Programa: Matem atica Orientador: Prof. Dr. Jairo Zacarias … · 2015. 7. 15. · Orientador:...

O teorema de Amitsur para identidadesracionais em aneis com divisao

Pedro Russo de Oliveira

Dissertacao apresentadaao

Instituto de Matematica e Estatısticada

Universidade de Sao Paulopara

obtencao do tıtulode

Mestre em Ciencias

Programa: Matematica

Orientador: Prof. Dr. Jairo Zacarias Goncalves

Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxılio financeiro da CAPES

Sao Paulo, marco de 2015

O teorema de Amitsur para identidadesracionais em aneis com divisao

Esta versao da dissertacao contem as correcoes e alteracoes sugeridas

pela Comissao Julgadora durante a defesa da versao original do trabalho,

realizada em 15/05/2015. Uma copia da versao original esta disponıvel no

Instituto de Matematica e Estatıstica da Universidade de Sao Paulo.

Comissao Julgadora:

• Prof. Dr. Jairo Zacarias Goncalves (orientador) - IME-USP

• Prof. Dr. Vitor de Oliveira Ferreira - IME-USP

• Prof. Dr. Daniel Levcovitz - ICMC-USP

Resumo

OLIVEIRA, P. R. O teorema de Amitsur para identidades racionais em aneis com

divisao. 2015. 79 f. Dissertacao (Mestrado) - Instituto de Matematica e Estatıstica, Uni-

versidade de Sao Paulo, Sao Paulo, 2015.

Sejam D um anel com divisao de centro infinito K e C um subcorpo infinito de K.

Se dimK D =∞, provaremos que uma identidade racional (com coeficientes em C) e valida

em D se e somente se e valida em todos os aneis Mn(C) de matrizes n× n sobre C, para

qualquer n ≥ 1. Para tais fins, exporemos a teoria de identidades racionais em sua forma

original, proposta por Amitsur em [Ami66]. Os resultados obtidos serao usados em duas

aplicacoes. Inicialmente, mostraremos que o grupo multiplicativo de D nao satisfaz iden-

tidades de grupo nao triviais. Em seguida, construiremos um anel com divisao de todas as

funcoes racionais em D, o qual denotamos por CD(x), cuja estrutura depende apenas da

dimensao de D sobre K. Quando dimK D = ∞, vamos mostrar que CD(x) = C(x) pode

ser compreendido como um anel universal de fracoes da algebra livre com unidade C 〈x〉gerada por infinitas indeterminadas nao comutativas x1, x2, . . . . Enfatizamos que existe

uma versao em lıngua inglesa do presente trabalho.

Palavras-chave: identidades, identidades racionais, aneis com divisao.

i

Abstract

OLIVEIRA, P. R. Amitsur’s theorem for rational identities in division rings.

2015. 79 f. Dissertation (Masters) - Instituto de Matematica e Estatıstica, Universidade

de Sao Paulo, Sao Paulo, 2015.

Let D be a division ring with infinite center K, and let C be an infinite subfield of

K. If dimK D = ∞, we shall prove that a rational identity (with coefficients in C) holds

in D if and only if it is a rational identity holding in every ring Mn(C) of n× n matrices

over C, for all n ≥ 1. In order to do that, we shall expose the theory of rational identities

in its original form, proposed by Amitsur, in [Ami66]. The results we are to obtain will

be used in two major applications. Firstly, we will show that the multiplicative group of

D does not satisfy a non-trivial group identity. Afterwards, we construct a division ring

of all rational functions in D, which we denote by CD(x), whose structure depends only

on the dimension of D over K. When dimK D = ∞, we show that CD(x) = C(x) may

be understood as an universal ring of fractions of the free unitary algebra C 〈x〉 generated

by infinite noncommutative indeterminates x1, x2, . . . . We emphasize that there exists an

English version of the whole text.

Keywords: identities, rational identities, division rings.

iii

Sumario

Algumas notacoes usadas com frequencia vii

Introducao ix

1 Preliminares 1

1.1 Aneis de fracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 O Metodo de localizacao de Ore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Aneis de polinomios e extensao de escalares . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Um pouco de topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Filtros e ultra-produtos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Identidades racionais 19

2.1 Identidades Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Expressoes Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Homomorfismos Admissıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4 Extensao de escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5 Algebras centrais simples de dimensao finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.6 Algebras com divisao de dimensao infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.7 Um ultimo teorema sobre identidades racionais . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 Aplicacoes 43

3.1 O grupo multiplicativo de aneis com divisao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2 O anel de funcoes racionais em um anel com divisao . . . . . . . . . . . . . 48

Referencias Bibliograficas 61

Indice Remissivo 63

v

SUMARIO vi

Algumas notacoes usadas com

frequencia

Z anel dos inteiros

R corpo dos reais

C corpo infinito

D anel com divisao arbitrario

Dm algebra central simples de dimensao m2

R = Mn(D) conjunto das matrizes n× n com entradas em D

Dα = R⊗C C(α) produto tensorial de R com C(α),

em que α e algebrico sobre C

⊆ inclusao

( inclusao estrita

A ↪→ B monomorfismo de A em B

(alternativamente, A e subestrutura de B)

δij delta de Kronecker

Eij matriz ij-elementar

R[t] anel de polinomios na indeterminada comutativa t,

com coeficientes em R

R(t) anel total de fracoes de R[t]

Sα {p[t] ∈ R[t] | p[α] e regular em R}Rα(t) localizacao de R[t] com denominadores em Sα

εα aplicacao de Rα(t) em Dα dada por a[t]b[t]−1 7→ a[α]b[α]−1

F filtro

C0 = C 〈x〉 C-algebra associativa, livre e unitaria, nos geradores

{x} = {x1, x2, . . . }Cn = C 〈x; y〉 C-algebra associativa, livre e unitaria, nos geradores

{x} = {x1, x2, . . . } e {y} = {y1, . . . , yn}I(D) conjunto dos homomorfismos admissıveis de C 〈x; y〉 em D

I(D) conjunto (ideal) de identidades racionais de D

F grupo livre gerado por {ξ} = {ξ1, ξ2, . . . }C[F] C-algebra de grupo de F sobre C

vii

ALGUMAS NOTACOES USADAS COM FREQUENCIA viii

Introducao

O estudo de identidades na teoria de aneis comecou com Dehn [Deh22], com a

pretensao – que veio a fracassar – de resolver problemas ligados a area de geometria

projetiva, usando identidades polinomiais. A relevancia do estudo de relacoes polinomiais

em algebras veio a se estabelecer, de maneira definitiva, apos trabalhos de Jacobson [Jac45]

– sobre o problema de Kurosch [Kur41] – e de Kaplansky [Kap48], anos mais tarde. Um

sem-numero de publicacoes relacionadas ao tema veio logo em seguida, entre as quais

destacamos um material conjunto de Amitsur e de Levitski, em [AL50]. Mais a frente no

tempo, Amitsur, em [Ami65], classificou o que se havia desenvolvido ate entao como a

teoria classica das relacoes polinomiais e deu um passo a frente, estabelecendo o conceito

de identidades polinomiais generalizadas. Nesse artigo, o autor utiliza ultra-produtos, os

quais desde ja se revelam bastante eficazes, para mostrar que a algebra dos polinomios

generalizados sobre um anel com divisao D arbitrario pode ser embutida em um anel com

divisao construıdo a partir de D. Um ano depois, Amitsur publica, pioneiramente, uma

teoria de identidades racionais em [Ami66], como uma alternativa as polinomiais para

sedimentar – desta vez, com exito – uma solucao para os problemas que ocuparam Dehn.

A abordagem original de Amitsur nao tardou a ser burilada e generalizada, conforme

Bergman, em [Ber70], [Ber76a] e [Ber76b], cujos trabalhos sao tratados por Rowen, em

[Row80], capıtulo 8. Mais recentemente, encontramos, na literatura, topicos dedicados a

identidades racionais, elaborados de maneira mais simples e geral que a pioneira, como em

muitos materiais de Cohn, por exemplo [Coh95], capıtulo 7. Em [Ber76a] (nota de rodape,

p.258), Bergman fala sobre identidades racionais em aneis com divisao de centros finitos.

Ate hoje, carecemos de resultados conclusivos sobre o assunto.

A nocao de identidade racional e anterior ao estabelecimento da teoria por Amitsur

em [Ami66]. Grosso modo, uma identidade racional e uma expressao em indetermina-

das que envolve inversos multiplicativos e, para quaisquer substituicoes (com respeito a

existencia de inversos) em uma dada algebra, tal expressao e identicamente nula. Um

exemplo vastamente explorado, o qual trataremos com mais cuidado adiante, e a identi-

dade de Hua (e.g. Rowen [Row80], p. 290):

a− [a−1 + (b−1 − a)−1]−1 − aba = 0.

Embora uma primeira olhada nao revele, esta e uma identidade racional de qualquer

algebra em que estejam definidos a−1, b−1, (b−1 − a)−1 e [a−1 + (b−1 − a)−1]−1. Em

ix

INTRODUCAO x

outras palavras, podemos afirmar, por exemplo, que se trata de uma identidade trivial na

classe dos aneis com divisao, pois nao provoca impacto algum sobre a classe, ou seja, nao

determina uma subclasse propria. Isso contrasta com as identidades polinomiais: um anel

com divisao que satisfaz uma identidade polinomial tem, necessariamente, dimensao finita

sobre seu centro (cf. Kaplansky [Kap48]). Nao obstante, o fato de uma identidade racional

ser trivial nao lhe nubla a importancia: a identidade de Hua e aplicada na demonstracao

do teorema fundamental da geometria projetiva.

Como nao dispomos de algoritmos para julgar se uma identidade racional em um

anel com divisao e ou nao trivial, a pergunta natural, a esta altura, e: existem identi-

dades racionais nao triviais em aneis com divisao? Uma resposta satisfatoria vem em

[Ami66]. O objetivo do nosso texto e tratar a teoria das identidades racionais e algumas

de suas aplicacoes, da maneira originalmente proposta por Amitsur. Nosso material sera

estruturado em tres capıtulos.

Todo primeiro capıtulo pode sempre ser maior, abrangendo mais e mais fatos ele-

mentares, ao ponto de extrapolar o escopo do trabalho. Para evitar isso, o nosso primeiro

capıtulo e um breve mosaico de topicos preliminares, os quais julgamos essenciais aos

seguintes. Exporemos de maneira sumaria alguns resultados sobre aneis de fracoes, no

sentido de Ore [Ore31], sobremaneira aqueles obtidos a partir de algebras de polinomios.

Dedicamos especial atencao a secao que trata de filtros e de ultra-produtos. Estes sao

usados extensivamente durante o texto para embutir uma algebra sem divisores de zero

em uma com divisao.

O segundo – e o mais importante – capıtulo traz a teoria das identidades racionais.

Vamos trabalhar com um corpo infinito C e mostrar que as identidades racionais de C-

algebras centrais simples de dimensao finita n2 sao precisamente as do anel de matrizes

Mn(C). Em seguida, provaremos o resultado principal: o conjunto I(D) das identidades

racionais de uma C-algebra D com divisao de dimensao infinita sobre seu centro e, pre-

cisamente, I(D) =⋂I(Mn(D)), ou seja, o de todas as identidades racionais comuns a

todos os aneis de matrizes sobre C. Destacamos alguns passos importantes no curso deste

capıtulo:

• As identidades de uma C-algebra D com divisao sao as mesmas de D(t), o anel total

de fracoes obtido a partir do anel de polinomios D[t]. A fortiori, isso sera usado

para mostrar que o conjunto de identidades racinais e invariante sob extensao de

escalares.

• O conjunto das identidades racionais do anel com divisao D((t)) das series formais

de Laurent com coeficientes em D e, ainda, o mesmo de D(t), portanto o mesmo de

D.

• Dadas D e E C-algebras com divisao tais que D ⊆ E e a dimensao de D sobre seu

centro e infinita, entao as identidades racionais de ambas sao as mesmas.

INTRODUCAO xi

Por fim, dada uma C-algebra D com divisao de dimensao infinita sobre seu centro, vamos

construir C-algebra com divisao D tambem de dimensao infinita sobre seu centro, cujas

identidades racionais sao todas aquelas satisfeitas por todos os aneis de matrizes sobre

C, e ainda uma algebra E que contem ambas D e D . O resultado principal seguira com

auxılio do ultimo passo listado acima.

Reservamos o terceiro capıtulo para tratar de duas aplicacoes importantes. Na

primeira secao, vamos embutir a C-algebra de grupo C[F], em que F e um grupo livre

de infinitos geradores, em um anel com divisao de dimensao infinita sobre seu centro.

Usaremos isso para mostrar que o grupo multiplicativo de uma C-algebra com divisao

de dimensao infinita nao verifica identidade de grupo alguma. Em particular, o grupo

multiplicativo de uma algebra com divisao, nessas condicoes, nao pode ser soluvel. Na

segunda secao, vamos construir um anel com divisao CD(x) de funcoes racionais na C-

algebra com divisaoD, a partir da algebra livre com unidade C 〈x〉. Usaremos os resultados

sobre identidades racionais para mostrar que tal construcao depende apenas da dimensao

de D sobre seu centro: no caso finito, CD(x) e uma algebra central simples de dimensao

finita (igual a dimensao de D). Por outro lado, se ambas D e D′ tem dimensao infinita,

entao CD(x) e CD′(x) sao naturalmente isomorfos. Denotaremos, neste ultimo caso, C(x)

e vamos ainda mostrar que se trata de um anel universal de fracoes da algebra livre C 〈x〉.Enfatizamos que, embora ainda nao exista um tratamento para identidades racionais em

aneis com divisao de centro finito, e possıvel empregar um metodo alternativo (e.g. Cohn

[Coh95], capıtulo 6) para construir um anel universal de fracoes para C 〈x〉, mesmo quando

C e um corpo finito.

Apesar de o destaque ser dado aos principais resultados, este trabalho envolve outros

menores, mas tambem importantes para o estudo de aneis com divisao, como, por exemplo,

os meios pelos quais produzem-se novos aneis com divisao, sobretudo ultra-produtos e o

metodo de Ore. Esperamos que seja proveitoso ao leitor o contato com a teoria em sua

forma original, perfazendo lemas, proposicoes, definicoes e observacoes envolvidos, e que

o inspire nao so a explorar o tema, mas tambem a transcender os limites do conhecimento

em algebra. Por termos estas expectativas, procuramos analisar o nosso material, sempre

que possıvel, em fatos mais elementares, proximos daqueles relacionados com os topicos

que compoem a formacao dos que lidam com algebra.

Capıtulo 1

Preliminares

O resultado principal do nosso trabalho e concernente a aneis com divisao de centro

infinito arbitrarios. Ainda assim, devemos apresentar, a partir de agora, algumas estru-

turas algebricas – sobremaneira novos aneis com divisao construıdos a partir de um anel

com divisao dado inicialmente – que desempenham papel coadjuvante por todo o caminho

que tracaremos para atingir nossos objetivos. Este capıtulo estabelece uma base mınima

para a compreensao do texto global, porquanto e dedicado aquelas pequenas pecas que

se entrelacam e originam argumentos robustos e importantes no nosso estudo. Ele prove

uma exposicao de alguns resultados importantes que serao usados nos proximos capıtulos.

Como o nosso trabalho nao e um material auto-contido, espera-se que o leitor possua

consideravel conhecimento de estruturas algebricas elementares, homomorfismos e os teo-

remas a eles relacionados (indicamos Jacobson, [Jac85] e [Jac89]), e de topicos em teoria

de corpos (indicamos Kaplansky, [Kap72]).

Todos os aneis (algebras) com os quais trabalharemos possuem um elemento iden-

tidade, genericamente denotado por 1. Usaremos o sımbolo ↪→ de maneira indistinta

para monomorfismos e para denotar subaneis (subalgebras). Convencionamos, ainda, que

a identidade de um subanel e a mesma do anel, de modo que sera consistente tambem

convencionar que homomorfismos preservam elementos identidade.

1.1 Aneis de fracoes

1.1.1 O Metodo de localizacao de Ore

O metodo usualmente empregado para embutir um dado anel (sem divisores de zero

nao triviais) em um anel com divisao consiste em construir inversos para os elementos

nao nulos no dado anel. Isso pode ser alcancado de maneira descrita pioneiramente por

Ore [Ore31]. Os proximos resultados relacionados ao metodo de Ore, cujas demonstracoes

podem ser encontradas em [Lam99], capıtulo 4, por exemplo, serao enunciados de maneira

mais geral e, em seguida, faremos a restricao deles aos nossos fins.

Em um anel arbitrario R, um subconjunto S ⊆ R e dito multiplicativo se 1 ∈ S,

1

CAPITULO 1. PRELIMINARES 2

0 /∈ S e se S e fechado para a multiplicacao. Um homomorfismo de aneis ψ : R → R′ e

dito S-invertıvel se ψ(S) ⊆ U(R′), em que este ultimo e o grupo das unidades de R′. No

que seguira, S ⊆ R denota um subconjunto multiplicativo de R.

Definicao 1.1.1. Dados um anel R′ e um homomorfismo ψ : R → R′, o par (R′, ψ) e

dito uma localizacao (a direita) de R com respeito a S se sao verificadas as tres

seguintes condicoes:

L1 ψ e S-invertıvel.

L2 Para todo x em R′, existem a em R e b em S tais que x = ψ(a)[ψ(b)]−1.

L3 kerψ = {a ∈ R | ∃s ∈ S tal que as = 0}.

Neste caso, dizemos que R admite uma localizacao (a direita) R′ com respeito a S.

Definicao 1.1.2. S e dito um conjunto de denominadores (a direita) se ambas as

condicoes abaixo sao verificadas:

D1 Quaisquer s em S e r em R verificam sR ∩ rS 6= ∅

D2 Dado r em R, se sr = 0 acontece para algum s em S, entao existe s′ em S tal que

rs′ = 0.

D1 e conhecida como condicao de Ore (a direita). Se S satisfizer D1, entao

dizemos que e um conjunto de Ore. Os resultados que seguirao estabelecem ambas

existencia e unicidade, no sentido de uma propriedade universal, de localizacoes.

Teorema 1.1.3. Um anel R admite uma localizacao com respeito a S se e somente se

este e um conjunto de denominadores.

Lema 1.1.4. Dada uma localizacao (R′, ψ) de R com respeito a S, se um homomorfismo

ϕ : R→ R′′ verifica L1, entao existe um unico homomorfismo η : R′ → R′′ tal que ηψ = ϕ.

Corolario 1.1.5. Em termos do lema acima, se ϕ e um monomorfismo, entao η tambem

o e.

Prova: Dado x ∈ ker η ⊆ R′, devem existir a ∈ R e b ∈ S tais que x = ψ(a)[ψ(b)]−1.

Logo 0 = η(x) = η(ψ(a)[ψ(b)]−1) = (ηψ)(a)[(ηψ)(b)]−1 = ϕ(a)[ϕ(b)]−1. Como [ϕ(b)]−1 e

uma unidade em R′′, ocorre ϕ(a) = 0. Por hipotese, resulta que a = 0, o que nos conduz

a conclusao final x = 0, completando esta prova. �

Ilustramos o corolario 1.1.5 no seguinte diagrama comutativo:

R

ψ

��

ϕ

R′ ��

η// R′′


Teorema 1.1.6. Se (R′, ψ) e (R′′, ϕ) sao localizacoes de R com respeito a S, entao existe

um unico isomorfismo η : R′ → R′′ tal que ηψ = ϕ.

Prova: Temos o seguinte diagrama comutativo:

R

ψ

~~

ϕ

��

ψ

R′′ η1// R′ η2

// R′′

De acordo com o lema 1.1.4, η1 e η2 sao os unicos homomorfismos que verificam

η1ψ = ϕ e η2ϕ = ψ,

do que sucede

η2η1ψ = ψ e η1η2ϕ = ϕ.

Mais uma vez pelo lema 1.1.4, as aplicacoes identidade id′ e id′′ de R′ e de R′′, respecti-

vamente, sao as unicas que verificam id′ϕ = ϕ e id′′ψ = ψ. Concluımos, assim, que

η1η2 = id′ e η2η1 = id′′,

o que encerra esta prova. �

A luz do precedente teorema, faz sentido denotar por (RS , ψS) a localizacao de R com

respeito a S. Devemos, agora, particularizar os resultados acima aos nossos propositos.

Introduzimos a proxima

Definicao 1.1.7. Um elemento em um anel R e dito regular se nao e um divisor de zero

nem a direita, nem a esquerda em R.

Como vamos trabalhar apenas com conjuntos multiplicativos S compostos de ele-

mentos regulares, a condicao D2 e imediatamente verificada. Por conseguinte, a fim de

mostrar que S e um conjunto de denominadores, restara validar D1. Sendo isso verdade,

decorre de L3 que kerψS = (0), logo R e isomorfo a um subanel de RS . Em virtude

desta ultima observacao, para sermos breves, podemos abandonar em seguranca o mono-

morfismo ψS e identificar diretamente R como um subanel de RS , cujos elementos, daqui

em diante, serao descritos em termos da condicao L2. Faremos referencia a RS como o

anel de fracoes (a direita, com denominadores em S) de R. No caso especial em que

S = {r ∈ R | r e regular emR} e um conjunto de Ore, R e dito ser um anel de Ore e RS

e dito o anel total de fracoes de R.

Definicao 1.1.8. Um anel (nao necessariamente comutativo) e dito ser um domınio se

todos os seus elementos nao nulos sao regulares.


Destacamos que, se um domınio e um anel de Ore, entao o seu anel total de fracoes

e um anel com divisao, porquanto os seus elementos nao nulos sao unidades. A proxima

proposicao estabelece uma util conexao entre o metodo de Ore e a condicao de cadeia

ascendente para ideais.

Proposicao 1.1.9. Seja R um domınio noetheriano (a direita). Entao R e um anel de

Ore e esta embutido em um anel com divisao, a saber, o seu anel total de fracoes.

Prova: Suponhamos que R seja um domınio noetheriano (a direita). Resta mostrar

que o conjunto multiplicativo R∗ dos elementos nao nulos em R e um conjunto de Ore.

Dados a ∈ R∗ e b ∈ R, se b = 0 o resultado segue prontamente. Se tambem b e nao

nulo, o ideal a direita gerado pelos elementos nao nulos b, ab, a2b, . . . deve ser finitamente

gerado, portanto os listados geradores devem ser linearmente dependentes a direita sobre

R. Seja∑n

i=0 aibci = 0 uma equacao de dependencia linear, em que os ci’s nao sao todos

nulos. Seja k ∈ {0, . . . , n} o primeiro ındice tal que ck 6= 0. Como R e um domınio,

k < n e podemos cancelar ak, o que implica bck + abck+1 + · · · + an−kbcn = 0. Logo

a(bck+1 + · · · + an−k−1bcn) = −bck 6= 0 e um multiplo comum de a e b, o que valida D1

para R, como querıamos. �

Claramente, tudo o que expusemos ate aqui pode ser simetricamente reconstruıdo

para o lado esquerdo. Mais adiante, os conjuntos de denominadores com os quais traba-

lharemos verificam a condicao de Ore bilateralmente. Usaremos, pois, o termo anel (total)

de fracoes para fazer referencia a estruturas cujos elementos sao descritos em termos tanto

da condicao L2 ora apresentada, quanto da sua analoga para a esquerda. Encerramos esta

discussao com o proximo criterio, que fundamenta estas nossas convencoes.

Proposicao 1.1.10. Se S e um conjunto de Ore a direita e a esquerda e seus elementos

sao todos regulares em R, entao RS e, simultaneamente, uma localizacao a direita e a

esquerda de R com respeito a S.

Ressaltamos que, nos termos desta ultima proposicao, para todo x ∈ R, devem

existir a1, a2 ∈ R e b1, b2 ∈ S tais que x = a1b−11 = b−1

2 a2.

1.1.2 Aneis de polinomios e extensao de escalares

De agora em diante, m e n sao inteiros positivos, Mn(R) e o anel das matrizes n×nsobre o anel R, {t1, . . . , tm} e um conjunto de indeterminadas comutativas e D um anel

com divisao. O trabalho com matrizes envolve uma porcao de ındices. Com o fim de nao

apresentar notacoes muito carregadas, omitiremos muitas vezes os intervalos nos quais

variam tais ındices, sempre que o texto trouxer de forma implıcita essas informacoes.

Embora D nao seja necessariamente comutativo, muitos resultados que se aplicam

aos aneis de polinomios sobre corpos ainda sao verdadeiros para D[t]. Para os nossos

propositos, enfatizamos que todos os ideais (a esquerda, a direita, bilaterais) de D[t] sao

principais. Isto e facilmente provado por meio do algoritmo da divisao euclidiana – devemos


apenas tratar separadamente quocientes e restos a esquerda e quocientes e restos a direita.

Uma primeira consequencia importante deste fato e a possibilidade de estabelecer a nocao

de maximo divisor comum (a direita, a esquerda) em D[t]: dados p = p[t] e q = q[t]

em D[t], basta tomar o gerador monico do ideal a direita gerado por ambos p e q (e o

analogo a esquerda). A segunda consequencia que podemos extrair desta propriedade do

anel de polinomios e o fato de D[t] ser noetheriano, bilateralmente. Como tambem D[t]

e um domınio, usamos a proposicao 1.1.9 para concluir que D[t] e um anel de Ore e esta

embutido em um anel com divisao, a saber, o seu anel total de fracoes, denotado por D(t).

Vamos, agora, elaborar resultados mais abrangentes.

