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INTRODUÇÃO capa1

PROGRAMA DE ENSINO

GUIA PARA AULAS

CADERNO 2

INTRODUÇÃO 22

PROGRAMA DE ENSINO

GUIA PARA AULASLIVRO 2

PRIMEIRA TURMA DO CÍRCULO DA MATEMÁTICA DO BRASIL, PORTO ALEGRE, SETEMBRO DE 2013

INTRODUÇÃO 22

INTRODUÇÃO 22O CÍRCULO DA MATEMÁTICA DO BRASIL – GUIA PARA AULAS II

índiceintrodução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

sugestão de programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

Como usar este livro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

A abordagem pedagógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

Diretrizes procedimentais da abordagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

A Bailarina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

Pontos explosivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

A Máquina de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

O Relógio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

O Labirinto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

O Sanduíche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

Números entre números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60

Cortando a pizza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

Desvendando o desconhecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66

Existem diferentes tamanhos de infinito? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68

PROGRAMA DE ENSINO

GUIA PARA AULASLIVRO 2

7O CÍRCULO DA MATEMÁTICA DO BRASIL – GUIA PARA AULAS II

introduçãoMensagem de Bob e Ellen Kaplan para a equipe de educadores do Círculo da Matemática do BrasilUm abraço caloroso para todos vocês, os pioneiros desta grande aventura!São vocês que irão desbravar os caminhos que os outros seguirão ao trazeras glórias da matemática à juventude do Brasil e depois deles para asgerações futuras.

Será exaustivo e eletrizante, cheio de prazeres e desapontamentos. Vocêsdevem se preparar para as frustrações e ajudar uns aos outros a superá-las,aprender com elas e continuar a clarear a selva da confusão. Que triunfo, sevocês conseguirem salvar uma única criança da ignorância paralisante! E sepuderem provocar as forças de entendimento para duas, cinco ou para umaturma de crianças entusiastas da matemática ou para a rede de seusamigos, famílias e outras crianças!

O que é matemática? É uma de nossas maneiras de compreender aestrutura do mundo, o poder que o conhecimento dá, o sentido interior daautoestima que vem da realização das nossas próprias descobertas. É a música da mente: mistérios atraentes e suas soluções deslumbrantesque vêm da admiração das harmonias secretas do nosso mundo.

Então, iniciem, e fiquem em contato com a gente e uns com os outros.Coragem, paciência, reflexão. Cada um de vocês é o centro silencioso deum esplendoroso círculo da matemática.

Plus Ultra!

Bob e Ellen

SUGESTÃO DE PROGRAMA 9O CÍRCULO DA MATEMÁTICA DO BRASIL – GUIA PARA AULAS II

O primeiro ponto é o entendimento dosistema posicional dos números, que ésempre uma parte muito difícil,especialmente para aqueles que acabaramde aprender a ler da esquerda para a direitae que descobrem que, quando nossosnúmeros crescem, eles o fazem da direitapara a esquerda. Os pontos explosivosfazem isso ser vívido. É importante para osestudantes praticarem a leitura do que é umnúmero ao olharem os pontinhos emcolunas e imaginarem como escrevê-loscom os pontinhos quando eles iniciam comum número. Como sempre, a iniciativa devevir deles, tanto quanto possível: deixe-osdecidir quantas colunas devem serdesenhadas para um problema particular –se fizerem mais do que o necessário, serábom para verem que aquelas colunas semuso ficarão vazias. Também é bom terexemplos com colunas intermediárias vazias(309, 2, 407), muita variedade e o quantomais de experimentação possível para queos estudantes não fiquem entediados, masque sintam que têm pleno domínio destagrande invenção de sua espécie.

Agora, adição – e, para variar, comece com adança na linha dos números. Novamente,deixe-os ficar o máximo possível nocomando, decidindo, por exemplo, quenome dar à dançarina ou ao corredor; ondecomeçar, para que lado a bailarina oubailarino vai estar virado, quantos passos

serão dados – sempre deixando cada umadas crianças prever onde a dançarina parará,escrevendo suas previsões no quadro-negro. Isso faz com que tudo seja um jogoem que elas se envolvam e para que aomesmo tempo desenvolvam a noção dedistância e a operação da adição. Uma vezque as crianças já estejam confortáveis comisso, podemos fazer a adição com os pontosexplosivos – elas ficarão agradavelmentesurpresas ao ver esta nova ideia em umaroupa velha, e uma faísca virá ao esfregarjuntos os dois gravetos.

Subtração: volte à dança na linha dosnúmeros, para trabalhar a ideia de subtraçãoe então a de números negativos. Nasequência, com os pontos explosivos epontos vazios para números negativos (falarsobre a regra de que um ponto vazio e umponto sólido, na mesma coluna, sedestroem mutuamente). O professorsempre deve ficar de olhos e de ouvidosabertos para outros modos pelos quais osestudantes podem pensar a subtração (ficardevendo, emprestando, a temperaturacaindo, descendo ao invés de ir para aesquerda etc.).

A multiplicação é introduzida de forma maisfácil ao perguntar quantas unidades detijolinhos de 1 x 1 são necessárias paracobrir vários retângulos (por último ascrianças devem escolher as dimensões dos

retângulos). A multiplicação e a adição sãocombinadas ao perguntarmos quantostijolinhos precisamos para cobrir oitoandares de 5 x 20 em um edifício, porexemplo. E façam isso novamentedançando na linha dos números: adançarina agora saltará 6 vezes, cada saltosendo de 4 passos, ou o que as criançasescolherem. Quanto maior a variedade demaneiras de apresentar uma nova ideia,melhor.

Divisão: cortando sanduíches quadrados epizzas redondas para servir a você e seusamigos convidados; ou quantos passosforam em cada um dos saltos da bailarina, se4 saltos iguais a levam do zero ao 12.

A divisão agora nos transporta (através docorte dos sanduíches) ao próximo mundo, odas frações – e já fizemos mais do queaquilo que é usualmente feito nos primeirosanos da escola! É importante que osprofessores inventem seus próprios jogos,trilhem seus próprios caminhos levandoseus alunos a descobrir as novas operações.

Deixem que fiquem curiosos ao manter umaboa série de questões de fundo: quantosnúmeros existem lá? Será que existe umprimeiro número de todos? Um último? Ummenor? Um maior? Será a multiplicação algoextravagante ou somente adição em altavelocidade? (Ela aparecerá propriamente

assim nesse estágio – mas, quando muitomais tarde chegarmos a 3.4117 x 18.6,continuará sendo? Ou PI x a raiz quadradade 2?) Não vamos subestimar as crianças:questões de fundo são: números são ou nãoreais; como sabemos que estas verdades sãoverdadeiras? Será que os marcianos teriam amesma matemática que temos? Não seesqueçam das máquinas de funções comoum prazer sempre constante. Uma questãopara deixá-los instigados, porém semfornecer resposta: que número vezes elemesmo dá 16? Ou 9? Ou 4? Está bem, quenúmero vezes ele mesmo é igual a 2?

Grandes objetivos gerais: não somentedominar as quatro operações básicas, masvendo que a adição e a subtração sãoinversas delas mesmas (se anulam), assimcomo a multiplicação e a divisão. E trazendotanta geometria quanto for possível a essemundo aritmético.

Adiante: não somente frações e geometria,mas a estrutura mais profunda do queacabamos de conquistar: se o 1 é o bloco deconstrução básico da adição, qual é o blocode construção básico da multiplicação?Números PRIMOS! E fazendo máquinas defunções desenharem figuras delas mesmas:gráficos!

Podemos, por favor, fazer matemáticadurante o dia todo, todos os dias?

sugestão de programaAqui está, em linhas gerais, o programa que gostaríamos de sugerirpor Bob & Ellen Kaplan

COMO USAR ESTE LIVRO 11O CÍRCULO DA MATEMÁTICA DO BRASIL – GUIA PARA AULAS II

Este livro faz parte da coleção de materiaisde apoio aos educadores do Círculo daMatemática do Brasil. Contém sugestões deum programa de ensino desenvolvido para10-12 encontros de 50 minutos comcrianças entre 7 e 10 anos, cursando osprimeiros anos do Ensino Fundamental nasescolas públicas brasileiras, nas suas cincoregiões. Isso não quer dizer que esteprograma, assim como os exercíciosincluídos, não possa ser utilizado paraensinar crianças menores ou maiores,dependendo do nível dos alunos e doscaminhos que a conversa tome em cadaaula; podem ser aprofundados aspectosdiferentes de cada exercício e comdiferentes graus de sofisticação matemática.

Neste livro, além das sugestões dosprofessores Bob e Ellen Kaplan, podemosencontrar uma multiplicidade de narrativasdos próprios educadores recontando osproblemas matemáticos que aprenderamcom os professores Kaplan, durante aprimeira capacitação dada por eles no Brasil(Porto Alegre, 29 de julho a 2 de agosto de2013). Cada educador contou o problemado seu jeito. Esperamos que, lendo asdiferentes versões, cada educador construao seu próprio jeito, adequando osproblemas ao perfil dos seus alunos ealunas. Ao longo das narrativas doseducadores, vocês irão encontrar caixas deconversa com comentários e assuntos quevisam a complementar as atividadesdescritas no livro, seja propondo arealização de reflexão quanto ao conteúdoapresentado e as diferentes formas deadaptá-las para a sala de aula, sejaexplicitando quais características a atividaderelatada desenvolve.

Dentro do espírito deste livro, de servircomo um Guia para as Aulas, é importantemanter em mente todos os fundamentos daabordagem pedagógica do LIVRO 1 –repetidas mais adiante –, como as diretrizesde atuação em sala. Lembrem-se de recorrer

sempre que necessário às recomendaçõesdos professores Kaplan; voltem ao livro,releiam a introdução e as diferentesperspectivas de abordar as atividades.Reflitam sobre as singularidades de cadaturma e como adaptá-las de forma a tornar amatemática cada vez mais atraente paraseus alunos.

É positivo notar que cada sala de aula é umaexperiência única, o respeito ao ritmonatural das turmas é essencial. Lembrem-seque o foco é a criança, não o conteúdo a serpassado. Sejam flexíveis, ajustem o materialàs necessidades de cada turminha,respeitando o nível de entendimento dosalunos e estimulando-os a sempre dar umpasso à frente. À exemplo de Ellen e Bob,recebam bem seus novos amigos no mundoda matemática, tornem os momentos doCírculo da Matemática do Brasil algoagradável, como uma conversa entreamigos. “A dinner table conversation”, comodiria Bob.

Não tenham dúvidas de que surgirãodificuldades, fiquem atentos à realidade dasescolas e de seus alunos. Quando frustrados,compreendam a situação de cada um,entendam o impacto que a sua atenção temna vida dessas crianças. A atenção de umadulto que escuta e valoriza o que a criançafala tem impacto direto na autoestima delae na forma como ela enxerga a vida, e quemaravilha quando esse adulto que escutatem tanta coisa interessante para conversartambém! Mantenham em mente que nemtodos os alunos têm uma estrutura familiar eque alguns problemas de comportamentopodem ser fruto da falta de estabilidade doambiente ao qual essas crianças estãoexpostas. Mantenham seu entusiasmo paraensiná-las, certamente seu humor serácontagiante ao longo dos encontrossemanais. Lembrem-se: atenção + respeito +firmeza fazem toda a diferença, afinal, o quemais vocês esperariam vivenciar com seusmais novos amigos para toda a vida?

Como usar este livropor Àngels Varea

A ABORDAGEM PEDAGÓGICA 13O CÍRCULO DA MATEMÁTICA DO BRASIL – GUIA PARA AULAS II

Uma abordagem é sempre algo difícil detransmitir, pois demanda uma apropriaçãoque na maior parte das vezes vem com avivência do dia a dia. No entanto, durantenosso primeiro workshop fomos capazes deidentificar e apontar diretrizes daabordagem vivida no Círculo da Matemáticado Brasil. Este texto é uma inspiração de taisdiretrizes e do post “Qual o significado dosmandamentos pedagógicos do Círculo daMatemática” do blog do Círculo.

Diga-me e eu esquecerei, pergunte-me e eudescobrirei. Esse é o mote principal daabordagem pedagógica do Círculo. Mas porque ele é tão importante? Existe muita coisapor trás do simples perguntar. Fornecer àcriança uma dúvida, em oposição a umainformação que ela deve absorver, éreconhecer a importância da autonomiapara a formação das pessoas. É priorizar aliberdade pessoal na construção doconhecimento no sentido de respeitar aindividualidade do ser humano; ritmos deaprendizado são diferentes, a experiênciapessoal de cada um influencia na linguageme no formato de apresentação do conteúdoa ser repassado. O reconhecimento daindividualidade de cada um, respeitandoritmos, reconhecendo diferenças, incluindoas crianças como agentes de construção doconhecimento são características dapedagogia do Círculo da Matemática efazem parte da proposta de humanizaçãodo ensino.

