Quadratura Gaussiana
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Os métodos mostrados até aqui necessitam de
valores de x igualmente espaçados escolhidos
por quem está trabalhando no método. Na
quadratura Gaussiana, a escolha segue umpadrão bem definido.
ste método tem como desvantagem a
necessidade de se conhecer a forma anal!tica da
função f"x#. $ua principal vantagem é oferecer
resultados exatos para polin%mios de ordem até
n&'.
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ste método consiste em transformar a integral
definida(
m outra integral, na seguinte forma(
)través de uma troca de variáveis, vista a seguir.
∫ =
b
a
dx x f I )(
∫ −=1
1)( dt t F I
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*rocamos a variável x por(
ntão, a função +"t# será(
).(
2
1)..(
2
1abt ab x ++−=
++−−= ).(
2
1)..(
2
1)..(
2
1)( abt ab f abt F
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om isso, a equação geral da -uadratura
Gaussiana será(
Onde(
n n/mero de pontos "escolhido#
)i coeficientes "tabela#
ti ra!0es "tabela#
) tabela a seguir mostra alguns valores dos
coeficientes e ra!0es.
∑∫
−
=− ==
1
0
1
1)(.)(
n
iii t F Adt t F I
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n i ti Ai
' 1 1 2
21 &1,34453124 '
' 1,34453124 '
5
1 1,44637884 3971,333338
' &1,44637884 3971,333338
2 1 :971,:::::7
6
1 1,:8''585' 1,564:36:6
' &1,:8''585' 1,564:36:6
2 1,5577:'16 1,832'63'8
5 &1,5577:'16 1,832'63'8
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Exemplo
alcule a integral abaixo, utili0ando n5 pontos.
!olu"#o
;nicialmente, fa0emos a substituição da variável x por
t(
∫ 4
1
1 dx x
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)ssim(
38367,1
5333334,06227717,02275690,0
5,20.5,1
5,1.888889,0
5,2)77459667,0.(5,1
5,1.555556,0
5,277459667,0.5,1
5,1.555556,0
5,2.5,15,1.
5,2.5,15,1.
5,2.5,15,1.
5,2.5,1
5,1.
2
2
1
1
0
0
2
0
=
++=+
++−
+
+=
++
++
+=
=+
=∑=
I
I
I
t A
t A
t A I
t A I
i i
i
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-uando f"x# é um polin%mio, sabemos que asf=rmulas de quadratura fornecem um resultadoexato a menos, é claro, dos erros de
arredondamento.
Na maioria das situaç>es reais, f"x# não é umpolin%mio e, portanto, sua integral é aproximadaquando calculada através das f=rmulas dequadratura.
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xibiremos algumas express>es do termo doresto "ou erro de truncamento# para as váriasf=rmulas apresentadas.
Não nos preocuparemos com a dedução de taisexpress>es por ser extremamente trabalhosa e
sem nenhum interesse prático.
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$%rmula de Gauss&'e(endre
#"#?22"
@#?'A" #22"
2
n ξ +
+
+= nf
n
n
#"#?22"2
#?'" #22"
'n ξ
π +
+ +
+= n
n f
n
n
$%rmula de Gauss&Tcheb)she*
#"
@#?22#A"52"
@#?'A"2 #22"
5
652
n ξ +
+
++
+= n
n
f nn
n
Fórmula de
Gauss-Laguerre $%rmula de Gauss&+ermite
#"#?22"
2 #22"
#22"n ξ
π +
+
+
= n
n f ne
b),a(∈ξ
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∫ − −
'
'2'dx
x
senx
Usando quadratura de Gauss, calcular:
e estimar o erro.
Exerc,cio
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