radiação solar normal, log-normal, gama, gumbel e weibull

Pesq. agropec. bras., Brasília, v.39, n.12, p.1157-1166, dez. 2004

Distribuição de probabilidade da radiação solar global 1157

Ajustes de funções de distribuição de probabilidade à radiação solarglobal no Estado do Rio Grande do Sul

Alberto Cargnelutti Filho(1), Ronaldo Matzenauer(1) e Júlio Kuhn da Trindade(2)

(1)Fundação Estadual de Pesquisa Agropecuária, Rua Gonçalves Dias, 570, Bairro Menino Deus, CEP 90130-060 Porto Alegre, RS. E-mail:[email protected], [email protected] (2)Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Av. BentoGonçalves, 7712, Bairro Agronomia, CEP 91501-970 Porto Alegre, RS. E-mail: [email protected]

Resumo – O objetivo deste trabalho foi verificar o ajuste das séries de dados de radiação solar global médiadecendial, de 22 municípios do Estado do Rio Grande do Sul, às funções de distribuições de probabilidadenormal, log-normal, gama, gumbel e weibull. Aplicou-se o teste de aderência de Kolmogorov-Smirnov, nas 792séries de dados (22 municípios x 36 decêndios) de radiação solar global média decendial, para verificar o ajustedos dados às distribuições normal, log-normal, gama, gumbel e weibull, totalizando 3.960 testes. Os dadosdecendiais de radiação solar global média se ajustam às funções de distribuições de probabilidade normal, log-normal, gama, gumbel e weibull, e apresentam melhor ajuste à função de distribuição de probabilidade normal.

Termos para indexação: modelagem, redução de riscos.

Adjustments of probability distribution functions to global solar radiation in Rio Grande do Sul State

Abstract – The objective of this work was to verify the adjustment of data series for average global solarradiation to the normal, log-normal, gamma, gumbel and weibull probability distribution functions. Data werecollected from 22 cities in Rio Grande do Sul State, Brazil. The Kolmogorov-Smirnov test was applied in the 792series of data (22 localities x 36 periods of ten days) of average global solar radiation to verify the adjustment ofthe data to the normal, log-normal, gamma, gumbel and weibull probability distribution functions, totalizing 3,960tests. The data of average global solar radiation adjust to the normal, log-normal, gamma, gumbel and weibullprobability distribution functions, and present a better adjustment to the normal probability function.

Index terms: modelling, risk reduction.

Introdução

O conhecimento do comportamento da precipitaçãopluvial, temperatura e umidade relativa do ar, evapora-ção, direção e velocidade do vento, radiação solar glo-bal, ocorrência de orvalho, nevoeiro, granizo, geada eneve, entre outros, é um importante instrumento na to-mada de decisões relacionadas às atividadesagropecuárias. Entre essas variáveis climáticas, a radi-ação solar global, definida como o total de energia emiti-da pelo sol, que incide sobre a superfície terrestre, comcomprimento de onda compreendido entre 150 e 4.000 nm(Rosenberg, 1974; Slater, 1980), é fundamental, princi-palmente em relação às atividades agropecuárias.

A simples visualização dos dados amostrais de umavariável em um histograma de freqüência é insuficientepara inferir, entre as diversas funções de distribuição de

probabilidade conhecidas, a que melhor se ajusta aosdados em estudo. Portanto, faz-se necessário o uso detestes de aderência para verificar se a distribuição deprobabilidade dos dados de uma variável em análise podeser estudada por uma função de distribuição de proba-bilidade conhecida.

Existem diversas funções de distribuições de proba-bilidade para variáveis aleatórias discretas e contínuas.Entre as que se ajustam a dados discretos estão abernoulli, binomial, binomial negativa, hipergeométrica,geométrica e poisson. Já as distribuições uniforme, nor-mal, log-normal, gama, valores extremos ou gumbel,weibull, exponencial, beta, qui-quadrado, t de Student, Fde Snedecor, entre outras, podem ser ajustadas a sériede dados amostrais de variáveis aleatórias contínuas.Estudos de ajustes de função de distribuição de proba-bilidade ou estimativas de probabilidade usando funções


A. Cargnelutti Filho et al.1158

de distribuição de probabilidade teóricas em relação avariáveis climáticas, como precipitação pluvial (Berlato,1987; Assad & Castro, 1991; Assis, 1991, 1993; Castro,1996; Ávila et al., 1996; Botelho & Morais, 1999;Catalunha et al., 2002), temperatura do ar (Mota et al.,1999; Buriol et al., 2000b, 2000c) e radiação solar (Buriolet al., 2000a, 2001) têm sido desenvolvidos, enfatizandoos benefícios no planejamento de atividades queminimizem riscos climáticos.

