Projecto de Filtros de Microondas e Ondas Milimétricas · 4.17 (a) Par de linhas microstrip...
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Projecto de Filtros de Microondas e Ondas Milimétricas
Miguel Correia da Silva Matias
Dissertação para a obtenção de Grau de Mestre em
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e deComputadores
Júri
Presidente: Professor Doutor José Manuel Bioucas DiasOrientador: Professor Doutor António Luís Campos da Silva TopaVogais: Professor Doutor António Manuel Restani Graça Alves Moreira
Outubro 2011
ii
Agradecimentos
Quero comecar por agradecer ao meu orientador, o Professor Doutor Antonio Topa pela confianca
em mim depositada, pela sua disponibilidade, o seu apoio e calma transmitida ao longo deste
percurso.
Aos meus amigos, por me terem acompanhado ao longo da minha formacao como pessoa e
como engenheiro, deixo-lhes um grande abraco.
Um especial agradecimento a Patrıcia, por toda a paciencia, compreensao e incansavel incen-
tivo ao longo da dissertacao.
Finalmente, gostaria de agradecer a minha famılia, em especial aos meus pais, pelas condicoes
que sempre me proporcionaram ao longo da vida, por terem acreditado em mim e por nao me terem
deixado perder de vista o objectivo final deste esforco.
iii
iv
Resumo
Os filtros sao uma parte essencial dos sistemas de telecomunicacoes e de radar, uma vez que tem
uma grande influencia no desempenho e no custo de tais sistemas, especialmente com o espectro
cada vez mais congestionado. Os filtros permitem rejeitar os sinais transmitidos ou recebidos nas
bandas de frequencia indesejadas e permitem a sua transmissao na banda desejada com atenuacao
mınima.
Nas ultimas decadas verificou-se um crescimento particularmente acentuado no sector das
comunicacoes sem fios. Isto contribuiu para especificacoes exigentes no desempenho dos filtros
e para pressoes comerciais para o baixo custo e fabrico facil, com o objectivo de se produzir um
grande volume e garantir uma entrega rapida, e tambem para a miniaturizacao.
Esta dissertacao de mestrado apresenta um estudo sobre filtros para microondas e ondas mi-
limetricas, abordando desde conceitos basicos a problematica do projecto e simulacao dos filtros.
As estruturas periodicas possuem caracterısticas de passa-banda e rejeita-banda, que sao muito in-
teressantes do ponto de vista dos filtros. Analisou-se filtros com base nestas estruturas, entre eles,
o caso mais simples de duas cavidades ressonantes ligadas em serie. Os restantes filtros analisados
com o respectivo dimensionamento geral foram: o filtro de cavidades de quarto de onda acopladas,
o filtro de cavidades de acoplamento directo, o filtro microstrip de meia onda e o filtro microstrip
de acoplamento paralelo.
Os filtros analisados teoricamente foram testados atraves da simulacao com programas de
design para uma melhor compreensao do tipo de respostas que possuem. Tambem foi objectivo
apresentar duas solucoes de programas comerciais que possam servir de auxılio ao projectista,
pois permitem estudar, simular e optimizar os filtros. Assim, apos o processo de analise vitual
e possıvel construir um prototipo do filtro com caracterısticas mais proximas das pretendidas,
evitando expreriencias falhadas.
Palavras-chave: Estruturas periodicas; transformacao de Richard; identidades de Ku-
roda; filtro de cavidades de quarto de onda acopladas; filtro de cavidades de acoplamento directo;
filtro microstrip de meia onda; filtro microstrip de acoplamento paralelo.
v
vi
Abstract
Filters are an essential part of telecommunications and radar systems, since they have a great influ-
ence on performance and cost of such systems, especially in the increasingly congested spectrum.
Filters allow mitigate the transmitted or received signals in unwanted frequency bands and allow
its passage in the desired band with minimal losses.
In recent decades there has been a particularly marked growth in the area of wireless com-
munications. This has contributed to very demanding performance specifications for filters and
commercial pressures for low cost and easy manufacture, to produce a large volume and ensure a
quick delivery, and miniaturization, for example to produce smaller and lighter mobile phones.
This dissertation presents a study of microwave and millimeter wave filters, with an approach
from the basic concepts to the problem of filter design and simulation. The periodic structures have
characteristics of band pass and band-reject, which are very interesting from the filters perspective.
Filters based on these structures were analyzed, among them the simplest case of two coupled
cavities. The general design of other types of filters was also considered, such as quarter-wave
coupled cavity filter, direct-coupled cavity filter, microstrip half-wave filter and microstrip parallel
coupled filter.
The filters theoretically analyzed in this dissertation were tested by simulation using design
programs to better understand their type of responses. Has also been aim to present two solutions
of commercial programs that can serve to help the designer or just someone who just wants to
study the filters without the need to manufacture prototypes.
Keywords: Periodic structures; Richard’s transformation; Kuroda’s identities; quarter-
wave coupled cavity filter; direct-coupled cavity filter; microstrip half-wave filter; microstrip pa-
rallel coupled filter.
vii
viii
Conteudo
Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Lista de Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
Lista de Sımbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi
1 Introducao 1
1.1 Enquadramento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Filtro Combline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Filtro Interdigital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Filtros de Acoplamento Capacitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.4 Filtros de Acoplamento Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.5 Filtros Hairpin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.6 Filtro em Anel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Motivacao e Objectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Contribuicao Original . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Estruturas Periodicas 9
2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Analise de Estruturas Periodicas Infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Teorema de Floquet e Harmonicas Espaciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Cavidades Ressonantes Ligadas em Cadeia 17
4 Filtros de Microondas e Ondas Milimetricas 25
4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
ix
4.2 Inversores de Impedancia e de Admitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3 Transformacao de Richard e Identidades de Kuroda . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3.1 Transformacao de Richard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3.2 Identidades de Kuroda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.4 Filtro de Cavidades de Quarto de Onda Acopladas . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.5 Filtro de Cavidades de Acoplamento Directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.6 Filtro Microstrip de Meia Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.7 Filtro Microstrip de Acoplamento Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5 Simulacao 55
5.1 Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1.1 AADE Filter Design and Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1.2 Advanced Design System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2 Filtros de Cavidades Ressonantes Acopladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3 Filtro Microstrip de Meia Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.4 Filtro Microstrip de Acoplamento Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6 Conclusao 63
6.1 Discussao e Analise Crıtica dos Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2 Perspectivas de Trabalho Futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
A Matriz ABCD 67
B Resposta de Butterworth 71
C Resposta de Chebyshev 73
D Linha Microstrip 75
Referencias 82
x
Lista de Figuras
1.1 Filtro Combline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Filtro Interdigital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Filtro de Acoplamento Capacitivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Filtro de Acoplamento Paralelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Filtro Hairpin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 Filtro em Anel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 Linha de transmissao carregada periodicamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Estruturas periodicas tıpicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Curva de dispersao tıpica de uma estrutura periodica sem radiacao. . . . . . . . . 12
2.4 Guia de onda dielectrico com perturbacoes ao longo do eixo zz. . . . . . . . . . 13
2.5 Diagrama k − β para um guia de onda dieletrico sem perturbacoes. . . . . . . . . 15
2.6 Diagrama com as harmonicas espaciais normalizado pelo perıodo d. . . . . . . . 15
3.1 Ligacao em cadeia de duas cavidades identicas [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Circuito equivalente com a saıda adaptada [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Circuito equivalente da cavidade (2) em relacao ao plano (c) [1]. . . . . . . . . . 18
3.4 Circuito equivalente da cavidade (2) em relacao ao plano (b) [1]. . . . . . . . . . 19
3.5 Circuito equivalente da associacao em cadeia das duas cavidades [1]. . . . . . . . 19
3.6 Esquema equivalente do circuito da Figura 3.5 [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.7 Circuito simplificado da associacao de duas cavidades em cadeia [1]. . . . . . . . 20
3.8 Variacao do modulo do factor de transmissao de potencia com o desvio de frequencia
relativo ∆. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1 Respostas dos quatro tipos de filtros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
xi
4.2 (a) Operacao de um inversor de impedancia e de um inversor de admitancia; (b)
Implementacao com transformadores de um quarto de onda; (c) Implementacao
alternativa [6]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3 (a) Inversor de impedancia utilizado para converter uma admitancia em paralelo
numa impedancia equivalente em serie; (b) Inversor de admitancia utilizado para
converter uma impedancia em serie numa admitancia em paralelo [5]. . . . . . . 28
4.4 Mapeamento de frequencia entre a variavel de frequencia real ω e a variavel de
frequencia distribuıda Ω [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.5 Resposta passa-baixo de Chebyshev usando a transformacao de Richard [2]. . . . 32
4.6 Correspondencia entre elementos de parametros concentrados e distribuıdos pela
transformacao de Richard [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.7 Identidades de Kuroda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.8 (a) Guia de onda carregado com dois diafragmas indutivos para formar uma cavi-
dade; (b) Circuito equivalente exacto; (c) Circuito equivalente aproximado. . . . 36
4.9 Rede equivalente do filtro obtida pelo uso de inversores de admitancia [5]. . . . . 37
4.10 Filtro de cavidades de quarto de onda acopladas [5]. . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.11 (a) Cavidade de guia de onda (b) Circuito equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.12 Inversor de impedancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.13 Filtro de cavidades de acoplamento directo [5]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.14 Filtro de meia onda com tres ressoadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.15 Inversor de admitancia usado no filtro microstrip de meia onda. . . . . . . . . . . 43
4.16 Filtro microstrip de acoplamento paralelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.17 (a) Par de linhas microstrip acopladas (b) Ilustracao dos modos par e ımpar (c)
Circuito equivalente das tiras acopladas apresentadas em (a) [5]. . . . . . . . . . 45
4.18 (a) Filtro de acoplamento paralelo (b) Circuito equivalente (c) Circuito equivalente
reduzido [5]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.19 (a) Filtro de acoplamento utilizando seccoes de linha acopladas em circuito aberto
(b) Circuito equivalente do filtro (c) Seccao basica de linha acoplada (d) Circuito
equivalente da seccao basica [5]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.1 Circuito equivalente do filtro com tres cavidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2 Ganho de potencia efectiva do filtro com tres cavidades. . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3 Circuito equivalente do filtro com cinco cavidades. . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.4 Ganho de potencia efectiva do filtro com cinco cavidades. . . . . . . . . . . . . . 58
xii
5.5 Circuito equivalente do filtro com sete cavidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.6 Ganho de potencia efectiva do filtro com sete cavidades. . . . . . . . . . . . . . 59
5.7 Esquema do filtro microstrip de meia onda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.8 Resposta passa-banda do filtro microstrip de meia onda. . . . . . . . . . . . . . . 61
5.9 Esquema do filtro microstrip de acoplamento paralelo. . . . . . . . . . . . . . . 62
5.10 Resposta passa-banda do filtro microstrip de acoplamento paralelo. . . . . . . . . 62
A.1 Rede de dois portos com as suas variaveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
A.2 Algumas redes de dois portos uteis e os seus parametros ABCD. . . . . . . . . . 69
B.1 Resposta Butterworth (“maximally flat”) [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
B.2 Distribuicao dos polos para a resposta de Butterworth (“maximally flat”) [2]. . . 72
C.1 Resposta de Chebyshev passa-baixo [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
C.2 Distribuicao dos polos para a resposta de Chebyshev [2]. . . . . . . . . . . . . . 74
D.1 Linha microstrip. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
xiii
xiv
Lista de Sımbolos
Sımbolos gregos
β Constante de propagacao.
ε Constante de oscilacao.
Γ Factor de reflexao.
γ Constante de propagacao complexa.
λ Comprimento de onda.
ω Frequencia em radianos.
θ Comprimento electrico.
Sımbolos romanos
B Susceptancia.
C Capacidade.
c Velocidade da luz.
E Campo electrico.
G Condutancia.
H Campo magnetico.
I Corrente.
J Admitancia caracterıstica de um inversor de admitancia.
K Impedancia caracterıstica de um inversor de impedancia.
xv
k Constante de propagacao.
L Indutancia.
LAr Oscilacao.
Pc Potencia dissipada na carga.
Pi Potencia incidente.
PLR Racio de perda de potencia.
Ps Potencia absorvida pelo sistema.
Q Factor de qualidade.
R Resistencia.
T Factor de transmissao.
t Variavel de Richard.
V Tensao.
vp Velocidade de fase.
X Reactancia.
Y Admitancia.
Yc Admitancia caracterıstica.
Z Impedancia.
Zc Impedancia caracterıstica.
xvi
Capıtulo 1
Introducao
1.1 Enquadramento
Esta dissertacao enquadra-se no domınio dos filtros de microondas e ondas milimetricas.
Em 1937, antes do inıcio da 2a Guerra Mundial, W. P. Mason e R. A. Sykes publicaram um
artigo particularmente importante sobre o uso de parametros ABDC, embora nao sob a forma
matricial, para obterem a impedancia de imagem, a fase de imagem e as funcoes de atenuacao de
uma ampla variedade seccoes de filtro uteis.
Durante a guerra, nos anos de 1941 a 1945, em varios laboratorios nos Estados Unidos, como
o M.I.T. Radiation Laboratory, o Harvard Radio Research Laboratory, Bell Laboratories, NRL,
entre outros, foram feitos grandes avancos e aplicacoes, principalmente no uso de parametros de
imagem. No laboratorio de radiacao o trabalho centrou-se nos filtros de cavidades de guias de
ondas, enquanto que o laboratorio concentrou-se nos filtros coaxiais passa-baixo, passa-banda e
passa-alto em banda larga para aplicacoes ECM nos filtros de ressoadores coaxiais para receptores
de busca em banda estreita.
Os cientistas que trabalharam no Rad.Lab. e com laboratorios de microondas associados nos
Estados Unidos da America e no Reino Unido estavam entre os melhores do mundo, entre eles no-
mes bem conhecidos como H. A. Bethe, N. Marcuvitz, E. M. Purcell e J. Schwinger. Actualmente
alguns dos seus trabalhos continuam insuperaveis, particularmente na area da teoria de campo [3].
