Professora: Maria Adriana Batista - E a vida é bela · Escolhe-se ao acaso um aluno dessa turma e...

Professora: Maria Adriana Batista

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Teste Intermédio Dezembro 2005

1. Três raparigas e os respectivos namorados posam para uma fotografia.

De quantas maneiras se podem dispor, lado a lado, de modo que cada par de namorados fique

junto na fotografia?

(A) 12 (B) 24 (C) 36 (D) 48

2. Um baralho de cartas completo é constituído por 52 cartas, repartidas em 4 naipes (Espadas,

Copas, Ouros e Paus). Em cada naipe há um Ás, três figuras (Rei, Dama e Valete) e mais nove

cartas (do Dois ao Dez).

A Joana pretende fazer uma sequência com seis cartas do naipe de Espadas.

Ela quer iniciar a sequência com o Ás, quer que as três cartas seguintes sejam figuras e quer

concluir a sequência com duas das nove restantes cartas desse naipe.

Quantas sequências diferentes pode a Joana fazer?

(A) 416 (B) 432 (C) 528 (D) 562

3. De uma certa linha do Triângulo de Pascal, sabe-se que a soma dos dois primeiros termos é 21. Qual é o maior termo dessa linha?

(A) 169 247 (B) 175 324 (C) 184 756 (D) 193 628

4. Considere a função f, de domínio ℝ, definida por푓(푥) = 푥 − 9.

No gráfico desta função, considere os pontos cujas abcissas são -4, -2, 0, 2 e 4.

Escolhem-se, ao acaso, dois desses cinco pontos e desenha-se o segmento de recta que tem por

extremidades esses dois pontos.

Qual é a probabilidade de esse segmento intersectar o eixo das abcissas?

(A) 0,4 (B) 0,5 (C) 0,6 (D) 0,7

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5. Na figura está representado um hexágono regular com os vértices numerados de 1 a 6.

Lança-se três vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6.

Em cada lançamento, selecciona-se o vértice do hexágono que corresponde ao

número saído nesse lançamento.

Note que, no final da experiência, podemos ter um, dois ou três pontos

seleccionados (por exemplo: se sair o mesmo número três vezes, só é seleccionado um ponto).

Qual é a probabilidade de se seleccionarem três pontos que sejam os vértices de um triângulo

equilátero?

(A) ퟏퟏퟖ

(B) ퟏퟏퟔ

(C) ퟏퟏퟒ

(D) ퟏퟏퟐ

6. O João vai lançar seis mil vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6, e vai

adicionar os números saídos.

De qual dos seguintes valores é de esperar que a soma obtida pelo João esteja mais próxima?

(A) 20 000 (B) 21 000 (C) 22 000 (D) 23 000

7. Admita que a variável peso, em quilogramas, das raparigas de 15 anos, de uma certa escola, é

bem modelada por uma distribuição normal, de valor médio 40.

Sabe-se ainda que, nessa escola, 20% das raparigas de 15 anos pesam mais de 45 kg.

Escolhida, ao acaso, uma rapariga de 15 anos dessa escola, qual é a probabilidade de o seu peso

estar compreendido entre 35 kg e 40 kg?

(A) 0,2 (B) 0,25 (C) 0,3 (D) 0,35

8. Seja C o conjunto de todos os números naturais com três algarismos (ou seja, de todos os

números naturais de 100 a 999).

8.1. Quantos elementos do conjunto C são múltiplos de 5?

8.2. Quantos elementos do conjunto C têm os algarismos todos diferentes?

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9. Seja Ω o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória.

Sejam A e B dois acontecimentos (A ⊂ Ω e B ⊂ Ω), com 푃(A) > 0 e, sejam A e B os

acontecimentos contrários de A e de B, respectivamente.

Seja 푃(B | A) a probabilidade de B, se A. Mostre que:

P ( B)− P (A ∩ B)P(A) = 1 − 푃(B | A)

10. Próximo de uma praia portuguesa, realiza-se um acampamento internacional de juventude,

no qual participam jovens de ambos os sexos. Sabe-se que:

A quarta parte dos jovens são portugueses, sendo os restantes estrangeiros;

52% dos jovens participantes no acampamento são do sexo feminino;

Considerando apenas os participantes portugueses, 3 em cada 5 são rapazes.

No último dia, a organização vai sortear um prémio, entre todos os jovens participantes no

acampamento.

Qual é a probabilidade de o prémio sair a uma rapariga estrangeira? Apresente o resultado na

forma de percentagem.

Nota: Se o desejar, pode utilizar a igualdade da questão anterior (nesse caso, comece por

identificar claramente, no contexto do problema, os acontecimentos A e B); no entanto, pode

optar por resolver o problema por outro processo (como, por exemplo, através de uma tabela de

dupla entrada ou de um diagrama em árvore).

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11. Uma caixa, que designamos por caixa 1, contém duas bolas pretas e três bolas verdes.

Uma segunda caixa, que designamos por caixa 2, contém duas bolas pretas e uma bola verde.

11.1. Considere a seguinte experiência: retirar, ao acaso, uma bola de cada caixa.

Seja X a variável aleatória «número de bolas verdes que existem no conjunto das duas bolas

retiradas».

Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X, apresentando as

probabilidades na forma de fracção irredutível.

11.2. Considere agora que, tendo as duas caixas a sua constituição inicial, se realiza a seguinte

experiência:

Ao acaso, retiram-se simultaneamente três bolas da caixa 1 e colocam-se na caixa 2;

Em seguida, novamente ao acaso, retiram-se simultaneamente duas bolas da caixa 2.

Sejam os acontecimentos:

A: «as três bolas retiradas da caixa 1 são da mesma cor»;

B: «as duas bolas retiradas da caixa 2 são de cores diferentes».

Sem utilizar a fórmula da probabilidade condicionada, determine o valor de 푃(B | A),

apresentando o seu valor na forma de fracção irredutível. Numa pequena composição, explique o

raciocínio que efectuou. O valor pedido deverá resultar da interpretação do significado de

푃(B|A), no contexto do problema, significado esse que deverá começar por explicar.

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11.3. Considere agora que, na caixa 2, tomando como ponto de partida a sua constituição inicial,

se colocam mais n bolas, todas amarelas. Esta caixa fica, assim, com duas bolas pretas, uma bola

verde e n bolas amarelas.

Considere a seguinte experiência: ao acaso, retiram-se simultaneamente duas bolas dessa caixa.

Sabendo que a probabilidade de uma delas ser amarela e a outra ser verde é ퟓퟑퟗ

determine o

valor de n.

Teste Intermédio Março 2006

1. Considere, num referencial o.n. Oxyz, um octaedro regular em que cada um dos seus vértices

pertence a um dos eixos coordenados (dois vértices em cada eixo).

Escolhendo, ao acaso, dois vértices desse octaedro, qual é a probabilidade de eles definirem uma

recta contida no plano xOz?

(A) ퟏퟓ

(B) ퟐퟓ

(C) ퟏퟑ

(D) ퟐퟑ

2. Todos os alunos de uma turma de uma escola secundária praticam pelo menos um dos dois

desportos seguintes: andebol e basquetebol. Sabe-se que:

metade dos alunos da turma pratica andebol

80% dos alunos da turma pratica basquetebol

Escolhe-se ao acaso um aluno dessa turma e constata-se que ele é praticante de andebol.

Qual é a probabilidade de ele praticar basquetebol?

(A) 0,3 (B) 0,4 (C) 0,5 (D) 0,6

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3. Na figura está representado um dado equilibrado, bem como a respectiva planificação.

Lança-se este dado duas vezes.

Seja X a variável aleatória: soma dos números saídos nos dois lançamentos.

Indique o valor de k tal que 푃(푋 = 푘) =

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

Teste Intermédio Dezembro 2006

1. Pretende-se fazer uma bandeira com cinco tiras verticais, respeitando as seguintes condições:

Duas tiras vizinhas não podem ser pintadas com a mesma cor;

Cada uma das três tiras centrais pode ser pintada de vermelho ou de amarelo;

Cada uma das duas tiras das extremidades pode ser pintada de branco, de azul ou de verde.

De acordo com estas condições, quantas bandeiras diferentes se podem fazer?

