Matemáticas

Revisão de geometria plana

Professor

Luiz Amaral

R-2

1. (Espm 2011) Os pontos A, B, C e D são vértices consecutivos de um

polígono regular com 20 diagonais, cujo lado mede 1. O comprimento do segmento AD é igual a:

a)

b)

c)

d)

e)

2. (G1 - ifce 2011) Sabendo-se que a razão entre a diagonal d e o lado

a de um pentágono regular, como o da figura a seguir, é igual a

5 1

2

,

a) 5

cos36º .2

b) 5 1cos72º .

2

c) 5 1cos36º .

4

d) 5 1cos72º .

4

e) 5 1cos36º .

2

3. (G1 - cftrj 2011) Na figura abaixo, O é o centro de uma circunferência

que tangencia a semirreta BA no ponto A e tangencia o segmento BE

no ponto C. Sabendo ainda que BA é paralela à reta OF, que o segmento EF é perpendicular a OF e que o menor arco da circunferência com extremidades em A e C mede º 60, podemos afirmar que o ângulo DÊF

mede:

a) 20º

b) 30º

c) 50º

d) 60º

4. (Uece 2010) Sejam P e Q polígonos regulares. Se P é um hexágono e se o número de diagonais do Q, partindo de um vértice, é igual ao

número total de diagonais de P então a medida de cada um dos

ângulos internos de Q é

a) 144 graus.

b) 150 graus.

c) 156 graus. d) 162 graus.

5. (Espm 2016) Num mapa, uma estrada retilínea passa su-

cessivamente pelas cidades A, B e C e uma cidade D, distante

120 km de A, está localizada de tal forma que o ângulo DAB mede

36 . Um viajante fez o trajeto AB, BD e DC, percorrendo em cada

trecho a mesma distância. Se ele tivesse ido diretamente de A até

C, teria percorrido uma distância de:

a) 120 km

b) 60 3 km

c) (120 cos 36 ) km

d) 120

kmcos 36

e) 140 km

6. (Ufg 2013) Gerard Stenley Hawkins, matemático e físico, nos anos

1980, envolveu-se com o estudo dos misteriosos círculos que

apareceram em plantações na Inglaterra. Ele verificou que certos círculos seguiam o padrão indicado na figura a seguir, isto é, três

círculos congruentes, com centros nos vértices de um triângulo

equilátero, tinham uma reta tangente comum.

Nestas condições, e considerando-se uma circunferência maior que passe pelos centros dos três círculos congruentes, calcule a razão

entre o raio da circunferência maior e o raio dos círculos menores.

2

1 2

2 2 1

2 2 1

2 2

7. (Uerj 2012) Para construir a pipa representada na figura abaixo pelo quadrilátero ABCD, foram utilizadas duas varetas, linha e papel.

As varetas estão representadas pelos segmentos AC e BD. A linha

utilizada liga as extremidades A, B, C e D das varetas, e o papel reveste

a área total da pipa.

Os segmentos AC e BD são perpendiculares em E, e os ângulos ˆABC e ˆADC são retos.

Se os segmentos AE e EC medem, respectivamente, 18 cm e 32

cm, determine o comprimento total da linha, representada por

AB BC CD DA.

8. (Enem PPL 2012) Em uma das paredes de um depósito existem

compartimentos de mesmo tamanho para armazenamento de caixas

de dimensões frontais a e b. A terceira dimensão da caixa coincide

com a profundidade de cada um dos compartimentos. Inicialmente as

caixas são arrumadas, em cada um deles, como representado na

Figura 1. A fim de aproveitar melhor o espaço, uma nova proposta de

disposição das caixas foi idealizada e está indicada na Figura 2. Essa

nova proposta possibilitaria o aumento do número de caixas

armazenadas de 10 para 12 e a eliminação de folgas.

É possível ocorrer a troca de arrumação segundo a nova proposta? a) Não, porque a segunda proposta deixa uma folga de 4 cm na altura

do compartimento, que é de 12 cm, o que permitiria colocar um

número maior de caixas.

b) Não, porque, para aceitar a segunda proposta, seria necessário praticamente dobrar a altura e reduzir à metade a largura do

compartimento. c) Sim, porque a nova disposição das caixas ficaria acomodada

perfeitamente no compartimento de 20 cm de altura por 27 cm de

largura. d) Sim, pois efetivamente aumentaria o número de caixas e reduziria

o número de folgas para apenas uma de 2 cm na largura do compartimento.

e) Sim, porque a nova disposição de caixas ficaria acomodada

perfeitamente no compartimento de 32 cm de altura por 45 cm de

largura.

TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES:

Considere um losango ABCD em que M, N, P e Q são os pontos médios

dos lados AB, BC, CD e DA, respectivamente. Um dos ângulos

internos desse losango mede ,α sendo 0 90 .α

9. (Insper 2012) Se 60 ,α então a razão entre o perímetro do

losango ABCD e o perímetro do quadrilátero MNPQ, nessa ordem, é

igual a

a) 3 1.

b) 2.

c) 3.

d) 3

.2

e) 2 3 2.

10. (Insper 2012) Nessas condições, o quadrilátero convexo MNPQ a) é um quadrado.

b) é um retângulo que não é losango.

c) é um losango que não é retângulo.

d) é um paralelogramo que não é retângulo nem losango. e) não possui lados paralelos.

11. (Upe-ssa 3 2016) Qual é a medida da área do triângulo destacado

na figura abaixo?

a) 1

2

b) 1

3

c) 3

4

d) 4

5

e) 5

4

12. (G1 - cftrj 2016) Na figura abaixo:

- Os pontos B, F e E são colineares;

- Os pontos A, D e E são colineares;

- ABCD é um quadrilátero equiângulo;

- O segmento EB é bissetriz do ângulo CEA;

- O ângulo ABE; mede 60 e o segmento BC mede 18 cm.

Com essas informações, calcule a medida da área, em 2cm do

triângulo BCE.

13. (Ufsc 2016) Em relação às proposições abaixo, é CORRETO afirmar

que:

01) Se duas reta paralelas são cortadas por uma reta transversal,

formando ângulos alternos externos cujas medidas, em graus,

são representadas por (3x 4) e (4x 37), então a soma

desses ângulos é 254 .

02) Na figura da circunferência de centro O, se o ângulo agudo A

mede 27 e o arco AB mede 156 , então a medida do ângulo

indicado por x é igual a 105 .

04) Se o quadrilátero abaixo representa a planta de um terreno plano,

então sua área é igual a 2242(1 2)m .

08) No triângulo ABC, retângulo em B, DE é perpendicular a

AC. Se AC mede 6 cm e CE tem a mesma medida do cateto

AB, 4 cm, então AD mede 2 cm.

16) Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 9 cm e o menor

cateto mede 6 cm. Então, a altura relativa à hipotenusa mede

2 5 cm.

14. (G1 - epcar (Cpcar) 2016) Na figura abaixo A, B, C, D, E e F

são vértices de um hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 1 metro e centro O.

Se ACE e BDF são triângulos equiláteros, então, a área da parte

sombreada, nessa figura, em 2m , é igual a

a) 33

π

b) 3

2π

c) 3

3

π

d) 3 π

15. (Unicamp 2016) A figura abaixo exibe um quadrilátero ABCD,

onde AB AD e BC CD 2 cm.

A área do quadrilátero ABCD é igual a

a) 22 cm .

b) 22 cm .

c) 22 2 cm .

d) 23 cm .

16. (Ita 2016) Sejam uma circunferência de raio 4 cm e PQ uma

corda em de comprimento 4 cm. As tangentes a em P e em Q

interceptam-se no ponto R exterior a . Então, a área do triângulo

em PQR, em 2cm , é igual a

a) 2 3

.3

b) 3 2

.2

c) 6

.2

d) 2 3

.5

e) 4 3

.3

17. (G1 - ifba 2016) Um triângulo retângulo de perímetro 12 cm está

inscrito numa circunferência cuja área mede 225cm .

4

π

Deste modo, a medida da área desse triângulo em 2cm , é igual a:

a) 4

b) 6

c) 8

d) 10

e) 12

18. (Ufpr 2016) Um triângulo possui lados de comprimento 2 cm e

6 cm e área de 26 cm . Qual é a medida do terceiro lado desse

triângulo?

a) 2 6 cm.

b) 2 10 cm.

c) 5 cm.

d) 5 2 cm.

e) 7 cm.

