Prof. Eng. Francisco LemosDisciplina: Mecânica Geral

Vetores e Equilíbrio de uma Partícula

Vetores

São objetos ou entes matemáticos constituídos pela associação de um módulo (ou valor absoluto), direção e sentido a cada ponto do espaço. Exemplos: velocidade linear, aceleração, força, velocidade de rotação.

Representação dos Vetores

OR

• Módulo do vetor: R;• Direção: ângulo;• Sentido: indicado pela seta.

P

Eixo fixo

Linha de ação da força

β

As principais definições usadas na álgebra vetorial dois vetores são iguais se tem o mesmo módulo, sentido

e direção, mesmo que tenham origem em pontos diferentes. Assim (AB) = (CD) se |AB| = |CD| e ambos tem o mesmo sentido e direção;

AB

CD

As principais definições usadas na álgebra vetorial

dois vetores que tenham o mesmo módulo e direção, porém sentidos opostos são chamados de opostos e podem ser representados com a mesma designação porém uma com o sinal negativo. Exemplo: (AB) = - (BA);

AB

CD

As principais definições usadas na álgebra vetorial

a soma ou resultante de vetores é obtido colocando-se a origem de um na extremidade de outro, independendo da seqüência ou ordem de colocação. Assim a resultante de [(OA) +( AB) + (CD)] é (OD);

OA

AB CD

OD – Vetor Resultante

a diferença entre os vetores [(AB) - (CD)] é o vetor (OP) tal que [(OP) + (CD)] = (AB). Define-se como vetor nulo o vetor cujo módulo é igual a zero. O vetor nulo não tem sentido ou direção.

As principais definições usadas na álgebra vetorial

AB

CDAB

- CD

OP

o produto de um escalar m por um vetor (AB) é um vetor de mesma direção de (AB) , módulo igual a [m.|AB|] , mesmo sentido se m > 0 e sentido oposto se m < 0 .

As principais definições usadas na álgebra vetorial

AB 2AB - 2AB

Leis Operacionais

Adição de Vetores Lei do Paralelogramo

A soma de dois vetores P e Q é obtida aplicando os dois vetores em um mesmo ponto A e construindo um paralelogramo que tem P e Q como lados. A diagonal que passa por A representa a soma dos vetores P e Q, indicada por P + Q = R.

P + Q = Q + P

A soma de dois vetores é comutativa

Adição de Vetores Regra do triânguloComo o lado do paralelogramo oposto a Q e é igual a Q em intensidade e direção, poderíamos desenhar apenas a metade do paralelogramo.

A soma dos dois vetores pode ser então determinada pelo reposicionamento de P e Q, de modo que a origem de um vetor esteja sobre a extremidade do outro, e então unindo a origem de P com a extremidade de Q.

P

Q

P + QP

Q

P + Q

É somar o correspondente vetor oposto

Subtração de vetores

P – Q = P + (- Q) = R

P

QP

- Q

R

Adição de três ou mais vetores

A soma de três vetores P, Q e S será por definição, obtida pela adição inicial dos vetores P e Q, e então, somando o vetor S ao vetor P + Q.

A soma de três vetores será obtida pela adição do terceiro vetor à soma dos dois primeiros.

Segue-se que a soma de qualquer Nº de vetores pode ser obtida pela aplicação repetida da LP aos sucessivos pares de vetores, até que todos vetores tenham sido substituídos por um único vetor.

P + Q + S = (P + Q) + S

Regra do polígono

Adição de três ou mais vetores

A soma de três vetores P e Q e S pode ser obtida diretamente pelo arranjo dos vetores, de modo que a origem de um vetor coincida com a extremidade do anterior e unindo a origem do primeiro vetor com a extremidade do último.

Obs:todos os vetores são coplanares.

OA

AB CD

OD – Vetor Resultante

Componentes cartesianas de uma força

Componentes Cartesianas

F = Fxi+ Fyj, onde Fxi, e Fyj são as componentes vetoriais.

A intensidade de F: F = (F2

x+ F2y)1/2.

Quando há mais do que uma força aplicada numa partícula, as componentes da força resultante são:

Componentes cartesianas de mais de uma força

R = P + Q + S

Decompondo as forças em suas componentes cartesianas, temos:

Rxi + Ryj = Pxi + Pyj + Qxi + Qyj + Sxi + Syj

= (Px + Qx + Sx)i + (Py + Qy + Sy)j

Onde,Rx = Px + Qx + Sx e Ry = Py + Qy + Sy

Componentes cartesianas de mais de uma força

Exemplo 1

Calcule a força resultante do sistema abaixo:

Exemplo 2A estaca deve ser arrancada do solo usando-se duas cordas A e B. A corda esta submetida a uma força de 600 lb orientada a 600 a partir da horizontal. Se a força resultante que atua verticalmente para cima sobre a estaca for de 1200 lb, determine a força T na corda B e o ângulo correspondente θ.