(A) 12 (B) 18 (C) 24 (D) 32

2. Dois rapazes e três raparigas vão fazer um passeio num automóvel com cinco lugares, dois à

frente e três atrás. Sabe-se que:

Apenas os rapazes podem conduzir.

A Inês, namorada do Paulo, tem de ficar ao lado dele.

De acordo com estas restrições, de quantos modos distintos podem ficar dispostos os cinco

jovens no automóvel?

(A) 10 (B) 14 (C) 22 (D) 48

3. No Triângulo de Pascal, considere a linha que contém os elementos da forma 퐶

Quantos elementos desta linha são menores do que 퐶 ?

(A) 8 (B) 6 (C) 5 (D) 3


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Sejam A e B dois acontecimentos (A ⊂ Ω e B ⊂ Ω), com 0 < 푃(A) < 1 e 0 < 푃(B) < 1

Sabe-se que A ⊂ B.

Qual é o valor de 푃[(A ∪ B) ∩ 퐵]

(A) 0 (B) 푃(A) (C) 푃(B) (D) 1

5. Um saco contém um certo número de cartões. Em cada cartão está escrito um número natural.

Tira-se, ao acaso, um cartão do saco. Considere os acontecimentos:

A: «o cartão extraído tem número par»

B: «o cartão extraído tem número múltiplo de 5»

C: «o cartão extraído tem número múltiplo de 10»

Sabe-se que: 푃(C) = e 푃(B | A) =

Qual é o valor de 푃(A)?

(A) (B) (C) (D)

6. Uma variável aleatória X tem a seguinte distribuição de probabilidades:

(a e b designam números reais positivos)

Sabe-se que o valor médio da variável aleatória X é 2,4.

Qual é o valor de a?

(A) 3 (B) 2,5 (C) 2 (D) 1,5

7. Admita que a variável altura, em centímetros, dos rapazes de 13 anos de um certo país, é bem

modelada por uma distribuição normal, de valor médio 140.

Escolhido, ao acaso, um rapaz de 13 anos desse país, sabe-se que a probabilidade de a sua altura

pertencer a um determinado intervalo [푎,푏]é igual a 60%.

Quais dos seguintes podem ser os valores de a e de b?

(A) 푎 = 140 푒 푏 = 170 (B) 푎 = 120 푒 푏 = 140

(C) 푎 = 130 푒 푏 = 150 (D) 푎 = 150 푒 푏 = 180

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8. Um baralho de cartas completo é constituído por 52 cartas, repartidas em 4 naipes (Espadas,

Copas, Ouros e Paus). Em cada naipe há 13 cartas: um Ás, três figuras (Rei, Dama e Valete) e

mais 9 cartas (do Dois ao Dez).

8.1. Utilizando apenas o naipe de paus, quantas sequências diferentes de 13 cartas, iniciadas com

uma figura, é possível construir?

8.2. Retirando ao acaso, sucessivamente e sem reposição, seis cartas de um baralho completo,

qual é a probabilidade de, entre elas, haver um e um só Ás?

Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às centésimas.

9. Um saco contém dez bolas.

Quatro bolas estão numeradas com o número 1, cinco com o número 2 e uma com o número 3.

9.1. Extrai-se, ao acaso, uma bola do saco. Seja X o número da bola extraída.

Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X, apresentando as

probabilidades na forma de dízima.

9.2. Do saco novamente completo, tiram-se simultaneamente, ao acaso, duas bolas.

Determine a probabilidade de essas duas bolas terem o mesmo número.

Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.

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9.3. Considere, uma vez mais, o saco com a sua constituição inicial.

Tira-se, ao acaso, uma bola do saco, observa-se o número e repõe-se a bola no saco juntamente

com mais dez bolas com o mesmo número.

Seguidamente, tira-se, ao acaso, uma segunda bola do saco.

Sejam A e B os acontecimentos:

A: «sair bola com o número 1 na primeira extracção»

B: «sair bola com o número 1 na segunda extracção»

Sem aplicar a fórmula da probabilidade condicionada, indique, na forma de fracção, o valor de

푃(B|A). Numa pequena composição, explique o seu raciocínio, começando por referir o

significado de 푃(B|A), no contexto da situação descrita.

10. Seja Ω o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória e sejam A e B dois

acontecimentos (A ⊂ Ω e B ⊂ Ω).

Sabe-se que A e B são acontecimentos independentes, que 푃(퐵) = e que 푃(퐴 ∩ 퐵) =

Determine o valor de 푃(퐴 ∪ 퐵).


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Teste Intermédio Março 2007

1. Seja Ω o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória e sejam A e B dois

acontecimentos (A ⊂ Ω e B ⊂ Ω), ambos com probabilidade não nula.

Sabe-se que 푃( A ∪ B) = 푃(퐴) + 푃(퐵)

Qual é o valor da probabilidade condicionada 푃(B | A)?

(A) 푃(B) (B) ( )( ) (C) 1 (D) 0

2. Um saco contém vinte bolas, numeradas de 1 a 20.

Ao acaso, extraem-se simultaneamente três bolas do saco e anotam-se os respectivos números.

Qual é a probabilidade de o maior desses três números ser 9?

(A) (B) (C) (D)

3. O Jorge tem seis moedas no bolso.

Ele retira, simultaneamente e ao acaso, duas dessas seis moedas.

Seja X a quantia, em cêntimos, correspondente às duas moedas retiradas.

Sabe-se que a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X é

Quais poderiam ser as seis moedas que o Jorge tinha inicialmente no bolso?

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Teste Intermédio Janeiro 2008

1. Uma caixa 1 tem uma bola verde e três bolas amarelas.

Uma caixa 2 tem apenas uma bola verde.

Considere a experiência que consiste em tirar,

simultaneamente e ao acaso, duas bolas da caixa 1, colocá-las

na caixa 2 e, em seguida, tirar, também ao acaso, uma bola da

caixa 2.

Sejam M e V os acontecimentos:

M: «as bolas retiradas da caixa 1 têm a mesma cor»

V: «a bola retirada da caixa 2 é verde»

Indique o valor da probabilidade condicionada 푃(푉|푀)

(Não necessita de recorrer à fórmula da probabilidade condicionada)

(A) 0 (B) (C) (D) 1

2. A soma dos dois últimos elementos de uma certa linha do Triângulo de Pascal é 31.

Qual é o quinto elemento da linha anterior?

(A) 23751 (B) 28416 (C) 31465 (D) 36534

3. Os códigos dos cofres fabricados por uma certa empresa consistem numa sequência de cinco

algarismos como, por exemplo, 07757

Um cliente vai comprar um cofre a esta empresa. Ele pede que o respectivo código satisfaça as

seguintes condições:

Tenha exactamente três algarismos 5

Os restantes dois algarismos sejam diferentes

A soma dos seus cinco algarismos seja igual a dezassete

Quantos códigos diferentes existem satisfazendo estas condições?

(A) 20 (B) 40 (C) 60 (D) 80

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4. A Curva de Gauss representada na figura está associada a uma variável aleatória X, com

distribuição Normal.

Tal como a figura sugere, a curva é simétrica relativamente à recta de equação 푥 = 2

Para um certo valor de a, tem-se que 푃(푋 > 푎) = 15%

Qual dos seguintes pode ser o valor de a?

(A) 1 (B) 1,5 (C) 2 (D) 2,5

5. Na figura está representado um dado equilibrado e a respectiva planificação.

Lança-se este dado uma única vez.

Seja X o número escrito na face que fica voltada para cima.

Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X e,

seguidamente, determine, sem recorrer à calculadora, o valor médio desta

variável. - Apresente o valor médio na forma de fracção irredutível.

6. Doze amigos vão passear, deslocando-se num automóvel e numa carrinha, ambos alugados.

O automóvel dispõe de cinco lugares: o do condutor e mais quatro. A carrinha dispõe de sete

lugares: o do condutor e mais seis.

Apenas dois elementos do grupo, a Filipa e o Gonçalo, têm carta de condução, podendo qualquer

um deles conduzir, quer o automóvel, quer a carrinha.

6.1. Os doze amigos têm de se separar em dois grupos, de modo a que um grupo viaje no

automóvel e o outro na carrinha.