Proposicao 1.1.11. O anel de polinomios D[t1, . . . , tm] e um anel de Ore, cujo anel total

de fracoes sera denotado por D(t1, . . . , tm).

Prova: O resultado segue facilmente de uma combinacao entre o teorema da base de Hil-

bert e a proposicao 1.1.9. Todavia vamos apresentar uma demonstracao direta, por inducao

sobre m. O caso m = 1 ja esta validado. Assumamos m > 1 e que D[t1, . . . , tm−1] seja um

anel de Ore, com anel total de fracoes D(t1, . . . , tm−1). Portanto D(t1, . . . , tm−1)[tm] e um

anel de polinomios na indeterminada comutativa tm com coeficientes em D(t1, . . . , tm−1),

um anel com divisao. Entao podemos formar o anel total de fracoes D(t1, . . . , tm−1)(tm)

e existe um monomorfismo natural D[t1, . . . , tm] ↪→ D(t1, . . . , tm−1)(tm) que claramente

verifica a condicao L1. Resta, portanto, verificar L2. Com efeito, um elemento em

D(t1, . . . , tm−1)(tm) e da forma ∑i(piq

−1i )tim∑

j(fjg−1j )tjm

,

para convenientes pi, qi, fj , gj em D[t1, . . . , tm−1]. Empregamos sucessivas vezes a condicao

D1 em D[t1, . . . , tm−1] e tomamos um denominador comum a todos os qi’s e a todos os

gj ’s, digamos 0 6= h em D[t1, . . . , tm−1]. Entao a expressao acima e reformulada como

segue: ∑i(piq

−1i )tim∑

j(fjg−1j )tjm

=

∑i(pih

−1)tim∑j(fjh

−1)tjm=

(∑i pit

im

)h−1(∑

j fjtjm

)h−1

=

∑i pit

im∑

j fjtjm

.

Na ultima expressao a direita, temos que∑

i pitim e

∑j fjt

jm estao em D[t1, . . . , tm]. Isto

prova que vale a condicao L2 (a direita, mas a prova para o lado esquerdo e analoga) e

completa a demonstracao. �

Usaremos, em argumentos futuros, as relacoes

D(t1, t2) ∼= D(t1)(t2) ∼= D(t2)(t1),

fundamentadas nos teoremas 1.1.11 e 1.1.6. Para produzir argumentos mais elaborados,

introduzimos a proxima

Proposicao 1.1.12. Seja R um domınio de Ore, com anel total de fracoes R′. Entao

Mn(R) e um anel de Ore, com anel total de fracoes dado por Mn(R′).


Prova: Inicialmente, observemos queMn(R) e embutido de maneira canonica emMn(R′).

Assumamos que uma dada matriz P ∈ Mn(R) seja regular. Para todos i, j ∈ {1, . . . , n},as equacoes

∑nl=1 P (i, l)xlj − δijy = 0 nas indeterminadas xil, y e com coeficientes R

formam um sistema linear homogeneo. Temos n2 equacoes – uma para cada par (i, j) –

e n2 + 1 indeterminadas – os xlj ’s, um para cada par (l, j), e y. Como R e embutido

em R′, podemos considerar que os coeficientes estao no anel com divisao R′. Sucede que

o sistema admite uma solucao nao trivial em R′, porquanto ha mais indeterminadas que

equacoes. Escrevendo uma tal solucao com um denominador comum, digamos xlj = uljv−1

e y = p′v−1, em que os ulj ’s, p′ e v 6= 0 estao em R, obtemos uma solucao nao trivial

em R, a saber xlj = ulj e y = p′, porque v e uma unidade em R′ e, para quaisquer

i, j ∈ {1, . . . , n},

0 =n∑l=1

P (i, l)uljv−1 − δijp′v−1 = (

n∑l=1

P (i, l)ulj − δijp′)v−1.

Notemos que p′ 6= 0, porque a solucao foi tomada nao trivial e P e regular. Sejam

U,P ′ ∈ Mn(R) dadas por U(i, j) = uij e P ′(i, j) = δijp′. Logo PU = P ′ e a matriz

U ′ ∈ Mn(R′) dada por U ′(i, j) = δijp′−1 e tal que P (UU ′) = 1. Agora P (UU ′)P = P e,

como P e regular, concluımos tambem que (UU ′)P = 1, portanto P e uma unidade em

Mn(R′) e esta estabelecia a condicao L1.

Como R′ e um anel total de fracoes de R, resulta que, para qualquer X ∈ Mn(R′),

apos escrever todas as suas entradas com um denominador comum, temos X(i, j) = aijb−1,

em que aij , b ∈ R e b 6= 0. Portanto as matrizes A,B ∈ Mn(R) dadas por A(i, j) = aij

e B(i, j) = δijb verificam a relacao X = AB−1 em Mn(R′), que e a condicao L2 para o

lado direito. Como esta demonstracao pode ser analogamente reconstruıda para o lado

esquerdo (essencialmente porque R′ e um anel total de fracoes bilateralmente de R), o

resultado segue. �

Estabelecamos as seguintes notacoes: R = Mn(D) e M[t] = Mn(D[t]). Afirmamos

que o anel de polinomios R[t] e isomorfo a M[t]. Inicialmente, tratemos da estrutura aditiva

de ambos. Vemos facilmente que R[t] e um R-modulo livre a esquerda, com base {t0 =

1, t, t2, . . . }. M[t] tambem e um R-modulo livre a esquerda, com base {T 0 = 1, T, T 2, . . . },em que T k(i, j) = δijt

k, para todo k ≥ 0. O R-homomorfismo de R[t] em M[t] determinado

pela aplicacao tk 7→ T k, k ≥ 0 e nao so aditivo, como tambem multiplicativo e preserva

o elemento identidade. Como e uma bijecao – porquanto leva uma base noutra base –,

concluımos que R[t] ∼= M[t] como aneis.

Proposicao 1.1.13. R[t1, ..., tm] e M[t1,...,tm] = Mn(D[t1, . . . , tm]) sao isomorfos como

aneis.

Prova: A afirmacao e provada por inducao em m. O caso m = 1 ja foi estabelecido acima.

Suponhamos m > 1 e que R[t1, . . . , tm−1] ∼= M[t1,...,tm−1]. Entao podemos considerar

R[t1, ..., tm] e M[t1,...,tm] como modulos livres a esquerda sobre R[t1, . . . , tm−1], aquele com


base {t0m = 1, tm, t2m, . . . } e este com base {T 0

m = 1, Tm, T2m, . . . }, conforme a notacao que

estabelecemos acima. O restante da demonstracao segue exatamente os mesmos passos do

caso m = 1. �

Corolario 1.1.14. R[t1, ..., tm] e um anel de Ore e seu anel total de fracoes e dado por

R(t1, ..., tm) = M(t1,...,tm) = Mn(D(t1, . . . , tm)).

Prova: Pela proposicao 1.1.12, M(t1,...,tm) e um anel total de fracoes de M[t1,...,tm]. Usamos

a proposicao 1.1.13 e o teorema 1.1.6 para afirmar que M(t1,...,tm) tambem e um anel total

de fracoes de R[t1, ..., tm]. �

Observacao 1.1.15. E importante salientar que, na demonstracao da proposicao 1.1.12, a

matriz P ′ obtida por meio da resolucao do sistema linear homogeneo e uma matriz escalar

nao nula, e o conjunto das matrizes escalares e um subanel de Mn(R), canonicamente

identificado com R, donde P ′ e identificada como um elemento de R. Combinando esses

argumentos com o corolario acima, podemos afirmar que, dado um polinomio regular p =

p[t] ∈ R[t], existem u = u[t], p′ = p′[t] ∈ R[t] tais que pu = p′ e 0 6= p′ ∈ D[t], em que D[t]

esta devidamente identificado como um subanel de R[t].

Para referencias mais adiante, registramos o seguinte

Corolario 1.1.16. Sejam t1, t2, . . . indeterminadas comutativas. Entao R[t1, t2, . . . ] e

um anel de Ore, cujo anel total de fracoes sera denotado por R(t1, t2, . . . ).

Prova: Segue diretamente das demonstracoes acima que o anel total de fracoes do anel

de polinomios em infinitas indeterminadas e dado por

∞⋃i=1

R(t1, . . . , ti),

e, em particular, D[t1, t2, . . . ] e um anel de Ore, cujo anel total de fracoes sera denotado

por D(t1, t2, . . . ). �

Ja mostramos que R[t] e um anel de Ore. Estamos agora interessados em determinar

um anel de fracoes obtido a partir de R[t], que, conforme veremos futuramente, e um

subanel de R(t). Precisamos, entao, desenvolver mais o nosso texto. Comecamos com a

proxima

Proposicao 1.1.17. Sejam F um corpo, R uma F -algebra e A e B duas subalgebras. Sao

equivalentes as seguintes afirmacoes:

1. O F -homomorfismo ψ de A ⊗F B em R (como espacos vetoriais) induzido pela

aplicacao (a, b) 7→ ab de A×B em R e injetivo

2. Qualquer base de A sobre F e linearmente independente sobre B

3. Qualquer base de B sobre F e linearmente independente sobre A


4. Se {ai} e {bj} sao bases de A e de B, respectivamente, sobre F , entao {aibj} e um

conjunto linearmente independente sobre F .

Prova: Fixemos uma base {ui} de A sobre F . Sejam v1, . . . , vk em B tais que∑

j uijvj =

0. Entao

0 =k∑j=1

uijvj = ψ(k∑j=1

uij ⊗ vj).

Se assumirmos 1, concluımos que∑uij ⊗ vj = 0 e, com maior razao, v1 = · · · = vk = 0.

Portanto 1 implica 2.

Sejam agora {ai} e {bj} bases de A e de B, respectivamente, sobre F . Suponhamos

que

0 =∑ij

λijaibj =∑ij

ai(λijbj) =∑i

ai

∑j

λijbj

em que, a menos de um numero finito, todo λij ∈ F e nulo. Se assumirmos 2, concluımos

imediatamente que, para todo i,∑

j λijbj = 0, o que acarreta λij , para quaisquer i, j.

Entao 2 implica 4.

Claramente 4 implica 1 e, de maneira analoga, podemos provar que as implicacoes

acima sao verdadeiras se substituirmos 2 por 3. A demonstracao esta completa. �

Diremos que duas subalgebras nas condicoes da proposicao 1.1.17 sao linearmente

disjuntas. Podemos complementar essas ideias com a seguinte

Proposicao 1.1.18. Sejam F um corpo, R uma F -algebra e A e B duas subalgebras.

Entao R ∼= A⊗F B se as tres condicoes abaixo sao verificadas:

T1 ab = ba, para quaisquer a ∈ A e b ∈ B.

T2 AB = R.

T3 A e B sao linearmente disjuntas.

Prova: As condicoes T1 e T2 mostram que a transformacao F -linear de A⊗F B em R in-

duzida pela aplicacao (a, b) 7→ ab e multiplicativa e sobrejetiva. Por T3, tal transformacao

e, ainda, injetiva, completando esta prova. �

Vamos usar estes ultimos resultados para sofisticar o nosso entendimento estrutural

de alguns dos aneis ja apresentados. Denotemos por K o centro do anel com divisao D,

portanto K e um corpo. Seja C ⊆ K um subcorpo. Pela proposicao 1.1.18, pondo F = C,

A = R, B = C[t] e R = R[t] (identificando da devida maneira C[t] como um subanel de

R[t]), vemos imediatamente que R[t] ∼= R⊗C C[t] – em particular, D⊗C C[t] e o subanel

de R[t] identificado com D[t] –, e, daqui em diante, nao faremos distincao entre esses

aneis. Usando um argumento simples de inducao, provamos tambem que R[t1, . . . , tm] ∼=R⊗C C[t1, . . . , tm]. Resulta que, fixando uma base {Vj | j ∈ J} de R sobre C, entao um

polinomio arbitrario p[t] ∈ R[t] escreve-se unicamente como p[t] =∑

j∈J Vj ⊗ pj [t], em


que, a menos de um numero finito, todo pj [t] ∈ C[t] e nulo e, manifestamente, {Vj ⊗ ti |j ∈ J, i ≥ 0} e uma base de R[t] sobre C.

Para referencias mais adiante, afirmamos que R ⊗C C(t) ↪→ R(t). Com efeito, a

subalgebra C(t) de R(t) e central, o que estabelece T1. Resta mostrar que C(t) e R sao

subalgebras linearmente disjuntas de R(t). De fato, sejam r1(t), . . . , rk(t) ∈ C(t) tais que

k∑i=1

Vjiri(t) = 0.

Apos transpor os ri’s a um denominador comum e, apos cancelar tal denominador da

equacao acima, obtemosk∑i=1

Vji ri[t] = 0,

em que rj [t] ∈ C[t]. Conforme as observacoes do paragrafo acima, R e C[t] sao linearmente

disjuntas. Entao, pela proposicao 1.1.17, necessariamente temos ri[t] = 0, para todo i.

Logo ri(t) = 0 e, usando mais uma vez 1.1.17, concluımos que a afirmacao e verdadeira.

Mais uma vez, facilmente concluımos que R ⊗C C(t1, . . . , tm) ↪→ R(t1, . . . , tm), usando

inducao.

Agora, seja α algebrico sobre C, portanto o corpo C(α) e uma extensao finita de

C. Denotemos por mα = mα[t] ∈ C[t] o polinomio minimal de α sobre C, com ∂mα = r.

Escrevamos Dα = R⊗C C(α). A aplicacao Vj ⊗ ti 7→ Vj ⊗αi estende-se unicamente a um

homomorfismo πα : R[t]→ Dα de C-espacos vetoriais. πα deve ser sobrejetivo, porquanto

{Vj ⊗ αi | j ∈ J, 0 ≤ i ≤ r − 1} e uma base de Dα sobre C. πα e tambem multiplicativo,

porque t e uma indeterminada comutativa, e preserva o elemento identidade, logo e um

epimorfismo de C-algebras. Podemos escrever πα(p[t]) = p[α] =∑

j Vj ⊗ pj [α], donde

p[α] = 0 se e somente se pj [α] = 0 para todo j ∈ J , ou seja, se e somente se cada pj [t]

pertence a (mα), o ideal (bilateral) de C[t] gerado por mα. Portanto kerπα = R⊗C (mα).

Proposicao 1.1.19. Dα e identificado como um subanel de Mrn2(D). Ademais, todo

elemento em Dα que nao e divisor de zero a direita e uma unidade em Dα. Em particular,

todo elemento em Dα ou e uma unidade ou e divisor de zero de ambos os lados.

Prova: Observemos que Dα tem estrutura natural de D-espaco vetorial. Seja L =

LD(Dα) o anel de todos os endomorfismos D-lineares de Dα. Definimos, para cada x ∈ Dα,

a aplicacao ρx : Dα → Dα dada por ρx(y) = yx. Resulta que ρx pertence a L e a aplicacao

x 7→ ρx define um monomorfismo de aneis de Dα em Lop, anel oposto de L. Como

dimDDα = rn2 (o que imediatamente implica Dα ser um D-espaco vetorial artiniano),

temos a relacao Lop ∼= Mrn2(D).

Para demonstrar o que resta, suponhamos que x nao seja divisor de zero a direita.

Por um lado, obtemos que ρx e um D-endomorfismo injetivo de Dα. Por outro lado, Dα

e artiniano a esquerda, do que decorre ρx ser um automorfismo de Dα como D-espaco

vetorial. Existe, pois, x′ em Dα que verifica 1 = ρx(x′) = x′x. Resulta desta relacao que


x′ nao e divisor de zero a direita; repetindo os mesmos argumentos, obtemos x′′ em Dα

que verifica x′′x′ = 1. Necessariamente, x′′ = x, o que encerra esta prova. �

Proposicao 1.1.20. Se C = K, Entao Dα e isomorfo a um anel de matrizes sobre um

anel com divisao.

Prova: Observemos que os ideais a esquerda de Dα sao invariantes sob a acao de D.

Consequentemente, usando proposicao 1.1.19, concluımos que cada ideal a esquerda de

Dα tambem possui dimensao finita sobre D. Entao Dα e um anel artiniano (a esquerda)

e, apos mostrarmos que e tambem um anel simples, o resultado seguira do teorema de

Wedderburn-Artin.

Com efeito, seja I um ideal (bilateral) nao nulo em Dα. Afirmamos que I = Dα.

De fato, tomamos u =∑r−1

i=0 Ui ⊗ αi ∈ I nao nulo de modo que o numero de Ui’s nao

nulos na expressao dada – ao que nos referiremos como comprimento de u – seja mınimo.

Seja k ∈ {0, . . . , r − 1} o ındice do primeiro somando nao nulo, entao reescrevemos u =∑r−1i=k Ui ⊗ αi. Como R e um anel simples, e verdadeiro que RUkR = R, donde obtemos

convenientes Aj , Bj ∈ R tais que∑s

j=1AjUkBj = 1, para algum s ≥ 1. Consideremos o

seguinte elemento de I:

u′ =s∑j=1

(Aj ⊗ 1)u(Bj ⊗ 1) ∈ I,

ou explicitamente

u′ = 1 +r−1∑i=k+1

U ′i ⊗ αi, em que U ′i =s∑j=1

AjUiBj .

Vemos que o comprimento de u′ nao supera o de u, que e mınimo. Redunda que u′

e um elemento nao nulo de I de comprimento tambem mınimo. Para qualquer V ∈ R,

temos que

u′′ = (V ⊗ 1)u′ − u′(V ⊗ 1) =

r−1∑i=k+1

(V U ′i − U ′iV )⊗ αi

pertence a I e tem comprimento estritamente inferior ao de u′. Necessariamente, u′′ = 0,

donde V U ′i = U ′iV para todo i. Como V e qualquer, concluımos que os Ui’s sao centrais

em R, logo Ui = ai · 1 com ai ∈ K para todo i. Sucede que u′ = 1 +∑ai · 1 ⊗ αi =

1 +∑

1⊗ aiαi ∈ 1⊗K K(α), portanto u′ e uma unidade e concluımos que I = Dα, como

afirmamos. �

Para referencias mais adiante, temos o

Corolario 1.1.21. Para quaisquer α1, . . . , αs algebricos sobre K, temos que D(α1,...,αs) =

R⊗K K(α1, . . . , αs) e isomorfo a um anel de matrizes sobre um anel com divisao.

Prova: Ja provamos o caso s = 1. Suponhamos que D(α1,...,αs−1)∼= Mp(∆), em que ∆ e

um anel com divisao. Computos simples revelam queKs−1 = K(α1, . . . , αs−1) e o centro de

D(α1,...,αs−1). De acordo com a proposicao 1.1.18, pondo F = Ks−1, A = D(α1,...,αs−1), B =


Ks = Ks−1(αs) e R = D(α1,...,αs), temos D(α1,...,αs)∼= D(α1,...,αs−1) ⊗Ks−1 Ks e o resultado

segue, como no caso s = 1, pela proposicao 1.1.20. �

Seja Sα = {p[t] ∈ R[t] | p[α] e regular em Dα}, manifestamente um conjunto multi-

plicativo. Afirmamos que se trata de um conjunto de denominadores em Dα. A princıpio,

mostremos que seus elementos sao todos regulares. Seja p = p[t] ∈ R[t] nao nulo e nao

regular, i.e., um divisor de zero bilateral, de acordo com a proposicao 1.1.19. Se p[α] = 0,

entao p /∈ Sα. Suponhamos, pois, que p[α] 6= 0 e seja u = u[t] ∈ R[t] nao nulo tal que

pu = 0, donde p[α]u[α] = 0. A prova da afirmacao estara completa quando mostrarmos

que pode ocorrer u[α] 6= 0. Relembremos que {Vj | j ∈ J} denota uma base de R sobre C.

Podemos escolher u = u[t] =∑

j Vj ⊗ uj [t] de modo que maxj ∂uj seja o menor possıvel

e esta condicao implica u[α] 6= 0; caso contrario, u ∈ R ⊗C (mα), i.e., uj = u′jmα com

u′j = u′j [t] ∈ C[t] para todo j. Consequentemente, 0 = pu = p(∑

j Vj⊗u′j)(1⊗mα). Como

1⊗mα e regular, temos p(∑

j Vj ⊗ u′j) = 0 e maxj ∂u′j < maxj ∂uj , uma contradicao.

Dado p = p[t] ∈ Sα, podemos agora usar a observacao 1.1.15 para obter polinomios

nao nulos u = u[t], p′ = p′[t] ∈ R[t] tais que pu = p′ e p′ ∈ D ⊗C C[t] ∼= D[t]. Escrevamos

u =∑

k Uk ⊗ tk e denotemos por Eij ∈ R a matriz ij-elementar. Entao

u =∑ij

(Eij ⊗ 1)uij ,

em que

uij = uij [t] =∑k

(Uk(i, j) · 1)⊗ tk ∈ D[t]

Suponhamos que u e p′ foram escolhidos de modo que ∂p′ seja o menor possıvel. Afirmamos

que esta propriedade adicional implica p′ ∈ Sα. Pela proposicao 1.1.19, e suficiente mostrar

que p′[α] nao e um divisor de zero em D ⊗C C(α). Se v[t] ∈ D[t] e tal que p′[α]v[α] = 0,

temos, por um lado, p′v ≡ 0 (mod kerπα). Tambem p[α]u[α]v[α] = 0, o que acarreta

0 = u[α]v[α] =∑

ij(Eij ⊗ 1)uij [α]v[α], porque p ∈ Sα. Entao uijv ≡ 0 (mod kerπα)

para todos i, j. Relembremos que os ideais a esquerda em D[t] sao principais. Como ∂p′

e mınimo, nao deve haver um divisor comum aos uij ’s e a p′ com grau positivo, portanto

existem f = f [t], gij = gij [t] ∈ D[t] tais que∑ij

gijuij + fp′ = 1,

por conseguinte

v =∑ij

gijuijv + fp′v ≡ 0 (mod kerπα),

e, assim, v[α] = 0, o que prova a afirmacao.

Nosso ultimo passo e provar que, dados q1 = q1[t], . . . , qr = qr[t] ∈ D[t], existem

u′i = u′i[t], b = b[t] ∈ D[t] tais que p′u′i = qib, 1 ≤ i ≤ r, com b[α] regular. Dado

q = q[t] ∈ D[t], existe uma solucao nao trivial em D[t] para a equacao p′x − qy = 0 nas

indeterminadas x e y, digamos x = u′ = u′[t] e y = b = b[t]. Novamente, se escolhemos

u′ e b de modo que ∂b e mınimo, entao b ∈ Sα. Assumamos que ocorram as relacoes


p′u′′i = qib1, 1 ≤ i ≤ r − 1, com b1 ∈ Sα. Como no caso r = 1, existem u′r, b2 ∈ D[t] tais

que p′u′r = qrb1b2 com b2 ∈ Sα. Denotamos u′i = u′′i b2, 1 ≤ i ≤ r − 1, e b = b1b2 e o

resultado segue.

De acordo com o paragrafo anterior, para qualquer outro polinomio q = q[t] =∑ij(Eij ⊗ 1)qij [t] ∈ R[t], com qij [t] ∈ D[t], existem u′ij [t], b[t] ∈ D[t] tais que p′u′ij = qijb

para todos i, j e b ∈ Sα. Escrevemos u′[t] =∑

ij(Eij⊗1)u′ij [t]; consequentemente pa = qb,

em que a = a[t] = u[t]u′[t]. Isto estabelece a condicao de Ore a direita para Sα. A

demonstracao para o lado esquerdo segue por simetria.

O anel de fracoes de R[t] com denominadores em Sα sera denotado por Rα(t). Como

os elementos de Sα sao regulares, temos R[t] ↪→ Rα(t) e, alem disso, o monomorfismo

canonico ι : R[t]→ R(t) e Sα-invertıvel. Resulta, pelo corolario 1.1.5, que Rα(t) e subanel

de R(t). Temos tambem a propriedade de que todo elemento regular em Dα e uma unidade,

entao πα tambem e Sα-invertıvel. Sucede, pelo lema 1.1.4, que existe uma unica extensao

εα : Rα(t) → Dα dada por εα(ab−1) = πα(a)πα(b)−1, para quaisquer a = a[t] ∈ R[t] e

b = b[t] ∈ Sα. Finalmente, observamos que, se εα(ab−1) e invertıvel, entao πα(a) nao

pode ser um divisor de zero a direita, o que equivale a dizer que, em conformidade com

o a proposicao 1.1.19, πα(a) e uma unidade em Dα. Redunda que a ∈ Sα, logo ab−1 e

uma unidade em Rα(t), com inverso ba−1. Para encerrar esta secao, sintetizamos os fatos

verificados nestes ultimos paragrafos no proximo lema, do qual faremos extenso uso nos

capıtulos que virao.

Lema 1.1.22. 1. Sα = {p[t] ∈ R[t] | p[α] = πα(p[t]) e regular em Dα} e um conjunto

de denominadores e Rα(t), o anel de fracoes de R[t] com denominadores em Sα, e

um subanel de R(t).

2. O epimorfismo πα admite uma unica extensao εα : Rα(t) → Dα tal que, para to-

dos a[t] ∈ R[t] e b[t] ∈ Sα, temos εα(a[t]b[t]−1) = πα(a[t])πα(b[t])−1 = a[α]b[α]−1.

Ademais, se εα(a[t]b[t]−1) e uma unidade, entao a[t]b[t]−1 e uma unidade em Rα(t).

1.2 Um pouco de topologia

Esta secao estabelece algumas relacoes topologicas entre o anel das series de Lau-

rent em uma indeterminada comutativa t e com coeficientes em um anel com divisao D,

denotado por D((t)), e o anel total de fracoes D(t). Ambos sao aneis com divisao – este

ja estudado acima, aquele conforme, por exemplo, [Lam01], p.9.

