1) Em um estacionamento há carros e motos. O número de motos é o triplo do número de carros. Somando-se o número de pneus, obtemos 60. Qual é o número de carros e de motos neste estacionamento? Os estepes não são considerados.

 a) 18 carros e 6 motos

 b) 5 carros e 15 motos

 c) 6 carros e 18 motos

 d) 21 carros e 7 motos

 e) 7 carros e 21 motos

Para a resolução deste problema iremos recorrer a álgebra. Recorrendo a álgebra iremos montar equações onde os valores desconhecidos serão substituídos por letras. Como desconhecemos o número de motos e de carros, iremos utilizar a letra "m" para representar as motos e a letra "c" para representar os carros.O enunciado diz que o número de motos é o triplo do número de carros. Podemos então escrever a seguinte equação:

O enunciado também nos diz que 60 é o número total de pneus no estacionamento. Como sabemos que as motos possuem 2 pneus e os carros possuem 4, podemos montar a seguinte equação:

Esta equação indica que o número de motos multiplicado pelo número de pneus que elas possuem, somado ao número de carros multiplicado pelo número de pneus dos mesmos, é igual ao número total de pneus no estacionamento.Sabemos que m é igual a 3p, então vamos substituir m por 3p na segunda equação:

Agora iremos isolar a incógnita p no primeiro membro, para obtermos o total de carros no estacionamento:

Já descobrimos que 6 é a quantidade de carros, para descobrimos a quantidade de motos, basta substituirmos na primeira equação, p pelo seu valor numérico:

Portanto:c é a alternativa correta.

2) Em um armário cabem exatamente, sem sobrar espaço vazio, 24 caixas pequenas, ou 12 caixas grandes. Se nele eu colocar 5 caixas das grandes, quantas ainda poderei colocar das pequenas para ocupar todo o espaço restante?

 a) 11

 b) 12

 c) 13

 d) 14

 e) 15

Neste tipo de problema você deve encontrar a fração do armário que ainda não foi ocupada. Como o armário todo comporta até 12 caixas das grandes e só foram colocadas nele 5 caixas deste tipo, então ainda há espaço para 7 caixas das grandes:

Logo a fração do armário que ainda não foi utilizada é de 7 em 12, ou seja:

Por fim, resta-nos calcular quanto é sete doze avos das 24 caixas pequenas:

Assim sendo:d é a alternativa correta.

3) Estou fazendo uma viagem de moto e já percorri 5/17 do trajeto, tendo consumido de 5 litros de combustível. Quantos reais gastarei para fazer todo o percurso, sabendo-se que o litro do combustível custa R$ 3,00?

 a) R$ 51,00

 b) R$ 35,00

 c) R$ 102,00

 d) R$ 42,00 

 e) R$ 59,00

Como já houve um consumo de 5 litros de combustível, o gasto até então foi de quinze reais, já que três reais é o preço do litro:

Se soubéssemos a quantia total gasta para fazer o percurso e a multiplicássemos por 5/17 referente à distância percorrida, iríamos obter os R$ 15,00 referentes ao consumo dos cinco litros. Como sabemos os R$ 15,00, mas não a quantia total, basta fazermos a conta inversa, ou seja dividirmos R$ 15,00 por 5/17:

Portanto:a é a alternativa correta.

4) Em 2009 eu e meu irmão tínhamos respectivamente 45 e 40 anos. Em qual ano a minha idade era dobro da dele?

 a) 1965

 b) 1969

 c) 1970

 d) 1972

 e) 1974

Neste exercício temos que subtrair de ambas as idades um valor desconhecido que chamaremos de x, tal que a divisão da minha idade na época pela do meu irmão, seja igual a dois. Podemos então montar a seguinte equação:

Resolvendo a equação temos:

Então 35 anos atrás a minha idade era o dobro da idade do meu irmão, de fato naquela época eu estava com 10 anos e ele com 5 anos, ou seja, a minha idade era o dobro da dele.Se o ano de referência é 2009, então 35 anos atrás era o ano de 1974:

Logo:e é a alternativa correta.

