PROBLEMAS DE ESTADO DE EQUILÍBRIO LIMITE NOS SOLOS:

SEU ESTUDO E SUA PROGRAMAÇÃO.

MARCIO MIRANDA SOARES

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS

DE PÔS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO

RIO DE JA~EIRO, COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÃRIOS PARA A

OBTENÇÃO DO GRAU "MESTRE EM CifNCIA" (M.Sc.).

APROVADA POR:

Presidente

RIO DE JANEIRO

ESTADO DA GUANABARA - BRASIL

NOVEMBRO DE 1971

PROBLEMAS DO ESTADO DE EQUILfBRIO

LIMITE NOS SOLOS: SEU ESTUDO E SUA

PROGRAMAÇÃO

Márcio Miranda Soares

Agosto 1972 N9 1. 72

i.

; .. 1

A meus pais

A minha noiva

ii.

AGRADECIMENTOS

Ao Professor DIRCEU DE ALENCAR VELLOSO, profissiS!_

nal brilhante, pela contribuição valiosa na orientação dêste

trabalho.

Ao Professor JACQUES DE MEDINA, digno responsável

pela área de Mecânica dos Solos na COPPE, pelo seu estímulo

e dedicação.

Ao Diretor, Professor ALBERTO LUIZ COIMBRA e ao Co

ordenador do Programa de Engenharia Civil Professor FERNANDO

LUIZ LÕBO B. CARNEIRO e a todos os Professôres da COPPE, os

meus sinceros reconhecimentos, pela responsabilidade com a

qual incentivam os estudos de Pós-Graduação.

à CAPES, pelo apôio financeiro prestado.

A todos os colegas e .funcionários da COPPE que, di

reta ou indiretamente, contribuiram para o êxito dêste tra

balho.

iii.

S U M Ã R I O

O trabalho apresenta inicialmente uma discussão da

aplicabilidade, aos solos, da Teoria da Plasticidade baseada

no critério de ruptura de Mohr-Coulomb.

Examina em seguida, o problema do equilíbrio limite

dos meios granulares, à luz da teoria de Sokolovskii, tratan

do, em especial, da determinação da capacidade de carga.

Apresenta um programa automático, em linguagem FOR

TRAN para cálculo da distribuição de pressões no maciço em

estado de equilíbrio limite. tsse programa é aplicado a

determinação da capacidade de carga e ao estudo da estabili

dade de taludes.

iv.

ABSTRACT

A discussion on the applicability to soils of the

theory of plasticity based on the Mohr-Coulomb failure

criterium.

Follows the study of the limit equilibrium for

granular media, according to Sokolovskii's theory, specially

the bearing capacity problem.

Finally a computer program in FORTRAN LANGUAGE to

calculate the stress distribution at limit equilibrium of the

soil mass. This program is applied to bearing capacity and

to slope stability studies.

v.

Í N D I C E

Capítulos Páginas

I DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NOS SOLOS

1.1 - INTRODUÇÃO . . . . . • • • • • . • . • • • • • • • • . . . . • 1

1.2 - DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES DE ACÔRDO COM

A TEORIA DA ELASTICIDADE............ 2

1.3 - DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NO ESTADO DE

EQUILfBRIO LIMITE••••••••••••••••••• 3

1.3.1 - Generalidades............... 3

1.3.2 - Critérios de Ruptura........ 4

1.3.3 - Critério de Mohr-Coulomb .•.. 12

II EQUILÍBRIO LIMITE DOS MEIOS GRANULARES

2.1 - CONDIÇÕES LIMITES................... 28

2.1.1 - Generalidades............... 28

2.1.2 - Condições de Equilíbrio Limi

te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 O

2.2 - EQUILfBRIO LIMITE A DUAS DIMENSÕES.. 35

2.2.1 - Generalidades .••••.......... 35

2.2.2 - Equações do Equilíbrio a Duas

Dimensões . • • • . . • . • • . . . . • • • • . 39

2.3 - TEORIA DE SOKOLOVSKII

2.3.1 - Generalidades

2. 3. 2. - Equações Básicas e Desenvol v.!_

41

41

menta • . • • . . . • • • . . • . • • • • . . . • • 44

Capítulos

III

vi.

Páginas

2.3.3 - Determinação das Variáveis na

Fronteira................... 56

2.3.4 - Determinação das Variáveis no

Maciço . . . . • . . . • . • • • • • • • • • • • • 6 2

2.3.5 - Problema de Capacidade de Ca~

ga • . . . • • . • • . . . . • • • • . • . . . • . . . 6 8

2.3.6 - Outros Problemas............ 81

PROGRAMA AUTOMÁTICO EM LINGUAGEM FORTRAN,

PARA CALCULAR A DISTRIBUIÇÃO DE PRESSÕES

COM BASE NA TEORIA DE SOKOLOVSKII

3.1 - DESCRIÇÃO GERAL ..................... 90

3.2 - LISTA DAS PRINCIPAIS VARIÁVEIS QUE

SÃO UTILIZADAS • . . . . . • • • . . . • • . . . • • . • • 91

3.3 - ENTRADA DOS DADOS••••••••••••••••••• 93

3.4 - CÁLCULO DAS VARIÁVEIS NAS FRONTEIRAS

A.101 e 0102 ••••. .•••••••••••• ••••••• 95

3.5 - CÁLCULO DAS VARIÁVEIS NO INTERIOR DO

MACIÇO . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . . • • • • • • . 97

3.6 - CÁLCULO DAS VARIÁVEIS NA FRONTEIRA EX

TERNA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 - SAÍDA DOS RESULTADOS

3.8 - LISTAGEM DO PROGRAMA

98

98

100

vii.

Capítulos Páginas

IV EXEMPLOS DOS DIVERSOS PROBLEMAS PRÁTICOS

E CONSIDERAÇÕES SÕBRE OS RESULTADOS

V

4.1 - CAPACIDADE DE CARGA................. 109

4.1.1 - Generalidades............... 109

4 .1. 2 - Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.1.3 - Comparação Entre Valores Obt!

dos e Valores Experimentais. 119

4.2 - ESTABILIDADE DE TALUDES............. 124

CONCLUSÕES GERAIS E LIMITAÇÕES 126

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS......................... 128

1.

CAPITULO 1

DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NOS SOLOS

1,1 - INTRODUÇÃO

Nêste capítulo introduziremos as bases físicas e ma

temáticas do nosso trabalho, apresentando as pesquisas já

feitas sôbre o assunto e que permitem justificar a aplic~

ção aos solos da teoria desenvolvida, desde que os

tros intervenientes sejam criteriosamente escolhidos.

param~

Antes de mais nada é preciso ressaltar que os solos

nao são contínuos, mas sim agregados de partículas sólidas

separadas por vazios cheios de água e ar. Seu comportame!!_

to macroscópico aquêle que nos interessa depende da

natureza dos contatos entre as partículas, e das deforma

ções e movimentos que dêles decorrem. Por outro lado, na

maioria dos casos, os solos sao materiais heterogêneos, com

as propriedades características variando de ponto para po!!_

to ou segundo a direção que se considera (anisotropia).

Constitue um importante capítulo da Mecânica dos So

los o estudo da distribuição de tensões e deformações nos

2.

maciços terrosos submetidos às mais diversas condições de

carregamento. Para êsse estudo impõe-se a criação de um

modêlo ao qual se possa dar um tratamento matemático que

conduza a resultados, de aplicação relativamente simples

aos casos da prática e que traduza a realidade dentro da

aproximação desejável. Nessa linha de pensamento,

atribuído aos solos dois modêlos distintos, cada um

tem-se

aplic~

vela determinada classe de problemas: o modêlo elástico e

o modêlo plástico. O trabalho que estamos apresentando es

tá relacionado fundamentalmente a êsse segundo modêlo. Fa

remos, no entanto, urna breve apreciação sôbre a aplicação

dos resultados da Teoria da Elasticidade aos solos.

1.2 - DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES DE ACÔRDO COM A TEORIA

ELASTICIDADE.

DA

Pretendemos, apenas, nêste ítem, apresentar alguns

comentários à aplicação da Teoria da Elasticidade aos pr~

blemas de tensões e deformações nos solos.

Sabe-se, por exemplo, que a distribuição de tensões

e deformações verticais calculada pela referida Teoria for

nece resultados satisfatórios quanto às necessidades da pr~

tica, o mesmo não acontecendo com a distribuição das ten

3.

soes horizontais. (KO e SCOTT) 23,

Por outro lado, na teoria elástica convencional, é

admitido que apenas as tensões normais contribuem para a de

formação volumétrica de um elemento, não tendo qualquer e

feito sôbre essa deformação as tensões cisalhantes octaédri

cas. Entretanto, mostra a experiência que um dos fatores

mais significativos do comportamento dos solos é sua varia

ção de volume no processo de cisalhamento: dilatáncia. A

dilatância de um solo afeta não só a tensão necessária a

ruptura no estado sêco, como também tem uma influência ex

tremamente importante no estado de tensões desenvolvido no

solo quando saturado (SCOTT, 1963) 2'.

1.3 - DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NO ESTADO DE EQUILIBRIO LI

MITE.

1.3.1 - Generalidades.

A determinação da distribuição de tensões em um

tínuo é um problema hiperestático. Com efeito, as

ções de equilíbrio da estática aplicadas a um elemento

volume fornece um número de equações sempre menor que o

con

equ~

de

nú

mero de incógnitas. Assim, por exemplo, nos problemas de

4.

elasticidade plana, temos duas equaçoes:

dCJ dT X'+~= X (1.1)

ax ay

a-rx:y + ~ = Y (1. 2) ax ay

e três incógnitas

Na Teoria da Elasticidade, a indeterminação é le

vantada pela introdução da lei de Hooke, enquanto que na Te

cria da Plasticidade, impondo-se que as componentes das te~

soes satisfaçam a uma dada condição de escoamento ou rupt~

ra.

1.3.2 - Critérios de Ruptura

IQ - Teo~ia da Máxima Ten~ão.

A mais antiga teoria de ruptura, conhecida como

Teoria de Rankine postula que a tensão principal máxima no

material determina a ruptura sem considerar as grandezas e

5.

sentidos das outras duas tensões principais. O escoamento

começa quando o valor absoluto da tensão máxima atinge a

tensão de escoamento do material na tração ou compressao,

simples(o ).A representação desta teoria, no espaço das ten eóC. .·

soes principais é um cubo como mostra a Figura 1.3.1.

+º ' l

o -- 3

tº1 'o 1 e<1c

1 ' 1

-o . 1 o e.1.c. _____________ ,

! 0 e<1c

1

1

FIGURA 1.3.1.

Essa teoria nao explica o fato de os corpos, em g~

ral, suportarem estados hidrostáticos de tensões extremame~

te elevadas, sem entrarem em ruptura ou escoamento.

Para os solos esta teoria nao se aplica, pois que,

um solo homogêneo quando submetido a um ensaio de compre~

são simples, apresenta ruptura em planos inclinados nos

6.

quais nem a tensão de compressao e nem a tensão de tração é

um máximo. Esta teoria tem algum mérito quando se conside

ra a resistência de materiais anisotrópicos ou para expl!

cara clivagem dos cristais, mas, exceto para casos como ês

tes, não encontra mais aplicação.

2Q - Teo4la da Ve6o4maçio Mixlma.

A teoria da deformação máxima, atribuída a Saint­

-Venant, supõe que um material começa a escoar quando qua!

quer deformação fôr igual à deformação no escoamento na tra

ção ou compressão simples. No espaço das tensões princ!

pais, a superfície de escoamento, correspondente a esta teo

ria, consiste de duas pirâmides triangulares retas, com ba

ses coincidentes e tendo triângulos equiláteros como sec

ções normais ao eixo hidrostático. A Figura 1.3.2 é a re

presentação desta teoria em um plano de duas tensões princ!

pais.

Esta teoria nao tem muita aplicação na prática e

por ela também existem estados hidrostáticos de tensão que

provocam escoamento.

7.

o ' e<1e 1 ;

1 ' 1 ------·---·-

' ' o =-o +µo

3 e<1 e 1 o 3 = o e<1 e+ µoi

µ = coeficiente de Poisson

FIGURA 1. 3. 2

3Q - Teo~~a da Ene~g~a de VeOo~mação Mâx~ma.

Por esta teoria ocorrerá escoamento quando a ener

gia total de deformação por unidade de volume fôr igual a

energia total de deformação por unidade de volume no escoa

mente na tração ou compressão simples.

A representação dêste critêrio para o estado plano

é uma elipse no plano das tensões principais, como mostra a

Figura 1.3.3. Pode ser notado que pode ocorrer escoamento

para um estado hidrostático de tensões elevadas.

oria é atribuída a Beltrami.

Esta te

8 •

. ---.a 3

o 2 +1P-2µo o =o 2

1 3 1 3 ea e

µ~coeficiente de Poisson

FIGURA 1. 3. 3

49 - Teo~la da Tenaio Claalhante Mixlma . . :-::.

A teoria da tensão cisalhante máxima nos diz que o

escoamento começa quando a tensão cisalhante máxima no mate

rial atinge a tensão cisalhante máxima, no ponto de

mento, na compressão ou na tração, simples. Esta

escoa

teoria

foi desenvolvida por Tresca no período de 1865 a 1870, d'on

de ser conhecida por Teoria ou Critério de Tresca. A re

presentação dêste critério no espaço das tensões principais

é um prisma hexagonal regular cujo eixo coincide com o eixo

hidrostático das tensões e as secções perpendiculares ao ei

xo hidrostático são hexágon'os regulares. A Figura

mostra a secçao do prisma em um plano de tensões

pais.

1. 3. 4

princi-

9.

1 '

cr3 = - cre.t,c.+cr1 ! 1 ;

1 r

·--------+---- ---·

cr = -cr +cr 1 e.ó e. 3

FIGURA 1. 3. 4

A condição de ruptura, na sua forma mais geral, P2.

de ser expressa pelas seis equações:

cr 1

cr 3

= ± o e.ó e. ' cr i - cr z = ± cr e.ó e. ' cr z cr 3

= ±

(1. 3)

nas quais cre.óc. é o valor absoluto da tensão de escoamento

na tração ou compressão simples e cr, cr e cr sao as trés 1 2 3

tensões principais. Pode-se verificar que os planos onde

ocorre o início do escoamento são inclinados de 45º com rela

çao às direções das tensões principais, isto é, coincidentes

com a direção da tensão cisalhante máxima.

10.

5g - Teo4ia da Ene4gia de Vi~to4ção Máxima.

Esta teoria é também conhecida como a teoria da ten

sao octaédrica máxima e é atribuída a Huber, Hencky e Von

Mises.

O início do escoamento se dá quando a ener·gia de

distorção atinge a energia de distorção no início do escoa

mente na tração ou compressao simples.

