Ingenierıa Informatica

Medios de Transmision (MT)

Problemas del tema 4

Analisis de Fourier de senales

y sistemas contınuos

Curso 2008-09

7/11/2008

Ejercicios basicos

1. Considere un sistema LTI con respuesta al impulso

h(t) =sen 5π

2t

πt

Determine la salida a las siguientes entradas

a) x(t) = sen(

2πt+π

4

)

b) x(t) = sen(2πt) + cos(4πt)

c) x(t) = cos(2πt) + sen(3πt)

d) x(t) = (sen 3πt)(cos 5πt)

e) x(t) = cos3πt

2. Calcule la transformada de Fourier de las siguientes se nales:

a)[

e−αtcos ωot]

u(t), α > 0

b) e2+tu(−t+ 1)

c) x(t) = e−3|t| sen 2t

d) e−3t[u(t+ 2)− u(t− 3)]

e) x(t) =

{

1 + cos πt, |t| ≤ 10, |t| > 1

f ) x(t) =

[

sen πt

πt

] [

sen 2π(t− 1)

π(t− 1)

]

g) La senal de la figura 1

Figura 1:

3. Calcule la transformada de Fourier inversa de las siguientes senales

2

a) X(ω) =2sen[3(ω − 2π)]

ω − 2π)

b) X(ω) = cos(4ω + π/3)

c) X(ω) cuyo modulo y fase estan dados por la figura 2.

d) X(ω) = 2[δ(ω − 1)− δ(ω + 1)] + 3[δ(ω − 2π) + δ(ω + 2π)]

-1 1

1

ModuloFase

−π/2

π/2

−1

1 ωω

Figura 2:

4. Calcule la transformada de Fourier de las siguientes se nales:

a) x(t) = ej200t

b) x(t) = cos[π(t− 1)/4]

c) x(t) = cos 4t + sen 8t

d) x(t) = cos 4t + sen 6t

e) x(t) = [1 + cos 2πt][cos(10πt+ π/4)]

f ) x(t) = sen t + cos(2πt+ π/4)

g) La senal de la figura 3

Figura 3:

5. Considere el sistema LTI caracterizado por h(t) = e−4t u(t). Calcule la salida paracada una de las siguientes entradas:

a) x(t) = cos 2πt

3

b) x(t) = sen 4πt+ cos (6πt+ π/4)

c) x(t) =∞

∑

k=−∞

δ(t− k)

d) x(t) =∞

∑

k=−∞

(−1)kδ(t− k)

6. Calcule la convolucion de los siguientes pares de senales x(t) y h(t) calculandoX(ω) y H(ω), usando la propiedad de convolucion y hallando la transformada deFourier inversa.

a) x(t) = te−2tu(t), h(t) = e−4tu(t)

b) x(t) = te−2tu(t), h(t) = te−4tu(t)

c) x(t) = e−tu(t), h(t) = etu(−t)

7. Sea X(ω) la transformada de Fourier de la se nal x(t) dibujada en la figura 4

x(t)

-1 1 2 3

1

2

Figura 4:

a) Calcular X(0)

b) Calcular∫ ∞

−∞X(ω)dω

Nota: Todos los calculos deben hacerse sin evaluar de forma explıcita X(ω).

8. Considere que la se nal x(t) = cos 2πt + sen 6πt es la entrada a cada uno de lossistemas LTI que se dan a continuacion. Determine la salida en cada caso:

a) h(t) =sen 4πt

πt

b) h(t) =[sen 4πt][sen 8πt]

πt2

c) h(t) =sen 4πt

πtcos 8πt

4

9. Considere un sistema LTI cuya respuesta a la entrada

x(t) = [e−t + e−3t]u(t)

esy(t) = [2e−t − 2e−4t]u(t)

a) Determine la respuesta en frecuencia del sistema.

b) Calcule la respuesta al impulso.

c) Encuentre la ecuacion diferencial que relaciona la entrada y la salida.

10. Considere una senal x(t) cuya transformada de Fourier X(ω) tiene la forma de lafigura 5. Dibuje la el espectro de y(t) = x(t)p(t) para cada uno de los siguientesposibilidades de p(t)

a) p(t) = cos(t/2)

b) p(t) = cos t

c) p(t) = cos(2t)

d) p(t) = (sen t)(sen 2t)

e) p(t) = cos 2t− cos t

Figura 5:

11. La salida y(t) de un sistema LTI esta relacionada con la entrada x(t) a traves dela ecuacion diferencial

dy(t)

dt+ 2y(t) = x(t)

a) Determine la respuesta en frecuencia

b) Si x(t) = e−tu(t), determine la salida Y (ω), la transformada de Fourier de lasalida.

c) Determine la salida y(t) para la entrada x(t) del apartado anterior.

