1

Qual deve ser o papel do professor no decorrer da aula de Matemática

quando utiliza a estratégia de Resolução de Problemas?

Elenice Vaz1 elenice.vaz@uol.com.br

Magna Natalia Marin Pires2 magnapires@yahoo.com.br

RESUMO

Esse trabalho faz parte das atividades do Programa de Desenvolvimento Educacional do Estado do Paraná. Relata o desenvolvimento de uma das atividades que compõe o Caderno Pedagógico construído na primeira etapa da participação no programa. A atividade que foi desenvolvida em uma turma 1ª série do Ensino Médio, utiliza-se da estratégia de Resolução de Problemas, e aborda diversos conteúdos e conceitos, dentre eles: cálculo de área, funções, números irracionais e condição de existência dos triângulos. O encaminhamento da aula, aqui descrito, exemplifica as etapas de resolução de um problema indicadas por Polya e valoriza o erro como caminho construtivo do processo de aprendizagem. Abordamos neste artigo as atitudes que o professor deve ter ao trabalhar com esta estratégia de ensino, além de sugerir procedimentos para a realização de tarefas em grupo. Palavras Chaves: Resolução de Problemas. erro em matemática. Educação Matemática. capacitação de professor. ABSTRACT This work is part of the activities of the Educational Development Program of the Paraná State. It tells the development of one of the activities that is included in the Pedagogical Notebook that was built in the first stage of the participation in this program composes. The activity, that was developed in a group of High School 1st, uses the resolution problems strategy, and approaches several contents and concepts, witch includes: calculation of area, functions, irrational numbers and condition of triangles existences. The guiding of the lesson, described here, gives examples about the stages of problem resolutions indicated by Polya and values the mistake as constructive way of learning process. We approach in this article the behavior that teacher must have when working with this education stratregy, beyond suggesting procedures for the accomplishment of tasks in group.

Key words: problems resolution; math mistakes; math learning; teacher empowerment.

O Programa de Desenvolvimento Educacional do Governo do Paraná

1 Professora da Rede Pública Estadual – Paraná. 2 Professora do Depto de Matemática da UEL – Universidade Estadual de Londrina

2

O Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE consiste numa política

de formação continuada oferecida aos professores da rede pública de ensino do

Estado do Paraná, feita a partir de uma parceria com instituições de Ensino Superior

deste Estado.

Tal política tem como objetivos, de acordo com Paraná (2008), o

reconhecimento dos professores como elaboradores de saberes sobre o processo

de ensino aprendizagem e a criação de espaços para discussões e reflexões sobre

teoria e prática, a fim de oportunizar condições, no interior da escola, para o debate

e para a construção coletiva do saber.

Esse programa proporciona aos professores, por meio do retorno às

atividades discentes nas universidades, a oportunidade de aprofundar seus estudos

de formação inicial, assim como a atualização sobre novas estratégias de ensino e o

uso das tecnologias, visando melhorar a qualidade do ensino oferecida aos

estudantes.

Sob a supervisão de Professores orientadores das Instituições de Ensino

Superior, a partir da definição do objeto de estudo, o Professor PDE tem a função de

elaborar um plano de trabalho e material didático, visando a intervenção pedagógica

na escola. Além disso, no final do programa, é necessário produzir um artigo

científico, o qual consiste na etapa conclusiva da atividade de aprofundamento

teórico-prático. Portanto, este trabalho, tem como objetivo, por meio do relato das

atividades previamente preparadas, a vinculação entre a teoria estudada e a prática

aplicada e vivenciada.

Estudos realizados durante o Programa

No decorrer desse programa, tive a oportunidade de fazer o estudo da

estratégia de Resolução de Problemas, com valorização dos erros como caminho

para a aprendizagem de estudantes nas séries finais do Ensino Fundamental e do

Ensino Médio.

Ao longo desses estudos, pretendeu-se encontrar uma estratégia de ensino

que proporcionasse aos estudantes oportunidades de interpretar, comunicar idéias,

conjeturar, raciocinar, discutir aplicações e solucionar problemas, pois o que se

percebe freqüentemente é que muitos estudantes não gostam da disciplina de

3

Matemática e não sabem correlacioná-la com sua vida. É comum encontrarmos

estudantes que, nas tarefas de resolução de problemas, não têm o hábito de

construir estratégias, testá-las e recomeçar, se necessário, na primeira falha se

negam a corrigir seus erros, desanimam e desistem de prosseguir. Na sala de aula

não existe a prática de questionamentos, o que se percebe é o desinteresse, e, em

conseqüência, a indisciplina. A escola nem sempre proporciona ambiente

questionador, necessário para a resolução de problemas e discussão dos erros

cometidos por estudantes.