19. (Fatec 2016) Na figura, os pontos A, B, C e D são pontos

médios dos lados do quadrado MNPQ de lado de medida . Os

pontos E e F pertencem ao segmento BD de modo que

BE FD .4

A área do quadrado MNPQ é igual a k vezes a área da superfície

destacada em cinza.

Assim sendo, o valor de k é a) 2.

b) 4. c) 6.

d) 8.

e) 10.

20. (Uefs 2016)

Na figura, tem-se uma circunferência inscrita em um quadrado, que,

por sua vez, está inscrito em outra circunferência.

Considerando-se 3,14,π a área escura compreendida entre o

quadrado e a circunferência menor representa, em relação à área

interna à circunferência maior, um percentual de, aproximadamente, a) 11,8%

b) 13,7%

c) 16,4%

d) 18,3%

e) 21,5%

21. (Udesc 2016) Os pontos A, B, C, D, E e F dividem uma

circunferência em seis partes iguais, de tal modo que AD é um

diâmetro dessa circunferência com medida de 12 cm, conforme

mostra a figura.

Com base na figura, a área da região sombreada, em 2cm , é de:

a) 40 3

b) 72 3

c) 36 3

d) 54 3

e) 48 3

22. (Udesc 2016) No trapézio ABCD, representado na figura abaixo,

temos que AE 60 cm, DC 40 cm , e que CE é igual à altura

do trapézio ABCD.

Com base nas informações, pode-se concluir que a área da região

hachurada é igual a:

a) 100 3

b) 300 3

c) 200 3

3

d) 150 3

e) 50 3

23. (Ita 2016) Um hexágono convexo regular H e um triângulo equilátero T estão inscritos em circunferência de raios HR e TR ,

respectivamente. Sabendo-se que H e T têm mesma área, determine

a razão H

T

R.

R

24. (G1 - ifce 2016) Um trapézio isósceles tem bases medindo 4 e 8.

Se o perímetro desse trapézio é 20, então sua área mede

a) 12 3.

b) 12.

c) 12 2.

d) 6 3.

e) 6 2.

25. (G1 - cp2 2016) O Tangram é um quebra-cabeça chinês formado por 7 peças com as quais podemos formar várias figuras, utilizando

todas as peças e sem sobrepô-las.

Legenda:

Fig. 1 – Triângulo retângulo isósceles médio Fig. 2 – Paralelogramo

Fig. 3 e 5 – Triângulos retângulos isósceles congruentes

Fig. 4 – Quadrado

Fig. 6 e 7 – Triângulos retângulos isósceles congruentes

O retângulo a seguir foi formado por seis dessas sete peças.

A razão entre a área desse retângulo e a área do quadrado inicial é

de a) 0,25.

b) 0,33.

c) 0,56.

d) 0,75.

26. (Eear 2016) Assinale a alternativa que representa, corretamente, a área do triângulo esboçado na figura abaixo.

a) 215 m

b) 230 2 m

c) 215 3 m

d) 230 3 m

27. (G1 - ifal 2016) Um terreno triangular possui dois lados com medidas 16 m e 12 m que formam entre si um ângulo de 60 . Qual

a área desse terreno?

a) 248 m .

b) 296 m .

c) 212 3 m .

d) 224 3 m .

e) 248 3 m .

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:

Considere a área de uma folha de papel A4, com 297 mm de

comprimento e 210 mm de largura. Dobrando ao meio a folha de

papel por sucessivas vezes, são formados retângulos cada vez

menores. A tabela a seguir relaciona as medidas e a área dos

retângulos obtidos a cada dobragem.

Nº de dobragens 1 2 3 4

Largura (mm) 148,5 105 74,25 52,5

Comprimento (mm) 210 148,5 105 74,25

Área 2(mm ) 31185 15592,5 7796,25 3898,125

28. (Upf 2016) A folha de papel A4 foi dobrada como mostra a figura

a seguir. Se o comprimento do segmento AE é 177 mm, a medida

do segmento CE e a área do polígono ABCDE são,

respectivamente:

a) 30 65 mm e 237.170 mm .

b) 30 65 mm e 249.770 mm .

c) 3 13 mm e 249.770 mm .

d) 20 10 mm e 237.170 mm .

e) 3 10 mm e 235.070 mm .