12. La entrada y la salida de un sistema LTI estan relacionadas por la ecuacion difer-encial

d2y(t)

dt2+ 6

dy(t)

dt+ 8y(t) = 2x(t)

5

a) Encuentre la respuesta al impulso de este sistema.

b) ¿Cual es la salida de este sistema si x(t) = te−2tu(t)?

c) Repita el apartado (a) para el sistema descrito por la ecuacion

d2y(t)

dt2+√

2dy(t)

dt+ y(t) = 2

d2x(t)

dt2− 2x(t)

13. ¿Puede la respuesta de un sistema LTI a x(t) =sen(πt)

πtser y(t) =

(

sen(πt)

πt

)2

?.

Justifique su respuesta.

14. a) Utilice el teorema de convolucion para demostrar que

sen(πt)

πt⋆sen(πt)

πt=sen(πt)

πt

b) Calcule la transformada de Fourier de x(t) =

(

sen(πt)

πt

)2

c) Calcule la transformada de Fourier de x(t) =

(

sen(πt)

πt

)3

15. En su formulacion mas general, el teorema de Parseval dice que si X(ω) y Y (ω)son las transformadas de Fourier de x(t) e y(t) respectivamente, entonces

∫ ∞

−∞

x(t)y∗(t)dt =1

2π

∫ ∞

−∞

X(ω)Y ∗(ω)dω

Utilizando este resultado y los del ejercicio anterior, calcule las siguientes integrales

a)

∫ ∞

−∞

(

sen(πt)

πt

)3

dt

b)

∫ ∞

−∞

(

sen(πt)

πt

)4

dt

c)

∫ ∞

−∞

(

sen(πt)

πt

)5

dt

16. Considere que la se nal x(t) = cos 2πt + sen 6πt es la entrada a cada uno de lossiguientes sistemas lineales e invariantes en el tiempo que se dan a continuacion.Determine la salida y(t) en cada caso

a) h1(t) =sen 4π(t− 1/4)

π(t− 1/4)

b) h2(t) =sen 4πt

πtcos 8πt

6

+-

x(t)h(t)

g(t)

y(t)

h (t)eq

Figura 6:

Nota: la transformada de Fourier de h(t) = senWtπt

es H(ω) =

{

1 |ω| < W0 |ω| > W

17. Considere la interconexion de sistemas lineales e invariantes en el tiempo de lafigura

a) Demuestre que la respuesta en frecuencia del sistema equivalente Heq(ω) esigual a

Heq(ω) =Y (ω)

X(ω)=

H(ω)

1 +H(ω) G(ω)

donde X(ω), Y (ω), H(ω) y G(ω) son la transformada de Fourier de x(t), y(t),h(t) y g(t), respectivamente.

b) Calcule la respuesta al impulso del sistema equivalente heq(t) cuando h(t) =e−2t u(t) y g(t) = 2δ(t)

18. La senal x(t) = sen 4πt + cos 10πt es la entrada a un sistema lineal e invarianteen el tiempo de respuesta al impulso

h(t) =

(

sen 4πt

πt

)2

Determine la salida y(t).

19. Considere una senal x(t) cuya transformada de Fourier es X(ω). Considere la senalXp(ω) = X(ω)P (ω) donde P (ω) es el tren de deltas

P (ω) = 2π∞

∑

k=−∞

δ(ω − kωs)

y ωs = 2πT

es la frecuencia de muestreo.

a) Exprese xp(t) (que es Xp(ω) en el dominio del tiempo) en funcion de x(t) ydemuestre que xp(t) es una senal periodica de periodo T .

7

b) Utilizando el resultado del apartado anterior, demuestre la siguiente igualdadconocida con el nombre de formula de Poisson

∞∑

n=−∞

x(t− nT ) =1

T

∞∑

k=−∞

X(kωs)ejkωst

20. La respuesta en frecuencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo es

H(ω) = (1 + a cosωto) e−jωto

a) Suponiendo que a = 1 y to = T/2, calcule la salida y(t) cuando la entrada es

x(t) = cos2π

Tt + cos2 2π

Tt

b) Calcule la respuesta al impulso del sistema.

c) Utilizando el resultado del apartado anterior, calcule la salida y(t) cuando laentrada es el pulso rectangular de la figura. Considere que a = 2 y to = T

2.

T

1x(t)

Figura 7:

21. Considere un sistema LTI cuya respuesta al impulso es

h(t) =sen 2πt

πtcos 4πt

Determine la salida que produce el sistema a las siguientes entradas

a) x1(t) = cos 4πt+ cos 8πt

b) x2(t) =sen 4πt

πt

22. Suponga que la siguiente senal

x(t) =

(

senπt

πt

)2

cosωot ωo ≫ 1

es la entrada al sistema de la figura 8

a) Calcule la transformada de Fourier de x(t).

