Raciocinio Logico Inss[1]

8/12/2019 Raciocinio Logico Inss[1]

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Prof. Srgio Carvalho & Prof. Weber Campos

1 http://www.euvoupassar.com.br Repitacomf:EuVouPassar

Srg io Ca r va l h o& W eb e r Cam po s Rac i o cn io Lg i co

A p o s t i l a d e Ra c i o cn i o L g i c o Co n c u r s o d o I NSS / 2 0 0 8

FUND AM ENTOS DE LGI CA

#PROPOSI O

Denomina-se proposio a toda sentena, expressa em palavras ou smbolos, queexprima um juzo ao qual se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um de doisvalores lgicos possveis: verdadeiroou falso.

So exemplos de proposies as seguintes sentenas declarativas:

O nmero 6 par.Existe um nmero mpar menor que dois.

Todos os homens so mortais.

Nenhum porco espinho sabe ler.

O co late e o gato mia.

2 + 8 = 10

5 > 7A Terra o maior planeta do Sistema Solar.

A polarizao horizontal indicada para ondas terrestres.

Mriam quer um sapatinho novo ou uma boneca.

No so proposies:1) sentenas como as interrogativas: Qual o seu nome?2) sentenas exclamativas: Que linda essa mulher!3) sentenas imperativas: Estude mais.4) sentenas que no tem verbo: O caderno de Maria.5) Sentenas abertas: x maior que 2; x+y = 10.

#PROPOSI O S I MPLES

Uma proposio dita proposio simples quando no contm qualquer outraproposio como sua componente. No se pode subdividi-Ia em partes menores tais quealguma delas seja uma nova proposio.

Exemplo:

Fabola foi ao cinema.

Luciana brasileira.

#PROPOSI O COMPOSTA

Uma proposio que contenha qualquer outra como sua parte componente ditaproposio composta. Isso quer dizer que uma proposio composta quando se podeextrair como parte dela, uma nova proposio.

Exemplo:

A sentena "Cnthia irm de Maurcio e de Jlio" uma proposio composta pois possvel retirar-se dela duas outras proposies:

"Cnthia irm de Maurcio" e "Cnthia irm de Jlio".


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#CONECT I VOS LGI COS

Existem alguns termos e expresses que esto freqentemente presentes nasproposies compostas, tais como "no", "e", "ou", "se ... ento" e "se e somente se" aosquais denominamos conectivos lgicos. Os conectivos lgicos agem sobre as proposies a queesto ligados de modo a criar novas proposies.

Exemplo:

A sentena "Se x no maior que y, ento x igual a y ou x menor que y"

uma proposio composta na qual se pode observar alguns conectivos lgicos ("n o", "s e... e n t o" e "o u") que esto agindo sobre as proposies simples "x maior que y", "x iguala y" e "x menor que y".

O valor lgico( verdadeiroou falso) de uma proposio composta depende somentedo valor lgico de cada uma de suas proposies componentes e da forma como estas sejamligadas pelos conectivos lgicos utilizados.

As proposies compostas podem receber denominaes especiais, conforme o

conectivo lgico usado para ligar as proposies componentes, como veremos a seguir.So apresentados no quadro abaixo os conectivos lgicos, bem como seus significados e

a estrutura lgica generalizada da proposio composta respectiva.

linguagemidiomtica

Smbolo Estrutura lgica Exemplo

E Conjuno: A B Joo ator e alagoano.

Ou Disjuno: A B Irei ao cinema ou praia.

se ... ento Condicional: A B Se chove entofaz frio.

se e somente se Bicondicional: A B Vivo se e somente sesoufeliz.

No ~ Negao: ~A O nmero 2 no mpar

#CONJUN O : A e B

Denominamos conjuno a proposio composta formada por duas proposiesquaisquer que estejam ligadas pelo conectivo "e".

A conjuno A e B pode ser representada simbolicamente como:

A B

Exemplo:Dadas as proposies simples:

A: Andr pianista.

B: Andr brasileiro.

A conjuno A e B pode ser escrita como: Andr pianista ebrasileiro.

Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados daconjuno "A e B" para cada um dos valores que Ae Bpodem assumir.


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A B A e B

V V V

V F FF V F

F F F

A conjuno "A e B" verdadeira somente quando A verdadeira e B tambm verdadeira. Para que a conjuno "A e B" seja falsa basta que pelo menos uma de suasproposies componentes seja falsa.

#D I S JUN O : A o u B

Denominamos disjuno a proposio composta formada por duas proposiesquaisquer que estejam ligadas pelo conectivo "ou".

A conjuno A ou B pode ser representada simbolicamente como:

A BExemplo:

Dadas as proposies simples:

A: Alberto fala espanhol.B: Alberto universitrio.

A disjuno "A ou B" pode ser escrita como: Alberto fala espanhol ou universitrio.

Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da disjuno"A ou B" para cada um dos valores que Ae Bpodem assumir.

A B A ou B

V V V

V F V

F V V

F F F

A disjuno "A ou B" falsasomente quando A falsae B tambm falsa. Para quea disjuno "A ou B" seja verdadeira basta que pelo menos uma de suas proposiescomponentes seja verdadeira.

#D I S JUN O EXCLUS I VA : o u A o u B

H um terceiro tipo de proposio composta, bem parecido com a disjuno queacabamos que ver, mas com uma pequena diferena. Comparemos as duas sentenas abaixo:

1)Te darei uma bola o u te darei uma bicicleta

2) o ute darei uma bola o u te darei uma bicicleta

A diferena sutil, mas importante. Reparemos que na primeira sentena v-sefacilmente que se a primeira parte for verdade ( te darei uma bola), isso no impedir que asegunda parte (te darei uma bicicleta) tambm o seja. J na segunda proposio, se forverdade que te darei uma bola, ento teremos que no ser dada a bicicleta. E vice-versa,ou seja, se for verdade que te darei uma bicicleta, ento teremos que no ser dada a bola.

Ou seja, a segunda estrutura apresenta duas situaes mutuamente excludentes, desorte que apenas uma delas pode ser verdadeira, e a restante ser necessariamente falsa.


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Ambas nunca podero ser, ao mesmo tempo, verdadeiras; ambas nunca podero ser,ao mesmo tempo, falsas.

Na segunda sentena acima, este tipo de construo uma disjuno exclusiva, pelapresena dos dois conectivos ou, que determina que uma sentena necessariamenteverdadeira, e a outra, necessariamente falsa. Da, o nome completo desta proposiocomposta disjuno exclusiva.

E como fica a sua tabela-verdade? Ora, uma disjuno exclusiva s ser verdadeira sehouver uma das sentenas verdadeira e a outra falsa. Nos demais casos, a disjuno exclusivaser falsa.

O smbolo que designa a disjuno exclusiva o v. E a tabela-verdade ser, pois, aseguinte:

A B ou A ou B

V V F

V F VF V V

F F F

#COND I CI ONAL : S e A e n t o B

Denominamos condicional a proposio composta formada por duas proposiesquaisquer que estejam ligadas pelo conectivo "Se ... ento" ou por uma de suas formasequivalentes.

A proposio condicional "Se A, ento B" pode ser representada simbolicamente como:

A B

Exemplo:


A: Jos alagoano.B: Jos brasileiro.

A condicional "Se A, ento B" pode ser escrita como:

A B: SeJos alagoano, entoJos brasileiro.

As seguintes expresses podem se empregar como equivalentesde " Se A, ento B":

SeA, B. A c o n d ios u f i c i e n t e para B.

B, s eA. B c o n d ion ece ssr i apara A.

Q u a n d o A, B. A s o m e n t e se B.

A i m p l i c a B. T o d o A B.

Exemplo: Se chove, entofaz frio. So expresses equivalentes:

Sechove, faz frio. Chover c o n d iosuficientepara fazer frio.Faz frio, sechove. Fazer frio c o n d ionecessriapara chover.

Quandochove, faz frio. Chove somente se faz frio.

Chover implicafazer frio. Todavez que chove, faz frio.

Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da proposiocondicional "Se A ento B" para cada um dos valores que Ae Bpodem assumir.


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A B A B

V V V

V F FF V V

F F V

Uma condicional "Se A ento B" falsasomente quando a condio A verdadeiraea concluso B falsa, sendo verdadeiraem todos os outros casos. Isto significa que numaproposio condicional, a nica situao que no pode ocorrer uma condio verdadeiraimplicar uma concluso falsa.

#B I COND I CI O NA L: A s e e s om e n t e s e B

Denominamos bicondicional a proposio composta formada por duas proposiesquaisquer que estejam ligadas pelo conectivo "se e somente se".

A proposio bicondicional "A se e somente se B" pode ser representada

simbolicamente como: A

B .

Exemplo:


A: Mauro criativo.

B: Mauro brasileiro.

A proposio bicondicional "A se e somente se B" pode ser escrita como:

A B: Mauro criativose e somente seMauro brasileiro.

Uma proposio bicondicional "A se e somente se B" equivale proposio composta:

se A ento B e se B ento A, ou seja,A B a mesma coisa que (A B) e( B A)

Podem-se empregar tambm como equivalentes de " A se e somente se B" asseguintes expresses:

A s ees seB.

SeA e n t oB e s eB e n t oA.

A s o m e n t e se B e B s o m e n t e se A.

A co n d io su f i c ie n t epara B e B co n d i o su f i c ie n t epara A.

B co n d io n ec es sr iapara A e A co n d io n ec es sr iapara B.

T o d o A B e t o d o B A.T o d o A B e reciprocamente.

Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados daproposio bicondicional "A se e somente se B" para cada um dos valores que Ae Bpodemassumir.

A B A B

V V V

V F F

F V F

F F V


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A proposio bicondicional "A se e somente se B" verdadeirasomente quando AeB tm o mesmo valor lgico (ambas so verdadeiras ou ambas so falsas), sendo falsaquando Ae Btm valores lgicos contrrios.

#N EGA O: n o ADada uma proposio qualquer Adenominamos negaode A proposio composta

que se obtm a partir da proposio A acrescida do conectivo lgico " no" ou de outroequivalente.

A negao "no A" pode ser representada simbolicamente como: ~A

Da as seguintes frases so equivalentes entre si.

Lgica no fcil.

No v er d ad e q u eLgica fcil.

fa l so qu eLgica fcil.

Uma proposio Ae sua negao " no A" tero sempre valores lgicos opostos.

Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da negao"no A" para cada um dos valores que Apode assumir.

A no A

V F

F V

Como se pode observar na tabela-verdade, uma proposio qualquer e sua negaonunca podero ser simultaneamente verdadeiras ou simultaneamente falsas.

