nº7MATEMÁTICA

Matemática e Suas Tecnologias

Professor Fabrício Maia

POR QUE O PARAFUSO É SEXTAVADO? Você já deve ter visto parafusos destes tipos:

sendo que o mais comum é o primeiro, chamado pelos mecânicos de sextavado. Repare que sua cabeça (onde se encaixa a chave para apertá-lo ou desapertá-lo) é um poliedro: trata-se de um prisma regular hexagonal. Certa vez vimos um parafuso especial de uma máquina, cuja cabeça era um prisma regular triangular:

Por que não existem (pelo menos nunca vimos) parafusos pentagonais ou octogonais? Em todos esses tipos de parafusos o polígono presente é sempre regular e é fácil perceber a razão disso. Seria incoveniente apertar e desapertar um parafuso em cuja cabeça fi gurasse um polígono não regular. A chave precisaria ser especial para aquele parafuso e ela voltaria a se encaixar na cabeça do mesmo somente após uma rotação de 360º.

Se o polígono da cabeça do parafuso é um quadrado, após uma rotação de 90° o parafuso volta à posição original, podendo-se encaixar outra vez a chave para um novo giro.

90º

Desse modo, com quatro giros de 90º a rosca dá um passo. No caso do parafuso triangular, são necessários três giros de 120° para completar uma volta na rosca.

120°

Com o parafuso sextavado, completamos um passo da rosca após seis giros de 60º cada um.

60°

Quando um mecânico está concertando um defeito qualquer numa máquina, por exemplo, um automóvel, muitas vezes ele tem pouco espaço para trabalhar (em geral em posições desconfortáveis). Por essa razão, dos três parafusos apresentados, o mais cômodo é o hexagonal, pois é o que pode ser apertado ou desapertado com giros menores (60°), isto é, com movimentos mais curtos do braço. Observe que esse ângulo de giro a que estamos nos referindo é o ângulo central do polígono regular.

90°

60°

120°

A medida do ângulo central do polígono regular de n lados é 360ºn

e se é conveniente, nos parafusos, que o ângulo central do polígono seja “pequeno”, por que não usar polígonos com maior número de lados? Um octógono, por exemplo? Nesse caso o ângulo de giro seria de apenas 45º.

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45°

Sem dúvida, sobre esse aspecto, o octógono é mais conveniente que o hexágono. Entretanto, há outros fatores que pesam no projeto de um parafuso. Um octógono regular está mais próximo do círculo que o hexágono regular.

120°135°

O ângulo interno do hexágono regular mede 120º e do octógono regular mede 135°. A chave usada para apertar ou desapertar um parafuso nunca se ajusta perfeitamente à sua cabeça. Sempre existe uma folguinha. Com o uso, a tendência da cabeça é sofrer um arredondamento (dizemos que a cabeça do parafuso fi ca espanada). Sob esse aspecto o polígono mais adequado é o triângulo (é o que mais se afasta do círculo, é o que tem o menor ângulo interno: 60°). Perceba que, numa linguagem pouco precisa, mas muito signifi cativa, o hexágono fi ca mais ou menos no meio termo quando consideramos esses dois fatores (giro pequeno e difi culdade para o espanamento). Mas por que não um parafuso pentagonal? O pentágono é próximo do hexágono. Sob aqueles dois aspectos apresentados, o pentágono possui propriedades próximas das do hexágono.

120º 108º

60º

72º

Para compreender porque não existem parafusos pentagonais é preciso considerar outro aspecto. No hexágono regular existem lados opostos paralelos e o mesmo não ocorre no pentágono regular.

Isso signifi ca que a chave usada para o parafuso hexagonal tem, no encaixe, bordos paralelos, o que facilita o ajuste da chave à cabeça do parafuso.

Para parafusos pentagonais poderíamos ter dois tipos de chaves.

A primeira tem a desvantagem de “escapar” com facilidade e a segunda só se encaixaria na cabeça do parafuso com este movimento:

e não com este:

o que é incômodo para o mecânico. A primeira das chaves pentagonais não apresenta essa desvantagem, mas, como dissemos, “escapa” com mais facilidade da cabeça do parafuso. Em resumo, no projeto de parafusos com cabeças prismáticas, o polígono regular da base deve ser escolhido levando-se em conta:1. seu ângulo central (giro pequeno);2. seu ângulo interno (espanamento da cabeça);3. existência de lados paralelos (encaixe da chave).

Esses critérios fazem do hexágono regular (parafuso sextavado) o polígono mais adequado.

Luiz Márcio P. Imenes & José Jakubovic.

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Exercícios

1. O Projeto de uma ferramenta prevê que ela se encaixe

perfeitamente em um parafuso de cabeça hexagonal regular, como indica a fi gura.

y

x

y

Cabeça da ferramenta

Braço da ferramenta

ParafusoParafuso

λλ

x

Admitindo a medida do lado do hexágono que forma a cabeça do parafuso igual a 2 cm, as medidas x e y são, respectivamente:A) 3 cm e 3 cmB) 3 cm e 2 3 cmC) 2,5 cm e 2 5 3, cmD) 2 cm e 3 2 cmE) 2 cm e 2 2 cm

2.

Disponível em: http://www.diaadia.pr.gov.br.Acesso em: 28 abr. 2010.

O polígono que dá forma a essa calçada é invariante por rotações, em torno de seu centro, de:A) 45ºB) 60ºC) 90ºD) 120ºE) 180º

3. Assim como na relação entre o perfi l de um corte de um torno e a peça torneada, sólidos de revolução resultam da rotação de fi guras planas em torno de um eixo. Girando-se as fi guras a seguir em torno da haste indicada, obtém-se os sólidos de revolução que estão na coluna da direita:

1 A

B

C

D

E

2

3

4

5

A correspondência correta entre as fi guras planas e os sólidos de revolução obtidos é:A) 1A; 2B; 3C; 4D; 5EB) 1B; 2C; 3D; 4E; 5AC) 1B; 2D; 3E; 4A; 5CD) 1D; 2E; 3A; 4B; 5CE) 1D; 2E; 3B; 4C; 5A

4. As abelhas constroem seus favos na forma de recipientes aglomerados de cera que se propagam um ao lado do outro. Depois de vários experimentos em uma colmeia, verifi cou-se que o corte transversal de um favo apresenta uma das confi gurações abaixo:

�1

�2

�3

Sabendo que �1 = �2 = �3 = �, em que �1, �2 e �3 são, respectivamente, os lados do quadrado, do triângulo equilátero e do hexágono, e que A

, A

e A são as áreas dos respectivos polígonos, podemos afi rmar que:A) A

> A

> A B) A

> A > A

C) A > A

> A D) A

> A

> A E) A

> A

> A

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5. Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as combinações de polígonos que se prestam a pavimentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou superposições de ladrilhos, como ilustram as fi guras.

Figura 1: Ladrilhos retangulares pavimentando o plano.

Figura 2: Heptágonos regulares não pavimentam o plano (há falhas ou superposição).

A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas de seus ângulos internos.

Nome Triângulo PentágonoQuadrado

Ângulo interno 60º 108º90º

Nome Hexágono EneágonoOctógono

Figura

Figura

Ângulo interno 120º 140º135º

Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de um:A) triângulo.B) quadrado.C) pentágono.D) hexágono.E) eneágono.

Anotações

FB no Enem – Nº 6 – Professor João Saraiva

1 2 3 4 5

C E D E D

57136/12 | 02/03/2012 / Dig.: Tarqui – Rev.: TSS