De quantas maneiras diferentes podem ficar constituídos os dois grupos de amigos?

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6.2. Admita agora que os doze amigos já se encontram devidamente instalados nos dois veículos.

O Gonçalo vai a conduzir a carrinha.

Numa operação STOP, a Brigada de Trânsito mandou parar cinco viaturas, entre as quais a

carrinha conduzida pelo Gonçalo.

Se a Brigada de Trânsito escolher, ao acaso, dois dos cinco condutores para fazer o teste de

alcoolemia, qual é a probabilidade de o Gonçalo ter de fazer o teste?


7. Seja Ω o espaço de resultados associado a uma experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos (퐴 ⊂ 훺 푒 퐵 ⊂ 훺), ambos com probabilidade não nula. Utilizando a fórmula da probabilidade condicionada e as propriedades das operações com conjuntos, prove que

7.1. 푃 퐴 ∩ 퐵 |퐵 = 푃(퐴|퐵)

7.2. 푃 퐴 ∩ 퐵 |퐴 = 푃(퐵|퐴)

Teste Intermédio Abril 2008

1. Lança-se cinco vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6.

Seja p a probabilidade de, nos cinco lançamentos, sair face 6 exactamente duas vezes.

Qual é o valor de p arredondado às centésimas?

(A) 0,12 (B) 0,16 (C) 0,23 (D) 0,27

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De dois acontecimentos A e B (A ⊂ Ω e B ⊂ Ω) de probabilidade não nula, sabe-se que:

푃(퐴) = 푃(퐵)

푃(퐴 ∪ 퐵) = 5 푃(퐴 ∩ 퐵)

Determine a probabilidade de acontecer A, sabendo que B aconteceu.


3. Considere o seguinte problema:

Lança-se três vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6, e multiplicam-se os

números saídos.

Qual é a probabilidade de o produto obtido ser igual a 6?

Uma resposta correcta a este problema é !

Numa pequena composição, explique porquê.

A sua composição deve incluir:

Uma referência à Regra de Laplace;

Uma explicação do número de casos possíveis;

Uma explicação do número de casos favoráveis.

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Prova Modelo 2000 1. Cada uma de seis pessoas lança um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. Qual é a probabilidade de os números saídos serem todos diferentes?

(A) ퟔ!ퟔퟔ

(B) ퟏퟔퟔ

(C) ퟏퟔ!

(D) ퟏퟔ

2. Uma caixa contém cinco bolas brancas e cinco pretas, indistinguíveis ao tacto. Tiram-se ao acaso, sucessivamente e sem reposição, duas bolas da caixa. Considere os seguintes acontecimentos: B1 – a bola retirada em primeiro lugar é branca; B2 – a bola retirada em segundo em lugar é branca. Qual é o valor da probabilidade condicionada 푷 (퐁ퟐ| 푩ퟏ)?

(A) ퟏퟐ

× ퟒퟗ

(B) ퟏퟐ

× ퟓퟗ (C)

ퟒퟗ

(D) ퟓퟗ

3.Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um octaedro regular. Sabe-se que:

Um dos vértices do octaedro é a origem O do referencial

A recta ST é paralela ao eixo Oz

O ponto P pertence ao semieixo positivo Ox

O ponto R pertence ao semieixo positivo Oy

A aresta do octaedro tem comprimento 1.

Escolhidos ao acaso dois vértices do octaedro, qual é a probabilidade de estes definirem uma recta contida no plano de equação 풙 = 풚. – Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.

4. Seja S o conjunto de resultados associado a uma experiência aleatória.

Sejam A e B dois acontecimentos (A e B são, portanto, subconjuntos de S)

Prove que 푷(푨) + 푷(푩) + 푷(푨 ∩ 푩) = ퟏ + 푷(푨 ∩ 푩)

(P designa a probabilidade e 푨 풆 푩 designam os acontecimentos contrários de A e de B).

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Exame Nacional 1ª Fase 1ª Chamada 2000

1. Seja A um acontecimento possível, cuja probabilidade é diferente de 1.

Qual é o valor da probabilidade condicionada 푷(푨|푨)?

(A) 0 (B) 1 (C) 푃(퐴) (D) [푃(퐴)]

2. Lança-se um dado com as faces numeradas de 1 a 6. Considere os acontecimentos: A: «sair face ímpar» B: «sair face de número maior ou igual a 4». Qual é o acontecimento contrário de 푨 ∪ 푩?

(A) sair a face 1 ou a face 5 (B) sair a face 4 ou a face 6

(C) sair a face 2 (D) sair a face 5

3. Na figura está representado um poliedro com doze faces, que pode ser decomposto num cubo e em duas pirâmides quadrangulares regulares. 3.1. Pretende-se numerar as doze faces do poliedro, com os números de 1 a 12 (um número diferente em cada face). Como se vê na figura, duas das faces do poliedro já estão numeradas, com os números 1 e 3. 3.1.1 De quantas maneiras podemos numerar as outras dez faces, com os restantes dez números?

3.1.2. De quantas maneiras podemos numerar as outras dez faces, com os restantes dez números, de forma a que, nas faces de uma das pirâmides, fiquem só números ímpares e, nas faces da outra pirâmide, fiquem só números pares?

3.2. Considere agora o poliedro num referencial o.n. Oxyz, de tal forma que o vértice P coincida com a origem do referencial, e o vértice Q esteja no semieixo positivo Oy. Escolhidos ao acaso três vértices distintos, qual é a probabilidade de estes definirem um plano paralelo ao plano de equação 풚 = ퟎ? – Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.

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Exame Nacional 1ª Fase 2ª Chamada 2000 1. Considere todos os números de seis algarismos que se podem formar com os algarismos de 1 a 9. Destes números, quantos têm exactamente um algarismo 4? (A) ퟖퟓ (B) ퟗퟓ (C) ퟔ × ퟖퟓ (D) ퟔ × 푨ퟓퟖ

2. O António escolhe, ao acaso, uma página de um jornal de oito páginas. A Ana escolhe, ao caso, uma página de uma revista de quarenta páginas. Qual é a probabilidade de ambos escolherem a página 5? (A) ퟏ

ퟑퟐퟎ (B) ퟏ

ퟐퟎ (C) ퟏ

ퟒퟖ (D) ퟓ

ퟒퟖ

3.1. Um estudo feito a uma certa marca de iogurtes revelou que:

Se um iogurte está dentro do prazo de validade, a probabilidade de estar estragado é 0,005;

Se um iogurte está fora do prazo de validade, a probabilidade de estar estragado é 0,65

Considere que, num certo dia, uma mercearia tem dez iogurtes dessa marca, dos quais dois estão

fora de prazo.

Escolhendo ao acaso, um desses dez iogurtes, qual é a probabilidade de ele estar estragado?

3.2. Considere o seguinte problema:

Uma caixa tem 12 compartimentos para colocar iogurtes. De quantas maneiras diferentes

podemos colocar 7 iogurtes nessa caixa, sabendo que quatro iogurtes são naturais (e portanto

indistinguíveis) e os restantes três são de frutas todas diferentes.

As respostas

(A) 푪ퟕퟏퟐ × 푨ퟑ

ퟕ e (B) 푪ퟒퟏퟐ × 푨ퟑ

ퟖ estão ambas correctas.

Numa pequena composição explique o raciocínio que está por detrás de cada resposta.

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Exame Nacional 2ª Fase 2000 1. Três rapazes e duas raparigas vão dar um passeio de automóvel. Qualquer dos cinco jovens pode conduzir. De quantas maneiras podem ocupar os cinco lugares, dois À frente e três atrás, de modo a que o condutor seja uma rapariga e a seu lado viaje um rapaz? (A) 36 (B) 120 (C) 12 (D) 72

2. Lança-se duas vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. Seja X o número de vezes que sai a face 6 nos dois lançamentos. Qual é a distribuição de probabilidades da variável X? (A) (B) (C) (D)

3.1. Seja S o conjunto de resultados associado a uma certa experiência aleatória.

Sejam E1 e E2 dois acontecimentos (푬ퟏ ⊂ 푆 푒 푬ퟐ ⊂ 푆).