5) Juntos Xavier e Yuri possuem 20 carrinhos, no entanto Xavier possui 4 carrinhos a mais que Yuri. Quantos carrinhos possuem respectivamente Xavier e Yuri?

 a) 8 e 12

 b) 12 e 8

 c) 16 e 4

 d) 4 e 16

 e) 16 e 8

Vamos solucionar este exercício de duas formas distintas. Primeiro simplesmente através de cálculos aritméticos e depois através da álgebra, mais especificamente através da resolução de sistemas lineares.Se desconsiderarmos os 4 carrinhos que Xavier possui a mais que Yuri, juntos eles terão 16 carrinhos:

Neste caso possuirão a mesma quantidade de carrinhos, cada um terá a metade deles, ou seja, cada um terá 8 carrinhos:

No entanto como Xavier possui 4 carrinhos a mais, ele possuirá 12 carrinhos e Yuri apenas 8:

Na solução algébrica atribuiremos a Xavier a incógnita x e a Yuri a incógnita y.Como juntos eles possuem 20 carrinhos, temos:

Como Xavier tem 4 carrinhos a mais, temos:

Substituindo x na primeira equação por y + 4, conforme a segunda equação temos:

Substituindo y por seu valor na segunda equação:

Como apurado anteriormente através de cálculos aritméticos, temos que Xavier possui 12 carrinhos e que Yuri possui os outros 8.Portanto:

b é a alternativa correta.

6) A soma de quatro números consecutivos é igual a 74. Qual seria o próximo número da sequência para termos cinco números consecutivos?

 a) 18

 b) 19

 c) 20

 d) 21

 e) 22

Pensando em termos aritméticos, o segundo número da sequência é igual ao primeiro acrescentado de uma unidade, o terceiro é igual ao primeiro acrescentado de duas unidades e quarto é igual ao primeiro acrescentado de três unidades.

Então no total foram somadas seis unidades, uma no segundo mais duas no terceiro e mais três no quarto. Se não tivessem ocorrido tais acréscimos, todos os quatro números seriam iguais e a soma seria igual a 68:

Dividindo 68 por 4 iremos encontrar o valor do primeiro número da série:

Como o primeiro número da sequência é igual a dezessete, o quinto número da série será igual ao primeiro acrescentado de quatro unidades:

Pensando em termos algébricos, se representarmos o primeiro número pela letra x, podemos montar a seguinte equação:

Teremos o primeiro número ao encontrarmos o valor de x:

Somando então 4 a 17 iremos novamente encontrar o valor do quinto número da sequência.Então:

d é a alternativa correta.

7) Em uma empresa os seus três vendedores receberam uma certa quantidade de brindes a serem distribuídos aos seus clientes. O primeiro recebeu 3/7 do total, mais 10 unidades. O segundo 1/6 do total, menos 5 unidades. O terceiro ficou com os 80 brindes restantes. Quantos eram os brindes no total?

 a) 210

 b) 630

 c) 420

 d) 315

 e) 378

Chamemos de x a quantidade total de brindes na empresa a ser distribuída. Podemos então montar a seguinte equação algébrica:

Esta equação nos mostra que a soma de todas as quantidades recebidas pelos vendedores é igual a quantidade total de brindes. Basta resolvê-la para sabermos qual é a quantidade total de brindes:

Logo:a é a alternativa correta.

8) Para a festinha de meu filho mandei comprar 4 dúzias de suco e 3 dúzias de refrigente, o que me custou R$ 258,00. Se ao invés das 3 dúzias, eu tivesse comprado 2 dúzias de refrigerante, eu teria gasto R$ 228,00. Qual o preço unitário do suco?

 a) R$ 2,80

 b) R$ 3,40

 c) R$ 3,50

 d) R$ 3,60

 e) R$ 4,00

Percebemos claramente no enunciado que a dúzia do refrigerante custa R$ 30,00, pois comprando uma dúzia a menos, o preço passa de R$ 258,00 para R$ 228,00:

Três dúzias de refrigerante custam então R$ 90,00.

Descontando-se este valor dos R$ 258,00, obteremos o valor pago pelas 4 dúzias de suco:

Que dividido por 4 nos dará o valor da dúzia do suco:

Para obtermos o valor unitário do suco, basta dividirmos este valor por 12:

Portanto:c é a alternativa correta.

9) Numa festinha de crianças, 300 docinhos iriam ser divididos igualmente entre as 50 crianças presentes, mas por um motivo qualquer todos os meninos foram embora mais cedo, então os docinhos foram repartidos em partes iguais entre as meninas, que acabaram ganhando 9 doces a mais do que iriam ganhar inicialmente. Quantas eram as meninas e quantos eram os meninos?

 a) 35 meninas e 15 meninos

 b) 15 meninas e 35 meninos

 c) 25 meninas e 25 meninos

 d) 30 meninas e 20 meninos

 e) 20 meninas e 30 meninos

Partindo das informações disponíveis, vamos a busca das informações desejadas.Se os meninos tivessem permanecido, os docinhos seriam repartidos igualmente entre as crianças, então cada uma delas iria receber exatamente 6 docinhos:

No entanto com a saída dos meninos, cada uma das meninas ganhou 9 docinhos a mais que os 6 aos quais tinha direito:

Ora, se cada uma delas recebeu igualmente 15 docinhos, então o número de meninas era:

Como originalmente eram 50 crianças, então o número de meninos é igual a:

Assim sendo:e é a alternativa correta.

10) Um doceiro torrou amendoins para serem vendidos na porta de uma escola e os colocou em saquinhos de 50 gramas. Se tivesse usado saquinhos de 80 gramas, teria dado para 21 saquinhos a menos. Quantos gramas de amendoim ele torrou?

 a) 1100 g

 b) 1700 g

 c) 2100 g

 d) 2800 g

 e) 3200 g

Para ficar mais fácil de expressarmos o nosso raciocínio, vamos chamar de x o número de saquinhos de 50 gramas. Em função disto podemos escrever a seguinte equação:

Ou seja, x saquinhos de 50 gramas equivalem a 21 saquinhos a menos de 80 gramas.Resolvendo esta equação encontraremos a quantidade de saquinhos de 50 gramas:

Pois bem, se temos 56 saquinhos de 50 gramas, então a quantidade torrada de amendoim foi de:

Observe que esta será a mesma quantidade se tivermos 21 saquinhos a menos de 80 gramas:

Logo:d é a alternativa correta.

EXERCÍCIOS DE EQUAÇÃO DE 2°. GRAU

1) O triplo do quadrado do número de filhos de Pedro é igual a 63 menos 12 vezes o número de filhos. Quantos filhos Pedro tem?Sendo x o número de filhos de Pedro, temos que 3x2 equivale ao triplo do quadrado do número de filhos e que63 - 12x equivale a 63 menos 12 vezes o número de filhos. Montando a sentença matemática temos:3x2 = 63 - 12xQue pode ser expressa como:3x2 + 12x - 63 = 0Temos agora uma sentença matemática reduzida à forma ax2 + bx + c = 0, que é denominada equação do 2° grau. Vamos então encontrar as raízes da equação, que será a solução do nosso problema:Primeiramente calculemos o valor de Δ:

Como Δ é maior que zero, de antemão sabemos que a equação possui duas raízes reais distintas. Vamos calculá-las:

A raízes encontradas são 3 e -7, mas como o número de filhos de uma pessoa não pode ser negativo, descartamos então a raiz -7.Portanto:

Pedro tem 3 filhos.