A teoria de redes era provavelmente o topico de engenharia mais avancado naquela epoca,
com S. Darlington a publicar a sua famosa teoria sobre sıntese em cascata no ano 1939. Posteri-
ormente, no ano 1948, Fano e Lawson conseguiram escrever um sumario conciso e claro da teoria
de Darlington.
No inıcio dos anos 70, um ponto importante nos filtros de microondas comecou a causar
1
impacto: os filtros de elementos parametros concentrados. Actualmente os filtros de elementos
de parametros concentrados sao usados em frequencias de microondas ate cerca de 18 GHz. Um
aspecto academico importante dos filtros de elementos de parametros concentrados e que o seu
estudo e uma parte essencial na compreensao de filtros de parametros distribuıdos, com base em
grande parte na teoria dos elementos de parametros concentrados [4].
A literatura sobre o tema de filtros LC de elementos de parametros concentrados projectados
para operarem em frequencias de microondas e escassa. O problema destes filtros e que se se
estreita a banda, em seguida, os filtros projectados sao irrealizaveis na pratica, devido aos valores
dos elementos que deixam de ser viaveis.
E necessario introduzir redes externas de acoplamento para transformar os nıveis de im-
pedancia e introduzir inversores de impedancia e/ou realizar transformacoes de rede. O objectivo
e chegar a projectos onde normalmente todos os elementos indutivos tenham valores semelhantes
correspondente a uma reactancia de banda media na ordem dos 40 aos 100Ω.
Muitos dos princıpios do projecto de filtros estao esbocados, no entanto, sao necessarios mais
detalhes para uma compreensao mais completa.
Os programas de projecto de filtros disponıveis comercialmente sao geralmente ou muito com-
plicados e pouco intuitivos na sua utilizacao ou nao possuem todas as ferramentas ou elementos
necessarios, como por exemplo, linhas microstrip.
Os filtros de parametros distribuıdos podem ser divididos em categorias principais: combline,
interdigital, linhas com acoplamento capacitivo e acoplamento paralelo, hairpin, aneis, patch. Os
diversos meios para a implementacao destes filtros incluem o guia de onda, ressoadores dieletricos,
linhas coaxiais e varios circuitos impressos em microstrip, stripline e substrato suspenso.
1.1.1 Filtro Combline
O filtro combline consiste numa serie de ressoadores acoplados paralelamente, em curto-circuito
numa das extremidades e terminado por uma capacitancia concentrada na outra extremidade. Os
ressoadores estao orientados de modo a que os curto-circuitos estejam todos num dos lados do
filtro e as capacitancias estejam todas no lado oposto.
Os filtros combline sao os tipos de filtros coaxiais mais utilizados para frequencias abaixo dos
10 GHz, uma vez que a capacidade na terminacao permite uma util reducao do tamanho do filtro
comparativamente com filtros com base na ressonancia de quarto de onda. Quanto maior forem as
capacidades mais curtos serao os ressoadores, tornando a estrutura mais compacta.
2
Figura 1.1: Filtro Combline
1.1.2 Filtro Interdigital
O filtro interdigital consiste numa serie de ressoadores paralelos de linhas de transmissao, cada um
com comprimento electrico igual a 90o ou um quarto de onda, que alternam entre as terminacoes
em curto-circuito ou circuito aberto, como representado na Figura 1.2.
(a)
(b)
Figura 1.2: Filtro Interdigital.
Os filtros interdigitais tem maior aplicacao para frequencias de microondas superiores a 8
GHz, especialmente para bandas largas.
1.1.3 Filtros de Acoplamento Capacitivo
A estrutura do filtro de acoplamento capacitivo consiste em seccoes de linha com comprimento
aproximadamente igual a meia onda, que actuam como ressoadores e estao acoplados atraves de
3
um espaco entre as extremidades dos ressoadores adjacentes, como representado na Figura 1.3.
Figura 1.3: Filtro de Acoplamento Capacitivo.
1.1.4 Filtros de Acoplamento Paralelo
O filtro de acoplamento paralelo e normalmente realizado em microstrip, embora realizado oca-
sionalmente em stripline. O design do filtro consiste numa linha paralela de ressoadores com
comprimento igual a meia onda, λ/2, mas apenas sobre o acoplamento de um quarto de onda,
λ/4 para cada um dos ressoadores vizinhos, formando assim uma linha escalonada, conforme
representada na Figura 1.4.
Figura 1.4: Filtro de Acoplamento Paralelo.
1.1.5 Filtros Hairpin
O filtro harpin apresenta uma estrutura compacta e e composto pelo acoplamento em paralelo de
ressoadores de comprimento igual a meia onda dobrados em forma de “U”, como mostra a Figura
1.5.
Figura 1.5: Filtro Hairpin.
4
Ao dobrar o ressoador e necessario ter em conta a reducao do comprimento das linhas aco-
pladas, que reduz o comprimento entre os ressoadores. Alem disso, se as linhas paralelas do
“U” ficarem muito proximas, comportar-se-ao como um par de linhas acopladas paralelamente,
afectando o acoplamento desejado e alterando a resposta do filtro.
1.1.6 Filtro em Anel
O filtro em anel e composto por ressoadores, tal como o nome indica, em anel, cujo perımetro e
aumentado pela inclusao de reentrancias na linha utilizada, como representado na Figura 1.6.
Figura 1.6: Filtro em Anel.
Este tipo de filtro funciona como um ressoador em anel rectangular ou circular, com resposta
elıptica e e caracterizado pelo seu tamanho reduzido.
1.2 Motivacao e Objectivos
Os filtros em radiofrequencia e microondas sao essenciais para os sistemas de comunicacao que
transmitem ou recebem sinais, uma vez que permitem atenuar os sinais em bandas de frequencia
indesejadas e permitem, tambem, a sua passagem na banda desejada com perdas mınimas. Nas
ultimas decadas, verificou-se uma grande expansao dos sistemas de comunicacao sem fios, que
transmitem sinais na banda das microondas contendo informacao de voz, imagem ou dados. Nes-
tes sistemas sao necessarios filtros, onde as exigencias de baixas perdas, baixo custo, facil fabrico,
miniaturizacao e baixo peso sao cada vez maiores, particularmente nas areas das comunicacoes
movel e por satelite, nas quais a facilidade de integracao e a reducao dos circuitos sao as grandes
expectativas do mercado.
A realizacao desta dissertacao de mestrado tem como objectivo principal estudar os filtros de
microondas e ondas milimetricas com principal incidencia nos filtros de acoplamento em serie e
5
em paralelo realizados com cavidades ressonantes ou linhas microstrip. Pretendeu-se cobrir varios
assuntos, de forma clara e acessıvel, desde estruturas periodicas ate a teoria e simulacao de filtros,
propriamente ditos, de modo a concentra-los numa dissertacao que possa servir de desenvolvi-
mento ao tema, visto que a literatura que descreve os metodos envolvidos no projecto de filtros
e muito vasta. A informacao disponıvel sobre metodos exactos, escrita por especialistas no as-
sunto, contem poucas explicacoes pelos autores para aplicar os resultados obtidos dos processos
de sıntese em filtros fısicos reais. Em particular, ha uma ausencia de um processo de design co-
erente e completo, que comeca a partir da teoria e descreve o processo de sıntese, a aplicacao de
um filtro fısico e o processo de optimizacao.
Tambem se pretendeu simular os filtros estudados e apresentar duas solucoes de programas
que permitem realizar, dimensionar e analisar projectos de filtros.
1.3 Estrutura
Esta dissertacao encontra-se estruturada em seis capıtulos e quatro apendices. O primeiro e actual
capıtulo, Introducao, apresenta um enquadramento historico e teorico do filtros de microondas e
ondas milimetricas, a motivacao da escolha do tema, tal como, os seus objectivos.
O capıtulo 2, Estruturas Periodicas, descreve como estruturas periodicas, por exemplo uma
linha de transmissao ou guia de onda carregado em intervalos periodicos, possuem caracterısticas
de propagacao com e sem atenuacao de sinais, que permite que se possam utilizar como filtros.
No capıtulo 3, Cavidades Ressonantes Ligadas em Cadeia, apresenta-se um exemplo simples
de uma estrutura periodica constituıda por duas cavidades ressonantes ligadas em serie, que serve
como ponto de partida para o estudo dos filtros de micoondas e ondas milimetricas.
O capıtulo 4, Filtros de Microondas e Ondas Milimetricas, introduz conceitos uteis no di-
mensionamento de filtros, tais como, inversores de impedancia e admitancia, transformacao de
Richards e Identidades de Kuroda. De seguida estudam-se varios tipos de filtros de microondas e
ondas milimetricas.
O capıtulo 5, Simulacao, trata a simulacao dos filtros apresentados no capıtulo 4 e analise dos
resultados.
Finalmente, no capıtulo 6 conclui-se a dissertacao, e elaborada uma sıntese bem como a dis-
cussao dos resultados obtidos. Apresenta-se tambem uma perspectiva de trabalhos futuros consi-
derados relevantes que se possam realizar.
Nos apendices complementa-se a teoria de alguns dos assuntos abordados. O apendice A,
6
Matriz ABCD, trata os parametros ABCD de uma rede de dois portos na forma matricial. Nos
apendices B e C, apresentam-se duas respostas de filtros, respectivamente a resposta de But-
terworth e a resposta de Chebyshev. No apendice D, Linha Microstrip, apresenta-se a teoria deste
tipo de linha de transmissao planar.
1.4 Contribuicao Original
O tema desta dissertacao e um tema abordado na disciplina de Microondas. No entanto, este
tema nunca teve seguimento em dissertacoes apresentadas no Departamento de Engenharia Elec-
trotecnica e de Computadores do Instituto Superior Tecnico.
Existe escassa literatura que possa servir de iniciacao aos filtros de microondas e ondas mi-
limetricas. Os artigos escritos maioritariamente sao complexos e de difıcil compreensao para quem
comece a estudar este assunto. Nesta dissertacao, realiza-se uma revisao bibliografica e reune-se
informacao sobre um amplo domınio do tema contribuındo para torna-lo mais acessıvel.
Tal como a literatura existente, tambem nao existem muitos programas comerciais que nao
sejam demasiado complexos e que possam ser utilizados em projectos de filtros de microondas
e ondas milimetricas, especialmente com linhas microstrip. Nesta dissertacao apresenta-se dois
programas que se consideram muito uteis nao so em projectos, mas tambem para quem esta a
estudar filtros e pretende simular circuitos e verificar os resultados teoricos. Um dos programas
permite gerar circuitos de filtros de forma muito simples e intuitiva e o outro, nao tao simples, mas
com mais ferramentas, permite simular todos os filtros apresentados. Efectuou-se a simulacao
de exemplos dos filtros apresentados teoricamente no quarto capıtulo e apresenta-se uma analise
crıtica dos seus resultados.
7
8
Capıtulo 2
Estruturas Periodicas
2.1 Introducao
Uma linha de transmissao ou um guia de onda carregados em intervalos periodicos com elementos
reactivos sao referidos como estruturas periodicas. Estas estruturas podem tomar formas variadas,
dependendo da linha de transmissao a ser usada.
Os elementos de carga sao frequentemente formados por descontinuidades na linha no entanto,
podem ser modelados como reactancias ao longo da linha de transmissao, como representado na
Figura 2.1
Figura 2.1: Linha de transmissao carregada periodicamente.
Na Figura 2.2 apresenta-se algumas das estruturas periodicas praticas usadas em microondas.
Em 2.2(a) a estrutura e fechada para que nao haja radiacao, apenas os fenomenos de ondas
guiadas alvos de interesse sao observados. Em 2.2(b) esta representada uma estrutura periodica
bidimensional cuja estrutura e aberta para suportar certas propriedades da radiacao. Em 2.2(c)
representa-se uma das mais interessantes estruturas periodicas. Esta estrutura e constituıda por
perturbacoes periodicas num guia de onda (dielectrico) aberto, onde ambos os fenomenos de onda
guiada e de radiacao estao presentes.
9
(a) Guia de onda carregado periodica-mente
(b) Guia de ondas aberto 2-D em ma-triz
(c) Antena leaky wave
Figura 2.2: Estruturas periodicas tıpicas.
2.2 Analise de Estruturas Periodicas Infinitas
Nesta analise [5][6] considera-se uma estrutura simples, como a presente na Figura 2.1, para se
compreender as bases do fenomeno de propagacao de onda associado as estruturas periodicas.
Cada celula unitaria da linha consiste numa linha de transmissao de comprimento d centrada numa
susceptanciaB em paralelo, normalizada a impedancia caracterıstica Z0. Se se considerar a celula
unitaria como sendo uma rede de duas portas pode-se relacionar as tensoes e correntes de cada
lado da n-esima celula unitaria que constitui a estrutura periodica atraves da matriz ABCD.
Vn
In
=
A B
C D
Vn+1
In+1
(2.1)
onde A, B, C e D sao os parametros da matriz obtidos pela cascata de tres seccoes: uma seccao
da linha de transmissao de comprimento d/2, a susceptancia B e outra seccao da linha de compri-
mento d/2.
A B
C D
=
cos θ2 j sin θ2
j sin θ2 cos θ2
1 0
jB 1
cos θ2 j sin θ2
j sin θ2 cos θ2
=
(cos θ − B
2 sin θ)
j(
sin θ + B2 cos θ − B
2
)j(
sin θ + B2 cos θ + B
2
) (cos θ − B
2 sin θ)
(2.2)
onde θ = kd e o comprimento electrico da linha de transmissao na celula unitaria, sendo k a
constante de propagacao da linha nao carregada. Verifica-se queAD−BC = 1, como e requerido
em redes recıprocas.