Reviso dos Conectivos:

Na resoluo de vrias questes de lgica, devemos conhecer as tabelas-verdade dosconectivos, para isso apresentamos abaixo uma tabela-verdade nica contendo todos eles.Compare os valores lgicos de cada conectivo que isso vai ajuda-lo a memorizar.

A B A e B A ou B ou A ou A B A B

V V V V F V VV F F V V F F

F V F V V V F

F F F F F V V

No quadro abaixo, apresentamos uma tabela muito interessante a respeito dosconectivos, mostrando as condies em que o valor lgico verdadee em que falso.Estrutura

lgica verdade quando falso quando

A B A e B so, ambos, verdade um dos dois for falso

A B um dos dois for verdade A e B, ambos, so falsos

A B nos demais casos A verdade e B falso

A B A e B tiverem valores lgicos iguaisA e B tiverem valores lgicos

diferentes

~A A falso A verdade


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#REPRESEN TA O D AS PROPOS I ES EM L I NGU AGEM S I MBLI CA

EXEMPLO 1: Encontre a representao usando conectivos lgicos para cada uma dassentenas apresentadas nos itens de a a h, considerando que as letras P, Q, R e T

representam as seguintes proposies:P: Ana artista R: Jorge juiz

Q: Carlos carioca S: Breno alto

a) Jorge juiz e Breno alto

resposta: R Sb) Carlos carioca ou Breno alto

resposta: Q Sc) Breno alto e Ana no artista

resposta: S ~Pd) Ana no artista e Carlos no carioca

resposta: ~P ~Qe) Se Jorge juiz, ento Breno no alto.

resposta: R ~S

f) Se Ana artista e Jorge no juiz, ento Breno alto

resposta: (P R) Sg) Carlos Carioca condio necessria para que Ana seja artista.

resposta: P Q

h) Jorge juiz se e s se Ana no artista.

resposta: R ~P

EXEMPLO 2: Sejam as proposies P: Carlos rico , Q: Carlos alto e R: Carlos falaalemo. Traduzir para a linguagem simblica as seguintes proposies:a) Carlos rico, mas fala alemo

resposta: P Rb) Carlos no alto ou rico, mas fala alemo

resposta: (~Q P) Rc) Carlos rico ou no rico, e fala alemo

resposta: (P ~P) Rd) Carlos rico ou alto, mas no fala alemo

resposta: (P Q) ~Re) Carlos rico e alto, ou no fala alemo

resposta: (P Q) ~R

#REPRESENTA O D AS PROPOS I ES EM L I NGUAGEM I D I OMT I CA

EXEMPLO 3: Dadas as proposies P: Joo pobre e Q: Laura fala ingls, encontre asentena relacionada com cada representao simblica dada nos itens abaixo:

a) ~P Q

resposta: Se Joo no pobre, ento Laura fala ingls

b) ~~Presposta: ~(Joo no pobre), da: Joo pobre


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c) ~P Q Presposta: Se Joo no pobre e Laura fala ingls, ento Joo pobre

d) P ~Qresposta: Joo pobre ou Laura no fala ingls

e) Q Presposta: Se Laura fala ingls, ento Joo pobre

f) P Qresposta: Joo pobre ou Laura fala ingls

g) P ~Q

resposta: Se Joo pobre, ento Laura no fala ingls

#DETERM I NA O DO VALOR LGI CO DE UMA PROPOSI O COMPOSTA

Ordem de Precedncia dos Conectivos:

1) ~ (Negao)

2) (Conjuno)3) (Disjuno)4) (Condicional)

5) (Bicondicional)

Exerccios:

Os valores lgicos de P e Q so V e F, respectivamente, determinar o valor lgico daproposio:

01) ~P Q P

02) (P v Q) (P Q)

03) Q P ~P

04) ~(P Q) ~P ~Q

GABARITO: 1.V 2.F 3.V 4.V

#CONSTRU O D A TAB ELA -VERDAD E PARA UM A PROPOS I O COMPOSTA

Exemplo 01) ~( P ~Q) nmero de linhas = 22= 4 linhas

P Q ~Q P ~Q ~(P ~Q)V V F F V

V F V V F

F V F F V

F F V F V


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Exemplo 02) ~(P Q) ~(Q P) nmero de linhas = 22= 4 linhas

P Q (P Q) (Q P) ~(P Q) ~(Q P) ~(P Q) ~(Q P)V V V V F F F

V F F F V V V

F V F F V V V

F F F V V F V

Exemplo 03) (P ~R) (Q ~R ) nmero de linhas = 23= 8 linhas

P Q R ~R (P ~R) (Q ~R) (P ~R) (Q ~R)

V V V F

V V F V

V F V F

V F F F

F V V V

F V F V

F F V V

F F F F

Chegou o momento de passarmos a conhecer trs outros conceitos: Tautologia,Contradio e Contingncia.

# TAUTOLOGIA:

Uma proposio composta formada por duas ou mais proposies p, q, r, ... ser ditauma Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lgicos dasproposies p, q, r, ... que a compem.

Em palavras mais simples: para saber se uma proposio composta uma Tautologia,construiremos a sua tabela-verdade! Da, se a ltima coluna da tabela-verdade s apresentarverdadeiro (e nenhum falso), ento estaremos diante de uma Tautologia. S isso!

Exemplo: A proposio (p q) (p q) uma tautologia, pois sempre verdadeira,independentemente dos valores lgicos de pe de q, como se pode observar na tabela-verdadeabaixo:

p q p q p q (p q) (p q)V V V V V

V F F V V

F V F V V

F F F F V

Observemos que o valor lgico da proposio composta (p q) (p q), que aparecena ltima coluna, sempre verdadeiro.

# CONTRADIO:

Uma proposio composta formada por duas ou mais proposies p, q, r, ... ser ditauma contradio se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lgicos dasproposies p, q, r, ... que a compem.


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Ou seja, construindo a tabela-verdade de uma proposio composta, se todos osresultados da ltima coluna forem FALSO, ento estaremos diante de uma contradio.Exemplo 1:

A proposio (p ~q) (p q) tambm uma contradio, conforme verificaremospor meio da construo de sua da tabela-verdade.Vejamos:

p q (p ~q) (p q) (p ~q) (p q)V V F V F

V F V F F

F V V F F

F F F F F

Observemos que o valor lgico da proposio composta (p ~q) (p q), queaparece na ltima coluna de sua tabela-verdade, sempre Falso, independentemente dosvalores lgicos que p e qassumem.

# CONTINGNCIA:

Uma proposio composta ser dita uma c on t i n gnc i a sempre que no for umatautologianem uma contradio.

Somente isso! Voc pegar a proposio composta e construir a sua tabela-verdade.Se, ao final, voc verificar que aquela proposio nem uma tautologia (s resultados V), enem uma contradio (s resultados F), ento, pela via de exceo, ser dita umacontingncia!Exemplo:

A proposio "p (p q)" uma contingncia, pois o seu valor lgico depende dosvalores lgicos de p eq, como se pode observar na tabela-verdade abaixo:

p q (p q) p (p q)V V V V

V F F F

F V F V

F F F V

E por que essa proposio acima uma contingncia? Porque nem uma tautologia enem uma contradio!

#N EGA O D E PROPOSI ES COM POSTA S

Um problema de grande importncia para a lgica o da identificao de proposiesequivalentes negao de uma proposio dada.

A negao de uma proposio deve ter sempre valor lgico oposto ao da proposio dada.

Em outras palavras, a negao de uma proposio deve ser contraditria com a proposiodada.

A tabela abaixo mostra as equivalncias mais comuns para as negaes de algumasproposies compostas:

proposio NEGAO da proposio

A e B ~A ou ~B

A ou B ~A e ~B

A B A e ~B

A B [(A e ~B) ou (B e ~A)]


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Todo A B Algum A no B

Nenhum A B Algum A B

Algum A B Nenhum A B

Algum A no B

Nenhum A no B(ou Todo A B)

#PROPOS I ES LOGI CAMENTE EQUI VALEN TES

Dizemos que duas proposies so logicamente equivalentes (ou simplesmente que soequivalentes) quando so compostas pelas mesmas proposies simples e os resultados desuas t a b e l a s - v e r d a d e so idnticos.

Uma conseqncia prtica da equivalncia lgica que ao trocar uma dada proposiopor qualquer outra que lhe seja equivalente, estamos apenas mudando a maneira de diz-la.

A equivalncia lgica entre duas proposies, p e q, pode ser representadasimbolicamente como: p q , ou simplesmente por p = q.

Comearemos com a descrio de algumas equivalncias lgicas bsicas, as quais

convm conhecermos bem, a fim de as utilizarmos nas solues de diversas questes. Equivalncias Bsicas:

1) p e p = p

Exemplo: Andr inocente e inocente = Andr inocente

2) p ou p = pExemplo: Ana foi ao cinema ou ao cinema = Ana foi ao cinema

3) p e q = q e p

Exemplo: o cavalo forte e veloz = o cavalo veloz e forte

4) p ou q = q ou p

Exemplo: o carro branco ou azul = o carro azul ou branco

5) p q = q pExemplo: Amo se e somente se vivo = Vivo se e somente se amo

6) p q = (p q) e (q p)

Exemplo: Amo se e somente se vivo = Se amo ento vivo, e se vivo ento amo

Equivalncias da Condicional:As duas equivalncias que se seguem so de fundamental importncia.

Estas equivalncias podem ser verificadas, ou seja, demonstradas, por meio dacomparao entre as tabelas-verdade. Ficam como exerccio para casa estasdemonstraes. So as seguintes as equivalncias da condicional:

1) se p, ento q = se no q, ento no p.Exemplo: Se chove ento me molho = Se no me molho ento no chove

2) se p, ento q = no p ou q.Exemplo: Se estudo ento passo no concurso = No estudo ou passo no concurso

Colocando esses resultados numa tabela, para ajudar a memorizao, teremos:

p q = ~q ~p

p q = ~p ou q

Leis Associativas, Distributivas e da Dupla Negao:1) Leis associativas:

(p eq) es = p e (q es)


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(p ou q) ou s = p ou (q ou s)

2) Leis distributivas:

p e(q ou s) = (p eq) ou (p es)

p ou (q es) = (p ou q) e(p ou s)

3) Lei da dupla negao:

~(~p) = p

Da, concluiremos ainda que:

S no noP = S P

Todo S no no P = Todo S P

Algum S no noP = Algum S P

Nenhum S no noP = Nenhum S P

Exemplos:

1)A bola de futebol no no esfrica = A bola de futebol esfrica 2) Todo nmero inteiro no no racional = Todo nmero inteiro racional 3)Algum nmero racional no no natural = Algum nmero racional natural 4) Nenhum nmero negativo no no natural = Nenhum nmero negativo

natural

Equivalncias com o smbolo da negao:~(p e q) = ~p ou ~q

~(p ou q) = ~p e ~q

~(p q) = p e ~q

Equivalncia entre nenhum e todo:Aqui temos uma equivalncia entre dois termos muito freqentes em questes de

prova. uma equivalncia simples, e de fcil compreenso. Vejamos:

1) Todo A no B = Nenhum A B

Exemplo: T o d o mdico no louco = N e n h u m mdico louco.

