Problema proposto ou problema resolvido : qual a diferença?Problema proposto ou problema...

449Educação e Pesquisa, São Paulo, v.35, n.3, p. 449-461, set./dez. 2009

Problema proposto ou problema resolvido: qual adiferença?*

Jader Otavio DaltoRegina Luzia Corio de BuriascoUniversidade Estadual de Londrina

Resumo

Este trabalho apresenta um estudo sobre a produção escrita presentena questão comum à 8ª série do ensino fundamental e à 3ª série doensino médio da Prova de Questões Abertas de Matemática da Ava-liação do Rendimento Escolar do Estado do Paraná – AVA/2002. Aabordagem metodológica adotada é predominantemente qualitativa,orientando-se pelas técnicas da análise de conteúdo como ferramen-ta de compreensão e inferência da produção escrita dos alunos emuma amostra de 97 provas. Após a correção e a realização de agru-pamentos, foram identificadas quatro categorias de resolução daquestão. Em cada categoria, foram inferidos enunciados de proble-mas que os estudantes parecem ter compreendido e resolvido apartir da interpretação que fizeram do enunciado da questão pro-posta. Como resultados gerais, tem-se que: a) as estratégias utili-zadas pelos estudantes para resolver a questão não diferem muitode uma série para outra; b) o desempenho dos estudantes da 3ªsérie do ensino médio é melhor que o desempenho dos estudantesda 8ª série do ensino fundamental; c) a maioria dos estudantesresolveu a questão utilizando operações aritméticas como adição,subtração, multiplicação e divisão, o que está sendo consideradoaqui como uma estratégia aritmética. A análise aponta ainda indí-cios de que o baixo desempenho dos estudantes está mais asso-ciado à dificuldade de compreender o enunciado da questão, eque eles ‘dominam’ parte do ‘conteúdo matemático’ necessário àresolução desta.

Palavras-chave

Educação Matemática – Avaliação da aprendizagem em Matemática Es-colar – Produção escrita – Acerto e erro em Matemática.

Correspondência:Regina Luzia Corio de BuriascoRua Eduardo Benjamin Hosken, 173,apto 50186020-440 - Londrina - PRe-mail: [email protected]

* Artigo baseado em dissertação(Dalto, 2007) e parte de um progra-ma de pesquisa, cujo objeto de estudoé a produção escrita de alunos e pro-fessores na Prova de Questões Aber-tas de Matemática – AVA/2002.

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Problem posed or problem solved: what is thedifference?*

Jader Otavio DaltoRegina Luzia Corio de BuriascoUniversidade Estadual de Londrina

Abstract

This work describes a study about the written production presentin a question that is common to the exams of the 8th grade of thefundamental education and 3rd grade of secondary education inthe Mathematics Open Questions Exam of the Assessment ofSchool Performance of the State of Paraná — AVA/2002. Themethodological approach adopted here is predominantly quali-tative, guided by the techniques of content analysis as a tool ofinference and understanding of the written production of studentsin a sample of 97 exams. After correction and grouping, fourquestion solution categories were identified. For each category aninference was made of the question formulation that studentsseem to have understood and solved based on the interpretationthey made of the question proposed. In broad terms, results werethat: a) strategies employed by students to solve the questions didnot vary significantly between the two grades analyzed; b) theperformance of students of the 3rd grade of secondary educationwas better than that of students from the 8th grade of fundamen-tal education; c) most students solved the question usingarithmetic operations such as addition, subtraction, multiplicationand division, which is being considered here as an arithmeticstrategy. The analysis also indicated that poor student perfor-mance is more closely related to difficulties in understanding theformulation of the question, and that students “master” part of the“mathematical content” necessary for its solution.

Keywords

Mathematical education — Learning assessment in schoolmathematics — Written production — Right and wrong answers inmathematics.

Contact:Regina Luzia Corio de BuriascoRua Eduardo B. Hosken, 173, apto 50186020-440 - Londrina - PRe-mail: [email protected]

* This article is based on a thesis (Dalto,2007), and on part of a researchprogram whose object is the writtenproduction of students and teachers inthe Mathematics Open QuestionsExam (Prova de Questões Abertas deMatemática) – AVA/2002.

