Problemas Envolvendo Calendários

Thiago Pacífico - Matemática

Curso de Matemática Básica

1 http://www.euvoupassar.com.br Eu Vou Passar – e você?

ENCONTRANDO 0 DIA DA SEMANA

Uma aplicação dos múltiplos de 7 se encontra na determinação do dia da semana de determinada

data. Observe que se hoje (dia zero) é, por exemplo, uma terça-feira, daqui a 7, 14, 21, ... dias (quantidade de dias múltiplos de 7) também será terça-feira, pois os dias da semana se repetem de 7 em 7 dias. Para uma melhor compreensão do tema, veja o seguinte exemplo.

Hoje, 12 de julho de 2005, é uma terça-feira. Que dia da semana será 12 de julho de 2008?

Comentário e solução:

Os anos múltiplos de 4, terminados em 04, 08, 12, ..., 96, são bissextos, isto é, apresentam 366 dias (tem o dia 29 de fevereiro).

Já os anos múltiplos de 4, terminados em 00, somente serão bissextos se forem múltiplos de 400. Assim, de 12 de julho de 2005 até 12 de julho de 2008, temos: 3 x 365 + 1 = 1096 dias O 29 de fevereiro de 2008

Então, considerando hoje o dia zero, temos a tabela:

Terça Quarta Quinta Sexta Sábado Domingo Segunda

0 1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12 13

14 15 16 17 18 19 20

21

onde se vê, claramente, que os múltiplos de 7 caem numa terça-feira.

Como 1.096 = 7 . 156 + 4, o 1.096o dia cairá 4 dias após o 1.092

o dia (terça-feira), isto é, sábado:

1.092

Resposta: sábado.

Uma solução mais simplificada para esta situação problema consiste em observar que:

i) Um ano normal tem 365 dias e 365 = 7 . 52 + 1, ou seja, para cada ano normal que se passar devemos nos deslocar 1 dia na semana, sendo o “hoje do problema” o dia zero.

ii) Um ano bissexto tem 366 dias e 366 = 7 . 52 + 2, ou seja, para cada ano bissexto que se passar devemos nos deslocar 2 dias na semana, sendo o “hoje do problema” o dia zero.

iii) Resumindo, para cada ano que se passar, desloque-se na semana 1 dia e, depois, desloque-se mais um dia extra para cada 29 de fevereiro do intervalo de tempo trabalhado.

Observação: O deslocamento na semana poderá ser para o futuro ou para o passado, saindo do dia zero (o

hoje do problema), dependendo da situação sugerida no enunciado. No nosso caso, é para o futuro.




Sabendo disso, a solução fica bastante simplificada. Veja: i) São 2008 – 2005 = 3 anos, o que corresponde a um deslocamento de 3 dias. ii) No período existe apenas o 29/fevereiro/2008, o que corresponde a um deslocamento na semana de

mais 1 dia.

Assim, saindo da terça-feira (dia zero, o hoje do problema), devemos nos deslocar na semana, para o futuro, 3 + 1 = 4 dias.

Daí, o dia 12 de julho cai num sábado. Exemplo 01:

Hoje, 27 de agosto de 2012, é uma segunda-feira. Que dia da semana será 18 de abril de 2014?

Exemplo 02:

Hoje, 12 de fevereiro de 2016, é uma sexta-feira. Que dia da semana será 25 de dezembro de 2018?

QUESTÕES DE CONCURSOS

01. (FCC) No período de 2010 a 2050, os anos bissextos (isto é, aqueles com 366 dias) são todos aqueles

divisíveis por 4. Sabendo que 2010 terá 53 sextas-feiras, o primeiro ano desse período em que o dia 1o

de janeiro cairá numa segunda-feira será a) 2013 b) 2014 c) 2016 d) 2018 e) 2019

02. (CESGRANRIO) Em determinado ano bissexto, o dia 31 de dezembro foi um sábado. Se este ano não

tivesse sido bissexto, em que dia da semana cairia o último dia do ano? a) Terça-feira b) Quarta-feira c) Quinta-feira d) Sexta-feira e) Domingo

03. (CESGRANRIO) Daqui a 3 dias vence a minha conta de gás. Essa conta me chegou 12 dias antes do

vencimento. Se hoje é dia 05 de abril, essa conta me chegou no dia a) 25 de março. b) 26 de março. c) 27 de março. d) 28 de março. e) 29 de março.




