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Processamento de Imagem Morfológica (Morfologia Matemática)
1
Tsang Ing Ren
UFPE - Universidade Federal de Pernambuco
CIn - Centro de Informática
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Tópicos
� Introdução
� Conceitos básicos da teoria dos conjuntos
� Dilatação e erosão
� Abertura e fechamento
� Transformada hit-or-miss
� Alguns algoritmos morfológicos básicos
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� Alguns algoritmos morfológicos básicos
� Extensões para imagens em níveis de cinza
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Introdução
� A palavra Morfologia é originalmente um ramo da biologia que estuda asformas e estruturas dos animais e plantas. Usamos esta palavra no contexto deMorforlogia Matemática como um instrumento para extração de componentesda imagem que sejam úteis para representação e descrição da forma de umaregião, como fronteiras, esqueletos e fecho convexo.
� Morfologia Matemática surgiu em 1964 das pesquisas conjutas de G. Matherone J. Serra. Entre 1964 e 1968 foram estabelicidas as primeiras noções teóricas(Operação abertura, fechamento e Hit-Miss, )
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� A linguagem da Morfologia Matemática é a Teoria dos Conjuntos. Conjuntos emmorfologia representa objetos numa imagem. O conjunto de todos os pixelspretos em uma imagem binária é uma descrição completa dessa imagem.
� Em imagens binárias, os conjuntos em questão são membros do espaçobidimensional de números inteiros Z2, em que cada elemento do conjunto é umvetor bidimensional cujas coordenadas são as coordenadas (x,y) dos pixelspretos da imagem. Imagens digitais em níveis de cinza podem serrepresentadas por conjuntos cujos componentes estejam em Z3.
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Introdução
−−−−
−
−
=
)1,1()1,1()0,1(
)1,1()1,1()0,1(
)1,0()1,0()0,0(
),(
NMfMfMf
Nfff
Nfff
yxf
L
MM
L
L
4
=
−−−−
−
−
1,11,10,1
1,11,10,1
1,01,00,0
NMMM
N
N
aaa
aaa
aaa
A
L
MM
L
L
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Conceitos Básicos da Teoria dos Conjuntos
� Sendo A um conjunto em Z2. Se a=(a1,a2) é um elemento de A, então:
a ∈ A
a ∉ A
� Conjunto vazio : ∅
� A subconjunto de B: A ⊆ B
� União de A e B: C = A∪B
� Interserção A e B: D = A∩B
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� Interserção A e B: D = A∩B
� Conjuntos disjuntos: A∩B= ∅
� Especificação do conjunto: C = {w|w=-d, para d ∉ D}
� Complemento de A: Ac = {w|w ∉ A}
� Diferença de A e B: A-B = {w|w ∈ A, w ∉ B}= A∩Bc
� Reflexão de B:
� Translação de A por z=(z1,z2): (A)c = {c|c=a+z, para a ∈ A}
B}bb,w|{wB ∈−==ˆ
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Conceitos Básicos da Teoria dos Conjuntos
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Operações Lógicas Envolvendo Imagens Binárias
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Operadores Morfológicos Dilatação
� Operadores morfológicos fundamentais– Dilatação
• Sendo A e B conjuntos de Z2 e ∅ o conjunto vazio, define-se a dilatação de A por B, denotada por A⊕B, como:
• O processo de dilatação começa na obtenção da reflexão de B em
})ˆ(|{ ∅≠∩=⊕ ABzBA x
8
• O processo de dilatação começa na obtenção da reflexão de B emtorno de sua origem, seguido da translação dessa reflexão por x.
• A dilatação de A por B é então o conjunto de todos os deslocamentos xtais que A sobreponham-se em pelo menos um elemento não nulo.
• O conjunto B é normalmente chamado de elemento estruturante dadilatação
}])ˆ[(|{ AABxBA x ⊆∩=⊕
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Operadores Morfológicos Dilatação
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Operadores Morfológicos Dilatação
� Exemplos:
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Operadores Morfológicos Dilatação
� Exemplos:
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Operadores Morfológicos Dilatação
� Aplicação:
– Preenchimento de espaço (gap filling)
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Operadores Morfológicos Erosão
� Operadores morfológicos fundamentais
– Erosão
• Sendo A e B em Z2, a erosão de A por B, denotada por A ⊖ B, édenotada por:
• A erosão de A por B é o conjunto de todos os pontos x tais que B,
})(|{ ABxBA x ⊆=
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• A erosão de A por B é o conjunto de todos os pontos x tais que B,quando transladado pro x fique contido em A. Como no caso dadilatação, essa equação não é a única definição da erosão.
• Dilatação e erosão são operações duais em relação àcomplementação e reflexão de conjuntos:
BABAcc ˆ) ( ⊕=
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Operadores Morfológicos Erosão
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Operadores Morfológicos Erosão
� Exemplos:
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Operadores Morfológicos Erosão
� Exemplos:
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Operadores Morfológicos Erosão
� Exemplos:
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Operadores MorfológicosErosão
� Aplicação:
– Remoção de componentes
1,3,5,7,9 e 15 Erosão com 13 Dilatação com 13
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Operadores Morfológicos Abertura e Fechamento
� Abertura e Fechamento
– A dilatação expande, enquanto a erosão reduz uma imagem.
– Abertura:
• Suaviza o contorno da imagem, quebra istmos estreitos, e eliminaprotusões finas.
• Erosão de A por B seguido da dilatação do resultado por B
BBABA ⊕= ) (o
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– Fechamento:
• Suaviza o contorno da imagem, funde as quebras em golfos finos,elimina pequenos buracos e preenche fendas em um contorno.
• Dilatação de A por B seguida da erosão do resultado por B
BBABA ⊕= ) (o
BBABA )( ⊕=•
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Operadores Morfológicos Abertura e Fechamento
� A abertura e o fechamento são duais em relação à complementação e reflexão.
� Propriedades da operação abertura:– A o B é um subconjunto (sub-imagem) de A.
– Se C for um subconjunto de D, então C o D será um subconjunto de D o B.
)B(AB)(A cc ˆo=•
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de D o B.
– (A o B) o B = A o B.
� Propriedades da operação fechamento:– A é um subconjunto (sub-imagem) de A • B.
– Se C for um subconjunto de D, então C • B será um subconjunto de D • B.
– (A • B) • B = A • B.
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Operadores Morfológicos Abertura
� Exemplos:
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Operadores Morfológicos Abertura
� Exemplos:
22
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Operadores Morfológicos Fechamento
� Exemplos:
23
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Operadores Morfológicos Fechamento
� Exemplos:
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Operadores Morfológicos Abertura e Fechamento
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Operadores Morfológicos Abertura e Fechamento
� Aplicação: Redução de ruído
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Abertura
Dilatação da abertura
Fechamento da abertura
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Trasnformada Hit-or-Miss
� A transformada morfológica hit-or-miss é uma ferramenta básica para adetecção de formas.
� Definições
– B � (B1,B2)
– B1 é o conjunto de elementos em Bassociado a imagem. B1=X.
– B2 é o conjunto de elementos em Bassociado ao fundo correspondente.
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associado ao fundo correspondente.B2 = (W-X).
ou
)()( 21 BABABA c ∩=∗
)ˆ()( 21 BABABA ⊕−=∗
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Trasnformada Hit-or-Miss
� Aplicação
– Detecção de bordas
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Algoritmos Morfológicos Básicos
� No caso de imagens binárias, a principal aplicação de morfologiaé a extração de componentes da imagem que sejam úteis narepresentação e na descrição de formas.
� Extração de fronteiras
) ()( BAAA −=β
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Algoritmos Morfológicos Básicos Extração de Fronteiras
� Exemplos:
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Algoritmos Morfológicos Básicos Preenchimento de Regiões
� Preenchimento de regiões
Xo=p
Até Xk=Xk-1
Xk = (X k−1 ⊕ B) ∩ Ac k=1,2,3,…
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Algoritmos Morfológicos Básicos Preenchimento de Regiões
� Exemplos:
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Algoritmos Morfológicos Básicos Extração de Componentes Conectados
� Extração de componentes conectados
X0=pXk=Xk-1
ABXX kk ∩⊕= − )( 1 k=1,2,3,…
33
Xk=Xk-1
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Algoritmos Morfológicos Básicos Extração de Componentes Conectados
� Exemplos:
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Algoritmos Morfológicos Básicos Fecho Convexo
�Fecho convexo
Seja Bi, i=1,2,3,4, representa os quatro elementos estruturantes.
Xi0=A
ABXXi
k
i
k ∪∗= − )( 1 i=1,2,3,… k=1,2,3,…
i4 DC(A) ∪=
35
Di=xiconv,
Onde “conv” indica a convergência no sendo que
Xik= Xik-1
i41i DC(A) =∪=
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Algoritmos Morfológicos Básicos Fecho Convexo
� Deficiência do algoritmo
– Cresce mais que o minímo requerito do tamanho convex
– Limitado a expansões horizontais-verdicais
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Algoritmos Morfológicos Básicos Afinamento
� Afinamento
cBAA
BAABA
)(
)(
∗∩=
∗−=⊗
37
},...BB,B,{B{B} n321=
)B)...)B)B((...((A{B}A n21 ⊗⊗⊗=⊗
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Algoritmos Morfológicos Básicos Espessamento
� Espessamento
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Algoritmos Morfológicos Básicos Esqueletos
� Esqueletos
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Algoritmos Morfológicos Básicos Esqueletos
� Formulação
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Algoritmos Morfológicos Básicos Esqueletos
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Algoritmos Morfológicos Básicos Poda
}{1 BAX ⊗=
AHXX ∩⊕= )( 23
)( 1
8
12
k
kBXX ∗∪=
=
� Poda
42
23
314XXX ∪=
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Resumo dos Operadores Morfológicos e suas Propriedades
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Resumo dos Operadores Morfológicos e suas Propriedades
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Resumo dos Operadores Morfológicos e suas Propriedades
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5 Elementos Estruturantes Básicos
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Extensões para Imagens em Níveis de Cinza
� Trataremos com imagens (funções) digitais
– f(x,y): imagem de entrada
– b(x,y): elemento estruturante, subimagem (função)
� Assume-se que essas funções sejam discretas
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– (x,y) são inteiros
– f e b sejam funções que atribuam um nível de cinza a cada par distinto de coordenadas (x,y).
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Imagens em Níveis de Cinza Dilatação
• Df e Db são os domínios de f e b, respectivamente
}),(;)(),(
|),(),(max{),)((
bf DyxDytxs
yxbtyxsftsbf
∈∈−−
+−−=⊕
� A condição que os paramêtros de deslocamento (s-x) e (t-y)
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deslocamento (s-x) e (t-y) devam estar contidos no domínio de f é análoga à condição da definição binária da dilatação em que os dois conjuntos devem ser sobrepor pelo menos em um elemento.
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Imagens em Níveis de Cinza Dilatação
� Similar à convolução 2D
– f(s-x): f(-x) é simplesmente f(x) invertido em relação à origem doeixo x. A função f(s-x) se move para a direita para s positivo, e aesquerda para s negativo.
– A operação max substitui as somas da convolução e a adição osprodutos da convolução
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� Efeito geral na imagem
– Se todos os valores do elemento estruturante forem positivos, aimgem resultante tende a ser mais clara que a de entrada.
– Detalhes escuros são reduzidos ou eliminados, dependendo decomo seus valores e formatos estejam relacionados com oelemento estruturante usado para a dilatação
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Imagens em Níveis de Cinza Erosão
� A condição que os paramêtros de deslocamento (s+x) e (t+y) devemestar contidos no domínio de f é análoga à condição na definiçãobinária de erosão em que o elemento estruturante deve estarcompletamente contido pelo conjunto que está sendo erodido.
}),(;)(),(
|),(),(min{),)( (
bf DyxDytxs
yxbtyxsftsbf
∈∈++
−++=−
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Imagens em Níveis de Cinza Erosão
� Similar à correlação 2D
– f(s+x) move à esquerda para s positivo e à direita para s negativo.
� Efeito geral na imagem
– Se todos os elementos do elemento estruturante forem positivos, a
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– Se todos os elementos do elemento estruturante forem positivos, a imagem de saída tende a ser mais escura que a imagem de entrada.
– O efeito de detalhes claros na imagem de entrada que forem menor em “área” que o elemento estruturante é reduzido, sendo que o grau dessa redução é determinado pelos valores dos níveis de cinza em torno do detalhe claro e pela forma e valores de amplitude do próprio elemento estruturante.
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Imagens em Níveis de Cinza Dilatação e Erosão
� Propriedade Dual
– Dilatação e erosão em imagens em níveis de cinza são são duais em relação à complementação de funções e à reflexão.
),)(ˆ(),()( tsbftsbfcc ⊕=−
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),(ˆ),(
),)(ˆ(),()(
yxbbyxff
tsbftsbf
c −−=−=
⊕=−
e
onde
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Algumas Aplicações de Morfologia em Níveis de Cinza
� Exemplo:
– Elemento estruturante 5x5.
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Imagens em Níveis de Cinza Dilatação e Erosão
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Abertura e Fechamento
Relação dual
bbfbf
bbfbf
−⊕=•
⊕−=
)(
)(o
bfbfcc ˆ)( o=•
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Imagens em Níveis de Cinza Abertura e Fechamento
� Exemplos:
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Imagens em Níveis de Cinza Abertura e Fechamento
� Suavização morfológica
– Abertura morfológica seguida de fechamento.
– Efeito: remoção ou atenuação tanto de artefatos claros como escuros ou ruídos.
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Algumas Aplicações de Morfologia em Níveis de Cinza
� Gradiente morfológico
– Efeito: enfatiza as transições marcadas nos níveis de cinza daimagem de entrada. Tendem a depende menos da direção dasbordas em comparação com Sobel.
) ()( bfbfg −−⊕=
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Algumas Aplicações de Morfologia em Níveis de Cinza
� Transformada top-hat
– Efeito: enfatizar o detalhe na presença de sombreamento.
– Enfatização do detalhe na região do fundo abaixo da parte inferior da cabeça do cavalo.
)( bffh o−=
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Algumas Aplicações de Morfologia em Níveis de Cinza Segmentação por Textura - Granulometria
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