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Cálculo Numérico

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IFSC

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O que é o Cálculo

Numérico ?

Cálculo Numérico – Introdução

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◼ O Cálculo Numérico corresponde a um conjunto de

ferramentas ou métodos usados para se obter a

solução de problemas matemáticos de forma

aproximada.

◼ Esses métodos se aplicam principalmente a problemas

que não apresentam uma solução exata, portanto

precisam ser resolvidos numericamente.


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Exemplos de Aplicação dos Métodos Numéricos


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Exemplo:

Circuito elétrico composto de uma

fonte de tensão e um resistor.

0=− iRVR

Vi = Solução exata

Introdução de um diodo no circuito:

( )

+= 1ln

sI

i

q

kTiv 01ln =

+−−

sI

i

q

kTiRV

Solução utilizando

métodos numéricos

VR

i

VR

Di


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Exemplo:

Realizar a simulação do processo de transferência de calor

em uma placa com as condições de contorno mostradas.

Determinar o campo de temperatura em regime

permanente.


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1. Um problema de Matemática pode ser resolvido

analiticamente, mas esse método pode se tornar

impraticável com o aumento do tamanho do

problema.

Exemplo: solução de sistemas de equações

lineares.


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2. A existência de problemas para os quais não existemmétodos matemáticos para solução (não podem serresolvidos analiticamente).

Exemplos:

a) não tem primitiva em forma simples;

b) não pode ser resolvido analiticamente;

c) equações diferenciais parciais não lineares podemser resolvidas analiticamente só em casosparticulares.

dxex2

22 tyy +=


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◼ Os métodos numéricos buscam soluções aproximadas

para as formulações matemáticas.

◼ Nos problemas reais, os dados são medidas e, como

tais, não são exatos. Uma medida física não é um

número, é um intervalo, pela própria imprecisão das

medidas. Daí, trabalha-se sempre com a figura do

erro, inerente à própria medição.

◼ Os métodos aproximados buscam uma aproximação

do que seria o valor exato. Dessa forma é inerente aos

métodos se trabalhar com a figura da aproximação, do

erro, do desvio.


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Função do Cálculo Numérico na Engenharia

“Buscar solucionar problemas técnicos através

de métodos numéricos

modelo matemático”


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Passos para a resolução de problemas


PROBLEMA

MODELAGEM

REFINAMENTO RESULTADO DECIÊNCIAS AFINS

MENSURAÇÃO

ESCOLHADE MÉTODOS

ESCOLHADE PARÂMETROS

TRUNCAMENTODAS ITERAÇÕES

RESULTADONUMÉRICO

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Fluxograma – Solução Numérica

PROBLEMAMODELO

MATEMÁTICOSOLUÇÃO

modelagem resolução

PROBLEMA

ESCOLHA DO MÉTODO

NUMÉRICO

IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL

CONSTRUÇÃO DO MODELO

MATEMÁTICO

LEVANTAMENTO DE DADOS

ANÁLISE DOS RESULTADOS

VERIFICAÇÃO


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Influência dos Erros nas Soluções

Exemplo 1: Falha no lançamento de mísseis(25/02/1991 – Guerra do Golfo – míssil Patriot)

Erro de 0,34s no cálculo do tempo de lançamento

Limitação na representação numérica (24 bits)


28 mortos, 98 feridos

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Influência dos Erros nas Soluções

Exemplo 2: Explosão de foguetes(04/06/1996 – Guiana Francesa – foguete Ariane 5)

Erro de trajetória 36,7s após o lançamento

Limitação na representação numérica (64 bits/ 16 bits)

Prejuízo: U$ 7,5 bilhões


A causa do acidente foi um erro numérico no

cálculo da velocidade horizontal do foguete

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Aplicações de cálculo numérico na engenharia.

◼ Determinação de raízes de equações

◼ Interpolação de valores tabelados

◼ Integração numérica, entre outros.


