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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

________________________________________________________________________________________________________ Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4

a Ed. - LTC - 1996. Cap. 16 – Fluidos

1

HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FUNDAMENTOS DE FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FÍSICA 2

CAPÍTULO 16 – FLUIDOS

67. Se a velocidade de escoamento, passando de baixo de uma asa, é 110 m/s, que velocidade de

escoamento na parte de cima criará uma diferença de pressão de 900 Pa entre as superfícies de

cima e de baixo? Considere a densidade do ar = 1,30 103

g/cm3. (Ver Exercício 66.)

(Pág. 73)

Solução.

Considere o seguinte esquema:

Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos A e B, localizados sobre as linhas de corrente do ar bem próximas à asa, nas partes inferior (i) e superior (s):

2 21 1

2 2s s s i i ip gy v p gy v

Os termos gyi e gys são aproximadamente iguais. Logo:

1/ 2

22 1

2s i s iv p p v

1/ 2

23

3

2 1900 Pa 1,30 kg/m 110 m/s 116,1232 m/s

21,30 kg/msv

116 m/ssv

vi

vs

A

B

pi

ps


________________________________________________________________________________________________________ , Halliday, Krane - Física 2 - 4

a Ed. - LTC - 1996. Cap. 18 – Dinâmica dos Fluidos

2

RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FÍSICA 2

CAPÍTULO 18 – DINÂMICA DOS FLUIDOS

12. Em um furacão, o ar (densidade 1,2 kg/m3) sopra sobre o telhado de uma casa a 110 km/h. (a)

Qual a diferença de pressão entre o interior e o exterior da casa que tende a arrancar o teto? (b)

Qual o módulo da força devida a esta diferença de pressão sobre um teto de 93 m2?

(Pág. 94)

Solução.

Considere o seguinte esquema da situação, onde A é a área do telhado:

(a) Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos localizados no interior (i) e no exterior (e) do telhado da casa:

2 21 1

2 2i i i e e ep gy v p gy v

A pressão no interior é a pressão atmosférica (p0), enquanto que a pressão no exterior é p.

Considerando-se que os pontos i e e encontram-se no mesmo nível em relação ao solo, teremos yi = ye = y. Pode-se considerar que a velocidade do ar no interior (vi) é aproximadamente zero. Logo:

210

2i e ep gy p gy v

2

2 31 1 1101,2 kg/m m/s 560,1851 Pa

2 2 3,6i e ep p v

560 Pai ep p

(b)

2560,1851 Pa 93 m 52.097,222 Ni eF p p A

52 kNF

Esta força é equivalente ao peso de uma massa de cerca de 5 toneladas, ou seja, cerca de cinco carros de passeio.

13. As janelas de um edifício medem 4,26 m por 5,26 m. Num dia de tempestade, o vento está

soprando a 28 m/s paralelamente a uma janela do 53o andar. Calcule a força resultante sobre a

janela. A densidade do ar é 1,23 kg/m3.

(Pág. 94)

Aie

F

ve




3

Solução.

Aplicando-se a equação de Bernoulli a pontos localizados no interior (i) e no exterior (e) da janela

do prédio:

2 21 1

2 2i i i e e ep gy v p gy v

Considerando-se que a pressão no interior é a pressão atmosférica (p0), que a pressão no exterior é

p, que yi = ye e que a velocidade do ar no interior (vi) é aproximadamente zero, teremos:

2

0

1

2p p v

Nesta equação, chamamos a velocidade do ar no exterior simplesmente de v. Logo:

2

0

1

2p p v (1)

A força resultante sobre o vidro será:

0 0F p p A p p DH (2)

Na Eq. (2), D é a largura e H é a altura da janela. Substituindo-se (1) em (2):

22 31 1

1,23 kg/m 28 m/s 4,26 m 5,26 m 10.804,048 N2 2

F v DH

10,8 kNF

Esta força é exercida de dentro para fora do edifício. Quanto maior for a velocidade do vento no

exterior, maior será a diferença de pressão sobre a janela e, portanto, maior será a força. Caso esta

força seja maior que a força máxima de coesão do material que compõe o vidro, haverá ruptura do mesmo.

