Exercícios Probabilidades e Estatística

PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA

CADERNO DE EXERCÍCIOS

2011/2012

PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA – 2011/2012

ÍNDICE

FICHA 1............................................................................................................................................3

Estatística Descritiva..........................................................................................................3

FICHA 2..........................................................................................................................................11

Álgebra......................................................................................................................................11

Álgebra de Acontecimentos e Probabilidades Simples...........................11Probabilidades Condicionadas................................................................................17Teoremas de Bayes e da Probabilidade Total...............................................17

FICHA 3..........................................................................................................................................20

Variáveis Aleatórias Unidimensionais....................................................................20

Variáveis Aleatórias Bidimensionais.......................................................................29

FICHA 4..........................................................................................................................................34

Distribuições Teóricas Discretas...............................................................................34

FICHA 5..........................................................................................................................................45

Distribuições Teóricas Contínuas..............................................................................45

FICHA 6..........................................................................................................................................53

Inferência Estatística........................................................................................................53

Intervalos de confiança...............................................................................................53Testes de hipótese.........................................................................................................59

2


FICHA 1 Estatística Descritiva

1. Indicar quais das seguintes variáveis são discretas e quais são contínuas1.1. Valor do PIB nacional.

R: Variável continua

1.2. Produtividade média do girassol de regadio no Alentejo.R: Variável continua

1.3. Número de sapatos de um dado tamanho nas sapatarias de Santarém.

R: Variável discreta

1.4. Efectivo militar em Trás-os-Montes.R: Variável discreta

1.5. Número médio de pontos por jogador numa dupla de voleibol de praia num determinado torneio.

R: Variável discreta

1.6. Toneladas de tomate que chegam por dia a uma fábrica.R: Variável continua

1.7. Número médio de sobreiros nas explorações de montado do Alentejo.

R: Variável continua

2. No quadro seguinte apresenta-se o absentismo dos 50 colaboradores de uma empresa de serviços, registado durante o período de um ano (foram excluídas as faltas por motivos justificáveis).

6 4 4 6 0 6 5 13 11 64 3 3 11 4 4 8 4 7 78 6 6 5 6 6 8 3 3 66 1 0 10 6 3 3 2 3 22 3 1 8 6 2 2 3 2 0

2.1. Sendo X a variável em causa, como pode defini-la? E como a classifica?Definição: X — nº de dias de absentismo dos colaboradores da empresa de serviços;Classificação: é uma variável discreta.

2.2. Organize os dados num quadro de distribuição de frequências, com as frequências observadas, relativas e acumuladas.

i - é o índice do grupo de valores;x - é cada um dos valores que a variável pode tomar;i = 1 significa “o primeiro valor da variável” e esse valor é “x = 0”

i x Fi fi CumFi Cumfi

1 0 3 0,06 3 0,062 1 2 0,04 5 0,13 2 6 0,12 11 0,224 3 9 0,18 20 0,45 4 6 0,12 26 0,526 5 2 0,04 28 0,567 6 12 0,24 40 0,88 7 2 0,04 42 0,849 8 4 0,08 46 0,92

10 9 0 0 46 0,9211 10 1 0,02 47 0,94

3

Do x21 até ao x26 todos valem 4

De i até i = 4


12 11 2 0,04 49 0,9813 12 0 0 49 0,9814 13 1 0,02 50 1

2.3. Determine a proporção de empregados que faltaram mais de 3 dias por ano.

Proporção de colaboradores que faltaram mais de 3 dias/ano = 1- Cumf4 = 1 – 0,4 = 0,6.Cumf4 ► é a proporção de indivíduos que faltaram desde i = 1 até i = 4, isto é, desde x = 0 até x = 3 que significa de 0 a 3 dias de faltas. Se à totalidade (100% ou “1”) for retirado Cumf4 ficamos com a proporção dos que faltaram mais de 3 dias.

2.4. Calcule e diga o respectivo significado de , , .

(número de colaboradores que faltaram até 3

vezes, inclusive. Repare-se que i = 4 corresponde a x = 3);

(númer

o de colaboradores com 5 ou mais faltas. Repare-se que i = 6 corresponde a x = 5);

(proporção de colaboradores. que faltaram

até 4 vezes, inclusive);

2.5. Construa o diagrama de barras e o gráfico de frequências relativas acumuladas

Diagrama de barras:

Gráfico de frequências relativas acumuladas:

2.6. Calcule a média, o desvio padrão e o coeficiente de variação.Média:

faltas;

4


Desvio padrão:

faltas

faltasCoeficiente de variação:

2.7. Determine a mediana algébrica e graficamente.

(ver gráficos)

2.8. Determine a moda, o 20º percentil, o 9º decil e o 3º quartil.Moda:

► é o número que mais ocorre;20º Percentil:

► é inteiro

9º Decil: ► é inteiro

3º Quartil: ► é inteiro

3. Os rendimentos médios mensais (€) de 48 famílias do sector do calçado estão registados no quadro seguinte.

999 121 870 136 133 134 148 830 986 126126 122 126 826 865 127 125 848 117 145119 956 134 143 823 139 135 124 868 126800 133 123 133 935 950 113 905 137 923896 126 847 921 146 800 871 123

3.1. Construa o quadro de distribuição de frequências.O primeiro passo para construção do quadro de distribuição de frequências é definir o número de classes. Para isso vamos usar a expressão da regra de Sturges.

Número de classes ►

Assim, o número de classes será, em princípio, 6 ou 7.Analisando os dados verificamos que a amplitude dos mesmos é:

Amplitude dos dados Ao estabelecer o número de classes e ao atribuir a cada classe uma dada amplitude definimos um intervalo onde todos os nossos valores deverão estar dentro. Se a nossa amplitude de dados é de 685 então o intervalo resultante da definição das classes terá que ter uma amplitude sempre maior que a anterior. Devemos, tanto quanto possível, criar classes que tenham uma amplitude “simpática”, facilmente manipulável, cujo centro seja também um valor “amigável” (ver diapositivos 27 a 29 da apresentação 1). Assim, e analisando os nossos dados, podemos verificar que, se usarmos 7 classes com amplitude de 100 unidades cada, criamos um intervalo com amplitude de 700 (maior que 685). Se a primeira classe começar em 790 [valor inferior ao menor valor dos dados (800)] a última classe acaba em 1.490 [valor superior ao maior valor dos dados (1.485)]. As classes terão assim valores com os quais é “simpático” trabalhar.

5

Ver diapositivos 47 e 48 da

apresentação


Classe i Fi fi CumFi Cumfi

[790 , 890[ 11 0,229 11 0,229[890 , 990[ 8 0,167 19 0,396[990 , 1090[ 1 0,021 20 0,417

[1090 , 1190[

2 0,042 22 0,458[1190 , 1290[

13 0,271 35 0,729[1290 , 1390[

8 0,167 43 0,896[1390 , 1490[

5 0,104 48 1,000

3.2. Represente graficamente os dados através de um histograma, do polígono de frequências e do gráfico das frequências relativas acumuladas.

Histograma e polígono de frequências:

Gráfico das frequências relativas acumuladas:

3.3. Determine a média e a variância dos dados simples.Para dados simples vamos trabalhar com os 48 dados tal qual:Média:

Variância:

3.4. Determine a média, a mediana, a moda e a variância dos dados agrupados.

Para trabalhar com dados agrupados temos que partir do pressuposto de que, dentro de cada classe, os valores se encontram distribuídos uniformemente. Partindo desse pressuposto resulta que, a média dos valores de cada classe, é o valor médio dessa classe. Assim, temos:

Classe i Fi fi Ci

6


[790 , 890[ 11 0,229 840[890 , 990[ 8 0,167 940

[990 , 1090[

1 0,021 1040[1090 , 1190[

2 0,042 1140[1190 , 1290[

13 0,271 1240[1290 , 1390[

8 0,167 1340[1390 , 1490[

5 0,104 1440Média:

Mediana:

► Fronteira inferior da classe que contém a mediana

► Frequência acumulada da classe anterior à classe que contém a mediana

► Amplitude do intervalo de classe que contém a mediana ► Número de observações da classe que contém a mediana

Moda:

Variância:

3.5. Classifique a distribuição em termos de assimetria.

Esta distribuição é assimétrica negativa.

4. Obteve-se uma amostra de 200 indivíduos e registou-se a sua altura, tendo-se procedido à sua distribuição em classes, como consta no seguinte quadro:

Altura (cm) N.º Indivíduos[148,5 ,

155,5[4

[155,5 , 162,5[

12[162,5 , 169,5[

44[169,5 , 176,5[

64[176,5 , 183,5[

56[183,5 , 190,5[

16[190,5 , 197,5[

4

4.1. Classifique a variável e defina-a.X ► Altura dos indivíduos; é uma variável contínua.

4.2. Determine as frequências relativas e as frequências relativas acumuladas.Classe

iAltura (cm) N.º Indivíduos

(Fi)fi CumFi Cumfi Ci

1 [148,5 ; 155,5[

4 0,02 4 0,02 1522 [155,5 ;

162,5[12 0,06 16 0,08 159

3 [162,5 ;169,5[

44 0,22 60 0,30 1664 [169,5 ;

176,5[64 0,32 124 0,62 173

7


5 [176,5 ; 183,5[

56 0,28 180 0,90 1806 [183,5 ;

190,5[16 0,08 196 0,98 187

7 [190,5 ; 197,5[

4 0,02 200 1 194

4.3. Qual a proporção de indivíduos com altura inferior a 176,5 cm? Qual a altura máxima correspondente aos 30 % de indivíduos mais baixos?

Proporção de indivíduos com altura inferior a 176,5 cm ► (como neste caso 176,5 é extremo da classe, não é preciso interpolação).Altura máxima correspondente aos 30% de indivíduos mais baixos ► Percentil 30 ►

4.4. Construa o histograma e o polígono de frequências.

4.5. Calcule a média e o desvio padrão dos dados agrupados.Média:

Desvio padrão:

►

4.6. Construa o diagrama de extremos e quartis.Para fazer o diagrama de extremos e quartis há que calcular Q1, Q2 (ou mediana) e Q3.

► Fronteira inferior da classe que contém a mediana

► Frequência acumulada da classe anterior à classe que contém a mediana

► Amplitude do intervalo de classe que contém a mediana ► Número de observações da classe que contém a mediana

Os valores máximo e mínimo (como não temos os dados originais) são os extremos do intervalo das classes.

8

Polígono de frequências

Histograma


4.7. A distribuição é simétrica?

Esta distribuição é assimétrica negativa.5. O conjunto de dados {69, 85, 75, 89, 73, 61, 62, 75, 98, 63} é uma amostra que representa as

classificações percentuais de 10 estudantes num teste de estatística. Determine:61 62 63 69 73 75 75 85 89 98

5.1. A média, a mediana e a moda desta amostra;Média:

Mediana:

Moda:

5.2. O desvio absoluto médio, a variância e o desvio padrão;Desvio médio:

Variância:

Desvio padrão

5.3. O coeficiente de variação;

5.4. O coeficiente de assimetria;

, Distribuição muito ligeiramente

assimétrica positivaOu:

5.5. O coeficiente de curtose.

► , Parte inteira deste produto

► , Parte inteira deste produto

► , k é inteiro

► , k é inteiro

9

Ver diapositivos 48 e 65 da

Apresentação


6. Numa série de 31 medições de temperaturas diárias no mês de Março obteve-se uma média de 20º C e um desvio padrão de 6º C. Depois destes resultados obtidos chegou-se à conclusão que uma das temperaturas diárias estava enganada, a qual foi registada com o valor de 32º C. Determine a média e o desvio-padrão, admitindo que se omite a temperatura incorrecta.Média:

Desvio padrão:

7. A produção por talhão de 10 variedades de ervilhas para congelar foi a seguinte:

21, 18, 30, 12, 14, 17, 28, 10, 16, 25 kgCada talhão tinha a mesma área e a mesma densidade de plantas. Determinar:

7.1. Média, mediana e a moda.Dados ordenados: 10, 12, 14, 16, 17, 18, 21, 25, 28, 30Média:

Mediana:

Moda:Não tem

7.2. Variância, desvio padrão e coeficiente de variação.Variância:

Desvio padrão:

Coeficiente de variação:

10


FICHA 2 Álgebra

Álgebra de Acontecimentos e Probabilidades Simples

1. Uma caixa contém 5 lâmpadas das quais 2 são defeituosas. As lâmpadas defeituosas estão numeradas de 1 a 2 e as boas estão numeradas de 3 a 5. Extraem-se 2 lâmpadas ao acaso, sucessivamente sem reposição (experiência I) e com reposição (experiência II).1.1. Enumere os acontecimentos elementares do espaço de

resultados associado a cada uma das experiências.Sem reposição (experiência I):

L1 1 2 3 4 5L2

1 (1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1)2 (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2)3 (1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3)4 (1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4)5 (1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5)

Com reposição (experiência II):L1 1 2 3 4 5

L2

1 (1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1)2 (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2)3 (1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3)4 (1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4)5 (1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5)

1.2. Defina no espaço de resultados de cada experiência, os acontecimentos adiante indicados:

A1 - “saída de uma lâmpada defeituosa na 1ª tiragem”;A2 - “saída de uma lâmpada defeituosa na 2ª tiragem”;A3 - “saída de duas lâmpadas defeituosas”;A4 - “saída de pelo menos uma lâmpada defeituosa”;A5 - “saída de exactamente uma lâmpada defeituosa”;A6 - “saída de uma soma de números inscritos nas lâmpadas inferior a

sete”.Sem reposição (experiência I):

Com reposição (experiência II):

11


2. As peças que saem de uma linha de produção são marcadas defeituosas (D) ou não defeituosas (N). As peças vão sendo inspeccionadas e registadas, procedendo-se a uma paragem quando se obtenham duas peças defeituosas consecutivas ou quando se tenham registado quatro peças.Descreva o espaço de resultados desta experiência.Podemos facilitar esta tarefa construindo um esquema em árvore:

3. Considere a experiência aleatória que consiste no lançamento de dois dados perfeitos, um vermelho e outro verde.3.1. Defina o espaço de resultados desta experiência enumerando os acontecimentos

elementares que o compõem;Vermelh 1 2 3 4 5 6Verde1 (1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1)2 (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2)3 (1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3)4 (1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4)5 (1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5)6 (1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)

3.2. Defina no espaço de resultados os seguintes acontecimentos:A - “a soma dos resultados é sete”;B - “os resultados observados são ímpares”;C - “o produto dos resultados é 12”.

4. (Gama 5 pág. 137) Quantos são os códigos de 4 algarismos diferentes que se podem formar com os algarismos “1”, “2”, “3” e “4” e em que:4.1. Apareça o grupo “42” (isto é, o “4” apareça sempre

imediatamente antes do “2”)?A posição do “4” só pode ser nas 3 primeiras casas para que “2” possa estar após o “4”.

4 24 2

4 2Para cada “42” podem ter-se duas combinações: 1,3 e 3,1. Logo 3×2=6, então podemos ter 6 códigos.