Diante desse fato, percebe-se a necessidade de uma mudança de postura

por parte do professor. É necessário fugir dos padrões tradicionais de ensino,

segundo Pinto (2000), a postura na qual o erro é visto como uma incapacidade do

estudante deve ser substituída por uma postura construtiva, que dá mais importância

aos procedimentos do que aos resultados no decorrer da resolução de um problema.

Percebe-se também a necessidade de uma mudança de ação, do contrário

os estudantes continuarão apenas a memorizar, decorar e repetir.

Como tentativa para solucionar os problemas citados, nos apresenta como

um caminho a estratégia de Resolução de Problemas, a qual permite que o

professor desafie e resgate o prazer da descoberta além de facilitar a prática

pedagógica, pois possibilidade uma participação mais efetiva dos alunos e

proporciona a contextualização e a interdisciplinaridade.

O presente artigo tem como objetivo, por meio de uma prática vivenciada e

relatada, mostrar qual deve ser o papel do professor ao utilizar-se da estratégia de

Resolução de Problemas, em que se valorize não apenas o fim, mas principalmente

os procedimentos que levaram a solução de um problema. Procura mostra como é

importante o professor proporcionar aos alunos momentos em que os mesmos

encontrem o seu próprio caminho para resolver um problema, que eles conduzam

suas experiências, formulem e testem conjeturas, com o compromisso de comunicar

suas conclusões.

Solucionando um problema

A atividade relatada a seguir foi aplicada em uma turma de 1ª série do

Ensino Médio. Inicialmente, seus principais objetivos eram reconhecer a Matemática

4

como ferramenta de trabalho para a resolução de problemas do dia a dia e introduzir

o conceito de função quadrática, porém, num exemplo claro do quanto à estratégia

de Resolução de Problemas pode enriquecer as aulas, no decorrer de sua

aplicação, diversos outros conceitos foram explorados, conseguindo contemplar

outros objetivos como calcular área de diversas figuras planas, utilizar o teorema de

Pitágoras e a fórmula de Herão, reconhecer o número π e calcular o comprimento

de uma circunferência, compreender a condição de existência do triângulo, calcular

a área máxima de um retângulo em função do seu perímetro, escrever e interpretar

a lei de formação de uma função, construir gráficos e localizar e calcular o vértice de

uma parábola.

Desenvolvimento da Atividade

PPRROOBBLLEEMMAA:: UUmmaa eessccoollaa ggaannhhoouu ccoommoo ddooaaççããoo,, uummaa tteellaa ddee 6600mm ddee

ccoommpprriimmeennttoo.. AA ddiirreeççããoo rreessoollvveeuu,, eennttããoo,, cceerrccaarr uumm tteerrrreennoo qquuee ttiivveessssee aa mmaaiioorr

áárreeaa ppoossssíívveell,, ppaarraa ffaazzeerr eexxppeerriiêênncciiaass ccoomm ppllaannttaass.. CCoommoo ppooddee sseerr eessssee

tteerrrreennoo?? QQuuaaiiss ssããoo aass ddiimmeennssõõeess??

Após proporcionar um tempo para que os estudantes, em grupos,

pensassem sobre a situação, os alunos apresentaram diversas formas possíveis. A

seguir, são mostradas algumas das formas sugeridas:

5

Como entre as diversas formas encontradas, a que foi mais utilizada foi o

retângulo, foi proposta a seguinte tarefa:

�� DDeennttrree ooss rreettâânngguullooss,, qquuaall ppoossssuuii mmaaiioorr áárreeaa??

Após os diversos cálculos efetuados, os alunos concluíram que o retângulo

que possui a maior área é aquele cujos lados são iguais, ou seja, o quadrado. Nesse

momento, foi necessário rever alguns conceitos relacionados com quadriláteros,

6

visto que para muitos, quadrado e retângulo eram figuras distintas, não percebendo

que o primeiro pode ser um caso particular do segundo.

Área do quadrado 2

lA =

215=A

2225mA =

Em seguida os estudantes foram analisar os triângulos, e dentre as soluções

apresentadas, apareceu uma que provocou questionamentos, pois logo se percebeu

que não poderia existir um triângulo com aquelas medidas. Eis a representação feita

por um dos alunos:

Nesse momento, foi apresentada a seguinte tarefa:

�� UUttiilliizzaannddoo rréégguuaa ee ccoommppaassssoo,, ccoonnssttrruuaa ttrriiâânngguullooss ccoomm 66ccmm ddee

ppeerríímmeettrroo::

Com medidas menores, o objetivo dessa atividade era que os estudantes

percebessem que, diferente dos retângulos, não é possível formar triângulos com

quaisquer medidas, que existem condições que devem ser respeitadas para a

existência dos mesmos.

Após a construção de diversos triângulos, foi necessária a revisão de alguns

conceitos de desenho geométrico, foi feita a seguinte pergunta:

�� SSeerráá qquuee ccoomm 6600 mm eeuu ppoossssoo ffoorrmmaarr ttrriiâânngguullooss ccoomm qquuaaiissqquueerr

mmeeddiiddaass?? EExxiissttee aallgguummaa ccoonnddiiççããoo ddee eexxiissttêênncciiaa ppaarraa oo ttrriiâânngguulloo??