Existe muita beleza por trás do perguntarincessante e do esforço para que as criançasobtenham suas próprias respostas. Primeiro,porque a resposta conquistada é símbolo daautonomia fortalecida de cada um e temimpacto direto na autoestima da criança. Porisso é mais valorizada do que a informaçãoentregue sem reflexão. Segundo, porque oaprendizado volta a focar no mais importante:o indivíduo. As prioridades nos encontros doCírculo da Matemática do Brasil são a pessoa ea sua jornada para o conhecimento. Oconteúdo é apenas o meio para promover odesenvolvimento pessoal e social de cada um.

Além de servir como meio de motivação daautonomia, o perguntar incessante tambémleva a uma promoção da socialização edemocratização em sala de aula. Isso ocorreporque mais que ter a função de instigar, asperguntas funcionam como ferramenta deinclusão. É responsabilidade do educadordo Círculo da Matemática do Brasil provocara participação de todos no processo deaprendizado, incluindo os mais dispersos,nas atividades realizadas em sala. Por trás dainclusão e da importância dada à percepçãode todos, há o elemento de realização evalorização da democracia. A mensagemque se passa é que todos são importantes etodos devem ser ouvidos e, acima de tudo,devem ter sua opinião respeitada. É por issotambém que erros são bem-vindos eincorporados durante as sessões deencontro com os estudantes.

A abordagem pedagógicapor Bárbara Barbosa

O erro é elemento essencial para oaprendizado, e é incorporado e valorizadona sala de aula. Ele ajuda a construir oraciocínio para se chegar até a respostacerta. E é por isso que qualquer contribuiçãonas sessões do Círculo, até mesmo chutes,são escritos na lousa, para que todospercebam que a opinião de todo mundoimporta. Os palpites para a resposta sãovalorizados; isso deixa os alunos à vontadepara participar e demonstra às crianças quehá valor em sua participação. Mas, mais doque isso, a atenção dada a todos os palpitesfunciona como ferramenta de empatia. Aoescrever um palpite no quadro e perguntarde onde veio tal palpite, uma chance écriada para que todos sejam capazes deentender a construção do raciocínio alheio,criando laços de confiança entre os alunos.

Mas, além da construção desse laço deconfiança entre alunos, é importante queexistam os mesmos laços entre professor ealuno. É encorajado que o professor saiba osnomes de seus alunos e os trate pelo nome.Os envolvidos nos encontros devem sentirsua individualidade reconhecida e o nome fazparte da identificação pessoal de cada um.Outro meio de fortalecer laços entre professore aluno é a demonstração de existência dedúvidas por parte do professor. Nas aulas doCírculo os professores demonstram dúvidas einsegurança quanto às respostas frente aoconteúdo. O erro cometido em frente àturma leva a uma naturalização do erro. Este

também é mais um meio de demonstrarpara as crianças que o conhecimento éconstruído, não dado, e que o erro faz partedo caminho para se chegar à resposta certa.Mas, mais importante de tudo, é umcaminho de mostrar aos estudantes queninguém sabe a resposta de tudo. Ahumanização do professor, via possibilidadede erro do mesmo, é um elemento queencoraja o questionamento a todo o tempo.O intuito é capacitar os indivíduos para quebusquem o motivo das coisas, em oposiçãoa aceitar fatos sem questioná-los, e para quesejam capazes de entender que figuras deautoridade também erram.

A abordagem do Círculo da Matemática doBrasil busca cultivar o que há de maishumano nas pessoas, como a empatia, viainclusão de percepções diferentes pararesolver uma questão proposta em sala deaula. Como a imaginação, exercida tantopelos alunos quanto pelo professor, querealiza atividades com apelo lúdico e queexigem o exercício de reflexão envolvendotons de fantasia. Como promoção dacooperação, que gera laços de solidariedade,por meio da inclusão e da atenção dada atodos os envolvidos, em oposição àpromoção de um espírito competitivo dentrode sala de aula. E é por isso que durante osencontros semanais todos aprendem,porque todos fazem parte do processo deconhecer uns aos outros e de desvendar omaravilhoso mundo da matemática.

“Diga-me e eu esquecerei,pergunte-me e eu descobrirei.”

DIRETRIZES E PROCEDIMENTOS DA ABORDAGEM 17O CÍRCULO DA MATEMÁTICA DO BRASIL – GUIA PARA AULAS II

O PERGUNTAR INCESSANTE1. Tenha a sensibilidade de colocar a pergunta certa na hora certa. Algumasvezes coloque questões ambíguas: metade do caminho para aprendermatemática está em adivinhar como se pode responder a uma questão.

2. Seja paciente. Cada um tem seu ritmo. As crianças precisam de tempopara pensar e para responder. Não apresse os resultados.

3.As questões devem estimular as crianças a expor suas ideias. Pense: comofazer perguntas estimulantes? Não há receita, depende do contexto.

4. Chame as crianças pelo nome. O perguntar incessante antes de tudoreconhece a individualidade das crianças. As crianças gostam denúmeros, mas elas mesmas não são números.

5. Existe uma “coreografia do ensino”, própria ao Círculo da Matemática.Acelere até chegar ao clímax e então pause. Use a linguagem:

3“o que você acha disso?”

3“que ideia bacana!” (sem ser excessivamente entusiasta)

3“eu acho que você pode estar certo”

3“eu também não sei” (mesmo que saiba, apenas como sinal de empatia).

6.O perguntar deve promover a interação estratégica entre as crianças.Quando uma criança erra a resposta, pergunte o que o/a colega acha.Pergunte também quando ela acerta. Promova a interação, deixe a elas aautoridade do responder na prática.

7.As questões devem ser simples. Não precisa usar “linguagem de bebê”,mas ela deve ser clara e simples. Muitas vezes, no entanto, os alunos nãoentendem. Não há problema, siga refraseando até que o que está sendodito fique claro para todos (isso também é um modo de ampliar ovocabulário matemático dos seus alunos/as).

OUVIR DE VERDADE8.Muitas vezes os/as professores/as têm uma atitude preparada para ouvir,mas não conseguem dar materialidade a essa ação. Para que issoaconteça, registre no quadro todos os tipos de respostas, incluindo,principalmente, as erradas. Não é porque o aluno/a errou que ele ou ela émenos importante. Todas as respostas devem ser escutadas e registradas.

9.Desconstrua para construir. Não se preocupe demasiadamente com otempo e com as metas (não que elas não sejam importantes, mas nãodevem ser atingidas apenas formalmente), o foco deve ser a qualidade doprocesso que você está construindo.

10. Seja um bom, ou boa, ouvinte. Muitas vezes, ensinar é confundido comfalar, quando escutar é tão ou mais importante.

Diretrizes e procedimentais da abordagemAbaixo, temos a sistematização de pontos procedimentais que podem ajudar na vivência da abordagem pedagógica do Círculo da Matemática do Brasil

11. Simplifique tanto quanto possível questões complexas. Traduzapensamentos complexos em pensamentos simples. Ajude seusalunos/as a entender os problemas dando a eles uma ponte de acessoa maneiras mais simples de pensar.

12. Traduza as respostas em uma linguagem que tenha um equivalentematemático, assim fica mais fácil de registrar a participação das criançasem termos concretos e é um modo de incluí-las.

13.Não elogie diretamente as crianças quando elas acertam. Elogie suaparticipação. Elogie quando o resultado certo é atingido. Exemplo:“Muito bom, então, o que isso sugere?”.

A ORGANIZAÇÃO DO QUADRO14.Dê flexibilidade ao seu quadro: mantenha em lugar destacado o

raciocínio principal, auxiliado por outras partes do quadro. Nãosubdivida o seu quadro, dê organicidade a ele.

15.Não se esqueça de registrar todas as respostas das crianças no quadro,pois o quadro também é das crianças.

16.Deixe alguns resultados certos no quadro quando estiver perguntando,de tal modo que as crianças possam responder às suas questõesbuscando-os no quadro. O seu quadro pode parecer bagunçado, masele deve ter uma lógica.

O ERRO17.O erro é bom. Respostas erradas são muito bem-vindas. Registre todas

as respostas erradas como seu ponto de partida para organizar opensamento seu e o da classe em direção à resposta correta.

18.Use o erro pedagogicamente para organizar o pensamento de seusestudantes. Respostas muito erradas são muito boas como úteis pontosde partida.

19.Não tenha medo de errar – de fato, faça alguns erros intencionais, poisisso pode revelar o entendimento dos estudantes e relaxar o clima.

ESTRATÉGIAS INCLUSIVAS20. Se você escutar, registrar as respostas, receber bem os erros, isso vai

ajudar muito na inclusão dos alunos/as. Mas se os estudantes nãoparticiparem, tente cativá-los, fazendo perguntas simples a eles, do tipo“qual é o seu número favorito?”, “qual a cor que você quer que usemospara pintar... algo no quadro?”, e assim por diante.

DIRETRIZES E PROCEDIMENTOS DA ABORDAGEM 19O CÍRCULO DA MATEMÁTICA DO BRASIL – GUIA PARA AULAS II

21. Respeite a diversidade. Cada criança deve avançar dentro de seupróprio ritmo. Mas não respeite mau comportamento, crianças rudes,exibidas. Não promova um ambiente competitivo permitindocomportamentos não cívicos das crianças.

22.Diversifique os problemas e as questões. Se você vê que um problemaé muito difícil, tente um outro problema diferente e retorne a umaversão simplificada do problema difícil mais tarde (o uso da “máquinade funções” é sempre uma boa alternativa para dar uma quebra comuma regra fácil e recuperar as crianças “perdidas”).

23. Se o ambiente for hostil, introduza questões bem gentis, para mostrarque a conversa não é “perigosa”, do tipo “como devemos chamar ovencedor dessa corrida?”.

O FIM24.Quando você se aproximar do fim, retome o caminho lógico que vocês

seguiram para chegar ao resultado. Enfatize os pontos importantes.

25. Simplesmente chegar aos resultados corretos não é o fim, ou objetivo,de tudo. O segredo está na construção do processo. Brinque com oresultado. Não termine o problema com a resposta certa, extrapole,invente, aplique o resultado. Pergunte se existem outras formas de sechegar ao mesmo resultado. Tente terminar em uma nota alta com umaquestão aberta: “Vamos imaginar o que pode ser feito com esseresultado na próxima aula”.

OS NÃOS26.Não se deve focar a aula como sessões de cópia do quadro, sem o

devido pensar. As crianças devem focar o pensar, não o copiar.

27.Não seja escravo/a dos conteúdos. Simplesmente passar pelo materialnão deve ser nossa prioridade (ver ponto 9). A nossa prioridade deveser estimular o interesse das crianças em pensar matematicamente.

AS SUTILEZAS28. A maior ênfase deve ser na promoção da imaginação das crianças e

daquilo que elas estão sentindo. Por isso é importante saber quais sãoos pontos difíceis e os pontos de acesso à matemática para cadacriança.

29.Quando formalizar? No momento em que você julgue que sem o rigora discussão ficará muito solta – mas não quando o rigor puder matar adiscussão.

30.Você precisa julgar quando você passou por um ponto sem ele ficarclaro para todos, ao mesmo tempo em que você não deseja que ele setorne repetitivo a ponto de ficar chato para todos.

“Será que tudo isso é muito para memorizar? Relaxe. Você irá se divertir, com aqueles que serão seus amigos/as para toda a vida.”

FOTO FULANO DE TAL E QUAL

A BAILARINA 21O CÍRCULO DA MATEMÁTICA DO BRASIL – GUIA PARA AULAS II

1. OBJETIVO3Identificar padrões nos “passos” que a bailarina desenvolve sobre a reta;

3Trabalhar a forma intuitiva da adição e subtração (números crescem paraa direita e decrescem para a esquerda);

3Introduzir a ideia inicial de que há números menores que zero.

2. PLANO SUGERIDOBasicamente esta atividade pode ser desenvolvida de quatro maneirasdiferentes, em horas distintas, para que fique bem claro para a criança opropósito do jogo. Seguem na ordem as atividades, com as devidasilustrações correspondentes:

1a) Identificando PadrõesA bailarina começa no ponto 0. Após ela se preparar para o primeiro salto,ela atinge a posição 2. Durante o salto ela consegue dar um giro no ar eatinge a posição 4. E assim ela vai saltando e dançando. Qual a posição queela parou depois da posição 4?

Observação sobre a atividade: intervalos e quantidade de saltos podem servariados. Ainda, depois de verificado que a turma obteve um bomentendimento, pode-se generalizar a questão e perguntar à turma: “E se abailarina desse mais 10 saltos, em que posição ela pararia?”.

A reta da bailarina é uma das atividades base recomendadas no Círculo.Com a reta você pode ter uma ideia do nível geral da turma quanto aoconhecimento do posicionamento dos números.

Não deixe de envolver a turma para pensar na reta. O próprio processo dedesenhar ela no quadro é uma ótima oportunidade para entender até ondevai o conhecimento dos alunos.

2a) Somando na RetaAqui, desenvolve-se a soma na reta numérica deixando claro, por meio deexemplificações, que os números crescem para a direita. O exemplo refere-se à conta 2 + 3 = 5. A bailarina sempre inicia suas danças na posição zero.Supondo que ela avance diretamente para a posição 2 e após isso dê mais 3 saltos à direita, que posição ela atinge?