4.2. O “1” apareça junto do 3 em qualquer ordem, (isto é, imediatamente antes ou depois do “3”)?

A posição do “3” relativamente ao “1” pode ser antes ou depois dele.1 33 1

1 3

12


3 11 33 1

Para cada “13” ou “31” podem ter-se duas combinações: 2,4 e 4,2. Logo 6×2=12, então podemos ter 12 códigos.

5. Sejam A1 e A2 dois acontecimentos, tais que:A1 - “realiza-se quando um automobilista, escolhido ao acaso numa bomba

de gasolina, verifica o ar dos pneus”;A2 - “realiza-se quando um automobilista, escolhido ao acaso numa bomba

de gasolina, verifica o óleo do motor”.5.1. Exprima em função deles os seguintes acontecimentos:

A - “realiza-se quando um automobilista não verifica o ar dos pneus”;B - “realiza-se quando um automobilista verifica o ar dos pneus ou o

óleo do motor”;C - “realiza-se quando um automobilista não verifica o ar dos pneus

nem o óleo do motor”;D - “realiza-se quando um automobilista não verifica o ar dos pneus ou

verifica o óleo do motor”;E - “realiza-se quando um automobilista verifica o ar dos pneus e não

verifica o óleo do motor”;F - “realiza-se quando um automobilista verifica o óleo do motor e não

verifica o ar dos pneus”;G - “realiza-se quando um automobilista verifica uma e uma só das duas”.

5.2. Os acontecimentos E e F são incompatíveis?R: Sim E e F são incompatíveis, pois não interceptam

5.3. Exprima o acontecimento G em função de E e F.R:

6. (Gama 3 pág 137) Considere o seguinte espaço amostral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e os acontecimentos: A = {1, 2, 7}; B = {2, 3, 4}; C = {6}, Determine:6.1. ;

R:

6.2. ;R:

6.3. ;R:

6.4. ;R:

6.5. ;R:

6.6. ;

13


R:

7. (Gama 11 pág. 138) Considere um dado desequilibrado em que o “5” e o “6” ocorrem o dobro das vezes do “4” que, por sua vez, ocorre o triplo das vezes do “1”, do “2” ou do “3”. Se se lançar o dado uma vez, qual a probabilidade do resultado obtido ser:P(5) = P(6) = 2 x P(4)P(4) = 3 x P(1) = 3 x P(2) = 3 x P(3)P(1) = P(2) = P(3)Como P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1 podemos escrever queP(1) + P(1) + P(1) + 3 x P(1) + 2 x 3 x P(1) + 2 x 3 x P(1) = 1 18 x P(1) = 1 P(1)

= 1/18P(1

)P(2

)P(3

)P(4

)P(5

)P(6

)1/18 1/18 1/18 3/18 6/18 6/18

7.1. Um número par;P (sair par) = P(2) + P(4) + P(6) = 10/18 = 5/9

7.2. Um número maior que 3;P (sair maior que 3) = P(4) + P(5) + P(6) = 15/18 = 5/6

7.3. Um quadrado perfeito.P (sair um quadrado perfeito) = P(1) + P(4) = 4/18 =2/9

8. Num lago existem 10 caracóis aquáticos da espécie X, 15 da espécie Y e 50 da espécie Z. Os caracóis foram capturados um de cada vez para inspecção.

P(X) = 10/75; P(Y) = 15/75; P(Z) = 50/758.1. Se depois da inspecção cada caracol for devolvido ao lago,

calcular a probabilidade de, em 2 capturas sucessivas:Com devolução:8.1.1. Os 2 caracóis serem da espécie X.

P(X, X) = 10/75 × 10/75 = 100/5625 = 0,02

8.1.2. Um caracol ser da espécie X e outro da espécie Z.P(1 da espécie X e outro da espécie Z) = P(X, Z) + P(Z, X) == 10/75 × 50/75 + 50/75 × 10/75 = 1.000/5.625 = 0,18

8.2. Se o caracol não for devolvido ao lago depois da captura, calcular a probabilidade de, em 2 capturas sucessivas:Sem devolução8.2.1. Os 2 caracóis serem da espécie X.

P(X, X) = 10/75 × 9/74 = 90/5550 = 0,016

8.2.2. Um caracol ser da espécie X e outro da espécie Z.P(1 da espécie X e outro da espécie Z) = P(X, Z) + P(Z, X) == 10/75 × 50/74 + 50/75 × 10/74 = 1000/5550 = 0,18

8.3. Qual a probabilidade de, numa captura, obter um caracol da espécie X ou Y?

P(XY) = P(X) + P(Y) = 10/75 + 15/75 = 1/3

9. Um gerente de um restaurante admite que todos os clientes terão, no fim da refeição, ou fruta, ou queijo, ou ainda café, ou qualquer combinação e que a probabilidade de terem fruta é de 0,7, fruta e queijo 0,25, queijo e café 0,35 e fruta e café 0,5. Sabe também que a probabilidade de terem fruta ou queijo é 0,9 e de terem fruta ou café é de 0,95. Calcular a proporção de clientes que terão:

14


0,70 0,25 0,35 0,50 0,90 0,95

Sabe-se também que:P(FCQ) = P(F) + P(Q) + P(C) – P(FQ) – P(QC) – P(FC) + P(FQC) = 1 ◄ todos

9.1. Queijo ou café;P(FQ) = P(F) + P(Q) – P(FQ) = 0,9 P(Q) = 0,9 – P(F) + P(FQ) Q) = 0,9 – 0,7 + 0,25 = 0,45P(FC) = P(F) + P(C) – P(FC) = 0,95 P(C) = 0,95 – P(F) + P(FC) Q) = 0,95 – 0,7 + 0,5 = 0,75P(QC) = P(Q) + P(C) – P(QC) = 0,45 + 0,75 – 0,35 = 0,85

9.2. Fruta, queijo e café;P(FCQ) = P(F) + P(Q) + P(C) – P(FQ) – P(QC) – P(FC) + P(FQC) = 1 P(FQC) = 1 – [P(F) + P(Q) + P(C) – P(FQ) – P(QC) – P(FC)] P(QC) = 1 – [0,7 + 0,45 + 0,75 – 0,25 – 0,35 – 0,5] = 0,20

9.3. Apenas café.P (apenas café) = P(C) – P(QC) – P(FC) + FQC) = 0,75 – 0,35 – 0,5 +

0,20 = 0,1

10. Sejam A e B dois acontecimentos independentes tais que P(A)=0,4 e P(B-A)=0,18.10.1. Represente os acontecimentos através de um diagrama de Venn.

P(AB)=P(A)×P(B)

10.2. Determine P(B).P(AB) = P(A) + P(B-A) = 0,4 + 0,18 = 058P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) = 058 0,4 + P(B) – 0,4 × P(B) = 058 P(B) × (1 – 0,4) = 0,58 – 0,4 P(B) = 0,18 / 0,6 = 0,3

11. Sejam A, B e C três subconjuntos de , tal que A e B são independentes e A e C são incompatíveis. Seja P(A) = 0,2 , P(B) = 0,4 e P(C) = 0,45.11.1. Represente através de um diagrama de Venn o espaço de

resultados . Sabendo que P(BC) = 0,1, calcule a probabilidade de um elemento de escolhido ao acaso:

Não esquecer que A e B são independentes e portanto P(AB)=P(A) × P(B)

15


11.2. Pertencer a pelo menos um dos subconjuntos;P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(BC) = 0,2 + 0 4 + 0,45 – 0,2 x 0,4 –

0,1 = 0,87

11.3. Pertencer exclusivamente a B;P (pertence exclusivamente a B) = P(B) – P(AB) – P(BC) = 0,4 – 0,08 – 0,1 = 0,22

11.4. Pertencer a A sabendo que pertence a B;P(A|B) = P(AB)/P(B) = 0,08/0,4 = 0,2 = P(A)Como se pode ver P(A|B) = P(A). Como se sabia A e B são

independentes.

11.5. Pertencer a C sabendo que pertence a B.P(C|B) = P(CB)/P(B) = 0,1/0,4 = 0,25

12. (Gama 14 pág 138) Num colégio com 100 alunos, 42 estudam Matemática, 68 Psicologia, 54 História, 22 simultaneamente Matemática e História, 25 simultaneamente Matemática e Psicologia, 7 História mas nem Matemática nem Psicologia, 10 estudam as três disciplinas. Escolheu-se um aluno ao acaso:A construção do diagrama de Venn é, nestes casos, muito útil. Para isso devem ser representados os conjuntos definidos no enunciado com as respectivas intercepções (caso seja dito que há incompatibilidade entre dois deles, essa intercepção não é representada). Cada uma das regiões definidas corresponde a um grupo muito concreto. Por exemplo, a região correspondente à intercepção das três disciplinas quer dizer que os alunos em questão têm as três disciplinas e no enunciado é dito que são “10”. É também referido que 22 alunos estudam simultaneamente Matemática e História: ora já é sabido que 10 alunos estudam Matemática e História (mas estudam também Psicologia) mas há, pelos vistos, mais 12 que só estudam aquelas duas disciplinas. Há 25 alunos que estudam simultaneamente Matemática e Psicologia. De novo, é sabido que 10 alunos estudam Matemática e Psicologia (mas estudam também História) mas há, pelos vistos, mais 15 que só estudam aquelas duas disciplinas.É este o tipo de raciocínio que tem que ser feito para se chegar a construção do diagrama de Venn que vem a seguir.

12.1. Qual é a probabilidade desse aluno estudar Matemática ou História?P(MH) = (5 + 15 + 12+ 10 + 7 + 25)/100 = 0,74

12.2. Se esse aluno estudar Psicologia, qual é a probabilidade de estudar as outras duas disciplinas?P(MH|P) = P(MHP)/P(P) = (10/100)/(54/100) = 0,185

12.3. Se esse aluno não estudar Psicologia, qual é a probabilidade de estudar as outras duas disciplinas?P(MH|P) = P(MHP)/P(P) = (12/100)/(32/100) = 0,375

16


12.4. Se esse aluno estudar Matemática, qual é a probabilidade de também estudar as outras duas disciplinas?P(PH|M) = P(PHM)/P(M) = (10/100)/(42/100) = 0,238

12.5. Qual é a probabilidade desse aluno estudar Matemática e também as outras duas disciplinas?P(MHP) = 10/100 = 0,1

12.6. Se esse aluno estudar História, qual é a probabilidade de estudar Matemática mas não estudar Psicologia?P(MP|H) = P(MPH)/P(H) = (12/100)/(54/100) = 0,2222

13. (Gama 16 pág. 138) Considere a experiência que consiste em lançar, dois dados e registar o número saído em cada um deles.13.1. Se um dos dados mostrar "6":

Subconjunto dos pares em que num dos dados há um “6”:6 = {(1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5)}

13.1.1. Qual é a probabilidade do outro mostrar "5"?P (um dado ter 5 | outro dado tem 6) = 2/11

13.1.2. Qual é a probabilidade da soma dos números saídos em ambos ser menor do que 9?

P (soma < 9 | um dado tem 6) = 4/11

13.2. Se a soma dos números saídos for 9, qual a probabilidade de um dos dados mostrar “4”?Subconjunto dos pares em que num dos dados há um “9”:Ʃ6 = {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)}P (um dado ter 4 | soma dos dados é 9) = 2/4 = 1/2

Probabilidades CondicionadasTeoremas de Bayes e da Probabilidade Total

14. Uma loja de brinquedos emprega 3 senhoras para fazerem embrulhos durante a época de Natal. Raquel embrulha 30% dos presentes e esquece-se de tirar o preço 3% das vezes; Helena embrulha 20% dos presentes e esquece-se de tirar o preço 8% das vezes; Joana, que embrulha os restantes presentes, esquece-se 5% das vezes de tirar o preço. Suponha que tinha ido a essa loja verificando, em casa, que o seu presente tinha preço.

P(R) = 0,30 P(H) = 0,20 P(J) = 1 – (0,30 + 0,20) = 0,50P(P|R) =

0,03P(P|H) =

0,08P(P|J) = 0,05

14.1. Calcule a probabilidade de ter sido embrulhado pela Joana.P(J|P) = [P(P|J) × P(J)] / P(P) = [0,05 × 0,50] / 0,05 = 0,50Calcula-se primeiro P(P):P(P) = P(R) × P(P|R) + P(H) × P(P|H) + P(J) × P(P|J) = = 0,30 × 0,03 + 0,20 × 0,08 +0,50 × 0,05 = 0,05

14.2. Qual a empregada que mais provavelmente o terá embrulhado?Faz-se o mesmo tipo de cálculo para a Raquel e para a Helena e obtém-se:P(R|P) = 0,32; P(H|P) = 0,18. Como para a Joana tínhamos P(J|P) = 0,50, logo

é a Joana.

15. Um agricultor produz sementes de uma leguminosa em 3 campos distintos A, B e C; em A produz 12% das sementes, em B 30% e as restantes em C. Para que possam ser homologadas para comercialização não podem apresentar mais que uma determinada percentagem de impurezas e de sementes de infestantes. Sabe-se por

17


amostragem que 2% dos sacos de sementes provenientes de A, 3% dos provenientes de B e 5% dos provenientes de C são rejeitados.

P(A) = 0,12 P(B) = 0,30 P(C) = 1 – (0,12 + 0,30) = 0,58P(R|A) =

0,02P(R|B) =

0,03P(R|C) = 0,05

15.1. Qual a probabilidade de um saco escolhido ao acaso ser recusado.P(R) = P(A) × P(R|A) + P(B) × P(R|B) + P(C) × P(R|C) == 0,12 × 0,02 + 0,30 × 0,03 + 0,58 × 0,05 = 0,0404;

15.2. Se posteriormente se retirar um saco e se verificar que é para recusar determine a probabilidade de ser proveniente do campo B.P(B|R) = [P(R|B) × P(B)] / P(R) = [0,03 × 0,30]/0,0404 = 0,223

16. Um comerciante recebe ovos de 3 proveniências: A, B e C, segundo as seguintes percentagens:

A – 10%, B – x%, C – y%16.1. A percentagem de ovos estragados varia segundo as

proveniências e sabe-se que, dos ovos provenientes de A, 5% são estragados; dos ovos provenientes de B, 10% são estragados; dos ovos provenientes de C, 15% são estragados.

16.2. Por outro lado sabe-se que 12% do total dos ovos recebidos pelo comerciante são estragados. Calcular x e y.

P(A) = 0,10 P(B) = x P(C) = yP(E|A) =

0,05P(E|B) =

0,10P(E|C) =

0,15P(E) = 0,12

Como temos 2 incógnitas vamos resolver por um sistema. Quais são as equações do sistema? Uma, é a expressão de cálculo da probabilidade total de “estragados”, a outra é a soma das percentagens de ovos por proveniência que terá de somar 100%.