As tensões de escoamento na tração e compressao sim

ples sao supostas iguais, como acontece, também, no critério

de Tresca.

O critério de Von Mises, então, estabelece que o es

coamento se dará quando a equação:

fôr satisfeita.

das anteriormente.

(1. 4)

As variáveis usadas sao as mesmas defini

A superfície de escoamento definida p~

la equação (4) é um cilindro circular reto cujo eixo coinci

de com o eixo hidrostático (cr = cr = cr ). Mostramos na Fi l 2 3

gura 1.3.5, a re~resentação em um plano de tensões

pais (a = 0), que é uma elipse. 2

ºlt 1

1

1

FIGURA 1.3.5

11.

princ.!_

Na Figura 1.3.6 mostramos a representação dos crité

rios anteriores em um plano de tensões principais (cr = O). 2

J

e B -·,: -#~,

I ----- /,// í __,,,.,. .-. / ,, / 1 .,. .

i /,//" !// / . t:~',/"

,1 1 1

V

j

Í I

1 1 I ' '\.M

s.:._ ......

(1 1 ---1H -·-· . -- _ .... -=:;:.- - --- I

" '.A . L '\. \ f

\ 1 / 1-11 .,. ! I

/,A N , I

/·, . /·>l / . /

/"// i .· / . / .,./_ .J

I/~~----·-· K - -~ I E

L.-----· f G

FIGURA 1.3.6

12.

= TEORIA VA TENSÃO MÁXIMA ACEGA

HIJKH -.-.-.-.-.-.- = TEORIA VA VEFORMAÇÃO MÁXIMA

ABVEFNA (Jte.to) - •• - •• - •• = CRITtRIO VE TRESCA

LBVMFNL = CRITtRIO VE BELTRAMI

ABVEFNA (~uJtvo) ----------- = CRITtRIO VE VON MISES.

1.3.3 - Critério de Mohr-Coulomb.

Pela importância que o critério de Mohr-Coulomb tem

no nosso trabalho, discutí-lo-emos pormenorizadamente.

A teoria de Mohr-estabelece uma relação funcional

entre a tensão normal (crn) e a tensão cisalhante (Tl no pl~

no de ruptura, isto é,

(1. 5)

Esta equaçao (1.5), representada no plano T-cr, é

mostrada na Figura 1.3.7.

13.

T

FIGURA 1. 3. 7

Desde que uma mudança no sinal de T, simplesmente inverte o

sentido da ruptura, a curva é necessàriamente simétrica com

relação ao eixo

tória de ruptura

cr • n

de

A curva assim obtida, denominada envo!

Mohr, representa o lugar geométrico de

todos os pontos que correspondem a estados de ruptura. Essa

envoltória reflete uma propriedade do material que é indepe~

dente das tensões .. impostas e por isto é própria para ser usa

da no estudo da resistência ao cisalhamento de solos.

As envoltórias de ruptura de Mohr sao, em geral,

curvas contudo, para solos, a curvatura não é usualmente

grande e nao se erra muito em considerá-la uma reta num in

tervalo limitado de pressões. A equação da reta no plano

14.

a - ~ que se aproxima da envoltória de Mohr e a equaçao de n

Coulomb

Os parâmetros C e~, na equaçao (1.6),

a coesao e o ângulo de atrito interno do solo.

(1. 6)

representam

Estes pai!.ª-

me:tll.o.6 de 11.e.1i,i.6:tê.nc.-<.a ao C.-<..6alhamen:to têm sido o objeto de

muitas pesquisas e estâ, agora, bem claro, que êles nao sao

constantes do. material, mas variam com o índice de vazios,

umidade, tipo de ensaio e o método de investigação dos resu!

tados. As razões fundamentais para sua variação estão rel~

cionadas com a estrutura e textura do solo, história das te~

sões, contato entre as partículas e forças de superfície.

A hipótese de Mohr estabelece que a ruptura depende

das tensões nos planos de deslizamento e ocorrerá quando a

obliquidade da tensão resultante atinge um valor máximo.

A representação de Mohr das tensões atuando em um

ponto é mostrada na Figura 1.3.8 juntamente com a envoltória

de Coulomb. Nós denominamos de c.1t-<.:té11.io de Moh1t-Coulomb o

uso da equação de Coulomb para representar a envoltória de

Mohr.

T

y 1

• •

FIGURA 1.3.8

Em têrmos das tensões principais

critério de Mohr-Coulomb ê escrito:

15.

À

1

a > a > a , o 1 2 3

(1.7)

Notamos que a tensão principal intermediária (a), pode ter 2

qualquer valor não influindo na condição de escoamento ex.

pressa acima.

16.

·A teoria de Mohr-Coulomb expressa na sua forma mais

geral, isto é, para uma variação independente das

principais, toma a forma da equação:

{ ( (J - (J j2 - [2.C.c.0<1<1> + ( (J + CJ 2 ) • <I en<j>] 2 } 1 2 1

'. { ( (J - (J ) 2 - [2.C.c.0<1<1> + '(J + cr3) .<1e11<1>]2 } 1 3 1

. { (o - o )2 - [2.C.c.0<1<1> + ( (J + (J ) <1e11<1>] 2

} 2 3 2 3

tensões

= o.

(1. 8)

A superfície de ruptura definida pela equaçao (1.8),

no espaço das tensões principais, é uma pirâmide hexagonal

reta tendo como eixo o eixo hidrostático. As secções nor

mais ao eixo hidrostático são hexágonos irregulares com la

dos iguais (Figura 1.3.9). Para referéncia o circulo ·e o

hexágono regular descritos pelo critério de Mises e Tresca

sao também representados. Os trés critérios sao coinciden

tes para ensaios de compressão (Ponto A), mas a resistência

no ensaio de extensão (CJ =cr >cr Ponto B) é menor para o cri 1 2 3

tério de Mohr-Coulomb.

.,,,---....,_ Mises

-·-·-·- Tresca

Mohr-Coulomb (J 3

FIGURA 1.3.9

17 •

A Figura 1.3.10 mostra a secçao da pirâmide hexag~

nal, com"vértice no ponto o =a =a - C co~ ~ pelo 1 2 3 • g 't''

plano

a =O. 2

18.

FIGURA 1. 3 .10

B Apl~~ab~l~dade.

19 - EM SOLOS NÃO COESIVOS.

Um grande número de pesquisadores, procurou verifi

cara validade da aplicação dos vários critérios através de

ensaios sofisticados. As seguintes observações experime!:!_

tais são, agora, firmemente estabelecidas como comportamento

típico (BARDEN 1 e KHAYATT, 1966)~

1) As resistências à compressao e a extensão triaxial sao

iguais para igual porosidade na ruptura.

19.

2) A resistência na deformação plana é maior do que a resis

tência triaxial para areias compactas, e são bastante

próximas para areias fÔfas.

3) A envoltória da resistência ao cisalhamento é curva, da~

do valores do ângulo de atrito que decrescem com o aumen

to da tensão principal média.

Para os solos nao coesivos está estabelecido que a

superfície de ruptura no espaço das tensões principais, de

pende linearmente da tensão principal média em intervalos

normais de pressão. (BISHOP 2 , 1966). ·Para pressoes muito

baixas e muito altas, a superfície de ruptura torna-se con

cava em relação ao eixo hidrostático (de BEER 8 , 1965; BI

SHOP 2 , 1966; VESIC 33 e CLOUGH, 1968). Assim sendo, o an

gulo de atrito efetivo, em pressoes baixas é consideràvelmen

te maior que os valores usados pela teoria de Mohr-Coulomb.

O ângulo de atrito de uma areia a altas pressões é menor que

o obtido em pressões normais; isto é atribuído ao esmagame~

to dos grãos, o que elimina o efeito do índice de vazios ini

cial do material, de acôrdo com Vesic e Clough.

Com os modernos equipamentos que permitem uma varia

çao independente das três tensões principais, foram realiza

dos ensaios com solos não coesivos a fim de verificar a vali

20.

dade do critério de Mohr-Coulomb. Os resultados de todos

os ensaios não estão de pleno acôrdo, mas, na maioria dêles,

os resultados estão bem próximos daqueles previstos pelo cri

tério de Moh-Coulomb.

sultados e conclusões.

Para exemplificar daremos alguns re

Os valores observados por CORNFORTH6 (1961), com a

mostras de "Brasted Sand", em diversas porosidades e os val9.

res previstos por alguns dos critérios estão representados

na Figura 1.3.11 para areias fôfas e na Figura 1.3.12 para

as areias compactas. Verifica-se que os resultados estão

em pleno acôrdo com os previstos pelo critério de Mohr-Cou

lomb e sõmente·no ensaio de deformação plana e para areias

compactas o valor observado se aproxima mais do critério de

Tresca ..

~ o 1

, l - Ensaio de 6 O

l--- / ,j ~ ,~S- -. .... s o

~ 1~ ~ )

compressao.

2 - Ensaio de de 40

/ -~ cou LOM l , 3

formação pl~ 3 O na.

2 o 3 - Ensaio de ex

1.0

:E) V LO ES OB'. ER~ ~vo; tensão.

()" ' - ()" ' 2 3

0.1 0.2 0-3 0-4 0,5 0-6 0.1 o.a 0.9 1.0 ()" ' - ()" ' 1 3

FIGURA 1.3.11 - Valores previstos e observados em três

ensaios Areia fôfa.

21.

4i 1

9 0

J J 80 / . v

'<,?/ - Ensaio de 70 [7 " / . e compressao .

. "'<, / ,y V ~

2 - Ensaio de de 6 0

5 0

i . ..,,., _... ~ co LO B

formação pl~ 3 na.

30 3 - Ensaio de

tensão. 20

1 0 (!) 1 ALO RES OB ER ÁV s cr' - CJ 1

2 3

0.1 0,2 0.3 0., 0.5 0.6 0,7 0,8 0.9 1.0 CJ 1 - CJ 1 l 3

FIGURA 1.3.12 - Valores previstos e observados em três

ensaios Areia compacta.

W,M. KIRCKPATRICK (1954) obteve o título de Ph.D.

na u.niversidade de Glasgow com a tese: "O comportamento das

areias submetidas a sistemas de tensões especiais". Os re

sultados desta sua pesquisa com areias e em equipamento deno

minado cilindro ôco de paredes espessas, mostram que a teo

ria de Mohr-Coulornb é bastante significativa na previsão da

ruptura em areias sob condições de completa drenagem e que

para um sistema de tensão onde

subestima a resistência.

cr = (cr + cr ) /2 2 l 3

a teoria

Na Figura 1.3.13 os valores experimentais e os pr~

ex

22.

vistos pela teoria de Mohr-Coulomb sao representados, inclu

sive com a superfície proposta pelo pesquisador.

1 , , I

1/

/ /

/ /

/

,, / ,,

FIGURA 1.3.13

RESULTADOS DE KIRCKPATRICK

ª1

--

' '

--

' '

--

' ' ' ' '

. ..,,,..-­-

1 1 1

1.

1

-,,,.--:-

VALORES EXPERIMENTAIS MOHR-COULOMB SUPERF!CIE EXPERIMENTAL

As divergências na escolha da superfície de ruptura

no plano hidrostático (cr + a + a = eon~t.), no espaço das. 1 2 3

tensões efetivas, são mostradas na Figura 1.3.14.

1 1 1

' :

:;1 ' I ,., t ,1 ,.

FIGURA 1.3.14

..... ..... '

G

23.

ª3

Curva a:-··-··­Curva b:---

•• A curva a passa pelos pontos E e F do diagr,ama de

Mohr-Coulomb que são respectivamente estados de compressão e

extensão axial e corresponde as opiniões de Barden e Khayatt,

e Kirkpatrick.

A curva b representa um maior ângulo de atrito na

24.

extensão. do que na compressao. e passa pelo ponto H, como mos

tra a figura. Esta curva b está de acôrdo com os resulta

dos de LOMIZE 18 e KRYZHANOVSKY (1967), e KO e SCOTT 23

Os resultados de GREEN 12 e BISHOP pertencem a uma

curva compreendida entre a e b representadas.

Todos os pesquisadores estão de acôrdo que o ponto

G na superfície de Von Mises e de Tresca, representa um esta

do de tensão impossível para os solos e que, além do mais,·

os critérios de ruptura de Von Mises e de Tresca sao inacei

tãveis para solos em estados gerais de tensão.

GEUZE 1 0 (1961) também admite a validade do critério

de Mohr-Coulomb para materiais arenosos medianamente com

pactos a compactos. Sua conclusão foi baseada no fato de

que os materiais granulares sõmente manifestam a propriedade

física do atrito interno do material (ângulo de atrito inter

no) no processo de cisalhamento_.

29 - EM SOLOS COESIVOS.

A determinação da superfície de ruptura para os so

los coesivos não tem sido o objeto de muitas pesquisas devi

25.

do à grande heterogeneidade dêstes solos.

SHIBATA e K,\RUBE 24 (1965) executaram uma série de

ensaios triaxiais C.U. e ensaios com variação da tensão pri~

cipal intermediária em argilas normalmente adensadas. ~les

estudaram as deformações, as poro-pressoes e a ruptura em vá

rios estados de tensão.

foram os seguintes:

Os principais resultados

1) A forma da curva tensão-deformação é influenciada

obtidos

pelo

valor relativo da tensão principal intermediária, e a de

formação axial, para o máximo (cr - cr) decresce com va 1 3

1

lores crescentes de (cr - cr ). 2 3

2) A variação da pressao neutra decorrente da variação das

tensões principais pode ser adequadamente expressa como

uma função de ªm' 6cr e T :t' onde cr é a tensão princ_i m oc. m

pal média e Toc.:t é a tensão cisalhante octaédrica.

3) Os valores do ângulo de atrito interno efetivo sao i

guais em ensaios de extensão e compressão mas valores li

geiramente superiores são encontrados em estados interme

diários de pressoes.

4) A superfície de ruptura de Mohr-Coulomb representa os li

26.

mites inferiores da resistência ao cisalhamento e a su

perfície de ruptura obtida para as argilas normalmente,

adensadas é uma lin,.ha. curva no plano octaêdrico que

circunscreve o hexágono de Mohr-Coulomb (curva a Figura

1.3.14).

Em ensaios similares, YONG e McKYES 34 (1967) obti

veram resultados que estão de pleno acôrdo com os obtidos

por Shibata e Karube e também propuseram a mesma curva a, ci

tada acima, para definir o escoamento nas argilas por êles

ensaiadas.

Contràriamente as idéias dos pesquisadores citados,

GEUZE 1 º (1961) invalida a aplicação dêsse critério aos solos

coesivos, face à natureza dos contatos entre as partículas e

os efeitos da pressão no fluido intersticial.

