Prof.ª : Márcia RibeiroColégio Hipócrates Zona Sul9º ano Ensino Fundamental II

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Polígonos e poliedros convexos e côncavos

Geometria plana

Polígonos e poliedros convexos e côncavos Geometria plana

PolígonosEm geometria, uma figura plana (duas dimensões) com três ou mais lados. Os polígonos comuns têm nomes que definem o número de lados (por exemplo, triângulo, quadrilátero, pentágono).

Triângulo - 3 lados  

Quadrilátero – 4 lados

Polígonos regulares

Pentágono - 5 lados  

Hexágono - 6 lados Octágono - 8 lados

Obs. Estas figuras são regulares.

Estes são todos polígonos convexos, sem nenhum ângulo interno maior do que 180º;. A soma dos ângulos internos de um polígono com n lados é dada pela fórmula (2n - 4) x 90º; então, quanto mais lados um polígono tiver, maior a soma dos seus ângulos internos e, no caso de um polígono convexo, mais se aproxima de um círculo.

Em geometria, uma figura plana de três lados, cuja soma dos ângulos interiores totaliza 180º. Os triângulos podem ser classificados pelo comprimento relativo dos seus lados. Um triângulo escaleno tem três lados de comprimentos diferentes; um triângulo isósceles tem pelo menos dois lados iguais; um triângulo equilátero tem três lados iguais (e três ângulos iguais de 60º).

Triângulo

Um triângulo retângulo tem um ângulo de 90º. Se o comprimento de um lado de um triângulo for "b" e a distância perpendicular daquele lado ao vértice oposto "a" (a altura do triângulo), a sua área A = ½* b * a.

Regular Diz-se das figuras geométricas que têm

todos os ângulos e todos os lados iguais. Diz-se, também, dos sólidos em que as bases são polígonos regulares.  

Definição Poliedro é um sólido limitado externamente por planos no

espaço R3. As regiões planas que limitam este sólido são as faces do poliedro.

As interseções das faces são as arestas do poliedro. As interseções das arestas são os vértices do poliedro. Poliedros convexos são aqueles cujos ângulos diedrais

formados por planos adjacentes têm medidas menores do que 180o. Outra definição: Dados quaisquer dois pontos de um poliedro convexo, o segmento que tem esses pontos como extremidades, deverá estar inteiramente contido no poliedro.

Geometria Espacial - Poliedros

Se V é o número de vértices, F é o número de faces, A é o número de arestas e M é o número de ângulos entre as arestas de um poliedro convexo, então:

V + F = A + 2 M = 2 A

Relações de Euler

Um poliedro é dito regular se todas as suas faces são regiões poligonais regulares com n lados, o que significa que o mesmo número de arestas se encontram em cada vértice.

Existem algumas características gerais que são válidas para todos os poliedros regulares. Se n é o número de lados da região poligonal, a é a medida da aresta A e z=M/V é a divisão do número de ângulos diedrais pelo número de vértices, então:

Poliedros Regulares

Nome do poliedro

Número de faces

Poligonal regular

No. de vértices

No. de arestas

Número de ângulos

entre arestas

Tetraedro 4 Triangular 4 6 12

Hexaedro 6 Quadrada 8 12 24

Octaedro 8 Triangular 6 12 24

Dodecaedro

12 Pentagonal

20 30 60

Icosaedro 20 Triangular 12 30 60

Faces, Vértices, Arestas e Ângulos diedrais nos Poliedros regulares convexos

Em geometria, uma figura sólida com quatro ou mais lados planos. Quanto mais faces um poliedro tiver, mais se aproxima de uma esfera. O conhecimento das propriedades de um poliedro é necessária em cristalografia e estereoquímica para determinar as formas dos cristais e das moléculas.

Poliedros regulares convexos e côncavos

Os cinco tipos de poliedros regulares convexos mais conhecidos (com todas as faces com o mesmo tamanho e forma), tal como havia já sido deduzido pelos matemáticos gregos; são o tetraedro (quatro faces triangulares equiláteras), o cubo (seis faces quadradas), o octaedro (oito triângulos equilaterais), o dodecágono (12 pentágonos regulares) e o icosaedro (20 triângulos equiláteros).

Os cinco poliedros regulares convexos ou sólidos platonicos

Em geometria, outro nome para um poliedro regular, uma das cinco possíveis figuras tridimensionais com todas as faces com o mesmo tamanho e forma.

Tetraedro Em geometria, uma figura sólida (poliedro) com quatro

faces triangulares; isto é, uma pirâmide com uma base triangular. Um tetraedro regular tem como faces triângulos equiláteros.

Em química, um tetraedro descreve as faces de algumas moléculas e cristais; por exemplo, os átomos de carbono num cristal de diamante encontram-se no espaço como um conjunto de tetraedros regulares inter-relacionados.

Sólido platonico

Sólido regular com 12 faces pentagonais e 12 vértices. É um dos cinco poliedros regulares, ou sólidos platónicos.

Dodecaedro

Sólido regular com oito faces, sendo cada uma um triângulo equilátero. É um dos cinco poliedros regulares ou sólidos platónicos. A figura formada pela união dos pontos médios das faces é um cubo perfeito e os vértices do octaedro são eles próprios os pontos médios das faces de um cubo envolvente. Por esta razão, o cubo e o octaedro denominam-se sólidos duais.

Octaedro regular

Os cinco poliedros regulares convexos: I - Tetraedro, II - Cubo, III - Octaedro, IV - Dodecaedro e V- Icosaedro são conhecidos desde a Antiguidade, como já referimos.

Deve-se a Kepler (1571-1630) a descoberta do primeiro poliedro regular côncavo - o dodecaedro estrelado de faces regulares representado na figura (VI).

O dentista Francis Louis Poinset (1777-1859) acrescentou a esta lista, em 1809, três novos poliedros regulares não convexos (VII, VIII e IX). Foi, no entanto, Cauchy quem demonstrou que somente existem estes nove poliedros regulares.

Note-se que cada poliedro regular côncavo resulta do prolongamento das faces de um poliedro regular convexo que lhe serve de núcleo, como é visível no dodecaedro estrelado de Kepler (VI) que resulta do prolongamento do dodecaedro (IV).

Fundamentos.de.Matematica.Elementar.Vol.08.Geometria.Plana

Fundamentos.de.Matematica.Elementar.Vol.10.Geometria.Espacia

Autores: Osvaldo Dolce Jose Nicolau Pompeo 7ª edição Atual Editora LTDA, São Paulo. Ano 1997

Bibliografia