3a) Subtração na RetaA diferença aqui é que devemos deixar claro que os números decrescempara a esquerda. Nosso exemplo ilustra a conta 6 – 4 = 2. Neste caso, assimcomo na adição, a bailarina começa sua coreografia sobre a posição 0. Apartir daí ela consegue fazer um supergiro que atinge a posição 6. Apósesse passo, ela retorna para a esquerda 4 posições. Que posição ela atingeno final?

4a) Descobrindo números menores que ZeroNesta atividade, conversaremos com as crianças sobre a possibilidade deexistirem números à esquerda do zero. Questionaremos se é possível umnúmero ser menor do que o zero.

A bailarinapor Guilherme Betto

0 2 5

0 2 6

?

0 2 4

Nós somos muito democráticos no Círculo. Seus alunos não gostam debalé? Tente incorporar um personagem que os interesse. Peça sugestões.

Quais outros conteúdos podem ser desenvolvidos utilizando a reta dos números?


A bailarinapor Viviane Beatriz Hummes

-9-10 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-9-10 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-9-10 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

É importante lembrar que quem toma as decisões em sala de aula são osalunos. Como descrito nesta atividade, busque sempre perguntar para osalunos qual próximo passo deve ser tomado. Mostre às crianças que elastêm o controle sobre a situação. Para que lado a bailarina deve virar?Quantos saltos ela deve dar? Se ela ficar cansada, ela dá saltos menores?E quando ela quer descansar, qual é o melhor número para tirar umcochilo? Quantos números faltam para o número do cochilo? Quanto issosignifica em saltos? Seja criativo com as suas perguntas, você pode sesurpreender com as respostas.

Que tal pensar em outras formas de usar a reta dos números em sala de aula?

Se você quiser apresentar números múltiplos e a possibilidade de umnúmero ser múltiplo de mais de um número, você pode realizar uma corridaentre duas bailarinas que, quando saltam, alcançam distâncias diferentes.

Quantos conteúdos diferentes você consegue pensar que podem serapresentados utilizando a reta dos números?

As avaliações externas, como o Saeb e a Prova Brasil, e os ParâmetrosCurriculares Nacionais avaliam e indicam que identificar a localização denúmeros na reta numérica é um objetivo que deve ser abordado comalunos desde as séries iniciais do Ensino Fundamental até o Ensino Médio.

Conduzir o aluno para que ele compreenda a representação geométricados números naturais e dos números inteiros em uma reta numerada,organizados em uma sequência crescente, muitas vezes é tarefa difícil paraos professores das séries iniciais.

Os professores Bob Kaplan e Ellen Kaplan propõem uma atividade quesugere uma maneira de abordar este conceito com crianças das sériesiniciais. De uma maneira lúdica e divertida, os professores fazem uso de gize quadro-negro para explicar às crianças a ordem e a localização dosnúmeros na reta numérica.

A atividade dos professores Kaplan, que aqui chamamos de Bailarina,consiste em trabalhar a habilidade de o aluno localizar números positivos,negativos e o zero na reta representativa dos números inteiros.

Os professores Kaplan desenham uma reta numerada no quadro-negro ecolocam uma bailarina em um dos pontos. Então, contam uma história deque essa bailarina gosta de saltar de um ponto para outro. Assim, paratestar a habilidade da bailarina, iniciam perguntando aos alunos quantospontos eles querem que a bailarina salte e qual é a direção que osestudantes gostariam que ela andasse.

Por exemplo, se a bailarina está no ponto zero e os alunos pedem que elasalte sete pontos para a direita, então a bailarina sai do 0 e vai parar noponto 7. Agora, a bailarina está no ponto 7 e os alunos solicitam que elasalte três para a direita, então ela vai parar no ponto 10. Se algum alunosugere que ela salte onze números para a esquerda, ela vai parar no ponto -1. Seguem ilustrações desta situação ao lado.

Esta atividade pode ser um meio de explorar a habilidade de o alunoperceber a disposição dos números inteiros na reta numérica,compreendendo que há uma ordem lógica de organização desses númerosna reta. Nesse sentido, os professores Kaplan fazem uma variação destaatividade: os alunos dizem o número que eles querem que a bailarina pareao saltar e depois devem descobrir qual a direção que a bailarina terá que ire quantos saltos ela terá que dar. Por exemplo, a bailarina está no ponto -1 eos alunos querem que ela pare no ponto 6, então os professoresperguntam quantos saltos e em qual direção a bailarina terá que andar parachegar ao ponto 6.


Da experiência em salapor Raphael Gomes de Oliveira

“(...) fizemos a reta com umapersonagem do desenho 'MonsterHigh', todas elas riram do meu desenho,mas consegui manter minimamente aatenção delas. Mas algumasapresentavam dificuldades emrealmente saber a ordem de grandezados números e, em alguns casos, até oordenamento deles. Não consegui fazeros saltos, então, fui tentando ver se elasconseguiam completar a reta com osnúmeros que faltavam; enquanto umadelas conseguiu listar vários, outrasainda estavam confusas sobre o querealmente estávamos fazendo.

E quando vi que meu tempo estava porterminar, lancei uma pergunta paratodas me responderem: "Será que adistância (ou tamanho da reta, não merecordo exatamente o termo) entre o90 e o 100 é a mesma que entre o 20 eo 30?". A resposta rápida e geral foi "não,porque 90 e 100 são bem maiores".Repliquei perguntando "Será? Quantosnúmeros têm entre cada intervalo (nãofoi exatamente essa palavra)?". Meutempo estava realmente no fim, e pedipra que pensassem e merespondessem na próxima aula; nessemomento, algumas já se dispersaramarrumando seu material e, enquantoisso, vi uma delas contando nos dedoscom uma cara espantada e me disse:"fessor, é a mesma coisa, porque tem 10números entre o 20 e o 30 e 10números entre o 90 e o 100".

Alguns instantes depois, o sinal tocoucomo se fosse o apito do juizdecretando o fim do jogo. Fui emboracom a sensação de que tinha feitoaquele gol que aos 45 do segundotempo garante ao menos o empate.”

FOTO FULANO DE TAL E QUAL

O interessante da aplicação desse método é registrar no quadro todas assugestões citadas pelos alunos. Quando o estudante nota que o que ele dizé levado em consideração, e que ele é importante para a construção doresultado, o mesmo se sentirá mais estimulado a participar da aula.

A forma adotada para expressar a explosão (BOOM!!, KAPLUM!!, KABANG!!,POW!!) não está preestabelecida, vai de acordo com o som emitido pelaclasse, e cabe ao professor orientá-la de que, quando ocorre a soma de 10pontinhos na casa das unidades temos 1 dezena, a junção de 10 pontinhosna casa das dezenas tem 1 centena, e assim sucessivamente, facilitando acompreensão dos alunos.

De forma resumida, incentivar a participação do aluno na aula de umamaneira espontânea, sem menosprezar toda e qualquer sugestão, écontribuir de maneira igualitária para a construção do conhecimento deforma mais leve, menos opressora e menos excludente. O intuito não é sófazer esses alunos adquirirem gosto pela matemática, e sim compreendê-lade forma a ajudar em sua melhor formação escolar. Para que assim, commuito trabalho e comprometimento, melhoremos juntos a realidade daeducação em nosso país.

“Os exemplos utilizados em sala de aula vão surgindo conforme a sugestãoda classe.” Carlos Antonio Alves dos Santos

PONTOS EXPLOSIVOS 27O CÍRCULO DA MATEMÁTICA DO BRASIL – GUIA PARA AULAS 2

É fato, afirmar que toda a metodologia dos professores Bob e Ellen Kaplan,com base no “Diga-me e eu esquecerei; pergunte-me e eu descobrirei”),contribui bastante para a quebra de um paradigma que se propaga pelasociedade há longos e longos anos: o da aversão a Matemática. Isso porquese trabalha com as crianças de uma maneira distinta da convencional, que éinstigá-las a participar da construção do aprendizado.

Uma das aplicações dessa metodologia consiste na adição com pontinhosonde são utilizados pontos como representação numérica de forma distribuídaem Unidades, Dezenas, Centenas, Milhares, etc. em um quadro (Figura 1):

A atividade dos pontos explosivos permite que a adição e subtração degrandes números seja intuitiva. Mostra para os estudantes que eles nãonecessitam saber escrever os números formalmente para saber matemática.Comece com a adição de números pequenos, para que eles possamentender a mecânica da atividade, e vá aos poucos aumentando.

Verifique se eles estão entendendo o que acontece no quadro o tempotodo. Antes de ensiná-los a adicionar com os pontos, ensine-os a escreverusando pontos. Escreva números grandes e pergunte qual deles é o maior e por que.

Pontos explosivospor Carlos Antonio Alves dos Santos

MILHARES CENTENAS DEZENAS UNIDADES

+


+

Além de somar, o que mais podemos fazer com os pontos explosivos?

No exemplo acima temos a soma dos números 355 + 146. Vale ressaltar quedurante toda a aplicação do Círculo da Matemática é possível notar que osprofessores Kaplan levam apenas a base da metodologia a ser aplicada emaula, sendo que a construção de todo o problema e sua devida solução sãodadas de acordo com o que foi proposto pelos alunos (neste caso, ascrianças de séries iniciais). Ou seja, os exemplos utilizados em sala de aulavão surgindo conforme a sugestão da classe.

Em que consiste tal método de adição com pontinhos? De fato, para seprender a atenção de uma criança, devemos usar imagens, desenhos,barulhos, algo que torne interessante a aula e estimulante sua participação.Nesse caso, quando feita a soma dos pontos com o auxílio dos alunos(as),chegando ao numero 10, destacam-se os pontos, resultando numaexplosão!! (Figura 2).


5 0 1+

Os pontos restantes descem para a 3º linha (resultado) e o grupo de pontosque ocasionou a explosão se transforma em um novo ponto na ‘’casa’’ aolado (conforme destacado na figura 2). No caso de a soma resultar emnenhum ponto, significa dizer que temos o número 0 como resultado. (Fig.3)

PONTOS EXPLOSIVOS 29O CÍRCULO DA MATEMÁTICA DO BRASIL – GUIA PARA AULAS II

A brincadeira dos pontos explosivos tem como objetivo ensinar a somar deuma forma simples e divertida. Nela, os números são expressos sob a formade pontos que, separados em colunas, representam a quantidade deunidades, dezenas, centenas, milhares, etc., respectivamente, que seequivalem à forma como o número é escrito. Para escrever um númerodesta forma, deve-se desenhar uma tabela composta por colunas para asordens, ou seja, da direita para a esquerda, 1, 10, 100, 1000, e assimsucessivamente, e nas linhas se representará com pontos o número deunidades de cada ordem contidas no número sendo decomposto.Tomemos o número 1345. Ao olhar para ele, vemos que é formado por 5unidades de 1, 4 unidades de 10, 3 unidades de 100 e 1 unidade de 1000.Expressando isso sob a forma de pontos, temos:

Um jeito interessante e interativo de realizar a brincadeira em sala de aula éir perguntando às crianças, conforme escrevem o número no quadro sob aforma de pontos, “quantos 1 tem esse número?”, “quantos 10 tem aqui?”.Pode-se pedir também para que elas escolham quais 10 pontos queremque explodam, deixando-as irem ao quadro para contornar e agrupar ospontos escolhidos. Da mesma forma, é interessante ilustrar cada explosãocom um barulho (como “CABUM” ou “POW”), para tornar a brincadeira maisdivertida e deter a atenção das crianças. A participação delas é essencial, demodo que o professor deve incentivá-las a participar de todo o processo,para que elas mesmas façam as contas, somando de 10 em 10, e cheguemjuntas ao resultado.

Pontos explosivospor Caroline Beatriz Rodriguez de Souza

1345

1000 100 10 1

895

1000 100 10 1

1000 100 10 1

2 2 4 0

Faça perguntas diferentes para garantir a atenção dos alunos:“quantos 1 tem esse número?”, “quantos 10 tem aqui?”.Caroline Beatriz Rodrigues de Souza

O interessante aqui é que, se a criança souber contar até 10, ela conseguiráidentificar com “quantos 1”, “quantos 10”, etc. o número é escrito, mesmoque este seja um número muito grande, uma vez que cada pedaço donúmero sempre terá, no máximo, 9 unidades.

Para somar utilizando-se tal método, deve-se escrever sob a forma depontos na tabela os números que se deseja somar, um embaixo do outro.Por exemplo, se quisermos somar 1345 com 895, temos que desenhar:

Como cada pedaço do número só pode ter nove unidades, temos que,cada vez que em uma coluna sejam formados grupos com 10 pontos, elesexplodem e pulam para a coluna seguinte como um ponto só (uma vez que10x1=10; 10x10=100...). Os pontos que sobrarem na coluna, depois que os10 explodirem, representam o pedaço do número resultante da somareferente à unidade expressa pela respectiva coluna. A figura 3 ilustra oexemplo acima.