15. A Fig. 30 mostra um líquido escoando por um orifício em um tanque de grandes dimensões a

uma distância h abaixo da superfície do líquido. O tanque é aberto na parte superior. (a)

Aplicando a equação de Bernoulli à linha de corrente que liga os pontos 1, 2 e 3, mostre que a

velocidade com que o líquido sai do orifício é

2v gh .

Este resultado é conhecido como lei de Torricelli. (b) Se a saída do orifício apontasse

diretamente para cima, qual seria a altura máxima atingida pelo jato de líquido? (c) Como a

viscosidade ou a turbulência afetariam a sua análise?

(Pág. 94)

Solução.

(a) Considere o seguinte esquema da situação:




4

Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos 1 e 2, teremos:

2 2

1 1 1 2 2 2

1 1

2 2p gy v p gy v

A análise da situação revela que p1 = p2 = p0, em que p0 é a pressão atmosférica. Considerando-se

que o diâmetro do tanque é muito maior do que o diâmetro do orifício, temos que v1 v2. Logo, se

observarmos o escoamento por curto período de tempo podemos supor que v1 0. De acordo com o referencial adotado temos y2 = 0. Portanto:

2

0 0

10 0

2p gh p v

21

2gh v

2v gh

Este resultado é o mesmo obtido para um corpo solto em queda livre de uma altura h.

(b) Considere o seguinte esquema:


2 2

3 3 3 4 4 4

1 1

2 2p gy v p gy v

No topo do jato líquido a velocidade de escoamento é zero.

2

0 0 max

10 0

2p v p gh

Substituindo-se o resultado do item (a):

max

12

2gh gh

maxh h

Este resultado é esperado, pois sendo o fluido ideal não há dissipação de energia mecânica durante

o fluxo. Logo, a energia potencial gravitacional inicial que é convertida em energia cinética no item

(a) é reconvertida em potencial no item (b).

v

y

0

h 1

2

v

y

0

h 1

2

3




5

(c) A viscosidade do líquido dissiparia parte da energia mecânica do sistema, enquanto que a

turbulência ocasionaria perda de pressão. Em ambos os casos, o resultado prático seria a diminuição da velocidade de saída do fluido em (a) e da altura em (b).

16. Um tanque contém água até a altura H. É feito um pequeno orifício em sua parede, à

profundidade h abaixo da superfície da água (Fig. 31). (a) Mostre que a distância x da base da

parede até onde o jato atinge o solo é dado por x = 2 [h(H h)]1/2

. (b) Poderia ser perfurado um

orifício a outra profundidade, de modo que este segundo jato tivesse o mesmo alcance? Em caso

afirmativo, a que profundidade? (c) Determinar a que profundidade h deveria ser feito um

pequeno orifício para que a água que sair por ele atinja o solo à distância máxima da base. Qual

é esta distância máxima?

(Pág. 94)

Solução.

Considere o seguinte esquema da situação:

Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos 1 e 2:

2 2

1 1 1 2 2 2

1 1

2 2p gy v p gy v

2

0 1 0 2 2

1 10

2 2p gy p gy v

2

1 2 2

1

2g y y v

Como y1 y2 = h, temos:

2 2v gh (1)

Na coordenada x, o jato de fluido possui velocidade constante:

v2

x

H

1

2

y

h

x




6

0 xx x v t

20x v t (2)

Substituindo-se (1) em (2):

2x t gh (3)

Na coordenada y, o jato de fluido possui movimento com aceleração constante:

2

0 0

1

2yy y v t at

2

0

10 0

2y t gt

21

2H h gt

2 H h

tg

(4)

Na Eq. (4), t é o tempo que o jato de fluido leva para atingir o solo. Substituindo-se (4) em (3):

2 2H h gh

xg

2x H h h (5)

(b) Sim. Veja o esquema a seguir.