P(B) = 0,40 e P(C) = 0,50

17. (Gama 19 pág. 139) A e B são fornecedores de um artigo a uma empresa transformadora que o armazena num contentor. Sabe-se que 5% dos artigos de A e 9% dos artigos de B são defeituosos, razão pela qual A fornece à referida empresa transformadora o quádruplo de B.Foi escolhido ao acaso um dos artigos do contentor e verificou-se que não é defeituoso. Qual é a probabilidade de ter sido fornecido por A?

e ; logo e .

e assim sendo

Então:, logo

E assim:

18. (Gama 23, adaptado, pág. 139) Há um saco preto que contém 9 bolas coloridas, sendo 1 bola branca, 1 amarela, 1 azul, 2 verdes, 2 vermelhas e

18


2 castanhas. Retiraram-se 3 bolas sucessivamente do saco e registou-se a cor de cada uma. Determine:18.1. A probabilidade de, pelo menos, uma das 3 bolas ser vermelha,

sabendo que a experiência foi realizada com reposição.P (pelo menos uma V) = 1 – P (nenhuma V) = 1 – P (NNN) = 1 – (7/9)3 = 1 –

0,471 = 0,529

18.2. A probabilidade de, exactamente, uma das 3 bolas ser vermelha sabendo que a experiência foi realizada sem reposição.P (exactamente uma ser V) = P (VNN) + P (NVN) + P (NNV) = 3 × P (VNN)

== 3 × 2/9 × 7/8 × 6/7 = 0,5

19. Uma empresa recebe diariamente leite de 3 distritos diferentes. Ao chegar cada entrega o produto é classificado de acordo com a qualidade em regular (R), bom (B) e extra (E). Determinar a origem mais provável de um lote recentemente entregue sabendo que é de qualidade extra e que as classificações até à data são:

Distritos

Total entregue (l)

Quantidade (l)R B E

1 1 000 000 200 000

500 000 300 0002 3 000 000 500

0002 000 000

500 0003 2 500 000 600

0001 500 000

400 000

P(1|E) = 300 000 / 1 200 000 = 3/12P(2|E) = 500 000 / 1 200 000 = 5/12P(3|E) = 400 000 / 1 200 000 = 4/12A origem mais provável do lote é o distrito 2.

20. (Gama 20 pág. 139) Numa sala estão três caixas iguais, numeradas de 1 a 3 e contendo bolas coloridas conforme se mostra na tabela:

Caixa Nº bolas vermelhas

Nº bolas brancas

Nº bolas azuis1 2 3 5

2 4 1 33 3 4 3

De uma caixa seleccionada aleatoriamente extraiu-se uma bola e verificou-se que era vermelha. Qual a probabilidade de ter sido retirada da caixa 3?

P(V|3) = 3/10P(3) = 1/3P(V) = P(V|1) x P(1) + P(V|2) x P(2) + P(V|3) x P(3) = 2/10 x 1/3 + 4/8 x 1/3 +3/10 x 1/3 = 1/3

Aqui, P(V) deve ser calculado através do teorema das probabilidades totais porque existem três “probabilidades de ser vermelha”, uma em cada subconjunto. Assim a P(V) total terá que ser calculada assim.

19

Estas 3 probabilidades têm o mesmo valor


FICHA 3

Variáveis Aleatórias Unidimensionais

1. (Gama 1, pag 198) Considere as variáveis aleatórias seguintes. Indique quais são as variáveis aleatórias discretas e contínuas justificando a resposta.

1.1. M = idade de uma estrela escolhida ao acaso.1.2. N = número de estrelas que se podem observar, à noite, a

olho nu.1.3. O = número de avarias de uma máquina num intervalo de

tempo.1.4. P = tempo entre avarias consecutivas de uma máquina.1.5. Q = classificação média obtida pelos alunos do 12º ano, no

exame nacional de Matemática de um determinado ano lectivo.1.6. R = número de alunos do 12º ano com classificação

negativa, no exame nacional de Matemática de um determinado ano lectivo.

1.7. S = número de cabelos de uma mulher.1.8. T = duração de uma partida de futebol.1.9. U = número de interrupções numa partida de futebol.1.10. V = quantidade de comida (em kg) ingerida, por dia, por um

adulto.1.11. W = número de espectadores numa partida de futebol

disputada num estádio com lotação de 50 000 pessoas.1.12. X = produção diária de leite numa fábrica de lacticínios.1.13. Y = produção diária de uma fábrica de parafusos.1.14. Z = produção diária de calças de uma fábrica de

confecções.Variáveis discretas: 1.2; 1.3; 1.6; 1.7; 1.9; 1.11; 1.13; e 1.14;Variáveis contínuas: 1.1, 1.4; 1.5; 1.8; 1.10 e 1.12.

2. Uma célula por multiplicação origina, no máximo, 4 células filhas. A probabilidade de formação de x células filhas é dada por:

x 1 2 3 4f(x) 1/4 3/8 1/8 1/4

2.1. Verificar que f(x) é uma função de probabilidade. Traçar o gráfico de f(x).f(x)0, e

2.2. Determinar a função de distribuição F(x) e traçar o respectivo gráfico.

20


2.3. Calcular a probabilidade de formação de pelo menos 2 células filhas.

ou

3. O número de lançamentos num ramo é uma variável aleatória X, que toma os valores x, com probabilidade p(x) = k x , x = 1, 2,..., 10.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

p(x) 1k 2 k 3 k 4 k 5 k 6 k 7 k 8 k 9 k 10 k

3.1. Calcular k de modo que p(x) seja uma função de probabilidade.

3.2. Calcular a probabilidade de um ramo ter 2 lançamentos.

3.3. Calcular o número médio de lançamentos por ramo. = 1 x 1/55 + 2 x 2/55 + … + 9 x 9/55 + 10 x 10/55 = 385/55 = 7 lançamentos

por ramo.

4. Sendo X uma variável aleatória com função de probabilidade:x 0 1 2 3 4 5 6 7

f(x) 0,1 0,1 0,1 0,1 0,2 0,2 0,1 0,14.1. Determinar a função de distribuição de X.

4.2. Calcular P(X > 2), P(X < 4), P(X 1X 4).

4.3. Calcular e .

5. Numa experiência com um inibidor de apetite, o número de refeições, N, que um rato toma por dia é anotado. Em cada dia são fornecidas 2 refeições.

Tendo N uma função de probabilidade , calcular a

média e a variância do número de refeições comidas por dia.Temos que calcular primeiro a função de probabilidade:

n 0 1 2P(N=n

)4/7

2/7

1/7

6. Sendo X uma variável aleatória discreta com função de distribuição:

Determinar a função de probabilidade f(x), e 2 .

21


Para resolver este problema precisamos de definir a função de probabilidade f(x).O raciocínio que deve ser feito será um raciocínio contrário àquele que se faz quando, a partir da função de probabilidade, se pede a função de distribuição, F(x). Se analisarmos a função F(x) percebemos que, até ao ponto “-4” (exclusive), isto é, para “x<-4”, a probabilidade acumulada é “0”. Já a partir deste ponto, isto é, de “x=-4” e até ao ponto “x=-2” (exclusive), isto é, no intervalo “x-4”, a probabilidade acumulada é “1/8”. Ora isto só é possível se no ponto “x=-4” a probabilidade for “1/8” e daí até “x=-2” (exclusive) não houver nenhum ponto de probabilidade diferente de “0”.No ponto “x=-2” a probabilidade acumulada passa para “3/8”; ora isso só é possível se, nesse ponto, houver um acréscimo de probabilidade de “2/8”. Repare-se que essa probabilidade acumulada se mantém até “x=0” (exclusive), o que significa que, desde o ponto “x=-2” até “x=0” (exclusive), não houve nenhum ponto com probabilidade diferente de “0”.Este raciocínio terá que ser feito para todos os outros pontos apresentados na F(x).A função de probabilidade f(x) vem então:

X -4 -2 0 2 4f(x)

1/8

2/8

2/8

1/8

2/8

Podemos agora calcular e 2.

7. Um dado produto pode ser classificado, consoante a sua qualidade, em 5 classes distintas: 1, 2, 3, 4 e 5. Sendo X a classe atribuída ao produto, com função de probabilidade:

x 1 2 3 4 5f(x) K 2k 4k 2k k

7.1. Determinar k.

7.2. Qual a probabilidade de que um produto tomado ao acaso, tenha uma classificação menor do que 4 e superior a 1?

7.3. Calcular “1 – F(2)”, e indicar o seu significado.1 - F(2) = 1 – 0,3 = 0,7 e significa a probabilidade de, escolhendo ao acaso, obter um produto com qualidade superior à segunda (X=2).

8. Sendo X uma variável aleatória discreta cuja distribuição de probabilidade é a seguinte:

x 0 1 2 3 4 5P(X =

x)0,100 0,300 0,400 0,100 0,050 0,050

8.1. Representar graficamente a respectiva função de distribuição.

8.2. Calcular P(X < 4,5), P(X 2), P(X 2X 4) e P(2<X<4,5).;

;

9. (Gama, 2, pág. 198) Considere a selecção aleatória de 4 cartas de um baralho de 10 cartas, com 3 copas, 2 ouros e 5 paus. Seja X a variável

22


aleatória que representa o número de copas seleccionadas consecutivamente. Determine:Se se retirarem sucessivamente 4 cartas dum baralho de 10 cartas, onde existem apenas “3 cartas de copas (C)” é óbvio que só se podem obter, no máximo 3 cartas de copas sendo as outras não-copas (N). Percebemos assim que a nossa variável X só pode assumir os valores 0, 1, 2, 3 e 4.9.1. A função de probabilidade de X.

Para se determinar a função de probabilidade tem que se calcular a probabilidade da variável em estudo, X, assumir os valores possíveis (0, 1, 2, 3 e 4).Assim:

;

;

;

.x 0 1 2 3

f(x) 1/6 1/2 3/10 1/30

9.2. A função de distribuição acumulada de X.

9.3. A média e a variância de X.

10. Dada a função

10.1. Mostre que se trata de uma função densidade de probabilidade (fdp).Para mostrar que é uma fdp temos que provar que f.(x)0 e que .Fazer o gráfico para ver que f.(x) está sempre “acima” do eixo do x:

O integral corresponde à área delimitada pelo eixo do x e a função f.(x) (linha vermelha). Vamos verificar se dá 1.

23


10.2. Determine F(x) e calcule P(X 0,5).Recordemos que a função F(x) nos permite saber qual a probabilidade acumulada até um qualquer valor de x. Como sabemos, as probabilidades acumuladas associadas a este tipo de funções são dadas pelas áreas por elas definidas: a probabilidade acumulada até um dado valor x corresponde à área à esquerda desse valor delimitada superiormente pela fdp e inferiormente pelo eixo do x . O cálculo das expressões capazes de nos darem essas áreas são obtidas pelos integrais da fdp até ao valor x. Este tipo de integrais em que um dos valores de integração é um valor não definido x chama-se “integral indefinido”. Por questões de melhor compreensão, nas expressões a integrar, a variável “x” será substituída por “t ”. Deste modo podemos ver nitidamente a variável “t” a ser substituída pela variável “x” aquando do integral.Nos intervalos onde a fdp for diferente de “0” as expressões que se vão obter vão ter presente a variável “x” que será depois substituída pelo valor que se quiser. Como a fdp pode estar definida por vários ramos (expressões por intervalos) também o cálculo da função de distribuição terá que ser definida para esses mesmos ramos.A fdp apresenta 3 ramos: de “- a 0”, de “0 a 1” e de “1 a +”. Estes não ser os intervalos de cálculo da F(x).[- x <0] ou [x < 0] (ver a definição da fdp porque os sinais destes intervalos terão que respeitar os sinais da fdp).Quando x é menor que “0” (ver a fdp) a função é “0”.

ou

Podemos então, escrever:

, 0,5 está no intervalo

11. Sendo X o peso (g) das proteínas existentes em cada embalagem de um dado alimento, com função de densidade de probabilidade.

11.1. Traçar o gráfico de f(x).

11.2. Determinar a função de distribuição de X.Nesta fdp temos 4 ramos.

24


Podemos escrever:

11.3. Calcular a probabilidade de, numa embalagem escolhida ao acaso, o peso das proteínas ser:11.3.1. Pelo menos 0,5 g.

23/24

11.3.2. Não superior a 2 g.

23/24

11.4. Calcular F(2) - F(0,5), indicar o seu significado e representar este valor graficamente aproveitando o gráfico traçado na alínea a).

Nota: a área correspondente à alínea 11.4 é aquela que está entre 1/2 e 2. A verde está P(X≥0,5) e a laranja F(0,5).

25


12. A eficiência, X, de uma enzima digestiva pode ser descrita pela função

de densidade de probabilidade .

12.1. Calcular a probabilidade de a enzima ter uma eficiência maior do que 50%.

12.2. Calcular a média e a variância da eficiência.Média:

Variância da eficiência:

12.3. Calcular F(0,5).

13. Sendo X uma variável aleatória que representa a quantidade (kg) procurada por cliente de determinado produto em certa loja, com f.d.p.

13.1. Calcular a e b, sabendo que 50% dos clientes procura pelo menos 2 kg.A informação que é dada diz que 50% dos clientes consome menos de 2 kg. Sendo b o valor mais alto, quer dizer que 50% dos clientes consome entre 2 kg e b. Assim:

Kg

Do mesmo modo a é o valor mais baixo, quer dizer que 50% dos clientes consome entre a e 2 kg. Assim:

26


Kg

13.2. Calcular a probabilidade de um cliente procurar mais de 7 kg.P(X>7) = 1 – F(7) [que não podemos calcular através da F(x) porque não a temos]. Então temos que resolver pelo integral:

14. (Gama, 7, pag 199) Uma variável aleatória X tem a seguinte função densidade de probabilidade:

Se esta variável tem esta fdp quer dizer que o integral daquela função entre “0” e “a” tem que valer “1”.14.1. Determine o valor de a para o qual f(x) é uma função densidade

de probabilidade.

14.2. Determine a função de distribuição acumulada F(x).A fdp tem 3 ramos: “x < 0”, “0 x 3” e “x > 3”.

Podemos então escrever:

14.3. Calcule P(-3 <X ≤1).

14.4. Calcule P(1 ≤ X ≤ 3 | X ≤ 2).

14.5. Calcule P(2 ≤ X ≤ 4).

27


28


Variáveis Aleatórias Bidimensionais

15. Uma caixa contém 10 bolas: 5 amarelas; 3 brancas e 2 castanhas. Fazem-se 3 tiragens com reposição. Sendo X a variável aleatória que conta o número de bolas castanhas extraídas:15.1. Construa a função de probabilidade de X.