Se se assumir que a estrutura periodica e infinita a tensao e a corrente nos n-esimos terminais
deveriam ser identicas as tensao e corrente dos n+1-esimos terminais no entanto, existe um atraso
10
de fase causado pela propagacao ao longo da celula. Portanto tem-se que
Vn+1
In+1
= e−γz
Vn
In
(2.3)
onde γ = α + jβ e a constante de propagacao complexa da estrutura periodica. Usando este
resultado em 2.1 obtem-se
Vn
In
=
A B
C D
Vn+1
In+1
=
Vn+1eγd
In+1eγd
(2.4)
ou
A− eγd B
C D − eγd
Vn+1
In+1
= 0 (2.5)
Uma solucao nao trivial para Vn+1 e In+1 existe apenas se o determinante for nulo, isto e,
AD + e2γd − (A+D)eγd −BC = 0 (2.6)
ou, como AD −BC = 1,
1 + e2γd − (A+B)eγd (2.7a)
e−γd + eγd = A+D (2.7b)
cosh γd =A+D
2(2.7c)
Substituındo os valores de A e D, obtidos em 2.2, em 2.7c tem-se que
cosh γd = cos θ − B
2sin θ (2.8)
Quando∣∣∣cos θ − B
2 sin θ∣∣∣ < 1 tem-se que α = 0 e γ = jβ, isto e,
cosβd = cos θ − B
2sin θ (2.9)
Este caso corresponde a propagacao sem atenuacao da onda na estrutura periodica, isto e,
define a zona de passa-banda da estrutura.
Quando∣∣∣cos θ − B
2 sin θ∣∣∣ ≥ 1 tem-se que β = 0, π e γ = α, portanto
11
coshαd =
∣∣∣∣cos θ − B
2sin θ
∣∣∣∣ ≥ 1 (2.10)
Neste caso nao existe propagacao de onda, esta e atenuada ao longo da linha, isto e, define a
zona de rejeicao da estrutura. Como a linha e sem perdas a potencia nao e dissipada, mas reflectida
de volta para a entrada da linha.
Portanto, dependendo dos valores de frequencia e susceptancia normalizada, a linha perio-
dicamente carregada exibe propriedades de passa-banda ou de rejeita-banda e, assim, pode ser
considerada como um filtro.
Notar que a propagacao em ambas as direccoes e possıvel, uma vez que −γ e uma das
solucoes.
Para se analisar as caracterısticas de passa-banda e rejeita-banda e util tracar a relacao entre
a constante de propagacao, β, e a constante de propagacao da linha nao carregada, k ou ω. Este
grafico e conhecido com diagrama k − β e apresenta-se na Figura 2.3
Figura 2.3: Curva de dispersao tıpica de uma estrutura periodica sem radiacao.
2.3 Teorema de Floquet e Harmonicas Espaciais
Numa estrutura periodica infinita verifica-se que a distribuicao do campo electromagnetico de
uma onda repete-se em todos os terminais excepto para um factor de propagacao e−γ(d), onde d
corresponde ao comprimento de uma celula unitaria da estrutura. O factor exponencial indica o
deslocamento de fase complexo entre celulas unitarias vizinhas da estrutura.
12
Figura 2.4: Guia de onda dielectrico com perturbacoes ao longo do eixo zz.
Considerando-se a estrutura em Figura 2.4, periodica apenas na direccao de z para se obter um
exemplo mais simples, se o campo da celula unitaria entre 0 ≤ z ≤ d e E(x, y, z), H(x, y, z), o
campo na celula unitaria vizinha seguinte, isto e, entre d ≤ z ≤ 2d, deve ser
e−γdE(x, y, z)
e−γdH(x, y, z)
Consequentemente, as componentes do campo electromagnetico numa estrutura periodica sao
descritas por
E(x, y, z) = e−γdEp(x, y, z) (2.11a)
H(x, y, z) = e−γdHp(x, y, z) (2.11b)
onde Ep e Hp sao funcoes periodicas de z com perıodo d, tais que
Ep(x, y, z + nd) = Ep(x, y, z) (2.12a)
Hp(x, y, z + nd) = Hp(x, y, z) (2.12b)
Estas expressoes obtidas em 2.12 sao muitas vezes referidas como Teorema de Floquet.
Qualquer funcao periodica pode ser expandida numa serie de Fourier, assim
13
Ep(x, y, z) =∞∑
n=−∞Epn(x, y)e−j2nπz/d (2.13)
onde Epn sao funcoes vectoriais de x e y e dependem da estrutura. Multiplicando ambos os lados
da equacao por ej2mπz/d e integrando no intervalo de uma celula unitaria, isto e, de z = 0 a z = d,
obtem-se
Epm(x, y, z) =1
d
∫ d
0Ep(x, y, z)e
j2mπz/ddz (2.14)
Como as funcoes exponenciais formam um conjunto ortogonal, isto e,
∫ d
0e−j2nπz/dej2mπz/ddz =
0 se m ≥ n
d se m = n
Assim, a componente do campo numa estrutura periodica pode ser representada na seguinte
forma
E(x, y, z) =∞∑
n=−∞Epn(x, y)e−jβz−j2nπz/d
=
∞∑n=−∞
Epn(x, y)e−jβnz (2.15)
onde γ = jβ e βn = β + 2nπ/d. O mesmo racciocınio pode ser realizado para a componente
magnetica do campo, H. Chama-se a cada termo na expansao, com constante de fase de propagacao
βn, harmonica espacial ou harmonica de Hartee.
Para uma maior simplificacao do problema, assume-se que a estrutura e invariante na direccao
y. Apos a simplificacao analisa-se o tipo de diagrama de dispersao existente, que relaciona a
frequencia e o factor de propagacao, neste caso ao longo da direccao z. No caso de ausencia
de perturbacoes periodicas recupera-se o guia de onda dieletrico planar. O tıpico diagrama de
dispersao (k − β) de um modo dominante apresenta-se na Figura 2.5.
Neste diagrama existem quatro regioes divididas por linhas rectas k = ±β. Se o valor de β
para um dado k estiver na Regiao I , a onda e guiada ao longo da direccao +z. Como k < β, a
velocidade de fase e menor que a velocidade da luz em espaco livre e a onda e chamada lenta.
Caso a curva de dispersao entre na Regiao II , entao k > β e a onda e rapida. As regioes
III e IV correspondem as regioes II e I respectivamente, com excepcao no valor de β que toma
14
Figura 2.5: Diagrama k − β para um guia de onda dieletrico sem perturbacoes.
valores negativos, o que correponde a onda voltar para tras.
Considerando o caso onde as perturbacoes sao infinitamente pequenas, sendo assim e possıvel
aproximar kz0 = β−jα ≈ β0 onde β0 e a constante de propagacao do guia de onda dielectrico sem
perturbacoes. Contudo, o campo associado a estrutura periodica pode ser descrito pela harmonica
espacial 2.12. Portanto,
kzn = βn = β0 +2πn
d, n = 0,±1,±2, ...
Para cada n, a relacao de βn com k pode ser obtida pelo deslocamento do diagrama k − β da
estrutura sem perturbacoes, como esta representado na Figura 2.6.
Figura 2.6: Diagrama com as harmonicas espaciais normalizado pelo perıodo d.
Na Figura 2.6 verifica-se que se o valor de k esta abaixo de um certo valor de kc, todas as
harmonicas espaciais se encontram na regiao de onda lenta, se o modo da guia de onda sem
perturbacoes e guiado. No entanto, no caso de o valor de k exceder o valor de kc, devido ao
aumento da frequencia de trabalho, a harmonica de β−1 encontra-se na regiao de onda rapida. Na
15
pratica, a onda e dispersada em cada perturbacao e portanto, o diagrama de dispersao torna-se
mais complexo.
16
Capıtulo 3
Cavidades Ressonantes Ligadas em
Cadeia
Neste capıtulo introduz-se o problema da ligacao de cavidades ressonantes em cadeia [1], que sera
o ponto de partida para o dimensionamento de filtros de microondas com cavidades.
Considerou-se uma ligacao com apenas duas cavidades ligadas em cadeia, atraves de um troco
de comprimento d, como representado na Figura 3.1, com o intuito de cingir-se a um caso de maior
interesse pratico, em vez de se proceder a um tratamento geral, para N cavidades, que tornaria o
formalismo excessivamente pesado.
Figura 3.1: Ligacao em cadeia de duas cavidades identicas [1].
Considera-se que as duas cavidades sao iguais e que estao ligadas a guias identicos, com o
mesmo modo propagacao. Para o comprimento do troco d toma-se um valor particular, tal que
d =λgp4
(3.1)
em que λ e o comprimento de onda de onda dentro do guia, para a frequencia de ressonancia
comum das cavidades. O comportamento das cavidades deve ser analisado em termos de um for-
17
malismo de circuitos equivalentes. Deste modo apresenta-se na Figura 3.2 o circuito equivalente
de duas cavidades ligadas em cadeia, quando a saıda esta adaptada.
Figura 3.2: Circuito equivalente com a saıda adaptada [1].
Como se pode observar na Figura 3.2, o circuito equivalente e simetrico e, como ja foi referido,
a saıda esta adaptada. Assim, comecando por referir a admitancia da cavidade (2) em relacao ao
plano (c), obtem-se o circuito equivalente da Figura 3.3.
Figura 3.3: Circuito equivalente da cavidade (2) em relacao ao plano (c) [1].
Para manter a complexidade do problema dentro de limites aceitaveis, considera-se que 3.1 e
valida em toda a banda de frequencias de interesse. Esta aproximacao sera tanto melhor, quanto
mais estreita for a banda (relativa) de frequencia. Ou seja, so se vai considerar a regiao imediata-
mente na vizinhanca da frequencia de ressonancia das cavidades.
Usando esta aproximacao, e utilizando a expressao de transformacao de impedancias de um
transformador de λ/4, o circuito equivalente da cavidade (2) referido ao plano (b) e o que se
representa na Figura 3.4.
Assim, obtem-se o circuito equivalente da ligacao de duas cavidades em cadeia, representado
na Figura 3.5.
O factor de transmissao e calculado pela expressao
18
Figura 3.4: Circuito equivalente da cavidade (2) em relacao ao plano (b) [1].
Figura 3.5: Circuito equivalente da associacao em cadeia das duas cavidades [1].
T =PcPi
(3.2)
em que Pc e a potencia dissipada na carga e Pi a potencia incidente, considera-se o esquema
equivalente representado na Figura 3.6.
A potencia dissipada na carga e calculada por
Pc =1
2rii∗ (3.3)
E a potencia absorvida pelo sistema
Ps = Pi(1− ΓΓ∗) (3.4)
Em que Γ e o factor de reflexao. Para se calcular a potencia dissipada em y
Py =1
2
gen2vv∗ (3.5)
19
Figura 3.6: Esquema equivalente do circuito da Figura 3.5 [1].
E a potencia dissipada em z e
Pz =1
2<zii∗ (3.6)
Na qual i = v/(z + r). Concluindo, obtem-se a expressao do factor de transmissao
T =PcPs
(1− ΓΓ∗) =Pc
Pc + Py + Pz(1− ΓΓ∗) (3.7)
Como as cavidades habitualmente utilizadas em microondas tem um factor de qualidade muito
elevado, desprezou-se as perdas nas cavidades obtendo-se o circuito simplificado da Figura 3.7.
Figura 3.7: Circuito simplificado da associacao de duas cavidades em cadeia [1].
Nesse caso, em que Py = Pz = 0, tem-se
T = (1− ΓΓ∗) (3.8)
Visto que, na vizinhanca da ressonancia, se tem
20
y = jωcen2
+1
jωlen2= jωce2∆
1
n2(3.9)
e
z = jωn2
m4ce +
1
jωm4
n2 le= jωce2∆
n2
m4(3.10)
com
∆ =ω2 − ω2
p
ω2≈ ω − ωp
ωp(3.11)
e wp = 1/(lece), obtem-se
Γ =1− (y + 1
z+r )
1− (y − 1z+r )
(3.12)
Considerando-se tres casos: n/m = 1, n/m > 1 e n/m < 1. Se o factor de ligacao das duas
cavidades for igual, isto e, n = m, sera
r = (n
m)4 = 1 (3.13)
e
y = z = jωce2∆
n2= jx (3.14)
obtendo-se o factor de reflexao
Γ =x2
(2− x)2 + j2x(3.15)
Verifica-se que, na ressonancia (∆ = 0, x = 0), o factor de reflexao Γ = 0, o que e evi-
dente a partir do esquema equivalente da Figura 3.7, uma vez que os dois circuitos sintonizados
tem a mesma frequencia de ressonancia ωp. Neste mesmo caso, mas agora fora da ressonancia,
substituindo 3.15 em 3.8, vem
T = 1− x4
(2− x2)2 + 4x2=
1
1 + 4x4
=1
1 + (√
2Qe∆)4(3.16)
em que Qe = ωce/n2 ≈ ωpce/n
2, e aproximadamente independente da frequencia na vizinhanca
da ressonancia. Este factor Qe corresponde ao factor de qualidade do circuito ressonante serie que
21
aparece no esquema equivalente da Figura 3.7, que vale
Qe = ωp
n2
m4ce
( nm)4= ωp
cen2
(3.17)
Na ressonancia, verifica-se que T |ω = ωp = 1, ∂T/∂ω|ω = ωp = 0 e ∂2T/∂ω2|ω = ωp = 0,
ou seja, trata-se de uma resposta do tipo “maximally flat”. Sendo os dois factores desiguais (n 6=
m), vem
Γ =( nm)4 − 1 + (2∆)2(Qe
n2
m4 )2
( nm)4 + 1 + (2∆)2(Qen2
m4 )2 + j2Qe(2∆) n4
m4
(3.18)
Mesmo neste caso, pode ainda ter-se Γ = 0. Efectivamente, impondo o anulamento de 3.18 e
considerando que ωce/m4 e aproximadamente constante na vizinhanca da ressonancia, resulta
∆2 =1− ( nm)2
(Qen2
m4 )2(3.19)
o que implica, necessariamente, que n/m < 1. Portanto, tem-se T = 1 (Γ = 0) para duas
frequencias distintas. Deve notar-se que, neste caso (n/m < 1), a ligacao entre as cavidades e
mais cerrada que a ligacao entre as cavidades e os circuitos de entrada e de saıda. No caso oposto,
n/m > 1, nao existem valores reais de ∆ que satisfacam a 3.19. Por outro lado, na ressonancia
(∆ = 0) ter-se-a sempre
Γ =( nm)4 − 1
( nm)4 + 1(3.20)
podendo demonstrar-se que o valor dado por 3.20 corresponde a um mınimo.