2) Uma tela retangular com área de 9600cm2 tem de largura uma vez e meia a sua altura. Quais são as dimensões desta tela?Se chamarmos de x altura da tela, temos que 1,5x será a sua largura. Sabemos que a área de uma figura geométrica retangular é calculada multiplicando-se a medida da sua largura,

pela medida da sua altura. Escrevendo o enunciado na forma de uma sentença matemática temos:x . 1,5x = 9600Que pode ser expressa como:1,5x2 - 9600 = 0Note que temos uma equação do 2° grau incompleta, que como já vimos terá duas raízes reais opostas, situação que ocorre sempre que o coeficiente b é igual a zero. Vamos aos cálculos:

As raízes reais encontradas são -80 e 80, no entanto como uma tela não pode ter dimensões negativas, devemos desconsiderar a raiz -80.Como 1,5x representa a largura da tela, temos então que ela será de 1,5 . 80 = 120. Portanto:

Esta tela tem as dimensões de 80cm de altura, por 120cm de largura.

3) O quadrado da minha idade menos a idade que eu tinha 20 anos atrás e igual a 2000. Quantos anos eu tenho agora?Denominando x a minha idade atual, a partir do enunciado podemos montar a seguinte equação:x2 - (x - 20) = 2000Ou ainda:

A solução desta equação do 2° grau completa nós dará a resposta deste problema. Vejamos:

As raízes reais da equação são -44 e 45. Como eu não posso ter -44 anos, é óbvio que só posso ter 45 anos. Logo:

Agora eu tenho 45 anos.

4) Comprei 4 lanches a um certo valor unitário. De outro tipo de lanche, com o mesmo preço unitário, a quantidade comprada foi igual ao valor unitário de cada lanche. Paguei com duas notas de cem reais e recebi R$ 8,00 de troco. Qual o preço unitário de cada produto?O enunciado nos diz que os dois tipos de lanche têm o mesmo valor unitário. Vamos denominá-lo então de x.Ainda segundo o enunciado, de um dos produtos eu comprei 4 unidades e do outro eu comprei x unidades.Sabendo-se que recebi R$ 8,00 de troco ao pagar R$ 200,00 pela mercadoria, temos as informações necessárias para montarmos a seguinte equação:4 . x + x . x + 8 = 200Ou então:

Como x representa o valor unitário de cada lanche, vamos solucionar a equação para descobrimos que valor é este:

As raízes reais da equação são -16 e 12. Como o preço não pode ser negativo, a raiz igual -16 deve ser descartada. Assim:

O preço unitário de cada produto é de R$ 12,00.

5) O produto da idade de Pedro pela idade de Paulo é igual a 374. Pedro é 5 anos mais velho que Paulo. Quantos anos tem cada um deles?Se chamarmos de x a idade de Pedro, teremos que x - 5 será a idade de Paulo. Como o produto das idades é igual a 374, temos que x . (x - 5) = 374.Esta sentença matemática também pode ser expressa como:

Primeiramente para obtermos a idade de Pedro, vamos solucionar a equação:

As raízes reais encontradas são -17 e 22, por ser negativa, a raiz -17 deve ser descartada. Logo a idade de Pedro é de 22 anos.Como Pedro é 5 anos mais velho que Paulo, Paulo tem então 17 anos. Logo:

Pedro tem 22 anos e Paulo tem 17 anos.

) Há dois números cujo triplo do quadrado é a igual 15 vezes estes números. Quais números são estes?Em notação matemática, definindo a incógnita como x, podemos escrever esta sentença da seguinte forma:3x2 = 15xOu ainda como:3x2 - 15x = 0A fórmula geral de resolução ou fórmula de Bhaskara, pode ser utilizada na resolução desta equação, mas por se tratar de uma equação incompleta, podemos solucioná-la de uma outra forma.Como apenas o coeficiente c é igual a zero, sabemos que esta equação possui duas raízes reais. Uma é igual azero e a outra é dada pelo oposto do coeficiente b dividido pelo coeficiente a. Resumindo podemos dizer que:

Temos então:

Assim sendo:Os dois números são 0 e 5.