Construir a função de probabilidade é responder à pergunta”qual é a probabilidade que a variável X tem de assumir cada um dos valores possíveis?”Sendo X o número de bolas castanhas que se podem ter em três tiragens com reposição é óbvio que esta variável pode assumir os valores 0, 1, 2 e 3.Por outro lado, sempre que não sai uma bola castanha terá que sair uma bola “não-castanha” e, quando se estuda apenas o número de bolas castanhas, isso significa que não interessa a cor dessa bola “não-castanha”: podemos assim dizer que temos bolas “castanhas” [C] e “não-castanhas” [N]. Assim:

P(ter 0 bolas castanhas) =

X 0 1 2 3f(x)

0,5125

0,384

0,096

0,008

15.2. Considere a variável aleatória Y que conta o número de bolas amarelas extraídas naquela experiência aleatória e que tem a seguinte função de probabilidade:Construir a função de probabilidade conjunta de X(Castanhas) e Y(Amarelas) é construir uma tabela que responda a perguntas do tipo: “qual é a probabilidade de X ser 0 e, ao mesmo tempo, Y ser 1?” Para isso vamos chamar às bolas castanhas [C], às bolas amarelas [A] e às brancas [B]. Vejamos as situações.Se não há Castanhas nem Amarelas temos obrigatoriamente 3 BrancasC A B Acontecimentos Probabilidade

0 0 3

0 1 2

0 2 1

0 3 0

1 0 2

1 1 1

1 2 0

1 3 0 (4 bolas) IMPOSSIVEL 0

2 0 1

2 1 0



3 0 0




29


Agora já podemos construir a seguinte tabela de probabilidade conjunta:X 0 1 2 3 f( . ,y)

Y0 0,02

70,05

40,03

60,00

80,125

1 0,135

0,18 0,06 0 0,3752 0,22

50,15 0 0 0,375

3 0,125

0 0 0 0,125f(x, . ) 0,51

20,38

40,09

60,00

81

15.3. Construa a função de probabilidade conjunta de X e Y.Para construir a função de distribuição conjunta de X e Y devemos ter em conta que cada valor da mesma representa uma probabilidade acumulada para a intercepção de dois intervalos, um para cada uma das duas variáveis. Assim, e por exemplo, quando se escreve F(2; 1) quer saber-se a probabilidade acumulada para a ocorrência em simultâneo de valores de X menores ou iguais a 2 e de valores de Y menores ou iguais a 1, isto é, P(X 2; Y 1). Ora a função de distribuição conjunta tem que estar definida para qualquer par de valores de (x ,y).Como se sabe, estamos perante duas variáveis discretas. Neste caso entre dois valores referenciados consecutivos de cada uma variáveis não há incremento de probabilidade acumulada. Assim, cada uma das variáveis pode ser tratada em intervalos, tal como se faz com as variáveis aleatórias unidimensionais, embora se tenham depois que combinar as duas variáveis.Tomemos o quadro anterior e vejamos a que é que corresponde F(2; 1). Tal como havia sido referido, esta probabilidade corresponde a P(X 2; Y 1). No quadro estão delimitadas a verde as células correspondentes aos pares de valores (x ,y) que cumprem as condições requeridas.

X 0 1 2 3 f( ., y)

Y0 0,02

70,05

40,03

60,00

80,125

1 0,135

0,18 0,06 0 0,375

2 0,225

0,15 0 0 0,3753 0,12

50 0 0 0,125

f(x,.) 0,512

0,384

0,096

0,008

1Assim:

0,492 (confirmar este valor no quadro seguinte).

Vejamos outro exemplo (células limitadas pelas linhas a azul):

0,771(confirmar este valor no quadro seguinte).

Xx < 0 0 ≤ x <

11 ≤ x <

22 ≤ x <

3x ≥ 3

Yy < 0 0 0 0 0 00 ≤ y < 1

0 0,027 0,081 0,117 0,1251 ≤ y < 2

0 0,162 0,396 0,492 0,52 ≤ y < 3

0 0,387 0,771 0,867 0,875Y ≥ 3 0 0,512 0,896 0,992 1

30


15.4. Verifique se X e Y são variáveis independentes.X e Y não são independentes porque f(x,y) f(x) × f(y) como se prova, por exemplo, com P(X=1;Y=1) P(X=1) × P(Y=1), isto é, 0,180 0,384 × 0,375.

16. Num dado distrito, com três concelhos, A, B e C, a superfície agrícola útil é constituída por solos de textura arenosa (1), média (2) e argilosa (3). A função de probabilidade conjunta, f(x,y), é dada por:

X 1 2 3

YA 0,1

80,09

0,16B 0,0

90,12

0,2C 0,0

30,09

0,0416.1. Indicar o valor de f(3,A) e explicar o seu significado.

f(3,A) = 0,16 e traduz a probabilidade de um solo ter textura argilosa e ser do concelho A;

16.2. Calcular as funções de probabilidade marginal de X e de Y.As funções de probabilidade marginal de X e Y correspondem aos somatórios das colunas e das linhas, respectivamente. Traduzem a probabilidade de cada uma das variáveis assumir um dado valor independentemente dos valores que a outra variável assuma.

X 1 2 3 Y A B Cf(x)

0,3

0,3

0,4

f(y)

0,43

0,41

0,16

16.3. Qual o valor de f2(B) [ou fy (B)] ? O que representa?f2(B) = fy(B) = 0,41 e traduz a percentagem de superfície agrícola do concelho B dentro da totalidade do distrito:

16.4. Calcular F(3, A) e indicar o seu significado.F(3, A) = 0,18 + 0,09 + 0,16 = 0,43

16.5. Calcular P(X < 3,Y ≤ A).P(X<3;Y≤A) = P(X=1;Y=A) + P(X=2;Y=A) = 0,27

16.6. Qual a probabilidade de um solo ter textura média, sabendo que é do concelho A?

16.7. Verifique se X e Y são variáveis independentes.X e Y não são independentes porque f(x,y) f(x) × f(y) como se prova, por exemplo, com P(X=1,Y=A) P(X=1) × P(Y=A), isto é, 0,18 0,30 × 0,43.

17. Considere o exercício nº 15 e execute-o agora com tiragens sem reposição.Seja A – Amarela, B – Branca e C – Castanha. ( – não Amarela, etc.)17.1.

Em 3 tiragens sem reposição e com 2 bolas Castanhas presentes na caixa o número de bolas Castanhas presentes nos conjuntos das 3 tiragens só pode 0, 1 ou 2.

A probabilidade de “não C” é a soma da probabilidade de A com a de B e, portanto:

31


X 0 1 2

f(x) 7/15 7/15

1/15

17.2. Façamos agora um raciocínio semelhante àquele que foi feito anteriormente mas agora numa situação de “não reposição”.

Y 0 1 2 3

f(y) 1/12

5/12

5/12

1/12

C A B Acontecimentos Probabilidade

P(X=0 ; Y=0) 0 0 3

P(X=0 ; Y=1) 0 1 2

P(X=0 ; Y=2) 0 2 1

P(X=0 ; Y=3) 0 3 0

P(X=1 ; Y=0) 1 0 2

P(X=1 ; Y=1) 1 1 1

P(X=1 ; Y=2) 1 2 0

P (X=1

; Y=3) 1 3 0 (4 bolas) IMPOSSÍVEL 0

P(X=2 ; Y=0) 2 0 1

P(X=2 ; Y=1) 2 1 0

P (X=2


P (X=2


A função de probabilidade conjunta de X e Y vem assim:X

0 1 2 f( . ,y)Y0 1/120 1/20 1/40 1/121 1/8 1/4 1/24 5/122 1/4 1/6 0 5/123 1/12 0 0 1/12f(x, . ) 7/15 7/15 1/15 1

Como se pode ver as funções de probabilidade marginal de X e Y confirmam as funções inicialmente apresentadas e calculadas nas alíneas anteriores.

17.3. Esta função de distribuição conjunta é calculada como foi calculada a da alínea 15.3.

X x < 0 0 ≤ x < 1

1 ≤ x < 2

x ≥ 2

Yy < 0 0 0 0 0

32


0 ≤ y < 1

0 1/120 7/120 10/1201 ≤ y < 2

0 16/120 52/120 60/1202 ≤ y < 3

0 46/120 102/120 110/120y ≥ 3 0 56/120 112/120 1

17.4. X e Y não são independentes porque existe pelo menos um par (x,y) tal que, f(x,y) f(x) × f(y). Como se pode ver, por exemplo, para o par (0,3) temos P(X=0,Y=3) P(X=0) × P(Y=3), isto é, 1/12 7/15 × 1/12.

18. Considere X e Y como duas variáveis aleatórias discretas. Alguns dos valores para a função de probabilidade conjunta e para as funções marginais encontram-se na tabela seguinte.

Y 1 2 3 fx(y)

X1 1/1

21/12

1/32 1/4 1/1

23 1/12

1/6fx(y) 1/3 1/6

18.1. Complete a tabela de modo a ter a função de probabilidade conjunta para o par aleatório (X, Y) e as funções de probabilidade marginais de cada uma das variáveis aleatórias.A resolução desta alínea baseia-se no cálculo das parcelas por diferença para valores conhecidos: sabemos que a probabilidade total é 1 e que esse valor é a soma das probabilidades marginais (3/6 nas últimas coluna e linha); por sua vez estas probabilidades marginais são a soma das respectivas linhas ou colunas.

Y 1 2 3 fx(y)

X1 1/12 2/12 1/12 1/32 2/12 1/4 1/12 03 1/12 1/12 0 1/6fx(y) 1/3 3/6 1/6 1

18.2. Determine a função de Distribuição Conjunta de X-Y.Y y < 1 1 ≤ y <

22 ≤ y < 3

y ≥ 4

Xx < 0 0 0 0 01 ≤ x < 2

0 1/12 3/12 4/122 ≤ x < 3

0 3/12 8/12 10/12x ≥ 4 0 4/12 10/12 1

18.3. Calcular P(1X<2 , 2Y3).P(1 X < 2 , 2 Y 3) = 2/12 + 1/12 = 3/12 (o X só pode ser 1 e o Y pode ser 2 ou 3)

33


FICHA 4

Distribuições Teóricas Discretas

1. Dada uma moeda equilibrada e sendo X o número de coroas obtidas em 6 lançamentos, determinar:Analisemos a situação exposta para vermos que tipo de distribuição temos:

6 Provas com 2 resultados possíveis: face ou coroa (provas de Bernoulli); Provas independentes pois as probabilidades de sair face [P(F)] e de sair

coroa [P(C)] mantêm-se constantes ao longo das 6 tiragens;Logo, estamos perante uma Distribuição Binomial.

X ► N.º de coroas em 6 lançamentos.

1.1. A probabilidade de obter 2 coroas.

Para calcular factoriais na calculadora “Casio fx9860”:Escolher opção “OPTN” e depois “STAT”, depois “F6” para as restantes opções e escolher “PROB” e depois “x!”;Posso também utilizar a função “nCr” e por exemplo: , fica 20C3 e dá 1140, evitando assim as operações com factoriais.

1.2. P (X = 3).

1.3. P (X < 2).

1.4. P (X > 2).

1.5. P (1 < X < 3).P (1 < X < 3) = P(X=2) = 0,234375;

1.6. A probabilidade de obter 2 ou mais faces.Nesta alínea a pergunta é feita em função das “faces”. Para o resolver podemos assumir duas alternativas: a) transformar a pergunta que está feita em função de “faces” numa pergunta em função de “coroas” ou b) fazer uma mudança de variável de modo a defini-la directamente em função das “faces”.a) P(obter 2 ou mais faces) = P(obter 4 ou menos coroas) =

P(X4)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=0,34375+0,3125+0,23438=0,89062 ;

Coroa Face

0 61 52 43 34 2

5 16 0

b) Mudança de variável:Y ► Nº de faces em 6 lançamentos

34


Y Bin (6 ; 0,5)P(obter 2 ou mais faces) = P(Y2) = 1 – P(Y<2) = 1 – [P(Y=0) + P(Y=1)]

1.7. A probabilidade de obter menos que 4 faces.P(obter menos que 4 faces) = P(Y<4) = P(Y=0) + P(Y=1) + P(Y=2) + P(Y=3) =

0,65625.

2. As características genéticas de dois ratos adultos são tais que a probabilidade de um filho ser albino é de 0,2. Se o casal tiver seis filhos calcular a probabilidade de: Qual a distribuição? Temos: 6 Provas com 2 resultados possíveis: albinos ou não albinos; Provas independentes pois as probabilidades de albinos [P(A)] e de não albinos

[P(N)] mantêm-se ao longo dos 6 nascimentos; logo estamos perante uma Distribuição Binomial.X ► Nº de ratinhos albinos em 6 nascimentos.XBin (6; 0,2)

2.1. Não haver albinos;

2.2. Nascerem dois ou mais albinos;

2.3. No máximo 2 não serem albinos;Repare-se que o problema agora é posto salientando exactamente os ratinhos não albinos. Uma das maneiras de resolver este problema é converter as perguntas de “não albinos” em “albinos”; outra maneira é fazer uma mudança de variável. Vejamos esta última: mudança de variável:Y ► nº de ratinhos NÃO albinos em 6 nascimentos.YBin (6; 0,8)

2.4. Só haver um albino;

2.5. Nascerem no máximo 3 albinos.

CA:

3. O sistema de previsão para uma dada doença que depende das condições de humidade, numa determinada cultura é tal que, um dia húmido é aquele em que ocorre precipitação superior ou igual a 4 mm. A precipitação é independente de dia para dia e o quadro seguinte dá a probabilidade de precipitação de x mm na época de desenvolvimento da doença:

0 x < 1

1 x < 2

2 x < 3

3 x < 4

4 x < 5

5 x < 6

x 6

35


f(x) 0,05 0,2 0,2 0,2 0,15 0,15 0,05Calcular a probabilidade de, nesse período:3.1. Ocorrer um dia húmido?

3.2. Ocorrerem sucessivamente 3 dias húmidos?Y ► Nº dias húmidos em 3 dias;

3.3. Haver pelo menos 2 dias húmidos numa semana?Z ► Nº dias húmidos em 7 dias;

4. Uma máquina de empacotar fatias de presunto produz em média, 5 embalagens defeituosas em 100.Ter atenção que, embora sejam tiragens sem reposição, e teoricamente fosse uma Distribuição Hipergeométrica, não temos o N (dimensão da população) sendo fácil de supor que N>10×5 (apresentação 5, diapositivo 33). Assim vamos usar, por aproximação, a Distribuição Binomial:

4.1. Em cinco embalagens extraídas ao acaso qual a probabilidade de:X ► Nº de embalagens não defeituosas em 5.

4.1.1.Pelo menos uma ser não defeituosa?

4.1.2.Duas serem defeituosas?Y ► Nº de embalagens defeituosas em 5.

4.1.3.Uma, quando muito, ser não defeituosa?

4.2. Quantas embalagens deverão ser analisadas para que a probabilidade de ocorrer pelo menos uma embalagem defeituosa seja superior a 0,5?

CA:

4.3. Em 50 embalagens extraídas ao acaso qual o valor esperado de embalagens defeituosas e qual o seu desvio padrão?

;

36


5. Um estudo encomendado por uma empresa permitiu apurar que aproximadamente 60% dos seus trabalhadores mantinham uma atitude cooperativa face à empresa, 30% uma atitude hostil e 10% uma atitude não definida.5.1. Qual a probabilidade de num grupo de 12 trabalhadores:

Este exercício é resolvido com a Distribuição Binomial ou com a Distribuição Multinomial, dependendo das alíneas.

