SOLUÇÃO DO SEGUNDO SIMULADO DE MICROECONOMIA DE 2009

ROBERTO GUENA DE OLIVEIRA

QUESTÃO 1

Considere um consumidor de dois bens que apresente preferências lexográficas; ouseja, embora x e y sejam desejáveis, com quantidades maiores preferidas a quanti-dades menores dos dois bens, o consumidor não trocaria qualquer quantidade - pormenor que seja – que possua do bem x por qualquer quantidade - por maior que seja- do bem y. Neste caso, podemos dizer que:

0© as curvas de indiferença são retas paralelas a um dos eixos.

1© o axioma da monotonicidade não se aplica.

2© o axioma da continuidade não se aplica.

3© dada uma restrição orçamentária qualquer, não é possível achar um ponto quemaximize utilidade.

4© as curvas de indiferença apresentam "quinas", como no caso dos bens comple-mentos perfeitos.

SOLUÇÃO

0© FALSO. No caso de preferências lexicográficas, as “curvas” de indiferençaserão pontos unitários, pois não haverá, para cada cesta de bens qualquercesta diferente dela mesma que lhe seja indiferente. Para ver isso, considereduas cestas de bens distintas quaisquer (x0, y0) e (x1, y1). Como as cestasde bens são distintas, há três possibilidades: ou x0 6= x1 e y0 6= y1, oux0 6= x1 e y0 = y1 ou ainda x0 = x1 e y0 6= y1. No caso das duas primeiraspossibilidades, com x0 6= x1, podemos ter x0 > x1, o que fará com que nossoconsumidor prefira (x0, y0) a (x1, y1), ou podemos ter x0 < x1 e, nesse caso, oconsumidor deverá preferir (x1, y1) a (x0, y0). Caso tenhamos x0 = x1, então,como as duas cestas de bens são distintas, deveremos observar ou y0 > y1 e,nesse caso, o consumidor deverá considerar (x0, y0) preferível a (x1, y1) ou y1 >y0 e, nesse caso, a cesta de bens (x1, y1) deverá ser considerada preferida àcesta de bens (x0, y0). Concluímos que, no caso das preferências lexicográficasdescritas no enunciado do exercício, duas cestas de bens distintas não podemser consideradas indiferentes. Logo, cada curva de indiferença conterá apenasuma cesta de bens.

1© FALSO. Essas preferências são monotônicas visto que ao aumentar a quanti-dade consumida de qualquer bem, nosso consumidor fica melhor.

1

2 ROBERTO GUENA

2© VERDADEIRO. Se as preferências são contínuas, então, caso (x0, y0) ≻ (x1, y1),haverá um valor positivo ε tal que, para qualquer cesta de bens (x∗, y∗) talque |(x∗, y∗) − (x0, y0) < ε então (x∗, y∗) ≻ (x1, y1). Em particular, haveráε tal que (x0 − ε

2 , y0) ≻ (x1, y1). Considere agora o caso em que x0 = x1

e y0 > y1. Se as preferências são as descritas no enunciado desse exercí-cio, o consumidor deve preferir (x0, y0) a (x1, y1), todavia, por menor que sejaε > 0, nosso consumidor sempre irá preferir (x1, y1)(= (x0, y1)) a (x0 − ε

2 , y0)pois a primeira cesta conterá uma quantidade maior de x. Portanto, essaspreferências não são contínuas.

3© FALSO. O consumidor deve escolher uma solução de canto com y = 0 ex = m/px na qual m é sua renda e px é o preço de x.

4© FALSO. Conforme vimos na resposta ao item 0, as curvas de indiferença sãoconjuntos contendo um único ponto e, como tal, não podem fazer “quinas”.

QUESTÃO 2

Considere um consumidor com preferências descritas por U(x, y) =√

x + y. Suarenda é dada por R = $ 1900, sendo os preços px = $ 1 e py = $ 20. Avalie asafirmações:

0© O consumidor escolherá 100 unidades de x e 90 de y.

1© se o preço de x aumentar para $5, ele consumirá x = 4 e y = 94.

2© Para se manter na curva de indiferença original, a compensação hicksianadeverá ser igual a $80.

3© Se o preço de x aumentar para $20, o consumidor escolhe apenas y.

4© a TMS dependa apenas de x.

SOLUÇÃO

Primeiramente, determinemos a função de demanda desse consumidor. Sabemos,que, no caso de uma solução interior, a cesta de bens que maximiza a utilidade devesatisfazer às duas condições que se seguem:

|TMS| =

px

py

x px + y py = R

No presente caso,

|TMS| =∂U/∂x

∂U/∂y=

12√

x

1=

12√

x(1)

e, portanto, essas condições são dadas por

12√

x=

px

py

x px + y py = R

SOLUÇÃO DO SEGUNDO SIMULADO DE MICROECONOMIA DE 2009 3

Resolvendo esse sistema para x e y encontramos as funções de demanda

x =p2

y

4 p2x

e y =R

py− py

4 px

Como os valores de x e y devem ser não negativos, devemos corrigir essas funções demodo a considerar possíveis soluções de canto. Essas ocorrerão sempre que

R

py− py

4 px≤ 0,

ou seja, sempre que

R ≤p2

y

4px

pois, nesse caso, o melhor que o consumidor tem a fazer é dispender toda sua rendana aquisição do bem x. Assim, as funções de demanda serão

x(px , py, R) =

p2y

4 p2xcaso R >

p2y

4pxRpx

caso R ≤ p2y

4px

(2)

e

y(px , py, R) =

Rpy

− py4px

caso R >p2

y4px

0 caso R ≤ p2y

4px

(3)

Substituindo essas funções de demanda na função de utilidade do consumidor,obtemos sua funçãode utilidade indireta

v(px , py, R) =

py4px

+ Rpy

caso R >p2

y4px√

Rpx

caso R ≤ p2y

4px

(4)

Com esses resultados, podemos responder os itens do exercício:0© VERDADEIRO. Substituindo R = 1900, px = 1 e py = 20 em (2) e (3),

obtemos, efetivamente,

x =202

4 × 1= 100 e y =

190020

− 204 × 1

= 90

1© VERDADEIRO. Fazendo o mesmo exercício com px = 5 obtemos

x =202

4 × 25= 4 e y =

190020

− 204 × 5

= 94

2© VERDADEIRO. Após a compensação hicksiana (CH) o consumidor deve voltarao nível de utilidade inicial, então

v(5, 20, 1900 + CH) = v(1, 20, 1900)

Usando (4), isso significa

204 × 5

+1900 + CH

20=

204 × 1

+190020

Resolvendo essa equação para CH obtemos CH = 80.

