Processo Dos Esforços

PROCESSO DOS ESFOROS

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASFACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL, ARQUITETURA E URBANISMO

DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS

Profa. Dra. Rosilene de Ftima Vieira

2015

Processo dos esforos

I - Princpios dos Trabalhos Virtuais PTVAplicado aos corpos rgidos...

uma ferramenta das mais versteis:

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 2

uma ferramenta das mais versteis:Clculo de deslocamentos;

Linha de influncia;Etc...


Obs 1 Deslocamento virtual entende-se um deslocamento infinitesimal hipottico...

Obs 2 Trabalho o produto da fora F

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

Obs 2 Trabalho o produto da fora F pelo espao percorrido d...

3

= Fd


A condio necessria e suficiente para o equilbrio ser nula a soma dos trabalhos virtuais de todas as Foras externas, em

todos os deslocamentos virtuais


todos os deslocamentos virtuais independentes, compatveis com as

ligaes do sistema

4

ext = 0


Obs 3 O PTV pode ser utilizado no lugar das trs equaes de equilbrio para a

determinao de uma incgnita de cada


determinao de uma incgnita de cada vez...

5


Exemplo: Calcule a reao RB usando PTV de corpo rgido.



a) Estado de carregamento b) Estado de deslocamento


Foras em equilbrior - deslocamento virtual infinitesimal compatvel com a

vinculao do sistema

Retira o vnculo do

qual se quer obter o valor e coloca-se sua

incgnita...


Aplica-se PTV de corpo rgido

ext = 0

r


HA0 + RA0 - 50 r2 + RBr=0 RBr = 50 r2 RB=25 kN


II - Princpios dos Trabalhos Virtuais PTVAplicado aos corpos deformveis...


Obs: a Elemento diferencial genrico (infinitesimal) de comprimento ds


a) Estado de carregamento b) Estado de deslocamentoP1

P

Mqa

ds

'a

a

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 10Foras em equilbrio

Deslocamento virtual compatvel

R RA B

AHP2

'a


Sob o estado de deslocamento o elemento

genrico a deforma-se e desloca-se para a

posio a (translada, rotaciona e deforma-se):


posio a (translada, rotaciona e deforma-se):

dub deformao axial Esforo axialdvb deformao transversal Esforo cortantedb deformao angular Momento fletor

11


Em uma estrutura deformvel em equilbrio, a soma dos trabalhos virtuais das Foras externas, em um deslocamento virtual compatvel com as suas ligaes igual ao trabalho virtual


com as suas ligaes igual ao trabalho virtual interno, realizado pelos esforos internos (Na, Va, Ma) na deformao dos elementos da estrutura (dub, dvb e db)

12

ext = int


ext = Nadub+ Vadvb+Estr

MadbEstrEstr

ext = int


Estr

EstrEstr

Obs Se a estrutura for um corpo rgido dub, dvb e db so zero, portanto:

ext = 0


Um procedimento prtico na aplicao do PTV para clculo de deslocamento adotar

III Processo da carga unitria para o clculo de deslocamento


PTV para clculo de deslocamento adotar no estado de carregamento uma fora

unitria que age sozinha na estrutura, que corresponde ao deslocamento procurado...

14


Para o estado de deslocamento causado por carregamento externo pode-se obter as deformaes com as seguintes expresses:

dub=Nb

dx Deformao axial


dub= EA dx Deformao axial

dvb=cVbGA dx Deformao transversal

db= MbEI dx Deformao angular de flexo


OndeE Mdulo de elasticidade longitudinal;G Mdulo de elasticidade transversal;I Momento de inrcia da seo transversal; Coeficiente de Poisson;


Coeficiente de Poisson;c fator de forma;

16

G = E2(1+) Obs c = 1,2 para seo transversal retangular


ext = Nadub+ Vadvb+Estr

MadbEstrEstr

ext = int Voltando na equao do PTV para corpo deformvel


Estr

EstrEstr

ext = Na NbEA dx+ Va cVbGA dx+Estr MaMbEI dxEstrEstr


Exerccio Determinar a flecha no meio do vo pelo PTV de corpo deformvel


Dados:E = 2,5E+07 kN/m2 = 0,2c = 1,2 (fator de forma)


Resoluo:A = 0,20,25 = 0,05 cm2

I=bh3

12 =0,200,253

12 =2,60416666667E-04 m4


G = E

2(1+) =2,5E07

2(1+0,2) =10416666,666667kN/m2

EA = 2,5E+070,05 = 1250000 kNEI = 2,5E+072,60416666667E-04 = 6510,666667kNm2GA = 10416666,6666670,05 = 520833,33333kN

12 12




Ma= 0,5x (horrio positivo)Va=+0,5 kN

0 x 2 0 x 2Mb= 40x -10x2 (horrio positivo)Vb = 40 - 20x

Processo dos esforosext = int

0

ext = Na NbEA dx+ Va cVbGA dx+4

0 MaMbEI dx

4

0

4

0

1,20,5(40-20x)2 0,5x(40x-10x2)2


RA0+HA0+RB0+1f = 2 1,20,5(40-20x)GA dx2

0+ 0,5x(40x-10x2)EI dx

2

0

f=2 1GA 24 - 12xdx + 1EI2

0 (20x2 - 5x3)dx2

0

f = 2GA 24 - 12xdx + 2EI2

0 (20x2 - 5x3)dx2

0

Processo dos esforosf = 2GA 24 - 12xdx + 2EI

2

0 (20x2 - 5x3)dx2

0

f = 2GA 24x 20 -12 x2

2 20 + 2EI 20 x3

3 20 - 5 x4

4 20


f =2

GA 242-12 22

2 + 2EI 20 23

3 - 524

4 f =

2GA 24+ 2EI 33,3333333333


f =2

520833,33333 24+ 26510,41666667 33,3333333333 f = 0,00009216 + 0,01024 = 0,01033216m


f = 0,00009216 + 0,01024 = 0,01033216m

Contribuio da cortante

0,89%

Contribuio do momento

99,11%


Quando a deformao angular de flexo existir ela ser maior que a

deformao axial e transversal, por isso a deformao axial e transversal


isso a deformao axial e transversal podero ser desprezadas para efeito

de simplificao do clculo no caso do clculo manual.