5.1.1.Pelo menos 6 adoptarem uma atitude hostil face à empresa?Binomial ► As provas têm 2 resultados possíveis: “hostis” e “não hostis”;X ► Nº de colaboradores hostis numa amostra de 12;

CA:

5.1.2.No mínimo 2 terem uma atitude bem definida?Binomial ► as provas têm 2 resultados possíveis: “com atitude bem definida” (hostis e cooperativos) e “com atitude não definida”;Y — nº de colaboradores com atitude bem definida numa amostra de 12;

5.1.3.Qual o número esperado de trabalhadores com atitude hostil?

5.1.4.6 terem uma atitude hostil, 4 cooperativa e 2 não definida.Multinomial ► as provas têm 3 resultados possíveis: “atitude hostil”, “cooperativa” e “não definida”;X1 ► nº de trabalhadores com atitude cooperativa numa amostra de 12;X2 ► nº de trabalhadores com atitude hostil numa amostra de 12;X3 ► nº de trabalhadores com atitude não definida numa amostra de 12;p1 = 0,6; p2 = 0,3; p3 = 0,1;

Na calculadora 12!, calcula-se digitando 12, OPTN, seleccionar PROB e depois x!

5.1.5.3 terem uma atitude hostil e 4 cooperativa.Multinomial ► as provas têm 3 resultados possíveis: “atitude hostil”, “cooperativa” e “não definida”;X1 ► nº de trabalhadores com atitude cooperativa numa amostra de 12;X2 ► nº de trabalhadores com atitude hostil numa amostra de 12;X3 ► nº de trabalhadores com atitude não definida numa amostra de 12;p1 = 0,6; p2 = 0,3; p3 = 0,1;

5.2. Qual probabilidade de, num grupo de 20 trabalhadores, 10 terem atitude cooperativa e 6 hostil?

37


Multinomial ► as provas têm 3 resultados possíveis: “atitude hostil”, “cooperativa” e “não definida”;Y1 ► nº de trabalhadores com atitude cooperativa numa amostra de 20;Y2 ► nº de trabalhadores com atitude hostil numa amostra de 20;Y3 ► nº de trabalhadores com atitude não definida numa amostra de 20;p1 = 0,6; p2 = 0,3; p3 = 0,1;

6. Uma urna contém 14 bolas e em cada uma delas está registado um número. Seis dessas bolas apresentam um número positivo e oito, um número negativo. Retirou--se uma amostra de quatro bolas dessa urna e multiplicaram-se os respectivos números. Qual a probabilidade de o produto assim obtido ser positiva?O produto de “4 bolas” só será negativo se houver número ímpar de bolas negativas.X ► Nº de bolas com valor negativo inscrito

X pode tomar valores entre 0 e 4 (inclusive). Destes são ímpares o “1” e o “3”.Assim, a probabilidade do produto ser positivo é:P(produto ser positivo) = 1 – P(produto ser negativo) =

7. Estima-se que do total das declarações de Imposto Sobre Rendimento de Pessoas Colectivas, 40% estão correctamente preenchidas, 30% contêm erros favorecendo apenas os contribuintes, 10% erros favorecendo apenas o Estado e as restantes os dois tipos de erro.7.1. Se forem seleccionada 10 declarações para auditoria, qual a

probabilidade de se encontrarem:Este exercício é resolvido com a Distribuição Binomial ou com a Distribuição Multinomial, dependendo das alíneas.7.1.1.6 correctamente preenchidas?

Binomial ► as provas têm 2 resultados possíveis: “correctamente preenchidas” e “com erros”;X ► Nº de declarações correctamente preenchidas numa amostra de 10;

7.1.2.2 com erros?Binomial ► as provas têm 2 resultados possíveis: “com erros” e “correctamente preenchidas”;Y ► Nº de declarações com erros numa amostra de 10;

7.1.3.4 correctamente preenchidas, 2 com erros a apenas favor do contribuinte e 1 com erros apenas a favor do Estado?Multinomial ► as provas têm 4 resultados possíveis: declarações “correctamente preenchidas”, “com erros exclusivamente a favor do contribuinte”, “com erros favorecendo apenas o Estado” e “com os 2 tipos de erros”;X1 ► nº de declarações correctamente preenchidas numa amostra de 10;

38


X2 ► nº de declarações com erros exclusivamente a favor do contribuinte numa amostra de 10;X3 ► nº de declarações com erros favorecendo apenas o Estado numa amostra de 10;X4 ► nº de declarações com os 2 tipos de erros numa amostra de 10;p1 = 0,4; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p4 = 0,2;

7.2. Em 10 declarações qual o número esperado de declarações com erros apenas a favor do contribuinte?

O número esperado é a média. Tal como a pergunta está feita temos “declarações com erros a favor do contribuinte” versus as outras situações pelo que estamos perante uma distribuição Binomial. Assim:

8. Dum lote de 100 peças, das quais 20 são defeituosas, escolheu-se ao acaso uma amostra de 10. Qual a probabilidade de nessa amostra:As provas têm 2 resultados possíveis: “defeituosas” e “não defeituosas”; e são retiradas sem reposição (amostra) o que faz com que sejam provas não independentes. Como o valor da população donde é retirada a amostra é conhecido pode calcular-se através da Distribuição Hipergeométrica.X ► Nº de artigos defeituosos numa amostra de 10;

8.1. Haver 3 defeituosas?

8.2. Haver 5 defeituosas?

9. Um vendedor tem 20 artigos dos quais apenas 16 estão de acordo com as especificações do comprador. Esse comprador examina sempre 20% dos artigos de cada lote apresentado pelo vendedor.O vendedor tem duas opções:

Vender os artigos num único lote; Vender os artigos em 2 lotes de 10 artigos cada um, distribuindo os

artigos bons igualmente pelos 2 lotes.O comprador rejeita o lote se na amostra examinada encontrar um ou mais artigos sem as especificações.As provas têm 2 resultados possíveis: “defeituosas” e “não defeituosas”; cada prova é retirada sem reposição o que faz com que sejam provas não independentes.Como o valor da população donde é retirada a amostra é conhecido pode calcular-se através da Distribuição Hipergeométrica.9.1. Qual a probabilidade de o vendedor conseguir vender os 20

artigos na 1ª opção?X ► Nº de artigos defeituosos numa amostra de 4;

P(vender lote de 20 peças) =

39


9.2. Qual a melhor opção para o comprador?Nesta opção, para se venderem os dois lotes é necessário vender um e vender o outro, ou seja, em ambos os lotes é necessário que não se encontrem nenhumas peças defeituosas. Neste caso cada lote passou a ter 10 peças das quais agora 2 são defeituosas.Y ► Nº de artigos defeituosos numa amostra de 2;

P(vender as 20 peças) = P(vender um lote de 10 peças e vender o outro lote de 10 peças) =

Do ponto de vista do vendedor é melhor a segunda opção (maior probabilidade de conseguir vender) e, por oposição, a melhor opção para o comprador é a 1ª [do seu ponto de vista ele quererá rejeitar o(s) lote(s)].

10. A variável X tem distribuição binomial, com parâmetros n e p. Sabendo que =5 e 2 = 4, determinar n e p.Temos neste caso duas incógnitas, n e p, que se relacionam através de outras duas expressões: a da média e a da variância cujos valores são fornecidos. Assim podemos escrever:

, então: n = 25 e p = 0,2

11. A distribuição de falhas em contraplacado de madeira apresenta em média uma falha em 50 dm2. Qual a probabilidade de que numa porção de contraplacado de dimensão 4 × 8 dm2:É-nos dado o valor médio de falhas para 50 dm2: falha/50 dm2.

Temos que obter o novo para 4 × 8 = 32 dm2, para o efeito utilizamos a regra de 3 simples:

Falhas/32 dm2 (resulta da regra de 3 simples anterior)X ► Nº de falhas por 32 dm2

XPo(0,64)11.1. Não haja nenhuma falha.

11.2. Haja, quando muito, uma falha.

12. A máquina 1 produz por dia o dobro das peças que são produzidas pela máquina 2. No entanto, 6% das peças fabricados pela máquina 1 tendem a ser defeituosas, enquanto somente 3% o tendem a ser na máquina 2.12.1. Qual a probabilidade, de num lote de 10 peças extraídas ao acaso

da produção total:As provas têm 2 resultados possíveis: “defeituosas” e “não defeituosas”; e são retiradas sem reposição (amostra) o que faz com que as provas não sejam independentes. Como o valor da população donde é retirada a amostra não é conhecido (não se pode calcular através da Distribuição Hipergeométrica) e se supõe que a dimensão da população seja muito maior que 10 vezes a dimensão da amostra vamos calcular através da Distribuição Binomial (por aproximação).

40


e (resolução por sistema)

e então pelo teorema da probabilidade total:

X ► Nº de peças defeituosas numa amostra de 10;

12.1.1. Haver 2 peças defeituosas?

12.1.2. Haver entre 2 e 5 (inclusive) peças defeituosas?

12.2. Qual o número esperado de peças defeituosas num lote de 100?

12.3. Atendendo à capacidade das máquinas colhe-se diariamente uma amostra de 4 peças da máquina 1 e uma amostra de 8 da máquina 2. Calcular a probabilidade de haver 2 peças com defeito no conjunto das duas amostras.As 2 peças defeituosas no conjunto das 12 peças [4 da máquina 1 (M1) e 8 da máquina 2 (M2)] podem ser obtidas de três modos diferentes:

M M Tot2 0 21 1 20 2 2

Para calcular a probabilidade de ter 2 peças defeituosas há que calcular a probabilidade de cada uma das situações apresentadas anteriormente. Cada uma delas é calculada como sendo o produto das duas situações que lhe dão origem, isto é, por exemplo e para o primeiro caso, a probabilidade de, na amostra proveniente de M1, termos 2 peças defeituosas e na amostra M2 ter 0 peças defeituosa.Vamos definir as variáveis necessárias e calculemos as 3 situações:X1 ► nº de peças definidas na amostra de 4 peças proveniente de M1;

X2 ► nº de peças definidas na amostra de 8 peças proveniente de M2;

M1 M2

P(ter 2 peças defeituosas nas 12 peças) =

12.4. As peças são vendidas em embalagens de 20, garantindo o fabricante que 90% são de boa qualidade. Calcular a probabilidade dessa garantia ser violada.Garantir que 90% de 20 são de qualidade é dizer que 18 são de certeza boas e que, no máximo, 2 poderão ser defeituosas. Violar a garantia será ter mais de 2 defeituosas nas embalagens de 20.

41


Z ► Nº de peças defeituosas numa embalagem de 20;

13. Um PBX recebe em média 60 chamadas telefónicas por hora. Calcular:X ► N.º de chamadas telefónicas por hora num PBX1 = 60 chamadas/hora ou 60 chamadas/60 minutos

13.1. A probabilidade de ser recebida apenas 1 chamada durante um período de 1 minuto.

Converter o 1 chamada /1 minuto

XPo(1)

13.2. A probabilidade de serem recebidas pelo menos 3 chamadas num intervalo de 5 minutos.Converter o

5 chamadas/5 minutos

13.3. Qual o número esperado de chamadas em 10 minutos? E numa hora?

chamadas; chamadas.

14. Suponha que um livro de 585 páginas contém 43 erros tipográficos. Se esses erros estiverem aleatoriamente distribuídos pelo livro, qual a probabilidade de:

14.1. Uma página qualquer não ter erros?X ► Nº de erros numa página.

erros/585 páginas = 0,074 erros/página

14.2. Onze páginas escolhidas ao acaso não terem erros?Esta pergunta será resolvida no capítulo seguinte quando se tratar da matéria “Aproximação da Poisson à Normal”.

15. Admite-se que 5% da produção de certa fábrica apresenta defeitos. Numa encomenda de 100 unidades, qual a probabilidade de se encontrarem:X ► N.º de peças defeituosas numa encomenda de 100 unidades;

15.1. Duas peças defeituosas?

42


15.2. No máximo 2 peças defeituosas?

16. Numa fábrica o número de acidentes por semana segue uma lei de Poisson com parâmetro igual a 2. Calcular a probabilidade de:

16.1. Numa semana haver pelo menos um acidente.X ► Nº de acidentes por semana;

acidentes/semana

16.2. Numa semana haver pelo menos um acidente, sabendo-se que na semana anterior não se tinha registado nenhum.O mesmo da alínea anterior uma vez que na Distribuição de Poisson os acontecimentos são independentes e, portanto, acontecimentos passados não influencia acontecimentos futuros.

16.3. Em 2 semanas se verificarem 4 acidentes.Y ► Nº de acidentes em 2 semanas;

acidentes/semana

16.4. Numa semana haver 2 acidentes e na semana seguinte outros 2.acidentes/semana

P(2 acidentes numa semana e 2 acidentes na semana seguinte) =

17. O número de rebuçados de chocolate contidos numa embalagem de 250g de certa marca segue distribuição de Poisson. Sabendo que a probabilidade de uma embalagem desse tipo conter pelo menos 1 rebuçado é superior a 0,8, calcular:

17.1. O valor mínimo que a média da distribuição pode tomar.X ► Nº de rebuçados em 250g;

rebuçados/250g

17.2. Tomando esse valor médio, calcular a probabilidade de, numa embalagem de 500 g, existirem exatamente 8 rebuçados de chocolate.

rebuçados/500gX ► Nº de rebuçados em 500g;

43


18. Sabe-se que a probabilidade de determinada máquina automática necessitar de ser afinada em cada período de trabalho de 30 minutos é 0,05. Determinar:X ►Nº de afinações da máquina em cada 30 min.P(máquina ser afinada em cada 30 min) = 0,05 P(máquina NÃO ser afinada em cada 30 min) =

18.1. A média do número de afinações numa semana em que a máquina trabalha 20 horas.Regra de “3 simples”: se em 30 min são 0,05129329439 em 20 h são 40 vezes mais;

18.2. A probabilidade de, em 8 horas de trabalho, se verificar pelo menos 1 afinação e a de se verificarem 2 a 5 afinações.Y ► Nº de afinações da máquina em cada 8 horas;

19. Uma remessa de 20 barras de aço é aceite pelo comprador se numa amostra de 5 escolhidas simultaneamente e ao acaso não houver mais que uma defeituosa. Qual a probabilidade de ser aceite um lote que contém 4 barras defeituosas?X ► Nº de peças defeituosas numa remessa de 20 barras;

20. Um exame é constituído por 15 questões, cada uma com cinco alternativas de resposta, em que apenas uma é correta. Supondo que um estudante responde às questões aleatoriamente, qual a probabilidade de acertar 10 questões.X ► Nº de respostas corretas em 15 perguntas de escolha múltipla;

[Comentário: concluiu-se que não vale a pena apostar neste método]

44


FICHA 5

Distribuições Teóricas Contínuas

A Distribuição Normal tem 2 parâmetros: um deles é a média ( ) e o outro é, segundo os autores, a variância ( ) ou o desvio padrão ( ). No contexto destes exercícios assumiu-se a variância como segundo parâmetro da Distribuição Normal.