29. (Ufrj 2009) O triângulo ABC da figura a seguir tem ângulo reto

em B. O segmento BD é a altura relativa a AC.

Os segmentos AD e DC medem 12 cm e 4 cm, respectivamente. O ponto

E pertence ao lado BC e BC = 4EC.

Determine o comprimento do segmento DE.

30. (G1 - cftmg 2008) Um homem, ao passar pelo prédio A de altura

h observa que sua sombra corresponde a 10% se comparada com a

desse prédio. Algum tempo depois, passando pelo edifício B de de

altura, verifica que a projeção de sua sombra é de e a do prédio B é

de 30 metros. Nessa situação, a altura h de A, em metros, vale

a) 15

b) 18

c) 21

d) 24

31. (Uel 2008) Para medir a altura de um edifício, um engenheiro

utilizou o seguinte procedimento: mediu a sombra do prédio obtendo

10,0 metros. Em seguida, mediu sua própria sombra que resultou em

0,5 metros. Sabendo que sua altura é de 1,8 metros, ele pôde calcular

a altura do prédio, obtendo:

a) 4,5 metros.

b) 10,0 metros.

c) 18,0 metros.

d) 36,0 metros.

e) 45,0 metros.

32. (Fuvest 2016) Os pontos A, B e C são colineares, AB 5,

BC 2 e B está entre A e C. Os pontos C e D pertencem a

uma circunferência com centro em A. Traça-se uma reta r

perpendicular ao segmento BD passando pelo seu ponto médio.

Chama-se de P a interseção de r com AD. Então, AP BP vale

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7 e) 8

33. (Ufg 2003) A figura abaixo representa um pentágono regular

ABCDE com 2 cm de lado e os pontos de interseção das retas

determinadas pelos lados AB e DC e das retas determinadas por BC e

ED.

Com base na figura, julgue os itens abaixo:

( ) O raio da circunferência que circunscreve o pentágono é maior

que 2.

( ) Os triângulos ADC e FBC são congruentes.

( ) DC . DF = (CF)2, onde DC, DF e CF, representam as medidas dos

respectivos segmentos.

( ) cos á = (1 5)

5

.

34. (G1 - ifal 2017) Determine a altura relativa à hipotenusa de um

triângulo retângulo, cujos catetos medem 6 cm e 8 cm.

a) 3,6 cm.

b) 4,8 cm.

c) 6,0 cm.

d) 6,4 cm.

e) 8,0 cm.

35. (G1 - ifal 2017) Ao soltar pipa, um garoto libera 90 m de linha,

supondo que a linha fique esticada e forme um ângulo de 30 com a

horizontal. A que altura a pipa se encontra do solo? a) 45 m.

b) 45 3 m.

c) 30 3 m.

d) 45 2 m.

e) 30 m.

36. (Ita 2017) Seja ABC um triângulo cujos lados AB, AC e BC

medem 6 cm, 8 cm e 10 cm, respectivamente. Considere os pontos

M e N sobre o lado BC tais que AM é a altura relativa a BC e

N é o ponto médio de BC. A área do triângulo AMN, em 2cm , é

a) 3,36.

b) 3,60.

c) 4,20.

d) 4,48.

e) 6,72.

Gabarito:

1. [B]. Sabendo que o número de diagonais de um polígono regular

em função do número de lados é dado por temos

que

Logo, e são vértices consecutivos de um octógono

regular, cujo ângulo interno mede

De posse desses dados, considere a figura abaixo.

Como os triângulos e são congruentes, basta

calcularmos pois é retângulo.

Assim,

Por conseguinte,

2. [D]. O ângulo interno de um pentágono regular é dado por 180 (5 2)

108 .5

Considere a figura abaixo.

Seja M o ponto médio de AB. Logo, como ABC é isósceles, segue

que CM é mediana, bissetriz e altura. Desse modo,

(d)

(n)n (n 3)

d ,2

2n (n 3)20 n 3n 40 0 n 8.

2

A,B, C D

180 (n 2) 180 (8 2)135 .

n 8

AB'B CC'D

AB', BB'C'C

AB 1 2AB' .

22 2

AD 2 AB' B'C'

22 1

2

2 1.

ˆACBˆACM 542

e, portanto, ˆ180 ACBˆCAB 36 .

