Programação Não-linear Prof. Fernando Augusto Silva Marins [email protected] fmarins 1.

Programação Não-linear

Prof. Fernando Augusto Silva Marins

[email protected]

www.feg.unesp.br/~fmarins

1

mailto:[email protected]



http://www.feg.unesp.br/~fmarins




Programação Não-Linear - PNL• De forma geral um problema de PNL tem a

seguinte forma:

A função objetivo f e uma ou mais de uma das funções nas restrições gi possuem termos não lineares.

• Nenhum algoritmo resolve todos os problemas que podem ser incluídos neste formato.

),...,,(= xonde 0 x

,...,2,1 para )x(

)x( )(ou

21 n

ii

xxx

mibgasujeito

fMinMax

2

Programação Não LinearAplicações

• Problemas de Mix de Produtos em que o “lucro” obtido por produto varia com a quantidade vendida.

• Problemas de Transporte com custos variáveis de transporte em relação à quantidade enviada.

• Seleção de Portfolio com Risco

3

• Considere o Problema de Programação Linear e sua solução gráfica

1

Max Z x x 3 51 2

1

2x 122

3x x 2 18 1 2

s r x 4. .

x x 0 01 2,

x2

x1

(0;6)(2;6)

(0;0)(4;0)

(4;3)SoluçõesViáveis

Programação LinearSolução Gráfica

4

• Considere o Problema e sua solução gráfica.

Max Z x x 3 51 2

1s.t. x 4

x x 0 01 2,

9 5 21612

22x x

x2

1 2 3 4

4

2

6

00 x1

SoluçõesViáveis

(2;6)

Programação Não LinearSolução Gráfica

5

• A solução ótima:– é a mesma do problema

linear.– continua na fronteira do

conjunto de soluções viáveis.

– não é mais um extremo do conjunto de soluções viáveis mas poderia ainda ocorrer em um ponto extremo.

– Não existe a simplificação existente em Programação Linear

x2

1 2 3 4

4

2

6

00 x1

SoluçõesViáveis

(2;6)


6

1

2x 122

3x x 2 18 1 2

s r x 4. .

x x 0 01 2,

MaxZ= x x x x 126 9 182 131 12

2 22

x2

x1

(0;6)(2;6)

(0;0)(4;0)



7

• A função objetivo é uma equação quadrática.


Z= x x x x

Z x x x x

Z x x

Para x x

Para

126 9 182 13

9126

1813

182

269

126

9

126

1813

182

13

182

26

441 637 9 7 13 7

9 7 13 7

1 12

2 22

2 2

12

1

2

22

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

Z = 907 171 =

Z = 857

221 =

Z = 807 =

9 7 13 7

271 9 7 13 7

1

2

2

2

1

2

2

2

x x

Para x x8

Max Z = x x x x = 857 126 9 182 131 12

2 22

2

4

4

6

2 x 1

x2

SoluçõesViáveis

Z = 907

Z = 807Z = 857


Ótima

9

1

2x 122

3x x 2 18 1 2

s r x 4. .

x x 0 01 2,

Max Z= x x x x 54 9 78 131 12

2 22

x2

x1

(0;6)(2;6)

(0;0)(4;0)



10

• A função objetivo é uma equação quadrática

Z= x x x x

Z x x x x

Z x x

Para x x

Para

54 9 78 13

954

1813

78

269

54

9

54

1813

78

13

78

26

81 117 9 3 13 3

9 3 13 3

1 12

2 22

2 2

12

1

2

22

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

Z = 198 0 =

Z = 189

9 9 3 13 3

36 9 3 13 3

1

2

2

2

1

2

2

2

=

Z = 162 =

x x

Para x x


11

Solução no interior doconjunto de soluçõesviáveis e não mais na fronteira do conjunto

4

2

6

2 4 x1

x2

SoluçõesViáveis

3

3

Z = 162Z = 189

Z = 198

222

211 1378954 xxxxZMax

222

211 1378954198 xxxx=ZMax


12

Programação Não Linear

• A solução ótima de PNL, diferentemente de um problema de LP, pode ser qualquer valor do conjunto de soluções viáveis.

• Isso torna os problemas de PNL muito mais complexos, obrigando os algoritmos de solução a pesquisar todos os valores possíveis.