3© FALSO. A expressão (2) implica em x positivo para quaisquer px > 0 e py > 0.

4© VERDADEIRO, conforme podemos deduzir da expressão (1).

4 ROBERTO GUENA

QUESTÃO 3

Ubaldo ganhou em uma promoção um ticket que dá direito a participar de umjogo em um cassino. Esse jogo paga seis ou zero reais, com probabilidades iguais.A função utilidade de Ubaldo é U(w) =

√w, sendo w a quantidade de dinheiro

envolvida. Ubaldo é amigo de Venâncio, que tem a função utilidade V (w) = w2.Ambas funções de utilidade são funções de utilidade de von Neumann-Morgenstern.

0© Ubaldo é indiferente entre participar da loteria ou receber $1,5 com certeza.

1© Venâncio pagaria no máximo $4 reais pelo ticket.

2© a troca entre os dois amigos é viável, e o preço negociado tem que estar nointervalo √

62

≤ x ≤ 3√

2

3© a aversão absoluta ao risco de Ubaldo é igual a r = 12w .

4© como Ubaldo é avesso ao risco, ele aceitaria qualquer valor que Venânciodesse pelo ticket.

SOLUÇÃO

0© FALSO. O equivalente seguro da loteria para Ubaldo (ESU) deve gerar umautilidade igual à utilidade esperada da loteria, isto é,

√ESU = 0, 5

√6 + 0, 5

√0.

Portanto, esse equivalente segura é igual a 0, 5√

6 6= 1, 5.

1© FALSO. O valor que Venâncio está disposto a pagar pela loteria é dadopelo equivalente seguro dessa loteria, calculado de acordo com sua funçãode utilidade esperada (ESV ):

ES2V = 0, 5 × 62 + 0, 5 × 02

Portanto, devemos ter ESV = 3√

2 6= 4.

2© VERDADEIRO. O valor negociado deve estar entre os valores que Ubaldo eVenâncio atribuem à loteria. Estes são os equivalentes seguros calculadosnos itens anteriores.

3© VERDADEIRO. O coeficiente de aversão absoluta ao risco é dado por −U ′′(w)/U ′(x).No caso da função de utilidade de Ubaldo, ele é portanto igual a

r = −−1

4√

w3

12√

w

=1

2√

w.

4© FALSO. Ele só aceitará valores superiores ao equivalente seguro da loteria.

QUESTÃO 4

SOLUÇÃO DO SEGUNDO SIMULADO DE MICROECONOMIA DE 2009 5

Avalie as seguintes afirmativas, referentes as teorias de produção e custo.

0© Dada a função de produção Y = A K αL1−α , com K e L representando respec-tivamente capital e trabalho, e A, α , e β constantes positivas, podemos dizerque, ao longo de um raio que parte da origem (mantendo a relação capital-trabalho constante), a inclinação das isoquantas de produção é invariante.

1© Tomando a mesma função de produção, a remuneração dos fatores K e Lpor intermédio do valor de suas produtividades marginais esgota o valor doproduto, como mostra o teorema de Euler.

2© Tomando o mesmo caso, podemos afirmar que a curva de custo total é convexaem relação à origem.

3© A taxa marginal de substituição técnica de Y =√

K + L é constante ao longode uma isoquanta.

4© Se o produto marginal de ambos os fatores produtivos for decrescentes, entãoteremos retornos decrescentes de escala.

SOLUÇÃO

0© VERDADEIRO. Trata-se de um função de produção Cobb-Douglas, a qual, sa-bemos, apresenta uma taxa marginal de substituição técnica dada por TMST =−L/K . Como essa taxa define a inclinação da curva de isoquanta, como eladepende apenas da relação trabalho/ capital, e como essa relação é constanteao longo de linhas retas que passam pela origem, concluímos que, ao longode qualquer uma dessas linhas retas, a inclinação das curvas de isoquanta éconstante.

1©2© VERDADEIRO. Como se trata de uma função de produção homogênea de grau

um, o teorema de Euler nos garante que

K∂Y

∂K+ L

∂Y

∂L= Y ,

isso é exatamente o que afirma o enunciado.

3© FALSO. Por se tratar de uma função de produção homogênea de grau um, istoé, com rendimentos constantes de escala, a curva de custo total será uma linhareta passando pela origem, não cabendo, portanto definir sua convexidade ouconcavidade com relação a esse ponto.

4© VERDADEIRO. Se a função de produção é Y =√

K + L, capital e trabalhoserão substitutos perfeitos na produção, isso é, a taxa marginal de substituiçãotécnica entre esses dois fatores será constante, no caso, igual a 1.

5© FALSO. Considere, por exemplo o caso de função de produção Y = K 3/4L3/4.As produtividades marginais do capital e do trabalho serão, respectivamente

PMgK =∂Y

∂K=

34

L3/4

K 1/4e PMgL =

∂Y

∂L=

34

K 3/4

L1/4.

6 ROBERTO GUENA

Como a PMgK é decrescente em relação a K e a PMgL é decrescente emrelação a L, conclui-se que tanto o capital quanto o trabalho apresentamprodutividades marginais decrescentes. Porém, por se tratar de uma funçãode produção do tipo Cobb-Douglas, sabemos que ela é homogênea de grau3/4 + 3/4 = 3/2 > 1 e, portanto apresenta retornos crescentes de escala.Temos portanto, um contra exemplo para a afirmação do enunciado.

QUESTÃO 5

Dez firmas operam em um mercado competitivo, cada uma com uma curva de custosdada por CT (q) = 5 q2 + 10 q. Sabe-se que a demanda é dada por Q = 30 − P.

0© o lucro no equilíbrio é positivo, já que o custo marginal supera o custo médiode cada firma.

1© cada firma produz uma unidade no equilíbrio.

2© se o governo estabelecer um preço máximo nesse mercado igual a $15, o pesomorto resultante será 50.

3© com tal controle de preços, a propina (valor que os demandantes oferecempor fora, além do preço oficial) máxima que os consumidores ofereceriam noequilíbrio é igual a $10.

4© no equilíbrio, 15 unidades que se pretendiam vender ao preço controlado nãosão vendidas.