04. (FCC) Em certo ano, durante o período de 1o de julho a 31 de dezembro, a quantidade de quartas e

quintas-feiras excedeu em uma unidade a quantidade dos demais dias da semana. Em que dia da semana caiu o dia 19 de julho no referido ano? a) Quarta-feira. b) Quinta-feira. c) Sexta-feira. d) Sábado. e) Domingo.

05. (CESGRANRIO) No dia do aniversario de João em 2010, uma pessoa perguntou a idade ele. João respondeu: “se eu não contasse os sábados e os domingos da minha vida, eu teria 40 anos de idade”. João nasceu no ano de: a) 1946 b) 1954 c) 1962 d) 1964 e) 1968

06. (CESGRANRIO) Chama-se ano bissexto ao ano que possui um dia a mais do que os anos comuns. Se um ano bissexto começa em uma terça-feira, o dia 13 de junho cai em uma a) terça-feira. b) quarta-feira. c) quinta-feira. d) sexta-feira. e) sábado.

07. (CESGRANRIO) Uma dada semana terminou em um sábado, dia 19. É correto afirmar que certamente esse mês a) começou em uma segunda-feira. b) começou em uma quarta-feira. c) terminou em uma quarta-feira. d) terminou em uma quinta-feira. e) não terminou em uma sexta-feira.

08. (CESGRANRIO) Como o ano de 2009 não é bissexto, ou seja, tem 365 dias, houve um dia que caiu exatamente no “meio” do ano. Assim, as quantidades de dias do ano de 2009 antes e depois dessa data são iguais. Essa data foi a) 30 de junho. b) 1 de julho. c) 2 de julho. d) 3 de julho. e) 4 de julho.

09. (CESGRANRIO) Os anos bissextos têm, ao contrário dos outros anos, 366 dias. Esse dia a mais é colocado sempre no final ao mês de fevereiro, que, nesses casos, passa a terminar no dia 29. O primeiro dia de 2007 caiu em uma segunda-feira. Sabendo que 2007 não é ano bissexto, mas 2008 será, em que dia da semana começará o ano de 2009? a) terça-feira. b) quarta-feira. c) quinta-feira. d) sexta-feira. e) sábado.




10. (CESGRANRIO) A figura ilustra o calendário do mês de outubro de um certo ano bissexto. É correto afirmar que o primeiro dia desse ano caiu em uma:

Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sáb

1

2 3 4 5 6 7 8

9 10 11 12 13 14 15

16 17 18 19 20 21 22

23 24 25 26 27 28 29

30 31

a) quarta-feira. b) quinta-feira. c) sexta-feira. d) sábado. e) domingo.

11. (CESGRANRIO) Os anos bissextos têm 366 dias, um a mais do que aqueles que não são bissextos.

Esse dia a mais é colocado sempre no final do mês de fevereiro, que, nesses casos, passa a terminar no dia 29. Certo ano bissexto começou em uma segunda-feira. O primeiro dia do mês de março foi um(a) a) domingo. b) sábado. c) sexta-feira. d) quinta-feira. e) quarta-feira.

12. (CESGRANRIO) O ano de 2009 começou em uma quinta-feira. Se durante este ano não existissem

domingos, as semanas teriam apenas 6 dias. Nesse caso, se janeiro continuasse a ter 31 dias, o dia 1o

de fevereiro de 2009 não teria caído em um domingo e sim em uma a) segunda-feira. b) terça-feira. c) quarta-feira. d) quinta-feira. e) sexta-feira.

13. Nosso calendário atual é embasado no antigo calendário romano que, por sua vez, tinha como base as

fases da lua. Os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro possuem 31 dias, e os demais, com exceção de fevereiro, possuem 30 dias. O dia 31 de março de certo ano ocorreu em uma terça-feira. Nesse mesmo ano, qual dia da semana será o dia 12 de outubro? a) Domingo. b) Segunda-feira. c) Terça-feira. d) Quinta-feira. e) Sexta-feira.

14. (CESGRANRIO)

Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sáb

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12 13

14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27

28 29 30 31




O calendário acima corresponde ao mês de dezembro de 2008. Esse mesmo calendário voltará a aparecer em a) maio de 2010. b) março de 2010. c) fevereiro de 2010. d) agosto de 2009. e) junho de 2009.

