a funcao de autocorrelacao tambem e

periodica.


X(t) = X(t+ nT )⇒ RX(τ) = RX(τ + nT ).

v) Se X(t) nao tem componente periodico, entao

limτ→∞RX(τ) = E2(X).

vi) RX(0) ≥ RX(τ).


E((X(t)±X(t+ τ))2) ≥ 0⇒ E(X2(t)± 2X(t)X(t+ τ) +X2(t+ τ))

Para t = 0, temos

2RX(0)± 2 ·RX(τ) ≥ 0⇒ RX(0) ≥ |RX(τ)|.

Exemplo 35.1.3. Se assumirmos que X(t) e uma forma de onda de tensao em um 1− Omega

resistor, entao E(X2(t)) e o valor medio da energia entregue aos 1− Omega resistor por X(t).

Assim, E(X2(t)) e muitas vezes chamado a potencia media de X(t).

Definicao 35.1.4. A funcao de autocorrelacao de um processo de tempo discreto WSS X(t) e

definida por

RX(k) = E(X(n)X(n+ k)).

As propriedades para o caso discreto sao semelhantes as do caso contınuo.

Exemplo 35.1.5. Encontre a potencia media do processo estocastico dado por

X(t) = 10cos(2000πt+ Θ)

318

onde Θ e uma variavel uniforme sobre o intervalo [−π, π)].

Solucao:

Devemos encontrar RX(τ). Pois bem,

RX(τ) = E(X(t)X(t+ τ)) = E(10cos(2000πt+ Θ)10cos(2000π(t+ τ) + Θ) =

= 100E(cos(2000πt+ Θ)cos(2000π(t+ τ) + Θ) =

=1

2E(cos(2000π(2t+ τ) + 2Θ) + cos(2000πτ)) =

= 0 +1

2.100cos(2000πτ) = 50cos(2000πτ).

Portanto,

E(X2) = RX(0) = 50cos(2000π.0) = 50.

Definicao 35.1.6. A funcao de correlacao cruzada de dois processos de tempo contınuo WSS

X(t) e definida por

RXY (τ) = E(X(t)Y (t+ τ)) e RY X(τ) = E(Y (t)X(t+ τ)).

Definicao 35.1.7. A funcao de covariancia cruzada entre dois processos WSS X(t) e Y (t) e

dada por:

KXY (τ) = KXY (t, s) = RXY (t, s)− µX(t)µY (s),

em que s = t+ τ .

Definicao 35.1.8. O coeficiente de correlacao cruzada entre os processos WSS X(t) e Y (t) e

definido como

ρXY (τ) = ρXY (t, s) =KXY (t, s)√

KX(t, t)√KY (s, s)

,

em que s = t+ τ .

Exemplo 35.1.9. Consideremos os processos X(t) = cos(ωt+Θ) e Y (t) = sin(ωt+Θ) em que

Θ e uma v.a. uniforme sobre [−π, π]. Encontre o coeficiente de correlacao cruzada ρXY (t, s).

Solucao: Temos que

µX(t) = E(cos(ωt+ Θ)) =

∫ π

−πcos(ωt+ Θ)dΘ = sen(ωt+ Θ)|π−π = 0.

µY (s) = E(sen(ωs+ Θ)) =

∫ π

−πsen(ωs+ Θ)dΘ = −cos(ωs+ Θ)|π−π = 0.

RXY (t, s) = E(X(t)Y (s)) = E(cos(ωt+ Θ)sen(ωs+ Θ)) =

319

= E

(1

2(sen(ω(t+ s) + 2Θ) + sen(s− t))

)=

=1

2E(sen(ω(t+ s) + 2Θ)) +

1

2E(sen(s− t)) =

1

2sen(s− t)

KXY (t, s) = RXY (t, s)− µX(t)µY (s) =1

2sen(s− t).

Em particular, RXY (t, s) = RXY (τ) = 12sen(τ), em que τ = s− t.

Continuando, temos

RX(t, t) = E(X(t)X(t)) == E(cos2(ωt+ Θ)) = E

(1 + cos(2(ωt+ Θ))

2

)=

1

2.

KX(t, t) = RX(t, t)− µ2X(t) =

1

2.

RY (s, s) = E(Y (s)Y (s)) == E(sen2(ωs+ Θ)) = E

(1− cos(2(ωt+ Θ))

2

)=

1

2.

KY (s, s) = RY (s, s)− µ2Y (s) =

1

2.

Portanto,

ρXY (t, s) =KXY√

KX(t, t)√KY (s, s)

=12sen(s− t)√

12

√12

= sen(s− t).

Note que,

ρXY (t, s) = ρXY (τ) = sen(τ),

em que τ = s− t.

35.2 Exercıcios

Exercıcio 225. Dado o processo aleatorio

Y (t) = X(t)cos(ω0t+ Θ)

onde X(t) e um processo aleatorio WSS, ω0 e uma constante, Θ e uniformemente distribuıda

em (−π, π) e X(t) e Θ sao independentes.

a) Encontre E(Y (t)).

b) Encontre a funcao de autocorrelacao de Y (t).

c) Y (t) e WSS.

Exercıcio 226. Considere os processos aleatorios independentesX(t) e Y (t) tais que E(X(t)) =

0, E(Y (t)) = 0 com funcoes de autocorrelacao

RX(t) = e−|t| e RY (t) = cos(2πt).

320

a) Encontre a funcao de autocorrelacao da soma W1(t) = X(t) + Y (t).

b) Encontre a funcao de autocorrelacao da diferenca W2(t) = X(t)− Y (t).

c) Encontre a funcao de correlacao cruzada entre W1(t) e W2(t).

Exercıcio 227. Seja o processo aleatorio

X(t) = Asen(ω0t+ Θ)

onde A e ω0 sao constantes, e Θ e uniforme sobre (−π, π). Defina o processo aleatorio Y (t) =

X2(t).

a) Mostre que a autocorrelacao de Y (t) e dada por

A4

4

(1 +

1

2cos(2ω0τ)

).

b) Mostre que RXY (τ) = 0.

Exercıcio 228. Para o processo estocastico

X(t) = ksen(ωt+ ϕ)

em que ω e ϕ sao constantes e k e uma variavel aleatoria qualquer.

a) Calcule a media, a funcao de autocorrelacao e a funcao de autocovariancia.


Exercıcio 229. Encontre uma expressao para E((X(t) − X(s))2) em termos da funcao de

autocorrelacao.

Exercıcio 230. No receptor de um radio AM, o sinal recebido contem uma portadora cossenoidal

com frequencia fc, fase aleatoria θ uniformemente distribuıda no intervalo [0, 2π] e amplitude

constante A. O sinal de portadora recebido e

X(t) = Acos(2πfct+ Θ).

a) Determine o valor esperado e a funcao de autocorrelacao do processo X(t).


Exercıcio 231. Seja o processo estocastico definido por

X(t) = Acos(ωt) +Bsen(ωt)

em que A e B sao descorrelacionadas, possuem media zero e igual variancia. Mostre que X(t)

e estacionario no sentido amplo.

321



E(Y (t)) = E(X(t)cos(ω0t+ Θ)) = E(X(t))E(cos(ω0t+ Θ)) = E(X(t)).0 = 0

b)

RY (τ) = E(Y (t)Y (t+ τ)) = E(X(t)cos(ω0t+ Θ)X(t+ τ)cos(ω0(t+ τ) + Θ) =

= E(X(t)X(t+ τ)cos(ω0t+ Θ)cos(ω0(t+ τ) + Θ)) =1

2RX(τ)cos(ω0τ)

c) Sim, pois a media e constante e a funcao de autocorrelacao depende somente de τ = t2− t1.


RW1(t) = E(W1(t)W1(t+ τ)) = E((X(t) + Y (t))(X(t+ τ) + Y (t+ τ))) =

= E(X(t)X(t+ τ) +X(t)Y (t+ τ) + Y (t)X(t+ τ) + Y (t)Y (t+ τ)) =

= E(X(t)X(t+ τ)) + E(X(t)Y (t+ τ)) + E(Y (t)X(t+ τ)) + E(Y (t)Y (t+ τ)) =

= RX(t) + 0 + 0 +RY (t) = e−|t| + cos(2πt)

b) Temos que

RW2(t) = E(W2(t)W2(t+ τ)) = E((X(t)− Y (t))(X(t+ τ)− Y (t+ τ))) =

= E(X(t)X(t+ τ)−X(t)Y (t+ τ)− Y (t)X(t+ τ) + Y (t)Y (t+ τ)) =

= E(X(t)X(t+ τ))− E(X(t)Y (t+ τ))− E(Y (t)X(t+ τ)) + E(Y (t)Y (t+ τ)) =

= RX(t)− 0− 0 +RY (t) = e−|t| + cos(2πt)

c) Temos que

RW1W2(t) = E(W1(t)W2(t+ τ)) = E((X(t) + Y (t))(X(t+ τ)− Y (t+ τ))) =

= E(X(t)X(t+ τ)−X(t)Y (t+ τ) + Y (t)X(t+ τ)− Y (t)Y (t+ τ)) =

= E(X(t)X(t+ τ))− E(X(t)Y (t+ τ)) + E(Y (t)X(t+ τ))− E(Y (t)Y (t+ τ)) =

= RX(t)− 0 + 0−RY (t) = e−|t| − cos(2πt)

322


RY (τ) = E(Y (t)Y (t+ τ)) = E(X2(t)X2(t+ τ)) =

= E(A2sen2(ωt+ Θ)A2sen2(ω0(t+ τ) + Θ)) =

=A4

4E((1− cos(2ω0t+ 2Θ))(1− cos(2ω0(t+ τ) + 2Θ))) =

=A4

4E(1− cos(2ω0t+ 2Θ)− cos(2ω0(t+ τ) + 2Θ) + cos(2ω0t+ 2Θ)cos(2ω0(t+ τ) + 2Θ)) =

=A4

4+ 0 + 0 +

A4

4E(cos(2ω0t+ 2Θ)cos(2ω0(t+ τ) + 2Θ)) =

=A4

4+A4

8E(cos(2ω0(2t+ τ) + 4Θ) + cos(2ωτ)) =

=A4

4+A4

8cos(2ωτ) =

A4

4

(1 +

1

2cos(2ω0τ)

).

b) Temos que

RXY (τ) = E(X(t)Y (t+ τ)) = E(X(t)X2(t)) = E(Asen(ω0t+ Θ)A2sen2(ω0(t+ τ) + Θ)) =

=A3

2E(sen(ω0t+ Θ)(1− cos(2ω0(t+ τ) + 2Θ))) =

=A3

2E(sen(ω0t+ Θ)− sen(ω0t+ Θ)cos(2ω0(t+ τ) + 2Θ)) =

=A3

2E

(sen(ω0t+ Θ)− 1

2(sen(ω0(3t+ 2τ) + 3Θ)− sen(ω0(t+ 2τ) + Θ))

)=

=A3

4E(2sen(ω0t+ Θ)− sen(ω0(3t+ 2τ) + 3Θ)− sen(ω0(−t− 2τ)−Θ)) =

A3

4(0 + 0 + 0) = 0

Note que, sendo α e n constantes sobre o sinal de integracao, temos

E(α + nΘ) =1

2π

∫ π

−πsen(α + nθ)dθ =

1

2πn(cos(α− nπ)− cos(α + nπ)) = 0,

pois α− nπ− (α+ nπ) = −2nπ ≈ 0. Isto e, trata-se de um deslocamento horizontal do grafico

da funcao sobre o plano.


