Prof. Rodrigo Fioravanti Pereira Orientador: Dr. Marcio Violante Ferreira

Introduçãoxxx xxxxxx xxx

Prof. Rodrigo Fioravanti PereiraOrientador: Dr. Marcio Violante Ferreira

IntroduçãoTítulo TaxasMontante Composto Sair

ATIVIDADES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA – JUROS COMPOSTOS

Link para dissertação (PDF): http://tede.unifra.br/tde_busca/arquivo.php?codArquivo=54


Matemática financeira

A matemática financeira é amplamente trabalhada

em diversos cursos de graduação por ser uma

ferramenta adequada para a tomada de decisões

relacionadas ao mercado financeiro.

Entretanto, o ensino desta disciplina mostra-se

alheio à realidade do mercado que deveria ter

como fim. A percepção deste fato é clara se

observados os livros didáticos de matemática

financeira que trazem a disciplina de forma

estanque, com os problemas previamente

determinados, sem espaço para as novidades e

imprevistos do mercado.

No ensino

Formam-se profissionais com características

fortes do ponto de vista do conteúdo puramente

matemático mas inexperientes quanto a

aplicações deste conteúdo à realidade do

mercado.

Proposta

O que acontece

A proposta deste trabalho é dar ferramentas para

a contextualização da matemática financeira com

o mercado financeiro no mesmo momento que

constrói o conteúdo matemático de forma

aplicada ao mercado que está se desenvolvendo

contemporaneamente.

IntroduçãoTitulo TaxasMontante Composto SairIntroduçãoTítulo TaxasMontante Composto Sair


Desenvolvimento da fórmula do Montante Compostos.

Na tabela abaixo obtida a partir de dados bancários analise o índice da poupança e faça o que se pede a seguir

Atividade 1:

Seção A:

IntroduçãoTítulo TaxasMontante Composto SairIntroduçãoTítulo TaxasMontante Composto Sair


1° mês → FV1 = 1000 (1,0059) = 1005,9

2° mês → FV2 = 1005,9 (1,0063) = 1012,2371

3° mês → FV3 = 1012,2371 (1,0067) = 1019,0191

4° mês → FV4 = 1019,0191 (1,0060) = 1025,1332

5° mês → FV5 = 1025,1332 (1,0065) = 1031,7965

6° mês → FV6 = 1031,7965 (1,0065) = 1038,5032

...

12° mês → FV12 = 1068,6522 (1,0052) = 1074,2092

FVFV (Future ValueFuture Value) é o montantemontante auferido a cada mês.

Determine, a partir de um capital inicial de R$ 1000,00, o montante ao final dos 12 meses constantes da

tabela, considerando o índice da poupança a cada mês.

Dica

Mar/07

Abr/07

Mai/07

Jun/07

Jul/07

Ago/07

Set/07

Out/07

Nov/07

Dez/07

Jan/08

Fev/08

Ano12

meses24

meses36

meses

INVESTIMENTO

Poupança(5 a.m.)2

0,59 0,63 0,67 0,60 0,65 0,65 0,54 0,61 0,56 0,56 0,60 0,52 1,12 7,53 16,46 27,15



Pela tabela, percebe-se que uma estimativa para o valor procurado é de 0,6% a.m.

Estime, mentalmente, um valor médio que poderia resumir todas as taxas da poupança constantes na tabela.

Atividade 2:

Mar/07

Abr/07

Mai/07

Jun/07

Jul/07

Ago/07

Set/07

Out/07

Nov/07

Dez/07

Jan/08

Fev/08

Ano12

meses24

meses36

meses

INVESTIMENTO

Poupança(5 a.m.)2

0,59 0,63 0,67 0,60 0,65 0,65 0,54 0,61 0,56 0,56 0,60 0,52 1,12 7,53 16,46 27,15

IntroduçãoTítulo TaxasMontante Composto SairIntroduçãoTítulo TaxasMontante Composto SairIntroduçãoTítulo TaxasMontante Composto Sair


Esta forma de resolução é comum entre os estudantes mas não permite a visualização da fórmula do montante composto.

Atividade 3:

Calcular o montante ao final dos 12 meses, a partir do capital de R$ 1000,00 e da taxa estimada de 0,6% a.m.

