Prof. Daniel Orquiza de Carvalho Eletromagnetismo I · • Exemplo: Capacitor e problemas...

EletromagnetismoIProf.DanielOrquizadeCarvalhoEl

etromag

netism

oI

Prof.Dan

ielO

rquiza

SJBV

•  Eq. de Laplace

•  Solução numérica da Eq. de Laplace

Eletromagnetismo I - Eletrostática

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza2

Equação de Laplace (Capítulo 6 – Páginas 160 a 172)

SJBV

•  A equação de Laplace permite solucionar problemas onde o potencial ‘V’ é

desconhecido em parte das regiões do problema.


Equação de Laplace

•  Assim como no caso da Eq. de Poisson, normalmente, o potencial é conhecido

nas fronteiras do problema.

•  Exemplo: Capacitor e problemas envolvendo meios dielétricos na presença de

condutores em potenciais ‘V’ conhecidos.

60V

1D

30V -10V

50V

ρv = 0

2D

ρv = 0

CO

ME

ÇA

R C

OM

FIG

UR

AS

PAR

A M

OST

RA

R R

ESU

LTA

DO

S

SJBV



•  O potencial conhecido nos limites do problema é usado como Condição de Contorno

para encontrar o potencial em todas as regiões.

•  Tendo o potencial elétrico, é possível calcular E, D e J outras grandezas.

•  A equação de Laplace é um caso particular da Eq. de Poisson quando o problema

não possui distribuições continuas de carga (densidades de carga).

60V

1D

30V -10V ρv = 0

2D

ρv = 0

SJBV




•  Como vimos na aula passada, a equação de Poisson pode ser derivada a partir de

Lei de Gauss.

•  Se a densidade volumétricas de carga for nula no problema em questão, a Eq. de

Poisson se reduz à Eq. de Laplace.

∇2V = −ρvε

∇2V =∂2V∂x2

+∂2V∂y2

+∂2V∂z2

= 0

•  Para um dado problema, a Eq. de Poisson em conjunto com as C.C. permitem

encontrar a distribuição de potencial elétrico em todas as regiões.

SJBV




•  A Eq. de Laplace pode ser expressa em outros Sistemas de Coordenadas usando o

operador Laplaciano no sistema em questão.

•  Em Coordenadas Cilíndricas, o operador Laplaciano fica:

∇2V =1ρ∂∂ρ

ρ∂V∂ρ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟+

1ρ2

∂2V∂φ 2

+∂2V∂z2

•  Em Coordenadas Esféricas, o operador Laplaciano fica:

∇2V =1r2

∂∂r

r2 ∂V∂r

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟+

1r2senθ

∂∂θ

senθ ∂V∂θ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟+

1r2sen2θ

∂2V∂φ 2

SJBV

①  Resolver a equação de Laplace por integração direta (1D) ou separação de

variáveis (2D). A solução geral é expressa através de constantes de integração.


Procedimento para solução da Eq. Equação de Laplace

60V

30V -10V

50V

1D 2D

②  Aplicar as condições de contorno nas ‘superfícies’ onde V é conhecido e

encontrar a solução particular.

1D ( se V só é função de x) ∇2V =∂2V (x)∂x2

= 0

SJBV


Procedimento para solução da Equação de Laplace

③  Tendo o potencial em todos os campos, calcular E, D e J.

④  Tendo Dn nos condutores determinar ρs, Q e C = Q/V, etc.

!E = −∇V

ρS =!D ⋅ an S

= Dn

Nas superfícies dos condutores

60V

30V -10V

50V

1D 2D

SJBV


Solução da Eq. Equação de Laplace por Diferenças Finitas

V(x)

x

h/2

a

∂V∂x a

≈V2 −V1h

h/2

V2

V1

§  Atualmente métodos numéricos são muito usados na solução de problemas de

eletrostática e eletromagnetismo. Um exemplo é o Método das Diferenças Finitas.

§  No MDF, as derivadas nas Equação

Diferenciais são substituídas por

equações de diferenças.

Va

§  Considerando o potencial V(x) ao

lado, a derivada no ponto (a, Va) é

aproximada por:

SJBV


-10V

50V

V0 V1

V2

V3

V4h

h

ab

x

y

∂V∂x a

≈V1 −V0h

∂V∂x b

≈V0 −V3h

§  A derivada parcial com relação a ‘x’ no

ponto ‘a’ pode ser calculada por:

§  A derivada parcial com relação a ‘x’ no

ponto ‘c’ pode ser calculada por:

30V


SJBV


-10V

50V

V0 V1

V2

V3

V4h

h

ab

x

y

∂2V∂x2 0

≈

∂V∂x a

−∂V∂x b

h

∂2V∂x2 0

≈V1 −V0 − (V0 −V3)

h2

§  A derivada de segunda ordem em ‘x’ no

ponto ‘0’ pode ser calculada usando as

duas derivadas de primeira ordem.

§  Substituindo as equações de diferenças:

30V


SJBV


-10V

50V

V0 V1

V2

V3

V4h

h

ac

d

b

x

y

§  De forma similar, a derivada de segunda

ordem em ‘y’ no ponto ‘0’ fica:

§  Substituindo as equações de diferenças:

∂2V∂y2 0

≈

∂V∂y c

−∂V∂y d

h

∂2V∂y2 c

≈V2 −V0 − (V0 −V4 )

h2

30V


SJBV


30V

-10V

50V

V0 V1

V2

V3

V4h

h

ac

d

b

x

y§  Substituindo as duas derivadas parciais

de segunda ordem na Eq. de Laplace:

§  Para que a equação acima seja satisfeita,

o potencial em zero tem que ser a

média do potencial em 1, 2, 3 e 4.

∂2V∂x2

+∂2V∂y2

=V1 +V2 +V3 +V4 − 4V0

h2= 0

V0 =14V1 +V2 +V3 +V4( )

§  Esta equação pode ser resolvida

iterativamente para encontrar a

distribuição de V.


SJBV



-3V 2V

2V

2D

SJBV



-3V

2V

2D

-3V 2V

SJBV

Considere dois condutores cilíndricos separados por um meio dielétrico com εr

= 2,1 (teflon). O condutor interno tem raio a = 4mm e o externo tem raio b = 7

mm.

Se V0 = 5V é aplicado entre o condutor interno e o externo, determine:



Exemplo (Cabo Coaxial)

(a) E na região entre os condutores.

(b) D nesta região.

(c) ρS no condutor interno.

(d) Q em 1 m de comprimento do condutor interno.

(e) A capacitância (por unid de comprimento).

SJBV

Considerando um capacitor de placas paralelas com área S = 7,8 cm2, separação

entre as placas d = 4,3 cm e diferença de potencial V0 = 10V entre as placas.

Considere ainda que a região entre as placas é preenchida por um dielétrico com

εr = 3,2. Determine, usando a Eq. de Laplace:



Exemplo

(a) E entre as placas.

(b) D entre as placas.

(c) ρS na placa com potencial V0 = 10V.

(d) A carga na placa com potencial V0 = 10V.

(e) A capacitância C.

Prof. Daniel Orquiza de Carvalho Eletromagnetismo I · • Exemplo: Capacitor e problemas...

Documents

Transcript of Prof. Daniel Orquiza de Carvalho Eletromagnetismo I · • Exemplo: Capacitor e problemas...