Prof. Herondino IV - Descrição e Apresentação dos Dados.

Prof. Herondino

IV - Descrição e Apresentação dos Dados

DadosA palavra "dados" é um termo relativo,

tratamento de dados comumente ocorre por etapas, e os "dados processados" a partir de uma etapa podem ser considerados os "dados brutos" do próximo. (Wikipédia)

Dados BrutosEm informática dados brutos (raw data)

designam os dados/valores recolhidos e estocados tal qual foram adquiridos, sem terem sofrido o menor tratamento (Wikipédia)

Dados BrutosSuponhamos o seguintes dados Brutos

como sendo a idade de alunos de uma turma de informática

14 12 13 11 12 1316 14 14 15 17 1411 13 14 15 13 1214 13 14 13 15 1612 12

FrequênciaA frequência de uma observação é o

número de repetições dessa observação no conjunto de observações, ou ainda, é o número de vezes que conjuntos de dados aparecem em uma “população”.

Distribuição de Frequência Simples ( )

11 2

12 5

13 6

14 7

15 3

16 2

17 1

ix if

if

Dados ou variável (Idade)

Frequência (nº de Alunos)

Frequências Relativas A frequência relativa é o valor da frequência absoluta dividido pelo número total de observações.Variável

(idade)frequência absoluta

(Nº de alunos)frequência relativa

11 2 2/26 = 0,0769

12 5 5/26 = 0,1923

13 6 6/26 = 0,2308

14 7 7/26 = 0,2692

15 3 3/26 = 0,1154

16 2 2/26 = 0,0769

17 1 1/26 = 0,0385

TOTAL = 26 1,0000

ix if rf

ifN

Frequência AcumuladaVariável freqüência

absolutafreqüência relativa frequência

absolutaacumulada

frequência relativa acumulada

11 2 2/26 = 0,0769 2 2/26 = 0,0769

12 5 5/26 = 0,1923 7 7/26 = 0,2692

13 6 6/26 = 0,2308 13 13/26 = 0,5000

14 7 7/26 = 0,2692 20 20/26 = 0,7692

15 3 3/26 = 0,1154 23 23/26 = 0,8846

16 2 2/26 = 0,0769 25 25/26 = 0,9615

17 1 1/26 = 0,0385 26 26/26 = 1,0000

TOTAL = 26 =1,0000

ixif rf

af raf

if rf

Regras de arredondamento na Numeração DecimalNorma ABNT NBR 58911) Quando o algarismo imediatamente

seguinte ao último algarismo a ser conservado for inferior a 5, o último algarismo a ser conservado permanecerá sem modificação

Exemplo: 1,333 3 arredondado à primeira decimal

tornar-se-á 1,3

Regras de arredondamento na Numeração Decimal2) Quando o algarismo imediatamente

seguinte ao último algarismo a ser conservado for superior a 5, ou, sendo 5, for seguido de no mínimo um algarismo diferente de zero, o último algarismo a ser conservado deverá ser aumentado de uma unidade

Exemplo1,666 6 arredondado à primeira decimal

tornar-se-á: 1,7.4,850 5 arredondados à primeira decimal tornar-se-ão : 4,9.


seguinte ao último algarismo a ser conservado for 5 seguido de zeros, dever-se-á arredondar o algarismo a ser conservado para o algarismo par mais próximo. Consequentemente, o último a ser retirado, se for ímpar, aumentará uma unidade.

Exemplo: 4,550 0 arredondados à primeira decimal

tornar-se-ão: 4,6.


seguinte ao último a ser conservado for 5 seguido de zeros, se for par o algarismo a ser conservado, ele permanecerá sem modificação.

Exemplo:4,850 0 arredondados à primeira decimal tornar-se-ão: 4,8.

Atividade - III1. Verificar a altura em centímetro de cada

aluno da turma e construir uma sequência de Dados Brutos;

2. A partir dos Dados Brutos obtidos, construir a distribuição de frequência absoluta simples, a frequência relativa, frequência acumulada e frequência relativa acumulada. Para o arredondamento utilize a regra da ABNT 5891.

Apresentação dos dadosQuando se dispõe de um grande número

de observações, torna-se extremamente difícil a leitura de valores colocados em tabela.

HistogramaUm histograma é uma representação

gráfica de uma única variável que representa a frequência de ocorrências (valores dos dados) dentro de categorias de dados.

O histograma tanto pode ser representado para as frequências absolutas como para as frequências relativas.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12

14Nota nº de Alunos0 11 12 23 44 65 86 127 108 39 210 1

Total 50

Polígono de Frequência

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12

14

1 12

4

6

8

12

10

32

1

O Polígono de frequências é obtido ligando-se os pontos médios dos topos dos retângulos de um histograma.