7

Após pesquisas realizadas no computador e em livros colocados à

disposição dos estudantes, foi feita a formalização, de acordo com Dolce (1985, p.

48), da condição de existência do triângulo da seguinte forma:

• Em todo triângulo cada lado é menor que a soma dos outros dois.

• Em todo triângulo cada lado é maior que a diferença dos outros dois.

A partir daí, foi indicado que os estudantes retornassem à questão anterior, e

verificassem quais triângulos são possíveis de existir:

Exemplos:

18 < 22 + 20

20 < 22 + 18

22 < 20 + 18

e

18 > 22 – 20

20 > 22 – 18

22 > 20 – 18

Logo, esse triângulo existe.

5 < 35 + 20

20 < 35 + 5

35 < 20 + 5 (F)

e

5 > 35 – 20 (F)

20 > 35 – 5 (F)

35 > 20 – 5

Logo, esse triângulo não existe!

Após essa formalização, um estudante fez uma pergunta que eu não sabia a

resposta, visto que, em nenhum momento, no decorrer de minha formação

acadêmica e em meus anos de professora, eu havia pensado a respeito dessa

questão:

8

EEMM UUMM TTRRIIÂÂNNGGUULLOO CCOOMM PPEERRÍÍMMEETTRROO 6600MM,, QQUUAALL AA MMEEDDIIDDAA MMÁÁXXIIMMAA

QQUUEE UUMM DDOOSS LLAADDOOSS PPOODDEE TTEERR,, PPAARRAA QQUUEE EESSSSEE TTRRIIÂÂNNGGUULLOO EEXXIISSTTAA??

Nesse momento, por ser final de aula, pedi aos estudantes que pensassem

sobre a situação, elogiei a pergunta, relatei o quanto fiquei satisfeita com a

participação do estudante, a fim de me fazer pensar sobre algo que eu nunca havia

refletido.

Nesse dia, eu, além de minhas tarefas de planejamento de aulas, tive uma

tarefa extra, pensar e pesquisar sobre a pergunta feita pelo estudante.

Na aula seguinte, retomamos o conteúdo e após discussões feitas com

todos os estudantes, concluímos que o lado de um triângulo, não tem apenas uma

medida máxima como também uma medida mínima, ou seja, apresenta um intervalo.

Sendo a, b e c os lados do triângulo, as medidas de a podem ser definida no

seguinte intervalo:

b – c < a < b + c

Ou seja, o valor da medida a é um número que está entre a diferença dos

outros dois lados e a soma desses mesmos dois lados.

Foi proposto, então, o seguinte problema:

�� ((OOBBMMEEPP,, 22000088)) QQuuaaiiss ooss ttrriiâânngguullooss ccuujjaass mmeeddiiddaass ddooss llaaddooss ssããoo

nnúúmmeerrooss iinntteeiirrooss ee ccoomm ppeerríímmeettrroo 1155 ccmm??

Por meio de tentativas, e utilizando as condições de existência dos

triângulos, grande parte dos estudantes concluiu que são sete os possíveis

triângulos, sendo que os mesmos podem possuir as seguintes medias dos lados:

(1,7,7)

(2,6,7)

(3,5,7)

(4,4,7)

(3,6,6)

(4,5,6)

(5,5,5)

Após constatarem que não é possível construir um triângulo com qualquer

medida, e que é necessário fazer a análise por meio das condições de existência,

cada grupo apresentou uma solução para o problema anteriormente proposto, ou

seja, um triângulo com perímetro 60m.

A seguir, perguntei a eles como é que calculamos a área do triângulo.

9

A resposta foi: 2

hb ×. Desse modo perguntei-lhes, qual a altura dos

triângulos dados a seguir:

No primeiro, a altura, facilmente foi identificada como 15m, e, apenas

substituindo os valores na fórmula, registrada anteriormente, temos o valor da área

do triângulo:

2

1520 ×=A

2150mA =

Já no segundo caso, apesar das tentativas de alguns alunos, não é possível

fazer esse mesmo cálculo, pois não temos o valor da altura, mas é possível utilizar a

Fórmula de Herão, a qual foi apresentada para os estudantes, visto que os mesmos

não tinham conhecimento prévio desta relação.

