Progressões Aritméticas

Progressão Aritmética (PA)é todo seqüência de números na qual a diferença entre cada termo (a partir do segundo) e o termo anterior é constante, essa diferença constante é chamada de razão da progressão. 

Sejam as seqüências:

(2, 6, 10, 14, 18, 22, ...) (30, 25, 20, 15, 10, 5, ...)

6 = 2+ 4 25 = 30+ (-5) 10 = 6+ 4 20 = 25+ (-5) 14 = 10+ 4 15 = 20+ (-5) 18 = 14+ 4 10 = 15+ (-5)

- Notamos nessas seqüências que o termo posterior é igual ao termo anterior somado de um número fixo.- Toda seqüência que tiver lei de formação chama-se Progressão Aritmética (PA).- A esse número fixo damos o nome de razão (r).

Representação matemática:(a1, a2, a3, a4, a5, ... an-1, an, an+1, ...)r = a2 – a3

r = a3 – a2

r = an – an-1

r = an+1 – an

Classificação:Uma PA pode ser:

a.      crescente: (r > 0) - (2, 4, 6, 8, 10, ...)_ r = 2

b.      decrescente: (r < 0) - (7, 5, 3, 1, -1, -3, ...)_ r = -2

c.      constante: (r = 0) - (9, 9, 9, 9, ...)

·         Fórmula do termo geral de uma PA:(a1, a2, a3, ....., an-1, an)

a2 = a1 + 1r

 

a3 = a2 + r = a1 + 2r an = a1 + (n-1)r a4 = a3 + r = a1 + 3r an = termo geral ----- n = n-ésimo termo a5 = a4 + r = a1 + 4r a1 = primeiro termo -------- r = razão

Expressões Gerais:

1)      “n-ésimo”número par positivo: an= 2n (n > 1)

2)      “n-ésimo número ímpar positivo: an = 2n – 1 ( n > 1)

3)      soma dos ‘n”primeiros números pares positivos – PA = ( 2,4,6,...2n): Sn = n (n +1)

4)        soma dos “n”primeiros números ímpares positivos – PA = (1,3,5,...,2n-1): Sn = n2

5)      Três números em PA

x - r, x, x + r

6)      Cinco números em PAx - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r

7)      Quatro números em PAx - 3r, x - r, x + r, x + 3r

·         Interpolação Aritmética:Interpolar significa inserir, intercalar meios aritméticos entre 2 números, formando assim uma P.A. .X , __ , __ , __ , Y- Se interpolarmos n meios entre 2 números, iremos obter uma P.A. de n + 2 termos;

·         Propriedades da P.A.:

1.       Numa P.A. ao considerarmos 3 termos consecutivos, o termo médio é a média aritmética dos outros 2; an = an-1 + an+1  /  2 

2.       Numa P.A. finita, a soma dos extremos é igual a soma dos termos eqüidistantes dos extremos;a1 + an = a2 + an-1 = a3 + an-2 = ...

·         Soma dos termos de uma P.A. Finita:

Sn = (a1 + an ) n / 2

Onde a1 é o primeiro termo, an o último termo, n é o número de termos e Sn é a soma dos n termos.