Testes de aderência, como o qui-quadrado,Kolmogorov-Smirnov, Lilliefors, Shapiro-Wilk, Cramer-von Mises (Campos, 1983; Assis et al., 1996; Morettin& Bussab, 2004), servem para comparar as probabili-dades empíricas de uma variável com as probabilidadesteóricas estimadas pela função de distribuição em teste,verificando se os valores da amostra podem razoavel-mente ser considerados como provenientes de uma po-pulação com aquela distribuição teórica. Nos testes deaderência, a hipótese nula (H0) admite que a distribui-ção seja a especificada (normal, log-normal, gama eoutras), com os seus parâmetros estimados com basenos dados amostrais (Assis et al., 1996; Catalunhaet al., 2002). Existem diferenças entre os testes deaderência, quanto à probabilidade de rejeitar H0, quan-do efetivamente H0 é falsa (1 - β ). Os testes de qui-quadrado e de Kolmogorov-Smirnov são amplamen-te utilizados (Assis et al, 1996), sendo o primeiro,normalmente, mais eficaz que o segundo (Catalunhaet al., 2002). Já o teste de Lilliefors (Campos, 1983)é mais eficaz que o teste de Kolmogorov-Smirnov,porém é específico para verificar a aderência dosdados amostrais à distribuição normal. Os testes deShapiro-Wilk e Cramer-von Mises também diferen-ciam-se quanto à sua eficácia.

O teste de aderência de qui-quadrado apresenta limi-tações. Por exemplo, a freqüência de uma classe nãopode ser inferior a cinco e os dados são agrupados emclasses perdendo informações, o que não ocorre no tes-te de Kolmogorov-Smirnov, que além de poder ser rea-lizado com os dados agrupados, pode também ser reali-zado com os dados isoladamente, sendo normalmentemais eficiente que o qui-quadrado em pequenas amos-tras, ou seja, menos de 30 observações (Campos, 1983).O teste de Kolmogorov-Smirnov é baseado no móduloda maior diferença entre a probabilidade observada e aestimada, que é comparada com um valor tabelado deacordo com o número de observações da série sob tes-te (Catalunha et al., 2002).

O objetivo deste trabalho foi verificar o ajuste dasséries de dados de radiação solar global média decendialde 22 municípios do Estado do Rio Grande do Sul àsfunções de distribuições de probabilidade normal, log-normal, gama, gumbel e weibull.

Material e Métodos

Os dados de radiação solar global das 22 estaçõesmeteorológicas, localizadas em 22 municípios do Es-tado do Rio Grande do Sul, foram obtidos no Bancode Dados do Laboratório de Agrometeorologia, daFundação Estadual de Pesquisa Agropecuária –Fepagro/SCT-RS (Tabela 1).

Os dados de radiação solar global foram coletadosno período de 1956 a 2003, totalizando 47 anos deobservações. Em cada município, com os dados diá-rios de radiação solar global, estimou-se a médiadecendial dos 36 decêndios do ano (1o decêndio dejaneiro até 3o decêndio de dezembro), formando 792séries temporais (22 municípios x 36 decêndios), comnúmero diferenciado de anos de observações emcada série em função da disponibilidade dos dadosmeteorológicos (Tabela 1).

Aplicou-se o teste de aderência de Kolmogorov-Smirnov (Campos, 1983; Assis et al., 1996) nas 792 sé-ries de dados de radiação solar global média decendial,para verificar o ajuste dos dados às distribuições nor-mal, log-normal, gama, gumbel e weibull (Assis et al.,1996; Morettin & Bussab, 2004; Spiegel et al., 2004),totalizando 3.960 testes (792 séries de dados x 5 distri-buições).

A partir das coordenadas geográficas das estaçõesmeteorológicas dos 22 municípios, realizou-se ainterpolação de isolinhas da radiação solar global médiadecendial de cada mês e decêndio, com o auxílio doaplicativo Surfer 7.0.

Resultados e Discussão

O valor da estatística D máximo do teste de aderên-cia de Kolmogorov-Smirnov (Campos, 1983; Assis et al.,1996; Morettin & Bussab, 2004) informa a máxima dis-tância entre as probabilidades empíricas e as teóricasobtidas sob a função de distribuição de probabilidadeem teste. Assim, menores valores da estatística forne-cem maiores valores de p-valor e, conseqüentemente,maior evidência de não-rejeição da hipótese nula (H0),



ou seja, maior aderência dos dados à distribuição emteste.