Na Figura 3.8, representa-se o factor de transmissao para cada um dos tres casos. Pode
mostrar-se que o caso n/m < 1 corresponde a uma resposta do tipo Chebyshev.
Nas mesmas condicoes, associando varias cavidades em cadeia, sem perdas e com o mesmo
factor de ligacao, obtem-se
T =1
1 + a∆2(3.21)
Da mesma forma, e possıvel igualmente obter respostas do tipo Chebyshev, na forma
T =1
1 + εC2N (∆)
(3.22)
em que CN (∆)e o polinomio de Chebyshev de grau N , em que N e o numero de cavidades em
22
cascata. Outros tipos de respostas podem ser obtidos atraves da variacao dos factores de ligacao
entre cavidades ou sintonizando as varias cavidades de maneira diferente. Finalmente, deve notar-
se que tendo reduzido o estudo das cavidades ao estudo de circuitos equivalentes, e possıvel aplicar
a teoria dos circuitos de parametros concentrados a sıntese de filtros de microondas formados pela
ligacao em cadeia de cavidades.
Figura 3.8: Variacao do modulo do factor de transmissao de potencia com o desvio de frequenciarelativo ∆.
23
24
Capıtulo 4
Filtros de Microondas e Ondas
Milimetricas
4.1 Introducao
Um filtro e um circuito linear invariante no tempo cuja finalidade principal e transmitir as frequencias
desejadas e rejeitar as restantes. Idealmente um filtro deveria ter atenuacao infinita na transmissao
na banda de rejeicao e transmissao perfeita na regiao de passa-banda, isto e, atenuacao nula na
transmissao. No entanto, no caso pratico dos filtros de microondas ou qualquer outra gama de
frequencias estas caracterısticas ideais nao sao possıveis de obter, visto que existe um limite de
alta frequencia para qualquer estrutura pratica do filtro acima do qual as suas caracterısticas se de-
terioram devido a efeitos de juncao, ressonancias entre elementos, etc. Portanto, um dos objectivos
no projecto de um filtro e aproximar-se aos requisitos ideais dentro de uma tolerancia aceitavel.
Os filtros podem ser separados em quatro categorias: filtros passa-baixo, que transmitem todas
as frequencias entre a frequencia zero e um limite superior wc e atenuam todas as frequencias
acima do valor de corte wc; filtros passa-alto, que transmitem todas as frequencias acima do valor
de cortewc e rejeitam todas as frequencias abaixo dewc; filtros passa-banda, que transmitem todas
as frequencias detro do intervalo de w1 a w2 e rejeitam todas as frequencias fora deste intervalo.
O complemento do filtro passa-banda, isto e, o filtro rejeita-banda, atenua as frequencias dentro
do intervalo w1 a w2 e transmite as restantes.
Tipicamente um projecto de um filtro inicia-se com a desejada funcao de transferencia em
funcao da frequencia complexa. A partir desta calcula-se a impedancia de entrada e com recurso
a algebra determinam-se os polos, os zeros e os elementos do prototipo a utilizar. Estes elementos
25
(a) Passa-baixo (b) Passa-alto
(c) Passa-banda (d) Rejeita-banda
Figura 4.1: Respostas dos quatro tipos de filtros.
darao respostas exactas para os elementos de parametros concentrados do filtro, contudo, como foi
referido, darao apenas aproximacoes para filtros de microondas. O filtro de microondas e realizado
atraves da substituicao de todos os elementos capacitivos e indutivos de parametros concentrados
por elementos de circuitos de microondas adequados que tenham frequencias caracterısticas mais
elevadas que a gama de frequencias de interesse. Outro problema no projecto de um filtro de
microondas e que as distancias entre os componentes do filtro nao sao desprezaveis.
Para resolver os dois problemas referidos usa-se a transformacao de Richard, para converter
os elementos de parametros concentrados, e as identidades de Kuroda, para separar os elementos
do filtro, usando seccoes de linhas de transmissao.
De modo a obter uma largura de banda estreita nos filtros passa-banda em altas frequencias
e necessario utilizar circuitos ressonantes com factor de qualidade Q elevado ou cavidades resso-
nantes associadas em cascata. A inclinacao de corte relativa aumenta com o numero de cavidades
ressonantes e, portanto, sao de particular interesse os metodos de sintetizar filtros fisicamente
realizaveis com qualquer numero cavidades para se obter qualquer resposta desejada.
4.2 Inversores de Impedancia e de Admitancia
Na implementacao de um filtro com um tipo particular de linha de transmissao muitas vezes e
desejavel usar-se apenas elementos em serie ou apenas elementos em paralelo. As identidades
de Kuroda podem ser usadas desta forma, no entanto, existe outra solucao que consiste no uso
26
de inversores de impedancia (K) ou de admitancia (J), que sao particularmente uteis para filtros
passa-banda e rejeita-banda com larguras de banda estreitas (< 10%).
Um inversor e um transformador ideal de um quarto de onda, λ/4. Uma impedancia de carga
ligada ao terminal e vista como uma impedancia que foi invertida, tendo em conta a impedancia ao
quadrado na entrada. A sua forma mais simples e uma linha de transmissao de um quarto de onda.
Contudo, existem tambem outras combinacoes de linha de transmissao e elementos de parametros
concentrados que executam a mesma funcao, como representado na Figura 4.2.
(a)
(b)
(c)
Figura 4.2: (a) Operacao de um inversor de impedancia e de um inversor de admitancia; (b)Implementacao com transformadores de um quarto de onda; (c) Implementacao alternativa [6].
Atraves da utilizacao de inversores de admitancia ou de impedancia e possıvel converter uma
27
rede de elementos ligados em serie numa rede de elementos ligados em paralelo, ou vice versa,
como exemplificado na Figura 4.3. Alem disso, com a escolha correcta dos inversores todos
os elementos capacitivos e indutivos podem ser escolhidos para terem os mesmos valores. Os
inversores permitem que se use ressoadores identicos, quer em serie ou em paralelo, ao longo da
rede.
(a)
(b)
Figura 4.3: (a) Inversor de impedancia utilizado para converter uma admitancia em paralelo numaimpedancia equivalente em serie; (b) Inversor de admitancia utilizado para converter uma im-pedancia em serie numa admitancia em paralelo [5].
Considerando-se um elemento em paralelo de admitancia Yp(ω) com um inversor de im-
pedancia ideal, com impedancia caracterıstica K ligada em ambos os lados como representado
na Figura 4.3(a). Um curto-circuito na saıda transforma-se num circuito-aberto em paralelo com
Yp. A impedancia de entrada e dada por
Zin =K2
Zp= K2Yp = Yp = Zs (4.1)
Deste modo o elemento em paralelo com dois inversores de impedancia converte a admitancia
em paralelo numa impedancia equivalente em serie Zs(ω) = Yp(ω). Se Yp for um ressoador
com Yp = jωC − j/ωL = jωC(1 − ω20/ω
2) e convertida num circuito em serie com Zs =
jωL(1 − ω20/ω
2) com indutancia L em henries com o mesmo valor numerico da capacidade C
em farads. Se se quiser converter uma admitancia Y1 = jωC1(1− ω20/ω
2) num circuito em serie
em particular com a indutancia arbitraria L, deve escolher-se o K de acordo com
K2jωC1
(1− ω2
0
ω2
)= jωL
(1− ω2
0
ω2
)(4.2)
28
ou
K =
√L
C1(4.3)
Assim e possıvel transformar um elemento em paralelo num elemento em serie com a mesma
dependencia na frequencia e arbitrariedade ao nıvel da impedancia. Considerando-se agora um
elemento em serie Zs(ω) com um inversor de admitancia com admitancia caracterıstica J ligado
em ambos os lados, como representado na Figura 4.3(b). Um circuito-aberto na saıda e transfor-
mado num curto-circuito em serie com Zs(ω) para que a admitancia de entrada seja
Yin =J2
Yp= J2Zs = Yp (4.4)
Assim, o elemento em serie com dois inversores de admitancia e convertido numa admitancia
equivalente. Se a impedancia e Zs = jωL(1 − ω20/ω
2) de um circuito em serie e convertida
num circuito em paralelo com admitancia Yp = jωL(1− ω20/ω
2) = jωC(1− ω20/ω
2), onde C e
numericamente igual a L. Para que um circuito em serie jωL(1− ω20/ω
2 seja transformado num
circuito arbitrario em paralelo com Yp = jωC(1− ω20/ω
2), deve-se escolher J2L1 = C ou
J =
√C
L1(4.5)
De outro ponto de vista observa-se que um elemento em serie e substituıdo por um elemento
em paralelo com um inversor de impedancia na saıda e outro na entrada. De modo identico,
um elemento em paralelo pode ser substituıdo por um elemento em paralelo com um inversor
de admitancia ligado em cada porto. As funcoes de impedancia e admitancia para cavidades
ressonantes em serie ou paralelo podem ser expressas por
Z = jωL(1− ω2
0/ω2)
= j
√L
C
(ω
ω0− ω0
ω
)(4.6)
Y = jωC(1− ω2
0/ω2)
= j
√C
L
(ω
ω0− ω0
ω
)(4.7)
O factor√L/C e o nıvel de impedancia do ressoador e
√C/L e o nıvel de admitancia. O
outro factor corresponde a variavel de frequencia.
Conclui-se que os inversores de impedancia e admitancia sao transformadores de um quarto
de onda ideais e que nao existem diferencas nas suas propriedades de inversao. A unica distincao
29
que se verifica e a utilizacao do sımbolo K para identificar a impedancia caracterıstica de um
inversor de impedancia e a utilizacao do sımbolo J para identificar a admitancia caracterıstica
de um inversor de admitancia. Um inversor de impedancia com impedancia caracterıstica K
e equivalente a um inversor de admitancia com admitancia caracterıstica J = 1/K. Quando
K = J = 1 tem-se um inversor unidade e nao existe diferenca entre identifica-lo como um
inversor de impedancia ou de admitancia.
Os inversores de impedancia e de admitancia formados por linhas de transmissao de um quarto
de onda sao uteis no projecto de filtros de cavidades acopladas. Os comprimentos, θ/2, das seccoes
de linha de transmissao sao geralmente negativos para este tipo de inversor, todavia isto nao e um
problema se estas linhas puderem ser absorvidas em linhas de ligacao de cada lado.
4.3 Transformacao de Richard e Identidades de Kuroda
4.3.1 Transformacao de Richard
Os elementos de parametros distribuıdos de uma linha de transmissao assumem uma grande im-
portancia no projecto pratico de filtros de microondas. Uma abordagem normalmente utilizada
para o desenho de um filtro de parametros distribuıdos na pratica consiste em procurar uma equi-
valencia aproximada entre elementos de parametros concentrados e distribuıdos. Esta equivalencia
pode ser estabelecida aplicando-se a transformacao de Richard.
Richard demonstrou que redes distribuıdas, compostas por linhas de transmissao e resistencias
concentradas com comprimentos electricos iguais, podem ser tratadas em analise ou sıntese como
redes LCR de elementos de parametros concentrados mediante a seguinte transformacao
t = tanhlpvp
(4.8)
onde p = σ + jω e a variavel de frequencia complexa e lp/vp e o racio do comprimento do
elemento basico de linha de transmissao com a velocidade de onda nesse elemento de linha. A
variavel t e a nova variavel complexa de frequencia, tambem conhecida como variavel de Ri-
chard. O novo plano complexo onde t e definida chama-se plano t. A equacao 4.8 refere-se a
transformacao de Richard. Para redes passivas sem perdas p = jω e a variavel de Richard pode
ser obtida por
t = j tan θ (4.9)
30
onde o comprimento electrico e
θ =ω
vpl (4.10)
Assumindo que a velocidade de fase vp e independente da frequencia, o que e verdade para
linhas de transmissao TEM, o comprimento electrico e proporcional a frequencia e pode expressar-
se por θ = θ0ω/ω0, onde θ0 e o comprimento electrico para a frequencia de referencia ω0. E
conveniente para a discussao que ω0 seja a frequencia em radianos a qual todos os comprimentos
de linha sejam um quarto de onda com θ0 = π/2 e que Ω = tan θ de modo que
Ω = tan
(π
2
ω
ω0
)(4.11)
Este mapeamento de frequencia esta representado na Figura 4.4. Como ω varia entre 0 e ω0,
Ω varia entre 0 e ∞, o mapeamento de ω para Ω nao um para um, mas sim periodico, o que
corresponde a natureza periodica da rede distribuıda.
Figura 4.4: Mapeamento de frequencia entre a variavel de frequencia real ω e a variavel defrequencia distribuıda Ω [2].
Na Figura 4.5 demonstra-se a resposta de frequencia periodica da rede de distribuicao do filtro,
que e obtida aplicando-se a transformacao de Richard 4.11 a funcao de transferencia do filtro de
Chebyshev 4.12, verificando-se que a resposta repete-se na frequencia em intervalos de 2ω0.
|S21(jΩ)|2 =1
1 + ε2T 2n(Ω)
(4.12)
31
onde a constante de oscilacao (ripple) ε esta relacionada com a oscilacao de passa-banda LAr em
dB dada por
ε =
√10
LAr10 − 1 (4.13)
Figura 4.5: Resposta passa-baixo de Chebyshev usando a transformacao de Richard [2].
Na Figura 4.5 nota-se que a resposta representada tambem pode ser vista como uma resposta
de um filtro rejeita-banda distribuıdo centrada em ω0. Portanto, uma resposta passa-baixo no
plano p pode ser mapeada tanto numa resposta passa-baixo como numa rejeita-banda no palno t,
dependendo no objectivo do projecto. Do mesmo modo, demonstra-se que uma resposta passa-
alto no plano p pode ser transformada tanto numa resposta passa-alto como numa passa-banda no
plano t.
Na transformacao de Richard, existe uma correspondencia entre elementos indutivos e capa-
citivos de parametros concentrados no plano p e linhas de transmissao em curto-circuito e circuito
aberto no plano t. Como um elemento de um porto indutivo com uma impedancia Z = pL, o ele-
mento indutivo de parametros concentrados corresponde a um elemento de linha em curto-circuito
com uma impedancia de entrada
Z = tZc = jZc tan θ (4.14)
onde Zc e a impedancia caracterıstica da linha. Do mesmo modo um elemento capacitivo com
uma admitancia Y = pC corresponde a um stub em circuito aberto com admitancia de entrada
igual a
32
Y = tYc = jYc tan θ (4.15)
e admitancia caracterıstica Yc. Estas correspondencias estao representadas na Figura 4.6.