E(X(t)) = E(k)sen(ωt+ ϕ)

RX(t, s) = E(k2)sen(ωt+ ϕ)sen(ωs+ ϕ)

KX(τ) = RX(t, s)− E2(x) = E(k2)sen(ωt+ ϕ)sen(ωs+ ϕ)− (E(k)sen(ωt+ ϕ))2 =

= (E(K2)− (E(k2))sen(ωt+ ϕ)sen(ωs+ ϕ) = σ2ksen(ωt+ ϕ)sen(ωs+ ϕ).

b) Nao. Teste alguns valores de t e s tais que |t−s| = τ . Escolha adequadamente as constantes,

ω e ϕ.

323


E((X(t)−X(s))2) = E(X2(t)− 2X(t)X(s) +X2(s)) = RX(t, t)− 2RX(t, s) +RX(s, s).


E(X(t)) = E(Acos(2πfct+ Θ)) = AE(cos(2πfct+ Θ)) = A

∫ 2π

0

1

2π − 0cos(2πfct+ Θ)dΘ = 0.

RX(t, s) = E(X(t)X(s)) = E(Acos(2πfct+ Θ)Acos(2πfcs+ Θ)) =

= A2E(cos(2πfct+ Θ)cos(2πfct+ Θ)) =

=A2

2E(cos(2πfc(t+ s) + 2Θ) + cos(2πfc(t− s))) =

=A2

2cos(2πfc(t− s))

b) Sim. Basta observar que

RX(t, s) =A2

2cos(2πfc(t− s)) =

A2

2cos(2πfcτ)) = RX(τ).


E(X(t)) = E(Acos(ωt) +Bsen(ωt)) = E(A)cos(ωt) + E(B)sen(ωt) = 0 · cos(ωt) + 0 · sen(ωt) = 0.

RX(t, s) = E(X(t)X(s)) = E((Acos(ωt) +Bsen(ωt))(Acos(ωs) +Bsen(ωs))) =

= E(A2cos(ωt)cos(ωs) +ABcos(ωt)sen(ωs) +BAsen(ωt)cos(ωs) +B2sen(ωt)sen(ωs)) =

= E(A2)cos(ωt)cos(ωs) +E(AB)cos(ωt)sen(ωs) +E(BA)sen(ωt)cos(ωs) +E(B2)sen(ωt)sen(ωs)) =

= E(A2)cos(ωt)cos(ωs) + 0 · cos(ωt)sen(ωs) + 0 · sen(ωt)cos(ωs) + E(B2)sen(ωt)sen(ωs)) =

= E(A2)cos(ωt)cos(ωs) + E(A2)sen(ωt)sen(ωs)) =

= E(A2)(cos(ωt)cos(ωs) + sen(ωt)sen(ωs)) = E(A2)cos(t− s).

Portanto, X(t) e estacionario no sentido amplo.

324

Capıtulo 36

Breve Passeio Pela Transformada de

Fourier


Definicao 36.1.1. A Transformada de Fourier de uma funcao f : R → R (ou C) e definida

por

F(f)(ω) = f(ω) =1√2π

∫ ∞−∞

e−iωxf(x)dx

para todo ω ∈ R tal que a integral acima convirja.

Definicao 36.1.2. Seja I um subconjunto dos numeros reais. A funcao XI : R→ R chamada

de funcao caracterıstica de I e dada por

XI(x) =

1, x ∈ I0, x /∈ I.

Exemplo 36.1.3. Seja a um numero real positivo. Seja X[0,a] : R → R chamada de funcao

caracterıstica de I dada por

X[0,a](x)

1, 0 < x < a

0, do contrario

Determine a trasnformada de Fourier de X[0,a].

Solucao:

F(X[0,a]

)(ω) =

1√2π

∫ ∞−∞

e−iωxf(x)dx =1√2π

∫ a

0

e−iωx.1dx =

=1√2π

e−iωx

−iω|a0 =

1√2π

(e−iωa − e−iω.0

−iω

)=

1√2π

(1− e−iωa

iω

), ω 6= 0.

325

Por outro lado,

F(X[0,a]

)(0) =

1√2π

∫ ∞−∞

e−iω.0f(x)dx =1√2π

∫ a

0

dx =a√2π.

Exemplo 36.1.4. Seja a um numero real positivo. Seja f : R→ R dada por

f(x) = e−ax.u0(x) =

0, x < 0

e−ax, x ≥ 0

Determine a transformada de Fourier de f .

Solucao:

F(f)(ω) =1√2π

∫ ∞−∞

e−iωxf(x)dx =1√2π

∫ ∞0

e−iωx.e−axdx =1√2π

∫ ∞0

e−(a+iω)xdx =

1√2π

e−(a+iω)x

−(a+ iω)|∞0 =

1√2π

(e−(a+iω)v − 1

−(a+ iω

)v→∞

=1√2π

1

a+ iω.

Exemplo 36.1.5. Calcule a transformada de Fourier da funcao g(x) = f(ax) a partir da

transformada de f(x).

Solucao:

a > 0⇒ g(ω) =1√2π

∫ ∞−∞

e−iωxg(x)dx =1√2π

∫ ∞−∞

e−iωxf(ax)dx =1√2π

∫ ∞−∞

e−iωyaf(y)

dy

a=

=1

a√

2π

∫ ∞−∞

e−iωyaf(y)dy =

1

a√

2π

∫ ∞−∞

e−iωayf(y)dy =

1

af(ωa

).

a < 0⇒ g(ω) =1√2π

∫ ∞−∞

e−iωxg(x)dx =1√2π

∫ ∞−∞

e−iωxf(ax)dx =1√2π

∫ −∞∞

e−iωyaf(y)

dy

a=

=1

a√

2π

∫ −∞∞

e−iωyaf(y)dy =

1

a√

2π

∫ −∞∞

e−iωayf(y)dy = −1

af(ωa

).

Em particular, F (f(−x)) = f(−ω).

Teorema 36.1.6. Se a transformada de Fourier de f(x) e f(ω) e a transformada de g(x) e

g(ω), entao para quaisquer constantes α e β, temos

F (αf + βg) = αF(f)(ω) + βF(g)(ω) = αf(ω) + βg(ω)

para todo ω ∈ R.

De acordo com o Teorema 36.1.6 F e uma transformacao lienar. Podemos portanto, calcular

sua transformada inversa.

326

Exemplo 36.1.7. Determine as funcoes f : R→ C cujas transformadas de Fourier sao dadas:

a) f(ω) = 1(2+iω)(3+iω)

b) f(ω) = 1ω2+ω+1

Solucao:

a) Note que 1(2+iω)(3+iω)

= 12+iω)

− 13+iω

. Assim,

f(x) = F−1

(1

(2 + iω)(3 + iω)

)= F−1

(1

2 + iω− 1

3 + iω

)= F−1

(1

2 + iω

)−F−1

(1

3 + iω

)=

=√

2πF−1

(1√2π

1

2 + iω

)−√

2πF−1

(1√2π

1

3 + iω

)=√

2π(e−2x − e−3x

)u0(x).

b) Primeiro encontremos a transformada da funcao g(ω) = 11+ω2 :

g(ω) =1

1 + ω2=

√2π√2π

1

2

2.1

12 + ω2=

√2π

2

(1√2π

2.1

1 + ω2

)⇒ g(x) =

√2π

2e−|x|

Por fim,

f(x) = F−1

(iω.

1

1 + ω2

)= F−1(iωg(ω))(x) = g′(x) = −

√2π

2

xe−|x|

|x|.

Figura 36.1: Tabela de Transformadas Discretas de Fourier.

327

Figura 36.2: Tabela de Transformadas Contınuas de Fourier.

328

Capıtulo 37

Sistemas Lineares Invariantes no

Tempo


Vejamos algumas definicoes importantes para a compreensao dos assuntos que serao abor-

dados:

Definicao 37.1.1. Um sistema e linear se

T (ax1(t) + bx2(t)) = aT (x1(t)) + bT (x2(t)),

em que X1(t) e X2(t) sao sinais de entrada arbitrarios, e a e b sao constantes arbitrarias.

Definicao 37.1.2. Se y(t) e a resposta a entrada x(t), entao o sistema e dito invariante no tempo

se para x(t− τ) temos y(t− τ).

Definicao 37.1.3. Definimos a funcao degrau unitario como

u(t) =

1, t ≥ 0

0, t < 0

Exemplo 37.1.4. A funcao degrau unitario nos permite ter uma representacao compacta para

sinais causais7.

7Um sinal e dito causal se o valor atual do sinal de saıda depende somente dos valores presentes e/ou valores

passados do sinal de entrada.

329

Figura 37.1: Representacao compacta para sinais causais.

Definicao 37.1.5. A funcao impulso unitario denotada por δ(t) e definida como: δ(t) = 0, t 6= 0∫∞−∞ δ(t)dt = 1,

Exemplo 37.1.6. Geometricamente, o impulso unitario pode ser definido a partir de qualquer

uma das funcoes a seguir tomando ε→ 0.

Figura 37.2: Representacoes geometricas do pulso unitario.

Definicao 37.1.7. A resposta impulsiva h(t) de um sistema linear e invariante no tempo e

definida por

h(t) = T (δ(t))

em que δ(t) e uma funcao impulso unitario aplicada no instante t = 0.

A resposta do sistema para uma entrada arbitraria x(t) e por meio da convolucao de x(t)

com h(t):

330

Sinais Contınuos no Tempo

y(t) = h(t) ∗ x(t) =

∫ ∞−∞

h(s)x(t− s)ds =

∫ ∞−∞

h(t− s)x(s)ds.

Sinais Discretos no Tempo

y[n] = h[n] ∗ x[n] =∞∑

j=−∞

h[j]x[n− j] =∞∑

j=−∞

h[n− j]x[j].