8

2

x(t) y(t)

h (t)

h (t)

1

Figura 8:

o-jw t

jw toe

X( )

-W W

ω

M M

x(t)h(-t)

h(t)

ey(t)

Figura 9:

9

b) Calcule la salida y(t) si h1(t) =1

2δ(t) y h2(t) =

j

2πt

23. Considere una senal x(t) que es la entrada al sistema de la figura 9

h(t) =1

2δ(t) +

j

2πt

a) Demuestre que la transformada de Fourier de h(t) es H(ω) = u(ω).

b) Dibuje el espectro de la senal de salida y(t).

c) Proponga un sistema para recuperar la entrada x(t) a partir de y(t).

24. Determine la funcion de autocorrelacion y la densidad espectral de energıa de lassiguientes senales deterministas

a) x(t) =

{

A |t| < T0 |t| > T

b) x(t) =

A −T/2 < t < 0−A 0 < t < T/20 |t| > T/2

c) x(t) =

{

A cos ωot −T/2 < t < T/20 resto

suponiendo que ω0 ≫ 1

d) x(t) = e−atu(t)

e) x(t) =

{

Ae−at 0 < t < T0 resto

25. La senal x(t) = e−αtu(t), α > 0 pasa a traves de un sistema LTI con respuesta alimpulso x(t) = e−βtu(t), β > 0, α 6= β. Calcule la densidad espectral de energıa,la funcion de autocorrelacion y la energıa de la salida.

26. Calcule la funcion de autocorrelacion de las siguientes senales deterministas

a) x1(t) =sen Wt

πt

b) x2(t) =sen W (t− to)π(t− to)

c) x3(t) =sen Wt

πtcos ωot

siendo ωo >> W

27. Considere las dos siguientes senales x(t) y z(t)

a) Calcule y dibuje la funcion de autocorrelacion de x(t).

b) Utilizando el resultado del apartado anterior, calcule y dibuje la funcion deautocorrelacion de z(t).

10

x(t)

1

1

z(t)

1

-1

1 2 3 4

Figura 10:

28. Considere el sistema de la figura 11 que se compone de un multiplicador y un

filtro. Suponiendo que la respuesta al impulso del filtro es h(t) =sen 4πt

πtcalcule

lo siguiente:

h(t)x(t)

cos 4 tπ

Figura 11:

a) La salida y(t) cuando la entrada es x(t) = cos 2πt.

b) La salida y(t) cuando la entrada es x(t) = cos 4πt.

c) La salida y(t) cuando la entrada es x(t) =sen 2πt

πt.

d) La salida y(t) cuando la entrada es x(t) =sen 2πt

πtcos 6πt.

29. Sea X(ω) la transformada de Fourier de la siguiente senal

x(t) =

{

cos πTt −T

2< t < T

2

0 resto

a) Determine X(0) sin calcular explıcitamente X(ω).

b) Calcule X(ω).

30. Calcule la Transformada de Fourier inversa de las dos senales dibujadas en la figura12

31. Considere la interconexion en serie de dos sistemas mostrada en figura 13. Elprimer sistema viene especificado por la relacion entrada salida y(t) = x2(t) y elsegundo es un filtro paso bajo ideal de ancho de banda π. Suponga que la entradaal primer sistema es

x(t) =senπt

πt

11

π

ω ω

ω ω

−π π −π π

−π

π

−π

π

1 |X (j )| ω |X (j )| ω1 2

<X (j ) ω<X (j ) ω1 2π

−π

π/2

−π/2

Figura 12:

y(t)Sistema 1

z(t)x(t)Sistema 2

Figura 13:

a) Calcule la transformada de Fourier de la salida, Z(ω).

b) Calcule la salida z(t).

32. Considere la senal x(t) de la figura 14

T

-T T

X(t)

Figura 14:

a) Dibuje las senales z1(t) =dx(t)

dty z1(t) =

d2x(t)

dt2.

b) Utilice la propiedad de convolucion para calcular la Transformada de Fourierde x(t).

c) Utilice la propiedad de derivacion en tiempo para calcular la Transformada deFourier de x(t) a partir de z1(t). Verifique que se obtiene el mismo resultadoque en el apartado b).

12

d) Utilice la propiedad de derivacion en tiempo para calcular la Transformada deFourier de x(t) a partir de z2(t). Verifique que se obtiene el mismo resultadoque en el apartado b).

