projetosFiltros

Universidade Federal de Campina GrandeCentro de Engenharia Elétrica e Informática

Departamento de Engenharia ElétricaDisciplina: Filtros ElétricosProfessor: Hiran de Melo

Aluno: Higor Italo dos SantosMatrícula: 111210273

Projetos - Laboratório de Filtros ElétricosFiltros Passa Baixas, Filtros Passa Altas, Filtros Passa-Faixa e Filtros Rejeita Faixa

Campina Grande-PB31 de Março de 2014

Sumario

1.Objetivos.........................................................................................................................3

2.Introdução torica.............................................................................................................3

3.Projeto dos Filtros

3.1Filtros passa baixas...........................................................................................6

FPB - Aproximação de Butterworth..........................................................6

FPB - Aproximação de Chebyshev..........................................................13

FPB - Aproximação de Cauer..................................................................18

3.2 Filtros passa alta.............................................................................................24

FPA - Aproximação de Butterworth........................................................24

FPA - Aproximação de Chebyshev..........................................................30

FPA - Aproximação de Cauer..................................................................34

3.3 Filtros passa faixa……………………….…………………………………..39

FPF - Aproximação de Butterworth........................................................40

FPF - Aproximação de Chebyshev..........................................................46

FPF - Aproximação de Cauer..................................................................52

3.4 Filtros rejeita faixa.........................................................................................61

FRF - Aproximação de Butterworth........................................................61

FRF - Aproximação de Chebyshev..........................................................70

FRF - Aproximação de Cauer..................................................................77

4. Conclusão....................................................................................................................86

2

1. OBJETIVOS

Esta atividade tem como objetivo avaliar a montagem e simulação de filtros elétricos do tipo passa baixa (FPB), passa alta (FPA), passa faixa (FPF) e rejeita faixa (FRF), todos desenvolvidos pelos métodos de aproximações de Butterworth, de Chebyshev e de Cauer. Para os circuitos montados e simulados, foram analisados os dados obtidos e então comparados com os valores físicos registrados previamente.

2. INTRODUÇÃO TEÓRICA

Um filtro é caracterizado por um circuito projetado para realizar a seleção de determinada faixa de valores de um dado sinal, permitindo a “passagem” do sinal com frequências desejadas e “bloqueando” outras. Um filtro pode ser caracterizado como passivo ou ativo. Um filtro é passivo quando é composto apenas de elementos passivos, como resistores (R), indutores (L) e capacitores (C). Já um filtro ativo é aquele for formado apenas por elementos ativos, como transistores e amplificadores operacionais, além de elementos passivos R, L e C. Quanto à classificação os filtros, sejam eles ativos ou passivos, podem ser classificados como:

1. Filtro passa baixas (FPB) - permite apenas a passagem das baixas frequências de um sinal na sua saída, suprimindo a passagem das altas frequências do mesmo;

2. Filtro passa altas (FPA) - permite apenas a passagem das altas frequências de um sinal na sua saída, suprimindo a passagem das baixas frequências do mesmo;

3. Filtro passa faixa (FPF) - permite apenas a passagem deixar de frequências dentro de uma determinada faixa de valores, bloqueando ou atenuando frequências fora dela;

4. Filtro rejeita faixa (FRF) - Bloqueia ou atenua uma determinada faixa de valores de frequência de um sinal, permitindo na saída do filtro apenas a passagem das frequências fora dessa faixa;

Na figura 01 apresentam-se as representações gráficas da resposta em frequência para cada um dos tipos de filtros descritos acima.

(a) (b)

3

(c) (d)

Figura 01. Representação gráfica geral da resposta em frequência de filtros elétricos: (a)Passa baixas; (b)Passa altas; (c)Passa faixa ; (d)Rejeita faixa .

Para a determinação dos projetos de filtros elétricos, fazemos uso de métodos de aproximação. Os principais, abordados neste trabalho, são:

Butterworth: Caracterizado como um tipo de projeto de filtros eletrônicos é desenvolvido de modo a ter uma resposta em frequência tão plana o quanto for matematicamente possível na banda passante. A resposta em frequência de um filtro Butterworth é muito plana (não apresenta ondulações, ou ripple) na banda passante, e se aproxima do valor nulo na banda de rejeição. Ao se plotar a saída do filtro em um gráfico logarítmico, observa-se que essa resposta decresce linearmente até o infinito negativo. Os filtros Butterworth possuem uma queda na sua magnitude como uma função linear com ω. Quanto à ordem, este filtro mantém o mesmo formato para ordens mais elevadas (como pode ser visto na figura 01), porém com uma inclinação crescente na banda atenuada. Outras variedades de filtros apresentam formatos diferentes para ordens mais elevadas.

Figura 02. Características do gráfico do Filtro Passa Baixa Butterworth da primeira à quinta ordem.

Chebyshev: Utilizado em projetos de filtros analógicos ou digitais que possuem um aumento na atenuação (roll-off) mais íngreme e considerável ripple na banda de passagem em comparação aos elaborados pelo método de Butterworth. Esses filtros são capazes de minimizar o erro entre as características do filtro idealizado e o atual com relação à faixa, porém com oscilações na banda passante.Na figura 02 pode-se visualizar a resposta em frequência de um filtro elaborado pelo método Chebyshev.

4

Figura 03. Gráfico da resposta em frequência de um Filtro Chebyshev Passa-Baixa, apresentando o leve rebatimento (ripple) na faixa de bloqueio.

Cauer (ou elíptico): A saída dos filtros projetados por esse método apresenta ondulações tanto na banda de passagem como na banda de rejeição, indicando que ele minimiza o erro máximo em ambas a banda (ao contrário do filtro Chebyshev, que apresenta ripple apenas na banda passante, ou no caso do Chebyshev inverso, na banda rejeitada). Este fato é representado pelo gráfico mostrado na figura 03.

Figura 04. Gráfico da resposta em frequência de um Filtro Cauer Passa Baixa, apresentado o duplo ripple.

5

3. Projeto dos Filtros

3.1 Filtros passa baixas

O primeiro projeto consiste na obtenção da função de transferência, simulação e montagem de três filtros passa baixas (Butterworth, Chebyshev e Cauer) de acordo com as especificações:

• Frequência de passagem: 1000 Hz;• Frequência de bloqueio: 5000 Hz;• Atenuação máxima permitida na banda de passagem: 1 dB;• Atenuação mínima exigida na banda de bloqueio: 30 dB;

FPB – Aproximação de Butterworth

Inicialmente, utilizamos os dados fornecidos para gerar um código no programa MATLAB a fim de obter a função de transferência que representa a saída do filtro, fazendo uso da função buttord e butter. O código utilizado foi:

%Faixa de passagem: [0, 1000]Hzfp = 1000; wp = 2*pi*fp; %Faixa de bloqueio: [5000,?]Hzfs = 5000; ws = 2*pi*fs; %Atenuação Máxima Permitida em dB: Ap= 1; %Atenuação Mínima Exigida em dB: As = 30; %Ordem do Polinômio de Aproximação[n, wn] = buttord (wp,ws,Ap,As,'s'); %Função de Transferência[B, A] = butter (n, wn, 's');Ft = tf(B,A)

Cujo resultado obtido pelo programa foi

Transfer function:9.81e011

--------------------------------------------s^3 + 1.987e004 s^2 + 1.975e008 s + 9.81e011

Logo, a função de transferência a ser analisada será

T ( s )= 9,81. 1011

s3+1,987. 104 s2+1,975. 108 s+9,81. 1011

que caracteriza um filtro de 3ª ordem.

6

A fim de simplificar a elaboração do circuito, iremos dividir o filtro em duas partes: uma correspondendo a um filtro de 1ª ordem, e a outra, a um filtro de 2ª ordem, de tal modo que a T(s) possa ser escrita como

T ( s )=T1 (s ) .T 2 (s )

onde T1(s) está associada ao filtro de ordem 1, e T2(s) ao filtro de ordem 2.Fazemos isso primeiramente achando as raízes do denominador da função de transferência no MATLAB, fazendo uso da função roots, por meio do código

r = roots(A)

que nos fornece o resultado

r =

1.0e+003 *

-9.9362 -4.9681 + 8.6050i -4.9681 - 8.6050i

Em seguida, com o auxilio da função poly, encontramos os coeficientes dos denominadores de T1(s) e T2(s)

p1 = poly(r(1))p2 = poly([r(2) r(3)])

cujos resultados são

p1 =

1.0e+003 *

0.001000000000000 9.936244997067917

p2 =

1.0e+007 *

0.000000100000000 0.000993624499707 9.872896464175751

Com isso, podemos escrever a nova equação para T(s):

T ( s )=T1 (s ) .T 2 (s )= 9936,24s+9936,24 s

9,87.107

s2+9936,2 s+9,87. 107

Neste ponto, verificamos o seguinte: uma vez que T1(s) refere-se a um filtro de 1ª ordem, podemos analisar:

T 1 ( s)= 9936,24s+9936,24 s

=

1RC

s+1

RC⇒

1RC

=9936,24

7

Para a este ultimo resultado, se atribuímos para o valor 1 a C, obteremos:

C=1 →1

R(1)=9936,24

⇒R= 1

9936,24=1,0064.10−4

Assim,Para C = 1F R = 1,0064.10-4 = 100,64.10-6Ω = 100,64µΩ

Efetuando uma mudança de escala com um fator igual a 109, chegaremos aC=1 F →C=1. 10−9=1 nF

R=100,64 μΩ→ R=100,64.10−6 .109=100,64.103=100,64 K ΩE, portanto, os valores dos componentes para realização da parte correspondente ao filtro de grau um são

Capacitor (C): 1nF (I)Resistor (R): 100,64KΩ (II)

O esquema do circuito a ser usado para essa parte é apresentado na figura 05.

Figura 05. Circuito FPB de 1ª ordem.

Para T2(s), realizamos uma analise baseada na sua condição de filtro de 2ª ordem. Iremos utilizar um a topologia Sallen-Key, que é representada pelo circuito mostrado na figura 06.

Figura 06. Representação de circuito com topologia Sallen-Key.

Para conseguir um filtro de grau dois com o esse circuito, devemos associar resistores às impedâncias Z1 e Z2 e capacitores as impedância Z3 e Z4, conforme mostra a figura 07.

Figura 07. Filtro passa-baixa de grau 2 (topologia Sallen-Key).

8

Este circuito apresenta a seguinte função de transferência:

V 0

V ¿=

k1

R1 R2C1C2

s2+( 1R2C1

+ 1R1C1

+ 1−kR2 C2

)s+ 1R1 R2 C1 C2

Para o circuito desta figura, devemos determinar os valores dos componentes que o compõe considerando ganho unitário e atribuindo valores arbitrários para os resistores, de preferencia iguais e unitários:

k=1;R1=R2=1;

Com esses dados, obteremos:

V 0

V ¿=

1C1C2

s2+ 2C1

s+ 1C1C2

=ωp

2

s2+ωp

Q p

+ω p2 ⇒

⇒ ω p

Q p

= 2C1 ⇒

C1=2Qp

ω p

ωp2= 1

C1C2

= 1

(2Q p

ω p)C2

⇒C2=

12ω pQ p

De posse das equações acima e da expressão de T2(s), realizamos os devidos cálculos:

T 2 ( s)= 9,87.107

s2+9936,2 s+9,87. 107 =ωp

2

s2+ωp

Qp

+ω p2 ⇒

⇒ ω p2=9,87. 107 →ω p=9,9348. 103

ω p

Q p

=9936,2 →Q p=9,9948.103

9936,2=0,999859⇒

⇒ C1=2Qp

ω p

=20,999859

9,9348.103 → C1=2,013.10−4

C2=1

2ωp Q p

= 12 (9,9348.103)(0,999859)

→ C2=5,034.10−5

Desta forma temos que

para R1 ¿R2=1Ω→ C1=2,013. 10−4 F

C2=5,034.10−5 F

Realizando uma alteração de escala por um fator de ajuste de 104, ficaremos com

R1=1 Ω→ R1=1. 104Ω=10. 103Ω=10 kΩ

R2=1 Ω→ R2=1.104Ω=10. 103Ω=10 kΩ

C1=2,013.10−4 F →C1=2,013. 10−4 . 10−4=2,013. 10−8 F=20,13. 10−9 F=20,13 nF

C2=5,034. 10−5 F → C2=5,034. 10−5 . 10−4=5,034.10−9 F=5,034 nF

9

E assim, os valores dos componentes para realização da parte correspondente ao filtro de grau dois são:

R1=10 kΩR2=10 kΩ

(III)

C1=20,13 nFC2=5,034 nF

(IV)

E finalmente, utilizando os valores dos componentes em (I), (II), (III) e (IV), construímos o filtro desejado ligando em serie os circuitos das figuras 05 e 07, conforme o esquema mostrado na figura 08.

Figura 08. Filtro passa-baixa de ordem 3.

Assim, efetuamos a simulação desse circuito através do software Multisim, fazendo a interligação dos componentes calculados. A figura 09 apresenta o circuito feito no programa.

Figura 09. Simulação Multisim do circuito projetado(FPB Butterworth).