A outra profundidade (h’) deve produzir o mesmo alcance x. Isto significa que na expressão:

' '2 2x H h h H h h

' 'H h h H h h

'2 ' 2 0h Hh Hh h

As raízes desta equação são:

'

1h h

'

2h H h

Logo:

'h H h

x

H

1

y

h

x

h’




7

(c) O alcance máximo é obtido derivando-se (5) em relação a h e igualando-se o resultado a zero

(ponto de máximo da função):

2 0dx d

H h hdh dh

20

H h

H h h

2

Hh

20. A água represada por um dique tem 15,2 m de profundidade. Um cano horizontal de 4,30 cm de

diâmetro passa através do dique 6,15 m abaixo da superfície da água, como ilustra a Fig. 34. A

extremidade do cano no lado seco do dique está tampada. (a) Calcule a força de atrito entre a

parede do cano e a tampa. (b) A tampa é removida. Qual o volume de água que escoa pelo cano

em 3 horas?

(Pág. 94)

Solução.


(a) Para que a rolha permaneça em equilíbrio estático na horizontal (coordenada x), a força devido à

pressão hidrostática, exercida da esquerda para a direita, deve ter o mesmo módulo da força de atrito estático entre a rolha e a represa, exercida da direita para a esquerda. Logo:

2

2 22

at

df F p A gh

23 22 998 kg/m 9,81 m/s 6,15 m 0,043 m87,4382 N

4 4at

ghdf

87 Natf

(b) Considere agora o seguinte esquema para a nova situação:

h

y

0

1

2

3 d/2

fatF




8

Para determinar o volume escoado é preciso calcular a vazão, que por sua vez depende do cálculo

da velocidade de escoamento (v3). Este é feito por meio da aplicação da equação de Bernoulli aos

pontos 1 e 3:

2 2

1 1 1 3 3 3

1 1

2 2p gy v p gy v

2

0 1 0 3 3

1 10

2 2p gy p gy v

2

1 3 3

1

2g y y v

Como y1 y3 = h, temos:

3 2v gh

A vazão no ponto 3 (Vz) vale:

2

3 3 22

z

V dV A v gh

t

2

24

dV gh t

2

2 30,043 m 3.600 s

2 9,81 m/s 6,15 m 3 h 172,2810 m4 h

V

3170 mV

21. Um sifão é um dispositivo para remover líquidos de um recipiente que não pode ser tombado.

Ele funciona como mostra a Fig. 35. O tubo deve ser inicialmente cheio, mas tão logo isso tenha

sido feito, o líquido escoará até que seu nível paire abaixo da abertura do tubo em A. O líquido

tem densidade e viscosidade desprezível. (a) Com que velocidade o líquido sai do tubo em C?

(b) Qual é a pressão no líquido no ponto máximo B? (c) Qual é a maior altura possível h1, a que

um sifão pode fazer subir a água?

h

y

0

1

2

3 d/2

v3




9

(Pág. 95)

Solução.

(a) Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos S e C, teremos:

2 21 1

2 2S S S C C Cp gy v p gy v

Como vS vC, é razoável desprezar o termo que envolve vS. Logo:

2

0 2 0

10 0

2Cp g d h p v

22Cv g d h

(b) Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos B e C, teremos:

2 21 1

2 2B B B C C Cp gy v p gy v

2 2

1 2 0

1 10

2 2B B Cp g d h h v p v (1)

De acordo com a equação de continuidade, temos:

B B C CA v A v

Como AB = AC, isto implica em vB = vC. Aplicando-se este raciocínio em (1), teremos:

1 2 0Bp g d h h p

0 1 2Bp p g d h h

(c) Uma das condições que limitam a altura h1 é a velocidade com que o líquido passa pelo ponto B.