SOLUÇÃO

0© VERDADEIRO. Desde que produzam quantidades positivas, cada firma de-verá produzir uma quantidade tal que iguale seu custo marginal ao preço demercado. O custo marginal é dado por 10 q + 10 e o custo médio é 5 q + 10.Portanto, sendo o custo marginal superior ao custo médio, visto que, conformeveremos no próximo item, as empresas optaram por produzir em quantidadepositiva, então, concluímos que, no equilíbrio, teremos o preço de mercadosuperior ao custo médio de produção, o que implica uma produção com lucro.

1© VERDADEIRO. Podemos encontrar a função de oferta de uma empresa lem-brando a condição de equilíbrio dessa empresa que requer que ela igualeseu custo marginal ao preço de mercado, ou seja, 10 q + 10 = P. Assim,a quantidade ofertada dessa empresa em função do preço do produto serádada por q = p/10 − 1. A função do oferta do conjunto das empresas éQ = 10q = P − 10. O mercado estará em equilíbrio quando a quantidadeofertada se igualar à quantidade demandada, isto é, P − 10 = 30 − P. Resol-vendo para P, obtemos P = 20 e, substituindo esse valor na função de ofertada empresa individual, optemos, q = 20/10 − 1 = 1.

2© FALSO. A Figura 1 mostra as curvas de demanda e de oferta desse mercado.Caso o preço máximo seja 15, a quantidade ofertada cairá para 15 − 10 = 5,

SOLUÇÃO DO SEGUNDO SIMULADO DE MICROECONOMIA DE 2009 7

de tal sorte que o peso morto resultante será dado pela área destacada nacor cinza. Esta é igual a (10 × 5)/2 = 25 6= 50.

3© VERDADEIRO. O preço sobre a curva de demanda associado à quantidadetransacionada com o controle de preço (5) é 25. Portanto, os consumidoresestão dispostos a pagar até $10 acima do preço controlado de $15 para obteruma unidade adicional do bem.

4© FALSO. Ao preço controlado, a quantidade demandada será de 30 − 15 = 15,ou seja, 10, e não 15 unidades acima da quantidade ofertada.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Q = 30 − P

Q = P − 10

FIGURA 1. As curvas de oferta e demanda da questão 5

QUESTÃO 6

Uma firma com custos de produção dados por CT (q) = q2, opera em um mercadocomo um monopólio sob concessão de uma agência reguladora. A curva de demandadesse mercado é expressa por q = 100−p. Como previu Stigler, a agência, em vez deregular o preço de forma a gerar eficiência alocativa nesse mercado, é capturada pelafirma, fixando o preço de forma a maximizar o lucro da mesma. Em troca, metade dolucro se torna doação de campanha para o partido no poder. Calcule quanto recebeo partido. Divida o resultado por 10 e desconsidere as casas depois da vírgula.

SOLUÇÃO

O custo marginal do monopolista é CMg(q) = d q2

dq = 2q. Sua curva de demanda

inversa é p(q) = 100 − q, sua receita total é RT (q) = p(q) q = 100q − q2 e, portanto

8 ROBERTO GUENA

sua receita marginal é RMg(q) = 100 − 2q. Como, ao maximizar seu lucro o monopo-lista deve escolher o nível de produção que iguala receita marginal a custo marginal,temos que, chamando de q∗ o nível de produção que maximiza o lucro do monopolista,

RMg(q∗) = CMg(q∗) ⇒ 100 − 2q∗ = 2q∗ ⇒ q∗ = 25.

Desse modo, o lucro máximo do monopolista será

RT (25) − CT (25) = 100 × 25 − 252 − 252 = 1.250, 00

Se metade desse lucro for repassada ao partido, ele receberá 625. Dividindo essevalor por dez e ignorando os dígitos à direita da vírgula, obtemos a resposta procurada62.1

QUESTÃO 7

Considere um mercado no qual a curva de demanda é dada por Q = 90 − P. Asfirmas que operam nele possuem custos marginais constantes iguais a $60.

0© Se houver 3 firmas concorrendo em um modelo de Cournot, a quantidade totalproduzida será Q = 22, 5 e o preço será P = 67, 5.

1© Se as firmas competirem sob um monopólio de Bertrand, o preço será igual a$60.

2© Um monopolista atuando nesse mercado produziria 15 unidades.

3© a produção eficiente é igual a 30.

4© o peso morto do monopólio é igual a 112,5.

SOLUÇÃO

0© VERDADEIRO. A função de demanda inversa é P = 90 − Q. Se há trêsempresas operando nesse mercado, podemos escrever Q = q1 +q2 +q3, sendoqi a quantidade produzida pela i−ésima empresa (i = 1, 2, 3), de modo que afunção de demanda inversa pode ser reescrita como P = 90 − q1 − q2 − q3.A receita total da empresa 1 é RT1 = (90 − q1 − q2 − q3)q1, de tal sorte quesua receita marginal é RMg1 = 90−2q1 −q2 −q3. Para maximizar seu lucro,dadas as quantidades produzidas pelas outras empresas, essa empresa deveigualar sua receita marginal ao seu custo marginal:

90 − 2q1 − q2 − q3 = 60

De modo análogo, obtemos as condições de maximização de lucro das empre-sas 2 e 3

90 − q1 − 2q2 − q3 = 60

e

90 − q1 − q2 − 2q3 = 60

1Note que o gabarito estava errado, pois dava como resposta correta 61.

SOLUÇÃO DO SEGUNDO SIMULADO DE MICROECONOMIA DE 2009 9

O equilíbrio de Cournot é obtido ao se resolver o sistema formado por essastrês equações. Multiplicando-se a primeira delas por 3 e subtraindo-se asduas outras equações obtemos

90 − 4q1 = 60 ⇒ q1 = 7, 5.

De modo análogo, obtemos o mesmo valor para q2 e q3. Assim, no equilíbrio deCournot, devemos ter q1 = q2 = q3 = 7, 5 e Q = 3×7, 5 = 22, 5. Substituindoesse valor de Q na função de demanda inversa, chegamos a P = 67, 5.

1© VERDADEIRO. Como sabemos, no equilíbrio de Bertrand, todas as empresaspraticam o preço igual ao custo marginal de produção.

2© VERDADEIRO. A função de demanda inversa é P = 90−Q. A essa função dedemanda inversa está associada a função de receita marginal RMg = 90−2Q.Como o monopolista escolhe a quantidade que iguala essa receita marginalao seu custo marginal, temos

90 − 2Q = 60 ⇒ Q = 15.