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Avaliações estaduais, nacionais e interna-cionais do rendimento vêm fazendo parte docotidiano escolar há alguns anos. Nas primeirasedições do Sistema de Avaliação do RendimentoEscolar do Estado do Paraná — AVA —, as pro-vas de matemática continham apenas questõesde múltipla escolha. Entretanto, na edição de2002, uma prova de questões abertas de ma-temática foi resolvida por um terço dos alunosda 4ª e 8ª séries do ensino fundamental — EF— e 3ª série do ensino médio — EM. Essa Pro-va1 é composta por três ou quatro questõesabertas, também chamadas discursivas. Nessetipo de questão, o aluno deve ler a questão,compreender e interpretar o enunciado, esco-lher uma estratégia ou um procedimento pararesolver a questão, registrar seu raciocínio, seuscálculos ou o que for necessário para somenteentão apresentar a resposta.

De modo geral, não apenas os resultadosda AVA, mas também resultados das demaisavaliações como SAEB, PISA entre outras, reve-lam o baixo desempenho dos estudantes brasi-leiros, em especial no que se refere à matemá-tica. Contudo, tais resultados não garantemrespostas a perguntas tais como: que “Matemá-tica” os alunos conhecem? Como eles utilizamesse conhecimento na resolução de problemas,apresentando ou não uma solução correta?

Diante disso, procurou-se, a partir deuma amostra da Prova aplicada em todo o es-tado do Paraná, analisar a produção escrita dealunos na questão comum à Prova da 8ª sériedo EF e à da 3ª série do EM.

A avaliação e o processo deensino e de aprendizagem

A avaliação é uma prática complexa que,apesar de ser objeto de estudo de pesquisadoresda área da Educação há muitos anos, ainda éconsiderada por muitas pessoas como sendoapenas um ato de medida. Tal concepçãosimplista vai de encontro com as reais funçõesda avaliação que são apresentadas por autorescomo Abrantes (1995), Hadji (2001), Esteban

(2002), Buriasco (2002; 2004). Em suas pesqui-sas, esses autores afirmam que a avaliação deveestar a serviço da ação pedagógica e deve sertambém um mecanismo de regulação do pro-cesso educativo.

Na mesma direção, Sacristán (1998) de-fine avaliação como sendo:

[...] qualquer processo por meio do qual al-guma ou várias características de um aluno/a,de um grupo de estudantes, de um ambienteeducativo, de objetivos educativos, de mate-riais, professores/as, programas etc., recebema atenção de quem avalia, analisam-se e va-lorizam-se suas características e condições emfunção de alguns critérios ou pontos de refe-rência para emitir um julgamento que seja re-levante para a educação. (p. 298)

Assim, o processo avaliativo não se resu-me a apenas ‘medir’, verificar, mas implica emum julgamento de valor que, por sua vez, im-plica na tomada de decisões que devem promo-ver melhoria no objeto sob avaliação. Contudo,existem ainda hoje práticas avaliativas baseadasapenas na verificação do rendimento escolar, demodo a cumprir apenas as exigências adminis-trativas da escola. Esteban (2002) consideraque tais práticas são realizadas sob a ótica doexame, o que não tem sido muito eficaz noprocesso de ensino e de aprendizagem, uma vezque não possibilita a observação de um proces-so tão complexo como esse. O problema daavaliação na lógica do exame parece não resi-dir na avaliação em si, mas sim na maneiracomo ela é encarada. Estabelece-se um padrãoque é utilizado como instrumento de compara-ção, classificação, diferenciação e, sobretudo,de exclusão (2002).

Para que a avaliação possa efetivamen-te ser utilizada como instrumento de regulaçãodo processo de ensino e aprendizagem dematemática, talvez o primeiro passo seja a

1. No decorrer do trabalho, “Prova” deve ser entendida como a Prova deQuestões Abertas de Matemática do AVA/2002.

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mudança na forma como os erros dos alunossão encarados. Pesquisadores da área da Edu-cação têm dado muita atenção aos erros come-tidos pelos estudantes (Radatz, 1980; Borasi,1987; Rico, 1995; Buriasco, 2000; Esteban,2001; Hadji, 2001; Cury, 2004).

