O que são probabilidades?

• Existem dois tipos de experiências:

• Uma probabilidade é uma forma de medir as hipóteses que um dado acontecimento tem de ocorrer. As probabilidades interessam-se pelas experiências aleatórias!

Aleatórias Deterministas

Quando, à partida, não sabemos o resultado.

Exemplos: Lançamento de uma moeda, totoloto, extração de uma

carta, etc..

Quando, à partida, já conhecemos o resultado.

Exemplos: furar um balão cheio, deixar cair um prego num copo de

água, etc..

Espaço de resultados• O espaço de resultados ou espaço amostral é o conjunto de todos os

resultados possíveis de uma experiência aleatória.

Representa-se por E, S ou Ω.

• Exemplo: Lançamento de um dado

Espaço amostral = E= 1,2,3,4,5,6

Acontecimentos• Um acontecimento é um subconjunto do espaço amostral.• Um acontecimento identifica-se como o conjunto dos seus casos

favoráveis.

Tipos de Acontecimentos

Elementares: quando só tem um elemento. Exemplo:

Experiência: Lançamento de um dado E = 1,2,3,4,5,6

A: “sair número 3”A=3

Compostos: quando tem mais que um elemento.Exemplo:

Experiência: Lançamento de um dado E = 1,2,3,4,5,6

B: “sair número ímpar”B=1,3,5

Tipos de acontecimentos

Equiprováveis/Igualmente prováveis: têm a mesma probabilidade de acontecer.

Exemplo: Experiência: Lançamento de um dado

E = 1,2,3,4,5,6 C: “sair número par”

D: “sair número ímpar”C e D são equiprováveis!

Certos: verificam-se sempre.Experiência: Lançamento de um dado

E = 1,2,3,4,5,6E: “sair número inteiro positivo inferior a 7”

E= 1,2,3,4,5,6

Impossíveis: nunca se verificam.Experiência: Lançamento de um dado

E = 1,2,3,4,5,6F: “Sair número inteiro positivo superior a 7”

F=

Lei de Laplace• A probabilidade de realização de um acontecimento A é igual ao

quociente entre o número de casos favoráveis à sua realização e o numero total de casos possíveis.

Simon Laplace

Nasceu em Beaumont-en-Auge, a 23 de março de 1749 e morreu em Paris, a 5 de março de 1827. Foi um matemático, astrónomo e físico francês que, entre outras criações, fundou a Lei de Laplace.

• Propriedade 1: A probabilidade de um acontecimento impossível é 0 ou 0%.

• Propriedade 2: A probabilidade de um acontecimento certo é 1 ou 100%.

• Propriedade 3: Em qualquer experiência, a probabilidade de um acontecimento A é um número maior ou igual a 0 mas menor ou igual a 1, ou seja: Se A é um acontecimento impossível, mas não certo: 0P(A)1.

• Propriedade 4: Quando dois acontecimentos A e B não podem ocorrer ao mesmo tempo: P(A ou B) = P(A) + P(B).

Algumas propriedades que deves ter em conta no estudo das probabilidades:

Lei dos Grandes Números

• Para um grande número de experiências, a frequência relativa de um acontecimento A é um valor aproximado da sua probabilidade.

• Assim:

P(A) ≈ Frequência relativa de A

• Sendo assim, podemos supor que, por exemplo:

- se lançarmos uma moeda ao ar 500 vezes e em 400 dessas vezes obtermos face nacional, podemos considerar que a moeda esteja viciada.

Esquemas auxiliares de contagemTabela de dupla entrada

Só serve no caso de haver apenas dois objetos (moedas, dados, bolas, piões...).

Exemplo: lançamento consecutivo de dois dados.

Diagrama de árvore

Servem para qualquer numero de bolas, dados , moedas ou outros objetos, embora por vezes se torne difícil de desenhar.

Exemplo: lançamento consecutivo de duas moedas ao ar.

Diagrama de VennPor exemplo, temos uma escola com 120 estudantes, em que:

50 praticam andebol (A);

60 praticam natação (B);

40 praticam andebol e natação;

os restantes não praticam desporto nenhum.

4010 20

50-40=10Corresponde aos alunos que só praticam andebol.

Corresponde aos alunos que praticam os dois desportos.

60-40=20Corresponde aos alunos que só praticam natação.

120-(10+40+20)=50Corresponde aos alunos que não praticam desporto nenhum.

50