1. O montante de depósitos à ordem efetuados diariamente numa agência bancária é uma variável aleatória com distribuição normal de média 120 um e variância 64 um2. Determine a percentagem de dias em que o montante de depósitos à ordem efetuados diariamente:A maior parte deste tipo de problemas obedece a um esquema mental que é o seguinte: a partir de x determinar z, fazer as transformações necessárias para contornar as limitações da tabela (apresentação 6, diapositivos 16 a 19) e consultar a tabela.x ==► z ==► tabelaX ► Montante de depósitos à ordem efetuados diariamente numa agência bancária;

1.1. É inferior a 135 um;

CA: , verificando na tabela da “Função Distribuição

Cumulativa da Normal Reduzida”, (na coluna vertical) e (na horizontal), o valor encontrado é: .

1.2. É inferior a 105 um;

CA: , então:

, verificando na tabela da “Função Distribuição Cumulativa da Normal Reduzida”, (na coluna vertical) e

(na horizontal), o valor encontrado é: . Então:

1.3. Se situa entre 105 e 135 um;

1.4. Determine o montante de depósitos à ordem efetuados diariamente, acima do qual se situam 90% dos dias.Aqui a pergunta é: “qual o montante?”, isto é, “qual o valor do x?”. Ora esta pergunta inverte o esquema mental apresentado em 1.1. Neste caso, temos que partir da tabela (através do valor da percentagem dada), determinar o z e depois, a partir dele, o x. Saliente-se que a partir da expressão que converte o x em z, e conhecendo 3 das suas 4 componentes, podemos sempre determinar aquela que estiver em falta.

45

-z>0Se z<0, então:-z>0


, na tabela procuramos o valor mais próximo da probabilidade 0,90, e tiramos o respetivo z.

2. Determinado produto é comercializado em embalagens cujo rótulo indica 1 kg. O peso das embalagens segue distribuição normal, com média igual a 1 kg e variância igual a 0,01 kg2. Calcular a probabilidade de uma embalagem ter peso:X ► Peso das embalagens de um determinado produto

2.1. Superior a 1,121 kg.

CA: , então: Verificando na tabela , o valor

encontrado é: , e:

2.2. Entre 0,879 kg e 1,121 kg. Represente graficamente a probabilidade obtida.

2.3. Alguém comprou uma pack de 10 embalagens. Qual a probabilidade de nesse pack ter 3 embalagens com peso superior a 1 kg?Y ► Nº de embalagens com peso superior a 1kg num pack de 10;

► (o 2º parâmetro da Binomial é a probabilidade do sucesso, neste caso, “ter peso superior a 1kg. Sendo X a respectiva variável e 1kg a sua média, ter peso superior a 1kg é, obviamente, 0,5)

2.4. O vendedor é multado quando uma inspecção detecta, numa amostra de 5 embalagens escolhidas ao acaso, 2 ou mais com peso inferior a 0,975 kg. Qual a probabilidade de o vendedor ser multado quando o seu stock for inspeccionado?W ► Nº de embalagens com peso inferior a 0,975kg numa amostra de 5;Tal como na alínea anterior estamos perante uma Binomial. Neste caso a probabilidade do sucesso (p) é ter embalagens com peso inferior a 0,975kg. Para determinar “p” temos que recorrer à Distribuição Normal e calcular:

CA:

Então: Verificando na tabela , o valor encontrado é: , e:

Agora sim, podemos regressar à nossa Binomial:

3. Uma população de gastrópodes marinhos apresenta um comprimento de concha que segue distribuição normal, com média de 7 mm e variância igual a 2 mm2. Que proporção da população terá conchas com comprimento:X ► comprimento da concha de uma população de gastrópodes marinhos;

46


3.1. Menor que 9 mm?

CA:

Então: Verificando na tabela , o valor encontrado é: , e:

3.2. Entre 5 e 9 mm?

3.3. Menor que 5 mm?

3.4. Entre 6 e 9 mm?

CA:

, verificando na tabela , é:

Então:

4. O tempo de desenvolvimento do fungo A, em laranjas mantidas a uma temperatura de 20º C, é normalmente distribuído com média de 7 dias e variância de 4 dias2. À mesma temperatura, o tempo de desenvolvimento do fungo B segue distribuição normal com uma média de 10 dias e uma variância de 2 dias2. Se uma laranja contaminada com esporos dos dois fungos se mantiver durante 9 dias a 20º C qual a probabilidade de:X ► Tempo de desenvolvimento do fungo A com Y ► Tempo de desenvolvimento do fungo B com 4.1. O fungo A se desenvolver?

CA: , verificando na tabela , é:

4.2. O fungo B se desenvolver?


Então:

4.3. Ambos os fungos se desenvolverem, assumindo que não existe interacção entre eles?P(ambos se desenvolverem)

5. O peso médio de 500 estudantes do sexo masculino, numa determinada universidade, é 75,5kg e o desvio padrão é 7,5kg. Admitindo que os pesos são normalmente distribuídos, determinar quantos estudantes pesam:X ► Peso de um estudante do sexo masculino, numa determinada universidade;

5.1. Entre 60 e 77,5kg:

47


CA:



Então:

5.2. Mais de 92,5kg:


Então:

6. O peso das embalagens de presunto produzidas por uma empresa é uma variável aleatória normal X. Sabendo que P(X≤88,55g)=0,011 e P(X>105,80g)=0,123, determinar:X ► Peso das embalagens de presunto;6.1. Os parâmetros µ e σ2 da distribuição.

Temos 2 incógnitas (µ e σ) que vão ser obtidas por sistema a partir de 2 equações que são as expressão de cálculo de “z1” (obtido a partir de “x1=88,55g”) e de “z2” (obtido a partir de “x2=105,80g”). Nestas equações, figuram z, x, µ e σ. Sabendo 2 delas (os “z’s” e os “x’s”) posso obter as outras 2 por sistema. A cada valor de “x” corresponde um valor de “z”. Assim, a 88,55 corresponde z1 e a 105,8 corresponde z2.

À esquerda do valor x1=88,55 temos uma pequena área de 0,011. Se a área fosse maior que 0,5, este valor teria de estar do lado direito da média.

z1 será negativo

À direita do valor x2=105,80 temos uma pequena área de 0,123. Se a área fosse maior que 0,5, este valor teria de estar do lado esquerdo da média.

z2 será positivo

z1 será negativo

z2 será positivo

Substituindo os valores de “z” e “x” em cada uma das equações e resolvendo o sistema:

, obtemos: e

6.2. Qual a probabilidade de uma embalagem escolhida ao acaso ter um peso inferior a 90 g?

;

48



7. Numa seara de milho, a altura dos pés das plantas de uma dada cultivar na fase de maturação segue distribuição normal, com média igual a 1,65 m. Sabendo que a probabilidade de encontrar pés de milho com altura inferior a 1,90 m é de 97%, calcular:X ► Altura dos pés de milho de uma dada cultivar na fase de maturação;

7.1. A variância da população;, verificando na tabela o valor mais próximo é:

0,96995, e assim sendo, , então:

7.2. A probabilidade de a altura dos pés de milho se situar entre 1,55 e 1,75 m;

, verificando na tabela , é: Então:

7.3. Um intervalo centrado na média com uma probabilidade de 95%.Como se pode ver pela figura ao lado, aquilo que se pede são os valores de x1 e x2; a esses valores correspondem 2 valores de z (simétricos entre si) que balizam iguais áreas: a x1 corresponde z1

(negativo) e a x2 corresponde z2 (positivo). Sabendo um, sabemos o outro. Qual é a área à esquerda de z2 (a mesma área de x2)? A área à esquerda de z2 é 0,975. Consultando a tabela vem que z2 = 1,96. Daqui tira-se o x2:

. O valor de x1 dista de 1,65m, o mesmo que x2, pelo que x1 = 1,39 m.

8. A média dos diâmetros internos das porcas, produzidas por uma certa máquina, é 0,502 centímetros e o desvio padrão é igual a 0,005 centímetros. O controlo de qualidade na produção não rejeita peças cujo diâmetro esteja compreendido entre 0,496 e 0,508 centímetros, caso contrário, as porcas serão consideradas defeituosas. Determinar a percentagem de porcas produzidas pela máquina que passam no controlo de qualidade, admitindo que os diâmetros são distribuídos normalmente.X ► Diâmetros internos das porcas;

P(uma porca passar no controlo de qualidade)

9. Numa cooperativa fruteira, as maçãs recebidas são classificadas e embaladas consoante o seu calibre. São rejeitadas as que apresentam calibre inferior a 50 mm, as quais representam 12,3% do total recebido.

49


Sendo o calibre uma variável aleatória que segue distribuição normal, com média de 70 mm, calcular:X ► Calibre (diâmetros) das maçãs;

9.1. O desvio padrão;

cm

9.2. A probabilidade de uma maçã, escolhida ao acaso, ter um calibre superior a 90 mm.


9.3. Numa embalagem com uma dúzia de maçãs qual a probabilidade de ter 3 com calibre até 50 mm e 7 com calibre entre 50 e 90 mm?Cada maçã pode ter 1 de 3 resultados possíveis: calibre até 50mm, calibre entre 50 e 90mm e calibre acima de 90mm. Por outro lado as provas podem ser consideradas independentes uma vez que a mostra é pequena dentro da população de maçãs da cooperativa. Estamos perante uma Distribuição Multinomial.X1 ► Nº de maçãs com calibre até 50mm;X2 ► Nº de maçãs com calibre entre 50 e 90mm;X3 ► Nº de maçãs com calibre superior a 90mm;p1 = P(uma maçã ter calibre até 50mm) = 0,123;p2 = P(uma maçã ter calibre entre 50 e 90mm) = 0,754;p3 = P(uma maçã ter calibre superior a 90mm) = 0,123;

10. Cada esporo libertado de uma cápsula de um feto tem uma probabilidade de 0,2 de se tornar planta. Se a cápsula tiver 100 esporos, qual a probabilidade de pelo menos 25 se tornarem plantas?X ► Nº de esporos que se tornam planta;

Como o “n” é “grande” podemos verificar se estamos em condições de resolver por aproximação pela Normal: “n×p≥5” e “n×q≥5” (diapositivo 21, apresentação 6).Assim, e ► cumpre as 2 condições.

Então: ; (diapositivo 23, apresentação 6).

(diapositivo 22, apresentação 6)

11. O peso dos melões de uma dada variedade, X, é uma variável aleatória normalmente distribuída. A probabilidade de um melão, escolhido ao acaso, ter peso superior a 1,350 kg é igual a 2/3 da probabilidade de encontrar um melão com peso inferior à média. Calcular:X ► peso dos melões de uma dada variedade;

;

50


11.1. A média do peso dos melões sabendo que a variância é igual a 0,0625 kg2;Se ;

De

11.2. A probabilidade de um qualquer melão ter peso menor que 1,51 kg;


11.3. A probabilidade de um qualquer melão ter peso entre 1,18 e 1,51 kg;

11.4. Numa remessa de 50 melões, qual a probabilidade de encontrar mais de 6 com peso superior a 1,51 kg?Y ► Nº de melões com peso superior a 1,51kg;

Como o “n” é “grande” podemos verificar se estamos em condições de resolver por aproximação pela Normal: “n×p≥5” e “n×q≥5”.Assim, e ► cumpre as 2 condições.

Então: ;

(diapositivo 22, apresentação 6)

12. Uma máquina produz parafusos cujo comprimento, em cm, é uma variável aleatória com distribuição Normal de parâmetros µ=2cm e σ=0,0125cm. Considera--se que um parafuso é defeituoso quando o seu comprimento difere de 2cm por mais ou menos 0,04cm. Calcule a probabilidade de numa produção de 10.000 parafusos se encontrarem mais de 10 defeituosos.Y ► Nº de parafusos defeituosos em 10.000 parafusos;

X ► Comprimento dos parafusos;

Como o “n” é “grande” podemos verificar se estamos em condições de resolver por aproximação pela Normal: “n×p≥5” e “n×q≥5”.Assim: e ► cumpre as 2 condições.

Então, se ;

13. O peso das tangerinas de uma variedade é uma variável aleatória X normalmente distribuída com média igual a 75 g e variância igual a 256 g2. Sabendo que os frutos são classificados de acordo com o seu peso em 3 classes distintas, A, B e C, e que à classe A pertencem os frutos com menos de 50 g, à classe C os frutos com mais de 100 g e à classe B os restantes. Calcular:X ► Peso das tangerinas de uma variedade;

51


13.1. A proporção de frutos pertencentes a cada classe;

Como se pode ver pela imagem os valores 50 e 100 são equidistantes do valor médio 75. Por isso, pode dizer-se que as áreas parciais “b1” e “b2” (que no conjunto correspondem à classe “B”) são iguais e que as áreas “a” (que corresponde à classe “A”) e “c” (que corresponde à classe “C”) são também iguais. Assim, se se determinar a área “b2” podemos obter indirectamente todas as proporções.

e , pelo que

13.2. P(X > 60 g).

13.3. Sabe-se que a probabilidade das tangerinas estarem estragadas é de 5% quando a sua classe é A, de 4% quando a sua classe é B e de 2% quando a sua classe é C.

13.4. Calcular a probabilidade de uma tangerina escolhida ao acaso estar estragada.

► (Teorema da Probabilidade Total)

13.5. Em 1200 tangerinas da classe B, quantas poderão estar estragadas?Nº de tangerinas estragadas em

14. Numa dada indústria de tecido XYZ sabe-se que sua produção costuma apresentar um número de defeitos que segue a distribuição de Poisson com uma taxa média de 2 defeitos a cada 50 metros de tecido. Determine:X ► Quantidade de defeitos em 200m de tecido;

CA:Através duma regra de três simples:

Defeitos

Como o λ é elevado, maior que 5, podemos fazer uma aproximação pela distribuição Normal. Assim:

14.1. A probabilidade de um rolo com 200 metros de tecido apresentar 12 ou mais defeitos;

52


14.2. A quantidade esperada de rolos que teriam menos de 5 defeitos numa amostra de 80 rolos de 200 metros.O número esperado é a média. Cada um dos 80m rolos, ou tem menos de 5 defeitos ou não tem menos de 5 defeitos; a probabilidade de ter menos de 5 defeitos é independente de rolo para rolo. Estamos assim perante uma distribuição Binomial:Y ► Quantidade de rolos com menos de 5 defeitos em 80 rolos

CA: ,

Então:

Rolos

53


FICHA 6

Inferência Estatística

Intervalos de confiança

1. A característica X em certo artigo produzido em série segue distribuição normal com desvio padrão . Com base numa amostra aleatória de 25 unidades, que forneceu um valor médio de 48, construa um intervalo de confiança a 95% para o valor médio do universo.Intervalo de confiança para a média da população, com desvio padrão conhecido:

; ; ; verifica-se na tabela ►

2. Uma máquina de bebidas está regulada de modo a servir uma quantidade de líquido que é uma variável aleatória com distribuição normal. Sabendo que numa amostra de 25 bebidas se obtiveram os seguintes resultados:

e

2.1. Construir um intervalo de confiança a 90% para a verdadeira quantidade média de líquido das bebidas servidas, sabendo que o desvio padrão da população é 4ml. (enunciado alterado)

(desvio padrão da população conhecido) usar

2.2. Determinar quantas bebidas deveriam ser incluídas na amostra se pretendesse aumentar a precisão do intervalo para menos de 1ml.Precisão do intervalo = amplitude do intervalo/2;

A amplitude do intervalo é dado por . Como se quer uma precisão de

“menos de 1ml”, então ; substituindo vem: , então

, como n é inteiro vem .