Para Borasi (1987), os erros cometidospelos estudantes podem, entre outras coisas, serutilizados como ponto inicial para exploraçãomatemática. De um modo geral, os erros po-dem ainda ser utilizados como:

a) diagnóstico e remediação: quando o focoda utilização dos erros reside sobre o diag-nóstico das causas que levam ao erro e sobreos mecanismos que possam levar à sua supe-ração, de forma que tais causas possam serevitadas futuramente com outros estudantes;b) investigação: quando os erros são utilizadoscomo mecanismos motivacionais para a investi-gação sobre o conteúdo matemático relaciona-do ao erro, à natureza da Matemática e ao pró-prio processo de ensino e de aprendizagem.

Dessa forma, quando o professor corri-ge a produção escrita de um estudante e con-sidera apenas a resposta da questão como to-talmente certa ou errada, estará perdendo umaoportunidade de verificar os conhecimentosque ele já elaborou e aqueles que estão emprocesso de elaboração, assim como os erroscometidos pelos estudantes, que podem forne-cer importantes informações sobre o processode ensino e de aprendizagem.

Algumas considerações sobre aeducação algébrica

O baixo rendimento em Matemática, emparticular em relação aos conteúdos algébricos,parece estar relacionado com a maneira como aálgebra é trabalhada nas escolas. Ameron (2002)afirma que, nas escolas em geral, a álgebra es-colar tradicional é apresentada aos alunos comoum sistema rígido, abstrato e predeterminado,com poucas ligações com o mundo real. Assim,

o ensino desta usualmente é iniciado com suasregras sintáticas, com a linguagem simbólica querapidamente é formalizada, tendo-se o contex-to matemático como ponto de partida em detri-mento das aplicações dela.

Dentre as inúmeras atividades nas quaisos alunos se envolvem durante o processo deensino e de aprendizagem de álgebra, Ameron(2002) afirma que se podem propor tarefasrelacionadas ao pensamento algébrico e àsimbolização algébrica com o intuito de que osalunos desenvolvam competências relacionadasao pensamento e à linguagem algébrica. Ana-lisando os resultados das pesquisas de Vygotsky(2005) sobre pensamento e linguagem, essaideia pode ficar mais clara. Esse autor, em suaspesquisas, concluiu que a relação existenteentre pensamento e palavra é produto do de-senvolvimento histórico da consciência huma-na. Tal relação “não é uma coisa, mas um proces-so, um movimento contínuo de vaivém do pen-samento para a palavra e vice-versa” (p. 156). As-sim, conclui-se que pensamento e linguagem sãointerdependentes, uma vez que

[...] o pensamento nasce através das pala-vras. Uma palavra desprovida de pensamen-to é uma coisa morta, e um pensamentonão expresso por palavras permanece umasombra. (p. 190)

Em relação ao pensamento algébrico,Fiorentini, Fernandez e Cristóvão (2005) tomam,como principal referência para identificar seudesenvolvimento, a análise das produções ouresoluções dos estudantes. Para esses autores, opensamento algébrico pode ser classificado emtrês fases: a pré-algébrica, a de transição e a dopensamento algébrico mais desenvolvido.

Quando os estudantes iniciam o estudoda álgebra, eles se deparam com algumas difi-culdades. Booth (1995) afirma que, para sedescobrir por que a álgebra se torna tão difícilpara esses estudantes, podem-se identificar ostipos de erros que eles frequentemente come-tem e as causas que os levam a cometê-los.

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Tem-se, aqui, que os erros são utilizados comos propósitos de diagnóstico e de remediação(Borasi, 1987), uma vez que a intenção é de seconhecer os mecanismos que estão produzin-do esses erros e proporcionar meios para queeles sejam superados.