Resposta

1º mês(1+0,6 / 100) = 1,0061000 XX 1,006 =1006

1° mês → 10001,006 = 10062° mês → 1012,0363° mês → 1018,10824° mês → 1024,2168...12° mês → 1074,4241

1° mês → 1000 x 1,0062° mês →1000 x 1,006 x 1,006 = 1000(1,006)2

3° mês →1000 x 1,006 x 1,006 x 1,006 = 1000(1,006)3

4° mês →1000 x 1,006 x 1,006 x 1,006 x 1,006 = 1000(1,006)4

...n° mês → 1000 x 1,006 x ...x 1,006 = 1000(1,006)n



Construir a fórmula do montante composto a partir das experiências anteriores

1° mês → 1000 x 1,0062° mês →1000 x 1,006 x 1,006 = 1000(1,006)2

3° mês →1000 x 1,006 x 1,006 x 1,006 = 1000(1,006)3

4° mês →1000 x 1,006 x 1,006 x 1,006 x 1,006 = 1000(1,006)4

...n° mês → 1000 x 1,006 x ... x 1,006 = 1000(1,006)n

FV Future Value - MontantePV present valuei taxa decimaln número de capitalizações

Atividade 3:

Modelo

FV = 1000(1 + 0,006)n

FV = PV(1 + i)n



Com a fórmula a disposição, é tempo de experimentá-la, a fim de surgir o convencimento com relação às suas vantagens além de permitir que os alunos desfrutem dos benefícios do seu próprio trabalho.

Fórmula do montante composto

FV = PV(1 + i)n

FV = 2050,01

Neste sentido, pede-se o montante de uma aplicação de longo prazo, como por exemplo 120

meses, mantendo a taxa de 0,6%a.m e o capital inicial de R$ 1000,00.

Resposta



Taxas Proporcionais e Equivalentes

Seção B:

Atividade 1:Procurar no extrato bancário a relação entre as taxas mensal e anual de cada tipo de crédito,

supor um capital inicial de R$ 100,00 e calcular o montante, ao final de um ano, para a taxa mensal e anual.



8722,123=FV

)018,0+1(100=FV

)i+1(PV=FV12

n1

1

87,123=FV

)2387,0+1(100=FV

)i+1(PV=FV1

n2

2

CDC AUTOMOVEIS

Taxa i : 1,80% mensal

23,87%, anual

Para i = 23,87% a.a.Para i = 1,80% a.m.

Percebe-se que os dois montantes são iguais e que a taxa anual aparece no extrato com duas

casas depois da vírgula para fins de arredondamento.

IntroduçãoTítulo TaxasMontante Composto SairIntroduçãoTítulo TaxasMontante Composto SairTaxas


CRED. PESSOAL

35,157=FV

)5735,0+1(100=FV

)i+1(PV=FV1

n2

2

Taxa i : 3,85% mensal

57,35%, anual

Para i = 57,35% a.a.

3540,157=FV

)0385,0+1(100=FV

)i+1(PV=FV12

n1

1

Para i = 3,85% a.m.

Novamente a igualdade foi comprovada

IntroduçãoTítulo TaxasMontante Composto SairIntroduçãoTítulo TaxasMontante Composto SairIntroduçãoTítulo TaxasMontante Composto SairIntroduçãoTítulo TaxasMontante Composto Sair


1 2

12 1

12 1

1 2

100(1 0,018) 100(1 0,2387)

(1 0,018) (1 0,2387)

1,2387 1,2387

(1 ) (1 )n ni i

Atividade 2:

Com base nos procedimentos anteriores, construir uma fórmula para as taxas equivalentes

Concluindo que os valores encontrados são iguais a busca da fórmula que relaciona a taxa mensal

com a anual passa por igualar as fórmulas dos montantes encontrados nos cálculos anteriores.

Abaixo, segue o desenvolvimento feito para o CDC Automóveis:

Esta é a fórmula das taxas equivalentes para os juros compostos.

Mensal Anual

Como o montante obtido pela taxa mensal é o mesmo da taxa anual podemos escrever o modelo abaixo



1,50421585i

)i(),(

)i()i( nn

2

12

1221

1079501

11 21

Atividade 3:

Ainda no extrato, temos uma taxa de i=7,95% a.m. que não possui a sua taxa anual equivalente. Propõe-se

o cálculo da tal taxa utilizando a fórmula que foi desenvolvida.

Logo, a taxa anual equivalente a 7,95%a.m. é 150,42% a.a.



0,75523549i

)i(),(

)i()i( nn

2

12

1221

104801

11 21

A fórmula que desenvolvida anteriormente, foi utilizada nesta atividade.

CRÉDITO UM MINUTO

Nota-se que a taxa encontrada é menor do que a indicada no extrato. A discussão em aula desta disparidade é um ótimo exercício.



Atividade 2:

Utilizando o modelo encontrado, analisar a fatura do cartão de crédito mostrada abaixo procurando

confirmar as taxas mensais e anuais cobradas pela operadora. Baseados nas informações que já

temos sobre o mercado financeiro, o que podemos afirmar sobre estas taxas?



Nele estão assinaladas a taxa mensal e anual de juros do cartão (11,50%a.m. e 269,23%a.a.). Verifica-se através de cálculos que estas taxas são equivalentes. A comparação entre as taxas dos dois

exercícios é um importante fator de conhecimento crítico do mercado financeiro.



Taxa Nominal e Efetiva

A partir das informações acima, responda como esta taxa administrativa influi na taxa efetiva de

juros. Será que a taxa de juros já considera esta cobrança?

Proposta: Supor um empréstimo de R$ 1000,00 por 3 meses. Conhecendo as taxas (de juros e

administrativa) do “Crédito Um Minuto”, quanto o tomador do empréstimo efetivamente levará para casa

e quanto ele deverá pagar ao banco até o final do empréstimo?

Seção C:

Atividade 1:

Quando se contrata um “Crédito Um Minuto”, do Banrisul, além dos juros de 4,80% a.m., segundo o

extrato do Banrisul usado como exemplo, é cobrada uma taxa administrativa de R$ 8,50 devido à

realização do empréstimo (taxa informada pela gerente de contas do banco).



Cálculo dos juros sobre um empréstimo de R$1000,00 durante 3 meses:

Como sobre os R$ 1000,00 incide uma taxa administrativa de R$ 8,50, o empréstimo será

calculado sobre R$ 1008,5 e não sobre R$ 1000,00.

Obtem-se, sucessivamente,

Lembrar que o Crédito Um Minuto”, do Banrisul, os juros são de 4,80% a.m



Sabendo que o tomador do crédito levou pra casa a quantia de R$ 1000,00 e pagará, após 3 meses, o

montante de R$ 1160,80, podemos calcular de quanto será o juro efetivo a ser pago:

Logo, a taxa de juros que incide efetivamente sobre a operação é de 5,096% a.m. e não

apenas os 4,8% a.m. indicada no extrato



Desconto Composto

Nesta seção pressupõe-se o conhecimento das diferentes regras dos descontos.

Seção D:

Atividade 1:

OBS:

Vamos considerar um título tal como uma nota promissória, que tem um valor de face de R$1000,00 e

é vencível em 40 dias, pergunta: Se este título for descontado antes dos 40 dias, o seu portador ainda

ficará com os R$1000,00?



Formalização:

Desconto racional: pela definição de desconto racional, o valor atual (Va) deve ser “levado”, por 3

meses, até a data do cheque pela taxa da operação, onde terá o mesmo valor do cheque

Desconto comercial: já no desconto comercial, o valor nominal (N) é descontado por 3 meses pela

taxa de desconto até assumir o valor atual (Va).

Formalização: N



Este trabalho buscou a mescla da realidade financeira com a construção do conteúdo matemático

constante na maioria das ementas da disciplina de matemática financeira. Neste sentido, a proposta

desenvolvida trabalhou o conteúdo dos juros compostos por estar presente, direta ou indiretamente, na

maioria das situações do mercado financeiro e no conteúdo da matemática financeira.

Conclusão:



1° mês → FV1 = 1000 (1,0059) = 1005,9

2° mês → FV2 = 1005,9 (1,0063) = 1012,2371

3° mês → FV3 = 1012,2371 (1,0067) = 1019,0191

4° mês → FV4 = 1019,0191 (1,0060) = 1025,1332

5° mês → FV5 = 1025,1332 (1,0065) = 1031,7965

6° mês → FV6 = 1031,7965 (1,0065) = 1038,5032

...

12° mês → FV12 = 1068,6522 (1,0052) = 1074,2092

FVFV (Future ValueFuture Value) é o montantemontante auferido a cada mês.

Determine, a partir de um capital inicial de R$ 1000,00, o montante ao final dos 12 meses constantes da

tabela, considerando o índice da poupança a cada mês.

Para darmos um acréscimo a um valor

inicial multiplicamos este valor por 1 + a

taxa de acréscimo.

Exemplificando:

Se a taxa de acréscimo i =0,4% => 0,004

teremos = 1 + 0,004 =1,004

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Mar/07

Abr/07

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Ago/07

Set/07

Out/07

Nov/07

Dez/07

Jan/08

Fev/08

Ano12

meses24

meses36

meses

INVESTIMENTO

Poupança(5 a.m.)2

0,59 0,63 0,67 0,60 0,65 0,65 0,54 0,61 0,56 0,56 0,60 0,52 1,12 7,53 16,46 27,15


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