3© VERDADEIRO. A quantidade eficiente é a que iguala o custo marginal aopreço de demanda. Logo ela deve ser tal que

60 = 90 − Q ⇒ Q = 30.

4© VERDADEIRO. O peso morto do monopólio é dado pela área abaixo da curvade demanda e acima da curva de custo marginal calculada entre a quantidadede monopólio e a quantidade eficiente, ou seja

∫ 30

q=15(90 − q − 60)dq =

∫ 30

q=15(30 − q)dq =

[30q − q2

2

]30

q=15

= 30 × 30 − 302

2−

(30 × 15 − 152

2

)= 112, 5.

QUESTÃO 8

Uma firma com função de produção dada por Y =√

KL, vende seu produto aum preço p = $10, determinado em um mercado competitivo. Essa firma emprega100 unidades de capital no curto prazo e se depara com preços dos fatores L e Krespectivamente w e r. A firma, monopsonista no mercado de trabalho, se depara comuma curva de oferta de trabalho dada por w(L) = 9 + 2L. Avalie as afirmativas:

0© no equilíbrio, o valor do produto marginal do trabalho supera o valor do customarginal do trabalho para a firma.

1© o equilíbrio é ineficiente, já que o valor do produto marginal do trabalhosupera o valor pago ao trabalho em usos alternativos.

2© quantidade empregada pela firma maximizadora de lucros é igual a L = 6.

3© o salário pago será w = $16.

4© se a quantidade de capital aumentar, a firma demandará mais trabalhadores,coeteris paribus.

10 ROBERTO GUENA

SOLUÇÃO

0© FALSO. Em equilíbrio, a empresa monopsonista deve contratar uma quanti-dade do fator de produção de modo a igualar o custo marginal desse fator deprodução ao valor de seu produto marginal.

1© VERDADEIRO. No equilíbrio do monopsonista, o valor que ele paga ao fatorde produção é superior a seu preço de oferta. Este pode ser interpretadocomo custo de oportunidade desse fator.

2© FALSO. O produto marginal do trabalho é PMgL = 12

√KL . Como o exercício

informa que K = 100, temos PMgL = 5/√

L. Além disso, sendo p = 10, o valordo produto marginal do trabalho será dado por p PMgL = 50/

√L. O custo com

a contratação do trabalho é L w(L) = 9L+2L2, e, portanto o custo marginal dotrabalho é 9 + 4L. Para que o lucro da empresa seja maximizado, esse customarginal deve ser igualado ao valor do produto marginal do trabalho:

9 + 4L =50√

L. (5)

Felizmente, não precisamos resolver essa equação para L, mas apenas verificarque ela não é atendida para L = 6. Para isso, considere que L seja igual a 6.Então 9 + 4L = 33 e 50/sqrtL = 50/sqrt6 que não é um número racional e,portanto, é diferente de 33.

3© FALSO. Como w(L) = 9 + 2L, supondo w = 16, então 16 = 9 + 2L e, portanto,L = 7/2. Mas esse valor não satisfaz a condição (5) de maximização de lucro.Portanto, w = 16 não pode ser o salário praticado quando a empresa maximizaseu lucro. Aqui tivemos mais um errinho de gabarito (foi mal!).

4© VERDADEIRO. Como PMgL = 12

√KL , um aumento em K leva a um aumento

no valor do produto marginal do trabalho, de tal sorte que, para manter aigualdade entre esse valor e o custo marginal desse fator, a empresa deveráaumentar o emprego de trabalho.

QUESTÃO 9

Considere o seguinte jogo: dois jogadores, A e B, devem escolher um número realqualquer. Se o número escolhido pelo jogador A for igual à metade da média entreesse número e o número escolhido pelo jogador B, então, o jogador recebe um prêmiode R$ 1.000,00. O jogador B recebe um prêmio de igual valor caso o número por eleescolhido seja igual ao quadrado do número escolhido pelo jogador A. Acerca dessejogo é correto afirmar que:

0© Não é possível encontrar equilíbrios de Nash para esse jogo, visto que onúmero de estratégias é incontável e que, portanto, o jogo não pode ser re-presentado matricialmente.

1© Se o jogo for jogado sequencialmente, com o jogador B escolhendo seu númeroapós o jogador A ter anunciado o seu, então haverá apenas um equilíbrio deNash perfeito em subjogos.

SOLUÇÃO DO SEGUNDO SIMULADO DE MICROECONOMIA DE 2009 11

2© Se os jogadores escolherem seus números simultaneamente, então haverá doisequilíbrios de Nash.

3© Caso o jogo seja jogado sequencialmente, com o jogador A escolhendo pri-meiramente seu número, então, um equilíbrio de Nash perfeito em subjogosse dá quando o jogador A escolhe a estratégia “escolher o número zero” e ojogador escolhe a estratégia “para qualquer número xA escolhido pelo jogadorA, escolher o número x2

A.”

4© Caso o jogo seja jogado sequencialmente, com o jogador A escolhendo primei-ramente seu número, então, um equilíbrio de Nash perfeito em subjogos se dáquando o jogador A escolhe a estratégia “escolher o número 3” e o jogadorB escolhe a estratégia “para qualquer número xA escolhido pelo jogador ,escolher o número x2

A.”

SOLUÇÃO

Para resolver esse exercício, vamos identificar as funções de melhor resposta dosdois jogadores, determinar os equilíbrios de Nash do jogo e os equilíbrios de Nashperfeitos em subjogos para o caso em que o jogo não seja jogado simultaneamente,mas com o jogador A fazendo o primeiro movimento.

Sejam xA o número escolhido pelo jogador A e xB o número escolhido pelo jogadorB. O jogador A dá uma melhor resposta para o jogador B quando xA é metade damédia entre xA e xB. Portanto a função de melhor resposta do jogador A é dada por

xA =xA + xB

2,

ou, equivalentemente,

xA =xB

3.