13

Ejercicios complementarios

1. Repetir el ejercicio 1 de los problemas basicos para las siguientes respuestas alimpulso

a) h(t) = e−t u(t)

b) h(t) = e−|t|

2. Calcule la transformada de Fourier de las siguientes se nales:

a) La senal de la figura 15

Figura 15:

b)1

1 + t2

c)[

te−2tsen 4t]

u(t)

d) x(t) =

{

1− t2, 0 < t < 10, resto

3. Utilice las propiedades de la transformada de Fourier para demostrar que la trans-formada de Fourier de

x(t) =tn−1

(n− 1)!e−atu(t), a > 0 ←→ 1

(a+ jω)n

4. El concepto de autofuncion es muy importante en el estudio de sistemas LTI.Tambien lo es en el estudio de sistemas lineales pero variantes en el tiempo. Conc-retamente, considere un sistema de este tipo con entrada x(t) y salida y(t). Se diceque una senal φ(t) es una autofuncion del sistema si

φ(t) −→ λ φ(t)

es decir, si x(t) = φ(t), entonces y(t) = λφ(t), donde la constante compleja λ sedenomina el autovalor asociado a φ(t).

14

a) Suponga que podemos representar la entrada x(t) a nuestro sistema comouna combinacion lineal de autofunciones φk(t), a cada una de las cuales lecorresponde el autovalor λk.

x(t) =∞

∑

k=−∞

ckφk(t)

Exprese la salida y(t) en terminos de ck, φk(t) y λk.

b) Considere el sistema caracterizado por la ecuacion diferencial

y(t) = t2d2x(t)

dt2+ t

dx(t)

dt

¿Es este sistema lineal? ¿Es este sistema invariante en el tiempo?

c) Demuestre que el conjunto de funciones

φk(t) = tk

son autofunciones del sistema del apartado anterior. Para cada φk determinesu correspondiente autovalor λk.

d) Calcule la salida de este sistema si

x(t) = 10t−10 + 3t+1

2t4 + π

5. Sea X(ω) la figura del ejercicio 7 de los problemas basicos

a) Calcular∫ ∞

−∞X(ω) 2 sen ω

ωej2ω dω

b) Calcular∫ ∞

−∞|X(ω)|2dω

Nota: Todos los calculos deben hacerse sin evaluar de forma explıcita X(ω).

6. Demuestre que una se nal x(t) de banda limitada, es decir, X(ω) = 0 para |ω| >2πB0 verifica que |x(t)|2 ≤ 2B0Ex ∀t donde Ex es la energıa de x(t). Utilice ladesigualdad de Schwartz para resolver este ejercicio

∣

∣

∣

∣

∫ ∞

−∞

f1(x)f2(x)dx

∣

∣

∣

∣

2

≤∫ ∞

−∞

|f1(x)|2dx∫ ∞

−∞

|f2(x)|2dx

7. Demuestre que una se nal y(t) de duracion temporal finita T , es decir, y(t) = 0para t ≤ 0 y t ≥ T cumple que |Y (ω)|2 ≤ TEx ∀ω. Utilice la desigualdad deSchwartz.

8. Considere un sistema LTI con respuesta al impulso h(t) =sen 2πt

πt. Calcule la

salida yi(t) a cada una de las siguientes entradas xi(t):

15

a) x4(t) =∞

∑

k=−∞

δ(t− 10k/3)

b) x6(t) = 11+t2

9. La salida y(t) de un sistema LTI esta relacionada con la entrada x(t) a traves dela ecuacion

dy(t)

dt+ 10y(t) =

∫ ∞

−∞

x(τ)z(t− τ)dτ − x(t)

donde z(t) = e−tu(t) + 3δ(t).

a) Determine la respuesta en frecuencia de este sistema.

b) Calcule la respuesta al impulso

10. Repita los dos ultimos apartados del ejercicio 11 de los problemas basicos para lassiguientes entradas

a) X(ω) =1 + jω

2 + jω

b) X(ω) =2 + jω

1 + jω

c) X(ω) =1

(2 + jω)(1 + jω)

11. La respuesta al impulso de un sistema LTI es h(t) = e−atu(t) (a > 0). Utilizandotecnicas de analisis en el dominio de la frecuencia, encuentre la respuesta delsistema a x(t) = e−atcos(ω0t)u(t).

12. Utilizando el teorema de Parseval, resuelva

a)

∫ ∞

0

e−at sen(πt)

πtdt

b)

∫ ∞

0

e−at

(

sen(πt)

πt

)2

dt

c)

∫ ∞

0

e−atcos(ωot)dt

13. (Junio 96)

Considere un sistema LTI con respuesta al impulso real. Demuestre que cuandola entrada es x(t) = cosωot la salida es y(t) = |H(ωo)| cos(ωot + φ(ωo)) siendoH(ωo) = |H(ωo)|ejφ(ωo) la respuesta en frecuencia del sistema a la frecuencia ωo.