2) Nenhum A no B = Todo A B

Exemplo: N e n h u m a arte n obela = T o d a arte bela.

Mais Equivalncias teis:Algumas outras equivalncias que podem ser relevantes so as seguintes:

1) p e (p ou q) = p

2) p ou (p e q) = p


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# Questes de Concurso:

01.(ICMS/SP 2006 FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas tm uma mesma caracterstica

lgica em comum, enquanto uma delas no tem essa caracterstica.I. Que belo dia!II. Um excelente livro de raciocnio lgico.III. O jogo terminou empatado?IV. Existe vida em outros planetas do universo.V. Escreva uma poesia.

A frase que no possui essa caracterstica comum a(A) I. (C) III. (E) V.(B) II. (D) IV.

02.(BB1 2007 CESPE) Na lgica sentencial, denomina-se proposio uma frase que pode serjulgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas no, como ambas. Assim, frases comoComo est o tempo hoje? e Esta frase falsa no so proposies porque a primeira pergunta e a segunda no pode ser nem V nem F. As proposies so representadassimbolicamente por letras maisculas do alfabeto A, B, C etc. Uma proposio da formaA ou B F se A e B forem F, caso contrrio V; e uma proposio da forma Se A entoB F se A for V e B for F, caso contrrio V.

Considerando as informaes contidas no texto acima, julgue os itens subseqentes.1. Na lista de frases apresentadas a seguir, h exatamente trs proposies.

A frase dentro destas aspas uma mentira.A expresso X + Y positiva.

O valor de 734 =+ .Pel marcou dez gols para a seleo brasileira.O que isto?

03.(BB2 2007 CESPE) Uma proposio uma afirmao que pode ser julgada como verdadeira(V) ou falsa (F), mas no como ambas. As proposies so usualmente simbolizadas porletras maisculas do alfabeto, como, por exemplo, P, Q, R etc. Se a conexo de duasproposies feita pela preposio e, simbolizada usualmente por , ento obtm-se aforma PQ, lida como P e Q e avaliada como V se P e Q forem V, caso contrrio, F. Se aconexo for feita pela preposio ou, simbolizada usualmente por , ento obtm-se aforma PQ, lida como P ou Q e avaliada como F se P e Q forem F, caso contrrio, V. A

negao de uma proposio simbolizada por P, e avaliada como V, se P for F, e como F,se P for V.A partir desses conceitos, julgue os prximos itens.

1. H duas proposies no seguinte conjunto de sentenas:(I) O BB foi criado em 1980.(II) Faa seu trabalho corretamente.(III) Manuela tem mais de 40 anos de idade.

2. A proposio simblica (PQ)R possui, no mximo, 4 avaliaes V.

04.(PETROBRAS 2007 CESPE) Julgue os itens que se seguem.

1. Considere as proposies abaixo:p: 4 um nmero par;


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q: A PETROBRAS a maior exportadora de caf do Brasil.Nesse caso, possvel concluir que a proposio p q verdadeira.

05.(ICMS/SP 2006 FCC) Considere a proposio Paula estuda, mas no passa no concurso.Nessa proposio, o conectivo lgico

(A) disjuno inclusiva. (C) disjuno exclusiva. (E) bicondicional.(B) conjuno. (D) condicional.

06.(TRF 1 Regio Tcnico Jud 2006 FCC) Se todos os nossos atos tm causa, ento no hatos livres. Se no h atos livres, ento todos os nossos atos tm causa. Logo,

(A) alguns atos no tm causa se no h atos livres.(B) todos os nossos atos tm causa se e somente se h atos livres.(C) todos os nossos atos tm causa se e somente se no h atos livres.(D) todos os nossos atos no tm causa se e somente se no h atos livres.(E) alguns atos so livres se e somente se todos os nossos atos tm causa.

07.(BACEN 2006 FCC) Sejam as proposies:p: atuao compradora de dlares por parte do Banco Central;q: fazer frente ao fluxo positivo.

Se p implica em q, ento(A) a atuao compradora de dlares por parte do Banco Central condio necessria para

fazer frente ao fluxo positivo.(B) fazer frente ao fluxo positivo condio suficiente para a atuao compradora de dlares

por parte do Banco Central.(C) a atuao compradora de dlares por parte do Banco Central condio suficiente para

fazer frente ao fluxo positivo.(D) fazer frente ao fluxo positivo condio necessria e suficiente para a atuao compradora

de dlares por parte do Banco Central.(E) a atuao compradora de dlares por parte do Banco Central no condio suficiente e

nem necessria para fazer frente ao fluxo positivo.

08.(PETROBRAS 2007 CESPE) Uma proposio uma afirmao que pode ser julgada comoverdadeira (V) ou falsa (F), mas no como ambas. As proposies so simbolizadas porletras maisculas do alfabeto, como A, B, C etc., que podem ser conectadas por smboloslgicos. A expresso AB uma proposio lida como A implica B, ou A somente se B,ou A condio suficiente para B, ou B condio necessria para A, entre outras. Avalorao de AB F quando A V e B F, e nos demais casos V. A expresso A uma proposio lida como no A e tem valorao V quando A F, e tem valorao Fquando A V.

1. A proposio O piloto vencer a corrida somente se o carro estiver bem preparado podeser corretamente lida como O carro estar bem preparado condio necessria para que opiloto vena a corrida.

09.(Tc Controle Interno RJ 99 FCC) Dadas as proposiesI) ~( 1 + 1 = 2 3 + 4 = 5 )II) ~( 2 + 2 4 3 + 5 = 8 )III) 43 64 ( 3 + 3 = 7 1 + 1 = 2 )IV) (23 8 4 2 4 3)V) 34 = 81 ~ ( 2 + 1 = 3 5 x 0 = 0)

A que tem valor lgico FALSO a


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(A) IV (B) V (C) III (D) II (E) I

10.(TCU _ Tec_Cont_Ext _ 2004 _ CESPE)Considere que as letras P, Q e R representam proposies, e os smbolos , e sooperadores lgicos que constroem novas proposies e significam no, e e ento,

respectivamente. Na lgica proposicional que trata da expresso do raciocnio por meio deproposies que so avaliadas (valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nuncaambos, esses operadores esto definidos, para cada valorao atribuda s letrasproposicionais, na tabela abaixo:

P Q P P Q P QV V F V VV F F FF V V F VF F F V

Suponha que P representa a proposio Hoje choveu, Q represente a proposio Jos foi praia e R represente a proposio Maria foi ao comrcio. Com base nessas informaes e notexto, julgue os itens a seguir:1. A sentena Hoje no choveu ento Maria no foi ao comrcio e Jos no foi praia pode ser

corretamente representada por P (R Q)2. A sentena Hoje choveu e Jos no foi praia pode ser corretamente representada por P Q3. Se a proposio Hoje no choveu for valorada como F e a proposio Jos foi praia for

valorada como V, ento a sentena representada por P Q falsa.4. O nmero de valoraes possveis para (Q R) P inferior a 9.

11.(Agente da Polcia Federal (Regional) 2004 CESPE) Texto para os itens de 01 a 08Considere que as letras P, Q, R e T representem proposies e que os smbolos , , e sejam operadores lgicos que constroem novas proposies e significam no, e, ou e ento,respectivamente. Na lgica proposicional, cada proposio assume um nico valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos.

Com base nas informaes apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir.

1.Se as proposies P e Q so ambas verdadeiras, ento a proposio ( P) ( Q) tambm verdadeira.

2.Se a proposio T verdadeira e a proposio R falsa, ento a proposio R ( T) falsa.3.Se as proposies P e Q so verdadeiras e a proposio R falsa, ento a proposio (P R)( Q) verdadeira.

Considere as sentenas abaixo.i. Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam.ii. Fumar no deve ser proibido e fumar faz bem sade.iii.Se fumar no faz bem sade, deve ser proibido.iv.Se fumar no faz bem sade e no verdade que muitos europeus fumam, ento fumar

deve ser proibido.

v. Tanto falso que fumar no faz bem sade como falso que fumar deve ser proibido;conseqentemente, muitos europeus fumam.


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Considere tambm que P, Q, R e T representem as sentenas listadas na tabela a seguir.P Fumar deve ser proibido.Q Fumar deve ser encorajado.R Fumar no faz bem sade.

T Muitos europeus fumam.

Com base nas informaes acima e considerando a notao introduzida no texto, julgue ositens seguintes.4.A sentena I pode ser corretamente representada por P ( T).5.A sentena II pode ser corretamente representada por ( P) ( R).6.A sentena III pode ser corretamente representada por R P.7.A sentena IV pode ser corretamente representada por (R ( T)) P.8.A sentena V pode ser corretamente representada por T (( R) ( P)).12.(Anal. Jud. TRT 10 regio 2004 CESPE)Considere que as letras P, Q, R e S representam

proposies e que os smbolos , e so operadores lgicos que constroem novasproposies e significam no, e e ou respectivamente. Na lgica proposicional, cadaproposio assume um nico valor (valor-verdade) que pode ser verdadeiro (V) ou falso(F), mas nunca ambos. Considerando que P, Q, R e S so proposies verdadeiras, julgueos itens seguintes.

1. P Q verdadeira.2. [( P Q) ( R S)] verdadeira.3. [P (Q S) ] ( [(R Q) (P S)] ) verdadeira.4. (P ( S)) (Q ( R)) verdadeira.

13.(Gestor Fazendrio MG/2005/Esaf) Considere a afirmao P:

P: A ou BOnde A e B, por sua vez, so as seguintes afirmaes:A: Carlos dentistaB: Se Enio economista, ento Juca arquiteto.Ora, sabe-se que a afirmao P falsa. Logo:

a) Carlos no dentista; Enio no economista; Juca no arquiteto.b) Carlos no dentista; Enio economista; Juca no arquiteto.c) Carlos no dentista; Enio economista; Juca arquiteto.d) Carlos dentista; Enio no economista; Juca no arquiteto.e) Carlos dentista; Enio economista; Juca no arquiteto.

