Produto escalar resumo
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PRODUTO ESCALAR Chama-se produto escalar(ou produto interno usual) de dois vetores u e v o número real representado por u . v ou < u , v > e calculado pela soma dos produtos das componentes correspondentes dos vetores. Se u = (x 1 , y 1 ) ∈ ℜ 2 e v = ( x 2 , y 2 ) ∈ ℜ 2 então u.v = x 1 .x 2 + y 1 .y 2 . Se u = (x 1 , y 1 , z 1 ) ∈ ℜ 3 e v = ( x 2 , y 2 , z 2 ) ∈ ℜ 3 então u.v = x 1 .x 2 + y 1 .y 2 + z 1 .z 2 . E1) Determinar u . v ,sabendo que u =(1,-2) e v =(4,2). E2) Dados os pontos A(1,-2,0) , B(2,-1,-2) e C(4 ,2 ,1), calcular AB → . BC → . MÓDULO DE UM VETOR Chama-se módulo(ou comprimento) do vetor v o número real não negativo calculado por √ v. v . No ℜ 2 , se v =(x,y ) então |v|= √ x 2 +y 2 No ℜ 3 , se v =(x,y,z ) então |v|= √ x 2 +y 2 +z 2 E3) Dados os vetores u =(1,-2,2) e v =(4,3), calcular | u | e | v | . E4) Dados os pontos A(1,3,0) e B(-2,m,-2), calcular m para que | AB → | = 7. PROPRIEDADES DO MÓDULO: a) | u | ¿ 0 e | u | = 0 ⇔ u = 0 b) | -u | = | u | c) | αu | = | α |.| u | d) | u + v | ¿ | u | + | v |
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PRODUTO ESCALAR
Chama-se produto escalar(ou produto interno usual) de dois vetores u e v o número real representado por
u .v ou <u ,v > e calculado pela soma dos produtos das componentes correspondentes dos vetores.
Se u = (x1, y1)∈ℜ2 e v = ( x2, y2 ) ∈ℜ2
então u.v = x1.x2 + y1.y2 .
Se u = (x1, y1 , z1)∈ℜ3 ev = ( x2, y2 , z2) ∈ℜ3
então u.v = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2.
E1) Determinaru .v ,sabendo que u =(1,-2) ev =(4,2).
E2) Dados os pontos A(1,-2,0) , B(2,-1,-2) e C(4 ,2 ,1), calcular AB→
.BC→
. MÓDULO DE UM VETOR
Chama-se módulo(ou comprimento) do vetor v o número real não negativo calculado por√v .v .
No ℜ2
, se v =(x,y ) então |v|=√ x2+ y2
No ℜ3
, se v =(x,y,z ) então |v|=√ x2+ y2+z2
E3) Dados os vetores u =(1,-2,2) ev =(4,3), calcular |u | e |v | .
E4) Dados os pontos A(1,3,0) e B(-2,m,-2), calcular m para que |AB→
| = 7.
PROPRIEDADES DO MÓDULO:
a) | u | ¿
0 e | u | = 0 ⇔
u = 0
b) | -u | = | u |
c) |αu
| = |α
|.| u |
d) | u + v | ¿
| u | + | v |
VETOR UNITÁRIO Chama-se vetor unitário qualquer vetor v de comprimento igual a 1(um), isto é |v | =1.
E5) Determinar o valor de n para que o vetorw=(n , 4
5) seja unitário.
. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
A distância d entre dois pontos A(x1, y1 , z1) e B( x2, y2 , z2) é o comprimento do vetor
Noℜ2
, se A(x1, y1 ) e B( x2, y2 ) então AB→
=(x2 -x1 , y2 -y1 ) e dAB =√( x2−x1)2+( y2− y1)
2.
Noℜ3
, se A(x1, y1 , z1) e B( x2, y2 , z2) então AB→
=(x2 -x1 , y2 -y1 , z2 - z1) e
dAB =√( x2−x1 )2+( y2− y1)
2+( z2−z1)2
.
E6) Determinar no eixo das ordenadas um ponto eqüidistante dos pontos A(1,-3,7) e B(5,7,-5).
E7) Determine o ponto do plano eqüidistante dos pontos (-1,-2) , (1,0) e (3,-2).