Ao observamos esta figura, podemos perceber que os valores atribuídos aos componentes não são iguais, porem são próximos ao calculados no projeto. Isso se justifica pelo fato de que o programa disponibiliza apenas componentes de valores

10

comerciais, fazendo com que seja necessária a atribuição de tais valores em comparação àqueles calculados no nosso projeto.A seguir, construímos o circuito físico utilizando os valores comerciais verificados na simulação digital, utilizando o seguinte material:

- Amplificador operacional – CI-TL084;- Resistores de 10kΩ e 100kΩ;- Capacitores de 1nF, 5nF e 20nF;- Fontes de tensão;- Fonte geradora de sinal;- Osciloscópio; - Protoboard;- Fios para ligação;

O esquema do circuito físico implementado é mostrado na figura 10.

Figura 10. Montagem do circuito FPB Butterworth.

Montado o circuito, realizou-se uma serie de mediações objetivando-se verificar a relação entre a frequência aplicada ao filtro e o ganho obtido.Para uma tensão de entrada de 7,5V e variando-se a frequência de 10Hz a 10kHz, os valores medidos são mostrados na tabela 01.

Freqüência (Hz) Ganho (Vo/Vi) Freqüência (Hz) Ganho (Vo/Vi)

10 0,9897 5k 0,0203

100 0,9923 5,5k 0,0151

1k 0,8400 6k 0,0108

1,5k 0,6323 6,5k 0,0080

2k 0,3019 7k 0,0062

2,5 0,1845 7,5k 0,0046

3k 0,1054 8k 0,0037

3,5k 0,0632 9k 0,0022

11

4k 0,0430 10k 0,0015

4,5k 0,0295

Tabela 01. Medições experimentais – filtro passa-baixa (Butterworth).

Finalizando essa etapa do projeto, apresentamos os resultados gráficos comparativos entre os valores obtidos através do Matlab, do Multisim e da montagem do circuito real nas figuras 11 e 12.

Figura 11. Diagrama de Bode Filtro Passa-Baixa Butterworth – Matlab versus Multisim.

12

Figura 12. Diagrama de Bode Filtro Passa-Baixa Butterworth – Multisim versus circuito real (montagem).

13

FPB – Aproximação de Chebyshev

Para o projeto deste filtro, seguiremos um desenvolvimento análogo ao Butterworth, necessitando apenas de algumas alterações nos cálculos até aqui já efetuados.Mais uma vez utilizando as especificações dadas, geramos uma rotina no Matlab para obtermos a função de transferência que representa o circuito.Aqui, faremos uso das funções cheb1ord e cheby1, uma vez que optamos por realizar a aproximação de Chebyshev do tipo 1:

%Faixa de passagem: [0, 1000]Hzfp = 1000; wp = 2*pi*fp; %Faixa de bloqueio: [5000,?]Hzfs = 5000; ws = 2*pi*fs; %Atenuação Máxima Permitida em dB: Ap= 1; %Atenuação Mínima Exigida em dB: As = 30; %Ordem do Polinômio de Aproximação[n, wn] = cheb1ord(wp,ws,Ap,As,'s'); %Função de Transferência[B, A] = cheby1(n, Ap, wn, 'low','s');Ft = tf(B,A)

O programa apresenta o seguinte resultado:

Transfer function: 1.219e011----------------------------------------s^3 + 6210 s^2 + 4.889e007 s + 1.219e011

o que nos diz que a função de transferência para o filtro Chebyshev será

T ( s )= 1,219.1011

s3+6210 s2+4,889.107 s+1,219. 1011

que nos mostra se tratar de um filtro de 3º grau, e para sua elaboração, iremos mais uma vez dividir o projeto em duas partes, como foi feito para o filtro Butterworth: uma parte correspondente a um filtro de grau 1, e outra, para um filtro de grau 2, dada por

T ( s )=T1 (s ) .T 2(s)Assim, determinando as raízes do denominador por meio do MATLAB, obtemos

r = 1.0e+003 *

-1.5525 + 6.0695i -1.5525 - 6.0695i -3.1050

14

Em seguida, obtemos os coeficientes para as equações T1(s) e T2(s), também com o Matlab:

p1 =

1.0e+003 *

0.001000000000000 3.104965484214013

p2 =

1.0e+007 *

0.000000100000000 0.000310496548421 3.924962386142842

Esses valores nos levam a

T ( s )=T1 (s ) .T 2 (s )= 3,105.103

s+3,105.103 .3,925.107

s2+3104,97 s+3,925. 107

Com a nossa expressão para T(s), fazemos analise semelhante àquela feita para o filtro Butterworth para determinar os valores de cada componente:

T1(s):

T 1 ( s)= 3,105. 103

s+3,105. 103 =

1RC

s+1

RC⇒

1RC

=3,105. 103;

paraC=1:1

R (1 )=3,105.103→ R= 1

3,105.103=3,220.10−4=322. 10−6 Ω;Mudança de escalar: fator 109:

C=1 F →C=1. 10−9=1 nF (V)R=322.10−6 R=322.10−6 .109=322. 103Ω=322kΩ (VI)

T2(s):

15

T 2 ( s)=k

1R1 R2C1C2

s2+( 1R2C1

+ 1R1C1

+ 1−kR2C2

)s+ 1R1 R2 C1 C2

;

para k=1R1¿ R2=1⇒

T2 (s )=

1C1 C2

s2+ 2C1

s+ 1C1 C2

=ω p

2

s2+ω p

Q p

+ωp2 ⇒

⇒T2 (s )= 3,925.107

s2+3104,97 s+3,925. 107 =ω p

2

s2+ω p

Q p

+ωp2 ⇒

⇒ ω p2=3,925. 107→ ω p=6,265. 103

ω p

Q p

=3104,97 → Q p=6,265.103

3104,97=2,018 ⇒

⇒ C1=2Q p

ω p

=22,018

6,265. 103 → C1=6,442.10−4 F

C2=1

2ωp Q p

= 12 (6,265.103)(2,018)

→ C2=3,955.10−5 F

Mudança de escalar: fator 104:R1=1 Ω→ R1=1. 104Ω=10. 103Ω=10 kΩ

R2=1 Ω→ R2=1.104Ω=10. 103Ω=10 kΩ(VII)

C1=6,442.10−4 F →C1=6,442. 10−4 . 10−4=6,442. 10−8 F=64,42. 10−9 F=64,42 nF

C2=3,955. 10−5 F → C2=3,955.10−5 . 10−4=3,955. 10−9 F=3,955 nF

(VIII)

Agora, com os valores em (V), (VI), (VII) e (VIII), construímos o filtro segundo o esquema da figura 08.A simulação pelo Multisim é apresentada na figura 13:

16

Figura 13. Simulação Multisim do circuito projetado (FPB Chebyshev).

Observa-se mais uma vez a diferença entre os valores dos componentes na simulação e àqueles calculados, mais uma vez justificada pela exclusividade do programa de valores predefinidos para os elementos do circuito.Para a montagem experimental, montou-se o circuito da figura 14, objetivando-se nos aproximarmos o máximo possível dos valores dos componentes calculados:

Figura 14. Montagem do circuito FPB Chebyshev.

Para esta montagem, foram utilizados os seguintes materiais:- Amplificador operacional – CI-TL084;- Resistores de 10kΩ, 22kΩ e 300kΩ;- Capacitores de 1nF, 2,4nF, 4nF e 62nF;- Fontes de tensão;- Fonte geradora de sinal;- Osciloscópio;

17

- Protoboard;- Fios para ligação;

Montado o circuito, para uma tensão de entrada de 7,5V e uma variação de frequência de 10Hz a 10kHz, obtivemos os dados apresentados na tabela 02.

Freqüência (Hz) Ganho (Vo/Vi) Freqüência (Hz) Ganho (Vo/Vi)10 0,9871 2,5 0,0203100 0,9690 3k 0,0103200 0,9058 3,5k 0,0066300 0,8645 4k 0,0040400 0,8387 4,5k 0,0027500 0,8194 5k 0,0019600 0,8258 5,5k 0,0015700 0,8387 6k 0,0013800 0,8516 6,5k 0,0012850 0,8000 7k 0,0010900 0,7742 7,5k 0,0010950 0,7097 8k 0,00101k 0,5806 9k 0,0010

1,5k 0,1110 10k 0,00102k 0,0410Tabela 02. Medições experimentais – filtro passa-baixa (Chebyshev).

Finalmente, apresentamos os resultados gráficos comparativos entre os valores obtidos através do Matlab, do Multisim e da montagem do circuito real nas figuras 15 e 16.

Figura 15. Diagrama de Bode Filtro Passa Baixas Chebyshev – Matlab versus Multisim.

18

Figura 16. Diagrama de Bode Filtro Passa Baixas Chebyshev – Multisim versus circuito real (montagem).

FPB – Aproximação de Cauer

Damos inicio a mais esta etapa do projeto, realizando mais uma vez uma implementação de código Matlab, mas agora pra um filtro passa-baixa tipo Cauer. Fazemos isso utilizando as funções ellipord e ellip:%Faixa de passagem: [0, 1000]Hzfp = 1000; wp = 2*pi*fp; %Faixa de bloqueio: [5000,?]Hzfs = 5000; ws = 2*pi*fs; %Atenuação Máxima Permitida em dB: Ap= 1; %Atenuação Mínima Exigida em dB: As = 30; %Ordem do Polinômio de Aproximação[n, wn] = ellipord(wp, ws, Ap, As, 's'); %Função de Transferência[B, A] = ellip(n,Ap,As,wn,'s')Ft = tf(B,A)

O resultado fornecido pelo programa éTransfer function:

0.03162 s^2 + 3.94e007-----------------------s^2 + 6771 s + 4.42e007

19

o que nos informa que a nossa função de transferência neste caso será

T ( s )=0,03162 s2+3,94. 107

s2+6771 s+4,42. 107

Dada a forma de T(s), podemos reescreve-la como

T ( s )= 3,94. 107

s2+6771 s+4,42.107 +0,03162 s2

s2+6771 s+4,42. 107

Podemos ver que a primeira equação do membro direito representa a função de transferência de um filtro passa baixa. Já a segunda expressão corresponde à função de transferência de um filtro tipo passa-alta. Sendo assim, para a implementação do filtro em questão pelo método de Cauer, iremos utilizar a junção de dois circuitos: um filtro passa-baixa de ordem dois e um passa-alta, também de ordem dois, de tal modo a termos

T ( s )=T1 (s )+T 2 ( s)= 3,94.107

s2+6771 s+4,42.107 + 0,03162 s2

s2+6771 s+4,42.107

Onde

T 1=3,94. 107

s2+6771 s+4,42.107

corresponde ao FPB, e

T 2 ( s)= 0,03162 s2

s2+6771 s+4,42.107

corresponde ao FPA.

O circuito capaz de implementar tal função é apresentado na figura 17.

Figura 17. Circuito para implementação de um FPB tipo Cauer.

20

Os componentes RPA, RPB serão determinados de acordo com o valor da resistência RK =1kΩ (escolhido arbitrariamente para efeito de cálculos) e da constate de ganho α para T1(s) e T2(s), como veremos a seguir.

Primeiramente começamos a calcular os valores dos componentes a serem utilizados, analisando T1(s):

T 1 ( s)= 3,94.107

s2+6771 s+4,42. 107 =α1

ω p

s2+ω p

Q p

+ωp2 ⇒

⇒ ωp2=4,42. 107 →ω p=6,6483. 103

ω p

Q p

=6771 →Q p=6,6483. 103

6771=0,982

A constante de ganho α1 é calculada por

α 1=3,94.107

4,42. 107 =0,8914

Seguindo:R1 ¿R2=1Ω;

⇒ C1=2Q p

ω p

=20,982

6,6483. 103 → C1=2,954.10−4

C2=1

2ωp Q p

= 12 (6,6483.103)(0,982)

→ C2=7,6595. 10−5

Mudança de escalar: fator 104

R1=1 Ω→ R1=1. 104Ω=10. 103Ω=10 kΩ

R2=1 Ω→ R2=1.104Ω=10. 103Ω=10 kΩ(IX)

C1=2,954.10−4 F →C1=2,954. 10−4 . 10−4=2,954. 10−8 F=29,54. 10−9 F=29,54 nF

C2=7,6595.10−5 F → C2=7,6595.10−5 . 10−4=7,6595. 10−9 F=7,6595 nF

(X)

Determinamos o valor de RPB por

α 1=RK

RPB ⇒RPB=

RK

α 1

= 1. 103

0,8914=1,122. 103Ω=1,122 kΩ (XI)

Agora, calculamos os componentes referentes à T2(s). Uma vez se tratando de um filtro passa-alta de segundo, o seu circuito na topologia Sallen-Key, como podemos notar na imagem da figura 17, é esquematizado conforme mostrado na figura 18. Para sua implementação, fixamos os valores dos capacitores C1 e C2 e em seguida calculamos os

21

valores dos resistores R1 e R2, realizando posteriores ajustes de escala conforme necessário.

Figura 18. Filtro passa alta de grau 2 (topologia Sallen-Key).

