PROGRAMA DE COMPUTADOR PARA PROJETO DE VIGAS …

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL

ESCOLA DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

Leonardo Costa de Souza

PROGRAMA DE COMPUTADOR PARA PROJETO DE VIGAS

PROTENDIDAS

Avaliador:

Defesa: dia __/__/2016 às ________ horas

Local: UFRGS / Engenharia Nova

Osvaldo Aranha, 99, sala 304

Anotações com sugestões para

qualificar o trabalho são bem-

vindas. O aluno fará as correções e

lhe passará a versão final do

trabalho, se for de seu interesse.

Porto Alegre

Novembro 2016

LEONARDO COSTA DE SOUZA


PROTENDIDAS

Trabalho de Diplomação apresentado ao Departamento de

Engenharia Civil da Escola de Engenharia da Universidade Federal

do Rio Grande do Sul, como parte dos requisitos para obtenção do

título de Engenheiro Civil

Orientador/a: Rubem Clecio Schwingel

Porto Alegre

Novembro 2016

LEONARDO COSTA DE SOUZA


PROTENDIDAS

Este Trabalho de Diplomação foi julgado adequado como pré-requisito para a obtenção do

título de ENGENHEIRO CIVIL e aprovado em sua forma final pelo Professor Orientador e

pelo Relator da disciplina Trabalho de Conclusão de Curso II - Civil da Universidade Federal

do Rio Grande do Sul.

Porto Alegre, novembro de 2016

Prof. Rubem Clecio Schwingel

Msc. pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul

Orientador

Prof. Roberto Domingo Rios

Dr. pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul

Relator

BANCA EXAMINADORA

Prof. Rubem Clecio Schwingel (UFRGS)

Msc. pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul

Prof. Roberto Domingo Rios (UFRGS)

Dr. pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul

Prof. Ronald José Ellwanger (UFRGS)

Dr. pela Universidade Federal do Rio de Janeiro

Dedico este trabalho a meus pais, Alexandre e Valdinéa,

aos meus irmãos, Cristiano, Rafael e Frederico, que

sempre me apoiaram e especialmente durante o período do

meu Curso de Graduação estiveram ao meu lado.

AGRADECIMENTOS

Agradeço ao Prof. Rubem Clecio Schwingel, orientador deste trabalho, pela dedicação,

colaboração e ensinamentos que foram fundamentais ao desenvolvimento deste trabalho.

Agradeço ao Prof. Roberto Domingo Rios, por suas contribuições, recomendações e críticas

valiosas para o aperfeiçoamento deste trabalho.

Agradeço ao Prof. Ronald José Ellwanger, por seus ensinamentos e contribuições para superar

dificuldades no desenvolvimento desse trabalho.

Agradeço o Prof. João Ricardo Masuero, pelos conhecimentos passados e valiosa contribuição

em apresentar conteúdos além do essencial ao curso, permitindo a elaboração deste trabalho.

Agradeço aos demais professores do curso que sempre tiveram grande dedicação em passar

seus conhecimentos e a ensinar da melhor maneira possível o necessário para me formar

engenheiro.

Agradeço aos colegas e amigos que me apoiaram durante todo o curso e que foram de

importante contribuição para minha formação.

Agradeço aos meus familiares e amigos que sempre me deram suporte para que eu entrasse

novamente na faculdade para me graduar engenheiro civil.

С одной логикой нельзя через натуру перескочить.

Логика предугадает три случая, а их миллион.

É simplesmente impossível saltar com lógica por cima da

natureza. A lógica pressupõe três casos, ao passo que há

milhões deles.

Fiódor Dostoiévski

RESUMO

Este trabalho versa sobre a organização e implementação de um programa de computador para

o projeto de vigas protendidas. São abordados aspectos tanto do ponto de vista da entrada dos

dados e operações de cálculo necessárias à obtenção de resultados, bem como a teoria

necessária ao estabelecimento de um fluxo de projeto considerando os elementos para

dimensionar uma armadura de protensão por pós-tração em vigas de concreto. Para

implementação do programa foi adotada linguagem C# em ambiente de programação Visual

Studio 2015, compilado para sistemas operacionais Windows x64 (64 bits). Foi desenvolvido

um código que possibilita a entrada de dados de projeto, como dimensões da viga e seção, tipos

de materiais utilizados, cargas atuantes sobre a estrutura em função do tempo (idade do

concreto), restrições nodais como apoios, vínculos elásticos e deslocamentos pré-determinados,

em ambiente gráfico tridimensional. Também foram implementadas rotinas que solucionam a

estrutura pelo método da rigidez, montando uma matriz de rigidez da estrutura, um vetor de

cargas nos vínculos, obtendo um vetor de deslocamentos e a partir deste as reações dos apoios.

Com os resultados obtidos implementou-se então um visualizador gráfico que calcula e exibe

as solicitações de cortante e momento de flexão ao longo da estrutura fornecida. No que tange

o fluxo de projeto de vigas protendidas, foi realizado um estudo completo das metodologias

necessárias à introdução da armadura de protensão, em especial, para vigas hiperestáticas pelo

método das cargas equivalentes. Foi definido o procedimento para estabelecer uma melhor

geometria para um cabo de protensão composto por segmentos de parábolas, facilmente

transformável em cargas equivalentes que podem reutilizar os algoritmos já implementados

para obtenção dos resultados ao longo da viga. Por fim foram também analisadas as perdas de

protensão pertinentes e apresentadas suas equações necessárias para futura implementação e

inserção no código de programa desenvolvido.

Palavras-chave: NBR 6.118; protendido; pós-tração; programação; vigas; software.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Diagrama das etapas de pesquisa. ........................................................................... 22

Figura 2 – Segmentação da viga em trechos. ........................................................................... 33

Figura 3 – Segmentação da armadura de protensão em trechos de parábolas. ......................... 34

Figura 4 – Relação de flechas e ângulo do ponto de inflexão entre parábolas. ........................ 37

Figura 5 – Parâmetros geométricos da seção da viga por tipo de seção. .................................. 41

Figura 6 – Diagrama tensão-deformação idealizado. .............................................................. 47

Figura 7 – Diagrama tensão deformação para aços de armaduras passivas. ............................ 49

Figura 8 – Diagrama tensão deformação para aços de armaduras ativas. ................................ 50

Figura 9 – Solicitações internas na viga devido à protensão. ................................................... 53

Figura 10 – Relações trigonométricas com ângulo inicial e forma da parábola....................... 53

Figura 11 – Definição de uma parábola equivalente para o trecho para simplificação das

cargas. ......................................................................................................................... 57

Figura 12 – Força de atrito em cabo curvo. .............................................................................. 69

Figura 13: Variação angular do cabo de protensão ao longo de uma viga. .............................. 70

Figura 14 – Tensões do cabo de protensão antes e após recuo de ancoragem. ........................ 73

Figura 15 – Interface principal do programa. .......................................................................... 86

Figura 16 – Exemplo de janela de diálogo com formulário para coleta de dados. ................... 87

Figura 17 – Inserção de novo elemento grid ao longo da viga. ................................................ 89

Figura 18 – Representação de cargas ao longo da viga. ........................................................... 91

Figura 19 - Representação gráfica das restrições conforme parâmetros selecionados. ............ 92

Figura 20 - Representação gráfica das restrições conforme parâmetros selecionados. ............ 93

Figura 21 - Remoção de um instante de tempo da lista de idades do concreto. ....................... 94

Figura 22 - Exibição gráfica das condições inseridas para o cálculo de solicitações. .............. 96

Figura 23 – Exibição gráfica das solicitações calculadas pelo programa................................. 96

Figura 24 – Representação do problema resolvido no exemplo 1. ......................................... 118

Figura 25 – Representação do problema resolvido no exemplo 2. ......................................... 119

Figura 26 – Representação do exemplo 3 no ftool. ................................................................ 120

Figura 27 – Representação do exemplo 3 no PSB.................................................................. 120

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Fórmulas para determinação das excentricidades de cada parábola. ...................... 36

Tabela 2 – Exigências de durabilidade relacionadas à fissuração e à proteção da armadura, em

função das classes de agressividade ambiental. ......................................................... 43

Tabela 3 – Comparação das projeções de valores da protensão por cálculo exato e por

simplificação. ............................................................................................................. 55

Tabela 4 – Valores de ψ1000, em porcentagem .......................................................................... 77

Tabela 5 – Valores numéricos usuais para determinação da fluência e retração. .................... 80

Tabela 6 – Valores de fluência e de retração em função da velocidade de endurecimento do

cimento ....................................................................................................................... 84

Tabela 7 - Equivalência das cargas nodais pelo método dos deslocamentos. ........................ 112

Tabela 8 – Comparação de resultados para o exemplo 1. ...................................................... 118

Tabela 9 – Comparação de resultados para o exemplo 1. ...................................................... 119

Tabela 10 – Comparação dos diagramas obtidos para as solicitações da viga. ...................... 121

Tabela 11 – Comparação de resultados para o exemplo 3. .................................................... 121

LISTA DE SIGLAS

UFRGS – Universidade Federal do Rio Grande do Sul

WPF – Windows Presentation Foundation

LISTA DE SÍMBOLOS

{} – matrizes bidimensionais (n) x (m) são representadas por chaves;

[] – vetores ou matrizes unimensionais (n) x 1 são representadas por colchetes;

{F} – matriz (n x m) x 1 de forças resultantes para os n nós da estrutura para cada um das m

direções:

a) forças na direção horizontal (kN);

b) forças na direção vertical (kN);

c) forças em torno do eixo z (kN.m).

[K] – matriz de rigidez (n x m) x (n x m) da estrutura para cada um dos n nós nas (m x m)

direções:

a) rigidez na direção x-x (kN/m);

b) rigidez na direção y-y (kN/m);

c) rigidez na direção y-z (kN/rad);

d) rigidez em torno de z-z (kN.m/rad);

e) demais direções foram desconsideradas, pois possuem rigidez nula para esse

trabalho.

{U} – matriz de deslocamentos (n x m) x 1 para cada n nós da estrutura para cada uma das m

direções:

a) deslocamento na direção x (m);

b) deslocamento na direção y (m);

c) deslocamento em torno do eixo z (rad);

[KL] – matriz de rigidez local (2x3) x (2x3) para cada elemento barra de nós i e j para cada

direção:






trabalho.

E – módulo de elasticidade de Young (kN/m²)

A – área da seção transversal do elemento (m²)

L – comprimento longitudinal de cada elemento (m)

I – momento de inércia da seção transversal do elemento

[Kii] – matriz 3 x 3 para rigidez de um nó i em i, sendo:






trabalho.

[Kij] – matriz 3 x 3 para rigidez de um nó i em j, sendo:






trabalho.

[Kji] – matriz 3 x 3 para rigidez de um nó j em i, sendo:






trabalho.

[Kjj] – matriz 3 x 3 para rigidez de um nó j em j, sendo:






trabalho.

Q(x) – esforço cortante de uma seção da viga em x (kN)

Q(gi) – esforço cortante de uma seção da viga em um ponto inicial gi do trecho (kN)

R(gi) – reação de apoio vertical no ponto inicial gi do trecho (kN)

V(gi) – valor da carga pontual na direção y aplicada no ponto inicial gi do trecho (kN)

qr – valor da carga distribuída de valor constante ao longo do trecho (kN/m)

qt(gi) – valor de carga distribuída triangular no ponto inicial gi do trecho (kN/m)

qt(gi+1) – valor de carga distribuída triangular no ponto final gi+1 do trecho (kN/m)

x – valor da abscissa do ponto em que se deseja o valor do cortante, medido a partir da origem

da viga, em g0 (m)

e0 – excentricidade inicial do cabo de protensão em relação ao centro de gravidade da seção da

viga em sua ponta mais à esquerda (m)

ei – excentricidade da armadura de protensão no ponto de inflexão das parábolas à esquerda de

um trecho da viga (m)

ej – excentricidade da armadura de protensão no ponto de inflexão das parábolas à direita de

um trecho da viga (m)

CG – centro de gravidade geométrico da seção da viga (m)

ysi, yii, yij, ysj – equação da excentricidade de cada segmento de parábola em relação ao CG, que

descreve a geometria do cabo de protensão (m), sendo:

a) si – relativo à parábola superior à esquerda de um trecho da viga

b) ii – relativo à parábola inferior à esquerda de um trecho da viga

c) ij – relativo à parábola inferior à direita de um trecho da viga

d) sj – relativo à parábola superior à direita de um trecho da viga

fsi, fii, fij, fjj – flecha de cada segmento de parábola que descreve a geometria do cabo de

protensão, que relaciona a diferença de y entre o cume e início desse segmento (m), sendo:





lsi, lii, lij, ljj – comprimento de projeção de cada segmento de parábola que descreve a geometria

do cabo de protensão no eixo das abscissas (m), sendo:





Δhi, Δhj – máxima diferença de cota entre as parábolas em um lado de um trecho da viga (m),

sendo:

a) i – relativo ao lado esquerdo do trecho;

b) j – relativo ao lado direito do trecho

ICG – momento de inércia de área no centro de gravidade da seção transversal da viga (m4)

b – largura de uma seção transversal retangular da viga (m)

h – altura de uma seção transversal da viga (m)

ΣIxCGi: somatório dos momentos de inércia de cada parte i de uma figura decomposta (triângulos

e retângulos) com relação aos seus centros geométricos verticais locais (m4)

ΣAid²yi: somatório do produto entre a área de cada parte i de uma figura decomposta (triângulos

e retângulos) pelo quadrado da distância do centro geométrico de cada parte i em relação ao

centro geométrico da seção (m4)

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 17

2 DIRETRIZES DA PESQUISA ........................................................................................... 19

2.1 QUESTÃO DA PESQUISA ............................................................................................... 19

2.2 OBJETIVOS DA PESQUISA ............................................................................................ 19

2.2.1 Objetivo Principal ......................................................................................................... 19

2.2.2 Objetivos Secundários ................................................................................................... 19

2.3 PRESSUPOSTOS ............................................................................................................... 20

2.4 DELIMITAÇÕES ............................................................................................................... 20

2.5 LIMITAÇÕES .................................................................................................................... 21

2.6 DELINEAMENTO ............................................................................................................. 21

3 ANÁLISE DA ESTRUTURA ............................................................................................. 25

3.1 MATRIZ DE RIGIDEZ DO TIPO PÓRTICO PLANO .................................................... 25

3.2 MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL .................................................................................... 26

3.3 CONSIDERAÇÃO DAS RESTRIÇÕES ........................................................................... 26

3.4 OBTENÇÃO DAS REAÇÕES .......................................................................................... 30

3.5 OBTENÇÃO DOS DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ......................................................... 31

3.6 ESFORÇOS SOLICITANTES ........................................................................................... 32

4 DESCRIÇÃO DAS GEOMETRIAS .................................................................................. 33

4.1 GEOMETRIA DA PROTENSÃO ..................................................................................... 33

4.1.1 Determinação das excentricidades intermediárias ..................................................... 35

4.1.2 Determinação das equações das parábolas ................................................................. 36

4.2 GEOMETRIA DA SEÇÃO DA VIGA .............................................................................. 40

4.2.1 Do Cálculo das Propriedades ....................................................................................... 40

5 PROTENSÃO DO CONCRETO ....................................................................................... 42

5.1 TIPOS DE PROTENSÃO .................................................................................................. 42

5.2 MATERIAIS ...................................................................................................................... 44

5.2.1 Tensão do Concreto ....................................................................................................... 44

5.2.2 Aço Para Armadura Passiva ........................................................................................ 48

5.2.3 Aço da Armadura Ativa ................................................................................................ 49

6 DETERMINAÇÃO DA PROTENSÃO ............................................................................. 52

6.1 MÉTODO DO BALANCEAMENTO DE CARGAS ........................................................ 52

6.2 PROTENSÃO EQUIVALENTE EM CADA TRECHO ................................................... 56

6.3 PROTENSÃO DA VIGA COMO UM TODO .................................................................. 58

7 VERIFICAÇÕES DA VIGA .............................................................................................. 59

7.1 TENSÕES ADMISSÍVEIS DO CONCRETO ................................................................... 59

8 PERDAS DA FORÇA DE PROTENSÃO ......................................................................... 64

8.1 PERDAS IMEDIATAS ...................................................................................................... 64

8.1.1 Perda Imediata por Encurtamento Elástico do Concreto ......................................... 64

8.1.2 Perda Imediata por Atrito ............................................................................................ 69

8.1.3 Perdas Por Recuo de Ancoragem ................................................................................. 72

8.2 PERDAS PROGRESSIVAS .............................................................................................. 76

8.2.1 Relaxação do Aço ........................................................................................................... 76

8.2.2 Deformações do Concreto no Tempo ........................................................................... 77

8.2.2.1 Fluência do Concreto ................................................................................................... 78

8.2.2.2 Retração do Concreto ................................................................................................... 82

9 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL ..................................................................... 85

9.1 ELEMENTOS DO PROGRAMA ...................................................................................... 85

9.1.1 Geometria ....................................................................................................................... 87

9.1.1.1 Seção ............................................................................................................................. 87

9.1.1.2 Viga ............................................................................................................................... 88

9.1.1.3 Grids ............................................................................................................................. 88

9.1.2 Cargas ............................................................................................................................. 89

9.1.3 Restrições ........................................................................................................................ 91

9.1.4 Instantes temporais ....................................................................................................... 93

9.1.5 Materiais ......................................................................................................................... 94

9.1.6 Resultados da Estrutura ............................................................................................... 95

9.2 ALGORITMOS DE CÁLCULO ........................................................................................ 96

9.2.1 Ambiente de Desenvolvimento ..................................................................................... 97

9.2.1.1 Organização da Linguagem C# .................................................................................... 97

9.2.2 Implementação Da Seção Transversal da Viga .......................................................... 98

9.2.2.1 Cálculo da Área .......................................................................................................... 100

9.2.2.2 Cálculo do Centro Geométrico Vertical ..................................................................... 101

9.2.2.3 Cálculo do Momento de Inércia de Área em Torno do Eixo Horizontal ................... 102

9.2.2.4 Cálculo dos Módulos Resistentes à Flexão ................................................................ 103

9.2.3 Implementação dos Carregamentos da Viga ............................................................ 103

9.2.4 Implementação das Restrições Nodais ....................................................................... 104

9.2.5 Implementação dos Nós .............................................................................................. 105

9.2.6 Implementação dos Materiais .................................................................................... 106

9.2.6.1 Concreto ..................................................................................................................... 106

9.2.7 Implementação do Método da Rigidez ...................................................................... 109

9.2.7.1 Implementação do Sistema Matricial ......................................................................... 109

9.2.8 Implementação das Solicitações ................................................................................. 115

9.3 VALIDAÇÃO DOS RESULTADOS .............................................................................. 118

10 CONSIDERAÇÕES FINAIS .......................................................................................... 122

REFERÊNCIAS ................................................................................................................... 125

ANEXO A – MANUAL DO PROGRAMA ........................................................................ 126

__________________________________________________________________________________________

Programa de computador para projeto de vigas protendidas.

17

1 INTRODUÇÃO

Este trabalho propõe a criação de um programa de computador para projeto de vigas

protendidas. Pretende-se o desenvolvimento incremental da codificação das tarefas de projeto,

de modo que as realizações do software sejam sempre possíveis de expansão e melhoramento.

Isso permite flexibilidade na implementação desse trabalho, de modo que, como objetivo

inicial, será preparar e possibilitar a entrada dos dados necessários ao cálculo das vigas, bem

como sua solução com a apresentação dos resultados das solicitações sobre elas. Com essa base

será possível implementar futuramente um tipo de projeto completo de viga protendida, e, bem

como, diversos tipos de vigas, protensões, e o que mais julgar-se necessário para tornar cada

vez mais eficiente o trabalho dos engenheiros pelo uso de tal ferramenta.

Esse trabalho foi limitado a tratar apenas o caso de protensão por pós-tração, para uma viga

individual, com tipos de seção pré-determinados, com a aplicação de diferentes condições de

apoio a critério do usuário, bem como diferentes tipos de cargas de tipos também pré-

determinados. O critério de escolha dos tipos de seções possíveis foi baseado nos tipos mais

comumente encontrados em concretos pré-fabricados, sendo assim: formato retangular e

formato em I.

Para resolução da estrutura foi adotado o método dos deslocamentos por análise matricial, com

matriz de rigidez do tipo pórtico plano, sendo do tipo linear. Dessa forma as condições de

contorno a esse tipo de estrutura determinaram também a seleção dos tipos de apoio possíveis.

As condições de contorno serão aplicadas por meio de molas (rigidezes equivalentes dos

vínculos da viga com a estrutura), aceitando-se essas restrições na direção vertical, horizontal

e circular em cada nó. As cargas selecionadas para implementação basearam-se nas mais usuais

utilizadas em projetos, sendo pontuais verticais ou de momento, e distribuídas constantes.

Os materiais utilizados são o concreto, para a viga, e aços para as armaduras passivas e ativas.

Uma biblioteca de materiais deve permitir ao engenheiro a seleção desses materiais, bem como

a personalização dos mesmos por meio de ajuste de parâmetros. A norma NBR 6118:2014 é

aplicada pelo programa em todas as etapas do desenvolvimento de cada projeto por meio dele,

indicando ao usuário os critérios necessários ao entendimento de erros ou problemas.

__________________________________________________________________________________________

Leonardo Costa de Souza. Porto Alegre: DECIV/EE/UFRGS, 2016

18

A programação desse trabalho utiliza linguagem C# e XAML, por meio do ambiente de

programação Microsoft Visual Studio 2015 (MSVS2015), com uso do subsistema gráfico

Windows Presentation Foundation (WPF) do .NET Framework 3.5. Foi escolhido do WPF pois

esse permite grande versatilidade de programação, como também maior portabilidade. As

bibliotecas runtime já se encontram inclusas em todas as versões do Microsoft Windows desde

o Windows Vista, minimizando questões de instalação do aplicativo final.

__________________________________________________________________________________________


19

2 DIRETRIZES DA PESQUISA

As diretrizes para desenvolvimento desse trabalho estão descritas nos itens a seguir.

2.1 QUESTÃO DA PESQUISA

A questão do trabalho é: que formulações são necessárias ao dimensionamento de uma viga de

concreto com múltiplos vãos, para dimensionamento adequado às normas brasileiras, de uma

armadura de protensão por pós-tração, de modo que seja possível sua implementação em

algoritmos computacionais?

2.2 OBJETIVOS DA PESQUISA

Os objetivos da pesquisa são classificados em principal e secundários, descritos a seguir.

2.2.1 Objetivo Principal

O objetivo principal do trabalho consiste em definir os elementos necessários para

implementação de um programa de computador capaz de dimensionar a armadura de protensão

pós-tracionada para vigas de concreto de múltiplos vãos, formada por segmentos de parábolas

pelo método do balanceamento das cargas, a partir de parâmetros definidos pelo engenheiro.

2.2.2 Objetivos Secundários

Os objetivos secundários do trabalho são:

a) exposição dos dados e elementos necessários a serem informados em um

programa que permita a análise de vigas e dimensionamento de armadura de

protensão;

__________________________________________________________________________________________


20

b) exposição da formulação da análise matricial de estruturas utilizada em

programas computacionais, particularizada para a análise de vigas;

c) modelagem e descrição matemática da geometria de um cabo de protensão

formado por segmentos de parábolas para seu armazenamento em uma estrutura

de dados pelo computador;

d) exposição do método de balanceamento de cargas para transformar o problema

dos esforços gerados pelos cabos de protensão em carregamentos, de modo que

a mesma formulação da alínea b permita ao computador analisar a estrutura com

a protensão;

e) descrição matemática das verificações ligadas à protensão como perdas

imediatas e perdas progressivas;

f) apresentação da implementação do código – diagramas que representem o

funcionamento do código do programa implementado;

g) apresentação de interface gráfica interativa, nos padrões dos softwares mais

atuais, de modo a facilitar sua usabilidade;

h) implementação de código em linguagem de programação bastante difundida em

ambiente versátil que permita melhor uso dos recursos computacionais como

uso do mouse, gráficos 3D, e portabilidade futura para outros tipos de

dispositivos e sistemas, além do computador pessoal, como smartphones e

tablets.

2.3 PRESSUPOSTOS

O trabalho tem por pressuposto a validade as especificações das normas brasileiras, em especial,

a NBR 6118:2014 – Projeto de Estruturas de Concreto - Procedimento, como adequada aos

objetivos desse trabalho, o método dos deslocamentos com análise matricial das estruturas

como apropriado para cálculo das reações e esforços da viga, bem como os resultados

produzidos pelo método de balanceamento de cargas para dimensionamento da armadura de

protensão em vigas hiperestáticas, em que a curvatura do cabo de protensão é muito pequena.