(a)
(b)
Figura 4.6: Correspondencia entre elementos de parametros concentrados e distribuıdos pelatransformacao de Richard [2].
Outro elemento de parametros distribuıdos importante e a rede de dois portos constituıda por
uma linha de comprimento proporcional. A linha de transmissao com impedancia caracterıstica
Zu tem a seguinte matriz ABCD
A B
C D
=
cos θ jZu sin θ
j sin θ/Zu cos θ
(4.16)
que em termos da variavel de Richard fica
A B
C D
=1√
1− t2
1 Zut
t/Zu 1
(4.17)
33
4.3.2 Identidades de Kuroda
No projecto de filtros com linhas de transmissao, pode-se desejar varias identidades de rede para
se obter redes de filtro que sao electricamente equivalentes mas, que diferem na forma ou nos
valores dos elementos.
Estas transformacoes nao so permitem flexibilidade como tambem sao essenciais em varios
casos para se obter redes com dimensoes fısicas realizaveis. As identidades de Kuroda, represen-
tadas na Figura 4.7, formam uma base para tais transformacoes, onde se assume que os elementos
de linha proporcional com o mesmo comprimento electrico θ para cada identidade.
As duas primeiras identidades de Kuroda trocam um elemento unitario por um stub em circuito-
aberto em paralelo ou um stub em curto-circuito em serie. As outras duas identidades de Kuroda,
que envolvem transformadores ideais, trocam stubs do mesmo tipo. As identidades de Kuroda
podem ser deduzidas atraves da comparacao das matrizes ABCD com as correspondentes redes na
Figura 4.7.
34
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 4.7: Identidades de Kuroda.
4.4 Filtro de Cavidades de Quarto de Onda Acopladas
O filtro e realizado na pratica atraves da colocacao de diafragmas ou membranas no guia de onda.
A variavel de frequencia relevante nao e ω, mas sim (β/k0)ω = βc, uma vez que os diafragmas do
guia de ondas tem susceptancias que variam aproximadamente β ou β−1 e o comprimento electrico
35
da seccao do guia e proporcional a β. A variavel de frequencia normalizada ω/ω0 = β/β0 e,
portanto, substituıdo por λg0/λg = β/β0, onde λg0 e o comprimento de onda do guia para ω = ω0
e λg e o valor correspondente para qualquer ω. Consequentemente, em todas todas as formulas do
projecto, substitui-se ω por βc, onde c e a velocidade da luz.
O circuito equivalente exacto para um guia de ondas carregado com dois diafragmas indutivos
identicos com susceptancia −jBk esta representado na Figura 4.8(c).
(a) (b)
(c)
Figura 4.8: (a) Guia de onda carregado com dois diafragmas indutivos para formar uma cavidade;(b) Circuito equivalente exacto; (c) Circuito equivalente aproximado.
Para o projecto do filtro e necessario subtituir o circuito equivalente exacto pelo circuito para-
lelo aproximado. A susceptancia paralela B e expressa por
B =
√C
L
(β
β0− β0
β
)≈ 2
√C
L
∆β
β0(4.18)
onde ∆β = β − β0 e pequeno. Quando um circuito ressonante deste tipo e ligado atraves de uma
linha de transmissao, e carregado por uma condutancia em paralelo de valor unitario normalizado
em cada lado. O factor de qualidade Q do circuito e, portanto,
Qk =1
2(β0c)C =
1
2
√C
L(4.19)
visto que β0c = (LC)−1/2. Consequentemente obtem-se a expressao de B em relacao ao factor
de qualidade Q
36
B = 4Qk∆β
β0(4.20)
O valor obtido para Qk por Mumford [7] e
Qk =π − tan−1
(2/Bk
)2 sin−1 2
(B4k+4B
2k)1/2
=(B
4k + 4B
2k)
1/2
4tan−1 2
Bk
(4.21)
visto que Bk e grande comparativamente com a unidade para um filtro de banda estreita, com Q
elevado. O espacamento lk entre diafragmas necessario para se obter uma transmissao perfeita
atraves da cavidade para ω = ω0 e dado por
tanβ0lk = − 2
Bk
(4.22)
As duas seccoes da linha com comprimento electrico θ1k no circuito da Figura 4.8(c) sao
escolhidos de modo a
β0lk + 2θ1k = θk + 2θ1k = π (4.23)
na frequencia ω0. Estes comprimentos de linha adicionais no circuito equivalente de uma unica
cavidade sao absorvidos e fazem parte das linhas de coplamento de quarto de onda no filtro.
Figura 4.9: Rede equivalente do filtro obtida pelo uso de inversores de admitancia [5].
O projecto de um filtro “maximally flat” e de um filtro de Chebyshev com N ımpar e simples.
Se se utilizar o circuito da Figura 4.9 e apenas necessario fazer
Qk =1
2
√C0k
L0k(4.24)
37
e escolher C0k e L0k de modo que C0kL0k = (β0c)−2 e todos as admitancias Jk,k−1 iguais a
unidade. A seccao da cavidade entre k e k + 1 tem um comprimento electrico igual a π/2. Visto
que inclui θ1k+1 e θ1k das cavidades adjacentes, o comprimento fısico do acoplamento de linha de
quarto de onda entre as cavidades k e k + 1 sera
lk,k+1 =1
β0
(π2− θ1k − θ1k+1
)
=λg02π
(θ1k + θ1k+1
2− π
2
)
=lk + lk+1
2− λg0
4(4.25)
utilizando 4.23. Na Figura 4.10 apresenta-se o esquematico do filtro.
Figura 4.10: Filtro de cavidades de quarto de onda acopladas [5].
O racio de perda de potencia para o filtro obtem-se substituındo ω/ω0 por β/β0. Para um filtro
de Chebyshev o racio de perda de potencia e dado por
PLR = 1 + k2T 2N
[β0
β2 − β1(β
β0− β0
β)
](4.26)
onde β2 e β1 sao os valores de β nos limites da banda de passagem. Se β2 e β1 sao especificados,
entao
β0 =√β1β2 (4.27)
38
4.5 Filtro de Cavidades de Acoplamento Directo
Os filtros de cavidades de acolplamento directo comparativamente com os filtros de quarto de
onda, λ/4, possuem uma estrutura fısica mais compacta e sao capazes de operar numa largura
de banda maior. O projecto de filtros de microondas de acoplamento directo segundo o metodo
desenvolvido por Cohn [8] tem como base um prototipo passa-baixo, que apresenta resultados
precisos para larguras de banda ate 20%.
A cavidade de guia de ondas e o seu circuito equivalente representados nas Figuras 4.8(a) e
4.8(b) tambem podem ser representadas por uma rede Π em paralelo com susceptancias indu-
tivas em cada ponta, como representado na Figura 4.11. As duas susceptancias paralelas B =
− cot(θk/2) podem ser desprezadas, uma vez que comparadas com Bk sao pequenas e θk e apro-
ximadamente igual a π, portanto B e pequena comparativamente com a unidade.
(a) (b)
Figura 4.11: (a) Cavidade de guia de onda (b) Circuito equivalente.
Cohn utiliza para inversores de impedancia a reactancia indutiva paralela mais duas seccoes
curtas de guia de onda, equivalentes a linhas de transmissao, como se apresenta na Figura 4.12.
Figura 4.12: Inversor de impedancia
39
Para este circuito as propriedades de inversao de impedancia sao obtidas se
θ1k = −1
2tan−1 2
Bk
(4.28a)
Bk =1−K2
K(4.28b)
onde K e a impedancia caracterıstica do inversor de impedancia de quarto de onda. Com θ1k e Bk
determinados a frequencia ω0, verifica-se que o inversor nao se afasta significativamente das suas
caracterısticas ideais na banda de 20%.
Na vizinhanca de ω = ω0, onde θ1k = π, a reactancia em serie X comporta-se como
X = sin θ1k = sin (θ1k − π + π)
≈ − (θ1k − π) = − (β − β0) l =β0 − ββ0
≈ −π2
(β
β0− β0
β
)(4.29)
onde β0l = π. este comportamento da frequencia e semelhante ao de um circuito ressonante em
serie para o qual
X =
√L
C(ω
ω0− ω0
ω) (4.30)
caso ω/ω0 seja substituıdo pela nova variavel de frequencia β/β0.
Quando os comprimentos de linha negativos dos inversores de impedancia sao absorvidos
como parte do comprimento da cavidade, o comprimento fısico da k-esima cavidade e
lk =λg02
+λg02π
(θ1k + θ1k+1) (4.31)
Concluindo escolhe-se
L0kC0k = (β0c)−2 (4.32)
Assim os parametros de um inversor de impedancia tornam-se conhecidos nos termos de Ck e
40
Figura 4.13: Filtro de cavidades de acoplamento directo [5].
Lk, que estao relacionados com gk no prototipo passa-baixo. A partir dos valores conhecidos de
Zk+1,k pode-se pode-se encontrar as susceptancias Bk. O esquematico do filtro esta representado
na Figura 4.13. As formulas obtidas como descrito acima sao
B1 =1− w/g1√1− w/g1
(4.33a)
B2 =1
w
(1− w2
g1g2
)√g1g2 (4.33b)
Bk =1
w
(1− w2
gkgk−1
)√gkgk−1 (4.33c)
BN =1− wR/gN−1√1− wR/gN−1
(4.33d)
onde
w =π
2
β2 − β1
β0(4.34)
e gk sao os valores do elemento do prototipo do filtro passa-baixo. O valor de R e igual a R = 1
para N par, mas tambem para N ımpar caso o filtro seja do tipo ”maximally flat”, caso contrario
pode calcular-se pela seguinte expressao
R = 2k2 + 1−√
4k2(1 + k2) (4.35)
O comprimento da k-esima cavidade para β = β0 e dado por
41
lk =λg02− λg0
4π
(tan−1 2
Bk+1
+ tan−1 2
Bk
)(4.36)
O racio de perda de potencia e obtido substituındo
β0
β2 − β1
(β
β0− β0
β
)por ω′ na resposta do filtro prototipo passa-baixo.
4.6 Filtro Microstrip de Meia Onda
Seccoes de linhas de transmissao sao frequentemente utilizadas como elementos ressonantes nos
filtros. Visto que sao estruturas de fabrico facil e de baixo custo sao particularmente apropriadas
para projectos de filtros microstrip. As cavidades ressonantes sao acopladas por meio da diferenca
de capacidade do espaco entre eles. Na Figura 4.14 apresenta-se um filtro de meia-onda tıpico que
consiste em X seccoes ressonantes acopladas em serie.
Figura 4.14: Filtro de meia onda com tres ressoadores.
Para uma linha de transmissao em circuito aberto a admitancia de entrada e dada por
Yin = jYc tan(βl) (4.37)
Apos a expansao em serie de Taylor de Yin na frequencia ω0, onde βω0l = π obtem-se
Yin ≈ jYcldβ
dω|ω0
[sec2(βω0l)
](ω − ω0)
= jYclβ′0(ω − ω0)
= jYcπω0β
′0
β0
ω − ω0
ω0(4.38)
42
onde β′0 = dβ/dω em ω = ω0. Para um circuito LC paralelo a admitancia de entrada e dada por
Yin = jωC − j 1
ωL= jωC
(1− ω2
0
ω0
)
= jYclβ′0(ω − ω0)
= j2
√C
L
ω − ω0
ω0(4.39)
Assim, para frequencias dentro de aproximadamente ±10% de ω0 a linha de transmissao em
circuito aberto e equivalente a um circuito LC paralelo se se escolher
√C
L=ω0πβ
′0
2β0Yc (4.40)
Figura 4.15: Inversor de admitancia usado no filtro microstrip de meia onda.
No filtro de meia onda as linhas de transmissao em circuito aberto podem ser usadas como
equivalentes cavidades ressonantes em paralelo. A rede representada na Figura 4.15 funciona
como um inversor de admitancia, que consiste em duas linhas de transmissao com comprimento
electrico θ negativo e uma capacidadeCg no centro. Para esta rede a admitancia de carga YL ligada
a uma extremidade e transformada em
Y′in = Yc
YL − jYc tan θ
Yc − jYL tan θ(4.41)
para B = ωCg. A esquerda de Cg tem-se que
Y′′in =
jBY′in
jB + Y′in
(4.42)
e na entrada
43
Yin = YcY′′in − jYc tan θ
Yc − jY′′in tan θ
=jYLY
2c
[B(1− tan2 θ
)− Yc tan θ
]+ Y 3
c tan θ (2B − Yc tan θ)
YL (Y 2c + 2BYc tan θ) + jY 2
c [B (1− tan2 θ)− Yc tan θ](4.43)
Agora ao igualar o coeficiente de YL no numerador e o termo constante do denominador a zero
obtem-se
ωCgYc
=B
Yc=
1
2tan 2θ (4.44)
Com a condicao imposta tem-se que
Yin =Y 2c tan θ (2B − Yc tan θ)
(Yc + 2B tan θ)YL=Y 2c tan2 θ
YL(4.45)
mediante substituicao porB. Quando as relacoes especificadas por 4.44 e 4.45 se mantem, obtem-
se um inversor de admitancia com
J = Yc tan θ (4.46)
O facto de que a rede na Figura 4.15 envolve seccoes de linha de transmissao com comprimen-
tos electricos negativos nao e relevante, uma vez que se pode acrescentar um comprimento θ no
fim de cada linha de transmissao e depois acrescentar comprimentos de comprimento electrico−θ
para servir como parte da rede inversora. ComoB = ωCg e θ sao proporcionais a ω o inversor nao
e ideal. No entanto, para filtros de banda estreita J nao varia muito dentro da banda de passagem
que o filtro deve operar.
4.7 Filtro Microstrip de Acoplamento Paralelo
O filtro microstrip de acoplamento paralelo representado na Figura 4.16 e mais compacto que o
filtro microstrip de λ/2, visto que o acoplamento entre cavidades ressoantes ocorre sobre o lado
com comprimento igual a λ/4 de cada cavidade.
