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Rafaela Bockorny Leite

Aplicacoes de Teoria dos JogosEvolucionarios a Estatıstica

Niteroi - RJ, Brasil

20 de dezembro de 2018

Universidade Federal Fluminense



Trabalho de Conclusao de Curso

Monografia apresentada para obtencao do grau de Bacharel emEstatıstica pela Universidade Federal Fluminense.

Orientador: Prof. Eduardo Ferioli Gomes

Co-orientador: Prof. Douglas Sad Silveira

Niteroi - RJ, Brasil

20 de dezembro de 2018

Universidade Federal Fluminense



Monografia de Projeto Final de Graduacao sob o tıtulo“Aplicacoes de Teoria dos Jogos Evolucionarios a Estatıstica”,defendida por Rafaela Bockorny Leite e aprovada em 20 de de-zembro de 2018, na cidade de Niteroi, no Estado do Rio deJaneiro, pela banca examinadora constituıda pelos professores:

Prof. Eduardo Ferioli GomesDepartamento de Estatıstica – UFF

Prof. Douglas Sad SilveiraFaculdade de Economia – UFJF

Prof. Thadeu Josino Pereira PennaInstituto de Ciencias Exatas – UFF

Prof. Viviana das Gracas Ribeiro LoboDepartamento de Metodos Estatısticos – UFRJ

Niteroi, 20 de dezembro de 2018

Resumo

A Teoria dos Jogos Evolucionaria surge como uma area de pesquisa que tenta mode-lar comportamentos aparentemente subotimos, mas que evolucionariamente se mostrambem-sucedidos. Este trabalho tem como objetivo estudar um caso especial da aplicacaoda teoria dos jogos a demografia com aplicacao dos metodos tradicionais de imitacaoconjuntamente com metodos de aprendizado Bayesiano para probabilidades de migracao.No estudo, foi utilizado o software R, capaz de simular um processo de migracao en-tre areas rurais e areas urbanas. Inicialmente, foram feitas codificacoes com o intuitode simular todos os dados que serao utilizados neste trabalho. A partir disso, com osdados simulados, foi possıvel analisar as variacoes nos parametros iniciais. Alem disso,aplicou-se um metodo de aprendizagem Bayesiano para auxiliar no processo da tomada dedecisao dos indivıduos. Ao termino do estudo, constatou-se que a informacao provenientedos indivıduos de referencia e utilizada para a tomada de decisao leva a uma formacaode clusters no modelo. Ademais, foi evidenciado que a variancia dos erros relacionadosa incerteza interfere diretamente neste processo de tomada de decisao do agente e nasvariacoes salariais dos cenarios estudados.

Palavras-chaves: Agente-Iteracao, Dinamica Evolucionaria, Inferencia Bayesiana, Mi-gracao, Modelo de Harris-Todaro, Teoria dos Jogos.

Dedicatoria

Dedico este trabalho, com muito carinho, aos meus pais Ana e Marco, tambem aomeu irmao Junior, minha avo Leci e meu namorado Igor, que sempre acreditaram no meupotencial e contribuıram com essa conquista. Por fim, a todos os meus professores dafaculdade, que foram essenciais na minha trajetoria academica.

”Nao sabendo que era impossıvel, ela foi la e fez.”Jean Cocteau.

Agradecimentos

Agradeco a toda minha famılia, namorado, amigos, meus orientadores, professores dafaculdade e pessoas que ajudaram na realizacao desse trabalho. Sou imensamente gratapela paciencia e incentivo.