Uma vez que a formula geral para função de transferência de um FPA é da forma

T ( s )= s2

s2+ω p

Q p

s+ωp2

o calculo de ωp e Qp são análogos aos realizados ate agora. Sendo assim, calculamos:

T 2 ( s)= 0,03162 s2

s2+6771 s+4,42.107 =αs2

s2+ω p

Q p

s+ωp2 ⇒

⇒ ωp2=4,42. 107 →ω p=6,6483. 103

ω p

Q p

=6771 →Q p=6,6483. 103

6771=0,982

A constante de ganho para α2 é dada por

α 2=0,03162

Seguindo:C1¿C2=1 F ;

⇒ R1=1

2 ω pQ p

= 12(6,6483. 103)(0,982)

→ R1=7,6595.10−5Ω

R2=2Q p

ωp

=20,982

6,6483.103 → R2=2,954.10−4 Ω

Mudança de escalar: fator 10-8

C1=1 F → C1=1.10−8 F=10. 10−9 F=10 nF

C2=1 F → C2=1.10−8 F=10. 10−9 F=10 nF(XII)

R2=2,954. 10−4 Ω→ C1=2,954. 10−4 .108=2,954. 104 Ω=29,54. 103 Ω=29,54 kΩ

R1=7,6595.10−5Ω→ C2=7,6595.10−5 . 108=7,6595. 103 Ω=7,6595 kΩ

(XIII)

22


α 2=RK

RPA ⇒RPA=

RK

α 2

= 1. 103

0,03162=3,162.104Ω=31,62. 103Ω=31,62 kΩ (XIV)

De posse dos valores de cada componente, passamos para a etapa de simulação digital do circuito, através do Multisim. O esquema gerado pelo programa é apresentado na figura 19.

Figura 19. Simulação Multisim do circuito projetado (FPB Cauer).

Para a montagem experimental, utilizamos os seguintes materiais:- Amplificador operacional – CI-TL084;- Resistores de 1,12 kΩ; 2,2 kΩ; 3,3 kΩ; 4,3 kΩ; 4,7 kΩ; 10kΩ e 27 kΩ,;- Capacitores de 7nF, 10nF e 20nF;- Fontes de tensão;- Fonte geradora de sinal;- Osciloscópio; - Protoboard;- Fios para ligação;

Na figura 20, mostra-se o esquema da montagem.

23

Figura 20. Montagem do circuito FPB Cauer.

Para as medições, utilizou-se uma tensão de entrada de 7,5V e analisamos o ganho para uma faixa de frequência de 10Hz a 10kHz, conforme mostra a tabela 03.

Freqüência (Hz) Ganho (Vo/Vi) Freqüência (Hz) Ganho (Vo/Vi)10 Hz 0,7948 3,5 0,0619100 0,8052 4 0,0374200 0,8271 4,5 0,0232300 0,8413 5 0,0129400 0,8400 5,5 0,0065500 0,8297 6 0,0026600 0,8168 6,5 0,0026700 0,7987 7 0,0052800 0,7768 7,5 0,0065900 0,7535 8 0,0077

1 kHz 0,7419 8,5 0,00901,5 0,4697 9 0,00972 0,2594 9,5 0,0103

2,5 0,1535 10 0,01033 0,0929

Tabela 03. Medições experimentais – filtro passa-baixa (Cauer).

Os resultados gráficos das simulações (Maltab e Simulink) e do circuito experimental são mostrados de modo comparativo nas figuras 21 e 22.

24

Figura 21. Diagrama de Bode Filtro Passa-Baixa Cauer – Matlab versus Multisim.

Figura 21. Diagrama de Bode Filtro Passa-Baixa Cauer – Multisim versus circuito real (montagem).

3.2 Filtros passa-alta

Devemos projetar a função de transferência, simulação e montagem de três Filtros passa-alta (Butterworth, Chebyshev e Cauer) de acordo com as especificações:

• Frequência de passagem: 5000 Hz;• Frequência de bloqueio: 1000 Hz;

25

• Atenuação máxima permitida na banda de passagem: 1 dB;• Atenuação mínima exigida na banda de bloqueio: 30 dB;

FPA – Aproximação de Butterworth

Inicialmente, utilizamos os dados fornecidos para gerar um código no programa MATLAB a fim de obter a função de transferência que representa a saída do filtro, fazendo uso da função buttord e butter. O código utilizado foi:

%Faixa de bloqueio: [0, 1000]Hzfs = 1000; ws = 2*pi*fs; %Faixa de passagem: [>5000]Hzfp = 5000; wp = 2*pi*fp; %Atenuação Máxima Permitida em dB: Ap= 1; %Atenuação Mínima Exigida em dB: As = 30; %Ordem do Polinômio de Aproximação[n, wn] = buttord (wp,ws,Ap,As,'s'); %Função de Transferência[B, A] = butter (n, wn, 'high', 's'); Ft = tf(B,A)

Cujo resultado obtido pelo programa foiTransfer function:

s^3--------------------------------------------s^3 + 3.973e004 s^2 + 7.893e008 s + 7.84e012

Logo, a função de transferência a ser analisada será

T ( s )= s3

s3+3,973. 104 s2+7,893. 108 s+7,84.1012

que caracteriza um filtro de 3ª ordem.A fim de simplificar a elaboração do circuito, iremos dividir o filtro em duas partes: uma correspondendo a um filtro de 1ª ordem, e a outra, a um filtro de 2ª ordem, de tal modo que a T(s) possa ser escrita como

T ( s )=T1 (s ) .T 2 (s )

onde T1(s) está associada ao filtro de ordem 1, e T2(s) ao filtro de ordem 2.Fazemos isso primeiramente achando as raízes do denominador da função de transferência no MATLAB, fazendo uso da função roots, por meio do código

r = roots(A)

que nos fornece o resultado

r =

26

1.0e+004 *

-1.986586362152252 -0.993293181076126 + 1.720434256435563i -0.993293181076126 - 1.720434256435563i

Em seguida, com o auxilio da função poly, encontramos os coeficientes dos denominadores de T1(s) e T2(s)

p1 = poly(r(1))p2 = poly([r(2) r(3)])

cujos resultados são

p1 =

1.0e+004 *

0.000100000000000 1.986586362152252

p2 =

1.0e+008 *

0.000000010000000 0.000198658636215 3.946525374289317

Com isso, podemos escrever a nova equação para T(s):

T ( s )=T1 (s ) .T 2 (s )= ss+19865,9

s2

s2+19865,9 s+3,9465.108

Neste ponto, analisemos cada uma das parcelas separadamente:Para T1(s): Corresponde a um filtro passa-alta de 1ª ordem, para o qual

T ( s )= s

s+1

RCLogo,

T 1 ( s)= ss+19865,9

= s

s+1

RC⇒

1RC

=19865,9

Considerando C=1F, obteremos:

C=1 →1

R(1)=19865,9

⇒R= 1

19865,9=5,034. 10−5 Ω

Efetuando uma mudança de escala com um fator igual a 10-9, chegaremos aC=1 F →C=1. 10−9=1 nF

R=5,034.10−5Ω→ R=5,034. 10−5 .109=5,034. 104=50,34.103 Ω=50,34 k Ω

27

E, portanto, os valores dos componentes para realização da parte correspondente ao filtro de grau um são

Capacitor (C): 1nF (XVI)Resistor (R): 50,34kΩ (XVII)

O esquema do circuito a ser usado para essa parte é apresentado na figura 22.

Figura 22. Circuito FPA de 1ª ordem.

Para T2(s), realizamos novamente uma analise baseada na sua condição de filtro de 2ª ordem utilizando topologia Sallen-Key, cuja configuração para esse tipo de filtro é aquela representada na figura 06. Para conseguir um filtro passa-alta de grau dois com aquele circuito, devemos associar capacitores às impedâncias Z1 e Z2 e resistores as impedância Z3 e Z4, tal qual mostrado na figura 18, o que faz com que a obtenção dos valores destes componentes siga a mesma metodologia já vista para o supracitado circuito.Sendo assim, admitindo-se

C1=C2=1F;teremos:

T 2 ( s)= s2

s2+19865,9 s+3,9465. 108 =ω p

2

s2+ωp

Qp

+ωp2 ⇒

⇒ ω p2=3,9465. 108 →ω p=1,9866. 104

ω p

Q p

=19865,9 →Q p=1,9866. 104

19865,9=5,034.10−5≈ 1⇒

⇒ R1=1

2 ωp Q p

= 12(1,9866. 104)(1)

→ R1=2,517. 10−5 Ω

R2=2Q p

ωp

=21

1,9866. 104 → R2=1.007 .10−4 ≈ 1.10−4 Ω

Mudança de escala: fator 10-9

C1=1 F → C1=1.10−9 F=10 nF

C2=1 F → C2=1.10−9 F=10 nF(XVIII)

R2=1.10−4Ω→ C1=1.10−4 Ω.109=1.105Ω=100. 103Ω=100 kΩ

R1=2,517. 10−5 Ω→C2=2,517. 10−5 .109=2,517. 104 Ω=25,17. 103 Ω=25,17 kΩ

(XIX)

28

Utilizando os valores em (XVI), (XVII), (XVIII) e (XIX), construímos o filtro desejado ligando em serie os circuitos das figuras 18 e 22. Fazendo primeiramente a simulação no Multisim, implementamos o circuito mostrado na figura 23.

Figura 23. Simulação Multisim do circuito projetado (FPA Butterworth).

Para a montagem experimental, utilizamos os seguintes materiais:- Amplificador operacional – CI-TL084;- Resistores de 25kΩ, 50kΩ e 100kΩ;- Capacitores de 1nF;- Fontes de tensão;- Fonte geradora de sinal;- Osciloscópio; - Protoboard;- Fios para ligação;

O esquema do circuito montado é o mostrado na figura 24.

Figura 24. Montagem do circuito FPA Butterworth.

29

Verificando o circuito, aplicamos uma tensão de entrada de 5V e variamos a frequência do sinal de entrada de 100Hz a 10Kz, obtendo os valores presentes na tabela 04.

Frequencia(Hz) Ganho V0/Vi Frequencia(Hz) Ganho V0/Vi

100 0,00002 5248 0,86

1000 0,021 5495 0,87

1995 0,13 6025 0,88

2510 0,34 6456 0,88

3020 0,54 7079 0,88

4070 0,76 8130 0,88

4570 0,84 9120 0,88

5011 0,85 10000 0,88

Tabela 04. Medições experimentais – filtro passa-alta (Butterworth).Os resultados gráficos da saída de cada circuito (simulações e montagens) são apresentados comparativamente nas figuras 25 e 26.

Figura 25. Diagrama de Bode Filtro Passa-Alta Butterworth – Matlab versus Multisim.

30

Figura 26. Diagrama de Bode Filtro Passa-Alta Butterworth – Multisim versus circuito real (montagem).

31

FPA – Aproximação de Chebyshev

Elaborando um roteiro MATLAB para a aproximação de Chebyshev, utilizando mais uma vez as funções cheb1ord e cheby1, obtemos:%Faixa de bloqueio: [0,1000]Hzfs = 1000; ws = 2*pi*fs; %Faixa de passagem: [>5000]Hzfp = 5000; wp = 2*pi*fp; %Atenuação Máxima Permitida em dB: Ap= 1; %Atenuação Mínima Exigida em dB: As = 30; %Ordem do Polinômio de Aproximação[n, wn] = cheb1ord(wp,ws,Ap,As,'s'); %Função de Transferência[B, A] = cheby1(n, Ap, wn, 'high','s');

Ft = tf(B,A)

Cujo resultado éTransfer function:

s^3---------------------------------------------s^3 + 7.919e004 s^2 + 1.985e009 s + 6.311e013

o que nos informa que a função de transferência para nosso atual projeto é

T ( s )= s3

s3+7,919. 104 s2+1,985. 109+6,311.1013

que caracteriza um filtro de terceiro grau, o qual iremos decompor como uma associação de um filtro passa-alta de grau 1 e outro de grau dois, de tal modo que

T ( s )=T1 (s ) .T 2(s)e para isso, determinamos os valores dos coeficiente para T1(s) e T2(s) com do Matlab, pelas funções roots e poly, segundo o código

r = roots(A) p1 = poly(r(1))p2 = poly([r(2) r(3)])

cujo resultado ér =

1.0e+004 *

-6.357303777621699 -0.780766234000641 + 3.052464634610519i -0.780766234000641 - 3.052464634610519i

32

p1 =

1.0e+004 *

0.000100000000000 6.357303777621699

p2 =

1.0e+008 *

0.000000010000000 0.000156153246800 9.927136257703472

de onde podemos aferir que

T ( s )=T1 (s ) .T 2 (s )= ss+63573

.s2

s2+15615,3 s+9,927.108

De onde analisamos, de modo análogo ao que já realizamos para os projetos anteriores:

T1(s):

T 1 ( s)= ss+63573

= s

s+1

RC⇒

1RC

=63573

Considerando C=1F, obteremos:

C=1 →1

R(1)=63573

⇒R= 1

63573=1,573.10−5Ω

Efetuando uma mudança de escala com um fator igual a 10-9, chegaremos aC=1 F →C=1. 10−9=1 nF

R=1,573.10−5Ω→ R=1,573. 10−5 .109=1,573. 104=15,73.103 Ω=15,73 kΩE, portanto, os valores dos componentes para realização da parte correspondente ao filtro de grau um são

Capacitor (C): 1nF (XX)Resistor (R): 15,73kΩ (XXI)

O esquema do circuito a ser usado para essa parte é o mesmo da figura 22.