Definimos uma valorizacao ‖.‖ : D((t)) → R+ dada por ‖0‖ = 0 e, para todo ele-

mento nao nulo x =∑∞−∞ xit

i, dada por ‖x‖ = 2−N , em que N = min{i ∈ Z | xi 6= 0}.Nestes moldes, uma metrica d em D((t)) e dada por d(x, y) = ‖x− y‖. Nao e difıcil mos-

trar que d e uma ultra-metrica, i.e., verifica a desigualdade d(x, z) ≤ max{d(x, y), d(y, z)},para todos x, y, z ∈ D((t)), que e estritamente mais forte que a desigualdade triangular.

Com a topologia τ induzida por d, (D((t)), τ) e um anel com divisao topologico, i.e.,


as operacoes de adicao e de multiplicacao sao contınuas e a aplicacao de D((t))− {0} em

si mesmo dada por x 7→ x−1 e tambem contınua. Destacamos que (D((t)), τ) verifica o

axioma de separacao T1, i.e., dados dois elementos distintos x, y ∈ D((t)), sempre existe

Ux ∈ τ tal que x ∈ Ux e y /∈ Ux. Isto equivale a dizer que, para qualquer x ∈ D((t)), {x}e um conjunto fechado. O proximo resultado e de nosso interesse.

Proposicao 1.2.1. Com a topologia τ definida acima, D(t) e um subanel denso em D((t)).

Prova: Inicialmente, notemos que existe um monomorfismo natural de D[t] em D((t)),

e que todo elemento regular daquele e uma unidade neste. Resulta, pelo corolario 1.1.5,

que D(t) e identificado como um subanel de D((t)).

Agora e suficiente mostrar que, para arbitrarios r > 0 e x ∈ D((t)), temos

Br(x) ∩D(t) 6= ∅,

em que

Br(x) = {y ∈ D((t)) | d(x, y) < r}.

Se x ∈ D(t), nao ha o que demonstrar. Caso contrario, necessariamente x 6= 0, logo

x =∑

n≥N xntn, para algum N ∈ Z. Como limn→∞ 2−n = 0, existe N0 ≥ N tal que

2−n < r, para todo n ≥ N0. Tomamos p(t) =∑N0

n=N xntn ∈ D(t). Pela hipotese sobre x,

temos x − p(t) /∈ D(t), logo existe N1 > N0 tal que 0 6= x − p(t) =∑

n≥N1xnt

n. Resulta

que d(x, p(t)) = 2−N1 < r, e a demonstracao esta completa. �

1.3 Filtros e ultra-produtos

Nesta secao, desenvolveremos um pouco de trabalho sobre filtros. Apesar de serem

construcoes da logica formal, os filtros sao as mais importantes ferramentas utilizadas nas

demonstracoes dos resultados principais nos proximos capıtulos.

No que seguira, Λ = {λ} e um conjunto nao vazio arbitrario e P(Λ) denota a colecao

dos subconjuntos de Λ.

Definicao 1.3.1. Um conjunto nao vazio F ⊂ P(Λ) e dito ser um filtro (em Λ) se

verifica os tres axiomas abaixo:

F1 ∅ /∈ F .

F2 Para qualquer subcolecao finita F ⊂ F ,⋂F ∈ F .

F3 Para quaisquer S, T ∈ P(Λ), se S ⊆ T e S ∈ F , entao T ∈ F .

Resulta tao somente da definicao que Λ ∈ F . Dado B ⊆ P(Λ), e razoavel perguntar-

se se podemos construir um filtro adicionando a B os subconjuntos de Λ que contem algum

elemento de B. A proxima proposicao estabelece as circunstancias sob as quais isso pode

ser obtido.


Proposicao 1.3.2. Seja B ⊆ P(Λ). Entao a colecao de subconjuntos de Λ que contem

um elemento B e um filtro se e somente se B goza das seguintes propriedades:

B1 B 6= ∅ e ∅ /∈ B

B2 Para quaisquer B1, B2 ∈ B, existe B0 ∈ B tal que B0 ⊆ B1 ∩B2.

Prova: Assumamos que B possui as propriedades B1 e B2 e seja F a colecao de subcon-

juntos de Λ que contem um elemento de B, entao o axioma F3 e imediatamente verificado.

Por B1, F 6= ∅ e, para todo S ∈ F , existe B ∈ B nao vazio tal que B ⊆ S, logo o axioma

F1 tambem e verificado. Por B2 (e um argumento simples de inducao), concluımos que

qualquer intersecao de subcolecoes finitas de B contem um elemento de B, o que estabelece

o axioma F2. Segue que F e um filtro, dito gerado por B.

Reciprocamente, se F e um filtro, entao e nao vazio e nao possui o conjunto vazio

entre seus elementos, o que valida B1 para B. A propriedade B2 segue como um caso

particular do fato de F ser fechado para intersecoes finitas. �

Definicao 1.3.3. Um conjunto B ⊆ P(Λ) que goza das propriedades B1 e B2 e dito ser

uma base para o filtro gerado por ele.

Observemos que a colecao de todos os filtros em Λ e um conjunto naturalmente

ordenado pela relacao de inclusao. Isto motiva a seguinte

Definicao 1.3.4. Um filtro maximal e dito ser um ultra-filtro.

Proposicao 1.3.5. Um filtro F em Λ e um ultra-filtro se e somente se, para qualquer

S ⊆ Λ, ou S ∈ F , ou Λ− S ∈ F .

Prova: Seja F um filtro com a propriedade do enunciado. Se F ′ e um outro filtro que

contem F , entao, para todo S ∈ F ′, deve ocorrer S ∈ F , senao Λ− S ∈ F ⊆ F ′ e, pelo

axioma F2, ∅ = S ∩ (Λ− S) ∈ F ′, uma contradicao. Logo F ′ ⊆ F e F e maximal.

Reciprocamente, assumamos que F seja um ultra-filtro. Se S ⊆ Λ nao pertence a

F , temos que S ∩ T1 = ∅, para algum T1 ∈ F ; caso contrario, B = F ∪ {S ∩ T | T ∈ F}seria uma base para um filtro estritamente maior que F , o que nao pode ocorrer. Se

tambem S′ = Λ − S nao pertence a F , encontramos T2 ∈ F tal que S′ ∩ T2 = ∅. Entao

T1 ∩ T2 = Λ ∩ (T1 ∩ T2) = (S ∪ S′) ∩ (T1 ∩ T2) = (S ∩ T1 ∩ T2) ∪ (S′ ∩ T1 ∩ T2) = ∅, uma

contradicao. Consequentemente F possui a propriedade enunciada. �

Observemos que ultra-filtros existem. Vejamos um exemplo construtivo: para qual-

quer λ0 ∈ Λ, verificamos facilmente que B = {λ0} e base de um filtro, a saber a colecao

de todos os subconjuntos de Λ que contem λ0. Verificamos facilmente tambem que, neste

caso, B gera um ultra-filtro. Damos agora um exemplo nao construtivo, mas de grande

utilidade para os nossos propositos. Sejam F um filtro arbitrario e F a colecao (manifes-

tamente nao vazia) de todos os filtros maiores ou iguais a F . Segue do lema de Zorn que

F possui um elemento maximal, que deve ser um ultra-filtro que contem F .


De agora em diante, Λ = {λ} sera considerado como um conjunto de ındices. Seja

{Rλ | λ ∈ Λ} uma famılia de aneis. Identificamos o produto direto completo∏λ∈ΛRλ =∏

Rλ como o anel de todas as funcoes f : Λ →⋃λ∈ΛRλ tais que fλ = f(λ) ∈ Rλ, para

todo λ ∈ Λ, munido da adicao e da multiplicacao ponto a ponto. Quando Rλ = R para

todo λ, usamos a notacao∏Rλ = RΛ.

Seja F um filtro em Λ. Para quaisquer f, g ∈∏Rλ, definimos f ≡ g (mod F ) se e

somente se {λ ∈ Λ | fλ = gλ} pertence a F . O proximo resultado mostra que podemos

conectar filtros a estruturas algebricas.

Proposicao 1.3.6. O conjunto IF = {f ∈∏Rλ | f ≡ 0 (mod F )} e um ideal em

∏Rλ.

Prova: Como Λ ∈ F , a funcao identicamente nula, que leva cada λ em 0, pertence

a IF . Para arbitrarios f, f ′ ∈ IF e g ∈∏Rλ, escrevamos F = {λ ∈ Λ | fλ = 0},

F ′ = {λ ∈ Λ | f ′λ = 0}. Sejam f ′′ = f − f ′, h = fg e h′ = gf . Para completar a

demonstracao, devemos provar que F ′′ = {λ ∈ Λ | f ′′λ = 0}, H = {λ ∈ Λ | hλ = 0} e

H ′ = {λ ∈ Λ | h′λ = 0} estao em F .

Inicialmente, notemos que F e F ′ estao em F , logo por F1 e por F2 temos ∅ 6= F∩F ′

e e claro que todo λ nesta intersecao verifica f ′′λ = 0, consequentemente F ∩ F ′ ⊆ F ′′.

Resulta que F ′′ ∈ F , por F3. Como a multiplicacao e definida ponto a ponto, F esta

contido em ambos H e H ′. Novamente por F3, segue que H e H ′ estao em F . �

Denotamos o anel quociente (∏Rλ)/IF por

∏Rλ/F . Particularmente quando F

e um ultra-filtro,∏Rλ/F e dito ser um ultra-produto da famılia {Rλ}. O proximo

resultado e o nosso primeiro exemplo aplicado a algebra que mostra quao uteis sao os

ultra-produtos, pela caracterıstica que tem de preservar certas propriedades dos aneis

subjacentes.

Lema 1.3.7. Seja {Dλ | λ ∈ Λ} uma colecao de aneis com divisao e escrevamos Rλ =

Mn(Dλ) para cada λ. Entao, para um ultra-filtro qualquer F em Λ, D =∏Dλ/F e um

anel com divisao e∏

Rλ/F ∼= Mn(D).

Prova: Estabelecamos as seguintes notacoes:

IF = {p ∈∏

Rλ | p ≡ 0 (mod F )},

JF = {f ∈∏

Dλ | f ≡ 0 (mod F )}.

Se f ∈∏Dλ nao esta em JF , entao F = {λ ∈ Λ | fλ = 0} /∈ F e segue da

proposicao 1.3.5 que F ′ = Λ−F ∈ F . Definamos g ∈∏Dλ dada por gλ = f−1

λ se λ ∈ F ′

e gλ = 0 se λ ∈ F e escrevamos h = fg e h′ = gf . Pela maneira como g foi definida, temos

{λ ∈ Λ | hλ = 1} = {λ ∈ Λ | h′λ = 1} = F ′ ∈ F . Isto mostra que f + JF ∈ D e uma

unidade, e a primeira das afirmacoes e verdadeira.

Para provar a segunda afirmacao, para cada p ∈∏

Rλ, definimos pij ∈∏Dλ dada


por pij(λ) = pλ(i, j), isto e, a ij-entrada da matriz pλ. Simples computos revelam que

(p+ p′)ij(λ) = (pij + p′ij)(λ)

(pp′)ij(λ) =

(n∑k=1

pikp′kj

)(λ)

do que sucede

(p+ p′)ij = pij + p′ij

(pp′)ij =n∑k=1

pikp′kj .

Como tambem temos 1ij(λ) = δij1, concluımos que ψ :∏

Rλ → Mn(∏Dλ), dado por

ψ(p) = P , em que P (i, j) = pij , e um homomorfismo de aneis.

Dada arbitrariamenteQ ∈Mn(∏Dλ), definimos q ∈

∏Rλ de modo que a ij-entrada

da matriz qλ seja dada por Q(i, j)(λ). Resulta imediatamente que Q = ψ(q), logo ψ e

sobrejetivo.

Notemos que Mn(JF ) e um ideal em Mn(∏Dλ), e temos Mn(

∏Dλ)/Mn(JF ) ∼=

Mn(D). Seja ρ : Mn(∏Dλ) → Mn(

∏Dλ)/Mn(JF ) a projecao canonica ao quociente.

Entao ρψ e um epimorfismo de aneis. Uma vez provando que ker(ρψ) = IF , o resultado

seguira pelo primeiro teorema do isomorfismo.

Esta claro que pλ = 0 se e somente se 0 = pλ(i, j) = pij(λ) para todos i, j, donde

temos a relacao

{λ ∈ Λ | pλ = 0} =⋂ij

{λ ∈ Λ | pij(λ) = 0}.

Podemos combinar os axiomas F2 e F3 para afirmar que⋂ij{λ ∈ Λ | pij(λ) = 0} ∈ F se

e somente se {λ ∈ Λ | pij(λ) = 0} ∈ F para todos i, j. Concluımos que p ≡ 0 (mod F ) se

e somente se pij ≡ 0 (mod F ) para todos i, j, ou seja,

p ∈ IF ⇐⇒ pij ∈ JF , ∀i, j ∈ {1, . . . , n}.

Como p ∈ ker(ρψ) se e somente se P = ψ(p) pertence a Mn(JF ), o que equivale a

dizer que pij = P (i, j) ∈ JF para quaisquer i, j, concluımos que ker(ρψ) = IF . �

Relembremos que R = Mn(D) e que qualquer p = p[t] ∈ R[t] escreve-se unicamente

como p =∑

j Vj ⊗ pj [t], em que {Vj | j ∈ J} e uma base para R sobre C e pj ∈ C[t],

para todo j ∈ J . Finalizaremos esta secao – e este capıtulo – com um resultado bastante

importante, que conecta diversos resultados expostos ate agora.

Lema 1.3.8. Seja D um anel com divisao de centro infinito K. Se C ⊆ K e um subcorpo

infinito, entao existe um ultra-filtro F em C tal que R(t) e embutido no ultra-produto

RC/F .


Prova: No curso desta prova, vamos descrever o seguinte diagrama comutativo:

R[t]� _

��

� � (1)//

� p

(3)

RC

(2)

��

R(t) ��

(4)// R

C

F

Seja p = p[t] =∑

j Vj ⊗ pj [t] em R[t], com pj ∈ C[t], para todo j. Se p[c] =

0 para todo c ∈ C, entao pj [c] = 0 para todo j, porquanto os Vj ’s sao linearmente

independentes. Como C e um corpo infinito, temos pj [c] = 0 para todo c se e somente

se pj = 0. Consequentemente, p[c] = 0 para todo c ∈ C se e somente se p = 0. Isso nos

permite a estabelecer um monomorfismo (1) de R[t] em RC , dado pela aplicacao p 7→ fp,

em que fp(c) = p[c].

Para cada p = p[t] ∈ R[t], seja Sp = {c ∈ C | p[c] e regular em R}. Verifiquemos

que B = {Sp | p[t] e regular em R[t]} e base de um filtro em C. De fato, B e claramente

nao vazio e, se p e regular em R[t], usamos a observacao 1.1.15 para encontrar polinomios

u = u[t] e p′ = p′[t] em R[t], com p′ ∈ D[t] regular, tais que pu = p′. Como existe ao menos

um c0 ∈ C tal que 0 6= p′[c0] ∈ D (como subanel de R), resulta que p[c0]u[c0] = p′[c0], o

que implica p[c0] nao ser um divisor de zero a direita. Com maior razao, p[c0] e regular e,

assim, Sp 6= ∅, estabelecendo a condicao B1. Dado outro elemento regular q = q[t] ∈ R[t],

e claro que pq e regular em R[t] e, para um arbitrario c ∈ C, p[c]q[c] e regular se e somente

se p[c] e q[c] sao regulares, o que prova Sp ∩ Sq = Spq ∈ B e estabelece a condicao B2.

Seja F um ultra-filtro que contem B. Sejam r = r[t] =∑

k Rk ⊗ tk ∈ R[t] nao nulo

e fr a sua imagem em RC . Podemos escrever

r =∑ij

(Eij ⊗ 1)rij [t],

em que

rij [t] =∑k

(Rk(i, j) · 1)⊗ tk ∈ D[t].

Logo r[c] = 0 se e somente se rij [c] = 0 para todos i, j. Como ao menos um dentre os rij ’s

e nao nulo, digamos, sem perda de generalidade, 0 6= r11[t] ∈ D[t], entao Sr11 ∈ F . Por

conseguinte, {c ∈ C | r[c] = 0} ∩ Sr11 = ∅, o que acarreta

{c ∈ C | fr(c) = 0} = {c ∈ C | r[c] = 0} /∈ F .

Neste caso, fr 6≡ 0 (mod F ), mostrando que a composicao da projecao ao quociente (2)

com o monomorfismo (1) e, ainda, um monomorfismo (3).

Finalmente, para qualquer u = u[t] ∈ R[t] regular – fu sua imagem em RC –, temos

Su = {c ∈ C | fu(c) e regular em R} ∈ F e, para qualquer c ∈ Su, a matriz fu(c) = u[c] e


regular em R = Mn(D), portanto uma unidade. Definimos g ∈ RC dada por g(c) = r[c]−1

para todo c ∈ Su e g(c) = 0, caso contrario. Resulta que fug ≡ gfu ≡ 1 (mod F ). Usamos

o corolario 1.1.5 para estender o monomorfismo (3) a um monomorfismo (4), completando

a demonstracao �

Capıtulo 2

Identidades racionais

Este capıtulo contem o cerne de todo o texto. Aqui estabeleceremos formalmente

o conceito de identidade racional e, reunindo os fatos desenvolvidos no capıtulo anterior,

produziremos os resultados principais desejados.

2.1 Identidades Polinomiais

A fim de motivar o conceito de identidades racionais, podemos fazer um breve recuo

na historia. Vamos expor um pouco do estudo de uma classe especial de algebras, as

quais satisfazem, em certo sentido, uma propriedade que generaliza a comutatividade.

Referimo-nos a classe das algebras com identidades polinomiais, ou, sucintamente, a classe

das PI-algebras (do ingles, polynomial identity algebras).

As definicoes e os conceitos elementares no estudo das PI-algebras envolvem co-

nhecimentos que compoem o repertorio de muitos estudantes de algebra. Partindo deles,

podemos produzir resultados sofisticados, como o proximo

Lema 2.1.1 (e.g. Herstein [Her71], p.158). Sejam F um corpo e n um inteiro positivo

arbitrarios. Entao Mn(F ) nao satisfaz uma identidade polinomial de grau inferior a 2n.

O proximo resultado e devido a I. Kaplansky. Ele estabelece definitivamente a

importancia do estudo das PI-algebras.

Teorema 2.1.2 (Kaplansky [Kap48]). Sejam F um corpo e A uma F -algebra primitiva.

Se A satisfaz uma identidade polinomial, entao A e uma algebra central simples, de di-

mensao finita sobre o seu centro.

Uma consequencia imediata do teorema acima e que aneis com divisao de dimensoes

infinitas sobre seus centros nao satisfazem identidades polinomiais. Tendo em vista o lema

2.1.1, o proximo teorema exibe uma identidade polinomial de grau mınimo em um anel

de matrizes sobre um corpo.

19

CAPITULO 2. IDENTIDADES RACIONAIS 20

Teorema 2.1.3 (Amitsur-Levitzki [AL50]). Sejam n um inteiro arbitrario e Sn o grupo

simetrico de ordem n. Para cada permutacao σ em Sn, (−1)σ denota o sinal de σ. Con-

sideremos o polinomio

s2n = s[x1, . . . , x2n] =∑σ∈Sn

(−1)σxσ(1) · · ·xσ(2n).

Entao, para qualquer corpo F , s2n e uma identidade polinomial de Mn(F ).

Destaquemos uma importante aplicacao que resulta da combinacao dos resultados

acima: se D e E sao aneis com divisao tais que D ↪→ E e D tem dimensao infinita sobre seu

centro, entao E tambem tem dimensao infinita sobre seu centro. Caso contrario, usamos

o teorema de Wedderburn-Artin para embutir E em um anel de matrizes sobre um outro

anel com divisao e concluımos que s2n e uma identidade polinomial em E, para algum

inteiro positivo n. Em contrapartida, como as identidades de E sao tambem identidades de

D, concluımos que s2n e uma relacao polinomial em D e que, a fortiori, D tem dimensao

finita sobre seu centro.

Encerramos esta curta secao destacando uma possıvel extensao (conforme Amitsur

[Ami65]) do estudo das identidades polinomiais em uma F -algebra A – que, ate entao,

fazia-se por meio de polinomios na algebra livre sobre o corpo F em indeterminadas nao

comutativas do conjunto {x} = {x1, x2, . . . } – a um tipo mais geral de relacao polinomial.

Os polinomios generalizados sao os elementos do produto livre de A e F 〈x〉 com amalgama

em F , denotado por A ∗FF 〈x〉, que satisfaz a seguinte propriedade universal: para qualquer

F -homomorfismo de algebras ϕ : A → B e qualquer funcao f : {x} → B, existe um unico

F -homomorfismo de algebras Φ: A ∗FF 〈x〉 → B tal que Φ |A= ϕ e Φ |{x}= f . Destacamos

dois teoremas relacionados a estas observacoes:

Teorema 2.1.4 (Amitsur [Ami65]). Um anel com divisao satisfaz uma identidade poli-

nomial (generalizada) se e somente se tem dimensao finita sobre seu centro.

Teorema 2.1.5 (Amitsur [Ami65]). Seja D um anel com divisao de centro K. Entao

D ∗KK[x] e um anel sem divisores de zero nao triviais que pode ser embutido em um anel

com divisao.

O anel com divisao no qual podemos embutir D ∗KK[x] e da forma DΛ/F , em que Λ

e a colecao de todos os homomorfismos de D ∗KK[x] em D e F e um ultra-filtro conveniente

em Λ, construıdo em moldes semelhantes aos empregados no lema 1.3.8.

2.2 Expressoes Racionais

Apos o teorema 2.1.5, o ultimo estagio para generalizar identidades polinomiais

seria considerar relacoes que envolvem inversos de um polinomio, algo que, mesmo antes

da publicacao dos resultados de Amitsur em [Ami66], era feito sob circunstancias muito


particulares. Por exemplo, a expressao

a− [a−1 + (b−1 − a)−1]−1 − aba = 0, (2.1)

conhecida como identidade de Hua, e verdadeira para quaisquer a e b em um anel com

divisao, desde que ab /∈ {0, 1}. Embora possamos classifica-la como uma identidade “tri-

vial”, pelo fato de ser uma relacao comum a todos os aneis com divisao (sob as devidas

restricoes), a identidade de Hua pode ser aplicada para obter facilmente o teorema fun-

damental da geometria projetiva. Uma outra expressao “trivial” que envolve inversos de

um polinomio e

(ab)−1 − b−1a−1 = 0,

valida para quaisquer a e b em um anel com divisao, desde que a, b /∈ {0}.Por ora, as restricoes para que as expressoes racionais que usamos como exemplo

sejam verdadeiras sao ainda faceis de controlar. Para obter resultados gerais, precisamos

desenvolver o texto de modo a obter uma formalizacao efetiva do que chamaremos de

identidade racional.

Comecemos com um corpo infinito C e uma C-algebra A, na qual elementos in-

vertıveis a esquerda sao unidades. Formemos a algebra livre com unidade C 〈x〉, em que

{x} = {x1, x2 . . . } e um conjunto de indeterminadas nao comutativas. Reescrevemos (2.1)

de uma maneira um pouco mais elaborada:

x1 −1

1x1

+ 11x2−x1

− x1x2x1. (2.2)

A expressao (2.2) ainda nao tem sentido formal. Parece ser um elemento de um anel de

fracoes obtido a partir de C 〈x〉, de cuja existencia ainda (e por enquanto) nao temos

conhecimento. A sequencia do texto sugere que a construcao de tal anel de fracoes deve

anteceder o estudo das identidades racionais, mas faremos o contrario. Segundo o tra-

balho de Amitsur [Ami66], a teoria das identidades racionais, cujo ponto de partida e,

surpreendentemente, uma algebra livre sobre C com unidade, antecedeu a sua construcao

(pioneira, mais uma vez!) de um anel de fracoes C(x) para a algebra livre C 〈x〉. Vejamos,

a seguir, uma motivacao para introduzir, mas adiante, conceitos formais.

Precisamos aumentar C 〈x〉 com indeterminadas, digamos, auxiliares. Tomamos

{y} = {y1, . . . , y4} de modo que, globalmente, {x; y} e um conjunto de indeterminadas

nao comutativas. Formamos, entao, a algebra livre com unidade C 〈x; y〉. Consideremos

os polinomios p1 = p1 〈x〉 = x1, p2 = p2 〈x〉 = x2, p3 = p3 〈x; y2〉 = y2 − x1 e p4 =

p4 〈x; y1, y3〉 = y1 − y3. Formamos agora, para cada j ∈ {1, . . . , 4}, o polinomio qj =

qj 〈x; y1, . . . , yj〉 = yjpj − 1.

Seja ϕ um homomorfismo de C 〈x; y〉 em A. Se ϕ(qj) = 0, para todo j, entao


claramente, com as nossas hipoteses,

ϕ(x1) = ϕ(y1)−1,

ϕ(x2) = ϕ(y2)−1,

ϕ(y2)− ϕ(x1) = ϕ(y2 − x1) = ϕ(y3)−1 e

ϕ(y1)− ϕ(y3) = ϕ(y1 − y3) = ϕ(y4)−1.