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Cálculo Numérico – Plano de Ensino

◼ Objetivos

◼ Ementa

◼ Metodologia, Técnicas de Ensino

◼ Recursos Didáticos

◼ Avaliação

◼ Bibliografia

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◼ Fornecer condições para que os alunos possamconhecer, calcular, utilizar e aplicar métodosnuméricos na solução de problemas deengenharia.

◼ Estudar a construção de métodos numéricos,analisar em que condições se pode ter agarantia de que os resultados computados estãopróximos dos exatos, baseados nosconhecimentos sobre os métodos.

Cálculo Numérico – Objetivos do Curso

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Cálculo Numérico – Ementa

1. Noções básicas sobre erros.

2. Zeros reais de funções reais.

3. Resolução de sistemas de equações lineares.

4. Interpolação.

5. Ajuste de curvas.

6. Integração Numérica.

7. Solução numérica de eq. diferenciais ordinárias.

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Metodologia & Técnicas de Ensino

▪ Aulas Expositivas;

▪ Atividades individuais e em grupo.

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Cálculo Numérico – Recursos Didáticos

▪ Quadro;

▪ Data show;

▪ Programas de Simulação (Matlab, Mapple,

Mathematica).

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Cálculo Numérico – Avaliação

◼

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Cálculo Numérico – Bibliografia

◼ RUGGIERO, M. A. G. & LOPES, V. L. R. Cálculo numérico:

aspectos teóricos e computacionais. 2.ed. São Paulo, Makron,

1997.

◼ BURDEN, R.L.; FAIRES, J.D. Análise numérica. 8ª ed., São Paulo:

Cengage Learning, 2008.

◼ CANALE, R.P.; CHAPRA, S.C. Métodos numéricos para

engenharia. 5ª ed. Porto Alegre: McGraw Hill (Grupo A), 2008.

◼ BARROSO, L. C., BARROSO, M. A., CAMPOS, F. F., CARVALHO,

M. L. B. & MAIA, M. L. Cálculo Numérico (Com Aplicações),

2.ed. São Paulo, Editora Arbra, 1987.

◼ CUNHA, M.C.C. Métodos Numéricos. 2 Ed. São Paulo: Editora da

UNICAMP, 2009.

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Cálculo Numérico

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Noções Básicas sobre Erros

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1 Noções básicas sobre Erros

Fenômenos da natureza podem ser descritos através do uso de

modelos matemáticos.

MODELAGEM: é a fase de obtenção de um modelo matemático

que descreve o comportamento do problema que se quer estudar.

RESOLUÇÃO: é a fase de obtenção da solução do modelo

matemático através da aplicação de métodos numéricos.

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1.1 Erros

Para se obter a solução do problema através do modelo matemático,

erros são cometidos nas fases: MODELAGEM e RESOLUÇÃO.

EXEMPLO: Calcular a área da superfície terrestre usando a

formulação A = 4.p.r² .

Resolução: Aproximações (ERROS):

MODELAGEM: a Terra é modelada como uma esfera, uma

idealização de sua forma verdadeira. O raio da Terra é obtido por

medidas empíricas e cálculos prévios.

RESOLUÇÃO: o valor de π requer o truncamento de um processo

infinito; os dados de entrada e os resultados de operações aritméticas

são arredondados pelo computador.

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--Características Físicas:

Diâmetro Equatorial: 12756Km; Diâmetro Polar: 12713Km;

Massa: 5,98x1024 Kg;

Perímetro de Rotação Sideral: 23h 56min 04seg;

Inclinação do Equador Sobre a Órbita: 23o 27’.

--Características Orbitais:

Raio da Órbita, isto é, 1U.A. (unidade astronômica): 149897570Km;

Distância Máxima do Sol: 152100000Km;

Distância Mínima do Sol: 147100000Km;

Período de Revolução Sideral: 365dias 6h 9min 9,5seg;

Velocidade Orbital Média: 29,79Km/seg.

OBS. 1: Características do planeta Terra.

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1.2 Erros Absolutos e Relativos

1.2.1 Erro Absoluto

Geralmente não se conhece o valor exato x . Assim, o que se faz é

obter um limitante superior ou uma estimativa para o módulo do erro

absoluto.