Definicao 37.1.8. Um sistema e causal se a resposta no instante t depende apenas de valores

de entrada passados, isto e, se

h(t) = 0, ∀t < 0

37.2 Filtragem Linear de um Processo Estocastico

Em muitas aplicacoes de processamento de sinais e interessante representar os sinais como

funcoes amostra de um processo estocastico. Nessas aplicacoes e impossıvel saber antecipada-

mente qual sinal ira aparecer. Contudo, podemos obter informacoes sobre modelos proba-

bilısticos destes sinais. Tratando-se de processos estacionarios no sentido amplo, as informcoes

disponıveis consistem de estatısticas de primeira e segunda ordem, isto e, fdp ou fmp fX(x) e

funcao de autocorrelacao RX(τ).

Considerando um filtro linear invariante no tempo com resposta a impulso h(t), temos que

se a entrada e um sinal determinıstico v(t), a saıda ω(t) e dada pela integral de convolucao

ω(t) =

∫ ∞−∞

h(u)v(t− u)du.

A Transformada de Fourier nos permite caminharmos entre os domınios do tempo e da

frequencia.

Definicao 37.2.1. As funcoes g(t) e G(f) sao chamadas de um par de transformadas de Fourier

se

G(f) =

∫ ∞−∞

g(t)e−j2πftdt, g(t) =

∫ ∞−∞

G(t)ej2πftdf.

Se um filtro linear tem responta a impulso h(t), a transformada de Fourier H(f) e chamada

de resposta em frequencia do filtro. A convolucao entre a entrada v(t) do filtro e sua resposta

a impulso h(t) ao domınio do tempo torna-se uma multiplicacao no domınio da frequencia, isto

331

e, se v(t) e a entrada de um filtro linear invariante no tempo com resposta a impulso h(t), a

transformada de Fourier da saıda do filtro W (f) esta relacionada a transformada da entrada,

V (f) e a resposta em frequencia do filtro H(f) por

W (f) = H(f)V (f).

Definicao 37.2.2. Seja X(t) a entrada de um filtro linear invariante no tempo com resposta

a impulso h(t). Y (t) e a saıda se todas as entradas do filtro sao amostras de X(t) e as saıdas

sao funcoes das amostras de Y (t). Y (t) esta relacionado com X(t) pela integral da convolucao

Y (t) =

∫ ∞−∞

h(u)X(t− u)du =

∫ ∞−∞

h(t− u)X(u)du.

Teorema 37.2.3. Se a entrada de um filtro linear invariante no tempo com resposta a impulso

h(t) e um processo estacionario no sentido amplo X(t), a saıda e um processo estacionario no

sentido amplo Y (t) com valor medio e funcao de autocorrelacao dados por

µY = µX

∫ ∞−∞

h(t)dt = µXH(0)

RY (τ) =

∫ ∞−∞

h(u)

(∫ ∞−∞

h(v)RX(τ + u− v)dv

)du.

Exemplo 37.2.4. Seja X(t) um processo estacionario no sentido amplo com valor esperado

µX = 10 volts, correspondendo a entrada de um filtro linear invariante no tempo. A resposta a

impulso do filtro e

h(t) =

et

0,2 , 0 ≤ t ≤ 1

0, do contrario

Qual e o valor esperado do processo Y (t) correspondente a saıda do filtro?

Solucao: Temos que

µY = µX

∫ ∞−∞

h(t)dt = 10

∫ 0,1

0

et

0,2dt = 2et

0,2 |0,10 = 2(e0,5 − 1) = 1, 30 volts

Exemplo 37.2.5. Seja h(t) um filtro passa baixa com resposta a impulso

h(t) =

e−t, t ≥ 0

0, do contrario

A entrada do filtro e um processo X(t), estacionario no sentido amplo com valor esperado

µX = 2. e funcao de autocorrelacao RX(τ) = δ(τ). Calcule a media e a funcao de autocorrelacao

332

do processo Y (t) na saıda desse filtro.

Solucao: a) Temos que

µY = µX

∫ ∞−∞

h(t)dt = 2

∫ ∞0

e−tdt = 2(−e−t)|∞0 = 2(−e−∞ − (−e−0)) = 2(0 + 1) = 2.

b) Temos que

RY (τ) =

∫ ∞−∞

h(u)

(∫ ∞−∞


)du =

=

∫ ∞0

e−u(∫ ∞

0

e−vδ(τ + u− v)dv

)du =

=

∫ ∞0

e−u(∫ ∞

0

e−vδ(−v − (−τ − u))dv

)du =∗

=

∫ ∞0

e−u(e−τ−u)du =

∫ ∞0

e−τ−2udu = −2−τ−2u

2|∞0 =

e−τ

2.

Usamos, na passagem marcada com ∗ o seguinte resultado8:∫ ∞−∞

f(x)δ(x− a)dx = f(a)

37.3 Exercıcios

Exercıcio 232. Seja X(t) um processo estacionario no sentido amplo com valor esperado

µX = −3 volts, correspondendo a entrada de um filtro linear invariante no tempo. A resposta

a impulso do filtro e

h(t) =

1− 106t2, 0 ≤ t ≤ 10−3

0, do contrario

Qual e o valor esperado do processo Y (t) correspondente a saıda do filtro?

Exercıcio 233. Seja X(t) um processo estacionario no sentido amplo com valor esperado

µX = 4 volts, correspondendo a entrada de um filtro linear invariante no tempo. O sinal Y (t)

8O resultado ∫ ∞−∞

f(x)δ(x− a)dx = f(a)

pode ser obtido facilmente o observando que δ(t) se anula em todo ponto, exceto em t = 0. Assim,

f(x)δ(x− a) ≈ f(a)δ(x− a).

Logo, podemos retirar f(a) da integral, isto e,∫ ∞−∞

f(x)δ(x− a)dx ≈∫ ∞−∞

f(a)δ(x− a)dx = f(a)

∫ ∞−∞

δ(x− a)dx = f(a) · 1 = f(a).

333

de saıda do filtro e estacionario no sentido amplo com media µY = 1. A resposta a impulso do

filtro e dada por:

h(t) =

e−ta , t ≥ 0

0, do contrario

Qual o valor da constante a?

Exercıcio 234. Um ruıdo Gaussiano Branco W (t) com funcao de autocorrelacao RW (τ) =

η0δ(τ) e passado sobre um filtro LTI. Prove que o sinal de saıda tem pontencia media

E(Y 2(t)) = η0

∫ ∞−∞

h2(u)du.

Consideracoes: Um Ruıdo Gaussiano Branco e WSS. Veja Exemplo 35.1.3.



µY = µX

∫ ∞−∞

h(t)dt = −3

∫ ∞−∞

(1− 106t2)dt = −3

(t− 106

3t3)

= 2 · 10−3 volts


µY = µX

∫ ∞−∞

h(t)dt⇒ 1 = 4

∫ ∞0

e−tadt⇒ −ae−

ta |∞0 =

1

4⇒ −a(−1) =

1

4⇒ a =

1

4

Solucao do Exercıcio 234. Como E(Y 2(t)) = RY (0), temos que

RY (0) =

∫ ∞−∞

h(u)

(∫ ∞−∞

h(v)RX(u− v)dv

)du =

∫ ∞−∞

h(u)

(∫ ∞−∞

h(v)η0δ(u− v)dv

)du =

= η0

∫ ∞−∞

h(u)

(∫ ∞−∞

h(v)δ(u− v)dv

)du = η0

∫ ∞−∞

h2(u)du.

334

Capıtulo 38

Densidade Espectral de Potencia -

WSS

38.1 Definicao, Propriedades e Exemplos

Definicao 38.1.1. Para um processo estocastico X(t) estacionario no sentido amplo, a funcao

de autocorrelacao RX(τ) e o espectro de potencia SX(f) sao o par de transformadas:

SX(ω) =

∫ ∞−∞

RX(τ)e−jωτdτ.

RX(τ) =1

2π

∫ ∞−∞

SX(ω)ejωτdω.

Observacao 38.1.2. E comum nos depararmos com as seguintes formulas alternativas:

SX(f) =

∫ ∞−∞

RX(τ)e−j2πfτdτ.

RX(τ) =

∫ ∞−∞

SX(f)ej2πfτdf.

Neste caso, o termo 12π

da segunda deve desaparecer uma vez que tomamos a mudanca de

variavel.

ω = 2πf ⇒ dω = 2πdf ⇔ 1

2πdω = df.

A funcao SX(ω) satisfaz as seguintes propriedades:

i) SX(ω) e real e SX(ω) ≥ 0;

ii) SX(−ω) = SX(ω);

Demonstracao. As propriedades i) e ii) decorrem imediatamente do fato:

SX(ω) =

∫ ∞−∞

RX(τ)e−jωτdτ =

∫ ∞−∞

RX(τ)(cos(ωτ)− jsen(ωτ))dτ =

335

=

∫ ∞−∞

RX(τ)cos(ωτ)dτ − j∫ ∞−∞

RX(τ)sen(ωτ)dτ

Note que, RX(τ) = RX(−τ), cos((−ω)τ) = cos(ωτ) e sen((−ω)τ) = −sen(ωτ). Alem disso,

se h(x) = f(x)g(x) com f(x) par e g(x) ımpar, entao, h(x) e ımpar. Por ultimo, temos que∫ L−L h(x)dx = 0 desde que h(x) seja uma funcao ımpar (Veja 38.1.3). Assim, SX(ω) e tal que o

termo j∫∞−∞RX(τ)sen(ωτ)dτ se anula.

SX(ω) =

∫ ∞−∞

RX(τ)cos(ωτ)dτ =

∫ ∞−∞

RX(τ)cos((−ω)τ)dτ = SX(−ω),

o que mostra que SX(ω) e real e par.

iii) E(X2(t)) = RX(0) = 12π

∫∞−∞ SX(ω)dω.

Demonstracao. Tomando τ = 0, temos

E(X2(t)) = RX(0) = RX(τ) =1

2π

∫ ∞−∞

SX(ω)ejω·0dω =1

2π

∫ ∞−∞

SX(ω)dω.

Observacao 38.1.3. I) Seja h(x) = f(x)g(x) com f(x) par e g(x) ımpar. Neste caso, temos

h(−x) = f(−x)g(−x) = f(x)(−g(x)) = −f(x)g(x) = −h(x)

Logo, h(x) e ımpar.

II) Seja h(x) uma funcao ımpar. Temos que∫ L

−Lh(x)dx =

∫ 0

−Lh(x)dx+

∫ L

0

h(x)dx =

= −∫ 0

−Lf(−x)dx+

∫ L

0

f(x)dx = −∫ L

0

f(x)dx+

∫ L

0

f(x)dx = 0.

Definicao 38.1.4. Analogamente, a densidade espectral de potencia SX(Ω) de um processo

aleatorio de tempo discreto X(n) e definido como a transformada de Fourier de RX(k).