15. (CESGRANRIO) No nosso calendário os anos têm 365 dias, com exceção dos anos bissextos que tem

366 dias. Um ano é bissexto quando é múltiplo de 4, mas não é múltiplo de 100, a menos que também seja múltiplo de 400. Quantos dias possuem 400 anos consecutivos? a) 146097 b) 146098 c) 146099 d) 146100 e) 146101

16. (TRT – FCC/2013) Em nosso calendário, há dois tipos de anos em relação à sua duração: os

bissextos, que duram 366 dias, e os não bissextos, que duram 365 dias. O texto abaixo descreve as duas únicas situações em que um ano é bissexto. - Todos os anos múltiplos de 400 são bissextos − exemplos: 1600, 2000, 2400, 2800; - Todos os anos múltiplos de 4, mas não múltiplos de 100, também são bissextos − exemplos: 1996,

2004, 2008, 2012. Disponível em: (<http://www.tecmundo.com.br/mega-curioso/20049-como-

funciona-o-ano-bissexto-.htm>. Acesso em 16.12.12)

Sendo n o total de dias transcorridos no período que vai de 01 de janeiro de 1898 até 31 de dezembro de 2012, uma expressão numérica cujo valor é igual a n é a) 30 + 365 x (2012 − 1898). b) 29 + 365 x (2012 − 1898 + 1). c) 28 + 365 x (2012 − 1898). d) 28 + 365 x (2012 − 1898 + 1). e) 29 + 365 x (2012 − 1898).

17. (TRT – FCC/2013) Em um planeta fictício X, um ano possui 133 dias de 24 horas cada, dividido em 7

meses de mesma duração. No mesmo período em que um ano terrestre não bissexto é completado, terão sido transcorridos no planeta X, exatamente, a) 1 ano, 6 meses e 4 dias. b) 2 anos e 4 dias. c) 2 anos e 14 dias. d) 2 anos, 5 meses e 14 dias. e) 2 anos, 5 meses e 4 dias.

18. (SEFAZ – FCC/2013 – Raciocínio Crítico) No dia 25 de janeiro, uma 3

a feira, Carlos revelou a seus

colegas de trabalho que faria aniversário ainda naquele mês. Querendo fazer uma brincadeira, ele deu duas pistas para que eles tentassem deduzir qual seria o dia exato.

I. A data do meu aniversário é mais próxima do primeiro dia de fevereiro do que de hoje. II. Neste ano, meu aniversário não cairá em um final de semana.

Para deduzir a data exata do aniversário de Carlos, a) a pista I sozinha é suficiente, mas a pista II sozinha não é. b) a pista II sozinha é suficiente, mas a pista I sozinha não é. c) qualquer uma das pistas é suficiente, mesmo sem considerar a outra. d) as pistas I e II, em conjunto, são suficientes, mas nenhuma delas é suficiente sem a outra. e) as pistas I e II, em conjunto, não são suficientes.




19. (FCC/2012) Todo ano bissexto é um número múltiplo de 4. Com base nessa afirmação, é correto afirmar que, se 23/01/2012 ocorreu em uma segunda-feira, então, no ano de 2019 o dia 23 de janeiro ocorrerá em a) um domingo. b) um sábado. c) uma sexta-feira. d) uma quinta-feira. e) uma quarta-feira.

20. (FCC/2012) Se em um determinado ano o mês de agosto teve cinco sextas, cinco sábados e cinco

domingos, então o dia 13 de setembro desse ano caiu em a) um sábado b) um domingo c) uma quarta-feira d) uma quinta-feira e) uma sexta-feira

21. (FCC) Sabe-se que, em outubro de 2007, os dias x e 3x ocorreram em um domingo. Lembrando que

anos bissextos são números múltiplos de 4, então o próximo ano que os dias x e 3x de outubro ocorrerão novamente em um domingo será: a) 2012 b) 2013 c) 2014 d) 2015 e) 2016

22. (TCE - FCC) Sabe-se que, no ano de 2004 o mês de fevereiro teve 5 domingos. Isso acontecerá

novamente no ano de a) 2018 b) 2020 c) 2024 d) 2032 e) 2036

23. (TRT - FCC) O relógio de um analista adianta 30 segundos por dia e o de outro atrasa 10 segundos por

dia. Às 9 horas do dia 3 de fevereiro deste ano eles acertaram seus relógios e combinaram não consertá-los nem mexer nos ponteiros até o próximo encontro. Alguns dias depois eles se encontraram e verificaram que os horários marcados diferiam de 3 minutos e meio. O segundo encontro ocorreu em fevereiro, às a) 15 horas do dia 8. b) 9 horas do dia 10. c) 9 horas do dia 13. d) 21 horas do dia 13. e) 18 horas do dia 15.