14.(TRT-PE Analista 2006 FCC) Uma turma de alunos de um curso de Direito reuniu-se em umrestaurante para um jantar de confraternizao e coube a Francisco receber de cada um aquantia a ser paga pela participao. Desconfiado que Augusto, Berenice e Carlota notinham pago as suas respectivas partes, Francisco conversou com os trs e obteve osseguintes depoimentos:

Augusto: No verdade que Berenice pagou ou Carlota no pagou.Berenice: Se Carlota pagou, ento Augusto tambm pagou.Carlota: Eu paguei, mas sei que pelo menos um dos dois outros no pagou.Considerando que os trs falaram a verdade, correto afirmar que(A) apenas Berenice no pagou a sua parte.

(B) apenas Carlota no pagou a sua parte.(C) Augusto e Carlota no pagaram suas partes.


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(D) Berenice e Carlota pagaram suas partes.(E) os trs pagaram suas partes.15.(ICMS/SP 2006 FCC) Considere as afirmaes abaixo.

I. O nmero de linhas de uma tabela-verdade sempre um nmero par.

II. A proposio (10 < 10 ) (8 - 3 = 6) falsa.

verdade o que se afirma APENAS em(A) I. (C) I e II.(B) II. (D) nenhum dos dois.

16.(ICMS/SP 2006 FCC) Na tabela-verdade abaixo, p e q so proposies.p q ?V V F

V F VF V FF F F

A proposio composta que substitui corretamente o ponto de interrogao (A) p q (C) ~(p q) (E) ~(p q)(B) p q (D) p q

17.(TRT-9R-2004-FCC) Considere a seguinte proposio: "na eleio para a prefeitura, ocandidato A ser eleito ou no ser eleito.

Do ponto de vista lgico, a afirmao da proposio caracteriza

(A) um silogismo. (C) uma equivalncia. (E) uma contradio.(B) uma tautologia. (D) uma contingncia.

18.(TRT 16 regio Anal. Jud. CESPE 2005) Considere a proposio: Se meu cliente fosseculpado, ento a arma do crime estaria no carro. Simbolizando por P o trecho meu clientefosse culpado e simbolizando por Q o trecho a arma estaria no carro, obtm-se umaproposio implicativa, ou simplesmente uma implicao, que lida: Se P ento Q, esimbolizada por P Q. Uma tautologia uma proposio que sempre V (verdadeira).Uma proposio que tenha a forma P Q V sempre que P for F (falsa) e sempre que P eQ forem V. Com base nessas informaes e na simbolizao sugerida, julgue os itens

subseqentes.1. A proposio Se meu cliente fosse culpado, ento a arma do crime estaria no carro.Portanto, se a arma do crime no estava no carro, ento meu cliente no culpado. umatautologia.

2. A proposio Se meu cliente fosse culpado, ento a arma do crime estaria no carro.Portanto, ou meu cliente no culpado ou a arma do crime estaria no carro. no umatautologia.

19.(TRT 9 Regio 2004 FCC) A correta negao da proposio "todos os cargos desteconcurso so de analista judicirio. :

(A) alguns cargos deste concurso so de analista judicirio.(B) existem cargos deste concurso que no so de analista judicirio.(C) existem cargos deste concurso que so de analista judicirio.


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(D) nenhum dos cargos deste concurso no de analista judicirio.(E) os cargos deste concurso so ou de analista, ou no judicirio.20.(AFC 2002 ESAF) Dizer que no verdade que Pedro pobre e Alberto alto,

logicamente equivalente a dizer que verdade que:a) Pedro no pobre ou Alberto no alto.

b) Pedro no pobre e Alberto no alto.c) Pedro pobre ou Alberto no alto.d) se Pedro no pobre, ento Alberto alto.e) se Pedro no pobre, ento Alberto no alto.

21.(Fiscal Trabalho 98 ESAF) A negao da afirmao condicional "se estiver chovendo, eulevo o guarda-chuva" :a) se no estiver chovendo, eu levo o guarda-chuvab) no est chovendo e eu levo o guarda-chuvac) no est chovendo e eu no levo o guarda-chuvad) se estiver chovendo, eu no levo o guarda-chuva

e) est chovendo e eu no levo o guarda-chuva

22.(Delegado-Pol Civil PE 2006 - IPAD) A sentena penso, logo existo logicamenteequivalente a:

A) Penso e existo.B) Nem penso, nem existo.C) No penso ou existo.D) Penso ou no existo.E) Existo, logo penso.

23.(ISS So Paulo 2007 FCC) Considere a seguinte proposio:Se um Auditor-Fiscal Tributrio no participa de projetos de aperfeioamento, ento ele no

progride na carreira.

Essa proposio tautologicamente equivalente proposio:(A) No verdade que, ou um Auditor-Fiscal Tributrio no progride na carreira ou ele

participa de projetos de aperfeioamento.(B) Se um Auditor-Fiscal Tributrio participa de projetos de aperfeioamento, ento ele

progride na carreira.(C) No verdade que, um Auditor-Fiscal Tributrio no participa de projetos de

aperfeioamento e no progride na carreira.(D) Um Auditor-Fiscal Tributrio no progride na carreira ou ele participa de projetos de

aperfeioamento.

(E) Um Auditor-Fiscal Tributrio participa de projetos de aperfeioamento e progride nacarreira.

24.(Papiloscopista 2004 CESPE) Sejam P e Q variveis proposicionais que podem tervaloraes, ou serem julgadas verdadeiras (V) ou falsas (F). A partir dessas variveis,podem ser obtidas novas proposies, tais como: a proposio condicional, denotada por PQ, que ser F quando P for V e Q for F, ou V, nos outros casos; a disjuno de P e Q,denotada por P Q, que ser F somente quando P e Q forem F, ou V nas outras situaes;a conjuno de P e Q, denotada por P Q, que ser V somente quando P e Q forem V, e,em outros casos, ser F; e a negao de P, denotada por P, que ser F se P for V e ser Vse P for F. Uma tabela de valoraes para uma dada proposio um conjunto depossibilidades V ou F associadas a essa proposio.


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A partir das informaes do texto acima, julgue os itens subseqentes.

1. As tabelas de valoraes das proposies PQ e QP so iguais.2. As proposies (P ( Q)) e Q ( P) possuem tabelas de valoraes iguais.3. O nmero de tabelas de valoraes distintas que podem ser obtidas para proposies com

exatamente duas variveis proposicionais igual a 24

.

25.(IBAMA 2004 CESPE) Com relao s estruturas lgicas, julgue os seguintes itens.1. Se verdade que P Q, ento falso que P ( Q).

2. (P ( Q)) logicamente equivalente Q ( P).

3. Considere a seguinte proposio.Ocorre conflito ambiental quando h confronto de interesses em torno da utilizao do meioambiente ou h confronto de interesses em torno da gesto do meio ambiente.

A negativa lgica dessa proposio : No ocorre conflito ambiental quando no hconfronto de interesses em torno da utilizao do meio ambiente ou no h confronto deinteresses em torno da gesto do meio ambiente.

4. Considere a seguinte assertiva.Produo de bens dirigida s necessidades sociais implica na reduo das desigualdadessociais.

A negativa lgica dessa assertiva : A no produo de bens dirigida s necessidades sociaisimplica na no reduo das desigualdades sociais.


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DIAGRAMAS LGICOS

Consideramos que uma questo de Diagramas Lgicos, quando ela traz diagramas ouquando temos que usar diagramas para chegarmos a soluo da questo. Os diagramas

geralmente so crculos, mas tambm podem ser outras figuras: quadrado, tringulo, ... .Os diagramas lgicos sero bastante usados nas solues das questes que envolvem

os termos: t o d o , a l g u m e n e n h u m .

# PROPO SI ES CATEGRI CAS

As proposies formadas com os termos t o d o , a l g u m e n e n h u m so chamadas deproposies categricas, e so elas:

Todo A B

Nenhum A B

Algum A B

Algum A no B

Todo A B

Proposies do tipo Todo A B afirmam que o conjunto A est contido no conjunto B,ou seja, todo elemento de A tambm elemento de B.

Ateno: dizer que Todo A B no significa o mesmo que Todo B A.

Todo gacho brasileiro Todo brasileiro gachoNenhum A B

Enunciados da forma Nenhum A B afirmam que os conjuntos A e B so disjuntos,isto , A e B no tem elementos em comum.

Dizer que Nenhum A B logicamente equivalente a dizer que Nenhum B A.

Exemplo:Nenhum diplomata analfabeto =Nenhum analfabeto diplomata

Algum A B

Por conveno universal em Lgica, proposies da forma Algum A B estabelecemque o conjunto A tem p e lo m e n o s um elemento em comum com o conjunto B.

Contudo, quando dizemos que Algum A B, pressupomos que nem todo A B.Entretanto, no sentido lgico de algum, est perfeitamente correto afirmar que alguns alunosso ricos, mesmo sabendo que todos eles so ricos.

Dizer que Algum A B logicamente equivalente a dizer queAlgum B A.

Exemplo:

Algum mdico poeta =Algum poeta mdicoTambm, so equivalentes as expresses seguintes:

Algum A B = Pelo menos um A B = Existe um A que BExemplo:

Algumpoeta mdico = Pelo menos um poeta mdico = Existe um poeta que mdico

Algum A no BProposies da forma Algum A no B estabelecem que o conjunto A tem p e l o

m e n o s um elemento que no pertence ao conjunto B.

Dizer que Algum A no B logicamente equivalente a dizer que Algum A no B,

e tambm logicamente equivalente a dizer queAlgum no B A.Exemplo:


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2.Se a proposio Nenhum A B verdadeira, ento temos somente a representao:

No h elementos em comum entre os dois conjuntos (No h interseco!)

Os valores lgicos das outras proposies categricas so os seguintes:

Todo A B necessariamente falsa.

Algum A B necessariamente falsa.Algum A no B necessariamente verdadeira.

3.Se a proposio Algum A B verdadeira, temos quatro representaes possveis:


Nenhum A B necessariamente falsa.

Todo A B indeterminada, pois pode ser verdadeira (em 3 e 4) e falsa (em 1 e 2).

Algum A no B indeterminada, pois pode ser verdadeira (em 1 e 2) e falsa (em 3 e 4).