Pela Fórmula de Herão, temos: )()()( cpbpappA −⋅−⋅−⋅= , em que p=

semi-perímetro do triângulo e a,b e c os lados desse triângulo

)2030()2230()1830(30 −⋅−⋅−⋅=A

1081230 ⋅⋅⋅=A

28800=A

27,169 mA =

Como curiosidade, um dos estudantes trouxe a seguinte pesquisa:

OO mmaatteemmááttiiccoo HHeerrããoo ddee AAlleexxaannddrriiaa vviivveeuu nnoo iinníícciioo ddaa EErraa CCrriissttãã.. HHeerrããoo

sseemmpprree ssee iinntteerreessssoouu ppoorr aapplliiccaaççõõeess ee mmééttooddooss pprrááttiiccooss ddaa MMaatteemmááttiiccaa.. EEmm ssuuaa

pprriinncciippaall oobbrraa ddee ggeeoommeettrriiaa,, ““AA MMééttrriiccaa””,, eellee aapprreesseennttaa aa ddeemmoonnssttrraaççããoo ddaa ffaammoossaa

ffóórrmmuullaa ddoo ccáállccuulloo ddaa áárreeaa ddee uumm ttrriiâânngguulloo aa ppaarrttiirr ddaa mmeeddiiddaa ddooss sseeuuss llaaddooss,,

ccoonnhheecciiddaa hhoojjee eemm ddiiaa ccoommoo ffóórrmmuullaa ddee HHeerrããoo.. ((MMEELLLLOO,, 22000088))..

10

Em um dos grupos foi sugerido como solução para o problema um trapézio,

e, com o objetivo de revisar o cálculo de área desse polígono, foi pedido aos

estudantes que representassem, por meio de um desenho, possíveis trapézios para

solucionar o problema.

Um dos trapézios apresentados apresentava as seguintes dimensões:

Quando os estudantes fizeram o cálculo da área desse trapézio, perceberam

que ele não existe com essas medidas:

Inicialmente, foram juntados os dois triângulos verdes, com o objetivo de

calcular, a partir da área, a altura do mesmo:

)()()( cpbpappA −⋅−⋅−⋅=

)2020()1020()1020(20 −⋅−⋅−⋅=A

0101020 ⋅⋅⋅=A

0=A , logo, percebeu-se que não existe triângulo com essas medidas, e,

em conseqüência, também não existe trapézio com essas medidas. Portanto, foi

constatado que, assim como os triângulos, os trapézios também possuem condições

de existência.

11

Após tentativas, foi analisado o seguinte trapézio, ao qual, pode-se fazer o

cálculo de sua área:

Unindo-se os triângulos verdes, obtemos o seguinte triângulo:

Calculando-se, pela Fórmula de Herão, obtém-se a seguinte área:

)()()( cpbpappA −⋅−⋅−⋅=

)1020()1520()1520(20 −⋅−⋅−⋅=A

105520 ⋅⋅⋅=A

5000=A

A 270m≅

Ao substituir na fórmula da área do triângulo, obtemos a altura do triângulo,

que é a mesma altura do trapézio:

2

hbA

×=

2

1070

h×=

14010 =h

mh 14=

A partir daí, ficou fácil, calcular a área do trapézio:

2

)( hbBA

⋅+=

2

14)1020( ⋅+=A

12

2210mA =

Voltando as possibilidades apresentadas pelos alunos e como uma delas foi

o hexágono, na aula seguinte, foi pedido aos estudantes que fizessem um desenho

do mesmo, utilizando-se de régua e compasso, com o objetivo de fazê-los perceber

que o hexágono é formado por 6 triângulos eqüiláteros.

A partir desse desenho, os estudantes analisaram cada um dos triângulos

formados:

A maioria optou por calcular a área desse triângulo utilizando-se da fórmula

de Herão, e apenas alguns, fizeram pelo cálculo da altura, utilizando-se para

encontrá-la, do teorema de Pitágoras.

Com a fórmula de Herão, os cálculos ficaram assim definidos:

23,43

)1015()1015()1015(15

mA

A

triângulo

triângulo

≅

−⋅−⋅−⋅=

triângulohexágono AA ⋅= 6

3,436 ⋅=hexágonoA

28,259 mAhexágono =

E, com a utilização da altura do triângulo, encontrou-se:

13

222)5()10( −=h

752

=h

75=h

66,8≅h

Logo:

2

66,810×=triânguloA

23,43 mAtriângulo =

triângulohexágono AA ⋅= 6

3,436 ⋅=hexágonoA

28,259 mAhexágono =

Na seqüência, ao analisar a circunferência, os alunos apresentaram dúvidas

relacionadas com comprimento da circunferência, fórmula da área e do número π .

Aproveitamos a oportunidade para explorar com eles os conceitos mencionados.

Após os esclarecimentos foram feitos os seguintes cálculos:

Cálculo do raio: rC ⋅⋅= π2

r××= 14,3260

28,6

60=r

55,9≅r m

Área da circunferência: 2rA ⋅= π

2)55,9(14,3 ⋅=A

237,286 mA =

14

Diante desses cálculos, foi questionado com os estudantes que outras

soluções poderiam ser apresentadas, como heptágonos, octógonos, eneágonos e

decágonos, a fim de fazê-los compreender que, quanto maior o número de lados,

maior a área dessa figura, até chegarmos à circunferência, que é a figura com

perímetro 60m e com a maior área possível.