2.4 DELIMITAÇÕES

O trabalho delimita-se ao estudo das formulações matemáticas necessárias ao método dos

deslocamentos para análise matricial da estrutura a ao método do balanceamento de cargas para

aplicação em protensão por pós-tração de vigas de concreto, e posterior implementação

computacional. Esses modelos têm como particularidade:

__________________________________________________________________________________________


21

a) apenas estruturas de vigas de concreto de Cimento Portland;

b) protensão realizada apenas por pós-tração da armadura ativa;

c) geometria do cabo de protensão formada por segmentos de parábolas;

d) implementação parcial do programa demonstrando seus principais mecanismos

para solução do problema, não exaustivo em todas as etapas do projeto

demonstrando sua capacidade para continuidade de um desenvolvimento

futuro;

e) o programa implementado será capaz de realizar a entrada de dados e o cálculo

das solicitações, não sendo implementada a parte da protensão nesse trabalho.

2.5 LIMITAÇÕES

São limitações do trabalho:

a) as curvaturas nos cabos de protensão devem ser pequenas;

b) os vãos da viga devem ser ter comprimento mínimo igual ao dobro da sua altura;

c) a análise das estruturas é linear;

d) são considerados apenas carregamentos estáticos;

e) número de segmentos de parábolas para vãos igual a quatro e para balanços

igual a dois.

2.6 DELINEAMENTO

O trabalho foi realizado a partira das etapas apresentadas a seguir, representadas na Figura 1, e

descritas nos próximos parágrafos:

a) pesquisa bibliográfica;

b) idealização do modelo estrutural;

c) desenvolvimento de modelos matemáticos;

d) implementação computacional;

e) validação dos resultados;

f) considerações finais.

__________________________________________________________________________________________


22

Figura 1 – Diagrama das etapas de pesquisa.

(fonte: elaborada pelo autor.)

A pesquisa bibliográfica está relacionada com todas as etapas do desenvolvimento do trabalho.

O principal foco da pesquisa buscou aprofundar os conhecimentos na área do método da rigidez

Pesquisa Bibliográfica

Método da Rigidez

Método do Balanceamento de

Cargas

Desenvolvimento de Modelos

Matemáticos

Implementação

Computacional

Validação dos Resultados

Considerações Finais

Idealização do Modelo

Estrutural

__________________________________________________________________________________________


23

para a resolução dos esforços da estrutura, no método do balanceamento de cargas para

consideração dos esforços produzidos pela armadura de protensão sobre a viga, remetendo-o

de volta ao método da rigidez, e sobre a norma brasileira no que tange as considerações

adicionais que devem ser realizadas sobre armaduras de protensão por pós-tração bem como do

comportamento dos materiais envolvidos, isto é, o concreto e o aço. Com esse aprofundamento

foi possível relacionar todos os elementos envolvidos no problema para possibilitar a

formulação de sua resolução. Por fim, foram aprofundados também os conhecimentos sobre

linguagens de programação e de estrutura de dados para iniciar a implementação computacional

dos dados do problema.

A idealização do modelo estrutural consiste basicamente em levantar todas as variáveis

necessárias de um problema real e então idealizá-las em parâmetros que descrevam seu

comportamento em um modelo de cálculo com razoável proximidade. Essa idealização envolve

tanto a questão da estrutura da viga com seus carregamentos e restrições de deslocamentos,

como sua geometria e o material que a compõe, quanto a questão dos efeitos da armadura de

protensão com sua geometria e material, resultando na forma de um carregamento adicional

sobre a viga.

No desenvolvimento de modelos matemáticos tem-se a apresentação da formulação matricial

utilizada para modelagem da viga por elementos de pórticos planos pelo método da rigidez e

suas considerações levando em conta a idealização do modelo estrutural, relacionando os

parâmetros levantados anteriormente. Ainda nessa mesma fase também é apresentada a

formulação do método do balanceamento de cargas, para através também dos parâmetros

idealizados no modelo estrutural, chegar-se a como estes serão considerados matematicamente

para transformação da armadura ativa em questão em carregamentos bem como o

dimensionamento das excentricidades de suas parábolas de modo autônomo. Nessa fase foram

adicionalmente levantadas as formulações da NBR 6118:2014 para considerações adicionais

acerca do dimensionamento da protensão, como perdas imediatas e progressivas do aço de

protensão e do concreto para possibilitar futuramente a continuidade do programa desenvolvido

nesse trabalho.

A implementação computacional envolve não apenas a tradução dos modelos matemáticos

desenvolvidos em linguagem de programação como também o desenvolvimento de uma

interface com a qual o engenheiro irá interagir para poder fornecer os parâmetros necessários

__________________________________________________________________________________________


24

de projeto, levantados na idealização do modelo. Essa fase corresponde ao desenvolvimento de

rotinas e algoritmos de computador para executar os cálculos matemáticos definidos como, a

partir dos parâmetros fornecidos para a viga, aplicando o método da rigidez, produzir os

resultados de reações e solicitações sobre a viga. Devido à complexidade e tamanho dessas

rotinas, grande parte será apresentada de forma esquemática com descrição detalhada para os

modelos de cálculo implementados.

A validação dos resultados corresponde a produzir resultados da implementação

computacional realizada e compará-los com os mesmos resultados obtidos por outros

programas confiáveis, quando existirem. No caso do método da rigidez, o programa ftool foi

adotado como uma boa referência.

As considerações finais buscam apresentar conclusões sobre o desenvolvimento do trabalho e

sobre os resultados obtidos.

__________________________________________________________________________________________


25

colocar uma linha estilo linha em branco antes do início de cada capítulo

3 ANÁLISE DA ESTRUTURA

O tipo de análise realizado é linear, matricial, sendo empregado o método dos deslocamentos

para resolução da estrutura. Em vista de limitar-se o trabalho a apenas uma viga nesse momento,

os elementos componentes dessa matriz são do tipo pórtico plano; isto é, possuem coeficientes

de rigidez dentro da matriz apenas para deslocamentos horizontais, verticais e giros em cada

um de seus nós, definidos pelo grid. Ainda, pela opção de uma estrutura linear horizontal, não

será necessário rotacionar nenhum dos elementos para montar a matriz de rigidez global da

viga, pois todos já estão em posição compatível com um único referencial de eixos globais.

Sob estas condições, pode-se aplicar a Lei de Hooke, em sua forma matricial:

{𝐹} = [𝐾]. {𝑈} (1)

A matriz de forças pode ser obtida a partir das cargas inseridas no programa pelo projetista. K

será calculada com base nos materiais, geometria informada. A matriz de deslocamentos,

inicialmente, será a parte incógnita da equação a ser resolvida. Para que seja possível a

resolução da equação (1), condições de contorno são aplicadas com base nas rigidezes das

restrições informadas, somando-as nas suas respectivas posições na matriz global, e igualando

sua posição no vetor de forças a zero.

3.1 MATRIZ DE RIGIDEZ DO TIPO PÓRTICO PLANO

Para geração da matriz de rigidez de cada elemento local (KL) é necessário o módulo de Yong

(E) do concreto em questão, fornecido pela escolha de materiais no início de cada projeto dentro

do software, o momento de inércia de área de cada seção (I), a área de cada seção (A), e o

comprimento de cada trecho (L). Visto que a seção é constante, bem como o material, ao longo

de toda a viga, a matriz de rigidez varia apenas com o comprimento do trecho obtido a partir

do grid definido pelo usuário. Assim, pode-se escrever a matriz K como em GAVIN (2014):

__________________________________________________________________________________________


26

𝐾𝐿 =

[

𝐸𝐴

𝐿0 0

012𝐸𝐼

𝐿36𝐸𝐼

𝐿2

06𝐸𝐼

𝐿24𝐸𝐼

𝐿

− 𝐸𝐴

𝐿0 0

0 −12𝐸𝐼

𝐿36𝐸𝐼

𝐿2

0 −6𝐸𝐼

𝐿22𝐸𝐼

𝐿

−𝐸𝐴

𝐿0 0

0 −12𝐸𝐼

𝐿3−6𝐸𝐼

𝐿2

06𝐸𝐼

𝐿22𝐸𝐼

𝐿

𝐸𝐴

𝐿0 0

012𝐸𝐼

𝐿3−6𝐸𝐼

𝐿2

0 −6𝐸𝐼

𝐿24𝐸𝐼

𝐿 ]

(2)

Cada sub-matriz 3 x 3 (três por três) está relacionado a um nó no elemento. Sendo cada

elemento composto por dois nós, e nomeando-os de i e j, podemos representar cada sub-matriz

por um índice, conforme segue:

𝐾𝐿 = [

𝐾𝑖𝑖 𝐾𝑖𝑗𝐾𝑗𝑖 𝐾𝑗𝑗

] (3)

3.2 MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL

A matriz de rigidez global (KG) é composta por super-nós. Cada super-nó é composto pela soma

das rigidezes individuais de matrizes locais (Kii, Kij Kji Kjj), em que os índices para essas

rigidezes coincidam no super-nó da sobreposição. A equação (4) abaixo representa os três nós

de uma viga, e a equação (5) a sua composição em uma matriz global:

𝐾12 = [

𝐾11 𝐾12𝐾21 𝐾22

] 𝐾23 = [𝐾22 𝐾23𝐾32 𝐾33

] 𝐾13 = [0 00 0

] (4)

𝐾𝐺 = [

𝐾1112 + 0 𝐾12

12 0

𝐾2112 𝐾22

12 + 𝐾2223 𝐾23

23

0 𝐾3223 𝐾33

23 + 0

] (5)

3.3 CONSIDERAÇÃO DAS RESTRIÇÕES

A resolução do sistema matricial ocorre em etapas, de modo que inicialmente gera-se um

sistema simplificado, para a redução do número de incógnitas, possibilitando assim sua solução.

__________________________________________________________________________________________


27

Para cada rigidez inserida nos nós da viga, por meio das restrições aplicadas pelo usuário na

coleta de dados, faz-se a soma desses valores em elementos específicos da matriz, zerando-se a

força ou reação existente no vetor F naquela linha. A igualdade mantém-se, dessa forma, como

pode ser demonstrado abaixo:

[ 𝐾11 𝐾12 𝐾13𝐾21 𝐾22 𝐾23𝐾31 𝐾32 𝐾33

𝐾14 𝐾15 𝐾16𝐾24 𝐾25 𝐾26𝐾34 𝐾35 𝐾36

𝐾41 𝐾42 𝐾43𝐾51 𝐾52 𝐾53𝐾61 𝐾62 𝐾63

𝐾44 𝐾45 𝐾46𝐾54 𝐾55 𝐾56𝐾64 𝐾65 𝐾66]

.

{

𝑢1𝑣1𝜑1𝑢2𝑣2𝜑2}

=

{

𝐻1𝑉1𝑀𝑧1

𝐻2𝑉2𝑀𝑧2}

(6)

𝐾21. 𝑢1 + 𝐾22. 𝑣1 + 𝐾23. 𝜑1 + 𝐾24. 𝑢2 + 𝐾25. 𝑣2 + 𝐾26. 𝜑2 = 𝑉1 (7)

Havendo sido inserida uma rigidez vertical no nó 1, tem-se a equação:

𝑘𝑣1. 𝑣1 = 𝑉𝑅1 (8)

𝑉𝑅1 = −𝑉1

(9)

A reação na mola VR1 é oposta à V1 do vetor de forças, de modo obtém-se a equação

abaixo:

𝑉1 = −𝑘𝑣1. 𝑣1

(10)

Igualando as duas equações (7) e (10), obtém-se:

𝐾21. 𝑢1 + 𝐾22. 𝑣1 + 𝐾23. 𝜑1 + 𝐾24. 𝑢2 + 𝐾25. 𝑣2 + 𝐾26. 𝜑2 = −𝑘𝑣1. 𝑣1 (11)

𝐾21. 𝑢1 + (𝐾22 + 𝑘𝑣1). 𝑣1 + 𝐾23. 𝜑1 + 𝐾24. 𝑢2 + 𝐾25. 𝑣2 + 𝐾26. 𝜑2 = 0 (12)

Observa-se aqui que a rigidez deve ser isotrópica, isto é, tanto compressão como tração

oferecem mesma resistência, de modo que o sinal entre as rigidezes deverá ser de soma,

independente da direção de força. Reescrevendo novamente na forma matricial, tem-se:

__________________________________________________________________________________________


28

[ 𝐾11 𝐾12 𝐾13𝐾21 𝐾22 + 𝑘𝑣1 𝐾23𝐾31 𝐾32 𝐾33

𝐾14 𝐾15 𝐾16𝐾24 𝐾25 𝐾26𝐾34 𝐾35 𝐾36

𝐾41 𝐾42 𝐾43𝐾51 𝐾52 𝐾53𝐾61 𝐾62 𝐾63

𝐾44 𝐾45 𝐾46𝐾54 𝐾55 𝐾56𝐾64 𝐾65 𝐾66]

.

{


=

{

𝐻10𝑀𝑧1


(13)

Quando as restrições inseridas no programa forem vínculos perfeitos, de imediato sabe-se que

o deslocamento naquela direção será nulo, de modo que outra simplificação é possível. No vetor

de deslocamentos a posição correspondente ao vínculo perfeito deve ser zerada, bem como a

posição equivalente no vetor de forças. Segue demonstração:

[ 𝐾11 𝐾12 𝐾13𝐾21 𝐾22 𝐾23𝐾31 𝐾32 𝐾33

𝐾14 𝐾15 𝐾16𝐾24 𝐾25 𝐾26𝐾34 𝐾35 𝐾36

𝐾41 𝐾42 𝐾43𝐾51 𝐾52 𝐾53𝐾61 𝐾62 𝐾63

𝐾44 𝐾45 𝐾46𝐾54 𝐾55 𝐾56𝐾64 𝐾65 𝐾66]

.

{


=

{

𝐻1𝑉1𝑀𝑧1


(14)

Havendo sido inserido um vínculo perfeito restringindo o giro no nó 1, tem-se a equação:

𝑘𝜑1. 𝜑1 = 𝑀𝑧1 = 𝑘𝜑1. 0 = 𝑀𝑧1 (15)

Para satisfazer a igualdade, Mz1 deve ser necessariamente zero ou ocorreria um giro no ponto.

Reescrevendo-se o sistema, tem-se:

[ 𝐾11 𝐾12 𝐾13𝐾21 𝐾22 𝐾23𝐾31 𝐾32 𝐾33

𝐾14 𝐾15 𝐾16𝐾24 𝐾25 𝐾26𝐾34 𝐾35 𝐾36

𝐾41 𝐾42 𝐾43𝐾51 𝐾52 𝐾53𝐾61 𝐾62 𝐾63

𝐾44 𝐾45 𝐾46𝐾54 𝐾55 𝐾56𝐾64 𝐾65 𝐾66]

.

{

𝑢1𝑣10𝑢2𝑣2𝜑2}

=

{

𝐻1𝑉10𝐻2𝑉2𝑀𝑧2}

(16)

A linha em que ocorre essa eliminação acaba por não ter incógnitas, e então pode ser eliminada

do cálculo. Computacionalmente é mais simples reescrever a matriz, preenchendo a coluna e

linha correspondente com zeros e uns, ao invés de alterar-se as dimensões da matriz, ficando

dessa forma o seguinte resultado:

__________________________________________________________________________________________


29

[ 𝐾11 𝐾12 0𝐾21 𝐾22 00 0 1

𝐾14 𝐾15 𝐾16𝐾24 𝐾25 𝐾260 0 0

𝐾41 𝐾42 0𝐾51 𝐾52 0𝐾61 𝐾62 0

𝐾44 𝐾45 𝐾46𝐾54 𝐾55 𝐾56𝐾64 𝐾65 𝐾66]

.

{

𝑢1𝑣10𝑢2𝑣2𝜑2}

=

{

𝐻1𝑉10𝐻2𝑉2𝑀𝑧2}

(17)

Outro caso de simplificação possível é quando existem deslocamentos pré-determinados em

um nó da estrutura. Para esses casos, o valor da incógnita (deslocamento) na linha em questão

é sabido, podendo-se reescrever o sistema para eliminar essa linha que pode ter alguma

incógnita no vetor de forças, realizando as seguintes operações:

[ 𝐾11 𝐾12 𝐾13𝐾21 𝐾22 𝐾23𝐾31 𝐾32 𝐾33

𝐾14 𝐾15 𝐾16𝐾24 𝐾25 𝐾26𝐾34 𝐾35 𝐾36

𝐾41 𝐾42 𝐾43𝐾51 𝐾52 𝐾53𝐾61 𝐾62 𝐾63

𝐾44 𝐾45 𝐾46𝐾54 𝐾55 𝐾56𝐾64 𝐾65 𝐾66]

.

{


=

{

𝐻1𝑉1𝑀𝑧1


(18)

Aplicando-se um deslocamento vertical fixo no nó 2, δ2, tem-se:

𝑣2 = 𝛿2 ∴ 𝑉2 = 0

(19)

Como δ2 no caso seria o resultado do deslocamento final, a estrutura estaria em equilíbrio para

esse valor, podendo-se anular a força correspondente do vetor de forças. Ainda, com a

imposição desse deslocamento nesse nó, as demais equações do sistema podem eliminar essa

incógnita, trocando-a para o lado das forças conforme segue:

𝐾11. 𝑢1 + 𝐾12. 𝑣1 + 𝐾13. 𝜑1 +𝐾14. 𝑢2 + 𝐾15. 𝛿2 + 𝐾16. 𝜑2 = 𝐻1 (20)

𝐾11. 𝑢1 + 𝐾12. 𝑣1 + 𝐾13. 𝜑1 +𝐾14. 𝑢2 + 𝐾16. 𝜑2 = 𝐻1 − 𝐾15. 𝛿2

(21)

[ 𝐾11 𝐾12 𝐾13𝐾21 𝐾22 𝐾23𝐾31 𝐾32 𝐾33

𝐾14 0 𝐾16𝐾24 𝐾25 𝐾26𝐾34 𝐾35 𝐾36

𝐾41 𝐾42 𝐾430 0 0𝐾61 𝐾62 𝐾63

𝐾44 𝐾45 𝐾460 1 0𝐾64 𝐾65 𝐾66]

.

{

𝑢1𝑣1𝜑1𝑢2𝛿2𝜑2}

=

{

𝐻1 − 𝐾15. 𝛿2

𝑉1𝑀𝑧1

𝐻20𝑀𝑧2 }

(22)

__________________________________________________________________________________________


30

Esse procedimento pode ser repetido para cada linha da matriz, até que por fim tem-se uma

simplificação do sistema computacional reduzido de uma dimensão.

[ 𝐾11 𝐾12 𝐾13𝐾21 𝐾22 𝐾23𝐾31 𝐾32 𝐾33

𝐾14 0 𝐾16𝐾24 0 𝐾26𝐾34 0 𝐾36

𝐾41 𝐾42 𝐾430 0 0𝐾61 𝐾62 𝐾63

𝐾44 0 𝐾460 1 0𝐾64 0 𝐾66]

.

{

𝑢1𝑣1𝜑1𝑢2𝛿2𝜑2}

=

{

𝐻1 − 𝐾15. 𝛿2𝑉1 − 𝐾25. 𝛿2𝑀𝑧1 −𝐾35. 𝛿2𝐻2 − 𝐾45. 𝛿2

0𝑀𝑧2 −𝐾65. 𝛿2}

(23)

Por fim, para que a estrutura esteja estável, caso não existe restrição horizontal na estrutura, o

programa considera o deslocamento horizontal do primeiro nó igual a zero para possibilitar a

resolução da matriz, sem interferir nos resultados. Assim, de forma genérica, seguindo as

demonstrações anteriores, o sistema final a ser resolvido seria:

[ 1 0 00 𝐾22 + 𝑘𝑣1 00 0 1

0 0 0𝐾24 0 𝐾260 0 0

0 𝐾42 00 0 00 𝐾62 0

𝐾44 0 𝐾460 1 0𝐾64 0 𝐾66]

.

{

0𝑣10𝑢2𝛿2𝜑2}

=

{

0−𝐾25. 𝛿2

0𝐻2 − 𝐾45. 𝛿2

0𝑀𝑧2 − 𝐾65. 𝛿2}

(24)

As incógnitas finais seriam v1, u2, φ2, com carregamentos existentes ou não H1, H2 e Mz2, de

modo que o sistema é determinado.

3.4 OBTENÇÃO DAS REAÇÕES

As reações sobre a estrutura são determinadas pelo uso dos deslocamentos obtidos com a

resolução do sistema {K}.[U]={F}, com diversos passos de simplificação sobre o sistema. Com

o resultado de U obtido desse sistema, pode-se reaplicar seus valores no sistema original,

obtendo-se o vetor F. Com o resultado de F, subtraem-se então as forças aplicadas sobre os nós,

resultando nas reações para cada um dos mesmos.

__________________________________________________________________________________________


31

{

𝐻1𝑉1𝑀𝑧1


=

{

𝑅𝐻1𝑅𝑉1𝑅𝑀𝑧1𝑅𝐻2𝑅𝑉2𝑅𝑀𝑧2}

+

{

𝐹𝐻1𝐹𝑉1𝐹𝑀𝑧1𝐹𝐻2𝐹𝑉2𝐹𝑀𝑧2}

∴

{

𝑅𝐻1𝑅𝑉1𝑅𝑀𝑧1𝑅𝐻2𝑅𝑉2𝑅𝑀𝑧2}

=

{

𝐻1 − 𝐹𝐻1𝑉1 − 𝐹𝑉1𝑀𝑧1 − 𝐹𝑀𝑧1𝐻2 − 𝐹𝐻2𝑉2 − 𝐹𝑉2𝑀𝑧2 − 𝐹𝑀𝑧2}

(25)

3.5 OBTENÇÃO DOS DIAGRAMAS DE ESFORÇOS

A combinação das reações calculadas pela análise matricial nos nós criados ao longo da viga,

combinado com os carregamentos de forma contínua permite a obtenção dos diagramas de

esforços para qualquer ponto da barra. Computacionalmente pode-se dividir os trechos em

funções conforme pontos de mudança de carregamentos ou reações, e criar um conjunto de

funções válidas para cada trecho entre grids que resultarão em cada um dos esforços – normal,

cortante ou de momento de flexão, no caso desse trabalho.

Sendo um grid existente em n pontos, nomeia-se cada um de g0 até gn-1, as reações e cargas

pontuais poderão estar somente em algum ponto gi, e as cargas distribuídas de gi até gi+1. Dessa

forma, pode-se gerar um sistema de equações de forma analítica que forneça a solicitação para

qualquer coordenada ao longo da viga. Através de um eixo de coordenadas, chamado de eixo x

com origem em g0, teremos funções N(x), Q(x) e M(x) (para normal, cortante e momento de

flexão respectivamente), entre cada trecho gigi+1. Os esforços normais serão provenientes da

protensão apenas, de modo que esse ponto será discutido mais adiante, bem como a contribuição

do momento de flexão por parte da armadura ativa. Assim, expressões de cortante serão dadas

por:

𝑄(𝑥)𝑔𝑖𝑔𝑖+1 = 𝑄(𝑔𝑖) + 𝑅(𝑔𝑖) − 𝑉(𝑔𝑖) − 𝑞𝑟 . (𝑥 − 𝑔𝑖) (26)

Onde,

Q(x)gigi+1 – valor do esforço cortante em função de x entre pontos do grid gi e gi+1;

x – posição da abscissa ao longo da peça;

Q(gi) – valor do esforço cortante no ponto do grid gi;

R(gi) – valor da reação, caso existente, no grid gi;

__________________________________________________________________________________________


32

V(gi) – carga pontual aplicada no grid gi;

qr – valor taxa de carga constante no trecho em questão;

gi ou gi+1 – valor da abscissa da posição do grid i ou i+1.

Cargas pontuais e reações irão gerar um degrau no gráfico e as distribuídas constantes uma reta

inclinada com a declividade no valor de qr.

Para o momento de flexão, a lógica aplicada é semelhante à usada para o cortante.

3.6 ESFORÇOS SOLICITANTES

Os esforços solicitantes da viga podem variam em função do tempo e possuir determinada

duração, de modo que estes influenciam no resultado e desempenho final da protensão, pois

esta última possui fatores de perda dependentes do tempo e desses esforços sofridos. Desse

modo, o programa desenvolvido para esse trabalho associa a cada entrada de carregamento

informações cronológicas sobre sua atuação e seu tipo (variável ou permanente) para

posteriormente poder realizar descontos de perdas da tensão que a armadura irá sofrer. Além

das perdas da armadura, também são computados os esforços sofridos pela viga a cada instante

para se comparar com as resistências dos materiais, de modo a garantir a segurança da peça

durante toda sua vida útil.