T2(s):

Considerando

C1=C2=1F;teremos:

T 2 ( s)= s2

s2+15615,3 s+9,927. 108 =s2

s2+ωp

Q p

+ω p2 ⇒

33

⇒ ω p2=9,927. 108 →ω p=3,15. 104

ω p

Q p

=15615,3 →Q p=3,15. 104

15615,3=2,0177⇒

⇒ R1=1

2 ω pQ p

= 12(3,15. 104)(2,0177)

→ R1=7,867. 10−6 Ω

R2=2Q p

ω p

=22,0177

3,15. 104 → R2=1,28. 10−4Ω

Mudança de escala: fator 10-9

C1=1 F → C1=1.10−9 F=1nF

C2=1 F → C2=1.10−9 F=1nF(XXII)

R2=1,28. 10−4 Ω→ C1=1,28. 10−4 .109=1,28.105Ω=128.103Ω=128 kΩ

R1=7,867. 10−6 Ω→C2=7,867. 10−6 .109=7,867. 103Ω=7,867 k Ω(XXIII)

Utilizando os valores em (XX), (XXI), (XXII) e (XXIII), construímos o filtro desejado ligando em serie os circuitos das figuras 18 e 22. Fazendo primeiramente a simulação no Multisim, implementamos o circuito mostrado na figura 27.

Figura 27. Simulação Multisim do circuito projetado (FPA Chebyshev).

O circuito experimental montado utilizou os seguintes componentes:- Amplificador operacional – CI-TL084;- Resistores de 7,87kΩ, 15,8kΩ e 127kΩ;- Capacitores de 1nF;- Fontes de tensão;- Fonte geradora de sinal;- Osciloscópio; - Protoboard;

34

- Fios para ligação;

A montagem do FPA Chebyshev é apresentada na figura 28.

Figura 28. Montagem do circuito FPA Chebyshev.

Aplicamos um sinal de entrada de amplitude 5V e variamos sua frequência de 100Hz a10kz, obtendo como valores de saída os números vistos na tabela 05.


100 0,00002 5000 0,84

501 0,0030 5248 0,86

1000 0,021 5500 0,87

1510 0,097 5625 0,87

1995 0,14 6000 0,88

2500 0,34 6500 0,88

3000 0,52 7000 0,88

3550 0,71 8000 0,88

4000 0,74 9000 0,88

4500 0,83 10000 0,88

Tabela 05. Medições experimentais – filtro passa alta (Chebyshev).

Os gráficos de cada resposta obtida (simulações e teste fisico) são exibido comparados entre si nas figuras 29 e 30.

35

Figura 29. Diagrama de Bode Filtro Passa Alta Chebyshev – Matlab versus Multisim.

Figura 30. Diagrama de Bode Filtro Passa Alta Chebyshev – Multisim versus circuito real (montagem).

FPA – Aproximação de Cauer

Iniciamos a construção desse tipo de filtro fazendo um novo código Matlab que nos forneça a função de transferência para o mesmo. Com o auxilio das funções ellipord e ellip, temos:

36

%Faixa de bloqueio: [0, 1000]Hzfs = 1000; ws = 2*pi*fs; %Faixa de passagem: [>5000]Hzfp = 5000; wp = 2*pi*fp; %Atenuação Máxima Permitida em dB: Ap= 1; %Atenuação Mínima Exigida em dB: As = 30; %Ordem do Polinômio de Aproximação[n, wn] = ellipord(wp, ws, Ap, As, 's'); %Função de Transferência[B, A] = ellip(n,Ap,As,wn,'high','s');Ft = tf(B,A)

Cujo resultado éTransfer function:

0.8913 s^2 + 6.614e-012 s + 2.787e007------------------------------------- s^2 + 3.023e004 s + 8.815e008

esta expressão nos revela que, podendo-se desprezar a segunda parcela no numerador (devido ao seu valor infimo), a função de transferência do filtro será

T ( s )= 0,8913 s2+2,787. 107

s2+30230 s+8,815.108

Tal expressão, de modo análogo ao analisado para o caso do FPB Cauer, pode ser expressa por

T ( s )=T1 (s )+T 2 ( s)= 0,8913 s2

s2+30230 s+8,815. 108 + 2,787.107

s2+30230 s+8,815. 108

Ou que nos mostra que este filtro poderá ser implementado como a junção de um filtro passa alta (cuja função de transferência corresponde a T1(s)) com outro passa baixa(representado por T2(s)), de modo que a conexão dos dois se dê como o representado na figura 17 e resulte numa saída idêntica a T(s).Sendo assim, seguindo a mesma analogia usada no caso do FPB Cauer, temos:

T1(s):

T 1 ( s)= 0,8913 s2

s2+30230 s+8,815. 108 =αs2

s2+ω p

Qp

s+ω p2 ⇒

⇒ ω p2=8,815. 108→ ω p=2,969. 104

ω p

Q p

=30230 →Q p=2,969.104

30230=0,9821

37

A constante de ganho para α1 é dada por

α 1=0,8913


⇒ R1=1

2 ω pQ p

= 12(2,969. 104)(0,9821)

→ R1=1,7148. 10−5 Ω

R2=2Q p

ω p

=20,9821

2,969. 104 → R2=6,6157. 10−5Ω


C1=1 F → C1=1.10−8 F=10. 10−9 F=10 nF

C2=1 F → C2=1.10−8 F=10. 10−9 F=10 nF(XXIV)

R2=6,6157. 10−5 Ω→C1=6,6157. 10−5 .108=6,6157. 103Ω=6,6157 kΩ

R1=1,7148. 10−5 Ω→ C2=1,7148.10−5 .108=1,7148.103Ω=1,7148 k Ω(XXV)

Tomando-se

RK=1kΩ (XXVI)

determinamos o valor de RPB por

α 1=RK

RPA ⇒RPA=

RK

α 1

= 1.103

0,8913=1,122.103Ω=1,122 kΩ (XXVII)

T2(s):

T 2 ( s)= 2,787.107

s2+30230 s+8,815. 108 =α 1

ω p

s2+ωp

Q p

+ω p2 ⇒

⇒ ω p2=8,815. 108→ ω p=2,969. 104

ω p

Q p

=30230 →Q p=2,969.104

30230=0,9821

A constante de ganho α2 é calculada por

α 2=2,787.107

8,815.108=0,0316


⇒ C1=2Q p

ωp

=20,9821

2,969. 104 →C1=6,6157. 10−5 F

C2=1

2ωp Q p

= 12 (2,969.104)(0,9821)

→C2=1,7148.10−5 F

38


R1=1 Ω→ R1=1. 104Ω=10. 103Ω=10 kΩ

R2=1 Ω→ R2=1.104Ω=10. 103Ω=10 kΩ(XXVIII)

C1=6,6157.10−5 F → C1=6,6157.10−5 . 10−4=6,6157. 10−9 F=6,6157 nF

C2=1,7148.10−5 F →C2=1,7148.10−5 .10−4=1,7148. 10−9 F=1,7148 nF

(XXIX)


α 2=RK

RPB ⇒RPB=

RK

α 2

= 1. 103

0,0316=3,1646. 104 Ω=31,646. 103 Ω=31,646 kΩ (XXX)

De posso dos valores de XXIV a XXX, montamos o circuito simulado no Multisim, conforme mostra a figura 31.

Figura 31. Simulação Multisim do circuito projetado (FPA Cauer).

Passando para a montagem experimental, utilizamos os seguintes materiais:- Amplificador operacional – CI-TL084;- Resistores de 1,13 kΩ; 1,69 kΩ; 1,7 kΩ; 6,65 kΩ; 6,8 kΩ; 10kΩ e 31,6 kΩ;- Capacitores de 1,7nF; 6,8nF e 10nF;- Fontes de tensão;

39

- Fonte geradora de sinal;- Osciloscópio; - Protoboard;- Fios para ligação;

O circuito montado é representado pela figura 32.

Figura 32. Montagem do circuito FPA Cauer.

Para um sinal de entrada de amplitude de 5V, variamos a frequência de 100Hz a 10kHz e obtivemos na saída os seguintes valores apresentados na tabela 06.


100 0,025 3000 0,33200 0,023 4000 0,3300 0,022 5000 0,78400 0,021 5500 0,84500 0,018 6000 0,88600 0,015 6500 0,89700 0,0103 7000 0,89800 0,006 7500 0,89850 0,003 8000 0,88950 0,0037 8500 0,88

1000 0,007 9000 0,871500 0,054 9500 0,862000 0,11 10000 0,86

Tabela 05. Medições experimentais – filtro passa alta (Cauer).

Os resultados gráficos das simulações e da montagem experimental foram comparados entre si e são os apresentados nas figuras 33 e 34.

40

Figura 33. Diagrama de Bode Filtro Passa Alta Cauer – Matlab versus Multisim.

Figura 34. Diagrama de Bode Filtro Passa Alta Cauer – Multisim versus circuito real (montagem).

3.3 Filtros Passa Faixa

Nesta etapa de nosso projeto, iremos efetuar a obtenção da função de transferência e simulação de três filtros tipo passa faixa (Butterworth, Chebyshev e Cauer) de acordo com as seguintes especificações:

41

Frequência de borda da faixa de passagem inferior: 2000 Hz Frequência de borda da faixa de passagem superior: 3000 Hz Frequência de borda da faixa de bloqueio inferior: 100 Hz Frequência de borda da faixa de bloqueio superior: 5000 Hz Atenuação máxima permitida na banda de passagem: 1 dB Atenuação mínima exigida na banda de bloqueio: 12 dB

Veremos a seguir o desenvolvimento dos projetos para cada tipo de aproximação.

FPF – Aproximação deButterworth

Utilizando o Matlab para obtenção da expressão que define a função de transferência para as especificações dadas, geramos o seguinte código:

%Faixa de passagem: [2000, 3000]Hzfp1=2000; wp1=2*pi*fp1;fp2=3000; wp2=2*pi*fp2; wp=[wp1 wp2] %Faixa de bloqueio: [100, 5000]Hzfs1=100; ws1=2*pi*fs1;fs2=5000; ws2=2*pi*fs2; ws=[ws1 ws2] %Atenuação Máxima Permitida em dB: Ap= 1; %Atenuação Mínima Exigida em dB: As = 12; %Obtenção da Função de Transferência [n, wn] = buttord(wp, ws, Ap, As, 's');[B, A] = butter(n,wn,'s');Ft = tf(B,A)

Cujo resultado gerado pelo programa foi

Transfer function: 1.479e008 s^2------------------------------------------------------------s^4 + 1.72e004 s^3 + 6.217e008 s^2 + 4.074e012 s +5.611e016

nos mostrando que a função de transferência para esta aproximação será dada por

T ( s )= 1,479.108 s2

s4+1,72. 104 s3+6,217.108 s2+4,074.102 s+5,611.1016

que revela ser uma função de grau quatro. Isso nos leva a realizar uma simplificação para esta expressão em uma biquadratica, a fim de tornar nosso projeto mais simples.

42

Para tanto, fazemos uso da função roots do Matlab e obtemos os valores das raízes do polinômio do denominador de T(s). O resultado obtido foi

r =

1.0e+004 *

-0.549816437172937 + 1.973740569630383i -0.549816437172937 - 1.973740569630383i -0.310235469696816 + 1.113688662760632i -0.310235469696816 - 1.113688662760632i

De posse desses valores e ainda utilizando a ferramenta computacional, calculamos os valores dos coeficientes das biquadratica, pelo código

p1 = poly([r(1) r(2)])p2 = poly([r(3) r(4)])

que gerou o resultado

p1 =

1.0e+008 *

0.000000010000000 0.000109963287435 4.197949950790411

p2 =

1.0e+008 *

0.000000010000000 0.000062047093939 1.336548484219568

E assim, a nova expressão para T(s) será

T ( s )=T1 (s ) T2 (s )= 1,479.108

s2+10996,33 s+4,198. 108 .s2

s2+6204,71 s+1,336. 108

De onde podemos verificar que

T 1 ( s)= 1,479.108

s2+10996,33 s+4,198.108→

filtro passa baixa de2ª ordem

T 2 ( s)= s2

s2+6204,71 s+1,336. 108→

filtro passaalta de 2ª ordem

Sendo assim, notamos que o filtro em questão pode ser implementado pela associação de um FPB com um FPA ligados em cascata, conforme mostra a figura 35.

43

Figura 35. Esquema de um filtro passa faixa tipo Butterworth.