Foi apresentado, então, um novo problema:

PPRROOBBLLEEMMAA:: EEmm rreeuunniiããoo rreeaalliizzaaddaa nnaa eessccoollaa,, ooss pprrooffeessssoorreess ddee CCiiêênncciiaass ee BBiioollooggiiaa

aalleeggaarraamm qquuee,, ddeevviiddoo aaoo ttiippoo ddee ccaanntteeiirrooss qquuee eelleess qquueerriiaamm ccoonnssttrruuiirr,, oo cceerrccaaddoo

ddeevveerriiaa sseerr nnaa ffoorrmmaa ddee uumm rreettâânngguulloo.. PPoorrttaannttoo,, qquuaaiiss aass mmeeddiiddaass ddoo rreettâânngguulloo ccoomm

ppeerríímmeettrroo 6600mm qquuee ppoossssuuii aa mmaaiioorr áárreeaa??

Quando essa atividade foi apresentada, alguns dos estudantes, já deram

como resposta um quadrado com 15m de lado, visto que essa discussão já havia

sido feita anteriormente. Foi proposto, para que os estudantes, em grupo,

organizassem, numa tabela, outros 4 valores para o comprimento, com o cálculo de

suas respectivas áreas. Uma das tabelas ficou assim representada:

Comprimento largura Perímetro Área

18 12 60 m 216 m2

20 10 60 m 200 m2

15 15 60 m 225 m2

14 16 60 m 224 m2

24 6 60 m 144 m2

A partir da tabela, foi indicada a construção do gráfico, o qual foi feito pelos

estudantes, tanto no caderno, com utilização de régua e papel quadriculado, como

no aplicativo Excel, onde x representa o comprimento e y a área do retângulo:

15

Área do Retângulo

0

50

100

150

200

250

0 5 10 15 20 25 30comprimento

Área

Voltando ao problema inicialmente apresentado, foi perguntado aos

estudantes, se era possível solucionar essa situação utilizando-se de conceitos

relacionados com funções. Um dos estudantes respondeu que sim, visto que havia

uma variação, ou seja, a área estava em função do comprimento, e que a mesma

poderia ser representada por meio de um gráfico, assim como a função afim,

estudada nas aulas anteriores.

Por meio de perguntas, e tendo um dos estudantes como o relator no quadro

de giz, algumas perguntas foram feitas, dentre elas:

� Como não sabemos a medida da largura, como podemos chamá-la?

� Como chamamos a largura de x, como poderíamos chamar o

comprimento?

� Como esse retângulo pode ser representado?

� Qual a área desse retângulo em função da medida x?

Nesse momento, foi necessário rever alguns conceitos algébricos, como a

multiplicação de monômio por polinômio, os quais foram facilmente realizados pela

maioria dos estudantes.

A figura ficou assim representada:

16

E os cálculos:

xxxf ⋅−= )30()(

230)( xxxf −=

xxxf 30)(2

+−= lei de formação

A fórmula substitui com vantagens a tabela anterior, e pode ser chamada de

lei de formação dessa relação, a qual consiste em uma tradução matemática por

meio da qual é possível associar as duas grandezas variáveis (área e medida do

lado), para quaisquer valores desejados.

Portanto, a área máxima procurada é o valor máximo da função 2

30)( xxxf −= , e, a área assume seu valor máximo no vértice da parábola.

O gráfico a seguir, foi construído pelos estudantes, com a utilização do

GeoGebra, que é um software livre de matemática que reúne geometria, álgebra e

cálculo.

a

bxV

2−=

17

152

30=

−

−=x (largura)

Observamos que a área máxima a ser cercada é uma região quadrada cujo

lado mede 15m.

Aos grupos, foram apresentados alguns outros problemas como:

� Um quadrado, também pode ser chamado de retângulo?

� E se já tivéssemos um muro e quiséssemos fazer um cercado

encostado nesse muro, ou seja, economizando um dos lados do retângulo. Qual

seria a nova área?

� (OBMEP, 2006) Se os dois lados de uma triângulo medem 5cm e 7cm,

então o terceiro lado não pode medir:

a) 11 cm

b) 10 cm

c) 6 cm

d) 3 cm

e) 1 cm

� (OBMEP, 2006) Em um restaurante, qual família come mais pizza:

aquela que pede uma grande de 43 cm de diâmetro ou aquela que pede duas

médias de 30 cm de diâmetro?

� Qual a soma dos dois lados de um triângulo eqüilátero cujo perímetro é

24 cm?

� (DANTE, 2004) Tenho material suficiente para erguer 20m de cerca.

Com ele pretendo fazer um cercado retangular de 26 m2 de área. Caso isso seja

possível, quanto devem medir os lados desse retângulo?