2.3. Supondo desconhecer o desvio padrão da população construir um intervalo de confiança a 95% para a verdadeira quantidade média de líquido das bebidas servidas.(desvio padrão da população desconhecida e n<30) usar a Distribuição t-Student.

, verifica-se na tabela ►

54


3. Seja uma população com . Qual a dimensão mínima da amostra para a qual se tem um intervalo de confiança a 90% para a média inferior a ] ; [?

(desvio padrão da população conhecido) usar , Como

e , substituindo vem: , logo

, como n é inteiro vem .

4. Um fabricante produz peças de peso especificado em 200 gramas. Querendo estimar o verdadeiro peso médio num grande lote a fornecer ao seu maior cliente, seleccionou 35 peças ao acaso, que depois de pesadas forneceram os seguintes valores: e 4.1. Apresentar uma estimativa para o peso médio das peças do lote.

é estimativa de ; ;

4.2. Construir um intervalo com um grau de confiança de 95% para o peso médio das peças do lote.Intervalo de confiança para a média da população, com desvio padrão da

população desconhecido e n>30: usar (como n>30 “t”

tende para “z” ; mas como não temos “ ” usamos “s’”);

; ; ;

Verifica-se na tabela ►

5. Numa unidade de empacotamento de açúcar observou-se o peso de 9 embalagens, escolhidas aleatoriamente à saída da linha de empacotamento. O peso das embalagens é uma variável aleatória normal (X). Registaram-se os seguintes pesos (em gramas):

8,7 8,5 6,9 9,4 7,3 9,0 8,6 9,2 8,95.1. Calcular a média amostral, o desvio padrão não corrigido(s) e o desvio

padrão corrigido(s’).FAZER OS ITEMS NA TOTALIDADE

; ; (máquina de calcular);

5.2. Estimar um intervalo de confiança a 99% para o peso médio das embalagens.(Desvio padrão da população desconhecido e n<30) usar:

;

, verificando na tabela:

Então:

5.3. Estimar um intervalo de confiança a 99% para o peso médio das embalagens, sabendo que σ=0,6g.

(Desvio padrão da população conhecido) usar:

55


6. Numa empresa de engarrafamento de águas existem 2 máquinas em funcionamento, A e B, que deverão descarregar 1 litro em cada garrafa. Com o objectivo de testar a sua afinação foram recolhidas aleatoriamente 9 garrafas de A e 10 garrafas de B, sendo medido o seu conteúdo. O intervalo de confiança a 95% para a média do conteúdo das garrafas da máquina A, é de [0,9; 1,1]. As garrafas cheias pela máquina B forneceram os seguintes valores: e .6.1. Calcular o desvio padrão amostral corrigido(s’) referente à amostra B.

6.2. Calcular o intervalo de confiança a 95% para a média dos conteúdos em B.

(σ desconhecido e n<30) usar: ;

; ; ; ;

Então:

6.3. Atendendo aos valores dos respectivos intervalos de confiança, qual das máquinas estará mais bem afinada? Justificar.A máquina A é mais exacta mas a máquina B é mais precisa.

7. Para testar 2 variedades de milho foram escolhidos aleatoriamente 16 talhões, 8 cultivados com a variedade A e outros 8 com a variedade B. Os resultados da colheita foram 81.625 kg e 75.875 kg, para o total dos talhões A e B respectivamente, e de 232,41 kg2 e 102,12 kg2 para as variâncias. Sabendo que as produções de ambas as variedades são normalmente distribuídas e que , estimar:7.1. Um intervalo de confiança a 99% para a produção média de cada

variedade.

Variedade A: ;

( desconhecido e n<30). Assim, e com ( e número de graus de liberdade=7), vem:

Variedade B: ;

( desconhecido e ). Assim, e com ( e número de graus de liberdade=7), vem:

7.2. Um intervalo de confiança a 95% para a diferença das médias.Pede-se um intervalo de confiança para a diferença de médias. São populações normais com variâncias desconhecidas mas iguais; nA e nB<30. Usar a expressão:

56


Com:

8. O número de horas de vida de lâmpadas eléctricas produzidas segundo determinado processo de fabrico tem distribuição normal. Numa amostra de 20 lâmpadas, escolhida ao acaso da produção de determinado dia, verificou-se a duração das mesmas e calculou-se a média e o desvio padrão amostrais: e .

e ; n=20 (graus de liberdade 19)8.1. Calcular os intervalos de confiança a 95% e a 99% da média de

duração das lâmpadas.

( desconhecido e n<30), usar ;

Com n=20 e (1-α)=0,95

;

Com n=20 e (1-α)=0,99

8.2. Calcular um intervalo de confiança a 90% para o desvio padrão amostra do tempo de vida da população.

Usar a expressão:

Com n=20 e (1-α)=0,90 e

, Pedia-se IC para o

desvio padrão.

9. A administração do Metropolitano verificou irregularidade na hora de passagem do comboio pelas diversas estações. Essa irregularidade é uma variável aleatória normal cuja média se considera ser 5 segundos mas cuja variância se desconhece. Com n=22 e s'2=9 segundos2, pretende-se saber entre que valores se situa a variância com um nível de confiança de 99%.

e ;

Usar a expressão:

Com n=22 e (1-α)=0,99 e

57


10. De uma população normal, com média e variância desconhecidas foi retirada uma amostra de 9 observações cujos resultados foram .10.1. Obter um IC a 90% para o desvio padrão da população.

Usar a expressão:

Com n=9 e (1-α)=0,95 e

10.2. Supondo que a variância da população passa a ser conhecida (σ2=4) construir um intervalo de confiança a 95% para a média da população.

Usar a expressão:

10.3. Como procederia para reduzir para metade a amplitude do intervalo?

Para que a parcela passasse para metade à custa de “n” era preciso que

o denominador passasse para o dobro. Como “n” está debaixo da raiz quadrada precisava de aumentava 4 vezes a dimensão da amostra ( ).

11. Na estimação da média de uma população normal por meio de um intervalo de confiança a 90%, qual deve ser a dimensão mínima da amostra para que a amplitude daquele intervalo seja inferior a σ/9, sendo σ conhecido?

Amplitude do ; logo

12. O patrocinador de um programa de televisão quer ter uma ideia da proporção de residências que segue um dado programa numa dada área metropolitana. Num inquérito a 90 residências com as televisões ligadas, verificou que 35 delas estavam sintonizadas no programa. Construa um intervalo de confiança com um nível de significância de 3% para a verdadeira proporção de televisões que estavam sintonizadas no dito programa.A expressão de cálculo deste intervalo é:

(porque, se é 0,015, então a área à esquerda é 0,985)

Assim:

58


13. Numa amostra de 136 pessoas, dentre as 400 que tomaram uma determinada vacina contra gripe, sentiram algum efeito colateral. Construa um intervalo a 95% de confiança para a verdadeira proporção que, tomando esta vacina, terão algum efeito colateral.A expressão de cálculo deste intervalo é:


Assim:

14. Numa pesquisa sobre desnutrição, foram observadas 15.175 crianças que nasceram no ano de 2006 numa dada região desfavorecida da terra, tendo sido consideradas como malnutridas 1.087 daquelas crianças. Construa, com 5% de significância, um intervalo de confiança para a verdadeira proporção de crianças malnutridas nesta região.A expressão de cálculo deste intervalo é:


Assim:

59


Testes de hipótese

Num teste de hipótese queremos saber se uma suspeita, motivadora da execução deste teste, poderá ter sustentação através de uma ou mais amostras.Acompanhemos um exemplo:

15. Uma pizzaria está dimensionada para que a procura média diária não ultrapasse as 200 pizzas, admitindo um desvio padrão de 15.Uma promoção, nos últimos 9 dias, levou a uma procura média de 210 pizzas. Pretende-se avaliar se é necessário reforçar a capacidade de produção, verificando se houve de facto uma alteração significativa da procura.O dono da pizzaria suspeita que houve alteração do valor médio da procura diária de pizzas. Por esse motivo quis fazer um teste de hipótese para averiguar se a sua suspeita tinha ou não razão de ser. No entanto, qual a alteração que lhe interessa averiguar? Certamente aquela que o obriga a reforçar a capacidade de produção, ou seja, uma alteração no sentido do aumento da média.Ao lançar um teste de hipótese, são avançadas duas hipóteses, H0 (hipótese nula) e H1 (hipótese alternativa), de tal modo que, se não se realizar a primeira, se realize a segunda. Quais são as hipóteses do nosso exemplo:

H0: µ ≤ 200 pizzas Mais à frente se explica a razão da escolha

destas hipótesesH0: µ > 200 pizzas

A cada teste de hipótese, e em função das condições do mesmo, está associada uma distribuição. Cada distribuição tem, por sua vez, associada uma estatística. Se calcularmos o valor dessa estatística a partir do valor atribuído ao parâmetro em teste e dum estimador proveniente da amostra vamos obter um valor que traduz a relação entre estas duas entidades.Parâmetr

oCondições H0 H1

Estatística

Região Crítica

µ

Distribuição Normal e σ conhecido; ou n

“grande” (se σ desconhecido, usar

s’)

µ = µ0

µ ≤ µ0

µ ≥ µ0

µ ≠ µ0

µ > µ0

µ < µ0

ou

No nosso exemplo vemos que, sendo o desvio padrão conhecido (logo a variância conhecida) a estatística de teste é Z (distribuição normal reduzida) cuja expressão

é , em que é a média amostral (estimador proveniente da amostra) e µ0

o valor atribuído ao parâmetro em estudo (neste caso 200 pizzas). Se calcularmos

o valor de Z para o nosso exemplo vem:

Se a relação entre x e 0 for próxima, isto é, se a “distância” entre eles for pequena, tendo em atenção o desvio padrão da distribuição e a dimensão da amostra, então o valor de Z virá próximo de “0” (podendo ser negativo ou positivo). Se pelo contrário essa “distância” for grande o valor de Z virá muito negativo ou muito positivo. Como sabemos estes valores de Z localizam-se nas caudas da curva da distribuição normal padrão, zonas onde a densidade de probabilidade é menor, o que significa que podemos dizer que estes valores se encontram dentro de uma zona de valores “raros”de Z. O que aqui foi dito para o nosso exemplo (distribuição de Z) pode ser generalizado para as distribuições.

60


Cada teste de hipótese é feito com um determinado grau de probabilidade (1–a) ou, o que se traduz no mesmo, com uma determinada significância (a). Na prática o valor de traduz a probabilidade associada à hipótese H1, isto é, de não se aceitar a hipótese H0 ou seja, de se obterem valor da estatística raros (localizados nos extremos da distribuição em causa).Ao enunciar H0, um teste de hipótese pode ser de três tipos no que diz respeito à relação entre o parâmetro e o valor em estudo. Podemos ter:

H0 H1

► O parâmetro é igual a “um valor”; µ=200

µ≠200

► O parâmetro é menor ou igual que “um valor”;

µ≤200

µ>200

► O parâmetro é maior ou igual que “um valor”.

µ≥200

µ<200

Reparemos que no primeiro caso H0 pode não se realizar em duas situações: quando o parâmetro for maior que “o valor” ou quando o parâmetro for menor que “o valor”. Isto indica que a área correspondente a H1 (não realização de H0) se pode encontrar à direita e à esquerda. Neste caso (caso de “igualdade”) estamos perante um teste dito “bilateral” pelo que a área se encontra dividida em duas partes iguais, a/2, situadas nas duas caudas da curva. Nos segundo e terceiro casos H0 só se pode não realizar quando o parâmetro for maior que “o valor” no primeiro caso ou quando o parâmetro for menor que “o valor” no segundo caso. Isto indica que a área correspondente a H1 (não realização de H0) se encontra toda de um dos lados, estando do lado direito no primeiro caso e do lado esquerdo no segundo. Neste caso (caso de “desigualdade”) estamos perante um teste dito “unilateral” pelo que a área se vai localizar toda numa ou noutra cauda consoante o teste em causa.O grau de probabilidade (1–a) usado neste tipo de teste é normalmente de 90%, 95%, 99% (ou outra desta ordem de grandeza). Estes valores de (1–a) estão associados à hipótese H0 e à hipótese H1 a probabilidade remanescente (a).Ao valor de (1–a), ou ao valor de (a), estão associadas áreas de igual valor delimitadas por valores da variável. No nosso exemplo, e em todos os exercícios em que não é feita referência ao grau de probabilidade, usa-se o valor de 0,95. Os valores que delimitam estas áreas terão de ser obtidos nas tabelas das distribuições respectivas. No nosso exemplo:

Parâmetro

Condições H0 H1Estatístic

aRegião Crítica

61


µ

Distribuição Normal e σ conhecido; ou n

“grande” (se σ desconhecido, usar

s’)

µ = µ0

µ ≤ µ0

µ ≥ µ0

µ ≠ µ0

µ > µ0

µ < µ0

ou

O valor que delimita a área de 0,95 da área de 0,05, o valor za, pode ser obtido na tabela da distribuição Normal reduzida. O valor que delimita a região crítica (ver o quadro acima) é za (valor que deixa à sua direita uma área a=0,05 ► ).Como za=1,96 e o Zcalculado=2, podemos dizer Z>1,96, o que quer dizer que o Z está na região crítica. Por isso “rejeitamos H0”.Como se compreenderá pela desproporção entre as duas probabilidades em jogo (0,95 versus 0,05), só em casos de elevada “força” do teste se vai verificar H1. É por este motivo que se deve associar H1 àquilo que se quer provar pois, se se puder afirmar que se rejeita H0, é porque o teste teve “força” suficiente para o fazer.

16. O tempo requerido pelos trabalhadores de uma exploração agrícola para executarem uma dada tarefa tem uma média de 50 minutos e um desvio padrão de 8 minutos. Para testar o progresso no rendimento dos trabalhadores num dado dia, o empresário decidiu registar os tempos que 60 trabalhadores levaram para executar tal tarefa.16.1. Qual a probabilidade de que a média da amostra seja superior a 52

minutos?