Sobrepondo

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12

14

1 12

4

6

8

12

10

32

1

Histograma de frequência acumulada (ou ogiva)histograma de frequência acumulada (ou

ogiva) é a representação gráfica do comportamento da frequência acumulada.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

10

20

30

40

50

60

Distribuição por Frequência Acumulada

Freq

uênc

ia A

cum

ulad

a

Gráfico de Setores

2% 4%

5%

7%

9%

11%

13%15%

16%

18%

Gráfico de Setores

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

É designado por um círculo, onde cada classe é representada por um setor circular, cujo ângulo é proporcional ao tamanho da amostra.

Distribuição de Frequência agrupadas em ClassePara a determinação de classes não existe

uma regra pré estabelecida, sendo necessário um pouco de tentativa e erro para a solução mais adequada.

1. Definir o número de classesSe n representa o número de observações

(na amostra ou na população, conforme for o caso) o número aproximado de classes pode ser calculado por Número de Classes = arredondando os resultados.

n

Exemplo

Nº de Classes =

Fonte: Marques, 2013

47,530

Fazendo arredondamento para 6

Altura em cm da Turma CA 2013

2. Calcular a amplitude das classes Essa será obtida conhecendo-se o número

de classes e amplitude total dos dados. A amplitude total dos dados é o resultado

da subtração valor máximo - valor mínimo da série de dados

classes de Total Amplitude = classe de Amplitude

número

MinValor -MaxValor = Total Amplitude

Distribuição de Frequência agrupadas em Classe

Exemplo

66

36 = classe de Amplitude

36152-188 = Total Amplitude

Rol

Fonte: Vaz,2013

3. Distribui a frequência dos dados agrupados por classe

O limite superior de cada classe é aberto (e consequentemente, o limite inferior de cada classe é fechado), ou seja, cada intervalo de classe não inclui o valor de seu limite superior, com exceção da última classe.

(Nº de Ordem)

(Altura em cm) ( Nº de alunos)

01 152 158

02 158 164

03 164 170

04 170 176

05 176 182

06 182 188

Total

i ix if

Limite Inferior Limite Superior



(Nº de Ordem)

(Altura em cm) ( Nº de alunos)

01 152 158 9

02 158 164 8

03 164 170 5

04 170 176 4

05 176 182 3

06 182 188 1

Total 30 if

i ix if

Fonte: Tillmann, 2013

Medidas de posição ou tendência central

n

x

nxxxX

n

ii

n

121 ...

1. Média Aritmética

Exemplo: A nota final (NF) do curso será dada pela

fórmula:

Em que: AP – Avaliação ParcialAF – Avaliação Final

Sendo AP (Avaliação Parcial) a média aritmética das atividades propostas (AT1, AT2,...,ATn)

A cada AT será atribuído valores de 1 a 5.

2AFAPNF

nATnATATAP

...21

Exemplo:

164163,833...30

188...156155154154152152

X

1641

n

xX

n

ii


Propriedades da média aritmética 1. A média é um valor típico, ou seja, ela é o centro de

gravidade da distribuição, um ponto de equilíbrio. Seu valor pode ser substituído pelo valor de cada item na série de dados sem mudar o total. Simbolicamente temos:

2. A soma dos desvios das observações em relação a média é igual a zero.

3. A soma dos desvios elevados ao quadrado das observações em relação a média é menor que qualquer soma de quadrados de desvios em relação a qualquer outro número. Em outras palavras,

é um mínimo.

0)( Xxi

)( 2 Xxi

n

x

nx

X

n

ii

i 1

Exemplo

n

x

nx

X

n

ii

i 1

0)( Xxi )( 2 Xxi

ix X Xxi 2)( Xxi

2. Média Ponderada


i

n

iii

n

nnP p

px

ppppxpxpxX 1

21

2211

.........

Onde é o peso da observação iip

A universidade definiu que as avaliações parciais teriam peso de 30% e a prova final teria peso de 40% no cálculo dos rendimentos dos alunos. Veja o quadro abaixo e calcule a média do aluno.

Exemplo

4,03,03,04,06,93,093,08

PX8,0

0,300,30

Ap 2 9,09,6

Ap nota pesoAp 1

Final 0,40

Média aritmética Ponderada em dados agrupados (Nº de

Ordem)(Altura em cm) ( Nº de alunos)

01 152 158 9

02 158 164 8

03 164 170 5

04 170 176 4

05 176 182 3

06 182 188 1

Total

i ix if( Ponto médio)

mx

30 if

im fx

i

n

iim

f

fxX 1

n

iim fx

1

.