__________________________________________________________________________________________


33

Linha em branco.

4 DESCRIÇÃO DAS GEOMETRIAS

Cada elemento geométrico dentro do programa será formulado de maneira paramétrica, a partir

de um mínimo de dados necessários a serem fornecidos pelo usuário, sendo o restante deduzido

pelos algoritmos a serem desenvolvidos.

4.1 GEOMETRIA DA PROTENSÃO

A geometria da protensão ao longo da viga será composta de trechos de parábolas,

parametrizadas em função de uma excentricidade (em relação ao centro de gravidade da seção

transversal), da diferença de cota entre apoio e o fim do trecho, e do comprimento sobre o qual

cada parábola se estende. Cada vão entre dois apoios consecutivos é formado por quatro

segmentos de parábolas, sendo que para os apoios externos uma parábola terá comprimento

zero, equivalendo a uma composição de apenas três parábolas. A Figura 3 a seguir demonstra

como essa segmentação da geometria do cabo é feita em função de segmentos de parábolas por

trecho de viga, composta por n trechos (Figura 2).

Figura 2 – Segmentação da viga em trechos.


trecho 1 trecho 2 trecho n-1 trecho n

__________________________________________________________________________________________


34

Figura 3 – Segmentação da armadura de protensão em trechos de parábolas.


Para cada trecho considerado existem 4 (quatro) parábolas que descrevem a geometria da

protensão no concreto, sendo que no caso de trechos de extremidade da viga, a parábola mais à

extremidade possuirá comprimento 0 (zero), equivalendo a um trecho de apenas três parábolas.

As curvas superiores do trecho (ou nas extremidades do mesmo) e seus parâmetros receberam

o sub-índice “s”, e as inferiores de maneira semelhante o sub-índice “i”. Ainda um segundo

sub-índice foi utilizado para melhor identificar cada parábola individualmente, sendo “i”

utilizado para os dois segmentos mais à esquerda do trecho, e “j” para os dois segmentos mais

à direita.

As seguintes considerações foram feitas para definição das funções “y” que irão descrever cada

uma das parábolas do cabo ao longo de toda a viga:

a) todas as parábolas possuem continuidade entre si, isto é, a derivada no ponto

de encontre entre parábolas é idêntico para ambas funções;

b) os parâmetros “f” representam a flecha de cada parábola, sendo medida

entre a maior e a menor cota (y) para cada segmento (sempre positiva);

c) o parâmetro “e” representa a excentricidade das duas parábolas à esquerda

ou à direita do trecho em relação ao centro de gravidade da viga;

d) as funções “y” são referenciadas a partir do centro de gravidade “CG” da

viga, sendo positiva para baixo e negativa para cima deste;

e) o parâmetro “Δh” representa a flecha total entre as duas curas à esquerda ou

à direita do trecho, ou seja, fi+fs para um dos lados do trecho;

f) a letra “l” representa o comprimento do início ao fim de cada parábola

individual;

CG ei ej

ysi

yii yij

ysj

lii lij lsi lsj

fsi

fii Δhi

fsj

fij Δhj

trecho i trecho i-1 trecho i+1

__________________________________________________________________________________________


35

g) para trechos extremos da viga, simplesmente apoiados, a parábola superior

do lado externo não existe, mantendo-se apenas as parábolas inferiores e

uma parábola superior no lado que possui continuidade da viga;

h) para vigas bi apoiadas, existem somente as parábolas inferiores;

i) para trechos em balanço, existem apenas as duas parábolas referentes ao nó

do lado em que a viga possui continuidade ou engastamento.

Os parâmetros que são variáveis, isto é, que dependem de valor informado pelo usuário no

programa são o comprimento de cada parábola (l), a variação de altura (Δh), e uma

excentricidade inicial (e0) à esquerda do primeiro trecho da viga. Todos os demais parâmetros

serão calculados em função dessas três entradas, um único e0, dois Δh para cada trecho, e quatro

l’s para cada trecho.

4.1.1 Determinação das excentricidades intermediárias

A excentricidade dos demais trechos pode apenas ser calculada com base em e0, caso contrário

as parábolas sofreriam uma descontinuidade entre trechos, ou o usuário teria de ajustar

manualmente Δh’s e l’s específicos para compatibilizar as funções. Para manter a continuidade

deduz-se as seguintes fórmulas para ei e ej:

𝑓𝑖𝑖 − 𝑒𝑖 = 𝑓𝑖𝑗 + 𝑒𝑗

(𝑛𝑜 𝑚𝑒𝑖𝑜 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦𝑖𝑖 𝑒 𝑦𝑖𝑗)

(1)

𝑓𝑠𝑗 − 𝑒𝑗 = 𝑓𝑠𝑖 + 𝑒𝑖

(𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦𝑠𝑗 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝑖 − 1 𝑒 𝑦𝑠𝑖 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝑖,

𝑜𝑢, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦𝑠𝑗 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝑖 𝑒 𝑦𝑠𝑖 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝑖 + 1)

(2)

Assim obtém-se os valores de maneira incremental, iniciando pelo primeiro trecho em que ei

será o próprio e0, conforme apresentado na Tabela 1, de maneira genérica:

__________________________________________________________________________________________


36

Tabela 1 – Fórmulas para determinação das excentricidades de cada parábola.

trecho parâmetro função

1

ei1 =e0

ej1 =ei1+fii1-fij1

2

ei2 =ej1+fsi2-fsj1

ej2 =ei2+fii2-fij2

3

ei3 =ej2+fsi3-fsj2

ej3 =ei3+fii3-fij3

... ...

n-1

ei(n-1) =ej(n-2)+fsi(n-1)-fsj(n-2)

ej(n-1) =ei(n-1)+fii(n-1)-fij(n-1)

n

ein =ej(n-1)+fsin-fsj(n-1)

ejn =ein+fiin-fijn


4.1.2 Determinação das equações das parábolas

Todas as parábolas possuem uma das extremidades com declividade zero, isto é, derivada nula,

e um outro ponto com um certo ângulo. Com base no Δh e l para cada grupo de duas parábolas

(as duas mais à esquerda de cada trecho ou as duas mais à direita de cada trecho), é possível

determinar o valor de f para cada uma delas, conforme segue demonstração.

__________________________________________________________________________________________


37

Figura 4 – Relação de flechas e ângulo do ponto de inflexão entre parábolas.


Tomando-se x e y iguais a zero no encontro das parábolas, em vermelha e em azul da Figura 4,

y crescente para baixo, e sabendo que o ângulo α para ambas deve ser o mesmo como forma de

garantir a continuidade entre as curvas, pode-se demonstrar que a relação de flechas segue as

proporções de dois triângulos retângulos circunscritos às parábolas, com altura igual a dois f, e

base l.

Para a cura em vermelho da Figura 4 determina-se:

𝑦𝑖(𝑥) = 𝑎𝑖𝑥2 + 𝑏𝑖𝑥 + 𝑐𝑖 (3)

𝑦𝑖(0) = 𝑎𝑖. 0 + 𝑏𝑖. 0 + 𝑐𝑖 = 0 ∴ 𝑐𝑖 = 0 (4)

𝑦𝑖(−𝑙𝑖) = 𝑓𝑖 = 𝑎𝑖𝑙𝑖2 − 𝑏𝑖𝑙𝑖 (5)

li

ls

fi

fs

α

α

= fs

= fi

__________________________________________________________________________________________


38

𝑦𝑖′(𝑥) = 2𝑎𝑖𝑥 + 𝑏𝑖 (6)

𝑦𝑖′(−𝑙𝑖) = 0 = −2𝑎𝑖𝑙𝑖 + 𝑏𝑖 ∴ 𝑏𝑖 = 2𝑎𝑖𝑙𝑖 (7)

𝑓𝑖 = 𝑎𝑖𝑙𝑖

2 − 2𝑎𝑖𝑙𝑖2 ∴ 𝑎𝑖 = −

𝑓𝑖

𝑙𝑖2

(8)

𝑏𝑖 = −

2𝑓𝑖𝑙𝑖

(9)

𝑦𝑖(𝑥) = −

𝑓𝑖

𝑙𝑖2 𝑥

2 −2𝑓𝑖𝑙𝑖𝑥

(10)

𝑦𝑖′(𝑥) = −

2𝑓𝑖

𝑙𝑖2 𝑥 −

2𝑓𝑖𝑙𝑖

(11)

Logo, no ponto em que x = 0, para a parábola em vermelho tem-se:

𝑦𝑖′(0) = −

2𝑓𝑖𝑙𝑖= tan𝛼

(12)

Para a curva em azul da Figura 4 determina-se:

𝑦𝑠(𝑥) = 𝑎𝑠𝑥2 + 𝑏𝑠𝑥 + 𝑐𝑠 (13)

𝑦𝑠(0) = 𝑎𝑠. 0 + 𝑏𝑠. 0 + 𝑐𝑠 = 0 ∴ 𝑐𝑠 = 0 (14)

𝑦𝑠(𝑙𝑠) = −𝑓𝑠 = 𝑎𝑠𝑙𝑠2 + 𝑏𝑠𝑙𝑠 (15)

𝑦𝑠′(𝑥) = 2𝑎𝑠𝑥 + 𝑏𝑠 (16)

𝑦𝑠′(𝑙𝑠) = 0 = 2𝑎𝑠𝑙𝑠 + 𝑏𝑠 ∴ 𝑏𝑠 = −2𝑎𝑠𝑙𝑠 (17)

−𝑓𝑠 = 𝑎𝑠𝑙𝑠

2 − 2𝑎𝑠𝑙𝑠2 ∴ 𝑎𝑠 =

𝑓𝑠𝑙𝑠2

(18)

𝑦𝑠(𝑥) =

𝑓𝑠𝑙𝑠2𝑥2 −

2𝑓𝑠𝑙𝑠2𝑥

(19)

𝑦𝑠′(𝑥) =

2𝑓𝑠𝑙𝑠2𝑥 −

2𝑓𝑠𝑙𝑠

(20)

__________________________________________________________________________________________


39

𝑦𝑠(𝑥) = 𝑎𝑠𝑥2 + 𝑏𝑠𝑥 + 𝑐𝑠 (21)

Logo, no ponto em que x = 0, para a parábola em azul tem-se:

𝑦𝑠′(0) = −

2𝑓𝑠𝑙𝑠= tan𝛼

(22)

Visto que a tangente do ângulo de um triângulo-retângulo é igual ao cateto oposto sobre o

adjacente (altura / base), resulta que para ambas curvas encontramos 2f/l sendo 2f a altura do

triângulo e l sua base. Uma vez comprovado isso, basta igualar as tangentes do ponto ou realizar

uma proporção de triângulos que o resultado será o mesmo.

tan𝛼 = −

2𝑓𝑠𝑙𝑠= −

2𝑓𝑖𝑙𝑖∴ 𝑓𝑖 =

𝑙𝑖𝑙𝑠𝑓𝑠

(23)

Lembrando que Δh = fi+fs, tem-se:

𝛥ℎ = 𝑓𝑖 + 𝑓𝑠 ∴ 𝑓𝑠 = 𝛥ℎ − 𝑓𝑖 (24)

𝑓𝑖 =

𝑙𝑖𝑙𝑠(𝛥ℎ − 𝑓𝑖)

(25)

𝑓𝑖 +

𝑙𝑖𝑙𝑠𝑓𝑖 =

𝑙𝑖𝑙𝑠𝛥ℎ

(26)

Logo, fi será igual a:

𝑓𝑖 =

𝑙𝑖𝑙𝑠

𝛥ℎ

(1 +𝑙𝑖𝑙𝑠)

(27)

__________________________________________________________________________________________


40

Substituindo novamente fi na primeira equação de Δh:

𝑓𝑠 = 𝛥ℎ −𝑙𝑖𝑙𝑠

𝛥ℎ

(1 +𝑙𝑖𝑙𝑠)=𝛥ℎ (1 +

𝑙𝑖𝑙𝑠)


−(𝑙𝑖𝑙𝑠)𝛥ℎ


(28)

Logo, fs será igual a:

𝑓𝑠 =

𝛥ℎ


(29)

4.2 GEOMETRIA DA SEÇÃO DA VIGA

A geometria da seção determina diversos parâmetros necessários à resolução dos esforços da

estrutura, bem como para a determinação das armaduras. O dimensionamento apropriado da

estrutura depende de fatores como momento de inércia, área, centro de gravidade, forma, entre

outros.

4.2.1 Do Cálculo das Propriedades

Para formatos padrão disponíveis na escolha da seção, o cálculo de propriedades ocorre de

maneira exata, conforme cada geometria a partir de suas coordenadas geradas pelo programa.

Com os algoritmos escolhidos para cálculo das propriedades da seção transversal, qualquer

forma de seção seria possível, dependendo apenas de implementação adicional em termos de

interface, ficando para uma implementação futura, de modo a permitir a inserção de formas

quaisquer genéricas, desenhadas pelo próprio projetista.

Essas expressões baseiam-se nas informações geométricas das peças, sendo para cada tipo de

seção os parâmetros correspondentes aos da Figura 5 que segue:

__________________________________________________________________________________________


41

Figura 5 – Parâmetros geométricos da seção da viga por tipo de seção.

Seção tipo retangular: parâmetros b e h. Seção tipo I: parâmetros D1, D2, D3, D4, D5, D6,

D7, W1, W2, W3, W4, T1, T2 e C1.


O detalhamento desses algoritmos e das propriedades calculadas serão apresentados em maior

detalhe no capítulo 9.

__________________________________________________________________________________________


42

Linha em branco.

5 PROTENSÃO DO CONCRETO

A protensão do concreto tem por objetivo melhorar seu desempenho, em especial, para vãos

maiores do que aqueles possíveis com um concreto apenas armado. Isso é obtido através de

uma armadura de aço para protensão, que produz um carregamento ativo contrário aos outros

solicitantes na estrutura. Ele é ativo pois o aço que é tracionado e preso ao concreto tende a

buscar sua forma inicial indeformada, gerando compressão e momentos ao longo do concreto

que o impede de se deslocar. Como resultado da combinação da protensão na peça, a solicitação

efetiva fica diminuída das forças contrárias geradas pela armadura ativa, permitindo assim que

se obtenha melhor desempenho final em que as tensões no concreto reduzem, e por

consequência sua flecha e fissuras.

Para determinação da força necessária a essa armadura, deve-se levar em conta fatores diversos,

pois apesar de ser estática em um curto período de tempo (uns poucos dias), ela sofre variações

no tempo ao longo da vida útil da estrutura. Essa perda se deve a fenômenos dos materiais

empregados, sendo considerados a fluência e retração para o concreto, e a relaxação no aço.

5.1 TIPOS DE PROTENSÃO

A NBR 6118:2014 define quatro tipos de protensão, em função do desempenho e das cargas

compensadas pela ação desta. A protensão pode ser completa, limitada, parcial, ou ainda de um

quarto tipo adicional chamado de superprotensão, não tratado pela norma. Para determinação

do tipo, a análise é feita com base nos tipos de carregamentos de serviço, frequentes, quase

permanentes ou raros, e das exigências dos ELS determinados na Tabela 2 a seguir. Na

protensão completa respeita-se o ELS de descompressão (ELS-D) para carregamentos quase

permanentes, ou seja, tração nula; na limitada, o ELS de formação de fissuras (ELS-W) admite-

se uma certa tração no concreto para combinações frequentes, limitada em até 1,20*fctm; na

protensão parcial respeita-se o ELS para abertura de fissuras, não sendo definido um limite

específico para tração no concreto, desde que wk fique no máximo em 0,2 mm; a superprotensão

__________________________________________________________________________________________


43

ocorre quando mesmo na parte menos comprimida do concreto ainda existir compressão, sendo

especificado de acordo com cada tipo de obra ou projeto.

Tabela 2 – Exigências de durabilidade relacionadas à fissuração e à proteção da

armadura, em função das classes de agressividade ambiental.

Tipo de concreto

estrutural

Classe de agressividade

ambiental (CAA) e tipo de

protensão

Exigências relativas

à fissuração

Combinação de ações

em serviço a utilizar

Concreto

protendido nível 1

(protensão parcial)

Pré-tração com CAA I

ou

Pós-tração com CAA I e II

ELS-W wk ≤ 0,2 mm Combinação frequente

Concreto

protendido nível 2

(protensão limitada)

Pré-tração com CAA II

ou

Pós-tração com CAA III

e IV

Verificar as duas condições abaixo

ELS-F Combinação frequente

ELS-Da Combinação quase

permanente

Concreto

protendido nível 3

(protensão completa)

Pré-tração com CAA III

e IV

Verificar as duas condições abaixo

ELS-F Combinação rara

ELS-Da Combinação frequente

a A critério do projetista, o ELS-D pode ser substituído pelo ELS-DP com ap = 50 mm.

(fonte: adaptado da NBR 6118/2014.)

A protensão pode ser realizada por pré-tração ou pós-tração de cabos ou cordoalhas inseridas

no concreto. Quando a tração da armadura se dá no concreto ainda fresco chama-se de pré-

tração, que será fixada pelo próprio concreto quando endurecido, de modo que a força de tração

do aço se transfere ao concreto por aderência entre esses materiais. Quando a tração da

armadura se dá no concreto já endurecido chama-se de pós-tração. No caso da pós-tração, as

armaduras podem estar em contato direto com o concreto endurecido, sendo tracionadas e

mantidas na posição final pelo atrito resultante com o concreto, denominado de pós-tração

aderente, ou estar inseridas dentro de mangueiras no concreto, engraxadas ou não para que não

haja atrito da armadura com o concreto em si, de modo que a transferência da força se dá pela

ancoragem do aço nas extremidades da peça, denominando-se assim de pós-tração não aderente

esse método.

__________________________________________________________________________________________


44

5.2 MATERIAIS

O concreto e o aço devem trabalhar em compatibilidade de deformações para os casos em que

existe aderência da armadura (pré-tração ou pós-tração aderente), de modo que os limites entre

esses materiais devem ser respeitados no conjunto.

5.2.1 Tensão do Concreto

A tensão de compressão do concreto nos Estados Limites de Serviço (ELS) encontra-se

geralmente em uma região ainda quase-linear, pois relativamente baixas em relação ao Estado

Limite Último (ELU). Desse modo, a lei de Hooke é empregada para tensões de compressão

menores que 0,5fc, com uma pequena aproximação para o módulo de elasticidade do concreto

por seu secante, em NBR 6118 (2014) conforme segue:

𝜎𝑐 = 𝐸𝑐𝑠. 휀𝑐 (30)

Onde,

σc: tensão de compressão do concreto (kN/m²);

Ecs: módulo de elasticidade secante do concreto (kN/m²);

εc: deformação do concreto (-).

O módulo de elasticidade secante do concreto pode ser calculado pela expressão em NBR 6118

(2014) a seguir:

𝐸𝑐𝑠 = 𝛼𝑖 . 𝐸𝑐𝑖 (31)

Onde:,

Ecs: módulo de elasticidade secante do concreto;

αi: fator de interpolação linear;

Eci: módulo de elasticidade inicial do concreto.

__________________________________________________________________________________________


45

O fator de interpolação linear inicial é dado por norma NBR 6118 (2014) como:

𝛼𝑖 = 0,8 + 0,2.

𝑓𝑐𝑘80

≤ 1,0 (32)

Onde,

αi: fator de interpolação linear;

fck: resistência característica do concreto à compressão (em MPa).

O módulo de elasticidade inicial do concreto é definido por duas expressões distintas,

dependente da resistência característica do concreto à compressão, em NBR 6118 (2014):

𝐸𝑐𝑖 = 𝛼𝐸 . 5000√𝑓𝑐𝑘, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓𝑐𝑘 𝑑𝑒 20 𝑀𝑃𝑎 𝑎 50 𝑀𝑃𝑎 (33)

𝐸𝑐𝑖 = 21,5.103. 𝛼𝐸 . (

𝑓𝑐𝑘10

+ 1,25)

13, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓𝑐𝑘 𝑑𝑒 55 𝑀𝑃𝑎 𝑎 90 𝑀𝑃𝑎 (34)

Onde:

Eci: módulo de elasticidade inicial do concreto;

αE: fator de dependência do agregado no concreto.

Os valores para o fator αE estão apresentados a seguir, da NBR 6118 (2014):

a) 𝛼𝐸 = 1,2 (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑎𝑙𝑡𝑜 𝑒 𝑑𝑖𝑎𝑏á𝑠𝑖𝑜)

b) 𝛼𝐸 = 1,0 (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑖𝑡𝑜 𝑒 𝑔𝑛𝑎𝑖𝑠𝑠𝑒)

c) 𝛼𝐸 = 0,9 (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑐á𝑟𝑖𝑜)

d) 𝛼𝐸 = 0,7 (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑟𝑒𝑛𝑖𝑡𝑜)

No Estado Limite Último (ELU), a tensão de compressão divide-se em função da deformação

no concreto, em faixas de 0 ‰ até 2 ‰ e de 2 até 3,5 ‰, para concretos até fck de 50 MPa, por

exemplo, quando nesta última considera-se então a ruptura do material. Para concretos acima

dos 50 MPa, esses valores são obtidos pelas equações (39) e (40). No primeiro intervalo o

comportamento da tensão por deformação é aproximado por uma parábola, ao passo que por

__________________________________________________________________________________________


46

simplificação o comportamento para o segundo intervalo é uma constante. Assim, as equações

desse comportamento são descritas na NBR 6118 (2014) como:

𝜎𝑐 = 0,85. 𝑓𝑐𝑑. [1 − (1 −

휀𝑐휀𝑐2)𝑛

] , 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 휀𝑐 ≤ 휀𝑐2 (35)

𝜎𝑐 = 𝑓𝑐 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 휀𝑐2 ≤ 휀𝑐 ≤ 휀𝑐𝑢 (36)

Onde,

σc: tensão no concreto;

fc: limite de compressão do concreto calculado como 0,85fck/γc;

εc: deformação do concreto;

εc2: deformação específica de encurtamento do concreto no início do patamar plástico;

εcu: deformação no limite de ruptura do concreto;

n: fator de ajuste em função de fck, apresentado nas expressões (37) e (38).

O fator n pode ser calculado pelas expressões abaixo, da NBR 6118 (2014):

𝑛 = 2, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓𝑐𝑘 ≤ 50 𝑀𝑃𝑎 (37)

𝑛 = 1,4 + 23,4[(90 − 𝑓𝑐𝑘)/100]4, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓𝑐𝑘 > 50 𝑀𝑃𝑎 (38)

O εc2 e εcu, adaptado pelo autor da NBR 6118 (2014), são dados por:

휀𝑐2 = 2,0 ‰+ 0,085 ‰. (𝑓𝑐𝑘 − 50)0,53, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑐𝑘 − 50 ≥ 0 (39)

휀𝑐2 = 2,6 ‰+ 35 ‰. [(90 − 𝑓𝑐𝑘)/100]4, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 90 − 𝑓𝑐𝑘 ≤ 40 (40)

Onde,

εc2: deformação específica de encurtamento do concreto no início do patamar plástico;


__________________________________________________________________________________________


47

O resultado gráfico da equação (35) está ilustrado na Figura 6, para concretos até fck = 50 MPa.

Figura 6 – Diagrama tensão-deformação idealizado.


Para a tração do concreto consideram-se as expressões de fctk,inf, fctk,sup e fct,m conforme norma.

As fórmulas para elas são dadas pela NBR 6118 (2014) como:

𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 = 0,7 𝑓𝑐𝑡.𝑚 (41)

𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 = 1,3 𝑓𝑐𝑡.𝑚 (42)

𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 0,3 𝑓𝑐𝑘2/3, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒𝑠 𝑎𝑡é 𝐶50 (43)

𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 2,12 ln(1 + 0,11 𝑓𝑐𝑘) , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒𝑠 𝐶55 𝑎𝑡é 𝐶90 (44)

Onde,

fctk,inf: limite inferior da resistência característica de tração do concreto;

fctk,sup: limite superior da resistência característica de tração do concreto;

__________________________________________________________________________________________


48

fct,m: resistência média de tração do concreto;


5.2.2 Aço Para Armadura Passiva

O aço disponível inicialmente no programa para armaduras passivas será somente o CA-50,

pois este é o mais comumente utilizado em vigas, podendo-se adicionar outros aços

futuramente, caso surja a necessidade para tanto. Não obstante, o projetista poderá alterar o

valor característico resistente desse aço para melhor adequar às suas necessidades específicas

para cada projeto.

O módulo de elasticidade utilizado é de 210 GPa, conforme recomendação de norma brasileira,

podendo ser alterado no programa para cada projeto.

O diagrama de tensão-deformação utilizado para cálculo da resistência ao escoamento e à tração

desse aço utilizado é simplificado conforme Figura 7. O limite de deformação considerado para

escoamento do aço é de 2 ‰, sendo o limite máximo de 10 ‰ considerado em função do

concreto, pois estimam-se fissuras de 0,3 a 0,4 mm para estes valores.

A expressão para cálculo utilizada da resistência de projeto do aço para armaduras passivas na

NBR 6118 (2014) é:

𝑓𝑦𝑑 = 𝑓𝑦𝑘/𝛾𝑠 (45)

Onde,

fyd: resistência de projeto do aço para armaduras passivas;

fyk: resistência característica do aço para armaduras passivas;

γs: coeficiente de segurança do aço para armaduras passivas, igual a 1,15.

__________________________________________________________________________________________


49

Figura 7 – Diagrama tensão deformação para aços de armaduras passivas.


5.2.3 Aço da Armadura Ativa

O módulo de elasticidade das armaduras de protensão seguem um padrão de 200 GPa, conforme

recomendação da NBR 6118 (2014), no caso da falta de dados específicos do fabricante. No

entanto, esse valor pode ser alterado pelo projetista, caso esse disponha de melhores

informações para o uso no dimensionamento das armaduras ativas.

O cálculo da tensão no aço da armadura ativa é feito de maneira simplificada em relação ao

diagrama tensão-deformação apresentado na NBR 6118 (2014). Na norma, o aço da armadura

de protensão possui dois comportamentos lineares, antes e após o escoamento, em que sua

tangente de inclinação reduz, possuindo certa declividade mesmo após o escoamento. Para esse

trabalho adotou-se uma simplificação de desconsiderar esse ganho de tensão após o escoamento

da protensão, a favor da segurança.

__________________________________________________________________________________________


50

A Figura 8 apresenta uma comparação do diagrama exposto na NBR 6118 (2014) e do

considerado na ferramenta desenvolvida para o cálculo de vigas protendidas desse trabalho.

Figura 8 – Diagrama tensão deformação para aços de armaduras ativas.


O valor de cálculo da resistência do aço para armadura ativa é dependente não apenas do seu

valor característico e de um coeficiente de segurança, mas também da forma de aplicação da

protensão, isto é, pré-tração ou pós-tração, e da classe do aço (relaxação baixa – RB, ou

relaxação normal – RN). As expressões para determinar a resistência de cálculo para cada um

desses aços, segundo NBR 6118 (2014) são:

𝑓𝑝𝑦𝑑 =

0,85. 𝑓𝑝𝑡𝑘

𝛾𝑠, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑅𝑁 (46)

𝑓𝑝𝑦𝑑 =

0,9. 𝑓𝑝𝑡𝑘

𝛾𝑠, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑅𝐵 (47)

__________________________________________________________________________________________


51

Onde,

fpyd: resistência de cálculo do aço de protensão;

fptk: resistência característica de tração do aço de protensão;

γs: coeficiente de segurança para dimensionamento de armaduras, de valor 1,15.

O limite de deformação para escoamento do aço é calculado pela NBR 6118 (2014) por:

휀𝑝𝑦𝑑 =

𝑓𝑝𝑦𝑑

𝐸𝑝 (48)

Onde,

εpyd: limite de deformação para escoamento do aço;

fptk: resistência característica de tração do aço de protensão;

Ep: módulo de deformação elástica do aço de protensão.

__________________________________________________________________________________________


52

Linha em branco.

6 DETERMINAÇÃO DA PROTENSÃO

O dimensionamento da protensão deve levar em conta um máximo aproveitamento do aço da

armadura ativa, respeitando os limites de tensões que o concreto pode suportar sem romper.

Ainda deve-se considerar qual a parcela de carga que se deseja absorver por esse tipo de

armadura. Na questão de desempenho da peça em termos de flechas e fissuras, deve-se observar

que a protensão aplicada inicialmente sofrerá diferentes perdas, tanto imediatas quanto ao longo

do tempo, devendo-se levar em conta também esses valores para avaliar se os resultados são

satisfatórios ou se exige redimensionar a armadura.

6.1 MÉTODO DO BALANCEAMENTO DE CARGAS

Segundo T. Y. Lin, os esforços gerados pela armadura de protensão dentro da viga, para cabos

parabólicos, pode ser substituída por cargas distribuídas equivalentes para cada trecho de

parábola. Desta forma, é possível correlacionar os esforços solicitantes com os esforços gerados

pela protensão, buscando-se um equilíbrio de cargas com o objetivo de reduzir efeitos

indesejados e melhorar o desempenho da estrutura, conforme mencionado no capítulo 6

anteriormente.

A obtenção dessas cargas equivalentes pode ser demonstrada pelas seguintes relações

fundamentais da mecânica estrutural:

𝑄(𝑥) = −∫𝑓(𝑥). 𝑑𝑥 (49)

𝑀(𝑥) = −∬𝑓(𝑥). 𝑑𝑥2 (50)

Para o caso de uma carga distribuída constante, a que se dedica esse método, tem-se que f(x)=q,

e assim as relações resultam em:

𝑄(𝑥) = −𝑞. 𝑥 + 𝑐𝑡𝑒1 (51)

__________________________________________________________________________________________


53

𝑀(𝑥) = −𝑞

2. 𝑥2 + 𝑐𝑡𝑒1. 𝑥 + 𝑐𝑡𝑒2 (52)

Note-se que a função de momento resultante é uma parábola. Agora para a protensão, temos

que os y’s(x) determinados na geometria do cabo de protensão, conforme explicitado na seção

Determinação das equações das parábolas, são parábolas que descrevem a excentricidade do

cabo, pois estão referenciadas ao centro de gravidade da seção. Dessa forma, pode-se

determinar o momento causado pela protensão a uma seção qualquer pelo seguinte:

Figura 9 – Solicitações internas na viga devido à protensão.


Logo, geometricamente tem-se que:

Figura 10 – Relações trigonométricas com ângulo inicial e forma da parábola.


α0 Np

CG

e0

y0

l0

f0

trecho 0

2f0

P0 V0

H0 α0

Mp

Vp

dV(x)/dx

2f0

l0

ට𝑙2 + 4𝑓02

α0

__________________________________________________________________________________________


54

tg 𝛼0 =

2𝑓0𝑙0

(53)

sen𝛼0 =

2𝑓0

√𝑙02 + 4𝑓0

2 (54)

cos 𝛼0 =

𝑙0

√𝑙02 + 4𝑓0

2 (55)

Logo,

𝑉0 = 𝑃0. 𝑠𝑒𝑛𝛼0 = 𝑃0.

2𝑓0

√𝑙02 + 4𝑓0

2≈ 𝑃0. tg 𝛼0 = 𝑃0. 𝛼0 (56)

𝐻0 = 𝑃0. 𝑐𝑜𝑠𝛼0 = 𝑃0.

𝑙0

√𝑙02 + 4𝑓0

2≈ 𝑃0. 1 = 𝑃0 (57)

Essa simplificação significa que os resultados obtidos somente serão validos se α0 for muito

pequeno, adotando-se assim sen α0 = tg α0 = α0, cos α0 = 1.

Realizando-se o equilíbrio de forças para a Figura 9, pode-se obter a seguinte expressão para as

solicitações geradas pela protensão, sendo que:

tg 𝛼(𝑥) =

𝑑𝑦0(𝑥)

𝑑𝑥≈ 𝛼(𝑥) = −

2𝑓0

𝑙02 𝑥 +

2𝑓0𝑙0

(58)

𝑉(𝑥) = 𝑃0. 𝛼(𝑥) = 𝑃0 (−

2𝑓0

𝑙02 𝑥 +

2𝑓0𝑙0) (59)

𝑑𝑉(𝑥)

𝑑𝑥= −

2𝑓0

𝑙02 𝑃0 (60)

Assim, somando-se as forças em verticais ao longo de x, obtém-se que:

𝑉𝑝(𝑥) = 𝑉0 +∫

𝑑𝑉(𝑥)

𝑑𝑥𝑑𝑥 (61)

__________________________________________________________________________________________


55

𝑉𝑝(𝑥) = 𝑃0.

2𝑓0𝑙0+ (−

2𝑓0

𝑙02 𝑃0) 𝑥 (62)

𝑉𝑝(𝑥) = 𝑃0

2𝑓0

𝑙02(𝑙0 − 𝑥) (63)

Com a soma das forças horizontais ao longo de x, obtém-se que:

𝑁𝑝(𝑥) = 𝑃0. cos(𝑥) = 𝑃0 (64)

Pela equação de equilíbrio de momentos, pode-se obter também:

𝑀𝑝(𝑥) = −𝑉0. 𝑥 + ∫

𝑑𝑉(𝑥)

𝑑𝑥𝑥. 𝑑𝑥 (65)

𝑀𝑝(𝑥) = −𝑃0.

2𝑓0𝑙0. 𝑥 + ∫−

2𝑓0

𝑙02 𝑃0. 𝑥. 𝑑𝑥 = 𝑃0.

𝑓0

𝑙02(𝑙𝑥 − 𝑥2) = 𝑃0. 𝑦0(𝑥) (66)

Visto que y0(x) é a excentricidade do cabo de protensão, Mp(x) é simplesmente a força P de

protensão do cabo pela excentricidade do mesmo.

Para exemplificar a validade das simplificações, pode-se comparar o resultado exato das forças

verticais e horizontais de entrada da protensão na viga, com aquelas simplificadas para

diferentes flechas e comprimentos de viga:

Tabela 3 – Comparação das projeções de valores da protensão por cálculo exato e

por simplificação.

Valores Exatos

f

[L]

l

[L]

P0

[F]

V0

[F]

H0

[F]

f/l

[-]

α0

(graus)

α0 (rad) tg α0 sen α0 cos α0

0,3 6 1000 196,1161 980,5807 5,0% 11,31 0,1974 0,2000 0,1961 0,9806

0,3 10 1000 119,1452 992,8768 3,0% 6,84 0,1194 0,1200 0,1191 0,9929

0,3 15 1000 79,74522 996,8153 2,0% 4,57 0,0798 0,0800 0,0797 0,9968

Valores por Aproximação

f

[L]

l

[L]

P0

[F]

V0

[F]

H0

[F]

f/l

[-]

α0

(graus)

α0 (rad) tg α0 sen α0 cos α0

0,3 6 1000 197,3956 1000 5,0% 11,31 0,1974 0,1974 0,1974 1,0000

0,3 10 1000 119,4289 1000 3,0% 6,84 0,1194 0,1194 0,1194 1,0000

0,3 15 1000 79,82999 1000 2,0% 4,57 0,0798 0,0798 0,0798 1,0000


__________________________________________________________________________________________


56

Pela Tabela 3 é possível observar a importância dessa premissa de que o ângulo da protensão

será muito pequeno para que seja válido o método aplicado. A prática da indústria mostra que

essa metodologia é válida na maioria dos casos pois de fato as geometrias das protensões

projetadas são adequadas à aplicação dessa simplificação.

Com base na equação (66) obtida, em que se relaciona o momento de protensão com a força de

tração introduzida no cabo pela equação da parábola que descreve a geometria do cabo, pode-

se aplicar as relações fundamentais apresentadas para determinar-se a carga equivalente

produzida na viga, conforme segue:

𝑄(𝑥) = −𝑞. 𝑥 + 𝑐𝑡𝑒1 (67)

𝑄(𝑥)

𝑑𝑥= −𝑞 (68)

𝑀(𝑥) = −∬𝑓(𝑥). 𝑑𝑥2 = −∬𝑞. 𝑑𝑥2 (69)

𝑑(𝑀(𝑥))

𝑑𝑥2=𝑑(−∬𝑞. 𝑑𝑥2)

𝑑𝑥2= −𝑞 (70)

𝑑(𝑀𝑃)

𝑑𝑥2=

𝑑 (𝑃0.𝑓0𝑙02 (𝑙𝑥 − 𝑥

2))

𝑑𝑥2= −

2𝑓0

𝑙02 𝑃0 = −𝑞𝑃𝑒𝑞

(71)

𝑞𝑃𝑒𝑞 =

2𝑓0

𝑙02 𝑃0 (72)

6.2 PROTENSÃO EQUIVALENTE EM CADA TRECHO

Conforme demonstrado em na seção anterior, para cada trecho de parábola pode-se determinar

uma carga equivalente produzida pela protensão, podendo-se substituir a protensão da viga por

diferentes cargas distribuídas, simplificando sua análise.

Para equalizar as cargas produzidas pela protensão com aquelas das solicitações que se pretende

equilibrar pela protensão, é possível ainda uma outra simplificação, em que para cada vão da

__________________________________________________________________________________________


57

viga. Ao invés de considerar-se até quatro cargas por trecho para cada segmento de parábola, é

possível criar uma parábola virtual com flecha aproximada, podendo então comparar-se uma

única carga solicitante com o equilíbrio que será introduzido pela geometria da protensão.

Figura 11 – Definição de uma parábola equivalente para o trecho para simplificação

das cargas.


Pela relação de triângulos, fa será o menor dos Δh mais um Δf, conforme segue:

𝑓𝑎 = 𝛥𝑓 +𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟(𝛥ℎ) (73)

𝛥𝑓 =

𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟(𝛥ℎ) − 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟(𝛥ℎ)

𝑙.𝑙

2=𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟(𝛥ℎ) − 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟(𝛥ℎ)

2

(74)

𝑓𝑎 = 𝛥𝑓 +𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟(𝛥ℎ) (75)

𝑓𝑎 =

𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟(𝛥ℎ) − 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟(𝛥ℎ)

2+ 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟(𝛥ℎ) (76)

Por fim, a carga equivalente para o trecho i, produzida pela protensão, será igual a:

𝑞𝑃𝑒𝑞𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜

=8𝑓𝑎𝑙2𝑃𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 = 𝑞𝑠𝑜𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 (77)

fsi

fii Δhi

lii lij

trecho i

lsi lsj

fsj

fij Δhj

ysi

trecho i-1 trecho i+1

Δf

Parábola

aproximada

l

CG

yii yij

ysj

fa

__________________________________________________________________________________________


58

Dessa forma pode-se obter uma força de protensão P estimada para cada trecho:

𝑃𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 =

𝑙2

8𝑓𝑎𝑞𝑠𝑜𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 (78)

6.3 PROTENSÃO DA VIGA COMO UM TODO

Para este trabalho foi considerado que a armadura de protensão será única ao longo de toda a

viga, de modo que somente pode ser aplicada uma única força de protensão para todos os

trechos. Dessa forma, conforme explicado na seção sobre a força de protensão equivalente para

cada vão da viga, essa força deverá ser única ao final do dimensionamento. Dessa forma, a

metodologia criada para compatibilização da protensão entre os trechos é de que dentre todos

os valores calculados para os trechos, todos com flecha máxima respeitando as coberturas de

concreto informadas para esse tipo de armadura, o maior deverá ser tomado como resultado

inicial da força dimensionada. Após, os demais trechos que tiveram uma força Ptrecho inferior

calculada, deverão ter sua flecha adaptada (reduzida) para que a carga equivalente se mantenha

igual àquela necessária para o trecho. Assim, uma única força de protensão é obtida ao final

desse processo, com as flechas ajustadas para cada trecho em uma geometria mais próxima da

final, ficando pendente as verificações em Estado Limite de Serviço e Estado Limite Último,

que poderá causar ainda alguns ajustes na protensão necessária no projeto final da viga.

Para o ajuste das flechas nos trechos, visto que a relação Ptrecho por fa é linear (eq. 78), e

mantendo-se a mesma carga solicitante utilizada inicialmente, basta multiplicar a flecha de cada

trecho por um fator Ptrecho/Pmáx, de modo a obter-se a geometria final do cabo.

__________________________________________________________________________________________


59

Linha em branco.

7 VERIFICAÇÕES DA VIGA

Após definida uma tensão para protensão nos cabos, as tensões que estes produzem ao longo

de toda a viga devem ser verificados com relação às tensões resistentes dos materiais para que

estes não sofram esforços excessivos. Assim, as tensões admissíveis do material terão de ser

definidas para comparação.

7.1TENSÕES ADMISSÍVEIS DO CONCRETO

As tensões resistentes limite do concreto em suas fibras mais externas, inferiores e superiores,

devem ser comparadas com as tensões geradas pelos carregamentos e protensão nos diferentes

instantes de tempo ao longo da vida útil da estrutura, de um tempo inicial t0 a um tempo t∞

(equivalente a 10.000 dias).

O programa desenvolvido possibilita a definição de diferentes instantes de tempo que podem

ser associados às cargas solicitantes sobre a viga. Dessa forma, cada carregamento será

considerado em seu tempo por sua duração específica, de modo que possibilitará implementar

no programa a criação de um número necessário de verificações em função do número de

combinações temporais.

A resistência à compressão do concreto para suas diferentes idades é considerada pela NBR

6118 (2014) como:

a) para verificação em data j inferior a 28 dias, adota-se:

𝑓𝑐𝑑 =

𝑓𝑐𝑘𝑗

𝛾с (79)

𝑓𝑐𝑘𝑗 = 𝛽1𝑓𝑐𝑘 (80)

𝛽1 = 𝑒𝑠[1−(

28𝑡)

12]

(81)

__________________________________________________________________________________________


60

b) para verificação em data j igual ou superior a 28 dias, adota-se fck.

𝑓𝑐𝑑 =

𝑓𝑐𝑘𝛾с

(82)

Onde,

fcd é a resistência a compressão de cálculo do concreto, na idade desejada;

fckj é a resistência a compressão característica do concreto, na idade desejada;

fck é a resistência a compressão característica do concreto;

s = 0,38 para concreto de cimento CPIII e IV;

s = 0,25 para concreto de cimento CPI e II;

s = 0,20 para concreto de cimento CPV-ARI;

t é a idade efetiva do concreto, expressa em dias

γс é o coeficiente de ponderação da resistência do concreto no ELU, conforme NBR

6118.

A resistência à tração do concreto para suas diferentes idades é considerada pela NBR 6118

(2014) como:

𝑓𝑐𝑡𝑑 =

𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓

𝛾с (83)

𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 = 0,7𝑓𝑐𝑡,𝑚 (84)

𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 0,3𝑓𝑐𝑘𝑗2/3 ,

𝑐𝑜𝑚 𝑓𝑐𝑘𝑗 = 𝑓𝑐𝑘 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑎 28 𝑑𝑖𝑎𝑠

(85)

Onde,

__________________________________________________________________________________________


61

fctkj –o mesmo calculado para a compressão, devendo ser maior ou igual a 7 MPa, e

expresso em megapascal (MPa);

fct,m – resistência média do concreto à tração;

fctk,inf – resistência à tração do concreto, em seu limite inferior;

fctd – resistência de cálculo à tração do concreto;

γс – coeficiente de ponderação da resistência do concreto no ELU, conforme NBR 6118.

Os limites do concreto são definidos para tração e para compressão pela NBR 6118 (2014), em

função do tempo, conforme expressões abaixo:

e) para idades do concreto até 28 dias:

𝜎𝑐𝑐𝑗 ≤ 0,70 𝑓𝑐𝑘𝑗 (86)

𝜎𝑐𝑡𝑗 ≤ 1,20 𝑓𝑐𝑡,𝑚 (87)

f) para demais idades, adota-se:

𝜎𝑐𝑐∞ ≤ 0,70 𝑓𝑐𝑑 (88)

𝜎𝑐𝑡∞ ≤ {

1,20 𝑓𝑐𝑡,𝑚 (𝑝𝑟𝑜𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑𝑎)

0 (𝑝𝑟𝑜𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎)

𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 (𝑝𝑟𝑜𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙)

(89)

Onde,

σссj – limite de tensão de compressão do concreto em uma idade j, até o limite de 28

dias;

σctj – limite de tensão de tração do concreto em uma idade j, até o limite de 28 dias;

σcc∞ – limite de tensão de compressão do concreto em um tempo considerado infinito,

que representa uma idade do concreto a partir de 28 dias em diante;

σct∞ – limite de tensão de tração do concreto em um tempo considerado infinito, que

representa uma idade do concreto a partir de 28 dias em diante.

__________________________________________________________________________________________


62

Deve ser realizada a verificação das solicitações decorrentes dos carregamentos e protensão em

cada instante de tempo especificado pelo projetista, e então comparar com os limites

estabelecidos aqui para garantir a integridade e durabilidade da estrutura.

O cálculo das tensões é realizado para esforços de compressão e de flexão nesse método,

considerando a protensão, peso próprio da estrutura, e demais carregamentos. A flexão irá

produzir esforços máximos e diferentes nas fibras superiores e inferiores da viga, de modo que

as verificações são realizadas para os extremos, tensões na borda superior e tensões na borda

inferior da viga, versus a resistência dos materiais.

Em geral haverá sempre um instante de tempo inicial t = t0 e um instante de tempo final t = t∞

a considerar. O instante t0 poderá definido pelo projetista, correspondente a uma resistência

mínima para possibilitar a aplicação da protensão na viga, ou por padrão será considerado igual

a 15 dias. O tempo t∞ é para uma idade de 10.000 dias, sem possibilidade de modificação, nem

da criação de outros instantes de tempo superiores a esse pelo usuário.

As tensões solicitantes deverão ficar entre os valores limites para cada instante de tempo

verificado, considerando as perdas da protensão até aquele instante, o peso próprio da viga e os

demais carregamentos a cada posição desta até aquele instante, conforme as expressões

genéricas descritas abaixo para borda superior (B.S.) e borda inferior (B.I.) da viga:

𝐵. 𝑆.: 𝜎𝑐𝑐(𝑡) ≤ 𝑃(𝑡, 𝑥) (−1

𝐴𝑐+𝑒𝑝(𝑥)

𝑊𝑠) −

𝑀𝑔(𝑥) +𝑀𝑞(𝑡, 𝑥)

𝑊𝑠≤ 𝜎𝑐𝑡(𝑡) (90)

𝐵. 𝐼.: 𝜎𝑐𝑐(𝑡) ≤ 𝑃(𝑡, 𝑥) (−1

𝐴𝑐−𝑒𝑝(𝑥)

𝑊𝑖) +

𝑀𝑔(𝑥) + 𝑀𝑞(𝑡, 𝑥)

𝑊𝑖≤ 𝜎𝑐𝑡(𝑡)

(91)

Onde,

σcc(t) – limite de tensão de compressão do concreto protendido para um dado instante

de tempo t (kN/m²);

__________________________________________________________________________________________


63

σct(t) – limite de tensão de tração do concreto protendido para um dado instante de tempo

t (kN/m²);

P(t,x) – força de protensão efetiva da armadura (após perdas) em uma dada posição de

abscissa x ao longo da viga, para um dado instante de tempo t (kN);

1/Ac – fator de multiplicação de P(t,x) para obtenção da tensão de compressão relativa

ao esforço normal produzido pela protensão da viga em uma dada seção x para um instante de

tempo t;

Ac – área da seção transversal de concreto (m²);

ep(x)/W(s ou i) – fator de multiplicação de P(t,x) para obtenção tensão de

tração/compressão relativo ao esforço de flexão produzido pela protensão em uma dada seção

x da viga em um instante de tempo t;

ep(x) – excentricidade da armadura ativa em relação ao CG da viga na posição x (m);

Ws – módulo de resistência à flexão acima do CG da viga (m³);

Wi – módulo de resistência à flexão abaixo do CG da viga (m³);

Mg(x) – momento produzido pelo peso próprio da estrutura em uma abscissa x ao longo

da viga (kN.m);

Mq(t, x) – momento produzido pelas cargas variáveis em um dado instante de tempo t e

em uma abscissa x ao longo da viga (kN.m).

__________________________________________________________________________________________


64

Linha em Branco.

8 PERDAS DA FORÇA DE PROTENSÃO

A força de protensão aplicada inicialmente na armadura ativa da viga sofrerá processos de

perdas tanto imediatas como dependentes da passagem do tempo. De maneira genérica, a força

de protensão a cada instante e a qualquer posição da viga pode ser descrita por, segundo

VERÍSSIMO (1998):

𝑃(𝑡, 𝑥) = 𝑃0(𝑥) − 𝛥𝑃(𝑡, 𝑥) = 𝑃𝑖 − 𝛥𝑃0(𝑥) − 𝛥𝑃(𝑡, 𝑥) (92)

Essa expressão é a mesma constante na NBR 6118:2014, porém com a notação adaptada para

explicitar a dependência das funções em relação à posição ao longo da viga, x, e em relação ao

tempo, t.

A variável ΔP0(x) representa aquelas perdas imediatas, independentes do tempo porém

dependentes da posição da viga, e a ΔP(t,x) representa as perdas dependentes do tempo para

ocorram, e que também dependem da posição da viga em que esse está calculando. A descrição

das componentes desses dois tipos de perdas, bem como seu significado e equacionamento

serão apresentados ao longo desse capítulo.