Prosseguimos assim para o cálculo dos valores dos parâmetros para T1(s) e T2(s):

T1(s):

T 1 ( s)= 1,479.108

s2+10996,33 s+4,198.108 =αωp

2

s2+ω p

Qp

s+ωp2 ⇒

⇒ ω p2=4,198. 108 →ω p=2,049. 104

ω p

Q p

=10996,33 →Q p=2,049.104

10996,33=1,863

A constante de ganho α é calculada por

α=1,479. 108

4,198. 108 =2,787.107

8,815.108=0,3523


⇒ C1=2Q p

ω p

=21,863

2,049. 104 →C1=1,818. 10−4 F

C2=1

2ωp Q p

= 12 (2,969.104)(0,9821)

→C2=1,310.10−5 F


R1=1 Ω→ R1=1. 104Ω=10. 103Ω=10 kΩ

R2=1 Ω→ R2=1.104Ω=10. 103Ω=10 kΩ(XXXI)

C1=1,818. 10−4 F →C1=1,818. 10−4 . 10−4=1,818. 10−8 F=18,18.10−9 F=18,18 nF

C2=1,310. 10−5 F → C2=1,310. 10−5 . 10−4=1,310.10−9 F=1,310 nF

(XXXII)

Calculando os valores das impedâncias Z2 e Z3 para ajuste de ganho:

44

Z2=1α

R1=1

0,3523.10 .103=2,838.104=28,38. 103 Ω=28,38 kΩ

(XXXIII)

Z3=1

1−αR1=

11−0,3523

.10 .103=1,544.104=15,44. 103Ω=15,44. 103 kΩ

(XXXIV)

T2(s):

T 1 ( s)= s2

s2+6204,71 s+1,336. 108 =s2

s2+ω p

Qp

s+ωp2 ⇒

⇒ ω p2=1,336.108→ ω p=1,156.104

ω p

Q p

=6204,71 →Q p=1,156. 104

6204,71=1,863


⇒ R1=1

2 ω pQ p

= 12(1,156. 104)(1,863)

→ R1=2,322. 10−5 Ω

R2=2Q p

ωp

=21,863

1,156.104 → R2=3,223. 10−4 Ω


C1=1 F → C1=1.10−8 F=10. 10−9 F=10 nF

C2=1 F → C2=1.10−8 F=10. 10−9 F=10 nF(XXXV)

R2=3,223. 10−4 Ω→ C1=3,223. 10−4 .108=3,223.104 Ω=32,23. 103 Ω=32,23 kΩ

R1=2,322.10−5Ω→ C2=2,322. 10−5 . 108=2,322. 103 Ω=2,322 k Ω

(XXXVI)

Baseado nos valores de (XXXI) a (XXXVI), efetuamos a simulação no Multisim, construindo o modelo para o circuito apresentado na figura 36.

45

Figura 36. Simulação Multisim do circuito projetado (FPF Butterworth).

Para efetuar a montagem experimental, utilizamos os seguintes componentes:- Amplificador operacional – CI-TL084;- Resistores de 2,32 kΩ; 15,4 kΩ; 28,7 kΩ; 32,4 kΩ; - Capacitores de 1,3nF; 10nF e 18nF;- Fontes de tensão;- Fonte geradora de sinal;- Osciloscópio; - Protoboard;- Fios para ligação;


Figura 37. Montagem do circuito FPF Butterworth.

Aplicamos um sinal de amplitude 5V,variando a sua frequência de 100Hz a 10kHz, e obtivemos os dados presente na tabela 06.

46

Frequencia(Hz) V0/Vi Frequencia(Hz) V0/Vi

100 0,0008 2900 0,73

500 0,02 3000 0,72

1000 0,1 3100 0,7

1500 0,4 3200 0,63

1600 0,45 3300 0,6

1700 0,53 3400 0,57

1800 0,67 3500 0,55

1900 0,7 4000 0,37

2000 0,72 4500 0,25

2100 0,73 5000 0,19

2200 0,74 5500 0,14

2300 0,75 6500 0,09

2400 0,76 7000 0,08

2500 0,75 8000 0,05

2600 0,75 9000 0,038

2800 0,74 10000 0,03

Tabela 06. Medições experimentais – filtro passa faixa (Butterworth).

Os resultados gráficos, das simulações digitais e da montagem do circuito físico do filtro são apresentados de modo comparativo nas figuras 38 e 39.

47

Figura 38. Diagrama de Bode Filtro Passa Faixa Butterworth – Matlab versus Multisim.

Figura 39. Diagrama de Bode Filtro Passa faixa Butterworth – Multisim versus circuito real (montagem).

FPF – Aproximação de Chebyshev

Mais uma vez, recorremos ao Matlab para busca da função de transferência para um filtro passa faixa, porem desenvolvido segundo a aproximação de Chebyshev. O código utilizado para isso foi:

48

% Faixa de passagem: [2000, 3000]Hzfp1=2000; wp1=2*pi*fp1;fp2=3000; wp2=2*pi*fp2; wp=[wp1 wp2]; % Faixa de bloqueio: [100, 5000]Hzfs1=100; ws1=2*pi*fs1;fs2=5000; ws2=2*pi*fs2; ws=[ws1 ws2]; % Atenuação Máxima Permitida em dB: Ap= 1; % Atenuação Mínima Exigida em dB: As = 12; % Obtenção da Função de Transferência [n, wn] = cheb1ord(wp, ws, 1, 20, 's');[B, A] = cheby1(n,1,wn,'s');Ft = tf(B,A)

Cujo resultado foi

Transfer function: 3.879e007 s^2--------------------------------------------------------s^4 + 6897 s^3 + 5.173e008 s^2 + 1.634e012 s + 5.611e016

e que nos revela que

T ( s )= 3,879. 107 s2

s4+6897 s3+5,173. 108 s2+1,634. 1012 s+5,611.1016

que é um função de grau quatro, assim como no caso do FPF Butterworth; isso nos sugere tomar a mesma abordagem anterior: dividir T(s) em duas partes de uma biquadratica. Voltando ao Matlab, utilizamos suas funções particulares para o calculo de raízes, a fim de obtermos os coeficientes da biquadratica. Assim, o programa nos fornece

r =

1.0e+004 *

-0.203608554949769 + 1.836534469250864i -0.203608554949769 - 1.836534469250864i -0.141254855271207 + 1.274108598819012i -0.141254855271207 - 1.274108598819012i

p1 =

49

1.0e+008 *

0.000000010000000 0.000040721710990 3.414315300395285

p2 =

1.0e+008 *

0.000000010000000 0.000028250971054 1.643305655722235

E disso tiramos que

T ( s )=T1 (s ) T2 (s )= 3,879. 107

s2+4072,2 s+3,414. 108 .s2

s2+2825,1 s+1,643. 108

De onde verificamos que

T 1 ( s)= 3,879.107

s2+4072,2 s+3,414. 108→

FPB de grau2

T 2 ( s)= s2

s2+2825,1 s+1,643. 108→

F PA de grau 2

E assim, analisamos:

T1(s):

T 1 ( s)= 3,879.107

s2+4072,2 s+3,414. 108 =αω p

2

s2+ω p

Q p

s+ω p2 ⇒

⇒ ωp2=3,414 .108 → ωp=1,848.104

ω p

Q p

=4072,2→ Q p=1,848.104

4072,2=4,537

A constante de ganho α é calculada por

α=3,879.107

3,414.108=0,1136


⇒ C1=2Q p

ωp

=24,537

1,848. 104 →C1=4,910.10−4 F

C2=1

2ωp Q p

= 12 (1,848.104)(4,537)

→ C2=5,963.10−6 F

50


R1=1 Ω→ R1=1. 104Ω=10. 103Ω=10 kΩ

R2=1 Ω→ R2=1.104Ω=10. 103Ω=10 kΩ(XXXVII)

C1=4,910. 10−4 F → C1=4,910. 10−4 .10−4=4,910.10−8 F=49,10.10−9 F=49,10 nF

C2=5,963. 10−6 F → C2=5,963.10−6 .10−4=5,963. 10−10 F=0,5963.10−9 F=0,5963 nF

(XXXVIII)

Calculando os valores das impedâncias Z2 e Z3 para ajuste de ganho:

Z2=1α

R1=1

0,1136.10 .103=8,803.104=88,03. 103 Ω=88,03 kΩ

(XXXIX)

Z3=1

1−αR1=

11−0,1136

.10 . 103=1,128. 104=11,28.103Ω=11,28 kΩ

(XXXX)

T2(s):

T 2 ( s)= s2

s2+2825,1 s+1,643. 108 =s2

s2+ω p

Q p

s+ωp2 ⇒

⇒ ωp2=1,643 . 108→ ω p=1,282. 104

ω p

Q p

=2825,1 →Q p=1,282. 104

2825,1=4,538


⇒ R1=1

2 ω pQ p

= 12(1,282. 104)(4,538)

→ R1=8,595.10−6Ω

R2=2Q p

ω p

=24,538

1,282. 104 → R2=7,079. 10−4 Ω


C1=1 F → C1=1.10−8 F=10. 10−9 F=10 nF

C2=1 F → C2=1.10−8 F=10. 10−9 F=10 nF(XXXXI)

R2=7,079. 10−4 Ω→ C1=7,079. 10−4 .108=7,079.104 Ω=70,79. 103 Ω=70,79 kΩ

R1=8,595. 10−6 Ω→C2=8,595. 10−6 . 108=8,595.102 Ω=0,8595.103 Ω=859,5Ω

(XXXXII)

Baseado nos valores de (XXXVII) a (XXXXII), efetuamos a simulação no Multisim, construindo o modelo para o circuito apresentado na figura 40.

51

Figura 40. Simulação Multisim do circuito projetado (FPF Chebyshev).

Para a simulação experimental, foram usados os seguintes materiais:

- Amplificador operacional – CI-TL084;- Resistores de 866Ω; 10 kΩ; 11,3 kΩ; 71,5 kΩ; 88,7 kΩ;- Capacitores de 620pF; 10nF e 47nF;- Fontes de tensão;- Fonte geradora de sinal;- Osciloscópio; - Protoboard;- Fios para ligação;

O esquema do circuito montado é representado na figura 41.

Figura 41. Montagem do circuito FPF Chebyshev.

52

Aplicando-se um sinal de entrada com amplitude de 5V, e com frequência variada entre 100Hz e 10Khz, obtivemos os dados contidos na tabela 07.


100 0,0002 3100 0,45

500 0,0053 3200 0,35

1000 0,03 3300 0,3

1500 0,13 3400 0,24

2000 0,5 3500 0,2

2100 0,49 4000 0,1

2200 0,47 4500 0,06

2300 0,45 5000 0,04

2400 0,45 5500 0,03

2500 0,47 6000 0,027

2600 0,49 7000 0,017

2700 0,52 8000 0,0125

2800 0,51 9000 0,009

2900 0,5 10000 0,007

3000 0,49

Tabela 07. Medições experimentais – filtro passa faixa (Chebyshev).

Os resultados gráficos obtidos em todas as simulações realizadas, juntamente com os dados do circuito físico, são avaliados comparativamente nos figuras 42 e 43.

53

Figura 42. Diagrama de Bode Filtro Passa Faixa Chebyshev – Matlab versus Multisim.

Figura 43. Diagrama de Bode Filtro Passa faixa Chebyshev – Multisim versus circuito real (montagem).

FPF – Aproximação de Cauer

Novamente fazemos aqui o uso de um roteiro Matlab para obtenção da função de transferência para um FPF, porem usando o artificio de Cauer. Sendo assim, elaboramos o seguinte código:

54

% Faixa de passagem: [2000, 3000]Hzfp1=2000; wp1=2*pi*fp1;fp2=3000; wp2=2*pi*fp2; wp=[wp1 wp2]; % Faixa de bloqueio: [100, 5000]Hzfs1=100; ws1=2*pi*fs1;fs2=5000; ws2=2*pi*fs2; ws=[ws1 ws2]; % Atenuação Máxima Permitida em dB: Ap= 1; % Atenuação Mínima Exigida em dB: As = 12; % Obtenção da Função de Transferência [n, wn] = ellipord(wp, ws, Ap, As, 's');[B, A] = ellip(n,Ap,As,wn,'s');Ft = tf(B,A)

que resulta em

Transfer function: 0.2512 s^4 + 1.615e008 s^2 + 1.409e016--------------------------------------------------------s^4 + 5671 s^3 + 5.214e008 s^2 + 1.343e012 s + 5.611e016

nos mostrando que a função de transferência a ser analisada é

T ( s )= 0,2512 s4+1,615. 108 s2+1,409.1016

s4+5671 s3+5,214.108 s2+1,343. 1012s+5,611.1016

Essa função é de grau quatro, e por isso, será necessário dividi-la em duas biquadradicas. Visto que o numerador apresenta uma polinômio de quarto grau, será preciso também determinar os coeficientes correspondentes as suas parcelas.O código Matlab necessário para encontrar esses valores são

r_num = roots(B)r_den = roots(A)

e

p_num1 = B(1)*poly([r_num(1) r_num(2)])p_num2 = poly([r_num(3) r_num(4)]) p_den1 = poly([r_den(1) r_den(2)])p_den2 = poly([r_den(3) r_den(4)])

que nos fornecem os seguintes dados:

r_num =

55

1.0e+004 *

0 + 2.321281776786468i 0 - 2.321281776786468i 0 + 1.020429781489358i 0 - 1.020429781489358i

r_den =

1.0e+004 *

-0.170301760111065 + 1.879638190317986i -0.170301760111065 - 1.879638190317986i -0.113248129346655 + 1.249931349876946i -0.113248129346655 - 1.249931349876946i

p_num1 =

1.0e+008 *

0.000000002511886 0 1.353492096047753

p_num2 =

1.0e+008 *

0.000000010000000 0 1.041276938950419

p_den1 =

1.0e+008 *

0.000000010000000 0.000034060352022 3.562042415998800

p_den2 =

1.0e+008 *

0.000000010000000 0.000022649625869 1.575153518205721

São com esses valores que construímos a nova expressão para T(s):

T ( s )=T1 (s ) T2 (s )= 0,2512 s2+1,353.108

s2+3406,04 s+3,562. 108 .s2+1,041.108

s2+2264,96 s+1,575.108

Dessa expressão, podemos perceber que

56

T 1 ( s)= 0,2512 s2+1,353. 108

s2+3406,04 s+3,562.108 =0,2512 s2

s2+3406,04 s+3,562. 108 +1,353.108

s2+3406,04 s+3,562.108

¿T 1 a ( s)+T 1b(s )

T 2 ( s)= s2+1,041. 108

s2+2264,96 s+1,575. 108 =s2

s2+2264,96 s+1,575.108 +1,041. 108

s2+2264,96 s+1,575.108

¿T 2 a ( s)+T 2b(s)

Ou seja, a função de transferência é composta por quatro parcelas que correspondem a dois FPA (T1a e T2a) e dois FPB (T1b e T2b), associados de tal modo que

T ( s )=T1 (s ) T2 (s )=(T1 a+T 1 b)(T 2 a+T 2 b)

Essa configuração fica caracterizada pelo esquema mostrado na figura 44.