Consideremos o polinomio p = p 〈x; y〉 = x1− y4−x1x2x1 em C 〈x; y〉. Usando as relacoes

acima, resulta que

ϕ(p) = ϕ(x1)− 11

ϕ(x1) + 11

ϕ(x2)−ϕ(x1)

− ϕ(x1)ϕ(x2)ϕ(x1).

Comparando o resultado obtido com (2.2), parece razoavel investir nesta direcao, usando

as indeterminadas yj como auxiliares para determinar quais homomorfismos de C 〈x; y〉em A – portanto quais aplicacoes xi 7→ ai e yj 7→ bj – anulam todos os qj ’s e fazem o

polinomio p acima relacionar-se com a expressao racional em (2.2).

2.3 Homomorfismos Admissıveis

Vistas as motivacoes, introduzimos as definicoes que seguem. De agora em diante,

C denota um corpo infinito e C 〈x; y〉 = C 〈x; y1, . . . , yn〉 e como acima. As C-algebras a

serem estudadas satisfazem a propriedade que supusemos anteriormente para A: elementos

invertıveis a esquerda sao unidades.

Convencionaremos as seguintes notacoes para subalgebras de C 〈x; y〉: C0 = C 〈x〉e, para cada j ∈ {1, . . . , n}, Cj = C 〈x; y1, . . . , yj〉.

Definicao 2.3.1. Seja I0 um ideal bilateral de C 〈x; y〉 = C 〈x; y1, . . . , yn〉. Diremos que

I0 e um Q-ideal de nıvel n (ou simplesmente Q-ideal) se I0 = (q1, . . . , qn) e gerado

por polinomios da forma qj = qj 〈x; y1, . . . , yj〉 = yjpj − 1, em que 0 6= pj ∈ Cj−1, com

1 ≤ j ≤ n.

Definicao 2.3.2. Sejam R uma C-algebra, ϕ : C 〈x; y〉 → R um C-homomorfismo e I0

um Q-ideal. Entao ϕ e dito (I0−)admissıvel se I0 ⊆ kerϕ.

Observemos que ϕ e admissıvel se e somente se ϕ(qj) = 0, para todo j. A colecao

dos homomorfismos admissıveis em R e denotada por I(R).

Com as presentes definicoes, estamos prontos para estabelecer uma relacao de sentido

entre os polinomios p = p 〈x; y〉 em C 〈x; y〉 e as expressoes racionais, conforme esbocamos

na secao anterior.

Definicao 2.3.3. Sejam R uma C-algebra e I0 um Q-ideal. Um polinomio p = p 〈x; y〉 e

dito uma identidade (I0−)racional de R se, para todo ϕ ∈ I(R), ocorre p ∈ kerϕ.


Segue da definicao acima que, estabelecido um Q-ideal, o conjunto das identidades

racionais de R e dado por

I(R) =⋂

ϕ∈I(R)

kerϕ

Observemos que pode ocorrer I(R) = ∅. Neste caso, convencionamos – o que e logicamente

plausıvel – I(R) = C 〈x; y〉. Outrossim, uma identidade racional de R que nao envolve as

indeterminadas yj e uma relacao polinomial.

Enfatizamos que, de acordo com as nossas definicoes, se I(R) 6= ∅ e ϕ e um homo-

morfismo admissıvel, entao ϕ(p) = 0 para qualquer identidade polinomial de R, ou seja,

p ∈ I(R) e, mesmo quando I(R) = ∅, temos p ∈ C 〈x〉 ↪→ C 〈x; y〉 = I(R). Isto mostra

que o conceito de identidade racional estende o de identidade polinomial.

Nas demonstracoes que seguem, esta sempre implıcito que existe um Q-ideal fixado

e que as identidades racionais de uma algebra sao aquelas tomadas em relacao a esse ideal.

O seguinte lema, de certa forma, e tambem uma justificativa para o nome identidades

racionais.

Lema 2.3.4. Um homomorfismo ϕ0 de C0 em R origina um homomorfismo admissıvel

ϕ = ϕn : Cn → R se e possıvel definir, recursivamente, ϕj : Cj → R dada por ϕj |Cj−1=

ϕj−1 e ϕj(yj) = ϕj−1(pj)−1 para cada j ∈ {1, . . . , n}, donde necessariamente ϕj−1(pj) e

uma unidade em R.

Reciprocamente, um homomorfismo admissıvel ϕ : C 〈x; y〉 → R e unicamente deter-

minado por ϕ0 = ϕ |C0.

Prova: A primeira das afirmacoes e evidente. Para provar a segunda, seja ϕ : Cn → R

um homomorfismos admissıvel. Denotemos ϕj = ϕ |Cj . Nestes moldes, ϕn = ϕ. Seja

ϕ : Cn → R um homomorfismo admissıvel tal que ϕ0 = ϕ0. Como p1 = p1 〈x〉 ∈ C0, temos

que

ϕ(y1) = ϕ(p1)−1 = ϕ(p1)−1 = ϕ(y1)

do que decorre ϕ1 = ϕ1. Assumamos que ϕn−1 = ϕn−1. Como y1, . . . , yn−1 ∈ Cn−1, temos

ϕ(yj) = ϕ(yj), com 1 ≤ j ≤ n− 1. Alem disso, pn = pn 〈x; y1, . . . , yn−1〉 ∈ Cn−1, logo

ϕ(yn) = ϕ(pn)−1 = ϕ(pn)−1 = ϕ(yn).

Como ambos os homomorfismos coincidem nos geradores da algebra livre Cn, segue que

ϕ = ϕ, como querıamos. �

Homomorfismos admissıveis sao, essencialmente, os C-homomorfismos para os quais

as imagens dos polinomios pj ’s sao unidades. O lema acima prove um metodo de cons-

trucao de tais homomorfismos bastante util, alem de estabelecer um criterio tao simples

quanto importante para determinar a unicidade dessas aplicacoes. Faremos extenso uso

das informacoes nele contidas.

Antes de seguir para o proximo teorema, que envolve fatos esperados sobre identida-

des racionais, estabeleceremos o seguinte: dada uma famılia de C-algebras {Rλ | λ ∈ Λ},


definimos, para cada λ0 ∈ Λ, o homomorfismo de projecao µλ0 :∏Rλ → Rλ0 dado por

µλ0(f) = f(λ0).

Teorema 2.3.5. Sejam R, R′ e Rλ, para cada λ em um conjunto de ındices Λ, C-algebras

arbitrarias. Entao sao verdadeiras as seguintes afirmacoes:

1 Se R ↪→ R′, entao I(R′) ⊆ I(R).

2 Se R ∼= R′, entao I(R) = I(R′).

3 I(∏Rλ) =

⋂λ∈Λ I(Rλ).

Prova: Se I(R) = ∅, entao I(R) = C 〈x; y〉 e o resultado e evidente. Podemos assumir

que I(R) 6= ∅, portanto. Sejam ϑ : R ↪→ R′ um monomorfismo e ϕ ∈ I(R) arbitrario.

Entao esta bem definido ϑϕ e, como ϑ e injetivo, temos kerϕ = ker(ϑϕ), do que decorre

ϑϕ ∈ I(R′). E dizer que ϑI(R) ⊆ I(R′). Assim,

I(R) =⋂

ϕ∈I(R)

kerϕ =⋂

ϕ∈I(R)

kerϑϕ =⋂

ϕ∈ϑI(R)

ker ϕ ⊇⋂

ϕ∈I(R′)

ker ϕ = I(R′),

o que prova 1. No caso em que R ∼= R′, digamos que ψ seja um isomorfismo de R em R′,

basta substituir ϑ acima por ψ e depois por ψ−1 para obter a prova de 2.

Para mostrar que⋂I(Rλ) ⊆ I(

∏Rλ), podemos, como fizemos acima, supor que

I(∏Rλ) 6= ∅. Sejam p = p 〈x; y〉 ∈

⋂I(Rλ) e ϕ ∈ I(

∏Rλ) arbitrarios. Entao, para cada

λ0 em Λ, µλ0ϕ esta em I(Rλ0), porquanto I0 ⊆ kerϕ ⊆ ker(µλ0ϕ). Resulta que

0 = (µλ0ϕ)(p) = (ϕ(p))(λ0).

Como λ0 e qualquer, concluımos que ϕ(p) = 0, e a primeira das inclusoes esta provada.

Reciprocamente, para qualquer λ0 ∈ Λ temos que {f ∈∏Rλ | f(λ) = 0,∀λ 6= λ0} e uma

subalgebra de∏Rλ isomorfa a Rλ0 . Segue, usando 1 e 2, que tambem

⋂I(Rλ) ⊇ I(

∏Rλ),

o que completa a prova da afirmacao 3. �

Observemos que, como fizemos acima para mostrar inclusoes entre conjuntos de iden-

tidades racionais, podemos sempre assumir que o conjunto de homomorfismos admissıveis

e nao vazio. Isto sera, a partir de agora, feito nas demais demonstracoes.

Teorema 2.3.6. Sejam R uma C-algebra, Λ = {λ} um conjunto de ındices, {Rλ | λ ∈ Λ}uma famılia de C-algebras e F um filtro em Λ. Sao verdadeiras as afirmacoes abaixo:

1 Se R′ e uma subalgebra de RΛ, entao I(R) ⊆ I(R′). Ademais, se R0 e uma subalgebra

de R′ tal que R0∼= R, entao I(R′) = I(R).

2 Para cada S ∈ F , definimos IS =⋂λ∈S I(Rλ). Entao I(

∏Rλ/F ) ⊇ IS, para todo

S ∈ F e, se F e um ultrafiltro, temos I(∏Rλ/F ) =

⋃S∈F IS.

3 I(RΛ/F ) = I(R).


Prova: Suponhamos que p = p 〈x; y〉 ∈ C 〈x; y〉 nao seja uma identidade racional em R′.

Entao existe ϕ ∈ I(R′) tal que ϕ(p) 6= 0. Seja λ0 ∈ Λ tal que 0 6= (ϕ(p))(λ0) = (µλ0ϕ)(p).

Como kerϕ ⊆ ker(µλ0ϕ), temos µλ0ϕ ∈ I(R). Resulta que p nao e uma identidade racional

em R, portanto I(R) ⊆ I(R′). Alem disso, se R0 e uma subalgebra de R′ tal que R0∼= R,

segue do teorema 2.3.5 que I(R′) ⊆ I(R0) = I(R) ⊆ I(R′). Logo I(R′) = I(R) e a

afirmacao 1 e verdadeira.

Para provar a segunda afirmacao, fixemos arbitrarios S ∈ F , r = r 〈x; y〉 ∈ IS e

ϕ ∈ I(∏Rλ/F ). Escolhamos fi, gj em

∏Rλ de modo que ρ(fi) = ϕ(xi) e ρ(gj) = ϕ(yj),

em que ρ e a projecao canonica de∏Rλ em

∏Rλ/F . Seja Φ: C 〈x; y〉 →

∏Rλ o

homomorfismo induzido pelas aplicacoes xi 7→ fi e yj 7→ gj . Resulta que ϕ = ρΦ. Como ϕ

e admissıvel, temos I0 ⊆ ker(ρΦ). Isto mostra que Φ(qj) ≡ 0 (mod F ), para cada gerador

qj do Q-ideal I0, logo

Sj = {λ ∈ Λ | (Φ(qj))(λ) = 0} = {λ ∈ Λ | (µλΦ)(qj) = 0} ∈ F

para cada j ∈ {1, . . . , n}. Seja T = S ∩ (⋂nj=1 Sj). Pelo axioma F2, temos T ∈ F e,

como T ⊆ S, temos tambem IT ⊇ IS , o que acarreta r ∈ IT . Notemos que, para cada

λ ∈ T , (µλΦ)(qj) = 0 para todo j, ou seja, µλΦ ∈ I(Rλ) e, necessariamente, (µλΦ)(r) = 0.

Nestes moldes,

{λ ∈ Λ | (Φ(r))(λ) = (µλΦ)(r) = 0} ⊇ T ∈ F .

Resulta do axioma F3 que {λ ∈ Λ | (Φ(r))(λ) = 0} ∈ F , portanto Φ(r) ≡ 0 (mod F ), ou

seja, 0 = (ρΦ)(r) = ϕ(r), do que decorre r ∈ I(∏Rλ/F ). Isto prova a primeira parte da

segunda afirmacao.

Suponhamos agora que F seja um ultra-filtro. Pelos argumentos do paragrafo an-

terior, ja sabemos que⋃IS ⊆ I(

∏Rλ/F ). Para mostrar a inclusao contraria, fixemos

u = u 〈x; y〉 /∈⋃IS . Vamos exibir um homomorfismo em I(

∏Rλ/F ) cujo nucleo nao

contem u. Inicialmente, temos que, para todo S ∈ F , existem λS ∈ S e ψλS ∈ I(RλS )

tais que ψλS (u) 6= 0. Denotemos Tu = {λS | S ∈ F}. Desta forma, Tu ∩ S 6= ∅ para todo

S ∈ F e, como este e um ultra-filtro, deve ocorrer Tu ∈ F , conforme os argumentos usados

na demonstracao da proposicao 1.3.5. Sejam hi, kj ∈∏Rλ dados por hi(λS) = ψλS (xi) e

kj(λS) = ψλS (yj) para todo λS ∈ Tu, e hi(λ) = 0 = kj(λ), para todo λ ∈ Λ − Tu. Seja

Ψ: C 〈x; y〉 →∏Rλ o homomorfismo induzido pelas aplicacoes xi 7→ hi e yj 7→ kj . Nestes

moldes, µλSΨ e um homomorfismo de C 〈x; y〉 em RλS que coincide com ψλS em cada

gerador xi, yj . Assim, µλSΨ = ψλS , logo 0 = (µλSΨ)(qj), para quaisquer j ∈ {1 . . . , n} e

λS ∈ Tu. Alem disso, por construcao,

{λ ∈ Λ | (Ψ(qj))(λ) = (µλSΨ)(qj) = 0} ⊇ Tu ∈ F

o que acarreta, pelo axioma F3, {λ ∈ Λ | (Ψ(qj))(λ) = 0} ∈ F . Logo (ρΨ)(qj) = 0 para

todo j, consequentemente ρΨ ∈ I(∏Rλ/F ). Por outro lado, (Ψ(u))(λS) = ψλS (u) 6= 0

implica que

{λ ∈ Λ | (Ψ(u))(λ) 6= 0} ⊇ Tu ∈ F ,


portanto (ρΨ)(u) 6= 0 e ρΨ e o homomorfismo procurado. Isto prova o restante da segunda

afirmacao.

Para provar a ultima das afirmacoes, notemos que, para qualquer S em F , temos,

pela afirmacao 2, I(R) = IS ⊆ I(RΛ/F ). Reciprocamente, dado x ∈ R, definimos gx ∈ RΛ

dado por gx(λ) = x. Claramente, a aplicacao x 7→ gx e um monomorfismo de aneis e, se

x 6= 0, temos gx 6≡ 0 (mod F ). Resulta que R ↪→ RΛ/F . Segue do teorema 2.3.5 que

I(R) ⊇ I(RΛ/F ), completando esta demonstracao. �

2.4 Extensao de escalares

Esta secao reune alguns resultados essenciais para descrever as identidades racionais

em algebras centrais simples de dimensao finita e em algebras com divisao de dimensao

infinita. O nosso objetivo e mostrar que o conjunto das identidades de uma algebra

central simples permanece inalterado se a consideramos (via produto tensorial) como uma

H-algebra, em que H e um corpo arbitrario que estende o centro da algebra central. De

agora em diante, D e uma C-algebra com divisao de centro K – portanto C ↪→ K e este

e infinito.

Relembremos que R = Mn(D).

Lema 2.4.1. I(R) = I(R[t]) = I(R(t)). Em particular, I(D) = I(D[t]) = I(D(t)).

Prova: Temos a sequencia de monomorfismos

R ↪→ R[t] ↪→ R(t) ↪→ RC/F ,

em que o ultimo deles e o ultra-filtro F estao de acordo com o lema 1.3.8. Combinando

os teoremas 2.3.5 e 2.3.6, obtemos

I(R) ⊇ I(R[t]) ⊇ I(R(t)) ⊇ I(RC/F ) = I(R),

o que prova a afirmacao. �

Corolario 2.4.2. I(R) = I(R(t1, . . . , tm)).

Prova: O caso m = 1 ja foi provado. Suponhamos que I(R) = I(R(t1, . . . , tm−1)).

Como vimos, R(t1, . . . , tm−1) ∼= M(t1,...,tm−1) = Mn(D(t1, . . . , tm−1)) e uma algebra de

matrizes sobre o anel com divisao D(t1, . . . , tm−1), cujo centro e K(t1, . . . , tm−1), por-

tanto infinito e contem o corpo C. Decorre do lema 2.4.1 que I(R(t1, . . . , tm−1)(tm)) =

I(R(t1, . . . , tm−1)) = I(R). Como R(t1, . . . , tm−1)(tm) ∼= R(t1, . . . , tm−1, tm), a demons-

tracao esta completa. �

Para mostrar que as identidades de uma C-algebra nao se alteram ao estendermos

o corpo de escalares, arrolaremos, a seguir, alguns resultados. O primeiro deles estabelece

uma conexao entre os homomorfismos admissıveis em R(t) e as construcoes do lema 1.1.22,

e usaremos a notacao Dα = R⊗K K(α), em que α e algebrico sobre K.


Lema 2.4.3. Seja ϕ : C 〈x; y〉 → R(t) um homomorfismo admissıvel tal que Imϕ ⊆ Rα(t).

Entao εαϕ : C 〈x; y〉 → Dα e admissıvel.

Reciprocamente, seja ψ : C 〈x; y〉 → Dα um homomorfismo admissıvel. Entao existe

ϕ : C 〈x; y〉 → Rα(t) admissıvel tal que εαϕ = ψ.

Prova: Como Imϕ ⊆ Rα(t), esta bem definido εαϕ e I0 ⊆ kerϕ ⊆ ker(εαϕ). Segue que

εαϕ ∈ I(Dα).

Para provar a condicao recıproca, denotemos ψj = ψ |Cj , para cada j ∈ {0, . . . , n}.Como εα e sobrejetivo, podemos escolher, para cada xi, ri = ri(t) ∈ Rα(t), de modo que

εα(ri(t)) = ψ(xi). Seja ϕ0 o homomorfismo de C0 em Dα induzido pela aplicacao xi 7→ ri.

Resulta imediatamente que εαϕ0 = ψ0. Como p1 = p1 〈x〉 ∈ C0 e ψ e admissıvel, temos

(εαϕ0)(p1) = ψ0(p1) = ψ(y1)−1,

logo (εαϕ0)(p1) e uma unidade em Dα e segue do lema 1.1.22 que ϕ0(p1) e uma unidade

em Rα(t). Definimos ϕ1 : C1 → Rα(t) dado por ϕ1 |C0= ϕ0 e ϕ1(y1) = ϕ0(p1)−1. Nestes

moldes, e claro que (εαϕ1)(y1) = ψ1(y1) e, com maior razao, εαϕ1 = ψ1. Suponhamos que

foi definido, para cada j ∈ {2, . . . , n − 1}, um homomorfismo ϕj : Cj → Rα(t) de modo

que ϕj |Cj−1= ϕj−1 e εαϕj = ψj . Como pn = pn 〈x; y1, . . . , yn−1〉 ∈ Cn−1, temos

(εαϕn−1)(pn) = ψn−1(pn) = ψ(yn)−1,

portanto (εαϕn−1)(pn) e uma unidade em Dα. Mais uma vez, pelo lema 1.1.22, segue

que ϕn−1(pn) e uma unidade em Rα(t). Estendemos ϕn−1 a ϕ = ϕn : Cn → Rα(t)

determinado pelas condicoes ϕ |Cn−1= ϕn−1 e ϕ(yn) = ϕn−1(pn)−1, o que claramente

acarreta εαϕn = ψn = ψ. Segue do lema 2.3.4 que ϕ = ϕn e um homomorfismo admissıvel,

unicamente determinado por ϕ0, com a propriedade enunciada. �

Teorema 2.4.4. I(R) = I(Dα).

Prova: Como R e uma subalgebra de Dα, segue do teorema 2.3.5 que I(R) ⊇ I(Dα).

Reciprocamente, se p = p 〈x; y〉 ∈ C 〈x; y〉 nao e uma identidade racional de Dα, existe

ψ ∈ I(Dα) tal que ψ(p) 6= 0. Pelo lema 2.4.3, existe ϕ ∈ I(Rα(t)) tal que εαϕ = ψ.

Necessariamente, ϕ(p) 6= 0, logo p nao e uma identidade racional de Rα(t). Combinando

o lema 1.1.22 e o teorema 2.3.5, concluımos que I(Rα(t)) ⊇ I(R(t)) e, pelo corolario 2.4.1,

temos I(R(t)) = I(R). Resulta dessas observacoes que p /∈ I(R). Portanto I(R) ⊆ I(Dα),

o que completa esta demonstracao. �

Teorema 2.4.5. Para qualquer extensao de corpos H/K finitamente gerada sobre K,

temos I(R) = I(R⊗K H).

Prova: Escrevamos H = K(ξ1, . . . , ξm, α1, . . . , αr), em que {ξ1, . . . , ξm} e uma base de

transcendencia para H sobre K e α1, . . . , αr sao algebricos sobre Ht = K(ξ1, . . . , ξm).


Entao Ht∼= K(t1, . . . , tm), em que t1, . . . , tm sao indeterminadas comutativas. Temos a

sequencia de monomorfismos, conforme as discussoes do primeiro capıtulo,

R ↪→ R⊗K K(t1, . . . , tm) ↪→ R(t1, . . . , tm),

portanto segue do teorema 2.3.5 e do corolario 2.4.2 que

I(R) ⊇ I(R⊗K K(t1, . . . , tm)) ⊇ I(R(t1, . . . , tm)) = I(R),

do que resulta I(R) = I(R⊗K K(t1, . . . , tm)) = I(R⊗K K(ξ1, . . . , ξm)) = I(R⊗K Ht).

Usamos agora a proposicao 1.1.18, considerando asHt-algebras A = R⊗KHt, B = H

e R = R⊗K H, para obter R⊗K H ∼= (R⊗K Ht)⊗Ht H. Observemos que

R⊗K Ht∼= R⊗K K(t1, . . . , tm) ↪→ R(t1, . . . , tm).

Consequentemente,

R ↪→ R⊗K H ∼= (R⊗K Ht)⊗Ht H ↪→ R(t1, . . . , tm)⊗Ht H.

Denotemos R′ = R(t1, . . . , tm). Segue do teorema 2.3.5 e do corolario 2.4.2 que

I(R) ⊇ I(R⊗K H) ⊇ I(R′ ⊗Ht H).

Nestes moldes, o resultado sera estabelecido quando provarmos que I(R′⊗Ht H) = I(R′),

ja que, pelo corolario 2.4.2, temos I(R′) = I(R).

Observemos que R′ e isomorfa a algebra das matrizes n×n sobre o anel com divisao

D(t1, . . . , tm), cujo centro e K(t1, . . . , tm) ∼= Ht, portanto infinito e tambem contem C.

Ademais, H = Ht(α1, . . . , αr) e uma extensao algebrica e finitamente gerada. Resulta do

teorema 2.4.4 que, se r = 1, entao I(R′ ⊗Ht H) = I(R′ ⊗Ht Ht(α1)) = I(R′). Se r > 1,

denotamos Hr−1 = Ht(α1, . . . , αr−1) e assumimos que I(R′ ⊗Ht Hr−1) = I(R′). Usando

os argumentos do corolario 1.1.21, temos

R′ ⊗Ht H ∼= (R′ ⊗Ht Hr−1)⊗Hr−1 Hr−1(αr),

em que R′ ⊗Ht Hr−1 e isomorfo a um anel de matrizes sobre um anel com divisao, cujo

centro e Hr−1. Resulta da relacao acima, do teorema 2.4.4 e da hipotese de inducao que

I(R′ ⊗Ht H) = I(R′), como querıamos. �

O seguinte corolario estabelece os propositos desta secao.

Corolario 2.4.6. Para qualquer extensao de corpos H/K, temos I(R) = I(R⊗K H)

Prova: Por um lado, temos que R ↪→ R⊗KH implica I(R) ⊇ I(R⊗KH). Suponhamos,

agora, que p = p 〈x; y〉 ∈ C 〈x; y〉 nao seja uma identidade racional de R ⊗K H. Entao

existe um homomorfismo admissıvel ψ : C 〈x; y〉 → R ⊗K H tal que ψ(p) 6= 0. Como os

polinomios qj (geradores do Q-ideal I0) e p envolvem um numero finito de indeterminadas

xi, deve existir um inteiro positivo s tal que p, qj ∈ C[s] = C 〈x1, . . . , xs; y1, . . . , yn〉, para


todo j. Seja ϕ : C 〈x; y〉 → R⊗KH o homomorfismo induzido pelas aplicacoes xi 7→ ψ(xi),

se 1 ≤ i ≤ s, xi 7→ 0, se i > s, e yj 7→ ψ(yj), para todo j. Por construcao, temos

ϕ |C[s]= ψ |C[s]

, logo ϕ(p) 6= 0 e ϕ(qj) = 0, para todo j, mostrando que ϕ ∈ I(R⊗K H).