8.1 PERDAS IMEDIATAS

As perdas da força de protensão são decorrentes de diversos fatores, e dependem do tipo da

protensão realizada. No caso deste trabalho de pós-tração, as perdas imediatas a serem

consideradas são decorrentes do encurtamento elástico do concreto, atrito e recuo de

ancoragens. Cada um desses elementos será melhor descrito a seguir.

8.1.1 Perda Imediata por Encurtamento Elástico do Concreto

Neste trabalho tratamos do uso de pós-tração do aço de protensão, com cordoalhas engraxadas,

isto é, não existe aderência entre o concreto e o aço, de modo que se deve realizar a

__________________________________________________________________________________________


65

compatibilização dos deslocamentos do aço de protensão e do concreto, e não das tensões ao

longo deles. Desse modo a premissa inicial é de que:

𝛥𝐿𝑐𝑝 = 𝛥𝐿𝑝 (93)

Onde,

ΔLp – variação do comprimento da armadura de protensão;

ΔLcp – variação do comprimento da peça de concreto devido à protensão.

O esforço normal provocado pela protensão sobre a viga causa um encurtamento do concreto,

conforme lei de Hooke, devido à presença da tensão de compressão produzida. Esse

encurtamento será progressivo, à medida que cada um dos cabos for sendo tracionado, de modo

que para o primeiro cabo, inicialmente, a tensão aplicada já será a efetiva, pois o concreto sofre

o encurtamento no ato. No entanto, ao protender-se outras armaduras nessa mesma viga, a que

já estava protendida sofrerá um encurtamento devido aos esforços normais adicionais aplicados

sobre o concreto pelas armaduras adicionais, e assim sucessivamente a cada armadura

adicionada. Esse encurtamento irá aliviar parte da tensão presente na protensão, gerando a

chamada perda imediata pelo encurtamento elástico do concreto.

Caso todos os cabos fossem aplicados de uma só vez, ter-se-ia o encurtamento do concreto

calculado pela seguinte expressão:

𝑃0 = 𝑛. 𝑝0 (94)

𝜎𝐶𝑃 = −𝑁𝑃𝐴𝑐−𝑀𝑃

𝑊𝐶𝑃+𝑀𝑔

𝑊𝐶𝑃, 𝑐𝑜𝑚 𝑊𝐶𝑃 =

𝐼𝑐𝑒𝑃

(95)

Onde,

P0 – força total de protensão gerada por n cabos;

n – número de cabos protendidos na peça;

p0 – força de protensão aplicada a cada um dos n cabos individualmente;

σcp – tensão no concreto devido à protensão;

__________________________________________________________________________________________


66

Np – força normal devido à protensão;

Mp – momento devido à protensão;

Mg – momento devido ao peso próprio da peça;

Wcp – módulo de resistência à flexão a uma excentricidade ep do CG da viga;

Ac – área de concreto da seção transversal da viga;

Ic – módulo de inércia à flexão da seção transversal do concreto;

ep – excentricidade da protensão em relação ao centro de gravidade da seção transversal

da peça.

Considerando que a protensão será realizada sobre escoramento, de modo que não haverá

mobilização completa do peso próprio ou do momento de protensão, pode-se simplificar

inicialmente, apenas para essa dedução, a tensão no concreto devido à protensão pela parcela

apenas da força normal gerada pela protensão. Ainda, como visto no capítulo 6, aplicando a

simplificação de que Np = P0 tem-se:

𝜎𝑐𝑝 = −𝑁𝑝

𝐴𝑐= −

𝑃0𝐴𝑐

(96)

A deformação do concreto então ficaria como:

𝜎𝑐𝑝 = −𝑃0𝐴𝑐= 휀𝑐𝑝𝐸𝑐 =

𝛥𝐿𝑐𝑝

𝐿. 𝐸𝑐 ∴ 𝛥𝐿𝑐𝑝 = −

𝑃0𝐿

𝐴𝑐𝐸𝑐 (97)

Onde,

εcp – deformação do concreto devido à protensão;

Ec – módulo de elasticidade do concreto;

L – comprimento da viga.

__________________________________________________________________________________________


67

Dessa forma, pode-se escrever as seguintes expressões do encurtamento que a peça sofrerá com

a protensão de cada cabo em sequência:

𝑐𝑎𝑏𝑜1: 𝑠𝑜𝑓𝑟𝑒𝑟á 𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 (𝑛 − 1) 𝑐𝑎𝑏𝑜𝑠 𝑎𝑝ó𝑠 𝑒𝑙𝑒, 𝑙𝑜𝑔𝑜 (𝑛 − 1).𝑝0𝐿

𝐴𝑐𝐸𝑐

𝑐𝑎𝑏𝑜 2: (𝑛 − 2).𝑝0𝐿

𝐴𝑐𝐸𝑐

…

𝑐𝑎𝑏𝑜 (𝑛 − 1): (𝑛 − (𝑛 − 1)).𝑝0𝐿

𝐴𝑐𝐸𝑐= 1.

𝑝0𝐿

𝐴𝑐𝐸𝑐

𝑐𝑎𝑏𝑜 𝑛: (𝑛 − 𝑛).𝑝0𝐿

𝐴𝑐𝐸𝑐= 0

Onde,

n – número de cabos protendidos;

p0 – força aplicada em cada cabo no ato da protensão.

Somando-se as parcelas acima, podemos escrever o somatório como:

∑(𝑛 − 𝑖)

𝑛−1

1

𝑝0𝐿

𝐴𝑐𝐸𝑐=

= [𝑛∑1 −∑ 𝑖

𝑛−1

1

𝑛−1

1

] 𝑝0𝐿

𝐴𝑐𝐸𝑐= [𝑛(𝑛 − 1) −

𝑛(𝑛 − 1)

2] 𝑝0𝐿

𝐴𝑐𝐸𝑐=

=𝑛(𝑛 − 1)

2 𝑝0𝐿

𝐴𝑐𝐸𝑐

(98)

Assim, tem-se que:

𝛥𝐿𝑐𝑝 = 𝛥𝐿𝑝 = −𝑛(𝑛 − 1)

2 𝑝0𝐿

𝐴𝑐𝐸𝑐= −

𝑛(𝑛 − 1)

2.𝜎𝑐𝑝0𝐿

𝐸𝑐 (99)

__________________________________________________________________________________________


68

O encurtamento médio para cada cabo pode ser estimado dividindo-se o ΔLcp pelo número total

de cabos:

𝛥𝐿𝑝,𝑚 =𝛥𝐿𝑐𝑝

𝑛=𝑛 − 1

2.𝜎𝑐𝑝0𝐿

𝐸𝑐 (100)

Como p0.n = P0, logo σp0 = σP0/n, e então:

𝛥𝐿𝑝,𝑚 =𝑛 − 1

2𝑛.𝜎𝑐𝑃0𝐿

𝐸𝑐 (101)

Aplicando então a lei de Hooke para as expressões obtidas, da variação de comprimento médio

que a protensão irá sofrer, pode-se chegar a variação de tensão causada, ou seja, a perda

imediata por encurtamento elástico do concreto:

𝛥𝜎𝑃 =𝛥𝐿𝑝,𝑚𝐸𝑝

𝐿=𝛦𝑝

𝐸𝑐. 𝜎𝑐𝑃0 .

𝑛 − 1

2𝑛= 𝛼𝑝𝜎𝑐𝑃0 .

𝑛 − 1

2𝑛 (102)

Para dedução dessa fórmula desconsiderou-se o peso próprio da viga, de modo que a expressão

final dada pela NBR 6118 (2014), a ser utilizada em uma futura implementação do programa

será:

𝛥𝜎𝑃 =𝛼𝑝(𝜎𝑐𝑝 + 𝜎𝑐𝑔)(𝑛 − 1)

2𝑛 (103)

Onde,

Δσp – perda imediata da força de protensão por encurtamento imediato do concreto;

αp – fator de homogeneização, relação entre os módulos de elasticidade da protensão e

do concreto;

σcp – tensão de protensão no baricentro da armadura de protensão, devida aos n cabos;

σcg – tensão devido à carga permanente mobilizada simultaneamente à aplicação da

protensão, no baricentro da armadura de protensão;

__________________________________________________________________________________________


69

n – número de cabos protendidos na estrutura.

8.1.2 Perda Imediata por Atrito

O cabo de protensão é sinuoso, pois compõe-se de inúmeras parábolas, conforme visto no

capítulo 4 anteriormente. Devido a sua forma geométrica, no ato da protensão a armadura em

questão irá roçar contra a bainha, na qual está inserida, e mesmo entre os fios que a compõem,

gerando forças de atrito ao longo da peça, dependente de cada posição em função de sua

curvatura.

A força P do cabo sofrerá mudança de direção em seu trajeto, de modo que essa variação

produzirá atrito:

Figura 12 – Força de atrito em cabo curvo.


𝑃′ = 𝑃 − 𝑑𝑃 (104)

𝑑𝑃 = 𝜇 𝑑𝑁 (105)

Como a variação do ângulo, dα, é muito pequena, sua tangente será aproximadamente seu

próprio valor, de modo que se pode assumir que:

𝑑𝑁 = 𝑃. 𝑑𝛼 (106)

𝑑𝑃 = −𝜇. 𝑃. 𝑑𝛼 (107)

P

P’

dN

dα α

R

R

__________________________________________________________________________________________


70

𝑑𝑃

𝑃= −𝜇. 𝑑𝛼 (108)

ln(𝑃) = −𝜇𝛼 + ln(𝐶) (109)

ln (𝑃

𝐶) = −𝜇𝛼 (110)

𝑃 = 𝐶. 𝑒−𝜇𝛼 (111)

Assim, realizando a análise de uma viga contínua com suas diversas curvas parabólicas, pode-

se determinar que:

Figura 13: Variação angular do cabo de protensão ao longo de uma viga.


𝑡𝑔 𝛼 ≅ 𝛼(𝑥) =𝑑(𝑦(𝑥))

𝑑𝑥= 𝑦′(𝑥) (112)

𝑦′(𝑥) =𝑑(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)

𝑑𝑥= 2𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝛼(𝑥) (113)

𝑑𝛼

𝑑𝑥= 2𝑎 (114)

𝛼𝑖 = ∫ 2𝑎. 𝑑𝑥𝑙𝑖

0

= 2𝑎𝑙𝑖 (115)

Para as equações demonstradas anteriormente, de ysi, yii, yij e ysj, -ai = aj = f/l² da respectiva

parábola. Assim, os ângulos da figura acima serão:

5

α1 α2 α5 α6 α... α...

αn-5 αn-4 αn-1 αn

P0

trecho 1 trecho 2 trecho n-1 trecho n

α3 α4 α7 αn-6 αn-3 αn-2 1 4

2 3

6 0 α8 αn-7

7

8

n

n-1 n-2

n-3 n-4

n-5 n-6

n-7

__________________________________________________________________________________________


71

𝛼𝑖 = 2𝑓𝑖𝑙𝑖 (116)

𝑃0 = 𝐶. 𝑒−𝜇.0 = 𝐶 ∴ 𝐶 = 𝑃0 (117)

𝑃1 = 𝑃0. 𝑒−𝜇.𝛼1 (118)

𝑃2 = 𝑃1. 𝑒−𝜇.𝛼2 = 𝑃0. 𝑒

−𝜇.𝛼1 . 𝑒−𝜇.𝛼2 = 𝑃0. 𝑒−𝜇(𝛼1+𝛼2) (119)

𝑃3 = 𝑃2. 𝑒−𝜇.𝛼3 = 𝑃0. 𝑒

−𝜇(𝛼1+𝛼2). 𝑒−𝜇.𝛼3 = 𝑃0. 𝑒−𝜇(𝛼1+𝛼2+𝛼3) (120)

𝑃4 = 𝑃3. 𝑒

−𝜇.𝛼4 = 𝑃0. 𝑒−𝜇(𝛼1+𝛼2+𝛼3). 𝑒−𝜇.𝛼4

= 𝑃0. 𝑒−𝜇(𝛼1+𝛼2+𝛼3+𝛼4)

(121)

𝑃𝑛−1 = 𝑃𝑛−2. 𝑒

−𝜇.𝛼𝑛−1 = 𝑃0. 𝑒−𝜇(𝛼1+𝛼2+𝛼3+𝛼4+⋯). 𝑒−𝜇.𝛼𝑛−1

= 𝑃0. 𝑒−𝜇(𝛼1+𝛼2+𝛼3+𝛼4+⋯+𝛼𝑛−1)

(122)

𝑃𝑛 = 𝑃𝑛−1. 𝑒

−𝜇.𝛼𝑛 = 𝑃0. 𝑒−𝜇(𝛼1+𝛼2+𝛼3+𝛼4+⋯+𝛼𝑛−1). 𝑒−𝜇.𝛼𝑛

= 𝑃0. 𝑒−𝜇(𝛼1+𝛼2+𝛼3+𝛼4+⋯+𝛼𝑛−1++𝛼𝑛)

(123)

…

Logo,

𝑃𝑛 = 𝑃0. 𝑒−𝜇∑𝛼𝑖 (124)

𝛥𝑃 = 𝑃𝑛 − 𝑃0 = 𝑃0. 𝑒−𝜇∑𝛼𝑖 − 𝑃0 = 𝑃0(1 − 𝑒

−𝜇∑𝛼𝑖) (125)

𝛥𝑃 = 𝑃0(1 − 𝑒−𝜇∑𝛼𝑖) 𝑜𝑢 𝛥𝑃 = 𝑃0 (1 − 𝑒

−2𝜇∑𝑓𝑖𝑙𝑖) (126)

Ainda, além das curvaturas das parábolas, a geometria do cabo em si pode ter desvios, no caso

das sinuosidades demonstradas anteriormente não seguirem uma reta, mas sim uma curva. A

norma brasileira considera então um fator k multiplicado pela abscissa no expoente,

representando um atrito parasita, conforme expressão abaixo:

𝛥𝑃 = 𝑃𝑖(1 − 𝑒−(𝜇 ∑𝛼𝑖+𝑘𝑥)) (127)

__________________________________________________________________________________________


72

Onde,

ΔP – valor de perda de protensão imediata por atrito ao longo do cabo;

Pi – força de aplicação da protensão na extremidade da viga;

μ – coeficiente de atrito aparente entre cabo e bainha, estimado por:

μ = 0,50 entre cabo e concreto (sem bainha);

μ = 0,30 entre barras ou fios com mossas ou saliências e bainha metálica;

μ = 0,20 entre fios lisos ou cordoalhas e bainha metálica;

μ = 0,10 entre fios lisos ou cordoalhas e bainha metálica lubrificada;

μ = 0,05 entre cordoalha e bainha de polipropileno lubrificada;

Σα – soma dos ângulos de desvio entre o ponto de abcissa, em radianos;

k – coeficiente de perda por metro provocada por curvaturas não intencionais do cabo,

que na falta de dados experimentais pode ser adotado como 0,01 μ (1/m);

x – é a abscissa do ponto em que se calcula ΔP, medido a partir da ancoragem.

No caso de uma implementação no programa, deverá ter-se valores padrão para escolha do μ e

um k, bem como a possibilidade para o usuário fornecer seu próprio valor para cálculo das

perdas.

8.1.3 Perdas Por Recuo de Ancoragem

Os sistemas de aplicação da protensão nos cabos da viga podem, após executar a protensão,

gerar perdas na transferência desses carregamentos para a peça. A forma de aplicação utilizada

envolve diferentes métodos, sendo um dos mais comuns o com uso de cunhas para fixação do

cabo em sua posição durante a protensão. No entanto, ao final de aplicação da força para então

remoção do equipamento, as armaduras podem sofrer um deslizamento de sua posição ou

__________________________________________________________________________________________


73

cravação dessas cunhas podem causar acomodação da armadura, causando perdas em sua

tensão, reduzindo a força no cabo.

Devido à natureza dessas perdas e sua relação de dependência com a execução e método

utilizado, os valores das mesmas podem ser determinados experimentalmente, ou determinados

por meio de tabelas em função do dispositivo de ancoragem utilizado. Dessa forma, o usuário

do programa deverá informar o valor do recuo de ancoragem do projeto para que sejam

calculadas essas perdas, conforme segue.

Para computar essas perdas, primeiramente tem-se o valor de aplicação da protensão e o valor

do recuo de ancoragem informado. O recuo significa que o cabo irá ser arrastado pelo restante

preso dentro da viga, até um valor de tensão em que o atrito não mais permitirá seu arrasto. A

figura abaixo ilustra essa equalização de tensões:

Figura 14 – Tensões do cabo de protensão antes e após recuo de ancoragem.


Para demonstração nesse trabalho, trabalhar-se-á apenas com uma curvatura constante para

maior clareza do raciocínio. O recuo da ancoragem pode ser relacionado com a deformação do

cabo, pela lei de Hooke, conforme segue:

휀𝜆𝑎(𝑥) =𝛥𝜎𝑝

𝜆𝑎(𝑥)

𝐸𝑝 (128)

120

130

140

150

160

Ponto de equilíbrio

(repouso do cabo)

Curva de tensão do

cabo, antes do recuo

Curva de tensão do cabo, após

recuo da ancoragem

Val

ore

de

Ten

são

no

Cab

o

(exem

plo

, em

kN

)

Δσp(pré-recuo)

Δσp(pós-recuo)

xrc

__________________________________________________________________________________________


74

𝜆𝑎 = ∫ 휀𝜆𝑎(𝑥). 𝑑𝑥𝑥𝑟𝑐

0

(129)

𝜆𝑎 = ∫𝛥𝜎𝑝

𝜆𝑎(𝑥)

𝐸𝑝. 𝑑𝑥

𝑥𝑟𝑐

0

(130)

Onde,

ελa – deformação no cabo devida ao recuo da ancoragem;

Δσpλa – variação da tensão no cabo entre antes e depois do recuo da ancoragem;

Ep – módulo de deformação da armadura de protensão;

λa – valor do recuo da ancoragem (m);

xrc – abscissa do ponto de repouso do cabo, isto é, onde a tensão do cabo com as perdas

por atrito se iguala à tensão no cabo com as perdas por recuo de ancoragem.

Com uso de algumas adaptações das equações demonstradas na seção 9.1.2, pode-se determinar

a equação para a variação da tensão do cabo em um ponto x distante de sua origem.

𝛥𝜎𝑝𝜆𝑎(𝑥) = 𝜎𝑝1

𝜇 (𝑥) − 𝜎𝑝2𝜇 (𝑥) (131)

𝜎𝑝1𝜇 (𝑥) = 𝜎𝑝0. 𝑒

−𝜇(𝛼+𝛾)𝑥, 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑢𝑜 (132)

𝜎𝑝2𝜇 (𝑥) = 𝜎𝑝1

𝜇 (𝑥𝑟𝑐). 𝑒−𝜇(𝛼+𝛾)(𝑥𝑟𝑐−𝑥), 𝑎𝑝ó𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑢𝑜 (133)

𝛥𝜎𝑝𝜆𝑎(𝑥) = 𝜎𝑝0. 𝑒

−𝜇(𝛼+𝛾)𝑥 − 𝜎𝑝1𝜇 (𝑥𝑟𝑐). 𝑒

−𝜇(𝛼+𝛾)(𝑥𝑟𝑐−𝑥) (134)

𝛥𝜎𝑝𝜆𝑎(𝑥) = 𝜎𝑝0. 𝑒

−𝜇(𝛼+𝛾)𝑥 − 𝜎𝑝0. 𝑒−𝜇(𝛼+𝛾)𝑥𝑟𝑐 . 𝑒−𝜇(𝛼+𝛾)(𝑥𝑟𝑐−𝑥) (135)

𝛥𝜎𝑝𝜆𝑎(𝑥) = 𝜎𝑝0. (𝑒

−𝜇(𝛼+𝛾)𝑥 − 𝑒−𝜇(𝛼+𝛾)(2.𝑥𝑟𝑐−𝑥)) (136)

Substituindo-se a equação (163) na equação (157), pode-se encontrar a equação geral para

cálculo do recuo da ancoragem:

__________________________________________________________________________________________


75

𝜆𝑎 = ∫𝜎𝑝0. (𝑒

−𝜇(𝛼+𝛾)𝑥 − 𝑒−𝜇(𝛼+𝛾)(2.𝑥𝑟𝑐−𝑥))

𝐸𝑝. 𝑑𝑥

𝑥𝑟𝑐

0

(137)

𝜆𝑎 =

𝜎𝑝0

𝐸𝑝∫ (𝑒−𝜇(𝛼+𝛾)𝑥 − 𝑒−𝜇(𝛼+𝛾)(2.𝑥𝑟𝑐−𝑥)). 𝑑𝑥𝑥𝑟𝑐

0

(138)

𝜆𝑎 = |−

𝜎𝑝0

𝐸𝑝

(𝑒−𝜇(𝛼+𝛾)𝑥 + 𝑒−𝜇(𝛼+𝛾)(2.𝑥𝑟𝑐−𝑥))

𝜇(𝛼 + 𝛾)+ 𝑐|

0

𝑥𝑟𝑐

(139)

𝜆𝑎 =

𝜎𝑝0𝐸𝑝

[−(𝑒−𝜇(𝛼+𝛾)𝑥𝑟𝑐 + 𝑒−𝜇(𝛼+𝛾)𝑥𝑟𝑐)

𝜇(𝛼 + 𝛾)+(𝑒0 + 𝑒−𝜇(𝛼+𝛾)2.𝑥𝑟𝑐)

𝜇(𝛼 + 𝛾)]

(140)

𝜆𝑎 =

𝜎𝑝0𝐸𝑝

𝑒−𝜇(𝛼+𝛾)2.𝑥𝑟𝑐 − 2. 𝑒−𝜇(𝛼+𝛾)𝑥𝑟𝑐 + 1

𝜇(𝛼 + 𝛾)

(141)

𝜆𝑎 =

𝜎𝑝0𝐸𝑝

(𝑒−𝜇(𝛼+𝛾)𝑥𝑟𝑐 − 1)2

𝜇(𝛼 + 𝛾)

(142)

𝜆𝑎𝐸𝑝𝜎𝑝0

𝜇(𝛼 + 𝛾) = (𝑒−𝜇(𝛼+𝛾)𝑥𝑟𝑐 − 1)2

(143)

1 ± √

𝜆𝑎𝐸𝑝𝜎𝑝0

𝜇(𝛼 + 𝛾) = 𝑒−𝜇(𝛼+𝛾)𝑥𝑟𝑐 (144)

ln (1 ± √𝜆𝑎𝐸𝑝𝜎𝑝0

𝜇(𝛼 + 𝛾)) = ln(𝑒−𝜇(𝛼+𝛾)𝑥𝑟𝑐)

(145)

𝑥𝑟𝑐 =

ln(1 ± √𝜆𝑎𝐸𝑝𝜎𝑝0

𝜇(𝛼 + 𝛾))

−𝜇(𝛼 + 𝛾)

(146)

Com base nessa equação (173), é possível obter o ponto de repouso do cabo para um recuo de

ancoragem informado pelo projetista, e então calcular as perdas imediatas adicionais

decorrentes.

__________________________________________________________________________________________


76

8.2 PERDAS PROGRESSIVAS

As perdas progressivas estão relacionadas à passagem do tempo, decorrentes de fenômenos

reológicos característicos do concreto e do aço da protensão. O concreto gera perdas por

retração e pela fluência, ao passo que a armadura gera perdas devido à relaxação do aço.

8.2.1 Relaxação do Aço

A relaxação do aço é dependente do tipo do material, da tensão aplicada no aço, da temperatura

e do tempo decorrido desde sua tração inicial em um tempo inicial t0 até um instante t em que

se deseje determinar o valor da perda. Pela NBR 6118 (2014) pode-se determinar essa perda de

maneira direta, pelos seguintes passos:

𝛥𝜎𝑝𝑟(𝑡, 𝑡0) = 𝜓(𝑡, 𝑡0). 𝜎𝑝𝑖 (147)

𝜓(𝑡, 𝑡0) = 𝜓1000 (

𝑡 − 𝑡041,67

)0,15

(148)

Onde,

Δσpr(t,t0) – perda de tensão por relaxação pura desde o instante t0 do estiramento da

armadura até o instante t considerado;

ψ(t,t0) – intensidade da relaxação do aço;

ψ1000 – valores médios de relaxação medidos após 1000 h à temperatura constante de

20 ºC, definidos na Tabela 4;

σpi – tensão inicial aplicada na armadura de protensão;

t e t0 – idades final e inicial do concreto para o intervalo considerado (dias).