Prove que: 푃(푬ퟏ ∪ 푬ퟐ) = 1 − 푃(푬ퟏ) × 푃(푬ퟐ|푬ퟏ)

3.2. Um baralho de cartas completo é constituído por cinquenta e duas cartas, repartidas por quatro naipes de treze cartas cada: espadas, copas, ouros e paus. De um baralho completo extraem-se, sucessivamente e sem reposição, duas cartas. Qual é a probabilidade de pelo menos uma das cartas extraídas não ser do naipe de espadas? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. Nota: se o desejar, utilize a igualdade da alínea anterior. Nesse caso comece por caracterizar claramente os acontecimentos E1 e E2 , no contexto da situação apresentada.

3.3. Num certo jogo de cartas, utiliza-se um baralho completo e dão-se treze cartas a cada jogador. Imagine que está a participar nesse jogo. Qual é a probabilidade de, nas treze cartas que vai receber, haver exactamente seis cartas do naipe de espadas? Apresente o resultado em percentagem arredondado às unidades.

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Prova Modelo 2001 1. Admita que, numa certa escola, a variável «altura das alunas do 12º ano de escolaridade» segue uma distribuição norma, de média 170 cm. Escolhe-se, ao acaso, uma aluna do 12º ano dessa escola. Relativamente a essa rapariga, qual dos seguintes acontecimentos é o mais provável? (A) A sua altura é superior a 180cm (B) A sua altura é inferior a 180cm

(C) A sua altura é superior a 155cm (D) a sua altura é inferior a 155cm

2. Seja S o conjunto de resultados (com um número finito de elementos) associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos, contidos em S, nenhum deles impossível, nem certo. Sabe-se que 퐴 ⊂ 퐵 (P designa a probabilidade, e 퐴̅ e 퐵 designam os acontecimentos contrários

de A e de B, respectivamente).

Indique qual das afirmações seguintes é verdadeira

(A) 푃(퐴) > 푃(퐵) (B) 푃(퐴 ∩ 퐵) = 0 (C) 푃(퐴 ∪ 퐵) = 1 (D) 푃(퐴̅) ≥ 푃(퐵)

3. O AUTO-HEXÁGONO é um stand de vendas de automóveis Efectuou-se um estudo sobre as vendas de automóveis nesse stand o qual revelou que: 15% dos clientes compram automóvel com alarme e com rádio; 20% dos clientes compram automóvel sem alarme e sem rádio; 45% dos clientes compram automóvel com alarme (com ou sem rádio). Um cliente acaba de comprar um automóvel. 3.1.1. A Maria, empregada do stand, que nada sabia das preferências desse cliente e não tomou conhecimento do equipamento do automóvel que ele tinha comprado, apostou que esse automóvel estava equipado com rádio, mas não tinha alarme. Qual a probabilidade de a Maria acertar? – Apresente o resultado na forma de percentagem.

3.1.2. Alguém informou depois a Maria que o referido automóvel vinha equipado com alarme. Ela apostou, então, que o automóvel também tinha rádio. Qual é a probabilidade de a Maria ganhar esta nova aposta? – Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.

22

3.2. O stand, de forma hexagonal, tem uma montra que se situa num dos lados do hexágono

(ver figura)

Pretende-se arrumar seis automóveis diferentes (dois utilitários, dois

desportivos e dois comerciais), de tal forma que cada automóvel fique

junto de um vértice do hexágono.

Supondo que se arrumam os seis automóveis a acaso, qual é a

probabilidade de os dois desportivos ficarem junto dos vértices que se

encontram nas extremidades da montra. – Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.


1. Capicua é uma sequência de algarismos cuja leitura da direita para a esquerda ou da esquerda para a direita dá o mesmo número. Por exemplo, 75957 e 30003 são capicuas. Quantas capicuas existem com cinco algarismos, sendo o primeiro algarismo ímpar? (A) 300 (B) 400 (C) 500 (D) 600 2. Uma caixa tem cinco bombons, dos quais apenas dois têm licor. Tira-se da caixa ao acaso, uma amostra de três bombons. Considere que X designa a variável «número de bombons com licor existentes nessa amostra». Qual das seguintes distribuições de probabilidades pode ser a da variável X?

23

3. Num saco existem 15 bolas, indistinguíveis ao tacto.

Cinco bolas são amarelas, cinco são verdes e cinco são brancas.

Para cada uma das cores, as bolas estão numeradas de 1 a 5.

3.1. Retirando todas as bolas do saco e dispondo-as ao acaso, numa fila, qual é a probabilidades

de as bolas da mesma cor ficarem todas juntas? – Apresente o resultado na forma de dízima com

7 casas decimais.

3.2. Suponha agora que, no saco, estão apenas algumas das quinze bolas.

Nestas novas condições, admita que, ao retirarmos, ao acaso, uma bola do saco, se tem:

A probabilidade de essa bola ser amarela é 50%;

A probabilidade de essa bola ter o número 1 é 25%;

A probabilidade de essa bola ser amarela ou ter o número 1 é 62,5%.

Prove que a bola amarela número 1 está no saco.


1. Num curso superior existem dez disciplinas de índole literária, das quais três são de literatura

contemporânea.

Um estudante pretende inscrever-se em seis disciplinas desse curso.

Quantas escolhas pode ele fazer se tiver de se inscrever em, pelo menos duas disciplinas de

literatura contemporânea?

(A) 퐶 + 퐶 × 퐶 (B) 퐶 + 퐶 + 퐶

(C) 퐶 × 퐶 × 퐶 (D) 퐶 × 퐶 + 퐶

24

2. Seja E o espaço de resultados associados a uma certa experiência aleatória.

Sejam A e B dois acontecimentos (퐴 ⊂ 퐸 푒 퐵 ⊂ 퐸).

Tem-se que:

푃(퐴 ∩ 퐵) = 10%

푃(퐴) = 60%

푃(퐴 ∪ 퐵) = 80%

Qual é o valor da probabilidade condicionada 푃(퐴|퐵)?

(A) ퟏퟓ

(B) ퟏퟒ

(C) ퟏퟑ

(D) ퟏퟐ

3. Três casais, os Nunes, os Martins e os Santos, vão ao cinema.

3.1. Ficou decidido que uma mulher escolhida ao acaso de entre as três mulheres, paga três

bilhetes, e que um homem, escolhido igualmente ao acaso de entre os três homens, paga outros

três bilhetes.

Qual é a probabilidade de o casal Nunes pagar os seis bilhetes? Apresente o resultado na forma

de fracção.


Depois de terem comprado os bilhetes, todos para a mesma fila e em lugares consecutivos, as

seis pessoas distribuem-nos ao acaso entre si. Supondo que cada pessoa se senta no lugar

correspondente ao bilhete que lhe saiu, qual é a probabilidade de os membros de cada casal

ficarem juntos, com o casal Martins ao meio?

Numa pequena composição, com cerca de quinze linhas, explique por que razão ퟐퟒ

ퟔ! é uma

resposta correcta a este problema.

25

Exame Nacional 2ª Fase 2001

1. Num certo país existem três empresas operadoras de telecomunicações móveis: A, B e C.

Independentemente do operador, os números de telemóvel têm nove algarismos.

Os números do operador A começam por 51, os do B por 52 e os do C por 53.

Quantos números de telemóvel constituídos só por algarismos ímpares podem ser atribuídos

nesse país?

(A) 139630 (B) 143 620 (C) 156 250 (D) 165340

2. Considere:

Uma caixa com nove bolas, indistinguíveis ao tacto, numeradas de 1 a 9;

Um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6.

Lança-se o dado e tira-se, ao acaso, uma bola da caixa.

Qual a probabilidade de os números saídos serem ambos menores que 4?

(A) ퟏퟗ

(B) ퟏퟔ

(C) ퟓퟐퟕ

(D) ퟓퟓퟒ

3. Uma turma do 12º ano é constituída por vinte e cinco alunos (15 rapazes e 10 raparigas).

Nessa turma, vai ser escolhida uma comissão para organizar a viagem de finalistas.

A comissão será formada por três pessoas: um presidente, um tesoureiro e um responsável pelas

relações públicas.

3.1. Se o delegado de turma tivesse obrigatoriamente de fazer parte da comissão, podendo ocupar

qualquer dos três cargos, quantas comissões distintas poderiam ser formadas?