14. (Junio96)

¿Puede la respuesta de un sistema LTI estable a x(t) = u(t) − u(t − T ) (pulsorectangular de duracion T ) ser y(t) = e−atu(t), a > 0? Justifique su respuesta.

16

15. Sean x(t) e y(t) dos senales reales. La funcion de correlacion cruzada φxy(t) sedefine de la siguiente manera

φxy(t) =

∫ ∞

−∞

x(τ)y(t+ τ)dτ (1)

La funcion φxx(t) es la funcion de autocorrelacion de x(t)

a) ¿ Cual es la relacion que existe entre φxy(t) y φyx(t)?

b) Suponga que y(t) = x(t+ T ). Exprese φxy(t) y φyy(t) en funcion de φxx(t).

c) Calcule la funcion de autocorrelacion de la senal x(t) dibujada en la figura16.

d) Encuentre la respuesta al impulso de un sistema LTI que proporcione φxx(t−T ) a la salida cuando la entrada es x(t).

1

2

x(t)

Figura 16:

16. Sean x(t) e y(t) dos senales reales. La funcion de correlacion cruzada φxy(t) sedefine como

φxy(t) =

∫ ∞

−∞

x(τ)y(t+ τ)dτ (2)

Analogamente se definen φyx(t), φxx(t) y φyy(t). Suponga que Φxx(ω), Φxy(ω),Φyx(ω) y Φyy(ω) son respectivamente las transformadas de Fourier de φxx(t),φxy(t), φyx(t) y φyy(t).

a) ¿ Cual es la relacion entre Φxy(ω) y Φyx(ω)?

b) Encuentre una expresion de Φxy(ω) en terminos de X(ω) y Y (ω).

c) Utilizando el resultado anterior, demuestre que Φxx(ω) es real y nonegativapara todo ω.

d) Suponga ahora que x(t) es la entrada a un sistema LTI con una respuestaal impulso real h(t) y con una respuesta en frecuencia H(ω), y que y(t) esla salida obtenida. Encuentre expresiones de Φxy(ω) y Φyy(ω) en terminos deΦxx(ω) y H(ω).

e) Sea x(t) la senal dibujada en la figura 17 y sea la respuesta al impulso de unsistema LTI h(t) = e−atu(t), a > 0. Calcule Φxx(ω), Φxy(ω) y Φyy(ω) usandolos resultados de los apartados precedentes.

17

1x(t)

1

Figura 17:

17. Calcule la funcion de autocorrelacion y la densidad espectral de energıa de la senalx(t) = A cos(ω0t+ φ) [u(t)− u(t− T )] suponiendo que ω0 ≫ 1.

18. Demuestre que la funcion de autocorrelacion Rx(t) de una se nal determinista x(t)cumple las siguientes propiedades

a) Rx(t) = R∗x(−t)

b) |Rx(t)| ≤ Rx(0). Utilice la desigualdad de Cauchy-Schwartz

∣

∣

∣

∣

∫ ∞

−∞

f1(x)f2(x)dx

∣

∣

∣

∣

2

≤∫ ∞

−∞

|f1(x)|2dx∫ ∞

−∞

|f2(x)|2dx (3)

c) Si y(t) = x(t− T ) entonces Ry(t) = Rx(t)

18

Soluciones de los ejercicios basicos

1. a) y(t) = sin(2πt+π

4)

b) y(t) = sin(2πt)

c) y(t) = cos(2πt)

d) y(t) = −1

2sin(2πt)

e) y(t) =3

4cos(πt)

2. a) X(ω) =1

2(

1

α− jω0 + jω+

1

α+ jω0 + jω)

b) X(ω) =e3e−jω

1− jω

c) X(ω) =3j

9 + (ω + 2)2− 3j

9 + (ω − 2)2

d) X(ω) =1

3 + jω

[

e6e2jω − e−9e−3jω]

e) X(ω) = 2sinω

ω+sin(ω − π)

ω − π +sin(ω + π)

π + ω

f )

[

sin πt

πt

] [

sin 2π(t− 1)

π(t− 1)

]

= x(t) = x1(t)x2(t) ⇒ X(ω) =1

2πX1(ω) ∗ X2(ω)

(propiedad de modulacion)

Donde:

X1(ω) =

{

1 si |ω| < π0 resto

X2(ω) =

{

e−jω si |ω| < 2π0 resto

X(ω) =

0 si ω < −3π1+e−jω

2πjsi −3π < ω < −π

0 si −π < ω < π

−1+e−jω

2πjsi π < ω < 3π

0 si ω > 3π

g) Ver figura 18

X(ω) =

[

2 sinω

ω

]2

3. a) x(t) =

{

e2jπt si |t| < 30 resto

19

-2 12

2

1

-1*=

-1 1

1

Figura 18:

b) x(t) =e−

jπ

3

2δ(t− 4) +

ejπ

3

2δ(t+ 4)

c) x(t) =(cos t)πt− π sin t

(πt)2

d) x(t) =2j

πsin t+

3

πcos(2πt)

4. a) X(ω) = 2πδ(ω − 200)

b) X(ω) = πe−jπ

4 δ(ω − π

4) + πe

jπ

4 δ(ω +π

4)

c) X(ω) = π [δ(ω − 4) + δ(ω + 4)] +π

j[δ(ω − 8)− δ(ω + 8)]

d) X(ω) = π [δ(ω − 4) + δ(ω + 4)] +π

j[δ(ω − 6)− δ(ω + 6)]

e) X(ω) =π

2e

jπ

4 δ(ω−8π)+π

2e−

jπ

4 δ(ω+8π)+πejπ

4 δ(ω−10π)+πe−jπ

4 δ(ω+10π)+π

2e

jπ

4 δ(ω − 12π) +π

2e−

jπ

4 δ(ω + 12π)

f ) X(ω) =π

j[δ(ω − 1)− δ(ω + 1)] + π

[

ejπ

4 δ(ω − 2π) + δ(ω + 2π)e−jπ

4

]

g) X(ω) = −1

2+

∞∑

k=−∞ k 6=0

2π(1

2− (−1)k)δ(ω − kπ)

5. a) y(t) =1√

16 + 4π2cos(2πt− arctan(

π

2))

b) y(t) =1√

16 + 16π2sin(4πt−arctan(π))+

1√16 + 36π2

cos(6πt+π

4−arctan(

3

2π))

c) y(t) =∞

∑

k=−∞

1

4 + j2kπej2πkt

d) y(t) =∞

∑

k=−∞k impar

1

4 + jkπejkπt

6. a) y(t) =1

4e−4tu(t)− 1

4e−2tu(t) +

1

4te−2tu(t) +

1

4te−4tu(t)

20

b) y(t) =

[

1

4e−2t +

1

4te−2t − 1

4e−4t +

1

4te−4t

]

u(t)

c) y(t) =1

2e−|t|

7. a) X(0) = 7

b)

∫ ∞

−∞

X(ω)dω = 4π

8. x(t) = cos 2πt+ sin 6πt

a) y(t) = cos 2πt

b) y(t) = 4π cos 2πt+ 3π sin 6πt

c) y(t) =1

2sin 6πt

9. a) H(ω) =Y (ω)

X(ω)=

3(3 + jω)

(4 + jω)(2 + jω)

b) h(t) =3

2[e−4t + e−2t]u(t)

c)d2y(t)

dt2+ 6

dy(t)

dt+ 8y(t) = 3[3x(t) +

dx(t)

dt]

10. a) Ver figura 19

b) Ver figura 20

c) Ver figura 21

d) Ver figura 22

e) Ver figura 23

11. a) H(ω) =Y (ω)

X(ω)=

1

2 + jω

b) Y (ω) =1

(1 + jω)(2 + jω)

c) y(t) = e−tu(t)− e−2tu(t)

12. a) h(t) = [e−2t − e−4t]u(t)

b) y(t) = [1

4e−2t − 1

2te−2t +

1

2t2e−2t − 1

4e−4t]u(t)

c) h(t) = 2δ(t)−[√

2(1 + 2j)e−( 1+j

√

2)t

+√

2(1− 2j)e−( 1−j

√

2)t]

u(t)

13. No.

14. (b) Ver figura 24

21

-3/2 -1/2 1/2 3/2

1/2

Figura 19:

-1 1 w

1/2

Figura 20:

-3 -1-2 1 3 w2

1/2

Figura 21:

-1/4

1/4

w

Figura 22:

22

-3 -1-2

-1/2

1/2

1 2 3 w

Figura 23:

-2 Pi 2 Pi w

1

Figura 24:

(c) X2(ω) =

0, ω ≤ −3πω2+6πω+9π2

4π,−3π < ω < −π

3π2−ω2

2π,−π < ω < π

ω2−6πω+9π2

4π, π < ω < 3π

0 , 3π ≤ ω

15. a)

∫ ∞

−∞

X2(ω)dω

b)

∫ ∞

−∞

X1(ω)X1(ω)dω

c)