Como, para ganhar o prêmio, o jogador B precisa escolher um número que é oquadrado do número escolhido pelo jogador A, sua função de melhor resposta é,simplesmente xB = x2

A.Para encontrar o equilíbrio de Nash do jogo, basta resolver o sistema de equações

formado pelas duas funções de melhores respostas:

xA =

xB

3xB = x2

A

Substituindo a segunda equação na primeira, obtemos xA = x2A/3, o que admite duas

soluções, a saber, xA = 0 e xA = 3. Para cada uma dessas soluções devemos calcularo valor de xB. Se xA = 0, então xB = o2 = 0. Se xA = 3, então xB = 32 = 9. Assimos dois equilíbrios de Nash, representados pelo par (xA, xB) são (0, 0) e (3, 9).

O que vai acontecer se mudarmos a estrutura do jogo, fazendo com que o jogador Aescolha e anuncie seu número antes do jogador B fazer sua escolha? Para determinaros equilíbrios de Nash perfeitos em subjogos nesse contexto, lembremos que estessão obtidos quando o primeiro jogador antecipa a função de melhor resposta do outrojogador e usa essa função para calcular sua estratégia ótima. Assim, o jogador Apretende escolher um número xA igual à metade da média entre xA e xB antecipandoque o jogador B jogará com a estratégia de escolher xB = x2

A. Então ele deve escolher

12 ROBERTO GUENA

xA tal que xA = xB/3 = x2A/3, o que tem as mesmas duas soluções xA = 0 ou xA = 3.

Então os equilíbrios de Nash perfeitos em subjogos são (0, x2A) e (3, x2

A).

0© FALSO. Conforme, acabamos de ver, é possível computar um equilíbrio deNash, mesmo quando o número de estratégias disponível para cada jogador éincontável.

1© FALSO. Também vimos que há dois equilíbrios de Nash perfeitos em subjogos.

2© VERDADEIRO. Vimos que esses equilíbrios são (0, 0) e (3, 9).

3© VERDADEIRO. Esse é um dos equilíbrios de Nash perfeito em subjogos queencontramos.

4© VERDADEIRO. Esse é o outro equilíbrio.

QUESTÃO 9

(Desculpem a nossa falha: duas questões com o mesmo número!)Considere o jogo com a seguinte representação estratégica:

Jogador 2E D

Jogador 1A 4, 4 0, 0B 0, 0 2, 2

Pode-se afirmar que:

0© O jogo apresenta dois equilíbrios de Nash.

1© Jogar A é estratégia dominante para o jogador 1.

2© O jogador 2 não possui estratégia dominante.

3© O jogo apresenta um equilíbrio de Nash em estratégias mistas no qual ojogador 1 escolhe A com probabilidade 1/3 e o jogador 2 escolhe E comprobabilidade 1/3.

4© Nenhum equilíbrio de Nash em estratégias puras desse jogo é Pareto eficiente.

SOLUÇÃO

0© VERDADEIRO. Há dois equilíbrios de Nash: (A, E) e (B, D).

1© FALSO. O jogador A não possui estratégia dominante visto que a melhorescolha desse jogador caso o jogador B escolha E é A e, caso o jogador Bescolha D, é B.

2© VERDADEIRO. Não há uma estratégia que seja a melhor resposta do jogador2 independentemente da escolha do jogador 1, pois se 1 escolha A, a melhorresposta de 2 é E e, se 1 escolhe B, a melhor resposta de 2 é D.

3© VERDADEIRO. Vimos que o equilíbrio de Nash em estratégias mistas nãodegeneradas ocorre quando os dois jogadores escolhem estratégias mistasde tal modo que, para cada jogador é indiferente que estratégia escolher.

SOLUÇÃO DO SEGUNDO SIMULADO DE MICROECONOMIA DE 2009 13

Quando o jogador 1 escolhe A com probabilidade de 1/3, o ganho esperadodo jogador 2 caso ele escolha E será (1/3) × 4 + (2/3) × 0 = 4/3 e, casoele escolha D, (q/3) × 0 + (2/3) × 2 = 4/3. Como os dois ganhos esperadossão iguais, ele é indiferente entre escolher E ou D ou qualquer estratégiamista baseada nessas duas estratégias. Do mesmo modo, caso o jogador 2escolha jogar E com probabilidade de 1/3, os ganhos esperados do jogador1 ao escolher A ou B serão respectivamente, (1/3) × 4 + (2/3) × 0 = 4/3 e(1/3) × 0 + (2/3) × 2 = 4/3, de tal sorte que o jogador 1 é indiferente entreescolher A, B ou qualquer estratégia mista.

4© FALSO. O perfil de estratégias (A, E) constitui um equilíbrio de Nash queé Pareto superior a qualquer outro resultado possível do jogo e, portanto,eficiente.

QUESTÃO 10

Robinson e Pery encontram-se isolados em uma ilha. Robinson possui 10 peixes enenhum coco e Pery possui 10 cocos e nenhum peixe. A função de utilidade Robinsoné Ur(Cr, Fr) = min{Cr, Fr} na qual Cr e Fr são as quantidades que ele consome decoco e peixe, respectivamente. Já a função de utilidade de Pery é Up = Cp + ln Fp

sendo Cp a quantidade que ele consome de coco e Fp a quantidade que ele consome depeixe. A respeito da economia de trocas formada nessas condições, podemos afirmarque:

0© Se, na caixa de Edgeworth que descreve as alocações factíveis e sem des-perdício de consumo, representarmos no eixo horizontal o consumo de coco e,no eixo vertical, o consumo de peixe, a curva de contrato será uma linha retahorizontal.

1© A alocação de consumo descrita por Cr = 2, Fr = 2, Cp = 8 e Fp = 8 é Paretoeficiente.

2© Há alocações Pareto eficientes nas quais Cp 6= Fp.

3© No equilíbrio geral competitivo, Pery consome apenas um coco e um peixe.

4© Notando-se por pC o preço do coco e por pF o preço do peixe, temos que, noequilíbrio geral competitivo, pC

pF= 1.

SOLUÇÃO

0© FALSO. A curva de contrato ou conjunto de Pareto será, na verdade, um linhacom inclinação de 45% unindo as duas origens. Em todos os pontos sobreessa linha reta teremos Cr = Fr e Cp = 10 − Cr = 10 − Fr = Fp. A partir deuma dessas alocações, qualquer transferência de um bem de Robinson paraPery irá implicar a redução de Ur(Cr, Fr) = min{Cr, Fr}, mesmo que essatransferência seja acompanhada de uma transferência do outro bem de Perypara Robinson. Logo, tomando como ponto de partida qualquer alocação sobrea linha reta que une as duas origens, não é possível aumentar a utilidade de

14 ROBERTO GUENA

Pery sem reduzir a utilidade de Robinson. Também, a partir dessa alocação,não é possível aumentar a utilidade de Robinson sem reduzir a de Pery, pois,para aumentar a utilidade de Robinson é necessário fazer uma transferênciados dois bens de Pery para Robinson. Concluímos, portanto, que todos ospontos sobre essa diagonal representam alocações eficientes.