Assim, se for considerado que um dosobjetivos de se trabalhar com álgebra nos EF eEM é fazer com que os alunos desenvolvam oraciocínio algébrico, é fundamental que esses eos demais tipos de erros, quando surgirem, se-jam detectados, superados ou aproveitados comooportunidades para explorações matemáticas. Emgeral, os erros, bem como os obstáculos e osdemais mecanismos produtores destes, podemser detectados durante o processo avaliativo,desde que este esteja voltado para a aprendiza-gem do aluno. Assim, num processo avaliativo,cuja perspectiva seja a de contribuir para o pro-cesso de ensino e de aprendizagem, a produçãoescrita do estudante pode fornecer informaçõessobre a maneira com que ele mobiliza o seu co-nhecimento para a resolução de problemas.

Procedimentos metodológicos

Considerando as questões norteadoras e osobjetivos desta investigação, optou-se por utilizaruma abordagem predominantemente qualitativa deinvestigação que, de acordo com Garnica (2004),tem como uma das características

[...] a não neutralidade do pesquisadorque, no processo interpretativo, vale-se desuas perspectivas e filtros vivenciais préviosdos quais não consegue se desvencilhar;além de que a constituição de suas com-preensões dá-se não como resultado, masnuma trajetória em que essas mesmas com-preensões e também os meios de obtê-laspodem ser (re)configuradas. (p. 86)

Por conseguinte, não se pode garantirque os resultados aqui apresentados sejamgeneralizáveis e não transitórios; não se iden-tificou uma hipótese que se quisesse compro-

var ou refutar; na análise interpretativa, asinferências, realizadas durante todo o proces-so de análise, estão impregnadas das “perspec-tivas e filtros vivenciais” dos pesquisadores.

A análise da produção escrita dos estu-dantes referente à Questão2 Comum da 8ª sériedo EF e 3ª série do EM da AVA/2002 foi rea-lizada à luz da análise de conteúdo (Bardin,1977), que consiste em um conjunto de técni-cas que pretende analisar as formas de comu-nicação verbal e não verbal.

A Questão Comum é a seguinte: Um en-canador A cobra por cada serviço feito um va-lor fixo de R$60,00 mais R$18,00 por hora detrabalho. Um outro encanador B cobra um valorfixo de R$24,00 mais R$36,00 por hora de tra-balho. Sendo t o tempo, medido em horas, paraquais valores de t o encanador A fica mais ba-rato que o B?

De acordo com Buriasco, Cyrino e Soa-res (2003), o quadro a seguir expressa o que eraesperado dos alunos de cada uma das sériesenvolvidas ao resolverem essa Questão.

A investigação que deu origem a esteartigo baseou-se na análise de 97 Provas3 con-tidas em amostra representativa de alunos doestado do Paraná, sendo 53 Provas de estudan-tes que em 2002 estavam na 8ª série do EF e44 que estavam na 3ª série do EM.

O primeiro procedimento realizado comas Provas foi uma correção mais geral, de acor-do com a proposta do Manual de Correção de

2. Neste trabalho, a expressão Questão deve ser entendida como a Ques-tão Comum à 8ª série do ensino fundamental e à 3ª série do ensino médioda Prova de Questões Abertas da AVA/2002.3. Para maiores detalhes sobre como foram selecionadas essas Provas,ver Dalto (2007).

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Questões Abertas (Buriasco; Cyrino; Soares,2003). Em seguida, procurou-se realizar umacorreção mais detalhada com o intuito de ve-rificar não apenas se as resoluções estavamcorretas ou não, mas também de verificar asmaneiras como os estudantes abordaram aQuestão. Em seguida, para facilitar o proces-so de descrição e de inferência, conformepropõe a análise de conteúdo, as resoluçõesdos estudantes foram agrupadas de acordocom suas particularidades.

Resultados

A correção das Provas foi realizada utili-zando-se os critérios propostos no Manual paraCorreção de Provas (Buriasco; Cyrino; Soares,2003). A proposta desse manual é separar asresoluções dos estudantes em: resolução correta— crédito completo (código 2); resolução parci-almente correta — crédito parcial (código 1); re-solução incorreta — nenhum crédito (código 0);sem resolução (em branco) — nenhum crédito(código 94). Os resultados desse primeiro levan-tamento quantitativo estão dispostos na Tabela 1.