Sumario

Lista de Figuras

Lista de Tabelas

1 Introducao p. 12

2 Objetivos p. 14

2.1 Objetivo Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 14

2.2 Objetivos Especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 14

3 Materiais e Metodos p. 15

3.1 Materiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 15

3.2 Metodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 15

3.2.1 Teoria dos Jogos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 15

3.2.2 Dinamica Evolucionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 18

3.2.3 Modelo de Harris-Todaro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 19

3.2.3.1 Formulacao do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 21

3.2.4 Modelos de Agente-Iteracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 23

3.2.5 Equilıbrio Bayesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 24

3.2.6 Artigos relacionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 27

3.2.7 Implementacao no trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 28

4 Analise dos Resultados p. 31

4.1 Definicao dos cenarios estudados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 31

4.2 Resultados por cenario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 32

4.2.1 Cenario 1: Focal e 4 vizinhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 32

4.2.2 Cenario 2: Focal e 5 referencias aleatorios . . . . . . . . . . . . p. 34

4.2.3 Cenario 3: Focal e 10 referencias aleatorios . . . . . . . . . . . . p. 37

4.2.4 Cenario 4: Focal, 4 vizinhos e 10 referencias aleatorios . . . . . p. 39

4.2.5 Comparativo dos cenarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 41

4.3 Teste com as variancias dos erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 42

4.3.0.1 Teste com σerros = 0.0001 . . . . . . . . . . . . . . . . p. 42

4.3.0.2 Teste com σerros = 0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 44

4.3.0.3 Teste com σerros = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 47

4.3.0.4 Comparativo dos testes com variancias . . . . . . . . . p. 49

4.4 Teste com outros valores iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 49

4.4.0.1 Proporcao: 0, 1 x 0, 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 49

4.4.0.2 Proporcao: 0, 3 x 0, 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 51

4.4.0.3 Proporcao: 0, 5 x 0, 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 53

5 Conclusao p. 57

Referencias p. 60

Lista de Figuras

1 Cenario 1: Planos Dimensionais (Antes x Depois). . . . . . . . . . . . . p. 33

2 Cenario 1: Populacao por Area. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 33

3 Cenario 1: Salarios por Area. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 34










13 σerros = 0.0001: Planos Dimensionais (Antes x Depois). . . . . . . . . . p. 43

14 σerros = 0.0001: Populacao por Area. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 43

15 σerros = 0.0001: Salarios por Area. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 44

16 σerros = 0.1: Planos Dimensionais (Antes x Depois). . . . . . . . . . . . p. 45

17 σerros = 0.1: Populacao por Area. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 46

18 σerros = 0.1: Salarios por Area. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 46

19 σerros = 1: Planos Dimensionais (Antes x Depois). . . . . . . . . . . . . p. 47

20 σerros = 1: Populacao por Area. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 48

21 σerros = 1: Salarios por Area. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 48

22 Proporcao: 0, 1 x 0, 9: Planos Dimensionais (Antes x Depois). . . . . . p. 50

23 Proporcao: 0, 1 x 0, 9: Populacao por Area. . . . . . . . . . . . . . . . . p. 50

24 Proporcao: 0, 1 x 0, 9: Salarios por Area. . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 51







Lista de Tabelas

1 Dilema do Prisioneiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 17

12

1 Introducao

A evolucao do ser humano e algo que vem sendo estudado ha geracoes no decorrer dacivilizacao humana. Na ultima decada, Samuel Bowles [1] tem estudado sobre evolucaohumana e as motivacoes sobre as quais as pessoas realizam suas acoes, egoıstas ou al-truısticas, visando o seu lucro e/ou sua boa reputacao e comparando todo esse cenariocom o mundo real economico a fim de provar que algumas teorias economicas tradicionaisaplicadas na maioria das vezes nao sao realmente funcionais.

Antecedendo esses estudos, a Teoria dos Jogos classica comecou a ganhar destaquee ser mais estudada em 1944 com Von Neumann [2] e seus estudos aplicados a econo-mia. Inicialmente, a teoria mais estudada era focada em jogos cooperativos, em que saoanalisados as estrategias para grupos de indivıduos para que eles possam obter o melhorresultado conjuntamente.

Em 1950, John Nash popularizou essa teoria criando uma solucao otima para jogoscom varios jogadores e seu exemplo mais famoso e o caso do Dilema do Prisioneiro [3].Neste exemplo, como em outros muitos jogos e como na evolucao humana, se supoe quecada jogador, de modo independente, quer aumentar ao maximo a sua propria vantagem“payoff” sem importar o resultado do outro jogador, ou seja, pensando na metafora doDilema do Prisioneiro, podemos concluir que os interesses proprios e racionais prejudicamo grupo (sociedade) se pensarmos na relacao com a evolucao humana.

Em 1967, John Harsanyi [4] desenvolveu alguns estudos sobre essa teoria e criou algunsconceitos importantes como os de jogos Bayesianos e de informacoes completas e incom-pletas, que serao utilizados no trabalho. Posteriormente, junto com John Nash, ambosganharam o Premio Nobel de Economia. Na decada de 70, a Teoria dos Jogos passou aser estudada por John Maynard Smith, sendo aplicada na area biologica para o estudoda evolucao do comportamento das especies animais, e se estendendo para a evolucao dasespecies em geral e ao processo de selecao natural [5]. Ademais, o mesmo criou o conceitode estrategia evolucionaria estavel que ajudou a mapear a evolucao do comportamento es-

1 Introducao 13

trategico, introduzindo o conceito de racionalidade limitada, que assume que os indivıduospossuem uma capacidade de aprendizado na medida em que interagem estrategicamentecom outros indivıduos. Essa premissa, em conjunto com as condicoes iniciais que norteiamo jogo, sao cruciais para que se atinja a condicao de equilıbrio Bayesiano.

Em decorrencia de sua crescente popularizacao, a teoria dos jogos foi sendo cada vezmais aplicada em areas como ciencias polıticas, ciencias da computacao, etica, economia,filosofia e ate jornalismo se torna cada vez mais constante.

No presente trabalho, a Teoria dos Jogos sera aplicada a demografia, tendo comoobjetivo a aplicacao ao caso de migracao entre areas rural e urbana usando um modelo deHarris-Todaro [6] e conceitos da dinamica evolucionaria e de inferencia Bayesiana comospins do modelo no processo de interacao entre os jogadores.