Da experiência em salapor Priscilla Perez

“(...) Iniciei efetivamente essa semana com as turmas, já tive 2 aulas com quase todas.Uma das aulas que me chamou atenção é essa da foto. São alunos no 5º ano,começamos a conversar sobre números favoritos, e logo foram surgindo númerosgrandes. Assim que escrevi seus números na lousa, despertei o interesse deles. Equando escrevi "unidade" já foram me dizendo pra escrever dezenas e centenas.Questionei se haviam só esses, eles disseram que, até onde sabiam, sim.

Fomos posicionando os números nas suas respectivas casas e tudo corria muito bem,até que um aluno pediu pra ir ao quadro escrever um número pros outrosadivinharem, como consegui registrar. Ele colocou 2 bolinhas na casa das centenas, 1na das dezenas e 3 na das unidades. Perguntei então se todos haviam entendido quenúmero era aquele e sugeri que colocassem suas respostas no quadro (como na foto).Eles estavam falando "Tia, é 200, 10 e 3", pedi para eles registrarem que número eraesse e aí estão os registros muito interessantes.

Podemos ver que crianças de 5º ano ainda têm certa dificuldade emidentificar/registrar números dessa forma. Indaguei a todos da turma e todos foramdebatendo a resposta, que parecia ser muito simples. Então retornei aos que jáhavíamos feito até que todos berraram "ahhhh, é 213". Isso ocorreu também quandoregistrei o número 460, primeiro eles disseram 46, pois não havia registro na casa dasunidades, depois riscaram o que haviam dito e disseram 460.

Já era professora de Matemática, mas o Círculo está me proporcionando uma novavisão dos meus alunos. Poder utilizar o raciocínio que está por trás dos "erros" dosalunos, de forma paciente, para conduzi-los à forma matemática usual criada por elesmesmos!”


Este é um exercício muito útil e divertido, tanto para ensinar quanto parapraticar soma e subtração, independente do aluno saber escrever osnúmeros ou não.

1. SomaExemplo 1: Suponha que queiramos realizar a conta: 371 + 5024

1° PASSO: Escrever as colunas das unidades, dezenas, centenas, milhares, eassim por diante. Aqui é introduzida a ideia de que cada coluna só pode ternúmeros de 0 a 9, ou seja, cada 10 unidades são uma dezena, cada 10dezenas são uma centena, e assim por diante.

Pontos explosivospor Thalita Hamanaka

1000’smilhares

100’scentenas

10’sdezenas

1’sunidades

1000’smilhares

100’scentenas

10’sdezenas

1’sunidades

2° PASSO: Escrever os números que queremos somar na tabela,representando-os na forma de pontos. Do exemplo, 371 equivale a 300 + 70+ 1, ou seja, 3 centenas, 7 dezenas e 1 unidade.

Envolva as crianças o tempo todo de forma que a matéria seja interessantepara elas, peça números difíceis e grandes. Estimule o palpite sobreresultados antes de realizar a conta. Escreva os palpites no quadro parachecar se algum palpite está próximo ao resultado verificado.

3° PASSO: Somar os pontos de cada coluna.

Assim, temos 371 + 5024 = 5395

5 3 9 5

1000’smilhares

100’scentenas

10’sdezenas

1’sunidades


Exemplo 2: Queremos somar 187 + 24569:

1° E 2° PASSOS:

Assim, temos 187 + 24569 = 24756.

1000’smilhares

10000’sdezenas

de milhares

100’scentenas

10’sdezenas

1’sunidades

1000’smilhares

10000’sdezenas

de milhares

100’scentenas

10’sdezenas

1’sunidades

6

1000’smilhares

10000’sdezenas

de milhares

100’scentenas

10’sdezenas

1’sunidades

6

1000’smilhares

10000’sdezenas

de milhares

100’scentenas

10’sdezenas

1’sunidades

42 7 5 5

1000’smilhares

10000’sdezenas

de milhares

100’scentenas

10’sdezenas

1’sunidades

2. Subtração

Primeiramente, vamos definir as notações. Denotaremos os valores a seremsubtraídos com bolinhas. Cada bolinha “come” um ponto, de forma que umanula o outro. Assim, teremos, por exemplo:

8 - 3 3 - 8 8 - 3 3 - 8

5 - 5

100’scentenas

10’sdezenas

1’sunidades

7 5 5

100’scentenas

10’sdezenas

1’sunidades

7 4 3

100’scentenas

10’sdezenas

1’sunidades

=

Exemplo 1: Comecemos por um caso simples. Se quisermos calcular 785 – 42, temos:

1° E 2° PASSOS: Na subtração, representamos os valores subtraídos comobolinhas, e cada uma delas “come” um ponto.

A subtração requer atenção quanto aos formatos dos pontos, eé um jeito divertido de estender a atividade.

Os alunos adoram vir ao quadro, especialmente para estaatividade. Distribua tarefas que envolvam o quadro entre osalunos mais dispersos, garantindo sua participação.

3° PASSO: Anulando pontos e bolinhas.

Assim, temos 785 – 42 = 743.

3° PASSO E PONTOS EXPLOSIVOS:

Aqui, introduzimos a ideia de que, a cada 10 pontos em uma coluna, háuma “explosão” e estes 10 pontos se transformam em um ponto na coluna à esquerda da anterior.


Exemplo 2: Vamos, agora, calcular 542 – 38.

1° E 2° PASSOS:

Agora, temos que ter em mente que na subtração as “explosões” acontecem“ao contrário”. Nas contas de subtração, as explosões acontecem quando“puxamos” pontinhos para a direita. Por exemplo, quando transformamosuma dezena em 10 unidades. As explosões devem acontecer quando nãohá pontinhos suficientes para as bolinhas comerem. O que nos leva ao 3°passo:

3° PASSO E PONTOS EXPLOSIVOS:

100’scentenas

10’sdezenas

1’sunidades

100’scentenas

1000’smilhares

10’sdezenas

1’sunidades

100’scentenas

10’sdezenas

1’sunidades

100’scentenas

10’sdezenas

1’sunidades

=

5 0 4

100’scentenas

1000’smilhares

10’sdezenas

1’sunidades

100’scentenas

1000’smilhares

10’sdezenas

1’sunidades

100’scentenas

1000’smilhares

10’sdezenas

1’sunidades

=

=

- 90

100’scentenas

1000’smilhares

10’sdezenas

1’sunidades

- 9

100’scentenas

1000’smilhares

10’sdezenas

1’sunidades

=

- 4 - 3 - 90

100’scentenas

1000’smilhares

10’sdezenas

1’sunidades

- 90

100’scentenas

1000’smilhares

10’sdezenas

1’sunidadesAtenção, para a atividade abaixo, os alunos têm que entender a

dinâmica dos números negativos para que ela sejadesenvolvida. Tal atividade é ótima para consolidar oconhecimento da existência dos números menores que o zero.

Assim, temos 542 – 38 = 504.

Vamos, agora, a um exemplo com resultado negativo.

Exemplo 3: Vamos calcular 764 – 5073.

1° E 2° PASSOS:

3° PASSO: Para contas com resultado negativo, as explosões acontecem quando“puxamos” bolinhas, pois, neste caso, não podem sobrar pontinhos. Então, temos:

A MÁQUINA DAS FUNÇÕES 37O CÍRCULO DA MATEMÁTICA DO BRASIL – GUIA PARA AULAS II

A Máquina de Funçõespor Maysa Menezes e Daniela Motta

Crianças são seres bem inventivos, imaginação é algo que elas possuem aosmontes e descobrir é um de seus maiores fascínios. Elas adoram sonsdiferentes, do tipo engraçado que só aquele objeto tem, especialmente seesse som aparecer quando eles falarem algo, imagens curiosas, coisas quepiscam e brilham, histórias inusitadas fazem parte do pensar infantil.

Aprender é algo delicioso, e as crianças amam o aprender, a chance deentender como as coisas funcionam, por que elas são da maneira que são e,quando elas têm a chance de demonstrar como elas se sentem em relaçãoaos aprendizados, algo quase que mágico ocorre, e seus olhos brilham deuma maneira única; elas ficam felizes, tão felizes que essa alegria fica difícilde ser contida dentro de si. Então elas precisam falar e levantar da cadeira edar aquela contribuição mais que calorosa, mesmo que errônea, mas que asfaz se sentirem importantes junto com o que disseram. Cometeríamos umerro se não levássemos em consideração o que a criança diz, pois a sala seilumina quando aquilo faz sentido para elas. A máquina de funções é umagrande maneira de explorar o espírito inventivo das crianças.

Função é um dos conteúdos mais importantes na matemática, masassuntos que envolvem funções se tornaram tão repetitivos que acabaramsendo considerados cansativos, chatos, e isso é tão real para nós que é atédifícil imaginar como poderia ser diferente. Funções, afinal, pior que isso sóse elas forem exponenciais.

Funções são um assunto presente em todas as áreas da vida, e sempreprecisamos delas, mesmo quando não percebemos. De fato, a construçãodo raciocínio que há no conceito de função é uma das relações maisincríveis já realizadas pelo ser humano. Ao longo dos anos aprendemos adecorar, a encaixar números nas funções previamente dadas e a beleza dese descobrir a lógica das funções se torna quase que inexistente. Assim,perdemos o belo que está presente em compreender as funções.

Crianças e Funções... Será que isso combina? Como tornar um assunto tãocomplexo e importante de uma maneira que possa ser divertida para ascrianças, mas que se mantenha o raciocínio bem trabalhado?

Maquinas de Funções!Mas o que são essas máquinas de funções e como funcionam?

A máquina de funções serve para introduzir a intuição das equações. É umótimo “curinga” para os momentos em sala de aula em que os alunos estãodispersos e um pouco cansados da atividade principal. Às vezes, mudar oassunto um pouco ajuda na renovação dos ânimos para entender algumoutro assunto complicado.

Atenção, a máquina de funções exige um quadro extremamente organizado,para que assim os alunos entendam bem o que está acontecendo.

“Peça números às crianças (...) lembrando-se de chamá-las pelo nome, uma decada vez.” Maysa Menezes e Daniela Motta

a)Desenhar no quadro uma máquina ou algo que simbolize uma máquina(pedir às crianças ideias para o desenho);

b) Ao desenhá-la, dizer que aquela máquina tem um segredo que precisaser descoberto por elas;

c)Mostrar, por meio de nomes como “Entra” e “Sai”, que existe um lugaronde colocamos os números na tal máquina e outro por onde saem apóspassarem pela transformação que ocorre dentro da máquina;

d) A seguir, peça números às crianças (lembrando-se de chamá-las pelonome, uma de cada vez, assim como fazem os professores Kaplan), taiscomo: seu número favorito, seu número da sorte, etc.;

e) Escreva no quadro uma tabela simples onde marcará os números queentram e os que saem, claramente, para que possa registrar os númerosdados pelas crianças e as respostas obtidas e para que eles possamconstruir um raciocínio baseando-se no que a tal máquina está fazendo.

f) Anote na tabela todos os palpites, e procure dar a todos eles a mesmaimportância, tarefa difícil já que é bem provável que alguma das criançasvai estar apenas dando palpites à toa.

g) Em certo momento uma das crianças, ou até mais, perceberá o segredoda máquina. Ouça!

h)Questione os demais alunos a respeito da veracidade do segredo e, aseguir, peça às crianças para que o ajudem a fazer as contas para ver se érealmente aquele o segredo da máquina.

i) Se o segredo que foi testado não funcionar, procure incentivá-los acontinuar a procura do segredo que vai solucionar o mistério. Casofuncione, Bingo! Parabenize-os* e vá em frente com as próximas atividades!

>Lembre-se que são as ideias e os esforços pela descoberta que devemser parabenizados e não as crianças.

Da experiência em salapor Karolynne Barrozo

Hoje trabalhei com as turminhas de crianças do 4º Ano: A máquina defunções (ou transformar números!). Eu comecei perguntando quemgostava de videogame, televisão, computador... E todos disseram quesim. Sem hesitar, eu perguntei o que havia de comum em tudo que eucitei. Eles disseram que são aparelhos e máquinas. Eu disse para elesque uma máquina realiza funções, a TV, por exemplo, tem a função detransmitir informações e também pode ser uma forma deentretenimento, assim como os outros recursos citados. E nessaconversa eu falei que eles criariam uma máquina e nessa máquinahaveria um segredo que todos deveriam descobrir. Algumasturminhas me pediram para desenhar máquina de gelo, outros umamáquina de lavar roupas e outra turma a Máquina do Tempo. Sobre aMáquina do Tempo, achei interessante a ideia e eles me ajudaram amontar a máquina, com todo o design, com retângulos, botões eportas. Eles pediram para que eu desenhasse um portal que vinha dopassado e saía para o futuro. E foi aí que tive uma ideia, “que taltrabalhar com eles uma máquina com operações inversas?”. Eucomecei perguntando os números preferidos de todos e assim todosparticiparam. E no exemplo da máquina a função seria x+7. Logo elesdescobriram a regra, mas, como aprendi com Bob e Ellen Kaplan, nãoparei com a resposta certa, mas continuei problematizando eobservando outras possibilidades. Perguntei sobre a possibilidade devoltarmos no tempo e disse: “Os números entraram pelo portal dopassado e saíram no futuro, mas e se eles quiserem voltar, entrar pelofuturo com a finalidade de ir ao passado? Como ficaria?”. Então, com osnúmeros que eles me deram, eu fui invertendo a função e elesperceberam que a função agora era x-7. E assim, eu fui colocando osnúmeros na posição final (no futuro) para a entrada (passado), com afinalidade de eles descobrirem que número entraria.