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1.2 Erros Absolutos e Relativos

1.2.2 Erro Relativo ou Taxa de Erro

29

Calcular os erros absoluto e relativo, nos itens a) e b).

Exemplo

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1.3 Erros de Arredondamento e Truncamento

1.3.1 Erro de Arredondamento

di seja a última casa se di+1<5;

di +1 seja a última casa se di+15.

Exemplo: Arredondar p na quarta casa decimal, sendo que

p = 3,1415926535

di =5 e di+1=9>5

di +1=5+1=6. Logo: p = 3,1415.

Arredondar um número na casa di é desconsiderar as casas

di+ j ( j =1,,) de tal forma que:

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1.3.2 Erro de Truncamento

Truncar um número na casa di é desconsiderar as casas

di+ j ( j =1,,).

Exemplo: Aproximar p truncando na quarta casa decimal, sendo

que p=3,1415926535

di =5

p=3,1415.

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Truncando-se após quatro termos, tem-se:

Exemplo:


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1.4 Aritmética de Ponto Flutuante

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Exemplo: Considerando no sistema de base 10, b=10, represente

os seguintes números, em aritmética de ponto flutuante:


a) 0,34510

b) 31,41510

Obs.: Os números assim representados estão NORMALIZADOS, isto é, a

mantissa é um número entre 0 e 1.

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Exemplo: Considerando no sistema binário, b=2, represente o

número 1012 em aritmética de ponto flutuante.


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1.5 Conversão de Bases

1.5.1 Conversão da Base b para a Decimal (b10)

Um número na base b pode ser escrito, na base decimal, como:

Para a conversão, faz-se a operação entre a mantissa do número

normalizado e a base βexp .

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Nos exemplos a seguir, faça a conversão da base indicada para a

decimal, determinando o valor da variável x .


a) 10112 = x10

b) 11,012 = x10

38

Nos exemplos a seguir, faça a conversão da base indicada para a

decimal, determinando o valor da variável x .


c) 403,125 = x10

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1.5.2 Conversão da Base Decimal para a b (10b)


Aplica-se um processo para a parte inteira e um outro para a parte.

a) PARTE INTEIRA ( N ): a.1) N <b N10 = Nb .

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Exemplo: Converta 5910 para a base 2.

41

Exemplo: Converta 5910 para a base 3.


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b) PARTE FRACIONÁRIA ( F ):


◼ O processo consiste em separar o número decimal na parte inteira e na

fracionária.

◼ O método das divisões sucessivas é aplicado a parte inteira, conforme

estudado anteriormente.

◼ Para a parte fracionária aplica-se o método das multiplicações

sucessivas até que se atinja zero.

◼ Para exemplificar, será convertido o número decimal 8,375 em binário.

44


45


46

◼ Observação Importante: existem casos em que o método das

multiplicações sucessivas encontra novamente os números já

multiplicados e o processo entra em um “loop” infinito.

◼ Isto equivale a uma dízima periódica. Como exemplo, tem-se:


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1.6 Operações de Pontos Flutuantes

1.6.1 Representações

• Precisão dupla: “dobra” a mantissa (2* t );

• O zero em ponto flutuante é em geral representado com o menor

expoente (exp=I ) possível na máquina;

• Ao converter um número para determinada aritmética de ponto

flutuante, emprega-se sempre o arredondamento;

• Não é possível representar todos os números reais em determinada

aritmética de ponto flutuante (reta furada).

OBS. 3: Um exemplo da reta furada é: Considere a aritmética de pontos flutuantes com parâmetros

b=10 e t =3. Tome os números consecutivos 3,57 e 3,58. Existem infinitos números reais entre 3,57 e

3,58 que não podem ser representados nesta aritmética de pontos flutuantes. Por exemplo: 3,571 ou

3,57437.

1.6 Operações de Pontos Flutuantes

OBS.: Deve-se converter os valores para a aritmética de ponto flutuante com 3

algarismos significativos.

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