SX(Ω) =∞∑

k=−∞

RX(k)e−jωk.

Portanto, a transformada inversa de SX(Ω) e dada por

RX(k) =1

2π

∫ π

−πSX(Ω)ejΩkdΩ.

336

A funcao SX(Ω) satisfaz algumas propriedades:

i) SX(Ω) e real e SX(Ω) ≥ 0;

ii) SX(Ω + 2π) = SX(Ω);

iii) SX(−Ω) = SX(Ω);

iv) E(X2(n)) = RX(0) = 12π

∫ π−π SX(Ω)dΩ.

Exemplo 38.1.5. Para cada funcao a seguir, indique quais podem ser uma densidade espectral

de potencia de um processo estocastico real.

a) S(ω) = ω2

ω2+16.

b) S(ω) = ωω2+16

.

Solucao:

a) Observe que S(ω) ≥ 0 e que S(−ω) = S(ω). Logo, S(ω) pode caracterizar uma densidade

espectral de potencia de um processo estocastico real.

b) Observe que S(ω) nao e nao-negativa. Logo, S(ω) nao pode caracterizar uma densidade

espectral de potencia de um processo estocastico real.

Exemplo 38.1.6. Considere um processo aleatorio WSS em tempo contınuo X(t) com funcao

de autocorrelacao

RX(t) = e−2λ|t|,

onde λ e uma constante. Encontre a densidade espectral de potencia de X(t).

Solucao:

Devemos usar a transformada de Fourier contınua. Neste caso, nota-se que e−2λ|t| ∼ e−a|t|.

Assim,

F(e−a|t|) =2a

a2 + ω2

Fazendo a = 2λ, temos

F(e−2λ) =2.2λ

(2λ)2 + ω2=

4λ

4λ2 + ω2.

Neste caso,

SX(ω) =4λ

4λ2 + ω2.

Usamos F(R) para indicar a transformada de Fourier da funcao R de uma maneira mais

simplificada.

Exemplo 38.1.7. Considere um processo aleatorio WSS em tempo discreto X(n) com funcao

de autocorrelacao

RX(k) = 10e−0,5|k|.

337

Encontre a densidade espectral de potencia de X(n).

Solucao:

Temos que

F(10e−0,5|k|) = 10.F(e−0,5|k|) = 10.F((e−0,5

)|k|)

Podemos comparar o ultimo termo da igualdade acima com a|k| (a < 1), onde a = e−0,5 ≈ 0, 607

e cuja transformada de Fourier discreta e dada por:

1− a2

1− 2acos(Ω) + a2.

Neste caso,

F(10e−0,5|k|) = 10.1− 0, 6072

1− 2.0, 607cos(Ω) + 0, 6072≈ 6, 316

1, 368− 1, 214cos(Ω).

Logo,

SX(Ω) =6, 316

1, 368− 1, 214cos(Ω).

Observe que a transformada de Fourier e uma transformacao linear.

Teorema 38.1.8. Quando um processo X(t) estacionario no sentido amplo e a entrada de um

filtro linear invariante no tempo com resposta em frequencia H(f), a densidade espectral de

potencia da saıda Y (t) e

SY (f) = |H(f)|2SX(f).


SY (τ) =

∫ ∞−∞

(∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

h(u)h(v)RX(τ + u− v)dudv

)e−j2πfτdτ.

Fazendo τ ′ = τ + u− v, temos dτ ′ = dτ , donde segue

SY (τ) =

∫ ∞−∞

(∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

h(u)h(v)RX(τ + u− v)dudv

)e−j2πf(τ ′−u+v)dτ ′ =

=

∫ ∞−∞

h(u)e−j2πfudu

∫ ∞−∞

h(v)ej2πfvdv

∫ ∞−∞

RX(τ ′)e−j2πfτ′dτ ′ =

= H(f)H∗(f)SX(f) = |H(f)|2SX(f).

Exemplo 38.1.9. Um processo estacionario X(t) no sentido amplo com funcao de autocor-

relacao RX(τ) = e−b|τ | e aplicado a um filtro RC com resposta a impulso

h(t) =

e−tRC , t ≥ 0

0, do contrario

338

Assumindo b > 0 e b 6= 1RC

, encontre SY (f) e RY (τ) da saıda Y (t) do filtro. Qual e a potencia

media do processo estocastico na saıda do filtro?

Solucao: Temos que

H(f) =

∫ ∞0

e−tRC e−j2πftdt =

∫ ∞0

e−tRC−j2πftdt =

=1

− 1RC− j2πf

e−tRC−j2πft|∞0 =

1

− 1RC− j2πf

(0− 1) =

=1

1RC

+ j2πf

Sem perdas identifiquemos a = 1RC

, donde obtemos:

H(f) =1

a+ j2πf

Assim,

|H(f)|2 = H(f)H∗(f) =1

a+ 2jπf

1

a− 2jπf=

1

a2 + (2πf)2

O espectro densidade de potencia do sinal de entrada e:

SX(f) =

∫ ∞−∞

e−b|τ |e−j2πfτdτ =

∫ 0

−∞ebτe−j2πfτdτ +

∫ ∞0

e−bτe−j2πfτdτ =

=

∫ 0

−∞e(b−j2πf)τdτ +

∫ ∞0

e−(b+j2πf)τdτ =1

b− j2πfe(b−j2πf)τ |0−∞ −

1

(b+ j2πf)e−(b+j2πf)τ |∞0 =

= (1− 0)1

b− j2πf− (0− 1)

1

b+ j2πf=

1

b− j2πf+

1

b+ j2πf=

2b

b2 + (2πf)2

Continuando, temos

SY (f) = |H(f)|2SX(f) =1

a2 + (2πf)2

2b

b2 + (2πf)2=

2b

(a2 + (2πf)2)(b2 + (2πf)2)

Podemos reescrever a expressao anterior da seguinte forma:

SY (f) =2b

b2−a2

a2 + (2πf)2−

2bb2−a2

b2 + (2πf)2=

2b

b2 − a2

1

a2 + (2πf)2− 2b

b2 − a2

1

b2 + (2πf)2

=b

a(b2 − a2)

2a

a2 + (2πf)2− 1

b2 − a2

2b

b2 + (2πf)2

Note que F(e−a|t|) = 2aa2+ω2 , donde obtemos a correla cao RY (τ):

RY (τ) =

∫ ∞−∞

SY (f)ej2πfτdf =b

a(b2 − a2)e−a|τ | − 1

b2 − a2e−b|τ |

A potencia media e dada por:

E(Y 2(t)) = RY (0) =b

a(b2 − a2)− 1

b2 − a2=

1

a(b+ a).

339

38.2 Exercıcios

Exercıcio 235. A funcao de autocorrelacao de um sinal telegrafico e dada por

RX(τ) = e−2α|τ |

em que α e uma constante real positiva.Calcule o espectro densidade de potencia deste processo.

Exercıcio 236. Considere um processo aleatorio WSS em tempo contınuo X(t) com funcao

de autocorrelacao

RX(t) = 100e−100|t|.

Determine a densidade espectral de potencia de X(t).

Exercıcio 237. Seja X(n) um processo aleatorio de tempo discreto com funcao de autocor-

relacao

RX(k) =

δ(k) + (0, 1)|k| k = 0,±1,±2, . . .

0 do contrario

Exiba a densidade espectral de potencia SX(Ω).

Exercıcio 238. Considere um processo aleatorio X(t) WSS em tempo contınuo com funcao

de autocorrelacao

RX(t) = e−4πt2 .

a) Encontre a potencia media de X(t).

b) Encontre a densidade espectral de potencia de X(t).

Exercıcio 239. Seja X(t) um processo estacionario no sentido amplo e de media zero com

funcao de autocorrelacao dada por RX(τ) = δ(τ). Se passarmos este sinal por um filtro linear

invariante no tempo com resposta a impulso

h(t) =

e−2t, t ≥ 0

0, do contrario

qual sera a densidade espectral de potencia da saıda Y (t)?



SX(f) =

∫ ∞−∞

RX(τ)e−j2πfτdτ =

∫ ∞−∞

e−2ατe−j2πfτdτ =

340

=

∫ 0

−∞e2ατe−j2πfτdτ +

∫ ∞0

e−2ατe−j2πfτdτ =

=

∫ 0

−∞e2(α−jπf)τdτ +

∫ ∞0

e−2(α+jπf)τdτ =

=1

2(α− jπf)e2(α−jπf)|0−∞ −

1

2(α + jπf)e−2(α+jπf)τ |∞0 =

=1

2(α− jπf)+

1

2(α + jπf)=

4α

4(α + π2f 2).


SX(ω) = F(100e−100|t|) = 100.F((e−100)|t|) = 100.2.100

1002 + ω2.


SX(Ω) = F(δ(k) + (0, 1)|k|) = F(δ(k)) + F(0, 1)|k| =

= 1 +1− (0, 1)2

1− 2.0, 1.cos(Ω) + 0, 12=

2− 0, 2cos(Ω)

1, 01− 0, 2cos(Ω).

Solucao do Exercıcio 238. a) RX(0) = e−4π.02 = 1.

b) F(e−4πt2) =√

π4πe−

ω2

(4.4π) = 12e−

ω2

(16π) .


H(f) =

∫ ∞−∞

h(t)e−j2πftdt =

∫ ∞0

e−2te−j2πftdt =

∫ ∞0

e−2(1+jπft)dt =

=1

−2(1 + jπf)e−2(1+jπft)|∞0 =

1

2(1 + jπf).

H(f)H∗(f) =1

2(1 + jπf)

1

2(1 + jπf)=

1

4(1 + π2f 2).

SX(f) =

∫ ∞−∞

RX(τ)e−j2πfτdτ =

∫ ∞−∞

δ(t)e−j2πfτdτ = e−j2πf ·0 = 1.

Por fim,

SY (f) = |H(t)|2SX(f) =1

4(1 + π2f 2).

341

Capıtulo 39

Funcoes Cruzadas

39.1 Correlacoes Cruzadas

Anteriormente vimos que ao passarmos um processo estocastico X(t) atraves de um filtro

linear H(f), a saıda Y (t) e um novo processo estocastico. Para duas v.a. aleatorias X e Y a fdp

ou a fmp e um modelo de probabilidade completo. Para o caso de dois processos estocasticos

X(t) e Y (t), um modelo completo de probabilidade consiste de uma fdp ou fmp conjunta das

v.a.