Dessa forma, eu pude compreender que as crianças do 4º Ano Ademonstraram habilidades de compreensão da transformação de umarelação no inverso. Da compreensão de que adição e subtração sãooperações inversas. Eu ia questionando as crianças sobre suasrespostas e elas me diziam, “a regra no início era aumentando de 7 em7 e agora é diminuindo de 7 em 7”. As respostas das crianças iam mefornecendo dados de como trabalhar com outras possibilidades defunção e, assim, usar as descobertas das crianças como uma forma deestimular o desenvolvimento de diferentes estratégias de resolução deproblemas matemáticos.


A Máquina de Funçõespor Robson Lopes

A Máquina de Funções é um diagrama que representa uma máquina quetem uma entrada, aplica-se a regra como um conjunto de operações efornece a resposta como uma saída. Sua tarefa é determinar tanto o queacontece na entrada, na saída ou o que ocorre dentro máquina. Namáquina de funções pode-se trabalhar com as quatro operaçõeslivremente. Ou combinações entre elas.

Durante a atividade os alunos terão dois números: um de entrada e outrode saída. Cabe ao professor incentivar os alunos a tentarem fazer umarelação entre ambos os números, usando padrões ou linguagemmatemática, relacionando e conectando esses números.

Vejamos um exemplo.

Certifique-se que os alunos entendem a atividade, pergunte a eles o que estáacontecendo.

Escrever a expressão da maneira abaixo com todos os palpites pode ajudarna visualização e entendimento da criança.

Existe uma entrada, 4, um conjunto de operações da máquina, 4 x 2, e umasaída, 8.

Existe uma entrada, 5, um conjunto de operações da máquina, 5 x 2, e umasaída, 10.

Neste exemplo o objetivo é encontrar a operação que foi feita dentro damáquina. Você também pode solicitar tanto o número de entrada quanto onúmero de saída. A máquina de funções é uma forma divertida de praticarmatemática, melhora a comunicação e interação com os alunos, além depôr em prática o ensino da álgebra.1

Convide os estudantes a pensar em uma máquina de funções. Se algum delesse animar em fazer uma máquina para a turma, peça que ele lhe diga o segredono seu ouvido e deixe-o aproveitar a atenção de estar na frente do quadro.

1. A álgebra é área deestudos da matemática

que estuda a manipulaçãoformal de equações,

operações matemáticas,polinómios e estruturasalgébricas (Wikipédia).


Como fazer a máquina de funções1. Desenhe uma “máquina” no quadro. Veja o exemplo abaixo.

Máquinas de funções podem ser desenhadas de muitas maneirasdiferentes, mas a ideia é a mesma.

2. Explique para os alunos que, quando um número entra na máquina, amáquina segue uma certa regra para produzir o número de saída. Otrabalho dos alunos é descobrir o que a máquina fez.

3. Desenhe um quadro com as colunas Entra e Sai. Explique aos alunos queesse quadro é o jeito de acompanhar o que a máquina está fazendo.

Convide um aluno para fazer a máquina no quadro. Ou pergunte a eles qual formato ela deve ter. Não se esqueçade mexer com a imaginação e tornar a aula divertida para osestudantes. A máquina de funções é muito versátil. E se depois de um

tempo você juntar a máquina de funções com a bailarina? Ouos pontos explosivos? Quais outras atividades você podeapresentar em conjunto com a máquina de funções?

4. Peça aos alunos para falarem alguns números para você colocar namáquina.

5. Coloque o primeiro número no quadro, na coluna Entra.

6. Pergunte aos alunos qual número deve sair e escreva no quadro nacoluna Sai.

7. Continue adicionando os números dos alunos no quadro na coluna Entra,logo em seguida coloque os números que estão saindo na coluna Sai doquadro, e deixe os alunos pensarem sobre o que a máquina de funçõesestá fazendo com os números que estão entrando.

8. Peça aos alunos um número para colocar na coluna Sai e pergunte a elesqual número se deve colocar na coluna Entra.

9. Pergunte aos alunos o que a máquina está fazendo. Que tipo deoperação a máquina de funções está executando.

10. Escreva todas as ideias e sugestões dos alunos no quadro.

A máquina de funções é superadaptável. Você pode começar com umafunção bem simples, trabalhando apenas a soma ou subtração.Dependendo do nível dos alunos, qualquer número ou operação pode serutilizado. Além de exercitar álgebra, a máquina de funções também mexecom lógica matemática e o raciocínio dedutivo dos estudantes.

O quadro é o maior instrumento do professor e do aluno nosencontros do Círculo da Matemática. É importante anotar tudono quadro como forma de prender a atenção dos alunos egarantir o entendimento das atividades.

A “brincadeira” pode começar com qualquer número. Mas, se você quiser,pode ir trabalhando indutivamente os pulos, anotando no quadro quaisnúmeros incluem todos. Passa a ser mais interessante quando os númerossomam além do 12. Isso acontece a partir do 5, isto é, quando se pula de 5em 5. Temos assim, 5, depois 10 e depois, com mais 5, 15. Bom, 15 horas, são3 horas, e depois mais 5, vão para 8 horas, e depois para 13, que é uma hora,e assim por diante, até completar todos os números. Então, pode-se fazerpulando de 6 em 6 e assim por diante.

As retas a serem criadas são inúmeras. Depois disso, subentendendo que jáconheçam números simples (0 a 12, por exemplo), sugere-se também quecomecem a registrar os números formadores do relógio com peças dedominó. O objetivo é verificar a internalização de operações como a adiçãoe a subtração (e suas propriedades). Exemplo:

Não se esqueça de envolver os alunos na atividade fazendo perguntasdiferentes a todo o momento. Pergunte qual é o próximo número, qualnúmero eles acham que passa por todos os números do relógio, etc.

RELÓGIO 43O CÍRCULO DA MATEMÁTICA DO BRASIL – GUIA PARA AULAS 2

O objetivo desta atividade é, através da numeração de um relógio, perceberquestões como a existência de número entre números. Os númerosfracionados correspondem aos minutos e esses minutos são compostos desegundos. Pode-se também apresentar ao aluno, a título de motivação, ahistória sobre a origem do relógio.

Para começar, seria interessante apresentar a eles um relógio simples, semnumeração e, a partir disso, fazer a conexão com o que conhecem sobre otempo e de que forma o relógio pode ser dividido em horas.

O Relógio é uma atividade maravilhosa que, assim como a reta dosnúmeros, tem diversas funções. Apresentar a natureza de númerosmúltiplos entre si, possibilitar a introdução da ideia de números primos,pensar em fração e em divisão são algumas possibilidades.

Qual outro conteúdo pode ser utilizado com a atividade do relógio?

O Relógiopor Adriana Santos

E se tivermos um relógio maiorainda, para verificar mais números? Que tal um relógio com 15 números?

Com o relógio construído no quadro, solicita-se que o aluno desenhe umareta que saia de 12 e que percorra cada um dos números do relógio,primeiro de 1 a 1, depois de 2 a 2, etc., sempre perguntando se, fazendoisso, todos os números que aparecem de 12 a 11, no sentido do relógio,participariam. Os alunos podem então concluir que, de 1 a 1, todos osnúmeros participam. Mas pulando de 2 em 2 isso não acontece. E pulandode 3 em 3?

No caso em que se pula de 2 em 2, a reta sai de 12 e chega a 2. Agora, a retadeve sair de 2 e chegar a 4. E assim vai: 4 a 6; 6 a 8; 8 a 10; 10 a 12. É importanteque o aluno perceba que a numeração aumenta a cada duas unidades.

Esta atividade pode envolver outra: “Números entre números”. Será que as horas são compostas por números “fechados”? Como explicar a questão dos minutos e dos segundos? Esta atividade também interagecom a questão das formas geométricas e suas nomenclaturas.

RELÓGIO 45O CÍRCULO DA MATEMÁTICA DO BRASIL – GUIA PARA AULAS II

O Relógiopor Vanessa Rodrigues

O Relógiopor Ítalo Lucas

A atividade do relógio, assim como todas as atividades que seguem aabordagem dos professores Kaplan, requer a capacidade de percepçãodesenvolvida. No entanto, creio que essa exija um pouco mais, levando emconsideração as várias tentativas que os alunos terão que fazer.

Tudo começa quando o professor desenha um relógio na lousa e traz osestudantes para um mundo de percepções e desafios, onde ele dá ao alunoo dever de ligar todos os números e propõe que no fim chegue ao pontoinicial, sem que nenhum número fique fora desse “elo”.

O professor sugere à classe os “pulinhos de tanto que podem ser feitos”cada vez, e assim a turma vai tentando ligar todos os pontos, todos juntos,opinando. Vão existir pulos de números que serão possíveis e outros quenão serão possíveis. Os possíveis são: 1, 5, 7, 11. Os que não são possíveis: 2, 3, 4, 6, 8, 9,10.

Mostre para os estudantes que eles tomam a decisão: quantosnúmeros deve ter o relógio? Pergunte tudo! Por onde começar,quantos números pular, quais números eles acham que passampor todos os números do relógio.

Novamente contando, as crianças verão que o bonequinho volta ao 12 semter passado por todos os números.

As tentativas continuam e, em cada passo/pulo, o professor questiona se opróximo vai funcionar.

Com isso, as crianças são estimuladas a buscar a regularidade ”escondida”,nos números que não funcionam.

Além disso, para os números que não funcionam, o professor desenha ospassos; com isso, estrelas vão se formando no desenho, como na figura:

Depois, o professor pode deixar que os alunos mais introvertidos escolhamoutros números e repetir o procedimento.

O objetivo é que os alunos descubram que os números que não funcionamnão têm divisores comuns com o número do relógio, isto é, eles sãorelativamente primos ou primos-entre-si.

O professor desenha, na lousa, um círculo. Questiona os alunos o que podeser o desenho e, depois, conta que é um relógio.

Por ser um relógio, o primeiro número a ser escolhido é o 12.

O professor desenha um bonequinho no número 12 do relógio e faz aseguinte pergunta:

“Que tamanhos de pulos o bonequinho (do qual as crianças escolhem o nome) pode dar passando por todos os números do relógio?”

A pergunta pode parecer confusa, a princípio, mas o professor explica:

Se o bonequinho der pulos de tamanho 1, ele passará por todos osnúmeros antes de voltar ao 12?

Contando, as crianças poderão ver que sim, portanto 1 funciona.

E com pulos “2”?

?

Da experiência em salapor por Viviane Hummes

Na semana passada, eu trabalhei a atividade do relógio com minhas turmas. Ointeressante é perceber a quantidade de variações que podemos fazer com estaatividade. Para cada turma a atividade tomava um rumo diferente.

Inicialmente, eu desenhava o relógio e a figura de um personagem posicionada nonúmero 12. Como eu desenho muito mal e, muitas vezes, perco a atenção dos alunosao demorar a desenhar, resolvi fazer um boneco palito. Chamei-o então de Sr. Palito epara cada turma contava uma história, dizendo que ele era muito magro porque davamuitas voltas em torno do relógio. Continuava a história dizendo que o Sr. Palito eraum sujeito metódico e que a cada volta ele tinha que passar por todos os números eretornar para o número 12, não importava quantas voltas fossem necessárias dar.Quando isso acontecia ele ficava imensamente feliz, mas quando ele não passava portodos os números o Sr. Palito ficava muito triste e chorava.

Então, iniciávamos as voltas em torno do relógio, primeiramente, indo de 1 em 1,depois de 2 em 2, de 3 em 3, etc. Assim, esbocei uma tabela de duas colunas, ondenuma registrava os tipos de passos do Sr. Palito e noutra fazia uma carinha, feliz :Dquando o Sr. Palito conseguia e triste :( quando ele não conseguia passar por todos osnúmeros. Sempre fazendo questionamentos do tipo: por quantos números o Sr. Palitopassará se ele for de 1 em 1, de 2 em 2, de 3 em 3, etc.? Nessas situações, ele iráconseguir passar por todos os números? Ficará feliz ou triste?

Em algumas turmas as reflexões foram mais profundas, já em outras, que talvez nãotenham se alongado muito nos questionamentos, consegui avançar e testar todos osnúmeros até o 12; outras, ainda, não se aprofundaram nos questionamentos edemonstraram um pouco mais de impaciência e dispersão. Nesses momentos, pararesgatar a atenção dos alunos, fiz uma máquina de funções. Para aproveitar opersonagem do relógio e relacionar com a ideia, desenhei uma máquina de funçõesque era um carro e cujo motorista era o Sr. Palito. Os alunos adoraram isso. É incrívelver como eles se interessam em conversar sobre algum personagem fictício. Eles"viajam" muito nas histórias...