Pelos argumentos acima, concluımos que a imagem de ϕ esta contida em R⊗KH0, em

que H0 e um subcorpo de H finitamente gerado sobre C. Em particular, H0 e finitamente

gerado sobre K. Claramente podemos considerar ϕ ∈ I(R ⊗K H0). Como ϕ(p) 6= 0 e,

pelo teorema 2.4.5, I(R ⊗K H0) = I(R), segue que p nao e uma identidade racional em

R, o que completa esta demonstracao. �

2.5 Algebras centrais simples de dimensao finita

Pelo teorema de Wedderburn-Artin, uma algebra central simples de dimensao finita

e, a menos de isomorfismo, uma algebra de matrizes sobre um anel com divisao. A fortiori,

a dimensao de uma algebra central simples sobre seu centro e um quadrado perfeito (e.g.

Herstein [Her71], p.92). Usando os resultados da secao anterior, provaremos o seguinte

Teorema 2.5.1. Seja Dn uma algebra central simples, de centro K tal que C ⊆ K e

dimK Dn = n2 < ∞. Entao I(Dn) = I(Mn(C)) = I(Mn(H)), para qualquer extensao H

de C.

Prova: Seja K o fecho algebrico de K. Entao dimK Dn = dimK(Dn ⊗K K) e Dn ⊗K K

e, ainda, uma algebra central simples de centro K e, pelo teorema de Wedderburn-Artin,

existe um anel com divisao ∆ tal que Dn ⊗K K ∼= Mn(∆), do que resulta o centro de ∆

ser isomorfo a K. Ademais, para qualquer d ∈ ∆, [K(d) : K] ≤ n2, portanto d e algebrico

sobre K, que e algebricamente fechado. Consequentemente, d ∈ K, o que prova ∆ ∼= K.

Como C ⊆ K ⊆ K e as matrizes elementares em Mn(C) sao linearmente independentes

sobre K, concluımos que Mn(K) ∼= Mn(C)⊗C K. Os mesmos argumentos mostram que,

se H e uma extensao de C, ainda temos Mn(H) ∼= Mn(C)⊗C H. Usamos o corolario 2.4.6

e o teorema 2.3.5 para concluir

I(Dn) = I(Dn ⊗K K) = I(Mn(K)) = I(Mn(C)) = I(Mn(H)),

como querıamos. �

Originalmente em [Ami66], teorema 12, Amitsur oferece uma demonstracao – ba-

seada em resultados de artigos seus publicados anteriormente – para o fato I(Mn(C)) (I(Mm(C)), para quaisquer inteiros positivos m < n, uma relacao ja estabelecida para

identidades polinomiais. Em [Ber76a], Bergman apontou, com o consentimento do pri-

meiro autor, um equıvoco na prova do referido teorema, retificando-o em seguida: para

quaisquer inteiros positivos m ≤ n, a inclusao I(Mn(C)) ⊆ I(Mm(C)) ocorre se e somente

se m divide n. Esta condicao e suficiente, e podemos usar a teoria que desenvolvemos ate

aqui para prova-la: se n = mp, para algum inteiro positivo p, entao

Mm(C) ↪→Mm(C)⊗C Mp(C) ∼= Mmp(C) = Mn(C)


e a conclusao segue pelo teorema 2.3.5. Essencialmente, restaria mostrar que a condicao

e tambem necessaria, e isto decorre do citado trabalho de Bergman. Para os nossos

propositos, basta usar a suficiencia. Enfatizamos que, se m divide n, mas ambos sao

distintos, entao a inclusao entre os conjuntos de identidades racionais e estrita: neste caso,

uma combinacao do lema 2.1.1 com o teorema 2.1.3 mostra que s2m esta em I(Mm(C)),

mas nao esta em I(Mn(C)). Sintetizamos estas observacoes no seguinte

Teorema 2.5.2. Para quaisquer inteiros positivos m ≤ n, entao I(Mn(C)) ⊆ I(Mm(C))

se e somente se m divide n. Ademais, a igualdade entre os conjuntos de identidades

racionais so ocorre se m = n.

2.6 Algebras com divisao de dimensao infinita

Esta e a principal secao deste capıtulo, na qual descreveremos o conjunto de iden-

tidades racionais de uma C-algebra com divisao D de centro K, com dimK D = ∞. Os

resultados envolvem demonstracoes extensas e construcoes algebricas necessarias para es-

tabelecer o teorema principal (2.6.6).

Nosso primeiro passo e mostrar que as identidades racionais da C-algebra com di-

visao D((t)) (series de Laurent) sao as mesmas de D. Isto se inicia com o seguinte

Teorema 2.6.1. Seja D um anel com divisao topologico. Se D verifica o axioma de

separacao T1 e D e um subanel denso em D, entao I(D) = I(D).

Prova: Resta mostrar a inclusao I(D) ⊇ I(D). Suponhamos que p = p 〈x; y〉 ∈ C 〈x; y〉nao seja uma identidade racional de D. Deve, portanto, existir um homomorfismo ad-

missıvel ϕ : C 〈x; y〉 → D tal que ϕ(p) 6= 0. Basta, agora, exibir um homomorfismo

ϕ ∈ I(D) tal que ϕ(p) 6= 0.

Como cada polinomio qj = yjpj−1 (gerador do Q-ideal I0) e p envolvem um numero

finito de indeterminadas xi, deve existir um inteiro positivo s tal que r e qj estao em

C[s] = C 〈x1, . . . , xs; y1, . . . , yn〉, para todo j. De acordo com as notacoes

ϕ(xi) = di, ϕ(yj) = ej , ϕ(pj) = pj e ϕ(p) = p,

verificamos que ej 6= 0 6= pj = pj⟨d; e⟩, para todo j, porque ϕ e admissıvel, e 0 6= p =

p⟨d; e⟩, por hipotese.

Seja d ∈ D nao nulo. Como D verifica T1, o conjunto {0} e fechado, ou seja,

D∗ e um conjunto aberto. Consequentemente, se U(d) e uma vizinhanca de d em D,

entao U(d) ∩ D∗ ⊆ D∗ ainda e uma vizinhanca de d. Reciprocamente, se U ′(d) e uma

vizinhanca de d em D∗, entao U ′(d) e da forma U ′′(d) ∩ D∗, para alguma vizinhanca

U ′′(d) de d em D. Portanto U ′(d) e tambem uma vizinhanca de d em D. Alem disso,

como a adicao e a multiplicacao sao contınuas, para qualquer f 〈x; y〉 ∈ C[s], a aplicacao

(d1, . . . , ds, e1, . . . , en) 7→ f 〈d; e〉 de Ds+n em D e contınua.


Restrinjamos as ideias do paragrafo acima ao nosso caso particular. Fixamos uma

vizinhanca U(p) ⊆ D∗. Entao existem vizinhancas Vn(di) e Vn(ej) ⊆ D∗, para todos i, j,

tais que, para quaisquer di ∈ Vn(di) e ej ∈ Vn(ej), temos p 〈d; e〉 ∈ U(p).

Fixemos a vizinhanca Vn(en) obtida acima. Observemos que a aplicacao d 7→ d−1 de

D∗ em si mesmo e contınua e bijetiva, coincidindo com a sua propria inversa; e, pois, um

homeomorfismo. Em particular, deve ser uma aplicacao aberta, do que resulta Vn(en)−1 =

{e−1n | en ∈ Vn(en)} ser uma vizinhanca de e−1

n = pn em D∗, logo tambem em D. Nestes

moldes, deve haver Vn−1(di) e Vn−1(ej) ⊆ D∗, para cada j ∈ {1, . . . , n− 1}, tais que, para

arbitrarios di ∈ Vn−1(di), ej ∈ Vn−1(ej), com 1 ≤ j ≤ n− 1,

pn 〈d; e〉 = pn 〈d; e1, . . . , en−1〉 ∈ Vn(en)−1.

Por argumentos analogos, temos que Vn−1(en−1)−1 e uma vizinhanca de e−1n−1 = pn−1

em D. Logo existem Vn−2(di) e Vn−2(ej), para cada j ∈ {1, . . . , n − 2} tais que, dados

arbitrarios di ∈ Vn−2(di) e ej ∈ Vn−2(ej), com 1 ≤ j ≤ n− 2,

pn−1 〈d; e〉 = pn−1 〈d; e1, . . . , en−2〉 ∈ Vn−1(en−1)−1.

Este processo deve sobrestar em um numero finito de passos, quando obtivermos vizi-

nhancas Vj(di) e Vk(ej), com 1 ≤ j ≤ n e j ≤ k ≤ n, nos moldes acima. Definimos, para

cada i ∈ {1, . . . , s},

V (di) =n⋂j=1

Vj(di).

Tambem definimos, para cada j ∈ {1, . . . , n},

V (ej) =n⋂k=j

Vk(ej) ⊆ D∗.

Por serem intersecoes finitas, V (di) e V (ej) sao vizinhancas de di e de ej , respecti-

vamente, para todos i, j. Outrossim, pela construcao acima, dados arbitrarios di ∈ V (di)

e ej ∈ V (ej), para todos i, j, ainda temos

pj 〈d; e〉 = pj 〈d; e1, . . . , ej−1〉 ∈ V (ej)−1

e tambem

p 〈d; e〉 ∈ U(p) ⊆ D∗,

porque V (di) ⊆ Vn(di) e V (ej) ⊆ Vn(ej), para todos i, j.

Como D e denso em D, podemos escolher, para cada i ∈ {1, . . . , s}, di ∈ V (di)∩D.

Entao p1 〈d〉 ∈ V (e1)−1, ou seja, existe e1 ∈ V (e1) tal que e−11 = p1 〈d〉 ∈ D. Determine-

mos, sucessivamente, os demais elementos ej ∈ V (ej) tais que e−1j = pj 〈d; e1, . . . , ej−1〉 ∈

D, com 2 ≤ j ≤ n. Resulta que o homomorfismo ϕ : C 〈x; y〉 → D induzido pelas aplicacoes

xi 7→ di, se 1 ≤ i ≤ s, xi 7→ 0, se i > s e yj 7→ ej e admissıvel e ϕ(p) 6= 0, o que completa

a demonstracao. �


Corolario 2.6.2. Para uma C-algebra com divisao D qualquer, I(D) = I(D(t)) =

I[D((t))].

Prova: A demonstracao da afirmacao segue pela combinacao do teorema 2.6.1 com o

lema 2.4.1 e a proposicao 1.2.1. �

O proximo lema desenvolve uma importante consequencia do teorema 2.1.5 no con-

texto das identidades racionais.

Lema 2.6.3. Sejam D uma C-algebra com divisao de centro K e {z} = {z1, z2, . . . } um

conjunto de indeterminadas nao comutativas. Consideremos o produto livre R = D ∗KK 〈z〉

com amalgama em K. Entao I(D) = I(R).

Prova: Como D ↪→ R e este e identificado como um subanel de um ultra-produto de

copias de D, o qual denotaremos por Q, segue, dos teoremas 2.3.5 e 2.3.6,

I(D) ⊇ I(R) ⊇ I(Q) = I(D),

o que prova a afirmacao. �

O proximo lema e muito interessante, por ser o primeiro avanco que fazemos para

mostrar que as identidades racionais de uma C-algebra com divisao de dimensao infinita

sobre seu centro sao triviais. Nele, reuniremos grande parte das construcoes feitas ate

agora.

Lema 2.6.4. Seja D uma C-algebra com divisao de centro K. Se D e uma subalgebra de

uma C-algebra com divisao E e dimK D =∞, entao I(E) = I(D).

Prova: Inicialmente, observemos que, de acordo com as observacoes feitas na secao 2.1, E

deve ser uma C-algebra de dimensao infinita sobre seu centro. O restante da demonstracao

sera tratado em seis passos.

Passo 1: Consideremos o anel R[[t]] das series de potencia formais em uma inde-

terminada comutativa t e com coeficientes em R = D ∗KK 〈z〉. Temos, entao, a sequencia

de monomorfismos

R ↪→ R[[t]] ↪→ Q[[t]] ↪→ Q((t)),

do que decorre

I(R) ⊇ IR[[t]] ⊇ I(Q[[t]]) ⊇ I[Q((t))].

Pelo lema 2.6.3, temos I(R) = I(Q) = I(D) e, pelo corolario 2.6.2, I(Q) = I[Q((t))].

Logo

I(D) = I(R[[t]]) = I(Q[[t]]).

Passo 2: As unidades do anel R[[t]] sao, precisamente, os elementos r =∑∞

i=0 riti

tais que r0 e uma unidade em R. Seja µ0 : R[[t]]→ R o homomorfismo dado por µ0(r) =

µ0(∑∞

i=0 riti) = r0. Entao r e uma unidade em R[[t]] se e somente se µ0(r) e uma unidade

em R. Nestes termos, e claro que, se r e uma unidade em R[[t]], temos µ0(r−1) =

µ0(r)−1 = r−10 .


Passo 3: Fixemos um Q-ideal I0. Seja τ : C 〈x; y〉 → D um homomorfismo ad-

missıvel arbitrario. Sejam u uma indeterminada comutativa e Du = D(u) o anel total de

fracoes de D[u]. Nos moldes do lema 1.1.22, fazendo α = 1, consideremos o anel de fracoes

D1(u) ⊆ Du, cujos denominadores sao os elementos de

S1 = {p[u] ∈ D[u] | π1(p[u]) e regular emD} = {p[u] ∈ D[u] | p[1] 6= 0}.

De acordo com os resultados do primeiro capıtulo, temos

D[u] ↪→ D1(u) ↪→ Du,

portanto o homomorfismo ψ0 induzido pela aplicacao xi 7→ τ(xi)u de C0 em D[u] pode

ser considerado como um homomorfismo de C0 em D1(u). Esta definido, entao, εu1ψ0, em

que εu1 e o homomorfismo descrito no lema 1.1.22, com u 7→ 1. Manifestamente εu1ψ0 = τ0.

Como p1 = p1 〈x〉 ∈ C0, temos

(εu1ψ0)(p1) = τ0(p1) = τ(p1) ∈ U(D) = D∗.

Pelo segundo item do lema 1.1.22, segue que ψ0(p1) ∈ U(D1(u)). Estendemos ψ0 ao homo-

morfismo ψ1 determinado pelas condicoes ψ1 |C0= ψ0 e ψ1(y1) = ψ0(p1)−1. Claramente,

εu1ψ1 = τ1. Suponhamos que foram definidos homomorfismos ψj : Cj → D1(u) de modo

a verificar ψj |Cj−1= ψj−1, ψj(yj) = ψj−1(pj)−1 e εu1ψj = τj , com 2 ≤ j ≤ n − 1. Entao

(εu1ψn−1)(pn) = τn−1(pn) ∈ U(D) e, pelo lema 1.1.22, obtemos ψn−1(pn) ∈ U(D1(u)).

Estendemos, finalmente, ψn−1 ao homomorfismo ψ = ψn de Cn = C 〈x; y〉 em D1(u)

determinado pelas condicoes ψ |Cn−1= ψn−1 e ψ(yn) = ψn−1(pn)−1.

Segue do lema 2.3.4 que ψ e um homomorfismo admissıvel e, pelo lema 2.4.3, εu1ψ

e, tambem, admissıvel. Como (εu1ψ) |C0= εu1ψ0 = τ0, usamos mais uma vez o lema 2.3.4

para concluir que εu1ψ = τ .

Passo 4: Sejam ψ : C 〈x; y〉 → D1(u) o homomorfismo obtido no passo 3 e Du =

D(u) como acima, cujo centro e Ku = K(u). Denotemos Ru = Du ∗Ku

Ku 〈z〉. Vamos

construir um homomorfismo ϕ : C 〈x; y〉 → Ru[[t]] que verifica µ0ϕ = ψ.

Inicialmente, observemos que existem monomorfismos naturais

D1(u) ↪→ Du ↪→ Ru ↪→ Ru[[t]],

logo D1(u) pode ser identificado como um subanel de Ru[[t]]. Seja ϕ0 o homomorfismo de

C0 em Ru[[t]] determinado pela aplicacao xi 7→ ψ(xi) + zit. Decorre que, para todo i,

(µ0ϕ0)(xi) = ψ(xi),

o que acarreta µ0ϕ0 = ψ0. Em particular, concluımos que (µ0ϕ0)(C0) ⊆ D1(u). Como

p1 = p1 〈x〉 ∈ C0, temos

(µ0ϕ0)(p1) = ψ0(p1) ∈ U(D1(u)) ⊆ U(Ru),


e segue do passo 2 que ϕ0(p1) e uma unidade em Ru[[t]]. Estendemos ϕ0 ao homomor-

fismo ϕ1 de C1 em Ru[[t]] determinado pelas condicoes ϕ1 |C0= ϕ0 e ϕ1(y1) = ϕ0(p1)−1.

Suponhamos que foram definidos homomorfismos ϕj : Cj → Ru[[t]] de modo a verificar

ϕj |Cj−1= ϕj−1, ϕj(yj) = ϕj−1(pj)−1 e µ0ϕj = ψj , com 2 ≤ j ≤ n − 1. Em particular,

(µ0ϕn−1)(pn) = ψn−1(pn) ∈ U(Ru) e, mais uma vez, ϕn−1(pn) e uma unidade em Ru[[t]].

Estendemos, finalmente, ϕn−1 ao homomorfismo ϕn = ϕ de Cn em Ru[[t]] determinado

pelas condicoes ϕ |Cn−1= ϕn−1 e ϕ(yn) = ϕn−1(pn)−1. Resulta, pelo lema 2.3.4, que ϕ

e admissıvel. Claramente, µ0ϕ e um homomorfismo admissıvel de Cn em Ru[[t]] tal que

(µ0ϕ) |C0= ψ0. Usando mais uma vez o lema 2.3.4, concluımos que µ0ϕ = ψ.

Passo 5: Seja λ : C 〈x; y〉 → E um homomorfismo admissıvel. Analogamente ao

que foi feito no passo 3, existe um homomorfismo admissıvel σ : C 〈x; y〉 → E1(t) que

verifica as propriedades σ(xi) = λ(xi)t e εt1σ = λ. Conforme os argumentos do primeiro

capıtulo, existem monomorfismos naturais

Du ↪→ Eu ↪→ Eu((t)) e E ↪→ E1(t) ↪→ E(t) ↪→ Eu(t) ↪→ Eu((t)).

A inclusao de Du em Eu e a aplicacao zi 7→ λ(xi) de {z} em Eu induzem um unico

homomorfismo η0 : Ru → Eu que verifica η0(zi) = λ(xi) e cuja restricao a Du e a inclusao

deste em Eu. A fortiori, temos um homomorfismo η : Ru[[t]]→ Eu((t)), dado por

η(

∞∑i=0

riti) =

∞∑i=0

η0(ri)ti.

Sejam τ ,ψ e ϕ como descritos nos passos anteriores. Entao ηϕ e um homomorfismo

admissıvel que verifica, para todo i,

(ηϕ)(xi) = η(ψ(xi) + zit) = η(τ(xi)u+ zit) = τ(xi)u+ λ(xi)t.

Considerando os monomorfismos

D ↪→ Eu ↪→ Eu[t] ↪→ Eu(t) ↪→ Eu((t))

e os computos acima, temos que (ηϕ)(C0) ⊆ Eu(t) = E(u, t) = Et(u). Suponhamos

(ρϕ)(Cn−1) ⊆ Et(u). Entao

(ρϕ)(yn) = (ρϕ)(pn)−1 ∈ (ρϕ)(Cn−1) ⊆ Et(u),

do que decorre (ρϕ)(C 〈x; y〉) ⊆ Et(u).

Passo 6: Este ultimo passo reune as informacoes dos anteriores e completa a de-

monstracao, que sera feita por inducao sobre o nıvel do Q-ideal I0, para mostrar que

I(D) ⊆ I(E), ja que a inclusao contraria e verdadeira, pelo teorema 2.3.5.

Se n = 0, entao I(D) ⊆ C 〈x〉. Como a dimensao de D sobre K e infinita, usamos o

teorema 2.1.2 para concluir que I(D) = (0) ⊆ I(E), estabelecendo, assim, o resultado.

Fixemos um Q-ideal I0 = (q1, . . . , qn), com qj = yjpj − 1. Suponhamos n > 0 e que

as identidades racionais de D relativas a qualquer Q-ideal de nıvel menor que n sejam as


mesmas de E. Suponhamos que p = p 〈x; y〉 ∈ C 〈x; y〉 nao seja uma identidade racional

de E. Entao existe um homomorfismo admissıvel λ : C 〈x; y〉 → E tal que λ(p) 6= 0.

Observemos que

λ(pn) = λ(pn 〈x; y1, . . . , yn−1〉) = λ(yn)−1,

portanto pn /∈ In−1(E), em que este ultimo e o conjunto das identidades racionais de E

na algebra C 〈x; y1, . . . , yn−1〉 respectivas ao Q-ideal grado pelos polinomios q1, . . . , qn−1.

Por hipotese de inducao, temos In−1(E) = In−1(D), consequentemente pn /∈ In−1(D). A

princıpio, deve haver um homomorfismo admissıvel τ0 : Cn−1 → D tal que τ0(pn) 6= 0.

Estendemos τ0 ao homomorfismo τ : Cn → D determinado por τ |Cn−1= τ0 e τ(yn) =

τ0(pn)−1. Pelo lema 2.3.4, τ e I0-admissıvel. Suponhamos que o passo 3 tenha sido

refeito para este τ em particular, derivando a partir daı os demais passos. Obtemos,

de acordo com tudo o que construımos, os homomorfismos que se ajustam ao diagrama

abaixo, em que σ e εu0 ainda serao determinados:

E C 〈x; y〉

σ

||

λooϕ

//

ηϕ

##

σ

��

Ru[[t]]

η

""

E1(t)

εt1

OO

E(t)0(u)εu0

oo � � // E(t, u) ��

// Eu((t))

Nos moldes do lema 1.1.22, fazendo α = 0, obtemos o anel de fracoes E(t)0(u) a

partir de Et[u] e com denominadores em

S0 = {pt[u] ∈ Et[u] | π0(pt[u]) e regular em Et} = {pt[u] ∈ Et[u] | pt[0] 6= 0}.

De acordo com os resultados do primeiro capıtulo, temos

Et[u] ↪→ E(t)0(u) ↪→ Et(u) = E(t, u).

Vamos construir σ : C 〈x; y〉 → E(t)0(u), de modo a verificar as propriedades σ(xi) =

λ(xi)t+ τ(xi)u e εu0σ = σ. Isto e feito de modo inteiramente analogo ao passo 3.

Comecamos com o homomorfismo σ0 de C0 em E(t)0(u) determinado pela aplicacao

xi 7→ λ(xi)t+ τ(xi)u, do que imediatamente resulta εu0σ0 = σ0 e, assim,

(εu0σ0)(p1) = σ0(p1) ∈ U(E1(t)).

Consequentemente, σ0(p1) e uma unidade em E(t)0(u) e podemos estender σ0 ao homomor-

fismo σ1 de C1 em E(t)0(u) determinado pelas condicoes σ1 |C0= σ0 e σ1(y1) = σ0(p1)−1,

do que facilmente decorre εu0σ1 = σ1. Suponhamos que tenha sido determinado, para

cada j ∈ {2, . . . , n − 1}, um homomorfismo σj de Cj em E(t)0(u), de modo a verificar

σj |Cj−1= σj−1, σj(yj) = σj−1(pj)−1 e εu0σj = σj . Logo

(εu0σn−1)(pn) = σn−1(pn) ∈ U(E1(t))


e sucede que σn−1(pn) e uma unidade em E(t)0(u). Obtemos, finalmente, o homomorfismo

σn = σ, determinado pelas condicoes σ |Cn−1= σn−1 e σ(yn) = σn−1(pn)−1. Segue que σ

e um homomorfismo admissıvel tal que

(εu0σ) |C0= εu0σ0 = σ0,

o que prova a relacao εu0σ = σ. Alem disso, como

σ0(xi) = λ(xi)t+ τ(xi)u = (ηϕ)(xi),

necessariamente σ0 = (ηϕ) |C0 . Com maior razao, σ = ηϕ. Podemos, portanto, resumir o

diagrama acima no seguinte diagrama comutativo

E C 〈x; y〉

σ

||

λooϕ

//

σ = ηϕ

��

Ru[[t]]

η

��

E1(t)

εt1

OO

E(t)0(u)εu0

oo � � // Eu((t))

Sucede que

λ = εt1σ = εt1εu0σ = εt1ε

u0ηϕ,

e concluımos que, como λ(p) 6= 0, necessariamente ϕ(p) 6= 0. Resulta, com auxılio do

passo 1 e do lema 2.4.1, que

p /∈ I(Ru) = I(Du) = I(D),

e a demonstracao esta completa. �

O lema 2.6.4 ainda e um resultado que pressupoe uma relacao de inclusao entre as

C-algebras. Para provar o resultado principal, precisamos ainda estabelecer uma especie

de ponte entre duas C-algebras com divisao de dimensao infinita arbitrarias. Isto ficara

mais claro na sequencia do texto. O proximo resultado sera fundamental a esse proposito.

Lema 2.6.5. Seja D uma C-algebra com divisao de centro K. Entao, para cada inteiro

positivo m, existem:

1 uma extensao Hm de K;

2 uma Hm-algebra central com divisao Dm tal que dimHm Dm = m2 e

3 uma Hm-algebra com divisao Dm que contem ambas D e Dm.

Prova: Fixemos um inteiro positivo m. Sejam ξ1, ξ2, . . . e η indeterminadas comutativas

sobre K. Denotemos H = K(ξ; η) = K(ξ1, ξ2, . . . ; η), portanto uma extensao trans-

cendental de K, e DH = D(ξ; η) = D(ξ1, ξ2, . . . ; η), o total de fracoes obtido a partir


de D[ξ; η] = D[ξ1, ξ2, . . . ; η], conforme o corolario 1.1.16. Como D-espaco vetorial, este

ultimo anel tem uma base dada por{vJ = ηj0ξj11 · · · ξ

jii · · · | J = (j0, j1, . . . , ji, . . . ) ∈

∞⊕i=0

N

},

que possui a propriedade vJ1 · vJ2 = v(J1+J2). Consideremos a aplicacao

(′) :∞⊕i=0

N −→∞⊕i=0

N

J 7−→ J ′ = (j0, jm, j1, j2, . . . , jm−1, jm+1, . . . ),

que verifica a propriedade (J1 + J2)′ = J ′1 + J ′2.