O fim de cada seccao ressonante pode ser um circuito aberto ou um circuito fechado. O pro-
jecto do filtro de acoplamento paralelo e realizado atraves da utilizacao de um circuito equivalente
44
Figura 4.16: Filtro microstrip de acoplamento paralelo.
do filtro, que se apresenta de seguida para cada par de cavidades acopladas.
(a)
(b)
(c)
Figura 4.17: (a) Par de linhas microstrip acopladas (b) Ilustracao dos modos par e ımpar (c)Circuito equivalente das tiras acopladas apresentadas em (a) [5].
Considera-se o par de linhas microstrip representado na Figura 4.17(a), no qual as fitas tem
comprimentos diferentes. Quando a tensao aplicada a cada fita e igual, modo par, como represen-
tado na Figura 4.17(b), as correntes nas duas fitas nao sao iguais devido aos comprimentos destas
45
serem diferentes. O valor das correntes e dado por
I1 = Y ae V
I2 = Y be V
onde Y ae e Y b
e representam as admitancias caracterısticas das fitas a e b relativamente ao plano de
terra. Para o modo ımpar com a tensao V aplicada a fita a e a tensao −V aplicada a tira b, o valor
das correntes e dado por
I1 = Y ao V
I2 = −Y bo V
onde Y ae e Y b
e representam as admitancias caracterısticas das fitas a e b para o modo ımpar. O
circuito de acoplamneto de linha representado na Figura 4.17(a) e equivalente ao circuito repre-
sentado na Figura 4.17(c), onde
Y1 =1
2
√(Y ao − Y a
e ) (Y bo − Y b
e ) (4.49a)
Y2 =1
2(Y ae + Y a
o )− Y1 (4.49b)
Y3 =1
2
(Y be + Y b
o
)− Y1 (4.49c)
A equivalencia entre circuitos e estabelecida mostrando que a admitancia de entrada no porto
um com o porto dois terminado com um circuito aberto ou com um circuito fechado e igual em
ambos os circuitos.
As ondas das tensoes e correntes do cicuito representado na Figura 4.17(a)) podem ser expres-
sas nos termos da sobreposicao dos modos par e ımpar com tensoes Vo e Ve. Por conseguinte,
46
obtem-se as expressoes para a fita a da tensao e corrente
Va(z) = V +e e−jβz + V −e e
jβz + V +o e−jβz + V −o e
jβz (4.50a)
Ia(z) = Y ae V
+e e−jβz − Y a
e V−e e
jβz + Y ao V
+o e−jβz − Y a
o V−o e
jβz (4.50b)
Assume-se que ambos os modos tem as mesmas constantes de propagacao. Para a fita b obtem-
se as seguintes expressoes para a tensao e corrente
Vb(z) = V +e e−jβz + V −e e
jβz − V +o e−jβz − V −o ejβz (4.51a)
Ib(z) = Y be V
+e e−jβz − Y b
e V−e e
jβz − Y bo V
+o e−jβz + Y b
o V−o e
jβz (4.51b)
Para z = 0 tem-se que Vb(0) = 0 e assim
(V +e + V −e
)−(V +o + V −o
)= 0 (4.52a)
pois a terminacao da fita b para z = 0 e um curto-circuito. Se se colocar um curto-circuito no
porto dois, requere-se que z = l, onde βl = θ e Vb(l) = 0 obtendo-se
(V +e − V +
o
)e−jθ +
(V −e − V −o
)ejθ = 0 (4.52b)
Na fita a deve-se ter Va(l) = 0, pois tambem termina com um curto-circuito, portanto,
(V +e + V +
o
)e−jθ +
(V −e + V −o
)ejθ = 0 (4.52c)
A ultima condicao terminal e que Va(0) deve ser igual a tensao aplicada no porto um, que e
V1. Por isso
V1 = Va(0) = V +e + V −e + V +
o + V −o (4.52d)
A partir das quatro equacoes anteriores e possıvel obter-se V +e , V −e , V +
o e V −o . A admitancia
de entrada no porto um e dada pela expressao
47
Yin,cc =I1
V1=Y ae (V +
e − V −e ) + Y ao (V +
o − V −o )
V +e + V −e + V +
o + V −o
= −j Yao + Y a
e
2cot θ (4.53)
Quando se coloca um circuito aberto no porto dois, a condicao terminal Vb(l) = 0 dada por
4.52b e substituıda por Ib(l) = 0 ou
Y be
(V +e e−jθ − V −e ejθ
)− Y b
o
(V +o e−jθ − V −o ejθ
)= 0 (4.54)
As restantes condicoes terminais mantem-se iguais. Apos resolver-se para as amplitudes de
tensao, neste caso, e utilizando 4.53, obtem-se que a admitancia de entrada para circuito-aberto e
igual a
Yin,ca = j(Y ae − Y a
o )(Y be − Y b
o
)2 (Y b
e + Y bo )
tan θ − j(Y ae Y
bo + Y a
o Ybe
)Y be + Y b
o
cot θ (4.55)
Para a rede da Figura 4.17(c), uma avaliacao directa mostra que quando o porto dois esta em
curto-circuito
Yin,cc = −j (Y1 + Y2) cot θ (4.56a)
e quando o porto dois esta em circuito-aberto
Yin,ca = jY 2
1
Y1 + Y3tan θ − j Y1Y2 + Y2Y3 + Y1Y3
Y1 + Y3cot θ (4.56b)
Atraves da comparacao entre 4.56a e 4.56b, observa-se que
Y1 + Y2 =Y ao + Y a
e
2(4.57)
Se se excitar a rede no porto dois e se colocar um curto-circuito ou um circuito-aberto no porto
um, as expressoes para Yin,cc e Yin,ca sao as mesmas que as dadas pelas equacoes anteriores mas,
com os sobrescritos a e b trocados e os subescritos 1 e 3 trocados. Deste modo, para a condicao
de curto-circuito no porto um, obtem-se que
48
Y1 + Y3 =Y ao + Y a
e
2(4.58)
Portanto tem-se que
Y2 =Y ao + Y a
e
2− Y1 (4.59a)
Y3 =Y ao + Y a
e
2− Y1 (4.59b)
Usando-se a expressao para Y1 + Y3 no coeficiente de tan θ na expressao 4.56b, obtem-se
Y 21 =
1
2
√(Y ao − Y a
e ) (Y bo − Y b
e ) (4.60)
Assim demonstra-se que o circuito da Figura 4.17(a) e equivalente ao circuito representado
na Figura 4.17(c). Para o caso especial no qual as fitas tem o mesmo comprimento, isto e, Y ae =
Y be = Ye e Y a
o = Y bo = Yo, obtem-se que
Y1 =Yo − Ye
2(4.61a)
Y2 = Y3 = Ye (4.61b)
Considerando-se a estrutura do filtro representada na Figura 4.18(a), ao substituir-se cada par
de fitas acopladas pelo seu circuito equivalente, como representado na Figura 4.17(c), obtem-se o
circuito da Figura 4.18(b). Este circuito e reduzido ao da Figura 4.18(c) atraves da combinacao
de stubs que estao ligados em paralelo. A partir deste circuito pode projectar-se um filtro de
Chebyshev.
Para os filtros de acoplamento paralelo que utilizam a construcao microstrip e aconselhavel
que se use seccoes microstrip acopladas em circuito-aberto em vez de seccoes em circuito-fechado.
Um filtro de acoplamento paralelo usando seccoes de linhas de transmissao acopladas em circuito-
aberto esta exemplificado na Figura 4.19(a) e o seu circuito equivalente na Figura 4.19(b). Uma
seccao acoplada basica esta representada na Figura 4.19(c) e o seu circuito equivalente na Figura
4.19(d).
O circuito equivalente para a seccao acoplada basica obtem-se atraves das equacoes 4.49c a
49
(a)
(b)
(c)
Figura 4.18: (a) Filtro de acoplamento paralelo (b) Circuito equivalente (c) Circuito equivalentereduzido [5].
partir de 4.61. Se se considerar todas as variaveis de tensao como correntes, as variaveis de cor-
rentes como tensoes, as admitancias como impedancias e os circuitos-abertos/circuitos-fechados
como circuitos-fechados/circuitos-abertos entao todas as equacoes e condicoes terminais perma-
50
(a)
(b)
(c) (d)
Figura 4.19: (a) Filtro de acoplamento utilizando seccoes de linha acopladas em circuito aberto(b) Circuito equivalente do filtro (c) Seccao basica de linha acoplada (d) Circuito equivalente daseccao basica [5].
necem as mesmas. Assim obtem-se
Z1 =1
2
√(Zae − Zao ) (Zbe − Zbo) (4.62a)
Z3 =1
2(Zae + Zao )− Z1 (4.62b)
Z3 =1
2
(Zbe + Zbo
)− Z1 (4.62c)
51
e quando Zae = Zbe e Zao = Zbo
Z1 =Ze − Zo
2(4.63a)
Z2 = Z3 = Zo (4.63b)
O circuito equivalente representado na Figura 4.19(b) para o filtro foi obtido pela substituicao
de cada seccao acoplada pelo seu equivalente circuito, representado na Figura 4.19(d), e com-
binando os stubs de linha de transmissao adjacentes ligados em serie. Este filtro e a sua rede
equivalente sao duais do filtro e circuito equivalentes representados na Figura 4.17 e na Figura
4.18. Ao extrair-se a raız quadrada de 4.62a para o caso em que as fitas sao simetricas escolhe-se
a raız positiva, que e igual a dada pela expressao 4.63a, visto que Ze > Zo.
Para ambos os filtros de acoplamento paralelo descritos, cada seccao tem o comprimento igual
a λ/4 na frequencia central e consequentemente cada linha de transmissao tem o comprimento
igual a λ/2. Nos circuitos equivalentes destes circuitos, os stubs de linha de transmissao estao
separados por transformadores de λ/4. Estes transformadores de quarto de onda funcionam como
transformadores nao ideais de admitancias e impedancias. No circuito representado na Figura
4.18(c), cada stub em curto-circuito e aproximadamente equivalente a um ressoador LC em para-
lelo, enquanto que na Figura 4.19(b) cada stub em circuito-aberto e aproximadamente equivalente
a um ressoador LC em serie.
As equacoes para o projecto de fitros Chebyshev passa-banda, com larguras de banda ate 1/8,
utilizando fitas acopladas em paralelo foram derivadas por Matthaei [9]. As equacoes de projecto
para o circuito do filtro representado na Figura 4.19(b) sao duais das do circuito do filtro que se
apresenta na Figura 4.18(c).
Para um filtro Chebyshev com N seccoes, existem N + 1 inversores de impedancia e N + 1
impedancias de linha em modo par e ımpar para se especificar. Assume-se que o filtro e terminado
nas linhas de entrada e saıda com impedancia caracterıstica Zc. Cada ressoador tem um compri-
mento electrico igual a π na frequencia central ω0. A frequencia no limite inferior da banda de
passangem e ω1 e βle = θ1 nesta frequencia, onde le e o comprimento efectivo de cada ressoador
apos correccao do carregamento capacitivo em cada extremidade em circuito aberto.
52
As impedancias dos inversores de impedancia de entrada e de saıda sao dadas por
K10 = KN+1,N =Zc√g0g1
=Zc√
gN+1gN(4.64a)
Requere-se tambem os seguintes parametros
θ1 =πω1
2ω0(4.64b)
P sin θ1 =K10Zc[
12 tan θ1 +
(K10Zc
)2]1/2
(4.64c)
s =Zc
12 tan θ1 +
(K10Zc
)2 (4.64d)
Z1e = ZN+1
e = Zc (1 + P sin θ1) (4.64e)
Z1o = ZN+1
o = Zc (1− P sin θ1) (4.64f)
Os restantes inversores de impedancia e impedancias de modo par e ımpar sao dadas por
Kk+1,k =Zc√gkgk+1
, k = 1, 2, ..., N − 1 (4.65a)
Nk+1,k =
√(Kk+1,k
Zc
)2
+1
4tan2 θ1 (4.65b)
Zk+1e = ZN−k+1
e = s(Nk+1,k + YcKk+1,k
)(4.65c)
Zk+1o = ZN−k+1
o = s(Nk+1,k − YcKk+1,k
)(4.65d)
Nas equacoes acima descritas gk sao os valores dos elementos para um filtro prototipo passa-
baixo, com frequencia de corte ωc = 1, e sao dados por
53
gN+1 =
1 N odd
2k2 + 1− 2k√
1 + k2 N even(4.66)
Para a rede dual todos os Kk+1,k sao substituıdos por Jk+1,k, todos os Zke sao substituıdos por
Y ko e todos os Zko sao substituıdos por Y k
e .
54
Capıtulo 5
Simulacao
5.1 Software
Na simulacao dos filtros utilizaram-se dois programas com objectivos diferentes, os quais sao
descritos de seguida.
5.1.1 AADE Filter Design and Analysis
O AADE Filter Design and Analysis e um software gratuito de design electronico, que proporciona
um ambiente de design muito simples, de facil e intuitiva utilizacao. Permite projectar filtros
passa-baixo, passa-alto, passa-banda e rejeita-banda de diversos tipos, tais como: Butterworth,
Chebyshev, Elıptico (Cauer), Bessel, Legendre e Linear. Permite tambem projectar filtros passa-
banda de cavidades ressonantes acopladas e filtros passa-banda de escadas de cristal, ideal para a
construcao amadora do excedente ou cristais de microprocessador.
Este software realiza tambem as analises no domınio do tempo - ganhos de potencia, de tensao
e de corrente, impedancias de entrada e de saıda, atraso de grupo, fase e perda de retorno - e no
domınio da frequencia - respostas impulsiva, de degrau, de pulso - dos filtros projectados.
5.1.2 Advanced Design System
O Advanced Design System (ADS) e um software de design electronico, que proporciona um
ambiente de design integrado a engenheiros, permitindo que se realize todo o tipo de projectos de
radiofrequencia, desde o mais simples ate ao mais complexo, desde modulos de radiofrequencia a
MMIC (Circuito Integrado de Microondas Monolıtico) para aplicacoes de comunicacao.