À medida que as turmas foram indo e vindo, surgiu uma turminha que tem um alunoque se destaca. Aquele aluno experto para o qual sempre temos que achar estratégiaspara que ele não dê todas as respostas. E, como não poderia ser diferente, este meninofoi o único que apresentou respostas mais rebuscadas frente aos questionamentos.Por exemplo, no caso do Sr. Palito andar de 5 em 5, fui desenhando os traços que opersonagem fazia ao andar de 5 em 5, primeiramente do 12 para o 5, depois do 5 parao 10, então do 10 para o 3. Neste momento, perguntei se o Sr. Palito conseguiria andarpor todos os números e este aluno respondeu-me que sim e que, além disso, o Sr.Palito daria mais 9 passos, pois faltavam 9 números para retornar até o número 12. Osoutros colegas desta turma não entenderam muito bem a colocação do colega, masconcordaram, pois normalmente este aluno acerta tudo. O mais interessante éobservar as relações que os alunos fazem nessas situações.

De maneira geral, as turmas gostaram muito desta atividade. Mas é claro que a maiorparte dos alunos, mesmo gostando, apresenta uma conduta dispersiva e, muitas vezes,não se concentra durante as aulas, deixando de aprofundar as reflexões e aprimorarseu conhecimento.

O LABIRINTO 47O CÍRCULO DA MATEMÁTICA DO BRASIL – GUIA PARA AULAS II

Desenhe uma figura com cinco quadrados por cinco quadrados (5x5). Estaatividade consiste em fazer um caminho de modo que se passe por cadaquadradinho apenas uma vez na figura abaixo, em linha horizontal ouvertical, começando em um ponto marcado.

O Labirintopor Manoela Franco, Nayara Neves e Tadeu Cordovil

Com esta atividade, busca-se despertar o interesse do aluno em procurarvárias alternativas para a solução de um problema. Ao incentivar as açõesdas crianças, o professor permite que elas continuem tentando encontrar asolução. Ao chegar ao final da primeira solução, pode-se continuar, não épreciso parar por aí, pois outros caminhos podem ser descobertos. Ter oproblema do labirinto 5x5 resolvido é um dos resultados desejáveis ao finalda aula. Mas conseguir a participação de todos, ou da maioria, ver neles avontade e o desejo de resolver o problema percebendo expressões dedúvida, curiosidade e manifestações de esforço do raciocínio sempre será oobjetivo principal.

O professor pode desenhar vários quadrados 5x5 na lousa e pedir que osalunos tentem as diferentes formas de caminhos, iniciando a partir dedeterminado ponto. Depois, deve-se usar todos esses desenhos paradiscutir o que foi feito. Melhor evitar dar essa atividade em uma folha, paraque ela não seja um evento isolado, mas sim uma atividade em comum,que todos podem fazer na lousa, mesmo que o grupo tenha que se revezar,dependendo do tamanho da lousa. Não fique nervoso(a) com a bagunçaque isso pode gerar, pois faz parte do divertimento!

O labirinto é uma atividade muito envolvente, estimula o raciocínio lógico etrabalha com a identificação de padrões. Estimule seus alunos a tentar todosos quadrados. Se houver poucos alunos na sessão, convide-os para brincarno quadro, eles adoram a atenção.

Atenção: faça o primeiro junto com eles, para que eles entendam o princípioda brincadeira.

Da experiência em salapor Samanta Stein da Silva

Falando em labirinto, em uma das turmas, depois de os alunos tentarem várias vezespassar por todas as casas começando pela segunda casa, chegaram à conclusão deque não era possível. Perguntei, ‘mas por quê?’. A resposta de uma aluna mesurpreendeu: ‘Acho que tem a ver com a quantidade de casas em cima e embaixo dacasa que começamos. Se tem número ímpar de casas em cima e embaixo, não épossível. Mas se tem número par de casas em cima e embaixo, conseguimos fazer ocaminho.’ Perguntei aos outros: ‘O que vocês acham disso?’. Logo, alguém respondeu:‘Acho que precisamos testar em outras casas onde isso acontece para termos certeza.’Começamos a testar, mas infelizmente o tempo de aula terminou. Me surpreendeu oraciocínio para demonstrar que eles apresentaram! Tinham uma hipótese, mas sabiamque não podiam afirmar sem ter mais precisão.


Depois pode-se sugerir que eles façam o caminho a partir do ponto central:

E finalmente é lançado o desafio: fazer o caminho começando peloseguinte ponto:

Lance um desafio: pergunte aos alunos quantas maneiras diferentes elesconseguem de andar por todos os quadrados saindo de um único ponto.

O labirinto é uma atividade que demonstra claramente que pessoasdiferentes podem tomar caminhos diferentes e chegar ao mesmo ponto.Como fazer seus alunos chegarem a esta mesma conclusão?

E agora? Será que é possível? O que os alunos vão achar?

A partir desse ponto os alunos podem tentar os caminhos mais diferentespossíveis para tentar encontrar uma solução. Então, surgirão os maioresquestionamentos: o ponto inicial determina se é possível solucionar oproblema? E se tentarmos iniciar a partir de outros pontos?

A realização dessa atividade permite inúmeros questionamentos da partedos alunos. É um problema que lhes dá a liberdade para que eles mesmostentem resolvê-lo de inúmeras formas possíveis.

Uma das principais formas de incentivo utilizada pelos professores Kaplan éconhecida na pedagogia como o reforço positivo. O reforço pode serqualquer evento que aumente a frequência de uma reação precedente(Myers, 1999). Desta forma, o reforço pode ser despertado por uma série deações, como um elogio, uma salva de palmas ou simplesmente um “what agreat idea!” (“que ideia legal!”).

A primeira tentativa pode ser começar a desenhar o caminho através deste ponto.

Assim, alguns dos caminhos possíveis seriam esses:


O professor desenha na lousa um quadrado (5x5) formado por 25quadrados congruentes e propõe aos seus alunos um jogo. O objetivo éperpassar todos os quadrados cumprindo as seguintes regras: só épermitido se mover para os quadrados adjacentes nas direções vertical ehorizontal; é permitido passar por cada quadrado somente uma única vez.

Primeiro o professor pergunta se é possível realizar essa tarefa começando doquadrado localizado no canto superior esquerdo. Nesse momento, os alunospodem desenhar na lousa, de preferência (ou em folhas de papel), natentativa de responder à pergunta. Encontrada a solução, o professor podelevantar diversas questões. Será que há apenas uma forma de resolver? Seráque é possível resolver começando por outros cantos do quadrado?

Em seguida, o professor explora com a classe diferentes pontos de partida,que podem ser sugeridos pelos próprios alunos. De acordo com oprosseguimento da aula, diferentes problemas podem surgir. Quaisquadrados são pontos de partida que possibilitam realizar a tarefa? Por quê?Essas respostas se aplicam a quadrados 4x4 ou 6x6? Essas respostas seaplicam a quadrados de que tamanhos?

Ao final da atividade, espera-se chegar à conclusão de que, no caso doquadrado 5x5, é possível perpassar todos os quadrados começandodaqueles que têm a soma de suas coordenadas par, e impossívelquando essa soma é ímpar. Nos cantos, por exemplo, as coordenadassão (1,1), (1,5), (5,1) e (5,5) e suas somas são, respectivamente, 2, 6, 6 e10, todos números pares. Isso vale para todos os quadradoscompostos por um número ímpar de quadrados (3x3, 7x7, 9x9, etc.),mas não vale para aqueles compostos por um número par. Nessecaso, todos os quadrados são pontos de partida que funcionam.

Quem está preso no labirinto? Por que devemos ajudá-lo a sair? Qual é ahistória por trás da impossibilidade de andar duas vezes pelo mesmoquadrado? Não tenha medo de fantasiar a atividade e torná-la mais envolvente.

Estimule seus alunos a identificarem um padrão. Aumente ou diminua o númerode quadrados, pergunte se eles notam algo em comum entre as opções que sãopossíveis e as que não são possíveis dados os números de fileiras existentes.

O Labirintopor Rodrigo de Campos Rezende

Essa atividade, porém, pode tomar rumos diferentes dependendo dosalunos e das perguntas que surgirem durante as aulas. Além disso, aatividade pode levar muito ou pouco tempo para se chegar a essaconclusão, e não há uma sequência definida de passos que devem serpercorridos pelo professor; a ordenação que é apresentada neste texto éapenas uma sugestão.

Na imagem, os quadrados pretos têm coordenadas cuja soma resulta em um número par,portanto são pontos de partida que possibilitam a realização da tarefa, enquanto os brancostêm coordenadas cuja soma é ímpar, e são pontos de partida que não funcionam.

O SANDUÍCHE 53O CÍRCULO DA MATEMÁTICA DO BRASIL – GUIA PARA AULAS II

O Sanduíchepor Janaína Rodrigues de Almeida

TEMA: Noções de fração

DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE: Contexto de uma história.

DESENVOLVIMENTO: “Boa tarde pessoal, preciso da ajuda de vocês. Minhamãe está preparando uma festinha-surpresa para minha irmã, mas tem umproblema...

Minha mãe disse que ela fará apenas um sanduíche e minha irmã tem 3amigas...

Como posso fazer para que todos os convidados comam a mesmaquantidade?

*DICAS DAS CRIANÇAS...

FRASES DE MOTIVAÇÃO: Isso!... Boa ideia!...Acho que está ficandobom!...Muito bem!...Ótimo!...

O Sanduíche é uma das formas de introduzir a ideia de fração semnecessariamente formalizar com números. Quando aterrissada no mundoconcreto, a atividade é bem intuitiva.

A história é essencial para envolver os alunos na atividade. Seja criativo.

Como a atividade do sanduíche éindicada para introduzir o conceitode fração, uma boa forma decomeçar é perguntando aos alunosse existem números entre o 1 e o 2.

Às vezes, para maiorfamiliaridade, o sanduíchepode ser uma pizza. Ouqualquer coisa que seusalunos escolherem.

sanduíche

EXEMPLOS:

“Mas... será que todos vão comer a mesma quantidade?”

*OPINIÃO DAS CRIANÇAS...

“Como podemos fazer então?”

EXEMPLOS:

Ficou lindo!!! Vamos ver quanto cada um vai comer...

“Ficou lindo!!!

Mas... não entendi uma coisa....o que significa ¼?

Esse número 1, o que representa? E esse número 4?”

*ARGUMENTOS DAS CRIANÇAS...

“Ahhh... Então:QUANTIDADE DE PEDAÇOS

TOTAL DE PEDAÇOS

Mas... e se eu comer 2 pedaços desse lanche, como ficaria?”

*BRAINSTORM DAS CRIANÇAS... 2/4

Depois da consolidação das ideias apresentadas, podemos conduzir aconversa comparando os sanduíches 2 e 3, se de fato os pedaços possuemo mesmo tamanho.


Chame os estudantes no quadro para dividir o sanduíche. Compare os formatosdiferentes e faça perguntas escutando a opinião deles. Quantas formasdiferentes existem que possibilitam cortar um mesmo sanduíche em quatropedados? Os pedaços com formato diferente possuem o mesmo tamanho?

3º PASSO – Indagar como pode ser representada através dos númerosaquela divisão que foi feita pelas próprias crianças.

Nesta etapa, o professor pode pedir aos alunos que desenhem novamenteo sanduíche e pode sugerir que cada um escolha e pinte o pedaço quegostaria de comer.

n Cada um já escolheu seu pedaço?

n Em quantos pedaços o sanduíche foi dividido?

n E quantos pedaços cada um irá comer?

Então, se cada um vai comer 1 pedaço dos 4 pedaços cortados dosanduíche, como nós podemos representar esses pedaços em números?

(Dar tempo e espaço para o raciocínio das crianças)

4º PASSO – Apresentar às crianças outras hipóteses de fração atravésdaquele todo representado.

O professor deve continuar o diálogo com as crianças fazendo com queelas visualizem outras frações.

nMas... e se eu comer 2 pedaços desse lanche, como ficaria?

n Se um colega faltar, como seriam os pedaços? Eles seriam do mesmo tamanho?

n E se minha mãe sentir fome e resolver comer do sanduíche também,como poderiam dividir os pedaços para que todo mundo coma amesma quantidade de sanduíche?

5º PASSO – Finalização da aula com a construção de outras hipóteses de frações com outras bases e figuras.

Esta etapa pode ser introdutória à próxima situação-problema. Pode ser uma ponte para a atividade da divisão da panqueca (ou pizza).

Exemplo: E se, em vez de sanduíche, nós tivéssemos uma pizza? Emquantos pedaços poderiam dividi-la?

O Sanduíchepor Priscila Belo, Carla Vital e Karolynne Barrozo

ASSUNTO: Números, Quantidades e Operações

TEMA: Noções de Fração

OBJETIVOS: 1) Compreender a organização funcional dos números de forma fracionária.

2) Representar as partes de um todo através da fração.