4.Se a proposio Algum A no B verdadeira, temos trs representaes possveis:

A B

1

A B

BA

B

A

1 H elementos em comum entre osdois conjuntos 2 O conjunto A dentro do conjunto B

3 O conjunto Bdentro do conjunto A 4 O conjunto A igual ao conjunto B

1

A BA

B

H elementos em comum entre osdois conjuntos 2 O conjunto Bdentro do conjunto A


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Todo A B necessariamente falsa.Nenhum A B indeterminada, pois pode ser verdadeira (em 3) e falsa (em 1 e 2).

Algum A B indeterminada, pois pode ser verdadeira (em 1 e 2) e falsa (em 3).

Algum vai perguntar: preciso decorar tudo isso? Na realidade, o melhor buscarentender tudo isso! A rigor, conforme veremos pela resoluo das questes abaixo,conseguiremos solucionar os problemas deste assunto praticamente mediante o desenho dosdiagramas lgicos!

Ou seja, a coisa bem mais fcil do que aparenta. Passemos a um exemplo!

Ex er cci o : (Especialista em Polticas Pblicas Bahia 2004 FCC) Considerando todo livro instrutivo como uma proposio verdadeira, correto inferir que:

a) Nenhum livro instrutivo uma proposio necessariamente verdadeira.b) Algum livro instrutivo uma proposio necessariamente verdadeira.c) Algum livro no instrutivo uma proposio verdadeira ou falsa.d) Algum livro instrutivo uma proposio verdadeira ou falsa.e) Algum livro no instrutivo uma proposio necessariamente verdadeira.

Sol.:

Temos que a proposio todo livro instrutivo verdadeira. Baseando-se nestaproposio, construiremos as representaes dos conjuntos dos livros e das coisasinstrutivas. Como vimos anteriormente h duas representaes possveis:

Pode haver questo mais fcil que esta?

A opo A descartada de pronto: nenhum livro instrutivo implica a totaldissociao entre os diagramas. E estamos com a situao inversa!

A opo B perfeitamente escorreita! Percebam que nos dois desenhos acima osconjuntos em vermelho e em azul possuem elementos em comum. Resta necessariamenteperfeito que algum livro instrutivo uma proposio necessariamente verdadeira.

Resposta: opo B.

J achamos a resposta correta, mas continuaremos a anlise das outras opes.

A B

3 No h elementos em comum entre os dois conjuntos

livro

instrutivolivroinstrutivo=

a b


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01. (ICMS So Paulo 97) Todo A B, e todo C no B, portanto:a) algum A C; d) algum B C;

b) nenhum A C; e) nenhum B A;c) nenhum A B;

02.(TRE/MS Tec Jud 2007 FCC) Considere que as seguintes afirmaes so verdadeiras:

Alguma mulher vaidosa.

Toda mulher inteligente.

Assim sendo, qual das afirmaes seguintes certamente verdadeira?

(A) Alguma mulher inteligente vaidosa.

(B) Alguma mulher vaidosa no inteligente.

(C) Alguma mulher no vaidosa no inteligente.

(D) Toda mulher inteligente vaidosa.

(E) Toda mulher vaidosa no inteligente.

03.(MPU Tcnico 2007 FCC) Considere que as seguintes afirmaes so verdadeiras:

Todo motorista que no obedece s leis de trnsito multado.

Existem pessoas idneas que so multadas.Com base nessas afirmaes verdade que

(A) se um motorista idneo e no obedece s leis de trnsito, ento ele multado.(B) se um motorista no respeita as leis de trnsito, ento ele idneo.

(C) todo motorista uma pessoa idnea.

(D) toda pessoa idnea obedece s leis de trnsito.(E) toda pessoa idnea no multada.

04.(AFCE TCU 99 ESAF) Se verdade que "Alguns escritores so poetas" e que "Nenhummsico poeta", ento, tambm necessariamente verdade que

a) nenhum msico escritor d) algum escritor no msico

b) algum escritor msico e) nenhum escritor msico

c) algum msico escritor

05.(Fiscal Trabalho 98 ESAF) Sabe-se que existe pelo menos um A que B. Sabe-se, tambm,que todo B C. Segue-se, portanto, necessariamente que

a) todo C B c) algum A C

b) todo C A e) algum A no C

06.(Nossa Caixa Nosso Banco 2002 Vunesp) Todo torcedor do time A fantico. Existemtorcedores do time B que so fanticos. Marcos torce pelo time A e Paulo fantico. Pode-se, ento, afirmar que:

a) Marcos fantico e Paulo torce pelo time A.

b) Marcos fantico e Paulo torce pelo time B.c) Marcos tambm torce pelo time B e Paulo torce pelo time A.


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d) Marcos tambm torce pelo time B e o time de Paulo pode no ser A nem B.e) Marcos fantico e o time de Paulo pode no ser A nem B.

07.(TRF 3 Regio Tc. Jud. 2007 FCC) Considerando "todo livro instrutivo" uma proposioverdadeira, correto inferir que

(A) "nenhum livro instrutivo" uma proposio necessariamente verdadeira.

(B) "algum livro no instrutivo" uma proposio verdadeira ou falsa.(C) "algum livro instrutivo" uma proposio verdadeira ou falsa.

(D) "algum livro instrutivo" uma proposio necessariamente verdadeira.(E) "algum livro no instrutivo" uma proposio necessariamente verdadeira.

08.(TRT Paran (cargo N13) 2004 FCC) Sabe-se que existem pessoas desonestas e queexistem corruptos. Admitindo-se verdadeira a frase "Todos os corruptos so desonestos, correto concluir que

(A) quem no corrupto honesto.

(B) existem corruptos honestos.

(C) alguns honestos podem ser corruptos.(D) existem mais corruptos do que desonestos.(E) existem desonestos que so corruptos,

09.(Nossa Caixa Nosso Banco 2002 Vunesp) Todos os estudantes de medicina so estudiosos.Alguns estudantes de medicina so corintianos. Baseando-se apenas nessas duasafirmaes, pode-se concluir que:

a) Nenhum estudioso corintiano.

b) Nenhum corintiano estudioso.

c) Todos os corintianos so estudiosos.

d) Todos os estudantes de medicina so corintianos.e) Existem estudiosos que so corintianos.

10.(PETROBRAS 2007 CESPE) Considere as seguintes frases.

I Todos os empregados da PETROBRAS so ricos.II Os cariocas so alegres.

III Marcelo empregado da PETROBRAS.

IV Nenhum indivduo alegre rico.

Admitindo que as quatro frases acima sejam verdadeiras e considerando suas implicaes,julgue os itens que se seguem.

1. Nenhum indivduo rico alegre, mas os cariocas, apesar de no serem ricos, so alegres.2. Marcelo no carioca, mas um indivduo rico.3. Existe pelo menos um empregado da PETROBRAS que carioca.

4. Alguns cariocas so ricos, so empregados da PETROBRAS e so alegres.

11.(PETROBRAS 2007 CESPE) Julgue o item seguinte.

1. Admitindo-se que as proposies funcionais Nenhuma mulher piloto de frmula 1 eAlguma mulher presidente sejam ambas V, ento correto concluir que a proposiofuncional Existe presidente que no piloto de frmula 1 tem valorao V.


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ARGUMENTO

Chama-se argumentoa afirmao de que um grupo de proposies iniciais redunda emuma outra proposio final, que ser conseqncia das primeiras!

Dito de outra forma, argumento a relao que associa um conjunto de proposies p1,p2, ... pn, chamadas premissasdo argumento, a uma proposio c,chamada de conclusodo argumento.

No lugar dos termos premissa e concluso podem ser tambm usados oscorrespondentes hiptesee tese, respectivamente.

Vejamos alguns exemplos de argumentos:

Exemplo 1) p1: Todos os Nerds so Zem.p2: Nenhum Hari Zem.

C: Nenhum Nerd Hari.

Exemplo 2) p1: Todos os alunos do curso foram aprovados no concurso.

p2:Andr no aluno do curso.C: Andr no passou no concurso.

O tipo de argumento ilustrado nos exemplos acima chamado silogismo. Ou seja,silogismo aquele argumento formado por duas premissas e a concluso.

Estaremos, em nosso estudo dos argumentos lgicos, interessados em verificar se elesso vlidos ou invlidos! isso o que interessa. Ento, passemos a seguir a entender o quesignifica um argumento vlidoe um argumento invlido.

# ARGUMENTO VL I DO :

Dizemos que um argumento vlido (ou ainda legtimo ou bem construdo),quando a sua concluso uma conseqncia obrigatria do seu conjunto de

premissas.Veremos em alguns exemplos adiante que as premissas e a prpria concluso podero

ser visivelmente falsas (e at absurdas!), e o argumento, ainda assim, ser consideradovlido. Isto pode ocorrer porque, na Lgica, o estudo dos argumentos no leva em conta averdade ou a falsidade das premissas que compem o argumento, mas to somente avalidadedeste.Exemplo 03: O silogismo...

p1: Todos os homens so pssaros.

p2:Nenhum pssaro animal.

c :Portanto, nenhum homem animal.

... est perfeitamente bem construdo, sendo, portanto, um argumento vlido, muito

embora a validade das premissas e da concluso sejam totalmente questionveis.Repetindo: o que vale a construo, e no o seu contedo! Ficou claro? Se a

construo est perfeita, ento o argumento vlido, independentemente do contedo daspremissas ou da concluso!

Agora a questo mais importante: como saber que um determinado argumento mesmo vlido? Uma forma simples e eficaz de comprovar a validade de um argumento utilizando-se de diagramas de conjuntos. Trata-se de um mtodo muito til e que ser usadocom freqncia em questes que pedem a verificao da validade de um argumento qualquer.Vejamos como funciona, usando esse exemplo acima.

Quando se afirma, na premissa p1, que todos os homens so pssaros, poderemosrepresentar essa frase da seguinte maneira:


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Observem que todos os elementos do conjunto menor (homens) esto includos, ouseja, pertencem ao conjunto maior (dos pssaros).

E ser sempre essa a representao grfica da frase Todo A B. Dois crculos, um

dentro do outro, estando o crculo menor a representar o grupo de quem se segue palavratodo. Ficou claro? Pois bem! Faamos a representao grfica da segunda premissa.

Temos, agora, a seguinte frase: Nenhum pssaro animal. Observemos que apalavra-chavedesta sentena nenhum. E a idia que ela exprime de uma total dissociaoentre os dois conjuntos. Vejamos como fica sua representao grfica:

Ser sempre assim a representao grfica de uma sentena Nenhum A B: doisconjuntos separados, sem nenhum ponto em comum.