VERSOR DE UM VETOR
Versor de um vetor não nulov é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de v .
versor dev =
v|v|
E8) Determinar os versores dos vetores u = (0,-3,4) e v = (-1,1).
PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR a) u .v =v .u b) u .(v +w ) = u .v +u .w c) α (u .v ) = (α u ).v =u .(α v ), comα∈ℜ
. ÂNGULO DE DOIS VETORES
Se u¿0 ,v¿0 e θ é o ângulo dos vetores u ev , com 0 °≤θ≤180 ° .
v v – u Da lei dos co-senos: |u – v|2 = |u|2 + |v|2 – 2|u|.|v| cosθ (1) θ u Mas |u – v|2 = (u – v).(u – v) = u.u –2u.v + v.v = |u|2 – 2 u.v + |v|2 (2)
Comparando (1) e (2): u.v =|u|.|v| cosθ ou cos θ =
u .v|u|.|v| .
E9) O que se pode afirmar sobre u.v, se 0 °<θ<90° .
E10) O que se pode afirmar sobre u.v, se 90 °<θ<180 ° .
E11) O que se pode afirmar sobre u.v, se θ=90 ° .
E12) O que se pode afirmar sobre u e v, se θ=0 ° .
E13) O que se pode afirmar sobre u e v, se θ=180° .
E14) Calcular os ângulos entre os vetores u ev , sendo:
a) u =(1,2) ev =(-1,2) b) u =(2,-1) ev =(1,2) c) u =(0,2) ev =(0,1)
d) u =(1,1,4) ev =(-1,2,2) e) u =(2,-1,2) ev =(-1,2,2) f) u =(0,2,4) ev =(0,1,2)
E15) Sabendo que o ângulo entre os vetores u =(2,1,-1) ev =(1,-1,m+2) é
π3 , calcular m.
VETORES ORTOGONAIS
Se u é ortogonal a v , o ângulo θ entre os vetores u e v é 90o e cos θ = 0, logo de 4.4. u .v = 0.
u¿ v ⇔ u .v = 0
E16) Dados os vetores u =(1,-2,2) ev =(4,m,-5), calcular m para que u e v sejam ortogonais.
E17) O triângulo de vértices A(5,1,5), B(4,3,2) e C(-3,-2,1) é retângulo ?
E18) Determinar um vetor ortogonal ao vetorw=(−3,1,2 ).
E19) Dados os pontos A(5,-1,2), B(6,2,4) e C(7,1,3), determinar:
a) as componentes de 3 AB→
−2BC→
+5CA→
b) o módulo de BC→
c) o versor de CA→
E20) Dados os vetores u=3i+3 j ,v=2i+ j−2k ew=3 i+4 j−5k , determinar:
a) u .w b) u .(v+w) c)o ângulo entre u ev d) o versor de u
e) o valor de m para que o vetor p=mi+5 j+4k seja ortogonal a u -v
. PROJEÇÃO DE UM VETOR
w é a projeção de u sobre v . Como (u -w ).v = 0 (1) e w =α .v (2), u u -w
substituindo a (2) em (1) e isolando α ,vem: α =
u .vv .v
v w
Substituindo o α encontrado em (2), conclui-se que w =projvu=(u .v
v . v ). v
E21) Encontre a projeção do vetor u sobre o vetor v, sendo:
a) u = (1,1) e v = (2,0) b) u = (1,1,1) e v = (3,3,0)
RESPOSTAS E1) 0
E2) -1 E3) 3 e 5
E4) m = -3 ou m = 9
E5) n =±3
5
E6) (0,2,0)
E7) (1,-2)
E8) (0 ,−3
5, 45
); (− 1
√2, 1√2
)
E9) u.v > 0
E10) u.v < 0
E11) u.v = 0
E12) Paralelos de mesma direção e mesmo sentido.
E13) Paralelos de mesma direção e sentidos contrários.
E14) a) θ = arc sen(3/5) b) 90o c) 0o d) 45o e) 90o f) 0o
E15) m = -4
E16) m = -3
E17) SIM
E18) qualquer v = (a,b,c), tal que b = 3a –2c
E19) a) (-9,1,3) b)√3 c) (−2
3,−2
3,−1
3)
E20) a) 21 b) 30 c) 45o d) ( √2
2, √2
2,0 )
e) m = -18
E21) a) (1,0) b) (1,1,0)