Pelo que acabamos de expor e pelo sucesso que o em

prego do critério de Mohr-Coulomb tem conduzido na resolução

de inúmeros problemas da Mecânica dos Solos, cremos poder

afirmar que êle constitui um modo plenamente satisfatório de

27.

encarar o problema de ruptura dos solos. Além disso, sua

aplicação é relativamente bem simples, já que a resistência

do solo fica definida pelo conhecimento de apenas dois par~

metros. Não há dúvida de que êsses parâmetros devem ser

escolhidos com bastante critério considerando, principalme~

te, o intervalo de pressões no qual se irâ trabalhar, pois a

reta de Coulomb não exprime com exatidão a resisténcia ao ci

salhamento do solo em todos estados físicos e em todos esta

dos de tensão.

Acresce que tanto para os solos coesivos como para

os solos nao coesivos, a resistência prevista pela teoria de

Mohr-Coulomb subestima a resistência disponível do solo, se~

do para nós um fator de segurança adicional, a utilização

dos valores previstos por essa teoria.

28.

CAP!TULO 2

EQUILfBRIO LIMITE DOS MEIOS GRANULARES

2.1 CONDIÇÕES LIMITES

2.1.1 Generalidades.

Tendo em vista a exposição feita no Capítulo 1 será

admitido que o critério de Mohr-Coulomb explique satisfarõ

riamente os fenômenos de ruptura dos solos.

Isto posto, recordemos algumas consequências do cri

tério de Mohr-Coulomb expresso pela relação

T = (2.1)

onde:

T = tensão cisalhante atuante no plano de ruptura

ªn = tensão normal nêste mesmo plano

C ~. parâmetros que definem a resistência ao cisalhamen

to do solo.

29.

Um ponto no interior do solo permanecerá em equilf

brio se as relações

, ~e+ a .t ~ / n g

forem válidas em qualquer faceta passando por êste

Introduzindo o coeficiente

podemos reescrever as relações acima na forma

a > - H n "

Dizemos que um ponto está no e~tado de

limite quando a desigualdade

(2. 2)

(2. 3)

ponto.

(2. 4)

(2. 2a)

( 2 • 3a)

equillbtt.io

(2. 5)

30.

se verifica em todos os elementos de area, passando pelo po~

to, exceto em algum elemento de área onde a igualdade

( 2. 6 l

é satisfeita. fste elemento de área é denominado plano de

de.t,Li.zamento. Nós mostraremos que por todo ponto no estado

de equilíbrio limite passam dois planos de deslizamento e

êles contêm um dos eixos principais e são igualmente inclina

dos em relação aos outros dois.

Se todos os pontos de uma zona estão no estado limi

te, nos diremos que essa zona está no estado de equilíbrio

limite ou é uma zona limite. Em uma zona limite será possf

vel construir superfícies que, em cada ponto, o plano tange~

te é .. um plano de de.1,lizam ento. Tais superfícies são denomi

nadas .6upe~6Zcie.6 de de.1,lizamento e formam na zona limite um

sistema de duas famílias curvilíneas isogonais.

2. 1.2 Condições de Equilíbrio Limite.

O estado de tensões em um ponto pode ser represent~

do pelo diagrama de Mohr, representado na Figura 2 .1.1. Nês

31.

te diagrama pode ser representada a reta (2.1) definida por

Coulomb.

T

o

FIGURA 2.1.1

Por intermédio desta representação podem ser deter

minadas as componentes normal e cisalhante em qualquer plano

passando pelo ponto cujas tensões principais sao o, o e o, l 2 3

representadas pelas abscissas dos pontos P, P e P. As ex l 2 3

tremidades do vetor tensão total em qualquer plano pertence

ao triângulo curvilíneo (lúnula) representado. Cada um dos

lados dêste triângulo que são semi-círculos, é o lugar geom~

trico das extremidades do vetor tensão resultante em planos

32.

que passam por um dos eixos principais.

Para que o ponto considerado esteja em um estado de

equilíbrio limite e necessário que a reta definida por Cou

lomb tangencie o triângulo curvilíneo.

Essa reta limite tangenciará o circulo das tensões

principais extremas. Sendo êste circulo o lugar geométrico

das extremidades dos vetores tensão que atuam em planos que

passam pelo eixo da tensão principal intermediária, conclui

mos que os planos de deslizamento contêm o eixo da tensão

principal intermediária.

A equaçao do circulo que passa pelos pontos que de

finem as tensões principais extremas é dada por

(2. 7)

onde para cr ~ cr ~ cr, ~ e z assumem os valores 3 2 1

cr. .+ cr ~ = .l 3 (2. 8)

2

t =

nulo.

33.

a - a 1 3 (2. 9)

2

Ao longo dêste círculo um dos cosenos diretores ê

Chamando de À o ângulo da normal do elemento de área

com a direção de cr, podemos escrever as relações abaixo ba 1

seando~nos no diagrama de Mohr:

(2 .10)

(2.11)

Derivando as expressoes (2.10) e (2.11) teremos:

dT da n

Mas no plano de deslizamento (2.6)

(2 .12)

34.

logo,

(2.13)

Chamando deµ o ângulo À dos planos de deslizamento

temos:

ou =114-<P (2.14) 4 2

LÕgicamente, o ângulo E dos planos de deslizamentos

com a direção da tensão principal máxima será o complemento

deµ ou

(2 .15)

Estas relações estabelecem as posições dos dois pl~

nos de deslizamento que passam através do eixo da tensão

principal intermediária, inclinados de ângulos E em relação

ao eixo da tensão principal máxima e se interceptando segu~

35.

do um ângulo 2 e.

Se por todo ponto em uma zona limite passam dois

planos de deslizamento nós podemos afirmar que também existi

rao duas famílias de superfícies isogonais, nesta zona limi

te, cujos planos tangentes são os planos de deslizamento.

Podemos passar a estudar o equilíbrio limite no pl~

no das tensões principais extremas pois, como vimos, o esta

do de equilíbrio limite é caracterizado nêste plano.

2.2 EQUILÍBRIO LIMITE A DUAS DIMENSÕES.

2.2.l Generalidades.

Definimos equ~llb~~o l~m~te a dua-0 d~men-0Õe-0, como.

sendo o equilíbrio de um corpo cilíndrico ou pr~smático, com

uma dimensão infinita, sob a ação de forças perpendiculares

às geratrizes e distribuídas uniformemente na direção destas

geratrizes. Usaremos o eixo y paralelo às geratrizes.

O estado definido corresponde ao estado plano de

deformação no qual,

X

36.

= o (2 .16)

e ªx , cr 2 e Txz sao independentes de y.

As componentes da tensão serao positivas quando ti

verem os sentidos indicados na Figura 2.2.l.

! ªz T xz

t (J

X

zx

z FIGURA 2.2.l

Para o estado plano definido temos:

(J 1

ªx + ªz = ---- +

2 (2.17)

37.

(2.18)

a = (2.19) 3 2

Nestas condições, a e a sao as tensões·principais extremas.~ l 3

No caso do equilíbrio plano é suficiente considerar

mos a distribuição de tensões no plano xz, -

As componentes vertical e tangencial da tensão em um

ponto no estado de equilíbrio limite plano podem ser repr~

sentadas no diagrama de Mohr Figura 2.2.2.

R\ 't 1 n 1

1

\ \ 1 1

--- 1

--- 1

------1 ,., 1 ..,., 1

---..., 03

2 E/ ª1

Í I

I I

/

FIGURA 2.2.2

ªn

38.

As extremidades do vetor tensão em um ponto perte~

cem ao círculo definido por:

(2.20)

onde

a + ·a 1 3

(2.21) 2

t = (2. 22) 2

Se o ponto está no estado de equilíbrio limite o

círculo representativo do estado de tensões tangencia a re

ta limite de Coulomb nos pontos R e R. 1 2

As facetas nas

quais as componentes da tensão são representadas pelos po~

tos R e R são as facetas de deslizamento. Estas duas fa 1 2

cetas são anàlogamente inclinadas de ângulos ±E em relação

ao eixo da tensão principal máxima e se interceptam segundo

um ângulo de 2E,

As superfícies de deslizamento no equilíbrio limite

39.

plano serao superfícies cilíndricas com as geratrizes paral~

las ao eixo y. As linhas de intersecção destas superfícies

como o plano xz serão denominadas de l~nha-0 de de-0l~zamento.

Elas formam um sistema de duas famílias de curvas isogonais

pois se interceptam sempre segundo um ângulo igual a 2e.

2.2.2 Equações do Equilíbr:Lo Limite Plano.

Estabeleceremos nêste item as equaçoes básicas do

nosso desenvolvimento, que é a determinação da distribuição

de tensões em um meio no estado de equilíbrio limite plano.

Sabemos que as equaçoes de equilíbrio em um

contínuo no estado plano são:

meio

= X (2.23)

= z (2.24)

onde x e Z sao as componentes das forças de volume, que atu

OM ON PM

40.

amem um elemento infinitesimal, em relação aos eixos x e z.

Estas duas equações não são suficientes pois contêm três in

cógnitas ªx' cr 2 e 'xz· O estado de equilíbrio U,mite plano,

baseado no critêrio de Mohr-Coulomb, permite-nos levantar e~

ta indeterminação através da condição de resistência. Pela

representação do estado de tensão em um ponto, no estado de

equilíbrio limite, podemos obter esta relação.

•

Considerando o triângulo retângulo

2 . 2 .;; 3) temos :

tiMPQ (Figura

1 (cr - cr 12

+ 4 X Z

---- --

~ H

= cr X-

= cr z = 'xz

(2.25)

1 1

1 -- --11, \ __ ...- /

>--- / 1 ----- 1 / 1

-- \_ / 1 1

N

/ /

/ /

/

\ / 1 1

/Q M

QRI = QP

X

41.

Com a equaçao (2.25) pode-se integrar o sistema e

determinar ºx' o2

e 'xz em qualquer ponto, desde que se co

nheçam as condições de fronteira.

2.3 TEORIA DE SOKOLOVSKII

2.3.l Generalidades.

SOKOLOVSKII 27'

28 procurou resolver o problema fund~

mental de estabilidade plana em solos, isto e, a determina

ção da relação funcional entre carregamentos e propriedades

do solo em um estado de equilíbrio limite plano.

A Figura 2.3.l representa um maciço limitado por d~

as fronteiras submetidas a carregamentos p(x) e q(x). Soko

lovskii procurou a relação entre p(xl e q(x) para um estado

iminente de ruptura .

. {e ~ola ~

z

FIGURA 2.3.l

42.

Notamos que os três problemas fundamentais de esta

bilidade em solos são casos particulares do problema referi

do.

O problema de capacidade de carga (Figura 2.3.2a) é

caracterizado para a=Oº e S=180°, no problema de estabilid~

de de taludes (Figura 2.3.2b) é nulo o valor de p(x) enqua~

to que no problema de estabilidade de muros de arrimo (Fig~

ra 2.3.2c) o carregamento q(x) é inclinado em relação a nor

mal a fronteira de um ângulo igual ao coeficiente de atrito

entre o muro e o solo.

q(x)

p(x)

z

FIGURA 2.3.2a a- PROBLEMA 0E.CAPAC1VAVE VE CARGA - a=O e S=180

J(

FIGURA 2.3.2b

~olo {~

FIGURA 2.3.2c

43.

ti:{ x.)

b- PROBLEMA VE ESTABILIVAVE VE TALUVES p(x)=

/ l z

I I

/

e- PROBLEMA VE ESTABILIVAVE VE MUROS VE ARRI

•

44.

2.3.2 Equações Básicas e Desenvolvimento

As equaçoes básicas da teoria de Sokolovskii sao as

equaçoes do equilíbrio limite plano (Ítem 2.2.2), que se es

crevem:

ª·ªx ª'xz + ax az

ax az

= X

= z

1 (a - a 1 2

+ X Z 4

= 2

<1en <jl

4

(2.23)

(2.24)

(2. 2 5)

Para resolver êsse sistema matemàticamente determi

nado, conhecidas as condições de fronteira, Sokolovskii def!

niu duas variáveis que simplificaram bastante a análise. Es

tas variáveis estão representadas na Figura 2.3.3. A variá

vela é denominada tensão fictícia média em um ponto no esta

do de equilíbrio limite e, e e o ângulo que a direção da ten

são principal máxima faz com o eixo dos x nas mesmas condi

45.

çoes.

X e

T / n /

/

/ ª1 z

ON = cr x· OM = ªz PM = 'xz

( a)

FIGURA 2.3.3

Pela Figura 2.3.3a podemos obter:

ªx. = cr{ 7 + -<1en,P. eo-6 29) - H (2.26)

cr 2

= a (7 - -6 en<j,. eo-<1 2 a ) - H (2.27)

(2.28)

A solução do sistema de equaçoes básicas

em se determinar a distribuição espacial das três

46.

consiste

compone!!_

tes da tensão. As equações (2.26), (2.27) e (2.28), que

sao relações válidas no estado de equilibrio limite, substi

tuem a equação (2.25) e transfere-se a solução para a deter

minação espacial das variáveis o e a no maciço.

Calculando as derivadas parciais das componentes da

tensão pelas equações (2.26), (2.27) e (2.28) e substituindo

nas condições de equilibrio (2.23) e (2.24) teremos, após al

gumas transformações algébricas, o seguinte:

ao - 2cr :t q> -ª! + ax 9 ax

sendo:

A=_ X -0en(B-E) - Y C0-0(8-E)

C0-0(/>. C0-0 (S+E)

(2.29)

(2. 30)

(2.31)

B = X 4en(8+E) - Y C04(8+E)

C04cj>. C04 (8-E)

E=1T .P_

4 2

47.

(2.32)

(2.33)

Com a finalidade de simplificarmos o sistema de e

quaçoes em derivadas parciais (2.29) e (2.30) façamos a se

guinte mudança de variáveis, sendo K = con4tante:

cj> lnª

K

Nestas condições, teremos:

acr ax = 2a t

9 cj>.

ax ax

(2.34)

(2.35)

(2.36)

Substituindo õs valores obtidos no sistema anterior,

48.

temos:

ax + ~ + [ ax + ~] :t (S+El = ax ax az az 9

A = a (2.37)

ae +[ªx _ ~]:t (S-EJ = ax az az 9

B = b (2. 38)

Fazendo finalmente a mudança:

E; - X + e (2.39)

n = x - e (2. 4 O)

temos:

a t:; + ~ :t ( 8+ E) = a (2.41) ax az g

II

an an b (2.42) + - :t (8-E) =

ax az 9

49.

O sistema II obtido é um sistema de equaçoes dife

renciais parciais de 2a. ordem quase-linear, composto de du

as equações simultâneas, e a sua solução consiste em determi

narmos a distribuição ~(x,z) e n!x,z) no domínio procurado.

