Prof. Cesário

1 – MALHAS E REDES

Em aulas anteriores estudamos circuitos simples onde o conjuntopode ser reduzido a um único caminho para a corrente.

Para isso é necessário o conhecimento de alguns termos que serão usadosno decorrer desse capítulo.

(I) Nó

É qualquer ponto do circuito onde três ou mais terminais são ligados.

Neste capítulo estudaremos circuitos onde as cargas elétricas podem percorrer diferentes caminhos.São os chamados circuitos em rede.

Isto é um nó

Em cada nó a corrente se divide.

II - RamoÉ qualquer trecho do circuito que liga dois nós consecutivo.

A B

C D

EF

GH

I

JK

São ramos: BC, BFC,BAKJD, DC,

DEGHB.

BHG não é ramo pois G não é um nó.

ABCD não é um ramo pois por este caminho existem os nós B e C.

No circuito acima, apenas os pontos B, C e D são nós. (nestes pontos a

corrente se divide).

A, K, J, F, H, I, E, Gnão são nós.

A intensidade da corrente é a mesma em todos os pontos

do ramo.No ramo, o sentido da corrente

é único.

BIFCB

III - Malha

É qualquer circuito fechado.

A B

C D

EF

GH

I

JK Na figura temos as malhas:

ABCDJKA

BCDEGHB

BFCDEGHB

AKJDEGHBA

IV - Rede

É um circuito formado por diversas malhas. A figura acima é um exemplo de um circuito em rede.

2 – LEIS DE KIRCCHOFF

I – Lei dos nós ou primeira lei de Kircchoff

A soma das intensidades das correntes que chegam a um nó é igual à soma das

intensidades das correntes que saem desse nó.

i1

i2

Nesse nó chegam as correntes de intensidades i1 e i2 e

Como as cargas não ficam acumuladas nosnós, resulta:

i1 + i2 = i3 + i4 + i5.

A

A figura mostra um nó (A) no qual estão ligados cinco terminais.i3

i4

i5 saem as correntes de intensidades i3, i4 e i5.

II) Lei das malhas ou segunda lei de Kircchoff

Conforme já foi visto, uma malha é constituída por geradores, receptores e resistores.

Usando o princípio da conservação da energia,

em cada malha,

Em são computadas as fem dos geradores como positivas e as fcem dos receptores como negativas.

A soma das forçaeletromotrizes () é igual à soma das quedas de tensão (Ri).

= Ri

Em Ri são considerados os resistores internos de geradores e receptores e os resistores externos.

3 – USANDO AS LEIS DE KIRCCHOFF

Para uso das leis de Kircchoff na resolução de um circuito em rededevem ser observadas algumas regras práticas.

1 – Convencionar um sentido para o sentido da corrente em cada ramo.

Se, no cálculo das correntes, resultar em valor negativo para sua intensidade, isto significa que o sentido real é contrário ao convencionado, mas o módulo da intensidade calculada é o mesmo da corrente real.

2 – Convencionar um sentido para percorrer cada uma das malhas.

Ao percorrer uma malha, usar as seguintes convenções:

(i) Geradores e receptores:

Se no percurso atravessardo traço menor para o maior

considerar positivo.

Sentido do percurso Sentido do percurso

Se no percurso atravessardo traço maior para o menor

considerar negativo.

ii) Resistores

Sentido atribuído à corrente

Sentido do percursoigual ao da corrente

Sentido atribuído à corrente

Sentido do percursocontrário à corrente

São dois casos a serem considerados para o produto Ri em Ri :

Ri positivo quando o sentido da corrente for o mesmo sentido do percurso.

Ri negativo quando o sentido da corrente for oposto ao sentido do percurso.

iii) Se n é o número de nós e m é o número de malhas, deve-se usar: - a lei dos nós em (n – 1) nós - a lei das malhas em (m – 1) malhas. Isto resultará em um sistema cuja resolução é a solução do circuito.

Vejamos um exemplo:Seja calcular a corrente em cada ramo do circuito.