Todos os pontos não contidos nessa diagonal, por outro lado, representamalocações não eficientes, pois em qualquer um desses pontos teremos ou Cr >Fr ou Fr > Cr . Caso Cr > Fr , então uma pequena transferência de coco deRobinson para Pery, não irá alterar a utilidade de Robinson (Ur(Cr, Fr) =min{Cr, Fe}), mas aumentará a utilidade de Pery (Up(Cp, Fp) = Cp + ln Fp)que é monotônica. De modo análogo, concluímos que, caso Fr > Cr serápossível aumentar a utilidade de Pery sem alterar a utilidade de Robinson.Portanto, para qualquer alocação representada por um ponto fora da linhareta que une as duas origens é ineficiente e, consequentemente, não pertenceà curva de contrato.

1© VERDADEIRO. Essa alocação pertence à curva de contrato que, conformeargumentamos no item anterior é a linha reta unindo as duas origens, definidapor Cr = Fr e Cp = 10 − Cr = 10 − Fr = Fp.

2© FALSO. Caso Cp 6= Fp, ou temos uma alocação com desperdício, ou umaalocação na qual Cr = 10 − Cp 6= 10 − Fp = Cp. No último caso, vimos no,item 0, que se trata de uma alocação ineficiente. Também é ineficiente umaalocação com desperdício, visto que as preferências de Pery são monotônicase, portanto, sempre é possível aumentar a utilidade de Pery, sem afetar ede Robinson, alocando para o consumo de Pery qualquer unidade de um dosbens não alocada para o consumo de Robinson.

3© FALSO. (Ups, mais um erro no gabarito). Visto que Robinson sempre deman-dará quantidades iguais de peixe e coco, sua demanda de peixe será dadapor

Fr =10 pF

pF + pC=

101 + pc

pf

Já a demanda de Pery por peixes, pode ser obtida igualando-se sua taxamarginal de substituição ao preço relativo:

∂Up/∂Cp

∂Up/∂Fp=

pC

pF⇒ 1

1/Fp=

pC

pF⇒ Fp =

pc

pF

Para que o mercado de peixe esteja em equilíbrio, é necessário que a somadessas demandas se iguale à dotação inicial de peixe (= 10):

101 + pc

pf

+pC

pF= 10

Resolvendo essa condição para o preço relativo, pC /pF , obtemos

pC

pF= 9.

Pela lei de Walras, esse preço também deve equilibrar o mercado de coco.

SOLUÇÃO DO SEGUNDO SIMULADO DE MICROECONOMIA DE 2009 15

Substituindo esse preço relativo nas funções de demanda por peixe, obte-mos Fr = 1 e Fp = 9. Como Robinson considera os dois bens complemen-tos perfeitos, a quantidade que ele demandará de coco será igual à quanti-dade que ele demanda de peixe: Cr = Fr = 1 e, portanto, Pery demandará10 − Cr = 10 − 1 = 9 unidades de coco.

Desse modo, o equilíbrio geral competitivo será caracterizado por pC /pF =9, Fr = Cr = 1 e Fp = Cp = 9.

4© FALSO. Na resolução do item anterior, vimos que, o preço relativo de equilíbrioé pC

pF= 9.

QUESTÃO 11

É correto afirmar que:

0© Do ponto de vista da justiça social, uma alocação Pareto eficiente é sempremais desejável que outra alocação Pareto ineficiente.

1© O Primeiro Teorema do Bem Estar Social só é válido caso as preferências dosconsumidores sejam convexas.

2© De acordo com o Segundo Teorema do Bem Estar Social, apenas as aloca-ções obtidas por um mecanismo de mercado perfeitamente competitivo sãoeficientes.

3© Se todos os indivíduos de uma sociedade apresentam preferências completas etransitivas, então, a regra de escolha entre alternativas sociais de acordo comvotação dessas alternativas duas a duas também deverá gerar uma ordenaçãocompleta e transitiva dessas alternativas.

4© O Teorema de Arrow estabelece que a única forma de ordenar alternativassociais é através de uma função de bem-estar social bemthamita.

SOLUÇÃO

0© FALSO. Embora, o termo “justiça social” seja um tanto vago, usualmente eleimplica a necessidade de algum grau de equidade entre os agentes. Umaalocação pode ser Pareto eficiente, mas extremamente desigual. De tal sorteque, do ponto de vista da justiça social pode ser preferível uma outra alocaçãomenos desigual ainda que Pareto ineficiente.

1© FALSO. A hipótese de preferências convexas é necessária apenas para garantiro validade do segundo teorema do bem estar social.

2© FALSO. O segundo teorema do bem estar social estabelece que, supondo-seconvexidade das preferências e dos conjuntos de produção, qualquer alocaçãoeficiente é um equilíbrio de mercado competitivo associado a uma redistribui-ção adequada das dotações iniciais.

3© FALSO. O paradoxo de Condorcet constitui um contra-exemplo a essa afirma-ção.

16 ROBERTO GUENA

4© FALSO. O teorema de Arrow apenas estabelece que, uma regra de escolhasocial construída a partir de preferências individuais completas e transitivassobre um conjunto qualquer de alternativas que seja, essa regra, completae transitiva e independente de alternativas irrelevantes é uma ditadura. Issonão implica em absoluto que não haja inúmeras formas de ordenar alternativassociais. Implica apenas que essas alternativas ou não são baseadas em pre-ferências individuais, ou violam o princípio da independência das alternativasirrelevantes ou ainda que elas não geram ordenações completas e transiti-vas a partir de quaisquer preferências individuais sobre qualquer conjunto deescolha.