Procuremos esta solução ao longo de urna curva z=z(x)

do domínio. Ao longo desta curva nós podemos escrever:

d~= à~ dx + a~ dz (2.43) ax az

dn = an dx + an dz (2.44) ax az

Nestas condições, o sistema de equaçoes (2.41)

(2.44) permite-nos determinar os valores das derivadas

e

a

Colocando êste sistema em urna forma matricial te

mos:

50.

.tg(e+EJ o o a~ a.

ª" dx dx o o ··~

d~ az

=

o o 1 .tg ( 8-E) an b

ª" o o dx dz an dn

a z

(2.45)

Os valores das derivadas serao dados pelas relações:

~ = adz - d~ . .tg(8+E) ax dz - dx . .tg(8+E)

25. ., dç; - a.dx az dz - dx . .tg(e+El

an = bdz - dn .tg(8-E) ax dz - dx .tg(e-El

(2.46)

(2. 4 7)

(2. 48)

51.

~ dn - bdx (2.49)

az dz - dx. tg{e-~)

Sabemos, do estudo das equaçoes diferenciais pare!

ais 7

(COURANT-HILBERT, Vol. II), que os valores das deriva

das serao únicos se os denominadores das equações acima nao

forem nulos, e que existirá uma infinidade de soluções qua~

do os numeradores se anularem simultâneamente com os denomi

nadores.

Devido à impossibilidade de determinarmos ,(x,z) e

n(x,z) ao longo de uma curva qualquer nós procuraremos es

tas funções ao longo de curvas tais que os denominadores das

relações acima se anulem. tste método é denominado mêtodo

da~ ea~aete~Z~tiea~ e as curvas ao longo das quais nós proc~

ramos as soluções são as curvas características.

Se nos impusermos a condição de os denominadores se

anularem, nós teremos que anular simultâneamente os numerado

res para que existam os valores das derivadas. E assim, t~

remos ao longo de cada curva característica as relações váli

das das variáveis, e n.

Chegamos, desta forma, as equaçoes:

52.

Primeiramente

dz tg (e+e:l (a) d!; a d!; (b) = = ou = a

dx dz tg (e+e:l dx

(2. 50)

e

dz tg (e-e: l (a) dn b dn b (b] = = ou =

dx dz tg (e-e: l dx

(2.51)

As equaçoes (2.50) e (2.51) indicam que a infinida

de de soluções constituem duas famílias distintas de curvas

características. Adotando a notação usual da teoria das e ,

quações diferenciais temos que:

A família de características I; e definida por

dz dx

=tgle+e:l e d!; dx

= a

e a família de características n por

dz = tg I e- e: l

dx e dn = b

dx

(2. 52)

(2.53)

53.

Notamos que as curvas características no plano xz

sao inclinadas dos mesmos ângulos que as linhas de desliza

menta. Isto mostra que no equilíbrio limite as caracterís

ticas e as linhas de deslizamento coincidem. Então, nota

mos que no processo de mapeamento a região considerada no

plano ~n tem sua imagem no plano xz representada por um con

junto de curvas características ou linhas de deslizamento

que em todos os pontos se interceptarão segundo um ângulo de

2 e:.

As expressoes d~= a dx

e dn = b dx

sao as equaçoes

diferenciais ordinárias expressando a variação de~ e n ao

longo das características que serão bastante usadas para a

determinação de ~ e n em um ponto qualquer.

Substituindo os valores de~ e n e calculando as

expressões dos têrmos a e b para x=O e Z=y (caso mais fre

quente) chegaremos a duas equações, sendo a primeira·:

da+ 2a zg$ de= y(dz + dx zg$) , (2. 54)

válida ao longo de uma característica~ ou dz = zg (e+ e: l ,

dx

54.

e a segunda: _

da - 2a tg4> da = y(dz - dx tg4>J , (2.55)

que exprime a variação de a(x,z) e 8(x,z) ao longo de uma ca

racterística n ou dz = tg(8-e:). dx

Para y=O (desprezando o peso próprio do solo) tere

mos:

Ao longo de dz dx

= tg (8+e:)

da+ 2a tg4> da= o

Ao longo de dz = tg ( 8- e:)

dx

da - 2a tg4> da= o .

j

j

dl; = o dx

dn = 0 dx

ou

ou

c.on-1,t e

(2.54a)

n = c.on-1,;t e

(2. 55a)

55.

Por outro lado, se nas expressoes (2.46) a (2. 49)

tivermos sõmente denominadores nulos, estas expressões terão

valores infinitos que acarretarão descontinuidades em~ e n,

as quais corresponderão descontinuidades em cr{x,z) e 6{x,z).

As curvas nas quais isto acontece são as linhas de desconti

nuidade e constituem o limite de validade dêste nosso siste

ma. Estas condições são expressas pelas equaçoes:

dz = tg {6+F;)

dx

dz = ,tg(6-E) dx

(2. 56)

(2.57)

As equaçoes (2.56) e (2.57) nos dizem que a linha

de descontinuidade no plano xz e uma linha de deslizamento ou

uma envolvente destas linhas. Estas curvas definem no cam

po físico (plano xz do maciço) as linhas de ruptura do siste

ma. Reiteramos que uma linha de descontinuidade (linha de

ruptura) restringe o domínio de validade das equações de e

quilíbrio e da equação de resistência e é nêste domínio lim!

tado pela linha de ruptura que, nós procuraremos os valores

das variáveis em causa (~ e n).

56.

Relembramos que a solução procurada é a variação

das componentes da tensão ao longo do maciço no estado de

equilíbrio limite. Como por todo ponto de um maciço em es

tado de equilíbrio limite passam duas curvas características

nós procuraremos estas componentes ao longo das caracter is

ticas. Ainda mais, as variáveis o e 0 definem as compone~

tes da tensão e também constituem a solução, da mesma forma,

que as variáveis~ e n.

2.3.3 - Determinação das Variáveis nas Fronteiras

fste item permitirá determinar a distribuição de

o(x,z) e 0(x,z) nas fronteiras em função das tensões atuante

e inversamente.

Tomemos um ponto P em algum elemento de área na

fronteira, e suponhamos que êste elemento esteja submetido a

uma tensão p' (te.núio Ji.e.al) , formando um ângulo o ' com a nor

mal ao elemento de área (Figura 2.3.4). As componentes nor

mal e· cisalhante .de .p' .são ºn e 'n respectivamente. Com a

finalidade de determinarmos o e e nós consideraremos que o

elemento de área esteja submetido a uma te.núio e.qu.lvale.nte. p,

formando um ângulo o com a mesma normal e tendo componentes

normal e cisalhante respectivamente crn+H e 'n·

Estados Correspondentes, CAQUOT 5 ).

·[--~--

57.

(Teorema dos

FIGURA 2.3.4

Podemos representar estas tensões no estado de equ!

líbrio limite no diagrama de Mohr (Figura 2.3.5).

FIGURA 2.3.5

58.

Considerando a Figura 2.3.4 podemos obter as rela

çoes:

cr + H - p.eo6ô Yl

(2.58)

(2. 5 9)

ou (2.60)

Nas condições limi t_es temos (Figura 2. 3. 5) :

ªn = crU - 6e.ncp. eo6 2e) - H (2.61)

(2.62)

Substituindo estas expressoes em (2.60) temos:

6e.n(2e + ô) = (2.63)

59.

Fazendo

(2.64)

Jen(2e + ôl = Jen8 (2.65)

Lembrando que dois arcos têm o mesmo seno quando

sua soma fôr um número ímpar de TI ou sua diferença um número

par de TI podemos escrever:

(28+ô)+8=(2k +1)TI 1

(28 - ó) - 8 = 2k .TI 2

com k e k numeros inteiros. 1 2

(2.66)

(2.67)

Após transformações convenientes podemos exprimir o

valor de e na forma proposta por Sokolovskii que engloba os

dois estados de equilíbrio limites possíveis em um ponto,quais

sejam, o estado ativo e o estado passivo.

'n

POLO

1'NDICES {: SK =

SK =

ª- ---.i .. l

a +

- 1

+ 1

(ESTADO (ESTADO

---- -------POLO +

ATIVO) 2+

PASSIVO) "' o .

FIGURA 2.3.6

61.

6 = (1 - SK) 11 + (SK.t. - ô) + m.1r 4 2

(2.68)

onde SK = ± 1 representa as duas possibilidades de circu

los passando por P serem tangentes à reta limite (Figura 2.

.3.6). Pode o valor de m ser qualquer número inteiro, mas,

geralmente, tomamos m = O.

Determinado o valor de e, o de cr poderá. ser determ,!_

nado fàcilmente, pela equação (2.62), e será dado por:

CJ = p. (2.69) <1 en ( t. - S K. ô l

Para o caso particular de ô=O (carregamentos verti

cais), teremos uma indeterminação no valor de cr pela equaçao

(2.69), mas os valores de cr e 8 podem ser calculados por:

6 = (1 - SK) 1T + m1r 4

CJ = p

(2.70)

(2. 71)

62.

2.3.4 Deteminação das Variáveis no Maciço.

Lembrando que todo ponto, em uma zona limite, pode

ser considerado como a intersecção de duas curvas particul~

res distintas pertencentes a cada uma das duas familias de

linhas de deslizamento, e considerando as relações válidas

em cada familia (2.52) e (2.53), podemos, através de uma in

tegração numérica, deteminar as variáveis em um ponto, a

partir de valores conhecidos em dois pontos vizinhos. Esta

integração numérica aproximada é possível expressando em di

ferenças finitas as relações das variáveis ao longo das ca

racteristicas.

Conhecendo os valores de x, z, o e e em dois pontos

P e P, como mostra a Figura 2.3.7, podemos determinar es 1 2

tas mesmas variáveis em um ponto P próximo, da seguinte ma

neira:

x---..---"<"""---------------,-"".1.---------,

P2lx2, 2 2, 0 2, 8 2l

f; 1

z

FIGURA 2.3.7

63.

Escrevamos o sistema de equaçoes (2.54) e (2.55) em

diferenças finitas. Nestas condições podemos escrever

longo da caracterlstica t Jdz/dx = tg(9+c) J l

z - z = tg(a +c).(x - x l l l l

(2.72)

cr-cr + 2.cr .tg4>(e-e l = y[{Z-2 l + tg4>. (x-x !] (2.73) l l l 'l 1

e, ao longo da caracterlstica n1

[dz/dx = tg (0-c)]

2 - Z • tg ( 0 - E) ( X - X ) 2 2 2

(2.74)

cr- cr - 2 cr . tg 4> ( e- e l = y [ ( z - z l - tg 4> ( x - x l ] 2 2 2 2 2

(2. 7 5)

ao

Resolvendo êste sistema de quatro equaçoes simultâ

neas, obtemos os valores das variáveis x, Z, cr e e no ponto P.

A solução do sistema anterior e o caminho a seguir

para determinarmos os valores das ,-variaveis em todos os Pº!!

tos do maciço sera função dos dados na fronteira. Três ca

SOS podem ocorrer.

ij. 2 J-

64.

1 q CASO P~oblema de Cauchy.

Suponhamos que se conheç~m x, Z, o e e ao longo de

uma curva T no plano xz e que a função F(o,8) seja diferenci

ável ao longo de T. Suponhamos, também, que em todos os PC!!_

tos desta curva existam duas características reais distintas

te n (Figura 2.3.8).

x----------------------------, T

n. ·2 j+

FIGURA 2.3.8 z

Para determinarmos as variáveis no ponto P, próximo

da curva Te intersecção das características ti e nj que PªE

tem respectivamente de P e P bastará resolvermos o sistema 1 2

das equaç6es (2.72) a (2.75).

65.

Podemos metodizar êste problema pela Tabela 2.3.9

onde nas colunas i representamos a distribuição das variá

veis ao longo das características ~i' e nas linhas j a dis

tribuição das variáveis ao longo das caracaterísticas n., ten j -

do desta maneira os valores das variáveis em cada intersec

ção de duas características no retângulo correspondente à co

luna i e à linha j.

}l i R t-!: • i+t n • • • {: ... 'L

',v "' )

.,, i V . '

y

--· .;, > ~'X' ~

./\ Ã Y V

z ~

~ X X ~ ~ .

X

X ~

• ~~ K .1\.

Y• ,~1 > ~.,,,.... ~ V'>

. "· .. IX' X "·,,·1 • z;i, ,-1., _J >ç,, ,

'"-<;;:J/ ~ ;<, ..,,,..(.J t

6:<.1.

/rf 3<)~~ )y )C )

> ) V X X

Y_/'

V li "I, li y X

y • . ~') >'

Ã, V) X y

n ~ '\,!'ll'VA

TABELA 2.3.9

Os quadros hachuriados significam que os

das variáveis são conhecidos ao longo da curva T.

66.

valores

Os valo

res no ponto P(~,j) serão determinados se, e sõmente se, os

valores nos pontos P (~,j-7) e P (~-7,j) forem conhecidos. 1 2

Concluímos que podemos determinar os valores das v~

riáveis na região limitada pelas características extremas,

seguindo as direções das setas a partir dos valores na fron

teira Te desta maneira preencher os quadros da Tabela 2.3.9.

2g CASO P4oblema de Gou4~at

Nêste caso tôdas as variáveis sao consideradas co

nhecidas ao longo de duas características e procura-se deteE

minar estas variáveis na zona compreendida por estas caracte

rísticas (Figura 2.3.10).

tste problema ê resolvido da mesma forma que o pr~

cedente, necessitando sõmente iniciar os cálculos das variá

veis em P.

67.

x---------------------------;--

nj n2 z FIGURA 2.3.10

Representando êste problema como na Tabela 2.3.9 te

mos a seguinte configuração (Tabela 2.3. 11):

. . .

·~ @~ ~--~

~><.l)Ç X

X X ,..., ~ .

2 ... l-i • t

X X X

XJ< ~ X

X

i+! X X X

X X X X

)< X ~

. ..

---------- -- - -- -- --~- --- ----

-.,~ x X L...:..h~x~xx~~a __ _j ___ L __ l_ __ J. __ _jL __ L __ J_

TABELA 2.3.11

68.

Yl CASO Pito blema Mi~to

Nêste problema tôdas as variáveis ao longo de urna

caracnerística são conhecidas e ao longo de uma curva não c~

racterística conhecemos algumas variáveis ou condições que

nos permitem resolver convenientemente o sistema das equ~

ções (2.58) a (2.61) e obter tôdas as variáveis na região

compreendida entre estas duas curvas.

2.3.5 Problema de Capacidade de Carga.

Entendemos por capacidade de carga de um solo o car

regamente que é capaz de levá-lo a um estado de equilíbrio

limite e a denominaremos "Capac.,i.dade de Ca1tga TeÕ1t,i.c.a do So

lo".