Existe um unico operador D-linear ϑ0 de D[ξ; η] tal que ϑ0(vJ) = vJ ′ . Claramente,

ϑm0 = 1, do que resulta ϑ0 ser bijetivo. Alem disso, como

ϑ0(vJ1 · vJ2) = ϑ0(v(J1+J2)) = v(J1+J2)′ = v(J ′1+J ′2) = vJ ′1 · vJ ′2 = ϑ0(vJ1) · ϑ0(vJ2),

concluımos que ϑ0 e um automorfismo de D[ξ1, ξ2, . . . ; η] como anel e podemos, agora,

considerar a sua extensao ϑ a DH , que ainda verifica ϑm = 1.

Seja t uma indeterminada nao comutativa. Consideremos o anel de polinomios nao

comutativos DH [t;ϑ], munido da relacao

ta = ϑ(a)t,∀a ∈ DH .

Afirmamos que o polinomio tm − η e irredutıvel e central em DH [t;ϑ]. Com efeito,

(tm − η)a = tma− ηa = ϑm(a)tm − aη = atm − aη = a(tm − η),

para todo a ∈ DH e tambem, como ϑ(η) = η implica tη = ϑ(η)t = ηt, temos

t(tm − η) = ttm − tη = tmt− ηt = (tm − η)t,

e estas duas equacoes acima mostram que tm − η e central. Para mostrar que tambem e

irredutıvel, suponhamos que

tm − η = a′[t]b′[t] = (a′0 + a′1t+ . . . a′rtr)(b′0 + b′1t+ · · ·+ b′st

s),

em que a′i, b′j ∈ DH . Entao, para cada i, j, podemos escrever, usando um denominador

comum, digamos 0 6= c = c[ξ; η] ∈ D[ξ; η],

a′i = c−1a′′i e b′j = c−1b′′j ,

em que a′′i = a′′i [ξ; η] e b′′j = b′′j [ξ; η] estao em D[ξ; η]. Se p e um inteiro positivo tal que ηp

divide c, a′′i e b′′j , digamos c = ηpd, a′′i = ηpai e b′′j = ηpbj , para todos i, j, entao

a′i = (ηpd)−1(ηpai) = d−1ai e b′j = (ηpd)−1(ηpbj) = d−1bj .


Tomando p maximal com esta propriedade, concluımos que

d(tm − η) = (a0 + a1t+ · · ·+ artr)(b0 + b1t+ · · ·+ bst

s) (2.3)

e η nao e um fator comum aos polinomios ai = ai[ξ; η], bj = bj [ξ; η]. Sejam k ∈ {1, . . . , r}e h ∈ {1, . . . , s} os menores possıveis tais que ak 6≡ 0 (mod η) e bh 6≡ 0 (mod η). Como

ϑ(η) = η, temos que, para qualquer inteiro q, ϑq nao altera uma relacao de congruencia

mod η. Em particular,

ϑq(ak) 6≡ 0 (mod η), ϑq(bh) 6≡ 0 (mod η), ϑq(ai) ≡ 0 (mod η) e ϑq(bj) ≡ 0 (mod η),

para quaisquer i < k e j < h. Computando o membro direito em (2.3), concluımos que os

coeficientes de tu, com 0 ≤ u < k + h, sao multiplos de η. Para estudar o coeficiente de

tk+h, observemos que, para todo i ∈ {0, . . . , k + h},

(aiti)(bk+h−it

k+h−i) = aiϑi(bk+h−i)t

k+h.

Das congruencias acima, resulta que

k+h∑i=0

aiϑi(bk+h−i) ≡ akϑk(bh) ≡ akbh 6≡ 0 (mod η).

Computando o membro esquerdo de (2.3), todos os coeficientes de ti, com i < m sao

multiplos de η. Comparando os computos de ambos os membros, necessariamente k+h =

m e, com maior razao, d = akbh 6≡ 0 (mod η). Portanto k = r e h = s. Caso ocorresse

r > 0 e s > 0, terıamos

dη = a0b0 ≡ 0 (mod η2).

Como d, a0 e b0 estao em D[ξ; η] e η e irredutıvel neste anel, a igualdade dη = a0b0 nao

pode ocorrer, visto que d 6≡ 0 (mod η). Entao r = 0 ou s = 0, mostrando que tm − η e

irredutıvel.

Como ϑ e um automorfismo de DH , e possıvel usar o algoritmo da divisao para

mostrar que os ideais (a esquerda, a direita, bilaterais) de DH [t;ϑ] sao principais. Entao

o anel quociente Dm = DH [t;ϑ]/(tm − η) e uma C-algebra com divisao e verificamos

imediatamente que a aplicacao de D em Dm dada por d 7→ d+(tm−η) e um monomorfismo

de C-algebras.

Para construir Dm e Hm, observemos que ϑH = ϑ |H e um automorfismo de H,

precisamente o determinado pela aplicacao ξi 7→ ξi+1, se 1 ≤ i ≤ m− 1 e ξm 7→ ξ1. Entao

o grupo cıclico finito Θ = {ϑH , ϑ2H , . . . , ϑ

mH = 1} e um subgrupo do grupo de automorfismos

de H. Seja Hm o subcorpo de H fixado por Θ, isto e,

Hm = {λ ∈ H | ϑiH(λ) = λ, 1 ≤ i ≤ m}.

Claramente, Hm e uma extensao de K e resulta que dimHm H = m (cf. Kaplansky

[Kap72], p.16, teorema 11). Outrossim, o fato de ϑH ser um automorfismo de H implica


que H[t;ϑH ] e uma subalgebra de DH [t;ϑ]. Consideremos

Dm =H[t;ϑH ] + (tm − η)

(tm − η)∼=

H[t;ϑH ]

H[t;ϑH ] ∩ (tm − η).

Por argumentos analogos aos do paragrafo anterior, concluımos que Dm e uma C-subalgebra

com divisao de Dm, precisamente

Dm = {p[t] + (tm − η) | p[t] ∈ H[t;ϑH ]}.

Usando o algoritmo da divisao, verificamos que, dado p[t] ∈ H[t;ϑH ], existem unicos

p0, p1, . . . , pm−1 ∈ H tais que

p[t] ≡ p0 + p1t+ · · ·+ pm−1tm−1 (mod tm − η).

Logo dimH Dm = m e, consequentemente, dimHm Dm = m2.

Para completar esta demonstracao, resta provar que Hm e o centro de Dm. Com

efeito, seja z[t] = z0 + z1t+ · · ·+ zm−1tm−1 ∈ H[t;ϑH ] e suponhamos que z[t] + (tm − η)

esteja no centro de Dm. Necessariamente,

0 ≡ z[t]ξ1 − ξ1z[t] ≡ z1(ξ2 − ξ1)t+ z2(ξ3 − ξ1)t2 + · · ·+ zm−1(ξm − ξ1)tm−1 (mod tm − η).

Resulta que zi(ξi+1−ξ1) = 0, para todo i ∈ {1, . . . ,m−1}, o que forca z1 = · · · = zm−1 = 0.

Entao z[t] = z0 ∈ H e deve ocorrer, tambem,

0 ≡ z0ti − tiz0 ≡ (z0 − ϑi(z0))ti (mod tm − η),

donde concluımos que z0 = ϑi(z0), para todo i ∈ {1, . . . ,m}. Logo z[t] = z0 ∈ Hm. Temos,

assim, que o centro de Dm e um subcorpo de Hm. Como a recıproca e evidente, segue que

Dm e uma Hm-algebra central, com divisao. �

Estamos prontos para enunciar e demonstrar o principal resultado, como segue.

Teorema 2.6.6. Seja D uma C-algebra com divisao de centro K tal que dimK D =

∞. Entao I(D) =⋂∞m=1 I(Mm(C)). Em particular, todas as C-algebras com divisao de

dimensao infinita sobre seus centros tem as mesmas identidades.

Prova: A demonstracao e tratada da seguinte maneira: construiremos uma C-algebra

com divisao D de dimensao infinita sobre o seu centro e de modo a verificar I(D) =⋂∞m=1 I(Mm(C)) e uma C-algebra com divisao E que contem ambas D e D . O resultado,

portanto, sera obtido a partir do lema 2.6.4, segundo o qual I(D) = I(E) = I(D).

Consideremos o conjunto N∗ = {1, 2, . . . } e as algebras com divisao Dm e Dm,

m ∈ N∗, obtidas nos moldes do lema 2.6.5. Seja

B = {mN∗ | m ∈ N∗} = {m, 2m, 3m, . . . | m ∈ N∗} ⊆ P(N∗).

Claramente, B 6= ∅ e, para quaisquer m1,m2 ∈ N∗, temos que m1N∗ 6= ∅ e tambem

m1N∗ ∩ m2N∗ ⊇ (m1m2)N∗. Logo B e base de um filtro em N∗ e podemos tomar um


ultra-filtro F que contem B. Seja E =∏Dm/F . Entao, pelo lema 1.3.7, E e uma

C-algebra com divisao. No lema 2.6.5, vimos que D ↪→ Dm, portanto podemos considerar

o monomorfismo de D em∏Dm dado por d 7→ fd, em que fd(m) = d, para todo m ∈ N∗.

Claramente, fd ≡ 0 (mod F ) se e somente se d = 0. Assim, temos um monomorfismo

D ↪→ E.

Tambem vimos no lema 2.6.5 que Dm ↪→ Dm, portanto∏

Dm e naturalmente iden-

tificada como uma subalgebra de∏Dm. Denotemos D =

∏Dm/F que, pelo lema 1.3.7,

e uma algebra com divisao. Temos, pois, um monomorfismo D ↪→ E.

De acordo com o lema 2.6.5, cada Dm e uma algebra central simples, de dimensao

finita m2 sobre seu centro. Decorre que, pelo teorema 2.5.1, I(Dm) = I(Mm(C)). Como

N∗ ∈ F , segue do teorema 2.3.6 que

I(D) ⊇∞⋂m=1

I(Dm) =∞⋂m=1

I(Mm(C)).

Para provar a inclusao contraria, fixemos arbitrarios S ∈ F , m ∈ N∗ e p = p 〈x; y〉 ∈ IS =⋂s∈S I(Ms(C)). Deve ocorrer S ∩ mN∗ 6= ∅, digamos que mn ∈ S ∩mN∗, para algum

inteiro positivo n. Entao p ∈ I(Mmn(C)) e, pelo teorema 2.5.2, obtemos p ∈ I(Mm(C)).

Com maior razao, IS ⊆ I(Mm(C)). Como S, m e p sao arbitrarios, concluımos que

⋃S∈F

IS ⊆∞⋂m=1

I(Mm(C)).

Pelo teorema 2.3.6, temos I(D) =⋃IS , logo

I(D) ⊆ I(

∞⋂m=1

Mm(C))

e ambos os conjuntos sao, por conseguinte, iguais.

Por fim, observemos que, necessariamente, D e uma algebra com divisao de dimensao

infinita sobre seu centro. Caso contrario, usarıamos o teorema 2.5.1 para concluir que

I(⋂Mm(C)) = I(D) = I(Mn(C)), para algum inteiro positivo n, mas isto contradiz o

teorema 2.5.2, segundo o qual I(Mnp(C)) ( I(Mn(C)), para qualquer inteiro p > 1. �

2.7 Um ultimo teorema sobre identidades racionais

A esta altura, e razoavel indagar: se r = r 〈x; y〉 e s = s 〈x; y〉 nao sao identida-

des racionais de uma C-algebra com divisao, entao podemos concluir que rs nao e uma

identidade racional? Por um lado, podemos afirmar apenas que existem homomorfismos

admissıveis ϕ e ψ de C 〈x; y〉 em D tais que ϕ(r) 6= 0 6= ψ(s). Como eventualmente ϕ

e ψ sao distintos, precisamos encontrar um homomorfismo admissıvel σ que nao anule

simultaneamente r e s, do que concluiremos σ(rs) 6= 0. A resposta e afirmativa e esta

contida no proximo teorema, que encerra este capıtulo.


Teorema 2.7.1. Seja D uma C-algebra com divisao qualquer. Entao C 〈x; y〉 /I(D) e um

anel sem divisores de zero e existe um anel com divisao D tal que C 〈x; y〉 /I(D) ↪→ D e

I(D) = I(D).

Prova: Caso I(D) = ∅, temos I(D) = C 〈x; y〉 e o resultado segue trivialmente pondo

D = D. Podemos assumir, portanto, que I(D) 6= ∅.Sejam r = r 〈x; y〉 e s = s 〈x; y〉 em C 〈x; y〉. Suponhamos que nenhum dos dois seja

uma identidade racional de D. Entao devem existir homomorfismos admissıveis ϕ e ψ em

I(D) tais que ϕ(r) 6= 0 6= ψ(s). Vamos provar que rs 6≡ 0 (mod I(D)).

Sejam u, v indeterminadas comutativas. Formemos, nos moldes do lema 1.1.22, com

α = 1, o anel de fracoes D1(u) a partir de D[u]. Consideremos o homomorfismo τ de C0

em D1(u) determinado pela aplicacao xi 7→ ϕ(xi)u. Entao εu1τ0 = ϕ0 e, procedendo de

maneira inteiramente analoga ao lema 2.6.4, podemos estender τ0 a um homomorfismo

admissıvel τ ∈ I(D1(u)) que verifica εu1τ = ϕ.

Formemos, agora, tambem nos moldes do lema 1.1.22, com α = 0, o anel de fracoes

D(u)0(v) a partir de Du[v]. Consideremos o homomorfismo σ0 de C0 em D(u)0(v) deter-

minado pela aplicacao xi 7→ ϕ(xi)u + ψ(xi)v. Entao εv0σ0 = τ0. Mais uma vez, podemos

estender σ0 a um homomorfismo admissıvel σ ∈ I(D(u)0(v)) que verifica εv0σ = τ e, com

maior razao,

εu1εv0σ = εu1τ = ϕ

Vamos repetir o mesmo processo dos dois ultimos paragrafos. Formamos o anel

de fracoes D1(v) e o homomorfismo τ ′0 determinado pela aplicacao xi 7→ ψ(xi)v. Entao

εv1τ′0 = ψ0 e podemos estender τ ′0 a um homomorfismo admissıvel τ ′ ∈ I(D1(v)) que

verifica εv1τ′ = ψ. Formamos, agora, o anel de fracoes D(v)0(u), obtido a partir de Dv[u],

e tomamos σ′0 de C0 em D(v)0(u) determinado pela aplicacao xi 7→ ϕ(xi)u + ψ(xi)v.

Entao εu0σ′0 = τ ′0 e a fortiori obtemos σ′ ∈ I(Du), extensao de σ′0 que verifica εu0λ

′ = τ ′.

Consequentemente,

εv1εu0σ′ = εv1τ

′ = ψ.

Ambos D(u)0(v) e D(v)0(u) sao, de acordo com o lema 1.1.22, subaneis de D(u, v),

portanto podemos considerar que σ e σ′ estao definidos de C 〈x; y〉 em D(u, v). Como

esta claro acima que σ0 = σ′0, resulta, pelo lema 2.3.4, que σ = σ′ e, como assumimos

ϕ(r) 6= 0 6= ψ(s), concluımos que

σ(r) 6= 0 6= σ(s).

Como ambos σ(r) e σ(s) estao no anel com divisao D(u, v), segue que 0 6= σ(r)σ(s) =

σ(rs). Logo rs nao e uma identidade racional de D(u, v). Conforme o corolario 2.4.2,

temos I(D(u, v)) = I(D), o que acarreta rs /∈ I(D), completando a primeira parte desta

demonstracao.


Para demonstrar a segunda parte do teorema, vamos descrever o seguinte diagrama

comutativo:

C 〈x; y〉

��

// DΛ

(2)

��

C〈x;y〉I(D)

-

(1)

<<

� �

(3)// D = DΛ

F

Tomamos, inicialmente, o conjunto Λ = I(D) dos homomorfismos admissıveis em

D. Consideremos a aplicacao de C 〈x; y〉 em DΛ dada por r = r 〈x; y〉 7→ fr, em que

fr(λ) = λ(r), para todo λ ∈ Λ. Entao fr = 0 se e somente se λ(r) = 0 para todo λ, ou

seja, se e somente se r ∈⋂λ∈Λ kerλ = I(D). Pelo teorema ho homomorfismo, redunda

que a aplicacao r = r+ I(D) 7→ fr e um monomorfismo (1) de C 〈x; y〉 /I(D) em DΛ bem

definido.

Para cada r = r 〈x; y〉 em C 〈x; y〉, definimos Sr = {λ ∈ Λ | λ(r) 6= 0}. Consideramos

o conjunto

B = {Sr | r 6∈ I(D)}

Como I(D) 6= C 〈x; y〉, temos B 6= ∅ e e obvio que Sr 6= ∅ sempre que r 6∈ I(D). Alem

disso, se tambem s = s 〈x; y〉 nao e uma identidade racional de D, temos Ss ∈ B e a

primeira parte da demonstracao implica que rs 6∈ I(D), logo Srs ∈ B. Assim, para cada

λ ∈ Λ, ocorrera 0 6= λ(rs) = λ(r)λ(s) se e somente se λ(r) 6= 0 6= λ(s). Isto mostra que

Sr ∩Ss = Srs. Sucede que B e base de um filtro em Λ e podemos tomar um ultra-filtro F

que contem B. Consequentemente, {λ ∈ Λ | fr(λ) 6= 0} = {λ ∈ Λ | λ(r) 6= 0} = Sr ∈ F ,

ou seja, fr 6≡ 0 (mod F ). Isto mostra que a composicao da projecao ao quociente (2) com

o monomorfismo (1) e, ainda, um monomorfismo (3). Pelo lema 1.3.7, D = DΛ/F e o

anel com divisao procurado. �

Capıtulo 3

Aplicacoes

3.1 O grupo multiplicativo de aneis com divisao

O objetivo desta secao e aplicar a teoria desenvolvida no segundo capıtulo para

mostrar que o grupo multiplicativo de uma C-algebra com divisao (nao comutativa) nao

satisfaz identidades de grupo nao triviais.

Para alcancar o nosso objetivo, vamos mostrar que uma C-algebra de grupo, formada

sobre um grupo livre com infinitos geradores, pode ser embutida em uma C-algebra com

divisao de dimensao infinita sobre seu centro (portanto nao comutativa), e disto resultara

o que queremos mostrar.

Antes de estabelecer os resultados basicos desta secao, precisamos observar alguns

fatos.

Sejam {ξ} = {ξ1, ξ2, . . . }, F o grupo livre gerado por {ξ} e C[F] a C-algebra de

grupo gerada a partir de F. Fixemos p = p[ξ] ∈ C[F] nao-nulo. Entao existe um inteiro

positivo n tal que p ∈ C[Fn], em que Fn e o grupo livre gerado por {ξ1, . . . , ξn}, isto e,

p contem apenas as palavras que envolvem ξ1, . . . , ξn e seus respectivos inversos. Seja

T : C[Fn] → C 〈x; y〉 a transformacao C-linear obtida a partir da extensao das aplicacoes

ξj 7→ xjxn+j , ξ−1j 7→ yj e 1 7→ 1 aos elementos de Fn, isto e, uma palavra (reduzida)

ξε(i1)i1· · · ξε(im)

im, em que ε(ij) ∈ {−1, 1}, e transformada no monomio zi1 · · · zim , em que

zij = xijxn+ij , se ε(ij) = 1, e zij = yij , se ε(ij) = −1. Observemos que T e injetiva e

denotemos p 〈x; y〉 = T (p), portanto p 〈x; y〉 6= 0.

Formemos o Q-ideal I0 = (q1, . . . , qn) de C 〈x; y〉, em que qj = qj 〈x; y〉 = yjxjxn+j−1. Entao o conjunto de homomorfismos I0-admissıveis em D e nao vazio: por exemplo, as

aplicacoes de C 〈x; y〉 em D xi 7→ 1 e yj 7→ 1, para todos i ≥ 1 e 1 ≤ j ≤ n, determinam

um tal homomorfismo. Seja ϕ ∈ I(D) arbitrario. Resulta que

(ϕT )(ξj) = ϕ(xjxn+j) = ϕ(yj)−1 = [(ϕT )(ξ−1

j )]−1,

o que acarreta (ϕT )(ξ−1j ) = [(ϕT )(ξj)]

−1. Com maior razao, ϕT e um C-homomorfismo

de algebras.

43

CAPITULO 3. APLICACOES 44

O nosso objetivo agora e mostrar que, dada uma C-algebra com divisao D de di-

mensao infinita sobre seu centro, p 〈x; y〉 nao e uma identidade (I0−)racional de D. Fare-

mos isso construindo uma C-algebra de dimensao finita – que, portanto, esta embutida em

um anel de matrizes sobre C – da qual p 〈x; y〉 nao e uma identidade racional. Resultara

que p 〈x; y〉 /∈⋂Mm(C), e a conclusao seguira pelo teorema 2.6.6.

Inicialmente, observemos que, pelo teorema 2.7.1, C 〈x; y〉 /I(D) e um domınio, por-

tanto yjxjxn+j ≡ 1 (mod I(D)) implica que yj + I(D), xj + I(D) e xn+j + I(D) sao

unidades em C 〈x; y〉 /I(D). Isso nos autoriza a formular a seguinte relacao:

p 〈x; y〉 ≡∑(i)

c(i)(xi1xn+i1)ε(i1) . . . (ximxn+im)ε(im) (mod I(D)),

em que ε(ij) ∈ {−1, 1}. Podemos ir alem e, eliminando os parenteses acima, obtemos

p 〈x; y〉 ≡∑(k)

c(k)xε(k1)k1

xε(k2)k2

. . . xε(k2m)k2m

(mod I(D)), (3.1)

em que

xk1 = xi1 , xk2 = xn+i1 e ε(k1) = ε(k2) = 1, se ε(i1) = 1,

ou

xk1 = xn+i1 , xk2 = xi1 e ε(k1) = ε(k2) = −1, se ε(i1) = −1,

e assim por diante. Outrossim, como os monomios de p 〈x; y〉 foram obtidos a partir de

palavras reduzidas, concluımos que kj 6= kj+1.

Sejam {v} = {v1, . . . , v2n} um conjunto de indeterminadas nao comutativas, C 〈v〉 a

algebra livre com unidade gerada por {v}, e µ, ν inteiros positivos quaisquer. Formemos

o ideal (bilateral) J de C 〈v〉, gerado pelos elementos da forma vµ+1j , com j ∈ {1, . . . , 2n}

e vj1vj2 · · · vjν , com jk ∈ {1, . . . , 2n} e 1 ≤ k ≤ ν. Como os monomios de grau nao inferior

a ν e as potencias de cada vj nao inferiores a µ + 1 sao congruentes a zero, concluımos

que o conjunto finito

{vj1vj2 · · · vjν−1 | jk ∈ {1, . . . , 2n}, 1 ≤ k ≤ ν − 1} ∪ {vmj | 1 ≤ j ≤ 2n,m ≤ µ}

e gerador da C-algebra B = C 〈v〉 /J , o que acarreta dimC B <∞. Para cada j, denotemos

bj = 1− vj e b′j = 1 + vj + · · ·+ vµj . Entao

bjb′j ≡ b′jbj ≡ 1 (mod J).

Consideremos o homomorfismo ψ de C 〈x; y〉 em C 〈v〉 determinado pelas aplicacoes xj 7→bj , xn+j 7→ bn+j e yj 7→ b′n+jb

′j , 1 ≤ j ≤ n, e xj 7→ 0, se j > 2n. Entao

ψ(qj) = ψ(yjxjxn+j − 1) = b′n+jb′jbjbn+j − 1 ≡ 0 (mod J)

para todo j, o que mostra que ρψ ∈ I(B), em que ρ : C 〈v〉 → B e a projecao canonica ao

quociente. Alem disso, de acordo com a relacao (3.1), temos que

ψ(p 〈x; y〉) = p⟨b; b′⟩≡∑(k)

c(k)bε(k1)k1

bε(k2)k2

. . . bε(k2m)k2m

(mod J),


ou ainda

ψ(p 〈x; y〉) = p⟨b; b′⟩

=∑(k)

c(k)

(1 + · · ·+ ε(k)v

δ(k1)k1

vδ(k2)k2

· · · vδ(k2m)k2m

), (3.2)

em que δ(kj) = 1, se ε(kj) = 1, δ(kj) = µ, se ε(kj) = −1, e ε(k) ∈ {−1, 1}. Denotemos

vδ(k)

(k) = ε(k)vδ(k1)k1

vδ(k2)k2

· · · vδ(k2m)k2m

e p(k)(b) = 1 + · · ·+ vδ(k)

(k)

Observemos que vδ(k)

(k) e o monomio em v de maior grau em p(k)(b), a saber r(k) + s(k)µ, em

que r(k) e o numero de kj ’s tais que ε(kj) = 1 e s(k) e o numero de kj ’s tais que ε(kj) = −1.

Alem disso, como kj 6= kj+1, as potencias de cada vkj em vδ(k)

(k) nao superam µ.

