Prof. Daniel Orquiza de Carvalho Eletromagnetismo I · (e o trabalho é igual ao potencial no ponto...

EletromagnetismoIProf.DanielOrquizadeCarvalhoEl

etromag

netism

oI

Prof.Dan

ielO

rquiza

Eletromagnetismo I - Eletrostática

•  Energia potencial de um grupo de cargas pontuais.

•  Energia de uma distribuição contínua de carga.

•  Densidade de energia no campo eletrostático.

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza1

Energia Eletrostática (Capítulo 4 – Páginas 100 a 104)


•  Vimos que diferença de potencial elétrico entre os pontos A e B é definida como o

trabalho realizado para mover uma carga de teste de B até A, por unidade de carga.


Energia potencial de um grupo de cargas pontuais

•  No caso de o potencial de referência ser adotado como o infinito (V∞ = 0):

VA = −!E ⋅d!l

∞

A∫ [V ]

•  Se trouxermos uma carga desde o infinito até um ponto imerso num campo elétrico, isto

requer a realização de trabalho. (e o trabalho é igual ao potencial no ponto vezes a carga).

•  Este trabalho é igual à energia potencial da carga quando ela está situada no ponto imerso

no campo elétrico.


•  A energia potencial de um grupo de cargas positivas é igual ao trabalho para

trazer estas cargas desde o infinito até a posição onde estão situadas.



•  O trabalho para trazer as cargas Q1, Q2 e Q3 do infinito até as posições P1, P2 e

P3 é:

WE = 0

Q1

x

y

z∞

+Q2V2, 1 Q1Q2

V2, 1: Potencial na posição P2 devido a Q1 Q3

+Q3(V3, 1 +V3, 2)


•  O trabalho calculado deve ser igual ao trabalho para trazer as cargas na ordem

reversa: primeiro Q3, depois Q2 e depois Q1.



•  O trabalho para trazer as cargas Q3, Q2 e Q1 do infinito até as posições P3, P2 e

P1 é:

WE = 0

Q3

x

y

z∞

+Q2V2, 3 Q1Q2

V1, 2: Potencial na posição P1 devido a Q2 Q3

+Q1(V1, 2 +V1, 3)


•  Se somarmos as duas equações obtidas anteriormente, teremos



2WE = Q1(V1, 2 +V1, 3) + Q2(V2, 1 +V2, 3) + Q3(V3, 1 +V3, 2)

•  A energia potencial no sistema de 3 cargas é:

WE =12Q1V1 +Q2V2 +Q3V3( )

•  V1 = V1,2 + V1, 3 é o potencial total no ponto 1. Pelo princípio da superposição

ele é a soma do potencial devido às outras cargas presentes no sistema.



Energia potencial de uma distribuição contínua de carga

•  Generalizando, a energia potencial de um sistema de ‘N’ cargas pode ser calculado:

WE =12 i = 1

N

∑ Qi Vi

•  Para uma distribuição espacial contínua de cargas, com densidade ρv, a energia

potencial pode ser calculada por:

WE =12

ρvV dvvol.∫ (vol.: volume que contém a densidade volumétrica de cargas ρv )

Pergunta: E se tivermos uma densidade superficial de cargas em uma superfície?

E no caso de uma densidade linear?



Energia no Campo Eletrostático

•  A expressão anterior permite calcular a energia de um sistema se conhecermos a

distribuição de cargas e o potencial em uma região do espaço.

•  É possível calcular a energia através dos campos gerados pelas cargas ou

distribuições contínuas de cargas.

•  A expressão equivalente é obtida substituindo ρv na expressão anterior pelo

divergente da densidade de fluxo elétrico ( ):

ρv =∇⋅!D

WE =12

∇⋅!D( )V dvvol.∫



•  É mais interessante expressar a equação anterior para a energia em termos somente

dos campos vetoriais (E e D).

•  Para fazer isso, é possível utilizar a seguinte identidade vetorial:

•  Substituindo f = V e A = D, podemos reescrever a expressão para a energia:

∇⋅!A( ) f =∇⋅ f

!A( )−

!A ⋅∇f

WE =12

∇⋅ V!D( )⎡

⎣⎤⎦dvvol.∫ −

12

!D ⋅∇V( )dvvol.∫




•  De acordo com o teorema de Gauss, podemos substituir a integral volumétrica (primeiro

termo do lado direito da eq. Anterior) por uma integral de superfície fechada:

•  Usando esta igualdade, podemos reescrever a expressão para a energia:

∇⋅ V!D( )⎡

⎣⎤⎦dvvol.∫ = V

!D( ) ⋅d

!S

S"∫

WE =12

V!D( ) ⋅d

!S

S"∫ −12





•  O volume envolvido pela superfície ‘S’ deve conter todas as cargas e campos. Podemos

escolher uma superfície esférica com raio infinito.

•  Assim, o integrando cai com r -3 e a integral de superfície aumenta com r 2.

•  O potencial elétrico de uma carga finita é proporcional ao inverso do raio (r -1) e D é

proporcional a ‘r -2’.

•  Por este razão, a integral de superfície tende a zero para . r → ∞

WE = −12





•  Utilizando a relação entre o campo e o potencial:

•  É útil definir a densidade de energia eletrostática:

•  A energia pode ser expressa em termos de D e E somente. No espaço livre:

!E = −∇V

WE =12

!D ⋅!E( )dvvol.∫ =

ε02

!E

2dv

vol.∫

wE =dWE

dv=12!D ⋅!E [J /m3]


Prof. Daniel Orquiza de Carvalho Eletromagnetismo I · (e o trabalho é igual ao potencial no ponto...

Documents

Transcript of Prof. Daniel Orquiza de Carvalho Eletromagnetismo I · (e o trabalho é igual ao potencial no ponto...