X(t1), ..., X(tn), Y (t′1), ..., Y (t′m)

para todo t1,...,tn e t′1,...,t′m. Tal modelo e suficiente para solucionar as diversas questoes das en-

genharias. Contudo, o trabalho mostra-se extremamente difıcil. A excecao principal e o caso de

trabalharmos com processos independentes (Veja Definicao 34.3.1). Nestes casos, trabalhamos

de forma independente para cada processo estocastico X(t) e Y (t)

Para o caso de processos dependentes costumamos recorrer a covariancia e a correlacao que

nos fornecem informacoes importantes sobre a relacao entre as v.a.

Definicao 39.1.1. A funcao de correlacao cruzada de dois processos aleatorios de tempo contınuo

(WSS) X(t) e Y (t) e definida como

RXY (τ) = E(X(t)Y (t+ τ)).

Definicao 39.1.2. Os processos estocasticos X(t) e Y (t) sao conjuntamente estacionarios

no sentido amplo se cada um deles e estacionario no sentido amplo, e a correlacao cruzada

satisfaz:

RXY (t, τ) = RXY (τ).

A funcao RXY (τ) satisfaz algumas propriedades:

342

Teorema 39.1.3. Propriedades da funcao de correlacao cruzada:

i) RXY (−τ) = RY X(τ) desde que X(t) e Y (t) sejam conjuntamente estacionarios;

ii) |RXY (τ)| ≤√RX(0)RY (0);

iii) |RXY (τ)| ≤ 12(RX(0) +RY (0)).

iv) Se Z(t) = X(t) + Y (t), entao RZ(τ) = RX(τ) +RY (τ) +RXY (τ) +RY X(τ).

Teorema 39.1.4. Se X e Y sao v.a. independentes, entao

RXY (τ) = RY X(τ) = XY .


RXY (τ) = E(X(t)Y (t+ τ)) = E(X(t))E(Y (t+ τ)) = XY .

Definicao 39.1.5. Dois processos X(t) e Y (t) sao chamados ortogonais se

RXY (τ) = 0

para todo τ .

Definicao 39.1.6. A funcao de correlacao cruzada de dois processos aleatorios de tempo dis-

creto (WSS) X(t) e Y (t) e definida como

RXY (k) = E(X(n)Y (n+ k)),

Valem propriedades semelhantes as que temos no caso contınuo.

Exemplo 39.1.7. Dois processos aleatorios X(t) e Y (t) sao dados por

X(t) = Acos(ωt+ Θ) e Y (t) = Asen(ωt+ Θ)

onde A e ω sao constantes e Θ e uniforme sobre (0, 2π). Encontrea a funcao de correlacao

cruzada X(t) e Y (t) e verifique que

RXY (−τ) = RY X(τ).

Solucao:

RXY (τ) = E(X(t)Y (t+ τ)) = E(A2cos(ωt+ Θ)sen(ω(t+ τ))) =

=A2

2E(sen(2ωt+ ωτ + 2Θ)− sen(−ωτ)) =

A2

2sen(ωτ)

343

RY X(τ) = E(Y (t)X(t+ τ)) = E(A2sen(ωt+ Θ)cos(ω(t+ τ))) =

=A2

2E(sen(2ωt+ ωτ + 2Θ) + sen(−ωτ)) = −A

2

2sen(ωτ)

Por outro lado,

RXY (−τ) =A2

2sen(−ωτ) = −A

2

2sen(ωτ) = RY X(τ).

Definicao 39.1.8. Para processos X(t) e Y (t) conjuntamente estacionarios no sentido amplo,

a transformada de Fourier da autocorrelacao cruzada leva a densidade espectral cruzada

SXY (f) =

∫ ∞−∞

RXY e−j2πfτdτ.

Definicao 39.1.9. Para os processos X(t) e Y (t) conjuntamente estacionarios no sentido am-

plo, a densidade espectral cruzada apresenta a seguinte simetria:

SXY (f) = SY X(−f).

Exemplo 39.1.10. Suponha que estejamos interessados em X(t) mas so podemos observar

Y (t) = X(t) +N(t)

em que N(t) e um processo estacionario no sentido amplo com media zero, que interfere com

nossa observacao X(t). Assumimos que X(t) e N(t) sao conjuntamente estacionarios no sentido

amplo. Para caracterizar Y (t), encontre a media E(Y (t)), a funcao de autocorrelacao RY (τ),

e o espectro densidade de potencia SY (f).

Solucao: A media E(Y (t)) e dada por:

E(Y (t)) = E(X(t) +N(t)) = E(X(t)) + E(N(t)) = E(X(t)).

A funcao de autocorrelacao e dada por:

RY (t; τ) = E(Y (t)Y (t+ τ) = E((X(t) +N(t))(X(t+ τ) +N(t+ τ))) =

= RX(τ) +RXN(t; τ) +RNX(t; τ) +RN(τ).

Quando X(t) e N(t) sao conjuntamente estacionarios no sentido amplo, temos

RXN(t; τ) = RXN(τ), RNX(t; τ) = RNX(τ).

E portanto,

RXN(τ) = RX(τ) +RXN(τ) +RNX(τ) +RN(τ).

Logo, podemos tomar a transformada

SY (f) = SX(f) + SXN(f) + SNX(f) + SN(f).

344

39.2 Exercıcios

Exercıcio 240. Demonstre as afirmativas i), ii), iii) e iv) referentes ao Teorema 245.


Solucao do Exercıcio 240. i) Note que

RXY (τ) = E(X(t)Y (t+ τ)).

Fazendo u = t+ τ , temos:

RXY (τ) = E(X(u− τ)Y (u)) = E(Y (u)X(u− τ)) = RY X(u,−τ)

Como X(t) e Y (t) sao conjuntamente estacionarios, temos

RXY (τ) = RY X(t,−τ) = RY X(−τ).

ii) Decorre imediatamente da desigualdade de Cauchy-Schwwarz 6. De fato,

(E2(X(t)Y (t+ τ)) ≤ E((X(t))2)E((Y (t+ τ))2)⇒

⇒ |RXY (τ)|2 ≤ RX(0)RY (0)⇒ |RXY (τ)| ≤√RX(0)RY (0).

iii)

(E2(X(t)− Y (t+ τ))) ≥ 0⇒ E((X(t))2 − 2X(t)Y (tτ) + (Y (t+ τ))2) ≥ 0

⇒ E((X(t))2)− 2E(X(t)Y (t+ τ)) + E((Y (t+ τ))2) ≥ 0⇒ RX(0)− 2RXY (τ) +RY (0) ≥ 0

⇒ RXY (τ) ≤ 1

2(RX(0) +RY (0)).

iv) Temos que

RZ(τ) = E(Z(t)Z(t+ τ)) = E((X(t) + Y (t))(X(t+ τ) + Y (t+ τ))) =

= E(X(t)X(t+ τ) +X(t)Y (t+ τ) + Y (t)X(t+ τ) +X(t+ τ)Y (t+ τ)) =

= RX(τ) +RXY (τ) +RY X(τ) +RY (τ)

6Sejam X e Y duas variaveis aleatorias. Entao (E2(XY )) ≤ E(X2) + E(Y 2).

345

Capıtulo 40

Filtragem de Processos Estocasticos

Quando X(t) e Y (t) sao processos de entrada e saıda de um filtro linear invariante no

tempo h(t), podemos calcular a correlacao cruzada RXY (t; τ).

40.1 Principais Resultados


filtro linear invariante no tempo h(t), a correlacao cruzada entre a entrada e a saıda e dada por

RXY (t; τ) = RXY (τ) =

∫ ∞−∞

h(u)RX(τ − u)du


Y (t+ τ) =

∫ ∞−∞

h(u)X(t+ τ − u)du.

Assim, a correlacao cruzada entre a entrada e a saıda do filtro e:

RXY (τ) = E

(X(t)

∫ ∞−∞

h(u)X(t+ τ − u)du

)=

=

∫ ∞−∞

h(u)E(X(t)X(t+ τ − u))du =

∫ ∞−∞

h(u)RX(τ − u)du.


filtro linear invariante no tempo, a entrada X(t) e a saıda Y (t) sao conjuntamente estacinarias

no sentido amplo.

346

Exemplo 40.1.3. Um processo X(t) estacionario no sentido amplo com funcao de autocor-

relacao RX(τ) = e−b|τ | e a entrada de um filtro RC com resposta impulsiva

h(t) =

e−tRC , t ≥ 0

0, do contrario

Assumindo que b > 0, encontre a correlacao cruzada RXY (τ) entre a entrada e a saıda.

Solucao: Fazendo a = 1RC

, temos:

RXY (τ) =

∫ ∞−∞

h(u)RX(τ − u)du =

∫ ∞0

e−aue−b|τ−u|du.

Temos dois casos a considerar:

τ ≥ 0⇒∫ τ

0

e−(a−b)u−bτdu+

∫ ∞τ

e−(a+b)u+bτdu =e−bτ

a− b− 2be−aτ

a2 − b2

τ < 0, u ≥ 0⇒∫ ∞

0

e−aue−b(u−τ)du =ebτ

a+ b

Portanto,

RXY (τ) =

ebτ

a+b, τ < 0

e−bτ

a−b −2be−aτ

a2−b2 , τ ≥ 0


filtro linear h(t) invariante no tempo, a funcao de autocorrelacao da saıda Y (t) e dada por:

RY (τ) =

∫ ∞−∞

h(−ω)RXY (τ − ω)dω.


RY (τ) =

∫ ∞−∞

(h(u)

∫ ∞−∞


)du =

∫ ∞−∞

h(u)RXY (τ + u)du.

Tomando u = −ω chegamos ao resultado desejado.

Teorema 40.1.5. Seja X(t) uma entrada estacionaria no sentido amplo para um filtro linear

invariante no tempo H(f). A entrada X(t) e a saıda Y (t) satisfazem

SXY = H(f)SX(f), SY (f) = H∗SXY (f).

Exemplo 40.1.6. O processo X(t) estacionario no sentido amplo e a entrada de um filtro

“tapped delay line”

H(f) = a1e−j2πft1 + a2e

−j2πft2 .

347

Encontre a densidade espectral cruzada SXY (f) e a correlacao cruzada RXY (τ).

Solucao: A densidade espectral cruzada e dada por:

SXY (f) = H(f)SX(f) = (a1e−j2πft1 + a2e

−j2πft2)SX(f).

A correlacao cruzada e dada por:

RXY (τ) =

∫ ∞−∞

SXY (f)ej2πfτdf =

∫ ∞−∞

(a1e−j2πft1 + a2e

−j2πft2)SX(f)ej2πfτdf =

= a1

∫ ∞−∞

SX(f)ej(2πf(τ−t1))df + a2

∫ ∞−∞

SX(f)ej(2πf(τ−t2))df = a1RX(τ − t1) + a2RX(τ − t2).

40.2 Exercıcios

Exercıcio 241. Seja Z(t) = X(t) + Y (t). Sob qual condicao SZ(f) = SX(f) + SY (f)?

