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Probabilidade II
Departamento de Estatística
Universidade Federal da Paraíba
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Característica 10/13 1 / 26
Função Característica
Vimos que a função geradora de momentos é uma ferramenta muito útil
DESVANTAGEM: A integral que define a função geradora de momentos pode,nem sempre ser finita.
Definiremos uma nova transformada que tem a vantagem de sempre existir.
As funções características são um pouco mais complicadas, dado que envolvemnúmeros complexos.
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VANTAGENS da Função Característica
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Função Característica
A função característica é finita para todas as variáveis aleatórias X e todos osnúmeros reais t .
A função de distribuição de X e em geral a função de densidade, quando existe,podem ser obtidas da função característica.
Usando as propriedades das funções características é possível demonstrarteoremas e resultados importantes da estatística.
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LEMBRANDO: Números Complexos
Variáveis Complexas: Se X e Y são variáveis aleatórias em (Ω,A ,P), entãoZ = X + iY é chamada uma variável aleatória complexa
Z é uma função definida em Ω e que assume valores complexos comZ(ω) = X(ω) + iY (ω) para ω∈Ω.
i =p−1
Seja z = x + iy um número complexo, com x e y números reais.
O valor absoluto de um número complexo é dado por |z|=p
(x2 + y2).
A distância entre dois números complexos z1 e z2 é dada por |z1− z2|.
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Função CaracterísticaDefinição 9.1: Seja X uma variável aleatória. A função característica de X é afunção ϕ :R→C definido por,
ϕX (t) =ϕ(t) = E(eitX ),
para t real (−∞< t <∞) e i =p−1.
Lembrando que eX pode ser escrita com uma expansão em série de potências.
ex = 1 + x +x2
2!+
x3
3!+ . . . +
xn
n!+ . . .
Temos então que
eitx = 1 + itx +(itx)2
2!+
(itx)3
3!+ . . . +
(itx)n
n!+ . . .
eitx = 1 + itx −(tx)2
2!−
i(tx)3
3!+
(tx)4
4!+
i(tx)5
5!− . . .
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Função Característica
eitx =
1−(tx)2
2!+
(tx)4
4!− . . .
+ i
tx −(tx)3
3!+
(tx)5
5!− . . .
Como as duas séries nesta última expressão correspondem a cos(tX) e sen(tX),segue que
eitx = cos(tX) + isen(tX)
Assim, temos que
ϕX (t) = E(eitX ) = E[cos(tX)] + iE[sen(tX)]
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Função Característica
Usando o fato de que cos(−t) = cos(t) e sen(−t) =−sen(t), temos que
e−itx = cos(tx)− isen(tx)
Assim, podemos obter
cos(tx) =eitx + e−itx
2
sen(tx) =eitx −e−itx
2i
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Função CaracterísticaEXEMPLO 9.1: A V.A. X assume os valores 1 e −1 com a mesma probabilidade.Determine a função característica de X .
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Função CaracterísticaEXEMPLO 9.2: Determine a função característica da variável aleatória X cujafunção de densidade é f (x) = ce−a|x |, −∞< x <∞, com a> 0 e c umaconstante conveniente.
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EXEMPLO 9.3:Determine a função característica de uma variável aleatória X com distribuiçãouniforme contínua no intervalo [a,b].
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Função Característica
PROPRIEDADES:
i) A função característica assume 1 no ponto 0: ϕX (0) = 1;
ii) A função característica é limitada por 1: |ϕX (t)| ≤ 1, ∀t ∈R;
iii) Para a e b constantes, ϕaX+b(t) = eitbϕX (at);
iv) Se as variáveis aleatorias X e Y são independentes então,ϕX+Y (t) =ϕX (t)ϕY (t) (vale para n variáveis);
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Função Característica
PROPRIEDADES:
v) ϕX também gera momentos:
∂ n
∂ tnϕX (t)
t=0= inE(X n), n = 1,2, . . . , se E(|X |n)<∞
vi) ϕX (t) =ϕX (−t), onde c é o compexo conjugado de c. (Sec = x + iy o seu complexo conjugado é c = x − iy ).
vii) A variável aleatória X tem distribuição simétrica em torno de zerose, e somente se, ϕX (t) é real para todo t .
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EXEMPLO 9.4:Sendo X ∼N(µ,σ2), use o resultado obtido para a função geradora demomentos para determinar sua função característica. Determine a média e avariância a partir do resultado.
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Função CaracterísticaResultados Importantes:
A função característica de uma variável aleatória X determina a função dedistribuição de X .
Já vimos a recíproca: a função característica é determinada pela função dedistribuição, pois ϕX (t) =
∫
eitx dFX (x). Como consequencia, temosFX = FY ⇔ϕx =ϕY .
Teorema 9.1: (Unicidade) Se as variáveis aleatórias X e Y têm a mesma funãocaracterística, então elas têm a mesma função de distribuição.
Esses resultados decorrem da fórmula da inversão:
f (x) =1
2π
∫ ∞
−∞e−ixtϕX (t)dt
Essa fórmula é também conhecida como transformada inversa de Fourier, dadoque ϕX (t) =
∫
eitx f (x)dx representa a transformada de Fourier da função dedensidade f (x).
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EXEMPLO 9.5:Sejam X1,X2, . . . ,Xn variáveis aleatórias independentes e indenticamentedistribuídas, seguindo o modelo Poisson de parâmetro λ. Qual a distribuição deX1 + X2 + . . . + Xn.
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EXEMPLO 9.6:Obtenha a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória cuja funçãocaracterística é ϕ(t) = cos(at), com a> 0.
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