3.2. Admita agora que o delegado pode, ou não, fazer parte da comissão.

3.2.1. Quantas comissões mistas distintas podem ser formadas?

Nota: Entenda-se por comissão mista uma comissão constituída por jovens que não são todos

do mesmo sexo.

26

3.2.2. Suponha que a escolha dos três elementos vai ser feita por sorteio, da seguinte forma:

Cada aluno escreve o seu nome numa folha de papel. As vinte e cinco folhas são dobradas e

introduzidas num saco. Em seguida, retiram-se do saco, sucessivamente, três folhas de papel. O

primeiro nome a sair corresponde ao presidente, o segundo, ao tesoureiro, e o terceiro, ao

responsável pelas relações públicas.

Sejam A, B e C os acontecimentos:

A: «o presidente é uma rapariga»

B: «o tesoureiro é uma rapariga»

C: «a comissão é formada só por raparigas»

Indique o valor da probabilidade condicionada 푃(퐶|(퐴 ∩ 퐵)) e, numa pequena composição, com

cerca de dez linhas, justifique a resposta.

Nota: Não aplique a fórmula da probabilidade condicionada. O valor pedido deverá resultar

exclusivamente da interpretação de 푃(퐶|(퐴 ∩ 퐵)) no contexto do problema.


1. Um saco contém cinco cartões, numerados de 1 a 5.

A Joana retira sucessivamente, ao acaso, os cinco cartões do saco e alinha-os, da esquerda para a

direita, pela ordem de saída, de maneira a formar um número de cinco algarismos.

Qual é a probabilidade de esse número ser par e de ter o algarismo das dezenas também par?

(A) (B) !

(C) × ! (D) × !!

2. A tabela de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X é:

Qual é o valor de a?

(A) (B) (C) (D)

27

3. Seja S o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória.

Sejam A e B dois acontecimentos (퐴 ⊂ 푆 푒 퐵 ⊂ 푆)

3.1. Prove que 푃(퐴̅ ∩ 퐵) = 푃(퐴̅) − 푃(퐵) + 푃(퐴|퐵) × 푃(퐵)

(P designa probabilidade, 퐴̅ e 퐵 designam os acontecimentos contrários de A e de B, respectivamente, e 푃(퐴|퐵)designa a probabilidade de A, se B).

3.2. Das raparigas que moram em Vale do Rei, sabe-se que:

• a quarta parte tem olhos verdes;

• a terça parte tem cabelo louro;

• das que têm cabelo louro, metade tem olhos verdes.

3.2.1. Escolhendo aleatoriamente uma rapariga de Vale do Rei, qual é a probabilidade de ela não

ser loura nem ter olhos verdes?

Sugestão: se lhe for útil, pode utilizar a igualdade enunciada na alínea 3.1. para resolver o problema. 3.2.2. Admita agora que em Vale do Rei moram cento e vinte raparigas. Pretende-se formar uma

comissão de cinco raparigas, para organizar um baile.

Quantas comissões diferentes se podem formar com exactamente duas raparigas louras?


1. Na figura estão representados os gráficos de duas distribuições normais.

Uma das distribuições tem valor médio a e desvio padrão b

A outra distribuição tem valor médio c e desvio padrão d

Os gráficos são simétricos em relação à mesma recta r.

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A) 풂 = 풄 풃 > 푑 (B) 풂 = 풄 풃 < 푑

(C) 풂 > 푐 푏 = 푑 (D) 풂 < 푐 푏 = 푑

28

2. O João utiliza, por vezes, o autocarro para ir de casa para a escola.

Seja A o acontecimento: «O João vai de autocarro para a escola».

Seja B o acontecimento: «O João chega atrasado à escola».

Uma das igualdades abaixo indicadas traduz a seguinte afirmação: «Metade dos dias em que vai

de autocarro para a escola, o João chega atrasado».

Qual é essa igualdade?

(A) 푃(퐴 ∩ 퐵) = 0,5 (B) 푃(퐴 ∪ 퐵) = 0,5 (C) 푃(퐴|퐵) = 0,5 (D) 푃(퐵|퐴) = 0,5

3. Considere todos os números de quatro algarismos que se podem formar com os algarismos de

1 a 9.

3.1. Escolhe-se, ao acaso, um desses números.

3.1.1. Determine a probabilidade de o número escolhido ter exactamente dois algarismos iguais a

1. Apresente o resultado na forma de percentagem, arredondado às unidades.

3.1.2. Determine a probabilidade de o número escolhido ter os algarismos todos diferentes e ser

maior do que 9800. Apresente o resultado na forma de dízima, com três casas decimais.


«De todos os números de quatro algarismos que se podem formar com os algarismos de 1 a 9,

alguns deles cumprem as três condições seguintes:

• começam por 9;

• têm os algarismos todos diferentes;

• a soma dos quatro algarismos é par.

Quantos são esses números?»

Uma resposta correcta a este problema é 3 × 4 × 퐴42 + 퐴4

3

Numa pequena composição, com cerca de vinte linhas, explique porquê.

29


1. Na figura A está representado um dado equilibrado, cuja planificação se apresenta

esquematizada na figura B.

Lança-se o dado duas vezes.

Considere as seguintes variáveis aleatórias, associadas a esta

experiência:

X1: número saído no primeiro lançamento

X2: quadrado do número saído no segundo lançamento

X3: soma dos números saídos nos dois lançamentos

X4: produto dos números saídos nos dois lançamentos.

Uma destas quatro variáveis tem a seguinte distribuição de probabilidade:

Qual delas?

(A) X1 (B) X2 (C) X3 (D) X4

2. Pretende-se dispor, numa prateleira de uma estante, seis livros, dois dos quais são se

Astronomia.

De quantas maneiras diferentes o podemos fazer, de tal forma que os dois primeiros livros, do

lado esquerdo sejam de Astronomia?

(A) 24 (B) 36 (C) 48 (D) 60

3. Um baralho de cartas completo é constituído por cinquenta e duas cartas, repartidas por quatro

naipes de treze cartas cada: Espadas, Copas, Ouros e Paus. Cada naipe tem três figuras: Rei,

Dama e Valete.

3.1. Retirando, ao acaso, seis cartas de um baralho completo, qual é a probabilidade de, entre

elas, haver um e um só Rei?

30

3.2. De um baralho completo extraem-se ao acaso, sucessivamente e sem reposição, duas cartas.

Sejam

E1: sair Espadas na primeira extracção;

C2: sair copas na segunda extracção;

F2: sair uma figura na segunda extracção.

Sem utilizar a fórmula da probabilidade condicionada, indique o valor de 푃((퐹 ∩ 퐶 )|퐸 ).

Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, explicite o raciocínio que efectuou. O valor

pedido deverá resultar apenas da interpretação do significado de 푃((퐹 ∩ 퐶 )|퐸 ), no contexto

da situação descrita.


1. Seja E o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória.

Sejam A e B dois acontecimentos (퐴 ⊂ 퐸 푒 퐵 ⊂ 퐸)

Tem-se que: 푃(퐴) = 0,3 e 푃(퐵) = 0,5

Qual dos números seguintes pode ser o valor de 푃(퐴 ∪ 퐵)

(A) 0,1 (B) 0,4 (C) 0,6 (D) 0,9

2. Numa caixa estão três cartões, numerados de 1 a 3.

Extraem-se ao acaso, e em simultâneo, dois cartões da caixa.

Seja X o maior dos números saídos.

Qual é a distribuição de probabilidades da variável aleatória X?

31

3. No balcão de uma geladaria existe um recipiente com dez compartimentos, cinco à frente e

cinco atrás, para colocar gelado. Em cada compartimento só é colocado um sabor, e nunca

existem dois compartimentos com o mesmo sabor.

Num certo dia, a geladaria tem sete sabores disponíveis: cinco são de fruta (morango, ananás,

pêssego, manga e framboesa) e os outros dois são baunilha e chocolate.

3.1. De quantas maneiras distintas se podem colocar os sete sabores no recipiente?

3.2. De quantas maneiras distintas se podem colocar os sete sabores no recipiente, de tal forma

que os cinco de fruta preencham a fila da frente?