13

Programação Não LinearExcel

• O Excel utiliza o algoritmo GRG (Generalized Reduced Gradient) para chegar à solução para um dado problema.

• O algoritmo não garante que a solução encontrada é uma solução global.

• O Solver às vezes tem dificuldades de achar soluções para problemas que tenham condições iniciais para as variáveis iguais a zero. Uma boa medida é começar a otimização com valores diferentes de zero para as variáveis de decisão.

14

Programação Não LinearExcel

• Uma maneira prática para tentar minorar o

problema de máximos e mínimos locais é começar

a otimização de diversos pontos iniciais, gerados

aleatoriamente.

• Se todas as otimizações gerarem o mesmo

resultado, você pode ter maior confiança, não a

certeza, de ter atingido um ponto global.

15

• One special class of NLPs knowed by “Convex Programming Problems” can be solved by algorithms that are guaranteed to converge to the optimal solution.

16

• The objective is to maximize a concave function or to minimize a convex function.

• The set of constraints form a convex set.

Properties of Convex Programming Problems

17

• A smooth function (no sharp points, no discontinuities)• One global maximum (minimum).• A line drawn between any two points on the curve of

the function will lie below (above) the curve or on the curve.

A One Variable Concave (Convex) Function

X

A Concave function

A convex function

X18

An illustration of a two variable convex function

19

If a straight line that joins any two points in the set lies within the set, then the set is called a convex set.

Convex set Non-convex set

Convex Sets

20

In a NLP model if all the constraints are of the “less than or equal to” form Gi(X) B.

If all the functions Gi are convex, the set of constraints forms a convex set.

Nonlinear LP and Convex Sets

21

Unconstrained Nonlinear Programming

• One-variable unconstrained problems are demonstrated by the Toshi Camera problem.

• The inverse relationships between demand for an item and its value (price) are utilized in this problem.

22

TOSHI CAMERA

• Toshi camera of Japan has just developed a new product, the Zoomcam.

• It is believed that demand for the initial product will be linearly related to the price.

Price EstimatedP ($) Demand (X)

100 350.000150 300.000200 250.000250 200.000300 150.000350 100.000

23

• Unit production cost is estimated to be $50.• What is the production quantity that maximizes

the total profit from the initial production run?

SOLUTION

Total profit = Revenue - Production cost

F(X) = PX - 50X

TOSHI CAMERA

24

From the Price / Demand table it can be verified that P = 400 - .001X

The Profit function becomesF(X) = (400 - .001X)X = 400X - .001X2

This is a concave function. 400,0000

TOSHI CAMERA

25

• To obtain an optimal solution (maximum profit), two conditions must be satisfied:– A necessary condition dF/dX = 0– A sufficient condition d2F/dX2 < 0.

• The necessary condition is satisfied at:dF/dX = 400 - 2(.001)X = 0; X = 200,000.

• The sufficient condition is satisfied since d2F/dX2 = -.002.

• The optimal solution:– Produce 200,000 cameras.– The profit is F(200,000) = $40,000,000.

TOSHI CAMERA

26

If a function is known to be concave or convex at all points, the following condition is both a necessary and sufficient condition for optimality:

The point X* gives the maximum value for a concave function, or the minimum value for a convex function, F(X), if at X*

dF/dX = 0

Optimal solutions for concave/convex functions with one variable

27

– Determining whether or not a multivariate function is concave or convex requires analysis of the second derivatives of the function.

– A point X* is optimal for a concave (convex) function if all its partial derivatives are equal to zero at X*.

– For example, in the three variable case:

FX

FX

FX

11

22

33

0 0 0 ; ; ;

FX

FX

FX

11

22

33

0 0 0 ; ; ;

Optimal solutions for concave/convex functions with more than one variable

28

Constrained Nonlinear Programming Problems – one variable

• The feasible region for a one variable problem is a segment on a straight line (X a or X b).

• When the objective function is nonlinear the optimal solution must not be at an extreme point.

29

TOSHI CAMERA - revisited

• Toshi Camera needs to determine the optimal production level from among the following three alternatives: 150,000 X 300,000

50,000 X 175,000

150,000 X 350,000

30

4000

X 250,000X 350,000

X* = 250,000

40004000

Maximize F(X) = 400X - .001X2

X 150,000X 300,000

150

X 50,000X 175,000

50 175X*=200,000 X* = 175,000

The objective function does not change:

TOSHI CAMERA – solution

31

Constrained Nonlinear Programming Problems – n variables, m contraints

mn21m

2n212

1n211

n21

B)X..., ,X ,(XG

.