DESCRIÇÃO: Esta atividade será introduzida por meio de uma situação-problema que deve ser apresentada através de uma pequena história. Osalunos precisarão dividir um grande sanduíche (a ser desenhado na lousa,ou distribuído em folhas de papel) entre quatro pessoas. Após a tempestadede ideias das crianças em relação às diferentes formas que o sanduíche podeser cortado, iniciam-se questionamentos quanto à representação dessadivisão de pedaços através de números, dando início à representaçãofracionária. É importante dar tempo e liberdade para todos os alunosfazerem essa descoberta das frações, para que assim possam prosseguir noraciocínio e adentrar outras etapas mais complicadas da temática.

DESENVOLVIMENTO:

1º PASSO – Apresentação do problema (Contar a história).

“Olá, crianças. Hoje eu cheguei com uma dúvida que está martelando aminha cabeça e gostaria de saber se vocês poderiam me ajudar...

No próximo sábado, a minha priminha vai convidar 3 coleguinhas dela parabrincar a tarde inteira na casa dela, só que a mãe dela disse que vai poderfazer apenas um sanduíche. Ele vai ser bem grande, mas é apenas um.Então, não sabemos como ela vai distribuir esse lanche entre as suasamiguinhas.

Como vocês acham que podemos fazer para que todos comam a mesmaquantidade?”

(Dar tempo para o raciocínio e convidar todas as crianças a participar)

2º PASSO – Questionar os alunos se a partir de suas divisões todos comerãoa mesma quantidade.

A partir das divisões feitas pelas crianças, inúmeras hipóteses poderãosurgir de “desenhos". Portanto, podemos questionar as crianças:

n Esses pedaços estão do mesmo tamanho?

nTodos os coleguinhas comerão de igual forma?

E se você colocar os pedaços do sanduíche em uma reta dos números? Quais outras formas você consegue pensar para auxiliar seus alunos noentendimento desta atividade?

Visualmente uma fatia triangular aparenta ser maior e para as crianças émais fácil escolher esse tipo de fatia. Porém, o professor pode induzir acriança a perceber que, se repartir a fatia triangular, com esta ele poderáformar uma fatia quadrada, concluindo que as fatias, mesmo que de formadiferentes, possuem a mesma dimensão.


O Sanduíchepor Samanta Stein da Silva

Nessa atividade os alunos são conduzidos a perceber que 1/1 total ésempre equivalente a 1/1 do mesmo total independente da maneira emque esse 1/1 for construído.

APRESENTAÇÃO DA ATIVIDADE: A questão inicial deve ser apresentada àscrianças através de uma história, em que a criança seja levada a refletirsobre o que faria se fosse ela a vivenciar essa situação-problema.

QUESTÃO INICIAL (opções para introduzir o tema):

>Dois sanduíches são divididos da seguinte forma: o primeiro é cortado emfatias quadradas e o segundo, em fatias triangulares. Sabendo que estoucom muita fome e posso comer um pedaço, qual pedaço deveriaescolher? O quadrado ou o triangular?

>Convidei amigos para comer um lanche em minha casa. Minha mãepreparou sanduíches e cortou cada fatia em quatro pedaços, alguns empedaços de forma quadrada e outros em forma triangular. Temexatamente uma fatia para cada um comer. Se estou com muita fome,qual fatia devo escolher para comer?

Auxílio visual é muito importante. Além de desenhos, vocêconsegue pensar em outras formas de auxiliar os estudantes aenxergar que os tamanhos são iguais?

n As crianças provavelmente escolherão a fatia triangular por seraparentemente (visualmente) maior. Devem ser questionadas sobre oporquê disso e serem incentivadas a provar que a fatia triangular é maior,já que acham que é a maior.

nUma forma possível de provar é enchendo a fatia quadrada dequadradinhos de mesmo tamanho e contando quantos quadradinhoscompõem o quadrado. Mas logo as crianças perceberão que será difícilfazer o mesmo processo com a fatia triangular, pois terão dificuldades empreenchê-la com quadradinhos.

n As crianças devem continuar sendo questionadas sobre maneiras deprovar até que percebam que a fatia quadrada tem o mesmo tamanho dafatia triangular. Uma das maneiras de visualizar isso é dividindo a fatiatriangular em duas partes iguais e formando a fatia quadrada a partirdessas partes.

nQuando as crianças concluírem que as fatias são iguais, elas podem serquestionadas sobre outras maneiras de cortar o sanduíche em 4 partesiguais e se essas partes teriam o mesmo tamanho da fatia triangular e dafatia quadrada.

n Após, outras situações-problemas podem surgir, ainda com o mesmotema, por exemplo:

1. Repartindo os sanduíches em partes iguais:

>Se minha mãe resolver oferecer sanduíches já fatiados no total de 16pedaços para as mesmas 4 crianças, quantos sanduíches cada criança irácomer, sabendo que cada criança deve comer o mesmo número de fatias?Sobrarão fatias de sanduíches?

Comentário: Aqui, estimula-se que as crianças façam desenhos e conversementre si. A intervenção ocorre no sentido de chamar a atençãopara o fato: se 16 : 4 = 4, com resto zero, então 4 x 4 = 16.

2. Repartindo os sanduíches com sobra:

>Se as crianças se reunissem para almoçar, ao invés de virem só à tarde parabrincar, naturalmente minha mãe prepararia mais sanduíches. Neste caso,haveria 18 fatias para serem divididas entre as 4 crianças. Quantas fatias desanduíche cada criança irá comer? Sobrarão fatias de sanduíche?

Comentário: 18 : 4 = 4, com resto 2, então 4 x 4 = 16 e 16 + 2 = 18.


O Sanduíchepor Priscilla Perez

É apresentado um problema inicial: há um sanduíche para ser divididoentre a criança e mais três amigos. Primeiramente, pergunta-se a eles deque forma eles dividiriam este sanduíche para que a divisão seja justa.

A partir disso, pode-se sugerir a fração correspondente: 1/1.

Depois, as crianças podem ser questionadas sobre a possibilidade de dividirpor 6 amigos o mesmo sanduíche. Depois de encontrarem uma formapossível podem chegar ao 1/6. Logo após, pode-se sugerir que o sanduícheseja dividido por 9 pessoas.

Mas a pergunta principal que se pode fazer a elas é: existe um númeromenor entre frações?

Assim, as crianças podem notar que 1/9 é menor que 1/6, pois, segundo suaconcepção: “O pedaço que foi dividido para 9 pessoas é menor do que oque foi dividido para 6”.

O professor deve instigar a turma colocando o número (1/2) mais próximoao número (0) do que ao número (1), perguntando se a colocação estácorreta. Mas pode ocorrer o contrário, colocando-se o número (1/2) maisperto do número (1). Como a ideia obtida é a de metade, eles podemevoluir para colocar o número no meio do segmento de reta.

Como podemos tornar essa atividade mais interessante? Como envolver osalunos para que o problema do que vai de 0 a 1 os instigue?

Lembre-se de envolver o aluno: além de perguntar onde posicionar osnúmeros, chame-o ao quadro, peça que ele posicione. Faça várias retas econvide a todos para posicionar as frações. Conversem sobre as diferenças daposição das frações escolhidas por cada um deles.

NÚMEROS ENTRE NÚMEROS 61O CÍRCULO DA MATEMÁTICA DO BRASIL – GUIA PARA AULAS 2

A percepção numérica é uma capacidade inata do ser humano. Ela permiteque, até mesmo para aqueles que não tiveram nenhum contato com osnúmeros indo-arábicos, se perceba, por exemplo, a falta ou a adição deobjetos a um determinado conjunto. Mas essa percepção é limitada e, paravencer essa barreira, ao longo da história, a humanidade teve que aprendera contar. A partir dessa necessidade, surgiram os números naturais, osinteiros, os racionais, os irracionais, os reais, os complexos!

Quando as crianças vão à escola e começam a aprender sobre os conjuntosnuméricos, existe uma questão que merece atenção: os números racionais.Um dos assuntos mais desafiadores é o estudo das frações. Muitas vezes,por parecer de complexo entendimento, elas criam um bloqueio e passama evitar a matemática. O problema “números entre números” vem paradesmistificar essa complexidade.

A partir da atividade proposta, as crianças podem evoluir para operaçõescom frações, tais como adição, subtração, multiplicação, divisão,comparação entre frações e até mesmo a transformá-los em númerosdecimais, entre outros. Contudo, essas evoluções dependerão das criançase das indagações e descobertas que elas próprias fizerem.

É importante ter em mente, como professor, que todas as respostas dadasdevem ser aproveitadas, mesmo se estiverem equivocadas. As respostaserradas podem ser aproveitadas ao longo da aula, para fazer com que ascrianças entendam onde ocorreu o erro. Pode acontecer também de umaideia que pareça não ter aplicação se demonstrar útil e ser explorada peloprofessor. Às vezes, os alunos constroem a sua própria notação e, ao invésde atrapalhar, essa notação ajuda a entender os conceitos.

A aula tem por base uma indagação inicial, que norteará os pensamentos ea partir dela é que serão construídos os raciocínios. Esses raciocínios podemevoluir para vários outros. A pergunta que deve sempre estar no ar:“Existem números entre números?”. É importante que se abra espaço paraque as crianças “chutem”, ou seja, que respondam tudo o que acharem serválido (mesmo que não seja); e deve ser assim durante toda a atividade.

No início, os alunos podem não compreender muito bem o que se esperadeles, por isso, para ajudar na visualização, pode-se partir para o uso doquadro. A notação matemática pode ser introduzida a partir da retanumérica. Para instigar as crianças, o desenho de uma linha com pontoinicial (0) e ponto seguinte (1) pode ser colocado no quadro.

Depois de mexer com frações de uma maneira concreta, via atividade dosanduíche, o próximo passo consiste em formalizar a intuição adquirida.Este é o objetivo desta atividade.

Números entre númerospor Jessica de Abreu, Victor Tanaka, Gabriel Cogo e Ludmylla Boechat

0 11/2

0 1

0 11/2

0 11/4 1/2

Por conseguinte, quais números podem existir além do (0), do (1) e do (1/2)?

Para tentar explicar que (1/6) < (1/4) < (1/2) < (1), pode-se utilizar comoexemplos: pão, bolo, pizza, chocolate. Essa forma é um esforço de explicar aatividade de modo mais concreto, aproximando-a do dia a dia das crianças.

Surgirão ideias e as noções de números entre números começarão aaparecer entre as crianças. Várias podem surgir. Ou nenhuma. Estejapreparado para respostas como “não sei”, “não tenho ideia”, “não entendo oque você quis dizer”. Mas respostas como essas são válidas.

Uma das ideias que podem aparecer é a noção de metade econsequentemente a do número (1/2). Mas onde colocá-lo?

Assim, vão surgindo outros números, que devem ser distribuídos ao longodo segmento de reta.

CORTANDO A PIZZA 63O CÍRCULO DA MATEMÁTICA DO BRASIL – GUIA PARA AULAS II

Cortando a Pizzapor Dyego Soares de Araújo, Gustavo de Paula, Andressa Lima e Bruno Macedo Alves

Ressalvas para o professor 1) O professor parte da ideia de que, nos momentos-chave, ele precisa passar a “luz no

fim do túnel”. As ideias não podem ser passadas por completo. As crianças precisam seperguntar para tentar entender como chegar a soluções que façam sentido.

2) Ao posicionar na reta números que estão entre (0) e (1), as crianças precisam entendera noção de onde esses números vêm, o que eles representam e onde devem sercolocados. Então, ao posicionar (1/2), (1/4), (1/6), (1/8), o professor não pode passar aresposta e sim sugerir uma ordem aleatória e destoante, para perguntar às crianças seelas acreditam que as sugestões estão de acordo ou não com a realidade.

3) O número inicial proposto pelas crianças vai depender das ideias destas. Qualquerfração pode surgir. Ou nenhuma fração.

4) É possível começar com números simples como (0) e (1) e, a partir deles, colocar nareta numérica números que os alunos consideram mais complicados. Mas nãonecessariamente precisam ser o (0) e o (1).

Esta é uma atividade aberta a diversas possibilidades. Não existem somente frações entredois números naturais. O conjunto de números entre números é infinito.

A atividade da pizza continua o trabalho com frações e serve como uma dasmaneiras de introduzir a ideia de que os números entre números são infinitos.

Se os alunos não estão entendendo a pergunta, conte outra história,pergunte de uma maneira diferente.

O problema dos cortes na pizza é um problema simples, com um apelogeométrico bastante intuitivo, mas que apresenta uma série de possíveisdesdobramentos bastante interessantes. De fato, é a simplicidade desteproblema que o torna tão interessante. Como nos ensinaram Bob e EllenKaplan, a solução do problema inicial deve parecer estar dentro do alcancedos alunos. Assim, poderemos conquistar um envolvimento inicial maior daturma e, se conduzido de maneira adequada, tal envolvimento poderá sermantido à medida que o problema for evoluindo.

Portanto, para o sucesso na exposição e subsequente discussão desteproblema, é vital capturar a imaginação de todos os alunos enquanto talatividade estiver em seu estágio inicial, e ter certeza de que todos tenhamsido capazes de acompanhar cada camada de abstração acrescentada.