Se urna carga "real" p(xl atua ao longo de um inteE_

valo do eixo positivo dos x (Figura 2.3.12) nós podemos estu

dar a estabilidade do maciço de duas formas.

Primeiramente nos obteríamos a estabilidade se apl~

cássemos um carregamento q (x) que impedisse a 2

sob p ( x l •

subsidência

q 'l()

. 1-SUBSIVl:NCIA

z

FIGURA 2.3.12

Poderíamos ainda assegurar a estabilidade se

cássemos um carregamento q (x) tal que a tendência do 1

menta acarretasse o levantamento de p(l().

69.

apl!

movi

tstes dois carregamentos, que, por assim dizer, g~

neralizam o problema de capacidade de carga, delimitam os car

regamentos possíveis de equilíbrio face à aplicação de p(l().

Nós procuraremos êstes dois carregamentos limites.

No primeiro caso caracterizaríamos um estado de e

quilíbrio limite ativo em uma zona sob p(l() enquanto que,

sob q (l(I (l(<O) onde o solo tenderá a resistir ao movimento, 2

teremos um estado de ruptura passiva. Notamos ainda, que

dependendo do valor de p(") e dos parâmetros do solo o carre

gamento q ("I poderia ser nulo ou mesmo negativo, o que si~ 2

70.

nificaria que com o carregamento p(xl seria impossível gerar

um estado de equilíbrio limite [p(xl menor do que a capac!

dade de carga do solo] .

No segundo caso, que representamos na Figura 2.3.13,

caracterizamos um estado de ruptura passiva em uma zona sob

p(xl e um estado de ruptura ativa em uma zona sob q (x). In 1

terligando estas duas zonas temos uma zona de transição.

ZONA I PASSIVA

ZONA II TRANSIÇÃO

FIGURA 2.3.13

z

ZONA III ATIVA

Além das três zonas delimitadas, esquematizamos a

71.

linha de ruptura A A A3

A,_ l 2 •

que é a linha limite de vali

dade da teoria exposta e onde ocorrem descontinuidades fini

tas nas componentes da t"ensão. Procuraremos as tensões em

qualquer ponto acima da linha de ruptura e, em particular,na

fronteira OA • 4

Procuraremos um carregamento vertical q1

(x)

cuja estabilidade, no estado de equilíbrio limite, é asseg_l:!_

rada por um carregamento vertical crescente monotônicamente

p(x), conforme mostra a Figura 2.3.14.

Para que possamos representar no plano f.n o domínio

que nos interessa, de uma maneira real, e, posteriormente,f2

zermos o mapeamento no plano xz, desprezaremos inicialmente

o pêso prôprio do solo. Nestas condições _as relações váli

das ao longo das duas famílias de características são as e

quações (2.54a) e (2.55a) que transcrevemos abaixo.

Primeira família de características:

dz = -tg (a+e:l

dx e f, = c.on-6.tante. (2.54a)

Segunda família de características:

dz dx

= -tg ( a - e: l e n = e.o n-6-tante. (2. 55a)

p(x)

ZONA 1 PASSIVA

ZONA 11 TRANSIÇÁO

FIGURA 2.3.14

z

ZONA 111 ATIVA

72.

q (X)

Podemos inicialmente determinar as variávies a e 9

na fronteira OA (item 2.3.3) e, pelas relações de recorren 1

eia, determinamos I; e n nesta mesma fro.nteira.

Na fronteira OA temos um estado de ruptura passiva 1

(SK = + 1), e, o carregamento p(x) sendo vertical, ter-se-á

para x > O.

a (x,O) = p(x) e e(x,O)=O (2. 76)

1 - <1 encf,

73.

As variáveis, e n serao determinadas pelas rela

çoes:

, - n = 2e

' + n = 2x onde X= c.otg$ ln 2

alx,O) K

(2. 77)

Notamos, então, que a fronteira OA no plano xz ma 1

peará segundo a reta ,=n no plano ;n e que ;A> ; 0 1 1 pois,

ªA > ªo • 1 1

(Figura 2.3.15).

B 2

n i:-· --,IC....---------1'. o / o / 02

1 / /

/

FIGURA- 2. 3 .15

74.

Nêste ponto já podemos calcular~ e nem qualquer

ponto da fronteira OA1

assim como a e e, e ªx' ªz e Txz atra

vés das relações de recorrência.

Passaremos agora a estudar o ponto O (Figura 2.3.14).

Notamos que nêste ponto existe uma descontinuidade nas ten

sões e consequentemente poderemos considerá-lo como uma ca

racterística no que se reduziu a um ponto no plano xz. To

roemos um entôrno de O com 01

a esquerda e 02

a direita. Em

01

são válidas as relações (2.76).

para x < O:

Se p(x=O) = p0 teremos

= e = o (2. 7 8)

Na fronteira OA1

(Figura 2.3.14) poderemos da mesma

forma, determinar a e e lembrando que SK = - 1 (estado ativo)

e ô=a =O (q(x) é vertical).

alx,O) = q (X)

e

Para x > O.

1T e(x,O) =

2 (2. 79)

(2.80)

75.

Como o ponto 02

pertence a esta fronteira, temos:

CI 0 2

= 1 + <1 en<jl

e = .:rr. 2

onde

Determinemos a variação de cr em 010

2•

sabemos que n0 = n0 = n0 l 2

no = Xo - e o . cr O

= ê.ôtgp ln i

l l 1

= c.o.tg</> ln cr - e no 2 K

2 K

De (2.82) e (2.83), obtemos:

2 e.t9 <1>

cr = CIO • l

l

' 1r .tg </>

CI 0 = CI 0 . l e I; o > I; o 2 1 2 1

qO = q (>:=O)

(2.81)

(2. 82)

(2. 8 3)

(2.84)

(2.85)

=

76.

26.tg4> (J =<J .l

o 1

a) Va~iação de a em O. b) Va~iação de cr em O.

FIGURA 2.3.16

Concluímos de (2.85) que cr0

é sempre maior do que 2

cr 0 ou q0 > p0• Podemos determinar os valores de quaisquer 1

das variáveis no entôrno de O conhecendo o valor de a, por

meio da equação (2.84). Para completar a representação no

plano ~n do domínio que nos interessa fazemos a intersecção

das características que definem cada ponto. Assim, a repr~

sentação do ponto A~ será ol:,tida lem!:,rando que A4

pertence

à reta ~ - n = 1r, e nA 4

= nA •

Em seguida para que possamos fazer uma análise aut~

mática dêste problema, executaríamos uma malha da Figura 2 •

. 3.15 e calcularíamos as variáveis na intersecção dos pontos

da malha projetada (Figura 2.3.17), do seguinte modo:

77.

FIGURA 2.3.17

Na região A1 0 1 A2 (ZONA I) poderemos determinar

~ e nem qualquer ponto da malha resolvendo o problema de

Cauchy pois os valores na fronteira 0 1 A 1 já foram obtidos.

No retângulo 0 1 A2 A3 02 , que corresponde à ZONA II, no pl~

no xz, poderemos obter as variáveis~ e nem qualquer ponto

da malha resolvendo o problema de Goursat, pois que, na ca

racterística 0 1 A2 , os valores foram obtidos pelo problema

de Cauchy, e na característica 0 1 A2 nós os determinamos p~

la equaçao (2.84) e relações de recorrência (2.77), conside

rando que em cada divisão do segmento 0 1 0 2 o valor de e ê

a interpolação linear entre os valores extremos. (Figura

2.3.16a.).

Finalmente, em 0 2 A3 A, (ZONA III) a solução e obti

78.

da resolvendo o problema misto, pois que em 0 2 A4 l;-n=Tr, e

na característica 02

A3 os valores foram obtidos anteriormen

te pelo problema de Goursat.

Terminada a determinação das variáveis no plano l;n

nos poderemos mapear a Figura 2.3.17 no plano xz e obter as

linhas de deslizamento (curvas correspondentes a I; ou n con~

tantes no plano l;n). Se tivermos uma curva n8

=con-0t. (Fig~

ra 2.3.15) no plano l;n, teremos no plano xz uma curva da fa

dz mília das características = tg(8-&) que é uma linha de dx

deslizamento.

Os valores das componentes da tensão em um ponto

correspondente a P (Figura 2.3.17) poderão ser determinadas

usando as fórmulas de recorrência (2.77) e as coordenadas de

Notamos que do ponto O partirá um feixe de ca

racterísticas I; = con-0tante.

A fim de generalizarmos o problema e torná-lo mais

real, isto é, determinarmos a distribuição das variáveis ao

longo do domínio sem desprezar o pêso próprio do solo, e p~

ra qualquer distribuição e inclinação de p(x), não poderemos

mais representar o domínio no plano l;n fàcilmente, pois que

as linhas de deslizamento não mais se mapearão em linhas p~

ralelas aos eixos coordenados I; e n, já que a e b nao serao

79.

nulos nas equaçoes (2.54) e (2.55). O que faremos será u

saro mesmo desenvolvimento anterior, mas determinando dire

tamente cr(x,z) e 9(x,z) através das equações (2.54) e (2.55)

expressas em diferenças finitas. A marcha é a seguinte:

1 - Dividiremos o comprimento de aplicação de p(x),

(OA 1 ), em um numero de partes iguais (N) e consideraremos as

características que partem dêstes pontos de divisão, denomi

nando-as características n de~ e as características~ por j

enumeradas conforme a Figura 2.3.18.

J=N+1 FIGURA 2.3.18

Desta maneira, todos os pontos do maciço, inclusive

os das fronteiras, terão coordenadas,

80.

X •• ,<_j

z .. ,l.j

p a ..

,l.j

e .. ,l.j

2 Baseando-nos no Item 2.3.3, na distribuição de p(x),

e no número de divisões consideradas, podemos determinar as

coordenadas de todos os pontos da fronteira AO e 1

represe!!

tar os valores obtidos conforme a Tabela 2.3.9.

3 Em seguida resolvemos o problema de Cauchy e obte

mos os valores de tôdas as variáveis nos pontos de intersec

çao das características (ZONA I).

4 Dividiríamos o segmento 01

02

em um número de

tes (KBETA) e calcularíamos o valor de e em todos os pontos,

como a interpolação linear entre os valores extremos. Ova

lorde a em cada ponto seria obtido pela equação (2.85). Nês

te segmento os valores de x e z são nulos.

5 Conhecendo os valores de tôdas as variáveis nas ca

81.

racterísticas 01

02

e 01

A2

resolvemos o problema de Goursat

e obtemos os valores destas variáveis na zona de transição

(ZONA II).

6 Finalmente, os valores da ZONA III sao obtidos re

solvendo o problema misto a partir dos valores conhecidos na

característica 02

A3

e sabendo que na fronteira 0A4

os valo­

res de e são conhecidos (ítem 2.3.3) e z .. = O. -<.j

Tendo determinado os valores de X .. , Z .. , a . . e a .. -<.j -<.j -<.j -<.j

podemos determinar as componentes da tensão em qualquer po~

to e, inclusive, traçar a rêde de linhas de deslizamento. A

Figura 2.3.19 é a representação desta rêde traçada automàti

camente pelo "PLOTTER" e na Tabela 2.3.20 estão os valores

de X •. , Z •. , a . . e a .. nos pontos de intersecção da rêde de -<.j -<.j -<.j -<.j

vido à aplicação de p(x) = O na fronteira 0A. Em função l

dos valores de a .. e a .. na fronteira 0A 4 , podemos -<.j -<.j

determi

nar as componentes da tensão, que estão representadas na Ta

bela 2.3.21 sendo os mesmos valores determinados pelo progr~

ma (C ;,-1,0 ton/m 2 - ~ = 30º.:. y = 1,5 ton/m 3 ).

2.3.6 Outros Problemas.

A teoria exposta nos permite resolver tambêm o pr~

ll•

.~ -:- ' r~ . ;.- .. ,,

REFRt:!INT ACAD DAS LJt,J,AS [I [ELIZA!JENTD PARA A OISTRIBJICAO [[ TEfilS I{] ESTADJ [I EUJILiffiIO LIMITE ·CA9J PASSIVO

TE~ MAKLIO M, :DARES- DJff -lJRJ

10- ,. pl<I • o

,.

C -= 1, o :tontm2

4' • 30°

-y • ,·,s ton/m3 .

,. 6· 5·

31, 87

•· l· ,. !•

FIGUPA 2.3.19

O·

~­z"

~-

146, 3

·J·

' ' ,--~--- . ..-- .... -·.,·, .. :- -...- ,-·.·- .- __ ,...,.. _. . ..,,. ... --·.-,,: .... _ ...... ...., ,- ----··. ~-------~,--,,··- .- ....... -~.... ·._i

ex, . "' .

. . ·.