O ADS tem um conjunto completo de tecnologias de simulacao, desde a simulacao de circuitos
55
no domınio do tempo e da frequencia ate a simulacao do campo electromagnetico, o que permite
aos projectistas caracterizacoes e optimizacoes dos projectos muito completas.
Este software suporta cada passo do processo de design, como a captura esquematica, layout,
capacidade de verificacao, simulacao no domınio do tempo e no da frequencia e simulacao do
campo electromagnetico.
5.2 Filtros de Cavidades Ressonantes Acopladas
Os projectos dos filtros de cavidades ressonantes acopladas e a respectiva simulacao foram re-
alizados com recurso ao software AADE Filter Design and Analysis. Projectou-se tres filtros
Chebyshev passa-banda com a mesma frequencia central, f = 5 Ghz, e a mesma largura de
banda a -3 dB, ∆f = 100 MHz, variando o numero de cavidades ressonantes com o objectivo
de se analisar as variacoes no ganho de potencia efectiva.
O primeiro filtro projectado tem tres cavidades ressonantes ligadas em serie e o seu circuito
equivalente esta representado na Figura 5.1.
Figura 5.1: Circuito equivalente do filtro com tres cavidades.
Os valores dos componentes do filtro sao os seguintes:
Dipolo 1: R1 = 50Ω
Dipolo 3: C3 = 0, 13766pF
Dipolo 4: C4 = 0, 13766pF ;L4 = 318, 35764pHy;Q = 10K
Dipolo 5: C5 = 0, 04102pF
Dipolo 6: C6 = 3, 10153pF ;L4 = 318, 35764pHy;Q = 10K
Dipolo 7: C7 = 0, 04102pF
Dipolo 8: C8 = 3, 00489pF ;L8 = 318, 35764pHy;Q = 10K
56
Dipolo 9: C9 = 0, 13766pF
Dipolo 10: R10 = 50Ω
Na analise do ganho de potencia efectiva obteve-se o grafico da Figura 5.2.
Figura 5.2: Ganho de potencia efectiva do filtro com tres cavidades.
O segundo filtro projectado tem cinco cavidades ressonantes ligadas em serie e o seu circuito
equivalente esta representado na Figura 5.3.
Figura 5.3: Circuito equivalente do filtro com cinco cavidades.
Os valores dos componentes do filtro sao os seguintes:
Dipolo 1: R1 = 50Ω
Dipolo 3: C3 = 0, 13051pF
Dipolo 4: C4 = 3, 0127pF ;L4 = 318, 35764pHy;Q = 10K
Dipolo 5: C5 = 0, 04036pF
Dipolo 6: C6 = 3, 10917pF ;L4 = 318, 35764pHy;Q = 10K
Dipolo 7: C7 = 0, 03405pF
Dipolo 8: C8 = 3, 11548pF ;L8 = 318, 35764pHy;Q = 10K
57
Dipolo 9: C9 = 0, 03405pF
Dipolo 10: C10 = 3, 10917pF ;L10 = 318, 35764pHy;Q = 10K
Dipolo 11: C11 = 0, 04036pF
Dipolo 12: C12 = 3, 0127pF ;L12 = 318, 35764pHy;Q = 10K
Dipolo 13: C13 = 0, 13051pF
Dipolo 14: R14 = 50Ω
Na analise do ganho de potencia efectiva obteve-se o grafico da Figura 5.4.
Figura 5.4: Ganho de potencia efectiva do filtro com cinco cavidades.
Por fim, o ultimo filtro projectado tem sete cavidades ressonantes ligadas em serie e o seu
circuito equivalente esta representado na Figura 5.5.
Figura 5.5: Circuito equivalente do filtro com sete cavidades.
Os valores dos componentes do filtro sao os seguintes:
Dipolo 1: R1 = 50Ω
Dipolo 3: C3 = 0, 13803pF
Dipolo 4: C4 = 3, 0052pF ;L4 = 318, 35764pHy;Q = 10K
Dipolo 5: C5 = 0, 04034pF
58
Dipolo 6: C6 = 3, 10947pF ;L4 = 318, 35764pHy;Q = 10K
Dipolo 7: C7 = 0, 03376pF
Dipolo 8: C8 = 3, 11695pF ;L8 = 318, 35764pHy;Q = 10K
Dipolo 9: C9 = 0, 03286pF
Dipolo 10: C10 = 3, 11786pF ;L10 = 318, 35764pHy;Q = 10K
Dipolo 11: C11 = 0, 03286pF
Dipolo 12: C12 = 3, 11695pF ;L12 = 318, 35764pHy;Q = 10K
Dipolo 13: C13 = 0, 03376pF
Dipolo 14: C14 = 3, 10947pF ;L14 = 318, 35764pHy;Q = 10K
Dipolo 15: C15 = 0, 04034pF
Dipolo 16: C16 = 3, 0052pF ;L16 = 318, 35764pHy;Q = 10K
Dipolo 17: C17 = 0, 13803pF
Dipolo 18: R18 = 50Ω
Na analise do ganho de potencia efectiva obteve-se o grafico da Figura 5.6.
Figura 5.6: Ganho de potencia efectiva do filtro com sete cavidades.
Analisando-se os tres graficos relativos aos ganhos de potencia efectiva dos filtros de cavidades
ressonantes verifica-se que todos tem uma largura de banda aproximada da pretendida e com a
atenuacao na regiao de passa-banda praticamente igual a zero com pequenas oscilacoes. A partir
das frequencias de corte a atenuacao aumenta, para minimizar a transmissao ou recepcao dos sinais
na regiao de rejeita-banda.
Os graficos analisados apenas se diferenciam no declive da curva a partir da frequencia de
corte. Com o aumento do numero de cavidades ressonantes no filtro aumenta tambem o declive
59
da curva, aproximando-se da resposta de um filtro ideal, uma vez que com o aumento do numero
de cavidades aumenta tambem o numero de polos e a ordem do filtro.
A analise para filtros com mais de sete cavidades ressonantes ligadas em serie nao foi realizada,
pois os resultados seriam redundantes e levariam as mesmas conclusoes. Tambem e de se referir
que com o aumento do numero de cavidades ressonantes iriam aumentar o tamanho e o custo de
fabrico do filtro.
5.3 Filtro Microstrip de Meia Onda
A simulacao de um filtro microstrip de meia onda foi realizada com recurso ao software Advanced
Design System (ADS), visto que este software permite realizar e simular circuitos com linhas
microstrip.
Simulou-se um filtro passa-banda com a frequencia central f = 10 GHz, largura de banda a
-3 dB ∆f = 1 GHz composto por tres ressoadores, isto e, tres seccoes de linhas microstrip. O
circuito do filtro esta representado na Figura 5.7.
Figura 5.7: Esquema do filtro microstrip de meia onda.
Apos se efectuar uma simulacao de parametros S (elementos da matriz de dispersao) para o
filtro microstrip de meia onda entre as frequencias f = 7 GHz e f = 13 GHz obtiveram-se os
valores para a transmissao representados no grafico da Figura 5.8.
Verifica-se que a resposta nao e simetrica mas, a frequencia central e a largura de banda tem
valores aproximados dos pretendidos. A assimetria deve-se a variacao da impedancia e do com-
primento electrico com a frequencia, que tambem nao e simetrica. A resposta do filtro e uma
resposta tıpica passa-banda nao ideal, com atenuacao quase nula na regiao de transmissao e maior
atenuacao na banda de rejeicao.
60
Figura 5.8: Resposta passa-banda do filtro microstrip de meia onda.
5.4 Filtro Microstrip de Acoplamento Paralelo
A simulacao de um filtro microstrip de acoplamento paralelo foi realizada com recurso ao software
Advanced Design System (ADS), uma vez que, tal como o filtro microstrip de meia onda, este filtro
e composto por linhas microstrip e, por isso, ser necessario recorrer a este software para o realizar
e simula-lo.
Projectou-se um filtro passa-banda com a frequencia central f = 5GHz, largura de banda a -3
dB ∆f = 500 MHz composto por quatro ressoadores, isto e, quatro seccoes de linhas microstrip
acopladas paralelamente. O circuito do filtro projectado esta representado na Figura 5.9.
Depois de se realizar simulacao de parametros S (elementos da matriz de dispersao) para
o filtro microstrip de acoplamento paralelo entre as frequencias f = 3 GHz e f = 7 GHz
obtiveram-se os resultados representados no grafico da Figura 5.10.
Verifica-se que, tal como no filtro microstrip de meia onda, a resposta nao e simetrica mas, a
frequencia central e a largura de banda tem valores aproximados dos pretendidos. A assimetria
deve-se a variacao da impedancia e do comprimento electrico com a frequencia, que tambem nao
e simetrica. A resposta do filtro e uma resposta tıpica passa-banda nao ideal, com atenuacao quase
nula na regiao de transmissao e maior atenuacao na banda de rejeicao.
61
Figura 5.9: Esquema do filtro microstrip de acoplamento paralelo.
Figura 5.10: Resposta passa-banda do filtro microstrip de acoplamento paralelo.
62
Capıtulo 6
Conclusao
6.1 Discussao e Analise Crıtica dos Resultados
Nesta seccao apresentam-se as principais conclusoes desta dissertacao. No segundo capıtulo
verifica-se que e possıvel obter estruturas periodicas de variadas formas a partir de linhas de
transmissao ou guias de onda carregados em intervalos periodicos com elementos reactivos. As
estruturas periodicas dependendo dos valores de frequencia exibem propriedades de passa-banda
e rejeita-banda, o que faz com que possam actuar como filtros. Demonstrou-se o comportamento
de uma onda ao longo de uma estrutura periodica e a distribuicao do campo electromagnetico
pelo teorema de Floquet e harmonicas espaciais e verificou-se que se repete em todos os terminais
excepto para um factor de propagacao e−γ(d).
No terceiro capıtulo apresenta-se um filtro constituıdo por duas cavidades ressonantes, que e
uma estrutura periodica. Analisa-se o comportamento da estrutura em termos de um formalismo de
circuitos equivalentes e conclui-se com a analise do factor de transmissao que e possıvel obter-se
um filtro passa-banda, dependendo do factor de ligacao das cavidades, isto e, para o caso n/m = 1,
onde os ıris das cavidades sao iguais. O modulo do factor de transmissao de potencia neste caso e
igual a um na regiao passa-banda, ou seja, nao existe atenuacao do sinal e na regiao rejeicao tende
para zero, que implica atenuacao total, nao existe transmissao.
No Capıtulo 4, apresenta-se tres solucoes importantes que permitem converter projectos de
filtros de difıcil implementacao pratica em filtros de realizacao mais adequada.
Os inversores de admitancia e de impedancia sao transformadores ideais de um quarto de
onda, λ/4, e nao existem diferencas nas suas propriedades de inversao. Atraves da sua utilizacao
e possıvel converter uma rede de elementos ligados em serie numa rede de elementos ligados em
paralelo, ou vice versa.
63
A transformacao de Richard permite que redes distribuıdas, compostas por segmentos de li-
nha de transmissao em curto-circuito e em circuito aberto, emulem o comportamento indutivo e
capacitivo de elementos de parametros discretos.
As identidades de Kuroda fornecem um conjunto de quatro transformacoes ideais de redes
de dois portos, que mantem o comportamento e caracterısticas dos circuitos. Por exemplo, e
possıvel utiliza-las para separar fisicamente stubs de linhas de transmissao ou alterar impedancias
caraterısticas inviaveis numas que se possam realizar.
Ainda no quarto capıtulo, analisou-se formalmente quatro tipos de filtros. Conclui-se como
cada tipo de filtro e constituıdo, isto e, a sua estrutura fısica e obteve-se as formulas que permitem
dimensionar cada um deles.
No Capıtulo 5, na simulacao dos filtros de cavidades ressonantes acopladas variou-se o numero
de cavidades. A partir da analise dos graficos com o ganho de potencia verifica-se que os filtros
apresentam caracterısticas nao ideais, como seria de se esperar tendo em conta as caracterısticas
dos componentes dos circuitos, como os elementos de parametros concentrados capacitivos e in-
dutivos. Por esse motivo a atenuacao nao e igual a zero em toda a regiao de passa-banda, existindo
uma pequena oscilacao, com valores de atenuacao superiores a zero, embora nao sejam muito sig-
nificantes. Conclui-se que com o aumento do numero de cavidades ressonantes as caracterısticas
dos filtros aproximam-se mais da caracterıstica ideal, no que diz respeito a inclinacao da curva a
partir da frequencia de corte, isto e, o declive aumenta aproximando-se mais do infinito, que e o
valor ideal.
Quanto a simulacao dos filtros microstrip, os resultados nao foram os melhores que se conse-
guiu obter, aplicando um metodo de tentativa e erro para tentar optimizar as respostas do filtro na
simulacao, visto nao existir um processo de design coerente e completo, que comeca a partir da
teoria e descreve o processo de sıntese e o processo de optimizacao. Tentou-se conjugar os dimen-
sionamentos teoricos dos comprimentos das linhas com experiencias nos valores dos elementos
capacitivos e as caracterısticas da linha microstrip. A escassa informacao sobre o programa Ad-
vanced Design System, em particular sobre a simulacao deste tipo de filtros tambem condicionou
os resultados.
Mesmo assim foi possıvel obter-se respostas do tipo passa-banda com a frequencia central
e a largura de banda proximas das pretendidas. Quanto a regiao de passa-banda a atenuacao
obtida no filtro microstrip de acoplamento paralelo foi muito proxima da ideal, zero, com uma
pequena oscilacao ate valores iguais a 2dB aproximadamente. No filtro microstrip de meia onda
a atenuacao na regiao de passa-banda teve uma oscilacao praticamente nula.
64
Com esta dissertacao conclui-se que os projetos de filtros envolvem na pratica a consideracao
de uma grande variedade de disciplinas e factores, tais como, as propriedades electricas, fısicas,
economicas e de elementos de ressonancia e acoplamento. Tambem e necessario ter em consideracao
os materiais e processos utilizados para o fabrico (propriedades e os factores de custo), e os custos
associados com o trabalho de montagem e ajuste. Existe um papel fundamental dos programas de
design electronico no auxılio do projectista, permitindo simular os filtros e analisa-los sem ter que
fabricar prototipos, poupando tempo e dinheiro e experiencias falhadas. Por isso, e essencial que
se continue a apostar no desenvolvimento destas ferramentas, mas tambem e necessario que haja
mais literatura acessıvel e coerente sobre os projectos de filtros e todos os seus processos ate se
obter o filtro fısico real optimizado.