Observando os dados da Tabela 1 épossível verificar que, basicamente, a produçãoescrita dos estudantes sugere uma pequenadiferença no desempenho destes, quando com-parados por série, sendo que é um poucomelhor o desempenho dos da 3ª série do EM.Assim, num segundo momento, com o intuitode se verificar a existência de diferenças qua-litativas na produção escrita apresentada pelosestudantes nas Provas, foi iniciada uma novaetapa, mais detalhada, de correção. Para a pri-meira correção, não houve preocupação com otipo de estratégia apresentada pelo estudante,

apenas procurou-se verificar se as resoluçõesestavam corretas, parcialmente corretas ou in-corretas. Já na segunda correção, procurou-sedescrever a produção escrita de cada estudan-te, explicitando a estratégia e o procedimentoutilizado ao abordar o problema. Considera-se,neste trabalho, estratégia como a maneira pelaqual o estudante abordou o problema. Porexemplo, para resolver um problema, um estu-dante pode utilizar uma estratégia algébrica, umaaritmética etc. Já o procedimento relaciona-se aoprocesso de desenvolvimento da estratégia.

Não é uma tarefa fácil classificar o pen-samento algébrico do estudante, utilizando-seda sua produção escrita, por pelo menos doismotivos: primeiro, porque se está consideran-do apenas a sua produção escrita, ou seja,aquilo que ele deixou registrado ao resolveruma questão; em segundo lugar, as categori-zações apresentadas na literatura parecem pos-suir uma zona nebulosa nas linhas divisóriasexistentes entre as categorias, o que dificulta otrabalho de classificação. Assim, optou-se, nestetrabalho, por utilizar apenas duas categorias:algébrica e não algébrica.

Na Tabela 2, apresentam-se os proces-sos de resolução das questões, independente docrédito que foi atribuído a ela. Considerou-secomo não algébrica toda produção escrita naqual existiam apenas operações aritméticas (adi-ção, subtração, multiplicação, divisão) com nú-meros. Considerou-se como algébrica a produ-ção escrita que apresentava pelo menos indíciosou da utilização de incógnitas ou variáveis ouda utilização de entes algébricos como equa-

4. No entanto, a amostra de 97 Provas utilizada neste estudo foi determinadade tal forma que não contivesse prova alguma que apresentasse questões embranco, já que o objetivo da investigação era analisar a produção escrita.

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ções, inequações, funções. Foram consideradoscomo ‘outra’ a produção escrita que não se en-quadrava em nenhuma das classificações ante-riores como, por exemplo, aquela que nãoapresentava qualquer registro de cálculo, masapresentava uma resposta para o problema.

Pode-se verificar, analisando a Tabela 2 eaplicando o Teste Qui-quadrado, excluindo a ca-tegoria “outro”, que não existe diferença quantita-tiva significativa (p=0,5164) referente ao proces-so registrado pelos estudantes em suas produçõesescritas quando comparados por série, indicandoque a escolha do processo de resolução independeda série, ou seja, não se pode afirmar que, por es-

tarem em um nível mais elevado de escolaridade,mais estudantes da 3ª série do EM escolheram umaestratégia algébrica. Analisando a produção escri-ta dos estudantes referente à Questão, não sepode afirmar que a maioria dos estudantes nãosabe resolver problemas algebricamente, uma vezque o simples fato de não ter escolhido uma es-tratégia que gerasse uma produção consideradaalgébrica não revela que o estudante desconheçaalguma. O que se pode inferir é que a produçãoescrita dos estudantes revela que eles se sentemmais seguros quando utilizam uma estratégia quegerou uma produção considerada não algébrica.