Exercıcio 242. Um filtro de media zero tem densidade espectral de potencia dada por N0

2. O

filtro tem funcao de transferencia dada por:

H(f) =1

1 + j2πf.

a) Exiba SXY (f) e RXY (τ).

b) Exiba SY (f) e RY (τ).

c) Exiba E(Y 2(t)).

Exercıcio 243. Seja Y (t) = h(t) ∗ X(t) e Z(t) = X(t) − Y (t) conforme mostrado na figura

40.1.

Figura 40.1: Filtro.

Mostre que SZ(f) = |1−H(f)|2SX(f).

348



RZ(τ) = RX(τ) +RXY (τ) +RY X(τ) +RY (τ)

SZ(f) = SX(f) + SXY (f) + SY X(f) + SY (f)

Se X(t) e Y (t) forem ortogonais entao RXY (τ) = RY X(τ) = 0 donde segue:

SZ(f) = SX(f) + SY (f).


SY X = H(f)SX(f) =N0

2

1 + j2πf

RY X = F−1(SY X(f)) = F−1

(N0

2

1 + j2πf

)=N0

2F−1l

(1

1 + j2πf

)=N0

2e−τ , τ > 0.

b) Temos que

SY (f) = |H(f)|2SX(f) =1

1 + j2πf

1

1− j2πfN0

2=

N0

2

1 + 4π2f 2

RY (τ) = F−1(SY (f)) = F−1

(N0

2

1 + 4π2f 2

)=N0

2F−1

(1

1 + (2πf)2

)=

=N0

2F−1

(1

2· 2

1 + (2πf)2

)=N0

4F−1

(2

1 + (2πf)2

)=N0

4e−|τ |

c) Temos que

E(Y 2(t)) = RY (0) =N0

4e−|0| =

N0

4.


Rτ = E(Z(t)Z(t+ τ)) = E((X(t)− Y (t))(X(t+ τ)Y (t+ τ))) =

= E(X(t)X(t+ τ)−X(t)Y (t+ τ)− Y (t)X(t+ τ) + Y (t)Y (t+ τ)) =

= RX(τ)−RXY (τ)−RY X(τ) +RY (τ) = RX(τ)−RXY (τ)−RXY (−τ) +RY (τ)

Por fim,

SZ(f) = SX(f)− SXY (f)− S∗XY (f) + SY (f) =

= SX(f)−H(f)SX(f)−H∗(f)SX(f) + |H(f)|2SX(f) =

= (1− (H(f) +H∗(f)) + |H(f)|2)SX(f) =

= (1− 2Re(H(f)) + |H(f)|2)SX(f) = |1−H(f)|2SX(f)

349

Capıtulo 41

Ruıdo Branco

41.1 Processos Gaussianos

Um processo gaussiano tem a propriedade de que toda colecao de valores de amostras e

descrita pela fdp Gaussiana Multidimensional. Isto e, uma colecao de amostras X(t1), ..., X(ts)

, tem uma fdp conjunta descrita por um vetor µX = [µX(t1), ..., µX(ts)]T e uma matriz K cujo

i, j-esimo elemento

Ki,j = KX(ti, tj − ti) = RX(ti, tj − ti)− µX(ti)µX(tj)

e a covariancia entre X(ti) e X(tj). Usando o vetor x = [x1, ..., xs]T , os valores medios µX ,

a matriz de covariancia K e seu determinante |K|, podemos definir a fdp Gaussiana Multidi-

mensional.

Definicao 41.1.1. X(t) e um processo estocastico Gaussiano se a fdp conjunta deX(t1), ..., X(ts)

tem densidade Gaussiana multidimensional

fX(t1)...X(ts)(x1, ..., xs) =1

(2π)s/2|K|1/2e−

12

(X−µX)TK−1(X−µX).

A Definicao 41.1.1 pode ser reduzida ao caso familiar tomando k = 1.

fX(t1)(x1) =1√

2πσ21

e− (x1−µ1)

2

2σ21 .

Tente obter a expressao para k = 2.

Enunciaremos a seguir alguns resultados, sem demonstra-los, apenas para termos base para

o estudo do ruıdo branco gaussiano.

Teorema 41.1.2. Se X(t) e um processo Gaussiano estacionario no sentido amplo, entao X(t)

e um processo Gaussiano estacionario no sentido estrito.

350

Teorema 41.1.3. X(t) e um processo estocastico Gaussiano se Y =∫ T

0g(t)X(t)dt e uma v.a.

Gaussiana para todo g(t) tal que E(Y 2(t)) <∞.

Teorema 41.1.4. Passando um processo X(t) estacionario Gaussiano atraves de um filtro

linear h(t), gera-se na saıda um processo Gaussiano Y (t) com media e funcao de autocorrelacao

dadas no Teorema 245, isto e:

µY = µX

∫ ∞−∞

h(t)dt = µXH(0)

RY (τ) =

∫ ∞−∞

h(u)

(∫ ∞−∞


)du.

41.1.1 Processo Ruıdo Branco Gaussiano

Em engenharia eletrica e comum o estudo de ruıdos tais como: ruıdo termico em resistores,

ruıdo em sistemas de comunicacoes, etc. O ruıdo e uma forma de onda imprevisıvel que nor-

malmente modelado por um processo estocastico Gaussiano estacionario W (t). O ruıdo nao

tem um componente DC de modo que

E(W (t1)) = µW = 0.

Considerando a natureza imprevisıvel de um ruıdo, temos para τ 6= 0, que

RW (τ) = E(W (t)W (t+ τ)) = E(W (t))E(W (t+ τ)) = 0.

Sendo RW (τ) = 0 para todo τ 6= 0, temos que a densidade espectral de potencia SW (f) e

constante para todo f . Tal constante e igual a zero a menos que RW (τ) = δ(τ). Dizemos que

N0 e a potencia por unidade larga da banda do processo estocastico Gaussiano Branco. Alem

disso,

E(W 2(t)) = RW (0) =

∫ ∞−∞

SW (f)df =

∫ ∞−∞

N0

2df =∞.

Note que o ruıdo branco tem potencia infinita o que e fisicamente impossıvel. O modelo e util

quando se imagina que e um modelo de ruıdo na estada de um sistema fısico. Neste caso, sua

saıda

Y (t) =

∫ t

0

h(t− τ)W (τ)dτ

tem potencia media finita.

Exemplo 41.1.5. Um processo Gaussiano Branco com N0 = 10−15W/Hz e inserido em um

filtro linear invariante no tempo com resposta a impulso

h(t) =

2π106e−2π106t, t ≥ 0

0, do contrario

351

Encontre as seguintes propriedades do processo de saıda Y (t).

a) A funcao densidade espectral de potencia SY (f).

b) A funcao de autocorrelacao RY (τ).

c) A potencia media E(Y 2(t)).

a) Temos que

SX(f) =N0

2=

10−15

2W/Hz

para todo f . Por outro lado,

H(f) = Ft>0

(2π106e−2π106t

)= 2π106Ft>0

(e−2π106t

)= 2π106 1

2π106 + j2πf⇒

⇒ |H(f)|2 =2π106

2π106 + j2πf· 2π106

2π106 − j2πf=

(2π106)2

(2π106)2 + (2πf)2

Assim,

SY (f) = |H(f)|2SX(f) =(2π106)2

(2π106)2 + (2πf)2· 10−15

2.

b) Temos que

RY (τ) = F(

(2π106)2

(2π106)2 + (2πf)2· 10−15

2

)=

=π10−9

2F(

2(2π106)

(2πf)2 + (2π106)2

)=π10−9

2e−2π10−6|τ |

.

c) Temos que

E(Y 2(t)) = RY (0) =π10−9

2e−2π10−6|0|

=π10−9

2W

41.2 Exercıcios

Exercıcio 244. Um ruıdo branco Gaussiano W (t) com autocorrelacao RW (τ) = N0δ(τ) e

passado pelo filtro

h(t) =

1T, 0 ≤ t ≤ T

0, do contrario

Considerando a saıda Y (t) determine:

a) E(Y (t))

b) RWY (τ)

Exercıcio 245. SejaW (t) denotando um ruıdo branco Gaussiano estacionario no sentido amplo

com µW = 0 e SW (f) = 1.

352

a) Qual o valor de RW (f)?

b) Seja W (t) e a entrada de um filtro linear invariante no tempo

H(t) =

1, |f | ≤ B2

0, do contrario

cuja saıda e Y (t). Qual o valor de SY (f)?

c) Qual a potencia media de Y (t)?

d) Qual o valor esperado para o filtro de saıda?


Solucao do Exercıcio 244. a) Temos que µW = 0. Assim,

E(Y (t)) = µW

∫ ∞−∞

h(t)dt = 0 ·∫ ∞−∞

h(t)dt = 0.

b) Temos que

RWY (τ) =

∫ T

0

1

TN0δ(t− τ)dτ =

N0

T

∫ ∞0

δ(t− τ)dτ =

=

N0

T· 1, 0 ≤ t ≤ T

0, do contrario=

N0

T, 0 ≤ t ≤ T

0, do contrario


RW (τ) = F(SW (f)) = F(1) = δ(τ)

b) Temos que

SY (f) = |H(f)|2SX(f) = |H(f)|2 · 1 = |H(f)|2 =

1, |f | ≤ B2

0, do contrario

c) Temos que

E(Y 2(t)) =

∫ ∞−∞

SY (f)df =

∫ B

−B1df = 2B.

d) Temos que (Teorema )

E(Y (t)) = µWH(0) = 0 ·H(0) = 0.

353

Capıtulo 42

Introducao as Cadeias de Markov

42.1 Definicoes e Exemplo

Trataremos agora das cadeias de Markov de parametro discreto Xn, n ≥ 0 e estado dis-

creto E = 0, 1, 2, . . ., onde este conjunto pode ser finito ou infinito. Se Xn = i, etao a cadeia

de Markov e dita estar no estado i no tempo n.

Definicao 42.1.1. Uma cadeia de Markov de parametro discreto e caracterizada por:

P (Xn+1 = j|X0 = i0, X1 = i1, . . . , Xn = in) = P (Xn+1 = j|Xn = i)

onde P (Xn+1 = j|Xn = i) e conhecida como a probabilidade de transicao em uma etapa.

Definicao 42.1.2. Se P (Xn+1 = j|Xn = i) nao depende de n, entaoa cadeia de Markov e

dita possuir probabilidade de transicao estacionaria. Tal cadeia cadeia de Markov e dita ser

homogenea.