16.2. Se a média da amostra for 53 minutos, admitindo que o desvio padrão se mantém, deverá o empresário considerar que o rendimento dos trabalhadores na execução da dita tarefa diminuiu?Quando se diz que o rendimento diminuiu está-se implicitamente a querer dizer que o tempo médio de execução da tarefa aumentou.

H0: ≤ 50 minH1: > 50 min (associar a suspeita a H1)

Como o desvio padrão é conhecido, usa-se a distribuição normal reduzida (ver o quadro).

Como não é dado o valor de (1–a) tomamos esse valor por 0,95 (logo a=0,05).Consultando o quadro verificamos que a região crítica é dada por Z>z0,05. Pela tabela da distribuição normal reduzida verificamos que o valor da variável z que deixa à sua direita 0,05 (à sua esquerda 0,95) é z=1,96.Verificamos assim, que o valor calculado Z é superior ao valor da tabela.Assim, como Zcalculado>1,96 rejeitamos H0.

17. O peso das latas de conserva de uma dada marca, X, segue distribuição normal, devendo ter, de acordo com as normas, um peso médio de 100 gramas. O controle de qualidade escolheu uma amostra aleatória de 9 latas, que foram pesadas. Registaram-se os seguintes resultados:

Terá sido esta amostra proveniente de uma população com peso médio de 100 g? (a=0,05).

Parâmetro

Condições H0 H1Estatístic

aRegião Crítica

µ σ desconhecid

o: Distribuição

µ = µ0

µ ≤ µ0

µ ≥ µ0

µ ≠ µ0

µ > µ0

µ < µ0

ou

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Normal

Este teste para a média não apresenta o valor da variância nem a dimensão amostra é maior ou igual a 30. Assim, este teste será feito com o apoio da distribuição t-Student. As hipóteses são:

H0: µ=100gH1: µ≠100g

A região crítica (consultar o quadro) é T<-ta/2 ou T> ta/2. Usando a=0,05, a/2 vale 0,025 e o valor de t0,025 pode ser lido na respectiva tabela (que dá áreas à direita), na coluna de 0,025 e na linha n=8. Ter atenção que o “n” da tabela corresponde ao “n” da dimensão da amostra menos 1. Assim, t0,025=2,306, -t0,025=-2,306 e, portanto, Tcalculado>2,306; devemos rejeitar H0.

18. Para testar 2 variedades de milho foram escolhidos aleatoriamente 16 talhões, 8 cultivados com a variedade A e outros 8 com a variedade B.Os resultados da colheita foram os seguintes:

Sabendo que as produções de ambas as variedades são normalmente distribuídas e que σA

2= σB2:

18.1. Estimar um intervalo de confiança a 99% para a produção média de cada variedade.

18.2. Verificar se a variedade A é significativamente mais produtiva (a=1%) que a variedade B.Aqui, “verificar” é testar essa hipótese. Como se trata de uma comparação de média o teste de hipótese em causa é o da diferença de médias. Como foi referido anteriormente, aquilo que queremos provar deve ser associado a H1.Assim as hipóteses são:

H0: A≤BH1: A>B

Dadas as condições do problemas em que as variâncias são desconhecidas e em que as dimensões das amostras (nA e nB) são menores que 30 (ver quadro) a estatística do teste será a t-Student:

O limite da região crítica é T> ta. Partindo do valor de a=0,01 e dos valores de nA e nB iguais a 8 podemos tirar da tabela de t-Student os valores de t.

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t(0,01;14)=2,62449. Assim, como Tcalculado>2,62449 rejeita-se H0.

19. Uma máquina de ensacar açúcar está regulada para encher sacos com 16 kg. Para controlar o seu funcionamento escolheram-se ao acaso 15 sacos da produção de determinado período, tendo-se obtido os seguintes pesos:

16,0

16,1

15,8

15,9

16,1

15,8

16,2

16,0

15,9

16,0

15,7

15,8

15,7

16,0

15,8

19.1. Que conclusões tirar quanto ao funcionamento da máquina?

19.2. Os dados da amostra são compatíveis com a hipótese de que os pesos dos sacos cheios pela referida máquina apresentam uma variabilidade de 0,01kg2 ou seja com H0: σ2=0,01kg2?Estamos perante um teste de hipótese para a variância.

H0: σ2=0,01kg2

H1: σ2≠0,01kg2

Consultando o quadro dos testes de hipótese podemos ver que a estatística deste teste segue a distribuição de :

Parâmetro

Condições

H0 H1 Estatística Região Crítica

σ2 Distribuição Normal

σ2 = σ2

0

σ2 ≤ σ2

0

σ2 ≥ σ2

0

σ2 ≠ σ2

0

σ2 > σ2

0

σ2 < σ2

0

ou

s’=0,023kg (máquina calcular)A região crítica deste teste é bilateral (ver o quadro). Como esta distribuição não é simétrica como a da Normal ou a de t-Student há necessidade de recorrer à tabela duas vezes (nas outras recorria-se uma vez e depois usava-se também

o seu simétrico). Os limites da região crítica são e . Partindo do

valor de a=0,05 (quando o valor não é dado usa-se 1-a=095) e do valor de “n” igual a 15 podemos tirar da tabela de os respectivos valores.

Como o valor de , rejeita-se H0.

20. Está em estudo a validade de uma bebida gaseificada. Foram seleccionadas ao acaso 10 garrafas e testada a sua validade. Obtiveram-se os seguintes resultados (em dias):

108 124 124 106 115 138 163 159 134 13920.1. Construir um intervalo de confiança a 95% para µ.

20.2. Pode a hipótese nula H0: = 125 ser rejeitada? (a=0,05)

A estatística de teste é t-Student pois a variância é desconhecida e n<30.

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xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

20.3. Qual a decisão a tomar sobre as hipóteses H0: µ=125 versus H1: µ>125, considerando a=0,05?

20.4. Serão os dados da amostra compatíveis, para a=0,05, com:20.4.1. H0: σ2=400 versus H1: σ2≠400?

20.4.2. H0: σ2≥400 versus H1: σ2<400?

A região crítica é T<-t /2 ou T>t /2 . Usando =0,05, /2 vale 0,025 e ovalor de t0,025 pode ser lido na respectiva tabela, na coluna de 0,025 e na linha n=9.Assim, t0,025 = 2,26216, -t0,025 = 2,26216 e portanto -2,26216 Tcalculado 2,26216; assimnão devemos rejeitar H0.

20.3 - H0: 125H1: > 125A estatística de teste mantém-se, é t-Student, pois a variância édesconhecida e n<30.T=nsx'μ0 =1019,54131 125= 0,97nxi x = 101310 = 131 dias s’=19,54 diasA região crítica é agora T>t . Usando =0,05 o valor de t0,05 pode ser lidona respectiva tabela, na coluna de 0,05 e na linha n=9. Assim, t0,05 = 1,83311, e portanto -Tcalculado 1,83311; assim não devemos rejeitar H0.20.4 - Nestes dois testes de hipótese para a variância a estatística de teste é o 2.20.4.1 - H0: 2 = 400

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Inferência EstatísticaMiguel Soares Lopes Ficha 6 78222 2H1: 2 4002022 (n 1)s'=400(10 1) 382= 8,595s’2= 19,542 kg2 = 382 kg2A região crítica deste teste é bilateral (ver o quadro). Hánecessidade de recorrer à tabela duas vezes. Os limites da região crítica são2< e2> . Partindo do valor de =0,05 e do valor de “n” igual a 10podemos tirar da tabela de 2 os respectivos valores.2(0,025;9)= 19,0232(0,975;9)= 2,700Como o valor de 2,700 2calculado 19,023, não se rejeita H0.20.4.2 - H0: 2 400H1: 2 < 4002022 (n 1)s'=400(10 1) 382= 8,595s’2= 19,542 kg2 = 382 kg2A região crítica deste teste é unilateral (ver o quadro). Hánecessidade de recorrer à tabela uma vez. O limite da região crítica é 2< .Partindo do valor de =0,05 e do valor de “n” igual a 10 podemos tirar da tabela de2 o respectivo valor.2(0,95;9)= 3,325Como o valor de 2calculado ≥ 3,325, não se rejeita H0.21 - Uma empresa produz baterias para as quais as normas de fabrico indicam umaduração média mínima de um ano e meio. Recolhida uma amostra de 9 baterias, estasforam ensaiadas tendo fornecido a seguinte duração (em anos):2 1,4 1,6 1,4 1,8 1,5 1,9 1,6 1,221.1 - Apresentar uma estimativa para a variância da duração das baterias.21.2 - Testar a hipótese H0: 2 = 0,11 , para um nível de significância de 1%.21.3 - Pressupondo 2 = 0,11 , verificar se é de admitir uma duração médiaconforme as normas de fabrico ( = 0,05).Resolução:21 -21.1 - A estimativa para a variação da duração das baterias é o s’2.s’2 = 0,07 anos2 (máq. calcular)21.2 - H0: 2 0,11

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H1: 2 ≠ 0,112022 (n 1)s'=0,11(9 1) 0,07= 4,91A região crítica deste teste é bilateral (ver o quadro). Há necessidade derecorrer à tabela duas vezes. Os limites da região crítica são 2< e2> .Inferência EstatísticaMiguel Soares Lopes Ficha 6 79Partindo do valor de =0,01 e do valor de “n” igual a 9 podemos tirar da tabela de2 os respectivos valores.2(0,005;8)= 21,9552(0,995;8)= 1,344Como1,344 2calculado 21,955,não se rejeita H0.21.3 - Pede-se, neste caso, um teste de hipótese para a média da população com avariância conhecida. As normas de fabrico apontam para uma duração médiamínima de 1,5 anos.H0: 125H1: > 125A estatística de teste é Z:Z=nx 0 =90,331,6 1,5= 0,90Consultando o quadro verificamos que a região crítica é dada por Z>z0,05. Pelatabela da distribuição normal reduzida verificamos que o valor da variável z quedeixa à sua direita 0,05 (à sua esquerda 0,95) é z=1,96.Verificamos assim, que o valor calculado Z é inferior ao valor da tabela.Assim, como Zcalculado>1,96 rejeitamos H0.22 - Um fabricante comprou um lote de 3000 componentes eletrónicos a uma grandeempresa. Depois de detetar algumas avarias nesses componentes, suspeitou que aproporção de componentes avariados era superior a 7%. Para se certificar da suasuspeição recolheu uma amostra aleatória de 80 desses componentes onde detetou 8 comdefeito. Construa um teste de hipótese a 95% de confiança tendo em vista a confirmaçãoda suspeita.Resolução:22 - Neste problema é-nos pedido um teste de hipótese para uma proporção.As hipóteses são:H0: p ≤ 0,07H1: p > 0,07 (aquilo que se quer provar)n = 808 componentes dos 80 apresentam defeito.1 – = 0,95 = 0,05

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pˆ =808= 0,1Região crítica: Z>z Z>1,65 ;Mas 1,05 < 1,65 pelo que não se rejeita H0 .1,050,0290,03800,07(1 0,07)0,10 0,07n(1 )ˆZ0 00p pP pInferência EstatísticaMiguel Soares Lopes Ficha 6 8023 - Numa disputa eleitoral pela direção de uma coletividade, uma das listas quisaveriguar as suas possibilidades de eleição. A coletividade sabia que, para ser a listamais votada, bastaria atingir 40% dos votos. Para isso inquiriu de forma aleatória umaamostra de 70 eleitores e registou a sua intenção de voto. Obtiveram-se 32 votos a favorda lista. Construa um teste de hipótese a 95% de confiança no sentido de verificar dapossibilidade desta lista chegar ao poder.Resolução:23 - Neste problema é-nos pedido um teste de hipótese para uma proporção.As hipóteses são:H0: p ≤ 0,40H1: p > 0,40 (aquilo que se quer provar)n = 7032 votos a favor na amostra dos 70 inquiridos.1 – = 0,95 = 0,05pˆ =7032= 0,457Região crítica: Z>z Z>1,65 ;Mas 0,973 < 1,65 pelo que não se rejeita H0 (poderá não ser eleita a lista emcausa).24 - O patrocinador de um programa de televisão espera que, em pelo menos 55% dasresidências, se assista ao programa numa determinada área metropolitana. Para umaamostra de 100 residências nesta área, 69 delas estão sintonizadas no programa. Teste,para um nível de significância de 10%, a veracidade da suposição do patrocinador.Resolução:24 - Neste problema é-nos pedido um teste de hipótese para uma proporção.As hipóteses são:H0: p ≤ 0,55H1: p > 0,55 (aquilo que se quer provar)n = 10060 residências sintonizadas no programa na amostra de 100 residências inquiridasnessa área.

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= 0,10 1 – = 0,90pˆ =10062= 0,620,9730,05860,057700,40 (1 0,40)0,457 0,40n(1 )ˆZ0 00p pP p1,410,04970,071000,55 (1 0,55)0,62 0,55n(1 )ˆZ0 00p pP pInferência EstatísticaMiguel Soares Lopes Ficha 6 81Região crítica: Z>z Z>1,28 ;Como 1,41 > 1,28 , rejeita H0 (deverá ser eleita a lista em causa).25 - Na fábrica Peça-Auto de componentes para a indústria automóvel o departamentode qualidade estabeleceu que o comprimento de uma determinada peça deve estarcompreendido entre 120 e 122 milímetros. Foi recolhida uma amostra de 100 peças e osresultados obtidos para a variável comprimento foram os seguintes:100112110ii x e1001( )2 1550ii x x25.1 - Construa um intervalo de confiança para a média do comprimento daspeças com um nível de confiança de 92%.25.2 - O Diretor de Produção afirma que menos de 4% das peças produzidas têmum comprimento que se afasta do estabelecido pelo departamento de qualidade.De forma a obter evidência favorável à sua afirmação recolheu uma amostra de

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200 peças, tendo obtido 194 com comprimento adequado. Efetue um teste dehipóteses, com um nível de significância de 2%, que permita suportar a posiçãodefendida pelo Diretor de Produção.Resolução:25 -25.1 - Nesta alínea é pedido um intervalo de confiança para a média, não seconhece a variância mas o n≥30. Assim, a expressão para calcular o intervalo deconfiança vai usar a distribuição normal.121,1 100X 12110 mm , ' 3,96 99s 1550 mm e z0,96=1,75X – zns'X + zns'121,1 – 1,75 3,96/ 100 121,1 – 1,75 3,96/ 100120,41 121,79325.2 - Nesta alínea é-nos pedido um teste de hipótese para uma proporção.As hipóteses são:H0: p 0,04H1: p > 0,04 (aquilo que se quer provar)n = 200190 parafusos com comprimento adequado em 200 parafusos, significa 10parafusos sem comprimento adequado.= 0,02 1- =0,98pˆ =20010= 0,05Região crítica: Z>z Z>2,05 ;Como 0,649 < 2,05 não se rejeita H0 (o Diretor poderá não ter razão).0,6490,01540,012000,05 (1 0,05)0,05 0,04n(1 )ˆZ0 00p p

P p

70

Exercícios Probabilidades e Estatística

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