A partir daí, sempre por meio de perguntas, outros conceitos foram

introduzidos, como o gráfico da função quadrática, o cálculo e a representação das

raízes ou zero da função, o domínio e a imagem e o estudo de seu sinal.

Avaliação

18

A avaliação foi feita de maneira contínua, a todo o momento: presença,

participação nas atividades desenvolvidas no decorrer da aula, interesse e

desempenho, tanto nos momentos em atividades em grupo, como nas situações em

que as tarefas foram feitas individualmente.

Como trabalho final, foi pedido aos estudantes que fizessem um portfolio, em

que foi avaliado a relevância das atividades incluídas, a qualidade das justificações e

comentário escritos, bem como a estrutura, criatividade e apresentação.

Algumas considerações

No decorrer da utilização da estratégia de Resolução de Problemas,

percebe-se que o estudante aprende quando aquilo que ele está fazendo passa a ter

algum significado para ele, que os conhecimentos não são “transmitidos” e sim

“construídos”. A função do professor, portanto, é justamente essa, levar seus alunos

à busca, à descoberta, e para isso, é preciso dar-lhes oportunidade para questionar,

conjeturar, errar, refletir, enfim, pensar matematicamente. Isso não é educação

apenas para a escola, é educação para a vida, na qual, a Matemática pode

contribuir tornando o estudante um indivíduo autônomo e comunicativo.

Desenvolver a habilidade para resolver problemas é necessário em todos os

níveis de ensino e para isso não existe uma receita pronta. Cada professor,

conhecendo seus alunos e, de acordo com suas experiências, constrói a sua prática.

Como apoio, pode-se utilizar as etapas sugeridas por Polya, as quais incluem a

compreensão do problema, a elaboração de um plano, a execução desse plano

e a retrospectiva ou verificação. A seguir, com o exemplo da atividade anterior,

são ilustrados os procedimentos e questionamentos referentes às etapas propostas

por Polya.

Compreendendo o problema:

Foram feitas por meio de perguntas, dentre elas:

• Quais as possíveis formas para esse terreno?

• Quais as suas possíveis dimensões?

• Como deve ser esse terreno?

• O que significa ter a maior área possível?

19

• O que se pede no problema? É possível fazer uma figura?

Inicialmente o professor pode propor estes questionamentos para que o

estudante adquira o hábito de, ao resolver problemas, ele próprio faça perguntas a

respeito da situação.

Elaborando um plano:

• Você já solucionou problemas utilizando área? – Perguntas como essas

levam o estudante a pensar em situações pelas quais ele já tenha passado.

• Em grupos, é possível que cada um proponha possíveis soluções, como

retângulos, quadrados, triângulos, círculos, hexágonos, etc.

• Qual seu plano para resolver o problema?

• Quais estratégias você tentará?

• Você se lembra de um problema semelhante que pode ajudá-lo a resolver

este?

• Tente resolver o problema por partes.

Executando o plano:

Após a elaboração do plano, é preciso efetuar os cálculos, completar as

tabelas, fazer os desenhos e conjeturar respostas. É nesse momento que muitos

estudantes percebem que o problema tem mais de uma solução.

No problema sugerido, cada grupo pode propor uma ou mais solução para o

problema, entre elas, triângulos, retângulos, círculos, hexágonos e trapézios, entre

outros. Nesse momento, o grupo faz o cálculo da área da sua figura.

Em algumas situações, se faz necessária a intervenção do professor, que,

por meio de dicas ou perguntas, relembra conceitos anteriores e apresenta outros,

além de, em determinadas circunstâncias, propor a pesquisa de novos conceitos. No

problema em questão, por meio de perguntas, relembra a área de retângulos,

círculos e triângulos e apresenta a área de triângulos em função dos lados por meio

da fórmula de Herão.

No decorrer do trabalho, é necessário, por meio de perguntas instigantes,

“provocar” o estudante o tempo todo, para que ele possa pensar por si próprio e não

simplesmente repetir aquilo que o professor lhe ofereceu, sem reflexões.

20

É indicado o trabalho em pequenos grupos, visto que dessa forma, os

estudantes têm a oportunidade, conforme afirma Ponte (1997, p.98), de “expor suas

idéias, ouvir os seus colegas, colocar questões, discutir estratégias, argumentar e

criticar outros argumentos”. Deve-se privilegiar, durante as aulas, a

comunicação, ou seja, a socialização das idéias desenvolvidas no decorrer da

resolução do problema, e, como muitos alunos têm dificuldade em comunicar-

se perante a sala toda, o trabalho em grupo serve como um treino para

situações futuras, para que ele consiga expor suas idéias e conjecturas para

um público maior.

Fazendo a retrospectiva ou verificação:

Essa etapa é fundamental, é o momento dos estudantes mostrarem as

estratégias utilizadas e defenderem suas idéias.

É necessário junto com a turma, fazer o questionamento diante de cada

estratégia apresentada, e, diante do erro, ao invés de dizer que está errado, o

professor pode fazer perguntas que conduzam os alunos a perceberem o erro, por

eles próprios. Ou então, pedir para que o estudante demonstre a solução errada.