Figura 44. Esquema elétrico de um circuito passa faixa de ordem 4.

Sendo assim, calculamos todos os valores correspondentes a cada parâmetro do circuito do filtro. Assim, calculamos:

T1(s):

Parâmetros de T1a(s):

T 1 a=0,2512 s2

s2+3406,04 s+3,562.108=α1s2

s2+ω p

Qp

s+ωp2 ⇒

⇒ ω p2=3,562. 108→ ω p=1,887. 104

ω p

Q p

=3406,04 → Q p=1,887.104

3406,04=5,5401

A constante de ganho para α1a é dada por

57

α 1a=0,2512


⇒ R1=1

2 ω pQ p

= 12(1,887. 104)(5,5401)

→ R1=4,783. 10−6 Ω

R2=2Q p

ω p

=25,5401

1,887. 104 → R2=5,872. 10−4Ω


C1=1 F → C1=1.10−8 F=10. 10−9 F=10 nF

C2=1 F → C2=1.10−8 F=10. 10−9 F=10 nF(XXXXII)

R2=5,872. 10−4 Ω→ C1=5,872. 10−4 .108=5,872.104Ω=58,72. 103Ω=58,72 kΩ

R1=4,783.10−6Ω→ C2=4,783. 10−6 . 108=4,783.102Ω=478,3 Ω

(XXXXIII)

Determinamos o valor de RPB por (para Rk = 1kΩ)

α 1a=RK

RPA ⇒RPA=

RK

α 1a

= 1.103

0,2512=3,98. 103 Ω=3,98kΩ (XXXXIV)

Parâmetros de T1b(s):

T 1 b ( s)= 1,353.108

s2+3406,04 s+3,562.108 =αωp

2

s2+ω p

Q p

s+ωp2 ⇒

⇒ ω p2=3,562.108→ ωp=1,887.104

ω p

Q p

=3406,04 → Q p=1,887.104

3,562. 108 =5,5411

A constante de ganho α1b é calculada por

α 1b=1,353.108

3,562.108=0,3798


⇒ C1=2Q p

ω p

=25,5411

1,887. 104 → C1=5,872.10−4

C2=1

2ωp Q p

= 12 (1,887.104)(5,5411)

→C2=4,783.10−6


58

R1=1 Ω→ R1=1. 104Ω=10. 103Ω=10 kΩ

R2=1 Ω→ R2=1.104Ω=10. 103Ω=10 kΩ(XXXXV)

C1=5,872.10−4 F →C1=5,872. 10−4 .10−4=5,872. 10−8 F=58,72.10−9 F=58,72 nF

C2=74,783. 10−6 F → C2=4,783. 10−6 .10−4=4,783. 10−10 F=0,4783.10−9=0,4783 nF

(XXXXVI)

Determinamos o valor de RPB por (para RK = 1kΩ)

α 1b=RK

RPB ⇒RPB=

RK

α 1 b

= 1.103

0,3798=2,633. 103 Ω=2,633 kΩ (XXXXVII)

T2(s):


T 2a ( s)= s2

s2+2264,96 s+1,575. 108 =α 2as2

s2+ω p

Qp

s+ω p2

⇒ ω p2=1,575. 108→ ω p=1,255. 104

ω p

Q p

=2264,96 → Q p=1,255.104

2264,96=5,5409


α 2a=1


⇒ R1=1

2 ω pQ p

= 12(1,255. 104)(5,5409)

→ R1=7,1903. 10−6 Ω

R2=2Q p

ωp

=25,5409

1,255.104 → R2=8,8301. 10−4Ω


C1=1 F → C1=1.10−8 F=10. 10−9 F=10 nF

C2=1 F → C2=1.10−8 F=10. 10−9 F=10 nF(XXXXVIII)

R2=8,8301. 10−4Ω→ C1=8,8301.10−4 . 108=8,8301. 104 Ω=88,3. 103Ω=88,3 k Ω

R1=7,1903. 10−6 Ω→C2=7,1903. 10−6 . 108=7,1903. 102Ω=719,03 Ω

(XXXXIX)


59

α 2a=RK

RPA ⇒RPA=

RK

α 2a

=1.103

12=1.103Ω=1 kΩ (L)


T 2b ( s)= 1,041.108

s2+2264,96 s+1,575. 108 =αω p

2

s2+ω p

Qp

s+ω p2 ⇒

⇒ ω p2=1,575. 108→ ω p=1,255. 104

ω p

Q p

=2264,96 → Q p=1,255.104

2264,96=5,5409


α 2b=1,041.108

1,575.108=0,661


⇒ C1=2Q p

ω p

=25,5409

1,255. 104 →C1=8,8301. 10−4

C2=1

2ωp Q p

= 12 (1,255.104)(5,5409)

→ C2=7,1903.10−6


R1=1 Ω→ R1=1. 104Ω=10. 103Ω=10 kΩ

R2=1 Ω→ R2=1.104Ω=10. 103Ω=10 kΩ(LI)

C1=8,8301.10−4 F → C1=8,8301.10−4 .10−4=8,8301.10−8 F=88,301.10−9 F=88,3 nF

C2=7,1903. 10−6 F → C2=7,1903.10−6 .10−4=7,1903. 10−10 F=0,71903.10−9=0,719nF

(LII)


α 2b=RK

RPB ⇒RPB=

RK

α 2 b

= 1.103

0,661=1,513. 103 Ω=1,513 kΩ (LIII)

Efetuados todos esses cálculos, passamos a etapa de simulação digital, construindo o circuito apresentado na figura 45.

60

Figura 45. Simulação Multisim do circuito projetado (FPF Cauer).

Para a montagem laboratorial do circuito, foram utilizados os seguintes elementos:- Amplificadores operacionais – CI-TL084;- Resistores de 475Ω; 715Ω; 1 kΩ; 10 kΩ; 59 kΩ e 88,7 kΩ;- Capacitores de 470pF; 700pF; 56nF e 91nF- Fontes de tensão;- Fonte geradora de sinal;- Osciloscópio; - Protoboard;- Fios para ligação;


Figura 46. Montagem do circuito FPF Cauer.

Para efetuar as medições, aplicamos um sinal de 1V com frequência variada entre 10Hz e 10kHz, obtendo os valores presentes na tabela 08.


61

100 0,24 3400 0,25

500 0,23 3600 0,09

1000 0,21 3800 0,042

1600 0,035 4000 0,018

2000 0,56 4600 0,058

2200 0,51 5000 0,075

2400 0,5 5500 0,085

2600 0,52 6000 0,09

2800 0,62 8000 0,108

3000 0,65 10000 0,112

3200 0,41

Tabela 08. Medições experimentais – filtro passa faixa (Cauer).

Por fim, obtivemos os resultados gráficos das analises efetuadas, demonstrados analiticamente nas figuras 47 e 48.

Figura 47. Diagrama de Bode Filtro Passa Faixa Cauer – Matlab versus Multisim.

62

Figura 48. Diagrama de Bode Filtro Passa Faixa Cauer – Multisim versus circuito real (montagem).

3.4 Filtros Rejeita faixa

Para parte final do nosso trabalho, iremos projetar três filtros do tipo rejeita-faixa, cada uma por um método de aproximação (Butterworth, Chebyshev e Cauer) para as seguintes especificações:

Frequência de borda da faixa de passagem inferior: 100 Hz Frequência de borda da faixa de passagem superior: 5000 Hz Frequência de borda da faixa de bloqueio inferior: 2000 Hz Frequência de borda da faixa de bloqueio superior: 3000 Hz Atenuação máxima permitida na banda de passagem: 1 dB Atenuação mínima exigida na banda de bloqueio: 12 dB

Assim, buscamos obter a função de transferência e efetuando as respectivas simulações para cada uma dos modelos.

FRF – Aproximação de Butterworth

Calculamos o primeiro dos três filtros buscando sua função de transferência, utilizando o Matlab, por meio do seguinte código:

% Faixa de passagem: [0, 100]Hz & [5000, ?]Hzfp1=100; wp1=2*pi*fp1;fp2=5000; wp2=2*pi*fp2;wp=[wp1 wp2]; % Faixa de bloqueio: [2000, 3000]Hzfs1=2000; ws1=2*pi*fs1;

63

fs2=3000; ws2=2*pi*fs2;ws=[ws1 ws2]; % Atenuação Máxima Permitida em dB: Ap= 1; % Atenuação Mínima Exigida em dB: As = 12; % Obtenção da Função de Transferência[n, wn] = buttord(wp, ws, Ap, As, 's');[B, A] = butter(n, wn, 'stop', 's');Ft = tf(B,A)

O resultado do programa éTransfer function: s^4 + 4.737e008 s^2 + 5.611e016-----------------------------------------------------------s^4 + 1.744e004 s^3 + 6.259e008 s^2 + 4.132e012 s+5.611e016

vemos então que a função de transferência é

T ( s )= s4+4,737. 108 s2+5,611.1016

s4+1,744.104 s3+6,259.108 s2+4,132.1012s+5,611.1016

Temos assim uma função de quarto grau, o que nos sugere dividi-la em uma biquadratica. Fazemos isso através do Matlab, obtendo as raízes do numerador e denominador (pelo uso da citada função roots) e em seguida determinando os coeficientes dos termos de cada parcela (com a já comentada função poly). Assim, encontramos pelo programa

r_num =

1.0e+004 *

-0.000000000000078 + 1.539059796477813i -0.000000000000078 - 1.539059796477813i 0.000000000000078 + 1.539059755380208i 0.000000000000078 - 1.539059755380208i

r_den =

1.0e+004 *

-0.559234229930038 + 1.980052361160416i -0.559234229930038 - 1.980052361160416i -0.312910774339985 + 1.107907356890392i -0.312910774339985 - 1.107907356890392i

p_num1 =

64

1.0e+008 *

0.000000010000000 0.000000000000000 2.368705057134330

p_num2 =

1.0e+008 *

0.000000010000000 -0.000000000000000 2.368704930630985

p_den1 =

1.0e+008 *

0.000000010000000 0.000111846845986 4.233350276862379

p_den2 =

1.0e+008 *

0.000000010000000 0.000062582154868 1.325371864149903

Dessa forma, podemos expressar T(s) como

T ( s )=T1 (s ) T2 (s )= s2+2,369.108

s2+11184,7 s+4,233. 108 .s2+2,369. 108

s2+6258,2+1,325.108

Para esta composição, verificamos que:

T 1 ( s)= s2+2,369.108

s2+11184,7 s+4,233.108 =s2

s2+11184,7 s+4,233. 108 +2,369. 108

s2+11184,7 s+4,233.108

¿T 1 a ( s) T1 b ( s );

T 2 ( s)= s2+2,369.108

s2+6258,2+1,325. 108 =s2

s2+6258,2+1,325.108 +2,369.108

s2+6258,2+1,325.108

¿T 2 a ( s) T 2b ( s )

Ou seja, a função de transferência que vemos pode ser construída pela união de filtros FPA (T1a(s) e T2a(s)) e FPB (T1b(s) e T2b(s)) de modo similar ao da figura 44.Sendo assim, passamos a etapa de calculo dos parâmetros de todos os termos de T(s):

T1(s): Parâmetros de T1a(s):

65

T 1a ( s)= s2

s2+11184,7 s+4,233.108 =αs2

s2+ω p

Qp

s+ωp2

⇒ ω p2=4,233 . 108 → ωp=2,057. 104

ω p

Q p

=3406,04 → Q p=1,887.104

3406,04=1,8395


α 1a=1


⇒ R1=1

2 ω pQ p

= 12(2,057. 104)(1,8395)

→ R1=1,321. 10−5 Ω

R2=2Q p

ωp

=21,8395

2,057.104 → R2=1,788. 10−4Ω


C1=1 F → C1=1.10−8 F=10. 10−9 F=10 nF

C2=1 F → C2=1.10−8 F=10. 10−9 F=10 nF(LIV)

R2=1,788. 10−4 Ω→ C1=1,788. 10−4 .108=1,788.104Ω=1,788. 103Ω=17,88 kΩ

R1=1,321. 10−5Ω→C2=1,321. 10−5 . 108=1,321. 103Ω=1,32k Ω

(LV)


α 1a=RK

RPA ⇒RPA=

RK

α 1a

=1.103

1=1.103Ω=1 kΩ (LVI)


T 1b ( s)= 2,369. 108

s2+11184,7 s+4,233.108 =αωp

2

s2+ω p

Qp

s+ωp2 ⇒

⇒ ωp2=4,233.108→ ωp=2,0574.104

ω p

Q p

=11184,7 →Q p=2,0574. 104

11184,7=1,8395


α 1b=2,369.108

4,233. 108 =0,5597


66

⇒ C1=2Q p

ω p

=21,8395

2,0574. 104 → C1=1,7882.10−4

C2=1

2ωp Q p

= 12 (2,0574.104)(1,8395)

