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©Prof. Lineu MialaretAula 5 - 1/29Cálculo Numérico

Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret

Aula 5: Matrizes (2)

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP

Campus de Caraguatatuba

Licenciatura em Matemática

10 Semestre de 2013


Determinante (1)

Seja uma matriz quadrada A, então pode-se estabelecer seu determinante, que é um escalar denotado por |A| e é definido como se segue,

Onde o elemento é o j-ésimo elemento da i-ésima linha e |Aij| é a matriz obtida eliminando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna da matriz A. (i = 1).

Obs.: Pode-se eliminar qualquer linha.

ija


Determinante (2)

Exemplo 1: Seja a matriz A ao lado.

Eliminando-se a primeira linha.


Determinante (3)

Há alguns casos especiais de cálculo de determinantes. Matriz A de ordem 2.

Exemplo 2: Cálculo do |A|.


Determinante (4)

Matriz A de ordem 3:

Exemplo 3: Cálculo do |A|.


Determinante (5)

Sintetizando, Determinante de uma Matriz A de ordem 2.

Determinante de uma Matriz A de ordem 3.


Há três operações elementares realizadas nas linhas de uma matriz.

Permuta da i-ésima linha pela j-ésima linha (Li ⇔ Lj)

Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não nulo k (Li ⇒ k.Li)

Operações Elementares em Linhas (1)


Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais k vezes a j-ésima linha (Li ⇒ Li + k.Lj)

Matrizes Equivalentes: Dadas duas matrizes A e B, de ordem m x n, diz-se que B

é linha equivalente a A, se B é obtida de A por meio de um número finito de operações elementares sobre as linhas de A, e denota-se isso por A ⇒ B ou A ∼ B.



Seja A uma matriz m x n. Diz-se que a matriz A está em Forma de Escada (ou em Escada de Linhas) se, para cada linha da matriz se verifica:Caso 1 – Se a linha i é nula

Então para todo r > i, a linha r é nula; eCaso 2 – Se a linha i não é nula

Então se ais é o primeiro elemento não nulo da linha i (chamado de pivot) então para todo l > i e para todo c ≤ s, alc = 0.

A matriz A está na Forma Condensada (ou em Escada de Linhas Reduzida) se está em forma de escada e para cada linha iO pivot é a identidade; e

Se ais é o pivot, então para todo l < i, als = 0.



Exemplo 4: A matriz apresentada a seguir está em forma de escada.

Exemplo 5: A matriz apresentada a seguir está em forma condensada.



Propriedade de uma matriz qualquer:Toda matriz pode ser transformada, por meio de operações

elementares, numa matriz em forma de escada ou em uma matriz condensada.

Exemplo 6: Transformação para a forma condensada.



Se |A| = 0, denomina-se a matriz A de Matriz Singular. Caso contrário, ela é chamada de Matriz Não Singular.

Seja A uma matriz quadrada de ordem n não singular, como apresentada a seguir.

Há uma matriz A-1, chamada de Matriz Inversa de A, de tal forma que AA-1 = A-1A = In, onde In é a Matriz Identidade de ordem n.

Matriz Inversa (1)


Exemplo 7: Seja as matrizes A e A-1, dadas a seguir.

Então tem-se que

Matriz Inversa (2)


Caso Especial: Inversa de uma matriz A de ordem 2.

Exemplo 8: Seja a matriz A dada a seguir. Encontrar A-1.

Matriz Inversa (3)


Exemplo 9: Achar a inversa de matriz A de ordem 3, apresentada a seguir.

Pode-se achar a inversa dessa matriz fazendo-se uso da seguinte informação: Uma matriz A de ordem n é inversível se e somente se A é

linha equivalente a I (matriz identidade) e, nesse caso, toda sequência de operações elementares que transforma A em I também transforma I em A-1.

Caso se posicione as matrizes A e I lado a lado, formando a matriz [A I] então as operações elementares nessa matriz produzem operações idênticas em A e I. Ou existem operações elementares que transformam A em I e I em A-1 ou, a matriz A não é inversível.

Matriz Inversa (4)


O primeiro passo é acrescentar uma matriz unitária no lado direito, como se segue,

O objetivo agora é somar ou subtrair linhas multiplicadas por escalares de forma a obter a matriz unitária no lado esquerdo. 1ª linha = 1ª linha + 2ª linha multiplicada por −1.