∫ ∞

−∞

X2(ω)X1(ω)dω

16. a) y1(t) = cos 2π(t− 1

4)

b) y2(t) =1

2sin 6πt

17. a) Y (ω) = H(ω)[X(ω)− Y (ω)G(ω)] = H(ω)X(ω)− Y (ω)G(ω)H(ω)⇒ Y (ω)(1 +H(ω)G(ω)) = H(ω)X(ω)

23

⇒ Heq(ω) =Y (ω)

X(ω)=

H(ω)

1 +H(ω)G(ω)

b) heq(t) = e−4tu(t)

18. y(t) = 2 sin 4πt

19. a) xp(t) = x(t) ∗ p(t)

xp(t) = x(t) ∗ T∞

∑

n=−∞

δ(t− nT ) = T∞

∑

n=−∞

x(t− nT )

20. a) y(t) = 1 + cos4πt

T= 2 cos2 2πt

T

b) h(t) =a

2δ(t) + δ(t− t0) +

a

2δ(t− 2t0)

c) y(t) = x(t) + x(t− T

2) + x(t− T )

21. a) y1(t) =1

2cos 4πt

b) y2(t) =sin πt

πtcos 3πt

22. a) Ver figura 25

b) y(t) = 12

(

sin πtπt

)2ejω0t

23. (b) Ver figura 26

(c) Ver figura 27

24. a) Rx(t) =

0 t < −2πA2(t+ 2T ) −2T < t < 0A2(−t+ 2T ) 0 < t < 2T0 t > 2T

ψx(ω) =4A2 sin2 ωT

ω2

b) Rx(t) =

0 t < −TA2(−t− T ) −T < t < −T

2

A2(3t+ T ) −T2< t < 0

A2(−3t+ T ) 0 < t < T2

A2(t− T ) T2< t < T

0 t > T

ψx(ω) =16 sin4 ωT

4

ω2

24

-w w-2 Pi w w=2 Pi

Figura 25:

-w o-w 0wo wo wo+wm m

Figura 26:

X

w <w <2w

cosw to -w c 0 wc

2

m c o

Figura 27:

25

c) Rx(t) =

0 t < −TA2

2(t+ T ) cosω0t −T < t < 0

A2

2(−t+ T ) cosω0t 0 < t < T

0 t > T

ψx(ω) = [A sin(ω − ω0)

T2

ω − ω0

+A sin(ω + ω0)

T2

ω + ω0

]2

d) Rx(t) =

{

eat

2at < 0

e−at

2at > 0

ψx(ω) =1

a2 + ω2

e) Rx(t) =

0 t < −TA2

2a(eat − e−a(t+2T )) −T < t < 0

A2

2a(e−at − ea(t−2T )) 0 < t < T

0 t > 0ψx(ω) = Ver 3c).

25. D.E.E. =1

β2 − α2[

1

α2 + ω2− 1

β2 + ω2]

Ry(t) =1

β2 − α2[

1

2αe−α|t| − !

2βe−β|t|]

Ey =1

2αβ(α + β)

26. a) R1(t) =sinWt

πt

b) R2(t) =sinWt

πt

c) R3(t) =1

2

sinWt

πtcosω0t

27. a) Rx(t) =

1 + t −1 < t < 01− t 0 < t < 10 resto

1

1-1

b) Rz(t) = 2Rx(t)−Rx(t− 2)−Rx(t+ 2)

26

−2 −1

−1

1

2

2

28. a) y(t) =1

2cos 2πt

b) y(t) = 12

c) y(t) =sin πt

πtcos 3πt

d) y(t) =1

4

sin 4πt

πt

29. a) X(0) =2T

π.

b) X(ω) =2π

T

cos ωT2

(

πT

)2 − ω2

30. a) x1(t) =sin π(t− 1)

π(t− 1)

b) x2(t) = −dx3(t)

dtdonde x3(t) =

sin πt

πt

31. a) Z(ω) =

1 + ω2π−π < ω < 0

1− ω2π

0 < ω < π0 resto

b) z(t) =sin πt

2πt+

(

sin π2t

πt

)2

32. X(ω) =4 sin2 ωT

2

ω2

27

Soluciones de los ejercicios complementarios

1. a) h(t) = e−tu(t)⇒ H(w) =1

1 + jw

1) x(t) = sin(2πt+π

4)⇒ y(t) =

1√1 + 4π2

sin(2πt+π

4− arctan(2π))

2) x(t) = sin(2πt) + cos(4πt)⇒y(t) =

1√1 + 4π2

sin(2πt−arctan(2n))+1√

1 + 16π2cos(4πt−arctan(4π))

3) x(t) = cos(2πt) + sin(3πt)⇒y(t) =

1√1 + 4π2

cos(2πt−arctan(2n))+1√

1 + 9π2cos(3πt−arctan(3π))