2

Do triângulo ACM vem que

d 2 1 5 1 5 1cos36 cos36 .

a 2 2 4

Por conseguinte, sabendo que 2cos2a 2cos a 1, obtemos 2

2

cos72 2 cos 36 1

5 12 1

4

5 1.

4

3. [B]

y + 60o = 90o;

Logo, y = 30o e z = 60o.

Portanto, x + z = 90o = x = 30o

4. [B].

Diagonais de P: 92

)36.(6

Lados de Q: n – 3 = 9 n = 12

Ângulo interno de Q: 12

)212(180 = 150 graus

5. [A].

Teremos:

BA BD DAB ADB BDC 36

2 36 ABD 180 ABD 108 DBC BCD 72

Logo:

ADC ACD 72 AC AD 120 km

6. Na figura abaixo, 1 2H , H e 3H são os pontos em que os círculos

de centros A,B e C tangenciam a reta.

Seja O o centro do círculo circunscrito ao triângulo ABC.

É fácil ver que 1 2 1BH AH 2 BH AM, com M sendo o ponto

médio do lado BC. Logo, pela propriedade da mediana, obtemos

12 4

OA AM BH ,3 3

ou seja, o raio do círculo maior é igual a 4

3 do raio dos círculos

menores.

7. Sabendo que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero

convexo é igual a 360 e que os ângulos ABC e ADC são retos,

temos que o quadrilátero ABCD é inscritível. Além disso, como

AC BD, segue que DE EB e, portanto,

2

DE EB AE EC DE 18 32

DE 9 2 32

DE 3 8

DE 24cm.

Desse modo, como AE 18 3 6 e DE 24 4 6, vem que

AD 5 6 30. Por outro lado, como EC 32 4 8 e

DE 24 3 8, obtemos CD 5 8 40.

Portanto, como os triângulos ABE e ADE são congruentes, bem

como os triângulos BCE e CDE, vem

AB BC CD DA 2 30 2 40 140cm.

8. [E]. Para que a troca seja possível, deve-se ter 4a 2b 2 e

3b 5a 5. Logo, se 4a 32cm, ou seja, a 8cm, então

3b 45cm e, portanto, a troca será possível.

Resposta da questão 9:

[E]

Considere a figura.

Seja a medida do lado do losango ABCD.

Assim, como AQ AM2

e supondo QAM 60 , temos que o

triângulo AQM é equilátero e, portanto, MQ .2

Analogamente,

segue que PN .2

Por outro lado, temos que QDP 120 . Daí, se S é o pé da

perpendicular baixada de D sobre PQ, concluímos que

QDS 60 , pois DP DQ .2

Logo, do triângulo DQS, vem

PQ

QS 2senQDS sen60DQ

2

3PQ .

2

Por conseguinte, a razão pedida é igual a

ABCD

MNPQ

2p 4

2p 32

2 2

4 3 1

3 1 3 1

2 3 2.

10. [B]. Considere a figura.

Sabendo que M e Q são os pontos médios de AB e AD, temos

que MQ é base média do triângulo ABD. Desse modo, MQ BD.

Analogamente, concluímos que NP BD e PQ AC MN. Além

disso, como as diagonais AC e BD do losango são perpendiculares,

segue que MNPQ é retângulo.

Por outro lado, dado que MAQ NCP ,α com 0 90 ,α é

imediato que PDQ MBN 180 .α Mas

AQ AM DQ DP e, portanto, MQ PQ, ou seja, MNPQ é

um retângulo que não é losango.

11. [E]. Calculando os pontos dos vértices do triângulo hachurado, tem-

se:

Reta crescente: 1y x 1

Reta decrescente: 24

y x 46

Ponto de encontro entre as duas retas: 4

x 1 x 4 x 3 e y 26

Quanto 2y 1, x será:

24 18

y 1 x 4 x 4,56 4

Com as coordenadas dos vértices do triângulo, pode-se escrever:

triângulo triângulo(4,5 2) (2 1) 2,5 5

S S2 2 4

12. Para os triângulos retângulos com ângulos 30 , 60 e 90 , tem-

se:

Analisando o triângulo ECB percebe-se que o ângulo em B é igual

ao ângulo em E, logo os lados BC e EC são iguais e medem 18 cm

cada.