24


Exerccio Calculo da flecha com o uso da Tabela de integrais do produto de duas funes


Dados:E = 2,5E+07 kN/m2 = 0,2c = 1,2 (fator de forma)




Ma Mb


ext = MaMbEI dx4

0


Linha 9 * Coluna IV

Obs Quando as duas figuras esto para o mesmo lado (no caso para baixo) o produto fica com sinal positivo.

Para lados contrrios o produto fica com sinal negativo.

es

f

o

r

o

s

P

r

o

c

e

s

s

o

d

o

s



f = 1EI L 512 FG

f = 1

6510,41666667 4 512 401 =0,01024m


f = 6510,41666667 4 12 401 =0,01024m


A soluo de estruturas hiperestticas feita atravs de uma superposio de efeitos e

IV Processo dos EsforosAplicado a vigas


atravs de uma superposio de efeitos e estabelecimento de um sistema de equaes

de compatibilidade de deslocamentos...

31


Exemplo Traar os diagramas de esforo cortante e momento fletor.

GH=?


GH=?

GH=1


Para uma estrutura uma vez hiperesttica retirar apenas um vnculo incgnito:


Estruturas isostticas fundamentais


Escolheu-se retirar o momento do engaste que passa a ser chamada de incgnita

hiperesttica X1...



Princpio de Superposio de Efeitos:


(r) = ( r) = (0) + (1)

Processo dos esforosOu...

(r) = ( r) = (0) + X (1)


(r) = ( r) = (0) + X1(1)Obs O problema (0) fica com todo carregamento externo...

Os demais problemas ficam com os carregamentos unitrios...

Processo dos esforosSistema de equao de

compatibilidade de deslocamento:


1,real = 10 + X111 = 0

X1 = - 1011


Diagramas de momentos fletores para problema (0) e problema (1)...



Os deslocamentos so calculados atravs do PTV aplicado aos corpos deformveis

pelo processo da carga unitria...


10 e 11


a) Estado de carregamento b) Estado de deslocamento10 =?


MbMa


ext = MaMbEI dx4

0

RA0 + HA0 + RB0 + 110 = 1EI Ma4

Mb dx


RA0 + HA0 + RB0 + 110 = EI Ma0 Mb dx

ou 10 = 1EI M1

4

0 M0 dx 10 = 1EI Ma

4

0 Mb dx


10 = 1EI Ma

4

0 Mb dx


Linha 1 * Coluna IVG F


10 = 1EI L 13 FG


10 = 1EI 4 13 401 = 1603EI


a) Estado de carregamento b) Estado de deslocamento11 =?


MbMa


ext = MaMbEI dx4

0

RA0 + HA0 + RB0 + 111 = 1EI Ma4

0Mb dx


ou

EI 0

11 = 1EI Ma4

0 Mb dx 11 = 1EI M1

4

0 M1 dx


11 = 1EI Ma4

0 Mb dx


Linha 0 * Coluna IIF F


11 = 1EI 4 13 12 = 43EI

11 = 1EI L 13 F2


11 = EI 4 3 1 = 3EI

Processo dos esforosEquao de

compatibilidade de deslocamento:

X1 = - 1011


11

X1 = - 1011

= - 1603EI4

3EI= - 1603EI 3EI4 = - 40 kN.m

Obs O sinal negativo significa que o sentido adotado inicialmente para a incgnita esta errado...


Para obter os esforos finais da viga utiliza-se o momento fletor (incgnita

hiperesttica) encontrada...


Processo dos esforosEsforos finais


V

M

Processo dos esforosV Processo dos Esforos

Generalizando...Caso se tenha uma estruturas n vezes

hiperesttica, adota-se n incgnitas hiperestticas X1, X2, ..., Xn definindo uma


hiperestticas X1, X2, ..., Xn definindo uma Estrutura Isosttica Fundamental...

A aplicao conveniente do Princpio de Superposio de Efeitos conduz equao

de superposio:(r) = ( r) = (0) + X1(1) + X2(2) +...+ Xn(n)


Sistema de equaes de compatibilidade de deslocamentos...

1,real = 10 + 11 X1 + 12 X2 +...+ 1n Xn = + X + X +...+ X


2,real = 20 + 21 X1 + 22 X2 +...+ 2n Xn

n,real = n0 + n1 X1 + n2 X2 +...+ nn Xn

Processo dos esforosO sistema de equaes de compatibilidade

de deslocamentos usando a notao matricial pode ser escrito:

ijXi=i,real-i0


Obs i indica a incgnita hiperesttica

j indica qual o problema

Processo dos esforosExemplo GH=2

11 X1 + 12 X2 = 1,real - 1021 X1 + 22 X2 = 2,real - 20

11 1221 22

X1X2 = 1,real-102,real-20


21 22

X2 2,real-20Obs 1 Os deslocamentos ij so denominados coeficientes de flexibilidade e [ij] a matriz de

flexibilidade.Obs 2 A matriz simtrica ij = ji, portanto 12 = 21


Exerccio Traar os diagramas de esforos normal, cortante e momento fletor.

VI Processo dos EsforosAplicado prticos...


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