É possível ainda substituir-se a equação (148) para entrada de t e t0 em horas, resultando em:

__________________________________________________________________________________________


77

𝜓(𝑡, 𝑡0) = 𝜓1000 (

𝑡 − 𝑡01000

)0,15

(149)

O valor médio de relaxação ψ1000 é fornecido na Tabela 4, considerando-se que para σpi inferior

à 50% de fptk do aço não existe perda por relaxação. A Tabela 4 apresenta valores para 50% e

80%, sendo que os demais dentro dessa faixa são obtidos por interpolação. Ainda, vale observar

que para períodos de tempo que seguem ao infinito, o valor de ψ(t,t0) pode ser aproximado para

ψ(t∞,t0) ≈ 2,5 ψ1000.

Tabela 4 – Valores de ψ1000, em porcentagem

σp0

Cordoalhas Fios

Barras

RN RB RN RB

0,5 fptk 0 0 0 0 0

0,6 fptk 3,5 1,3 2,5 1,0 1,5

0,7 fptk 7,0 2,5 5,0 2,0 4,0

0,8 fptk 12,0 3,5 8,5 3,0 7,0

Onde

RN é a relaxação normal;

RB é a relaxação baixa.

(fonte: adaptada pelo autor da NBR 6118:2014.)

8.2.2 Deformações do Concreto no Tempo

O concreto sofrerá deformações no tempo devido à presença de carregamentos permanentes,

incluindo aqueles gerados pela armadura de protensão. As deformações consideradas aqui serão

as causadas pelo fenômeno de fluência do concreto, bem como aquela por retração no tempo.

Essas perdas associadas com a deformação imediata do concreto, resultarão na deformação total

computada para a viga em si. A expressão pela NBR 6118 (2014) é:

휀𝑐(𝑡) = 휀𝑐(𝑡0) + 휀𝑐𝑐(𝑡) + 휀𝑐𝑠(𝑡) (150)

__________________________________________________________________________________________


78

Onde,

εc(t) – deformação do concreto devido a uma tensão constante em um intervalo de tempo

de t0 a t;

εc(t0) – deformação imediata do concreto por ocasião do carregamento;

εсс(t) – deformação por fluência do concreto, no intervalo de tempo de t0 a t;

εcs(t) – deformação por retração do concreto, no intervalo de tempo de t0 a t.

Apesar de não haver aderência entre a armadura de protensão e o concreto no caso da pós-

tração, a hipótese de que as deformações do concreto e do aço são as mesmas é admitida pela

norma.

8.2.2.1 Fluência do Concreto

A fluência do concreto divide-se em três componentes, sendo uma relativa a uma deformação

rápida e as outras duas a uma deformação lenta, uma reversível e a outra irreversível, conforme

expressão da NBR 6118 (2014):

휀𝑐𝑐(𝑡, 𝑡0) = 휀𝑐𝑐𝑎 + 휀𝑐𝑐𝑓 + 휀𝑐𝑐𝑑 =𝜎𝑐𝐸𝑐28

𝜑(𝑡, 𝑡0) (151)

Onde,

εcca – deformação rápida irreversível, referente às primeiras 24 h após a aplicação da

carga que a origina;

εccf – deformação lenta irreversível;

εccd – deformação lenta reversível;

σc – tensão no concreto devido à ação das cargas permanentes, no intervalo de tempo de

t0 a t;

Ec28 – módulo de deformação tangente inicial para j = 28 dias;

__________________________________________________________________________________________


79

φ(t,t0) – coeficiente de fluência para o concreto.

O coeficiente de fluência do concreto é dado na NBR 6118 (2014) por:

𝜑(𝑡, 𝑡0) = 𝜑𝑎 + 𝜑𝑓∞[𝛽𝑓(𝑡) − 𝛽𝑓(𝑡0)] + 𝜑𝑑∞𝛽𝑑 (152)

Onde,

t – idade fictícia do concreto no instante considerado (dias);

t0 – idade fictícia do concreto ao ser feito um carregamento único (dias);

φa – coeficiente de fluência rápida;

φf∞ - coeficiente de deformação lenta irreversível;

φd∞ - valor do coeficiente de deformação lenta reversível, que é considerado igual a 0,4;

βf(t) ou βf(t0) - coeficiente de deformação lenta irreversível em função da idade do

concreto;

βd(t) – é o coeficiente relativo à deformação lenta reversível do tempo (t – t0) decorrido

após o carregamento.

O coeficiente de fluência rápida é determinado, conforme NBR 6118 (2014), por:

𝜑𝑎 = 0,8 [1 −

𝑓𝑐(𝑡0)

𝑓𝑐(𝑡∞)] , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐶20 𝑎 𝐶45.

(153)

𝜑𝑎 = 1,4 [1 −

𝑓𝑐(𝑡0)

𝑓𝑐(𝑡∞)] , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐶50 𝑎 𝐶90.

(154)

Onde,

fc(t)/fc(t∞) – é a função do crescimento da resistência do concreto com a idade,

determinada conforme capítulo 5.1;

O coeficiente de deformação lenta irreversível φf∞ é determinado, pela NBR 6118 (2014), por:

__________________________________________________________________________________________


80

𝜑f∞ = 𝜑1𝑐. 𝜑2𝑐, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐶20 𝑎 𝐶45. (155)

𝜑f∞ = 0,45. 𝜑1𝑐. 𝜑2𝑐 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐶50 𝑎 𝐶90. (156)

O coeficiente φ1c é obtido pela Tabela 5 que segue:

Tabela 5 – Valores numéricos usuais para determinação da fluência e retração.

Ambiente

Umidade

U

%

Fluência φ1c

a,c Retração 104 ε1s

b,c

γd Abatimento de acordo com a ABNT NBR NM 67 cm

0 – 4 5 – 9 10 – 15 0 – 4 5 – 9 10 – 15

Na água – 0,6 0,8 1,0 +1,0 +1,0 +1,0 30,0

Em ambiente

muito úmido

imediatamente

acima da água

90 1,0 1,3 1,6 – 1,9 – 2,5 – 3,1 5,0

Ao ar livre,

em geral 70 1,5 2,0 2,5 – 3,8 – 5,0 – 6,2 1,5

Em ambiente

seco 40 2,3 3,0 3,8 – 4,7 – 6,3 – 7,9 1,0

a φ1c = 4,45 – 0,035U para abatimento no intervalo de 5 cm a 9 cm e U ≤ 90%.

b 104 ε1s = – 8,09 + (U/15) – (U²/2.284) + (U³/133.765) – (U4/7.608.150) para abatimentos de 5 cm

a 9 cm e 40% ≤ U ≤ 90%.

c Os valores de φ1c e ε1s para U ≤ 90% e abatimento entre 0 cm e 4 cm são 25% menores e, para

abatimentos entre 10 cm e 15 cm, são 25% maiores.

d γ = 1 + exp (– 7,8 + 0,1 U) para U ≤ 90%.

NOTA 1 Para efeito de cálculo, as mesmas expressões e os mesmos valores numéricos podem ser

empregados, no caso de tração.

NOTA 2 Para o cálculo dos valores de fluência e retração, a consistência do concreto é aquela

correspondente à obtida com o mesmo traço, sem adição de superplastificantes e superfluidificantes.


__________________________________________________________________________________________


81

O coeficiente φ2c depende da espessura fictícia do concreto, conforme expressão da NBR 6118

(2014):

𝜑2𝑐 =

42 + ℎ𝑓𝑖𝑐

20 + ℎ𝑓𝑖𝑐

(157)

Onde,

hfic – altura fictícia do concreto em cm.

O cálculo de hfic é dado na NBR 6118 (2014) por:

ℎ𝑓𝑖𝑐 = 𝛾

2𝐴𝑐𝑢𝑎𝑟

(158)

Onde,

γ – coeficiente dependente da umidade relativa do ambiente (U%), conforme Tabela 5,

Ac – área da seção transversal da peça;

uar – perímetro da seção transversal da peça que fica em contato com o ar.

Para determinar-se γ, conforme NBR 6118 (2014), usa-se a expressão:

𝛾 = 1 + exp(−7,8 + 0,1𝑈) (159)

Os coeficientes relativos às deformações lentas irreversível e reversível, são dados na NBR

6118 (2014) por respectivamente:

𝛽𝑓(𝑡) =

𝑡2 + 𝐴𝑡 + 𝐵

𝑡2 + 𝐶𝑡 + 𝐷

(160)

𝛽𝑑(𝑡) =

𝑡 − 𝑡0 + 20

𝑡 − 𝑡0 + 70

(161)

Onde,

𝐴 = 42ℎ3 − 350ℎ2 + 588ℎ + 133 (162)

__________________________________________________________________________________________


82

𝐵 = 768ℎ3 − 3060ℎ2 + 3234ℎ − 23 (163)

𝐶 = −200ℎ3 + 13ℎ2 + 1090ℎ + 183 (164)

𝐷 = 7579ℎ3 − 31916ℎ2 + 35343ℎ + 1931 (165)

Onde,

h – espessura fictícia em metros (m); para valores de h fora do intervalo (0,05 ≤ h ≤ 1,6)

adotam-se os extremos correspondentes;

t – tempo em dias, sendo t ≥ 3.

8.2.2.2 Retração do Concreto

A retração do concreto será dependente de fatores como umidade relativa do ambiente,

consistência do concreto no lançamento, bem como da espessura fictícia da peça. A expressão

de cálculo do valor de retração é dada na NBR 6118 (2014) por:

휀𝑐𝑠(𝑡, 𝑡0) = 휀𝑐𝑠∞[𝛽𝑠(𝑡) − 𝛽𝑠(𝑡0)] (166)

Sendo,

휀𝑐𝑠∞ = 휀1𝑠 휀2𝑠 (167)

Onde,

εcs∞ – valor final da retração;

ε1s – coeficiente de relação da retração com a umidade relativa do ambiente e com a

consistência do concreto, conforme Tabela 5;

ε2s – coeficiente de relação da retração com a espessura fictícia da peça;

βs(t) e βs(t0) – coeficiente relativo à retração no instante t ou t0.

A relação da retração do concreto com a espessura fictícia da peça é dada por:

__________________________________________________________________________________________


83

휀2𝑠 =

33 + 2ℎ𝑓𝑖𝑐

20,8 + 3ℎ𝑓𝑖𝑐

(168)

O coeficiente de relação da retração com o tempo é dadona NBR 6118 (2014) por:

𝛽𝑠(𝑡) =(𝑡100)

3

+ 𝐴 (𝑡100)

2

+ 𝐵 (𝑡100)

(𝑡100)

3

+ 𝐶 (𝑡100)

2

+ 𝐷 (𝑡100) + 𝐸

(169)

Onde,

𝐴 = 40 (170)

𝐵 = 116ℎ3 − 282ℎ2 + 220ℎ − 4,8 (171)

𝐶 = 2,5ℎ3 − 8,8ℎ + 40,7 (172)

𝐷 = −75ℎ3 + 585ℎ2 + 496ℎ − 6,8 (173)

𝐸 = −169ℎ4 + 88ℎ3 + 584ℎ2 − 39ℎ + 0,8 (174)

Por fim, a idade fictícia normaliza a idade do concreto com o endurecimento do cimento. A

velocidade de endurecimento pode variar dependendo do tipo de curo e temperatura a que este

endurece, de modo que para relacionar diferentes concretos em um único padrão utiliza-se a

idade fictícia.

A idade fictícia do concreto é determinada pelas seguintes expressão, quando não houver cura

a vapor, conforme NBR 6118 (2014):

𝑡 = 𝛼 𝑡𝑒𝑓 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑎 à 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 20°𝐶 (175)

𝑡 = 𝛼∑

𝑇𝑖 + 10

30𝛥𝑡𝑒𝑓,𝑖

𝑖

, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 (176)

Onde,

α – coeficiente que relaciona a velocidade de endurecimento do concreto, dado pela

Tabela 6;

__________________________________________________________________________________________


84

Ti – temperatura média diária do ambiente (ºC);

Δtef,i – período durante o qual a temperatura média diária do ambiente, Ti pode ser

admitida constante (dias).

Tabela 6 – Valores de fluência e de retração em função da velocidade de

endurecimento do cimento

Cimento Portland (CP)

α

Fluência Retração

De endurecimento lento (CP III e CP IV, todas as classes de

resistência)

1

1 De endurecimento normal (CP I e CP II, todas as classes de

resistência)

2

De endurecimento rápido (CP V-ARI) 3

Legenda:

CP I e CP I-S – Cimento Portland comum

CP II-E, CP II-F e CP II-Z – Cimento Portland composto

CP III – Cimento Portland de alto forno

CP IV – Cimento Portland pozolânico

CP V-ARI – Cimento Portland de alta resistência inicial

RS – Cimento Portland resistente a sulfatos (propriedade específica de alguns tipos de cimento

citados)


__________________________________________________________________________________________


85

As

9 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL

A implementação computacional desse trabalho envolve duas atividades principais: uma de

desenvolvimento de uma interface para coleta dos dados e parâmetros necessários de projeto e

para exibição de resultados para análise, e outra de aplicação dos modelos matemáticos

desenvolvidos em forma de algoritmos computacionais para processar esses dados e então

devolvê-los novamente em uma interface com o usuário. Dessa forma, serão apresentados

primeiramente os elementos de interface do programa e seu uso, para compreensão da entrada

de dados, e após os principais algoritmos que irão tratar esses dados por trás da interface para

os devolver ao usuário de maneira transparente.

9.1 ELEMENTOS DO PROGRAMA

A entrada de dados é umas das principais etapas do programa pois neste ponto o usuário define

seu projeto de maneira geral, sendo essencial o entendimento de como cada informação

fornecida será interpretada pelo software desenvolvido para se obter os resultados esperados

com confiabilidade. O ponto de vista crítico do engenheiro é essencial para validação dos

resultados obtidos.

__________________________________________________________________________________________


86

Figura 15 – Interface principal do programa.


A Figura 15 ilustra a interface principal do programa, separando cada um dos seus elementos,

conforme indicação numérica que segue: barra de ferramentas composta por botões de

comandos (1), barra de controles com seletor de elementos de visualização (2), barra de seleção

de idade do concreto por meio de marcador e área interativa de visualização (4) e entrada de

dados por meio gráfico em duas e três dimensões (3). Os comandos, por sua vez, podem criar

novos elementos para coleta de dados, como caixas de texto, janelas de diálogo com formulários

(Figura 16) ou por interação direta na área interativa com uso de mouse

1

3 2

4

__________________________________________________________________________________________


87

Figura 16 – Exemplo de janela de diálogo com formulário para coleta de dados.


9.1.1 Geometria

A entrada de dados é feita pelo uso de objetos de programação, representados graficamente, por

divisões de partes da estrutura em viga, seção, restrições, cargas, marcas de tempo e grid. Os

detalhes sobre dados vinculados a cada objeto serão melhor descritos por elemento nas seções

seguintes.

9.1.1.1 Seção

A determinação da seção pelo usuário pode ser realizada por meio de duas etapas. Primeiro,

deve ser escolhido o tipo da seção a partir de uma biblioteca de tipos, sendo inicialmente

disponíveis os formatos: retangular e I. Segundo, as dimensões da seção escolhida podem ser

alteradas no programa para os valores desejados. Todas as propriedades da seção são calculadas

em tempo real para posterior uso nos demais cálculos de projeto. Os parâmetros obtidos nessa

etapa são: momento de inércia de área, centro geométrico, perímetro e área.

__________________________________________________________________________________________


88

9.1.1.2 Viga

A viga permite acesso para alterar o comprimento da mesma, bem como para acessar os grids,

cargas e restrições sobre a estrutura. As solicitações ao longo da viga serão calculadas com base

nesses dados, uma vez sejam solicitadas as informações sobre elas.

Para alterar o tamanho da viga utiliza-se o botão “Size” da barra “Beam Design” que irá abrir

um campo de texto com o tamanho atual da viga. Através do teclado é possível alterar esse

valor, validando-o por meio da tecla “Enter” que irá então atualizar a representação gráfica da

viga, bem como irá alertar ao usuário possíveis modificações que a operação poderá causar nas

informações previamente fornecidas como remoção de grids, cargas ou apoios no caso de

diminuição do tamanho do elemento.

9.1.1.3 Grids

Esses elementos destinam-se a auxiliar o posicionamento de cargas e restrições ao longo do

corpo da viga, bem como servem de informação para a criação de nós e segmentação da viga

para geração das matrizes destinadas à resolução da estrutura.

A chamada da função para inserir grids se dá pelo botão “Add Grid” na aba “Beam Design”,

que então lê as informações do mouse na área interativa para posicionar e desenhar um novo

grid ao longo do comprimento da viga previamente definido. O posicionamento durante a

inserção possibilita uma precisão de 10 em 10 cm. A posição é ilustrada em centímetros por

meio de uma régua entre cada grid exibida graficamente. Para precisões maiores é possível,

após inserido o grid, girar o botão de scroll do mouse que irá realizar deslocamentos a cada

0,5 cm. Ainda, para ajustar grids já inseridos é possível também arrastá-los selecionando-os por

um clique do botão esquerdo do mouse, de modo que se mantenha esse botão pressionado ao

movimentar o mouse que irá reposicionar o grid ao longo da viga. Considerou-se que 0,5 cm na

prática é suficiente para o projeto de vigas visto que não é prático o uso medidas menores do

que essa em sua execução.

Para implementações futuras de melhor da interface seria possível implementar também a

entrada da posição desses grids por meio do teclado, lendo distâncias em relação a alguma

referência e então atualizando a posição por uso das rotinas já desenvolvidas. A Figura 17 ilustra

a representação gráfica dos grids ao longo da viga, e como estes são representados durante a

__________________________________________________________________________________________


89

inserção de um novo elemento (o fundo escuro da imagem foi removido para otimizar a

impressão desse documento).

Figura 17 – Inserção de novo elemento grid ao longo da viga.


Outra função, como a renumeração dos grids, foi parcialmente implementada para fins de

demonstração. O reordenamento dos grids é acessível pelo botão “Reorder Grid” que não

necessita interação do usuário, refazendo suas estruturas internas, conexões destes com cargas

e com apoios, atualizando sua visualização gráfica.

9.1.2 Cargas

A entrada de cargas dá-se por meio de etapas, com a seleção da função de carga (força pontual

vertical, momento pontual, distribuída constante, distribuída triangular), com a definição da

magnitude da carga, com a seleção do período de tempo em que ela atua (pelo meio de marcas

temporais), e com o posicionamento da carga por meio dos pontos de grid existentes. Cada grid

então, por sua vez, receberá parte das cargas inseridas de maneira equivalente a uma única carga

concentrada em seu ponto, para posterior uso nas matrizes que computam a estrutura.

__________________________________________________________________________________________


90

Cargas móveis não serão incluídas nessa primeira versão do programa, ficando para

implementação futura entre outros melhoramentos.

O botão “New Load” da barra de comandos “Beam Design” exibe em uma nova janela de

diálogo todos os campos necessários para definição dos parâmetros das cargas, como tipo de

carga e valores. Após a definição desses parâmetros, estes são então representados graficamente

na área interativa da interface para que sejam selecionados os grids sobre os quais o usuário

deseja locar a carga. Por exemplo, para inserção de uma carga distribuída, o usuário necessitará

escolher dois grids para sinalizar o início e o fim do trecho em que a carga irá atuar, utilizando

o mouse e realizando cliques com o botão esquerdo do mesmo. Antes ou durante a inserção da

carga, é possível selecionar a partir de que idade do concreto deseja-se que essa atue, arrastando

o seletor de idades do concreto na janela principal, ou realizando cliques com o botão esquerdo

do mouse ao longo deste, e então continuar inserindo a carga. A Figura 18 a seguir ilustra a

representação de duas cargas inseridas sobre a viga, com exibição dos grids que definem sua

localização.

__________________________________________________________________________________________


91

Figura 18 – Representação de cargas ao longo da viga.


9.1.3 Restrições

As restrições são aplicadas pelo meio de molas (rigidezes equivalentes), vínculos perfeitos ou

deslocamentos definidos, que representem as condições de apoio e engastamento da viga.

Assim como na inserção de cargas, as restrições são em três etapas: seleção das direções

restringidas (horizontal, vertical ou circular), inserção do valor da restrição, e posicionamento

da mesma em algum ponto do grid previamente definido pelo projetista. Nas rotinas para

resolução da estrutura, esses valores de rigidez irão somar na matriz de rigidez das barras,

alterando assim, o valor naqueles nós, computando-se sua contribuição nos resultados das

solicitações.

__________________________________________________________________________________________


92

O comando para inserir uma nova restrição é feito pelo botão “New Support” da barra “Beam

Design” que irá abrir uma janela de diálogo com campos para definição da carga, bem como

uma área de ilustração dos dados inseridos, a medida que esses são digitados. O botão “Insert”

dessa janela levará o usuário então à área interativa para posicionamento dos apoios na viga, o

botão “Reset” reinicializa os dados da janela, e o botão “Cancel” aborta a operação.

A Figura 19 a seguir demonstra a representação de previsão (“Preview”) conforme parâmetros

são selecionados para o apoio a ser inserido, bem como alguns exemplos da sua representação

final já inserido na viga (Figura 20).

Figura 19 - Representação gráfica das restrições conforme parâmetros selecionados.


__________________________________________________________________________________________


93

Figura 20 - Representação gráfica das restrições conforme parâmetros selecionados.


9.1.4 Instantes temporais

Os instantes temporais possibilitam ao usuário definir quantas idades julgar necessário para o

concreto, gerando uma lista na qual poderá então relacionar condições diversas de

carregamentos para a viga. Com essa estrutura relacionada de carregamentos e idades do

concreto, a estrutura de dados formada possibilita que em uma continuidade de

desenvolvimento do programa seja possível calcular as perdas temporais para o concreto e para

o aço de protensão, baseado no período de atuação de cada carga inserida.

O programa inicia com dois instantes de tempo já pré-definidos, nas idades de 15 dias e infinito

(10.000 dias) do concreto. Para alterar essa lista, é necessário clicar no botão “New Point” da

barra “Beam Design” que irá abrir então as funções necessárias em uma nova caixa de diálogo.

Essa nova caixa possui botões de “Add”, para adicionar novas idades, informadas por meio do

teclado na caixa de texto “Concrete Age:”, “Remove”, para remover alguma idade por meio de

seleção da idade que se deseja remover de lista exibida na própria janela (Figura 21), e “Close”

para encerrar o comando.

__________________________________________________________________________________________


94

Figura 21 - Remoção de um instante de tempo da lista de idades do concreto.


9.1.5 Materiais

A definição dos parâmetros dos materiais serve à definição de variáveis necessárias ao cálculo

de diferentes equações de projeto. A partir destes, o programa realiza diversas definições

internas que possibilitam a implementação futura de novas funções e equações com esses dados

já coletados.

Existem três botões na barra de “Design Beam” para definição dos materiais, para facilidade de

acesso, no entanto que chamam uma mesma janela de diálogo de materiais, organizados em

abas separadas. A escolha de cada um dos botões serve para facilitar o acesso de modo que a

janela ao abrir já esteja com aba desejada selecionada.

O botão “Concrete” abre o diálogo que possibilita entrar com os parâmetros de classe de

compressão do concreto, tipo de concreto, tipo de agregado, condições de verificação e classe

de agressividade ambiental, por meio de seleção de listas expansíveis já pré-definidas

internamente no programa, conforme classificações existentes na NBR 6118:2014. Apenas a

umidade relativa do ar é informada por uma caixa de texto por uso do teclado, em %.

Os demais materiais poderão ser definidos de igual modo em futura implementação.

__________________________________________________________________________________________


95

9.1.6 Resultados da Estrutura

Após a entrada dos demais elementos mencionados nesse capítulo, é possível obter-se as

solicitações da estrutura definida. Os resultados são computados no mesmo instante em que sua

exibição é solicitada, por meio do botão “Results Plot” na aba “Results Analysis” da barra de

ferramentas. O programa realiza internamente todas as operações necessárias de maneira

transparente: definindo módulo de elasticidade do concreto, área e momento de inércia de área

da seção transversal da viga; cálculo do comprimento de cada trecho da viga entre apoios,

cálculo da matriz de rigidez para cada trecho e da matriz de rigidez para a viga completa, cálculo

das cargas nodais pelo método dos deslocamentos; aplicação das restrições e simplificações da

matriz de rigidez e do vetor de forças nodais (conforme explicado em detalhes no Capítulo 3);

solução do sistema de equações pelo método de eliminação de Gauss, obtendo os deslocamentos

nodais; cálculo das reações em cada nó, cálculo das solicitações ao longo das barras com uso

das reações e cargas aplicadas em cada trecho; geração dos elementos de dados gráficos para

representação dos dados, finalizando com a exibição destes na tela interativa, alterando para

modo bidimensional.