Independentemente da função de distribuição deprobabilidade (normal, log-normal, gama, gumbel eweibull), 3.691 (93,21%), dos 3.960 casos analisados(cinco distribuições x 22 municípios x 36 decêndios),se ajustaram às funções de distribuições de probabi-lidades testadas com p-valor≥0,20, ou seja, com boaaderência (Tabela 2). No nível de significância doteste de 0,05, ou seja, com probabilidade de um errotipo I de 0,05, o número de séries de dados que nãorejeitaram H0, isto é, os dados que se ajustam à dis-tribuição em teste, elevou-se para 3.914 (98,84%).Portanto, apenas 1,16% dos casos não aderiram anenhuma das distribuições neste nível designificância. Assim, pode-se inferir que entre as cin-co distribuições testadas, os parâmetros de qualquer

uma delas poderiam ser utilizados para representar ocomportamento da radiação solar global médiadecendial. Porém, a obtenção da estimativa dosparâmetros dessas distribuições e a estimativa dasprobabilidades diferem quanto ao grau de dificulda-de. Então, convém verificar qual das funções estu-dadas tem o melhor ajuste, podendo a mesma coinci-dir com uma distribuição que apresente menor difi-culdade de obtenção dos parâmetros e ainda, facili-dade nas estimativas de probabilidades.

Entre as cinco funções de distribuições de proba-bilidades testadas na classe de p-valor≥0,20, a distri-buição normal apresentou o maior número de ade-rências (782 séries de dados), ou seja, apenas dezséries de dados não se ajustaram à distribuição nor-mal, em nível de significância de 0,20. No entanto,os dez casos se ajustaram com p-valor≥0,10, eviden-

Tabela 1. Coordenadas geográficas das estações meteorológicas localizadas em 22 municípios do Estado do Rio Grande do Sul,período de coleta dos dados de radiação solar global média decendial e número de observações (mínimo, máximo e médio) entreas 36 séries (decêndios) de dados em cada município.

(1)Fonte: Instituto de Pesquisas Agronômicas (1989).

Alegrete

Cachoeirinha

Caxias do Sul

Cruz Alta

Encruzilhada do Sul

Erechim

Farroupilha

Ijuí

Júlio de Castilhos

Santana do Livramento

Maquiné

Passo Fundo

Quaraí

Rio Grande

Santa Maria

Santa Rosa

São Borja

São Gabriel

Taquari

Uruguaiana

Vacaria

Veranópolis

Todos os municípios

55°46'59"

51°04'22"

51°12'21"

53º36'34"

52º31'20"

52º16'33"

51°26'20"

53°54'50"

53º40'45"

55º31'56"

50°13'56"

52°24'45"

56°26'53"

52º15'37"

53°48'42"

54º29'03"

56º00'15"

54º19'01"

51°49'30"

57°05'12"

50°56'12"

51°33'11"

29°46'59"

29°57'36"

29°10'25"

28º38'21"

30º32'35"

27º37'46"

29°14'30"

28°23'17"

29º13'26"

30º53'18"

29°40'49"

28º15'41"

30°23'17"

32º01'44"

29°41'25"

27º51'50"

28º39'44"

30º27'27"

29°48'15"

29°45'23"

28°30'09"

28°56'14"

96

4

787

473

420

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702

448

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15

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99

109

76

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705

17

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23

35

23

29

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31

33

31

22

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35

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22

22

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29

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41

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24

41

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24

24

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26

16

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27

20

38

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29

30

29

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35

31

35

20

19

29

13

1968–2001

1975–2002

1987–2003

1974–1998

1958–1999

1966–1991

1963–1996

1963–1990

1956–1996

1965–1981

1957–1997

1961–2003

1966–2000

1956–1997

1965–1998

1975–1999

1956–2000

1963–2000

1963–2000

1963–1991

1966–1990

1956–1999

Município Coordenadas geográficas(1) Número de observações

MédioMáximoMínimo

Período

Altitude (m) Latitude (S) Longitude (W)



ciando boa aderência dos dados a esta distribuição.Em outro extremo, a distribuição weibull apresentouos menores índices de aderência. Esta distribuiçãoapontou 41 dos 46 casos com p-valor<0,05.As demais distribuições (log-normal, gama e gumbel)estão em situações intermediárias (Tabela 3).

O teste de aderência de Kolmogorov-Smirnov re-velou a distribuição normal como a mais adequadaao estudo para representar radiação solar globalmédia decendial, bastando estimar os parâmetrosdesta distribuição (média e desvio-padrão) para oscálculos de probabilidade dentro de limites de inter-valos desejados.

