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1

RADICIAO

A radiciao a operao inversa da potenciao.

Sabemos que: a)

b)

c)

Sendo a e b nmeros reais positivos e n um nmero inteiro maior que 1, temos, por definio:

sinal do radical

n ndice Quando o ndice 2, normalmente no se escreve.

a radicando

b rai

Raiz de um nmero real

!"DIC# $AR

Se n par, todo nmero real positivo tem duas raes.

!"emplo:

#omo o resultado de uma operao deve ser nico, determinaremos que:

!"emplos:

a) c)

b) d) $ 1%

& ' S ! ( A * + &

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2

"O e"iste rai real de um nmero neativo se o ndice do radical for par.

!"DIC# !%$AR

Se n impar, cada nmero real tem apenas uma nica rai.

!-!(##/&S

10 #omplete a tabela:

radical

ndice 2radicando 3 4

0 5etermine as raes:

a) f) l)

b) ) m)

c) 6) n)

d) i) o)

e) 7) p)

20 #alcule, caso e"ista em

a) e) i)

b) f) 7)

c) ) l)

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3/16

3

d) 6) m)

$0 #alcule:

a) b) c)

d) e) f)

) 6) i)

$O&'"CIA CO% #($O#" )RACIO"*RIO

Se a um nmero real positivo e um nmero racional, com m e n inteiros e n 8 9, definimos:

!-!;rio.

?

%0 !screva em forma de radical.

c) ?

b) d) f)

+I%$I)ICAO D# RADICAI+

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2 4

1$

3 13

2 13

) 3

) @

) 4

) $

b

c

d

e

=

=

=

=

9

$

%

) 4

)

)

)

g

h x

i x

j a

=

=

=

=

A$

$

% %

A $

)

)

)

) a

m a

n a x

o a x

p x

=

=

=

=

4

Simplificar um radical sinifica reescrev=0lo sob uma forma mais simples e equivalente ao que foidado.

e7a a seuir aluns casos de simplificao:

- caso: & ndice do radical e o e"poente do radicando so divisveis por um mesmo nmero

Bdiferente de ero).

!"emplo: a) ? b)

c) d)

@0 Simplifique os radicais

a) ? b) c) d)

e) f) ) 6)

i) 7) l) m)

2 caso: & e"poente do radicando um mltiplo do ndice.

5ivide0se o e"poente do radicando pelo ndice do radical, e"traindo o radicando.

!"emplos: a) ? @3 b) ? @$

c) ? @3 d) aC

e) ? "3

0 Simplifique os radicais.

a) ? f) ? l) ?

/ caso: & e"poente do radicando maior que o ndice.

Desse caso, decompomos o e"poente do radicando em fatores de modo que se ten6ae"poentes mltiplos do ndice.

11

@$

2 3

)

)

)

a x

a

c m =

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5

!"emplos:

40 Simplifique os radicais.

190 Simplifique os radicais.

!".: a) 2 2 3x a =

2 @

$ 3 %

) c) a

) d)

a a m m

b a x a

= =

=2 @m =

11-Simplifque os radicais.

2

3

2 $

3$

) $4

) 4"

) Aa

) 1%

a m

b

c

d m

=

=

=

=

2 A

2 19

3

$

) @a

) Am

) $

) 3

e

f

g a

h a x

=

=

=

=

12- Calcule.

@

2 @

@$

3 %

@ 4

)

)

)

) "

a a

b m

c m

e a

=

=

3

4

2 19

4$

3 A

) @

)

) 3

) @

%

f

g

h

i

=

=

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6/16

6

2

2

22

3 2

3 %

@ 3$

3 3

) 2% $4

) A %$

) 199 %$

) 13 1

) 1 4 A

) 199 2 9

) 1% 1 1

) . $4 2. 1 9

a

b

c

d

e

f

g

h

=

+ =

=

=

+ =

+ + =

+ =

+ =

13- Determine as razes.

2

$4)

3

11)

199

1)

A

a

b

c

=

=

=

2

$

3

@)

1999

1%)

A1

2)

$2

d

e

f

=

=

=

1$0 Eual o valor da e"presso

13,3

F4

+

15- Simplifque os radicais.

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7

( )

%

%

) 11"

) 3

)

) 1%m

a

b x

c x y

d y

=

=

+ =

=

% $

2 %

2 $

$ 19

) A1

) @

) A

) $4

e x y

f x

g m

h a x

=

=

=

=

16- ual o !alor de e"press#o ( ) 2

9

@

3

$

17- ual o !alor de e"press#o2 21 A $

F

4 1%

+ +

+

1%- ual o !alor de e"press#o @ $ F+ + +

1&- Simplifcando o radical 19 19$ ' temos(

a) 6 *) 4 c) 2 d) +

2+- Simplifque o radical 22

.$

21- Simplifque o radical@3

1.

22- ual o !alor num,rico da e"press#o . . 1.x y x y ' para " 12 e 3.

23- /se propriedades dos radicais e consulte a ta*ela para ac0ar um !alor apro"imado

dos radicais(

) 1

) 1A

) %2

) A9

) 3$

a

b

c

d

e

1,$1

2 1,@2

3 ,2

% ,$$

@ ,%$

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%

OPERAES COM RADICAIS

;ara adicionar ou subtrair, os radicais precisam ser semel0antes.

5ois ou mais radicais so semel0antesquando 1ossuem o mesmo indicie e o mesmo radicando.

!"emplos:

(A5/#A/S S!!

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&

26- Coloque ou para tornar a sentena !erdadeira.