Uma vez produzidos os elementos de resultados da estrutura, o usuário pode então utilizar a

área interativa para análise dos dados com uso do mouse. Um cursor adicional irá aparecer sobre

as linhas graficadas dos esforços cortante e de flexão, exibindo ao lado do cursor os valores das

solicitações e a posição na viga pela menor distância ao posicionamento do mouse. Ainda, na

barra de controles à esquerda, é possível filtrar os gráficos exibidos para facilitar a análise dos

resultados. A figura a seguir mostra como as solicitações de cortante e de flexão são exibidos

no programa, bem como o cursor com informações dos dados sobre cada ponto.

__________________________________________________________________________________________


96

Figura 22 - Exibição gráfica das condições inseridas para o cálculo de solicitações.


Figura 23 – Exibição gráfica das solicitações calculadas pelo programa.


9.2 ALGORITMOS DE CÁLCULO

O objetivo aqui não é ensinar a linguagem de programação utilizada, no entanto considera-se

necessária uma breve explicação dos mecanismos utilizados pela linguagem para possibilitar

um melhor entendimento dos algoritmos desenvolvidos e a forma que se relacionam.

__________________________________________________________________________________________


97

9.2.1 Ambiente de Desenvolvimento

A plataforma utilizada para desenvolvimento do programa foi a .NET, que permite a criação de

aplicativos e serviços para diversos dispositivos e sistemas operacionais com alta produtividade

e desempenho. A ferramenta para compilação e uso das linguagens para desenvolvimento

utilizada foi o Visual Studio 2015. Com essa combinação, é possível criar aplicativos com

grande desempenho além de ser portável para qualquer tipo de sistema. É possível programar

dessa forma para sistemas Windows, iOS, Android, entre muitos outros dentro de uma mesma

sistemática.

A Windows Presentation Foundation (WPF) por sua vez, é um subsistema gráfico da .NET que

prove a esse ambiente de desenvolvimento, em linguagem XAML, recursos de interface de

usuário dentro de ambientes Windows (para computadores ou celulares). Isso significa que

todos os recursos de bibliotecas para execução das interfaces já existem no próprio sistema

operacional sem necessidade da instalação de bibliotecas adicionais para execução do

programa. Além disso, o WPF unifica diversos elementos de interface como renderização 2D e

3D, documentos, tipografia, gráficos vetoriais, animações em tempo de execução entre outros.

Todos esses recursos estão disponíveis gratuitamente no site da Microsoft, bem como sua

documentação. Baseado nesse ambiente então é possível escrever os códigos em diversas

linguagens, escolhido o C# para esse trabalho no que diz respeito aos algoritmos, e XAML para

elementos de interface visto a escolha do WPF.

9.2.1.1 Organização da Linguagem C#

A linguagem C# utilizada é orientada a objetos, o que permite encapsulamento, herança e

polimorfismo.

Encapsulamento é um recurso muito importante, pois este permite agrupar em um único objeto

propriedades, métodos e outros membros daquele objeto. Por exemplo, é possível criar um

objeto chamado “Concreto” e atribuir a esse métodos e propriedades. Isso significa que as

propriedades podem ser sua resistência característica à compressão fck, tipo de agregado, idade,

entre outros, e um método pode calcular e retornar resultados com base nessas propriedades

__________________________________________________________________________________________


98

como módulo de elasticidade, deformação última, tensão para dada deformação, e assim por

diante.

A herança significa a possibilidade de criar novas classes de objetos sobre aquelas já existentes.

Por exemplo, uma classe já existente no ambiente para renderizar descrições geométricas em

3D pode ser ampliada para em um comando, fornecendo a seção da viga e seu comprimento,

seja possível obter a visualização da viga tridimensionalmente.

Por fim, o polimorfismo significa que uma mesma classe ou método pode ser implementada de

diferentes formas. Digamos que exista o método para calcular a resistência à tração do concreto.

Este pode ser chamado sem indicação de nenhuma idade, retornando o valor de fct baseado em

fck, ou caso informada uma idade, retornar o valor de fctj baseado em fcj.

9.2.2 Implementação Da Seção Transversal da Viga

Para a seção da viga, conforme mencionado anteriormente, os parâmetros que definem sua

geometria são D1 a D6, W1 a W4, T1, T2 e C1, para seção I, e B e H para seção retangular.

Criou-se uma classe para definição de objetos de seção transversal chama de SectionGeometry,

com os parâmetros mencionados e os métodos Area, YG, InertiaX, Ws, Wi e Coordinates. Dessa

forma, a partir apenas dos parâmetros geométricos é possível obter-se as propriedades de área,

centro geométrico vertical, inércia em torno do eixo horizontal que passa pelo centro

geométrico da peça, módulo de resistência a flexão superior e inferior, além de obter-se as

coordenadas geométricas dos vértices da seção pelos métodos criados na mesma ordem em que

estão mencionados aqui.

A rotina para cálculo das coordenadas verifica o tipo de parâmetros geométricos definidos no

objeto, e então calcula todas as coordenadas da seção a partir deles, retornando uma lista de

pontos em coordenadas x e y. A partir dessas coordenadas é possível calcular os outros

parâmetros mencionados, bem como fornecer a outras rotinas, como a de representação gráfica

da viga, informações para o seu desenho.

__________________________________________________________________________________________


99

A implementação da classe SectionGeometry resumida está apresentada a seguir, com a

definição de suas funções internas nas seções que seguem:

public class SectionGeometry { // I Section Parameters public double D1; public double D2; public double D3; public double D4; public double D5; public double D6; public double D7; public double W1; public double W2; public double W3; public double W4; public double W5; public double T1; public double T2; public double C1; // Rectangular Section Parameters public double B; public double H; // Area Method public double Area()… // Centroid Method public double YG()… // Second Moment of Area Method public double InertiaX()… // Top Section Modulus Method public double Ws()… // Bottom Section Modulus Method public double Wi()… // Parameters to Coordinates Method public PointCollection Coordinates()… }

__________________________________________________________________________________________


100

9.2.2.1 Cálculo da Área

Foi implementada a fórmula de Shoelace, um caso particular do Teorema de Green, também

conhecida como a fórmula de área de Gauss. Ela calcula a área de poligonais considerando

apenas seus vértices como entrada. Essa implementação pode não funcionar para polígonos que

possuem cruzamento de arestas ou sobreposição de áreas, caso que não ocorre no caso de seções

de vigas e ainda, visto que as coordenadas são pré-calculadas pelo próprio programa, essa

fórmula é absolutamente apropriada e muito eficiente para essa tarefa. A fórmula de Schoelace

está apresentada na Equação (177) abaixo:

𝐴 =1

2|∑𝑥𝑖𝑦𝑖+1

𝑛−1

𝑖=1

+ 𝑥𝑛𝑦1 −∑𝑥𝑖+1𝑦𝑖

𝑛−1

𝑖=1

− 𝑥1𝑦𝑛| (177)

Onde,

A: área do polígono formado pela união dos vértices na ordem em que estes aparecem;

xi: valor da abscissa x na posição i da lista de coordenadas;

yi: valor da ordenada y na posição i da lista de coordenadas;

n: número total de vértices do polígono.

Implementação do algoritmo:

public double Area() { PointCollection _pList = Coordinates(); double sumP = 0, sumN = 0; for (int i = 0; i < _pList.Count - 1; i++) { sumP = sumP + _pList[i].X * _pList[i + 1].Y; sumN = sumN - _pList[i + 1].X * _pList[i].Y; } return (double)(Math.Abs((sumP + sumN) / 2)); }

__________________________________________________________________________________________


101

9.2.2.2 Cálculo do Centro Geométrico Vertical

Para determinação do centro geométrico vertical da seção transversal da viga aplicam-se as

mesmas restrições existentes para o cálculo da área; isto é, não é permitido o cruzamento de

arestas, e assim apenas pelas coordenadas dos vértices é possível obter-se o valor do centro. A

fórmula do centroide para o polígono foi obtida do site da Wikipedia, descrita abaixo:

𝑦𝑔 =1

6𝐴∑(𝑦𝑖 + 𝑦𝑖+1)(𝑥𝑖𝑦𝑖+1 − 𝑥𝑖+1𝑦𝑖)

1

𝑖=0

(178)

Onde,

yg: centro geométrico vertical do polígono;

A: área do polígono formado pela união dos vértices na ordem em que estes aparecem;




O método que calcula o yg da seção transversal da viga utiliza o método da área criado

anteriormente, e sua implementação é conforme segue:

public double YG() { double CY = 0; PointCollection _pList = Coordinates(); for (int i = 0; i < _pList.Count - 1; i++) { CY = CY + (_pList[i].Y + _pList[i + 1].Y) * (_pList[i].X * _pList[i + 1].Y - _pList[i + 1].X * _pList[i].Y); } return (double)(1 / (Area() * 6) * CY); }

__________________________________________________________________________________________


102

9.2.2.3 Cálculo do Momento de Inércia de Área em Torno do Eixo Horizontal

O cálculo do momento de inércia de área em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide

da seção também é determinado com base apenas nas coordenadas da seção, geradas a partir de

seus parâmetros geométricos. Assim, a fórmula para o cálculo adotada, segundo Brourke, Paul,

é:

𝐼𝑥 =1

12∑(𝑥𝑖

2 + 𝑥𝑖𝑥𝑖+1 + 𝑥𝑖+12 )(𝑥𝑖𝑦𝑖+1 − 𝑥𝑖+1𝑦𝑖)

1

𝑖=0

(179)

Onde,

Ix: momento de inércia de área em torno do eixo x passando na ordenada zero;




No entanto, essa fórmula depende da ordem em que os pontos são lidos, além de que seu

resultado será em relação a ordenada zero do sistema de coordenadas, necessitando assim

suplementarmente a aplicação do teorema de Steiner, conforme equação abaixo:

𝐼𝑥𝑔 = 𝐼𝑥 + 𝐴. 𝑟2 (180)

Onde,

Ixg: momento de inércia de área em torno do eixo x que passa pelo centroide da área do

polígono;

Ix: momento de inércia de área em torno do eixo x que passa na ordenada zero;

A: área da seção;

r: distância do eixo em que foi calculado Ix ao centroide da seção.

__________________________________________________________________________________________


103

A implementação do algoritmo para cálculo do momento de inércia de área resultante ficou

como:

public double InertiaX() { Double ICGX = 0; PointCollection _pList = Coordinates(); for (int i = 0; i < _pList.Count - 1; i++) { ICGX = ICGX + (Math.Pow(_pList[i].Y, 2) + _pList[i].Y * _pList[i + 1].Y + Math.Pow(_pList[i + 1].Y, 2)) * (_pList[i].X * _pList[i + 1].Y - _pList[i + 1].X * _pList[i].Y); } return (double)(ICGX / 12 - Area() * Math.Pow(YG(), 2)); }

9.2.2.4 Cálculo dos Módulos Resistentes à Flexão

Os módulos resistentes à flexão são calculados pela divisão do momento de inércia calculado

em InertiaX, dividido pela distância do centro geométrico à extremidade superior ou inferior da

seção da viga, conforme deseje-se Ws ou Wi respectivamente.

9.2.3 Implementação dos Carregamentos da Viga

Todos os carregamentos adicionados sobre a viga são armazenados em uma lista de elementos

do tipo LoadElement, implementada com visibilidade global dentro do programa. A variável

que armazena todas as cargas é chamada loads. LoadElement é uma classe que possui diferentes

propriedades para armazenar todas as informações necessárias sobre cada carga

individualmente.

Para possibilitar que cargas pontuais, uniformes ou ainda outros tipos sejam armazenados em

uma única classe, definiu-se a propriedade loadType, atribuindo-se 0 para cargas pontuais (na

direção y ou em torno de z), 1 para cargas uniformes (em y) e 2 para cargas lineares (em y).

Os parâmetros Fi e Fj podem assumir diferentes significados conforme o tipo da carga

(loadType) e são interpretados em acordo em outras rotinas do programa que virem a utilizar

os dados contidos nessa classe. Para o tipo 0 Fi armazena uma carga vertical nodal e Fj um

__________________________________________________________________________________________


104

momento de flexão em torno de z. Caso algum desses valores seja zero, o programa considera

que a carga é apenas de um tipo ou de outro, e caso contrário que existem os dois tipos. No caso

de loadType valer 1, importa apenas o valor de Fi que será o valor da carga uniforme a ser

distribuída na direção y.

Os parâmetros i e j dão indicação dos nós do grid a que essas cargas estão ligadas, sendo j

utilizado apenas para cargas distribuídas uniformes ou lineares de modo que i indica início e j

fim da distribuição. Para cargas nodais i corresponde ao próprio nó em que essas cargas estão

aplicadas.

A propriedade timeStamp relaciona cada carga com o instante de tempo em que começa sua

atuação ao longo da vida do concreto, de modo que cada carga começa no instante do timeStamp

indicado em si, e termina no próximo instante de tempo existente na estrutura criada para esse

fim.

Outras propriedades nessa classe não possuem função de cálculo, sendo apenas para

representação visual dos elementos e para armazenamento de seus modelos tridimensionais.

Segue a implementação da classe:

public class LoadElement { public int loadType { get; set; } public double Fi { get; set; } public double Fj { get; set; } public int i { get; set; } public int j { get; set; } public int timeStamp { get; set; } public Model3DGroup model = new Model3DGroup(); public List<ModelVisual3D> label = new List<ModelVisual3D>(); public bool onScreen = false; }

9.2.4 Implementação das Restrições Nodais

Todos os apoios inseridos na viga são armazenados na variável global chamada

supportCollection. Essa variável é do tipo SupportElement, criada com as propriedades

__________________________________________________________________________________________


105

necessárias para identificação do tipo de apoio, mola, ou cedimento, bem como seu modelo

para visualização.

A implementação da classe é:

public class SupportElement { public double springX { get; set; } public double springY { get; set; } public double springZ { get; set; } public double dX { get; set; } public double dY { get; set; } public double thetaZ { get; set; } public bool fixedX { set; get; } public bool fixedY { set; get; } public bool fixedZ { set; get; } public int gridNumber { get; set; } public Model3DGroup model = new Model3DGroup(); }

Os parâmetros springX, springY ou springZ armazenam o valor das rigidezes das molas em

cada uma das direções identificadas pela última letra do nome da propriedade. Os parâmetros

dX, dY e thetaZ indicam deslocamentos pré-definidos em cada uma das direções x, y ou z

respectivamente. As propriedades fixedX, fixedY ou fixedZ registram a existência de vínculos

ideais em cada uma das direções. Por fim, a variável gridNumber informa o número do grid em

que o apoio se localiza.

9.2.5 Implementação dos Nós

Para os nós foram criados os elementos chamados de grid que possuem duas variáveis distintas

no código do programa. Uma lista do tipo double armazena a posição do grid ao longo da viga,

e uma outra do tipo GridModel, criada apenas para armazenar dados do modelo visual desses

grids.

__________________________________________________________________________________________


106

9.2.6 Implementação dos Materiais

O uso de linguagem orientada a objeto permite uma facilidade de implementação das diferentes

propriedades da norma NBR 6118:2014 conforme cada material, e o polimorfismo do código

ainda permite que mesmo uma equação que tenha diferentes formas de cálculo conforme a

situação possa receber parâmetros diversos fornecendo respostas adequadas.

9.2.6.1 Concreto

O concreto dentro do programa foi armazenado na variável concreto definida pela classe

Concrete criada para tal, cuja implementação abreviada está apresentada a seguir:

public partial class Concrete { // Concrete Properties public string name { get; set; } public double fckMPA { get; set; } public double alfaE { get; set; } public int conreteType { get; set; } public double gammaC { get; set; } public int CAA { get; set; } public double humidityAir { get; set; } // Young Modulus Method public double ECi()… // Young Modulus ate the age of j days Method public double ECi(int _age)… // Concrete compression strength ate j days of age Method public double fc_t(int _age)… // Concrete linear-parabolic deformation limit Method public double epsilonC2()… // Concrete ultimate deformation limit Method public double epsilonCU()… // Concrete compression stress for given deformation at the age of j days Method public double sigmaC(double _ec, int _age)… // Secant Concrete Modulus at j days of age Method public double Ecs(int _age)… // λ parameter Method public double lambda()… }

__________________________________________________________________________________________


107

Nessa classe existem propriedades fornecidas pelo usuário do programa, que são gravadas então

em name, fckMPA, alfaE, concreteType, gammaC, CAA e humidityAir. Cada uma dessas

propriedades é definida em acordo com a NBR 6118:2014. O usuário define essas propriedades

selecionando valores de listas pré-definidas no código, a exceção de humidityAir em que o valor

é lido de um campo digitado pelo engenheiro, e que representa a humidade relativa do ar em

que o concreto em questão estará exposto, e de fckMPA que é deduzida a partir da variável

name.

Para as demais propriedades, as listas são conforme segue:

List<string> cList = new List<string> { "C20", "C25", "C30", "C35", "C40", "C45", "C50", "C55", "C60", "C65", "C70", "C75", "C80", "C85", "C90" }; List<string> cAAList = new List<string> { "CAA-I (Weak)", "CAA-II (Moderated)", "CAA-III (Strong)", "CAA-IV (Very Strong)" }; List<string> agregateList = new List<string> { "Basalt or Diabase", "Granite or Gneiss", "Limestone", "Arenite" }; List<string> CTypeList = new List<string> { "CP-I", "CP-II", "CP-III", "CP-IV", "CP-V-ARI" }; List<string> gammaCList = new List<string> { "Normal (γc = 1.4)", "Special or Construction (γc = 1.2)", "Exceptional (γc = 1.2)" };

Sendo, cList a classe do concreto que dará valor à propriedade name, e também ao fckMPA

extraindo a primeira letra “C” do valor e considerando o número que segue como o valor para

o fck em MPa para aquele concreto.

A cAAList define a classe de agressividade ambiental no parâmetro CAA, traduzindo os valores

da lista para números de 1 a 4 conforme a classe; agregateList irá atribuir valores ao alfaE de

1,2, 1,0, 0,9 ou 0,7 conforme norma para αe; a CTypeList registrará valores de 1 a 5 para cada

tipo de Cimento Portland escolhido, na variável concreteType, que por sua vez definirá o

parâmetro s nos métodos internos da classe com base nessa propriedade, conforme norma.

Método fc_t(_age)

Esse método retorna o valor de fckj, calculado conforme descrito no capítulo 8.

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108

Métodos Eci() e Eci(_age)

Esses métodos retornam o módulo de elasticidade do concreto em função de uma idade ou

puramente, conforme equações prescritas em norma.

Métodos epsilonC2() e epsilonCU()

Esses métodos retornam os valores de εc2 e εcu para o concreto com base nas suas propriedades,

de acordo com a NBR 6118:2014, para concretos do grupo I (fck até 50 MPa) e grupo II (fck de

55 a 90 MPa).

Método sigmaC(_ec, _age)

Esse método calcula a tensão de compressão resistente do concreto, σc, ainda não reduzida por

nenhum coeficiente, com base em uma deformação _ec, correspondente a εc e idade _age,

correspondente a t.

Método Ecs(_age)

Retorna o valor do módulo de elasticidade secando do concreto para determinada idade,

informada em _age.

Método λ()

Retorna o valor λ conforme norma para o concreto definido pelo usuário.

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109

9.2.7 Implementação do Método da Rigidez

Para a implementação do método da rigidez foram criadas uma série de classes para

armazenamento das estruturas, bem como rotinas para sua solução.

Primeiramente fez-se a composição de um sistema matricial composto por três elementos:

matriz de rigidez, vetor de deslocamentos e vetor de forças. Cada um desses elementos por sua

vez, possui suas próprias rotinas e métodos.

Após, foram elaboradas rotinas para a solução desse sistema.

9.2.7.1 Implementação do Sistema Matricial

O sistema matricial definido é composto pela matriz de rigidez, vetor de deslocamentos e vetor

de forças, conforme descrito no capítulo 3, equação (1).

Matriz de Rigidez

Foi implementada a classe KMatrix com propriedade elements, que armazena cada uma das

posições da matriz kij em uma lista bidimensional e um método chamado Refresh, que realiza

o preenchimento dos elementos da matriz com base em um vetor de comprimentos chamado L,

o módulo de elasticidade para a estrutura E, a área da seção transversal A, e a inércia de área

em torno do eixo de flexão chamado de I. Além dessa propriedade e método, a estrutura possui

outras variáveis de uso interno para processamento dos dados.

Dessa forma, é possível obter-se a matriz de rigidez da estrutura por um único método,

fornecendo os parâmetros facilmente obtidos pelas demais classes criadas como E, chamando

Eci() da classe Concrete, A pelo comando Area() e I pelo comando InertiaX(), ambos da classe

SectionElement. Para a lista L, uma rotina em separado relaciona os dados dos grids (gridList)

com os dados dos apoios (supportCollection) determinando o comprimento dos trechos entre

apoios.

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110

A rotina interna do método Refresh, sendo n o número de elementos em L, irá gerar uma matriz

de [3*(n+1)] x [3*(n+1)].

public class KMatrix // Matrix containing the stiffness for each node of the beam. { public List<List<double>> elements = new List<List<double>>(); int resto1, resto2; double partial; int iL, jL; public void Refresh(List<double> L, Double E, Double A, Double I)… }

Vetor de Deslocamentos

Foi criada a classe dVector com três propriedades, elementSpring, elementsFixed,

elementsDisplacement e um método Refresh. O método Refresh recebe a lista com o

comprimento dos trechos L, e a lista dos apoios de supportCollection. Com base nesses dois

elementos esse método irá preencher as demais propriedades armazenando no vetor

elementSpring as rigidezes das molas inseridas pelo usuário, em elementsFixed as informações

de nós restringidos por apoios ideais, e em elementsDisplacement as informações de

deslocamentos pré-determinados pelo usuário.

Posteriormente, para solução do sistema a matriz de rigidez e o vetor de forças sofrem

simplificações, e cada uma das propriedades de dVector irá ser processada de uma maneira

diferente, conforme descrito no capítulo 3. A propriedade elementSpring irá somar as rigidezes

contidas nela em posições específicas da matriz de rigidez, anulando o valor da mesma linha

correspondente no vetor de forças; elementsFixed irá zerar a posição da linha no vetor de forças;

elementsDisplacement provocarão a subtração das rigidezes de cada linha no vetor de forças

multiplicadas pelo valor do próprio deslocamento, das rigidezes em coluna de mesmo número

que a linha em que aparece tal deslocamento.

public class dVector // The displacement vector containing dx, dy and thetaz. { public List<double> elementsSpring = new List<double>(); public List<bool> elementsFixed = new List<bool>(); public List<double> elementsDisplacement = new List<double>(); public void Refresh(List<int> _nosMatriz, List<SupportElement> _supportList)… }

__________________________________________________________________________________________


111

Vetor de Forças

Para o vetor de forças foi implementada a classe fVector, composta pela propriedade elements

e pelo método Refresh. Em elements serão armazenados os valores das forças de cada nó, em

sua direção correspondente a cada linha, sendo que o método Refresh provocará a determinação

desses valores e seu armazenamento em elements.

Para determinação desse vetor o método Refresh recebe a lista de comprimentos dos trechos

_nosMatriz, a lista de cargas aplicadas sobre a estrutura _loads, o instante de tempo em que se

deseja considerar as cargas _timePoint, e a lista de grids _gridPoints, necessária pois as cargas

não se localizam necessariamente sobre os apoios, podem estar no meio de um vão da viga.

public class fVector // The forces vector containing Vx, Vy and Mz. { public List<double> elements = new List<double>(); public void Refresh(List<int> _nosMatriz, List<LoadElement> _loads, int _timePoint, List<double> _gridPoints)… }

O algoritmo desenvolvido para determinação desse vetor em Refresh aplica o método dos

deslocamentos, de modo a transformar todas as cargas que estão entre os vãos em cargas nodais

verticais e de momento. Para esse trabalho foram previstas cargas nodais e distribuídas

constantes. Em geral tabelas com essas equações preveem particularizações de equações mais

gerais, não consideradas aqui visto que uma carga distribuída, por exemplo, que vá de um nó

ao outro do trecho terá resultado idêntico ao da equação particularizada, de modo que as

equações aplicadas foram mais genéricas, conforme apresentadas na Tabela 7.

__________________________________________________________________________________________


112

Tabela 7 - Equivalência das cargas nodais pelo método dos deslocamentos.