Se todos os s(k)’s sao zero, entao p 〈x; y〉 nao envolve as indeterminadas yj , ou

seja, p 〈x; y〉 = p 〈x〉 nao pode ser uma identidade polinomial em D, porquanto este tem

dimensao infinita sobre seu centro. Podemos assumir, portanto, que, para algum (k),

temos s(k) ≥ 1. Tomemos r = max(k) r(k). Observemos que este maximo independe dos

inteiros µ, ν, de modo que podemos escolher µ > r. Assim, se r(i) + s(i)µ = r(j) + s(j)µ,

temos r(i) = (s(j) − s(i))µ+ r(j), com r(j) < µ. Como tambem r(i) < µ, segue que, usando

a unicidade do resto e do quociente no algoritmo da divisao para os numeros inteiros,

r(i) = r(j) e s(i) = s(j). Agora escolhemos ν > max(k)(r(k) + s(k)µ). Nestes moldes,

concluımos que vδ(k)

(k) 6∈ J , para todo (k).

Podemos reformular a equacao (3.2), destacando os monomios em v de maior grau,

como segue:

p⟨b; b′⟩

= p⟨b; b′⟩

+∑(k)

c(k)vδ(k)

(k) ,

e para provar que p 〈x; y〉 nao e uma identidade racional de B, e suficiente mostrar que∑(k) c(k)v

δ(k)

(k) 6≡ 0 (mod J). Com efeito, fixemos um monomio vδ(i)(i) de grau maximo

r(i) + s(i)µ. Se vδ(j)(j) tambem possui grau maximo, decorre das observacoes acima que

r(j) = r(i) e s(j) = s(i) e, como (i) e (j) nao possuem ındices consecutivos iguais, estes

monomios coincidem se e somente se (i) = (j).

Concluımos que os monomios em v de grau maximo aparecem uma unica vez em

p 〈b; b′〉, nao possuem potencias de vj maiores que µ e seus graus sao menores que ν, do

que resulta, a fortiori,

(ρψ)(p 〈x; y〉) = ρ(p⟨b; b′⟩) 6= 0,

como querıamos.

Proposicao 3.1.1. Seja Λ = {λ} a colecao de todos os C-homomorfismos de algebra

de C[F] em uma C-algebra com divisao D de dimensao infinita sobre seu centro. Entao⋂λ∈Λ kerλ = (0)

Prova: Seja p = p[ξ] nao nulo em C[F]. Conforme os argumentos acima, existe um

homomorfismo admissıvel ϕ de C 〈x; y〉 em D tal que (ϕT )(p) = ϕ(p 〈x; y〉) 6= 0. Isto

prova a afirmacao. �


Teorema 3.1.2. A algebra de grupo C[F] nao possui divisores de zero e pode ser embutida

em um anel com divisao de dimensao infinita sobre seu centro.

Prova: Sejam D uma C-algebra com divisao de dimensao infinita sobre seu centro K,

p = p[ξ] e q = q[ξ] ambos nao nulos em C[F]. De acordo com os argumentos e as notacoes

do inıcio deste capıtulo, existe um Q-ideal I0 de C 〈x; y〉 tal que I(D) 6= ∅ e nem p 〈x; y〉 =

T (p), nem q 〈x; y〉 = T (q) sao identidades (I0−)racionais de D. Pelo teorema 2.7.1, resulta

que p 〈x; y〉 q 〈x; y〉 tambem nao e uma identidade racional de D. Seja ϕ ∈ I(D) tal que

ϕ(p 〈x; y〉 q 〈x; y〉) 6= 0. Portanto

(ϕT )(pq) = (ϕT )(p)(ϕT )(q) = ϕ(p 〈x; y〉)ϕ(q 〈x; y〉) = ϕ(p 〈x; y〉 q 〈x; y〉) 6= 0,

do que concluımos, necessariamente, pq 6= 0, o que prova a primeira afirmacao.

Para demonstrar o restante, vamos descrever o seguinte diagrama comutativo:

C[F] � p

(3)

� � (1)// DΛ

(2)

��

DΛ

F

Seja Λ = {λ} a colecao de todos os C-homomorfismos de algebra de C[F] em uma

C-algebra com divisao D, de dimensao infinita sobre seu centro. Decorre da proposicao

3.1.1 que a aplicacao p[ξ] 7→ fp de C[F] em DΛ, em que fp(λ) = λ(p), e um monomorfismo

(1) de C-algebras.

Para cada p = p[ξ] em C[F], definimos Sp = {λ ∈ Λ | λ(p) 6= 0}. Consideremos o

conjunto B = {Sp | 0 6= p ∈ C[F]}. Se p, q ∈ C[F] sao nao nulos, entao Sp 6= ∅ 6= Sq e,

como C[F] nao tem divisores de zero e o contradomınio de cada λ e o anel com divisao

D, resulta que Sp ∩ Sq = Spq ∈ B. Logo B e base de um filtro, portanto podemos tomar

um ultra-filtro F em Λ que contem B. Nestes moldes, como Sp ∈ F , necessariamente

fp 6≡ 0 (mod F ) e concluımos que a composicao da projecao ao quociente (2) com o

monomorfismo (1) e, ainda, um monomorfismo (3) de C[F] em DΛ/F . Este ultimo e uma

C-algebra com divisao de acordo com o lema 1.3.7. Outrossim, como D ↪→ DΛ/F , usamos

as observacoes da secao 2.1 do segundo capıtulo para concluir que DΛ/F tem dimensao

infinita sobre seu centro. �

O principal resultado desta secao e dado a seguir.

Teorema 3.1.3. Seja D uma C-algebra com divisao de centro K. Entao o grupo multi-

plicativo D∗ nao satisfaz qualquer identidade de grupo nao trivial.

Prova: Suponhamos que W (x) = xε(i1)i1· · ·xε(in)

in, com ε(ij) ∈ {−1, 1}, seja uma identi-

dade em D∗. Entao W (x) − 1 e uma identidade racional de D. Se dimK D = ∞, entao


segue do teorema 2.6.6 que W (x)−1 e uma identidade racional de todas as C-algebras com

divisao de dimensao infinita sobre seus centros. Em particular, deve ser uma identidade

da algebra com divisao que contem o grupo livre F. Entao W (x) = 1.

Suponhamos que dimK D < ∞. Entao, pelo teorema 2.5.1, W (x) − 1 ∈ I(D) =

I(Mn(C)) = I(Mn(C)), em que C e o fecho algebrico de C. Vamos mostrar, em um pri-

meiro estagio, que W (x)−1 nao e uma identidade racional de M2(C). Com efeito, fazendo

xij = uijvuij , a palavra W (x) se reescreve como uma palavra em duas indeterminadas,

digamos

W (uivui) = (ui1vui1)ε(i1) · · · (uinvuin)ε(in)

= unkvmkunk−1vmk−1 · · ·un1vm1un0 = W (k)(u, v)

Sejam arbitrarios c e d nao nulos em C −{1}, s e t indeterminadas comutativas. Fazemos

U =

[1 0

s c

]e V =

[1 t

0 d

], logo Un =

[1 0

c[n]s cn

]e V m =

[1 d[m]t

0 dm

],

em que

c[n] = (cn − 1)(c− 1)−1 e d[m] = (dm − 1)(d− 1)−1,

para quaisquer inteiros nao nulos n e m. Nestes moldes, temos

UnV m =

[1 d[m]t

c[n]s (cndm + c[n]d[m]st)

].

Vamos analisar, agora, as entradas da matriz W (k)(U, V ) = (W(k)ij (U, V )) = (W

(k)ij ).

Comecamos com

W (0) = Un0 =

[1 0

c[n0]s cn0

]e denotamos α0 = 1 e β0 = c[n0]. Prosseguindo, temos

W (1) = Un1V m1Un0 =

[(1 + c[n0]d[m1]st) (· · · )

(c[n1]s+ c[n0]cn1dm1s+ c[n0]c[n1]d[m1]s

2t) (· · · )

],

portanto, denotando α1 = c[n0]d[m1] e β1 = c[n0]c[n1]d[m1], temos

W(1)11 = α1st+ 1 e W

(1)21 = β1s

2t+ · · · .

Procedendo indutivamente, para 1 < j ≤ k, temos W (j) = (UnjV mj )W (j−1), e resulta que

W(j)11 = W

(j−1)11 + d[mj ]tW

(j−1)21 = d[mj ]t · βj−1s

jtj−1 + αj−1(st)j−1 + · · · ,

e tambem

W(j)21 = c[nj ]sW

(j−1)11 + (cnjdmj + c[nj ]d[mj ]st)W

(j−1)21

= c[nj ]d[mj ]st · βj−1sjtj−1 + c[nj ]s · αj−1(st)j−1 + · · · .


A partir das equacoes acima, concluımos que αj = d[mj ] · βj−1 e que βj = c[nj ]d[mj ]βj−1.

Com maior razao, resulta que

βk = (c[n0]c[n1] · · · c[nk])(d[m1]d[m2] · · · d[mk]).

Como C e infinito, podemos escolher devidamente c, de modo que nao seja uma raiz

da unidade de ordem ni, para cada i ∈ {0, . . . , k}, e d, de modo que nao seja uma raiz

da unidade de ordem mi, para cada i ∈ {1, . . . , k}. Nestes moldes, obtemos β 6= 0, e

necessariamente

W(k)21 = W

(k)21 (s, t) = βks

k+1tk + · · · ∈ C(s, t)

e um polinomio nao nulo e seu monomio de maior grau e, precisamente, βksk+1tk. Basta

agora fazer s = a e t = b, em que a, b ∈ C sao tais que W(k)21 (a, b) 6= 0, e isto e possıvel,

porque C e infinito. Tomamos, finalmente, as matrizes invertıveis

A =

[1 0

a c

]e B =

[1 b

0 d

]

e obtemos W (k)(A,B) 6= 1. Para um n > 2 qualquer, tomamos as matrizes (dadas em

forma de bloco)

A =

[A 0

0 1

]e B =

[B 0

0 1

]em que 1 e um bloco identidade de tamanho (n−2)×(n−2). Ainda assim, W (A, B)(k) 6= 1,

o que completa a demonstracao. �

Em particular, concluımos um resultado ja existente (Hua [Hua50]):

Corolario 3.1.4. O grupo multiplicativo de um anel com divisao de centro infinito nao e

soluvel.

3.2 O anel de funcoes racionais em um anel com divisao

Nesta secao, vamos usar os resultados dos capıtulos anteriores para, a partir de uma

C-algebra com divisao arbitraria D, construir um anel CD(x) de funcoes racionais em

D. Vamos mostrar que, entre outras propriedades, CD(x) e um anel com divisao cuja

estrutura algebrica depende apenas da dimensao de D sobre seu centro, isto e, se duas C-

algebras com divisao tem a mesma dimensao sobre seus centros, entao os aneis de funcoes

racionais de cada uma sao isomorfos.

Inicialmente, vamos expandir os conceitos apresentados no segundo capıtulo. Ate

aqui, estudamos as identidades racionais de uma C-algebra com divisao D relativas a

um Q-ideal da algebra livre com unidade C 〈x; y〉 = C 〈x; y1, . . . , yn〉. Podemos sempre

tomar um numero finito de indeterminadas yj , porquanto os polinomios da algebra livre

sempre envolvem finitas variaveis xi e yj . Para generalizar as ideias expostas anterior-

mente, vamos tomar, em um primeiro estagio, ambos os conjuntos {x} = {x1, x2, . . . } e


{y} = {y1, y2, . . . } infinitos. Formamos, a seguir, a colecaoQ de todos os possıveis Q-ideais

(os quais tem, por definicao, nıvel finito) em C 〈x; y〉. Claramente, Q e um subconjunto do

conjunto das partes de C 〈x; y〉, portanto pode ser indexado biunivocamente por um con-

junto A = {α}. Nestes moldes, tendo em consideracao que apenas finitas indeterminadas

yj estao envolvidas nos geradores de cada Q-ideal, para cada α em A, estao determinados:

1. Uma subalgebra C 〈x; yα〉 = C 〈x; yα1, . . . , yαnα〉 de C 〈x; y〉.

2. Um Q-ideal I0α de C 〈x; yα〉, gerado por polinomios qαj = qαj 〈x; yα〉 = yαjpαj − 1,

em que pαj = pαj 〈x; yα1, . . . , yαj−1〉.

3. Um conjunto Iα(D) (eventualmente vazio) de homomorfismos I0α-admissıveis.

4. Um conjunto Iα(D) das identidades I0α-racionais de D.

Para os nossos propositos, vamos considerar apenas os Q-ideais para os quais os

conjuntos de homomorfismos admissıveis nao sao vazios. Sem perda de generalidade,

poderemos prosseguir com as notacoes Q e A = {α} para fazer referencia a esses objetos.

Enfatizamos que Q nao e vazio: a secao anterior prove exemplos de Q-ideais para os quais

existem homomorfismos admissıveis.

Para cada α em A, denotaremos Rα = C 〈x; yα〉 /Iα(D). Conforme as nossas con-

vencoes, Iα(D) e nao vazio, o que acarreta Iα(D) 6= C 〈x; yα〉, ou seja, Rα e nao trivial

e, de acordo com o teorema 2.7.1, e tambem um domınio. Os proximos passos que nos

conduzirao a construcao de CD(x) consistem em mostrar que os Rα’s dispoem-se em um

conjunto direcionado. Nosso ponto de partida e a seguinte definicao: dados α e β em A,

diremos que um C-homomorfismo η : C 〈x; yα〉 → C 〈x; yβ〉 e um homomorfismo padrao

se η(xi) = xi, para todo i, e se η(I0α) ⊆ I0

β. Nestes moldes, para qualquer ϕ em Iβ(D),

temos

η(I0α) ⊆ I0

β ⊆ kerϕ,

do que decorre

I0α ⊆ ker(ϕη).

Sucede que ϕη ∈ Iα(D) e, com maior razao,

Iβ(D)η ⊆ Iα(D).

Resulta tambem que, se p = p 〈x; yα〉 ∈ C 〈x; yα〉 e uma identidade (I0α−)racional de D,

deve ocorrer

ϕ(η(p)) = (ϕη)(p) = 0,

donde η(p) ∈ Iβ(D) e, como p e e arbitrario, temos

η(Iα(D)) ⊆ Iβ(D).

Das observacoes acima, decorre que esta bem definido o homomorfismo η : Rα → Rβ, de

maneira que, para qualquer p = p 〈x; yα〉+Iα(D) em Rα, temos η(p) = η(p 〈x; yα〉)+Iβ(D).


Diremos que η e o homomorfismo induzido por η. Ilustramos estas informacoes no seguinte

diagrama (comutativo):

C 〈x; yα〉

ρα

��

η// C 〈x; yβ〉

ρβ

��

Rαη

// Rβ

Como de uso, ρα e ρβ denotam as projecoes ao quociente. Mais a frente, descreveremos

propriedades importantes dos homomorfismos padrao e de seus respectivos homomorfismos

induzidos.

Antes de seguir para o proximo lema, estabeleceremos algumas notacoes. Λ = {λ}e o conjunto de todos os C-homomorfismos de C 〈x〉 em D. Recordemos que C0 denota a

algebra livre com unidade C 〈x〉 e que ϕ0 denota a restricao de ϕ a C0. Para cada α em

A, a projecao de Iα(D) em Λ e o conjunto Iα(D) = {ϕ0 | ϕ ∈ Iα(D)}, que, de acordo

com as nossas convencoes acima, e nao vazio. O lema 2.3.4 nos permite afirmar que Iα(D)

esta em correspondencia biunıvoca com sua projecao em Λ.

Lema 3.2.1. Para quaisquer α e β em A, Iα(D) ∩ Iβ(D) 6= ∅.

Prova: Fixemos ϕ ∈ Iα(D) e ψ ∈ Iβ(D). Sejam u e v indeterminadas comutativas sobre

D. Vamos repetir o processo empregado na demonstracao do teorema 2.7.1.

Inicialmente, obtemos um homomorfismo admissıvel τ ∈ Iα(D(u)) que possui as

propriedades

τ(xi) = ϕ(xi)u, τ(C 〈x; yα〉) ⊆ D1(u) e εu1τ = ϕ.

Depois, obtemos um homomorfismo admissıvel σ ∈ Iα(D(u, v)) que verifica as proprieda-

des

σ(xi) = ϕ(xi)u+ ψ(xi)v, σ(C 〈x; yα〉) ⊆ D(u)0(v) e εv0σ = τ,

do que resulta

εu1εv0σ = εu1τ = ϕ.

Repetindo o mesmo processo para ψ, obteremos τ ′ ∈ Iβ(D(v)) que possui as propriedades

τ ′(xi) = ψ(xi)v, τ ′(C 〈x; yβ〉) ⊆ D1(v) e εv1τ′ = ψ,

e, em seguida, σ′ ∈ Iα(D(u, v)), que verifica

σ′(xi) = ϕ(xi)u+ ψ(xi)v, σ′(C 〈x; yβ〉) ⊆ D(v)0(u) e εu0σ′ = τ ′,


consequentemente

εv1εu0σ′ = εv1τ

′ = ψ.

Relembremos que Du = D(u) e que Du[v] e um domınio de ideais principais – o que

permite estabelecer a nocao de maximo divisor comum. Alem disso, comoD(u, v) ∼= Du(v),

podemos escrever, para cada i ∈ {1, . . . , nα} e para cada j ∈ {1, . . . , nβ},

σ(pαi) = fuαi[v]guαi[v]−1 e σ′(pβj) = huβj [v]kuβj [v]−1,

em que fuαi, guαi, h

uβj e huβj sao polinomios em v com coeficientes em Du e estas repre-

sentacoes estao dadas de forma irredutıvel, isto e, um divisor comum de fuαi e de guαi e uma

unidade em Du[v], e huβj e kuβj tem a mesma propriedade. Configura-se, a partir disso,

a seguinte consequencia: como C e infinito, podemos fixar d em C tal que fuαi[d], guαi[d],

huβj [d] e huβj [d] sao todos nao nulos e quaisquer representacoes na forma irredutıvel devem

verificar a mesma condicao. De fato, suponhamos, por exemplo, que, para algum i, ocorra

σ(pαi) = puαi[v]quαi[v]−1. De acordo com o lema 1.1.22, o conjunto

Sd = {q[v] ∈ Du[v] | q[d] 6= 0}

verifica a condicao de Ore (D2). Logo existem a = a[v] e b = b[v] em Du[v] tais que b[d] 6= 0

e guαia = quαib, o que claramente implica fuαia = puαib. Da primeira das equacoes, resulta

que quαi[d] = 0 se e somente se a[d] = 0; da segunda delas, que puαi[d] = 0 se e somente se

a[d] = 0. Entao a condicao puαi[d] = 0 e equivalente a quαi[d] = 0. consequentemente, se

puαi[v]quαi[v]−1 esta na forma irredutıvel, concluımos que ambos puαi e quαi estao em Sd.

Os fatos expostos no paragrafo acima nos permitem afirmar que estao bem definidos

os homomorfismos

εvdσ : C 〈x; yα〉 → Du e εvdσ′ : C 〈x; yβ〉 → Du

Repetindo a mesma argumentacao, usando as representacoes irredutıveis dos ele-

mentos (εvdσ)(pαi), (εvdσ′)(pβj) e um conveniente c em C, de modo que (εvdσ)(pαi)[c] e

(εvdσ′)(pβj)[c] existam e sejam distintos de zero, concluımos que estao bem definidos os

homomorfismos

Φ = εuc εvdσ : C 〈x; yα〉 → D e Ψ = εuc ε

vdσ′ : C 〈x; yβ〉 → D,

os quais sao, manifestamente, admissıveis. Como Φ(xi) = ϕ(xi)u + ψ(xi)v = Ψ(xi),

concluımos que Φ0 = Ψ0 ∈ Iα(D) ∩ Iβ(D), o que completa a prova do lema. �

Para mostrar que {Rα | α ∈ A} e um conjunto direcionado, precisamos, inicialmente,

exibir uma relacao binaria que seja reflexiva e transitiva. Faremos uso dos homomorfismos

padrao, como segue.

Lema 3.2.2. Sejam α e β em A quaisquer. Se η : C 〈x; yα〉 → C 〈x; yβ〉 e um homomor-

fismo padrao, entao η e um monomorfismo e e o unico que verifica a relacao ηρα = ρβη.

Alem disso, se ξ : C 〈x; yα〉 → C 〈x; yβ〉 e um outro homomorfismo padrao, entao ξ = η.


Prova: Precisamos provar que ker(ρβη) = Iα(D) e, pelo teorema do homomorfismo, ob-

teremos as propriedades enunciadas para η. Com efeito, suponhamos que p = p 〈x; yα〉em C 〈x; yα〉 nao seja uma identidade racional de D, digamos que ϕ ∈ Iα(D) seja tal que

ϕ(p) 6= 0. Tomemos indeterminadas distintas yγ1, . . . , yγnγ , de modo que nγ = nα + 1 e

consideremos a aplicacao θ : C 〈x; yα〉 → C 〈x; yγ〉 determinada pelas condicoes θ(xi) = xi,

para todo i e θ(yαj) = yγj , para todo j ∈ {1, . . . , n}. Manifestamente, θ e um monomor-

fismo (e um isomorfismo entre as C-algebras C 〈x; yα〉 e C⟨x; yγ1, . . . , yγnγ−1

⟩), de modo

que ainda temos θ(p) 6= 0. Formemos o Q-ideal

I0γ = (θ(qα1), . . . , θ(qαnα), yγnγθ(p)− 1),

em que os qαj ’s sao os geradores do Q-ideal I0α. Nestes moldes, Iα(D) 6= ∅ e, assim,

γ ∈ A. Com efeito, consideramos o homomorfismo ψ : C 〈x; yγ〉 → D determinado pelas

condicoes ψ(xi) = ϕ(xi) para todo i, ψ(yγj) = ϕ(yαj) para todo j ∈ {1, . . . , nγ − 1 = nα}e ψ(yγnγ ) = ϕ(p)−1. Das duas primeiras condicoes, concluımos que ψ(θ(p)) = ϕ(p); com

maior razao, I0γ ⊆ kerψ, ou seja, ψ e um homomorfismo admissıvel. Observemos, ainda,

que θ e um homomorfismo padrao. Podemos, agora, usar o lema 3.2.1 para encontrar

Φ ∈ Iγ(D) e Ψ ∈ Iβ(D) tais que Φ0 = Ψ0. Resulta que Φθ e Ψη estao ambos em Iα(D)

e, como η(xi) = xi = θ(xi), temos (Φθ)(xi) = Φ(xi) = Ψ(xi) = (Ψη)(xi), o que acarreta

Φθ = Ψη, pelo lema 2.3.4. Redunda que

(Ψη)(p) = (Φθ)(p) = Φ(yγnγ )−1 6= 0,

e necessariamente η(p) 6∈ Iβ(D), ou seja, (ρβη)(p) 6= 0, o que prova a nossa afirmacao.

Para demonstrar o restante do lema, suponhamos que ξ esteja nas condicoes do

enunciado. Entao ξ(xi) = xi e temos, para qualquer τ ∈ Iβ(D),

(τξ)(xi) = τ(xi) = (τη)(xi),

do que decorre, de acordo com o lema 2.3.4, τξ = τη ∈ Iα(D). Dado q = q 〈x; yα〉qualquer em Iα(D), temos, portanto, 0 = (τξ)(q) − (τη)(q) = τ(ξ(p) − η(q)) e, como

τ foi tomado arbitrariamente, concluımos que ξ(q) ≡ η(q) (mod Iβ(D)), mostrando que

ξ(q + Iα(D)) = η(q + Iα(D)). Como q e qualquer, segue que ξ = η, como querıamos. �

Sejam α e β em A quaisquer. A luz do precedente lema, quando existe um homo-

morfismo padrao η de C 〈x; yα〉 em C 〈x; yβ〉, entao Rα e isomorfo ao subanel η(Rα) de

Rβ, e tal relacao independe de η. Podemos seguramente identificar Rα como um suba-

nel de Rβ, neste caso. Reciprocamente, diremos que Rα e subanel de Rβ se existir um

monomorfismo induzido por um homomorfismo padrao. Como de costume, utilizaremos

o sımbolo ↪→ para denotar essa relacao, que e reflexiva e transitiva. O proximo lema –

essencialmente no item 2 – contem a ultima propriedade que precisamos validar para ↪→,

a fim de mostramos que {Rα | α ∈ A} e um conjunto direcionado.

Lema 3.2.3. Sejam α e β em A quaisquer. Sao verdadeiras as seguintes afirmacoes:


1. Se Rα ↪→ Rβ, entao Iα(D) ⊇ Iβ(D).

2. Existe γ em A tal que Rα ↪→ Rγ, Rβ ↪→ Rγ e Iγ(D) = Iα(D) ∩ Iβ(D).

3. Se p = p 〈x; yα〉 em C 〈x; yα〉 nao e uma identidade racional de D, entao, para algum

γ em A, temos Rα ↪→ Rγ e p+ Iγ(D) e uma unidade em Rγ.

Prova: Para provar 1, comecamos com um homomorfismo padrao η de C 〈x; yα〉 em

C 〈x; yβ〉 e consideramos a aplicacao de Iβ(D) em Iα(D) dada por ϕ 7→ ϕη. Se ϕ′η = ϕη,

entao, como η(xi) = xi, temos ϕ′0 = ϕ0. Segue do lema 2.3.4 que ϕ′ = ϕ e a aplicacao em

tela e, pois, injetiva. Por outro lado, se η′ e um outro homomorfismo padrao de C 〈x; yα〉em C 〈x; yβ〉, entao (ϕη)(xi) = (ϕη′)(xi), do que resulta, usando mais uma vez o lema

2.3.4, ϕη = ϕη′. Portanto independe do homomorfismo padrao que tomarmos a maneira

como identificamos Iβ(D) como subconjunto de Iα(D). Finalmente, como ambos estao

em correspondencia biunıvoca com suas projecoes, obtemos o resultado.