4) x(t) = (sin 3πt)(cos 5πt)⇒y(t) =

1

2

1√1 + 64π2

sin(8πt−arctan(8π))−1

2

1√1 + 4π2

sin(2πt−arctan(2π))

5) x(t) = cos3 πt⇒y(t) =

3

4

1√1 + π2

cos(πt−arctan(π))+1

4

1√1 + 9π2

cos(3πt−arctan(3π))

b) h(t) = e−|t| ⇒ H(ω) =2

1 + ω2

1) x(t) = sin(2πt+π

4)⇒ y(t) =

2

1 + 4π2sin(2πt+

π

4)

2) x(t) = sin(2πt) + cos(4πt)⇒y(t) =

2

1 + 4π2sin(2πt) +

2

1 + 16π2cos(4πt)

3) x(t) = cos(2πt) + sin(3πt)⇒y(t) =

2

1 + 4π2cos(2πt) +

2

1 + 9π2sin(3πt)

4) x(t) = (sin 3πt)(cos 5πt)⇒y(t) =

1

1 + 64π2sin(8πt)− 1

1 + 4π2sin(2πt)

5) x(t) = cos3 πt⇒ y(t) =3

2

1

1 + π2cos(πt) +

1

2

1

1 + 9π2cos(3πt)

2. a) X(ω) =1

jω

[

1 + ejω − 3e−jω + e−3jω]

b) X(ω) = πe−|ω|

c) X(ω) = − 1

2j

1

[2 + j(ω + 4)]2− 1

2j

1

[2 + j(ω − 4)]2

d) X(ω) = 1jω

+ 2e−jω

−ω2 − 2e−jω−2jω3

3. x(t) =tn−1

(n− 1)!e−atu(t), a > 0⇒ X(ω) =

1

(a+ jω)n

28

Demostracion:

n = 1⇒ X(ω) =1

a+ jω

n = 2⇒ x(t) = te−atu(t)⇔ jd

dω

(

1

a+ jω

)

⇒ X(ω) =1

(a+ jω)2

Suponemos cierto para n ⇒n+ 1⇒ X(ω) =

j

n

d

dω

[

1

(a+ jω)n

]

=j

n

−jn(a+ jω)n+1

=1

(a+ jω)n+1

⇒ Cierto ∀n

4. a) y(t) =∞

∑

k=−∞

ckλkφk(t)

b) Lineal, no invariante.

c) λk = k2

d) y(t) = 103t−10 + 3t+ 8t4

5. a)

∫ ∞

−∞

X(ω)2sinω

ωe2jωdω = 7π

b)

∫ ∞

−∞

|X(ω)|2dω = 26π

6.

7.

8. a) y3(t) =1

πcos(πt)

b) y4(t) =3

5

[

1

2+ cos(

3π

5t) + cos(

6π

5t) + cos(

9π

5t)

]

c) y6(t) = 1− e−2π [cos 2πt− t sin 2πt]

9. a) H(ω) =3 + 2jω

(1 + jω)(10 + jω)

b) h(t) = [1

9e−t +

17

9e−10t]u(t)

10. a) Y (ω) =1 + jω

(2 + jω)2=

1

(2 + jω)− 1

(2 + jω)2

y(t) = [e−2t − te−2t]u(t)

b) Y (ω) =1

1 + jωy(t) = e−tu(t)

c) Y (ω) =1

(2 + jω)2(1 + jω)=

1

(1 + jω)+

12

(2 + jω)− 1

(2 + jω)2

y(t) = [e−t − e−2t − te−2t]u(t)

29

11. y(t) =1

ω0

e−at(sinω0t)u(t)

12. a)1

πtan−1 π

a

b)1

πtan−1 2π

a+

a

2π2ln

(

a√a2 + 4π2

)

c)1

2

[

1

a+ jω0

+1

a− jω0

]

=a

a2 + ω20

13.

14. No.

15. a) φyx(t) = φxy(−t)b) φxy(t) = φxx(t+ T )

φyy(t) = φxx(t)

c) Rx(t) =

124

(−t3 + 12t+ 16) −2 < t < 0124

(t3 − 12t+ 16) 0 < t < 20 Resto

d) h(t) = x(T − t)

16. a) Φyx(ω) = Φ∗xy(ω)

b) Φxy(ω) = X(ω)Y ∗(ω)

(d) Φxy(ω) = Φxx(ω)H(ω)Φyy(ω) = Φxx(ω)|H(ω)|2

17. Rx(t) =

0 t < −TA2

2(t+ T ) cosω0t −T < t < 0

A2

2(−t+ T ) cosω0t 0 < t < T

0 t > T

18.

30