Média aritmética Ponderada em dados agrupados (Nº de

Ordem)(Altura em cm) ( Nº de alunos)

01 152 158 9

02 158 164 8

03 164 170 5

04 170 176 4

05 176 182 3

06 182 188 1

Total

i ix if( Ponto médio)

155 1395

161 1288

167 835

173 692

179 537

185 185

4932

mx

2supinf LL

xm

30 if

im fx

i

n

iim

f

fxX 1

16430932.4

X

n

iim fx

1

.

Mediana (Md)A mediana é o valor do item central da série quando

estes são arranjados em ordem de magnitudeExemplo: a) 2, 4, 5, 7, 8 Md=5b) 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 Md=9c) 3, 5 ,8 ,10, 15 ,21Md=9

Para o calculo da mediana, têm-se:Se a série for ímpar sua posição será dada por

ou se for

Par a sua posição é dada por

21

nposição

2

122

nn

posição

Mediana (Md)Cálculo da mediana

Se série ímpar

Ex: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 5 }

Md=2

21

nposição

1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª0 0 1 1 2 2 3 4 5

ª52

19

posição

Mediana (Md)Cálculo da mediana

Se a sequência for par Ex: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 3,

5, 6 }

1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 10ª

0 0 1 1 2 3 3 4 5 6

2

122

nn

posição

2ª6ª5

2

12

102

10

posição

5,22

32

Md

Mediana (Md) para valores agrupadosA partir da distribuição de frequência

acumulada ou ogiva, inicialmente determina-se a classe que contem a mediana.

(Nº de Ordem)

(Altura em cm)

01 152 158

9

02 158 164

8

03 164 170

5

04 170 176

4

05 176 182

3

06 182 188

1

Total

i ix if

30 if

9 30

17 57

22 73

26 87

29 97

30 100

af

fadeLimfadeLim

__%50__%50

sup

inf

%raf

Mediana (Md) para valores agrupadosmmm af

ix

17

9

5,152

1302

1

n

158 164Md

91795,15

158164158

Md

158685,6

Md

8,162Md

cf

fnLMdMd

aMd

2/)1(inf

= limite de classe inferior da classe da mediana; = frequência acumulada da classe imediatamente anterior à classe da mediana;= frequência absoluta simples da classe da mediana, = amplitude (tamanho) da classe da mediana.

MdL inf

af

Mdf

c

Mediana (Md) para valores agrupados

cf

fnLMdMd

aMd

2/)1(inf

158inf MdL

9af

8Mdf6c

Exemplo:

68

92/)130(158

Md

68

95,15158

Md

685,6158

Md

87,4158Md

87,162Md

Moda (Mo)É o valor que ocorre com maior frequência

em uma série de valores.Exemplos:

a){ 7 , 8 , 9 , 10 , 10 , 10 , 11 , 12 } a moda é igual a 10.b){ 3 , 5 , 8 , 10 , 12 } não apresenta moda. A série é amodal.c){ 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 , 9 } apresenta duas modas: 4 e 7. A série é bimodal.

Moda (Mo) – Dados agrupadoso Sem intervalo de classe: é o valor da

variável de maior frequência.o Exemplo:

Nota nº de Alunos0 11 12 23 44 65 86 127 108 39 210 1

Total 50

Moda (Mo) – Dados agrupadoso Com intervalos de

classe: A classe que apresenta a maior frequência é denominada classe modal. Nesta, é o valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal. O cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio da classe modal (Moda Bruta).

1552

1581522

)( supinf

MoLL

Mo

(Nº de Ordem)

(Altura em cm)

01 152 158

9

02 158 164

8

03 164 170

5

04 170 176

4

05 176 182

3

06 182 188

1

Total

i ix if

Método pela fórmula de CZUBER:

: limite inferior da classe modal : frequência anterior a classe

modal : frequência posterior a classe

moda : frequência da classe modal : amplitude da classe modal

Moda (Mo) – Classes agrupada

4)811()911(

91158

Mo

54 58

9

58 62

11

62 66

8

66 70

5

ix if

432

258

Mo

45258

Mo

6,596,158 Mo

hdd

dLMo

21

1inf

antffd Mo 1

postffd Mo 2

infLantf

Mof

h

postf

Interpretação Geométrica

Mo

if

ix

Atividade IV

ReferênciaBERTHOUEX, Paul Mac; BROWN, Linfield

C.. Statistics for Environmental Engineers. 2ª Boca Raton London New York Washington, D.c: Lewis Publishers, 2002.

MORETTIN, Pedro Alberto; BUSSAB, Wilton de Oliveira. Estatística básica. São Paulo: Saraiva, 2006.

TRIOLA, Mario F. Introdução à estatística. Rio de Janeiro: LTC, 1999.

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