Após a segunda etapa de correção, pro-curou-se agrupar as produções escritas da ques-tão sob análise em nove grupos excludentes,uma vez que cada Prova foi classificada emapenas um grupo, conforme critérios apresenta-dos no Quadro 2. Havia Provas que apresentavamcaracterísticas de mais de um grupo. Portanto,para enquadrá-las neste ou naquele grupo, op-tou-se por utilizar a característica da resolução

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que estivesse diretamente relacionada com a res-posta apresentada pelo estudante.

A partir dos agrupamentos feitos, as pro-vas de cada Grupo foram analisadas mais cui-dadosamente. Tal análise apresentou indíciosde que os estudantes resolvem problemas dife-rentes daquele problema que foi proposto. Con-sidera-se Problema Proposto aquele que cons-tava originalmente na Prova e que se esperavaque fosse resolvido pelo estudante, e ProblemaResolvido aquele que, mediante a produçãoescrita, inferiu-se que cada estudante resolveucomo resultado da interpretação que fez doProblema Proposto.

Como exemplo, pode-se citar a produçãoescrita das Provas do Grupo G1. De modo geral,verifica-se nas Provas o cálculo do valor doserviço dos encanadores, considerando apenas ovalor cobrado por hora. Assim, no ProblemaResolvido, os estudantes desconsideraram o pre-ço fixo cobrado pelos dois encanadores paraserviços de qualquer hora de duração. Tal fatopode ser claramente verificado nas respostasapresentadas nas Provas. Exemplo de resposta

1: “A partir do momento que ao contratarmos oencanador A por horas se tornará mais baratopor que ele cobra R$ 18,00 a hora e o encana-dor B cobra R$ 36,00”. Pode-se inferir que o es-tudante que a escreveu pode ter compreendidoque se poderiam contratar os encanadores porhora ou pelo preço fixo. Assim, a resposta apre-sentada pelo estudante está adequada ao Pro-blema Resolvido, mas não ao Problema Propos-to. Exemplo de resposta 2: “O encanador A sem-pre ficará mais barato se for cobrado só pelotempo de trabalho”. Assim como no exemploanterior, o estudante que a escreveu pode tercompreendido que os encanadores cobrariam oserviço por um preço fixo, independente dotempo gasto, ou por hora de trabalho. Analisan-do as respostas apresentadas por estes, pode-seinferir que eles teriam resolvido o seguinte pro-blema, que será denominado Problema Resolvi-do 1: Um encanador A cobra por cada serviçofeito um valor fixo de R$ 60,00 ou R$ 18,00 porhora de trabalho. Um outro encanador B cobraum valor fixo de R$ 24,00 ou R$ 36,00 porhora de trabalho. Em qual das opções o enca-

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nador A fica mais barato? Pode-se considerarque esse problema e o Problema Proposto refe-rem-se a situações diferentes, mas descritas demaneiras aparentemente semelhantes. É impor-tante destacar que a análise da produção escri-ta desses estudantes mostra que eles são capa-zes de resolver problemas como o ProblemaResolvido 1, com estratégias e procedimentosque resolveriam também o Problema Proposto.

Analisando as Provas dos demais grupos,foram inferidos outros cinco problemas quesupostamente foram resolvidos pelos estudan-tes, conforme o quadro a seguir.

Após a descrição dos grupos, definiram-se quatro categorias a partir das estratégiasutilizadas pelos estudantes ao abordarem oproblema. A seguir, apresenta-se uma descriçãodas categorias.

Categoria Custo Não Variável — o custo doserviço de um encanador sempre será menor queo do outro, independente do tempo de duraçãodo serviço — nessa categoria estão as resoluçõesG1, G5, G6 e G95, nas quais são utilizados pro-cedimentos algébricos ou não algébricos paraencontrar o custo de um serviço de uma dura-ção específica, não obrigatoriamente o custo deum serviço de uma hora. Em parte das Provasdessa categoria, verifica-se a utilização dos va-lores fixos e dos valores cobrados por hora deambos os encanadores para encontrar o custo deum serviço. Dessas resoluções, infere-se que osestudantes compreenderam que bastava encon-trar o custo de um serviço de uma hora especí-fica de duração e verificar qual dos encanado-res teria menor custo para aquele determinadoserviço. Em outra parte das Provas dessa cate-goria, verifica-se a utilização apenas do valorcobrado por hora de trabalho para calcular ovalor de um serviço para ambos os encanadores.De acordo com os registros das Provas dessegrupo, parece que os estudantes apenas con-sideraram os valores cobrados por hora de tra-balho para calcular os custos dos serviços dosencanadores A e B. Outros parecem ter consi-derado o valor fixo apenas para um serviço deuma hora de duração.