Para provar 2, tomemos indeterminadas distintas yγ1, . . . , yγnγ , de modo que nγ =

nα+nβ e consideremos as aplicacoes ηα : C 〈x; yα〉 → C 〈x; yγ〉 e ηβ : C 〈x; yβ〉 → C 〈x; yγ〉,determinadas pelas condicoes ηα(xi) = xi = ηβ(xi), para todo i, ηα(yαj) = yγj , em

que 1 ≤ j ≤ nα, e ηβ(yβj) = yγnα+j , em que 1 ≤ j ≤ nβ. Esta claro que ηα e

ηβ sao monomorfismos. Formemos o Q-ideal I0γ de C 〈x; yγ〉 gerado pelos polinomios

ηα(qα1), . . . , ηα(qαnα), ηβ(qβ1), . . . , ηβ(qβnβ ). Sejam Φ ∈ Iα(D) e Ψ ∈ Iβ(D) tais que

Φ0 = Ψ0, de acordo com o lema 3.2.1. Seja τ o homomorfismo de C 〈x; yγ〉 em D deter-

minado pelas aplicacoes

xi 7→ Φ(xi) = Ψ(xi), yγi 7→ Φ(yαi) e yγnα+j 7→ Ψ(yβj),

com i ∈ {1, . . . , nα} e j ∈ {1, . . . , nβ}. Nestas condicoes, τ e admissıvel, logo Iγ(D) 6= ∅e, assim, γ ∈ A. E imediata a verificacao de que ηα e ηβ sao homomorfismos padrao, o

que prova a primeira parte desta afirmacao, com auxılio do lema 3.2.2. Para mostrar o

restante, observemos que τ0 = τ |C0= Φ0 = Ψ0, do que obtemos Iγ(D) ⊇ Iα(D) ∩ Iβ(D).

A inclusao contraria a esta ultima e facilmente obtida por meio da aplicacao da afirmacao

1.

Finalmente, se um polinomio p = p 〈x; yα〉 ∈ C 〈x; yα〉 nao e uma identidade racional

de D, construımos C 〈x; yγ〉, θ e I0γ , exatamente como foi feito na demonstracao da primeira

parte do lema 3.2.2. Disto sucedera, com o auxılio do teorema 2.7.1, que p + Iγ(D)

(identificamos p com θ(p), de acordo com as observacoes apos o lema 3.2.2) e uma unidade

em Rγ , provando 3. �

Uma importante consequencia da afirmacao 2 do lema 3.2.3 e o seguinte

Corolario 3.2.4. O conjunto B = {Iα(D) | α ∈ A} e base de um filtro em Λ.

Para referencias mais adiante, observemos tambem que, na prova da afirmacao 2

do lema 3.2.3, podemos, sem perda de generalidade, assumir que {yα} ∩ {yβ} = ∅ e,


em vez de construir C 〈x; yγ〉 e usar os homomorfismos ηα e ηβ, fazemos simplesmente

C 〈x; yγ〉 = C 〈x; yα, yβ〉 e os homomorfismos padrao como sendo as inclusoes naturais de

C 〈x; yα〉 e de C 〈x; yβ〉 em C 〈x; yα, yβ〉.Apresentaremos, a seguir, a mais importante consequencia dos resultados ate agora

expostos nesta secao.

Teorema 3.2.5. Dada uma C-algebra com divisao D, existe um anel com divisao CD(x)

contendo cada Rα, com Iα(D) 6= ∅. Ademais se {x} ⊆ {z}, entao existe um monomorfismo

natural de CD(x) em CD(z).

Prova: Seja CD(x) =⋃α∈ARα. Dados quaisquer p, q ∈ CD(x), existem α e β em A tais

que p = p 〈x; yα〉+ Iα(D) ∈ Rα e q = q 〈x; yβ〉+ Iβ(D) ∈ Rβ. Pela parte 2 do lema 3.2.3,

ambos p e q estao em Rγ , para algum γ em A. Entao podemos tomar p + q e pq como

elementos de Rγ . Se tambem ocorre p, q ∈ Rδ para algum δ em A, usamos mais uma vez a

parte 2 do lema acima para encontrar ε em A tal que Rγ ↪→ Rε e Rδ ↪→ Rε, do que resulta

p+ q e pq estarem determinados do mesmo modo em Rγ e em Rδ como estao em Rε. Isto

mostra que a aritmetica esta bem definida em CD(x) e automaticamente este verifica os

axiomas de um anel com unidade. Segue da parte 3 do lema 3.2.3 que CD(x) e um anel

com divisao.

Para provar a segunda parte, basta observar que, procedendo da mesma maneira

empregada na demonstracao do lema 3.2.2, para cada α em A, a C-algebra livre C 〈x; yα〉e naturalmente embutida em C[z; yα], de modo que I0

α e gerado pelos mesmos polinomios

qαj tanto em C 〈x; yα〉 como em C[z; yα]. A fortiori, teremos um monomorfismo de Rxα =

C 〈x; yα〉 /Ixα(D) em Rzα = C[z; yα]/Izα(D) para cada α e sucede disto que CD(x) =⋃Rxα

pode ser embutido em CD(z) =⋃Rzα. �

Antes de enunciar e provar uma porcao de propriedades de CD(x), facamos algumas

observacoes pertinentes. Manifestamente, existe um homomorfismo natural de C 〈x〉 em

CD(x). Por um lado, se D e uma C-algebra com divisao de dimensao infinita sobre

seu centro, entao C 〈x〉 esta, na verdade, embutido em CD(x), porquanto D nao verifica

relacoes polinomiais. Alem disso, neste caso, CD(x) e gerado pelos elementos de C 〈x〉:para cada α em A, Rα = C 〈x; yα〉 /Iα(D) e um domınio, conforme o teorema 2.7.1, e cada

gerador do Q-ideal I0α e da forma qαj = yαjpαj−1, com pαj ∈ C 〈x; yα1, . . . , yαj−1〉. Entao

yα1 ≡ pα1 〈x〉−1 (mod Iα(D)), . . . , yαnα ≡ · · · ≡ pαnα⟨x; . . . , p−1

αnα−1

⟩−1(mod Iα(D)),

ou seja, os elementos de Rα serao dados a partir dos elementos de C 〈x〉, envolvendo

adicao, multiplicacao e, eventualmente, inversos. Isto mostra que CD(x) e gerado por

C 〈x〉 envolvendo estas tres operacoes.

Por outro lado, se D e uma C-algebra com divisao de dimensao n2 finita sobre seu

centro, entao, de acordo com o teorema 2.5.1, Iα(D) = Iα(Mn(C)), para todo α em A e,

com maior razao, as identidades polinomiais de D sao as mesmas de Mn(C) – denotaremos

o conjunto dessas identidades por Mn. Pelo teorema 2.1.3, Mn e um ideal nao trivial de


C 〈x〉. Resulta que a imagem de C 〈x〉 em CD(x) e, neste caso, C 〈x〉 /Mn. Observemos

que, do modo como construımos CD(x), os polinomios pαj envolvidos nos geradores do

Q-ideal I0α nao sao identidades polinomiais de D, porque exigimos Iα(D) 6= ∅ e, neste

caso, se ϕ e um homomorfismo admissıvel de C 〈x; yα〉 em D, necessariamente ϕ(pαj) 6= 0.

Entao as relacoes de congruencia entre os yαj ’s e os pαj ’s modulo Iα(D) sao as mesmas

apreciadas acima, ainda que a dimensao de D sobre seu centro seja finita. Em outras

palavras, CD(x) e, tambem neste caso, um anel com divisao gerado pela imagem de C 〈x〉.Em [Ami55], Amitsur mostrou que C 〈x〉 /Mn e um domınio de Ore (a direita e a

esquerda), ou seja, que gera, a menos de isomorfismos, um unico anel com divisao que,

ademais, e uma algebra central simples de dimensao n2. Em virtude da discussao no

paragrafo acima e do citado resultado, concluımos que, no caso em que D e uma algebra

com divisao de dimensao n2 finita sobre seu centro, entao CD(x) e isomorfo ao anel total

de fracoes de C 〈x〉 /Mn e, portanto, uma algebra com divisao de dimensao n2 sobre seu

centro.

Temos motivacao suficiente para enunciar e demonstrar o proximo

Teorema 3.2.6. Se D e D sao C-algebras com divisao de dimensoes infinitas (ou finitas

e iguais) sobre seus centros, entao existe uma identificacao natural entre CD(x) e CD(x).

Ademais, se D tem dimensao n2 finita, entao CD(x) e isomorfo ao anel total de fracoes

de C 〈x〉 /Mn, que e um domınio de Ore. Se as dimensoes de D e de D nao sao iguais,

entao CD(x) e CD(x) nao sao isomorfos.

Prova: Decorre dos teoremas 2.5.1 e 2.6.6 que, se as dimensoes de D e de D sao infinitas

ou sao finitas e iguais, entao Iα(D) = Iα(D), para qualquer α em A. Com maior razao,

identificamos Rα = C 〈x; yα〉 /Iα(D) com R′α = C 〈x; yα〉 /Iα(D) e, a fortiori, obtemos a

identificacao entre CD(x) =⋃Rα e CD(x) =

⋃R′α. Isto prova a primeira das afirmacoes.

A segunda afirmacao decorre das observacoes previamente feitas. Outrossim, se as

dimensoes de D e de D sao finitas, entretanto distintas, concluımos que CD(x) e CD(x)

nao sao isomorfos, porquanto sao algebras centrais simples de dimensoes diferentes.

Finalmente, se D tem dimensao infinita sobre seu centro, entao C 〈x〉 ↪→ CD(x), de

acordo com o que discutimos acima. Sucede que, por conter uma subalgebra livre, CD(x)

nao verifica relacao polinomial alguma e, assim, tem dimensao infinita sobre seu centro.

Se, por outro lado, D tem dimensao finita, entao CD(x) e CD(x) nao sao isomorfos. Isto

conclui a demonstracao. �

Sucede imediatamente deste ultimo teorema o seguinte

Corolario 3.2.7. p ∈ CD(x) e nulo se e somente se, para qualquer α ∈ A tal que p ∈ Rα e

para qualquer p 〈x; yα〉 ∈ C 〈x; yα〉 tal que p = p 〈x; yα〉+Iα(D), p 〈x; yα〉 e uma identidade

racional de qualquer C-algebra com divisao D tal que CD(x) ∼= CD(x).

Podemos, ainda, relacionar ultra-produtos e o anel CD(x).

Teorema 3.2.8. CD(x) pode ser embutido em um ultra-produto de copias de D.


Prova: Seja Λ = λ o conjunto de todos os homomorfismos de C 〈x〉 em D. Em conformi-

dade com o corolario 3.2.4, tomamos um ultra-filtro em Λ que contem a base B. Vamos

provar que CD(x) ↪→ DΛ/F .

Inicialmente, definimos uma relacao de CD(x) em DΛ: para cada p em CD(x), diga-

mos p = p 〈x; yα〉+ Iα(D) ∈ Rα para algum α em A, tomamos a funcao fαp : Λ→ D dada

por fαp (λ) = 0, se λ /∈ Iα(D) e, se λ ∈ Iα(D), entao λ = ϕ0, para um unico ϕ ∈ Iα(D),

e definimos fαp (λ) = ϕ(p 〈x; yα〉). Observemos que, se p 〈x; yα〉 ≡ q 〈x; yα〉 (mod Iα(D)),

entao ϕ(p) = ϕ(q). Redunda que fαp (λ) = ϕ(p) = ϕ(q) = fαq (λ) e isto e suficiente para

afirmar que fαp esta bem definida. Para sermos breves, podemos simplesmente escrever

ϕ(p). Se tambem p ∈ Rβ para outro β em A, e possıvel tomar fβp de maneira analoga, mas

eventualmente ocorrera fαp 6= fβp . Para contornar esse obstaculo, vamos usar a projecao

ρ de DΛ ao quociente DΛ/F e provar que ρ(fαp ) = ρ(fβp ) para quaisquer α e β para os

quais temos p ∈ Rα e p ∈ Rβ.

Em virtude do lema 3.2.3, existe γ em A tal que Rα ↪→ Rγ e Rβ ↪→ Rγ , com

Iγ(D) = Iα(D) ∩ Iβ(D) e, pelo corolario 3.2.4, temos ainda que Iγ(D) ∈ F . Dado λ em

Iγ(D), digamos que λ = ψ0, para um unico ψ em Iγ(D), entao ψα = ψ |C〈x;yα〉∈ Iα(D) e

ψβ = ψ |C〈x;yβ〉∈ Iβ(D). Logo

fαp (λ) = ψα(p) = ψ(p) = ψβ(p) = fβp (λ),

e entao {λ ∈ Λ | fαp (λ) = fβp (λ)} ⊇ Iγ(D) ∈ F . consequentemente, fαp ≡ fβp (mod F ),

como querıamos.

Seja F : CD(x)→ DΛ/F a aplicacao que cumpre F (p) = ρ(fαp ). Computos simples e

rotineiros mostram que F e um homomorfismo nao trivial. Como ambos CD(x) e DΛ/F

sao aneis com divisao, necessariamente F e um monomorfismo, e a demonstracao esta

completa. �

Teorema 3.2.9. Todo automorfismo de C 〈x〉 estende-se de modo unico a um automor-

fismo de CD(x).

Prova: Seja η : C 〈x〉 → C 〈x〉 um automorfismo. Fixemos α em A e consideremos a

algebra livre com unidade C 〈x; yα〉 e o Q-ideal I0α = (qα1, . . . , qαnα), com qαj = yαjpαj−1.

Formemos uma nova algebra livre C 〈x; yα′〉, com nα′ = nα, e o Q-ideal I0α′ gerado pelos

polinomios da forma qα′j = yα′jpα′j⟨η(x); yα′1, . . . , yα′j−1

⟩− 1, em que pα′j e obtido a

partir do polinomio pαj pela aplicacao de η as indeterminadas xi, com 1 ≤ j ≤ nα′ .Seja ηα : C 〈x; yα〉 → C 〈x; yα′〉 o homomorfismo determinado pelas condicoes ηα |C0=

η e ηα(yαj) = yα′j , para todo j. Entao ηα e um isomorfismo, cujo inverso e dado pela

aplicacao η−1α , definida de modo analogo, pondo η−1 em lugar de η. Nos moldes do pri-

meiro paragrafo, concluımos que ηα(I0α) ⊆ I0

α′ e tambem que η−1α (I0

α′) ⊆ I0α. Observemos

agora que a aplicacao de Iα(D) em Iα′(D) dada por ϕ 7→ ϕη−1α e injetiva e, para qual-

quer ψ em Iα′(D), temos ψ = (ψηα)η−1α , e manifestamente ψηα ∈ Iα(D). Sucede que

Iα′(D) = Iα(D)η−1α 6= ∅. Logo α′ ∈ A.


Conforme as argumentacoes do inıcio desta secao, ηα induz um isomorfismo ηα de

Rα em Rα′ , dado por ηα(p 〈x; yα〉 + Iα(D)) = ηα(p) + Iα′(D). Analogamente, η−1α induz

um isomorfismo η−1α de Rα′ em Rα e claramente η−1

α ηα = ηαη−1α = 1.

Definamos θ de CD(x) em si mesmo da seguinte forma: dado p em CD(x) qualquer,

digamos que p = p 〈x; yα〉 + Iα(D) ∈ Rα para algum α em A. Fazemos θ(p) = ηα(p).

Vamos, a seguir, mostrar que θ nao depende de um α em particular.

Se tambem p ∈ Rβ, repetimos os argumentos e as notacoes usados na demonstracao

da afirmacao 2 do lema 3.2.3: tomamos Rγ que contem ambos Rα e Rβ e as inclusoes

canonicas destes em Rγ serao denotadas por ια e ιβ, respectivamente. Sejam Rβ′ , ηβ, Rγ′

e ηγ nos moldes da construcao que fizemos acima para α. Necessariamente, ηγια = ηα e

ηγιβ = ηβ, do que resulta

ηβ(p) = (ηγιβ)(p) = ηγ(p) = (ηγια)(p) = ηα(p).

Isto mostra que θ esta bem definido e e claramente um homomorfismo cuja restricao a

imagem de C 〈x〉 em CD(x) coincide com η. Podemos, tambem, definir θ−1 de CD(x) em

si mesmo fazendo θ′(p) = η′α(p) e o que expusemos ate aqui tambem mostra que θ′ nao

depende de um α em particular. Resulta que θ′θ = θθ′ = 1, ou seja, θ e um automorfismo

de CD(x) que estende η.

Finalmente, como CD(x) e gerado pela imagem de C 〈x〉, no sentido descrito nas

discussoes acima, se ϑ e um automorfismo de CD(x) que estende η, entao ϑ = θ. Isto

encerra esta prova. �

Vamos mostrar duas ultimas propriedades do anel CD(x). Vejamos primeiro que

este pode ser considerado como um anel de funcoes racionais em D, de maneira natural.

Teorema 3.2.10. CD(x) pode ser considerado como um anel de funcoes racionais em D,

no seguinte sentido: dado p qualquer em CD(x), entao existe um conjunto Iα(D) ⊆ Λ nao

vazio e, para todo λ ∈ Iα(D), esta definido p(λ) em D. Ademais, se p 6= 0, entao existe

um subconjunto nao vazio Iγ(D) de Iα(D) tal que p(λ) 6= 0 e [p(λ)]−1 = (p−1)(λ), para

qualquer λ em Iγ(D).

Prova: Propositalmente, ja adiantamos no enunciado o conjunto que servira de domınio

para p: existe α em A tal que p = p 〈x; yα〉 + Iα(D) ∈ Rα, com Iα(D) 6= ∅. Tomamos a

projecao Iα(D) e, dado λ = ϕ0 em Iα(D), para um unico ϕ em Iα(D), fazemos p(λ) =

ϕ(p 〈x; yα〉). Se p 〈x; yα〉 ≡ q 〈x; yα〉 (mod Iα(D)), entao

p(λ) = ϕ(p) = ϕ(q) = q(λ),

mostrando que p(λ) esta bem definida.

Se p = p 〈x; yα〉 + Iα(D) 6= 0, segue do lema 3.2.3 que existe γ em A tal que

p−1 = q = q 〈x; yγ〉+ Iγ(D) ∈ Rγ e, alem disso, Rα ↪→ Rγ , do que decorre Iγ(D) ⊆ Iα(D).

Entao pq ≡ 1 (mod Iγ(D)), do que redunda 1 = ϕ(pq) = ϕ(p)ϕ(q) = p(λ)q(λ), ou seja,

[p(λ)]−1 = q(λ) = (p−1)(λ) para todo λ ∈ Iγ(D), como querıamos. �

Relacionamos o ultimo teorema a algumas propriedades aritmeticas, no seguinte


Corolario 3.2.11. Dados p1, . . . , pn em CD(x) quaisquer, existe um conjunto nao vazio

Iα(D) ⊆ Λ e, para todo λ ∈ Iα(D), temos pi(λ) + pj(λ) = (pi + pj)(λ) e pi(λ)pj(λ) =

(pipj)(λ), para quaisquer i, j ∈ {1, . . . , n}.

Para encerrar o nosso texto, vamos mostrar que, seD tem dimensao infinita sobre seu

centro, entao qualquer outro anel com divisao gerado pelos elementos de C 〈x〉 e imagem

homomorfica de um subanel local de CD(x), fazendo sentido referir-se a este como o anel

universal de fracoes de C 〈x〉.Seja D uma C-algebra com divisao de dimensao infinita sobre seu centro. Formemos

o anel com divisao CD(x). Como verificamos, este e um anel com divisao gerado a partir

dos elementos da algebra livre C 〈x〉, por meio das operacoes de adicao, de multiplicacao e

tomando inversos. Suponhamos que D seja um outro anel com divisao igualmente gerado

por C 〈x〉. Observemos que, necessariamente, a dimensao de D sobre seu centro e infinita,

o que acarreta CD(x) ∼= CD(x). De agora em diante, usaremos a notacao C(x). Vamos

mostrar que existem um subanel C ↪→ C(x) e um epimorfismo ψ : C → D que estende a

inclusao de C 〈x〉 em D. Construiremos uma cadeia C 〈x〉 = C0 ⊆ C1 ⊆ C2 ⊆ . . . de

subaneis de C(x) e sucessivas extensoes de homomorfismos ψ0, ψ1, ψ2, . . . de Ci em D.

Por fim, faremos C =⋃Ci e ψ : C→ D de modo que ψ |Ci= ψi.

Consideremos o homomorfismo ψ0 : C0 ↪→ D que embute C 〈x〉 em D. Para cada

subconjunto finito de elementos nao nulos {pα1 = pα1 〈x〉 , . . . , pαnα = pαnα 〈x〉} ⊆ C 〈x〉,formemos a algebra livre C 〈x; yα〉 = C 〈x; yα1, . . . , yαnα〉 e o Q-ideal I0

α = (qα1, . . . , qαnα)

de C 〈x; yα〉, em que qαj = qαj 〈x; yα〉 = yαjpαj − 1, para todo j. Entao o homomorfismo

ψα1 de C 〈x; yα〉 em D determinado pelas condicoes ψα1 |C0= ψ0 e ψα1 (yαj) = ψ0(pαj)−1

e admissıvel, do que resulta Iα(D) 6= ∅, ou seja, α ∈ A. Esta bem definido, portanto,

o homomorfismo ψα1 : Rα → D dado por ψα1 (r) = ψα1 (r), em que r = r 〈x; yα〉 e um

representante qualquer de r.

Observemos que nada nos impede de repetir os argumentos do lema 3.2.3 (partes 1

e 2) para a colecao de todos os Rα’s obtidos nos moldes do paragrafo anterior e afirmar

que eles estao dispostos em um conjunto direcionado. Em seguida, usamos o teorema 3.2.5

para concluir que a uniao de todos eles forma um subanel de C(x) – o qual denotaremos

por C1 – que contem cada elemento nao nulo de C 〈x〉 e seu respectivo inverso. Podemos,

agora, estender ψ0 a um homomorfismo ψ1 : C1 → D, da seguinte maneira: para cada

r ∈ C1, temos r ∈ Rα, para algum Rα na construcao acima, e pomos ψ1(r) = ψα1 (r).

Os mesmos argumentos em 3.2.3 e em 3.2.5 mostram que ψ1 nao depende de um α em

particular, estando, assim, bem definido. Manifestamente, ψ1 e uma extensao de ψ0.

Passamos para o segundo estagio: para cada subconjunto finito {rβ1, . . . , rβnβ} de

C1− kerψ1, digamos rβj = rβj 〈x; yα〉+ Iα(D) ∈ Rα, formamos a algebra livre C 〈x; yγ〉 =

C 〈x; yα, yβ〉 e o ideal I0γ = (qα1, . . . , qαnα , qβ1, . . . , qβnβ ), em que os qαi’s sao como antes e,

para cada j em {1, . . . , nβ}, qβj = yβjrβj − 1. Entao o homomorfismo ψγ2 de C 〈x; yα, yβ〉em D determinado pelas condicoes ψγ2 |C〈x;yα〉= ψα1 e ψγ2 (yβj) = ψα1 (rβj)

−1 e admissıvel,


portanto Iγ(D) 6= ∅, ou seja, γ ∈ A. Esta bem definido o homomorfismo ψγ2 : Rγ → D

dado por ψγ2 (s) = ψγ2 (s), em que s = s 〈x; yγ〉 e um representante qualquer de s. Podemos,

pelos mesmos motivos do paragrafo anterior, afirmar que os Rγ ’s construıdos neste segundo

passo estao dispostos em um conjunto direcionado e que C2 =⋃Rγ e um subanel de C(x)

que contem cada elemento de C1 (essencialmente porque Rα ↪→ Rγ) e os inversos de todos

aqueles cuja imagem por ψ1 e nao nula. Alem disso, obtemos tambem ψ2 : C2 → D, uma

extensao de ψ1 construıda as expensas dos ψγ2 ’s.

Procedendo indutivamente, obtemos, conforme anunciamos em princıpio, o subanel

C =⋃Ci ↪→ C(x) e o homomorfismo ψ : C → D tal que ψ |Ci= ψi. Redunda da nossa

construcao que C− kerψ e, precisamente, o conjunto das unidades de C. Por conseguinte,

este e um anel local, cujo unico ideal maximal e kerψ. Entao ψ(C) ∼= C/ kerψ, o anel

com divisao de resıduos de C que, em particular, contem uma copia de C 〈x〉. Como D

e um corpo gerado por C 〈x〉, concluımos que D = C/ kerψ, ou seja, ψ e, de fato, um

epimorfismo.

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[Row80] L. H. Rowen. Polynomial identities in ring theory, volume 84. Academic Press,

1980.

Indice Remissivo

anel

com divisao topologico, 12

de fracoes, 3

total de fracoes, 3

base de um filtro, 14

condicao de Ore, 2

conjunto

de Ore, 2

de denominadores, 2

multiplicativo, 1

domınio, 3

elemento regular, 3

filtro, 13

homomorfismo

admissıvel, 22

padrao, 49

identidade

de Hua, 21

racional, 22

localizacao, 2

Q-ideal, 22

ultra-filtro, 14

ultra-produto, 15

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