Seja Xn, n ≥ 0 uma cadeia de Markov homogenea com estado infinito E = 0, 1, 2, . . ..Entao

pij = P (Xn+1 = j|Xn = i), i ≥ 0, j ≥ 0

independe do valor de n. A matriz de transicao de Xn, n ≥ 0 e dada por

P = (pij) =

p00 p01 . . .

p10 p11 . . ....

......

onde,

pij ≥ 0,∞∑j=0

pij = 1, i = 0, 1, 2, . . .

354

Se E for finito, digamos E = 1, 2, . . . ,m, P tem dimensao m×m e sua matriz de transicao

e dada por

P = (pij) =

p11 p12 . . . p1m

p21 p22 . . . p2m

......

......

pm1 pm2 . . . pmm

Daremos maior enfase ao caso em E e finito.

Exemplo 42.1.3. Conferindo os registros de doacoes recebidas, a secretaria da associacao de

ex-alunos de uma universidade note-americana observa que 80% de seus ex-alunos que con-

tribuem ao fundo de associacao em um certo ano tambem contribuem no ano seguinte e que

30% dos que nao contribuem num certo ano contribuem no ano seguinte. Isto pode ser visto

como uma cadeia de Markov de dois estados: o estado 1 correspondendo a um ex-aluno que

contribuiu em um ano qualquer e o estado e correspondente a um ex-aluno que nao contribuiu

naquele ano. A matriz de transicao desta situacao e dada por

1 2

P =1

2

0, 8 0, 2

0, 3 0, 7

Note que

∑2j=1 pij = pi1 + pi2 = 1 para i = 1 e i = 2.

Poderıamos ter representado a situacao por meio do chamado diagrama de transicao:

Figura 42.1: Grafo representativo das doacoes.

O tratamento dos modelos de cadeias de Markov e baseado no fato de que a distribuicao de

probabilidade de Xn,≥ 0 pode ser computada por meio de manipulacao matricial.

Seja P = (pij) a matriz de transicao da cadeia de Markov Xn, n ≥ 0. As potencias da

matriz P sao dadas por

P 2 = PP

355

com o (i, j)-esimo elemento dado por

p(2)ij =

∑k

pikpkj.

Em geral, P n+1 = PP n, onde seu (i, j)-esimo elemento e dado por

p(n+1)ij =

∑k

pikp(n)kj .

Por fim, definimos P 0 = I.

Pode-se mostrar que

p(n)ij = P (Xn = j|X0 = i).

Seja pi(n) = P (Xn = i) e

p(n) = (p0(n), p1(n), . . . , pm(n))

onde∑m

k=1 pk(n) = 1. Entao, pi(0) = P (X0 = i) sao as probabilidades do estado inicial,

p(0) = (p0(0), p1(0), . . . , pm(0))

e chamado vetor de estado inicial, e p(n) e chamado o vetor de estado apos n transicoes, que e

a distribuicao de probabilidade de Xn. Neste caso,

p(n) = p(0)P n.

Exemplo 42.1.4. A matriz de transicao do Exemplo 42.1.3 era

P =

0, 8 0, 2

0, 3 0, 7

Nos agora iremos construir um registro futuro provavel de doacoes de um novo graduado que

nao doou no primeiro ano apos a formatura. Neste caso, p(0) = (0 1). Considerando os calculos

com tres casas decimais, temos:

p(1) = p(0)P = (0 1)

0, 8 0, 2

0, 3 0, 7

= (0, 3 0, 7)

p(2) = p(1)P = (0, 3 0, 7)

0, 8 0, 2

0, 3 0, 7

= (0, 45 0, 55)

p(3) = p(2)P = (0, 45 0, 55)

0, 8 0, 2

0, 3 0, 7

= (0, 525 0, 575)

...

p(10) = p(9)P = (0, 599 0, 401)

0, 8 0, 2

0, 3 0, 7

= (0, 600 0, 400)

356

42.2 Exercıcios

Exercıcio 246. Uma locadora de automoveis tem tres lojas de atendimento, denotadas por 1,

2 e 3. Um cliente pode alugar um carro de qualquer uma das tres lojas e devolver o carro para

qualquer uma das tres lojas. O gerente nota que os clientes costumam devolver os carros de

acordo com as seguintes probabilidades:

P =

0, 8 0, 1 0, 1

0, 3 0, 2 0, 5

0, 2 0, 6 0, 2

Encontre:

a) A probabilidade de um carro alugado na loja 3 seja devolvido na loja 2 apos uma locacao.

b) A probabilidade de um carro alugado na loja 1 seja devolvido na loja 1 apos duas locacoes.

c) Se um carro e inicialmente alugado na loja 2 encontre p(11).

Exercıcio 247. Um ratinho ocupa inicialmente a gaiola 1 (ver Figura 42.2) e e treinado para

mudar de gaiola atravessando uma porta sempre que soa o alarme. Cada vez que soa o alarme

o ratinho escolhe qualquer uma das portas presentes em sua gaiola com igual probabilidade e

sem ser afetado por escolhas anteriores. Considerando que o alarme soa uma vez a cada minuto

qual a probabilidade do ratinho estar na gaiola 3 apos quatro minutos.

Figura 42.2: Labirinto do Ratinho.

Exercıcio 248. Um jogador tem um R$ 1, 00 e a cada vez que joga ganha R$ 1, 00 com

probabilidade p > 0 ou perde R$ 1, 00 com probabilidade 1−p. O jogo termina quando o jogador

acumula R$ 3, 00 ou R$ 0, 00. Este jogo e uma Cadeia de Markov cujos estados representam a

quantia esperada de dinheiro que o jogador possui a cada vez que joga. Determine a matriz de

transicao P .

Exercıcio 249. Um guarda de transito e designado para controlar o trafego nos oito cruza-

mentos indicados na Figura 42.3. Ele e instruıdo a permanecer em cada cruzamento por 15

357

minutos e, em seguida, ou permanecer no mesmo cruzamento ou em algum adjacente. Para

evitar que ele estabeleca um padrao, ele deve escolher o novo cruzamento de maneira aleatoria,

com qualquer escolha igualmente provavel.

a) Esboce um grafo contendo as probabilidades de transicao.

b) Estude as diversas posicoes possıveis deste guarda se ele comecar no cruzamento de numero 5.

Use 3 casas decimais para o calculos. O que voce percebe ao longo de muitas horas? Qual(is)

seria(m) o(s) cruzamentos com maior probabilidade de encontramos o agente em um tempo

suficientemente grande?

Figura 42.3: Cruzamentos.


Solucao do Exercıcio 246. a) Basta tomarmos o elemento a32 da matriz de transicao, isto

e, p = a32 · 0, 6.

b) Inicialmente devemos obter p(2) em que p(0) = (1; 0; 0).

p(1) = p(0)P = (1; 0; 0) =

0, 8 0, 1 0, 1

0, 3 0, 2 0, 5

0, 2 0, 6 0, 2

⇒

p(2) = p(1)P = (0, 8; 0, 1; 0, 1)

0, 8 0, 1 0, 1

0, 3 0, 2 0, 5

0, 2 0, 6 0, 2

= (0, 69; 0, 16; 0, 15).

358

Assim, a probabilidade de uma carro que foi locado na loja 1 ser devolvido a 1 apos duas etapas

e dada por:

P (X2 = 1|X0 = 1) = 0, 69

c) Usando o Octave, temos:

p(11) = (0, 558; 0, 229; 0, 213)

Figura 42.4: Vetor de Probabilidade (Rotina em Octave)

Solucao do Exercıcio 247. Devemos obter p(4) em que p(0) = (1; 0; 0). Antes de mais nada,

devemos obter a matriz de transicao referente ao problema.

P =

0 1

212

13

0 23

13

23

0

Usando a rotina anterior (ver Figura 42.4), em Octave, temos:

p(4) = (0, 25926; 0, 37037; 0, 37037)

Por fim,

P (X4 = 3|X0 = 1) = 0, 37037.

Solucao do Exercıcio 248. A nossa matriz de transicao e dada por:

P =

1 0 0 0

1− p 0 p 0

0 1− p 0 p

0 0 0 1

em que E = 0, 1, 2, 3 e a quantia em dinheiro (estado) do jogador.

359


Figura 42.5: Cruzamentos.

b) Omitindo as contas, temos:

p(0) = (0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0)

p(1) = (0, 000; 0, 250; 0, 000; 0, 250; 0, 250; 0, 000; 0, 000; 0, 250)

p(2) = (0, 133; 0, 146; 0, 050; 0, 113; 0, 279; 0, 000; 0, 133; 0, 146)

p(3) = (0, 116; 0, 163; 0, 039; 0, 187; 0, 190; 0, 050; 0, 104; 0, 152)

p(4) = (0, 130; 0, 140; 0, 067; 0, 162; 0, 190; 0, 056; 0, 131; 0, 124)

p(5) = (0, 123; 0, 138; 0, 073; 0, 178; 0, 168; 0, 074; 0, 125; 0, 121)

p(10) = (0, 113; 0, 115; 0, 100; 0, 178; 0, 149; 0, 099; 0, 138; 0, 108)

p(15) = (0, 109; 0, 109; 0, 106; 0, 179; 0, 144; 0, 105; 0, 142; 0, 107)

p(20) = (0, 107; 0, 107; 0, 107; 0, 179; 0, 143; 0, 107; 0, 143; 0, 107)

p(22) = (0, 107; 0, 107; 0, 107; 0, 179; 0, 143; 0, 107; 0, 143; 0, 107)

A partir de 22 etapas (5, 5 horas) as probabilidades nao se modificam. Apos 5, 5 horas o

cruzamento com maior probabilidade de encontramos o agente e o 4.

360

Capıtulo 43

Cadeias de Markov - Classificacoes e

Estacionariedade

43.1 Classificacoes

Agora veremos a classificacao dos estados em uma cadeias de Markov.

Definicao 43.1.1. O caminho de i ate j e a sequencia de transicoes que comeca em i e acaba

em j, de tal modo que cada transicao da sequencia tem uma probabilidade positiva de ocorrencia.

Definicao 43.1.2. Classificacoes dos estados em uma cadeia de Markov:

i) Um estado j e dito ser alcancavel a partir de um estado i se existe algum 0 ≤ n < ∞,

p(n)ij > 0, e escrevemos i → j. Se i e j sao mutuamente alcancaveis (um a partir do outro),

entao dizemos que i e j sao comunicantes e escrevemos i ↔ j. Se todos os estados de uma

cadeia de Markov sao comunicantes, entao a cadeia de Markov e dita irredutıvel.

ii) Um estado e dito ser transiente se, entrando neste estado, o processo pode nunca retornar

novamente para este estado. Portanto, um estado i e transiente, se e somente se, existe um

estado j 6= i que e alcancavel a partir de i mas i nao e alcancavel a partir de j.

iii) Um estado i e dito recorrente se entrando neste estado, o processo nunca ira deixar este

estado.

iv) Um estado e dito absorvente se entrando neste estado, o processo nunca mais ira deixar este

estado.

v) Em uma cadeia de Markov, um conjunto F de estados e dito ser um conjunto fechado se o

processo entrar em um dos estados de F , ele ira permanecer nos estados de F indefinidamente,

ou seja, F e tal que nenhum dos estados de F e alcancavel. Se F nao possui subconjuntos

fechados, entao F e dito ser um conjunto fechado mınimo.