Categoria Custo Variável — o custo deum dos encanadores não é sempre menor queo custo do outro — nessa categoria, estão asresoluções G7 e G9, nas quais são utilizados,por meio de procedimentos algébricos ou nãoalgébricos, os valores fixos e os valores cobra-dos por hora para calcular o valor de serviçosde diferentes horas de duração para ambos osencanadores, consecutivas ou não. Infere-se, apartir da produção escrita dos estudantes pre-sente nas Provas, que desenvolveram uma es-tratégia que resolve o problema proposto, poiscalcularam os custos dos encanadores paraserviços de diferentes durações, sendo que amaioria calculou o custo referente a serviços deuma, duas e três horas de duração. Em partedas Provas dessa categoria, verifica-se a utili-zação de funções para calcular o custo dosencanadores A e B. Infere-se, a partir das reso-luções apresentadas nas Provas, que os estu-dantes desenvolveram uma resolução que seconsidera, neste trabalho, como uma resoluçãoalgébrica do Problema Proposto. Baseando-sena classificação do desenvolvimento do pensa-mento algébrico de Fiorentini, Fernandez eCristóvão (2005), pode-se inferir, por meio daanálise da produção escrita desses estudantes,que eles se encontram na fase algébrica, umavez que mesmo não utilizando a linguagemsimbólica corretamente, percebe-se que os es-tudantes foram capazes de escrever as expres-sões das funções que descreviam os custos dosserviços dos encanadores A e B, o que demons-tra algum processo de generalização.

Categoria Diferença — um encanador émais barato que o outro, dependendo da dife-rença dos preços cobrados por hora por eles —nessa categoria, estão as resoluções G2, nasquais se subtrai do preço cobrado por hora peloencanador B o respectivo preço do encanador A.De acordo com a produção escrita registrada nasProvas, pode-se inferir que os estudantes con-sideraram que se deveria apenas calcular quantos

5. Partes das Provas do Grupo G9 enquadram-se na categoria Custo NãoVariável e a outra parte, na categoria Custo Variável.

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reais o valor cobrado por hora do encanador Aé mais barato que o respectivo valor cobradopelo encanador B. Percebe-se, assim como nacategoria Custo Não Variável, a utilização equi-vocada de informações do problema, pois osestudantes não consideraram todas as informa-ções para a solução do problema proposto.

Categoria Outros — nessa categoria, es-tão outras resoluções (G3, G4, G8) que nãosolucionam o problema. Essas Provas apresen-tam estratégias diversas. Em algumas delas,

apenas se verifica a resposta; em outras, veri-ficam-se alguns cálculos como já foi descrito.

O Quadro 4 permite uma melhor com-preensão das categorias anteriormente defini-das. A Tabela 3 mostra que a grande maioriados Problemas Resolvidos identificados a par-tir da produção escrita presente nas Provasapresenta resolução correta. Em 36 das 97Provas em estudo, foram identificadas resoluçõesreferentes a problemas diferentes daquele quefoi proposto. Dessas 36 Provas, 30 delas apre-

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sentam resolução correta para o Problema Resol-vido identificado. Esse resultado sugere que o es-tudante resolve corretamente o problema queconsegue compreender ao ler seu enunciado. As-sim, parece que o baixo desempenho dos estu-dantes não está relacionado ao desconhecimen-to do instrumental matemático necessário pararesolver o problema proposto, como tambémapontaram as pesquisas de Perego (2005),Nagy-Silva (2005), Segura (2005), Perego(2006), Alves (2006) e Negrão de Lima (2006).