' ·-

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------COESAO E/o' TGN/~2---------,.- 1.cco ANE~LO CE ATRITO EM GRAUS-3C.C00 PESC ESPECIFICO E~ TON/M3- l.5CO

hU"'E~O OE CA~REGA~ENTOS------ 2

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------l ~1 •••••••••••••••••••••••••••••~••••••• 1 CARREGA~ENTO••••••••·••••••••••••••!•••••••••••~•••••

1 j

1

'i

CARGA PARA X:C. e, TCN/~2 c.-000 CARCA PARA X:L E'°' TCN/,..2 O.COO CO/o'PRl~ENTG OE APLICACAG DA CARGA E/o' ~ETRCS 10.000

----------GUTROS OETALI-ES----------

r,.,\J/o'ERC CE 1-sun1rn oe PARAl'F.TRC NU/o'ERG CE PA~A/o'.ETRC

LINHAS CE CESLIZA,ENíC------------------- 10 APRCXl/o'ACCES PARA CACA PONTO------------- 5 CE SOKCLCVSKII--------------------------- 1. OIVISOES DQ IINGULO NA zor-.:.11 DE TRANSICAC-- 10 NI--------------------------------------- O

ANGULO /1,XGULO ANGULO

DE INCLINACAC DC CARREGA~E~rc CADC------ o.ao OE INCLINACAC DG CIIRREGA/o'ENlC PROCURACO- o.ao. QUE DEFINE O ~AC!CC------~--------------180.00

1 ~~··········(·········~······················································································ M[S~LTADCS th CETERP!NACAO Ch DISTRIAUIC~O DE TENSCFS AC LCNGO DAS CARACTERISTICAS--CASU PASSIVO

1,·

:~••••••••1••··················,······························································*············ 1;- J / 1 * * * 4 • 5 • 6 * 7 • • 'J * 10 * 11 * ! ------------------------------------------------------------------------------------------------------------! ~ ' i

o.eco• c.aoo• C. COO* o.coo• o.eco• o.ccc• o.coo• o.coo• O.COO* C.OOil* 10.COIJ•

o.ccc• o .r:oc * e .cr;o~ o .eco• O.CCC* c.ccc• O.OCC* C.OCO* º·ººº* o .oo:, ,e. o.con• o.coo• o.ccc• o.oco• C.CCO* o.ccc• e.eco• º·ººº* o.oco• º·ººº* O.COO* J. '16',. o .coo• C .CCO* Q.CCC* o.coo• O.COC* o. e cc • º·ººº* o.coo• º·ººº* e.COO* O.COC*

C .CüO• o.coo• C .CCC* e.eco• o.coe• o.ccc• o.occ• c.ooot OoOOC-• e.cor;• o.coo* 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 ' e.eco• o .coe• e.eco• e.coo• o.ccc• e.eco• Q.QOC* C.OOO* o.oco• Q.OOC* 9.5CC.*

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a.coo• o.coe• o.coo• o.eco• o.ooc• e.eco• o.oco• 0.000• o.oco• o.oco• 1.s1a• • o.coo• e.oco• o.c~c* o.coo* o.coa• o.ccc* o.oco• o.coo• o.oco• u.OO(J* qo.occ•

. ! ------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 VALCRES CA CCCR0ENACA X E CAS ca~P0~ENTES DA TENSAG E~ CADA PCNTC CA F~GNTEIRA EXTERNA SIG~AX-SlGMAl-TAL

• 1 I J • . l I 21• 2 I 22• 3 I ,,. 4 I 24• 5 I ,.. • I 26• 1 I 21' • /· 28 • 9 I 20, 10 I JO• •) 1 I , J l • 0.000• -o.nti• -0,622• -o.ge·o -1.310• -1,175• -2.195• -2,626* -3.0670 -3.515• •SIGj,1O • 10.623* 14,<g}o 17,gf!Z* 21.110• 25,521• 2'1. 344• 3),lqJ• 37.063* 40,951* 44,fl':iJ• •SlGj,IU • "JL,871• 42.1!81• 53.q47• t.:5.1g1• 1bSO• ee.c32• (l<J,580• 111-190• 122,853• 134. 55'-l_O. • T ALXZ • o.coo• o.eco• c.cce• o.ccc .. o.eco• e.oco• º·ººº* o.coo .. 0.000• o.oco•

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' / ·• '""""!"- . -. ' '

-~---.---·--·--·~-~-----~--

i

1

1 ! ' 1

co

"'

X

87.

blema de estabilidade de taludes e o problema de estabilida

de de muros de arrimo.

No problema de estabilidade de taludes o ângulo que

define as fronteiras (Sl é sempre menor do que 180° e o car

regamente p[x) é nulo (Figura 2.3.22).

ZONA I PASSIVA

FIGURA 2.3.22

q [x)

''" { !

Caracterizamos uma zona passiva sob p[x) e uma zona

ativa sob q (xi.

Podemos seguir o mesmo roteiro anterior, correspo~

dente ao problema de capacidade de carga, mas lembramos que

as equações (2.54) e (2.55) não são válidas. Nêste caso as

fôrças volumétricas por unidade de comprimento serao X=yJena

88.

e Z=y.co.õa e as equaçoes (2.52) e (2.53) assumirão as formas:

Ao longo da característica dz

E;. = .tg ! a+e:l (a) dx

(2.86)

da+ 2a .tg4, da = Y [-0en[a+4')dx + co.õ [a+4,)dz] (b) C0.64'

Ao longo da característica dz n. = .tg ! a-e:l (a) dx

(2.87)

da - 2a .tg4, da = Y [-0en(a-4') dx + co.õ [a-4,l dz] (b) C0.64'

Notamos que para a=O retornamos às relações (2.54 e (2.55).

Na fronteira OA1

os valores sao idênticos aos calcu

lados anteriormente e na fronteira OA as variáveis a e a se • rão dadas por:

a = [ 7 - SK) 7T + l [ SKt:, - ô) - a + m1T (2.88) 4 2

a = q [x) .õenll

onde = (2.89) .õen(ll - SK.ôl

89.

Desta forma as variáveis o(x,z) e e(x,z) poderão

ser determinadas seguindo o mesmo roteiro do problema de ca­

pacidade de carga e obedecendo às relações (2.86) a (2.89).

No problema de estabilidade de muros de arrimo tere

mos que considerar sõmente a fronteira OA~ e a variação de e

(Figura 2.2.23), e no mais, é idêntico ao

blema de capacidade de carga.

p(x)

ZONA 1

ATIVA

FIGURA 2.3.23

ZONA 111

pr~

90.

CAPÍTULO 3

PROGRAMA AUTOMÂTICO, EM LINGUAGEM "FORTRAN", PARA

CALCULAR A DISTRIBUIÇÃO DE PRESSÕES COM BASE NA

TEORIA DE SOKOLOVSKII

3.1 DESCRIÇÃO GERAL.

O programa é bastante complexo mas bàsicamente con~

ta da automatização do cálculo da distribuição de pressoes

em.cada ponto do maciço a partir de tensões conhecidas em al

guma das fronteiras. Conforme foi mencionado, conseguimos

englobar em um único programa a resolução dos três problemas

principais de estabilidade na Mecânica dos Solos.

Em síntese, tal programa consta das seguintes pa~

tes:

1 CARTÕES DE CONTRÕLE l

1 ENTRADA DOS DADOS.DO SOLO 1

1 ENTRADA DOS DADOS DOS CARREGAMENTOS l

91.

1

1 ENTRADA DE OUTROS PARÂMETROS 1

1 CÃLCULO DE CONSTANTES 1

1 CÃLCULO DAS VARIÃVEIS NA FRONTEIRA A1

0 1 1

1 CÃLCULO DAS VARIÃVEIS NA FRONTEIRA 0 1 0 2 1

1 CÃLCULO DAS VARIÃVEIS NO INTERIOR DO SOLO 1

1 CÃLCULO DAS VARIÃVEIS. NA FRONTEIRA EXTERNA 1

1 SAIDA DOS RESULTADOS 1

3.2 LISTA DAS PRINCIPAIS VARIÃVEIS QUE SÃO UTILIZADAS

NS ••••••••••••• Número de solos nos quais se irá

algum problema.

C •••••••••••••• Coesão do solo em ton/m2 .

resolver

FI e FIRAV ••••• Ângulo de atrito interno do solo em graus e

radianos, respectivamente.

GAMA Pêso específico do solo em ton/m3 .

NC ............. Número de problemas a se resolver em

solo.

ICA ............ Parâmetro que define a maneira de

do carregamento dado.

92.

cada

entrada

P1

, P2

e XL .... Variáveis que definem o carregamento real.

2 Conforme a Figura 3.2.1, em ton/m em, res

pectivamente.

XL

e ! z Solo F.l

Gama

FIGURA 3.2.1

KAP • ••••••••••• Número de aproximações em cada ponto

o câlculo das variáveis.

para

SK •.••.•••••••• Parâmetro de Sokolovskii que define o esta

do de ruptura na zona de aplicação do carre

gamento dado (ZONA I).

93.

NI .......••.•.• Parâmetro m Jequação (2.68) 1 para câlculo

de 0 na fronteira.

KBETA .......... Número de divisões a serem feitas no segme~

to OI

O 2

N •••••••••••••• Número de divisões a serem feitas na

teira A1

O

fron

BETA e BETAR ... Ângulo~ que define as fronteiras do maciço

em graus e radianos, respectivamente.

VELT e VELTR ... Ângulo de inclinação do carregamento

em graus e radianos.

dado

ELT e ELTR ..... Ângulo de inclinação do carregamento proc~

rado em graus e radianos.

X {I,J)

Z {I,JI Coordenadas que definem a posição e as ten

SIG{I,J) sões de um ponto de intersecção das caracte

TET(I,J) rísticas I e J.

3.3 ENTRADA DOS DADOS

A ordem de entrada das variáveis que definem os da

dos e seus respectivos formatos de leitura pode ser obtida

através da listagem do programa (item 3.8). As unidades

94.

das variáveis de entrada terão de ser fornecidas no sistema

* A -MT Se os angulos serao lidos em graus.

A variável ICA define o carregamento dado. Se ICA>

>O, o carregamento será fornecido através das variáveis que

definem o carregamento real P1

, P2

e XL. Nêste caso, os v~

lores de cr e e na fronteira serao calculados automáticamente,

conforme ítem 2.3.3, considerando uma variação linear de P1

a P no comprimento XL. 2

se ICA<0 os valores de x, z, cr e e

na fronteira OA serao fornecidos. l

Desta maneira teremos

uma maior generalidade pois a distribuição do carregamento

poderá ser qualquer. O valor de e em cada fronteira é cons

tante, acarretando com isto, ângulos de inclinação dos car

regamentos em cada fronteira constante (1JELT = c.on.6.t e ,,.ELT=

= e.o n..1.tan.te) •

A variável ICR define a saída dos resultados. Se

ICR>0, serão impressos como resultados sõmente os valores

das componentes da tensão na fronteira externa (OA4). Se

ICR=0 será impresso o correspondente a ICR>0 e também adis

tribuição de cr e e no maciço.

tribuição de cr e e no maciço.

Se ICR<0 será impresso adis

Recomendamos valores de N<20

devido à facilidade de impressão dos resultados.

esclarecimentos serão fornecidos nos exemplos.

Maiores

95.

3.4 CÁLCULO DAS VARIÁVEIS NAS FRONTEIRAS A10

1 e 0

10

2•

O cálculo das variáveis na fronteira A10

1 será rea

lizado conforme Item 2.3.3. Como já foi dito, nós trabalh~

remos sõmente com as variáveis o e a que definem o estado de

tensão em qualquer ponto do maciço em estado de equilíbrio

limite. Devido a importância destas fórmulas nós as repet!

remos a seguir.

19 CASO - Quando o carregamento dado nao fôr vertical.

(inclinado de O com a vertical, constante).

e = ( l - s K) 1I. + ( s K. ti - o l + m1r • 4 2

p(x)<1ent, a = onde

<1 enô =

<1en(ti - SK.ô) -0 en</>

{' Equ.,i.R.Zb1t,i_o l,i_m,i_,te, pa.-0 <\,<.V O SK =

1 Equ.,i.lZb1t,i_o R.,i_m,i_,te, a.;t,i.vo

m = qualquer numero inteiro, para facilidade m = O(NI=O).

96.

29 CASO - Quando o carregamento dado fôr vertical (ô=0).

9=(1-SK) 1T

+ mrr 4

p(x) ª' ·= ------

1 - SK. 6 encj,

Definidas as variáveis a e 9 as componentes da tensão serao:

ªx = {J + 6encj, c.06 29) - H

a 2

= ( 1 - 6 encj, e.o 6 2 9) - H

T = a.6encj,.6en 29 xz

Para calcularmos as variáveis na fronteira 010

2 nos

usaremos as fôrmulas deduzidas no item 2.3.4. Para o caso

desta fronte ira coincidir com uma característica ··n, temos:

97.

O valor de e será .calculado em cada divisão de O 1 O

2,

considerando uma variação linear entre os valores extremos

de e em 01

e 02

calculados pelas fórmulas anteriores.

3.5 CÁLCULO DAS VARIÃVEIS NO INTERIOR DO MACIÇO.

Automatizamos o cálculo de tal maneira que, se um

ponto nodal (ponto intersecção de uma característica n com

uma característica~) pertence ao interior do maciço, basta

rá resolver o problema de Cauchy. O equacionamento e a"fer

ramenta" obtida poderá ser notada pela listagem.

Como a determinação das variáveis em um ponto inter

no é feita em função dos seus valores em pontos vizinhos, ex

pressando em diferenças finitas as relações válidas ao longo

das características, necessitamos recalcular estas variáveis

para obtermos valores mais próximos dos reais. Isto nos

foi possível usando o procedimento numérico iterativo suger!

do por Sokolovskii e, usado por GRAHAM 1 1 • o número de i te

raçoes para cada ponto é igual ao valor da variável KAP que

deverá ser fornecida. Aconselhamos tomar KAP=5, pois que

valores superiores a êste fornecem o mesmo resultado.

98.

3.6 CÁLCULO DAS VARIÁVEIS NA FRONTEIRA EXTERNA

A fim de obter as variáveis em um ponto da fronteira

externa basta-nos resolver o sistema, considerando que cada

ponto pertence a uma das famflias de caracterfsticas e à pr2

pria fronteira (Ver, HARR13 ). Como êste sistema, de mesma

forma, ê expresso em diferenças finitas, teremos que

as mesmas iterações para que a solução se aproxime o

possfvel da verdadeira.

3.7 SAÍDA DOS RESULTADOS

fazer

mais

Como se poderá comprovar pela listagem (Item 3.8),

mandamos imprimir as caracterfsticas do solo e do carregame~

to e outros detalhes que caracterizam o problema a resolver.

Os resultados, prôpriamente ditos, serao fornecidos

conforme o valor de ICR. Mas, podemos dizer que, na maio

ria dos problemas, o que necessitamos são os valores das ten

soes na fronteira externa. Êstes valores serão fornecidos

para ICR > O e em todos os pontos de intersecção das cur

vas características, da famflia da qual pertence a linha de

ruptura, com a fronteira externa. Em cada ponto são forne

99.

cidos os valores da abscissa e das componentes da tensão nor

mal na direção X e na direção Z, e a tensão cisalhante.

3.8

100.

LISTAGEM DO PROGRAMA

--------- ·-,--------.--------. --i·, . . . ·. - , ,.. -~ -,, . -~-. ,r

1

i I .JOB

l.•~f; DRIVE

ºªºº 0001

A 63

A 63 ,~:.~,o~;~,::ji . ,,

-,

It~=-~+· [)X"' 1 4. / ' -DY=l'W l X~,

DY=36. "•5 l WRITE!5, ,~~

10 FORM4T12Fl0,51 IF(DX-DYl265,265,270

265 UC:DX GO TU 275

i70 UC.,,DY 2:15 EXl=Xt (N,'H,l )-2*SINI ALFA)

EYl :Y l l NMl, l 1 +2*COSI ALFJ\ 1 IE2=Yl!NM1,LSDl-1 W~ITEC5,l51 IE2 EX2:JE2 IE2=1ARSIIE21 WRJTE{5,151 IE2

15 FORMAT(2151 CALL ~C~LFIUC,UC,O.,EX21 CALL FGRI011,0,,EX2,1.,IE21 CALL FPLOT12,EX1,EY11 CALL FPLOTl-3,0.,0,t CALL FPLOT4-2,Xll2,~l,Yl12,N)l LN:NMl+l ,,,~· LL::,,,::H +l<BET A DO 290 1-=2,NMl Nll:LN-1 NJ2:LL+ 1-1 OU 2'"10 J=Nll,,~12 CALL FPLQT(2,Xll!,J1,YllI,Jll !F( 1-:-u,q 12ao,zgo,2go

_2RO tF<J-ri121zgo,2as,2go

: . ~;"_

~--:~:: .. :.-1· ,, ,e,,,·

i !, ·'.'.'.7/t._".

t' C 15, 40), N ,NMl, l T2 i AHI ,GIi.MA';·,;__· '·'."fc{ '2,CDSF,Xll15,401,Yll15,4ül; .