Tomemos agora as representaes grficas das duas premissas vistas acima e asanalisemos em conjunto. Teremos:

Agora, comparemos a concluso do nosso argumento Nenhum homem animal com o desenho das premissas acima. E a? Ser que podemos dizer que esta concluso umaconseqncia necessria das premissas? Claro que sim! Observemos que o conjunto doshomens est totalmente separado (total dissociao!)do conjunto dos animais.

ConjuntodosAnimais

ConjuntodosPssaros

Homens

Pssaros

Animais

Conjuntodospssaros

Conjuntodoshomens


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Resultado: este um a r g um en t o vl i d o !

Para testar a validade do argumento acima, consideramos as duas premissas comoverdadeiras, mesmo sabendo que eram absurdas. Perceberam?

Num raciocnio dedutivo (lgico) no possvel estabelecer a verdade de sua

concluso se as premissas no forem consideradas todas verdadeiras. Determinar averdade ou falsidade das premissas tarefa que incube cincia, em geral, pois aspremissas podem referir-se a qualquer tema, como Astronomia, Energia Nuclear,Medicina, Qumica, Direito, etc., assuntos que talvez desconheamos por completo! Eainda assim, teremos total condio de averiguar a validade do argumento!

Ficou entendido? Agora, vejamos o conceito de argumento invlido.

# ARGUMENTO I N VL I DO :

Dizemos que um argumento invlido tambm denominado ilegtimo, malconstrudo, falacioso ousofisma quando a verdade das premissas no suficientepara garantir a verdade da concluso.

Entenderemos melhor com um exemplo.Exemplo 04:

p1: Todas as crianas gostam de chocolate.

p2:Patrcia no criana.

c : Portanto, Patrcia no gosta de chocolate.

Veremos a seguir que este um argumento invlido, falacioso, mal construdo, pois aspremissas no garantem( no obrigam) a verdade da concluso.

Patrcia pode gostar de chocolate mesmo que no seja criana, pois a primeira premissano afirmou que somenteas crianas gostam de chocolate.

Da mesma forma que utilizamos diagramas de conjuntos para provar a validade doargumento anterior, provaremos, utilizando-nos do mesmo artifcio, que o argumento emanlise invlido. Vamos l:

Comecemos pela primeira premissa: Todas as crianas gostam de chocolate. Japrendemos acima como se representa graficamente esse tipo de estrutura. Teremos:

Analisemos agora o que diz a segunda premissa: Patrcia no criana. O que temosque fazer aqui pegar o diagrama acima (da primeira premissa) e nele indicar onde poderestar localizada a Patrcia, obedecendo o que consta nesta segunda premissa.

Vemos facilmente que a Patrcia s no pode estar dentro do crculo das crianas. anica restrio que faz a segunda premissa. Isto posto, conclumos que a Patrcia pode estarem dois lugares distintos do diagrama: 1) Fora do conjunto maior; 2) Dentro do conjuntomaior (sem tocar o crculo das crianas!).

Vejamos:

crianas

Pessoasquegostamdechocolate


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Finalmente, passemos anlise da concluso: Patrcia no gosta de chocolate. Ora, oque nos resta para sabermos se este argumento vlido ou no, justamente confirmar seesse resultado, ou seja, se esta concluso, necessariamente verdadeira! O que vocs dizem?

necessariamente verdadeiro que Patrcia no gosta de chocolate? Olhando para odesenho acima, respondemos que no! Pode ser que ela no goste de chocolate (caso estejafora do crculo maior), mas tambm pode ser que goste (caso esteja dentro do crculo maior)!

Enfim, o a r g u m e n t o in vl i d o, pois as premissas no garantiram a veracidade daconcluso!

# MTODOS PARA TESTAR A VAL I DAD E DOS ARGUMENTOS

Os diferentes mtodos utilizados para testar a validade de um argumento somostrados a seguir:

1) Utilizando diagramas de conjuntosEsta forma indicada quando nas premissas do argumento aparecem as palavras todo,

algume nenhum, ou os seus sinnimos: cada, existe um, ....Consiste na representao das premissas por diagramas de conjuntos, e posterior

verificao da verdade da concluso.

2) Construindo a tabela-verdade do argumento

Esta forma mais indicada quando no se puder resolver pelo mtodo descrito acima,que ocorre quando nas premissas no aparecem as palavras todo, algum e nenhum, massim, os conectivos ou , e, e .

Baseia-se na construo da tabela verdade, destacando uma coluna para cada premissa

e outra para a concluso.Aps a construo da tabela verdade, verificar quais so as linhas da tabela em que osvalores lgicos das premissas tm valor V. Se em todas essas linhas, os valores lgicosrelativos a coluna da concluso, forem tambm V, o argumento vlido. Se ao menos umadaquelas linhas tiver na coluna da concluso um valor F, ento o argumento invlido.

Este mtodo tem a desvantagem de ser mais trabalhoso, principalmente quandoenvolve vrias proposies simples, mas atravs deste mtodo podemos observar e entender,claramente, a validade do argumento.

3) Considerar premissas verdadeiras e verificar o valor lgico da concluso

Esta forma bem fcil e rpida para mostrar a validade de um argumento, mas s

devemos utiliz-la na impossibilidade do primeiro mtodo.Este mtodo inicia-se considerando as premissas como verdades, e atravs de

crianas

Pessoasquegostam

de

chocolate

xPatrciaxPatrcia


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operaes lgicas com os conectivos, descobrir o valor lgico da concluso, que deve resultarem verdadepara que o argumento seja vlido.

Na seqncia, um quadro que resume os quatro mtodos, e quando se deve lanar mode um ou de outro, em cada caso. Vejamos:

Deve ser usado

quando...

No deve ser

usadoquando...

O argumento vlido

quando...

1 MtodoUtilizao dosDiagramas

(circunferncias)

o argumento apresentaras palavras t o d o ,

n e n h u m , ou a l g u m o argumento

no apresentartais palavras.

a partir dos diagramasverificarmos que aconcluso uma

conseqncia obrigatriadas premissas.

2 Mtodo

Construo daT a b e l a - V er d a d e d o

a r g u m e n t o

em qualquer caso, maspreferencialmente

quando o argumento tiverno mximo duasproposies simples.

o argumentoapresentar

mais de trsproposies

simples.

nas linhas da tabela emque os valores lgicos

das premissas tm valorV, os valores lgicosrelativos a coluna da

concluso forem tambmV.

3 MtodoConsiderando as

premissasverdadeirase

verificando o valorlgico da concluso

o 1 Mtodo no puderser empregado, e houver

uma premissa...

...que seja uma

proposio simples; ou... que esteja na forma de

uma co n j u n o(e).

nenhumapremissa for

uma

proposiosimples ouuma

conjuno.

o valor encontrado paraa concluso

obrigatoriamente

verdadeiro.

Exerccios: Classifique os seguintes argumentos como vlido ou invlido.

1. P Q

~P___

Q

2. P QQ____P

3. P Q

~P____~Q

4. P Q

R ~Q

R______~P e R


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Gabarito: 1.vlido 2.invlido 3.invlido 4.vlidoSe n t e n a s A b e r t a s e Qu a n t i f i c a d o r e s

H expresses como:

a) x + 1 = 7

b) x > 2c) x3= 2x 2

que contm variveis e cujo valor lgico (verdadeira ou falsa) vai depender do valor atribudo varivel.

Nos exemplos citados temos:

a) x + 1 = 7 verdadeira se trocarmos x por 6 e falsa para qualquer outro valor dado a x;

b) x > 2 verdadeira, por exemplo, para x =4.c) x3 = 2x 2 verdadeira se trocarmos x por 0 (0 3 =2.0 2) ou 2 (23 =2.2 2) e falsa para

qualquer outro valor dado ax.

Sentenas que contm variveis so chamadas f u nes p r o p o s i c i o n a i s ou sen t e n asa b e r t a s . Tais sentenas no so proposies, pois seu valor lgico (Vou F) discutvel,dependem do valor dado s variveis.

H, entretanto, duas maneiras de transformar sentenas abertas em proposies:

1) atribuir valor s variveis

2) utilizar quantificadores

O Qu a n t i f i c a d o r U n i v e r s a l

O quantificador universal, usado para transformar sentenas abertas em proposies,

indicado pelo smbolo que se l: "qualquer que seja", "para todo", "para cada".

Exemplos

1) (x)(x + 1 = 7) que se l: "qualquer que seja o nmero x, temos x + 1 = 7". (Falsa)

2) (x)(x3= 2x2) que se l: "para todo nmero x, x3 = 2x 2 ". (Falsa)

3) ( a) ((a + 1)2 = a 2+ 2a + 1) que se l:

"qualquer que seja o nmero a, temos (a + 1)2= a 2+ 2a + 1". (Verdadeira)

4) (y)(y 2+ 1 > 0) que se l: "para todo nmero y, temos y 2 + 1 positivo". (Verdadeira)

O Qu a n t i f i c a d o r E x i s t e n c i a l

O quantificador existencial indicado pelo smbolo: que se l: "existe", "existe pelomenos um", "existe um".

Exemplos

1) (x)(x + 1 = 7) que se l: "existe um nmero x tal que x + 1 = 7" . (Verdadeira)

2) (x)(x 3= 2x 2) que se l: "existe um nmero x tal que x3= 2x2 ".. (Verdadeira)


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3) (a)(a 2+ 1 0) que se l: "existe um nmero a tal que a 2+ 1 no positivo". (Falsa).

4) (m)(m(m + 1) m 2+ m) que se l:

"existe pelo menos um nmero m tal que m(m + 1) m2+ m ". (Falsa)

Algumas vezes utilizamos tambm outro quantificador: | que se l: "existe um nico,"existe um e um s", "existe s um",

Exemplos

1) (| x)(x + 1 = 7) que se l: "existe um s nmero x tal que x + 1 = 7". (Verdadeira)

2) (| x)(x3 = 2x 2) que se l: "existe um s nmero x tal que X3 = 2X2" (Falsa)

3) (| x)(x + 2 > 3) que se l: "existe um s nmero x tal que x + 2 > 3". (Falsa)

Ne ga o de P ro po s ies Qu an t i f i c a da s

a) Uma sentena quantificada com o quantificador universal, do tipo (x)(P(x)), negada assim: substitui-se o quantificador pelo existencial e nega-se P(x), obtendo:(x)(P(x)).

Exemplos

1) sentena: (x)(x + 3 = 5)

negao: (x)(x + 3 5)

2) sentena: (x)(x(x + 1) = x 2+ x)

negao: (x)(x(x + 1) x 2+ x)

3) sentena: Todo losango um quadrado

negao: Existe um losango que no quadrado

b) Uma sentena quantificada com o quantificador existencial, do tipo ( x) (P(x)), negada assim: substitui-se o quantificador pelo universal e nega-se P(x), obtendo:(x)(P(x)).