Quanto maior for h1, menor será vB. O maior valor que h1 pode ter é quando vB = 0. Logo, aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos S e B, teremos:

2 21 1

2 2S S S B B Bp gy v p gy v

0 2 1 20 0Bp g d h p g d h h

0 1Bp p gh (2)

y

0




10

Na Eq. (2), a soma pB + gh1 deve ter o valor constante p0 (pressão atmosférica). Quanto maior for

h1, menor deverá ser pB para que a soma continue dando p0. O limite dessa situação ocorre quando pB = 0. Neste caso, h1 = h1max. Portanto:

0 1max0p gh

5

01max 3 2

1,01 Pa10,3162 m

998 kg/m 9,81 m/s

ph

g

1max 10,3 mh

25. Um tubo oco está colado, em uma das extremidades, a um disco DD (Fig. 37). O conjunto é

colocado um pouco acima de um outro disco CC de papelão. Soprando-se pelo tubo, o disco CC

é atraído para DD. Seja A a área do papelão e v a velocidade média do ar entre CC e DD.

Determinar a força dirigida para cima que atua no papelão, cujo peso deve ser desprezado.

Suponha que v0 v, onde v0 é a velocidade do ar no interior do tubo.

(Pág. 95)

Solução.


A força resultante sobre o papelão vale:

0res resF p A p p A (1)

Para calcular pB, aplicamos a equação de Bernoulli aos pontos 1 e 2:

2 2

1 1 1 2 2 2

1 1

2 2p gy v p gy v

Como p1 = p0, gy1 gy2 (a pressão exercida por uma coluna de ar pequena é desprezível) e v0

v, teremos:

2

0

1

2p p v

2

0

1

2p p v (2)


1

2v-v

Fres

p0

p




11

21

2resF v A

27. O ar escoa sobre a parte superior da asa de um avião, cuja área é A, com velocidade vs, e sob a

parte inferior da asa com velocidade vi. Mostre que a equação de Bernoulli prevê que a força de

sustentação S orientada para cima sobre a asa será

2 21

2s iS A v v

onde é a densidade do ar. (Sugestão: Aplique a equação de Bernoulli a uma linha de corrente

bem próxima à superfície superior da asa e a outra linha de corrente igualmente próxima à

superfície inferior. Você pode justificar o fato de termos considerado as constantes para as duas

linhas de corrente iguais?)

(Pág. 96)

Solução.


A força de sustentação (S) é a força resultante da diferença de pressão do ar imediatamente acima e

abaixo da asa (pi ps).

res i sF S p p A (1)

O termo pi ps é pode ser calculado por meio da aplicação da equação de Bernoulli às linhas de corrente do ar bem próximas à asa, nas partes superior e inferior:

2 21 1

2 2s s s i i ip gy v p gy v

Como gys gyi (a pressão exercida por uma coluna de ar pequena é desprezível), teremos:

2 21

2i s s ip p v v (2)


2 21

2s iS A v v

A equação de Bernoulli somente tem validade quando aplicada a pontos sobre a mesma linha de

corrente. Para que ela possa ser plicada a pontos que estejam em linhas de corrente diferentes, o

escoamento além de ser estacionário, incompressível e não-viscoso, deverá ser irrotacional. Para

que seja irrotacional e homogêneo, as linhas de corrente do escoamento devem ser paralelas e

igualmente espaçadas, como no esquema abaixo:

vi

vs

S

A

B




12

No caso das linhas de corrente que fluem ao longo da asa do avião, essa condição não é satisfeita.

Pode-se obter boa aproximação ao tomarmos pontos sobre linhas de corrente próximas à asa, acima

e abaixo da mesma, como os pontos A e B do esquema inicial.

31. Considere o medidor de Venturi da Fig. 9. Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos 1 e

2, e a equação de continuidade (Eq. 3), verifique a Eq. 11 para a velocidade do escoamento no

ponto 1.

1 1 2 2Av A v Eq. 3

'

2 2

2 ghv a

A a

Eq. 11

(Pág. 96)

Solução.

Aplicando-se a equação de continuidade aos pontos 1 e 2, teremos:

1 1 2 2Av A v

1 12

2

A vv

A (1)


2 2

1 1 1 2 2 2

1 1

2 2p gy v p gy v

Como os pontos 1 e 2 estão no mesmo nível em relação ao solo horizontal, temos y1 = y2. Logo:

2 2

1 2 2 1

1 1

2 2p p v v

Mas, p1 p2 = (’ )gh, em que ’ é a densidade do líquido no tubo curvo. Logo:

' 2 2

2 1

1

2gh v v




13

'

2 2

2 1

2 ghv v

(2)


2 '

21 11

2

2 ghAvv

A

'

2

1 2 2

1 2

2

2

2 ghv

A A

A

'

1 2 2 2

1 2

2 ghv A

A A


________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 5


14

RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 5.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 2003.