𝑀𝐴 =𝑞𝑐

12𝐿2[12𝑎𝑏2 + 𝑐2(𝐿 − 3𝑏)]

𝑀𝐵 = −𝑞𝑐

12𝐿2[12𝑎2𝑏 + 𝑐2(𝐿 − 3𝑎)]

𝑉𝐴 =𝑞𝑐

12𝐿3[12𝑎𝑏(𝑏 − 𝑎) + 3𝑐2(𝑎 − 𝑏) + 12𝑏𝐿2]

𝑉𝐵 =𝑞𝑐

12𝐿3[12𝑎𝑏(𝑎 − 𝑏) + 3𝑐2(𝑏 − 𝑎) + 12𝑎𝐿2]

𝑀𝐴 =𝑃𝑎𝑏2

𝐿2

𝑀𝐵 = −𝑃𝑎2𝑏

𝐿2

𝑉𝐴 =𝑃(𝑏3 + 3𝑎𝑏2)

𝐿3

𝑉𝐵 =𝑃(𝑎 + 3𝑎2𝑏)

𝐿3

𝑀𝐴 = −𝑀𝑏

𝐿(2 − 3𝑏)

𝑀𝐵 = −𝑀𝑎

𝐿(2 − 3𝑎)

𝑉𝐴 =−𝑀 +𝑀𝐴 +𝑀𝐵

𝐿

𝑉𝐴 = −−𝑀 +𝑀𝐴 +𝑀𝐵

𝐿


c

a b

L

a b

L

a b

L

A B

q

P

M

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113

Condições de Contorno

Uma rotina chamada mountKMatrix foi desenvolvida para computar todo o sistema (matriz de

rigidez, vetor de deslocamentos e vetor de forças) foi desenvolvida, de modo que chamando

mouuntKMatrix com as variáveis “concreto”, “gridPoints”, “supportCollection”, “section”,

“loads” e instante de tempo selecionado, todo o sistema é retornado em uma estrutura única do

tipo MatrixSystem, de implementação abaixo:

public class MatrixSystem { public KMatrix matrixK = new KMatrix(); public dVector vectorD = new dVector(); public fVector vectorF = new fVector(); }

As condições de contorno são então aplicadas sobre esse sistema utilizando os elementos do

tipo dVector.elementsSpring com valor de rigidez das molas inseridas em apoios (corrigidas

suas unidades de metros para centímetros onde houver), que são somadas com os elementos de

mesma linha e coluna na variável matrixK. Ainda, para cada elemento do tipo

dVector.elementsDisplacement, que contém informações de vínculos ideais e cedimentos, cada

rigidez na coluna correspondente a linha do vínculo ideal é multiplicada pelo valor do

deslocamento definido e subtraída no vetor de forças, além de serem zeradas as posições nessa

mesma coluna que não a da linha do elemento em questão, sendo a esta atribuída então o valor

1 (equivalente a eliminar a equação correspondente a essa linha do sistema). A implementação

das condições de contorno é conforme segue, sendo a variável do tipo MatrixSystem chamada

de matrixSystem:

for (int i = 0; i < matrixSystem.vectorD.elementsSpring.Count; i++) { if ((matrixSystem.vectorD.elementsSpring[i] != 0) && (matrixSystem.vectorD.elementsFixed[i] == false)) { int resto; Math.DivRem((i + 1), 3, out resto); if(resto == 0) matrixSystem.matrixK.elements[i][i] = matrixSystem.matrixK.elements[i][i] + matrixSystem.vectorD.elementsSpring[i] * 1000; else matrixSystem.matrixK.elements[i][i] = matrixSystem.matrixK.elements[i][i] + matrixSystem.vectorD.elementsSpring[i] / 100;

__________________________________________________________________________________________


114

} if ((matrixSystem.vectorD.elementsFixed[i] == true)) { for (int j = 0; j < matrixSystem.matrixK.elements[i].Count; j++) { if (i != j) { matrixSystem.vectorF.elements[j] = matrixSystem.vectorF.elements[j] - matrixSystem.matrixK.elements[i][j] * matrixSystem.vectorD.elementsDisplacement[i]; matrixSystem.matrixK.elements[i][j] = 0; matrixSystem.matrixK.elements[j][i] = 0; } else matrixSystem.matrixK.elements[i][j] = 1; } } }

Obtenção dos Deslocamentos Nodais

Após a montagem do sistema matricial e aplicadas as condições de contorno, o programa

resolve o sistema matricial do tipo [A].{x} = {B}, encontrando o valor das incógnitas em x

(vetor de deslocamentos). Para solução das equações implementou-se um algoritmo de

eliminação Gaussiana do sistema, conforme segue:

private List<double> solveMatrix(List<List<double>> A, List<double> B) { List<double> X = new List<double>(); for (int k = 0; k < A.Count; k++) { for (int i = k + 1; i < A.Count; i++) { double f = A[i][k] / A[k][k]; for (int j = k + 1; j < A.Count; j++) { A[i][j] = A[i][j] - A[k][j] * f; } B[i] = B[i] - B[k] * f; A[i][k] = 0; } } for (int i = 0; i < A.Count; i++) X.Add(0); for (int i = X.Count - 1; i >= 0; i--) { double soma = 0; for (int j = i + 1; j < A.Count; j++) { soma = soma + A[i][j] * X[j];

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115

} X[i] = (B[i] - soma) / A[i][i]; } return X; }

Após obter-se o vetor x da equação, é realizada uma substituição dos deslocamentos que

estavam previamente definidos pelas informações dos apoios inseridas pelo usuário, gerando-

se assim o vetor com os deslocamentos finais dos nós. Os deslocamentos finais ficam

armazenados na variável deslocs do tipo dVector, em que os valores estão na propriedade

elementDisplacement.

Obtenção das Reações nos Apoios

Uma vez obtidos os deslocamentos finais dos nós, e com a matriz de rigidez inicial (antes da

aplicação das condições de contorno), as forças de reação podem ser obtidas pela multiplicação

da matriz de rigidez pelo vetor de deslocamentos. As reações são então armazenadas na variável

reactions, do tipo List<double>. A própria ordem da lista indica sua posição, seguindo a mesma

ordem dos apoios.

9.2.8 Implementação das Solicitações

As solicitações são calculadas a partir das reações obtidas em reactions, das informações de

carregamentos em loads, das informações de apoios em supportCollection, dos grids, e de um

dado “x” fornecido. Inicialmente um visualizador gráfico foi implementado que desenha em

duas dimensões os valores para as solicitações percorrendo x do início ao fim da viga. Após, os

valores de x serão lidos a partir do apontamento com o mouse pelo usuário sobre esse gráfico

gerado, que irá então chamar as funções de cálculo das solicitações para retornar valores com

precisão.

Uma rotina determina a ordem entre apoios e carregamentos, bem como traduz índices que

indicavam números referentes a grids em coordenadas de referência, chamas de xValue dentro

de cada nova estrutura criada para armazenar esses dados. Após então as rotinas calcQ e calcM

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116

calculam as solicitações de cortante e de momento de flexão, respectivamente. Segue o

algoritmo implementado para cálculo das solicitações de cortante:

public double calcQ(double _x) { double Q = 0; double Qp = 0; double Qr = 0; double Qt = 0; double Qd = 0; for (int i =1 ; i<reactions.Count; i += 3) { if (_x >= supports[(i - 1) / 3].xValue) { Qr = Qr + reactions[i]; } } for (int i = 0; i < loads.Count; i++) { if (loads[i].loadType == 0) if (_x >= grids[grids.FindIndex(x => x.gridNumber == loads[i].i)].xValue) Qp = Qp + loads[i].Fi; if (loads[i].loadType == 1) { double menor, maior, estepe; menor = grids[grids.FindIndex(x => x.gridNumber == loads[i].i)].xValue; maior = grids[grids.FindIndex(x => x.gridNumber == loads[i].j)].xValue; if(menor > maior) { estepe = menor; menor = maior; maior = estepe; } if ((_x >= menor) && (_x <= maior)) Qd = Qd + loads[i].Fi * (_x - menor)/100; else if ((_x >= menor) && (_x >= maior)) Qd = Qd + loads[i].Fi * (maior - menor)/100; } } Q = Qp + Qr + Qd + Qt; return Q; }

A variável Qr acumula as solicitações provenientes das reações, Qp das cargas pontuais, Qd de

cargas distribuídas. Qt destina-se a implementação futura de cargas triangulares, por exemplo.

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117

Para solicitações de momento de flexão, segue implementação:

public double calcM(double _x) { double M= 0; double Mp = 0; double Mr = 0; double Mt = 0; double Md = 0; for (int i = 1; i< reactions.Count; i += 3) if (_x >= supports[(i - 1) / 3].xValue) Mr = Mr + reactions[i] * (_x - supports[(i - 1) / 3].xValue); for (int i = 2; i <= reactions.Count; i += 3) if (_x >= supports[(i - 2) / 3].xValue) Mr = Mr - reactions[i]; for (int i = 0; i < loads.Count; i++) { if (loads[i].loadType == 0) if (_x >= grids[grids.FindIndex(x => x.gridNumber == loads[i].i)].xValue) Mp = Mp + loads[i].Fi * (_x - grids[grids.FindIndex(x => x.gridNumber == loads[i].i)].xValue); Mp = Mp + loads[i].Fj; if(loads[i].loadType==1) { double menor, maior, estepe; menor = grids[grids.FindIndex(x => x.gridNumber == loads[i].i)].xValue; maior = grids[grids.FindIndex(x => x.gridNumber == loads[i].j)].xValue; if (menor > maior) { estepe = menor; menor = maior; maior = estepe; } if ((_x >= menor) && (_x <= maior)) Mp = Mp + loads[i].Fi / 100 * Math.Pow((_x - menor), 2) / 2; else if ((_x >= menor) && (_x >= maior)) Mp = Mp + (loads[i].Fi / 100 * (maior - menor) * (_x - maior + (maior - menor) / 2)); } } M = Mp + Mr + Md + Mt; return M/100; }

__________________________________________________________________________________________


118

9.3 VALIDAÇÃO DOS RESULTADOS

Para validação dos resultados foi utilizado o programa ftool, no qual inseriram-se estruturas

com parâmetros semelhantes aos do programa, com pequenas diferenças de precisão visto o

ftool aceitar um número limitado de casas após a vírgula, ao passo que no programa os valores

internos são calculados com precisão do tipo double, isto é, até dez dígitos de precisão e valores

entre -1,7 x 10308 a +1,7 x 10308. Inserindo-se valores no ftool de diferentes ordens, como por

exemplo, para momento de inércia, é possível inferir-se que sua precisão é do tipo float, isto é,

números de -3,4 x 1038 até +3,4 x 1038, o que pode gerar pequenas diferenças nos resultados,

no entanto, negligenciáveis.

Exemplo 1

O exemplo 1 foi tirado de uma lista de exercícios do site de Internet www.profwillian.com, com

resolução analítica pelo método das forças. Então inseriram-se as informações do problema no

ftool e no programa desenvolvido para este trabalho, referido aqui como PSB, para comparação

dos resultados.

Figura 24 – Representação do problema resolvido no exemplo 1.

(fonte: lista de exercícios do prof. William.)

Tabela 8 – Comparação de resultados para o exemplo 1.

ftool PSB ftool PSB ftool PSB

Ry dy θz

Nó kN kN diferença mm mm rad rad diferença

A 19,064050 19,0640495868 0,0000% 0 0 -9,452025E-06 -9,45182221282721E-06 0,0021%

B 54,302112 54,3021120294 0,0000% 0 0 3,109610E-06 3,10954267739291E-06 0,0022%

C 11,633838 11,6338383838 0,0000% 0 0 2,194400E-06 2,19435251185440E-06 0,0022%


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119

Exemplo 2

Esse exemplo foi retirado de uma lista de exercícios em www.ims.eng.br.

Figura 25 – Representação do problema resolvido no exemplo 2.

(fonte: lista de exercícios do prof. Iberê.)


ftool PSB ftool PSB

Ry Mz

Nó kN kN diferença kN.m kN.m

1 51,350000 51,3500000000 0,0000% 36,466667 36,466666666667

2 75,261111 75,2611111111 0,0000% dy (mm)

3 51,466667 51,4666666667 0,0000% mm mm

4 43,922222 43,9222222222 0,0000% 7,117831E-04 0

ftool PSB

θz

Nó rad rad diferença

1 2,205293E-06 2,20524596312237E-06 0,0021%

2 -8,681286E-07 -8,68109884736605E-07 0,0022%

3 1,267221E-06 1,26719357582405E-06 0,0022%

4


Exemplo 3

Exemplo elaborado pelo autor para demonstrar uma viga com uso de molas e deslocamento

pré-determinado em apoio. Buscou-se incluir nesse exemplo elementos que explorassem os

diferentes tipos de condições de contorno que devessem ser aplicadas no método da rigidez.

Dessa forma, usou-se apoios com molas, apoio com deslocamento pré-definido, cargas pontuais

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120

e distribuídas, além de apoios fixos. Todos os resultados mostraram-se compatíveis com os

obtidos pelo ftool para essa mesma estrutura.

Figura 26 – Representação do exemplo 3 no ftool.


Figura 27 – Representação do exemplo 3 no PSB.


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121

Tabela 10 – Comparação dos diagramas obtidos para as solicitações da viga.

Diagrama de esforço cortante no ftool. Diagrama de esforço cortante no PSB.

Diagrama de momento de flexão no ftool. Diagrama de momento de flexão no PSB.



ftool PSB ftool PSB

Ry Mz

Nó kN kN diferença kN.m kN.m

1 561,830463 561,8303268497 0,0000% 751,978864 751,977715617699

2 650,169537 650,1696731503 0,0000% 366,142368 366,141541582634

3 - - - 403,979440 403,979331929803

ftool PSB

dy

Nó mm mm diferença

1 -5,000000E+00 -5,00000000000000E+00 0,0000%

2 -4,334464E+00 -4,33446448766856E+00 0,0000%

3 -6,678410E+00 -6,67836221133987E+00 0,0007%

ftool PSB

θz

Nó rad rad diferença

1 0,000000E+00 0,00000000000000E+00 0,0000%

2 0,000000E+00 0,00000000000000E+00 0,0000%

3 -1,615918E-05 -1,61591732771921E-05 0,0000%


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122

branco

10 CONSIDERAÇÕES FINAIS

O trabalho desenvolvido possibilitou uma profunda revisão da complexidade e diversidade dos

assuntos envolvidos no desenvolvimento de um programa de computador para realização de

projeto de vigas protendidas por pós-tração. Diferentes aspectos de disciplinas do curso de

engenharia civil e além foram estudados e desenvolvidos para possibilitar a criação do conceito

do software proposto. Partiu-se dos conceitos básicos da mecânica estrutural e de estudos das

normas brasileiras, seguindo-se por um aprofundamento em áreas específicas entre a engenharia

civil e a computação para obter-se um desenvolvimento de modelos sofisticados dos objetos

em questão com parte de sua implementação em uma ferramenta que permitirá a propagação

desses conhecimentos e o aprimoramento em futuros trabalhos acadêmicos. Os resultados

obtidos mostraram-se válidos e servirão de poderosa ferramenta, não apenas na área aqui

proposta, para a solução de vigas protendidas, mas de tantas outras áreas nas quais o ponto a

que se chegou serve de partida para outros fins. A combinação da tecnologia de maneira

sofisticada com interface moderna e interativa permitirá que sejam criados novos softwares

cada vez mais avançados aumentando o desempenho e facilitando o trabalho dos engenheiros.

Buscou-se demonstrar junto a esse trabalho como é possível fazer um programa com

características de ferramentas comerciais mundialmente difundidas, em um trabalho

acadêmico.

O programa desse trabalho servirá a fins acadêmicos por hora, pois é um trabalho recém

começado há cerca de um ano atrás, um curto espaço de tempo, desenvolvido por apenas um

indivíduo. Ferramentas comerciais são fruto do trabalho de grandes equipes, e ainda assim

propensas a bugs e erros, sofrendo constante aprimoramento e o acompanhamento de sua

empresa criadora, até que se obtenha um nível de experiência ao usuário satisfatório.

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123

REFERÊNCIAS

GERE, J. M.; WEAVER JR., W. Análise de Estruturas Reticuladas, Rio de Janeiro: Editora

Guanabara Dois S.A., 1981.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6.118: Projeto de estruturas

de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, 2014.

VERÍSSIMO, G. S.; CÉSAR JR., K. M. L. Concreto Protendido: Perdas de Protensão. Rio

de Janeiro, 1998.

AALAMI, B. O. Load Balancing: A Comprehensive Solution to Post-Tensioning.

Technical Paper – ACI Structural Journal, Title no. 87-S68, nov./dez. 1990.

MICROSOFT, DEVELOPER NETWORK – Windows Presentation Foundation Development

Guide. Disponível em: <https://msdn.microsoft.com/en-

us/library/ms754130(v=vs.110).aspx>. Acesso em 19 de setembro de 2016.

SCAVASSIN, R. M. Programa para Cálculo e Detalhamento de Armadura de Vigas Pré-

Tracionadas. 2012. 198 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Engenharia Civil)

- Universidade Federal São Carlos, São Carlos.

ART OF PROBLEM SOLVING – Schoelace Theorem. Disponível em:

<http://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=Shoelace_Theorem>. Acesso em

03 de novembro de 2016.

BOURKE, PAUL. Polygons & Meshes. Disponível em:

<http://paulbourke.net/geometry/polygonmesh/>. Acesso em 03 de novembro de 2016.

WIKIPEDIA – Parallel axis theorem. Disponível em:

<https://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_axis_theorem>. Acesso em 03 de novembro de 2016.

WIKIPEDIA – Gaussian elimination. Disponível em:

<https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_elimination>. Acesso em 03 de novembro de 2016.

ROSA, W. A – Lista 02 de Exercícios de Hiperestática – Método das Forças – Gabarito.

Disponível em: <http://www.profwillian.com/estruturas/Lista02-Hiperestatica-

Metodo_das_Forcas_gab.pdf>. Acesso em 03 de novembro de 2016.

PROF. IBERÊ – Estática das Estruturas I – Método dos Esforços. Disponível em:

<http://www.ims.eng.br/upload/img/noticia/24042012154841968485893.pdf>. Acesso em 03

de novembro de 2016.

GAVIN, P. H. Frame Element Stiffness Matrices. CEE 421L. Matrix Structural Analysis. Fall

2014. Duke University, Duke, EUA.

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124

ANEXO A – Manual do Programa

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125

linha em branco

A.1 ESCOLHA DA SEÇÃO

Para escolher uma seção deve-se clicar sobre o botão section no grupo Beam, e então marcar

na janela que abre a forma da seção do tipo I ou retangular, conforme figura abaixo:

Figura A.1 – Janela para escolha do formato da seção da viga.


Para visualizar os valores das dimensões da seção, deve-se clicar em uma das faces transversais

da viga na área de visualização 3D do programa, e isso irá aproximar a seção com suas medidas

em centímetros, conforme segue:

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126

Figura A.2 – Janela para escolha do formato da seção da viga.


Para fechar a visualização da seção deve-se clicar em qualquer área vazia da janela de

visualização.

A.2 DEFINIÇÃO DO COMPRIMENTO DA VIGA

Para definir o comprimento da viga deve-se clicar no botão Size dentro do grupo Beam, e este

abrirá um campo de texto para entrada do valor desejado, em centímetros. Após a digitação do

valor deve-se pressionar a tecla Enter e a representação da viga será atualizada para o tamanho

definido.

A.3 DEFINIÇÃO DE PONTOS NA VIGA PARA ENTRADA DE DADOS

Para a inserção de carregamentos ou apoios, ou mesmo pontos específicos para representação

do valor de solicitações no visualizador de resultados, é necessário fazer a inserção de Grids.

Para adicioná-los à viga, deve-se clicar no botão Add Grid do grupo Grid. A viga será

posicionada lateralmente pelo programa para facilitar o posicionamento do grid ao longo de seu

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127

comprimento. Com o auxílio do mouse, é possível deslocar o grid em inserção ao longo da viga,

de modo que réguas aparecerão como referência sobre o desenho para a escolha da medida. A

precisão nessa função é de 10 cm para cada deslocamento do mouse, podendo ser reposicionado

em passos de até 5 mm após a carga inserida, selecionando-se o grid e girando o botão de scroll

do mouse com o grid selecionado. Uma vez que o grid apareça na posição desejada, o botão

esquerdo do mouse irá adicionar o elemento, permitindo que se continue adicionando outros

grids, até que o botão direito do mouse seja pressionado para encerrar o comando.

A.4 INSERÇÃO DOS CARREGAMENTOS

Os carregamentos são dependentes do tempo, de modo que primeiramente deve-se certificar de

que o instante selecionado é o desejado para atribuição da carga. O instante de tempo atual é

indicado no canto inferior esquerdo da janela, podendo ser alterado deslizando o seletor do

controle com o uso do botão esquerdo do mouse clicando ao lado da direção em que se deseja

mudar o seletor, ou arrastando-os enquanto mantendo o botão pressionado.

Para inserir um carregamento sobre a viga deve clicar no botão New Load do grupo Loads. Uma

janela de diálogo aparecerá para que o usuário defina a carga que deseja inserir. Para cargas

pontuais verticais ou de momento, deve-se marcar a opção na janela de Nodal Force e então

preencher os campos dentro de Load Values de acordo com as indicações em tela. Para cargas

distribuídas, deve-se selecionar a opção de Uniform Load e definir o valor em Load Values.

Após definição da carga a ser inserida, deve-se clicar no botão Insert para prosseguir ou Cancel

para abortar o comando. No caso do Insert, a janela de diálogo é fechada e uma representação

da carga aparecer sobre a viga para ser posicionada com o mouse. Para cargas pontuais, um

clique com o botão esquerdo do mouse irá adicionar a carga, e para cargas distribuídas o

primeiro clique definirá o início e o segundo sua posição final. Para cancelar o comando antes

de sua conclusão, deve-se pressionar o botão direito do mouse.

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128

A.5 CONTROLE DAS IDADES DO CONCRETO

Para inserir, apagar ou visualizar as idades do concreto no programa deve-se clicar no botão

New Point do grupo Time Points. Abrirá então uma janela com um campo para entrada de novas

idades, e uma lista de idades já existentes. Para adicionar novas idades a essa lista deve-se

digitar o valor desejado em Concrete Age, em dias, e então clicar no botão Add para inserir.

Para remover, deve-se selecionar as idades desejadas da lista exibida e então clicar no botão

Remove. Para sair da janela, basta clicar no botão Close.

Para selecionar a idade atual do concreto deve-se utilizar a barra no canto inferior esquerdo do

programa, denominada Age Slider, deslocando-se o seletor para a direita ou para a esquerda.

Logo a direita da barra aparecerá o valor da idade selecionada.

A.6 INSERÇÃO DE APOIOS

Para inserir apoios na viga deve-se clicar no botão New Support do grupo Support Cond. Abrirá

uma janela segmentada nas três direções possíveis para inserir restrições. Ainda nessa janela

existe uma área que exibe uma vista de como ficará o apoio que está sendo definido. Os campos

são indicativos que permitem a inserção de valor de rigidez produzindo molas, ou

deslocamentos pré-definidos, ou então apenas marcar a restrição como ideal.

Após configurado o apoio, o botão Insert permite posicionar o elemento sobre a viga, sendo

concluído com o botão esquerdo do mouse, ou cancelado pelo botão direito. Ainda na janela de

configuração existem outros dois botões que permitem zerar a configuração clicando em Reset

ou simplesmente encerrar a janela clicando em Cancel.

A.7 DEFINIÇÃO DO CONCRETO

Para escolha do concreto deve-se clicar no botão Concrete do grupo Materials. As propriedades

do concreto são selecionáveis já pré-determinadas, sendo apenas a humidade relativa definida

por digitação. Após ajustadas as propriedades desejadas, basta clicar o botão Ok para aceitar as

novas propriedades ou Cancel para manter as propriedades definidas anteriormente.

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129

A.8 VISUALIZANDO RESULTADOS

Para visualizar os resultados das solicitações sobre a estrutura deve-se clicar na aba Results

Analysis acima da barra de ferramentas. O programa irá verificar se todas as condições para

obtenção das solicitações foram satisfeitas e caso contrário irá indicar a necessidade de entrada

de informações adicionais. Caso todas as condições mínimas tenham sido atendidas, a área de

desenho principal do programa irá mostrar os resultados sobre a estrutura, podendo ser

explorados com auxílio do Mouse. O scroll permite ampliar ou reduzir a imagem, ao passo que

o posicionamento do mouse sobre as solicitações indica sua posição e valor. Ainda clicando na

aba a esquerda do desenho, em Results Browser é possível alterar a visualização das solicitações

desabilitando ou habilitando cortante ou momento fletor.

A barra inferior de seleção de idade do concreto, Age Slider, permite alterar a visualização dos

resultados das solicitações para cada idade do concreto especificada.

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