→C2=1,3211.10−5


R1=1 Ω→ R1=1. 104Ω=10. 103Ω=10 kΩ

R2=1 Ω→ R2=1.104Ω=10. 103Ω=10 kΩ(LVII)

C1=1,7882. 10−4 F →C1=1,7882. 10−4 . 10−4=1,7882. 10−8 F=17,882.10−9 F=17,88 nF

C2=1,3211.10−5 F → C2=1,3211.10−5 . 10−4=1,3211.10−9 F=1,32nF

(LVIII)


α 1b=RK

RPB ⇒RPB=

RK

α 1 b

= 1. 103

0,5597=1,5152.103 Ω=1,52 kΩ (LIX)

T2(s):


T 2a ( s)= s2

s2+6258,2+1,325. 108 =α 2as2

s2+ωp

Q p

s+ω p2

⇒ ωp2=1,325. 108 → ωp=1,1511.104

ω p

Q p

=2264,96 → Q p=1,255.104

2264,96=1,8393


α 2a=1


⇒ R1=1

2 ω pQ p

= 12(1,1511.104)(1,8393)

→ R1=2,3616. 10−5Ω

R2=2Q p

ωp

=21,8393

1,1511.104 → R2=3,1958.10−4 Ω


C1=1 F → C1=1.10−8 F=10. 10−9 F=10 nF

C2=1 F → C2=1.10−8 F=10. 10−9 F=10 nF(LX)

67

R2=3,1958. 10−4 Ω→ C1=3,1958. 10−4 .108=3,1958.104 Ω=31,958. 103 Ω=31,96 kΩ

R1=2,3616. 10−5Ω→C2=2,3616. 10−5 . 108=2,3616. 103 Ω=2,36 kΩ

(LXI)


α 2a=RK

RPA ⇒RPA=

RK

α 2a

=1.103

1=1.103Ω=1 kΩ (LXII)


T 2b ( s)= 2,369.108

s2+6258,2+1,325.108 =αω p

2

s2+ω p

Qp

s+ω p2 ⇒

⇒ ωp2=1,325 . 108 →ω p=1,1511.104

ω p

Q p

=6258,2 →Q p=1,255. 104

2264,96=1,8393


α 2b=2,369 .108

1,325 .108=1,7879


⇒ C1=2Q p

ωp

=21,8393

1,1511.104 → C1=3,1958.10−4

C2=1

2ωp Q p

= 12 (1,255.104)(5,5409)

→ C2=2,3616.10−5


R1=1 Ω→ R1=1. 104Ω=10. 103Ω=10 kΩ

R2=1 Ω→ R2=1.104Ω=10. 103Ω=10 kΩ(LXIII)

C1=3,1958. 10−4 F →C1=3,1958. 10−4 . 10−4=3,1958. 10−8 F=31,958.10−9 F=31,96 nF

C2=2,3616. 10−5 F → C2=2,3616. 10−5 . 10−4=2,3616. 10−9 F=2,36 nF

(LII)


68

α 2b=RK

RPB ⇒RPB=

RK

α 2 b

= 1.103

1,7879=559,3077 Ω=559,3 Ω (LXIV)

Efetuados todos esses cálculos, passamos a etapa de simulação digital, construindo o circuito apresentado na figura 49 no Multisim.

Figura 49. Simulação Multisim do circuito projetado (FRF Butterworth).

Para a montagem física do circuito, foram utilizados os seguintes elementos:- Amplificadores operacionais – CI-TL084;- Resistores de 560Ω; 1 kΩ; 1,33 kΩ; 1,54 kΩ e 2,37 kΩ; 10 kΩ; 17,8 kΩ; 36,5 kΩ- Capacitores de 1,3nF; 2,4nF; 10 nF; 18 nF; 30 nF- Fontes de tensão;- Fonte geradora de sinal;- Osciloscópio; - Protoboard;- Fios para ligação;


Figura 50. Montagem do circuito FRF Butterworth.

69

Para um sinal de entrada com amplitude de 5v e frequência variada de 10Hz a 10kHz, foram obtidos dados referente ao ganho do filtro aqui projetado, presentes na tabela 09.


100 1,4 2900 0,27

500 1,4 3000 0,30

1000 1,4 3100 0,44

1500 1,3 3200 0,51

1600 1,2 3300 0,58

1700 1,06 3400 0,66

1800 0,88 3500 0,72

1900 0,60 4000 0,96

2000 0,52 4500 1,05

2100 0,39 5000 1,09

2200 0,29 5500 1,12

2300 0,142 6500 1,15

2400 0,019 7000 1,16

2500 0,025 8000 1,16

2600 0,019 9000 1,17

2800 0,25 10000 1,18

Tabela 09. Medições experimentais – filtro rejeita faixa (Butterworth).Os resultados gráficos obtidos para a função de transferência do filtro nas simulações digitais e pelo circuito físico são comparados nas figuras 51 e 52.

70

Figura 51. Diagrama de Bode Filtro Rejeita Faixa Butterworth – Matlab versus Multisim.

Figura 51. Diagrama de Bode Filtro Rejeita Faixa Butterworth – Multisim versus circuito real (montagem).

FRF – Aproximação de Chebyshev

71

Novamente iniciamos a obtenção da função de transferência para este modelo de filtro com a ajuda do Matlab, pelo código

% Faixa de passagem: [0, 100]Hz & [5000, ?]Hzfp1=100; wp1=2*pi*fp1;fp2=5000; wp2=2*pi*fp2; wp=[wp1 wp2]; % Faixa de bloqueio: [2000, 3000]Hzfs1=2000; ws1=2*pi*fs1;fs2=3000; ws2=2*pi*fs2; ws=[ws1 ws2]; % Atenuação Máxima Permitida em dB: Ap= 1; % Atenuação Mínima Exigida em dB: As = 12; % Obtenção da Função de Transferência[n, wn] = cheb1ord(wp, ws, Ap, As, 's');[B, A] = cheby1(n, 1, wn, 'stop', 's');Ft = tf(B,A)

Que gera o resultadoTransfer function: 0.8913 s^4 + 4.222e008 s^2 + 5.001e016-----------------------------------------------------------s^4 + 2.377e004 s^3 + 9.908e008 s^2 + 5.631e012 s+5.611e016

o que nos mostra que

T ( s )= 0,8913 s4+4,222.108 s2+5,001. 1016

s4+2,377 .104 s3+9,908. 108 s2+5,631.1012s+5,611.1016

que é uma função de quarto grau, mas uma vez neste trabalho nos levando a necessidade simplificar a expressão de T(s) em duas biquadratica. Utilizando o Matlab, encontramos os coeficientes necessários a essa simplificação, obtendo:

r_num =

1.0e+004 *

-0.000000004199224 + 1.539059757121805i -0.000000004199224 - 1.539059757121805i 0.000000004199224 + 1.539059764673436i 0.000000004199224 - 1.539059764673436i

r_den =

1.0e+004 *

72

-0.923442741733071 + 2.719469040984790i -0.923442741733071 - 2.719469040984790i -0.265190940335143 + 0.780967264778750i -0.265190940335143 - 0.780967264778750i

p_num1 =

1.0e+008 *

0.000000008912509 0.000000000000749 2.111110496364749

p_num2 =

1.0e+008 *

0.000000010000000 -0.000000000000840 2.368704959236651

p_den1 =

1.0e+008 *

0.000000010000000 0.000184688548347 8.248258362134223

p_den2 =

1.0e+007 *

0.000000100000000 0.000530381880670 6.802361034918390

Deste valores chegamos a

T ( s )=T1 (s ) T2 (s )= 0,8913 s2+2,11.108

s2+18468,8 ss+8,25. 108 .s2+2,37.108

s2+5303,8 s+6,80.107

E para esta expressão, temos que

T 1 ( s)= 0,8913 s2+2,11.108

s2+18468,8 ss+8,25.108 =0,8913 s2

s2+18468,8 ss+8,25. 108 +2,11.108

s2+18468,8 ss+8,25.108

¿T 1 a ( s) T1 b ( s )

T 2 ( s)= s2+2,37. 108

s2+53038,2 s+6,80. 108 =s2

s2+5303,8 s+6,80. 107 + 2,37. 108

s2+5303,8 s+6,80. 107

¿T 2 a ( s) T 2b ( s )

Assim, mais uma vez lidamos com a composição de um FRF por dois FPA (T1a(s) e T2a(s)) e dois FPB (T2a(s) e T2b(s)), ambos de grau dois.Calculamos então os valores dos componentes para cada um destes:

73


T 1a ( s)= 0,8913 s2

s2+18468,8 s+8,25.108 =αs2

s2+ω p

Qp

s+ω p2

⇒ ω p2=8,25 .108→ ω p=2,8723. 104

ω p

Q p

=18468,8 →Q p=1,887. 104

3406,04=1,5552


α 1a=0,8913


⇒ R1=1

2 ω pQ p

= 12(2,8723. 104)(1,5552)

→ R1=1,1193.10−5 Ω

R2=2Q p

ωp

=21,5552

2,8723. 104 → R2=1,0829.10−4 Ω


C1=1 F → C1=1.10−8 F=10. 10−9 F=10 nF

C2=1 F → C2=1.10−8 F=10. 10−9 F=10 nF(LXV)

R2=1,0829. 10−4 Ω→ C1=1,0829. 10−4 .108=1,0829.104 Ω=10,829. 103Ω=10,83 kΩ

R1=1,1193.10−5Ω→ C2=1,1193.10−5 .108=1,1193.103 Ω=1,12 k Ω

(LXVI)


α 1a=RK

RPA ⇒RPA=

RK

α 1a

= 1. 103

0,8913=1,1220. 103 Ω=1,12 kΩ (LXVII)


T 1b ( s)= 2,11.108

s2+18468,8 ss+8,25.108=αωp

2

s2+ω p

Qp

s+ωp2 ⇒

⇒ ω p2=8,25.108→ ω p=2,8723. 104

ω p

Q p

=18468,8 →Q p=2,8723.104

18468,8=1,5552

74


α 1b=2,11.108

8,25.108 =0,2872


⇒ C1=2Q p

ωp

=21,5552

2,8723.104 → C1=1,0829.10−4

C2=1

2ωp Q p

= 12 (2,8723.104)(1,5552)

→ C2=1,1193.10−5


R1=1 Ω→ R1=1. 104Ω=10. 103Ω=10 kΩ

R2=1 Ω→ R2=1.104Ω=10. 103Ω=10 kΩ(LXVIII)

C1=1,0829. 10−4 F →C1=1,0829. 10−4 . 10−4=1,0829. 10−8 F=10,829.10−9 F=10,83 nF

C2=1,1193.10−5 F → C2=1,1193.10−5 . 10−4=1,1193.10−9 F=1,12nF

(LXIX)


α 1b=RK

RPB ⇒RPB=

RK

α 1 b

= 1.103

0,2872=3,4835. 103Ω=3,48 kΩ (LXX)

T2(s):


T 2a ( s)= s2

s2+5303,8 s+6,80. 107 =α 2as2

s2+ωp

Q p

s+ω p2

⇒ ωp2=6,80.107 → ωp=8,2462.104

ω p

Q p

=5303,8 →Q p=1,1511.104

53038,2=1,5548


α 2a=1


75

⇒ R1=1

2 ω pQ p

= 12(8,2462. 104)(1,5548)

→ R1=3,8999. 10−5 Ω

R2=2Q p

ωp

=21,5548

8,2462. 104 → R2=3,7709. 10−4Ω


C1=1 F → C1=1.10−8 F=10. 10−9 F=10 nF

C2=1 F → C2=1.10−8 F=10. 10−9 F=10 nF(LXXI)

R2=3,7709. 10−4 Ω→ C1=3,7709. 10−4 .108=3,7709.104 Ω=37,709. 103 Ω=37,7 kΩ

R1=3,8999.10−5Ω→ C2=3,8999. 10−5 . 108=3,8999. 103 Ω=2,90k Ω

(LXXII)


α 2a=RK

RPA ⇒RPA=

RK

α 2a

=1.103

1=1.103Ω=1 kΩ (LXXIII)


T 2 b ( s)= 2,37.108

s2+5303,8 s+6,80. 107 =αω p

2

s2+ω p

Q p

s+ω p2 ⇒

⇒ ω p2=6,80 . 107 →ω p=8,2462. 103

ω p

Q p

=5303,8 →Q p=1,255. 104

2264,96=1,5548


α 2b=2,369 .108

1,325 .108=3,4838


⇒ C1=2Q p

ω p

=21,5548

8,2462. 103 → C1=3,7709.10−4

C2=1

2ωp Q p

= 12 (8,2462.103)(1,5548)

→ C2=3,8999.10−5


76

R1=1 Ω→ R1=1. 104Ω=10. 103Ω=10 kΩ

R2=1 Ω→ R2=1.104Ω=10. 103Ω=10 kΩ(LXXIV)

C1=3,7709. 10−4 F →C1=3,7709. 10−4 . 10−4=3,7709. 10−8 F=37,709.10−9 F=37,7 nF

C2=3,8999. 10−5 F → C2=3,8999.10−5 . 10−4=3,8999. 10−9 F=3,90 nF

(LXXV)


α 2b=RK

RPB ⇒RPB=

RK

α 2 b

= 1.103

3,4838=287,0409 Ω=287 Ω (LXXVI)

Efetuados todos esses cálculos, utilizamos os valores de (LXV) a (LXXVI) na simulação digital, construindo no Multisim o circuito apresentado na figura 52.