QUESTÃO 12

Em um mercado de automóveis usados há cem vendedores e cem compradores. Cadavendedor oferta apenas um automóvel e cada comprador está disposto a comprar umautomóvel. A qualidade dos automóveis é expressa por um indicador numérico e épossível ordenar esses automóveis por um índice i, i = 1, 2, . . . , 100, de tal sorteque a qualidade do i-ésimo automóvel é igual a i. Em outras palavras, a qualidadedo automóvel 1 é 1, a qualidade do automóvel 2 é 2, e assim por diante. Cadacomprador está disposto a pagar por um automóvel de qualidade q um valor igual a1, 8q. Cada vendedor aceita vender seu automóvel pelo valor q, sendo q a qualidadedesse automóvel. Os vendedores conhecem a qualidade de seu automóvel, mas oscompradores não são capazes de identificar essa qualidade, embora tenham acesso atodas as informações aqui apresentadas. Determine o número de automóveis vendidosnesse mercado.

SOLUÇÃO

Seja q∗ a qualidade do melhor automóvel vendido nesse mercado. Então os compra-dores, mesmo desconhecendo a qualidade desse automóvel, estão dispostos a pagarum preço maior ou igual a q∗ por automóvel. Esse preço, todavia, deve ser inferior aq∗ +1, pois, caso contrário, automóveis com qualidade superior a q∗ seriam colocadosà venda. Nessas condições, todos os automóveis com qualidade inferior a q∗ tam-bém serão colocados à venda, de tal sorte que a qualidade esperada dos automóveiscolocados à venda será (1 + 2 + . . . + q∗)/q∗ = (q∗ + 1)/2. Supondo que os com-pradores sejam neutros frente ao risco (o enunciado não deixou isso claro), o preçoque os compradores estão dispostos a pagar por um automóvel colocado à venda seráp = 1, 8(q∗ + 1)/2 = 0, 9(q∗ + 1). Assim, q∗ deve ser o maior valor que ainda satisfazas condições

q∗ ≤ 0, 9(q∗ + 1) e q∗ + 1 > 0, 9(q∗ + 1).

A segunda condição é atendida para qualquer valor positivo de q∗. Resolvendo, aprimeira condição, encontramos q∗ ≤ 9. Como q∗ deve ser o maior valor que satisfazesse condição, encontramos q∗ = 9.(Outro erro de gabarito! Depois dessa, não voumais reclamar dos gabaritos ANPEC).

SOLUÇÃO DO SEGUNDO SIMULADO DE MICROECONOMIA DE 2009 17

QUESTÃO 13

Considere um país no qual todos os habitantes têm a mesma função de utilidade,qual seja, U(x, g) = x − 1

1−g na qual g é a probabilidade de que o habitante contraiaa gripe suína e x representa a renda disponível para a compra de bens privados. Umavacina contra a gripe suína foi desenvolvida e tem eficácia de 100%, ou seja, paraqualquer pessoa que tome essa vacina, g = 0. O custo de produzir e administraruma dose dessa vacina é c. Além disso, quanto maior o número de pessoas vacinadasmenor a chance de que alguém não vacinado contraia a doença. De fato, para quemnão tomou a vacina, a probabilidade de que essa pessoa contraia a gripe suína é den−v2n sendo v o número de habitantes vacinados e n o número total de habitantes (n).

Nesse contexto, pode-se afirmar que:

0© Se a quantidade de pessoas vacinadas for definida através de um mecanismode mercado em concorrência perfeita, então, qualquer que seja c, o número depessoas vacinadas será eficiente no sentido de Pareto.

1© Caso c = 1, então o número eficiente de pessoas vacinadas será igual ao totalda população.

2© Caso c = 4, então, de acordo com o critério de eficiência de Pareto, 50% dapopulação deverá ser vacinada.

3© Caso c = R$2, 25, então caso a vacina seja vendida à população, para induzirque o número ótimo de vacinas seja aplicado, o governo deve subsidiar o preçoda vacina de modo a fazer com que ela seja oferecida ao preço de R$ 1,50por aplicação.

4© Caso a vacina seja vendida a R$ 1,50, então toda a população optará porcomprar a vacina.

SOLUÇÃO

Houve um erro na escolha das funções do exercício, de tal sorte que ele ficou maistrabalhoso do que um exercício típico da ANPEC. Ainda assim, é possível resolvê-lo.Para tal, vamos nos perguntar que percentual da população deverá ser vacinado emdois contextos: o de escolha social ótima e o de escolha privada a partir de um preçop por unidade de vacina.

Comecemos com a escolha individual. A utilidade do indivíduo que não toma avacina é U(x, g) = x − 1

1−g . Reescrevamos g = n−v2n = 1−γ

2 , em que γ = v/n é aparcela vacinada da população, de tal sorte que a função de utilidade do indivíduonão vacinado é U = x − 2

1+γ. A utilidade de um indivíduo vacinado, para o qual g = 0,

é x − 1 − p. Caso as pessoas decidam individualmente se tomam ou não a vacina,haverá um equilíbrio quando a parcela da população vacinada for tal que não hajamais ganho para uma pessoa ainda não vacinada adquirir a vacina, isto é, γ deveresolver

x − 1 − p = x − 21 + γ

.

18 ROBERTO GUENA

Com o que encontramos o valor de γ quando as pessoas decidem individualmente setomam ou não a vacina ao preço p:

γ =1 − p

1 + p

Como γ deve ser não negativo, corrigimos a expressão acima para fazer γ = 0 casop > 1: {

γ = 1−p1+p caso p ≤ 1

0 caso p > 1.(6)

A imunização contra a gripe suína gera externalidades positivas, visto que, de acordocom os dado do exercício, quanto maior é o número de pessoas vacinadas, menor éa probabilidade de que uma pesso não vacinada contraia a doença. Desse modo,se uma parcela γ da população é vacinada, há um benefício direto sobre a utilidadedas pessoas vacinadas e um benefício indireto que é decorrente do impacto dessavacina sobre o risco de pessoas não vacinadas contraírem a doença. A utilidade deuma pessoa imunizada, para a qual γ = 0, é U(x, 0) = x − 1/(1 − 0) = x − 1. Obenefício direto para cada pessoa vacinada é dado pela diferença entre essa utilidadee a utilidade U(x, 1/2) = x − 2 que ela teria caso não houvesse a vacina (caso γ = 0):

x − 1 − (x − 2) = 1.

A externalidade gerada pelo fato de que uma parcela γ da população é vacinada, porpessoa não vacinada, é a diferença entre a utilidade calculada para o risco de contraira doença quando a parcela γ da população é imunizada menos a utilidade calculadapara o risco de contrair a doença quando não houve imunização:

x − 21 + γ

− (x − 2) = 2 − 21 + γ

.