) 3.......... @ c) 4 $..........3

b) 4 $........... 12 d) 1% 4..

a + +

+ ...... @

2 caso( s radicais s#o semel0antes.

!"emplos:

2 2

3 2

% @ @ @

% 3 3

+ =

+ + =

=

27- etue as adies e su*traes.

$ $

2 2 2 2

$ $ $

) @ 2 @ @ @

) A 2 19 2 3 2 2 % 2

) 4 3 3 3 4 3 3

) 3 3

) 19 3 19 19

) 2 A

) A A $ A

) @ 2

a

b

c

d

e

f

g

h

+ + + =

+ =

+ + + =

+ =

+ =

+ =

+ =

+ =

2 2 2 2

$ $ $ $ $

3 3 3

2 2

) $ % % % % @ %

) 3 1 1% 1 1 $ 1

) @ @ 2 @ 3 @ 13 @

) A A A 1 A

) % 4 2 4 19 4

) 2 1% A 2 19

) A 19 $ A $ 19 A A

) % 3 % 3 4 %

i

j

l

m

n

o

p

q

+ =

+ =

+ + + =

+ =

+ =

+ =

+ =

+ + =

MULTIPLICAO E DIVISO DE RADICAIS

8 duas situaes em que se pode multiplicar ou di!idir radicais( quando os ndices

s#o i9uais e quando s#o dierentes. :remos estudar somente os ndices i9uais.

"emplos(

$$

3. @$ .3 2

19 :

13 % :2

=

=

=

=

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10/16

1+

"erccios

2%- etue as multiplicaes e di!ises.

2 2

$$

22

2 2

) . @

) 3. 19

) %.

) 13.

) @. $

) 2.3 @

) 2 @. 3

) 3.2 %

) 3 2. @

a

b

c

d

e

f

g

h

i

=

=

=

=

=

=

=

=

22

$ $

2 2

$ $

2 2

) 13 : 2

) 9 :

) 13 : 3

) $9 : A

) 29 : 19

) 1 3 : 3

) 1A 1$ : % @

) 19 A :

) 9 : 3 2

j

l

m

n

o

p

q

r

s

=

=

=

=

=

=

=

=

=

2&- ;ultiplique os radicais e simplifque os produtos o*tidos.

33

2 2

) . 1A

) 2.

) A. $

) $4. @

a

b

c

d

=

=

=

=

2 2) $.

) 2. 1

) 2. @3

) . 2. %

e

f

g

h

=

=

=

=

3+- etue as multiplicaes e di!ises.

3 3

4 43 2

2 2

) .

) a :

) a.

a a am

b a

c a

=

=

=

@ @

$ $

2 2

) 3 : 13

) 3. 3

) 1 :

d

e

f

=

=

=

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11/16

11

POTENCIAO

*ser!e(

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12/16

12

RADICIAO

>e?amos(

2 222

% %%

) %$ A

) %$

a

b

= = =

= =

Conclus#o( conser!amos o radicando e multiplicamos os e"poentes.

Simplifcando' temos( .m n m na a=

"emplos( 2 2. %

. $

3 3 3

@ @ @

= =

= =

34- scre!a' usando um @nico radical.

2

$ 2

3 2

) A

) 3

)

) 2

a

b

c

d

=

=

=

=

2

$ 3

2

) 3

) @

)

) A

e

f

g a

h

=

=

=

=

35- Calcule e simplifque os radicais a*ai"o.

a)

*)

c)

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13

d)

RACIONALI(AO DE DENOMINADORES

)ATOR RACIONALI(ANTE, uma e"press#o com radical' cu?o produto com outro

radical torna uma e"press#o sem radical.

"emplo ual , o ator racionalizante de $

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

ual , o ator racionalizante de 5 $

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

ual , o ator racionalizante de $

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

ual , o ator racionalizante de $

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

ual , o ator racionalizante de 3 - 2$

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

36- scre!a o ator racionalizante de cada e"press#o.

) 3 d) 2 @

) 19 e) A 2

) 1

a

b

c f) A 11

37- scre!a o ator racionalizante de cada e"press#o.

2 2

3 3 2

$

) 3 d) A @

) % e) $ A

) 4

a

b

c % 3 f) 4

3%- scre!a o ator racionalizante de cada e"press#o.

) A 3 d) 2 1

) % e) 3 @

) @ 3 f) 2 3

a

b

c

+ +

+

3&- etue as multiplicaes.

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14

2 3 3 22

2 % % $ 2

@ @$ 2

) 3. 3 d) % . %

) A @ . @ e) $ A . A

) 3 .

a

b

c 2$$ f) 4 2. 2

4+- etue as multiplicaes.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

) % . % ?

) 2 1 . 2 1 ?

c) 3I @ . 3 @ ?

a

b

+

+

RACIONALI(AO DE DENOMINADORES

B

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15/16

15

2 2

2 $

3 $

@ ) f)

@ 2 3

3 A) )

3 2

) 2

a

b

c $

3 @ 2

2 %

@

6) 2 19

19 1) i)

$ a

3 4) 7)

% "

d

e

, caso+ denominador , uma soma ou dierena de dois termos' sendo pelo menos um dos

termos um radical.

$

3

32

+

43- Bacionalize os denominadores das raes.

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16/16

16

A)

@

1)

3 2

)

@ 3

$)

3 2

1)

3 1

2)

3 2

%)

3 2

@

) 2 3

$ 2)

$ 2

2)

3 @

3)2

19)

2

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

l

m

+

+

+

+