PROGRESSÃO PROGRESSÃO ARITMÉTICAARITMÉTICA

P.A.P.A.

Definição:Definição:

Chama-se Progressão Aritmética (PA) à Chama-se Progressão Aritmética (PA) à toda sequência numérica cujos termos a toda sequência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante somado com um valor constante denominado razão. denominado razão.

Exemplos: Exemplos: (3, 6, 9 , 12, ...) → é uma P.A. de razão r = 3(3, 6, 9 , 12, ...) → é uma P.A. de razão r = 3(25, 20, 15, 10, ...) → é uma P.A. de razão r (25, 20, 15, 10, ...) → é uma P.A. de razão r

= - 5= - 5(7, 7, 7, 7, ...) → é uma P.A. de razão r = 0(7, 7, 7, 7, ...) → é uma P.A. de razão r = 0

Fórmulas de uma PAFórmulas de uma PA

TERMO GERALTERMO GERAL::

an = aan = a11 + (n – 1) . r + (n – 1) . r

anan é o termo de ordem é o termo de ordem nn (n-ésimo termo) (n-ésimo termo)

n n é a posição descritaé a posição descrita

rr é a razão é a razão

aa11 é o primeiro termo é o primeiro termo

SOMAS DOS TERMOS DE UMA PASOMAS DOS TERMOS DE UMA PA

Sn → é o valor da soma dos termos da sequência

a1 → é o primeiro termo escolhido da sequência

an → é o último termo escolhido da sequência

n → é a posição do último termo escolhido da sequência

2

)( 1 naaS nn

Explorando as fórmulas da PAExplorando as fórmulas da PA

Encontre o 15º termo da PA: (-6,-2,2,...)Encontre o 15º termo da PA: (-6,-2,2,...)

Termo Geral: Termo Geral: an = aan = a11 + (n – 1) . r + (n – 1) . r

a15=? a1=-6 r= -2 – (-6) = 4 n = 15a15=? a1=-6 r= -2 – (-6) = 4 n = 15

a15 = -6+(15 – 1).4 = -6 +14.4 = -6 + 56 = 50a15 = -6+(15 – 1).4 = -6 +14.4 = -6 + 56 = 50

R: a15 = 50 R: a15 = 50

Encontrando a razãoEncontrando a razãoDetermine a razão de uma PA que tem como primeiro termo -10 e Determine a razão de uma PA que tem como primeiro termo -10 e quinto termo 2.quinto termo 2.

a5 = 2a5 = 2 a1=-10 a1=-10 r=? n=5 r=? n=5

an = aan = a11 + (n – 1) . r + (n – 1) . r

2 = -10 + (5-1).r2 = -10 + (5-1).r

2=-10 + 4r2=-10 + 4r

2+10=4r2+10=4r

r=12/4=3r=12/4=3

Razão é 3.Razão é 3.

Determinando o primeiro termo:Determinando o primeiro termo:

Em uma PA com razão -6 e vigésimo termo com Em uma PA com razão -6 e vigésimo termo com valor -52 , qual é o valor do primeiro termo?valor -52 , qual é o valor do primeiro termo?

a20=-52a20=-52 a1=?a1=? r=-6r=-6 n=20n=20

an = aan = a11 + (n – 1) . R + (n – 1) . R

-52=a1 + (20-1).(-6)-52=a1 + (20-1).(-6)-52 = a1+ 19.(-6)-52 = a1+ 19.(-6)-52 = a1--52 = a1-

Soma de uma PASoma de uma PANa PA (–1, 3, 7, 11, 15, ...), determine a soma dos Na PA (–1, 3, 7, 11, 15, ...), determine a soma dos 10 primeiros termos.10 primeiros termos.

Primeiro vamos determinar a raazão, pois logo após teremos que Primeiro vamos determinar a raazão, pois logo após teremos que encontrar a10:encontrar a10:

r= a2 - a1= 3 – (–1) = 3 + 1 = 4r= a2 - a1= 3 – (–1) = 3 + 1 = 4Determinando o 10º termo da PADeterminando o 10º termo da PA

a10 = –1 + (10 – 1) * 4a10 = –1 + (10 – 1) * 4a10 = – 1 + 9 * 4a10 = – 1 + 9 * 4a10 = – 1 + 36a10 = – 1 + 36a10 = 35a10 = 35

Assim SAssim S10 :10 :

2

)( 1 naaS nn

1602

320

2

10.32

2

10).353(10

s

Lista de Exercícios:Lista de Exercícios:

1 - 1 - Qual é o vigésimo termo da P.A. ( 3, 10, 17, ... )?Qual é o vigésimo termo da P.A. ( 3, 10, 17, ... )?

2 – Qual é o trigésimo múltiplo do número natural 2 – Qual é o trigésimo múltiplo do número natural

3- A soma dos 10 termos de uma PA é igual a -35. 3- A soma dos 10 termos de uma PA é igual a -35. Se o último termo é igual ao número de termos, Se o último termo é igual ao número de termos, então qual é o primeiro termo?então qual é o primeiro termo?

Questões de Vestibular:Questões de Vestibular:1 - (PUC-RIO 2009) Temos uma progressão aritmética de 20 1 - (PUC-RIO 2009) Temos uma progressão aritmética de 20

termos onde o 1o termo é igual a 5. A soma de todos os termos onde o 1o termo é igual a 5. A soma de todos os termos dessa progressão aritmética é 480. O décimo termo termos dessa progressão aritmética é 480. O décimo termo é igual a:é igual a:

2 - (UE - PONTA GROSSA) A soma dos termos de P. A. é 2 - (UE - PONTA GROSSA) A soma dos termos de P. A. é dada por Sn = n2 - n, n = 1, 2, 3, ... Então o 10° termo da P. dada por Sn = n2 - n, n = 1, 2, 3, ... Então o 10° termo da P. A vale: A vale:

3 - (UFRGS) Em uma Progressão Aritmética, em que o 3 - (UFRGS) Em uma Progressão Aritmética, em que o primeiro termo é 23 e a razão é -6, a posição ocupada pelo primeiro termo é 23 e a razão é -6, a posição ocupada pelo

elemento -13 é:elemento -13 é: