Projeto e Implementação de um Mancal Magnético Ativo com...
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PROJETO E IMPLEMENTAC ¸ ˜ AO DE UM MANCAL MAGN ´ ETICO ATIVO COM CONTROLE POR MODOS DESLIZANTES Renan da Silva de Siqueira Disserta¸c˜ ao de Mestrado apresentada ao Programa de P´ os-gradua¸c˜ ao em Engenharia Mecˆ anica, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necess´ arios ` a obten¸ c˜aodot´ ıtulo de Mestre em EngenhariaMecˆanica. Orientador: Fernando Augusto de Noronha Castro Pinto Rio de Janeiro Agosto de 2013
Transcript of Projeto e Implementação de um Mancal Magnético Ativo com...
PROJETO E IMPLEMENTACAO DE UM MANCAL MAGNETICO ATIVO
COM CONTROLE POR MODOS DESLIZANTES
Renan da Silva de Siqueira
Dissertacao de Mestrado apresentada ao
Programa de Pos-graduacao em Engenharia
Mecanica, COPPE, da Universidade Federal
do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos
necessarios a obtencao do tıtulo de Mestre em
Engenharia Mecanica.
Orientador: Fernando Augusto de Noronha
Castro Pinto
Rio de Janeiro
Agosto de 2013
PROJETO E IMPLEMENTACAO DE UM MANCAL MAGNETICO ATIVO
COM CONTROLE POR MODOS DESLIZANTES
Renan da Silva de Siqueira
DISSERTACAO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO
ALBERTO LUIZ COIMBRA DE POS-GRADUACAO E PESQUISA DE
ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE
JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSARIOS PARA A
OBTENCAO DO GRAU DE MESTRE EM CIENCIAS EM ENGENHARIA
MECANICA.
Examinada por:
Prof. Fernando Augusto de Noronha Castro Pinto, Dr.-Ing.
Prof. Daniel Alves Castello, D.Sc.
Prof. Jose Andres Santisteban Larrea, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
AGOSTO DE 2013
Siqueira, Renan da Silva de
Projeto e Implementacao de um Mancal Magnetico
Ativo com Controle por Modos Deslizantes/Renan da Silva
de Siqueira. – Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2013.
XIII, 99 p.: il.; 29, 7cm.
Orientador: Fernando Augusto de Noronha Castro
Pinto
Dissertacao (mestrado) – UFRJ/COPPE/Programa de
Engenharia Mecanica, 2013.
Referencias Bibliograficas: p. 81 – 83.
1. mancal magnetico. 2. rotor. 3. sliding
mode. I. Pinto, Fernando Augusto de Noronha Castro.
II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE,
Programa de Engenharia Mecanica. III. Tıtulo.
iii
Ao meu melhor e grande amigo
Moayad.
iv
Agradecimentos
Gostaria de agradecer a todos que contribuıram para que a realizacao deste trabalho
se tornasse realidade.
Aos colegas de laboratorio, em especial ao Juan Camillo e Daniela, que tanto
me ajudaram em diversas etapas a superar os desafios encontrados e compartilhar
as dificuldades, e tambem Luiz e Ivan.
A todos os amigos proximos pela motivacao nos momentos de desanimo.
Ao professor Fernando, que orientou com calma e primazia, permitindo liberdade
de criacao e auto-crescimento.
Ao Eng. Anderson, que forneceu ajuda com paciencia e disposicao no desenvol-
vimento do trabalho.
Aos professores do PEM, pelas disciplinas ministradas e todo o alto conhecimento
fornecido, alem dos professores Santisteban e Domingos, da UFF-Niteroi, pela devida
orientacao especializada nas etapas iniciais.
E a Deus e a famılia por me terem dado previamente o basico e essencial para
tal realizacao.
v
Resumo da Dissertacao apresentada a COPPE/UFRJ como parte dos requisitos
necessarios para a obtencao do grau de Mestre em Ciencias (M.Sc.)
PROJETO E IMPLEMENTACAO DE UM MANCAL MAGNETICO ATIVO
COM CONTROLE POR MODOS DESLIZANTES
Renan da Silva de Siqueira
Agosto/2013
Orientador: Fernando Augusto de Noronha Castro Pinto
Programa: Engenharia Mecanica
Apresenta-se nesta dissertacao um estudo sobre Mancais Magneticos Ativos
(MMA). Mancais Magneticos sao um produto baseado na levitacao magnetica que
vem sendo estudado por mais de quarenta anos. A princıpio, sua funcao e a mesma
que a de mancais mecanicos, mas age de forma livre de contato, usando as forcas
de campo proveniente de eletroımas. As vantagens sobre outros tipos de mancais
sao muitas, como a possibilidade de se atingir altas velocidades de rotacao, con-
trole de vibracoes, alta eficiencia, baixos custos de manutencao, entre tantos outros.
Esta alta performance so foi possıvel gracas aos avancos das teorias de controle e
instrumentacao, que e a base dos Mancais Magneticos Ativos. Desde entao, muitas
leis de controle tem sido implementadas para melhorar a estabilidade da dinamica
do rotor. O objetivo desta dissertacao e primeiramente usar o Controle por Modos
Deslizantes (SMC) juntamente com um modelo computacional de um rotor des-
balanceado suportado por mancais magneticos para prever o comportamento. O
SMC e um controlador robusto capaz de mudar a dinamica do sistema, fazendo com
que as variaveis de estado ”deslizem”sobre uma superfıcie desejada. Serao vistas as
vantagens do uso deste tipo de controle, principalmente por ser capaz de cobrir as
incertezas dos parametros, alem da comparacao de se fazer um controle por corrente
ou por voltagem. Paralelamente as simulacoes, um prototipo foi construıdo com
o objetivo de se aplicar e provar a teoria apresentada, analisando-se experimental-
mente as vantagens e desvantagens que este produto oferece.
vi
Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
DESIGN AND IMPLEMENTATION OF AN ACTIVE MAGNETIC BEARING
WITH SLIDING MODE CONTROL
Renan da Silva de Siqueira
August/2013
Advisor: Fernando Augusto de Noronha Castro Pinto
Department: Mechanical Engineering
In this work a study about Active Magnetic Bearings (AMB) is presented. Mag-
netic Bearing is a product based on magnetic levitation that has been researched
for more than forty years. At first, their function is the same of mechanical bear-
ings, but it acts with no contact, using field forces provided by electromagnets. Its
advantages over other types of bearings are several, like the possibility of reaching
high rotational speed, vibration control, high efficiency, low costs of maintenance,
among others. This high performance is only possible thanks to the improvement of
control instrumentation and theory, which is the base behind the AMB. Since then,
several control laws are being implemented to improve the stability of the rotor dy-
namics. The objective of this dissertation is firstly the use of Sliding Mode Control
(SMC) technique within a computational model of an unbalanced rotor supported
by two AMBs to forecast its behavior. The SMC is a robust controller that can
change systems dynamics, making the space-state function ”slide” over a straight
line. It will be seen the advantages of this control, mainly because it can ignore
parameter uncertainties, besides the comparison between a control made by current
or voltage. At the same time, a prototype was developed to apply and prove the
presented theory, analyzing experimentally the advantages and disadvantages that
this product offers.
vii
Sumario
Lista de Figuras x
Lista de Tabelas xiii
1 Introducao 1
2 Levitacao Eletromagnetica 6
2.1 Modelagem da forca de relutancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Implementacao do Controle Ativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Dinamica do Rotor 15
3.1 Rotor Rıgido Balanceado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Rotor Rıgido Desbalanceado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.1 Desbalanceamento Estatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.2 Desbalanceamento Dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.3 Rotor Rıgido com Desbalanceamento Geral . . . . . . . . . . . 21
3.3 Dinamica do rotor com mancais mecanicos . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4 Modelo Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Controle por Modos Deslizantes 28
4.1 Conceito Matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3 Sintonizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4 Modos Deslizantes Modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.5 Modos Deslizantes com Multiplos Estados . . . . . . . . . . . . . . . 32
5 Modelo Computacional e Simulacoes 34
5.1 Controle por corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.2 Controle por tensao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6 Projeto do Prototipo de Mancal Magnetico Ativo 52
6.1 Mancais e rotores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.2 Sensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
viii
6.2.1 Filtragem Digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.3 Eletronica de Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.4 Processamento e Implementacao do Controle . . . . . . . . . . . . . . 65
6.5 Montagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7 Resultados Experimentais 68
7.1 Medicao de forca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.2 Controle unidirecional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.3 Controle bidirecional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8 Conclusao 78
Referencias Bibliograficas 81
A Algoritmos implementados no Maple 84
B Algoritmos implementados no Matlab e Simulink 87
C Desenhos Mecanicos 90
D Eletronica 92
E Programacao em Arduino 94
1 Sensor de posicao IF6029 96
2 Mosfet IRFZ34N 98
3 Microcontrolador ATmega328 99
ix
Lista de Figuras
2.1 Esquema apresentando componentes basicos do mancal magnetico
ativo [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Modelo esquematico da forca de relutancia. . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Exemplo de um diagrama BH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Linearizacao da forca em torno de i0 e x0. . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5 Modo de aplicacao da corrente nos eletroımas superior e inferior. . . . 11
2.6 Sistema com presenca de um feedback, intitulado de malha-fechada. . 12
2.7 Efeito do amortecimento e da frequencia natural no controle de posicao. 14
3.1 Esquema do modelo dinamico de um rotor rıgido e balanceado. . . . . 16
3.2 Representacao do desbalanceamento estatico. . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Representacao do desbalanceamento dinamico. . . . . . . . . . . . . . 21
3.4 Resultados simulados do rotor desbalanceado com mancais mecanicos. 24
3.5 Diagrama de Campbell para um exemplo de rotor. . . . . . . . . . . . 27
4.1 Ilustracao do espaco de estados de alguns sistemas atingindo o Sliding
Mode [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2 (a) Funcao tangente hiperbolico; (b) Espaco de estado com a aplicacao
do SMC modificado com a funcao de tangente. hiperbolico. . . . . . . 32
4.3 Exemplo do que acontece num espaco de estado em tres dimensoes
com duas superfıcies de deslizamento [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.1 Esquema utilizado para resolucao da dinamica do rotor utilizando o
toolbox Sophia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2 Resultados do eixo para a simulacao com SMC padrao de corrente. . 38
5.3 Resultados sobre a dinamica do Mancal 1 com SMC padrao. . . . . . 39
5.4 Posicao do centro geometrico para 2s de simulacao com SMC padrao
de corrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.5 Resultados do eixo para a simulacao com SMC modificado de corrente. 40
5.6 Resultados sobre a dinamica do Mancal 1 com SMC modificado de
corrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.7 Diagrama de blocos do sistema rotor e MMA com controle por tensao. 44
x
5.8 Resultados do eixo para a simulacao com SMC padrao por tensao. . . 47
5.9 Resultados para o Mancal 1 no controle por SMC padrao por tensao. 48
5.10 Resultados do eixo para a simulacao com SMC modificado, por tensao. 49
5.11 Resultados para o Mancal 1 no controle por SMC modificado, por
tensao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.1 Tipos de configuracoes geometricas para MMA [1]. . . . . . . . . . . 53
6.2 Curva de magnetizacao do aco-silıcio GNO da Acesita. . . . . . . . . 53
6.3 Curva da permeabilidade do aco-silıcio GNO da Acesita. . . . . . . . 54
6.4 Montagem das chapas que formarao o estator com as respectivas di-
mensoes mais relevantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.5 Esquema de uma das extremidades do eixo com a especificacao dos
materiais dos aneis que compoem o rotor. . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.6 Desenho do sistema mancal/rotor do prototipo em SolidWorks. . . . . 57
6.7 Circuito de amplificacao utilizando um transistor. . . . . . . . . . . . 61
6.8 Circuito de amplificacao utilizando um MOSFET nos limites de sa-
turacao para o chaveamento e um diodo. . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.9 Circuito de amplificacao implementado no mancal, utilizando um
MOSFET para chaveamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.10 Simulacao do transiente da corrente para um sinal de entrada PWM
com duty cycle de 50%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.11 (a) Controle feito por chaveamento da Tensao; (b) Controle feito por
modulacao de largura de pulso (PWM). . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.12 Placa microcontroladora Arduino UNO. . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.13 Fotos do prototipo construıdo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.1 Medicao da relacao entre forca e corrente de cada bobina do mancal. 69
7.2 Posicao do rotor com controle no sentido vertical em SMC padrao
durante 0, 5s. Os limites superior e inferior representam os limites
dado pela protecao em acrılico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.3 Espaco de estados da posicao do rotor com controle no sentido vertical
em SMC padrao durante 0, 5s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.4 Posicao do rotor com controle no sentido vertical em SMC modificado
durante 0, 5s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.5 Espectro em frequencia da posicao vertical com SMC modificado. . . 73
7.6 Espectro em frequencia da simulacao com condicoes analogas ao ex-
perimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.7 Posicao do rotor com controle bidirecional em SMC modificado du-
rante 0, 5s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
xi
7.8 Graficos da orbita do rotor em diferentes escalas com imagem ao
fundo mostrando o prototipo construıdo em levitacao estavel. . . . . . 77
B.1 Diagrama de blocos no Simulink. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
xii
Lista de Tabelas
5.1 Parametros do rotor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2 Parametros do MMA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.1 Resumo dos parametros fısicos mais relevantes do projeto. . . . . . . 57
xiii
Capıtulo 1
Introducao
Mancais sao componentes presentes em todas as maquinas rotativas, tais como bom-
bas, motores e turbinas. Sua funcao e manter a posicao desejada do rotor, seja qual
for o disturbio, permitindo ainda o movimento de rotacao. Estes disturbios podem
ser vibracao, carga aleatoria ou aceleracao da propria maquina. A primeira vista,
tal funcao parece ser simples, mas devido a aspectos fısicos pode-se tornar bastante
complexa, ja que os componentes mecanicos apresentam rigidez finita. Sendo assim,
o desbalanceamento do rotor ou uma excitacao externa gera o problema de vibracao
tao comum em tais maquinas rotativas. Assim sendo, os mancais precisam ser pro-
jetados para suportar estes tipos de carga e manter a direcao de rotacao desejada
dentro das devidas tolerancias. No entanto, mancais mecanicos precisam de cons-
tante manutencao e costumam ter um perıodo de vida limitado, elevando os custos,
alem de um controle nao tao eficiente e eficaz dos efeitos mencionados.
Os mancais magneticos foram idealizados com a ideia de substituir os mancais
mecanicos utilizando o princıpio da levitacao magnetica. Existem basicamente dois
grupos de formas para se fazer um rotor pairar no ar magneticamente: utilizando a
forca de relutancia magnetica ou a forca de Lorentz [3]. A forca de relutancia age
quando temos materiais de diferentes permeabilidades magneticas, como o ferro e
o ar (ou ate mesmo vacuo), e entao uma forca de atracao surge quando estao sob
um campo magnetico. Este conceito pode ser ainda estendido para aplicacoes com
materiais diamagneticos e supercondutores. A forca de Lorentz e usada em aparelhos
eletrodinamicos, em que a forca aparece quando um material condutor se movimenta
num campo magnetico. Este e o conceito base de levitacao do MAGLEV, o trem de
alta velocidade.
Considerando tais alternativas, o metodo mais comumente usado em aplicacoes
industriais e o da levitacao eletromagnetica com materiais de alta permeabilidade,
os ferromagneticos, atraves da forca de relutancia. A ideia central e estabilizar uma
completa levitacao do rotor, fazendo-o girar numa condicao livre de contato. Como
pode ser visto na pratica e matematicamente, o modelo da forca de relutancia e
1
instavel e de acordo com o teorema de Earnshaw [4], e impossıvel levitar total-
mente um corpo e mante-lo estavel com este tipo de forca. No entanto, nas ultimas
decadas algumas formas foram propostas para contornar este problema, como um
objeto rotativo que usa o efeito giroscopio para se estabilizar [5] ou usando mate-
riais supercondutores [6]. Uma proposta de mancal magnetico utilizando materiais
supercondutores pode ser vista em [7].
Embora um sistema passivo nao permita total levitacao, pode ser visto em [8]
um estudo sobre as geometrias possıveis para o uso de ımas permanentes em mancais
magneticos, onde se mostrou possıvel controlar alguns graus de liberdade do sistema.
De fato, tal conceito foi utilizado recentemente no projeto de um satelite [9], onde
sao usados mancais radias ativos e mancais axiais passivos em conjunto.
Uma outra forma do uso de ımas permanentes em mancais foi investigada em
[10], utilizando um esquema de forca de repulsao, onde o ıma e movimentado para
controlar esta forca. Resultados satisfatorios puderam ser atingidos e com baixo
custo.
Ha tambem o conceito de mancal hıbrido, onde e utilizado controle ativo de
eletroımas alem de ımas permanentes para formar um campo magnetico de base.
Este conceito pode ser feito com o uso de uma configuracao homopolar, como pode
ser visto em [11], onde um modelo nao-linear e testado.
Como pode ser visto, diversas configuracoes ja foram testadas e muitas outras
ainda precisam ser pesquisadas. O modelo proposto nesta dissertacao e a da cons-
trucao de um mancal puramente ativo, com a construcao de um controle de campo
magnetico usando um sensor de posicao e um eletroıma, que juntos constituem o
chamado Mancal Magnetico Ativo (MMA). Tal tecnica de controle ativo deve es-
tar totalmente dominada para uma completa levitacao do rotor, antes que se possa
investigar outras configuracoes.
O MMA envolve areas interdisciplinares da engenharia, como mecanica, eletrica
e de sistemas. A mecanica envolve a modelagem do comportamento dinamico do
rotor, dimensionamentos, fabricacao, predicao das forcas necessarias e ainda um
estudo sobre transferencia de calor. A parte eletrica/eletronica diz respeito aos
sensores de posicao e atuador, formado pela eletronica de potencia e eletroımas.
E enfim, a parte de computacao envolve o tipo de controlador a ser utilizado e
como serao feitos a aquisicao e o processamento dos dados. Tudo isto mostra que
tal dispositivo e um perfeito exemplo de um produto mecatronico, colocando junto
diferentes tipos de ciencia num mesmo produto.
As vantagens do uso do MMA sobre os mancais mecanicos sao muitas. A primeira
e o baixıssimo atrito gerado, causado basicamente pela resistencia do ar ou entao
nenhum em aplicacoes a vacuo. Isto permite velocidades de rotacao extremamente
altas, como 300kHz, onde o fator limitante passa a ser a resistencia do material
2
do rotor [12]. Alem disto, pode ser citado que o ruıdo gerado pelo movimento do
eixo e quase nulo. Outra vantagem e nao necessitar de lubrificacao, o que alem de
diminuir a frequencia de manutencao tambem permite seu uso em aplicacoes em
que nao se pode haver contaminacao, como alguns tipos de compressores de gas.
O MMA tambem e capaz de operar em situacoes extremas, como temperaturas
muito altas ou muito baixas. Em [13] e mostrado um estudo sobre uso de mancais
magneticos em coracoes artificiais, onde nao pode haver contaminacao, mostrando
a vasta aplicabilidade destes componentes.
O controle ativo tambem leva a varias vantagens, como a possibilidade de um
controle de vibracao ou um conserto durante a operacao da maquina pela regula-
gem dos parametros. Um topico ainda mais interessante e a aplicacao no conceito
de maquina inteligente, em que o mancal e capaz de se auto-diagnosticar sobre suas
condicoes de operacao em tempo real e regular os parametros por si so, otimizando
seu desempenho. Todas estas vantagens favorecem uma maior vida util do equipa-
mento.
Ainda hoje, mesmo apos decadas de pesquisas, o uso dos mancais magneticos
ainda nao esta totalmente difundido e pode ser mais explorado. Seu uso em turbo-
maquinas tem se mostrado uma grande vantagem, como tambem por exemplo, no
campo de controle de vibracoes, altas velocidades e uso de supercondutores. Este
projeto de pesquisa tem como objetivo criar um prototipo de MMA que possa funci-
onar com plena estabilidade e estudar os efeitos de diferentes controladores. Devido
a grande demanda de recursos implıcita ao projeto, resultados preliminares serao
obtidos com o prototipo e assim analisada a viabilidade de sua construcao.
E visto que este sistema apresenta muitas incertezas de parametros e e de in-
teresse observar o desempenho de um controle mais sofisticado e robusto, como o
Sliding Mode Control (Controle dos Modos Deslizantes). E visto em [14] que tal
controle funciona satisfatoriamente em sistemas de levitacao magnetica ativa, redu-
zindo a importancia das incertezas dos parametros fısicos do modelo e fornecendo
uma boa resposta, independentemente dos mesmos, o que caracteriza a robustez
do controle. Para testar tal conceito no sistema multi-variavel rotor/mancais, sera
utilizada uma simulacao computacional com o modelo dinamico e estudado previ-
amente o comportamento destes controladores, antes da implementacao no modelo
real.
Os controladores tradicionais ainda sao os mais amplamente utilizados na atuali-
dade, embora a implementacao de um controle robusto seja mais favoravel em alguns
casos. As vantagens esperadas com esta escolha sao grandes, pois o modelo dinamico
inclui diversas consideracoes e aproximacoes, principalmente em relacao a forca de
relutancia, gerando alta taxa de incerteza. Uma vez que o projeto e simulado, ha
possibilidade do modelo real se comportar de maneira bastante diferente, fazendo
3
com que um controle capaz de ignorar tais incertezas facilite muito a obtencao de
bons resultados. Ha tambem o interesse de analisar o comportamento do sistema
com um controle por corrente e por voltagem, fatores que implicam diretamente no
custo e na complexidade do projeto eletronico.
Apos o modelo ser corretamente simulado para diferentes situacoes, e dada a
etapa de construcao do prototipo. Os componentes basicos do sistema sao sen-
sores de posicao, um microcontrolador ou computador para aquisicao de dados e
implementacao do sistema de controle, um amplificador de potencia, eletroımas e o
rotor. Depois de terminada a construcao, serao testados os controles simulados para
verificacoes de desempenho.
Sendo assim, apos o correto funcionamento do experimento, o maior numero de
dados possıvel sera retirado para que se chegue as conclusoes finais, comparando
os resultados obtidos com os esperados e comprovando-se algumas das vantagens
mencionadas.
Este texto foi dividido da seguinte maneira:
• Capıtulo 2 - Conceituacao basica sobre levitacao magnetica. Formulacao da
forca magnetica de relutancia e descricao do funcionamento do controle ativo
para garantir a estabilidade.
• Capıtulo 3 - Modelagem matematica da dinamica do rotor. Descricao das
caracterısticas basicas de um rotor rıgido, com presenca de desbalanceamento
estatico e dinamico, e resultados simulados de um modelo que utiliza mancais
mecanicos.
• Capıtulo 4 - Descricao teorica sobre o Sliding Mode Control. Os topicos dis-
cutidos sao: a formulacao da lei, influencia dos parametros, vantagens, sinto-
nizacao e tecnicas para melhoria da resposta.
• Capıtulo 5 - Implementacao computacional de um sistema com MMA. Sao
realizadas diversas simulacoes e testadas diferentes configuracoes do controle
para previsao de comportamento.
• Capıtulo 6 - Detalhamento sobre como se deu o projeto para construcao do
prototipo. E explicada cada etapa de projeto, assim como: a escolha dos
componente, o dimensionamento do sistema mecanico, o projeto eletronico,
entre outros.
• Capıtulo 7 - Resultados atingidos com o experimento em diferentes confi-
guracoes e descricao dos problemas encontrados e dos fatores limitantes para
se atingir a estabilidade de funcionamento.
4
• Capıtulo 8 - Conclusao dos resultados obtidos, averiguando se as metas pude-
ram ser atingidas, se outras vantagens puderam ser observadas e se o compor-
tamento do sistema foi satisfatorio. Descricao do que pode ser melhorado.
5
Capıtulo 2
Levitacao Eletromagnetica
A levitacao eletromagnetica e aquela associada as forcas de campo produzidas por
um dipolo magnetico, seja ele um ıma permanente ou um eletroıma. Esta forca
e chamada Forca Magnetomotriz [15]. De acordo com o teorema de Earnshaw [4]
e impossıvel manter uma levitacao de um objeto estatico por meio de uma forca
magnetica, seja qual for o arranjo de forcas construıdo, por ser um sistema instavel.
Este fato pode ser facilmente comprovado experimentalmente, quando pegamos um
ima permanente e o aproximamos de um material condutor. A forca de atracao
aumenta exponencialmente a medida que fazemos a aproximacao, sendo que num
estado de equilıbrio, a menor das pertubacoes e suficiente para desestabilizar o
sistema. Este modelo e chamado passivo, e sua comprovacao matematica sera vista
mais adiante na secao 2.2. No entanto, esta levitacao pode ser obtida de forma
estavel numa situacao nao-estatica, com o auxilio de forcas que atuam na rotacao
do objeto, como o efeito giroscopico. Estas forcas proporcionarao tal estabilidade,
como pode ser visto num produto atualmente comercializado chamado Levitron,
mas no entanto ainda apresenta instabilidade para a aplicacao em mancais por sua
dependencia da velocidade de rotacao. Um modelo teorico do Levitron pode ser
visto em [5] .
A forma mais eficiente de obter a tao desejada estabilidade e viavel por conta da
alta tecnologia de controle existente atualmente e o uso de uma retroalimentacao.
Para tal, se faz necessario o uso de um eletroıma (atuador), um sensor de posicao
e um sistema de controle. Com a variacao da corrente no eletroıma podemos entao
controlar o campo magnetico de forma a atingir a estabilidade desejada. Sendo
assim, este sistema, chamado ativo, funcionara de forma oposta ao passivo, tendendo
a manter uma determinada configuracao. Podemos utilizar a analogia deste modelo
com um sistema mecanico massa-mola que tenha estabilidade garantida.
As preferencias pelo sistema ativo se mostram claras sobre o passivo. Dentre as
vantagens do uso do sistema ativo temos o alto grau de controle sobre a forma que
o processo ocorre, a possibilidade de controlar os seis graus de liberdade com um
6
controle multivariavel e a possibilidade de se ter um alto amortecimento, conforme
sera mostrado.
O controle ativo possui tres elementos basicos: o sensor, o controlador e o atua-
dor. A Fig. 2.1 mostra um esquema do modelo. O sensor e responsavel por medir
e transmitir ao processador a posicao do rotor. O processador entao aplica a lei de
controle que emite um sinal, sendo este amplificado e aplicado as bobinas.
Sensor de Posição
Eletroímã
Rotor Lei de Controle
Amplificador
Figura 2.1: Esquema apresentando componentes basicos do mancal magnetico ativo[1].
2.1 Modelagem da forca de relutancia
Para ser possıvel a levitacao do rotor pelos mancais, e preciso uma forca de campo
que possa ser controlada. O princıpio de funcionamento do MMA e o uso de um
eletroıma que pode ter seu campo magnetico controlado pela corrente que passa
pelo indutor. O campo magnetico gerado formara um ciclo fechado, passando pelo
eletroıma, pela folga de ar e pelo objeto alvo, criando uma forca de atracao entre
as partes feitas de material ferromagnetico. Esta e chamada forca de relutancia,
ou de Maxwell, forca que possui caracterısticas nao-lineares e depende de diversos
fatores. Para a construcao do modelo do mancal e essencial relacionar a intensidade
desta forca com a corrente injetada. O esquema da Fig. 2.2 mostra como se dara
tal formulacao.
A corrente que passa pelo indutor cria o que e comumente chamado de campo
magnetico H, dado em [A/m]. Com o aumento de H, o material ferromagnetico
comeca a alinhar seus dipolos magneticos, criando uma densidade de fluxo magnetico
B, dada em [Wb/m2]. Entao o valor de B depende de H e do material por qual ele
7
f
x
x B
Figura 2.2: Modelo esquematico da forca de relutancia.
esta passando, que neste caso seriam o ar e o material ferromagnetico. A relacao en-
tre B e H pode ser vista nos chamados diagramas de magnetizacao BH dos materiais
e apresenta um efeito de histerese. Esta histerese se deve aos dipolos magneticos
tenderem a manter o alinhamento mesmo depois da retirada do campo H.
Por simplificacao matematica, e garantido que os valores de B e H fiquem den-
tro de um intervalo e e utilizado um modelo linear para relaciona-los, dado pela
constante magnetica µ0 e pela permeabilidade magnetica relativa ao material µr,
como pode ser visto na Eq. (2.1). Existe um ponto de saturacao, no entanto, para
o aumento do campo B, quando todos os dipolos do material ja estao alinhados, e
tal fato deve ser considerado. A Figura 2.3 mostra um exemplo de diagrama BH,
onde e possıvel ver o efeito da histerese, a saturacao e a regiao linear.
B = µ0µrH (2.1)
saturação
região linear
Figura 2.3: Exemplo de um diagrama BH.
Agora, utiliza-se a Lei de Ampere para o calculo do campo magnetico H em
funcao da corrente i que passa pelas n espiras da bobina, conforme mostrado na Eq.
8
(2.2). ∮H · ds = ni (2.2)
A intensidade de campo H induzira linhas de fluxo magnetico por dentro dos
materiais num percurso fechado de comprimento (l + 2x), Como ilustrado na Fig.
2.2. Assim, a integral do lado esquerdo da Lei de Ampere pode ser resolvida divi-
dindo o campo que passa pelo material ferromagnetico e pelo ar. Considerando a
permeabilidade relativa do ar como sendo igual a 1 e a Eq. (2.1), chegamos ao que
pode ser visto na Eq. (2.3). E finalmente a Eq. (2.4) relaciona o campo magnetico
com a corrente, dependendo tambem da folga entre eletroıma e o objeto alvo. Neste
modelo nao e considerada a fuga de linhas de fluxo magnetico, percorrendo todo
este trajeto com secao constante, conforme visto na Fig. 2.2.∮H · ds = lHf + 2xHa = l
B
µ0µr+ 2x
B
µ0
(2.3)
B = µ0ni(
lµr
)+ 2x
(2.4)
Em posse do campo magnetico, para o calculo da forca de relutancia pode-se
utilizar o princıpio dos trabalhos virtuais. Para isto calcula-se a energia W contida
no volume de ar Va por onde o campo passa, formulada por (2.5), tal que Va = 2Ax,
como mostrado na Fig. 2.2.
W =1
2µ0
B2Va =1
2µ0
B22xA (2.5)
Sendo B o campo magnetico que passa no volume de ar, podemos finalmente
calcular a forca f presente num deslocamento virtual.
f =∂W
∂x=B2A
µ0
(2.6)
Finalmente, substituindo (2.4) em (2.6), temos um equacao que relaciona a forca
f com i e x.
f(x, i) =µ0n
2i2A(lµr
+ 2x)2 (2.7)
E importante ressaltar que existe um ponto de saturacao para a forca quando x
e muito pequeno ou i e muito grande de acordo com o ponto de saturacao magnetica
do material ferromagnetico utilizado e este ponto deve ser conhecido para o projeto.
9
A Equacao (2.7) considera uma magnetizacao linear, o caminho do campo magnetico
com secao constante (sem escape de campo para fora) e ausencia da histerese. Tais
aproximacoes geram erros e incerteza, mas esta equacao ja permite uma previsao
razoavel da forca de relutancia.
Considerando que o sistema ira operar em torno de um ponto de operacao, onde
a variacao de posicao e pequena, a equacao (2.7) pode ser linearizada em torno
deste ponto. Tomamos i0 e x0 como valores estacionarios de corrente e posicao, dito
ponto de operacao. Assim, pegando somente os dois primeiros termos da serie de
Taylor desta equacao, a linearizacao da mesma e feita. As influencias da corrente e
da posicao na forca passam a ser independentes, conforme mostrado na Fig. (2.4).
x = x0
x0
Figura 2.4: Linearizacao da forca em torno de i0 e x0.
O mancal magnetico apresentara, no entanto, atuadores agindo de cada lado,
exercendo forcas em direcoes opostas. Numa situacao estacionaria em que, por
hora, desprezamos a acao do peso, a chamada corrente de base i0 estara passando
pelos dois eletroımas, ambas forcas de acao irao se anular. Ao sair desta posicao, a
forca de um dos mancais aumentara e a do outro mancal diminuira. Sendo assim,
para um futuro controle, o sinal de corrente ix sempre sera adicionado num dos
mancais e subtraıdo no outro, conforme mostrado na Fig. 2.5. A corrente de base
servira apenas para determinar o ponto da linearizacao, tendo bastante influencia nos
parametros de controle, pois torna o sistema mais ou menos sensıvel. Tal corrente
deve ser escolhida corretamente, visando um bom controle e respeitando os limites
de corrente na bobina. Somente no mancal superior esta corrente sera maior, para
compensar o peso.
Assim, passamos a trabalhar com a Eq. (2.8) em variaveis desvio. Para isto,
iremos passar a chamar a folga entre o eletroıma e o rotor de x′, a folga estacionaria
de x0 e o desvio da posicao estacionaria do rotor de x. O mesmo se aplica a corrente,
sendo i′ a corrente real aplicada, i0 a corrente de base e ix a variacao da corrente.
No entanto, para obtermos a desejada forma linear neste caso, e preciso ignorar a
magnetizacao do material, dada pelo termo ( lµr
) presente na Eq. (2.7), segundo [16].
Assim, de acordo com [1], a forca resultante da Fig. 2.5 e linearizada, obtendo como
10
Figura 2.5: Modo de aplicacao da corrente nos eletroımas superior e inferior.
resultado final as seguintes equacoes:
fx = ksx+ kiix (2.8)
ks =µ0n
2Ai20x0
3(2.9)
ki =µ0n
2Ai0x0
2(2.10)
Os valores das constantes ks e ki sao entao dependentes do ponto de operacao
i0 e x0, assim como dos outros fatores. Logo, no projeto dos atuadores, um grande
numero de analises devera ser feito sobre que bobina usar, qual a corrente de base,
qual a folga, quantas voltas e qual material sera utilizado, levando sempre em conta
seu ponto de saturacao.
Conforme foi visto, um enorme numero de hipoteses foi levado em consideracao
para que esta modelagem pudesse ser feita. Tais hipoteses simplificam as operacoes
algebricas envolvidas, mas costumam apresentar erro numa margem de 5% a 15% [1].
Tal fato pode ser um problema no caso do sistema ser muito sensıvel. No entanto,
para efeitos de simulacao e em uma possıvel ausencia de recursos para obtencao
de dados experimentais, tais aproximacoes sao satisfatorias, apesar de contribuırem
para as incertezas.
2.2 Implementacao do Controle Ativo
Com fim de criar o primeiro modelo do sistema ativo, algumas consideracoes deverao
ser feitas. A primeira delas e o desprezo da dinamica do sensor e do amplificador,
assumindo-se que ambos fornecerao respostas instantaneas. A segunda seria a co-
11
mentada na secao anterior sobre o modelo linear da relacao constitutiva da forca
magnetica.
O primeiro modelo a ser analisado e o de malha aberta. Para tal, utilizaremos a
2a Lei de Newton:
mx = f (2.11)
Substituindo entao (2.8) na lei, obtem-se a equacao dinamica:
mx = ksx+ kii (2.12)
Na malha aberta i permanece constante, podendo ser considerado aqui como
sendo zero. Tal sistema possui solucao x(t) = eλt e autovalores λ = ±√|ks|/m.
Como pode ser visto em [17], a presenca de um autovalor real positivo indica um
sistema instavel. Eis entao a prova matematica da instabilidade de um sistema
passivo, conforme discutido no inıcio do capıtulo.
Partindo entao para o conceito de malha-fechada, ou seja, um sistema que possa
medir o erro de posicionamento desejado e assim variar a forca de modo a tentar
manter este posicionamento, formando o que e chamado de loop. Aqui passa a ser
importante a presenca dos sensores, que serao os responsaveis por medir o erro e
fornecer o retorno (feedback). A Fig. 2.6 ilustra este modelo.
Controlador
Amplificador
Atuador
Eletroímã
Rotor
Sensor
f
x
i
Figura 2.6: Sistema com presenca de um feedback, intitulado de malha-fechada.
Fica clara a necessidade de um controlador, capaz de transformar o erro de
posicionamento em um sinal que altere a forca aplicada. Neste caso o sinal seria a
corrente eletrica. A forma em que o controlador transformara o erro em corrente e
a chamada Lei de Controle, que possui uma vasta literatura com os mais diversos
tipos de modelo. Um modelo classico e o controlador PID (Proporcional Integral
12
Derivativo) [17], dado pela equacao:
i = Px+ I
∫xdt+D
dx
dt(2.13)
Este controle apresenta um termo proporcional P , um termo integral I res-
ponsavel por eliminar o erro permanente na presenca de disturbios de forca e um
termo derivativo D responsavel pelo amortecimento. Para analisar a estabilidade,
vamos considerar inicialmente I sendo zero, o que caracteriza um controle PD (Pro-
porcional Derivativo). Substituindo (2.13) em (2.12) temos:
mx+Hx+ Jx = 0 (2.14)
Sendo H = −ks − kiP e J = −kiD, com P e D a serem determinados. Esta
equacao tem solucao conhecida como sendo tambem x(t) = eλt, mas no entanto
teremos autovalores complexos, sendo eles:
λ = −σ ± ω
σ =J
2m
ω =
√J
m− H2
4m2=√ω2
0 + σ2
Sendo σ o chamado coeficiente de amortecimento, ω0 a frequencia natural do
mesmo sistema com amortecimento nulo e ω a frequencia natural do sistema amor-
tecido. Desta vez observamos a ausencia de valores reais positivos, o que garante
a convergencia da resposta e assim a estabilidade. No entanto, o lado direito de
(2.14) foi considerado zero, indicando ausencia de uma forca de perturbacao. Na
presenca de uma forca de pertubacao estacionaria, a equacao diferencial deixa de
ser homogenea e passa a apresentar uma solucao particular xp que passara a ser
somada na solucao obtida anteriormente. Isto faz com que apos a estabilizacao o
sistema apresente o chamado erro de estado estacionario. A forma utilizada para
eliminar tal erro e com a presenca do termo integral I diferente de zero, presente
no controle PID. No caso do mancal magnetico, a unica forca deste tipo e o proprio
peso do rotor, podendo ser corrigido por uma acrescimo equivalente nos eletroımas
superiores, dispensando o uso de fator integrante.
Com o uso de um controle PD, a resposta do sistema e equivalente a de um
sistema mecanico mola amortecedor, como pode ser visto no exemplo da Fig. 2.7.
Eis que surge a questao: de que forma escolher os valores de H e J para con-
sequentemente escolher P e D? E de conhecimento que o termo proporcional J esta
diretamente relacionado a frequencia de oscilacao da resposta, assim como o valor
de H esta relacionado com o amortecimento. Existem algumas ferramentas praticas
13
Figura 2.7: Efeito do amortecimento e da frequencia natural no controle de posicao.
para a sintonizacao deste controle, demonstrados em [17].
Conforme visto, o controle PID apresenta caracterısticas bastante desejaveis,
como o amortecimento e a possibilidade de ser configurado de acordo com o com-
portamento que se deseja. No entanto, existe o problema das incertezas do modelo.
Como foi visto nas secao 2.1, consideracoes tiveram de ser feitas para chegar em uma
forma simplificada do modelo da forca de relutancia. Alem disso, temos o termo
ks de difıcil identificacao e que costuma ter na pratica ate 15% de desvio do valor
calculado. Assim, com tal projeto de controle, o comportamento do sistema real
pode ser bem diferente do simulado. Embora tal controle se mostre eficiente e possa
ser amplamente utilizado, para algumas aplicacoes ele nao sera o suficiente e sua
sintonizacao sera de difıcil ajuste. Desta forma se faz necessario o desenvolvimento
do chamado controle robusto que e capaz de ignorar tais incertezas do modelo e
fornecer uma resposta na situacao real mais proxima do desejado. Neste novo mo-
delo, o controle pode tambem conter informacoes sobre padroes do comportamento
dinamico (Cap. 3) e assim viabilizar um controle ainda mais preciso.
As informacoes contidas neste capıtulo foram capazes de provar que a levitacao
eletromagnetica pelo uso de eletroımas e viavel e estavel com o auxilio de um sensor
de posicao e um sistema de controle. No proximo capıtulo sera estudado como se
comportarao as forcas que um mancal deve exercer sobre um rotor girando, para
ser possıvel aplicar o conceito de levitacao magnetica na criacao de um mancal
magnetico e simular tais resultados, utilizando de um controle mais sofisticado.
14
Capıtulo 3
Dinamica do Rotor
As forcas que um rotor girando exerce nos mancais que o suportam sao um tanto
complexas. Quando analisamos um rotor parado, basicamente o que temos e uma
reacao positiva nos mancais, de forma a equilibrar o peso do rotor e o momento que
ele gera. No entanto, tal simples situacao nao ocorre com o rotor girando. Mesmo em
uma situacao utopica, em que o mesmo esta perfeitamente balanceado, a presenca do
efeito giroscopico faz com que esta dinamica seja completamente diferente da de um
rotor parado. Ainda mais complexos sao os casos onde temos desbalanceamento e
forcas externas atuando de maneira aleatoria, como a passagem de fluido que chega
a uma turbina em diferentes pressoes. Tais acontecimentos acarretam diferentes
comportamentos no movimento do rotor.
A funcao dos mancais entao e atuar em oposicao a esses efeitos, de forma a
manter o eixo sempre na mesma direcao. Logo, os mancais devem ser projetados de
forma a resistir a tais movimentos e para isto e necessario um estudo detalhado sobre
a dinamica de um rotor girando. Como sera demonstrado, existem velocidades de
rotacao do rotor que geram ressonancia, levando um rotor de pequenas dimensoes a
gerar reacoes elevadas nos mancais, o que pode se tornar um problema para o pro-
jeto. Anular tais movimentos, ou vibracoes, e impossıvel, pois nao existem mancais
mecanicos e rotores infinitamente rıgidos, nem um controle que elimine isto por com-
pleto num mancal magnetico, mas e possıvel estudar formas de minimiza-los. Neste
ponto fica clara uma grande vantagem dos mancais magneticos sobre os mecanicos,
pois os primeiros permitem ajustes pos-projeto para a melhoria do comportamento.
3.1 Rotor Rıgido Balanceado
Para se iniciar a modelagem, sera considerado um rotor perfeitamente rıgido e ba-
lanceado apoiado por dois mancais, conforme ilustrado na Figura 3.1. O centro de
massa do rotor, que neste ponto tambem e seu centro geometrico, e representado pelo
ponto C, que estara na origem do sistema de coordenadas inercial R numa posicao
15
inicial. O sistema S tem sua origem no centro de massa e se movimenta junto com
o corpo, ou seja, esta fixo a ele. O movimento longitudinal na direcao de rz nao sera
considerado nos calculos, podendo ser mantido por mancais axiais que podem atuar
de forma independente aos mancais radiais. Serao necessarias entao cinco funcoes
no tempo para fornecer a descricao do movimento do rotor: a translacao do corpo no
plano rxry, dada por xC(t) e yC(t), alem da rotacao do mesmo em relacao ao sistema
inercial. Para descrever a rotacao, utilizamos os angulos de Cardan, que consiste
num giro de θ(t) em torno de rx, gerando um sistema de coordenadas intermediario
A, um outro giro de β(t) em torno de ay, gerando o outro sistema intermediario B,
para finalmente girar em Ω(t) ao redor de bz e chegar no sistema S fixo ao corpo.
R
S C
rx
ry rz
Mancal 2 Mancal 1
f1x
f2x
f1y
f2y -mg
Tq
sz
sy
sx
Figura 3.1: Esquema do modelo dinamico de um rotor rıgido e balanceado.
Determinadas as coordenadas necessarias para a descricao do movimento, e pre-
ciso chegar as equacoes cinematicas. Cada sistema de coordenada pode ser escrito
como uma rotacao simples de outro sistema de coordenadas em torno de um de seus
eixos, representado por uma matriz de transformacao linear. Por exemplo, podemos
encontrar o sistema A da seguinte maneira:
A =
−→ax−→ay−→az
= T(θ(t)) ·R =
1 0 0
0 cos(θ(t)) sin(θ(t))
0 − sin(θ(t)) cos(θ(t))
·−→rx−→ry−→rz
(3.1)
Os sistemas B e S podem ser encontrados de forma similar. Assim, podemos
agora escrever a velocidade angular de um sistema em relacao ao outro tambem de
forma simples, para posteriormente calcularmos a desejada velocidade angular do
16
corpo em relacao so sistema inercial R~ωS.
R~ωA = θ−→rxA−→ω B = β−→ayB−→ω S = Ω
−→bz
R−→ω S =R −→ω A +A −→ω B +B −→ω S
R−→ω S =
θ + Ω(t) sin(β(t))
β cos(θ(t))− Ω sin(θ(t)) cos(β(t))
β sin(θ(t)) + Ω cos(θ(t)) cos(β(t))
R
(3.2)
A Equacao (3.2) fornece entao o vetor velocidade angular descrito no sistema
R. O movimento translacional e mais facilmente escrito. Como dito anteriormente,
sera usado o centro geometrico para descrever a posicao do eixo, conforme mostra
a Eq. (3.3), e sua respectiva velocidade, conforme a Eq. (3.4), lembrando que nao
sao considerados movimentos de translacao no eixo rz..
−→p C = [xC(t), yC(t), 0]R (3.3)
−→p C = [xC , yC , 0]R (3.4)
Nesta descricao fica implıcito que para xC(t) e yC(t) iguais a zero temos o centro
de massa na origem do sistema inercial R. De posse destas informacoes relativas a
cinematica do rotor, podemos dar prosseguimento a modelagem.
E necessario neste momento definir as propriedades inerciais do sistema. Por se
tratar de um corpo, alem da sua massa m, e preciso calcular seu tensor de inercia.
Para este caso de rotor cilındrico com diametro d constante, comprimento l e sem
desbalanceamento, o tensor de inercia ICM escrito no sistema S em relacao ao seu
centro de massa sera:
ICM =
Ix 0 0
0 Iy 0
0 0 Iz
S
Ix =(
116
)md2 +
(112
)ml2; Iy = Ix; Iz =
(18
)md2
E possıvel, neste momento, utilizando as equacoes de Newton-Euler, mostradas
na Eq. (3.5), chegar as equacoes de movimento. O termo I se refere a matriz
identidade. Sao um total de 6 equacoes escalares relativas a cada grau de liberdade
do sistema, sendo que uma delas se anula pelo desprezo ao movimento axial, restando
5 equacoes.
O segundo termo do lado direito da Eq. (3.5) e responsavel pelo chamado efeito
17
giroscopio. O resultado deste termo se torna mais relevante quando a velocidade de
rotacao e alta, ou quando a inercia em torno do eixo de giro e grande, e seus efeitos
se tornam visıveis atraves dos fenomenos conhecidos como nutacao e precessao. ~F
~M
=
m · I 0
0 ICM
· ~pC
R~ωS
+
0
R~ωS × ICMR~ωS
(3.5)
E preciso partir agora para o lado esquerdo das equacoes de Newton-Euler, que
diz respeito as forcas e momentos. Enquanto o que foi feito ate agora se trata de uma
abstracao matematica, com o objetivo de descrever a posicao do rotor e formular
as caracterısticas inerciais, a tarefa que se segue e mais subjetiva e composta de
relacoes constitutivas que devem ser definidas com precisao. Para que se possa
encontrar uma solucao para as equacoes, estas forcas e momentos devem ser bem
definidos e apresentara reacoes que dependem diretamente da posicao do rotor.
Num modelo simplificado, considerando ainda o rotor balanceado, temos basi-
camente tres tipos de forcas atuando: o peso proprio P , a reacao dos mancais e o
torque aplicado. Esta reacao nos mancais e onde se concentra o maior interesse,
principalmente por ter-se como objetivo o uso de mancais magneticos realizando
estas forcas. Poderia ser usado neste caso, para um mancal mecanico, um modelo
mola-amortecedor, que tem comportamento equivalente a um controle PD num man-
cal magnetico linearizado, como visto no Cap. 2. Para tal, e necessario conhecer a
posicao e velocidade do rotor nos mancais, o que pode ser facilmente descrito com
as coordenadas xC(t), yC(t), θ(t) e β(t). Tal assunto sobre a modelagem das forcas
nos mancais sera melhor discutido posteriormente, logo teremos as forcas de reacao
neste instante como incognitas. A forca do primeiro mancal−→f1 atua na posicao −~pm
e a do segundo mancal−→f2 na posicao ~pm, sendo estes vetores definidos da seguinte
maneira:
−→f1 = [f1x, f1y, 0]R−→f2 = [f2x, f2y, 0]R−→p m = [0, 0, pm]R
Os momentos aplicados sao referentes a reacao de cada mancal, sendo eles de-
finidos por ~M1 e ~M2, alem do torque Tq aplicado para acionar o rotor, definindo o
momento ~M3:
−→M1 = (−~pm)×
−→f1
−→M2 = ~pm ×
−→f2
−→M3 = [0, 0, Tq]S
18
Finalmente, definimos os vetores de forca e momento totais ~F e ~M , a serem
substituıdos na Eq. (3.5). Pode-se ver que sem uma relacao constitutiva para
estas forcas, o sistema de equacoes possui 5 equacoes para 9 incognitas, nao sendo
possıvel resolve-las. O controle do mancal magnetico atuara de forma a exercer uma
forca de acordo com a posicao do rotor, gerando a relacao necessaria para solucao do
problema. Tal relacao pode ser programada de infinitas maneiras, obtendo diferentes
resultados, mostrando a flexibilidade dos MMA em relacao aos mecanicos, em que a
resposta e unica sem a possibilidade de alteracao deste com o mesmo sistema fısico.
~F = ~f1 + ~f2 (3.6)
~M = ~M1 + ~M2 + ~M3 (3.7)
Substituindo entao todas os dados encontrados na equacao de Newton-Euler, as
equacoes de movimento sao obtidas conforme mostradas a seguir:
mxC = −mg + f1x + f2x; (3.8a)
myC = f1y + f2y; (3.8b)
(2 β (sin(β(t))α + Ω)(Ix− Iy)(cos(Ω))2 + sin(Ω)β (Ix− Iy) cos(Ω)−
+ (2 α (−Iz + Iy) sin(β) + Ω (Ix− Iy − Iz))β) cos(β)+
+ sin(β)β2 sin(Ω)(Ix− Iy) cos(Ω(t))− Iz (α + sin(β)Ω) =
= (−pm f1y + pm f2y) cos(β) cos(α); (3.8c)
(α (2 Ω + sin(β)α)(Ix− Iy)(cos(Ω))2 + sin(Ω)α (Ix−−Iy) cos(Ω)(α (−Iz+
+ Iy) sin(β) + Ω (−Iy + Iz + Ix))α) cos(β)− β (Ix− Iy)(cos(Ω))2+
+ 2 Ω sin(Ω)β (Ix− Iy) cos(Ω) + Ix β = ((−pm f1y
+ pm f2y) sin(β) + Tq) sin(α)− cos(β)(pm f1x − pm f2x); (3.8d)
sin(Ω)α2 cos(Ω)(Ix− Iy)(cos(β)2 − 2 α β) ((Ix
− Iy)(cos(Ω)2 − 1/2 Iz − 1/2 Ix+ 1/2 Iy) cos(β)− β2 sin(Ω)(Ix−
Iy) cos(Ω) + Iz (sin(β)α + Ω) = cos(β) cos(α)Tq (3.8e)
O sistema de equacoes (3.8) ja esta escrito na forma escalar e apenas precisa das
relacoes constitutivas das reacoes para ser solucionado. Como pode ser observado,
a equacao e bastante extensa e nao-linear, requerendo metodos numericos para a
geracao de resultado.
19
3.2 Rotor Rıgido Desbalanceado
Obter um rotor perfeitamente balanceado e uma tarefa nada realista no ponto de
vista da fabricacao. Pequenas faltas de uniformidade na massa do rotor tende a
excitar a vibracao e danificar o mancal se este problema nao puder ser contornado.
Existem alguns metodos em que se adiciona pequenas massas ao rotor para equilibrar
o desbalanceamento, mas esta e uma pratica nao muito eficaz e que nem sempre e
possıvel de ser implementada. Ha dois tipos de desbalanceamento: o estatico e o
dinamico. Ambos causam efeitos nao desejaveis no rotor, de diferentes maneiras, e
precisam ser considerados no modelo [18].
3.2.1 Desbalanceamento Estatico
Um desbalanceamento puramente estatico, como o proprio nome diz, pode ser ob-
servado estaticamente, pois ele desloca o centro de massa do rotor. Ele pode ser
representado como uma massa pontual no mesmo plano do centro de massa do rotor
balanceado, como pode ser visto na Fig. 3.2. A presenca desta massa desloca o
centro de massa do rotor, mas o tensor de inercia, apesar de ser alterado, continua
sendo uma matriz diagonal, com os eixos principais de inercia coincidentes ao sis-
tema de coordenada do rotor S. A mudanca de posicao do centro de massa pode
entao ser observada ao posicionarmos o rotor sobre uma superfıcie plana e este rolar
por si so em busca do equilıbrio.
S
fΔm
Ω
Δm xd
Figura 3.2: Representacao do desbalanceamento estatico.
Quando o rotor esta girando, uma forca centrıfuga e exercida sobre o desbalan-
ceamento. Considere a massa pontual de desbalanceamento ∆m a uma distancia xd
do centro geometrico do rotor na direcao ~sx. Podemos descrever esta forca ~f∆m da
seguinte forma:
~f∆m =[xd∆mΩ2, 0, 0
]S
(3.9)
Deve-se observar que o vetor da Eq. (3.9) foi escrito no sistema de coordenadas
S. No sistema inercial tal forca estara girando na mesma frequencia Ω do rotor, com
20
intensidade proporcional ao quadrado desta frequencia.
3.2.2 Desbalanceamento Dinamico
Num desbalanceamento puramente dinamico, a posicao do centro de massa nao
e alterada, fazendo com que seus efeitos so possam ser observados com o rotor
em movimento. Ele pode ser demonstrado pela presenca de duas massas pontuais
iguais, em planos equidistantes do centro geometrico do rotor, mas em lados opostos,
como pode ser visualizado na Fig. 3.3. O principal efeito matematico causado pela
presenca deste tipo de desbalanceamento e a obtencao de uma matriz para o tensor
de inercia que nao e mais diagonal. Irao aparecer termos nao nulos fora da diagonal
principal do tensor, elemento que caracteriza o desbalanceamento dinamico.
S
fΔm/2
Ω
Δm/2
zd
Δm/2
zd -fΔm/2
xd
xd
Figura 3.3: Representacao do desbalanceamento dinamico.
Quando o rotor esta girando, a forca centrıfuga novamente atua sobre cada massa,
mas em sentidos opostos. Isto faz com que a resultante destas forcas seja nula, mas
o momento gerado por elas nao. Considerando cada uma das massas sendo ∆m/2,
nas posicoes [xd, 0, zd]S e [−xd, 0,−zd]S, as forcas centrıfugas de cada uma pode ser
calculada conforme a Eq. (3.9), logo o torque ~T∆m gerado pelo binario das forcas
sera:
~T∆m =[0, xdzd∆mΩ2, 0
]S
(3.10)
Conforme pode ser visto, este tipo de desbalanceamento tende a girar o rotor
num sentido indesejado. Para altas velocidades, onde este torque passa a ser grande,
assim como o efeito giroscopio, fica visıvel a tendencia do rotor a realizar o movi-
mento chamado de precessao. A direcao do torque tambem ira girar com a mesma
frequencia que o rotor.
3.2.3 Rotor Rıgido com Desbalanceamento Geral
Um desbalanceamento geral seria a presenca do estatico e dinamico ao mesmo tempo.
Isto implica num deslocamento do centro de massa e num tensor de inercia com
21
termos nao nulos fora da diagonal principal. Pode-se obter ambas caracterısticas de
forma bem simples, adicionando-se uma unica massa pontual que esteja fora do eixo
principal do rotor e fora do plano da secao central do rotor, ou seja, sua posicao deve
ser do tipo [xd, yd, zd]S, sem nenhuma coordenada nula. A posicao do novo centro
de massa, dita excentricidade ~e, pode ser encontrada conforme segue:
~e =
ex
ey
ez
S
=
(∆m
m
) xd
yd
zd
S
(3.11)
O passo seguinte e encontrar o novo tensor de inercia. Para tal, deve-se somar o
momento de inercia do rotor balanceado com o da massa de desbalanceamento. No
entanto, ambos os tensores sao calculados em relacao ao centro geometrico, entao,
apos a soma, deve-se utilizar o Teorema de Steiner para transferir o tensor para o
novo centro de massa calculado. A Equacao (3.12) mostra um resultado aproximado
desta manipulacao algebrica, em que os termos da diagonal principal permanecem
os mesmos do rotor balanceado, considerando a massa de desbalanceamento sendo
muito menor que a massa total (∆m m) [1].
IC =
Ix −Ixy −Ixz−Ixy Iy −Iyz−Ixz −Iyz Iz
S
(3.12)
Ixy ≈ ∆mxdyd; Ixz ≈ ∆mxdzd; Iyz ≈ ∆mydzd
Por simples inspecao das forcas de desbalanceamento mostradas anteriormente
nas Eqs. (3.9) e (3.10), vemos que la aparecem termos equivalentes aos termos
da nova posicao do centro de massa e tensor de inercia. Por conveniencia, iremos
reescreve-las fazendo as devidas substituicoes e considerando que a massa ∆m esta
numa posicao generica [xd, yd, zd]S. Obtemos:
~fdm =[mexΩ
2,meyΩ2, 0]TS
(3.13)
~Tdm =[IyzΩ
2, IxzΩ2, 0]TS
(3.14)
Finalmente, podemos utilizar os ultimos dados apresentados para atualizar
a equacao de movimento, adicionando o efeito do desbalanceamento. Para tal,
poderia-se refazer todos os passos realizados anteriormente na secao 3.1, levando
em conta o novo centro de massa e tensor de inercia. Contudo, com as forcas ja cal-
culadas geradas pelo desbalanceamento, e possıvel formula-las de forma a adicionar
seu termo diretamente no modelo de rotor balanceado, gerando a equacao final de
movimento. Tal equacao se torna ainda mais extensa e nao sera aqui mostrada.
22
3.3 Dinamica do rotor com mancais mecanicos
A partir do modelo construıdo podemos fazer uma simulacao de como seria o com-
portamento de um mancal mecanico. O sistema e entao composto por um rotor
desbalanceado, suportado por dois mancais mecanicos, podendo ser este um rola-
mento de esferas por exemplo.
Como dito anteriormente, o movimento axial do rotor nao e analisado e a re-
sistencia a rotacao do mesmo exercida pelos mancais mecanicos sera desprezada.
Esta premissa de desprezo da resistencia a rotacao nao e verdadeira em um mancal
mecanico, mas o objetivo aqui nao sera uma analise da relacao torque/velocidade
de rotacao, e sim os efeitos que tal rotacao podem acarretar.
O mancal sera aqui descrito como um material elastico com amortecimento vis-
coso. Apesar de formulacao bastante simples, esta relacao constitutiva ja descreve
bem o comportamento de materiais elasticos e ainda inclui uma complexidade para
se determinar o coeficiente de amortecimento. A Equacao (3.15) constitui tal relacao
entre a reacao do mancal Rm e a posicao do rotor xr.
Rm = kxr + cxr (3.15)
Em que k e a rigidez e c e o coeficiente de amortecimento viscoso do material.
Tal relacao pode ser entao finalmente substituıda nas equacoes (3.8) e uma solucao
pode ser obtida. No entanto, para uma simulacao numerica, foram atribuıdos valores
fısicos as grandezas. No Cap. 5 estes valores serao descritos, neste momento eles
serao omitidos por se tratar apenas de uma exemplificacao.
A Figura 3.4 mostra os resultados para vibracao translacional, rotacao e forca de
reacao deste exemplo. Fica claro a presenca de uma ressonancia quando a velocidade
chega perto dos 8000rpm, onde a amplitude de vibracao e muito maior. E possıvel
ver o porque desta ressonancia ser um grande problema, ja que exige altıssimas
reacoes dos mancais.
Em um modelo com sistema de levitacao ativo utilizando controle PD mostrado
no Cap. 2, o tipo de resultado seria o mesmo, pois e possıvel observar com clareza
a semelhanca do mesmo com a relacao constitutiva utilizada nesta secao para o
mancal mecanico, quando o controle esta estabilizado. Uma grande vantagem do
uso de MMA e a possibilidade de aproximar o comportamento deste com a de um
mancal mecanico atraves do controle, mas com a possibilidade mudar os parametros
computacionalmente (ou ate mesmo modelo em si), sem intervir nos componentes
fısicos, e assim alterar a resposta conforme o desejado.
23
xC yC
(a) Posicao do centro geometrico C.
(b) Velocidade de rotacao do rotor.
(c) Forca de reacao absoluta em cada mancal.
Figura 3.4: Resultados simulados do rotor desbalanceado com mancais mecanicos.
3.4 Modelo Linear
E conveniente elaborar tambem um modelo linearizado, ja que e desejado que a
posicao do rotor nao se altere muito em torno de um determinado ponto. Este
modelo permite uma simplificacao nos calculos, simplificacao que sera importante
mais adiante, alem de uma boa visualizacao por diagrama de blocos.
Sendo assim, a forma com que sera feita esta linearizacao se inicia considerando
os angulos de rotacao transversal do rotor θ(t) e β(t) pequenos e que seus cossenos
sao iguais a 1 e seus senos sao iguais aos proprios angulos. Alem disso, admite-se que
a rotacao do rotor e constante, sendo sua aceleracao assim como o torque aplicado
zero. No modelo linear, o efeito do peso do rotor tambem e desconsiderado. Com
estas consideracoes, o valor do vetor de velocidade angular R−→ω S visto na Eq. (3.2)
sofre consideravel simplificacao. Desta forma, e possıvel estipular o vetor ~q com
as coordenadas generalizadas do modelo e escrever a equacao linearizada na forma
matricial, conforme mostrada na Eq. (3.17) [18].
~q = [β(t) xC(t) θ(t) yC(t)] (3.16)
24
M~q + G~q = D~f (3.17)
Onde M e chamada matriz de inercia, G e intitulada matriz giroscopica, D e a
matriz para calculo das forcas e momentos resultantes no rotor e ~f e o vetor com
as forcas exercidas por cada mancal. A matriz de inercia possui as caracterısticas
inerciais do rotor e e diagonal, sendo a giroscopica anti-simetrica e dependente da
velocidade do rotor, conforme mostrado a seguir:
M =
Iy 0 0 0
0 m 0 0
0 0 Ix 0
0 0 0 m
G =
0 0 IzΩ 0
0 0 0 0
−IzΩ 0 0 0
0 0 0 0
D =
pm −pm 0 0
1 1 0 0
0 0 pm −pm0 0 1 1
~f =
f1x
f2x
f1y
f2y
Lembrando que pm se refere a distancia dos mancais ao centro do rotor. Resta
agora o termo referente ao desbalanceamento do eixo. De forma simples, podemos
implementar o desbalanceamento como um novo vetor de forca no lado direito da
Eq. (3.17), ja que o desbalanceamento nao e nada mais que uma forca periodica.
As Equacoes (3.13) e (3.14) ja possuem os termos de forca e torque referente a cada
coordenada para a construcao deste novo termo, mas no sistema de coordenadas
S. Devemos entao passar tais valores para o sistema inercial e definir o vetor de
acordo com a parcela de forca atuante em cada coordenada generalizada. O seguinte
sistema e definido [1]:
U =
−Iyz Izx
−mey mex
−Izx −Iyzmex mey
Ω2 ~w =
[sin(Ωt)
cos(Ωt)
]
M~q + G~q = D~f + U~w (3.18)
Escrita desta maneira, e possıvel ver como as forcas de desbalanceamento atuam
harmonicamente no rotor e na mesma frequencia que a velocidade de rotacao do
mesmo. Fica tambem claro como a parcela do efeito giroscopio aumenta com a
velocidade de rotacao ou a inercia na direcao z.
Este novo modelo ainda nao possui as relacoes constitutivas sobre a forca dos
25
mancais. Em relacao as forcas magneticas do MMA, estas relacoes serao construıdas
no Cap. 5, mas por enquanto podemos implementar o modelo de mancais mecanicos
elasticos, sem amortecimento, e tirar algumas conclusoes. O vetor das forcas nos
mancais ~f pode ser entao construıdo da seguinte maneira:
~f = −kDT~q
D~f = −kDDT~q = −K~q
Onde k e a constante elastica dos mancais. Podemos ver que nesta concepcao e
possıvel construir a matriz simetrica K, que inclui termos relacionado a posicao e a
rigidez dos mancais, chamada matriz rigidez. Substituindo em (3.18), a equacao do
movimento finalmente tera a seguinte forma:
M~q + G~q + K~q = U~w (3.19)
Tal forma e bastante conhecida e tem a forma semelhante a de um sistema
massa-mola-amortecedor com excitacao harmonica. No entanto, apesar de cada
coordenada poder ser tratada como independente devido a linearizacao, o termo
relacionado com o efeito giroscopio nao e analogo a um amortecimento, devido a
natureza anti-simetrica da matriz G.
A matriz A e chamada de matriz de espaco de estado e esta representada na
Eq. (3.20). Os estados deste sistema sao a posicao e velocidade das coordenadas
generalizadas, ~q e ~q, respectivamente. Este passo e importante para determinacao
das frequencias naturais, que sao encontradas pelo calculo dos autovalores de A.
A =
[0 I
−M−1K −M−1G
](3.20)
Para um rotor livre, ou seja, k = 0, temos tres dos autovalores nulos, e o quarto
como sendo:
ωN = ΩIzIx
(3.21)
Tal frequencia natural esta relacionada ao modo de vibracao intitulado nutacao,
em que o rotor gira nesta frequencia em torno de um eixo fora do eixo axial do
mesmo. A analise de (3.21) mostra que se Iz = Ix, o rotor entra em ressonancia
permanente, pois a frequencia natural sera sempre igual a velocidade de rotacao.
No caso de um disco, em que Iz > Ix, a frequencia natural estara sempre maior
que a rotacao, nunca acontecendo a nutacao. Mas para o caso de estudo de um
rotor com Iz < Ix, a ressonancia pode nao acontecer para este modo, mas a nutacao
26
estara sempre presente numa frequencia menor que a de rotacao (este fato pode ser
observado facilmente em um piao girando).
Agora se voltarmos a considerar a presenca dos mancais e fazendo a rotacao Ω =
0, vermos as frequencias naturais relativas a elasticidade dos mancais isoladamente.
Serao quatro modos de vibracao, dois relativos a rotacao em β e θ, e outros dois a
translacao em x e y, nas frequencias ωR e ωT , respectivamente.
ωR =
√2kpm2
IxωT =
√2k
m(3.22)
Em um caso geral, todas as frequencias naturais terao alguma dependencia com
a velocidade de rotacao. O grafico mostrado na Fig. 3.5, intitulado diagrama de
Campbell [19], mostra um exemplo da relacao das frequencias naturais com o au-
mento da velocidade de rotacao.
ω1
ω2 ω3
ω4 Ω
Ω
ω
Figura 3.5: Diagrama de Campbell para um exemplo de rotor.
Os pontos de intercessao das curvas de frequencia com a reta tracejada indica os
pontos onde havera ressonancia. Estes pontos sao chamados de velocidade crıtica
do rotor, pois a amplitude de oscilacao tende ao infinito (teoricamente). O conheci-
mento de tais frequencias e de suma importancia para o projeto, pois sera requerido
um grande esforco dos mancais para manter o rotor na posicao nestas velocida-
des. No caso dos mancais magneticos, altas velocidades sao uma das vantagens do
mesmo e estas velocidades crıticas podem desestabilizar o controle, tornado-se um
fator limitante. Assim, e importante que o projeto do rotor envolva tal analise para,
se possıvel, manter as velocidades crıticas do mesmo acima da velocidade desejada
de operacao. O metodo de controle utilizado se mostra uma excelente ferramenta
efetuar esta tarefa,
No Cap. 5, ambos os modelos mostrados aqui, o nao-linear e o linear, serao
implementados considerando o modelo de forca magnetica introduzido no Cap. 2,
juntamente com um sistema de controle, e entao novas analises serao realizadas.
27
Capıtulo 4
Controle por Modos Deslizantes
Como visto nos capıtulos anteriores, o uso de um mancal magnetico permite a
livre escolha de como sera a relacao constitutiva entre a reacao e a posicao do
rotor, tornando-se possıvel obter resultados tanto similares a dos mancais mecanicos
como completamente distintos. O que pode ser realizado entao e uma alteracao da
dinamica do sistema, onde o usuario escolhe a que achar mais conveniente e for de
maior serventia para sua aplicacao. No entanto, nesta livre escolha, deve-se estar
atento a estabilidade do sistema, que pode e deve ser comprovada matematicamente,
para determinar se a relacao construıda e capaz ou nao de desempenhar o seu papel
principal, que e manter a posicao do rotor.
Neste capıtulo sera mostrado o conceito matematico do Sliding Mode Control
(SMC), ou Controle dos Modos Deslizantes. Sera mostrado que as grandes vantagens
deste tipo de controle e a reducao de ordem, processo desacoplado, rejeicao de
disturbios externos, insensibilidade a variacao de parametros e a simplicidade de
implementacao. Um metodo para correcao do problema de trepidacao (chattering)
que surge neste tipo de controle em uma modelagem discreta tambem e fornecido.
O SMC ja e uma ferramenta reconhecida como sendo uma das mais eficientes
para a construcao de um controle robusto em sistemas dinamicos nao-lineares que
operem em condicoes de incerteza. Como sera visto, o SMC opera em funcoes de
estado descontınuos, o que simplifica tambem a implementacao fısica dos atuadores.
Dado este grande numero de vantagens, o uso do SMC tem aumentado, sendo
usado cada vez mais para um grande numero de aplicacoes industriais e academicas.
[2]
4.1 Conceito Matematico
O SMC e uma versao sofisticada do chamado controle liga/desliga. O controle
liga/desliga e baseado somente no fator de ordem zero, assumindo um determinado
valor para um erro positivo e um outro valor para um erro negativo. Ja o SMC
28
funciona de maneira similar, tambem em sistema liga e desliga, mas seu sinal de
controle depende tambem da derivada do erro, agindo desta maneira no espaco de
estados.
Tomemos como exemplo o sistema linear de segunda ordem da Eq. (4.1), jun-
tamente com sua representacao matricial em espaco de estado, mostrada na Eq.
(4.2). Temos x como sendo a variavel controlada, u como sendo o sinal de controle
e d como sendo um disturbio. O vetor ~x contem as variaveis de estado x1 e x2,
que podem ser entendidas num sistema mecanico como sendo velocidade e posicao,
respectivamente.
x = a1x+ a2x+ bu+ d (4.1)
~x =
(a1 a2
1 0
)~x+
(b
0
)u+
(1
0
)d (4.2)
~x =
(x1
x2
)
Considerando o ponto estacionario como sendo o ponto em que o vetor ~x e zero,
e criada a lei de controle para u utilizando o Sliding Mode. A Equacao (4.3) mostra
tal lei de controle [20].
u = K · sign(σ(x)) (4.3)
Num controle liga/desliga, a funcao de sinal dependeria somente da posicao x2,
sendo K o modulo da acao de controle. No entanto, o SMC utiliza a funcao σ(x),
intitulada superfıcie de deslizamento, como mostra a Eq. (4.4). Vista no espaco
de estados, esta funcao sera uma reta que corta a origem, onde valores de estado
acima ou abaixo dela ditam o valor da funcao de sinal em u. O termo ”superfıcie de
deslizamento”e utilizado ao inves de ”reta”por ser estendido a utilizacoes com mais
de duas dimensoes no espaco de estados.
σ(x) = x1 + λx2 =
(1
λ
)T
~x (4.4)
O valor de λ dita a inclinacao da reta, em que seu aumento deixa a reta mais
vertical. Isto significa que quanto maior o valor de λ, mais o sistema se aproxima de
um controle liga/desliga convencional. Neste ponto surge o questionamento sobre
quais sao as vantagens da utilizacao de tal modelo. O que esta lei faz e modificar
a dinamica do sistema, pois quando este atinge a superfıcie de deslizamento, a
dinamica do sistema muda e passa a ser governada por σ = 0. Cada vez que o
estado cruza esta superfıcie, o sinal de controle muda. Sendo assim, se o sistema
tiver potencia suficiente, o espaco de estados ficara cruzando a reta a cada instante
29
e ”deslizara”sobre a reta σ = 0, dito Sliding Mode, como mostra a Fig. 4.1. A prova
desta convergencia do comportamento esta provada na proxima secao.
Figura 4.1: Ilustracao do espaco de estados de alguns sistemas atingindo o SlidingMode [2].
Em um caso em que o sistema nao tenha potencia suficiente, quando o sistema
cruzar a reta, nao sera capaz de cruzar novamente no proximo instante e assim nao
entrara em Sliding Mode. Assim, a dinamica do sistema nao e alterada, o que nao
e o proposito deste controle. A potencia do sistema esta associada ao valor de K,
que e o modulo do sinal de controle.
No entanto, com um valor de λ mais baixo, e necessario menos potencia de
controle para entrar no Sliding Mode, ja que o peso da posicao diminui. A atuacao
de λ entao passa a funcionar como um amortecimento, como sera demonstrado na
proxima secao.
4.2 Estabilidade
Para ser analisada a estabilidade do modelo apresentado, basta uma resolucao da
Eq. 4.4 para σ(x) = 0. Tendo o sistema potencia suficiente, tal afirmacao e verdade,
ja que a dinamica e forcada a seguir esta reta.
x1 + λx2 = x+ λx = 0
x = e−λt (4.5)
Portanto, pode-se concluir que o sistema estara estavel para todo λ > 0, mas a
possibilidade de entrar em Sliding Mode nao e garantida com tal afirmacao, devendo
o controle ser sintonizado corretamente.
30
4.3 Sintonizacao
A sintonizacao do SMC pode ser feita de maneira bastante simples e intuitiva.
Basicamente existem somente dois parametros, o K e o λ. O valor de K, como
dito anteriormente, e relacionado a potencia do sistema. Olhando para a equacao
de controle do SMC, apresentada na Eq. 4.3, e possıvel ver que o sinal de controle
podera assumir somente dois valores: K e −K. A este sinal pode ser adicionado
um valor estacionario, se necessario. O sinal de K diz respeito a relacao entre
o a direcao do erro e do controle, podendo tambem desestabilizar o sistema se
especificado erroneamente. Seu valor absoluto sera de acordo entao com a maxima
potencia que o atuador pode fornecer, ficando este valor a criterio de projeto.
Com a potencia definida, o valor de λ pode ser definido a partir daı. Quanto
maior o valor de λ mais proximo ele esta do ideal, pois maior vai ser a acao do
controle para pequenos desvios da variavel controlada. Valores baixos, no entanto,
amortece o sistema, requerendo menos potencia. Pode ser entao escolhido um valor
bem alto como ponto de partida, aproximando o controlador a um liga/desliga, e ir
diminuindo ate o sistema apresentar estabilidade e o Sliding Mode ser verificado.
4.4 Modos Deslizantes Modificado
Uma caracterıstica comum em sistemas de controle liga/desliga e a presenca de
vibracao da resposta devido ao chaveamento. Como pode ser facilmente visto na
Fig. 4.1, apos iniciar o deslizamento, o sistema fica em um liga e desliga constante,
demonstrado pelo caminho em ”zigue-zague”que se encontra no grafico. Sendo as-
sim, mesmo apos atingir a posicao desejada, o sistema de controle mantera este
chaveamento, tirando por si so o sistema da estabilidade, nao atingindo nunca uma
situacao de erro zero. Alem disto, tal chaveamento apresentara uma frequencia, o
que pode gerar problemas de ressonancia com outras frequencias do sistema fısico
ou eletronico.
Devido a este problema, algumas tecnicas sao utilizadas para diminuir estes
efeitos, como a ponderacao do sinal de controle pelo modulo da posicao, ou pela
utilizacao de uma zona morta para valores proximos a zero da funcao de sinal. A
tecnica a ser utilizada aqui, no entanto, tem o intuito de enfraquecer a potencia
do atuador quando o espaco de estado ja se encontra muito proximo a superfıcie de
deslizamento. Isso e realizado com uma atenuacao da funcao de sinal, substituindo-a
na lei de controle por uma funcao tangente hiperbolica, como visto na Eq. (4.6) [2].
u = K · tanh(ζσ(x)) (4.6)
A funcao tangente hiperbolica funciona como a de sinal para valores de σ(x)
31
distantes de zero, mas a medida que estes valores ficam proximos de zero, seu valor
tambem cai, diminuindo a acao do controle. Assim, o problema do chaveamento e
evitado, pois a atuacao do controle tende a zero e um ponto final de estabilidade
pode ser atingido. O comportamento de ”zigue-zague”mencionado anteriormente
tambem acaba, ja que proximo a superfıcie de deslizamento o controle e suavizado.
No entanto este controle introduz um novo parametro de controle, o ζ, que e res-
ponsavel por quantificar esta suavizacao. A medida que ζ se aproxima do infinito, a
funcao tanh tende a se aproximar da funcao de sinal, e valores baixos aumentam a
suavizacao. Sendo assim, com este novo parametro setado corretamente, o sinal de
controle perdera potencia quando o espaco de estado se aproximar de σ(x) e con-
vergira de modo suave, sem os efeitos do chaveamento. A visualizacao deste efeito
pode ser vista na Fig. 4.2.
(a) (b)
Figura 4.2: (a) Funcao tangente hiperbolico; (b) Espaco de estado com a aplicacaodo SMC modificado com a funcao de tangente. hiperbolico.
E claro que esta implementacao nao apresenta mais uma das vantagens do SMC
padrao, que e simplicidade do circuito de amplificacao, ja que e necessario neste
novo modelo a obtencao de uma saıda contınua dentro de um intervalo, e nao mais
binaria. Sendo assim, apos a utilizacao do SMC padrao, a migracao para este sistema
pode nao ser tao simples, mas dependendo dos efeitos gerados pelo chaveamento,
esta medida precisa ser tomada.
4.5 Modos Deslizantes com Multiplos Estados
Nas secoes anteriores foram apresentados espacos de estados com somente duas
dimensoes. No entanto, e possıvel sistemas com tres ou mais variaveis de estado, o
32
que aumenta a complexidade do sistema, mas mantem o conceito.
Vamos tratar de um exemplo com tres dimensoes, por ainda permitir a visu-
alizacao. Uma unica equacao com tres variaveis forma um plano do espaco 3D.
Da mesma maneira que o caso 2D, cada lado deste plano estaria relacionado com
o liga/desliga do controle por modos deslizantes, mas a dinamica do sistema ainda
estaria muito livre para deslizar sobre a superfıcie do plano, prejudicando a robustez
do controle.
O que e entao realizado e a adicao de uma segunda equacao diferente da primeira,
formando um segundo plano. A intercessao destes planos formaria uma reta. O
espaco estaria entao dividido em quatro quadrantes, o que pode ser relacionado as
quatro combinacoes possıveis de dois interruptores: ligado/ligado, ligado/desligado,
desligado/ligado e desligado/desligado. O estado do sistema ficaria entao passando
por cada uma dessas configuracoes, circundando a reta de intercessao dos planos, de
forma semelhante ao que acontece no problema 2D. A Figura 4.3 ilustra como isto
ocorre.
Figura 4.3: Exemplo do que acontece num espaco de estado em tres dimensoes comduas superfıcies de deslizamento [2].
Desta forma, com o mesmo princıpio, o SMC pode ser aplicado tambem a siste-
mas com multiplas variaveis de estado.
33
Capıtulo 5
Modelo Computacional e
Simulacoes
Antes da construcao do prototipo, e essencial que se tenha simulacoes sobre o sistema
dinamico para prever o comportamento do sistema e fazer as devidas adequacoes.
De posse das informacoes fornecidas nos capıtulos anteriores, e possıvel implementar
a dinamica do rotor vista no Cap. 3, substituindo as forcas de reacao dos mancais
pelas forcas magneticas mostradas no Cap. 2 e inserir como lei de controle para
a corrente os Modos Deslizantes (SMC) visto no Cap. 4. Neste capıtulo veremos
entao a juncao da teoria apresentada para simulacao de um mancal magnetico.
O sistema a ser simulado sera a de um rotor simples, rıgido e com desba-
lanceamento geral, movimento axial desprezado e sustentado por dois mancais
magneticos equidistantes do centro, mantendo o rotor totalmente levitado. Os man-
cais magneticos podem atuar nas duas direcoes em ambos os sentidos, vertical e hori-
zontal, e sao simulados com seus estatores feitos em aco-silıcio de grao-nao-orientado,
material ja conhecido por suas excelentes propriedades magneticas. A dinamica do
sistema de sensoriamento e de amplificacao sera inicialmente desprezada, visto que
a parte eletrica e considerada muito mais rapida que a mecanica. No entanto, sera
mostrado que para tal informacao ser verdadeira, um sistema eletronico robusto
deve ser construıdo. Desta forma, foram simuladas duas estrategias de controle: por
corrente e por voltagem.
5.1 Controle por corrente
Conforme mencionado, nesta secao sera considerado o controle por corrente, que e a
variavel efetiva de correlacao com a forca magnetica, conforme mostra a Eq. (2.8).
Desta forma, o sistema de amplificacao deve garantir que a corrente que passa pelas
bobinas siga diretamente o sinal de controle.
34
Na implementacao computacional do modelo, tais equacoes puderam ser obtidas
utilizando o toolbox Sophia [21] no software Maple [22]. Este toolbox cria de forma
simples as relacoes entre os sistemas de coordenadas, a cinematica de movimento
ate chegar nas equacoes dinamicas utilizando o metodo da projecao ortogonal de
Kane [23]. Esta ferramenta permite entao trabalhar com modelos extensos e nao-
lineares, sem a necessidade de eventuais simplificacoes, ja que a visualizacao das
equacoes em si nao e importante, mas a forma que se descreve, eliminando tambem
possıveis erros de manipulacao gerados pelo tamanho dessas equacoes. No Apendice
A estao demonstrados os algoritmos de simulacao construıdos para um rotor com
desbalanceamento geral, seguindo a representacao mostrada na Fig. 5.1.
S
CM p
R1
Mancal 2
q4
q3
q2
q1
CG dm
R
q5
Mancal 1
R2
T
-(m+dm)g
R
Figura 5.1: Esquema utilizado para resolucao da dinamica do rotor utilizando otoolbox Sophia.
Para a obtencao de resultados, e preciso atribuir valores fısicos aos componentes.
Os valores do rotor escolhido, assim como o torque aplicado, estao apresentados na
Tab. (5.1). Os parametros projetados para o mancal, assim como as estimativas para
as constantes de forca, estao mostrados na Tab. (5.2). Alguns desses valores foram
determinados para o projeto e outros adaptados num processo iterativo juntamente
com a construcao do prototipo, descritos no proximo capıtulo.
Tabela 5.1: Parametros do rotor.Parametro Representacao Valor
Massa do rotor m 1kgComprimento do rotor l 400mm
Diametro do rotor d 14, 28mmMassa de desbalanceamento ∆m 10g
Posicao do desbalanceamento no rotor [xd, yd, zd]S [5, 5, 20]S mmDistancia dos mancais ao ponto C pm 150mm
Torque aplicado Tq 0, 001N.m
A diferenca agora com o que foi feito na secao 3.3, e que a forca nao e sim-
plesmente uma combinacao linear da posicao e velocidade do rotor, mas uma forca
magnetica, mostrada na Eq. (2.8), que depende da posicao e da corrente. Conforme
tambem ja mencionado, o comportamento de um controlador PD para esta corrente
35
Tabela 5.2: Parametros do MMA.Parametro Representacao Valor
Permeabilidade magnetica relativa do aco-silıcio GNO µr 8.103
Fluxo magnetico de saturacao do aco-silıcio GNO Bmax 1.7TComprimento da curva amperiana l 115mm
Area de atuacao do mancal A 2, 35.10−4m2
Numero de voltas total das bobinas n 260voltasResistencia de cada par de bobina R 1, 2Ω
Indutancia estimada L 20mHFolga estacionaria Rotor/Mancal s0 1mm
Corrente de base nas bobinas i0 1AConstante Forca Magnetica/Posicao estimada ks 2.104N/mConstante Forca Magnetica/Corrente estimada ki 20N/A
se equivale ao do mancal mecanico e nao sera aqui demonstrado. Partiremos entao
diretamente para a implementacao do Sliding Mode Control.
O SMC e implementado de forma independente nas duas direcoes dos dois man-
cais, totalizando um sistema com quatro variaveis de controle. Foi mostrado na
secao 2.1 que devido a presenca de um par de bobinas de cada lado em cada direcao,
cada sinal de controle sera acrescentado de um lado e diminuıdo do outro. No SMC
padrao isto significa que enquanto um lado esta ”ligado”o outro esta ”desligado”,
exercendo a forca cada momento em um sentido. Determinada a corrente de base
i0, o valor maximo de K na lei de controle e igual a i0, ja que a subtracao de K da
corrente de base equivale a bobina ”desligada”, e a adicao, a bobina ”ligada”com
corrente igual a duas vezes este valor. Isto quer dizer que a escolha de i0 nao so
influencia nos parametros da forca magnetica, mas tambem na maxima potencia do
sistema. A Equacao 5.1 mostra este fato, pelo calculo da corrente real.
ireal = i0 + u (5.1)
u = K · sign(σ(x)) (5.2)
Como na modelagem tratamos a forca em cada direcao como uma unica equacao,
as correntes de base das bobinas opostas se anulam e nao participam desta etapa,
mas seus valores devem ser utilizados para a estimativa dos parametros da forca
magnetica e determinacao de K. Desta forma, uma corrente de base alta permite
aumentar a potencia do controle, mas seu valor deve ser limitado com base na
dissipacao de calor na bobina e na garantia de que o material ferromagnetico do
mancal nao se sature.
O valor de λ na lei de controle deve ser maximizado de forma a manter o sistema
estavel e ”deslizando”sobre a reta determinada por σ(x) = 0 no espaco de estados.
36
Os valores para K e λ utilizados que permitiram uma estabilidade no sistema foram:
K = 1 λ = 200 (5.3)
Lembrando que com estes valores a corrente real maxima que passara pelas bobi-
nas sera de 2 ·K = 2A, porque e somado ao sinal de controle um valor estacionario,
que deve ser de valor igual a K, para que o valor final de controle seja de zero e 2K.
Um ultimo parametro necessario e de grande importancia e a frequencia de atuacao.
Por se tratar de um controle tipo liga e desliga, havera uma frequencia maxima que
o sistema podera fazer este chaveamento. As simulacoes a seguir foram simuladas
com um passo de 0, 1ms, equivalente a 10kHz. E considerado como condicao inicial
o rotor completamente parado, como se estivesse em repouso sobre os mancais de
apoio, com xC iniciando em −0, 4mm. Os resultados referentes ao rotor e um dos
mancais sao mostrados a seguir, na Fig. 5.2.
Como pode ser visto, os resultados foram bastante satisfatorios. O sistema atin-
giu a posicao desejada em alguns centesimos de segundo com muita estabilidade e,
apos isto, ficou oscilando com uma amplitude de ordem de grandeza bastante baixa
(10−5m) ate por volta de 18s.
Quando a velocidade de rotacao chega aos 7000rpm o comportamento muda
bruscamente, com sua amplitude crescendo de forma rapida e semelhante a uma
ressonancia. E tambem possıvel observar uma ligeira queda na taxa de aumento
da velocidade de rotacao a partir deste ponto. Este efeito era esperado, pois neste
ponto as forcas de desbalanceamento se tornam demasiadamente grandes e fazem
com que o sistema nao tenha potencia para mante-lo no modo deslizante, embora
a levitacao permaneca. Um sistema real provavelmente desestabilizara com tal fato
por sair muito do ponto de operacao e a forca magnetica real nao ser linear como foi
considerado. Assim, o limite maximo de rotacao antes do sistema se desestabilizar
na simulacao foi de 20000rpm, mas em 9000rpm ele ja atinge uma oscilacao tao alta
que tocaria nos mancais de apoio que permitem um maximo de 1mm de movimento,
deixando de levitar. E importante tambem ressaltar que o aumento brusco da
amplitude de oscilacao nao e uma ressonancia e que nao iria diminuir caso a rotacao
continuasse a aumentar, ela e consequencia da saıda do modo deslizante e leva o
sistema a perder a estabilidade.
A Figura 5.3 mostra os resultados referente ao mancal 1, sendo que o mancal 2
possui resultados analogos.
Vemos que o sistema opera em regime maximo desde o inıcio, onde o rotor ainda
gera pouca forca sobre os mancais. Isto pode ser entendido como um desperdıcio de
energia, consequencia da simplicidade do controle chaveado. A Figura 5.4 mostra
com detalhes a variacao da posicao nos 3s iniciais. E possıvel visualizar como o
37
(a) Variacao da posicao do centro geometrico.
(b) Variacao dos angulos transversais. (c) Variacao da velocidade de rotacao Ω.
.
(d) Espaco de estados no eixo x do Mancal 1.
Figura 5.2: Resultados do eixo para a simulacao com SMC padrao de corrente.
38
(a) Modulo da reacao exercida.
(b) Corrente na bobina superior.
(c) Fluxo magnetico na bobina superior.
Figura 5.3: Resultados sobre a dinamica do Mancal 1 com SMC padrao.
Figura 5.4: Posicao do centro geometrico para 2s de simulacao com SMC padrao decorrente.
controle por SMC muda a dinamica do sistema drasticamente pouco antes dos 2s,
forcando o eixo a permanecer na posicao.
Alem da frequencia de rotacao, tambem pode ser observada frequencias mais
elevadas, que podem ser confundidas pela espessura da linha na plotagem. A pre-
senca desta vibracao nao e desejada e ela e gerada pelo excesso de energia gasto no
chaveamento, mencionada anteriormente.
39
(a) Variacao da posicao do centro geometrico.
(b) Variacao dos angulos transversais.
(c) Variacao da velocidade de rotacao Ω.
.
(d) Espaco de estados no eixo x do Mancal 1.
Figura 5.5: Resultados do eixo para a simulacao com SMC modificado de corrente.
40
Foi entao implementado o controle com o SMC modificado, utilizando a curva
de atenuacao mostrada na secao 4.4, com o objetivo de reduzir a excitacao causada
pelo chaveamento. Os mesmos parametros foram mantidos, e o fator ζ foi iniciado
alto e reduzido ate poder ser observada uma boa convergencia no espaco de estados,
estabelecendo-se o valor ζ = 320. Os resultados sao mostrados a seguir, na Fig. 5.5.
Como pode ser observado, os resultados possuem algumas caracterısticas em co-
mum, como a saıda do sistema do modo deslizante no mesmo ponto e o mesmo
comportamento da velocidade de rotacao. A diferenca maior esta na amplitude de
oscilacao. A reducao da excitacao causada pelo chaveamento diminuiu muito a am-
plitude com que o rotor se movimentou, obtendo-se valores na ordem de 10−7m para
rotacoes mais baixas e permanecendo sempre menor do que a obtida anteriormente.
A excitacao causada pelo chaveamento ja nao e mais observada e os valores
de corrente e forca crescem a medida que sao requeridos, como pode ser visto na
Fig. 5.6. Isto quer dizer que o sistema requer menos potencia, trazendo melhor
performance e economia de energia, o que faz a escolha deste controle ser a mais
indicada.
(a) Modulo da reacao exercida.
(b) Corrente na bobina superior.
(c) Fluxo magnetico na bobina superior.
Figura 5.6: Resultados sobre a dinamica do Mancal 1 com SMC modificado decorrente.
41
Em geral, os resultados de controle por corrente foram muito bons, com um
alcance da parametrizacao correta consideravelmente rapido e sem maiores com-
plicacoes, alem de atingir rotacoes muito altas de forma estavel. No entanto, este
modelo nao inclui a presenca da indutancia das bobinas, devendo ter assim uma
fonte de corrente. Na ausencia de uma fonte que ao menos se aproxime da ideal, tal
indutancia nao pode ser menosprezada, devendo o controle ser feito por voltagem.
5.2 Controle por tensao
Tendo em vista a complexidade envolvida no projeto de um amplificador de cor-
rente, tem-se a opcao de realizar um controle por tensao, como sera visto a seguir.
Queremos entao criar uma segunda opcao simulando um controle por tensao e tes-
tar se e possıvel tambem atingir bons resultados. Amplificadores de tensao possuem
uma simplicidade consideravel em relacao aos de corrente, mas requerem um melhor
controlador por aumentarem a ordem do sistema.
Para realizar tal controle, tera de ser considerada agora a indutancia da bobina,
ja que neste caso a variacao da tensao implica num transiente para a variacao da
corrente na bobina. Sera visto que, apesar de se tratar de um componente mecanico,
este sistema apresenta uma dinamica rapida e este transiente de corrente nao pode
ser ignorado. A referida indutancia e variavel de acordo com a posicao do rotor,
mas para uma descricao linear sera aqui considerada constante. Similarmente ao
caso de uma turbina, o movimento do rotor no campo magnetico tambem gera uma
voltagem atraves da bobina. Esta voltagem induzida e proporcional a velocidade de
deslocamento do rotor. Assim, a diferenca de potencial total do amplificador sera
dada de acordo com a seguinte equacao [1]:
u = Ri+ Ldi
dt+ ku
dx
dt(5.4)
De acordo com Vischer [24], baseado na teoria da conversao da energia eletro-
mecanica, pode ser demonstrado que ku e teoricamente igual ao fator de relacao
forca/corrente ki. A indutancia L sera estimada mais a frente segundo a Eq. (5.11).
Tendo u como sinal de controle, mas sendo a corrente o valor efetivo de relacao
com a forca, se faz necessario no modelo a insercao de uma integral dentro do
calculo da corrente. A solucao deste novo esquema utilizando o modelo nao-linear
visto anteriormente passa a ser de difıcil obtencao devido ao aumento do grau de
complexidade da equacao diferencial, alem de exigir um grande tempo computaci-
onal. Sera utilizado entao para este caso o modelo linearizado obtido na secao 3.4,
sendo possıvel assim uma resolucao numerica mais rapida.
A partir da Eq. (3.18), da mesma forma que foi feito para o mancal elastico,
42
substituiremos as forcas dos mancais pelas forcas eletromagneticas.
~f = −KsDT~q + Ki
~i (5.5)
~f =
f1x
f2x
f1y
f2y
~q =
β(t)
xC(t)
θ(t)
yC(t)
~i =
i1x
i2x
i1y
i2y
Sendo Ks e Ki matrizes diagonais com os parametros ks e ki de cada bobina,
respectivamente, e~i o vetor com o valor da variacao de corrente nas bobinas de cada
mancal. Substituindo (5.5) em (3.18), obtemos:
M~q + G~q + Kss~q = DKi~i+ U~w (5.6)
Kss = DKsDT
Ainda se faz necessario uma terceira equacao que relaciona o valor da leitura
dos sensores de posicao com as coordenadas generalizadas atraves de uma matriz
E, mostrada na Eq. (5.7). Isto se deve ao fato de que a leitura dos sensores nao
diz respeito exatamente ao deslocamento do rotor no mancal, por conta do posici-
onamento diferente causado pelo espaco fısico que estes componentes ocupam. No
entanto, nesta presente simulacao eles serao considerados como na mesma posicao,
da mesma maneira que foi colocado no controle por corrente.
~y =
xse1
xse2
yse1
yse2
= E~q (5.7)
E =
pse1 1 0 0
pse2 1 0 0
0 0 pse1 1
0 0 pse2 1
Onde pse1 e pse2 sao as distancias que os sensores de cada mancal estao do centro
do rotor.
Finalmente, com as Eqs. (5.6), (5.7) e a (5.4) rearranjada em forma matricial, e
construıdo o sistema linear mostrado a seguir:M~q + G~q + Kss~q = DKi
~i+ U~w
L~i = ~u−R~i−KiDT ~q
~y = E~q
43
E conveniente agora reescrever tal sistema introduzindo um vetor de estado ~x,
que e inclusive um dos passos necessarios para a aplicacao do SMC. Nota-se que
neste novo sistema controlado por tensao, e preciso colocar a corrente tambem como
um elemento do vetor de estados [20].
~x =
~q
~q
~i
Rearranjando novamente o sistema para escreve-lo com o vetor de estados, che-
gamos finalmente no modelo linear final mostrado a seguir, com seu respectivo dia-
grama de blocos mostrado na Fig. (5.7).
~x = A~x + B~u+ D~y = C~x
(5.8)
A =
04x4 I4x4 04x4
−M−1Kss −M−1G M−1DKi
04x4 −LKiDT −L−1R
B =
04x4
04x4
L−1
D =
04x4
M−1U~w
04x4
C =
[E 04x4 04x4
04x4 E 04x4
]
A
∫ B C
D
+ + x u y
Figura 5.7: Diagrama de blocos do sistema rotor e MMA com controle por tensao.
A matriz C substitui a matriz E no sentido de que os sensores serao capazes de
fornecer a posicao e a velocidade, mas nao a corrente. Sendo assim, o vetor ~y passa
44
a conter tambem informacoes sobre a velocidade, com dimensao oito. Na pratica,
nem a velocidade sera medida, mas sim calculada atraves da variacao da posicao.
Para um sistema em malha aberta, a instabilidade pode ser facilmente compro-
vada pelo aparecimento de autovalores de A com parte real positiva. Devemos agora
aplicar a retro-alimentacao, estipulando a lei de controle para ~u relacionada a lei-
tura dos sensores ~y. Para aplicacao do SMC, escreveremos a lei em forma matricial,
mostrada na Eq. (5.10).
~σ = Σ · ~y =
λx1 0 0 0
0 λx2 0 0
0 0 λy1 0
0 0 0 λy2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
·
xse1
xse2
yse1
yse2
˙xse1
˙xse2
˙yse1
˙yse2
(5.9)
Kp =
kpx1 0 0 0
0 kpx2 0 0
0 0 kpy1 0
0 0 0 kpy2
~u = Kp · sign(~σ) (5.10)
Nota-se pela natureza diagonal das matrizes que o controle e totalmente descen-
tralizado e pode-se definir parametros de controle distintos para cada bobina.
Uma questao importante envolvida no controle por tensao e a presenca da cor-
rente no vetor de estados. Sendo assim, o SMC passa a ter um espaco de estados
com tres dimensoes. No entanto, tal implementacao necessitaria de um sensor da
corrente, e como o objetivo aqui e a comparacao do controle por tensao e por cor-
rente num mesmo sistema, tal sensoriamento nao sera considerado. Isto quer dizer
que a reta definida por ~σ = 0 esta no plano posicao/velocidade, mas num espaco de
tres dimensoes.
Conforme visto na secao 4.5, para o SMC funcionar num espaco de estado 3D e
preciso de duas superfıcies de deslizamento que se interceptem e formem uma reta.
Isto equivale dizer que cada linha de ~σ na Eq. (5.9) forma uma superfıcie que inter-
cepta uma outra superfıcie definida por ~i = 0, ou seja, o plano posicao/velocidade.
Apesar de parecer um SMC tradicional em 2D, ficara evidente nos resultados que
o fato da corrente ser ignorada pelo controle gera um resultado diferente daquele
visto anteriormente. Dizer que o sistema e composto por tres dimensoes com duas
superfıcies de deslizamento, equivale a dizer que passam a existir dois interruptores
45
que ficarao ligando e desligando.
Os mesmos parametros mostrados nas tabelas 5.1 e 5.2 foram utilizados, sendo
necessario neste caso tambem a indutancia L das bobinas. Esta indutancia pode ser
estimada segunda a Eq. (5.11) [1].
L =µ0n
2A
2s(5.11)
Tal formula gera uma aproximacao para a indutancia que geralmente superestima
seu valor, pois nao considera a relutancia do material ferromagnetico, a fuga de fluxo
magnetico e a geometria da bobina. Alem disso, sabemos que as relacoes entre os
campos magneticos B e H sao nao-lineares, o que muda o valor da indutancia de
acordo com o ponto de operacao. No entanto, um valor exato ou uma funcao para
a indutancia e de difıcil obtencao, logo sera usada a aproximacao mostrada na Eq.
(5.11), gerando um valor de 10mH.
O aumento da velocidade de rotacao foi imposto, ja que neste modelo linear ela e
formulada como constante. Isto e feito somente para analise do sistema em diferentes
rotacoes, ja que o efeito que a aplicacao de um torque realiza nao e considerado.
Para a escolha dos parametros de controle, foi definido um valor de potencia
analogo a potencia utilizada no controle por corrente, ou seja, com base na resistencia
da bobina, o valor maximo e mınimo de tensao do controle foi escolhido para ter os
mesmos limites de corrente definidos. Chegaram-se entao aos seguintes valores:
K = 2.4 λ = 20 (5.12)
Veja como o sistema perdeu potencia e foi necessario um valor muito mais baixo
para o λ, definido em 200 no caso anterior.
O sistema foi entao implementado nos programas MATLAB e Simulink [25], cujo
codigo e diagrama de blocos podem ser vistos no Apendice B. A frequencia maxima
de chaveamento tambem foi limitada em 10kHz e o rotor foi tambem iniciado em
repouso nos mancais de apoio, com xC = −0.4mm. Os resultados obtidos para 2s
de simulacao podem ser vistos na Fig. 5.8.
Este resultado foi obtido instantes antes do sistema desestabilizar completa-
mente. Os resultados se diferem completamente daqueles obtidos no controle por
corrente. O espaco de estados apresenta o referido atraso para responder, ja mos-
trando que no inıcio da simulacao o rotor sofre uma ligeira queda antes da corrente
subir o suficiente para puxa-lo para cima. Este e o efeito mencionado decorrente da
caracterıstica 3D desse espaco de estado, onde a terceira dimensao i nao e plotada
por nao ser considerada pelo controle.
O sistema vai se desestabilizar por volta dos 800rpm, valor bem abaixo do limite
46
(a) Variacao da posicao do CG em x.
(b) Variacao da posicao do CG em y.
(c) Variacao do angulo de giro β.
(d) Variacao do angulo de giro θ.
[s]
[rp
m]
(e) Velocidade de rotacao.
(f) Espaco de estados no eixo x do Mancal 1.
Figura 5.8: Resultados do eixo para a simulacao com SMC padrao por tensao.47
encontrado no controle por corrente. Isto era esperado, devido ao atraso que o
sistema demora para reagir. A amplitude de oscilacao permanece baixa, mas no
instante em que o sistema sai do modo deslizante, ele ja nao e mais capaz de manter
a estabilidade.
Na Figura 5.9 vemos o inıcio do chaveamento da voltagem e como a corrente se
comporta, seguindo a oscilacao do rotor e chegando ao limite de 2A rapidamente. O
atraso da corrente permite que o rotor saia mais do ponto de operacao e e requerido
mais forca para traze-lo de volta.
(a) Sinal de controle de tensao no eixo x.
(b) Corrente na bobina superior.
(c) Modulo da forca exercida.
(d) Fluxo magnetico na parte superior.
Figura 5.9: Resultados para o Mancal 1 no controle por SMC padrao por tensao.
Para o controle com o SMC modificado foi utilizado novamente os mesmos
parametros de controle, com um fator ζ = 2000. Foram encontradas vantagens
analogas as vantagens obtidas quando o mesmo controle foi implementado para a
corrente. Os resultados sao semelhantes e o mesmo limite de rotacao e encontrado,
sendo que as respostas sao mais suaves e a amplitude de oscilacao menor. As Figuras
5.10 e 5.11 mostram estes resultados.
Com estes resultados de simulacao, e possıvel prever como o prototipo podera
48
(a) Variacao da posicao do CG em x.
(b) Variacao da posicao do CG em y.
(c) Variacao do angulo de giro β.
(d) Variacao do angulo de giro θ.
[s]
[rp
m]
(e) Velocidade de rotacao.
(f) Espaco de estados no eixo x do Mancal 1.
Figura 5.10: Resultados do eixo para a simulacao com SMC modificado, por tensao.49
(a) Sinal de controle de tensao no eixo x.
(b) Corrente na bobina superior.
(c) Modulo da forca exercida.
(d) Fluxo magnetico na parte superior.
Figura 5.11: Resultados para o Mancal 1 no controle por SMC modificado, portensao.
vir a se comportar, e num processo iterativo com o projeto, foram estipulados
parametros para a construcao que trouxessem melhores resultados. No entanto,
sao inumeras as hipoteses feitas para a construcao destes modelos. Sendo assim,
fatores como perdas, fuga de campo magnetico, histerese magnetica, presenca de
ruıdo, digitalizacao dos dados no processamento, entre outros, foram desprezados.
Temos tambem os erros de parametros que tiveram que ser estimados e de fatores
como a permeabilidade magnetica que foi considerada constante. Alem disso tudo,
temos intrınsecos outros erros trazidos durante a modelagem. Toda essa quantidade
de fatores faz com que os resultados num projeto real possa apresentar resultados
bastante diferentes dos apresentados.
Neste ponto, permanece em questao a relevancia de se fazer tais simulacoes. Este
processo e de suma importancia para analise do comportamento do sistema. Em-
bora os resultados reais possam vir a diferir do simulado, eles apresentarao padroes
semelhantes que puderam ser estudados antes da construcao do prototipo. Assim,
se faz possıvel realizar inumeros testes na simulacao e ja adquirir informacoes de
50
como se pode melhorar o controle, como identificar determinados tipos de proble-
mas, os parametros mais ou menos relevantes ao sistema, a impossibilidade ou nao
de atingir a estabilizacao, alem de um treinamento pessoal para atuar com o modelo
real. Foi observado, por exemplo, que um dos fatores mais importantes ao controle
e a frequencia de processamento, sendo que mesmo perante a robustez do contro-
lador utilizado, para uma frequencia abaixo de um certo limite, a estabilizacao era
inviavel. Como sera visto no Cap. 7, bons resultados foram rapidamente obtidos,
gracas ao que foi estudado atraves das simulacoes.
51
Capıtulo 6
Projeto do Prototipo de Mancal
Magnetico Ativo
A construcao do prototipo teve basicamente tres fases. Na primeira fase foram proje-
tados os componentes mecanicos, tal como tipo de estrutura, mecanismos, materiais
e metodos de fabricacao. A segunda fase e a determinacao dos sensores de posicao
e a eletronica de potencia, responsavel por amplificar o sinal e fornecer energia ao
mancal. Por ultimo temos a parte de processamento de dados, assim como a forma
que sera feita a aquisicao do sinal dos sensores, sua calibracao, filtros que serao utili-
zados e geracao do sinal de saıda. Omite-se aqui o projeto do controlador, discutido
no Cap. 4 e projetado atraves das simulacoes realizadas no Cap. 5.
6.1 Mancais e rotores
Para a construcao da parte fısica do mancal/rotor, e feito um processo iterativo
entre os parametros de projeto, simulacao e metodos de fabricacao. O primeiro
fator a ser determinado e sobre a estrutura geometrica do mancal. Existem duas
configuracoes basicas para mancais magneticos descritas na literatura: a heteropolar
ou a homopolar [1]. Os mancais heteropolares sao os mais amplamente utilizados,
onde o campo magnetico caminha radialmente no rotor. Nos homopolares o campo
magnetico caminha axialmente. A diferenca entre as duas configuracoes pode ser
vista na Fig. 6.1.
Ambas estruturas foram analisadas e pre-projetadas. Nesta etapa ficou evidente
a maior simplicidade de fabricacao de uma estrutura heteropolar, por se tratar de
uma peca unica, tornando-a a escolhida. Esta estrutura e formada pelo chamado
estator, a peca que envolvera o rotor e que servira de corpo para o enrolamento
das bobinas, formando o eletroıma. A estrutura heteropolar gera corrente parasita
devido a constante mudanca de fluxo magnetico dentro do estator. Esta corrente
52
(a) Configuracao heteropolar
(b) Configuracao homopolar
Figura 6.1: Tipos de configuracoes geometricas para MMA [1].
gera perdas de potencia, pois e energia gasta sem utilidade, e pode ser diminuıda
pela composicao do estator por varias chapas [26], mesmo princıpio utilizado pelos
transformadores.
O material destas chapas deve ser escolhido conforme suas propriedades
magneticas, como baixa histerese, alta permeabilidade e principalmente alta sa-
turacao magnetica, ja que este e um fator limitante da carga suportada pelo mancal.
Foi entao usado o aco-silıcio de grao-nao-orientado em chapas de 0, 5mm, fornecido
pela Acesita. Este material ja e de uso recorrente em aplicacoes desta natureza. As
Figuras 6.2 e 6.3 mostram a curva caracterısticas deste aco.
Figura 6.2: Curva de magnetizacao do aco-silıcio GNO da Acesita.
Como mostrado, a saturacao magnetica, no SI, e de aproximadamente 1.7T . No
entanto, e desejado trabalhar longe deste ponto, ja que a permeabilidade, que pode
53
Figura 6.3: Curva da permeabilidade do aco-silıcio GNO da Acesita.
ser entendida como a inclinacao da curva, decresce bastante nesta regiao. A maxima
permeabilidade e obtida quando a magnetizacao e em torno de 0.8T , com um valor
de permeabilidade relativa de aproximadamente 8.500.
Definido o raio r interno do estator, visto na Fig. 6.4, a largura a dos chamados
dentes (local onde sao enroladas as bobinas) foi calculada de maneira a maximizar
a forca, com o balanco entre o aumento de sua area transversal e a area disponıvel
para o enrolamento da bobina. Foram definidos um numero de oito desses dentes,
formando quatro pares de eletroımas (Superior, Inferior, Direito e Esquerdo) para
controle de movimento em todas as direcoes. Um numero maior de dentes dificultaria
a fabricacao e um numero menor dificultaria o controle.
A polarizacao dos dentes segue a sequencia N-S-S-N-N-S-S-N, criando quatro
loops de campo magnetico independentes, apesar de tudo ser formado por uma
peca unica. Estes ciclos fechados terao obviamente perdas, mas sao a maneira mais
correta para minimizar a fuga do campo gerado e permitir uma boa controlabilidade.
A espessura c da ”casca”externa do estator deve ser a mesma dos dentes, ja que por
ali passa o mesmo fluxo magnetico que deve atravessar teoricamente sempre a mesma
secao transversal. Caso fosse sub-dimensionada, o material iria chegar ao ponto de
saturacao magnetica antes do previsto.
Por ultimo, define-se a altura b dos dentes e largura d do estator (que esta
relacionada ao numero de chapas). Tais parametros inplicam na carga que o mancal
sera capaz de suportar. Quanto maior a altura dos dentes, mais voltas na bobina
pode-se dar, requerendo menos corrente para induzir um mesmo campo, mas o
54
d
Figura 6.4: Montagem das chapas que formarao o estator com as respectivas di-mensoes mais relevantes.
caminho deste campo tambem aumenta, diminuindo-o. Desta maneira, a altura de
tais dentes possui um ponto otimo que pode ser calculado pelo ponto de maximo
da forca quando colocada em funcao desta altura. Para isto, bastou-se colocar
o percurso do fluxo magnetico e o numero de voltas da bobina em funcao desta
altura, substituı-los na Eq. (2.7) e calcular o ponto maximo. Ja a espessura do
mancal esta diretamente ligada a carga suportada, pois aumenta linearmente a area
de atuacao da forca, conforme visto na Eq. (2.6).
O Apendice C mostra o desenho do estator com as dimensoes projetadas. O
processo de fabricacao foi feito atraves do corte a jato d’agua das chapas por co-
mando numerico. Este processo permitiu uma boa tolerancia de corte, na ordem de
0, 2mm. Outro motivo da escolha por este metodo foi a possibilidade das chapas
serem cortadas em blocos ao inves de individualmente, garantindo a uniformidade
para a posterior montagem do mancal.
Resta agora determinar os parametros das bobinas, que serao enroladas em cada
dente do estator e ligadas em serie aos pares. Estes parametros sao a espessura do
fio de cobre e numero de voltas. Para isto, podemos analisar novamente a Eq. (2.4).
B = µ0ni
lµr
+ 2x
Vemos que dado o fluxo magnetico de saturacao e a folga maxima permissıvel
entre o rotor e o estator, podemos determinar o valor maximo de ni, intitulada
forca magnetomotiva. E entao estipulada uma folga estacionaria de 1mm entre o
55
rotor e o estator, de forma que permita que o rotor vibre com liberdade, mas sem
perder muita potencia na levitacao, ja que a forca diminui exponencialmente com
esta folga. A folga maxima de movimento, no entanto, e dada por um apoio, que
tem como objetivo evitar o contato entre o rotor e o mancal de forma a protege-lo
em caso de mal funcionamento ou falta de energia. A folga estacionaria entre este
apoio e o rotor deve ser entao menor que 1mm. Este e o ponto da fabricacao em
que as tolerancias sao as mais crıticas.
Com o valor maximo de ni calculado em 2725A, ja e possıvel determinar os
parametros da bobina. Escolheu-se o fio AWG 22, o que permitiu realizar um numero
de 130voltas em cada dente, totalizando 260voltas para cada circuito magnetico.
Isto permite um valor maximo para a corrente de 10A, com o mancal capaz de
produzir uma forca maxima de 540N . No entanto, este valor e demasiadamente alto
quando consideramos o aquecimento das bobinas, o que leva o valor maximo real a
ser utilizado ser bem mais baixo para nao ser preciso considerar este problema de
transferencia de calor, mantendo o material ferromagnetico longe da saturacao.
O fio AWG utilizado possui esmalte em poliesterimida, chamada classe-H de
isolacao, podendo atingir temperaturas de ate 180oC. As bobinas foram entao en-
roladas em um carretel construıdo em PVC-AB e depois encaixadas em cada dente
do mancal, finalizando sua construcao.
O projeto do rotor ja e mais simples. Ele e composto de um eixo, com os ditos
rotores se encaixando como uma luva nas pontas, sendo estes as partes que serao
apoiadas pelos mancais. Estes rotores tem o diametro coincidente com o diametro
interno do estator, respeitando-se obviamente a folga determinada. Eles tambem
apresentam as mesmas chapas de material magnetico para a passagem do fluxo
magnetico e uma parte designada ao sensor de posicao.
O eixo possui comprimento de 40mm, com 14, 28mm de diametro, feito em
aco-inoxidavel. O primeiro anel, de aco carbono, e entao roscado no eixo, com a
funcao de amparar os outros aneis e posteriormente servir de superfıcie para a leitura
dos sensores de posicao. O anel seguinte e feito em alumınio para isolar o campo
magnetico do mancal e nao deixar que este interfira na leitura dos sensores, alem de
criar um espacamento fısico necessario para a montagem do sensor com o mancal.
Logo apos sao montadas as chapas em aco-silıcio, com um empilhamento da mesma
largura que o mancal. Para finalizar, o bloco e prensado com um ultimo anel em aco
carbono e preso com uma porca roscada no proprio eixo. Estes ditos aneis foram
tambem cortados em jato d’agua com dimensao sobressalente, e, apos a montagem,
foram torneados para ter um melhor acabamento superficial, centricidade, e um
diametro uniforme que garanta a folga estipulada com o mancal. A Figura 6.5
mostra como se faz tal composicao do eixo/rotor e o Apendice C tambem apresenta
o seu desenho completo.
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Aço-inox
Aço-carbono
Alumínio
Aço-silício GNO
Figura 6.5: Esquema de uma das extremidades do eixo com a especificacao dosmateriais dos aneis que compoem o rotor.
Um resumo dos parametros fısicos mais relevantes do sistema sao apresentados
na Tab. 6.1, e a Fig. 6.6 mostra a montagem dos mancais com os sensores feita no
programa de desenho SolidWorks [27].
Tabela 6.1: Resumo dos parametros fısicos mais relevantes do projeto.Parametro Valor
Diametro do eixo 14, 28mmComprimento do eixo 400mmDiametro dos rotores 36, 4mm
Massa do conjunto eixo-rotores 1, 0kgFolga rotor/apoio 0, 4mm
Folga rotor/mancal 1, 0mmNumero de voltas das bobinas por par 260voltas
Distancia entre mancais 315mm
Figura 6.6: Desenho do sistema mancal/rotor do prototipo em SolidWorks.
57
6.2 Sensores
A proxima etapa do projeto e definir os sensores de posicao. Estes sensores deverao
ser posicionados juntamente ao mancal para fornecer o deslocamento do rotor e
fechar o ciclo do controle. Considerando as condicoes de funcionamento, tais sensores
precisam ser capazes de fornecer resposta sem contato com o objeto, alem deste estar
posteriormente girando a altas velocidades. Sendo assim, fatores como a geometria
do rotor, acabamento superficial e homogeneidade do material sao propensos a ter
influencia na medida do sensor. A presenca de ruıdo na leitura ja e algo esperado, e
tais aspectos podem piorar a situacao, comprometendo uma boa leitura e um bom
funcionamento do mancal. Alem disso, outros fatores como frequencia de rotacao,
temperatura e qualidade do ar tambem interferem na medicao.
Considerando os fatores acima descritos, e preciso escolher um tipo de sensor
que funcione corretamente para este tipo de aplicacao. Caracterısticas comuns de
sensores devem tambem ser observadas, tais como: alcance, sensibilidade, resolucao
e linearidade. Os seguintes tipos de sensores de posicao poderiam ser utilizados
para esta aplicacao: indutivos, corrente parasita, capacitivo, magnetico e optico. A
seguir e dada uma breve explicacao sobre cada um [1].
Os sensores indutivos funcionam a partir da inducao de um fluxo magnetico no
objeto, e a mudanca da indutancia com o deslocamento do mesmo e relacionada
com sua posicao. A limitacao deste sensor e em relacao ao tipo de objeto alvo,
que deve ser ferromagnetico. Apesar de funcionar via campo magnetico, sua leitura
nao e muito influenciada por campos externos, podendo se necessario ser feito um
isolamento.
Os sensores de corrente parasita sao baseados em criar uma corrente parasita
no objeto alvo, absorvendo energia do circuito do sensor. Novamente isto varia a
indutancia, que e medida e relacionada com a posicao. Tanto o campo magnetico
criado pelo mancal quanto o criado por outros sensores pode interferir na medicao,
sendo necessario um isolamento. Alem disso, nao-homogeneidade no material pode
tambem acarretar erros graves.
Sensores capacitivos formam um dispositivo capacitor entre o sensor e o alvo,
fazendo com que a variacao da folga mude linearmente a voltagem. Estes sensores
apresentam otima resolucao, mas costumam apresentar custo elevado. Alem do
mais, o rotor girando tende a obter carga estatica, o que causa erros de leitura, e
ele possui uma sensibilidade maior a pureza do ar, que muda a constante dieletrica
presente na folga.
No sensor magnetico o processo e similar ao proprio funcionamento do mancal.
Um fluxo magnetico passa no objeto alvo e a variacao da folga altera o valor deste
fluxo, que e medido e relacionado com a posicao. No entanto, estes sensores sao
58
muito sensıveis a presenca de um campo magnetico externo.
Por ultimo, temos os sensores opticos, que utilizam a reflexao de um feixe de
luz pelo objeto alvo para relacionar a direcao desta reflexao com sua posicao. Estes
sensores tem a vantagem de possuir grande alcance, mas baixa resolucao comparado
aos outros, o que nao e interessante para esta aplicacao. Alem disso, sua leitura
depende da qualidade do ar e do grau de acabamento da superfıcie do alvo.
Tendo entao analisado as possibilidades acima descritas, o sensor indutivo mos-
trou ter o funcionamento mais compatıvel com o desejado e com bom custo/beefıcio,
sendo o escolhido. Sua medicao e a menos influenciada por agentes externos, mas
como garantia foi introduzida no projeto do rotor uma chapa de alumınio para ga-
rantir o isolamento do fluxo magnetico do mancal. O modelo escolhido foi o IF6029
da empresa IFM, com diametro de 12mm e faixa sensora de 0, 2mm a 2mm, ge-
rando um sinal de saıda que varia linearmente com a posicao do objeto de 0V a
10V . Apresentou uma resposta rapida e de otima resolucao, com um ruıdo baixo de
variancia em torno de 3µm. Sua folha de dados pode ser vista no Anexo 1.
A secao a seguir diz respeito a filtragem do sinal do sensor.
6.2.1 Filtragem Digital
Ja e esperado a presenca de ruıdo na leitura do sensor, condicao presente em qualquer
tipo de medicao. Dependendo da amplitude deste ruıdo, a correta leitura da posicao
fica comprometida, obtendo-se resultados erroneos. Quando se e preciso calcular a
derivada deste sinal, como e o nosso caso para calculo da velocidade do rotor, a
presenca de um pequeno ruıdo pode fazer este calculo tender ao infinito, por conta
das altas frequencias. Assim, a presenca de um filtro passa-baixa para eliminar ou
atenuar tal distorcao se faz necessaria.
Os sensores escolhidos apresentaram uma amplitude de ruıdo na leitura da ordem
de 2µm, ou 10mV . Este ruıdo nao tras grandes consequencias a leitura de posicao,
mas, como mencionado, trara no calculo da velocidade.
Optou-se por realizar a filtragem por implementacao em software, dita filtragem
digital, ao inves do uso de componentes eletronicos que filtram o sinal analogica-
mente. Dentre os tipos de filtro, foram testados aqui os lineares, ao qual se dividem
em: FIR e IIR [28].
O filtro FIR (Finite Impulse Response) e baseado num valor filtrado que e uma
combinacao linear do valor medido com outros valores previamente medidos. A
ordem deste filtro se dara pelo numero de pontos utilizados.
O filtro IIR (Infinite Impulse Response) ja possui um valor filtrado que e uma
combinacao linear nao somente de valores medidos, mas tambem dos valores previa-
mente filtrados, dita propriedade recursiva. Sua ordem tambem e dada pelo numero
59
de pontos utilizados. Por esta caracterıstica recursiva, este filtro costuma ter uma
atenuacao mais rapida que os filtros FIR, requerendo uma ordem menor de calculo.
Assim, optou-se por testar alguns filtros IIR, ja que estes requerem menor ordem
e assim menor gasto computacional. O primeiro tipo implementado foi o de primeira
ordem mais simples, que faz analogia com o filtro analogico passa-baixa RC (Resis-
tivo e Capacitivo). Tal filtro utiliza somente o valor medido no instante atual e o
valor filtrado do instante anterior, como pode ser visto na Eq. (6.1). No domınio da
frequencia, este filtro implica numa inflexao suave da curva na frequencia de corte.
yf (k) = y(k)− α.(y(k)− yf (k − 1)) = (1− α)y(k) + α.yf (k − 1) (6.1)
Sendo yf o valor filtrado, y o valor medido, k o instante de tempo e α um
parametro que tem relacao direta com a frequencia fc de corte, dada por (6.2).
fc =1− αα.Ts
(6.2)
Onde Ts se refere ao intervalo de amostragem. Alem deste filtro simplorio, outros
podem ser implementados, de ordem superiores, utilizando assim mais pontos. Um
outro tipo aqui testado foi o Butterworth. Este filtro inflexiona mais a curva no
domınio da frequencia de acordo com a ordem utilizada. E importante ressaltar que
quanto maior a janela de corte de frequencias, maior sera a diferenca de fase que o
resultado filtrado tera com o medido por consequencia.
Para encontrar os parametros da combinacao linear do filtro Butterworth que
multiplicarao os valores medidos e filtrados, utiliza-se a funcao presente no programa
MatLab [25], entrando com a ordem do fitro e frequencia de corte. Este filtro foi
testado ate a quarta ordem.
Como sera visto mais a frente, o atraso causado pela implementacao de qualquer
um desses filtros digitais causa instabilidade ao ciclo de controle. Isto se deve ao fato
da frequencia de processamento possıvel de ser atingida ser limitada, inviabilizando o
uso de filtros digitais. Assim, mesmo com a presenca do ruıdo, os melhores resultados
obtidos foram sem filtragem, onde nao ha atraso de resposta. Uma alternativa seria
o uso de componentes eletronicos que realizam a filtragem analogicamente, mas este
estudo foge do escopo deste trabalho.
6.3 Eletronica de Potencia
O sistema de eletronica de potencia consiste em converter o sinal de controle em
corrente para alimentar as bobinas. O sinal e geralmente gerado em tensao, com
baixıssima corrente, sendo necessario um sistema amplificador que gere potencia
60
suficiente para as bobinas. O circuito mais simples para realizar esta tarefa e o
mostrado na Fig. 6.7, que utiliza um transistor para amplificar o sinal. [29]
Figura 6.7: Circuito de amplificacao utilizando um transistor.
Este circuito utiliza uma alimentacao para dar potencia ao circuito e trabalha na
regiao linear do transistor, onde a corrente que passa pela carga recebe um ganho
relacionado ao tipo de transistor usado, que e proporcional a corrente na base. No
entanto, por se tratar de cargas indutivas, esta ira conter qualquer mudanca de
corrente no enrolamento, levando um certo tempo para chegar ao valor de corrente
calculado com o ganho. Para velocidades baixas, este transiente pode ser desprezado,
mas devido a dinamica rapida do sistema, altas frequencias serao atingidas e o sinal
amplificado sera deformado por tal fato. Isto pode ser observado nas comparacoes
entre controle por corrente e voltagem vistas nas simulacoes do capıtulo anterior. A
presenca de carga indutiva se mostrou muito relevante no sistema e construir um
circuito rapido o suficiente que possa desprezar este atraso pode ser muitas vezes
inviavel.
Uma das alternativas geralmente usadas para controlar corrente em cargas in-
dutivas sao os circuitos chaveados. Estes consistem em usar os transistores na sa-
turacao, abrindo e fechando para a passagem de corrente como uma chave. Como o
sistema leva um tempo para aumentar ou diminuir a corrente, pode-se utilizar um
sinal por largura de pulso (PWM) para controlar o valor medio desta corrente. A
vantagem do uso deste tipo de amplificacao, chamados de classe-D, e o alto rendi-
mento.
Existe ainda o MOSFET, componente que opera de forma similar aos transisto-
res nos circuitos de amplificacao mostrados anteriormente, mas sendo comandados
somente por tensao e usados em geral sempre na saturacao. Assim, quando a tensao
aplicada no MOSFET esta acima de certo limite, ele permite a corrente circular no
61
circuito como se este estivesse fechado. A grande vantagem de seu uso e a possibili-
dade de atingir altas frequencias de chaveamento. A Figura 6.8 mostra um circuito
chaveado utilizando um MOSFET e um diodo.
Figura 6.8: Circuito de amplificacao utilizando um MOSFET nos limites de sa-turacao para o chaveamento e um diodo.
O uso do diodo em paralelo com a carga e comum neste tipo de circuito para
que quando a chave esteja aberta, a corrente restante gerada pela inducao da bobina
decresca mais rapidamente circulando pelo diodo. Tambem e comum a utilizacao
da chamada Ponte H, ao inves do uso deste diodo, que consiste em usar quatro
transistores para permitir a corrente percorrer diferentes caminhos, possibilitando
uma descarga rapida e a inversao do fluxo da mesma. No caso do MMA, onde
nao e necessario inverter a direcao que a corrente percorre, pode-se utilizar entao
somente meia Ponte H, que utiliza dois transistores. Estes transistores vao abrir e
fechar alternadamente, alterando o percurso da corrente, chaveando o sistema [30].
No entanto, e importante garantir que estes transistores jamais estarao fechados
simultaneamente, o que gerara curto. Isto faz que seja necessario o uso de drivers
para realizar este papel de comandar os transistores [29].
Atualmente existem tambem uma diversidade de circuitos integrados que pos-
suem todo um circuito de amplificacao em um unico componente. Pode-se utilizar
para amplificar tensao, por exemplo, um amplificador operacional, que possui ja in-
ternamente o mesmo conceito da Ponte H, alem de outros componentes para protecao
e outras tarefas.
Para o projeto do amplificador do prototipo, algumas das alternativas mencio-
nadas foram consideradas e testadas. Como e desejada a implementacao do controle
por modos deslizantes, que possui intrınsicamente a ideia de chaveamento, foi pro-
jetado um circuito simples, com a presenca somente de um MOSFET e um diodo,
62
conforme mostrado na Fig. 6.9. Resultado da simulacao deste circuito utilizando
o programa TINA, da Texas Instruments [31], pode ser visto na Fig. 6.10, onde e
possıvel observar o transiente da corrente e o efeito do chaveamento.
Figura 6.9: Circuito de amplificacao implementado no mancal, utilizando um MOS-FET para chaveamento.
Figura 6.10: Simulacao do transiente da corrente para um sinal de entrada PWMcom duty cycle de 50%.
O MOSFET utilizado foi o IRFZ34 (Anexo 2) e um diodo 1N4007. O esquema
completo de toda parte eletronica pode ser visto no Apendice D, juntamente com o
controlador escolhido, descrito na proxima secao, e o circuito de acondicionamento.
Este circuito apresenta vantagens e limitacoes para a implementacao do controle.
Apesar da simplicidade, ele permite a implementacao de controle por tensao de duas
maneiras diferentes, com diferencas conceituais explicadas a seguir.
Para um controle por corrente com o SMC padrao, o chaveamento do MOSFET
estara diretamente relacionado ao chaveamento da corrente. No entanto e conhecido
que ocorrera atraso da corrente para este caso, o que nao foi levado em conta no
modelo simulado no Cap. 5. Por se tratar de um sistema liga/desliga, a corrente
63
deveria alternar entre o valor maximo e mınimo, gerando muito atraso, o que defor-
maria o sinal e faria com que o sistema perdesse potencia quando utilizado em altas
frequencias de chaveamento. Por tanto, este simples circuito nao e eficaz para este
caso, sendo necessario o uso de amplificadores mais potentes com retroalimentacao.
No controle por tensao o oposto acontece. O chaveamento do SMC padrao
tambem esta relacionado ao chaveamento direto do MOSFET e foi considerado no
modelo o atraso da corrente. Logo, altas frequencias deste chaveamento podem ser
realizadas. A corrente se comportara de forma semelhante ao conceito do PWM,
subindo, descendo e atingindo os valores previstos pelo modelo. A diferenca e que
o sinal nao tera uma frequencia constante, mas somente um liga/desliga em tempos
variados. Neste caso do controle por tensao, nao e possıvel a realizacao do SMC
modificado, ja que o MOSFET nao possui uma regiao linear boa de se trabalhar.
Portanto, o sistema construıdo permite o uso de basicamente dois tipos de con-
trole por tensao: com SMC modificado usando PWM, e com SMC padrao. A unica
diferenca fısica que se observara experimentalmente entre os sinais de resposta de
cada um destes controladores e a presenca de uma frequencia fixa para o primeiro
caso. A Figura 6.11 (a) mostra o controle sendo feito por meio do chaveamento da
tensao, onde a corrente e consequencia deste controle e seu valor nao possui relacao
direta com o sinal; ja na Fig. 6.11 (b), a frequencia e fixa e o sinal de controle diz
a largura do pulso, tendo uma relacao direta com tensao RMS, embora o atraso
causado pela inducao ainda esteja presente e mudancas bruscas ainda acarretem um
maior transiente.
Tensão Corrente Corrente Média
Figura 6.11: (a) Controle feito por chaveamento da Tensao; (b) Controle feito pormodulacao de largura de pulso (PWM).
A questao se o controle utiliza ou nao o PWM passa a ser algo aqui somente con-
ceitual, sobre o que o sinal do controlador esta relacionado, mantendo-se o princıpio
do chaveamento. E visto que, devido ao chaveamento sempre estar presente para
ambos os casos, a vibracao causada por ele nao podera ser completamente evitada
64
nesta versao do SMC modificado, tirando um dos principais objetivos deste tipo de
controle, mas ao menos tal efeito podera ser controlado pela escolha da frequencia
do PWM.
Foi utilizada a fonte regulada SPS 3050, da Sincler, para alimentacao do sistema,
com uma capacidade maxima de 5A.
6.4 Processamento e Implementacao do Controle
A ultima etapa do projeto e a implementacao do controle. Este novo componente
pode ser dividido em tres partes: a aquisicao do sinal analogico do sensor e sua
conversao em digital; o processamento computacional dos valores, onde sera reali-
zada a filtragem e aplicada a lei de controle; e por ultimo o envio do sinal de saıda.
Nesta ultima etapa, como sera trabalhado somente saıda liga/desiga, ele pode na
verdade ser entendido como uma saıda digital, nao sendo necessaria a conversao
para analogico.
Alguns sistemas para realizar esta funcao foram estudados. O primeiro deles foi
a utilizacao de componentes da National Instruments, que e formado por uma placa
A/D (analogico-digital) para aquisicao e envio ao computador, o software LabView
e uma placa D/A (digital-analogico) para saıda do sinal. Apesar da simplicidade
e facilidade de uso deste metodo, ele possui uma limitacao para a velocidade de se
completar o ciclo de controle. A forma de comunicacao das placas com o PC e um
dos fatores limitantes, alem da presenca de um sistema operacional instalado no
computador que tende a consumir muita memoria, alem de poder alterar o tempo
de processamento do ciclo durante a sua execucao, dito jitter. Alguns testes foram
realizados e foram observados um intervalo em torno 30ms entre a aquisicao de
um sinal e sua respectiva saıda. Tal tempo e inadimıssivel para um sistema que
requer respostas muito rapidas, como e o caso do MMA. Este sistema foi entao
desconsiderado, sendo viavel sua utilizacao apenas com o uso de um sistema em
tempo real, ausente de sistema operacional, o que encareceria demasiadamente o
projeto.
Partiu-se entao para o uso de microcontroladores. A placa testada foi o Arduino
UNO, mostrada na Fig. 6.12, que utiliza o microcontrolador ATmega329, com os
dados especificados no Anexo 3. Esta placa ja possui em si um conversor A/D
de 10bits, o que permite a divisao da faixa de leitura do sensor em 1024 partes;
uma interface de programacao em uma linguagem C facilitada, ja com algumas
bibliotecas e configuracoes pre-instaladas; e saıdas digitais. A implementacao deste
sistema, alem do baixo custo, pode ser implementada com grande rapidez, devido a
sua boa interface com o usuario. Com o ciclo de controle que envolve contas simples,
como e o caso do SMC, foi possıvel obter frequencias de processamento na ordem de
65
5kHz, o que ja e um bom valor para se trabalhar. Para se chegar a tal valor, nao
foi permitido manter a comunicacao serial do Arduino com o computador, pois isto
implica em grande queda desta frequencia. A leitura dos sensores durante o controle
foi realizada entao separadamente com um osciloscopio.
Figura 6.12: Placa microcontroladora Arduino UNO.
Alem das saıdas digitais comuns, o Arduino UNO possui 6 saıdas em PWM na-
tivas que sao programadas utilizando o relogio interno do proprio controlador. Isto
permite configurar frequencias de PWM na ordem de 62, 5kHz, superior a propria
frequencia de processamento, com uma largura do pulso modulada em 8bits. Esta
frequencia superior ao processamento faz com que o sistema continue chaveando
durante a execucao do ciclo de controle, mantendo a corrente na bobina em deter-
minado valor durante o procedimento, o que e vantajoso. Foi utilizado, no entanto,
7, 8kHz na frequencia de PWM para que os MOSFETS nao aquecessem demasi-
adamente, sendo este valor implementado para todas as portas PWM atraves de
programacao de baixo nıvel diretamente nos registros do microcontrolador.
Todos estes fatores mencionados levaram a escolha de tal placa para a utilizacao
no controle do mancal, sendo necessario uma placa para controle vertical e outra para
horizontal de um mancal. Com este ultimo componente determinado e devidamente
programado, como pode ser visto no Apendice E, a montagem pode ser finalmente
feita para a realizacao dos testes.
6.5 Montagem
A estrutura de suporte foi construıda com perfis de alumınio de forma a tentar
garantir a centricidade e alinhamento dos componentes. O aparente descaso com
este acoplamento e proposital, ja que um dos objetivos e analisar como os mancais
66
magneticos podem ser vantajosos em sistemas desalinhados e descentralizados, ca-
racterısticas comuns que costumam ser grande problema em maquinas por causarem
falhas e fraturas. Alem disso foram utilizadas placas de polipropileno para realizar
o papel de apoio ao rotor e posicionamento dos sensores.
Sao utilizadas tres diferentes fontes de alimentacao: uma de 30V para os sensores
de posicao, uma de 9V para o Arduino UNO e uma fonte regulada em 5V com
limite maximo de 5A para os mancais. A Figuras 6.13 mostra fotos do experimento
montado.
(a) Experimento montado.
(b) Vista do mancal, rotor e sensores de posicao. (c) Circuito de chaveamento montado sobre oArduino.
Figura 6.13: Fotos do prototipo construıdo.
67
Capıtulo 7
Resultados Experimentais
O objetivo deste capıtulo e mostrar as medicoes em um dos mancais construıdo
e mostrar que ele e capaz de realizar a tarefa de sustentar um eixo e manter sua
estabilidade. Dada a fase inicial de construcao do prototipo, os resultados aqui apre-
sentados sao parciais, mas sao dados primordiais para dar prosseguimento ao estudo
e, baseando-se na teoria, saber se eles serao capazes de posteriormente oferecer as
vantagens que sao oferecidas pelos mancais magneticos.
7.1 Medicao de forca
A primeira medicao e uma tentativa de se estimar a forca magnetica que o mancal
pode exercer. Como ja visto, utilizamos uma forma linearizada desta forca no ponto
de operacao e definimos ks e ki para parametrizar esta forca. Um procedimento
experimental para obtencao destas constantes e de difıcil obtencao, principalmente
para determinarmos o valor de ks.
Para medir esta constante que relaciona a forca com a posicao do mancal, de-
veria ser feito o posicionamento do mancal em diferentes pontos muito proximos ao
ponto de operacao e assim aplicada a corrente que gera o equilıbrio do sistema e
medida a forca. Este procedimento estaria sujeito a muitos erros experimentais e so
pode ser realizado com uma instrumentacao de precisao apropriada. Sendo assim,
somente o valor de ki foi medido, e, como na teoria existe uma constante que os
relaciona linearmente, este valor servira para comparacao ao resultado teorico das
duas constantes.
Medir ki envolve colocar o rotor em seu ponto de operacao e medir a forca exer-
cida para diferentes valores de corrente. Este procedimento tambem exige precisao,
mas pode ser realizado de maneira mais simples. Foi entao colocado um espacador
entre o rotor e o mancal, na parte inferior, com mesma espessura que a folga dese-
jada entre eles de 1, 0mm, de forma a manter o rotor no ponto desejado, mas ainda
permitindo-o movimentar-se para cima. Em seguida foi aplicada uma corrente cres-
68
cente e observado o momento em que o rotor era atraıdo pelo mancal. Este primeiro
valor de corrente medido foi entao relacionado ao peso do mancal. Em seguida, uti-
lizando um dinamometro de mola na extremidade do rotor, foram aplicadas cargas
gradativas e realizado o mesmo procedimento de observar a corrente necessaria para
atrair o rotor.
Realizou-se este mesmo metodo para as quatro bobinas presentes no mancal. Os
resultados podem ser observados a seguir, na Fig. 7.1.
(a) Bobina superior.
(b) Bobina inferior.
(c) Bobina lateral direita.
(d) Bobina lateral esquerda.
Figura 7.1: Medicao da relacao entre forca e corrente de cada bobina do mancal.
O valor estimado para ki em cada direcao no mancal no Cap. 5 era de 20N/A,
mas levava em conta as bobinas superior e inferior, sendo assim relacionada a forca
resultante gerada por por ambas. Matematicamente, se for calculado o ki para uma
unica bobina, seu valor sera a metade, ou seja, 10N/A para cada bobina individu-
almente. Para aquele calculo, foi considerado tambem um ponto de operacao, dita
corrente de base, de 1A. Se calcularmos a tangente da reta que une os dois primeiros
69
pontos dos graficos apresentados na Fig. 7.1, obtemos um valor experimental para
ki neste ponto de operacao. Os valores encontrados foram de 9,8, 9,6, 10,3 e 9,9
para a bobina superior, inferior, direita e esquerda, respectivamente. Tais valores se
aproximaram satisfatoriamente ao que foi estimado.
Ha grande probabilidade desta boa aproximacao ser consequencia de sobre-
posicao de hipoteses que tendem a aumentar ou diminuir o valor da constante. No
entanto, a teoria se mostrou eficaz para este calculo, o que tras mais confiabilidade
aos resultados obtidos nas simulacoes.
7.2 Controle unidirecional
Os primeiros testes sobre o controle do mancal foram realizados utilizando somente
a bobina superior, de forma a fazer um equilıbrio com o peso e obter a estabilidade.
Assim, foi testado primeiramente o Sliding Mode padrao. Foram medidos com o
sensor os limites de posicao no sentido vertical e determinado o ponto de operacao
como o centro desses limites. Nota-se que na programacao mostrada no Apendice E e
usado como unidade de posicao o numero de bits equivalente aquele posicionamento.
Foi dado um chute inicial para o parametro de controle λ e, conforme foram sendo
obtidos resultados, ele foi sendo ajustado. A potencia do sistema ficou por conta da
tensao de alimentacao, estipulada em 5V , o que fornece uma corrente maxima de
4, 2A a bobina.
A princıpio, como esperado, houve uma vibracao de grande amplitude, com o
eixo batendo constantemente no apoio. Foi entao observado um grande atraso do
sinal de controle em relacao ao que era lido pelos sensores. Tal atraso e inconcebıvel
e nao era condizente aos 5kHz de frequencia de processamento que foi medido com
o codigo implementado. Foi entao descoberto que este erro estava relacionado a
fase gerada pelo filtro digital, como mencionado anteriormente. De acordo com as
simulacoes realizadas, esta frequencia de processamento encontra-se perto do limite
mınimo para que seja possıvel alcancar a estabilidade, entao qualquer tipo de atraso
gera graves consequencias.
Sendo assim, diversas maneiras de se utilizar o filtro foram testadas, como a
utilizacao deste somente para o calculo da velocidade, diferentes frequencias de corte
e diferentes ordens de filtro. Dada a boa qualidade do sinal do sensor, a conversao
analogico-digital envolvida no processo e o citado atraso, os melhores resultados
foram obtidos com a ausencia de filtragem. Isto se deve ao fato da fase gerada pelo
filtro digital ser grande demais, mas a resolucao da digitalizacao (10bit) e a causa
mais relevante de erro para o calculo da velocidade. Uma maior resolucao traria
benefıcios neste aspecto, mas faria com que a presenca de um filtro se tornasse mais
necessaria.
70
Eliminando-se entao o filtro, a estabilizacao de uma levitacao pode ser obtida
com consideravel rapidez. Porem, devido a ausencia de um controle horizontal, o
rotor permanece apoiado sempre do lado esquerdo ou direito. Isto era esperado,
pois devido a geometria do mancal, a forca exercida pelo par de bobinas superior
nao e uma unica forca vertical apontada para cima, mas duas forcas exercidas por
cada dente que se somam. Desta forma o posicionamento horizontal fica instavel e
nao controlado neste primeiro estudo.
Com o auxılio da placa NI-9234 e do programa Signal Express, ambos da Nati-
onal Instruments, a leitura dos sensores foi obtida medindo o mesmo sinal que era
entregue ao controlador. Os melhores resultados encontrados, com um λ = 100 e o
SMC padrao podem ser vistos a seguir, na Fig. 7.2.
Figura 7.2: Posicao do rotor com controle no sentido vertical em SMC padrao du-rante 0, 5s. Os limites superior e inferior representam os limites dado pela protecaoem acrılico.
Pode-se observar que para atingir tal estabilizacao foi necessario um valor de λ
muito maior que o utilizado nas simulacoes. Isto se deve ao ja comentado erro no
calculo da velocidade por conta da quantizacao da conversao A/D, que tende a gerar
valores amplificados devido ao pequeno perıodo de amostragem. Assim, na pratica,
teve-se de aumentar bastante o peso da posicao no controle para compensar esse
alto valor de velocidade calculada.
O sistema se estabilizou mantendo uma oscilacao de aproximadamente 100µm
de amplitude. Os valores maximo e mınimo no eixo das ordenadas representam os
limites delimitados pelo apoio. Como o sistema possui bastante potencia e pouca
carga lhe e conferido, a corrente acaba chegando a valores altos que causam maiores
vibracoes. Na Figura 7.3 vemos o espaco de estados do que foi medido. E importante
lembrar que o sistema ja se encontrava no ponto de equilıbrio desde o princıpio da
leitura.
71
Figura 7.3: Espaco de estados da posicao do rotor com controle no sentido verticalem SMC padrao durante 0, 5s.
Este espaco de estados foi construıdo atraves da mesma medicao mostrada na
Fig. 7.2, com a velocidade calculada pelo mesmo programa. Como tal medicao foi
realizada a uma frequencia de 51, 2kS/s e com uma resolucao de 24bit, os erros no
calculo da velocidade sao mınimos. Logo, este espaco de estado nao retrata o que
e ”visto”pelo microcontrolador, mostrando algo muito mais proximo a realidade e
como o resultado nao se aproxima muito ao padrao que o SMC proporciona visto
nas simulacoes, devido aos erros mencionados.
A unica forma de melhorar o controle foi reduzindo a potencia de atuacao. O
problema deste metodo e que o sistema fica mais fraco e mais susceptıvel a ins-
tabilidade quando submetido a outras forcas. Por exemplo, para o rotor girando,
com cargas de desbalanceamento envolvidas, o rotor poderia comecar uma oscilacao
em maior amplitude e chegaria um ponto em que o mancal nao teria forcas para
coloca-lo no lugar. Com uma maior potencia, o mancal se torna mais resistente a
forcas externas, mas vibrara mais por conta do chaveamento do amplificador.
Parte-se entao para a utilizacao do controle utilizando-se PWM com o Sliding
Mode modificado, que se aproxima mais ao controle direto de corrente. Neste
metodo, a alta frequencia de chaveamento sera garantida, pois e fixado na pro-
gramacao. Assim, a corrente assumira valores intermediarios e podera se estabilizar
num ponto que equilibra a forca magnetica com o peso. O chaveamento da corrente
ainda existira, mas em baixa amplitude e numa frequencia muito mais alta, que e a
frequencia do PWM fixada em 7, 8kHz. Os melhores resultados obtidos podem ser
observados na Fig. 7.4, onde foi utilizado um λ = 120 e um ζ = 8.10−5.
72
Figura 7.4: Posicao do rotor com controle no sentido vertical em SMC modificadodurante 0, 5s.
Os resultados ja se mostraram superiores nos primeiros testes. E notado que a di-
minuicao da potencia tambem traz mais estabilidade para este caso, mas foi mantido
a potencia maxima devido aos motivos apresentados anteriormente e tambem devido
a este controle ser capaz de manter a corrente mais baixa por sua alta frequencia
de chaveamento imposta. Existe uma mudanca clara em relacao a frequencia de
oscilacao. E interessante entao, para este caso, analisarmos tambem o seu espectro
em frequencia, visto na Fig. 7.5.
Figura 7.5: Espectro em frequencia da posicao vertical com SMC modificado.
Pode-se facilmente identificar alguns picos de baixa amplitude nas regiao de alta
frequencia como sendo relacionados a frequencia de PWM e seu primeiro harmonico,
alem de uma frequencia relacionada a velocidade de geracao do sinal. Fora isto,
o sistema apresentou uma frequencia fundamental no valor de 41Hz. Estas dife-
73
rencas claras de cada controle ja mostram uma das grandes vantagens dos mancais
magneticos, que e a possibilidade de atuar no controle e fazer com que o sistema se
comporte da maneira desejada, mudando seus pontos de ressonancia.
Para efeitos de comparacao com um modelo simulado, os fatores limitantes men-
cionados precisam ser considerados. As simulacoes realizadas anteriormente nao con-
sideram as condicoes adversas que foram encontradas na pratica devido a ausencia
de recursos necessarios para tal, gerando assim resultados superiores. Fatores como
a quantizacao e ruıdo da entrada analogica, atraso e frequencia de processamento
e o PWM de saıda foram entao inseridos ao modelo para se poder comparar os
resultados e servir de prova de que os efeitos mencionadas foram de fato os limitan-
tes. Este modelo possui somente um grau de liberdade, pois seu unico objetivo e a
comparacao deste primeiro teste. A levitacao pode tambem ser estabilizada nesta
simulacao, mas novamente com o modo deslizante nao sendo nitidamente atingido.
A Figura 7.6 mostra a resposta em frequencia obtida.
Figura 7.6: Espectro em frequencia da simulacao com condicoes analogas ao expe-rimento.
O grafico mostra uma mesma frequencia dominante do experimento com nıveis de
amplitude similares e os picos em alta frequencia relacionados ao PWM. Isto entao
nao so comprova a eficacia do modelo, como comprova que um melhor sistema de
amplificacao traria um enorme benefıcio ao sistema.
Enfim, com esta boa estabilidade no resultado do controle vertical com uma
bobina, podemos partir para a utilizacao de todas as bobinas, incluindo um controle
tambem horizontal, buscando finalmente a completa levitacao.
74
7.3 Controle bidirecional
Para ser realizado o controle nas duas direcoes e termos uma completa levitacao do
rotor precisamos fazer a leitura dos dois sensores e trabalhar com dois sinais de con-
trole. Alem disso, na secao anterior a levitacao foi realizada utilizando somente uma
bobina para balancear a forca peso. Para o caso do controle de posicao horizontal,
nao temos nenhuma forca constante para balancear, devendo dessa forma ser feito
o controle com o uso das duas bobinas laterais. Este controle envolve a complexi-
dade de se manter a estabilizacao de um unico sistema com controles independentes.
A vibracao gerada pelo controle vertical tambem excitara vibracao no sentido ho-
rizontal, e vice-versa. Sendo assim, optou-se pela implementacao direta do SMC
modificado, que ofereceu melhores resultados e permite uma melhor manipulacao
da corrente que corre nas bobinas.
Adicionalmente, sera tambem implementado para o controle vertical a utilizacao
da bobina inferior, de forma a resistir o movimento do rotor para cima. Como
discutido no Cap. 2, o mesmo sinal e utilizado para a bobina inferior e superior,
de formas opostas, mas e necessario uma determinada corrente a mais na bobina
superior para compensar o peso. Como o controle da bobina superior ja funciona
em capacidade maxima e sua corrente nao pode extrapolar o valor delimitado, o
que foi feito para esta compensacao foi a reducao forcada da corrente da bobina
inferior atraves da adicao de uma constante a largura de pulso do seu sinal PWM
(considerando que este sinal e um PWM invertido). Assim, o valor desta constante
no controle vertical foi devidamente calibrado de forma a compensar o peso e o
mancal passou a atuar nos dois sentidos.
O controle horizontal, apesar de mais simples, requer uma atencao referente
as variacoes dimensionais da folga. Novamente, o mesmo sinal e enviado as duas
bobinas, com um deles invertido. Assim, deveria-se chegar ao ponto de equilıbrio
com a mesma corrente passando em ambas, que seria a metade da corrente maxima.
No entanto, isto so acontece se as folgas de cada lado forem muito similares, assim
como a forca magnetica. No caso do apoio nao estar devidamente centrado com o
mancal, a mesma ideia utilizada no controle vertical deve ser usada, acrescentando
um valor de corrente a um dos lados para compensar este erro. Alem disso, foi
tambem reduzido este sinal de controle para limitar a corrente maxima nesta direcao,
ja que ele nao precisa compensar nenhum peso.
Deste modo, um passo importante para esta etapa foi calibrar estas correntes a
posicao de equilıbrio, para que esta se aproxime ao maximo do centro do apoio.
Para o processamento do sinal, duas placas Arduino foram utilizadas, uma para
cada direcao. Nao foi possıvel a utilizacao de um unico microcontrolador para
realizar ambos os controles, pois a conversao analogico-digital de dois sensores passou
75
a consumir muito tempo e com baixa frequencia o controle se torna inviavel.
Como a fonte utilizada fornece um limite maximo de 5A e agora ela deve ali-
mentar sempre dois pares de bobina, e possıvel que o sistema apresente potencia
abaixo do esperado se exigido um valor maior que este limite. Isto se tornaria um
problema mais grave caso fosse usado o SMC padrao, mas para o modelo modificado,
a corrente assume um valor baixo para estabilizar a levitacao e nao sera limitante.
Finalmente, apos a calibracao do controle horizontal, foi entao estabilizada uma
levitacao completa. Os resultados sao mostrados nas Fig. 7.7.
limites
Figura 7.7: Posicao do rotor com controle bidirecional em SMC modificado durante0, 5s.
Este resultado mostra a independencia do controle em cada sentido, pelas diferen-
tes frequencias de vibracao, mas tambem como um influencia o outro, aumentando
a amplitude destas vibracoes. Na Figura 7.8 a seguir e possıvel ver sutilmente esta
levitacao pelo estreito ”anel”vazio entre o rotor e o apoio.
A potencia eletrica consumida e baixa. Foi possıvel ler na fonte um valor proximo
a 1A em media para alimentacao de todas as bobinas. Obviamente o valor indicado
na fonte nao mostra os picos atingidos, mas pode-se calcular a potencia efetiva do
sistema como somente 5W , para este caso do rotor parado.
Basicamente, foi observado novamente que a melhora da resposta do sistema e
obtida pela adequacao da potencia requerida. Neste teste, o SMC passou a atenuar
esta corrente de forma que se perdesse boa parte da forca magnetica e assim fazer
com que o sistema vibrasse menos. Esta nao e a solucao ideal, ja que e preciso que
o sistema aguente cargas mais altas posteriormente. Os problemas que limitam o
aumento da potencia sao basicamente tres: a velocidade de processamento do sinal e
os erros obtidos no calculo da velocidade devido a conversao analogico-digital. Tais
fatores sao essenciais para o bom desempenho do SMC, pois nao e possıvel fazer
a chamada mudanca de dinamica do sistema sem uma leitura precisa e um calculo
76
Figura 7.8: Graficos da orbita do rotor em diferentes escalas com imagem ao fundomostrando o prototipo construıdo em levitacao estavel.
de velocidade confiavel. Ainda assim, a levitacao estavel foi possıvel e mostrou
que o sistema construıdo tem potencial para apresentar resultados ainda melhores e
aceitaveis para uma aplicacao pratica.
77
Capıtulo 8
Conclusao
O projeto apresentou resultados satisfatorios dados os recursos disponıveis. As si-
mulacoes realizadas mostraram a viabilidade de projeto e tal fato pode ser demons-
trado atraves do experimento. A proposta de fazer um projeto eletronico simples,
confiando na robustez do controlador proposto, foi o principal responsavel por trazer
limitacoes a operacao do prototipo. Por conseguinte, o objetivo de se construir um
mancal e obter uma levitacao estavel foi atingido, mas nao foi possıvel a realizacao
de um estudo mais aprofundado para garantir uma melhor levitacao, com menor
amplitude de levitacao.
As limitacoes na eletronica de potencia e no microcontrolador utilizados sao di-
versas, causando um acumulo de fatores que interferem no resultado de maneira
negativa. O primeiro deles a ser citado e o amplificador de potencia. Embora o
simples circuito chaveado projetado forneca um controle de corrente razoavelmente
bom quando usado com PWM, os eventos diversos que acontecem dentro do mancal,
tal como transferencia de calor, correntes parasita, histerese, dentre outros, fazem
com que a corrente ou tensao verdadeira que esta ocorrendo seja uma incognita. Isto
faz com que o sinal gerado pelo controlador nao seja bem ”obedecido”pelo atuador,
prejudicando-o. O controle por tensao se mostrou viavel, tanto nas simulacoes como
no experimento, mas tecnicas mais elaboradas deveriam sem empregadas neste am-
plificador para garantir que esta tensao, ou a corrente, assumissem o valor desejado
com precisao.
O sistema de aquisicao e processamento utilizados tambem trouxeram limitacoes.
Embora os sensores de posicao indutivos tenham operado de maneira muito satis-
fatoria, a digitalizacao dos dados foi uma outra fonte que levou a erros. O calculo
da velocidade apresentou erro elevado principalmente devido a esta quantizacao.
Com isto, foi possıvel concluir que uma melhor resolucao na leitura dos sensores
traria mais vantagens que a utilizacao de um filtro. Foi visto que a filtragem digital
so e viavel se a velocidade de processamento for mais alto que o obtido, ou entao
deveria-se optar pela utilizacao de filtros analogicos.
78
Nao obstante, o controlador foi capaz de trazer estabilidade ao sistema mesmo
com todos estes erros dos sinais de entrada e a nao garantia de uma saıda fiel
ao que foi calculado. Ainda, tendo em vista as simulacoes realizadas, em que nao e
considerada nenhuma das limitacoes de recurso inerentes ao experimento construıdo,
ficou demonstrado que e possıvel obter bons resultados e realizar as altas velocidades
e controle da dinamica, vantagens esperadas de se utilizar mancais magneticos.
Alem de servir de previsao para o bom funcionamento do prototipo, as simulacoes
trouxeram uma grande experiencia pessoal para atuar na planta real. Embora estas
simulacoes sempre tenham simplificacoes e muitas vezes seus resultados fujam da
realidade, ainda mais num sistema tao instavel como o apresentado, elas serviram
como o primeiro passo para se verificar o funcionamento do sistema e para se obser-
var os parametros mais e menos relevantes para o controle, assim como os efeitos que
mudancas nesses parametros podem trazer. Foi possıvel ver com antecedencia, por
exemplo, que a frequencia de processamento possui grande relevancia no processo
e que determinadas configuracoes de controle causavam um erro de estado esta-
cionario. Isto permitiu que, apos concluıda a construcao do sistema, a calibracao do
controle no sistema real pudesse ser feita com consideravel rapidez e perspicacia.
Uma vantagem importante dos MMA, que foi bem observada no prototipo cons-
truıdo, foi a nao necessidade de um sistema mecanico altamente centrado e ali-
nhado. Devido a forma que se deu a construcao mecanica, onde partes tiveram de
ser ajustadas enquanto se construıa outras e o tempo para tal era limitado, nao
foi possıvel uma montagem concisa e precisa, fazendo com que estes fatores ficas-
sem vulneraveis a precisao humana. No entanto, tais falhas mecanicas pouco foram
prejudiciais ao seu funcionamento, gracas a caracterıstica de robustez mecanica dos
mancais magneticos, onde e possıvel ajustar o controle ao que esta construıdo.
Ademais, a parte mais complexa da construcao, que foi a estrutura de chapas
que compoe o estator juntamente com o enrolamento e encaixe das bobinas, funci-
onou de forma bem eficiente e com bom isolamento magnetico. E evidente que a
disponibilidade de maior precisao mecanica, bem como um sistema de refrigeracao,
traria vantagens quanto a carga maxima que o mancal seria capaz de suportar, mas
isto nao elimina o fato de que o sistema se comportou como o esperado e trouxe
resultados satisfatorios.
Outro fator importante a ser comentado e em relacao ao custo. Um rolamento
esferico equivalente ao diametro utilizado custa em torno de R$40, 00. O custo mate-
rial para a construcao de um mancal magnetico foi de aproximadamente R$1.500, 00,
enquanto alguns dos comerciais podem custar ate dezenas de milhares, principal-
mente devido ao conhecimento tecnico necessario para sua implementacao. No en-
tanto, uma vez construıdo, a manutencao envolvida e de muito baixo custo e pouco
recorrente, com uma longa vida util. Alem disso, ele pode substituir equipamentos
79
de monitoracao da maquina, executando uma tarefa que vai alem do que se espera
de mancais.
Por fim, foi visto tambem como e possıvel controlar a dinamica do sistema atraves
da mudanca de parametros do controlador. A partir do momento em que a estabi-
lidade foi atingida, nao foi possıvel obter grandes melhorias no sistema de controle
devido as limitacoes mencionadas, mas foi possıvel ver com clareza os diferentes
comportamentos que o sistema adotava de acordo com a configuracao. Esta carac-
terıstica prova a possibilidade vantajosa de se poder atuar na dinamica do sistema
de acordo com o desejado mesmo apos sua instalacao.
Com isso, conclui-se que muitas das vantagens propostas pelos mancais
magneticos puderam ser provadas e a viabilidade de sua construcao se mostrou
algo viavel. Embora muitas melhorias e testes ainda precisam ser realizados no
prototipo, foi visto que e possıvel a construcao deste componente de alta tecnologia
com poucos recursos, o que pode vir a tornar este componente mais comum e co-
mercializavel. O projeto cumpriu com a maior parte dos objetivos propostos e deu o
primeiro passo para outras pesquisas que poderao vir a ser realizadas sobre o mesmo
prototipo construıdo. Assim, espera-se que o trabalho aqui discutido e construıdo
venha a ser a base de estudo de futuros especialistas na area, servindo como sua
capacitacao, e traga assim avancos tecnologicos a toda a comunidade.
80
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83
Apendice A
Algoritmos implementados no
Maple
> restart;
‘Sophia for Maple R6 - 13 june 2000, based on version 2 December 1998‘
> #DADOS
> me:=1: #Massa
> l:=0.4: #Comprimento
> di:=0.01428: #Diametro
> g:=9.81: #Gravidade
> md:=0.01: #Massa de desbalanceamento
> a:=0.005: b:=0.005: c:=0.02: #Posicao do desbalanceamento
> posM1:=-0.15: posM2:=0.15: #Posicionamento dos mancais
> i0 := 1: #Corrente de base
> Ki:=19.9424*i0: Ks:=1.9942e+4*(i0ˆ2): #Parametros da forca magnetica
> psm:=200: Fsm:=1: #Paramertos do SMC
> Torque:=0.001: #Torque aplicado
> &kde 5: #Graus de Liberdade
q1t = u1 , q2t = u2 , q3t = u3 , q4t = u4 , q5t = u5> &rot [R,A,1,q1]: #Definicao das rotacoes e sistemas de coordenadas
‘Frame relation between R and A defined¡
> &rot [A,B,2,q2]:
‘Frame relation between A and B defined¡
> &rot [B,S,3,q3]:
‘Frame relation between B and S defined¡
> CM:=(md/me) &** (S &ev [a,b,c]): #Centro de massa> CG:=(R &ev [q4,q5,0]): #Centro geometrico> p:=CG &++ CM: #Posicao do eixo> Ix := (1/16)*me*diˆ2+(1/12)*me*lˆ2: Iy:=Ix: Iz := (1/8)*me*diˆ2:#Calculo do tensor de inercia> InercR:=EinertiaDyad(Ix,Iy,Iz,0,0,0,S):> InercD:=md &mpI (S &ev [a,b,c]):
> InercT:=InercR &++ InercD:
> In:=[me+md,InercT] &-> CM:
84
> v:=&simp (R &fdt p): #Velocidade linear
> w:=R &aV S: #Velocidade angular
> vK:=subs(kde,&KM [v,w]):
> tau:=simplify(KMtangents(vK,u,5)): #Vetores tangentes ao movimento
‘Explicitly time dependent part:‘, [[[
0.0 −0.0 0.0], S], [
[0 0 0
], S], 2]
> G:=me &** v: #Quantidade de movimento linear
> H:=In &o w: #Quantidade de movimento angular
> GH:=&Ksimp (subs(kde,&KM [G,H]))
> GHt:=&Ksimp (subs(kde,R &Kfdt GH)): #Derivada das quatidades de movimento
> MGIF:=tau &kane GHt: #Projecao ortogonal das quantidades de moviemnto
> CManc1:=(R &ev [q4+posM1*sin(q2),q5-posM1*sin(q1),0]): #Posicao do eixo nosmancais
> CManc2:=(R &ev [q4+posM2*sin(q2),q5-posM2*sin(q1),0]):
> VManc1:=R &fdt CManc1: #Velocidade do eixo nos mancais
> VManc2:=R &fdt CManc2:> ReM1x:=Ki*i1x+Ks*(CManc1 &c 1): #Forcas de reacao dos mancais> ReM1y:=Ki*i1y+Ks*(CManc1 &c 2):> ReM2x:=Ki*i2x+Ks*(CManc2 &c 1):> ReM2y:=Ki*i2y+Ks*(CManc2 &c 2):
> ReMac1:=R &ev [ReM1x,ReM1y,0]:
> ReMac2:=R &ev [ReM2x,ReM2y,0]:
> #CONTROLE [SMC padrao]
> s1x:=psm*(CManc1 &c 1)+(VManc1 &c 1): #Superfıcie de deslizamento
> s2x:=psm*(CManc2 &c 1)+(VManc2 &c 1):
> s1y:=psm*(CManc1 &c 2)+(VManc1 &c 2):
> s2y:=psm*(CManc2 &c 2)+(VManc2 &c 2):
> i1x:=-Fsm*piecewise(s1x>0,1,s1x<0,-1,0): #SMC para a corrente
> i2x:=-Fsm*piecewise(s2x>0,1,s2x<0,-1,0):
> i1y:=-Fsm*piecewise(s1y>0,1,s1y<0,-1,0):
> i2y:=-Fsm*piecewise(s2y>0,1,s2y<0,-1,0):
> F:= ReMac1 &++ ReMac2: #Somatorio de Forcas atuantes no eixo> M:=(R &ev [0,0,Torque]) &++ ((S &ev [0,0,posM1]) &xx ReMac1) &++ ((S &ev[0,0,posM2]) &xx ReMac2): #Somatorio de Momento
> FM:=&KM [F,M]:
> GAF:=tau &kane FM: #Projecao ortogonal das forcas e momentos> Eqs:=seq(simplify(MGIF[j])=simplify(GAF[j]),j=1..5): #Sistema de equacoesdo movimento> stateEqn:=subs(toTimeFunction,Eqs[1],Eqs[2],Eqs[3],Eqs[4],Eqs[5], \kde[1],kde[2],kde[3],kde[4],kde[5]):
> cc:=q1(0)=0,q2(0)=0,q3(0)=0,q4(0)=-0.0004,q5(0)=0,u1(0)=0,u2(0)=0, \3(0)=0,u4(0)=0,u5(0)=0: #Condicoes iniciais
> tt:=time():> Result:=dsolve(stateEqn union cc,numeric,method=classical,stepsize=1e-4,maxfun=0);#Resulucao numerica do sistema de EDOs
Result := proc (x classical) ... endproc
> #PLOTAGEM
> with(plots):
> odeplot(Result,[[t,q4(t)],[t,q5(t)]],0..50,legend=["cg1","cg2"],title="Posicao doCentro Geometrico",numpoints=100000);
> odeplot(Result,[[t,q1(t)],[t,q2(t)]],0..50,legend=["a1","a2"],numpoints=100000);
> odeplot(Result,[t,60*u3(t)/(2*Pi)],0..50,title="Velocidade de Rotacao");> i1xx:=-Fsm*(2*Heaviside(s1x)-1):> i1yy:=-Fsm*(2*Heaviside(s1y)-1):> odeplot(Result,[t,subs(toTimeFunction,i0+i1xx)],0..0.2,title="Corrente no Macal 1eixo x",numpoints=100000);> ReM1xx:=Ki*i1xx+Ks*(CManc1 &c 1):> ReM1yy:=Ki*i1yy+Ks*(CManc1 &c 2):> odeplot(Result,[t,subs(toTimeFunction,sqrt((ReM1xxˆ2)+(ReM1yyˆ2)))],0..50,title="Reacaono Mancal 1 eixo x",numpoints=10000);> plt1 := plot([-psm*xx], color = ’green’);> plt2 := odeplot(Result, [subs(toTimeFunction, ‘&c‘(CManc1, 1)),subs(toTimeFunction, subs(kde, ‘&c‘(VManc1, 1)))], 0 .. 1, numpoints = 200000);> display(plt1, plt2, view = [-0.41e-3 .. 0.3e-4, -0.4e-1 .. 0.8e-1]);> B := subs(toTimeFunction, (0.4e-6*Pi*260)*(i0+i1xx)/(.115/(0.8e4)+2*(0.1e-2-‘&c‘(CManc1,1)))); odeplot(Result, [t, B], 0 .. 0.2e-1)
> tf := time()-tt; #Tempo transcorrido para a resolucao do sistema em [s]
tf := 18332.458
Apendice B
Algoritmos implementados no
Matlab e Simulink
%PARAMETROS [SI]
temposimu=2;
xini=-0.0004; % posicao horizontal inicial
% Rotor e mancais
Tq=0.001; % Torque
g=9.81; % aceleracao da gravidade
dia=0.01428; % diametro do rotor
l=0.4; % comprimento
m=1; % massa do rotor
dm=0.01; % massa de desbalanceamento
e=[0.005 0.005 0.02]; % posicao da massa de desbalanceamento
a=-0.15; b=0.15; % posicao dos mancais
c=-0.15; d=0.15; % posicao dos sensores
% Atuadores
mi0=pi*4e-7; % permeabilidade magnetica absoluta
miR=8e3; % permeabilidade magnetica relativa
l=0.115; % caminho do campo magnetico
Ar=2*0.0077*0.0165*cos(pi/8); % area de atuacao dos imas
n=260; % numero de voltas da bobina
s0e=0.001; % folga estacionaria
i0e=1; % corrente de base
res=1.2; % resistencia total da bobina
% Parametros do Controle
freq=10e3; % frequencia do ciclo em Hz
sigma=[20*eye(4) eye(4)];
FFF=-2.4*eye(4); % Sliding Mode padrao
% -----------------------------------------------
% PROPRIEDADES
mT=m+dm;
CM=(dm/m)*e;
Ix=(1/16)*m*(dia2)+(1/12)*m*(l2);
Iy=Ix;
Iz=(1/8)*m*(dia2);
Ine1=[Ix 0 0;0 Iy 0;0 0 Iz]; % Mom. de inercia do eixo balanceado no CG.
Ine2=dm*[e(2)2+e(3)2 -e(1)*e(2) -e(1)*e(3)
-e(1)*e(2) e(1)2+e(3)2 -e(2)*e(3)
-e(1)*e(3) -e(2)*e(3) e(1)2+e(2)2]; % Mom. de inercia do desbalanceamento no CG.
Ine3=mT*[CM(2)2+CM(3)2 -CM(1)*CM(2) -CM(1)*CM(3)
-CM(1)*CM(2) CM(1)2+CM(3)2 -CM(2)*CM(3)
87
-CM(1)*CM(3) -CM(2)*CM(3) CM(1)2+CM(2)2]; % Transferencia do mom. ine. para o CM.
IneS=Ine1+Ine2-Ine3; % Momento de inercia do rotor no centro de massa
aa=Tq/Iz; % aceleracao angular
% Atuador
Ki=(((mi0*(n2)*Ar)/((s0e)2)).*i0e)*eye(4); % Ki estimado
Ks=(-((mi0*(n2)*Ar)/((s0e)3)).*(i0e.2))*eye(4); % Ks estimado
L=((Ki(1,1)/2)2)/abs((Ks(1,1)/2))*eye(4); % indutancia
R=res*eye(4); % resistencia
% -----------------------------------------------
% DINAMICA
% rotacao sera implementada nas matrizes pelo simulink
M=[IneS(2,2) 0 0 0;
0 m 0 0;
0 0 IneS(1,1) 0;
0 0 0 m];
G=[ 0 0 IneS(3,3) 0;
0 0 0 0;
-IneS(3,3) 0 0 0;
0 0 0 0]; % Matriz G sem o Omega
C=[c 1 0 0; d 1 0 0; 0 0 c 1; 0 0 d 1];
B=[a b 0 0; 1 1 0 0; 0 0 a b; 0 0 1 1];
Kss=B*Ks*B’;
AA=[zeros(4) eye(4) zeros(4);
-inv(M)*Kss -inv(M) inv(M)*B*Ki;
zeros(4) -inv(L)*Ki*B’ -inv(L)*R]; % Matriz A sem o G
BB=[zeros(4); zeros(4); inv(L)];
CC=[C zeros(4) zeros(4); zeros(4) C zeros(4)];
DD=[zeros(4); inv(M); zeros(4)];
U=[IneS(2,3) -IneS(3,1);
-m*e(2) m*e(1);
IneS(3,1) IneS(2,3);
m*e(1) m*e(2)]; % forca de desbalanceamento sem o Omega2
UU=[zeros(4,2); inv(M)*U; zeros(4,2)];
% -----------------------------------------------
% SIMULINK
open system(’SMVoltV7’);
set param(’SMVoltV7/A/A’,’Value’,mat2str(AA))
set param(’SMVoltV7/B’,’Gain’,mat2str(BB),’Multiplication’,’Matrix(K*u) (u vector)’)
set param(’SMVoltV7/C’,’Gain’,mat2str(CC),’Multiplication’,’Matrix(K*u) (u vector)’)
set param(’SMVoltV7/F’,’Gain’,mat2str(FFF),’Multiplication’,’Matrix(K*u) (u vector)’)
set param(’SMVoltV7/A/G’,’Value’,mat2str(G))
set param(’SMVoltV7/U’,’Gain’,mat2str(UU),’Multiplication’,’Matrix(K*u) (u vector)’)
set param(’SMVoltV7/Ki’,’Gain’,mat2str([zeros(4) zeros(4) Ki]),’Multiplication’,’Matrix(K*u)
(u vector)’)
set param(’SMVoltV7/Ks Bt’,’Gain’,mat2str([Ks*B’ zeros(4) zeros(4)]),’Multiplication’,’Matrix(K*u)
(u vector)’)
set param(’SMVoltV7/sigma’,’Gain’,mat2str(sigma),’Multiplication’,’Matrix(K*u) (u
vector)’)
set param(’SMVoltV7/Integrator’,’Initial’,mat2str([0 xini 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]))
set param(’SMVoltV7/Omega’,’Slope’,num2str(aa))
set param(’SMVoltV7’,’FixedStep’,num2str(1/freq))
simu=sim(’SMVoltV7’,’StopTime’,num2str(temposimu));
T=simu.get(’T’);
Y=simu.get(’Y’);
uc=simu.get(’uc’);
xx=simu.get(’xx’);
fR=simu.get(’fR’);
% Algorıtimos para plotagem dos resultados (...)
Fun
ção
A
Figura B.1: Diagrama de blocos no Simulink.
Apendice C
Desenhos Mecanicos
R19
R42
100
100
5
10
10 7.300
45°
0.500
Chapa do estator
PESO:
Renan S. SiqueiraA4
FOLHA 1 DE 1ESCALA:1:1
Autor
TÍTULO:
MATERIAL:
DATAASSINATURANOME
Aço-silício GNO
QUALID
MANUF.
APROV.
VERIF.
DES.
90
A
17.
50 4.5
0 1
0
10
42
36.40
11
13.48
14.28
DETAIL A
Porca M13
1
5
2
4
3
Montagem Eixo/RotorAlumínio
Aço 1020
Aço-silício GNO
Aço 1020
Aço-inox
WEIGHT:
Renan S. SiqueiraA4
SHEET 1 OF 1SCALE1:2
Name
TITLE:Material
5
4
3
2
1
Apendice D
Eletronica
92
Apendice E
Programacao em Arduino
. //PROGRAMACAO DO ARDUINO 1, CONTROLE VERTICAL
. #include <digitalWriteFast.h>
. long v=0; //velocidade
. long x=0; //leitura do sensor
. long x0=0; //leitura do sensor no instante anterior
. long t0=0; //tempo da aquisicao anterior
. long t=0; //tempo atual
. long e=0; //erro de posicao
. long s=0; //superfıcie de deslizamento do SMC
. long d=0; //distancia percorrida desde o ultimo instante
. long z=0; //fator zeta de atenuacao do SMC
. long u=0; //sinal de controle
. long sul=0; //sinal de controle especıfico da bobina sul
.
. void setup()
. pinModeFast(13,OUTPUT);
. digitalWriteFast2(13,HIGH); //saıda 5V
. pinModeFast(3,INPUT); //le sinal de 13 para botao on/off
.
. /*OC0A 6 Correspondencia entre variaveis
. OC0B 5 de OUTPUT PWM com numeracao
. OC1A 9 fısica do Arduino (Timers 1,2 e3, cada
. OC1B 10 um com Portas A e B)
. OC2A 11
. OC2B 3 */
. pinMode(9, OUTPUT); //saıdas utilizadas para controle vertical
. pinMode(10, OUTPUT);
. /* Configuracao dos bits das portas PWM:
. Registro COMnXb - onde nX e a correspondencia da porta (n e o timer/X e A ou B)
. e b e o bit (neste caso sao 2 bits: bit1 | bit0).
. 10 e PWM comum, 11 e PWM invertido. */
. /* Registro WGMb - sao 4 bits, 0101 e fast PWM de 8-bit para timer 1 */
. TCCR1A = BV(COM1A1) / BV(COM1B1) / BV(COM1B0) / BV(WGM12) / BV(WGM10);
. /*Registro CSn - 3 bits que determinam frequencia do PWM
. CSn2 CSn1 CSn0 freqPWM (bitsPWM sempre = 256 para timer 1)
. 0 0 1 16M/bitsPWM
. 0 1 0 16M/8*bitsPWM
. 0 1 1 16M/32*bitsPWM
. 1 0 0 16M/64 *bitsPWM */
. TCCR1B = BV(CS11) ; // 7.8 kHz fast PWM, para maior frequencia Mosfet superaquece
.
. x0=analogRead(A0); //x e leitura em bits do sensor (bits* como unidade de posicao)
94
. t0=micros();
.
. void loop()
. if (digitalRead(3)) //determina que controle so acontece para botao ligado
. x=analogRead(A0); //leitura do sensor em 10-bits
. t=micros();
. d=x-x0;
. v=-d*1000000/(t-t0); //velocidade em bits*/s, o menos se da por causa do erro
. e=600-x; //erro em bits*
. s=80*e+v;
. z=1/10000; //zheta
. u=255-255/(1+exp(-s*z)); //funcao sigmoide
. OCR1A = u; //saıda PWM em 9
. sul=u+200;
. OCR1B = (sul>255)?255:sul ; //enfraquecimento do sul para compensacao do peso
. t0=t;
. x0=x;
.
. else //condicoes para botao desligado
. OCR1A = 0;
. OCR1B = 255;
.
. . //Codigo para controle horizontal e analogo.
Anexo 1
Sensor de posicao IF6029
Made in Germany
Características do produtoSensor indutivo
Rosca metálica M12 x 1
c/ conector
Saída analógica 0...10 V(linear, gradiente: 5,55 V/mm) *)
Faixa de operação 0,2...2 mm; [b] embutido
Dados elétricosDC analógicoFunção eléctrica
15...30 DCTensão de operação [V]
< 20Consumo de corrente [mA]
IIClasse de proteção
simProtecção contra inversão depolaridade
Saídas0...10 V analógicoSaída
2000Carga mín. [Ω]
simproteção contra curto-circuitos
simProtecção contra sobrecarga
faixa de registo0,2...2Faixa de operação [mm]
precisão / desviosaço = 1 / aço inoxidável aprox. 0,7 / latão aprox. 0,5 / Alumínio aprox. 0,4 / cobre
aprox. 0,3Factores de correção
± 3 %; de UA máxErro de linearidade
± 2 %; de UA máxRepetibilidade
± 10 %; de UA máxCoeficiente de temperatura
Tempos de reação< 10Tempo de resposta [ms]
condições ambientais-25...80Temperatura ambiente [°C]
IP 67protecção
Certificações / testes1009MTTF [anos]
Dados mecânicosembutidomontagem
carcaça: latão revestido com bronze branco; face ativa: PBTMaterial da carcaça
0,045Peso [kg]
sensores indutivosIF6029
96
Made in Germany
Características do produtoSensor indutivo
Rosca metálica M12 x 1
c/ conector
Saída analógica 0...10 V(linear, gradiente: 5,55 V/mm) *)
Faixa de operação 0,2...2 mm; [b] embutido
Dados elétricosDC analógicoFunção eléctrica
15...30 DCTensão de operação [V]
< 20Consumo de corrente [mA]
IIClasse de proteção
simProtecção contra inversão depolaridade
Saídas0...10 V analógicoSaída
2000Carga mín. [Ω]
simproteção contra curto-circuitos
simProtecção contra sobrecarga
faixa de registo0,2...2Faixa de operação [mm]
precisão / desviosaço = 1 / aço inoxidável aprox. 0,7 / latão aprox. 0,5 / Alumínio aprox. 0,4 / cobre
aprox. 0,3Factores de correção
± 3 %; de UA máxErro de linearidade
± 2 %; de UA máxRepetibilidade
± 10 %; de UA máxCoeficiente de temperatura
Tempos de reação< 10Tempo de resposta [ms]
condições ambientais-25...80Temperatura ambiente [°C]
IP 67protecção
Certificações / testes1009MTTF [anos]
Dados mecânicosembutidomontagem
carcaça: latão revestido com bronze branco; face ativa: PBTMaterial da carcaça
0,045Peso [kg]
sensores indutivosIF6029
Displays / elementos de operaçãodisplay amarelo (permanentemente aceso)dentro da faixa operacional
amarelo (Brilhando)fora da faixa operacional
conexão elétricaconectores M12Conexão
Fiação
Acessórios2 porcas de fixaçãoacessórios (incluídos)
NotasNotas *) para alvo 12x12x1 mm feito de aço doce e aproximação frontal
1Quantidade [peça]
ifm electronic gmbh • Friedrichstraße 1 • 45128 Essen — Nos reservamos o direito de fazer alterações técnicas sem aviso prévio — PT — IF6029 — 08.03.2006
sensores indutivosIF6029
Anexo 2
Mosfet IRFZ34N
Document Number: 91290 www.vishay.comS11-0517-Rev. B, 21-Mar-11 1
This datasheet is subject to change without notice.THE PRODUCT DESCRIBED HEREIN AND THIS DATASHEET ARE SUBJECT TO SPECIFIC DISCLAIMERS, SET FORTH AT www.vishay.com/doc?91000
Power MOSFET
IRFZ34, SiHFZ34Vishay Siliconix
FEATURES• Dynamic dV/dt Rating
• 175 °C Operating Temperature
• Fast Switching
• Ease of Paralleling
• Simple Drive Requirements
• Compliant to RoHS Directive 2002/95/EC
DESCRIPTIONThird generation Power MOSFETs from Vishay provide thedesigner with the best combination of fast switching,ruggedized device design, low on-resistance andcost-effectiveness.The TO-220AB package is universally preferred for allcommercial-industrial applications at power dissipationlevels to approximately 50 W. The low thermal resistanceand low package cost of the TO-220AB contribute to itswide acceptance throughout the industry.
Notesa. Repetitive rating; pulse width limited by maximum junction temperature (see fig. 11).b. VDD = 25 V, starting TJ = 25 °C, L = 259 μH, Rg = 25 Ω, IAS = 30 A (see fig. 12).c. ISD ≤ 30 A, dI/dt ≤ 200 A/μs, VDD ≤ VDS, TJ ≤ 175 °C.d. 1.6 mm from case.
PRODUCT SUMMARYVDS (V) 60
RDS(on) (Ω) VGS = 10 V 0.050
Qg (Max.) (nC) 46
Qgs (nC) 11
Qgd (nC) 22
Configuration Single
N-Channel MOSFET
G
D
S
TO-220AB
GDS
Available
RoHS*COMPLIANT
ORDERING INFORMATIONPackage TO-220AB
Lead (Pb)-freeIRFZ34PbF
SiHFZ34-E3
SnPbIRFZ34
SiHFZ34
ABSOLUTE MAXIMUM RATINGS (TC = 25 °C, unless otherwise noted)PARAMETER SYMBOL LIMIT UNIT
Drain-Source Voltage VDS 60V
Gate-Source Voltage VGS ± 20
Continuous Drain Current VGS at 10 VTC = 25 °C
ID30
ATC = 100 °C 21
Pulsed Drain Currenta IDM 120
Linear Derating Factor 0.59 W/°C
Single Pulse Avalanche Energyb EAS 200 mJ
Maximum Power Dissipation TC = 25 °C PD 88 W
Peak Diode Recovery dV/dtc dV/dt 4.5 V/ns
Operating Junction and Storage Temperature Range TJ, Tstg - 55 to + 175 °C
Soldering Recommendations (Peak Temperature) for 10 s 300d
Mounting Torque 6-32 or M3 screw10 lbf · in
1.1 N · m
* Pb containing terminations are not RoHS compliant, exemptions may apply98
Anexo 3
Microcontrolador ATmega328
Features• High Performance, Low Power AVR® 8-Bit Microcontroller• Advanced RISC Architecture
– 131 Powerful Instructions – Most Single Clock Cycle Execution– 32 x 8 General Purpose Working Registers– Fully Static Operation– Up to 20 MIPS Throughput at 20 MHz– On-chip 2-cycle Multiplier
• High Endurance Non-volatile Memory Segments– 4/8/16/32K Bytes of In-System Self-Programmable Flash progam memory
(ATmega48PA/88PA/168PA/328P)– 256/512/512/1K Bytes EEPROM (ATmega48PA/88PA/168PA/328P)– 512/1K/1K/2K Bytes Internal SRAM (ATmega48PA/88PA/168PA/328P)– Write/Erase Cycles: 10,000 Flash/100,000 EEPROM– Data retention: 20 years at 85°C/100 years at 25°C(1)
– Optional Boot Code Section with Independent Lock BitsIn-System Programming by On-chip Boot ProgramTrue Read-While-Write Operation
– Programming Lock for Software Security• Peripheral Features
– Two 8-bit Timer/Counters with Separate Prescaler and Compare Mode– One 16-bit Timer/Counter with Separate Prescaler, Compare Mode, and Capture
Mode– Real Time Counter with Separate Oscillator– Six PWM Channels– 8-channel 10-bit ADC in TQFP and QFN/MLF package
Temperature Measurement– 6-channel 10-bit ADC in PDIP Package
Temperature Measurement– Programmable Serial USART– Master/Slave SPI Serial Interface– Byte-oriented 2-wire Serial Interface (Philips I2C compatible)– Programmable Watchdog Timer with Separate On-chip Oscillator– On-chip Analog Comparator– Interrupt and Wake-up on Pin Change
• Special Microcontroller Features– Power-on Reset and Programmable Brown-out Detection– Internal Calibrated Oscillator– External and Internal Interrupt Sources– Six Sleep Modes: Idle, ADC Noise Reduction, Power-save, Power-down, Standby,
and Extended Standby• I/O and Packages
– 23 Programmable I/O Lines– 28-pin PDIP, 32-lead TQFP, 28-pad QFN/MLF and 32-pad QFN/MLF
• Operating Voltage:– 1.8 - 5.5V for ATmega48PA/88PA/168PA/328P
• Temperature Range:– -40°C to 85°C
• Speed Grade:– 0 - 20 MHz @ 1.8 - 5.5V
• Low Power Consumption at 1 MHz, 1.8V, 25°C for ATmega48PA/88PA/168PA/328P:– Active Mode: 0.2 mA– Power-down Mode: 0.1 µA– Power-save Mode: 0.75 µA (Including 32 kHz RTC)
8-bit Microcontroller with 4/8/16/32K Bytes In-SystemProgrammable Flash
ATmega48PAATmega88PAATmega168PAATmega328P
Rev. 8161D–AVR–10/0999