Exemplos

1) sentena: (x)(x = x)

negao: (x)(x x)

2) sentena: (a)(1/a IR)

negao: (a)(1/a IR)

Exemplo 01: Julgue as proposies seguintes quanto ao seu valor lgico (verdadeiro oufalso):

1. )94)(( >+ xRx 10. )054)(( 2 = xxNx

2. )0)(( 2 xx 11. )73)(( +=+ xxRx

3. )02)(( 2

>+ xRx 12. )12)(|( = x

Rx


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4. )32)(( +>+ xxRx 13. x Z | x + 7 = 78

5. )315)(( xxRx = 14. x R, x >708

6. )342)(( +=+ xxx 15. x, y R, x >y

7. )342)(( +=+ xxx 16. x Z, y N |x y

9. ))(( 2 xxRx =

GABARITO: 1.F 2.V 3.V 4.F 5.V 6.F 7.V 8.V 9.V 10.V 11.V 12.V 13.V 14.F 15.F 16.V 17.F

Exemplo 02: (AFTN 1998) Indique qual das opes abaixo verdadeira.

a) Para algum nmero real x, tem-se que x < 4 e que x > 5

b) Para todo nmero real y, tem-se que y < 3 e que y > 2

c) Para algum nmero real x, tem-se que x < 4 e que x2+ 5x = 0

d) Para algum nmero real k, tem-se que k > 5 e que k2 5k = 0e) Para todo nmero real positivo x, tem-se que x2 > x

Ex em p l o 0 3 : (TCM-RJ 2003 FGV) Uma afirmao verdadeira a respeito do conjunto U= {-1, 0 , 1} :

A) para todo x, existe y tal que x+y = 0

B) existe x tal que para cada y, x+y = 0C) existe x tal que para todo y, x>y

D) para todo x e todo y, x+y U

Exemplo 04: (TCM-RJ 2003 FGV) Considere os conjuntos A={1 , 3 , 5} e B={1 , 2 , 4 , 6}.A partir destes dados, correto concluir que:

A) todo elemento de A maior que algum elemento de BB) nenhum elemento de A menor que algum elemento de B

C) nenhum elemento de A menor que qualquer elemento de B

D) todo elemento de A menor ou igual a qualquer elemento de B


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I NTRODU O TEOR I A DOS CONJUN TOS

Agora relembraremos alguns tpicos da teoria dos conjuntos, para nos familiarizarmoscom a linguagem e a simbologia.

Relaes de pertinncia(relacionam elemento com conjunto):(pertence), (no pertence)

Relaes de incluso (relacionam um conjunto com outro conjunto):

(est contido), (contm), (no est contido), (no contm)

Subconjunto: diz-se que A subconjunto de B se todo elemento de A tambm elemento deB.

Conjunto das partes de um conjunto: chama-se conjunto das partes de um conjunto A,

denotado por P(A), o conjunto cujos elementos so todos as partes de A, isto : P(A) = {x | xA}.

O nmero de subconjuntos de um conjunto A dado por 2n, em que n o nmero deelementos de A.

Operaes com conjuntos: dados os conjuntos A, B e o conjunto-universo S, denomina-se:

- Unio (): A B = {x / x A ou xB}

- Interseo (): A B = {x / x A e xB}

- Diferena ( - ) : A - B = {x / xA e xB}

- Complementar (A'): A' = {xS | xA}

Exemplo 1:

Considere o diagrama acima onde o retngulo representa o conjunto-universo S e os crculosrepresentam os conjuntos A e B.

Agora determine:a) o conjunto A d) o nmero de elementos de B g) AB j) B - A

b) o conjunto B e) o nmero de subconjuntos de A h) A B l) A'

c) o nmero de elementos de A f) o nmero de subconjuntos de B i) A B m) B'

Soluoa) A = {a, b, c, d, e} b) B = {d, e, f, g, h, i} c) n(A) = 5

d) n(B) = 6 e) 2n = 2 5 = 32 f) 2 n= 2 6= 64

Bf

g

dm

nlj

S

ab

A


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g) A B = {a, b, c, d, e, f, g, h, i} h) A B = {d, e} i) A - B = {a, b, c}

j) B - A = {f, g, h, i} l) A' = S - A = {f,g,h,i,j,l,m,n} m) B' = S - B = {a,b,c,j,l,m,n}

Exemplo 2: Construa um diagrama representativo de trs conjuntos A, B e C contidos noconjunto universo S, tais que: A B, B A, C A e C B

Soluo:


01.(TRT PARAN (cargo S17) 2004 FCC) Uma empresa divide-se unicamente nosdepartamento A e B. Sabe-se que 19 funcionrios trabalham em A, 13 trabalham em B eexistem 4 funcionrios que trabalham em ambos os departamentos. O total detrabalhadores dessa empresa

(A) 36 (D) 28

(B) 32 (E) 24

(C) 30

02.(MPE/PE tcnico 2006 FCC) Dos 63 alunos que concluram o curso tcnico no ano passado,em uma escola, 36 tm formao na rea Informtica e 40 na rea Eletrnica. Somente 6

deles no tm formao nessas reas. Sobre esses alunos, verdade que(A) mais de 16 tm formao s na rea Informtica.

(B) menos de 20 tm formao s na rea Eletrnica.

(C) o nmero dos que tm formao nas duas reas um nmero par.

(D) o nmero dos que tm formao em pelo menos uma dessas duas reas maior que 58.

(E) o nmero dos que tm formao s na rea Informtica ou s na rea Eletrnica umnmero mpar.

03.(Tcnico BACEN 2005 FCC) Para um grupo de funcionrios, uma empresa oferece cursospara somente dois idiomas estrangeiros: ingls e espanhol. H 105 funcionrios que

pretendem estudar ingls, 118 que preferem espanhol e 37 que pretendem estudarsimultaneamente os dois idiomas. Se 1/7 do total de funcionrios desse grupo nopretende estudar qualquer idioma estrangeiro, ento o nmero de elementos do grupo

(A) 245 (D) 224(B) 238 (E) 217

(C) 231

A BC

S


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04.(Analista Judicirio TRT/MT 2004 FCC) Em uma pesquisa sobre hbitos alimentaresrealizada com empregados de um Tribunal Regional, verificou-se que todos se alimentamao menos uma vez ao dia, e que os nicos momentos de alimentao so: manh, almooe jantar. Alguns dados tabelados dessa pesquisa so:

- 5 se alimentam apenas pela manh;

- 12 se alimentam apenas no jantar;

- 53 se alimentam no almoo;

- 30 se alimentam pela manh e no almoo;

- 28 se alimentam pela manh e no jantar;

- 26 se alimentam no almoo e no jantar;- 18 se alimentam pela manh, no almoo e no jantar.

Dos funcionrios pesquisados, o nmero daqueles que se alimentam apenas no almoo

(A) 80% dos que se alimentam apenas no jantar.(B) o triplo dos que se alimentam apenas pela manh.(C) a tera parte dos que fazem as trs refeies.

(D) a metade dos funcionrios pesquisados.

(E) 30% dos que se alimentam no almoo.


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PORCENTAGEM

Vejamos um pouco da teoria deste assunto e, logo a seguir, conheceremos questesrecentes de prova sobre porcentagem! Ok? Vamos l!

# RAZO CENTESIMAL a razo cujo denominador igual a 100.

Exemplos:100

5 ,

100

50 ,

100

135 ,

100

5,33.

Existe ainda outra forma de representar essas razes centesimais:

%5100

5= (cinco por cento)

%50

100

50= (cinquenta por cento)

%170100

170= (cento e setenta por cento)

%5,33100

5,33= (trinta e trs e meio por cento)

Tais razes esto expressas em taxas percentuais.

Toda percentagem est associada a um nmero decimal.

Exemplos: 48% = 0,48 ; 0,7% = 0,007 ; 7% = 0,07 ; 70% = 0,7 ; 700% = 7

Observao: A porcentagem, quando escrita na forma de 15% , por exemplo, chamada deforma percentual, enquanto que seu equivalente 0,15 dito forma unitria ou decimal.

# Transformar razes comuns em taxas percentuais.

Multiplicando-se a razo por 100%, obtm-se a taxa percentual.Exemplos:

a)43 = %75%253%100

43

==

b)5

7= %140%207%100

5

7==

c)3

2= %67,66%

3

200%100

3

2==


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Exemplo: Certa mercadoria, que custava R$ 24,00, passou a custar R$ 30,00. Calcule a taxapercentual de aumento.

Devemos inicialmente calcular a variao de preo em R$:30 24 = 6 (valor do aumento)

A seguir, basta dividirmos a variao acima pelo preo inicial, obtendo:

%2525,024

6== (taxa percentual do aumento)

Exemplo: Um certo produto foi vendido por R$ 230,00 com um lucro de 15% sobre o preo decompra. Pede-se:1) Preo de compra2) O lucro obtido

Sol.:

O lucro, em dinheiro, a diferena entre o preo de venda (PV) e o preo de compra(PC), ou seja:

lucro = PV P C

O lucro sobre o preo de compra a razo entre o lucro e o preo de compra, ou seja:lucro sobre o preo de compra = lucro = PV P C

PC P C

O enunciado diz que o preo de venda de R$ 230,00 e o lucro sobre o preo decompra de 15%. Substituiremos esses dados na frmula acima.

15% = 230 PCPC

Da: 0,15PC= 230 - P C 1,15P C= 230 PC= 200

E o lucro de: 230 200 = 30,00 reais.

Resposta: Preo de compra R$ 200,00 e Lucro R$ 30,00

# Questes de Concurso Resolvidas:

01. (Tc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) Se Y diferente de zero, e se X/Y = 4 ,ento a razo de 2XY para X, em termos percentuais, igual a

a) 75%. d) 175%.b) 25%. e) 200%.c) 57%.

Sol.:A questo quer que calculemos a razo (2XY)/X , utilizando a seguinte informao:

X/Y=4.