Valorizá-la e propor a etapa da verificação. É nesse momento que, muitas vezes, o

próprio estudante percebe o seu erro e, ele próprio ou os outros colegas de classe

fazem outras contribuições para chegar à solução correta. No decorrer da

retrospectiva, o erro pode ser elemento importante para a solução do problema.

Existe a necessidade de mudar a concepção do erro como fracasso e

transformá-lo em sinônimo de conhecimento temporário para a organização de

novos conceitos matemáticos, é importante que o estudante perceba-o como parte

inerente na resolução de seus problemas, encarando-o, não como uma derrota, mas

como uma chance para o professor ajudá-lo a se apropriar de novos conceitos, ou

simplesmente levá-lo a perceber porque errou. Por meio da valorização do erro na

resolução de problemas, é possível ver a Matemática de forma mais atraente,

fazendo com que o estudante sinta que a disciplina é algo inerente à sua história,

que os erros, sejam na Matemática, sejam na vida, fazem parte do processo, e são,

quase sempre, o caminho para a aprendizagem efetiva.

O erro, de acordo com Perego (2005, p.19) não deve ser “valorizado em

detrimento do acerto, mas como uma etapa a ser vencida pelos estudantes” sendo

21

necessário, no decorrer do processo de ensino e aprendizagem, que ele seja

observável tanto pelo professor como pelo estudante, de acordo com Pinto (2000, p.

50), “não no sentido de derrota, mas como elemento constitutivo da gênese de todo

conhecimento”. Nesse sentido, Buriasco afirma que

é, pois, tarefa do professor fazer com que o erro, aos poucos se torne observável pelo aluno para que este tome consciência daquele. Essa é uma das contribuições pessoais que o professor pode fazer na busca de diminuir o fracasso escolar. (apud PEREGO, 2005, p. 18).

Após chegar à solução, é possível propor outros problemas com situações

semelhantes para se chegar à generalização, a qual é adaptada de acordo com o

nível dos estudantes, podendo ser uma regra verbal ou uma expressão variável.

Essas etapas não seguem necessariamente essa ordem rigorosa. Se algo

não der certo, é importante investigá-las uma a uma, e, com o auxílio do professor,

que se fará por meio de perguntas e não com respostas prontas, visto que este,

como defende Pinto (2000, p. 61), “não deve ocupar o lugar do estudante,

antecipando respostas” e sim, analisar os procedimentos adotados, dando liberdade

para que os estudantes construam seus conhecimentos.

É importante destacar não só a resposta correta, mas o aparecimento de

diversas soluções, comparações, verbalizações, discussões e justificações do

raciocínio.

Nesse tipo de trabalho, é necessário instigar o estudante no sentido dele

pensar e não simplesmente repetir. Como no exemplo do problema anterior,

diversos conceitos podem ser explorados, de acordo com o grau de interesse e do

nível da turma. Além dos conteúdos já citados, como cálculo de área, fórmula de

Herão, pode-se explorar funções, valor máximo e valor mínimo, teorema de

Pitágoras, construção de gráficos, números irracionais, entre outros.

Trabalho em grupos

A seguir, sugere-se como pode ser encaminhado o trabalho em grupo no

decorrer da resolução de problemas:

Procedimentos do professor:

22

• Formar pequenos grupos de 2 ou 3 integrantes.

• Entregar problemas para cada grupo, podendo haver grupos diferentes

com problemas iguais.

• Disponibilizar de um tempo para o pequeno grupo pensar sobre a

situação.

• Juntar os grupos que possuem o mesmo problema.

• Permitir que o grupo tenha oportunidade de pensar melhor sobre a

situação.

Procedimentos dos estudantes:

No decorrer da atividade, é preciso criar oportunidades para que haja:

• A possibilidade do entrosamento entre os colegas.

• Troca de idéias, com discussões enriquecedoras, visto que os

argumentos de cada um podem ser considerados, com intenção de se chegar a uma

melhor generalização.

• Confiança nos integrantes do grupo no decorrer do trabalho.

A junção dos grupos pode ser vista como reforços importantes para a

solução do problema.

Dicas para o professor:

• Antes das apresentações, proporcionar mais algum tempo para que o

grupo possa fazer a socialização das idéias, por meio de argumentações, refutações

e possíveis soluções.

• Passar pelos grupos para verificar como estão sendo feitos os

trabalhos e para poder definir o momento das apresentações, visto que é necessário

ponderar sobre o momento, considerando que pouco tempo pode não ser suficiente

para a discussão antes da apresentação e muito, pode causar desinteresse da

turma.

• No decorrer das apresentações, nem sempre dar respostas para as

dúvidas e inquietações apresentadas, propor para que o grupo ou que toda a sala

busque novos conhecimentos para tentar solucionar a situação em questão.