FÍSICA 2

CAPÍTULO 16 – DINÂMICA DOS FLUIDOS

05. (a) Considere um fluido de massa específica que escoa com velocidade v1 e passa

abruptamente de uma tubulação cilíndrica com área de seção transversal a1, para outra

tubulação cilíndrica mais larga, cuja área de seção transversal é a2 (veja a Fig. 36). O jato de

líquido que emerge da tubulação estreita mistura-se com o que se encontra na tubulação mais

larga, depois ele escoa quase uniformemente com velocidade média v2. Sem se preocupar com

os detalhes de menor importância relacionados à mistura, utilize o conceito de momento linear

para mostrar que o aumento de pressão devido à mistura é aproximadamente igual a

2 1 2 2 1p p v v v .

(b) Mostre, partindo-se da equação de Bernoulli, que em uma tubulação cuja seção transversal

aumente gradativamente, esta diferença de pressão pode ser expressa por

2 2

2 1 1 2

1

2p p v v .

(c) Determine a perda de pressão devida ao alargamento brusco da tubulação. Você seria capaz

de fazer uma analogia com os choques elásticos e inelásticos entre partículas, estudados na

mecânica?

(Pág. 82)

Solução.

(a) Vamos considerar uma porção do fluido de massa m que ocupe a região de turbulência durante

um intervalo de tempo t. Uma vez que a pressão deve ser contínua, esperamos que no ponto A,

imediatamente após o estreitamento e no limite esquerdo de m, a pressão seja p1 e no ponto B,

imediatamente após a região de turbulência e no limite direito de m, seja p2. Veja o esquema a

seguir.

A força horizontal resultante F sobre a porção de massa m é dada por:

v p1 1, v p2 2, A B

m

a1 a2

x

y

z




15

1 2 2 2p a p a F i i

1 2 2p p a F i

Como o escoamento é estacionário antes e após a região de turbulência (antes do ponto A e após o ponto B), o momento linear de m antes de ocupar a região de turbulência é:

1 1mvp i

E após ocupar a região de turbulência é:

2 2mvp i

A variação do momento linear p sofrida por m é igual ao impulso recebido pela força resultante

devido à variação de pressão quando esta ocupa a região de turbulência. Sendo t o intervalo de

tempo que m permanece na região de turbulência, temos:

2 1 t p p p F

2 1 1 2 2mv mv p p a t i i i

2 1 1 2

2

1 mp p v v

a t (1)

Como a vazão mássica é a mesma antes e após a turbulência, temos:

1 1 2 2

ma v a v

t

(2)


2 1 2 2 1 2

2

1p p a v v v

a

2 1 2 1 2p p v v v

Note que se tivéssemos substituído (2) em (1) da forma seguinte:

2 1 1 1 1 2

2

1p p a v v v

a (3)

Da equação de continuidade temos:

1 1 2 2a v a v (4)


2 1 2 2 1 2

2

1p p a v v v

a

2 1 2 1 2p p v v v

(b) No caso de o fluxo ser estacionário ao longo de toda a tubulação, podemos aplicar a equação de

Bernoulli:

2 2

1 1 1 2 2 2

1 1

2 2p gy v p gy v

Desprezando-se a variação de nível na tubulação (y1 = y2):

2 2

1 1 2 2

1 1

2 2p v p v

2 2

2 1 1 2

1

2p p v v




16

(c) A perda de pressão p corresponde à diferença das respostas obtidas nos itens (b) e (a):

2 2

1 2 2 1 2

1

2p v v v v v

2 2 2 2 2 2 2

1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2

1 1 12 2 2 2

2 2 2p v v v v v v v v v v v v v v

2

1 2

1

2p v v

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