1 = 25 V

2 = 30 V 3 = 10 V

4 = 60 V

r1= 0,5

r2= 0,5 r3= 0,5

r4= 0,5

R1= 5 R2= 15

R3= 5

R4 = 10

R5 = 20

R são os resistores externosr são os resistores dos geradores e receptores

são fem ou fcem.

1 – identificando os nós (A e B).

A B

2 – Escolhendo um sentido para a corrente em cada ramo.

i1

i2

i3

São três ramos (superior, do meio, inferior), portanto três correntes.

3 – Como são dois nós, aplica-se a lei dos nós em (2 – 1) = 1 nó.

i3 = i1 + i2 Equação (1)

4 – Escolhe-se um sentido para percorrer cada malha. Vamos escolher o sentido horário.

1 = 25 V

2 = 30 V 3 = 10 V

4 = 60 V

r1= 0,5

r2= 0,5 r3= 0,5

r4= 0,5

R1= 5 R2= 15

R3= 5

R4 = 10

R5 = 20

A B

i1

i2

i3

Sentido do percurso

5 – São três malhas: Superior – que passa pelos ramos superior e do meio, Inferior – que passa pelos ramos do meio e inferior Total – que passa pelos ramos superior e inferior.

6 – Como são três malhas, aplica-se a lei das malhas em duas (3 – 1) malhas.Malha superior – partindo do nó A e retornando ao nó A:

25 + 10 + 30 = 5i1 + 0,5i1 + 15i1 - 0,5i2 – 5i2 – 0,5i2

Todos os são positivos pois o percurso atravessa do traço menor para o maior.

No ramo superior a corrente e o percurso têm o mesmo sentido por isso todos os Ri são positivos.No ramo do meio a corrente e o percurso têm sentidos opostos, por issotodos os Ri são negativos.

65 = 20,5i1 – 6i2

(equação 2) = Ri

1 = 25 V

2 = 30 V 3 = 10 V

4 = 60 V

r1= 0,5

r2= 0,5 r3= 0,5

r4= 0,5

R1= 5 R2= 15

R3= 5

R4 = 10

R5 = 20

A B

i1

i2

i3

Sentido do percurso Malha inferior – partindo do nó e retornando ao nó A.

30 – 10 + 60 = 0,5i2 + 5i2 + 0,5i2 + 20i3 + 0,5i3 20 = 6i2 + 20,5i3

equação 3 = Ri

No ramo do meio o percurso atravessa os receptores (ou geradores) dotraço maior para o menor ( é negativo).No ramo inferior o percurso atravessa o receptor (ou gerador) do traçomenor para o maior ( é positivo)

Todos os Ri são positivos pois o percurso tem o mesmo sentido que a corrente.

i3 = i1 + i2

65 = 20,5i1 – 6i2

20 = 6i2 + 20,5i3

As três equações constituem um sistema cuja solução é:

i1 = 2,76 A, i2 = - 1,38 A, i3 = 1,38 A

O sinal negativo para i2 indica que seu sentido foi escolhido ao contráriodo sentido real.

Resolva agora:

1 – Calcule a potência dissipada no resistor de 20 .

1 = 114 Vr1= 0,5

R4= 11,5

2 = 174 V

R2= 10

R1= 20

R3= 11,5

r2= 0,5

Resp. 500 W

Respostas:(a) 0,5 W(b) 0,94 W

3 – Calcule a ddp entre os terminais do resistor R3, quando(a) A chave S estiver aberta,(b) A chave S estiver fechada correspondência

Considerar desprezível a resistência internadas pilhas.

Dados: fem de cada pilha 1,5 VR1 = R2 = R4 = 20 R3 = 10

R1

R2 R3

R4S

4 – Qual é a tensão no resistor de 20 ?

20 2 8

2 100 V 40 V 150 V Resposta: 9,26 V

5 - A figura representa um reostato de pontos que consiste em uma associação de resistores em que ligações podem ser feitas nos pontos indicados pelos números 1 a 6. Na situação indicada, o resistor de 2 é percorrido por uma corrente elétrica de 5 A quando nele se aplica uma diferença de potencial U entre os terminais A e B. Mantendo-se a diferença de potencial U, qual é a potência dissipada quando a chave Ch é ligada ao ponto 6?

Resposta: 30 W.