.

.

B)X..., ,X ,(XG

B)X..., ,X ,(XG

ST

)X..., ,X,(

XFMaximize

Let us define Y1, Y2, …,Ym as the instantaneous improvementin the value of F for one unitincrease in B1, B2, …Bm

respectively. 32

Variáveis Duais ou Preços Sombra

• This is a set of “necessary conditions” for optimality of most nonlinear problems.

• If the problem is convex, the K-T-K conditions are also sufficient for a point X* to be optimal.

m

mm

m

mm

mm

XGYX

GYXGYXn

F

XGYX

GYXGYX

F

SYSYSY

feasibleisX

...2

.

.

.

....4

0...,,0,0.3

0Y..., ,Y ,Y .2

.*.1

2

2

1

11

22

1

11

1

2211

m21

2

S1, S2, …,Sm

are defined as the slack variablesin each constraint.

Kuhn-Tucker-Karush optimality conditions

33

PBI INDUSTRIES

• PBI wants to determine an optimal production schedule for its two CD players during the month of April.

• Data– Unit production cost for the portable CD player = $50.

– Unit production cost for the deluxe table player = $90.

– There is additional “intermix” cost of $0.01(the number of portable CD’s)(the number of deluxe CD’s).

34

• Forecasts indicate that unit selling price for each CD player is related to the number of units sold as follows:– Portable CD player unit price = 150 - .01X1

– Deluxe CD player unit price = 350 - .02X2

PBI INDUSTRIES

35

• Resource usage– Each portable CD player uses 1 unit of a particular

electrical component, and .1 labor hour.– Each deluxe CD player uses 2 units of the electrical

component, and .3 labor hour.

• Resource availability– 10,000 units of the electrical component units; – 1,500 labor hours.

PBI INDUSTRIES

36

PBI INDUSTRIES – SOLUTION

• Decision variablesX1 - the number of portable CD players to produce

X2 - the number of deluxe CD players to produce

• The model

0

0 X-

1,500 .3X+ .1X

000,102

26010001.02..01X-

=X.01X-90X-50X-)X.02X-(350+)X.01X-(150

2

1

21

21

21212

22

1

21212211

X

XX

ST

XXXXX

Max

Production cannot be negative

Resource constraints

37

• For a point X1, X2 to be optimal, the K-T-K conditions require that:Y1S1 = 0; Y2S2 = 0; Y3S3 = 0; Y4S4 = 0, and

)1()0()3(.)2(26004.01.

)0()1()1(.)1(10001.02.

4

432121

2

44

2

33

2

22

2

11

2

432121

1

4

1

33

1

22

1

11

1

YYYYXX

or

XGYX

GYXGYX

GYXF

YYYYXX

or

XGYX

GYXGYX

GYXF


38

• Finding an optimal production plan.– Assume X1>0 and X2>0.

• The assumption implies S3>0 and S4>0.

• Thus, Y3 = 0 and Y4 = 0.

– Add the assumption that S1 = 0 and S2 = 0.

• From the first two constraints we have X1 = 0 and X2 = 5000.X1= 0

A contradictionX1>0

AS A RESULT THE SECOND ASSUMPTION CANNOT BE TRUE


39

– Change the second assumption. Assume that S1 = 0 and S2 > 0.

• As before, from the first assumption S3 > 0 and S4 > 0.

• Thus, Y3 = 0 and Y4 = 0.

• From the second assumption Y2 = 0.

• Substituting the values of all the Ys in the partial derivative equations we get the following two equations:

-.02 X1 - .01X2 + 100 = Y1

-.01 X1 - .04X2 + 260 = 2Y1

• Also, since S1 = 0 (by the second assumption)X1 + 2X2 = 10,000

• Solving the set of three equations in three unknowns we get:


40

X1 = 1,000, X2 = 4,500, Y1 = 35

– This solution is a feasible point (check the constraints).• X1 and X2 are positive.