4. Considere duas caixas: caixa A e caixa B.

A caixa A contém duas bolas verdes e cinco bolas amarelas.

A caixa B contém seis bolas verdes e uma bola amarela.

Lança-se um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6.

Se sair face 1, tira-se, ao acaso, uma bola da caixa A.

Caso contrário, tira-se, ao acaso, uma bola da caixa B.

Considere os acontecimentos:

X: Sair face par no lançamento do dado

Y: Sair bola verde

Sem aplicar a fórmula da probabilidade condicionada, indique o valor de 푃(푌|푋) e, numa

pequena composição (cinco a dez linhas), justifique a sua resposta.

Nota: comece por indicar o significado de 푃(푌|푋), no contexto da situação descrita.


1. O quarto número de uma certa linha do Triângulo de Pascal é 19 600

A soma dos quatro primeiros números dessa linha é 20 876

Qual é o terceiro número da linha seguinte?

(A) 1275 (B) 1581 (C) 2193 (D) 2634

32

2. Um saco contém bolas azuis, brancas e pretas. Tira-se, ao acaso, uma bola do saco.

Sejam os acontecimentos:

A - a bola retirada é azul

B - a bola retirada é branca

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A) 푨 풆 푩 são contrários (B) 푨 풆 푩 são contrários

(C) 푨 풆 푩 são incompatíveis (D) 푨 풆 푩 são incompatíveis

3. O sangue humano está classificado em quatro grupos distintos: A, B , AB e O.

Independentemente do grupo, o sangue pode possuir, ou não, o factor Rhésus.

Se o sangue de uma pessoa possui este factor, diz-se Rhésus positivo (Rh+); se não possui este

factor, diz-se Rhésus negativo (Rh-).

Na população portuguesa, os grupos sanguíneos e os respectivos Rhésus estão repartidos da

seguinte forma:

3.1. Escolhido um português ao acaso, qual é a probabilidade de o seu grupo sanguíneo não ser o

O? Apresente o resultado sob a forma de percentagem, arredondado às unidades.

3.2. Escolhido um português ao acaso, e sabendo que é Rhésus negativo, qual é a probabilidade

de o seu grupo sanguíneo ser o A? Apresente o resultado sob a forma de percentagem,

arredondado às unidades.

33


Vinte e cinco jovens (doze rapazes e treze raparigas) pretendem ir ao cinema. Chegados lá, verificam que existem apenas vinte bilhetes (para duas filas com dez lugares consecutivos em cada uma delas). Comprados os vinte bilhetes, distribuem-nos ao acaso. Como é evidente, cinco jovens irão ficar sem bilhete. Qual é a probabilidade de uma das filas ficar ocupada só com rapazes e a outra só com raparigas?

Uma resposta correcta para este problema é: × × × ! × ! × !

Numa pequena composição, com cerca de vinte linhas, explique esta resposta.


1. Considere a linha do triângulo de Pascal em que o segundo elemento é 35.

Escolhem-se ao caso três elementos dessa linha. Qual é a probabilidade destes dois elementos

serem iguais?

(A) (B) (C) (D)

2. A Patrícia tem uma caixa com cinco bombons de igual aspecto exterior, mas só um é que tem licor. A Patrícia tira ao acaso, um bombom da caixa e come-o e, se não for o que tem licor, experimenta outro. Vai procedendo desta forma até encontrar e comer o bombom de licor. Seja X a variável aleatória «número de bombons sem licor que a Patrícia come» Qual é a distribuição de probabilidade da variável X?

34

3. De um baralho de cartas, seleccionaram-se seis cartas do naipe de espadas. Ás, Rei, Dama,

Valete, dez e Nove.

Dispõem-se as cartas, em fila, em cima de uma mesa.

3.1. Quantas disposições diferentes podem ser feitas, de modo que as duas cartas do meio sejam

o Ás e o rei (não necessariamente por esta ordem)?

3.2. Quantas disposições diferentes podem ser feitas, de modo que o Rei não fique ao lado da

Dama?

4. Seja S o conjunto dos resultados associados a uma experiência aleatória.

Sejam A e B dois acontecimentos (퐴 ⊂ 푆 푒 퐵 ⊂ 푆). Sabe-se que:

푃(퐴 ∩ 퐵) = 0,1

푃(퐴 ∪ 퐵) = 0,8

푃(퐴|퐵) = 0,25

Prove que 퐴 푒 퐴̅ são acontecimentos equiprováveis.

(P designa probabilidade, 퐴̅ designa o acontecimento contrário de A e 푃(퐴|퐵) designa a

probabilidade de A, se B)


1. Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?

(A) A soma das probabilidades de dois acontecimentos incompatíveis é 1

(B) O produto das probabilidades de dois acontecimentos incompatíveis é 1

(C) A soma das probabilidades de dois acontecimentos contrários é 1

(D) O produto das probabilidades de dois acontecimentos contrários é 1

35

2. Uma pessoa vai visitar cinco locais, situados no Parque das Nações, em Lisboa: o Pavilhão de

Portugal, o Oceanário, o Pavilhão Atlântico, a Torre Vasco da Gama e o Pavilhão do

Conhecimento.

De quantas maneiras diferentes pode planear a sequência das cinco visitas, se quiser começar na

Torre Vasco da Gama e acabar no Oceanário?

(A) 6 (B) 12 (C) 24 (D) 120

3. O João tem, no bolso, seis moedas: duas moedas de 1 euro e quatro moedas de 50 cêntimos.

O João retira, simultaneamente e ao acaso, duas moedas do bolso.

3.1. Seja X a quantia, em euros, correspondente às moedas retiradas pelo João.

Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável X, apresentando as

probabilidades na forma de fracção irredutível.

3.2. Depois de ter retirado as duas moedas do bolso, o João informou a sua irmã Inês de que elas

eram iguais. Ela apostou, então, que a quantia retirada era de 2 euros.

Qual é a probabilidade de a Inês ganhar a aposta? Apresente o resultado sob a forma de fracção

irredutível.

36


1. De quantas maneiras distintas podem ficar sentados três rapazes e quatro raparigas num banco

de sete lugares, sabendo que se sentam alternadamente por sexo, ou seja, cada rapaz fica sentado

entre duas raparigas?

(A) 121 (B) 133 (C) 144 (D) 156

2. Seja S o conjunto dos resultados associados a uma experiência aleatória.

Sejam A e B dois acontecimentos (퐴 ⊂ 푆 푒 퐵 ⊂ 푆)

Sabe-se que. 푃(퐴) = 0,3 푃(퐴 ∩ 퐵) = 0,1 푃(퐴 ∪ 퐵) = 0,8

Qual o valor de 푃(퐵)?

(A) 0,1 (B) 0,2 (C) 0,3 (D) 0,4

3. Lança-se um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6.

3.1. Considere os acontecimentos A e B:

A - «sai face par»

B - «sai um número menor do que 4»

Indique o valor da probabilidade condicionada 푃(퐵|퐴). Justifique a sua resposta.

3.2. Considere agora que o dado é lançado três vezes.

Qual é probabilidade de a face 6 sair, pela primeira vez, precisamente no terceiro lançamento?

Apresente o resultado sob a forma de percentagem, arredondado às décimas.

37


Um saco contém 12 bolas, indistinguíveis ao tacto: três bolas com o número 1, cinco bolas com

o número 2 e quatro bolas com o número 3. Retiram-se, do saco, três bolas, ao caso. Qual é a

probabilidade de a soma dos números saídos ser igual a cinco?

Uma resposta correcta para este problema é × ×

Numa composição, com cerca de 10 linhas, explique esta resposta.

NOTA:

Deve organizar a sua composição de acordo com os seguintes tópicos:

Referência à regra de Laplace;

Explicação do número de casos possíveis;

Explicação do número de casos favoráveis.



Sejam X e Y dois acontecimentos tais que (X ⊂ Ω e Y ⊂ Ω)

Apenas uma das afirmações seguintes não é equivalente à igualdade 푃(X ∩ Y) = 0

Qual?

(A) X e Y são acontecimentos incompatíveis.

(B) X e Y não podem ocorrer simultaneamente.

(C) Se X ocorreu, Y não pode ocorrer.

(D) X e Y são ambos impossíveis.

38

2. A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é dada pela tabela

(a e b designam números reais).

