7/18/2019 _Produtos_Notaveis

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Alegria Financeira Fundamental M€dio Geometria Trigonometria Superior C•lculos

Ensino M€dio: Produtos not•veis (33 Identidades)

Quadrado da soma de dois termos

(a+b)€ = a€ + b€ + 2ab

Exemplo: (3+4)€=3€+4€+2•3•4

1.

Quadrado da diferen‚a de dois termos

(a-b)€ = a€ + b€ - 2ab

Exemplo: (7-5)€=7€+5€-2•7•5

2.

Diferen‚a de potƒncias (ordem 2)

a€ - b€ = (a+b)(a-b)

Exemplo: 7€-5€=(7+5)(7-5)

3.

Cubo da soma de dois termos

(a+b)„ = a„ + 3a€b + 3ab€ + b„

Exemplo: (4+5)„=4„+3•4€•5+3•4•5€+5„

4.

Cubo da soma de dois termos na forma simplificada

(a+b)„ = a(a-3b)€ + b(b-3a)€

Exemplo: (4+5)„=4(4-3•5)€+5(5-3•4)€

5.

Cubo da diferen‚a de dois termos

(a-b)„ = a„ - 3a€b + 3ab€ - b„

Exemplo: (4-5)„=4„-3•4€•5+3•4•5€-5„

6.

Identidade de Fibonacci

(a€+b€)(p€+q€) = (ap-bq)€+(aq+bp)€

Exemplo: (1€+3€)(5€+7€)=(1•5-3•7)€+(1•7+3•5)€

7.

ematica Essencial: Medio: Produtos Notaveis   http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/polinom/prodnot.htm

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Identidade de Plat…o

(a€+b€)€ = (a€-b€)€+(2ab)€

Exemplo: (3€+8€)€=(3€-8€)€+(2•3•8)€

8.

Identidade de Lagrange (4 termos)

(a€+b€)(p€+q€)-(ap+bq)€ = (aq-bp)€

Exemplo: (9€+7€)(5€+3€)-(9•5+7•3)€=(9•3-7•5)€

9.

Identidade de Lagrange (6 termos)

(a€+b€+c€)(p€+q€+r€) - (ap+bq+cr)€

= (aq-bp)€ + (ar-cp)€ + (br-cq)€

Exemplo: (1€+3€+5€)(7€+8€+9€)-(1•7+3•8+5•9)€

=(1•8-3•7)€+(1•9-5•7)€+(3•9-5•8)€

10.

Identidade de Cauchy (n=3)

(a+b)„ - a„ - b„ = 3ab(a+b)

Exemplo: (2+7)„-2„-7„=3•2•7•(2+7)

11.

Identidade de Cauchy (n=5)

(a+b)5

- a5

- b5

= 5ab(a+b)(a€+ab+b€)

Exemplo: (1+2)5-1

5-2

5=5•1•2•(1+2)(1€+1•2+2€)

12.

Quadrado da soma de n termos

sendo que i<j.

Exemplos:

(a+b)€=a€+b€+2(ab)

(a+b+c)€=a€+b€+c€+2(ab+ac+bc)

(a+b+c+d)€=a€+b€+c€+d€+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)

13.

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Cubo da soma de n termos

sendo que i<j e i<j<k.

14.

Diferen‚a entre os quadrados da soma e diferen‚a

(a+b)€ - (a-b)€ = 4ab

Exemplo: (7+9)€-(7-9)€=4•7•9

15.

Soma dos quadrados da soma e da diferen‚a

(a+b)€ + (a-b)€ = 2(a€+b€)

Exemplo: (3+5)€+(3-5)€=2(3€+5€)

16.

Soma de dois cubos

a„+b„ = (a+b)„ - 3ab(a+b)

Exemplo: 2„+4„=(2+4)„-3•2•4•(2+4)

17.

Soma de dois cubos na forma fatorada

a„+b„ = (a+b)(a€-ab+b€)

Exemplo: 5„+7„=(5+7) (5€-5•7+7€)

18.

