Programação Linear

ADSAAntónio Câmara

Programação linear• Formulação de modelos de

programação linear• Resolução gráfica• Método simplex• Análises de sensibilidade e

paramétrica• Problemas na aula

Formulação de modelos• Problemas de programação linear

– Pretende-se maximizar (lucros) ou minimizar (custos)

– Variáveis de decisão que assumem valores maiores do que zero

– Critério para seleccionar os melhores valores das variáveis de decisão é uma função linear (função objectivo)

– Regras operacionais que governam o processo podem ser expressas como um conjunto de equações ou inequações linears (conjunto de restrições)

Formulação de modelos

• Formalmente:MAX (ou MIN):

fobj(X1, X2, …, Xn)

sujeito a:f1(X1, X2, …, Xn) b1

…fk(X1, X2, …, Xn) bk

…fm(X1, X2, …, Xn) bm

Resolução gráfica

• Exemplo:Z= Min (40 X1 + 36 X2)s. às r.X1< 8

X2 < 10

5 X1 + 3 X2 > 45

X1, X2 > 0

Resolução gráfica

• Identificar todos os valores das variáveis de decisão que satisfazem as restrições. O conjunto de todas as soluções exequíveis constitui a região exequível.

• Encontrar a melhor solução exequível (solução óptima)

• Quando a função objectivo é igualada a um valor fixo a priori representa uma linha recta

Resolução gráfica

• Podemos fazer Z= 600 por exemplo e mudando os valores de Z até atingir região exequível e definir a solução óptima (um vértice)

• Neste caso obtemos X1= 8, X2= 5/3 com um valor de Z igual a 380.

Resolução gráfica

15

10

5

5 10 15 x1

X2

X2=10

(3.10)

5X1+3X2=45

X1=8

(8,5/3)

Z=600

Resolução gráfica

• Soluções óptimas alternativas- função objectivo paralela a uma das restrições

• Soluções ilimitadas- a região exequível não é limitada

Método Simplex

• Princípios básicos:– soluções óptimas podem ser

encontradas nos vértices da região exequível

– método de busca convergente– critério de paragem

Análises de sensibilidade e

paramétrica• Análise de sensibilidade- variar

coeficientes da função objectivo de forma a estabelecer os seus limites sem que se altere a solução final (cost ranging). Análise util para fixar os custos unitários de produtos e actividades

• Análise paramétrica- alterar as constantes do lado direito das restrições nos valores da função objectivo

Problemas na aula

• Formule e resolva gráficamente um dos três problemas seguintes

Problema 1Admitamos que existe um predador com o ninho no lugar

A e com duas presas potenciais X1 e X2 em áreas B e C, respectivamente.

Em cada viagem a cada um das áreas captura apenas uma unidade de cada presa. Os tempos de viagem de ida e volta às áreas B e C estão estimados em 2 e 3 minutos respectivamente. Na área B, o predador leva 2 minutos a capturar uma unidade de X1, enquanto que na área C, leva apenas 1 minuto para capturar uma unidade de X2.

O valor energético de uma unidade de X1 está estimado em 25 calorias e o valor energético de uma unidade de X2 é de 30 calorias.

Problema 1 (cont.)

O objectivo do predador consiste em maximizar o numero de calorias obtidas por dia, sabendo que que não pode dispender mais de 120 minutos por dia em viagens de ida e volta entre o ninho e qualquer um dos locais B e C, e que não pode gastar mais do que 80 minutos por dia à procura da presa.

Problema 2Admitamos que temos uma área de 50 hectares de

terra que vai ser utilizada por uma Câmara Municipal para construção de um bairro residencial com dois tipos de habitações (A e B) possíveis. A densidade prevista para as habitações do tipo A é de 10 unidades por hectare e do tipo B de 5 unidades por hectare. Cada unidade do tipo A custa 2000 contos à Camara Municipal; cada unidade do tipo B custa 6000 contos. O orçamento da Câmara para a construção deste bairro é de 120.000 contos. As rendas das casas tipo A e tipo B irão ser de 190 e de 470 contos por ano, respectivamente.

O problema consiste em determinar a combinação de casas tipo A e tipo B, por forma a obter a máxima renda annual para a Câmara.

Problema 3Em 1000 ha de terra nas margens de um reservatório

pretendem-se desenvolver duas culturas agrícolas. Cada hectare da cultura 1 perde 0.9 kg/ano de pesticida para o lago. Cada hectare da cultura 2 perde 0.5 kg/ano. As perdas totais de pesticida, devido aos seus impactes desfavoráveis no lago, não podem exceder 632.5 kg/ano.

Os rendimentos provenientes das culturas 1 e 2 são de 300 c/ha e 150c/ha para as culturas 1 e 2 respectivamente. Os custos destas culturas são de 160 c/ha para a cultura 1 e 50 c/ha para a cultura 2.

O problema consiste em determinar a combinação de culturas que maximiza os lucros do agricultor tendo em conta a restrição das perdas de pesticida para o lago.