Prova Resolvida de Cálculo 4
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Fundacao Centro de Ciencias e Educacao Superior a Distancia do Estado do Rio de JaneiroCentro de Educacao Superior a Distancia do Estado do Rio de Janeiro
Calculo IV - Gabarito AD01
Questao 1: [2,0 pts] Dada a integral duplaD
f(x, y) dxdy =
01
9x+9
9x+9
f(x, y) dydx +
150
9x+9x3
f(x, y) dydx :
a) Esboce a regiao D.
b) Expresse a soma de integrais do segundo membro como uma so integral na qual a ordem deintegracao esta invertida.
c) Calcule a integral dupla para a funcao f(x, y) = y.
Solucao:
a) Na primeira integral, tem-se:{y = 9x + 9y =
9x + 9
{x = 1x = 0
y2 = 9x + 9 y2 = 9(x + 1) (parabola) .
Na segunda integral, tem-se: {y = x 3y =
9x + 9
{x = 0x = 15
{y = x 3y2 = 9x + 9 = 9(x + 1)
Agora esbocamos a parabola y2 = 9(x + 1) e a reta y = x 3.
PSfrag replacements
x
y
D
13
3
3
12
15
-
Calculo IV Gabarito AD01 2
b) A fronteira da esquerda de D e a parabola y2 = 9(x + 1), donde x = y299
. A fronteira da direitae a reta y = x 3 ou x = y + 3. A projecao de D sobre o eixo y e o intervalo [3, 12]. Logo, D edado por
D : 3 y 12 , y299
x y + 3 .
Logo,
I =
123
y+3y29
9
f(x, y) dxdy .
c) D
y dxdy =
123
y+3y29
9
y dxdy
=
123
y(y + 3 y2
9+ 1
)dy
=
123
(y2 + 4y y3
9
)dy
=[
y3
3+ 2y2 y4
36
]123
=(
123
3+ 2 122 124
36
)
(33
3+ 2 32 34
36
)= 122(4 + 2 4) 32 (1 + 2 1
4
)= 2 122 93
4
= 288 6, 75= 281, 25 .
Questao 2: [2,0 pts] Utilizando uma mudanca de variaveis adequada, calcule a integralD
(x + y)5
x y + 2 dxdy ,
onde D e a regiao limitada pelas retas x + y = 1, x + y = 3, y = x e y = x + 1.
Solucao: Consideramos
1 :
{u = x + yv = x y ou :
{x = uv
2
y = u+v2
que nos da
J(u, v) =(x, y)
(u, v)=
12
12
12
12
= 12 6= 0, (u, v) R2 .
Fundacao CECIERJ Consorcio CEDERJ
-
Calculo IV Gabarito AD01 3
Como D e limitado por x + y = 1, x + y = 3, x y = 0 e x y = 1 entao Duv e limitado poru = 1, u = 3, v = 0 e v = 1 ou Duv[1, 3] [1, 0]. Entao:
D
(x+y)5
xy+2 dxdy =
Duv
u5
v+2
(x,y)(u,v) dudv= 1
2
Duv
u5
v+2dudv
= 12
31
01
u5
v+2dvdu
= 12
31
u5 ln(v + 2)01
du
= ln 22
31
u5 du
= u6
6
31
ln 22
= (36 1) ln 212
.
Questao 3: [1,5 pts] Calcule
D
arctg yx
dxdy, onde
D ={
(x, y) | 1 x2 + y2 9 , x3 y 3 x
}.
Solucao: Passemos para coordenadas polares{x = r cos y = r sen
donde
{x2 + y2 = r2
tg = y/x = arctg y/x .
Agora, vamos encontrar a regiao Dr. Como 1 x2 + y2 9, temos 1 r2 9 ou 1 r 3.Como y =
(1/
3)x entao tg = 1/
3, donde = pi/6.
Como y =
3 x entao tg =
3 , donde = pi/3. Entao pi/6 pi/3.Assim, Dr = [1, 3]
[pi/6 , pi/3
]. Portanto,
D
arctg yx dxdy =
Dr
r drd =
pi/3pi/6
31
r drd =
pi/3pi/6
[
r2
2
]31
d = 4
pi/3pi/6
d = 42
[2
]pi/3pi/6
= pi2
6 .