As estimativas dos parâmetros média ( µ̂ ) e desvio-padrão (�̂) da radiação solar global média decendial emcada decêndio e município (Tabela 4) possibilitam esti-mar as probabilidades acima ou abaixo de qualquer va-lor de radiação solar global média decendial, visandominimização de riscos. Assim, a probabilidade da radia-

ção solar global média decendial ser menor ou igual a511 cal cm-2 dia-1 no primeiro decêndio de janeiro nomunicípio de Alegrete é de 50%.

De maneira geral, a radiação solar global médiadecendial apresentou maiores valores no primeiro eúltimo mês do ano, ocorrendo diminuição nos meses dejunho e julho. Resultado semelhante foi encontrado porBergamaschi et al. (2003) em Eldorado do Sul, RS. Istoocorreu por causa do solstício de verão que acontece nasegunda quinzena de dezembro, com redução gradativada insolação e aumento da declinação solar até o solstíciode inverno, na segunda quinzena de junho.

De modo geral, na primavera e no verão, ocorreu umaumento da radiação solar global média decendial nosentido Nordeste-Sudoeste e nos meses de maio, junho,julho e agosto uma diminuição no sentido Norte-Sul. János meses de março e abril, a maior radiação solar glo-bal média decendial ocorreu na Região Central do RioGrande do Sul (Figuras 1, 2 e 3).

p-valor

p<0,01

p<0,05

p<0,10

p<0,15

p<0,20

p≥0,20

18

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fi

Fi

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0,45

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2,70

4,62

6,79

100,00

Tabela 2. Frequência absoluta (fi), frequência acumulada (Fi), frequência relativa absoluta (fri) e frequência relativa acumulada(Fri) de ajustes das 792 séries de dados de radiação solar global média decendial às funções de distribuições deprobabilidade normal, log-normal, gama, gumbel e weibull em 22 municípios do Estado do Rio Grande do Sul, em cadaclasse de p-valor, pelo teste de aderência de Kolmogorov-Smirnov.

Tabela 3. Frequência absoluta (fi) e frequência relativa absoluta (fri) de casos em que os dados de 792 séries de radiaçãosolar global média decendial se ajustaram às funções de distribuições de probabilidade normal, log-normal, gama,gumbel e weibull, em 22 municípios do Estado do Rio Grande do Sul, em cada classe de p-valor pelo teste de aderênciade Kolmogorov-Smirnov.

p-valor Log-normal Weibull

p<0,01

p<0,05

p<0,10

p<0,15

p<0,20

p≥0,20

Total

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0

3

6

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23

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fri

0,00

0,00

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0,51

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98,74

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fi

0

0

0

4

6

782

792

GamaNormal Gumbel

fri

0,00

0,38

0,76

1,52

2,90

94,44

100,00

fi

0

0

6

7

13

766

792

fri

0,00

0,00

0,76

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96,72

100,00

fi

0

2

13

25

24

728

792

fri

0,00

0,25

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91,92

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fi

18

23

36

28

20

667

792

fri

2,27

2,90

4,55

3,54

2,53

84,22

100,00



Tabe

la 4

. Est

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Fev.

Mar

.

Abr

.

Mai

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Jun.

Jul.

Ago

.

Set.

Out

.

Nov

.

Dez

.

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

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�̂

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Ale

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418

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52 60 67 82 43 65 60 51 45 52 45 56 37 27 29 31 26 32 38 39 28 37 41 32 52 47 68 49 68 63 77 64 71 54 53 64

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�̂�̂

508

503

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Figura 1. Isolinhas da radiação solar global média decendial, em cal cm-2 dia-1, de cada mês e decêndio no Estadodo Rio Grande do Sul.



Figura 2. Isolinhas da radiação solar global média decendial, em cal cm-2 dia-1, de cada mês e decêndio no Estado do RioGrande do Sul.



Figura 3. Isolinhas da radiação solar global média decendial, em cal cm-2 dia-1, de cada mês e decêndio no Estado do RioGrande do Sul.



Conclusão

Os dados de radiação solar global média decendial seajustam às funções de distribuições de probabilidadenormal, log-normal, gama, gumbel e weibull e apresen-tam melhor ajuste à função de distribuição de probabili-dade normal.

Agradecimento

Ao conselho Nacional de Desenvolvimento Científi-co e Tecnológico, pela concessão de bolsa a RonaldoMatzenauer.

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Recebido em 26 de junho de 2004 e aprovado em 3 de setembro de 2004

radiação solar normal, log-normal, gama, gumbel e weibull

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