• Por meio de perguntas, propor questões que levam a construção de

conceitos relacionados com outros conteúdos.

23

• Fazer-se presente como questionador e incentivador, ao proporcionar

situações para o estudante conjeturar e, em conseqüência, adquirir novos

conhecimentos.

Conclusões

Ao aplicar essas atividades, pude verificar o quanto a estratégia de

Resolução de Problemas pode enriquecer o trabalho em sala de aula. Quando a

situação solucionada passa a ter sentido para os estudantes eles se comprometem

muito mais, participam ativamente das questões surgidas durante a aula,

apresentam contribuições, além de adquirirem o hábito de defender suas opiniões.

Considero como maior ponto positivo, o interesse e o comprometimento

demonstrado pela grande maioria dos estudantes no decorrer da aplicação dessa

atividade.

Inicialmente, preocupei-me com o tempo necessário para a execução dessa

atividade, visto que foram necessárias várias aulas para as discussões entre os

grupos, as apresentações e sistematizações dos conteúdos. Mas, no decorrer do

trabalho, pude perceber o quanto foi produtivo. A partir de alguns problemas, foi

possível fazer uma revisão de inúmeros conteúdos, aos quais, sem a utilização

dessa estratégia de ensino, levaria um número muito maior de aulas. Após

despreocupar-me com o número de aulas utilizadas, pude analisar melhor o

procedimento de meus alunos, e, em diversas situações, percebi o quanto eles

ficaram satisfeitos quando puderam sugerir respostas para a solução de um

problema, ou quando foram capazes de defender suas idéias.

Os trabalhos em grupo tiveram excelentes resultados, mas, as

apresentações não foram totalmente satisfatórias, talvez porque os alunos ainda não

tenham o hábito de fazer esse tipo de trabalho. Percebi que quando as discussões

eram apenas no grupo, eles argumentavam mais, expunham suas opiniões com

maior facilidade. Portanto, é necessário propiciar outros momentos como esse para

que eles adquiram o hábito de defender suas idéias perante todos os alunos da sala.

Desenvolver a habilidade para resolver problemas, é uma “meta a longo

prazo”, desse modo, não há de se esperar que o estudante, já nos primeiros

trabalhos, seja capaz de argumentar nas diversas situações. Mas, com o passar do

tempo, na medida em que o professor lhe permitir levantar hipóteses e dar

24

sugestões, e ele compreender o modo de trabalho, aí sim a sala de aula se tornará

mais prazerosa e ele vai participar ativamente na resolução das situações

problemas. Portanto, é recomendável que o uso dessa estratégia de trabalho seja

constante e não, esporadicamente.

O professor deve mostrar que a Matemática não é algo estático, que essa

ciência tem uma história, procurando fazer o seu trabalho com resolução de

problemas de forma instigante, partindo de situações tanto do cotidiano como outras

científicas, tendo consciência de que, como aponta Schoenfeld

dificilmente vamos nos defrontar com uma situação no dia a dia em que temos que resolver um problema de teoremas ou funções quadráticas, mas o que os estudantes podem e deveriam ter, como conseqüência de sua educação, é a habilidade para raciocinar cuidadosamente e eficientemente os recursos à sua disposição quando defrontados com problemas em suas próprias vidas (KRULIK e REYS, 2005, p. 22)

Referências Bibliográficas

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Editora Ática,

2004.

DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática

Elementar: Geometria Plana. São Paulo, Editora Atual, 1985.

MELLO, José Luiz Pastore. Matemática: Raiz Quadrada nos Tempos de Cristo.

Disponível em: <http://amp746.wordpress.com/2008/03/02/matematica-raiz-

quadrada-nos-tempos-de-cristo/>. Acesso em: 04 ago. 2008.

OBMEP. Banco de Questões: 2ª Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas. 2006. OBMEP. Banco de Questões: 4ª Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas. 2008. PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência de Educação.

Diretoria de Políticas e Programas Educacionais. Coordenação Estadual do PDE.

Programa de Desenvolvimento Educacional. Curitiba: SEED, 2008

25

PEREGO, Sibele C. Questões abertas de Matemática: Um estudo de registros

escritos. Dissertação (mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) –

Universidade Estadual de Londrina, 2005.

PINTO, Neuza Bertoni. O erro como estratégia didática: estudo dos erros no

ensino da Matemática elementar. Campinas, SP: Papirus, 2000.

PONTE, J. P., BOAVIDA, A., GRAÇA, M., & ABRANTES, P. Didáctica da

Matemática. Lisboa: DES do ME, 1997.

SCHOENFELD, A. H. Heurísticas na sala de aula. In: KRULIK, Stephen; REYS,

Robert E. (org.), A resolução de problemas na Matemática escolar. Tradução de

Hygino H. Domingues e Olga Corbo. São Paulo: Saraiva, 2005, p. 13-31.