02 --SUBROUTINE. CTRhL'. ··

] ,:;._/,~;:2:::_;,\;1;'-2':F-

".

185 CALL FPLUTf3,XllI+l,Nil-ll,Ylll+l,Nll-lll t''JO COiH I NUE

CALL FPL01(3 1 XllN,21,YllN,2l1 00 301 J:2,N NI J=N+2-J OU 295 l=NI3,NMl CALL FPLOT12,XlCI,Jl,Yl(l,Jll

2<J5 tn-nwuc C,\Ll FPLOTI 3,X.11~13-1,J+l l ,YllN13-1,J+l l)

30 l CQ;H t NUE -•t·· -00 310.J=NMl,LL 00 305 ·1=1,NMl

. '

101.

--···'---·--~---·· ----- ,,·-~- .... , .. __ ,_,~----·•;, ____ _._. _______ . pt\Gl: 2 ' ó)

C~Ll FPLOTl2,Xlll,JJ,Ylll,J_l_l ____ ~ 305 cu:H ! 'UE •

CALL PLOT. HO CO:'H 1 'UE

HS

320

325

CI\LL PLOT! N 14=L LSP=L DO 32 N 1 ?=J on 31

GU TO '.:.15 WKITF:17,3't01

.. ~.

, , r \ -~ •, .-;C7'.'\ l

IZAMENTO PARA A Otst:IBÜÍ~'!L ;-i IMITE-CASO ATIVO") --:">"f'-:~-::-

340 f(JRMt, r \ • REPRESENT AO0 OhS l lNHI\S !JE DESL I lAMENTO PARA A OIS TR JBUIC lAíl_DF. TENSOES NO EST/\00 DE EOUILIIJRIO LIMtTE-CASO_PASSlV(?'I:; .' .... {-s(s°--:t:'-·;-

345 EXl:-1-EXl CALL FCHARlEXl,EYl,0,1,0.2,-1~571 .-..,: HRl TEt7,350)

350 FQRMAT! 1 TESE RETURN

MARCIO MJRANOa SOAREs--..:coPPE-UFRJ''J

END

F~ATURES SUPPORTED i-,,~E WORD l N H:GERS

C';~E REUUIREMENTS FOR CPPl • Cü/~MUN 7230 VAH.IABLES 3ft . PROGR~("I

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1,J-11 l+GAMl\*( "l-Bl l l/f 2HANF*l SIGJ+SIGI 1) SlGl l ,JJ o:S!Gt l-1,J )-7.•S JGJ*TI\NFOI TET( 1,J 1-TEH 1-1 ,JI l+GAMA*Al IF!KK-KAP132,32,100

j2 TETI=ITETCl,J-ll+TF.T(J,Jll*0.5 Tf:TJ=lTETCl-1,Jl+TETII,J})~O.5 SIGI=ISIGll,J-ll+SIGll,Jl)~O.5 SJGJ=lSIGll-1,Jl+SIGtt,Jll*0.5 GO TO 31

CALCULO DAS VARIAVEIS NA FRONTEIRA ll~ITE --CASO PASSIVO .·--'-'«· ~-..

,,. .. ) '.-, ...

14 Tflll,J)=TET(l,Lll XY=TETll,J-11-AMI TXY,,,TAt1{XY) XI 1,J l=t ZI 1,J-11-Z{ 1-1,J-lH·X( t-1,J-ll•TBETA-XI t,J-U•TXYl /ll8ETA-:.'.:-;.\_:· ... :; lTXY\ "- . - _.,. ~,·,,-. _,.

ZI 1,Jl=Z { l-1,J-l H·( XII ,J )-Xl 1-liJ-l l J•TBETA Bl= ICOSAl*l l( J ,JJ-Z { 1,J-l l l+SE,'11 l*I XI t,J 1-XI I ,J-ll 11/COSF KK:O :-'~':"1-f•> SIGl=SIGI 1,J-1) 1

33 KK=KK+l 'i SIGI 1,Jl=SIG! 1,J-11+2.•SIGl*TANF*I TETI 1,Jl-TETI l,J-ll l~GAMA*.é.Í - .,.

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4.1 --

CAPÍTULO 4

EXEMPLOS DOS DIVERSOS PROBLEMAS PRÁTICOS

E CONSIDERAÇÕES DOS RESULTADOS

CAPACIDADE DE CARGA

4.1.l Generalidades

Antes de apresentarmos os resultados obtidos

109.

pela

teoria exposta, faremos algumas considerações sôbre as diver

sas teorias existentes.

A maioria das teorias que tratam do problema de ca

pacidade de carga admitem superfícies de ruptura que via de

regra sao cinemàticamente impossíveis. Os valores forneci

dos pelas diversas teorias diferem consideràvelmente entre

si, já que são diferentes as hipóteses nas quais se baseiam.

K. TERZAGHI 30 (1943) propôs a seguinte equaçao para

determinação da capacidade de carga de uma fundação corrida

carregada verticalmente.

110.

( 4 .1)

onde C= coesao do solo, B= largura da fundação, v6= profund!

dade da fundação, y= pêso específico do solo e Nc, Nq e Ny

sao os fatores de capacidade de carga de Terzaghi, que depe~

dem exclusivamente do ângulo de atrito interno do solo. Pa

ra que possamos, posteriormente, fazer alguns comentários,

daremos o significado da capacidade de carga segundo Terza

ghi. Na.Figura 4.1.1, q6

será a carga máxima uniformemente

distribuída que poderá ser aplicada ao solo atraves da

ta de largura B, de maneira que não ocorra ruptura do

Caso haja uma camada de solo com espessura v6

acima da

sap~

solo.

base

da fundação, qó será a carga máxima que poderá ser aplicada

de maneira que a carga y.v 6 possa impedir a ruptura, havendo,

portanto, uma dependência entre q6 e v6 (ou yV 6).

BRINCH HANSEN 4 (1952 a 1960) estendeu a equaçao de

Terzaghi introduzindo o fator de forma~, o fator de prof~

didade d e o fator de inclinação i, de maneira que, a capac!

dade de carga seria dada pela equação:

( 4. 2)

111.

Os valores de todos os fatores que definem a capacidade de

carga podem ser encontrados, por exemplo, em BOWLES 3 (1969).

BALLA (1962) determinou a seguinte equaçao geral

para a capacidade de carga considerando uma figura de rupt~

ra mecânicamente possível.

qÓ = C. (.tg4,+óF ) + y.VL. (l+óF ) + 0,5 yBó(óF +F .tg4>) 6 O 5 4 5

( 4. 3)

na qual os coeficientes F sao sõmente funções de 4> (ângulo

de atrito interno do solo), enquanto que o parâmetro ó é fun

ção do mesmo 4> e das relações adimensionais VÓ/(B/2) e C(B/

/ 2) Y· Em outras palavras, Balla verificou que os fatores

de capacidade de carga fornecidos por Terzaghi nao eram so

mente funções de 4> mas também de v6, B, C e y.

A teoria de Sokolovskii também nos permite determi

nar a capacidade de carga de uma maneira indireta, baseando­

-nos na definição da capacidade de carga de um solo. Nós

procuraremos o valor do carregamento q(x) que poderâ ser a

plicado ao longo do semi-eixo negativo dos x de maneira que

o carregamento p ( x) , impeça o movimento de deslizamento. Prâ

112.

ticamente, o carregamento p(x) é o valor da carga equivale~

te à camada de solo superior à base da fundação (Figura 4.1 .

• 1) •

z

' q 6 = c.on!>t q = y ºn

l L l l l , TERZAGHI "'rr.:;://:=// ~, «.:::- // ~ // :::://

z

q(xl-=?

p (X) =

SOKOLOVSKII .:::-//

z

FIGURA 4.1.1

113.

Para resolvermos êste problema nós teremos que del~

mitar o comprimento do carregamento p(x) de maneira a têrmos

a superfície de ruptura passando por M (pràticamente, êste

comprimento é cêrca de 4 a 5 vêzes a largura B da fundação).

Fornecidos os valores que definem o solo (C, ~, y), o carre

gamento (P, P e XL) e as características do problema - es l 2

tado passivo na zona de aplicação de p(x)

regamente q(x) procurado seguindo o roteiro

discutido.

4.1.2 Exemplos.

obtemos o car

anteriormente

Procuremos o valor da capacidade de carga de um so

lo definido pelos paràmetros C = 1,0 t/m2, ~ = 30° e y =

= 1,5 t/m 3 , pela teoria de Sokolovskii, fazendo as diversas

hipóteses possíveis.

19) Supondo, primeiramente, que iremos projetar uma sapata

contínua na superfície do solo (VÓ = O).

a) Inicialmente, desprezaremos o peso próprio do solo.

Nêste caso entraremos com os valores dos parâmetros

114.

do solo definindo o pêso específico do solo como sendo nulo.

Como a sapata é superficial o carregamento real é nulo (P = l

= P = O) e tomaríamos o comprimento de aplicação XL próx! 2

mo a 5 vêzes a largura da sapata. As outras característi

casque definem o problema e que permitem uma aproximação

maior nos resultados, também serão fornecidos. O número de

divisões (N) no comprimento de aplicação de p(x), do qual

também dependerá a aproximação dos resultados deve ser toma

do menor do que 20,face a dificuldades na impressão dos re

sultados.

Em resumo, fornecendo em cartões perfurados na or

dem abaixo e nos formatos correspondentes à listagem.

NS = 1

e = 1. FI = 3 O. GAMA = o. NC = 1

ICA = 1 ICR =

PI = o. P2 = o. XL = 1 O.

N = 1 O KAP = 5 SK = 1 . KBETA = 1 O NI=O

VELT = o. ELT = o BETA =180.

obtemos os resultados que nos permitem traçar a Figura 4'.1.2,

115.

na qual temos os valores das tensões a na fronteira externa z ..

(x < O) que e o valor da capacidade de carga.

Refazendo os cálculos, alterando apenas o número de

aproximações KAP e fazendo-o variar de 5 a 15, nós verifica

mos que o resultado para todos os casos é o mesmo e igual a

31,s8· t/m 2 •.

p (x) = O

TERZAGHI -·--·--·--··--· --·--·--

z

FIGURA·4.l.2

SOK LOV KII 2

q(,)=3 ,8 c/m

Determinando a capacidade de carga fornecida pela

equaçao de Terzaghi (4.1) encontramos o valor qá = 37,2 t/m 2•

De acôrdo com as teorias de Sokolovskii e de Terza

ghi, observamos que, ao desprezarmos o pêso próprio do solo,

a capacidade de carga independe da largura da fundação e o

116.

valor dado pela primeira teoria é menor que o fornecido pela

segunda.

b) Agora, consideraremos o peso próprio do solo, e os

dados a fornecer serao os mesmos vistos anteriormente, só al

terando o cartão que define o solo, que sera:

e = 1 • FI = 30, GAMA= 1.5

Nestas condições, obteremos os resultados que sao os forneci

dos na Tabela 2.3.20 e que nos permite traçar a Figura 4.1.3.

x-=~'77'==1/"==S'""?;~--------+---'--'------'----'-----'-,7"';=-:,=,-,,,;,:: O ·, .N, - 1 • O - 2 • O - 3 • O - 4. O

z

FIGURA 4.1.3

1) CAPACIVAVE VE CARGA TEÕRICA: q(x) ~ 31,8 - 28,93x. 2) TEORIA VE TERZAGHI: · q6 = 37,2 - 14,75x.

117.

Da mesma forma, refazendo os cálculos e alterando,

sõmente, a variável que define o número de iterações para ca

da ponto e fazendo-o variar de 5 a 15 nós verificamos que os

resultados nao se alteram e que o

{ 1 . / 2 finido por q x=O - 31,8 :t m e

carregamento e linear e de

q(x;4,0) = 146,0 :t/m 2•

Resolvendo êste problema pela teoria de Terzaghi

obtemos:

qá = 37,2 + 14,75.B ou q6 = 37,2 - 14,75 x ( 4. 4)

o que corresponde à reta traçada na Figura 4.1.3, e que, p~

ra x = O, q(O) = 37,2 :tJm 2, e para x = -4, q(-4) = 96,20

:t/m2.

Verificamos que os valores obtidos pela teoria de

Sokolovskii são inferiores aquêles obtidos pela teoria de

Terzaghi no intervalo X< ON (Figura 4.1.3). ll:ste fato

nos permite concluir que ao longo dêste intervalo, os valo

res fornecidos pela teoria de Terzaghi geram um estado de

tensão impossível nos solos. Mas, o que é mais importante,

ê o fato de que, pela teoria de Terzaghi, qá e uniformemente

distribuída sôbre a largura B; assim sendo, o valor de qá

118.

para B = 2,0m, nêste problema, seria 66,70 ;t/m 2, o que cer

tamente provocaria uma ruptura localizada numa largura sup~

r-ior a 1,0m; como podemos notar pela Figura 4.1.3.

29) Suponhamos que iremos projetar uma sapata continua a

uma profundidade v6

= 0,50m.

Para êste solo os valores obtidos pela teoria de

Sokolovskii e pela teoria de Terzaghi estão representados na

Figura 4.1.4. A Figura 4.l.4a representa os valores da ca

pacidade de carga desprezando-se o pêso próprio do material

(y=O), e na Figura 4.l.4b considerando-se o pêso próprio.

Com respeito aos resultados poderíamos fazer a mesma consid~

ração anteriormente apresentada. , TERZAGHI q6_= 44,1 t/m 2

X /. ~

a)

p(x) _ = o, 75 ;t/mz

<1olo e 4> y=O

------· - -----·-·-SOKOLOVSKII q(x) = 3,94 t/m2

z

----·--44 ,---·

-1. -2. -3. -4. x~ . ..,1/'"'==-/,"==-----------+-----'--.;._ _ __..__-'----'-----.... SOKOLOVSKII q(x) = 44-33.x(t/m 2 ) e TERZAGHI q

6 = 44-14,75x(t/m 2 ) b) <1olo 4>

y

z

FIGURA 4.1.4

119.

4.1.3 Comparação Entre Valores Obtidos e Va-

!ores Experimentais.