6.2 Perspectivas de Trabalho Futuro
Este trabalho abre portas ao estudo do tema dos filtros de microondas e ondas milimetricas.
Tentou-se ser o mais abrangente possıvel. No entanto alguns tipos de filtros nao foram abordados,
como por exemplo, os filtros combline, interdigital, hairpin, em anel e patch.
Como trabalho futuro propoe-se continuar a investigacao sobre os processos de sıntese de
modelos teoricos para filtros fısicos reais, de modo a obter um processo de design coerente e
completo, que comece a partir da teoria e descreve o processo de sıntese, a aplicacao de um filtro
fısico e o processo de optimizacao. A optimizacao de filtros atraves do recurso a programas que
permitem simular os filtros tambem e uma area de grande interesse para dar seguimento a este
trabalho.
65
66
Anexo A
Matriz ABCD
A maioria dos filtros de microondas e componentes do filtro podem ser representados por uma
rede de dois portos, como mostra a Figura A.1. Onde I1, I2 e V1, V2 sao as variaveis de corrente e
tensao nos portos um e dois respectivamente, Z01 e Z02 sao as impedancias nos terminais e Es e
a fonte.
Figura A.1: Rede de dois portos com as suas variaveis.
Os parametros ABCD de uma rede de dois portos sao dados por
A = V1V2
∣∣∣I2=0
B = V1−I2
∣∣∣V2=0
C = I1V2
∣∣∣I2=0
D = I1−I2
∣∣∣V2=0
(A.1)
Estes parametros sao de facto definidos por um conjunto equacoes lineares na notacao matri-
cial
67
V1
I1
=
A B
C D
V2
−I2
(A.2)
onde a matriz composta pelos parametros ABCD e conhecida por matriz ABCD. Por vezes tambem
pode ser referida como matriz de transferencia ou de cadeia. Os parametros ABCD tem as seguin-
tes propriedades:
AD −BC = 1 para uma rede recıproca
A = D para uma rede simetrica(A.3)
Se a rede nao tem perdas entao A e D sao puramente reais e B e C sao puramente imaginarios.
Os parametros ABCD sao bastante uteis na analise de uma rede de dois portos complexa
que possa ser dividida em duas ou mais sub-redes em cascata. Na Figura A.2 apresenta-se os
parametros ABCD de algumas redes de dois portos uteis.
68
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Figura A.2: Algumas redes de dois portos uteis e os seus parametros ABCD.
69
70
Anexo B
Resposta de Butterworth
O modulo quadrado da funcao de transferencia para filtros Butterworth que tem uma perda de
insercao LAr = 3, 01 dB a frequencia de corte Ωc = 1 e dada por
∣∣S21(jΩ)
∣∣2 =1
1 + Ω2n(B.1)
onde n e o grau ou a ordem do filtro, que corresponde ao numero de elementos necessarios no
filtro prototipo passa-baixo.
A resposta de Butterworth e monotona decrescente com todos os zeros em Ω = ∞. De notar
que a variacao maxima na banda de passagem ocorre no limite da banda de passagem, o que faz
com que a resposta de Butterworth seja bastante plana para Ω = 0, isto e, sem oscilacoes. Esta
propriedade faz com esta resposta seja tambem conhecida como “maximally flat”.
Portanto, a aproximacao “maximally flat” para o filtro passa-baixo ideal na banda de passagem
e melhor para Ω = 0 mas, deteriora-se a medida que Ω se aproxima da frequencia de corte Ωc = 1.
Na Figura B.1 esta representada a resposta tıpica “maximally flat”.
A funcao de transferencia racional construıda a partir de B.1 e
S21 (p) =1
n∏i=1
(p− pi)(B.2)
com
pi = je(2i−1)π
2n (B.3)
Nao existe um zero com frequencia de transmissao finita, uma vez que todos os zeros de
S21(p) estao no infinito, e os polos pi encontram-se no cırculo unitario no semi-plano esquerdo
71
Figura B.1: Resposta Butterworth (“maximally flat”) [2].
com espacamentos angulares iguais, visto que |pi| = 1 e arg pi = (2i − 1)π/2n, como se pode
ver na Figura B.2.
Figura B.2: Distribuicao dos polos para a resposta de Butterworth (“maximally flat”) [2].
72
Anexo C
Resposta de Chebyshev
A resposta de Chebyshev, que apresenta ondulacoes (“ripple”) na banda de passagem e a banda de
rejeicao “maximally flat”, esta representada na Figura C.1.
Figura C.1: Resposta de Chebyshev passa-baixo [2].
O modulo quadrado da funcao de transferencia que descreve este tipo de resposta e o seguinte
∣∣S21(jΩ)
∣∣2 =1
1 + ε2T 2n (Ω)
(C.1)
onde a constante de oscilacao ε esta relacionada com a oscilacao LAr na banda de passagem em
dB por
ε =
√10
LAr10 − 1 (C.2)
Tn (Ω) e a funcao de Chebyshev do primeiro tipo de ordem n, definida por
73
Tn (Ω) =
cos(n cos−1 Ω
)|Ω| ≤ 1
cosh(n cosh−1 Ω
)|Ω| ≥ 1
(C.3)
Assim, os filtros realizados a partir de C.1 sao normalmente conhecidos como filtros de Chebyshev.
Rhodes obteve uma formula geral da funcao de transferencia racional a partir de C.1 para o filtro
de Chebyshev
S21 (p) =
n∏i=1
[η2 + sin2 (iπ/n)
]1/2n∏i=1
(p+ pi)
(C.4)
com
pi = j cos
[sin−1 jη +
(2i− 1)π
2n
]
η = sinh
(1
nsinh−1 1
ε
)(C.5)
Assim, como no caso “maximally flat”, todos os zeros de transmissao de S21(p) estao locali-
zados no infinito. No entanto, as localizacoes dos polos para o caso de Chebyshev sao diferentes,
encontram-se numa elipse no semi-plano esquerdo. O eixo maior da elipse esta no eixo jΩ com
comprimento√
1 + η2 e o eixo menor esta no eixo σ com comprimento igual a η. Na Figura C.2
representa-se a distribuicao dos polos para n = 5.
Figura C.2: Distribuicao dos polos para a resposta de Chebyshev [2].
74
Anexo D
Linha Microstrip
A linha microstrip e um tipo de linha de transmissao planar muito utilizado em circuitos integrados
de radiofrequencia e microondas devido a sua natureza planar, fabrico facil utilizando processos
fotolitograficos, facil integracao com aparelhos de estado solido, boa dissipacao de calor, bom
suporte mecanico e uma vasta informacao de design.
Consiste numa fita de metal condutor de largura W fixada sobre um substrato dielectrico de
altura h localizado sobre um plano terra, como se apresenta na Figura D.1.
Figura D.1: Linha microstrip.
As expressoes para a constante dielectrica efectiva, εef , e para a impedancia caracterıstica, Z0,
para a linha microstrip, assumindo-se que a espessura da fita e igual a zero, (t = 0), sao dadas por
εef =εr+1
2+εr−1
2
(1 + 10
h
W
)−B(D.1)
e
75
Z0 =60√εef
ln
h
WA+
√1 +
(2h
W
)2 (D.2)
onde
A = 6 + (2π − 6) exp
[−(
30, 666h
W
)0,7528]
(D.3)
B =0, 564
1 +
1
49ln
((W/h)4 + (W/52h)2
(W/h)4 + 0, 432
)
+1
18, 7ln
[1 +
(W
18, 1h
)3](
εr − 0, 9
εr + 3
)0,053
(D.4)
A precisao da constante dielectrica efectiva obtida por D.1 e superior a 0, 2% para εr ≤ 128 e
0, 01 ≤ W/h ≤ 100. Relativamente a impedancia caracterıstica, os erros maximos sao de 0, 01%
e 0, 03% para W/h ≤ 1 e 100 respectivamente.
A largura da fita normalizada, W/h, tambem se pode determinar atraves da impedancia carac-
terıstica e da constante dielectrica relativa por
W
h=
8 exp(c)
exp(2C)−2Wh ≤ 2
2π
[D − 1− ln(2D − 1) + εr−1
2εr
(ln(D − 1) + 0, 39− 0,61
εr
)]Wh ≥ 2
(D.5)
onde
C =Z0
60
√εr + 1
2+εr − 1
εr + 1
(0, 23 +
0, 11
εr
)(D.6)
D =60π2
Z0√εr
(D.7)
Na pratica uma linha microstrip tem uma espessura de fita finita, t, e o seu efeito e aumentar
a largura da fita. As equacoes D.1 e D.2 podem ser modificadas para terem em conta t para
resultados mais precisos
76
εef (t) =
[εr+1
2+εr−1
2
(1 + 10
h
We
)−Bt] Z0(t′, εr = 1)
Z0(t, εr = 1)(D.8)
e
Z0(t) =60√εef (t)
ln
h
WeAt +
√1 +
(2h
We
)2 (D.9)
onde
At = 6 + (2π − 6) exp
[−(
30, 666h
We
)0,7528]
(D.10)
Bt =0, 564
1 +
1
49ln
((We/h)4 + (We/52h)2
(We/h)4 + 0, 432
)
+1
18, 7ln
[1 +
(We
18, 1h
)3](
εr − 0, 9
εr + 3
)0,053
(D.11)
We = W + ∆W (D.12)
∆W =∆W ′
2
(1 +
1
cosh√εr − 1
)(D.13)
∆W ′ =t
πln
(1 +
4 exp(1)
(t/h) coth2√
6, 517W/h
)(D.14)
W ′ = W + ∆W ′ (D.15)
Z0(t′, εr = 1) e Z0(t′, εr = 1) sao as impedancias caracterısticas obtidas por D.9 com
εef (t) = 1 e We dado por D.12 e D.15 respectivamente.
A constante dielectrica efectiva e a impedancia caracterıstica em funcao da frequencia sao
obtidas por
εef (f) = εr −εr − εeff (0)
1 +G(f/fp)2(D.16)
77
e
Z0(f) = Z0(0)εef (f)− 1
εef (0)− 1
√√√√√ εef (0)
εef (f)(D.17)
onde
fp =Z0(0)
2µ0h(D.18)
G =π2
12
εr − 1
εef (0)
√Z0(0)
60(D.19)
εef (0) e a constante dielectrica quasi-estatica, Z0(0) e a impedancia caracterıstica e µ0 = 4π ×
10−7 H/m e a permeabilidada em espaco livre.
As perdas na linha microstrip,como em qualquer linha de transmissao, devem-se ao facto de
os condutores e dielectricos nao serem perfeitos e sao caracterizadas pela constante de atenuacao
α = αc + αd, onde αc e αd representam as constantes de atenuacao do condutor e do dielectrico
respectivamente. A constante de atenuacao do condutor, αc em dB/cm, pode ser calculada por
Para 0 < W/h ≤ 1/2π,
αc =8, 68Rs2πZ0h
[1−
(We
4h
)2]
1 +h
We+
h
πWe
[ln
(4πW
t
)+
t
W
](D.20)
Para 1/2 < W/h ≤ 2,
αc =8, 68Rs2πZ0h
[1−
(We
4h
)2]
1 +h
We+
h
πWe
[ln
(2h
t
)− t
h
](D.21)
Para 2 ≤W/h,
αc =8, 68RsZ0h
1 +
h
We+
h
πWe
[ln
(2h
t
)− t
h
]×(We
h+
We/πh
We/2h+ 0, 94
)[We
h+
2
πln
(We
2h+ 0, 94
)]−2
onde Rs =√ωµ0/2σ e a resistividade superficial do condutor, com condutividade σ. We e a
largura electiva da fita, tendo em conta a espessura finita de metalizacao da fita da equacao D.12.
αd determina-se a partir de
78
αd =27, 3εr(εeff − 1) tan δ√εeff (εr − 1)λ0
(D.22)
onde tan δ e a perda tangente do dielectrico e λ0 e o comprimento de onda em espaco livre. Para
linhas de transmissao planares, a perda do dielectrico e normalmente menor que a perda do con-
dutor, excepto quando os dielectricos sao de substratos semicondutores com baixa resistividade,
tais como silicone.
Componentes de microondas, tais como antenas, filtros, divisores de potencia, entre outros,
podem ser formados por linhas microstrip. Esta tecnologia e muito menos cara que a tecnologia
tradicional dos guias de ondas e tambem mais leve e mais compacta.
As desvantagens da microstrip comparativamente com os guias de onda sao a menor capaci-
dade de tratamento de baixa potencia e maiores perdas. Contrariamente aos guias de onda a linha
microstrip nao e fechada e, portanto, susceptıvel a cross-talk e radiacao nao intencional.
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Referencias
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Wiley & Sons, Inc., 1st edition, 2001.
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ment”. IEEE Trans. Microwave Theory Tech, MTT-32(9):1055–1067, September 1984.
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Trans. Microwave Theory Tech., 50(3):783–793, September 2002.
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[6] David M. Pozar. Microwave Engineering. John Wiley & Sons, Inc., 2nd edition, 1998.
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the insertion loss basis”. IRE Trans. Microwave Theory Tech., pages 580–593, November
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sion Line Structures. John Wiley & Sons, Inc., 1st edition, 2001.
[11] John David Rhodes. “The generalized direct-coupled cavity linear phase filter”. IEEE Trans.
Microwave Theory Tech., MTT-18(6):308–313, June 1970.
81
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[13] Leo Young. “Direct-coupled cavity filters for wide and narrow bandwidths”. IEEE Trans.
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[14] A. F. Harvey. “Periodic and guiding structures at microwave frequencies”. IRE Trans. Mi-
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[17] Advanced Design System. Website, Junho 2011. http://www.home.agilent.com/
agilent/product.jspx?cc=PT&lc=eng&ckey=1297113&nid=-34346.0.00&id=
1297113.
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