Prof. Cesário

1 - INTRODUÇÃO

O movimento está ligado ao nosso cotidiano.

Quando você se desloca para a escola, para o trabalho ou para um local de diversão,o movimento está presente.

Velocímetros, odômetros, são dispositivos encontrados em automóveis, caminhões, motos, cujo principal objetivo é fornecer dados que descrevam o movimento.

Os planetas estão em constante movimento em torno do Sol, a lua gira em torno da Terra e a própria Terra está girando em torno de seu eixo.

Duas grandezas são fundamentais para a descrição do movimento:

O tempo e o espaço.

Você já conhece as unidades de tempo e espaço que foram vistos no capítulo Medição.

Um fato muito importante na descrição do movimento é a forma com que o mesmo é observado.

Observadores diferentes descrevem o movimento de formas diferentes.

Vejamos o caso de uma bomba lançada por um avião.

1 2(1)Trajetória da bomba descrita por um observador parado na Terra ou fora do avião.

(2) Trajetória descrita por alguém dentro do avião.

No caso (1) dizemos que o referencial foi a Terra e no caso (2) o referencial adotado foi o avião.

REFERENCIAL: é o ponto ou sistema de eixos em relação ao qual o observador descreve o movimento.

01 - Suponha que em uma bicicleta em movimento tenham pousado três vaga-lumes conforme posições indicadas na figura. Como seria descrito o movimento do vaga-lume: a) A pelo vaga-lume B?b) B pelo vaga-lume A?c) C pelo vaga-lume A?d) B pelo vaga-lume C?e) Como uma pessoa parada na calçada veria o movimento de cada um dos vaga-lumes?

EXERCÍCIOS

02 - Um garoto encontra-se em um ônibus em movimento. Se ele lançar uma bola de gude para cima, como será descrito o movimento da bola por uma pessoa que esteja:a) Dentro do ônibus?b) Parada na calçada ao lado da qual passa o ônibus?

2 – POSIÇÃO, DESLOCAMENTO E VELOCIDADE

Alguns conceitos importantes:

Trajetória – caminho a ser percorrido. Pode ser o nome da estrada, o tipode caminho como uma reta ou uma curva, etc.

Posição ou espaço – indicado por uma distância ou um marco quilométrico

A posição é determinada ao longo de um eixo no qual deve serdefinida a origem e um sentido. Nas estradas, a origem é a divisa entre estados.

É comum indicar a posição na forma x = 30 km, x = -120 km, x = 12 m, etc.

Deslocamento: Se x0 é a posição inicial e x a posição final, o deslocamento, indicado por x, é definido por x = x – x0.

ALERTA: não se deve confundir o deslocamento com o espaço percorrido, que é a distância efetivamente

Km 0

Km 100

Km 200

Km 300Km

-100

Km-200

Km-300

A figura mostra a estrada que liga Conselheiro Lafaiete a Visconde do Rio Branco.São várias estradas a serem percorridas. Vamos considerar como sendo Apenas a 482. Os marcos quilométricos não são os reais.

12:20 hs 16:30 hs

18:40 hs

A posição em t = 12:20 hs é x = - 88 km e em t = 18:40 hs, a posição é x = 120 km.

O deslocamento nesse intervalo de tempo foi de: x = 120 – (-88) = 208 km.

3 - VELOCIDADE

A velocidade pode ser considerada sob dois aspectos diferentes:

(i) Velocidade escalar média

Definida como

onde x é a distância efetivamente percorrida durante o intervalo de tempo t.

d tv =

Supondo que uma pessoa viaje de Belo Horizonte até o Rio de Janeiro, distância igual a 432 km, tendo saído à 6 horas e 20 minutos e chegado ao Rio às 11h e 44 minutos, tempo este contadas as paradas (que devem ser computadas no tempo para o cálculo), sua velocidade escalar média foi de:

Note que: t = 11 h 44 min – 6 h 20 min = 5 h e 24 min = 5h + 24/60 h = 5,4 h

v = 432/5,4 = 80 km/h.

(ii) Velocidade média ou velocidade vetorial média

A velocidade média ou velocidade vetorial média é, como diz nopróprio nome, uma grandeza vetorial.

A velocidade média é definida por

V = xt

Com relação aos dois conceitos, a velocidade escalar média será sempreum número positivo, enquanto que a velocidade média poderá assumirum valor positivo, ou negativo ou mesmo “nulo”.

Note que x = x – x0 (vetor deslocamento) e t = t – t0

EXERCÍCIOS

01 - Um automóvel percorre a distância de 360 km que liga duas cidades, gastando para isso 5 horas. Qual foi sua velocidade, suposta constante, nesse trajeto? Dê a resposta em km/h e em m/s.

02 - Um automóvel vindo de Brasília em direção ao Rio de Janeiro passa pelo marco quilométrico 139 da BR-040 às 3h 40 min. Se, ao passar porBarbacena, marco 699, são precisamente 10 h 40 min, que velocidade, suposta constante, foi mantida?

03 - Suponha que o elefante da figura tenha percorrido o trecho AB (200 m) em 10 segundos; o trecho BC (400 m) em 18 s e o trecho CD (300 m) em 12 s. Se o elefante desejasse percorrer o mesmo trecho no mesmo tempo, que velocidade deveria ser mantida?

04 - Quanto tempo leva um trem de 1200 m para atravessar uma ponte de 800 m se a velocidade do trem é de 20 m/s?

05 - Uma locomotiva, com velocidade de 70 km/h leva 5 horas para ir de uma cidade A até outra B. Da cidade B até a cidade C, cuja distância é de 200 km, leva 4 horas e viajando de C para D com velocidade de 60 km/h gasta uma hora. Se fosse mantida uma velocidade constante, qual deveria ser ela para que a viagem fosse feita no mesmo tempo?