Após termos feito a comparaçao entre os valores for

necidos pela teoria exposta e os valores calculados pela teo

ria de Terzaghi façamos a comparação entre os valores calcu

lados pelas diversas teorias e os valores experimentais obt!

dos nos ensaios de campo executados por MUHS (1959 a 1961)

-e MILOVIc 20 (1963) em sapatas retangulares e quadradas.

tstes testes estão representados a seguir, com os

valores obtidos pelas diversas teorias, inclusive, os valo

res da capacidade de carga teórica, e os resultados exper!

mentais acima referidos. Para efeito de comparação conside

raremos que a capacidade de carga, dada pela teoria de Soko

lovskii é o valor da ordenada da capacidade de.carga teórica

correspondente a menor largura da sapata.

TESTE I

2. O

-9. 7 O

li

CAPAC. DE CARGA TEaRICA

,,,,fl 111"·' li* J J X

z

1

'

'

NOMER( VALOR

DO

TESTE

I o.

i

MÉTODO

DE

CÁLCULO

TERZAGHI MEYERHOF

120.

VALOR DA

CAPACIDADE DE

CARGA (Kg/em 2)

7.62

6. 6 8

CAQUOT e KÉRISEL 5. 7 9

BRINCH HANSEN

BALLA

1 C=0,65 :t/m2: MLJHS 1

6. 2 3

1 O. 34

1 O. 8 O

9. 1 O ; 4>=37º ! SOKOLOVSKII : 3 ! , y=l ,6 :t/m ' Í p(x)=O

! 1

1

j II 0.5 1

i i C=0,40 :tJm 2

4> = 3 5° 3 O'

y=l ,67 :t/m3

p(x)=yD 6

TERZAGHI MEYERHOF

CAQUOT e KÉRISEL

BRINCH HANSEN

BALLA

MLJHS

SOKOLOVSKII

.

7.80

1 6. 8 4

7. 1 8

8. 8 O

14. 11

12. O

1 O. O

CAPAC. DE CARGA TEaRIC~

TESTE III

-----------" 16. O p(x) ..:::r:-:r·j_i___L_L.i. ____ _ X r

NÚMERO VALOR

VO VE

TESTE VÓ(m)

III 0.5

C=0,80 :t:./m 2

ij,=38° 30'

y=1,4:t:./m 3

z

CAPAC. VE CARGA

p(x)=yVÓ

TEÕRICA

TESTE IV

p(x)

X

z

1. O

1 • O

. 2 2. 2

CAPAC. VE CARGA TEÚRICA

IV 0.5

C=0,80 :t:.fm2

4>=38° 30 1

y=1,4 :t:./m 3

p(x)=yVÓ

121.

VALOR MÊTOVO

VE

CÁLCULO

VA CAPACIVAVE VE .CARGA (Kg/ c.m2)

TERZAGHI 1 5. 2 3

MEYERHOF 34. 86

CAQ_UOT e KÊRISEL 1 3. 7 O

BRINCH HANSEN 1 7. 5 3

BALLA 2 5. 1 8

MUHS 24.20

SOKOLOVSKII 16. O O

TERZAGHI 1 8. 5 5

MEYERHOF 46. 9 6

CAQ_UOT e KÊRISEL 14. 4 7

BRINCH HANSEN 22. 52

BALLA 3 2. 5 O

MUHS 3 3. O

SOKOLOVSKII 2 2. 2 O

TESTE V NÜMERO VALOR VO VE

TESTEV6

(m)

9•:;~1/ · -_ ~~MliiJS/, I

6 -~,J-,}=J/c,,J 111

1 o. 71 ' 1i1

O. 71

1!1 V 0.4 1,1 '

---- c = 1 , 3 :t/m2

3. 8 cj,= 2 2 ° 1 1

X z

y=l,8 :t/m 3

,p(x)=yVn

CAPAC. VE CARGA TEÔRICA

TESTE IV

O. 71 VI O. 5

e= 1, o :t/m 2

1 --4> = 2 5° L----

5.6 y=1,8 :t/m3

p(xl p(x)=yVá

X

z CAPAC. VE CARGA TEÔRICA

MÊTOVO VE

CALCULO

TERZAGHI MEYERHOF

122.

VALOR VA

CAPACIVAVE VE CARGA (Kg/em2)

4.47

6.58

CAQ_UOT e. KtRISEL 3. O 3

BALLA 6. 7 4

BRINCH HANSEN 3. 9 8 -

MILOVIC 4. 1

SOKOLOVSKI I 3. 8

TERZAGHI 5. 7 7

MEYERHOF 8. 8 4 CAQ_UOT e. KtRISEL 4. O 8

BALLA 1 O. 1 8

BRINCH HANSEN 5.74 -MILOVIC 5. 5 O

SOKOLOVSKII 5.60

TESTE VII

O. 71

O. 71

2. 1 8 p(x)

X z

CAPAC. VE CARGA TEÔRICA

O. 71

P ( x) . -X

O. 71

--­.----

z

2.54

NÜMER! VALOR VO VE

TESTE v6

(m)

MÊTOVO VE

CÃLCULO

TERZAGHI MEYERHOF

123.

VALOR VA

CAPACIVAVE VE CARGA (Kg/c.m 2 )

2. 51 2. 51

CAQUOT e KÊRISEL 1.65 VII o.o· BALLA 2. 9 3

1 • 9 8

2. 2 O

2. 1 8

1C=1,0 :t/m 2

! *=20º

y=l,74 :t/m 3

p(x)=O

BRICH HANSEN -MILOVIC

SOKOLOVSKII

TERZAGHI MEYERHOF

VIII CAQUOT e KÊRISEL

0.3 BALLA

2. 9 O

4. 1 O

2. O

4.40

BRINCH HANSEN 2.57

C=1.0:t/m 2

~=20º

y=1.74:t/m 3

p(x)=yV 6

MILOVIC SOKOLOVSKII

2. 7 O

2. 54

CAPAC. VE CARGA TEÔRICA

124.

4.2 ESTABILIDADE DE TALUDES

Em uma das conferências proferidas recentemente na

COPPE, o Professor NORBERT MORGENSTERN salientou a aplicação

da teoria de Sokolovskii aos problemas de estabilidade de ta

ludes em solos e, inclusive, apresentou resultados comparat~

vos entre esta teoria e as demais teorias existentes.

Nêste item nao daremos um desenvolvimento completo

dêste problema, o qual pretendemos juntamente com a resolu

ção de outros problemas mais complexos apresentar em traba

lhos futuros. Limitar-nos-emos a apresentar os resultados

obtidos para um caso particular, os quais constam da Tabela

4.2.1 e Figura 4.2.2.

O carregamento representado na Figura 4.2.2 é o car

regamento máximo em ton/m2 que poderá ser colocado nêste ta

lude sem provocar ruptura do mesmo.

6. 7 8 12.96 t/m 2

e = 0,4t/m 2

~ = 35° 3 O '

y = 1,67t/m3

z FIGURA 4.2.2

• li)

N ..-i

J

I

X(I,J)

SIGMAX(I,J)

SIGMAZ(I,J)

TALXZ (I ,J)

1 / 2 1

O.DO

1 • 3 8

6.78

º·ºº

2/22 3/23 · 4 / 24

- O. 2 7 -0.39 -0.54

1 . 8 8 2. 7 9 2.42

8.64 9. 8 3 1 O. 7 O

o. o o o. o o o. o o

' 5/25 6/26 7 / 27 8/28 9/29 10/30 11 / 31

- O. 6 9 - O. 81 -0,93 - 1 • O 3 - 1 • 1 3 - 1 • 2 7 - 1 . 2 8

2. 6 O 2. 7 4 2.84 2. 9 2 2. 9 7 3. O 1 3. O 2

11 • 3 7 11 , 8 8 7 2. 2 7 7 2. 5 6 7 2. 7 7 7 2. 9 O 7 2. 9 6

o. o o o. o o o. o o o. o o o. o o o. o o o. o o

TABELA 4.2.l

126.

CAPÍTULO 5

CONCLUSÕES GERAIS E LIMITAÇÕES

Lembramos aqui que a teoria de Sokolovskii desenvo!

vida para um estado de equilíbrio limite plano, considera

que tôda a massa de solo envolvida no processo de ruptura a

presente tensões cisalhantes correspondentes ao valor máximo

(ou resistência ao cisalhamento).

to, com relações tensão-deformação.

Não se preocupa, porta~

A concordância da aplicação da teoria com a prática,

seria, a priori, tanto mais válida quanto menores fôssem os

recalques na ruptura.

Em razao da excelente aproximação entre os resulta

dos obtidos pela teoria exposta e os resultados experime~

tais, podemos aceitar a aplicação desta teoria a problemas

práticos de capacidade de carga de fundações rasas em solos,

em que pese não corresponder o carregamento, nos testes exp~

rimentais, à condição de estado de equilíbrio limite plano

adotado pela teoria.

127.

Ressaltaremos aqui as limitações que se apresentam

na aplicação do programa de computação desenvolvido.

lQ) A solução, na forma em que foi desenvolvida, nao se a

plica a solos puramente coesivos, devido a formulação

deduzida tornar-se imprópria a cálculos computacionais.

Entretanto, poder-se-á, num desenvolvimento análogo ao

que fizermos, atender a êste caso particular.

2Q) Para solos puramente granulares o carregamento dado de

ve ser diferente de zero ou seja, o carregamento equiv~

lente não pode ser nulo.

39) O carregamento dado nao pode ser descontínuo. Esta con

sideração carece de desenvolvimento teórico.

128.

REFERfNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. BARDEN, L. and KHAYATT, A.J. "Incremental Strain Rate

Ratios and Strength of Sand, Géotechnique, Vol. 16,

Number 4, December 1966.

2. BISHOP, A.W. "T.he Strength of Soils as Engineering

Materials", 6th Rankine Lecture, Géotechnique, Vol.

16, Number 4, December 1966.

3. BOWLES , J. E. "Foundation Analysis and Design", McGraw-

-Hill Book Company, New York, 1968.

4. BRINCH HANSEN, J. "A General Formula for Bearing

Capacity", Danish Geotech.Inst.Bull. 11, Copenhagen,

1961.

5. CAQUOT, A. et KÉRISEL, J. "Traité de Mécanique des

Sols", Paris - Imprimérie Gauthier-Villars, 3a. Ed.,

1956.

6. CORNFORTH, D.H. "Plane Strain Failure Characteristics

of a Saturated Sand" ,. Ph.D. Thesis, London, 1961.

(Publicação referenciada por BISHOP 2 ).

129.

7. COURANT, R. and HILBERT "Methods of Mathematical

Physics - Partia! Differential Equation", V2, Wiley

Interscience, New York, 1962.

8. De BEER, E. "Influence of the Mean Normal Stresses

on the Shearing Strength of Sand", 6th I.C.S.M.F.E.,

Vol. 2, 1965.

9. DRUCKER, D.C.; GIBSON, R.E. and HENKEL, D.J. "Soil

Mechanics and Work-Hardening Theories of Plasticity",

Jour. S.M. & F.' Div., ASCE, Vol. 81, Septernber 1955.

10. GEUZE, E.C.W.A. "The Uniqueness of the Mohr-Coulornb

Concept in the Shear Failure", ASTM, Number 361,

1961.

11. GRAHAM, J. "Plane Plastic Failure in Cohesionless

Soils",Géotechnique, Vol. 18, 1968.

12. GREEN, G.E. and BISHOP, A.W. "A Note on the Drained

Strength of Sand Under Generalized Strain Conditions",

(Publicação referenciada por SCOTT e KO 2 3 ) •

13. HARR, M.E. - "Foundation of Theoretical Soil Mechanics",

McGraw-Hill Book Company, New York, 1966.

130.

14. HAYTHORNTHWAITE, R.M. "Stress and Strain in Soils",

Proc. 2th Symposium on Naval Structural Mechanics,

Pergamon Press, 1960.

15. KIRKPATRICK;- W.M. "The Condition of Failure for Sands",

Proc. 4th ICSMFE, London, 1957.

16. KRAVTCHENKO, M. "Mecanique des Sols", Université de

Grenoble, 1969.

l 7 . LEE , I . K . "Soil Mechanics - Selected Topics",

Butterworth & Co. Ltd., London, 1968.

18. LOMIZE, G.M. and KRYZHANOVSKY, A.L. "On the Strength

of Sands", Proc. Geotch. Conf., Oslo, June, 1967.

(Publicação referenciada por SCOTT and KO 23).

19. MENDELSON, A. "Plastici ty: Theory and Application",

The MacMillan Company, New York, 1968.

20. MILOVIC, D.M. "Comparison Between the Calculated and

Experimental Values of the Ultimate Bearing Capacity",

6th ICSMFE, Vol. 3, 1965.

21. PACITTI, T. "FORTRAN-MONITOR, Princípios", Ao Livro

Técnico S.A., Rio de Janeiro, 1967.

131.

22. SCHOFIELD, A. and WROTH, P. "Critica! State Soil

Mechanics", McGraw-Hill Book Cornpany, London, 1968.

23. SCOTT, R. and KO HON-YIM "Stress-Deforrnation and

Strength Characteristics", State of the Art Volume

Seventh International Conference on Soil Mechanics

and Foundation Engineering, México, 1969.

24. SCOTT, R.F. "Principles of Soil Mechanics", Addison-

-Wesley, Reading, Mass., 1963.

25. SHIBATA, T. and KARUBE, D. ''Influence of the Variation

of the Interrnediate Principal Stress on the Mechanical

Properties of Norrnally Consolidated Clays", 6th

ICSMFE, Vol. 2, 1965.

26. SHIELD, R.T. "On Coulornb's Law of Failure in Soils",

Journ. of the Mechanics and Physics of Solids, Vol.

4, 1955.

27. SOKOLOVSKII, V.V. ''Statics of Soil Media",

Butterworths Scientific Publications, London, 1960.

28. SOKOLOVSKII, V.V. "Statics of Granular Media",

Pergarnon Press, Oxford, 1965.

132.

29. SUKLJE, L. "Rheological Aspects of Soil Mechanics",

Wiley - Interscience, London, 1969.

30. TERZAGHI, K. "Theoretical Soil Mechanics", John Wiley

and Sons Inc., New York, 1965.

31. VARGAS, M. "Mecânica dos Solos", DLU do Grêmio Poli

técnico, são Paulo, 1968.

32. VELLOSO, D.A. "Introdução a Teoria da Plasticidade",

Rio de Janeiro, 1967.

33. VESIC, A.S. and CLOUGH, G.W. "Behavior of Granular

Materials Under High Stresses", Jour. S .M. & F. Div.,

ASCE, Vol. 94, SM3, 1968.

34. YONG, R.N., and ,McKYES, E. "Yielding of Clay in a

Complex Stress Field", Proc. of 3rd Panamerican Conf.

on Soil Mech. and Foundation Engineering, Caracas,

Vol. 1, July 1967.

35. WU, T.H "Soil Mechanics", Allyn and Bacon Inc.,

Boston, 1967.