A média da variável aleatória X é igual a 1. Qual é o valor de a e qual é o valor de b?

(A) 푎 = 푏 = (B) 푎 = 푏 =

(C) 푎 = 푏 = (D) 푎 = 푏 =

3. Num saco, estão três bolas pretas e nove bolas brancas, indistinguíveis ao tacto.

Extraem-se ao acaso, sucessivamente e sem reposição, as doze bolas do saco.

Determine:

3.1. A probabilidade de as duas primeiras bolas extraídas não serem da mesma cor.


3.2. A probabilidade de as três bolas pretas serem extraídas consecutivamente (umas a seguir às

outras). Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.

4. Considere um prisma regular em que cada base tem n lados.

Numa pequena composição, justifique que o número total de diagonais de todas as faces do

prisma (incluindo as bases) é dado por

2 퐶 − 푛 + 2푛

39


1. Considere duas caixas A e B, cada uma delas contendo

quatro bolas numeradas, tal como a figura ilustra. Extraem-

se, ao acaso duas bolas da caixa A e uma bola da caixa B.

Multiplicam-se os números das três bolas retiradas.

Qual é a probabilidade de o produto obtido ser um número

par?

(A) 0 (B) 1 (C) ××

(D) ××

2. Em cada uma das opções seguintes (A, B, C e D) estão representadas quatro figuras (as figuras

são círculos ou quadrados e estão pintadas a branco ou a preto).

Para cada opção, considere:

A experiência que consiste na escolha aleatória de uma das quatro figuras

Os acontecimentos:

X: «a figura escolhida é um quadrado»

Y: «a figura escolhida está pintada de preto»

Em qual das opções se tem 푃(X |Y) = ?

3. O João tem catorze discos de música ligeira:

Seis são portugueses

Quatro são espanhóis

Três são franceses

Um é italiano.

3.3. O João pretende seleccionar quatro desses catorze discos

3.3.1. Quantos conjuntos diferentes pode o João fazer, de tal modo que os quatro discos

seleccionados sejam de quatro países diferentes, ou seja, um de cada país?

40

3.3.2. Quantos conjuntos diferentes pode o João fazer, de tal modo que os quatro discos

seleccionados sejam todos do mesmo país?

3.4. Considere agora a seguinte experiência: o João selecciona, ao acaso, quatro dos

catorze discos.

Seja X a variável aleatória: «número de discos italianos seleccionados»

Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável X. Apresente as probabilidades

na forma de fracção irredutível.



Sejam A e B dois acontecimentos tais que (A ⊂ Ω e B ⊂ Ω)

Sabe-se que 푃(퐴) = 0,3

Apenas um dos acontecimentos seguintes pode ter probabilidade inferior a 0,3

Qual deles?

(A) 퐴 ∪ 퐵 (B) 퐴̅ ∪ 퐵 (C) 퐴 ∩ 퐵 (D) 퐴 ∩ 퐵

2. Uma variável aleatória X tem a seguinte distribuição de probabilidades:

Indique o valor de a.

(A) 퐶 (B) 퐶

(C) 퐶 (D) 퐶

41

3.

3.1. Uma coluna com a forma de um prisma hexagonal regular está assente no chão de um

jardim. Dispomos de seis cores (amarelo, branco, castanho, dourado, encarnado e verde) para

pintar as sete faces visíveis (as seis faces laterais e a base superior) desse prisma.

Admita que se pintam de verde duas faces laterais opostas.

Determine de quantas maneiras diferentes podem ficar pintadas as restantes cinco faces, de tal

modo

Que duas faces que tenham uma aresta comum fiquem pintadas com cores diferentes

E que duas faces laterais que sejam opostas fiquem pintadas com a mesma cor.

3.2. Considere um prisma hexagonal regular num referencial o.n. Oxyz, de tal forma que uma das

suas bases está contida no plano de equação 푧 = 2

Escolhendo ao acaso dois vértices do prisma, qual é a probabilidade de eles definirem uma recta

paralela ao eixo Oz? - Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.

4. De uma caixa com dez bolas brancas e algumas bolas pretas, extraem-se sucessivamente, e ao

acaso, duas bolas, não repondo a primeira bola extraída, antes de retirar a segunda.

Considere os acontecimentos:

A: «a primeira bola extraída é preta»;

B: «a segunda bola extraída é branca».

Sabe-se que 푃(B|A) = onde 푃(B|A)designa probabilidade de B, se A

Quantas bolas pretas estão inicialmente na caixa? Numa pequena composição, justifique a sua

resposta, começando por explicar o significado de 푃(B | A), no contexto da situação descrita

42


1. A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é

(a designa um número real).

Qual é o valor médio desta variável aleatória?

(A) 1,1 (B) 1,2 (C) 1,3 (D) 1,4

2. Quatro raparigas e quatro rapazes entram num autocarro, no qual existem seis lugares

sentados, ainda não ocupados.

De quantas maneiras diferentes podem ficar ocupados esses seis lugares, supondo que ficam dois

rapazes em pé?

(A) 3 560 (B) 3 840 (C) 4 180 (D) 4 320

3. Numa sala de Tempos Livres, a distribuição dos alunos por idades e sexo é a seguinte:

3.1. Escolhem-se dois alunos ao acaso.

Qual é a probabilidade de a soma das suas idades ser igual a 12? Apresente o resultado na forma

de fracção irredutível.

3.2. Escolhe-se um aluno ao acaso. Sejam A e B os acontecimentos:

A: «o aluno tem 7 anos»;

B: «o aluno é rapaz».

Indique, justificando, o valor da probabilidade condicionada 푃(B|A). Apresente o resultado na

forma de fracção irredutível.

Nota: no caso de utilizar a fórmula da probabilidade condicionada, explicite os valores das

duas probabilidades envolvidas nessa fórmula

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4. Uma turma de 12.º ano é constituída por raparigas, umas de 16 anos e as restantes de 17 anos,

e por rapazes, uns de 17 anos e os restantes de 18 anos.

Os alunos dessa turma estão numerados consecutivamente, a partir do número 1.

Escolhe-se, ao acaso, um aluno dessa turma e regista-se o número, a idade e o sexo desse aluno.

Em cada uma das opções seguintes estão indicados dois acontecimentos, X e Y, associados a esta

experiência aleatória.

Opção 1: X: «O aluno escolhido tem idade superior ou igual a 17 anos»

Y: «O aluno escolhido tem 16 ou 17 anos»

Opção 2: X: «O número do aluno escolhido é par»

Y: «O número do aluno escolhido é múltiplo de 4»

Opção 3: X:: «O aluno escolhido tem 18 anos»

Y: «O aluno escolhido é rapariga»

Opção 4: X::«O aluno escolhido é rapaz»

Y: «O aluno escolhido tem 17 anos»

Em apenas uma das opções acima apresentadas os acontecimentos X e Y são tais que são

verdadeiras as três afirmações seguintes:

푃(X ∪ Y) > 푃 (X) 푃(X ∪ Y) < 1 푃(X ∩ Y) > 0

Qual é essa opção? Numa pequena composição, explique por que é que rejeita as outras três

opções (para cada uma delas, indique, justificando, qual é a afirmação falsa).


1. Escolhem-se, ao acaso, dois vértices diferentes de um paralelepípedo rectângulo.

Qual é a probabilidade de que esses dois vértices sejam extremos de uma aresta?

(A) (B) (C) (D)

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2. As cinco letras da palavra TIMOR foram pintadas, cada uma em sua bola.

As cinco bolas, indistinguíveis ao tacto, foram introduzidas num saco.

Extraem-se, aleatoriamente, as bolas do saco, sem reposição, e colocam-se em fila, da esquerda

para a direita.

Qual é a probabilidade de que, no final do processo, fique formada a palavra TIMOR, sabendo-

se que, ao fim da terceira extracção, estava formada a sucessão de letras TIM?

(B) 0 (B) (C) (D) 1

3. Considere todos os números de três algarismos que se podem formar com os algarismos 1, 2,

3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.

3.1. Escolhe-se, ao acaso, um desses números. Sejam os acontecimentos:

A: «O número escolhido é múltiplo de 5»;

B: «O número escolhido tem os algarismos todos diferentes».

