PROPORCIONALIDADE 6ª série

Mafalda/ Quino,1992

Repare no último quadrinho.Você seria capaz de representar o pensamento da Mafalda em linguagem matemática?

Mafalda/ Quino,1992

Mafalda está comparando a quantidade de nomes Silva que consta na lista telefônica com o total de nomes da lista.

E está comparando o número de chineses com o total da população mundial.

listadanomesdetotaln

Silvanomesden

º

º

mundialpopulaçãodatotaln

chinesesden

º

º

E finalmente ela compara estas duas razões entre si, concluindo que as duas razões são equivalentes. É isto que entendemos quando dizemos que estão na mesma proporção.

=listadanomesdetotaln

Silvanomesden

º

ºmundialpopulaçãodatotaln

chinesesden

º

º

A população da China é de 1,307 bilhões de pessoas e a população mundial de 6,6 bilhões de pessoas.

5

1

10

22,0

6,6307,1 bilhõesbilhões

O que você pode dizer da população da China em relação à população mundial?

Razão e proporçãoPara entender as proporções, começaremos com razões. Uma razão é uma divisão de duas grandezas, que nos mostra quantas vezes uma é maior ou menor que a outra. São intimamente ligadas aos números Racionais, do conjunto

São exemplos de razão:

Proporção

Uma proporção é uma igualdade que compara razões.

Ela significa que as quantidades descritas podem não ser iguais, mas estão igualmente divididas.

Como se tivéssemos um jarra com 2 litros(2000ml) de água com 20 gramas de açúcar.

Clip-art

Ao retirarmos um copo, teremos 250ml de água e 2,5 gramas de açúcar.

A quantidade é diferente, mas a proporção se mantém, equacionamos:

Estas razões indicam que sempre há 100

vezes mais água que açúcar em razão do

volume por massa (ml/g).

A proporção da mistura é de 100 mililitros

de água por grama de açúcar.

Clip-art

Proporcionalidade Inversa

Como o nome indica, é a proporcionalidade entre um número e o inverso de outro.

A principal propriedade deste tipo de proporção é que se mantida, ao contrário do que acontece no exemplo anterior, de quanto mais água mais açúcar, quanto MAIS de um elemento da proporção MENOS de outro.

Vejamos um exemplo:

Um motorista profissional que viajava constantemente de BH para Uberlândia, fez a seguinte tabela,após calcular a velocidade

média. (V=Distância/tempo)

Obs: distância aproximada

Distância percorrida

Velocidade média

Tempo gasto

560 Km 60 Km/h 9h20min

560 Km 70 Km/h 8h

560 Km 80 Km/h 7h

560 Km 120 Km/h 4h40min

560 Km 140 Km/h 4h

Observe a tabela.

Quando a velocidade aumenta, o que acontece com tempo gasto na viagem?

Quando a velocidade dobra o que acontece com o tempo gasto na viagem?

Compondo Proporções

Trabalhamos com proporções fixas, que simplesmente ditavam que uma fração deveria permanecer constante. Mas o que acontece se uma grandeza é proporcional a várias grandezas ao mesmo tempo?

Podemos trabalhar cada proporcionalidade individualmente, mas há um método para resolvê-las com uma única equação.

Começaremos com o clássico problema:

Sr. José precisava consertar

uma cerca quebrada

em sua fazenda.

Pesquisa google(23/06/2008)

501 x 375 - 68k - jpgbloglog.globo.com

Como a boiada voltaria das pastagens novas em uma semana, precisava decidir quantos trabalhadores contratar para terminar a cerca a tempo.

Na construção original da cerca, ele empregou 24 homens que ergueram os 100 metros de cerca em duas semanas.

Sabendo que o buraco se extende por apenas 25 metros, quantos homens serão nescessários?

O número de homens é inversamente proporcional ao tempo

O tamanho da cerca é diretamente proporcional ao tempo

O tamanho da cerca é diretamente proporcional ao número de homens

Para facilitar o trabalho, escrevemos uma tabela:

Homens Tempo Tamanho

24 2 semanas 100m

X 1 semana 25m

Cada uma das proporções diz algo a respeito do valor total:

O que acontece com a quantidade de homens depende das razões de tempo e tamanho, que deverão multiplicar o número final de homens de acordo com o tipo de proporcionalidade.

Acontece então que o número final de homens deve dobrar, pois o de tempo diminuiu a metade. Deve também diminuir 4 vezes pois o mesmo aconteceu com o tamanho.

Regra de TrêsA regra de três é simplesmente um método

para resolver as proporções sem precisar de armá-las.

A regra de três ganha seu nome do seu uso, pois é usada para determinar um quarto valor de um proporção quando são conhecidos três deles.

Tabela de Valores

A regra de três se vale muito de tabelas para a fácil visualização do problema.

Faz-se assim:

Manoel decide fazer um túnel de1Km de extensão.

Como o túnel em questão é estreito, somente um máximo de 20 trabalhadores pode trabalhar na escavação ao mesmo tempo.

Pesquisa google;julho 2008

Como dispunha de 30 trabalhadores, Manoel resolveu dividi-los em 2 grupos de 15 trabalhadores, cada grupo escavando de um lado da montanha a fim de aumentar produtividade.

Originalmente, a escavação gastaria 3 meses. Em quanto tempo terminará a escavação com o novo arranjo?

Primeiro colocamos o problema em uma tabela:

Importante lembrar que devemos sempre usar a mesma unidade para grandezas do mesmo tipo nas tabelas.

Agora, marcamos o sentido de crescimento, das grandezas, com setas. Neste caso o tempo diminuiu por que o número de trabalhadores aumentou.

Se as setas marcam o mesmo sentido, as grandezas são diretamente proporcionais. Se marcam sentidos opostos, são inversamente proporcionais.

No caso de proporção inversa, multiplicamos os valores da tabela em linha reta e igualando, obtendo:

Que é a própria proporção inversa em forma de produto, previamente mostrada.

O túnel em questão media 1km, se 30 trabalhadores terminaram essa distância em 2 meses, qual distância cada grupo de 15 trabalhadores percorreu no mesmo intervalo de tempo?

Proporção direta, multiplica-se cruzado e igual a:

Observamos que a relação obtida é uma forma da proporção:

Regra de Três compostaPodemos interpretar de outra maneira o problema anterior:

Ao dividir os grupos, de 20 trabalhadores cavando 1km em 3 meses, chegamos ao problema de quanto tempo levou para que os 30 trabalhadores cavassem apenas a metade, 500m?

Devemos agora, assumir um sentido arbitrário para o tempo. No caso, consideramos o tempo diminuindo. Em relação aos trabalhadores, quanto menos tempo mais trabalhadores são necessários. Em relação a distância, menos tempo faz com que a distância diminua.

Separamos a incógnita de um lado da tabela e começamos um processo de multiplicações sucessivas. A primeira segue as mesmas regras da regra de três simples, e neste caso será cruzada.

Depois, quando as duas grandezas vizinhas forem diretamente proporcionais (setas na mesma direção), multiplica-se cruzado, quando inversamente proporcionais (setas em posição invertida), multiplica-se cruzado. Igualamos os caminhos.

Obtemos então a solução:

2 meses

QUINO, Mafalda – São Paulo: Martins Fontes,1992