06 - Um atirador deseja determinar a velocidade com que o projétil sai de sua arma. Para isso ele afasta 640 m do alvo e atira. Sendo 320 m/s a velocidade do som e percebendo o som do projétil, 3 segundos após ter disparado a arma, qual é a velocidade do projétil?

07 - Se metade 2/3 de uma estrada foi percorrida com velocidade de 60 km/h e o restante com velocidade de 90 km/h, qual foi a velocidade média?

4 – VELOCIDADE INSTÂNTÂNEA

Quando você viaja por uma estrada e épego com excesso de velocidade, digamos,acima de 100 km/h, não adianta querer explicar que você percorreu uma distância de 100 km em 1 h 30 m, desde o momento em que iniciousua viagem.

Usando o radar, você terá a velocidade avaliada num intervalo de tempode cerca de 1,5 x 10-6 s.

Um automóvel a 108 km/h = 30 m/s, teria percorrido nesse tempo

x = 30 . 1,5 x 10-6 = 45 x 10-6 m = 0,045 mmOu seja, um espaço muito pequeno, num intervalo de tempo tambémmuito pequeno.

Essa velocidade, num intervalo de tempo muito pequeno, é denominadavelocidade instantânea.

Vamos usar a interpretação gráfica do movimento, usando o gráfico posição X tempo, para uma conceituação mais precisa da velocidade instantânea.

Se a velocidade é constante, sendo x0 a posição no instante t0 = 0 e x numinstante “t” qualquer, tem-se:

x

t

x0

A declividade da reta, x/t, é avelocidade durante o percurso x = x – x0.x

t

Para uma velocidade variável, o gráfico pode assumir formas como abaixo:

t1

x1

x2

t2

A velocidade média no intervalo detempo entre t1 e t2 é

v = = x x2 – x1

t t2 – t1

Se desejamos encontrar a velocidadeno instante t, devemos reduzir cadavez mais o intervalo t2 – t1.(Secantes s2, s3, s4, etc).

que é a inclinação da secante (s1)

s1s2

s3

s4

t

À medida que os pontos onde a secantetoca a curva se aproximam do ponto dacurva onde se quer determinar a velocidade,

a secante tende para a tangente.

Escreve-se então: v = lim xtt 0

Você que já estudou parte do Cálculo Diferencial e Integral deve lembrar que a definição acima equivale a:

v = dxdt

Derivada da função x = f(t).

t1

x1

x2

t2

s1

s2s3

s4tangente

Pois lim xtt 0

é a declividade da tangente.

APLICAÇÃO:

Seja x = 6t2 – 4t + 2 (m, s) a equação da posição de um móvel.Calcular:(a)A velocidade média no intervalo de tempo t = 2s e t = 6 s. Solução: para calcular a velocidade média devemos determinar as posições nos instantes t = 2 s e t = 6 s. Isto se faz substituindo o valor de t na equação da posição. Para t = 2 s, x = 6.22 – 4.2 + 2 = 18 m Para t = 6 s, x = 6.62 – 4.6 + 2 = 194 m x = 194 – 18 = 176 m t = 6 – 2 = 4 s. Portanto, v = x/ x = 176/4 = 44 m/s.

(b) A velocidade no instante t = 10 s. Como foi visto, a equação da velocidade é a derivada da equação da posição. Assim, v = dx/dt = 12t – 4. Para o instante t = 10 s, v = 12.10 – 4 = 116 m/s.

5 – A INTEGRAL E O ESPAÇO PERCORRIDO

Se um móvel apresenta uma velocidade constante durante todo o trajeto,pode-se representar o movimento pelo gráfico velocidade x tempo [ v = f(t)], conforme abaixo:

t2t1

V

v

t

No intervalo de tempo t = t2 – t1, o móvel teria percorrido uma distância x = v.tIsto representa a área do retângulo indicado nográfico.

t1t2

V

t

Se a velocidade é variável, o gráfico assume a forma a seguir.

Para determinar o deslocamento, podemos dividiro intervalo t2 – t1 em intervalos menores, onde avelocidade poderia ser considerada constante (aproximadamente). Assim, o deslocamento emcada intervalo seria equivalente à área do retângulo.

É evidente que o resultado seria uma aproximação.Mas, se dividirmos o intervalo t2 – t1 em uma infinidade de intervalos, tais que t tenda a zero,o resultado seria bem mais preciso.

O espaço percorrido seria então, a soma das áreas dos pequenos retângulos,onde a base é t e a altura é v = f(ti).

Como t tende para zero, escrevemos: x = t1

t2

v.dt

Se t1 = 0 e t2 = t, tem-se que:

x =

v.dt que é a equação da posição do móvel.

EXEMPLO 1

Seja v = 12t3 – 6t2 + 6t – 5 (m, s) a equação da velocidade de uma partículaem movimento. Sabe-se que no instante t = 2 s, a posição do móvel é x = 30 m. Escrever a equação da posição do móvel em função do tempo.

Solução: Temos que x = vdt = (12t3 – 6t2 + 6t – 5)dt =

= 3t4 – 2t3 + 3t2 – 5t + C

Como x = 30 em t = 2, resulta: 30 = 3.24 – 2.23 + 3.22 – 5.2 + C C = - 4

Portanto: x = 3t4 – 2t3 + 3t2 – 5t – 4 (m, s)

EXEMPLO 2

Se v = 3t2 – 2t (m, s) é a equação da velocidade de um móvel,calcule o deslocamento desse móvel entre t = 1 s e t = 5 s.

Solução: x = (3t2 – 2t)dt = (t3 – t2) = (53 – 52) – (13 – 12) = 1

5

1

5

= 100 m