• 1X1 + 2X2 <= 10,000 [1000 + 2(4500) = 10,000]

• .1X1 + .3X2 <= 1,500 [.1(1000) + .3(4500) = 1450]

– This problem represents a convex program since• It can be shown that the objective function F is concave.

• All the constraints are linear, thus, form a convex set.

The K-T-K conditions yielded an optimal solution


41

Portable Deluxe Total ProfitApril Production 1000 4500 810000

Portable Deluxe Used AvailableElectrical Components 1 2 10000 10000Labor Hours 0,1 0,3 1450 1500

PBI INDUSTRIES

PBI INDUSTRIES – Excel SOLUTION

42

Programação Não Linear Controle de Estoque

• Um dos modelos mais simples de controle de

estoque é conhecido como Modelo do Lote

Econômico.

• Esse tipo de modelo assume as seguintes hipóteses

– A demanda (ou uso) do produto a ser pedido é

praticamente constante durante o ano.

– Cada novo pedido do produto deve chegar de uma vez

no exato instante em que este chegar a zero.

43


• Determinar o tamanho do pedido e a sua periodicidade dado os seguintes custos:– Manutenção de Estoque – Custo por se manter o

capital no estoque e não em outra aplicação, rendendo benefícios financeiros para a empresa.

– Custo do Pedido – Associado a trabalho de efetuar o pedido de um determinado produto.

– Custo de Falta – Associado a perdas que venham a decorrer da interrupção da produção por falta do produto.

44

Demanda Anual =100Lote=25,Pedido= 4Estoque Médio = 12,5

3 6 9 12meses

25

12,5

25

Demanda Anual =100Lote=50, Pedidos = 2Estoque Médio = 25

6 12meses

50


45


mC2

QS

Q

DCDTotal Custo

Constante• Variável de DecisãoQ – Quantidade por Pedido

• Função Objetivo =

Onde:D = Demanda Anual do Produto

C = Custo Unitário do Produto

S = Custo Unitário de Fazer o Pedido

Cm= Custo unitário de manutenção em estoque por ano

46

Caso LCL Computadores

• A LCL Computadores deseja diminuir o seu

estoque de mainboards. Sabendo-se que o custo

unitário da mainboard é de R$50,00, o custo

anual unitário de manutenção de estoque é de

R$20,00 e o custo unitário do pedido é de

R$10,00, encontre o lote econômico para atender

a uma demanda anual de 1000 mainboards.

47


48


49


50


• Na solução apresentada do lote econômico, a quantidade de pedidos por ano é fracionário, já que

• Isso não representa um problema

25,3132

1000

º

LotedoTamanho

AnualDemandalotesden

51

PNL - Problemas de Localização

• Um problema muito usual na área de negócios é o de localização de Fábricas, Armazéns, Centros de distribuição e torres de transmissão telefônica.

• Nesses problemas deve-se Minimizar a distância total entre os centros consumidores e o centro de distribuição, reduzindo assim teoricamente o custo de transporte.

• Para tal, o usual é sobre um mapa colocar-se um eixo cartesiano e determinar a posição dos centro consumidores em relação a uma origem aleatória.

52

Caso LCL Telefonia Celular S.A.

Localidade X Y

Nova Iguaçu -5 10

Queimados 2 1

Duque de Caxias 10 5

• O Gerente de Projetos da LCL Telecom, tem que localizar uma antena de retransmissão para atender a três localidades na Baixada Fluminense.

• Por problemas técnicos a antena não pode estar a mais de 10 km do centro de cada cidade. Considerando as localizações relativas abaixo, determine o melhor posicionamento para a torre.

53


Nova Iguaçu(-5,10)

Queimados (2,1)

Duque deCaxias(10,5)

X

Y

54


3

1

22 )()(i

ii YyXxMin

• Variáveis de Decisão– X – Coordenada no eixo X da torre de

transmissão– Y – Coordenada no eixo Y da torre de

transmissão

• Função Objetivo

55


10)()(

10)()(

10)()(

23

23

22

22

21

21

YyXx

YyXx

YyXx

• Restrições de Distância

56

Caso LCL Telefonia Celular S.A. Modelo no Excel

=SOMA(D2:D4)

57

Caso LCL Telefonia Celular S.A.Parametrização

58

Caso LCL Telefonia Celular S.A. Solução

59

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