Outro ponto fundamental trata da inexistência de respostas certas ouerradas. Tal qual abordado pelos Kaplan, o problema deve ser apresentadoda maneira mais vaga possível, de modo que a imaginação dos alunos sejaresponsável por completar as possíveis imprecisões no problema. Não sedeve, no entanto, abrir mão do objetivo da aula. É necessária certateatralidade para conduzir a aula ao local planejado, da maneira mais fluidapossível. Assim, é importante estar mentalmente preparado para o caso deos alunos conduzirem o problema em uma direção totalmente inesperada.Nas palavras de Bob Kaplan, "It's a High Wire Act!".

Estágio InicialApresentada de maneira sucinta, a questão a ser discutida na atividadepode ser resumida em uma pequena frase:

"Qual o maior número de pedaços que podem ser obtidos cortando-se uma pizza?"

Nesse ponto, é importante que seja estimulada uma discussão sobre diversaspossibilidades. Ainda que seu objetivo final seja tratar de cortes retos feitosem um círculo, estimule os alunos a enxergar além do óbvio. Note que este éo ponto natural para conquistar a atenção dos alunos, então não hesite emresponder a questões a respeito do sabor e da forma da pizza. Alguma horaserá levantada uma questão a respeito dos tamanhos dos pedaços e aequivalência entre eles. Se houver estímulo, muitas outras perguntassurgirão. Crianças são naturalmente criativas e, quando adequadamenteestimuladas, não cansam de nos surpreender com ideias. Aceite todas!

CORTANDO A PIZZA 65O CÍRCULO DA MATEMÁTICA DO BRASIL – GUIA PARA AULAS II

Como tornar a atividade de cortar uma pizza atraente para os alunos?

Lembre-se sempre de validar as ideias das crianças ao escrevê-las em letrasgarrafais no quadro. Estimule as crianças a perderem o medo e ainteragirem umas com as outras, e todas com você e o problema. Uma vezque sinta que já conquistou a atenção de todas elas, tente de maneira sutilconduzir o problema para pizzas circulares e cortes retos. Faça-as perceberque dependendo do número de cortes haverá um número máximo depedaços a serem cortados.

Neste ponto, seria conveniente que todas elas possuíssem lápis e papelpara que possam tentar encontrar um caminho no problema. Sutilmenteelas farão a transição da pizza, o objeto, para o desenho. Deixe-as livres parafazerem a atividade da maneira que elas mais acharem conveniente.

Os CortesCaso as respostas não surjam naturalmente, sugira que se simplifique oproblema. Tente resolver inicialmente com um número pequeno de cortes,para tentar capturar o padrão do que está acontecendo. Faça-as observarque o primeiro corte é incapaz de dividir a pizza em mais do que 2 pedaços.

Uma vez seguros a respeito do primeiro corte, siga para o corte seguinte.Haverá aqui duas possibilidades. O corte pode intersectar o anterior(gerando assim 4 pedaços) ou ser paralelo a este (gerando assim apenas 3).É importante que elas percebam a existência de ambas as possibilidadessozinhas, portanto não interfira no pensamento delas, a menos que sejamuito necessário.

O terceiro corte é o divisor de águas do problema. Neste ponto, seránecessária a criatividade das crianças para que percebam que, cortando damaneira adequada, é possível gerar 7 pedaços. Após tal descoberta, épossível que se instale uma competição entre os alunos, entre quemconsegue mais pedaços com menos cortes. Tente estimular a cooperaçãomútua ao invés da competição, como se todos fossem um time contra oproblema. Ensine-os a colaborar.

O mínimo que deve ser percebido pelas crianças nesta parte é que paracada número de cortes corresponde apenas um número máximo depedaços. Se elas perceberem isso, já é o bastante. O máximo que pode seratingido nessa parte é a percepção de que cada vez que um corteintersecta outro, surge mais um pedaço. Deixe-as descobrirem issosozinhas. Se elas não descobrirem, não há problema, avance normalmente.

Tabela e GráficoApós descobrir o número máximo de pedaços para alguns cortes, construauma tabela para registrar os resultados obtidos. Este é um pontofundamental, pois a tabela explicitará o padrão que desejamos verdescoberto por parte das crianças. Tente atrair a atenção delas para a tabelae para a forma como ela está construída. Seria um bom ponto para sequestionar, sobre o número de pedaços que haveria caso não tivessenenhum corte. Em especial, atraia a atenção delas para a diferença entre onúmero de pedaços em um corte e o corte subsequente.

Com base na tabela, é interessante representar o problema graficamente,acrescentando outra maneira de visualizar a relação entre o número decortes e o número máximo de pedaços resultantes. Para iniciar a construçãodo gráfico, é interessante entregar para as crianças em um papelquadriculado apenas o primeiro quadrante de um plano cartesiano (oupermitir que elas construam com uma régua a região na qual será plotado ográfico). Se as crianças estiverem familiarizadas com números negativos, épossível questioná-las sobre o motivo de se considerar apenas os númerospositivos. Estimule as crianças a refletir sobre a forma do gráfico (pode serque algumas esperassem uma reta; instigue-as a descobrir a razão de issonão ocorrer).

Pode ser a primeira vez que as crianças se deparam com uma parábola.Uma possível direção para um problema seguinte seria falar a respeito deparábolas e suas propriedades geométricas. Outra direção possível seriadiscutir funções e a associação com seus gráficos. Observe que, uma vezque não há necessidade alguma de as crianças terem um conhecimentofixo de conteúdos, o professor é livre para escolher uma direção e levar aturma. Mais do que isso, a turma é capaz de decidir por si mesma, sem ainterferência do professor, a próxima direção que ela quer tomar paraexplorar o universo matemático.

Esta função específica dos cortes na panqueca pode ser adequadamentedescrita por uma função do segundo grau. Para que as crianças sejamcapazes de descobri-la, seria melhor já ter abordado o tema de númerostriangulares, uma vez que a equação que define os cortes é bastanteparecida com aquela que define os números triangulares.

A título de curiosidade, a função que descreve este problema é:

f(n) = n.(n+1)/2 + 1

Algo que deve ser dito é que este problema pode levar várias e várias aulaspara ser concluído. Na verdade, ele nem precisa ser concluído. Oimportante nele não é chegar à resposta certa (a função), mas sim aprendera explorar a matemática profunda que um problema simples, como cortaruma pizza, pode proporcionar.

DESVENDANDO O DESCONHECIDO 67O CÍRCULO DA MATEMÁTICA DO BRASIL – GUIA PARA AULAS II

Será que ela está certa? Será que se eu continuar a cortar retângulos cadavez menores (metade do retângulo anterior), eu conseguirei deixar todo oretângulo colorido, eliminando a parte branca?

1/2, 1/4, 1/8, 1/16,

O que vem depois do 1/16?

Sabemos que o próximo número é um número bem pequeno, pois deverepresentar o retângulo amarelo da figura. E depois dele, vem um númeromenor ainda (retângulo roxo na figura), certo? Que tal colocar três pontinhossomente para não esquecer que existem números depois do 1/16?

1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...

Será que essa soma dá 1? Eu acho que dá menos que 1. Alguém acha quedá mais que 1? Surgem diversas respostas: 2/3, 1, 3/2, 2, etc. Mas comodesvendar qual delas - ou se alguma delas - está certa?

Qual é o elemento desconhecido? Sabemos que é o resultado da soma:

1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...

Não sabemos o resultado da soma. O resultado dessa soma está nessa caixinha.

Então, escrevemos: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...

Uma caixinha é muito pouco. Quero um número par de caixinhas. Que número escolher? Alguém sugere o número 2.

1/2, 1/2, 1/4, 1/4, 1/8, 1/8, 1/16, 1/16, ..., ...

Puxa, é tão trabalhoso desenhar uma caixinha. Será que eu posso escrevercaixas no lugar das caixinhas desenhadas?

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ... = 2 caixas

Mas, 1/32 representa o retângulo amarelo da figura. Ele é tão pequeno queconcordamos em deixá-lo dentro dos três pontinhos.

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 2x

O que é ? É só o jeito que encontrei para representar ‘caixa’. Tudo bem? Mas o que era isso mesmo?

1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ... x

Então: 1/x 2x

O que podemos fazer para encontrar o que queremos saber, o valor de x?

1,

Ou seja, temos: 1 , já que

De fato, parece que minha mãe tinha razão, desde o princípio!

Tenho um problema que gostaria de resolver. Tenho um retângulo inteiro,branco.

Desvendando o desconhecidopor Cinthia Marie Tanaka

Minha mãe diz que é possível preenchê-lo da seguinte forma: coloco umretângulo que seja a metade do retângulo original, depois outro retânguloque seja a metade da metade (1/2 x 1/2) do retângulo original, depois outroretângulo que seja a metade da metade da metade (1/2 x 1/2 x 1/2) doretângulo original, e assim por diante.

Ficaria mais ou menos assim:

Esta atividade é um bom quebra-cabeça. Requer persistência e algumafamiliaridade com funções e fração. O objetivo aqui é desenvolver oraciocínio lógico e dar familiaridade a funções matemáticas.

Como é uma atividade difícil, conte uma história interessante para ambientara questão proposta e garanta a atenção da turma.

Antes de sugerir como preenchê-lo, que tal escutar todas as sugestões dos alunos? Por ser difícil, essa atividade toma tempo. Tenha paciência e converse sobre todas as possibilidades que eles conseguem levantar;cheguem à conclusão conjuntamente sobre qual é a melhor forma de preencher esse espaço.

1 inteiro

1/2

1/4

1/81/16

...

=+

EXISTEM DIFERENTES TAMANHOS DE INFINITO? 69O CÍRCULO DA MATEMÁTICA DO BRASIL – GUIA PARA AULAS II

Quando dizemos que dois conjuntos finitos têm o mesmo tamanho?

Quando eles possuem a mesma quantidade de elementos.

Podemos utilizar esse método para comparar o tamanho de conjuntosinfinitos?

Quantos números naturais existem?

1, 2, 3, 4, 5, 6, …

Quantos números pares existem?

2, 4, 6, 8, 10, 12, …

Infinito é uma quantidade? (Infinito é um número?)

Infinito significa sem fim. Quando dizemos que alguma coisa é infinita,queremos dizer que essa coisa não acaba, não tem fim, continua parasempre. Por exemplo, quando dizem que o universo é infinito (será que eleé mesmo infinito?), estão querendo dizer que ele não acaba, que ele nãotem fim, que ele continua para sempre, que não existe nenhumaquantidade (número) que possa representar seu tamanho.

Existem mais números naturais ou números pares?

(Ora, existem mais números naturais, pois os números naturais incluem osnúmeros pares mais os números ímpares.) Essa relação é chamada deinclusão. Dizemos que o conjunto dos números naturais contém oconjunto dos números pares. Outra ideia é utilizada para comparar otamanho de conjuntos infinitos.

Quando dizemos que dois conjuntos infinitos têm o mesmo tamanho?

Quando existe uma relação um-para-um entre os conjuntos.

Filosofar sobre o infinito pode ser interessante. Esta atividade estádiretamente envolvida com o exercício da imaginação, porque a discussão ébem abstrata. Tente aterrissar a questão em coisas concretas, para que ascrianças possam se relacionar com o que está sendo discutido. Uma dasdiversas maneiras de fazer isso é relacionar o número de cadeiras dentro dasala de aula e o número de pessoas... Pense em assuntos que interessem àscrianças e tente conciliar com a discussão.

“Ao infinito... e além!” Buzz Lightyear

Existem diferentes tamanhos de infinito?por Rafael Neves

O que é uma relação um-para-um?

É uma relação que pareia os elementos de um conjunto com os elementosde outro conjunto, de forma que nenhum elemento fique sem par.

É possível criar uma relação um-para-um entre o conjunto dos númerosnaturais e o conjunto dos números pares?

É possível criar uma relação um-para-um entre o conjunto dos númerosnaturais e o conjunto dos números inteiros?

É possível criar uma relação um-para-um entre o conjunto dos númerosnaturais e o conjunto dos números racionais?

QUARTETO FANTÁSTICO 75O CÍRCULO DA MATEMÁTICA DO BRASIL – GUIA PARA AULAS II

É possível criar uma relação um-para-um entre o conjunto dos númerosnaturais e o conjunto dos números reais entre 0 e 1?

Suponha que seja possível. Então existe uma lista com todos os númerosreais entre 0 e 1.

A partir desta lista é possível criar um número real entre 0 e 1 que não estána lista. Vamos construir esse número da seguinte forma: o enésimo dígitodesse número é igual ao enésimo dígito do enésimo número da lista mais 1.Caso o enésimo dígito do enésimo número da lista seja 9, então o enésimodígito do número que estamos criando será 0. Para a lista acima, utilizandoo nosso método, criamos o número:

p = 0.960143...

Esse número não pode estar na lista, pois se ele for o enésimo número dalista, então seu enésimo dígito será diferente. Logo a suposição que fizemosde que essa lista existe é falsa e, portanto, não é possível criar uma relaçãoum-para-um entre o conjunto dos números naturais e o conjunto dosnúmeros reais entre 0 e 1. Isso quer dizer que o infinito dos números reais émaior que o infinito dos números naturais.

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