Fundacao CECIERJ Consorcio CEDERJ
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Calculo IV Gabarito AD01 4
Questao 4: [1,5 pts] Calcule a massa do solido limitado pelo plano z = 0, pelo cilindro x2+y2 = 2xe pelo cone z =
x2 + y2 se a densidade e (x, y, z) = x2 + y2.
Solucao: O esboco do solido W e:
PSfrag replacements
x
y
z
D
W
1
2
2
PSfrag replacements
x
y
D
1 2
Sabemos que a massa M e dada por
M =
W
(x, y, z) dxdydz =
W
(x2 + y2
)dxdydz .
Passando para coordenadas cilndricas (r, , z), tem-se:
x = r cos y = r sen z = z
Jacobiano = r
As variacoes de r e sao encontradas sobre a regiao D, projecao de W sobre o plano xy. Convertendoa equacao x2 + y2 = 2x para coordenadas cilndricas, temos
r2 = 2r cos r = 0 ou r = 2 cos
donde0 r 2 cos .
A variacao de e obtida pela varredura em D, no sentido anti-horario:
pi/2 pi/2 .
A superfcie conica z =
x2 + y2 se converte em z = r. Logo:
0 z r .
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Calculo IV Gabarito AD01 5
Assim, Wrz esta limitada por
Wrz :
0 z r0 r 2 cos
pi/2 pi/2
Temos entao:
M =
W
(x2 + y2
)dxdydz =
Wrz
r2 r drddz
=
Wrz
r3 drddz
=
pi/2pi/2
2 cos 0
r0
r3 dzdrd
=
pi/2pi/2
2 cos 0
r3 r drd
=
pi/2pi/2
2 cos 0
r4 drd
=
pi/2pi/2
[r5
5
]2 cos 0
d
= 325
pi/2pi/2
cos5 d .
Observe que:
cos5 =(cos2
)2cos =
(1 sen2 )2 cos = (1 2 sen2 + sen4 ) cos
Entao:
M = 325
pi/2pi/2
(1 2 sen2 + sen4 ) cos d
= 325
[sen 2
3sen3 + 1
5sen5
]pi/2pi/2
= 325
(2 4
3+ 2
5
)= 512
75u.m.
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Calculo IV Gabarito AD01 6
Questao 5: [1,5 pts] Calcule
W
(x2 + y2
)dxdydz, onde W e determinado por z 0,
r2 x2 + y2 + z2 R2.
Solucao: O esboco de W e:
PSfrag replacements
x
y
z
R
R
R
W
rr
r
Passando para coordenadas esfericas (, , ):
x = sen cos y = sen sen z = cos
dxdydz = 2 sen ddd
Ao aplicar a transformacao de coordenadas esfericas obtem-se a regiao
W = {(, , ) | r R , 0 pi/2 , 0 2pi} .Portanto:
W
(x2 + y2
)dxdydz =
W
(2 sen2 cos2 + 2 sen2 sen2 ) = 2 sen2
2 sen ddd
=
W
4 sen3 ddd
=
2pi0
pi/20
( Rr
4 d
)sen3 dd
=[
5
5
]Rr
2pi0
pi/20
sen2 = 1cos2
sen dd
= R5r55
[ cos + 1
3cos3
]pi/20
2pi0
d
= R5r55
(1 13
) 2pi= 4pi
15
(R5 r5) .
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Calculo IV Gabarito AD01 7
Questao 6: [1,5 pts] Um arame tem a forma da intersecao do cilindro z = 4 x2, z 0, x 0com o plano x+y = 2. Determine a massa do arame se a densidade em cada ponto e (x, y, z) = x.
Solucao: A massa M do arame C se expressa por
M
C
(x, y, z) ds =
C
x ds .
O esboco de C e:
PSfrag replacements
x
y
z
C
2
2
4
Para calcular a integral acima precisamos parametrizar a curva C. Podemos parametriza-la fazendox = t. Assim y = 2 t e z = 4 t2. Como x 0 e z 0 entao t 0 e 4 t2 0,donde 0 t 2.Uma parametrizacao de C e:
(t) =(t, 2 t, 4 t2) , 0 t 2 .
Temos:(t) = (1,1,2t)
(t) = 1 + 1 + 4t2 = 2 + 4t2 ,donde
ds = (t) dt =
2 + 4t2dt .
Logo
M =
C
x ds =
2
0
t
2 + 4t2 dt = 18
2
0
(2+4t2
)1/2d(2+4t2
)= 1
8 23(2+4t2)3/22
0
= 112
(183/223/2) = 13
3
2 u.m.
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