Transforma‚…o do produto na diferen‚a de quadrados

ab = [†(a+b)]€ - [†(a-b)]€

Exemplo: 3•5=[†(3+5)]€-[†(3-5)]€

19.

Diferen‚a de potƒncias (ordem 4)

a4-b

4= (a-b)(a+b)(a€+b€)

Exemplo: 54-14=(5-1)(5+1)(5€+1€)

20.

Diferen‚a de potƒncias (ordem 6)21.

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a6-b

6= (a-b)(a+b)(a€+ab+b€)(a€-ab+b€)

Exemplo: 56-1

6=(5-1)(5+1) (5€+5•1+1€)(5€-5•1+1€)

Diferen‚a de potƒncias (ordem 8)

a8 - b8 = (a-b)(a+b)(a€+b€)(a4+b4)

Exemplo: 58-1

8=(5-1)(5+1)(5€+1€)(5

4+1

4)

22.

Produto de trƒs diferen‚as

(a-b)(a-c)(b-c) = ab(a-c) + bc(b-c) + ca(c-a)

Exemplo: (1-3)(1-5)(3-5)=1•3•(1-5)+3•5•(3-5)+5•1•(5-1)

23.

Produto de trƒs somas

(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ac) - abc

Exemplo: (1+3)(3+5)(5+1)=(1+3+5)(1•3+3•5+1•5)-1•3•5

24.

Soma de cubos das diferen‚as de trƒs termos

(a-b)„ + (b-c)„ + (c-a)„ = 3(a-b)(b-c)(c-a)

Exemplo: (1-3)„+(3-5)„+(5-1)„=3(1-3)(3-5)(5-1)

25.

Cubo da soma de trƒs termos

(a+b+c)„ = (a+b-c)„ + (b+c-a)„ + (a+c-b)„ + 24abc

Exemplo: (7+8+9)„=(7+8-9)„+(8+9-7)„+(7+9-8)„+24•7•8•9

26.

Soma nula de produtos de cubos por diferen‚as

a„(b-c)+b„(c-a)+c„(a-b)+(a+b+c)(a-b)(b-c)(a-c)=0

Exemplo: 2„(4-6)+4„(6-2)+6„(2-4)+(2+4+6)(2-4)(4-6)(2-6)=0

27.

Soma de produtos de cubos com diferen‚as

a„(b-c)„ + b„(c-a)„ + c„(a-b)„ = 3abc(a-b)(b-c)(a-c)

Exemplo: 7„(8-9)„+8„(9-7)„+9„(7-8)„=3.7.8.9(7-8)(8-9)(7-9)

28.

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Produto de dois fatores homogƒneos de grau dois

(a€+ab+b€) (a€-ab+b€)=a4+a€ b€+b

4

Exemplo: (5€+5•7+7€)(5€-5•7+7€)=54+5€ 7€+7

4

29.

Soma de quadrados de somas de dois termos

(a+b)€+(b+c)€+(a+c)€=(a+b+c)€+a€+b€+c€

Exemplo: (1+3)€+(3+5)€+(1+5)€=(1+3+5)€+1€+3€+5€

30.

Produto de quadrados de fatores especiais

(a-b)€ (a+b)€ (a€+b€)€=(a4-b

4)€

Exemplo: (7-3)€ (7+3)€ (7€+3€)€=(74-3

4)€

31.

Soma de quadrados de express. homogƒneas de grau 1

(a+b+c)€+(a-b)€+(b-c)€+(c-a)€=3(a€+b€+c€)

Exemplo:

(7+8+9)€+(7-8)€+(8-9)€+(9-7)€=3(7€+8€+9€)

32.

Identidade de interpola‚…o

Exemplo: Com a=1, b=2 e c=3 na identidade, obtemos:

33.

Constru‚da por Ulysses Sodr€. Atualizada em 24/mar/2005.

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