Analisando o triângulo ECD e a figura acima pode-se escrever: 2a 18 a 9

CD a 3 9 3

Logo, a medida da área, em 2cm do triângulo BCE será:

18 9 3S S 81 3

2Δ Δ

Resposta da questão 13:

01 + 02 + 04 + 16 = 23.

[01] CORRETA. Ângulos alternos externos são iguais, logo, pode-se

escrever: 3x 4 4x 37 x 41

3 41 4 127soma 254

4 41 37 127

[02] CORRETA. Se o arco AB mede 156 , então o ângulo inscrito a

este mede 78 . Como a soma dos ângulos internos de um

triângulo é 180 , pode-se concluir que o ângulo complementar

a x que pertencente ao triângulo formado pelas retas com

vértice em A vale 75 . Logo, x 105 .

[04] CORRETA. Dividindo a figura em dois triângulos retângulos, pode-se escrever:

222 22 22 22 2Área Área 242 1 2 m

2 2

[08] INCORRETA. Por semelhança de triângulos, pode-se escrever: AC AB AC AB 6 4

AD 3 cmAD AE AD AC CE AD 2

[16] CORRETA. Por Pitágoras, pode-se escrever: 2 2 29 6 c c 45

6 45 9 h 6 45 2 3 5Área h h 2 5

2 2 9 3

14. [A]. Considere cada um dos triângulos equiláteros parcialmente hachurados com lado r, que é igual ao raio da circunferência menor

da figura.

A altura h de cada um dos triângulos equiláteros é dada por:

r 3h

2

r 3 1 3R 2h 2 1 r 3 r r

2 33

A área de cada um dos triângulos equiláteros menores será igual a:

33

b h r 3 3 33S r S2 4 3 4 12

Δ Δ

A área que é delimitada por um setor circular abaixo de cada um dos

triângulos equiláteros pode ser escrita com sendo: 2

setor

360

3 18 1S

360 9 36 18

ππ π

Por fim, a área hachurada pode ser calculada como sendo: hachurada setor hachurada setor

hachurada

hachurada

S 6 S S S S 6 2 S S

2 3 3 3 3 3 3S 6 6 6

12 18 6 18 18 3

S 33

Δ Δ Δ

π π π π

π

15. [B]. Considere a figura.

Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo BCD, temos

2 2 2 2 2 2 2

BD BC CD 2 BC CD cosBCD BD 2 2 2 2 22

BD 2 2 2 cm.

Como AC é bissetriz de BAD e BCD, segue que os triângulos

retângulos ABE e ADE são congruentes. Logo, podemos concluir

que AE 2 2 cm.

A resposta é dada por

2

1 1(ABD) (BCD) BD AE BC CD senBCD

2 2

2 2 2 2 2 1 22 2

2 2 2

2 2 2

2cm .

16. [E].

ˆOPR 90 60 30

No triângulo PMR, temos:

h 3 h 2 3tg30 h cm

2 3 2 3

Logo, a área do triângulo PQR será dada por:

1 2 3 4 3A 4 A

2 3 3

17. [B]

2

2triângulo triângulo

25 5R R diâmetro hipotenusa 5 cm triângulo retângulo do tipo 3,4,5

4 2

4 3S S 6 cm

2

ππ

18. [B]. Considere a figura:

Temos:

1 1S absen 6 (2)(6)sen sen 1 90

2 2Δ α α α α

Portanto, trata-se de um triângulo retângulo.

Logo, 2 2 2x (2) (6) x 2 10 cm

19. [B]. Calculando:

2 2

2 2

cinza cinza

2MNPQ

2MNPQ 2 MNPQ

2 2cinza cinza

ADF CDF CBE ABE

14 2ADF ADF2 8 2 16

A 4 A16 4

A

A A44

A A

4

20. [B]. Sejam , r e R, respectivamente, o lado do quadrado, o raio

do círculo menor e o raio do círculo maior. Logo, como 2r e

R r 2, tem-se que a área escura é dada por

2 2 2 2 2r (2r) 3,14r 0,86r .π

Portanto, como a área do círculo maior é 2 2R 6,28r ,π vem 2

2

0,86r100% 13,7%.