Isolando o valor de Y, teremos: Y=X/4. Substituindo o valor de Y na razo solicitadapelo enunciado, teremos:


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2X Y = 2X X/4 = (8XX)/4 = 7X/4 = 7/4X X X X

Passaremos para percentagem multiplicando por 100:

7/4 x 100% = 175% (Resposta: Alternativa D)

02. (Tc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) Um clube est fazendo uma campanha,entre seus associados, para arrecadar fundos destinados a uma nova pintura nasede social. Contatados 60% dos associados, verificou-se que se havia atingido75% da quantia necessria para a pintura, e que a contribuio mdiacorrespondia a R$ 60,00 por associado contatado. Ento, para completarexatamente a quantia necessria para a pintura, a contribuio mdia porassociados, entre os restantes associados ainda no contatados, deve ser igual a

a) R$ 25,00. d) R$ 50,00.

b) R$ 30,00. e) R$ 60,00.c) R$ 40,00.Sol.:

Para a soluo da questo, consideraremos que o clube tem 100 scios.

Clculo da quantia que se conseguiu apurar com os scios contatados:O nmero de scios contatados de 60 (=60%x100), e a contribuio mdia de cada

um de R$ 60,00.A quantia apurada entre os scios contatados igual ao produto do nmero de scios

contatados pela contribuio mdia de cada um. Da:quantia apurada = 60 x 60,00 = 3600,00

Clculo da quantia total necessria para a pintura:

A questo informa que o valor apurado corresponde a 75% da quantia total.

Da: 75% x quantia total = 3600,00

Resolvendo: 3/4 x quantia total = 3600,00 quantia total = 3600 x 4/3

quantia total = 4800,00

Clculo da contribuio mdia por associado, entre os restantes associados ainda nocontatados.

O nmero de scios que no foram contatados de 40 (=100-60).

Se j foi apurado 75% da quantia total, ento falta 25%. Esses 25% sero pagos pelosscios ainda no contatados, que, portanto, tero que arcar com a quantia de 1.200,00 (=25%x4.800,00)

Dividindo esse valor pelo nmero de scios no contatados, teremos a contribuiomdia que cada um. Da: contribuio mdia = 1200 / 40 = 30,00 (Resposta!)


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03. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Uma estranha clnica veterinria atende apenasces e gatos. Dos ces hospedados, 90% agem como ces e 10% agem comogatos. Do mesmo modo, dos gatos hospedados 90% agem como gatos e 10%agem como ces. Observou-se que 20% de todos os animais hospedados nessaestranha clnica agem como gatos e que os 80% restantes agem como ces.Sabendo-se que na clnica veterinria esto hospedados 10 gatos, o nmero de

ces hospedados nessa estranha clnica :a) 50 d) 40b) 10 e) 70c) 20

Sol.:Usaremos a informao trazida no final do enunciado de que na clnica esto

hospedados 10gatos, e consideraremos que o total de ces N.O total de animais hospedados na clnica igual soma de ces e gatos, ou seja,

igual a (10+N).Vamos utilizar esses valores nos restantes dos dados trazidos no enunciado:

i) Dos N ces hospedados:- 0,9N agem como ces- 0,1N agem como gatos

ii) Dos 10 gatos hospedados:- 9 (=90%x10) agem como gatos- 1 (=10%x10) age como co

iii) 20% de todos os animais hospedados agem como gatos e os 80% restantes agemcomo ces.

Da: agem como gatos = 20%x total = 20%x(10+N)

agem como ces = 80%x total = 80%x(10+N)

Havamos escrito que o nmero de ces que agem como gatos de 0,1N, e que onmero de gatos que agem como gatos so 9. Portanto, o total de animais que agem comogatos de (0,1N+9). Da, podemos fazer a seguinte igualdade:

20%x(10+N) = (0,1N+9)Resolvendo:

0,2x(10+N) = (0,1N+9) 2+0,2N = 0,1N+9

N = 7 / 0,1 N = 70 (Resposta!)

04. (Fiscal Recife 2003 ESAF) Uma escola, que oferece apenas um curso diurno dePortugus e um curso noturno de Matemtica, possui quatrocentos alunos. Dosquatrocentos alunos, 60% esto matriculados no curso de Portugus. Dos queesto matriculados no curso de Portugus, 50% esto matriculados tambm nocurso de Matemtica. Dos matriculados no curso de Matemtica, 15% sopaulistas. Portanto, o nmero de estudantes matriculados no curso deMatemtica e que so paulistas :a) 42 d) 84b) 24 e) 36c) 18


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Sol.:Dados fornecidos no enunciado:

A escola possui quatrocentos alunos. A escola s oferece um curso diurno de Portugus e um noturno de Matemtica. 60% esto matriculados no curso de Portugus

Dos matriculados em Portugus, 50% tambm fazem Matemtica. Dos matriculados no curso de Matemtica, 15% so paulistas.

O nmero de alunos matriculados em Portugus igual a 240 (=60%x400). Desses240, a metade (120) tambm faz Matemtica, e claro, a outra metade (120) s fazPortugus.

A soma das quantidades de pessoas que s fazem Matemtica, que s fazem Portuguse que fazem os dois cursos, deve ser igual ao total de alunos da escola (400 alunos).

Da: (s fazem Matemtica) + 120 + 120 = 400

(s fazem Matemtica) = 400 240 = 160 alunos

Com este resultado podemos obter o total de alunos matriculados em Matemtica,basta fazer a soma entre os que s fazem Matemtica e os que fazem Matemtica e Portugus.Da:

160 + 120 = 280 alunos

Como dos matriculados no curso de Matemtica, 15% so paulistas, ento o nmero deestudantes matriculados no curso de Matemtica e que so paulistas igual a:

15%x280 = 0,15x280 = 42 alunos (Resposta!)

05. (AFC 2002 ESAF) Em um aqurio h peixes amarelos e vermelhos: 80% so

amarelos e 20% so vermelhos. Uma misteriosa doena matou muitos peixesamarelos, mas nenhum vermelho. Depois que a doena foi controlada, verificou-se que 60% dos peixes vivos, no aqurio, eram amarelos. Sabendo que nenhumaoutra alterao foi feita no aqurio, o percentual de peixes amarelos quemorreram foi:

a) 20 % b) 25 % c) 37,5 % d) 62,5 % e) 75 %

Sol.:Reproduziremos abaixo os dados trazidos no enunciado:

Em um aqurio h peixes amarelos e vermelhos. 80% so amarelos e 20% so vermelhos

Uma misteriosa doena matou muitos peixes amarelos, mas nenhum vermelho. Aps o controle da doena, 60% dos peixes vivos, no aqurio, eram amarelos.

Considerando que havia inicialmente 100 peixes no aqurio, ento o desenho doaqurio esse:

Vamos designar por X o nmero de peixes amarelos vivos no aqurio aps a doena,assim teremos:

80 amarelos


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Nessa ltima situao, dito que 60% dos peixes vivos so amarelos, fazendo ascontas temos:60%(X+20) = X

0,6X + 12 = X 0,4X = 12 X = 30 peixes amarelos vivos

Portanto, o nmero de peixes amarelos que morreram foi igual a 50 (=80-30).

O percentual de peixes amarelos que morreram igual a razo entre o nmero depeixes amarelos mortos e o total inicial de peixes amarelos, teremos:

30/80 = 62,5% (Resposta!)

06. (AFC 2002 ESAF) A remunerao mensal dos funcionrios de uma empresa constituda de uma parte fixa igual a R$ 1.500,00 mais uma comisso de 3%sobre o total de vendas que exceder a R$ 8.000,00. Calcula-se em 10% opercentual de descontos diversos que incidem sobre seu salrio bruto (isto ,sobre o total da parte fixa mais a comisso). Em dois meses consecutivos, umdos funcionrios dessa empresa recebeu, lquido, respectivamente, R$ 1.674,00e R$ 1.782,00. Com esses dados, pode-se afirmar que as vendas realizadas poresse funcionrio no segundo ms foram superiores s do primeiro ms em:

a) 8% d) 15%

b) 10% e) 20%c) 14%

Sol.:O salrio bruto do funcionrio formado por duas partes:1) parte fixa igual a R$ 1.500,00.2) comisso de 3% sobre o total de vendas que exceder a R$ 8.000,00.

Chamando de V o total de vendas no ms, e considerando que seja superior a R$8000,00, a equao do salrio bruto mensal :

salrio bruto mensal = 1500 + 3%x(V-8000)

O percentual de desconto de 10% em cima do salrio bruto, da o salrio lquidomensal corresponde a 90% do salrio bruto. Portanto, teremos:

salrio lquido mensal = 90% x (1500 + 3%x(V-8000))

Simplificando:salrio lquido mensal = 0,9x1500 + 0,9x0,03x(V-8000)

salrio lquido mensal = 1350 + 0,027V 0,027x8000

salrio lquido mensal = 1134 + 0,027V

X amarelos


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Foi informado no enunciado que em dois meses consecutivos, um dos funcionriosdessa empresa recebeu, lquido, respectivamente, R$ 1.674,00 e R$ 1.782,00. Vamos utilizarestes dados para encontrar as vendas nos dois meses.

Vendas no 1 ms:

1.674,00 = 1134 + 0,027V1

V 1= 540/0,027 = 20.000,00

Vendas no 2 ms:1.782,00 = 1134 + 0,027V2 V 2= 648/0,027 = 24.000,00

Da, as vendas no 2 ms foram superiores s do 1 ms em 4.000,00 reais (=24.00020.000). Para obter a diferena percentual, basta dividir os 4.000,00 reais pelas vendas do 1ms:

4000/20000 = 20% (Resposta: Alternativa E)

07. (AFC/CGU 2003/2004 ESAF) Durante uma viagem para visitar familiares comdiferentes hbitos alimentares, Alice apresentou sucessivas mudanas em seupeso. Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. Aseguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que fezAlice ganhar 20% de peso. Aps, ela visitou uma sobrinha que estava fazendoum rgido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu regime,Alice tambm emagreceu, perdendo 25% de peso. Finalmente, visitou umsobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita que acarretou, para Alice,um ganho de peso de 25%. O peso final de Alice, aps essas visitas a essesquatro familiares, com relao ao peso imediatamente anterior ao incio dessa

seqncia de visitas, ficou:a) exatamente igual d) 10% menorb) 5% maior e) 10% maiorc) 5% menor

Sol.:A seqncia de variaes no peso de Alice a seguinte:

1) perde 20% multiplicar por 0,802) ganha 20% multiplicar por 1,203) perde 25% multiplicar por 0,754) ganha 25% multiplicar por 1,25

Considerando o peso inicial de Alice em 100kg, bem distribudos, o peso final deAlice ser igual a:

Peso final de Alice = 100kg x 0,80 x 1,20 x 0,75 x 1,25

Peso final de Alice = 90kg

Conclui-se que, devido s visitas, Alice perdeu 10kg. A perda percentual obtidadividindo-se a perda de 10 kg pelo peso inicial de Alice, teremos:

Raciocinio Logico Inss[1]

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