Figura 52. Simulação Multisim do circuito projetado (FRF Chebyshev).

Com os valores da simulação, montamos o circuito físico experimental, utilizando os seguintes materiais:

- Amplificadores operacionais – CI-TL084;- Resistores de 287Ω; 1 kΩ; 1,1 kΩ; 1,3 kΩ; 2,87 kΩ e 3,48 kΩ; 10 kΩ; 10,7 kΩ e

37,4 kΩ;- Capacitores de 1,1nF; 3,9nF; 10 nF; 11 nF; 36 nF- Fontes de tensão;- Fonte geradora de sinal;- Osciloscópio; - Protoboard;- Fios para ligação;

O esquema elétrico do circuito montado para este filtro é mostrado na figura 53.

77

Figura 53. Montagem do circuito FRF Chebyshev.

Aplicamos um sinal de entrada de 5V de amplitude, variando sua frequência de 100Hz a 10Khz, obtendo-se os valores contidos na tabela 10.


100 0,97 5500 1,15

500 1,02 6000 1,19

1000 1,21 6500 1,19

1500 0,90 7000 1,17

2000 0,15 7500 1,15

2500 0,004 8000 1,15

3000 0,11 8500 1,13

3500 0,35 9000 1,12

4000 0,59 9500 1,11

4500 1,04 10000 1,10

5000 1,08

Tabela 10. Medições experimentais – filtro rejeita faixa (Chebyshev).OS resultados gráficos comparativos entre as simulações computacionais e o circuito físico são apresentados nas figuras 54 e 55.

78

Figura 54. Diagrama de Bode Filtro Rejeita Faixa Chebyshev – Matlab versus Multisim.

Figura 55. Diagrama de Bode Filtro Rejeita Faixa Chebyshev – Multisim versus circuito real (montagem).

FRF – Aproximação de Cauer

Finalizando a sequencia de projetos de filtros, avaliamos via Matlab a função de transferência para esse modelo de filtro FRF. Utilizando o código% Faixa de passagem: [0, 100]Hz & [5000, ?]Hzfp1=100; wp1=2*pi*fp1;fp2=5000; wp2=2*pi*fp2;

79

wp=[wp1 wp2]; % Faixa de bloqueio: [2000, 3000]Hzfs1=2000; ws1=2*pi*fs1;fs2=3000; ws2=2*pi*fs2; ws=[ws1 ws2]; % Atenuação Máxima Permitida em dB: Ap= 1; % Atenuação Mínima Exigida em dB: As = 12; % Obtenção da Função de Transferência[n, wn] = ellipord(wp, ws, Ap, As, 's');[B, A] = ellip(n, Ap, As, wn, 'stop', 's');Ft = tf(B,A)

ObtemosTransfer function:0.8913 s^4 +5.97e-012 s^3 +2.323e008 s^2 +8.44e-005s +3.473e014--------------------------------------------------------------- s^4 + 2.3e004 s^3 + 8.241e008 s^2 + 4.54e011 s + 3.896e014

nos mostrando que (desconsiderando os termo de ordem de grandeza de pequeno valor)

T ( s )= 0,8913 s4+2,323.108 s2+3.473 . 1014

s4+2,3. 104+8,241. 108 s2+4,54. 1011 s+3,896. 1014

Indicando que a função de transferência para o filtro aqui analisado apresenta ordem 4, e por isso, para sua simplificação, será dividido em duas biquadraticas, utilizando os devidos coeficientes, calculados com o auxilio do Matlab, que são

p_num1 =

1.0e+008 *

0.000000008912509 0.000000000000000 2.309309909485283

p_num2 =

1.0e+006 *

0.000001000000000 0.000000000000000 1.503755618251519

p_den1 =

1.0e+008 *

80

0.000000010000000 0.000224553610287 8.113440854081167

p_den2 =

1.0e+005 *

0.000010000000000 0.005463169918227 4.802356622098482

E estes valores nos levam a

T ( s )=T1 (s ) T2 (s )= 0,8912 s2+2,309.108

s2+22455,4 s+8,11.108 .s2+1,50. 106

s2+546,3 s+4,80.105

E ainda, temos que

T 1 ( s)= 0,8912 s2+2,309. 108

s2+22455,4 s+8,11.108 =0,8912 s2

s2+22455,4 s+8,11.108 + 2,309. 108

s2+22455,4 s+8,11.108

¿T 1 a ( s)+T 1b(s )

T 2 ( s)= s2+1,50. 106

s2+546,3 s+4,80.105 =s2

s2+546,3 s+4,80. 105 +1,50.106

s2+546,3 s+4,80.105

¿T 2 a ( s)+T 2b(s)

Logo, vamos novamente trabalhar uma associação de dois FPA (T1a(s) e T2a(s)) e dois FPB (T1b(s) e T2b(s)), calculando o valor de um de seus parâmetros. Sendo assim, obtemos:


T 1 a ( s)= 0,8912 s2

s2+22455,4 s+8,11.108 =αs2

s2+ωp

Q p

s+ω p2

⇒ ωp2=8,11 .108→ ωp=2,8478.104

ω p

Q p

=22455,4 → Q p=2,8478. 104

22455,4=1,2682


α 1a=0,8913


81

⇒ R1=1

2 ω pQ p

= 12(2,8478. 104)(1,2682)

→ R1=1,3844.10−5Ω

R2=2Q p

ωp

=21,2682

2,8478.104 → R2=8,9065. 10−5 Ω


C1=1 F → C1=1.10−8 F=10. 10−9 F=10 nF

C2=1 F → C2=1.10−8 F=10. 10−9 F=10 nF(LXXVII)

R2=8,9065. 10−5 Ω→C1=8,9065. 10−5 .108=8,9065. 103 Ω=8,90 kΩ

R1=1,3844. 10−5 Ω→ C2=1,3844.10−5 .108=1,3844.103Ω=1,38k Ω(LXXVIII)


α 1a=RK

RPA ⇒RPA=

RK

α 1a

= 1. 103

0,8913=1,1220. 103 Ω=1,12 kΩ (LXXIX)


T 1 b ( s)= 2,309.108

s2+22455,4 s+8,11.108 =αω p

2

s2+ωp

Q p

s+ω p2 ⇒

⇒ ωp2=8,11 .108→ ωp=2,8478.104

ω p

Q p

=22455,4 → Q p=2,8478. 104

22455,4=1,2682


α 1b=2,309.108

8,11.108 =0,2847


⇒ C1=2Q p

ω p

=21,2682

2,8478. 104 →C1=8,9065. 10−5

C2=1

2ωp Q p

= 12 (2,8478.104)(1,2682)

→ C2=1,3844.10−5


82

R1=1 Ω→ R1=1. 104Ω=10. 103Ω=10 kΩ

R2=1 Ω→ R2=1.104Ω=10. 103Ω=10 kΩ(LXXX)

C1=8,9065.10−5 F → C1=8,9065. 10−5 .10−4=8,9065.10−9 F=8,90 nF

C2=1,3844.10−5 F →C2=1,3844. 10−5 .10−4=1,3844. 10−9 F=1,38 nF(LXIX)


α 1b=RK

RPB ⇒RPB=

RK

α 1 b

= 1. 103

0,2847=3,5123.103 Ω=3,51kΩ (LXXXI)

T2(s):


T 2a ( s)= s2

s2+546,3 s+4,80.105 =α2as2

s2+ω p

Qp

s+ω p2

⇒ ωp2=4,80. 105→ ω p=692,82

ω p

Q p

=546,3 →Q p=692,82546,3

=1,2682


α 2a=1


⇒ R1=1

2 ω pQ p

=1

2(692,82)(1,2682)→ R1=5,6906.10−4 Ω

R2=2Q p

ω p

=21,2682692,82

→ R2=3,6610. 10−3 Ω


C1=1 F → C1=1.10−8 F=10. 10−9 F=10 nF

C2=1 F → C2=1.10−8 F=10. 10−9 F=10 nF(LXXXII)

R2=3,6610. 10−3 Ω→C1=3,6610. 10−3 .108=3,6610.105Ω=366,10.103Ω=366,1 kΩ

R1=5,6906. 10−4 Ω→C2=5,6906. 10−4 .108=5,6906.104Ω=56,906. 103Ω=56,9 k Ω

(LXXXIII)


83

α 2a=RK

RPA ⇒RPA=

RK

α 2a

=1.103

1=1.103Ω=1 kΩ (LXXXIV)


T 2 b ( s)= 1,50. 106

s2+546,3 s+4,80.105 =αωp

2

s2+ω p

Q p

s+ωp2 ⇒

⇒ ωp2=4,80. 105→ ω p=692,82

ω p

Q p

=546,3 →Q p=692,82546,3

=1,2682


α 2b=1,50.106

4,80. 105 =3,125


⇒ C1=2Q p

ωp

=21,2682692,82

→ C1=3,6610. 10−3

C2=1

2ωp Q p

= 12692,82¿

(1,2682)→ C2=5,6906. 10−4

¿


R1=1 Ω→ R1=1. 104Ω=10. 103Ω=10 kΩ

R2=1 Ω→ R2=1.104Ω=10. 103Ω=10 kΩ(LXXXV)

C1=3,6610. 10−3 F → C1=3,6610.10−3 . 10−4=3,6610. 10−7 F=366,10.10−9 F=366,1 nF

C2=5,6906. 10−4 F → C2=5,6906.10−4 .10−4=5,6906.10−8 F=56,906. 10−9 F=56,9 nF

(LXXXVI)


α 2b=RK

RPB ⇒RPB=

RK

α 2 b

= 1.103

3,125=320 Ω (LXXXVII)

Efetuados todos esses cálculos, utilizamos os valores de (LXXVII) a (LXXXVII) na simulação digital, construindo no Multisim o circuito apresentado na figura 56.

84

Figura 56. Simulação Multisim do circuito projetado (FRF Cauer).

Com os valores dos componentes calculados anteriormente, realizamos a montagem experimental, utilizando os seguintes materiais:

- Amplificadores operacionais – CI-TL084;- Resistores de 320Ω; 1kΩ; 1,13kΩ; 1,37kΩ; 3,5kΩ; 8,87kΩ; 10kΩ; 57,6kΩ e

365kΩ;- Capacitores de 1,4nF; 9,1nF; 10 nF; 56 nF; 360 nF- Fontes de tensão;- Fonte geradora de sinal;- Osciloscópio; - Protoboard;- Fios para ligação;

O modelo de circuito montado para o filtro é mostrado na figura 57.

Figura 57. Montagem do circuito FRF Cauer.

85

Aplicando-se um sinal de entrada com amplitude de 5V e variando-se sua frequência de 100Hz a 10kHz, obtivemos os valores presentes na tabela 11.


100 1,02 3800 0,20

500 1,02 4000 0,33

1000 1,13 4200 0,47

1200 0,99 4400 0,62

1400 0,52 4600 0,76

1600 0,16 4800 0,88

1800 0,24 5000 0,96

2000 0,32 5500 1,07

2200 0,36 6000 1,09

2400 0,37 6500 1,09

2600 0,37 7000 1,08

2800 0,35 7500 1,07

3000 0,31 8000 1,06

3200 0,26 8500 1,05

3400 0,19 9000 1,04

3600 0,10 9500 1,04

10000 1,03

Tabela 11. Medições experimentais – filtro rejeita faixa (Cauer).

Finalizando nossa analise, apresentamos os resultados gráficos comparativos entre as simulações no computador e o circuito montado, que são os mostrados nas figuras 58 e 59.

86

Figura 58. Diagrama de Bode Filtro Rejeita Faixa Cauer – Matlab versus Multisim.

Figura 55. Diagrama de Bode Filtro Rejeita Faixa Cauer – Multisim versus circuito real (montagem).

87

4. Conclusão

Através deste trabalho, com a realização simulatória e prática dos filtros projetados, foi possível aprender muito sobre as vantagens e desvantagens das técnicas utilizadas na construção de filtros elétricos, visto os diferentes níveis de resposta obtida na saída dos mesmos, mostrando que alguns modelos são mais apropriados que outros, dependo da aplicação a que se deseja submete-los.Podemos perceber também que, apesar de na maior parte das simulações digitais efetuadas, como no caso das simulações elaboradas no Multisim, ter ocorrido a necessidade de usarmos, na maioria das vezes, valores aproximados dos componentes e não os valores teóricos calculados, os resultados obtidos nas montagens físicas puderam ser considerados aceitavelmente satisfatórios, uma vez que uma analogia dos possíveis erros justificam as diferenças nos valores numéricos obtidos. Tais erros podem ser atribuídos à grande quantidade de componentes utilizadas num dado circuito, a margem de tolerância do valor de grandeza de cada componente físico, oscilações na rede elétrica no momento das medições, desgaste de alguns dos instrumentos utilizados para efetuar as medições e erros de paralaxe compreendem fatores que favorecem a ocorrência de um nível de erro mais elevado nos resultados.

88

projetosFiltros

Documents

Transcript of projetosFiltros