7) Quais são as raízes da equação x2 - 14x + 48 = 0?Podemos resolver esta equação simplesmente respondendo esta pergunta: Quais são os dois números que somados totalizam 14 e que multiplicados resultam em 48?Sem qualquer esforço chegamos a 6 e 8, pois 6 + 8 = 14 e 6 . 8 = 48.Segundo as relações de Albert Girard, que você encontra em detalhes em outra página deste site, estas são as raízes da referida equação.Para simples conferência, vamos solucioná-la também através da fórmula de Bhaskara:

As raízes da equação x2 - 14x + 48 = 0 são 6 e 8.

8) O dobro do quadrado da nota final de Pedrinho é zero. Qual é a sua nota final?

Sendo x a nota final, matematicamente temos:2x2 = 0Podemos identificar esta sentença matemática como sendo uma equação do segundo grau incompleta, cujos coeficientes b e c são iguais a zero.Conforme já estudamos este tipo de equação sempre terá como raiz real o número zero. Apenas para verificação vejamos:

A nota final de Pedrinho é igual a zero.

9) Solucione a equação biquadrada: -x4 + 113x2 - 3136 = 0.

Substituindo na equação x4 por y2 e também x2 e y temos:-y2 + 113y - 3136 = 0A resolvendo temos:

Substituindo os valores de y na expressão x2 = y temos:Para y1 temos:

Para y2 temos:

Assim sendo:As raízes da equação biquadrada -x4 + 113x2 - 3136 = 0 são: -8, -7, 7 e 8.

10) Encontre as raízes da equação biquadrada: x4 - 20x2 - 576 = 0.Novamente iremos substituir x4 por y2 e x2 e y, obtendo uma equação do segundo grau:y2 - 20y - 576 = 0Ao resolvermos a mesma temos:

Substituindo os valores de y na expressão x2 = y obtemos as raízes da equação biquadrada:Para y1 temos:

Para y2, como não existe raiz quadrada real de um número negativo, o valor de -16 não será considerado.Desta forma:

As raízes da equação biquadrada x4 - 20x2 - 576 = 0 são somente: -6 e 6.

Equações do primeiro grau

1) Se eu adicionar 8 à quantidade de carrinhos que possuo, ficarei com a mesma

quantidade de carrinhos de meu irmão, se dos 28 que ele possui, for retirada a quantidade que eu possuo. Quantos carrinhos eu tenho?Primeiramente vamos assumir que x seja a quantidade de carrinhos que eu possuo. Vamos montar então a expressão matemática por partes.Sendo x a quantidade de carrinhos que eu possuo, ao adicionar 8, ficarei com x + 8.Do enunciado sabemos que ele tem 28 carrinhos e se subtrairmos deste número a quantidade que eu possuo (x), ficaremos com quantidade iguais. Então:x + 8 = 28 - xA partir daí devemos deixar a incógnita x isolada no lado direito, passando os coeficientes para o outro lado.O x que está sendo subtraído no segundo membro, passará ao primeiro membro sendo adicionado.x + x + 8 = 28x mais x é igual a 2x, assim como uma laranja mais uma laranja é igual a duas laranjas.2x + 8 = 28Passemos agora o 8 que está sendo adicionado, para o outro lado, na operação inversa, ou seja, sendo subtraído:2x = 28 - 8Realizando a subtração:2x = 20O coeficiente 2 que está multiplicando a incógnita x, passará para o outro membro dividindo o termo 20:

Realizando a divisão encontramos a raiz 10:x = 10Portanto:

Eu tenho 10 carrinhos.