Com essa operação, consegue-se 1 no elemento a11 (primeira linha, primeira coluna) da matriz esquerda, como se segue. E os elementos a12 e a13 tornaram-se nulos.

Matriz Inversa (5)


Fazer as próximas operações: 2ª linha = 2ª linha + 1ª linha multiplicada por −1. 3ª linha = 3ª linha + 1ª linha multiplicada por −2.

Com as operações acima, os elementos a12 e a13 tornaram-se nulos, formando a primeira coluna da matriz unitária.

3ª linha = 3ª linha + 2ª linha multiplicada por −3. Essa operação forma a segunda coluna da matriz identidade.

Matriz Inversa (6)


Fazer as próximas operações: 3ª linha = 3ª linha multiplicada por −1.

Multiplicação executada para fazer 1 no elemento a12 da matriz esquerda.

2ª linha = 2ª linha + 3ª linha multiplicada por −1. Essa operação forma a terceira e última coluna da desejada

matriz identidade no lado esquerdo.

Matriz Inversa (7)


Finalmente, a matriz inversa é a parte da direita da matriz [I A-1]

Matriz Inversa (8)


Há algumas propriedades especiais para matrizes inversas (as matrizes A, B e C são tais que as suas inversas existam e os produtos sejam definidos).(A−1)T = (AT)−1

(AB)−1 = A−1 + B−1

Se a inversa de uma matriz A existe, então |A| = 0.�

Matriz Inversa (9)


Uma matriz quadrada A é denominada ser uma Matriz Ortogonal se suas linhas, consideradas como vetores, são mutuamente perpendiculares e de comprimento 1, o que equivale a dizer que AAT = I.

Exemplo 10: Seja a matriz A apresentada a seguir. Ela é uma matriz ortogonal.

Obs.: Uma matriz A é ortogonal, se e somente se, AT = A−1.

Matriz Ortogonal (1)


Exercício 1: Seja a matriz A apresentada a seguir. Mostrar que ela é uma matriz ortogonal. Lembrar que uma matriz ortogonal, AAT = I.

Matriz Ortogonal (2)


O rank (posto) de uma matriz A de ordem m x n é fornecido pelo número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes (LI) da matriz A.

Exemplo 11: Seja a matriz A apresentada a seguir.

Neste exemplo, todas as colunas ou linhas da matriz A são linearmente independentes (LI).

Rank de Matriz (1)


Exemplo 12: Seja a matriz B apresentada a seguir.

Neste exemplo, a primeira coluna da matriz B é uma combinação linear das demais, ou seja, essa coluna não é linearmente independentes (LI).

Rank de Matriz (2)


Uma outra forma de se determinar o rank de uma matriz A é contabilizar o número de linhas nulas que se obtém a partir de uma nova matriz B em forma de escada que possa ser obtida a partir de A por meio de operações elementares.

Exemplo 13: A matriz apresentada a seguir tem rank = 2, pois está em forma de escada e tem duas linhas não nulas.

Rank de Matriz (3)


Exemplo 14: Determinar o rank da matriz A apresentada a seguir.

Para contabilizar o rank, da matriz A, deve-se transforma-la, por meio de operações elementares, numa matriz em forma de escada. Faz-se então as seguintes operações: L2 ⇒ L2 + L1 (1/2)(⇒ L2 + L1) L3 ⇒ L3 + (-1)L1

Rank de Matriz (4)


Na matriz B faz-se então as seguintes operações:

L1 ⇒ L1 + (-2)L2, L3 (1/8)⇒ L3

L1 ⇒ L1 + 3L3, L2 ⇒ L2 + (-2)L3

Obtém-se então 3 linhas não nulas.

Logo, o rank da matriz A é 3.

Rank de Matriz (5)


Seja uma matriz quadrada A de ordem k, então pode-se definir o traço de A, denotado por tr(A), como sendo dado pela soma dos elementos de sua diagonal principal.

Exemplo 15: Sejam as matrizes A e B dadas a seguir.

Traço de Matriz (1)

)


Há algumas propriedades envolvendo o traço de uma matriz.

Propriedades: Seja um escalar, A e B matrizes, entãotr(A) = tr(A);tr(A ± B) = tr(A) ± tr(B);tr(AB) = tr(BA);tr(B−1 AB) = tr(A); e

tr(AA′) = . �

Traço de Matriz (2)

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