6,28r

21. [E]. Considere a figura, em que O é o centro da circunferência e

G é o ponto de interseção de AE e DF.

É imediato que AFD, DEA, DCA e ABD são triângulos retângulos

congruentes. Assim, como GO é perpendicular a AD, podemos

afirmar que a região sombreada é formada por oito triângulos

retângulos congruentes de catetos 6cm e 2 3 cm.

Portanto, a resposta é

218 6 2 3 48 3 cm .

2

22. [D]. Para tornar mais fácil a análise, acrescentou-se na figura os

pontos E, F e G e os segmentos DG e CE, perpendiculares a

AB, conforme indicado na figura abaixo:

Nota-se por construção que:

1. GE DC 40 cm,

2. AG AE GE 60 40 20 cm.

3. ADG 135 90 45 , e como AGD 90 , então

GAD 45 , e o triângulo AGD é isósceles, o que implica que

h DG AG 20 cm, sendo h a altura do trapézio.

4. FCE 150 90 60 e CEF 120 90 30 o que

implica que CFE 180 30 60 90 e, por

consequência, BFE 90 . Logo, a área do triângulo BFE

desejada é igual a EF FB

.2

5. do triângulo EFC,

3EF CE cos30 h cos30 20 10 3 cm.

2

6. BEF 180 120 60 , o que implica que

FB EF tg60 10 3 3 30 cm.

A área desejada é calculada da seguinte forma:

2EF FB 10 3 30Área 150 3 cm

2 2

A alternativa correta é a [D].

23. Considerando que x é a medida do lodo do hexágono regular e y

a medida do lado do triângulo equilátero, temos:

Considerando que a área do hexágono é igual a área do triângulo,

podemos escrever que: 2 2x 3 y 3 x 1

64 4 y 6

Portanto,

H

T

R x 3 3 2

R 23 2 6 3 3 2y

2 3

24.[A]. Admitindo que x é a medida dos lados não paralelos do trapézio isósceles e h a medida de sua altura, podemos escrever:

Calculando a medida x através do perímetro. 2x 4 8 20 x 4

Calculando, agora, a medida da altura, temos:

2 2 2h 2 4 h 12 h 2 3

E, finalmente, a área do trapézio.

8 4 2 3A 12 3

2

25.[D]. Notamos que para formar o retângulo não utilizamos o

triângulo 7, que representa 1

4 da área do quadrado. Considerando

que a área do quadrado seja A, podemos encontrar a razão pedida

do seguinte modo:

AA

Área do retângulo 34 0,75A 4Área do quadrado

26.[A]. A área A do triângulo ABC será dada por:

21 1A 10 6 sen30 30 15 m .

2 2

27. [E]. 212 16 sen 60A 48 3 m

2

28. [A]. Aplicando o teorema de Pitágoras

2 2 2x 210 120

x 44100 14400

x 30 65 mm

Calculo da área do polígono ABCDE

pol Re t Triang.

pol

pol

2pol

S S S

210 120S 210 297 2

2

S 62370 (25200)

S 37170 mm

29. 2 3 . 30.[B] 31.[D] 32.[D]

Considere a figura, em que M é o ponto médio de BD.

Os triângulos BPM e DPM são congruentes por LAL, pois

MB MD, MP é lado comum e BMP DMP. Daí, temos

BP DP e, portanto, AP BP AC 5 2 7.

33.

F V V F

34.[B]

Observe primeiramente que:

Obtendo a hipotenusa temos:

2 2 2

2 2 2

hip cat cat

hip 8 6

hip 100 10

Analisando a altura relativa (h), temos:

Segundo as propriedades referentes a altura relativa a hipotenusa podemos afirmar que:

26 m 10 36 10m

m 3,6

E que: 28 n 10 10n 64

n 6,4

Por fim, basta aplicar a relação h m n sobre o triangulo. Logo: 2

2

h m n

h 3,6 6,4

h 23,04 4,8

35. [A]. Considere a situação

Aplicando o seno de 30 temos: h 1 h

sen(30 )90 2 90

h 45 m.

36.[A]

Calculando:

2 22 2

AMN AMN

6, 8,10 Pitagórico

2410 h 6 8 h

5

576AMB 6 h 5 MN 36 25 10MN MN MN 1,4

25

241,4

MN h 5S S 3,362 2