Quadrado Latino

1. Introduo ca Estamos interessados em comparar 4 tipos de fertilizantes quanto ` produo obtida de um vegetal. Para isto dispomos de 16 cana ca teiros homogneos. e Sejam Y : produo e A: fator (fertilizante) com 4 n ca veis, A1, . . . , A4. Plano completamente casualizado: sortear canteiros para serem tratados com cada um dos tipos de fertilizante. A1 A2 A3 A4 1

Suponhamos que os canteiros no sejam todos homogneos ena e tre si, mas que possam ser divididos em 4 regies (blocos), de o tal forma que dentro de cada bloco as unidades experimentais (canteiros) sejam homogneas. e Plano em blocos completos casualizados: neste tipo de planejamento, a casualizao ocorre dentro de cada bloco, isto , em ca e cada bloco sorteamos um canteiro para ser tratado com um tipo de fertilizante. Dizemos que este tipo de experimento tem uma restrio na ca casualizao (controlamos a diferena entre os blocos). Este ca c mtodo eciente quando os blocos forem homogneos intere e e namente.2

Suponhamos que os blocos no sejam homogneos internamente, a e isto , que as condies experimentais impliquem na no homoe co a geneidade dos canteiros dentro de cada bloco. Por exemplo, suponhamos que a quantidade de irrigao no seja a mesma ca a para cada canteiro de cada regio. Temos mais um fator de a heterogeneidade: quantidade de irrigao. ca Para utilizarmos um plano em blocos, sendo cada bloco formado por uma combinao de regio e quantidade de irrigao, necesca a ca sitamos de 16 blocos, cada um com 4 canteiros homogneos, ou e seja devemos ter dispon veis 64 canteiros.

3

R1

R2

R3

R4

I1 I2 I3 I4 I1 I2 I3 I4 I1 I2 I3 I4 I1 I2 I3 I4

A1 -

A2 -

A3 -

A4 4

Podemos construir um quadro de ANOVA , supondo nulas as interaes com o fator bloco. co FV A Regio a Irrigao ca Res duo Total gl 3 3 3 54 63 SQ

E poss vel construir um experimento utilizando apenas 16 canteiros, no qual podemos medir o efeito dos trs fatores do exe perimento anterior. Esse plano experimental denominado Quadrado Latino: cada e fertilizante aplicado uma nica vez em cada regio e em cada e u a quantidade de irrigao. ca5

2. Forma de representao de um Quadrado Latino ca Denio. Um quadrado latino de tamanho p, ou p p, um ca e arranjo de p letras latinas, cada uma repetida p vezes em um quadrado de tamanho p, de tal modo que cada letra aparea c exatamente uma vez em cada linha e em cada coluna. Exemplos. 1. Objetivo: estudar os efeitos de 6 drogas (A, B, C, D, E, F). Informaoes: a) as reaes individuais podem ser diferentes; b) c co a ordem de administrao das drogas afeta a resposta. Temos ca ento dois fatores de controle (Indiv a duo e Ordem) e um de interesse (Droga).6

Um poss vel Quadrado Latino 6 6 dado por e O1 A B C D E F O2 B C D E F A O3 C D E F A B O4 D E F A B C O5 E F A B C D O6 F A B C D E

I1 I2 I3 I4 I5 I6

2. Objetivo: estudar os efeitos de 3 tratamentos (A, B, C). Blocos: a) Dias da semana (Segunda, Tera e Quarta); b) c Operador (1, 2 e 3). O operador 1 recebe o tratamento B na segunda-feira, o tratamento A na tera-feira e o tratamento C c na quarta-feira. Cada operador recebe todos os tratamentos. Todos os tratamentos so aplicados todos os dias. a7

Um poss vel Quadrado Latino 3 3 dado por e O1 B A C O2 A C B O3 C B A

Segunda Tera c Quarta

Para cada p existe um nmero nito de Quadrados Latinos, isto u , qualquer que seja o nmero p de n e u veis do fator de interesse, existe um nmero nito de Quadrados Latinos pp. Este nmero u u depende de p. Um experimento em Quadrado Latino casualizado. A casualie zao ocorre na escolha do Quadrado Latino a ser utilizado. ca8

3. Anlise de um experimento em Quadrado Latino a

Modelo :

yijk = + i + j + k + eijk ,

i = 1, . . . , p, j = 1, . . . , p e k = 1, . . . , p, onde i: efeito da linha Li, j : efeito da coluna Cj e k : efeito do tratamento Tk . Temos p2 unidades experimentais. Suposio e restries: eijk N(0, 2), independentes. Alm ca co e disto, os efeitos de interao so assumidos todos nulos. No ca a modelo com todos os efeitos xos temos i = j = k = 0. Se os efeitos dos tratamentos so aleatrios, por exemplo, fazea o mos a suposio de que os efeitos k so independentes com disca a 2 tribuio N(0, ) e so independentes de eijk . Suposies semeca a co lhantes so estabelecidas se os efeitos Li ou Cj so aleatrios. a a o9

Partio da Soma de Quadrados ca

SQT = SQL + SQC + SQT R + SQR SQL = p SQC = p SQT R = p SQT =p (i.. y...)2 i=1 y p (.j. y...)2 j=1 y p (..k y...)2 k=1 y p 2 yijk p2y 2 j=1

p i=1

SQR = SQT SQL SQC SQT R Observao: O ca ndice k ct e cio porque temos p2 unidades experimentais/observaes e no p3. co a10

Exemplo para p = 4 C1 A D C B y.1. C2 B A D C y.2. C3 C B A D y.3. C4 D C B A y.4. yi.. y1.. y2.. y3.. y4.. y...

L1 L2 L3 L4 y.j.

Para calcular a SQT R mais fcil construirmos uma tabela da e a forma A y..1 B y..2 C y..3 D y..4 11

Clculo do nmero de graus de liberdade a u FV L C Tratamento (TR) Res duo Total gl p1 p1 p1 p2 1 3p + 3 = (p 1)(p 2) > 0 p2 1

Valores esperados dos quadrados mdios - EQM e 2 i . Se L um fator xo, EQML = 2 + p e p12 Se L aleatrio, EQML = 2 + p L. e o12

Se C um fator xo, EQMC = 2 + p e2 Se C aleatrio, EQMC = 2 + p C . e o

2 j

p1

.

Se T R um fator xo, EQMT R = 2 + p e2 Se T R aleatrio, EQMT R = 2 + p T R. e o

2 k . p1

EQMR = 2. Notar que, quaisquer que sejam os tipos dos fatores, os testes so realizados contra o res a duo.13

Hipteses o Modelo com H01 : i = 0, H02 : j = 0, H03 : k = 0, todos os efeitos xos i = 1, . . . , p. j = 1, . . . , p. k = 1, . . . , p.

Modelo com todos os efeitos aleatrios o 2 H01 : L = 02 H02 : C = 0 2 H03 : T R = 0.

As hipteses H01 e H02 servem em geral para testar o planejao mento pois muitas vezes L e C so fatores que denem blocos. a14

Comparaoes mltiplas c u Se existe efeito de tratamento, podemos realizar comparaes co mltiplas quando os efeitos presentes no modelo so xos . u a Sejap

C=k=1

ak ..k ,k

ak = 0,

onde ..k a mdia populacional do k-simo n e e e vel do fator T R. Seja 2 = QM R. Temos a2 k. C= ak y..k e var(C) = QM R p k=1 k=115

p

p

Um intervalo de conana para C com coeciente de conana c c 1 dado por e [C S var(C].

Se quisermos construir uma fam de intervalos de conana lia c com coeciente de conana global 1 , podemos utilizar o c mtodo de Tukey, Sche ou Bonferroni para obter S. Assim, e e 1 Tukey: S = q(1 ; p; (p 1)(p 2)), sendo 2 q(1 ; p; (p 1)(p 2)) o quantil de ordem 1 obtido da Tabela B.9 de Kutner et al. (2004). Sche: S 2 = (p1)F[1;p1;(p1)(p2)], sendo F[1;p1;(p1)(p2)] e o quantil de ordem 1 obtido da distribuio F Snedecor com ca p 1 e (p 1)(p 2) graus de liberdade.16

Bonferroni: S = t[1/(2g);(p1)(p2)], sendo g o nmero de u intervalos de conana e t[1/(2g);(p1)(p2)] o quantil de ordem c 1 /(2g) obtido da distribuio t Student com (p 1)(p 2) ca graus de liberdade. Observaoes c

Em geral, dois fatores de um Quadrado Latino so fatores de a controle experimental (blocos, posio, ordem). Em experica mentos no campo da Qu mica, podemos ter os trs fatores e de interesse.

Para fatores xos, podemos fazer comparaes mltiplas. co u17

O menor Quadrado Latino o 33. Para o Quadrado Latino e 2 2 no sobram graus de liberdade para o res a duo. Vantagens e desvantagens de um plano em Quadrado Latino Vantagens O uso de duas variveis como bloco frequentemente pera mite grandes redues no erro experimental. co Os efeitos dos tratamentos podem ser estudados utilizandose um experimento com reduzido nmero de unidades exu perimentais. Este tipo de planejamento particularmente e u til em estudos preliminares ou estudos piloto.18

Desvantagens O nmero de classes em cada bloco deve ser igual ao u nmero de tratamentos. Consequentemente, o nmero u u de classes nos dois fatores de bloco deve ser o mesmo. Consequncia: o nmero de graus de liberdade do res e u duo muito pequeno quando o nmero de tratamentos pee u e queno e maior do que o necessrio se o nmero de trataa u mentos muito grande. e As suposioes do modelo so bastante restritivas. No h c a a a nenhum efeito de interao presente no modelo. ca O tipo de aleatorizao requerido um pouco mais comca e plexo do que para a maioria dos experimentos j considea rados.19

Observaoes faltantes em um plano em Quadrado Latino c Observaes faltantes eliminam a simetria (ortogonalidade) de co um plano em Quadrado Latino, alm de tornarem os clculos da e a ANOVA inapropriados. Nessa situao, a soluo para a anlise ca ca a dos dados transformar o modelo de ANOVA em um modelo de e regresso. A estimao dos efeitos xos dos tratamentos reaa ca e lizada em termos das estimativas dos coecientes da regresso. a

20

Exemplo Queremos comparar 5 mtodos de ensino. Para isto dispomos e de um conjunto de 25 estudantes sendo 5 de cada escola. Seja Y : nota nal em um teste aps a aplicao de cada mtodo. o ca e Soluo 1. Blocos completos casualizados. J temos um fator ca a de bloco natural que escola. Este plano ser bom se os alunos e a de cada escola forem homogneos entre si. e M1 M2 M3 M4 M5 21

E1 E2 E3 E4 E5

Vamos supor que os alunos de uma mesma escola diram quanto ao QI. Ento temos que introduzir este fator no experimento. a Soluo 2. Ao introduzirmos o fator QI, passamos de um exca perimento em blocos casualizados para um Quadrado Latino. QI F3 M3 M2 M1 M5 M4

Escola

E1 E2 E3 E4 E5

F1 M1 M5 M4 M3 M2

F2 M2 M1 M5 M4 M3

F4 M4 M3 M2 M1 M5

F5 M5 M4 M3 M2 M1

Escola e faixas de QI so fatores de controle experimental. Toa dos os efeitos de interao so supostos nulos e os trs fatores ca a e tm o mesmo nmero de n e u veis.22

Aplicao ca Um fabricante conduziu um estudo piloto sobre o efeito do preo c de um de seus produtos nas vendas desse produto em lojas de hardware. Como seria confuso para os consumidores se os preos c fossem alterados repetidas vezes em uma mesma loja, somente um preo foi xado em cada loja pelo per c odo de 6 meses de durao do estudo. 16 lojas foram usadas no estudo. As lojas ca foram controladas em relao ao volume de vendas e ` localica a zao geogrca. Quatro preos (em dlares) foram xados (A: ca a c o 1,79; B: 1,69; C: 1,59 e D: 1,49). Os preos foram alocados `s c a lojas de acordo com o Quadrado Latino mostrado a seguir. Dados sobre as vendas (Y) (em milhares de dlares) foram anotados o no per odo dos 6 meses do estudo.23

Volume de vendas 1 (menor) 2 3 4 (maior)

Norte 1,2 (B) 1,4 (A) 2,8 (C) 3,4 (D)

L.Geogrca a Sul Leste 1,5 (C) 1,0 (A) 1,9 (D) 1,6 (B) 2,1 (B) 2,7 (D) 2,5 (A) 2,9 (C)

Oeste 1,7 (D) 1,5 (C) 2,0 (A) 2,7 (B)

a) Ajuste um modelo para o plano em Quadrado Latino (especique o modelo, com suposies e restries); co co b) Faa um diagnstico do modelo ajustado; c o c) Construa um grco de efeitos principais com as mdias a e amostrais de Y sob os tratamentos (preos). O que este grco c a sugere com respeito ao efeito dos 4 preos sobre o volume mdio c e de vendas?24

d) Teste se o valor do preo afeta ou no o volume mdio de c a e vendas. Use = 0, 05. Encontre o valor P do teste e conclua com base nesse valor. e) Se o preo afetar o volume mdio de vendas do produto, faa c e c comparaes mltiplas entre as mdias dos tratamentos usando co u e o mtodo de Tukey. Use um coeciente de conana global igual e c a 0,90. f) Parece haver uma relao linear entre preo e volume de venca c das. Como voc testaria essa linearidade? Explique. e

25

0,20 0,15 0,10 Resduos 0,05 0,00 -0,05 -0,10 -0,15 1,0 1,5 2,0 2,5 Valores ajustados 3,0 3,5

Grco 1. Disperso dos res a a duos versus valores ajustados26

Probability Plot ResduosNormal - 95% CI99 95 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 Mean 4,163336E-17 StDev 0,08898 N 16 AD 0,246 P-Value 0,714

Percent

-0,3

-0,2

-0,1

0,0 Resduos

0,1

0,2

0,3

Grco 2. Grco de probabilidade normal dos res a a duos27

2,5 2,4 2,3 Mdias de Y 2,2 2,1 2,0 1,9 1,8 1,7 1 2 Preo 3 4

Grco 3. Grco de efeitos principais do preo sobre a mdia de Y a a c e28

Volume y1.. = 1, 350 y2.. = 1, 600 y3.. = 2, 400 y4.. = 2, 875

Mdias e Regio a Preo c y.1. = 2, 200 y..1 = 1, 725 y.2. = 2, 000 y..2 = 1, 900 y.3. = 2, 050 y..3 = 2, 175 y.4. = 1, 975 y..4 = 2, 425 Tabela de ANOVA

Geral y... = 2, 056

FV Volume Regiao Preo c Res duo Total

gl 3 3 3 6 15

SQ 5,98188 0,12187 1,13688 0,11875 7,35938

QM 1,99396 0,04062 0,37896 0,01979

F 100,75 2,05 19,15

P 0,000 0,208 0,002

29

Intervalos de conana simultneos para diferenas entre duas c a c mdias de volumes de vendas sob os 4 preos. Mtodo de Tukey. e c e Coeciente de conana global de 95%. c Preo c 2 - 1 3 - 1 4 - 1 Preo c 3 - 2 4 - 2 Preo c 4 - 3 Inferior -0,1697 0,1053 0,3553 Inferior -0,06967 0,18033 Inferior -0,09467 Superior 0,5197 0,7947 1,0447 Superior 0,6197 0,8697 Superior 0,594730

4. Rplicas adicionais em um plano em Quadrado Latino e

Rplicas dentro das caselas e Mais do que uma unidade experimental alocada para cada e casela formada pelo n vel i do fator Linha e pelo n vel j do fator Coluna. Exemplo: Consideremos um experimento em que QI (baixo, normal e alto) e Idade (jovem, meia-idade e idoso) so varia veis que formam blocos. Nesse caso, poss a e vel obter mais de um indiv duo para cada casela, e cada indiv duo da casela receber o tratamento designado ` casela pelo Quadrado a a Latino sorteado. Trs mtodos de ensino so considerados e e a e a var avel resposta Y a nota em um teste de avaliao e ca de aprendizado.31

Dados QI (i) Jovem (B) 19 16 (C) 24 22 (A) 10 14 Idade (j) Meia-Idade (A) 20 24 (B) 14 15 (C) 12 13 Idoso (C) 25 21 (A) 14 14 (B) 7 432

Alto

Normal

Baixo

Seja n o nmero dispon u vel de unidades experimentais para cada casela, e seja Yijkm o valor da varivel resposta Y para a m-sima a e unidade experimental (m = 1, . . . , n) da casela (i, j) que recebeu o tratamento k. O modelo aditivo de efeitos xos dado por: e yijkm = + i + j + k + eijkm, i = 1, . . . , p, j = 1, . . . , p, k = 1, . . . , p e m = 1, . . . , n, onde e uma constante, i, j e k so constantes sujeitas `s restries a a co i = j = k = 0 e eijk N(0, 2), independentes.

33

ANOVA FV Linha Coluna Tratamento Res duo Total gl p1 p1 p1 np2 3p + 2 np2 1 SQ p SQL = np i=1(i... y....)2 y p SQC = n j=1(.j.. y....)2 y p SQT R = np k=1(..k. y....)2 y SQR = SQT SQL SQC SQT R p p 2 2 2 SQT = i=1 j=1 n m=1 yijkm np y

A estat stica de teste para H0 : k = 0, para todo k, dada por e F = QM T R SQT R/(p 1) = . 2 3p + 2) QM R SQR/(np

34

Anlise dos dados do exemplo a ANOVA FV QI Idade Mtodo e Res duo Total gl 2 2 2 11 17 SQ 364,3 34,3 147,0 52,4 598,0 QM 182,2 17,2 73,5 4,76 F P

15,44

0,001

35

Quadrados Latinos adicionais Quando no poss a e vel replicar as observaes dentro das co caselas, muito frequente adicionar um ou mais Quadrados e Latinos a uma das variveis que formam blocos (Linha ou a Coluna). O segundo Quadrado Latino, e os demais quando necessrios, selecionado independentemente do primeiro. a e Os Quadrados Latinos adicionais so em geral considerados a como n veis de uma terceira varivel de bloco. Efeitos de a interao podem ser estudados. ca Exemplo: Consideremos um experimento em que Semana (1 a 5) e Dia da semana (Segunda a Sexta) so variveis a a que formam blocos. Cinco tipos de msica so considerados u a como tratamentos e a var avel resposta Y um escore que e traduz a produtividade de um grupo de indiv duos.36

Dados Dia Q A E B C D C E A B D

Quadrado

Semana 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

S D C A E B E B D A C

T C B D A E D A C E B

Q B A E D C A D B C E

S E D C B A B C E D A37

1

2