24. (CESGRANRIO) Certo dia, ao observar o calendário, João disse: “Nesse ano, o domingo de Páscoa

será no dia 24 de abril”. O dia 12 de abril do mesmo ano cairá numa a) segunda-feira b) terça-feira c) quarta-feira d) quinta-feira e) sexta-feira

25. (CESGRANRIO) Três irmãs brincavam no jardim quando a avó apareceu e perguntou: “Que dia é

hoje?”

A mais nova disse: Ontem foi quarta-feira. A do meio disse: Hoje não é sexta-feira. A mais velha disse: Amanhã será sábado.




Sabendo-se que uma das crianças mentiu e as outras disseram a verdade, o dia da semana em que esta história ocorreu foi a) domingo b) segunda-feira c) terça-feira d) quinta-feira e) sábado

26. (CESGRANRIO) Considere as seguintes informações:

hoje é dia 25 de fevereiro;

este ano é bissexto.

Pergunta: Quantos dias já se passaram este ano? Considerando as duas informações e a pergunta, afirma-se que a) a primeira informação, sozinha, é suficiente para responder corretamente à pergunta e a segunda,

insuficiente. b) a segunda informação, sozinha, é suficiente para responder corretamente à pergunta e a segunda,

insuficiente. c) as duas informações, em conjunto, são suficientes para responder corretamente à pergunta e cada

uma delas, sozinha, é insuficiente. d) cada uma das informações, sozinha, é suficiente para responder corretamente à pergunta. e) as duas informações, em conjunto, são insuficientes para responder corretamente à pergunta

27. (CESGRANRIO) “A Copa do Mundo acabou, mas o futebol continuará proporcionando alegria e

emoção na capital baiana. De 26 a 30 de julho estarão abertas as inscrições para o “Campeonato de Futebol do Servidor Municipal 2012”, promovido pela Prefeitura. O torneio tem previsão de reunir 24 times e 432 atletas de secretarias, fundações, empresas e órgãos municipais.” Sabendo-se que o segundo dia de inscrição foi uma terça-feira, o dia 2 de junho do mesmo ano foi uma a) segunda-feira. b) terça-feira. c) quarta-feira. d) quinta-feira. e) sexta-feira.

28. A Terra completa uma volta ao redor do Sol em 365,242190 dias aproximadamente, e não em 365

dias. Para corrigir essa diferença, existem os anos bissextos, com 366 dias. Convencionou-se que um ano n é bissexto se, e somente se, uma das seguintes condições for verificada:

Condição 1: n é um múltiplo de 400. Condição 2: n é um múltiplo de 4 e n não é múltiplo de 100.

Com base nessa convenção, podemos afirmar que: a) poderá haver um ano n bissexto, sem que n seja um múltiplo de 4.

b) se n, n 2012, é possível por 4, então o ano n será bissexto. c) o ano 2200 não será bissexto. d) o ano 2400 não será bissexto. e) o ano 2500 será bissexto.

29. Se hoje é domingo, qual será o dia da semana, passados 100 dias a partir de hoje?

a) Segunda-feira. b) Terça-feira. c) Quarta-feira. d) Quinta-feira. e) Sábado.




30. De 7 em 7 dias, temos o mesmo dia da semana; um ano normal tem 365 dias (365 = 52 . 7 + 1) e um bissexto, 366 dias (366 = 52 . 7 + 2). Em 11 de setembro de 2011, domingo, várias emissoras de televisão apresentaram documentários relativos à queda das torres gêmeas do World Trade Center, em Lower Manhattan, na cidade de Nova York, em 11 de setembro de 2001.

Os atentados de 11 de setembro de 2001 ocorreram numa: a) Segunda-feira. b) Terça-feira. c) Quarta-feira. d) Quinta-feira. e) Sexta-feira.

31. Considere a proposta, elaborada por um cidadão interessado em melhorar o sistema penitenciário: Durante o período da pena, o presidiário tem a opção de trabalhar, no próprio presídio, nos dias em que ele escolher, exceto aos sábado e domingos, e cada três dias de trabalho reduz um dia da sua pena. De acordo com essa proposta, se o penitenciário, condenado a 364 dias de detenção, resolver trabalhar todos os dias possíveis desde o seu ingresso no presídio, terá direito à liberdade t dias antes de completar a pena. O valor de t é: a) 80 b) 75 c) 70 d) 65 e) 60

32. (BACEN - CESGRANRIO) O mês de fevereiro de um ano bissexto só terá cinco sábados se começar

em um(a) a) Sábado. b) Domingo. c) Quarta-feira. d) Quinta-feira. e) Sexta-feira.