Com n é a população total e γ é a parcela da população imunizada, temos que a somados benefícios diretos é γ n × 1 = n γ e a soma dos benefícios via externalidadespositivas é

n(1 − γ)

(2 − 2

1 + γ

).

Para que γ seja eficiente, é necessário que essa parcela maximize a diferença entreos benefícios totais gerados pela vacinação e o custo da vacinação dado por c×n×γ:

n γ + n(1 − γ)

(2 − 2

1 + γ

)− n γ c = n

(2 − γ − 2

1 − γ

1 + γ− γ c

)

Ao derivar essa expressão em relação a γ e igualar o resultado a zero, obtemos oresultado de máximo de primeira ordem

4(γ + 1)2

− c − 1 = 0.

Resolvendo esse igualdade para γ, encontramos que parcela da população deve servacinada em um arranjo eficiente:

γ =2√

c + 1− 1

SOLUÇÃO DO SEGUNDO SIMULADO DE MICROECONOMIA DE 2009 19

Como γ não pode ser negativo, corrigimos essa expressão, de modo a fazer γ = 0 caso2√c+1

− 1 < 0:

γ =

{2√c+1

− 1 caso 0 ≤ c ≤ 3

0 caso c > 3(7)

Combinando (6) e (7), podemos ademais, calcular qual deve ser o preço capaz deinduzir as pessoas a se vacinarem até que o nível ótimo de vacinação seja atingido:

1 − p

1 + p=

2√c + 1

− 1.

O que nos dá o preçop =

√c + 1 − 1. (8)

0© FALSO. Em um mecanismo de mercado em concorrência perfeita, o preço éigual ao custo médio c. Esse não é todavia, o preço necessário para induzir onúmero ótimo de vacinações, a menos que c = 0. Para ver isso, você pode usaro resultado (8) ou, simplesmente, observar que, na presença de externalidadespositivas, o preço necessário para induzir o comportamento eficiente por partedos agentes deve ser dado pelo custo marginal do bem menos o valor dosbenefícios externos gerados por seu consumo.

1© FALSO. Observando (7), notamos que, para que o nível de γ eficiente sejaigual a 100%, é necessário que o custo da dose de vacina seja zero.

2© FALSO. Novamente usando (7), constatamos que, caso c = 5 o nível ótimo deγ é zero.

3© FALSO. Usando (8), caso c = 2, 25 = 9/4, o preço deverá ser

√1 + 2, 25 − 1 =

√132

− 1 6= 1, 5.

4© FALSO. Verificando (6), observamo que, caso p > 1, na solução de mercado,γ = 0.

QUESTÃO 14

É correto afirmar que:0© Por conseguir capturar todo excedente do consumidor, um discriminador per-

feito de preço é ineficiente.

1© É possível que uma situação na qual um monopolista pratica discriminaçãode preços de terceiro grau seja Pareto superior à situação na qual o mesmomonopolista não discrimina seus preços.

2© No modelo de discriminação de preços de segundo grau ou precificação nãolinear, o monopolista discriminador é capaz de identificar o tipo de cada con-sumidor e cobrar um preço diferenciado segundo esse tipo.

3© Caso, em equilíbrio, o preço praticado por um monopolista discriminador deterceiro grau no mercado A seja superior ao preço por ele praticado no mercadoB, pode-se concluir que a elasticidade preço da demanda, calculada para os

20 ROBERTO GUENA

níveis de preços praticados pelo monopolista, no mercado A é inferior, emmódulo, à elasticidade preço da demanda no mercado B.

4© Um monopolista pratica discriminação de preços de terceiro grau de modo amaximizar seu lucro. Conclui-se que a quantidade que ele vende para seumenor consumidor é eficiente.

SOLUÇÃO

0© FALSO. O discriminador perfeito opera com eficiência em seu mercado, maxi-miza e se apropria do excedente social.

1© VERDADEIRO. Considere, por exemplo, o caso em que o monopolista temcusto marginal constante e igual a 1 e se defronta com uma curva de demandainversa pa = 11 − qa no mercado a e com uma curva de demanda inversapb = 3 − qb no mercado b. Caso ele não seja capaz de discriminar preços,ele irá operar apenas no mercado b praticando um preço pb = 6. Caso elepossa discriminar preços entre os dois mercado, ele continuará praticandoo preço pb = 6 no mercado b, de tal sorte que a discriminação não afetao bem estar dos consumidores nesse mercado, e passará a praticar o preçopa = 2 no mercado a, gerando um pequeno ganho para alguns consumidoresdesse mercado e aumentando ligeiramente seu lucro. Assim a possibilidade dediscriminar preços fez com que alguns consumidores no mercado a, bem comoo monopolista, ficassem melhores sem piorar a situação dos consumidores nomercado b. Isso configura uma melhoria paretiana.

2© FALSO. O discriminador de preços de segundo grau não é capaz de identificaro tipo do consumidor, razão pela qual ele opta por precificar de acordo com aquantidade vendida e não de acordo com o tipo de consumidor.

3© VERDADEIRO. De fato, o discriminador de preços de terceiro grau praticapreços mais elevados no mercado cuja demanda é menos elástica.

4© FALSO. O discriminador de terceiro grau pratica um preço superior ao customarginal em todos os mercados em que opera, a menos que a demanda emalgum mercado seja infinitamente elástica. Desse modo, via de regra, elevende quantidades ineficientes para todos seus consumidores.

QUESTÃO 15

Considere uma economia de trocas com apenas três bens, os bens 1, 2 e 3. Quandoos preços desses bens são, respectivamente, R$ 4,00, R$ 3,00 e R$ 1,00, o excessode demanda pelo bem 1 é igual a 3 e o excesso de demanda pelo bem 2 é igual a ˘4.Determine o excesso de demanda pelo bem 3.

SOLUÇÃO DO SEGUNDO SIMULADO DE MICROECONOMIA DE 2009 21

SOLUÇÃO

Pela lei de Walras, a soma dos valores dos excessos de demandas em todos osmercados é identicamente igual a zero. O valor do excesso de demanda no mercado 1é 4×3 = 12, o valor do excesso de demanda agregado no mercado 2 é 3×(−4) = −12,e o valor do excesso de demanda agregado no mercado 3 é 1 x, sendo x o excesso dedemanda agregado que procuramos. Aplicando a lei de Walras:

12 − 12 + x = 0 ⇒ x = 0.

CURSO PREPARATÓRIO ANPEC – PROANPEC