2) Comprei 7,5kg de um produto e recebi um troco de R$ 1,25. Caso eu tivesse comprado 6kg, o troco teria sido de R$ 5,00. Quanto dei em dinheiro para pagar a mercadoria?Digamos que p seja o preço por kg da mercadoria. Como em ambos os casos eu teria um troco a receber, então o valor que eu dei em pagamento seria igual à massa comprada vezes o preço por kg mais o troco nas duas situações. Teríamos então:

O 6p que está sendo somado no segundo membro, passará ao primeiro membro sendo subtraído, ao mesmo tempo em que o 1,25 à esquerda que está sendo somado passará à direita subtraindo:

Realizando as subtrações:

O coeficiente 1,5 que está multiplicando a incógnita p irá para o outro lado dividindo o termo 3,75:

Que dividindo dá:

Tomemos então o primeiro membro da equação inicial

Ele representa quanto me custou o produto mais quanto recebi de troco, ou seja, quanto dei em dinheiro para o pagamento. Vamos então substituir p pelo valor encontrado de 2,5 e realizar os cálculos:

Portanto:Eu dei R$ 20,00 em dinheiro para o pagamento da mercadoria.

3) A soma da minha idade, com a idade de meu irmão que é 7 anos mais velho que eu dá 37 anos. Quantos anos eu tenho de idade?Partamos do princípio que a minha idade seja igual a x. Como o meu irmão tem 7 anos a mais que eu, então ele tem x + 7 anos de idade. Como a soma das idades é de 37 anos, podemos escrever a seguinte sentença:

Ou seja:

Passando para o outro lado o 7 como subtraindo, já que ele se encontra adicionando no primeiro membro, temos:

Realizando a subtração:

Passando o multiplicador 2 para a direita como divisor:

Que dividindo dá:

Portanto:Eu tenho 15 anos de idade.

4) Tenho a seguinte escolha: Ou compro 20 unidades de um produto com todo o dinheiro que tenho, ou compro apenas 14 unidades e ainda me sobra um troco de R$ 30,00. Qual o valor unitário deste produto?Vou chamar de x o preço da unidade deste produto.A partir do enunciando chegamos à seguinte equação:

O termo 20x se refere às 20 unidades do produto multiplicado pelo seu valor unitário.Sabemos que isto é igual a 14 unidades do produto multiplicado pelo seu valor unitário, mais 30 reais de troco, ou seja, 14x + 30.Vamos passar o 14x para o primeiro membro, lembrando que por estar sendo adicionado, ele passará subtraindo:

Ao fazermos a subtração:

Passamos o 6 para o outro lado, dividindo já que ele está multiplicando:

Que dividindo dá:

Portanto:O valor unitário deste produto é de R$ 5,00.

5) O volume de chuvas na minha região foi de 30 ml nos dois últimos dias. Sabe-

se que ontem choveu o dobro da quantidade que choveu hoje. Qual foi o volume de chuva de hoje?Chamemos de v o volume da chuva hoje.Do enunciando tiramos que 2v corresponde ao volume de chuva de ontem, assim como 30 é o volume total. Podemos então montar à seguinte equação:

Somando os termos do primeiro membro temos:

Passando o 3 para o outro lado, como divisor já que ele é um multiplicador:

Ao dividirmos:

Portanto:O volume de chuva de hoje foi de 10 ml.

6) Qual é o conjunto solução da equação 4x - 8 = 10?

Portanto:S = { 4,5 }.

7) Qual é a raiz da equação 7x - 2 = -4x + 5?

Portanto:7/11 é a raiz da equação.

8) U = { -5, 0, 3 } é o conjunto universo da equação 6x + 18 = 0. Qual é o

conjunto solução desta equação?

Portanto:S = {} é o conjunto solução (conjunto vazio), pois -3 não pertence ao conjunto

universo.

9) Encontre o conjunto verdade da equação -2x = -4 + 3x?

Portanto:V = {4/5} é o conjunto solução da equação.

10) 7 é raiz da equação x + 5 = 2?

Portanto:Não, pois -3 é que é a raiz desta equação.