33. A lei de Execução Penal brasileira nº 7210, de 1984, em seu Art. 126, parágrafo 1º, diz que o condenado que cumpre pena em regime fechado ou semifechado poderá remir, pelo trabalho, parte do tempo de execução da pena. Essa lei determina que a contagem do tempo será feita à razão de 1(um) dia de pena por 3(três) de trabalho, o que significa que, a cada três dias de trabalhos, o condenado terá direito à redução de 1 dia em sua pena. Considere um réu condenado a uma pena de 14 anos, que trabalhará a metade do tempo, em dias, que estiver preso. Sem considerar os anos bissextos, o tempo, em dias, que o réu permanecerá na prisão é: a) 4380 b) 4410 c) 4440 d) 4470 e) 4500

34. (FCC) O contrato de trabalho de uma enfermeira prevê que, por semana, ela trabalhe seis dias e tenha um dia de folga. A cada semana, porém, o dia de folga muda, sendo 2ª feira na primeira semana, 3ª feira na segunda, 4ª feira na terceira e assim por diante, até que na sétima semana a folga ocorra no domingo. A partir da oitava semana, o ciclo recomeça. Se essa enfermeira teve folga em um sábado, dia 1º de março, então a próxima folga que ela terá em um sábado será no mês de a) março. b) abril. c) maio. d) junho. e) julho.

35. (CEPERJ) O ano de 2016, ano das Olimpíadas no Brasil, será bissexto. Nesse ano, o dia 1º de janeiro

será uma sexta-feira. Então o dia de Natal (25 de dezembro) desse ano será: a) domingo b) terça-feira c) quarta-feira d) quinta-feira e) sábado

36. (FCC/2012) Suponha que, no dia 15 de janeiro de 2011, um sábado, Raul recebeu o seguinte e-mail de

um amigo: "Este é um mês especial, pois tem 5 sábados, 5 domingos e 5 segundas-feiras e isso só ocorrerá novamente daqui a 823 anos. Repasse esta mensagem para mais 10 pessoas e, dentro de alguns dias, você receberá uma boa notícia." Tendo em vista que é aficionado em Matemática, Raul não repassou tal mensagem pois, após alguns cálculos, constatou que a afirmação feita na mensagem era falsa. Assim sendo, lembrando que anos bissextos são números múltiplos de 4, Raul pode concluir corretamente que o próximo ano em que a ocorrência de 5 sábados, 5 domingos e 5 segundas-feiras acontecerá no mês de janeiro será a) 2022. b) 2021. c) 2020. d) 2018. e) 2017.

37. (FCC/2012) Em um determinado ano, o mês de abril, que possui um total de 30 dias, teve mais domingos do que sábados. Nesse ano, o feriado de 1º de maio ocorreu numa a) segunda-feira. b) terça-feira. c) quarta-feira. d) quinta-feira. e) sexta-feira.




38. (FCC/2012) Todos os anos, uma empresa realiza sua festa de confraternização no dia 29 de dezembro ou na última sexta-feira do ano, o que acontecer primeiro. No ano de 2011, a festa ocorreu no dia 29 de dezembro, uma quinta-feira. Sabe-se que: - os anos de 2012 e 2016 são bissextos, possuindo 366 dias; - os anos de 2011, 2013, 2014 e 2015 não são bissextos, tendo 365 dias; - mês de dezembro possui 31 dias. Nessas condições, o próximo ano em que a festa de confraternização dessa empresa ocorrerá no dia 29 de dezembro é a) 2012. b) 2013. c) 2014. d) 2015. e) 2016.

39. (FCC/2012) Se em um determinado ano o mês de agosto teve cinco sextas-feiras, cinco sábados e cinco domingos, então o dia 13 de setembro desse ano caiu em a) uma quarta-feira. b) uma quinta-feira. c) uma sexta-feira. d) um sábado. e) um domingo.

40. (FCC) Godofredo e Lili aniversariam nos respectivos meses de agosto e setembro, em um mesmo dia

da semana. Se o dia do aniversário de Godofredo é o sêxtuplo do dia do de Lili, então a soma das datas em que os dois aniversariam é a) 28 b) 35 c) 7 d) 14 e) 21

GABARITO

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

D D C E B D E C C C

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

C E B B A D E D E A

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

A D A B D A C C B B

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

C A A B A A B E D D

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