Averigúe se A e B são, ou não, acontecimentos independentes.


De entre todos os números de três algarismos diferentes que se podem formar com os

algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, em quantos deles o produto dos seus algarismos é um número

par?

Uma resposta correcta a este problema é: 퐴 − 퐴 . Numa pequena composição explique

porquê.


Sejam A, B e C três acontecimentos ( A ⊂ Ω, B ⊂ Ω 푒 퐶 ⊂ Ω) tais que (A ∪ B) ∩ C = ∅

Sabe-se que P(A) = 0,21 e que P(C) = 0,47

Calcule 푃(A ∪ C), utilizando as propriedades das operações com conjuntos e a axiomática das

probabilidades.

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1. Dois cientistas, que vão participar num congresso no estrangeiro, mandam reservar hotel na

mesma cidade, cada um sem conhecimento da marcação feita pelo outro.

Sabendo que nessa cidade existem sete hotéis, todos com igual probabilidade de serem

escolhidos, qual é a probabilidade de os dois cientistas ficarem no mesmo hotel?

(B) (B) (C) (D)

2. Lançaram-se dois dados, ambos com as faces numeradas de um a seis. Sabe-se que a soma dos

números saídos foi quatro.

Qual é a probabilidade de ter saído o mesmo número, em ambos os dados?

(A) (B) (C) (D)

3. De um baralho de cartas, seleccionaram-se 16 cartas (4 ases, 4 reis, 4 damas e 4 valetes).

Dividiram-se as 16 cartas em dois grupos: um com os ases e os reis e outro com as damas e os

valetes. Retiraram-se, ao acaso, duas cartas de cada grupo (sem reposição).

Qual é a probabilidade de obter um conjunto formado por um ás, um rei, uma dama e um valete,

não necessariamente do mesmo naipe?



Sejam X e Y dois acontecimentos (X ⊂ Ω, Y ⊂ Ω). Sabe-se que:

P(X) = a e 푃(Y) = b e, X e Y são independentes

4.1. Mostre que a probabilidade de que não ocorra X nem ocorra Y é igual a

1 − a − b + a × b

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4.2. Num frigorífico, há um certo número de iogurtes e um certo número de sumos.

Tiram-se do frigorífico, ao acaso, um iogurte e um sumo. Sabe-se que a probabilidade de o

iogurte ser de pêssego é e a probabilidade de o sumo ser de laranja é .

Admita que os acontecimentos «tirar um iogurte de pêssego» e «tirar um sumo de laranja» são

independentes.

Utilizando a expressão mencionada em 4.1., determine a probabilidade de, ao tirar, ao acaso, um

iogurte e um sumo do frigorífico, o iogurte não ser de pêssego e o sumo não ser de laranja.



1. O João e a Maria convidaram três amigos para irem, com eles, ao cinema. Compraram cinco

bilhetes com numeração seguida, numa determinada fila, e distribuíram-nos ao acaso.

Qual é a probabilidade de o João e a Maria ficarem sentados um ao lado do outro?

(B) (B) (C) (D)


Sejam A e B dois acontecimentos (A ⊂ Ω, B ⊂ Ω). Sabe-se que:

푃(A ∪ B) = 80%, 푃(B) = 60% e 푃(A ∩ B) = 10%

Qual é o valor de 푃(A)? (P designa probabilidade).

(A) 10% (B) 20% (C) 30% (D) 40%

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3. Admita que a variável peso, expressa em gramas, das maçãs de um pomar é bem modelada

por uma distribuição normal N(60; 5), em que 60 é o valor médio e 5 é o valor do desvio-padrão

da distribuição.

Retira-se, ao acaso, uma dessas maçãs. Considere os acontecimentos:

A: «o peso da maçã retirada é superior a 66 gramas»

B: «o peso da maçã retirada é inferior a 48 gramas»

Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

(A) 푃(A) = P(B) (B) 푃(A) < 푃(퐵) (C) 푃(B) < 푃(퐴) (D) 푃(A) + P(B) = 1

4. Uma turma do 12.º ano de uma Escola Secundária está a organizar uma viagem de finalistas.

4.1. Os alunos da turma decidiram vender rifas, para angariarem fundos para a viagem.

A numeração das rifas é uma sequência de três algarismos (como, por exemplo, 099), iniciando-

se em 000.

De entre as rifas, que foram todas vendidas, será sorteada uma, para atribuir um prémio.

Qual é a probabilidade de a rifa premiada ter um único algarismo cinco?

Apresente o resultado na forma de dízima, com aproximação às centésimas.

4.2. A turma é constituída por doze raparigas e dez rapazes, que pretendem formar uma comissão

organizadora da viagem. Sabe-se que a comissão terá obrigatoriamente três raparigas e dois

rapazes. A Ana e o Miguel, alunos da turma, não querem fazer parte da comissão em simultâneo.

Explique, numa composição, que o número de comissões diferentes que se pode formar é dado

por: 퐶 × 퐶 − 퐶 × 9

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5. Em duas caixas, A e B, introduziram-se bolas indistinguíveis ao tacto:

• Na caixa A: algumas bolas verdes e algumas bolas azuis;

• Na caixa B: três bolas verdes e quatro azuis.

Retira-se, ao acaso, uma bola da caixa A e coloca-se na caixa B. De seguida, retira-se, também

ao acaso, uma bola da caixa B.

Sabendo que a probabilidade de a bola retirada da caixa B ser azul é igual a , mostre que a bola

que foi retirada da caixa A e colocada na caixa B tinha cor verde.


1. Ao disputar um torneio de tiro ao alvo, o João tem de atirar sobre o alvo quatro vezes. Sabe-se

que, em cada tiro, a probabilidade de o João acertar no alvo é 0,8.

Qual é a probabilidade de o João acertar sempre no alvo, nas quatro vezes em que tem de atirar?

(A) 0,0016 (B) 0,0064 (C) 0,0819 (D) 0,4096

2. Uma caixa A contém duas bolas verdes e uma bola amarela. Outra caixa B contém uma bola

verde e três bolas amarelas. As bolas colocadas nas caixas A e B são indistinguíveis ao tacto.

Lança-se um dado cúbico perfeito, com as faces numeradas de 1 a 6. Se sair o número 5, tira-se

uma bola da caixa A; caso contrário, tira-se uma bola da caixa B.

Qual é a probabilidade de a bola retirada ser verde, sabendo que saiu o número 5 no lançamento

do dado?

(A) (B) (C) (D)

3. Uma linha do Triângulo de Pascal tem quinze elementos.

Quantos elementos dessa linha são inferiores a 100?

(A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 8

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4. Seja Ω o espaço de resultados associado a uma experiência aleatória. Sejam A e B dois

acontecimentos possíveis (A ⊂ Ω, B ⊂ Ω).

4.1. Prove que: P(A ∪ B) = P(A) − P(B) + P (A ∪ B).

(P designa a probabilidade, 퐴̅ designa o acontecimento contrário de A e 퐵 designa o

acontecimento contrário de B).

4.2. Numa determinada cidade, das 160 raparigas que fizeram o exame nacional de Matemática,

65% tiveram classificação positiva, e, dos 120 rapazes que fizeram o mesmo exame, 60%

também tiveram classificação positiva.

Escolhendo, ao acaso, um dos estudantes que realizaram o exame, qual é a probabilidade de o

estudante escolhido não ser rapaz ou não ter tido classificação positiva?

Apresente o resultado em forma de dízima, com aproximação às centésimas.

Nota:

Se o desejar, utilize a igualdade referida em 4.1. Neste caso, deverá começar por caracterizar

claramente os acontecimentos A e B, no contexto da situação apresentada; no entanto, pode

optar por resolver o problema por outro processo.

5. Numa caixa temos três fichas com o número 1 e quatro fichas com o número 2, indistinguíveis

ao tacto. Retiram-se, ao acaso e de uma só vez, duas fichas.

Seja X a variável aleatória: «a soma dos números inscritos nas duas fichas».

Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável X.

Indique, justificando, o valor mais provável da variável X.

Apresente as probabilidades na forma de fracção irredutível.

Professora: Maria Adriana Batista - E a vida é bela · Escolhe-se ao acaso um aluno dessa turma e...

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