Algumas considerações

De um modo geral, os resultados desteestudo mostram que menos de 20% dos estu-dantes apresentaram uma resolução consideradacomo correta para a Questão. Entretanto, ain-da assim, seria precipitado afirmar que os 80%restantes “não sabem Matemática”. Esse fato ficaclaro quando são comparadas as Tabelas 1 e 3,já que nessa última percebe-se que os estudan-tes são capazes de resolver os Problemas Resol-vidos inferidos nesta investigação. Dessa forma,em uma avaliação que pretende verificar se osestudantes são capazes de resolver problemas,esse fato não pode ser desconsiderado.

O baixo desempenho dos estudantes de-monstrado (Tabela 1) parece que não é deriva-do do desconhecimento do instrumental mate-mático que pode ser utilizado na resolução daQuestão, mas que está fortemente relacionadoà compreensão do seu enunciado, bem como àidentificação do tipo de instrumental mais ade-quado para resolvê-la. Esse fato ficou claro aose analisar a produção escrita dos estudantes,principalmente suas respostas, uma vez quemuitas delas expressam a diferente compreen-são que tiveram do enunciado da Questão.

Verificou-se que a maioria dos estudan-tes, tanto os da 8ª série quanto os da 3ª série,abordou o problema de uma maneira aqui con-siderada como não algébrica, envolvendo ape-nas as operações com números inteiros, usuaisnas aulas de matemática da educação básica. Éimportante destacar que não se pode concluir

que esses estudantes desconhecessem algumaestratégia algébrica que resolve a Questão, massim que foram capazes de identificar uma estra-tégia adequada considerada não algébrica. Essaé uma das limitações desta investigação, ou seja,não se pode inferir, a partir da análise da pro-dução escrita dos estudantes referentes à Ques-tão, aquilo que eles não são capazes de fazer.Considerando que os estudantes da 3ª série doEM frequentaram a escola por três anos a maisque os estudantes da 8ª série do EF, que porconseguinte tiveram acesso a ‘mais’ conteúdosmatemáticos e que a álgebra compreende gran-de parte de todo o currículo de Matemática,esperava-se que o número de estudantes da 3ªsérie que escolheram uma estratégia algébricafosse maior que o de estudantes da 8ª série.Portanto, esses resultados levam ao questio-namento acerca de como os estudantes estãoconcebendo o conhecimento algébrico: apenascomo uma simples linguagem desprovida de sig-nificado sem qualquer aplicabilidade na vida co-tidiana? Evidencia-se, portanto, um problemapara futuras investigações.

É importante destacar, como era espera-do, que se verificou em apenas uma das Provasdos estudantes da 3ª série do EM a resolução daQuestão utilizando inequação. Ao aplicar a mes-ma Questão para um grupo de professores deMatemática, Segura (2005) verificou que apenas25% resolveram-na utilizando inequação. Pode-se considerar, então, que a utilização da ine-quação como um procedimento de resoluçãoda Questão foi difícil de ser identificado atémesmo para os professores. Uma investigaçãoacerca disso poderia ser desenvolvida para serelacionar tais fatos.

Em um de seus livros, o escritor russo LeonTolstoi (apud Alves, 1993) afirma: “Há quempasse por um bosque e só veja lenha para a fo-gueira”. Essa oração parece se aproximar muito damaneira simplista pela qual o uso que se faz dosresultados da avaliação vem influenciando o modocomo os estudantes estão sendo rotulados —apenas e simplesmente pelos seus ‘fracassos’. Noentanto, tomando a avaliação como atividade de

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investigação, este trabalho fornece subsídios quemostram que, enxergando o bosque, os resulta-

Referências bibliográficas

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Recebido em 23.10.08

Aprovado em 10.08.09

Jader Otavio Dalto é acadêmico do doutorado em Ensino de Ciências e Educação Matemática da Universidade Estadual deLondrina e docente da Universidade Federal de Mato Grosso do Sul. E-mail: [email protected].

Regina Luzia Corio de Buriasco é docente do Programa de Pós Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemáticada Universidade Estadual de Londrina.

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Problema proposto ou problema resolvido : qual a diferença?Problema proposto ou problema...

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