361

Exemplo 43.1.3. Suponha que uma cadeia de Markov possui a seguinte matriz de transicao

P :

1 2 3 4 5

P =

1

2

3

4

5

1/4 3/4 0 0 0

1/2 1/2 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 1/3 2/3 0

1 0 0 0 0

A classificacao dos estados da matriz a seguir e:

- Os estados 1 e 2 sao recorrentes.

- O estado 3 e absorvente.

- Os estados 4 e 5 sao transientes.

- Os estados 1, 2 e 3 formam um conjunto fechado.

- Os estados 1 e 2 formam um conjunto fechado mınimo.

- O estado 3 forma um conjunto (unitario) fechado mınimo.

Definicao 43.1.4. vi) Um estado i e periodico com perıodo t > 1 se um retorno a este estado

so e possıvel somente em t, 2t, 3t, . . . onde t e o maior inteiro com esta propriedade. Isso implica

que p(n)ii = 0 sempre que n nao e divisıvel por t.

Exemplo 43.1.5. Suponha que uma cadeia de Markov possui a seguinte matriz de transicao

P :

1 2 3 4

P =

1

2

3

4

1 0 0 0

0, 2 0 0, 8 0

0 0, 2 0 0, 8

0 0 0 1

O estado 2 e periodico de perıodo t = 2. Note que p

(n)22 = 0 para todo n ımpar, isto e,

comecao no estado 2, e possıvel entrar no estado 2 novamente somente nos tempos, 2, 4, 6 dots.

Definicao 43.1.6. Em uma cadeia de Markov de estado finito, estados recorrentes que sao

aperiodicos sao chamados ergodicos. Uma cadeia de Markov e dita ser Ergodica se todos os

seus estados sao ergodicos.

362

De acordo com a Definicao 43.1.6 Um estado i e dito ser ergodico se ele tem uma recorrencia

aperiodica e positiva. Em outras palavras, um estado i e ergodico se for recorrente, tem um

perıodo de 1 e tem tempo de recorrencia media finita. Se todos os estados em uma cadeia de

Markov irredutıvel sao ergodicos, entao a cadeia e ergodica.

Exemplo 43.1.7. A seguir apresentaremos os grafos de duas cadeias. Note que a primeira

cadeia e tal que o processo pode ficar no estado 1. Isso caracteriza uma aperiodicidade. Por

outro lado, a cadeia da direita e tal que seus estados tem perıodo 2 e portanto, sao periodicos.

Logo, esta cadeia nao pode ser ergodica.

Figura 43.1: Grafos - Cadeias Egodica e Nao Ergodica

43.2 Estacionariedade

Seja P a matriz de transicao de probabilidade de uma cadeia de Markov homogenea

Xn, n ≥ 0. Se existe um vetor probabilidade p tal que

pP = p

entao p e chamado de vetor estacionario da distribuicao dada pela cadeia de Markov.

Definicao 43.2.1. Uma matriz de transicao e dita regular se uma potencia positiva da matriz

tem todas as entradas positiva.

E possıvel mostrar que, se Xn, n ≥ 0 e uma cadeia de Markov regular homogenea de

estado finito com matriz de transicao P ,

limn→∞Pn = P

onde P e a matriz linhas sao identicas e iguais a p. Note que p pode ser obtido resolvendo-se

os sistema linear homogeneo

p(I − P ) = 0

onde I e a matriz identidade da mesma ordem de P .

363

Exemplo 43.2.2. Pois bem, consideremos a matriz de transicao P ,

1 2

P =1

2

0, 8 0, 2

0, 3 0, 7

Note que P e regular, pois suas entradas sao todas nao nulas. Neste caso, temos assegurado

que existe o vetor estacionario p. Pois bem,

p(I − P ) =(

0 0)⇒(p1 p2

) 1 0

0 1

− 0, 8 0, 2

0, 3 0, 7

=(

0 0)⇒

(p1 p2

) 0, 2 −0, 2

−0, 3 0, 3

=(

0 0)

Do sistema acima obtermos a seguinte relacao p1 = 32p2. Observando que p1 + p2 = 1, temos

p =(

0, 6 0, 4).

Consequentemente,

limn→∞P(n) =

0, 6 0, 4

0, 6 0, 4

.

43.3 Exercıcios

Exercıcio 250. Considerando a cadeia de Markov

P =

0, 4 0, 6 0 0 0

0, 5 0, 5 0 0 0

0 0 0, 3 0, 7 0

0 0 0, 5 0, 4 0, 1

0 0 0 0, 8 0, 2

Determine:

a) Determine, se existirem, os estados alcancaveis e os estados comunicantes.

b) Determine, se existirem, os conjuntos fechados ou fechados mınimos.

c) Determine, se existirem, os estados transientes.

d) Determine, se existirem, os estados recorrentes.

e) Determine, se existirem, os estados absorventes.

364

Exercıcio 251. Considere a matriz de transicao P

P =

0, 3 0, 2 0, 5

0, 1 0, 8 0, 1

0, 6 0 0, 4

determine limn→∞P

n.

Exercıcio 252. Considere a matriz de transicao

P =

0, 2 0, 6 0, 2

0, 1 0, 4 0, 5

0, 7 0, 2 0, 1

a) Calcule p(1), p(2) e p(3) com tres casas decimais se p(0) =

(0 0 1

).

b) Enuncie por que P e regular e encontre seu vetor estado estacionario.

Exercıcio 253. Seja P a matriz de transicao 1/2 1/2

0 1

a) Mostre que P nao e regular.

b) Mostre que, quando n cresce, p(0)P n converge para(

0 1)

para qualquer vetor inicial

p(0).

Exercıcio 254. Um camundongo e colocado numa caixa com nove compartimentos, como

mostra a figura dada. Suponha que e igualmente provavel que o camundongo passe por qualquer

uma das portas do compartimento ou que permaneca num mesmo compartimento.

Figura 43.2: Labirinto

Construa a matriz de transicao para estes problema. Ela e regular?

365

Exercıcio 255. Repita o Exercıcio 254 considerando que

- ha um buraco no compartimento 3 (entrou nao sai mais).

- ha comida no compartimento 7 dificultando que o rato saia do mesmo. Considere a proba-

bilidade de o rato permanecer no compartimento 7 sendo 4 vezes maior que sair por uma das

passagens que dao acesso a 4 e a 8. Mais precisamente, a probabilidade de o rato tomar ir para

4 e 4 vezes menor que a deste ficar em 7. O mesmo vale para tomar o caminho que da acesso

a 8.

-bloqueio na passagem que liga os compartimentos 6 e 9.


Solucao do Exercıcio 250. a) O estado 5 e alcancavel a partir do 3 usando os caminhos 3,

4 e 5 e vice-versa. Portanto sao comunicantes; Os estados 1 e 2 sao comunicantes; os estados 1

(ou 2) e 5 (ou 3 ou 4) nao sao alcancaveis.

b) Os conjuntos F1 = 1, 2 e F1 = 3, 4, 5 sao fechados mınimos.

c) Nao ha estados transientes.

d) Todos os estados sao recorrentes.

e) Nao ha estados absorventes.

Solucao do Exercıcio 251. Deixamos as contas para o leitor (esta e a unica vez que fizemos

isso em todo o material, nao erre!) 1/3 1/3 1/3

1/3 1/3 1/3

1/3 1/3 1/3

Solucao do Exercıcio 252. a) p(1) =

(0, 7 0, 2 0, 1

), p(2) =

(0, 23 0, 52 0, 25

)e

p(3) =(

0, 273 0, 396 0, 331)

.

b) P e regular pois todas as suas entradas sao positivas e p =(

22/72 29/72 21/72)

.


P n =

(12

)n0

1−(

12

)n1

n = 1, 2, . . .. Assim, nenhuma potenci inteira de P tem todas as entradas positivas.

b) Faca n→∞ na matriz

P n =

(12

)n0

1−(

12

)n1

366


P =

1/3 1/3 0 1/3 0 0 0 0 0

1/4 1/4 1/4 0 1/4 0 0 0 0

0 1/3 1/3 0 0 1/3 0 0 0

1/4 0 0 1/4 1/4 0 1/4 0 0

0 1/5 0 1/5 1/5 1/5 0 1/5 0

0 0 1/4 0 1/4 1/4 0 0 1/4

0 0 0 1/3 0 0 1/3 1/3 0

0 0 0 0 1/4 0 1/4 1/4 1/4

0 0 0 0 0 1/3 0 1/3 1/3

Solucao do Exercıcio 255. Temos o seguinte esquema:

Figura 43.3: Labirinto

Apos as consideracoes, temos:

P =

1/3 1/3 0 1/3 0 0 0 0 0

1/4 1/4 1/4 0 1/4 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0

1/4 0 0 1/4 1/4 0 1/4 0 0

0 1/5 0 1/5 1/5 1/5 0 1/5 0

0 0 1/3 0 1/3 1/3 0 0 0

0 0 0 1/6 0 0 4/6 1/6 0

0 0 0 0 1/4 0 1/4 1/4 1/4

0 0 0 0 0 0 0 1/2 1/2

A montagem das probabilidades no compartimento 7 requer atencao. Note que, a chance de

permanencia e 4 vezes maior que sair por qualquer passagem, e nao de ele apenas sair. Assim,

sendo x a probabilidade de sair para o compartimento 8, devemos ter que uma probabilidade

367

4x de permanecermos. Logo, considerando x a probabilidade de sairmos para o compartimento

4 temos:

4x+ x+ x = 1⇒ 6x = 1⇒ x =1

6.

Se, por outro lado, a probabilidade de ficar no compartimento 7 fosse 4 vezes maior que a de sair

(o que nao e o caso), terıamos, uma probabilidade x de sairmos (tanto para o compartimento 4

e 8) e 4x de ficarmos. Contudo, a chance de saıda seria a mesma para os dois compartimentos.

Assim, deverıamos ter:

4x+x

2+x

2= 1⇒ x =

1

5

A probabilidade de permanencia no compartimento 7 seria de 45

e a de saıda para cada um dos

compartimentos 4 e 8 seria 12· 1

5= 1

10.

368

Probabilidade, Estat stica e Processos Estoc asticos · Na confec˘c~ao dessa apostila tivemos o...

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