O modelo de Harris-Todaro [6], e o modelo utilizado na literatura para tratar casosaplicados a demografia, em especial, casos de migracao. Ademais, podemos dizer que omesmo foi utilizado para modelar o comportamento dos agentes como um todo e nao demodo individual. Posteriormente, foi empregado o processo de aprendizagem bayesiana nainteracao entre os indıviduos como forma de aperfeicoar a tomada de decisao do mesmo.

Este trabalho esta organizado da seguinte maneira: o capıtulo 1 apresenta uma sucintaintroducao sobre o tema que sera abordado no trabalho e suas motivacoes. No capıtulo2, sao explicitados os objetivos, de maneira formal, o objetivo principal e os objetivosespecıficos do trabalho a serem atingidos. Em seguida, o capıtulo 3 expoe os materiais e asmetodologias usadas para a realizacao das simulacoes como o modelo de Harris-Todaro [6]e o equilıbrio bayesiano. No capıtulo 4, serao apresentados os resultados obtidos atravesdo modelo proposto e suas variacoes em cada cenario estudado. Por fim, o capıtulo 5apresenta as conclusoes dos diferentes cenarios das simulacoes e os compara com dados jaexistentes na literatura.

14

2 Objetivos

Neste capıtulo sera apresentado os objetivos, principal e especıficos, definidos comomotivacao para a realizacao do trabalho.

2.1 Objetivo Principal

Analisar e testar a aplicacao da teoria dos jogos evolucionaria a demografia. Emespecial, vamos estudar um caso particular de migracao entre areas urbanas e rurais uti-lizando o modelo de Harris-Todaro [6] conjuntamente com um modelo de agente-iteracao.Ademais, foi implementado um enfoque Bayesiano as probabilidades de migracao entreos setores e a tomada de decisao do agente, a fim de se observar o comportamento desseprocesso em diferentes cenarios.

2.2 Objetivos Especıficos

i) Elaborar um processo Bayesiano para mapear a migracao dos agentes;

ii) Verificar e tornar a maneira como os agentes aprendem sobre os salarios e calculamsuas decisoes em um processo de estimacao Bayesiana.

15

3 Materiais e Metodos

Neste capıtulo sera apresentado os materiais utilizados e as definicoes dos modelos eprocessos utilizados para a geracao e simulacao dos dados necessarios para a realizacaodo trabalho.

3.1 Materiais

Os dados apresentados no trabalho sao derivados de simulacoes realizadas no soft-ware R [7]. A escolha por trabalhar com esse tipo de dados segue um embasamento dapropria literatura, ja que sao particularmente raros os resultados analıticos derivados deum sistema de interacao entre agentes.

De fato, seguimos tambem a mesma linha dos trabalhos ja publicados na area daFısica, que estao descritos na subsecao Artigos Relacionados (3.2.6), e utilizam esse mesmoprocesso de iteracao entre agentes e o modelo de Harris-Todaro [6] como referencia. Aunica diferenca entre os tipos de modelagem apresentadas e a usada no trabalho derivamda relacao com o spin do modelo e o modulo de aprendizagem bayesiana do agente.

3.2 Metodos

3.2.1 Teoria dos Jogos

A teoria dos jogos e uma teoria matematica que, de modo amplo, estuda a interacao es-trategica entre agentes. Inicialmente se popularizou quando von Neumann e Morgenstern[2] propuseram o seu uso para a analise de cenarios economicos visando a maximizacaodo ganho [2].

Antes de darmos continuidade a discussao de Teoria dos Jogos, alguns conceitos sobreesse assunto devem ser bem definidos, como segue abaixo:

3.2 Metodos 16

• Agente: e todo jogador que participa e possui objetivos/intencao;

• Jogador: e aquele que esta envolvido em um jogo;

• Payoff : e a recompensa resultante do jogador apos a interacao, pode ser positivoou negativo;

• Jogo: situacao na qual dois ou mais jogadores de uma interacao tomam decisoes es-trategicas considerando as atitudes e respostas dos outros. Ao fim de cada interacao,cada jogador recebe um payoff positivo ou nao;

• Estrategia: conjunto de opcoes de acao que os jogadores tem para chegar a todo osresultados possıveis;

• Estrategia otima: aquela que maximiza o payoff esperado de um jogador tomandocomo dado as estrategias dos outros;

• Estrategia dominante: aquela que e otima, melhor que todas as possıveis, indepen-dente da escolha de jogada do oponente;

• Estrategia pura: sao jogos em que os jogadores nao baseiam suas estrategias naaleatoriedade. Em outras palavras, sao as diferentes acoes que um jogador podetomar;

• Estrategia Mista: jogadores podem escolher suas acoes com o uso da aleatoriedade.Ademais, existe a incerteza de um jogador sobre o que os outros jogadores farao;

• Equilıbrio de Nash: situacao na qual, dadas as decisoes tomadas por outros compe-tidores, nenhum jogador pode melhorar sua situacao mudando sua propria decisao,ou seja, nao existe incentivo para se desviar unilateralmente e a sua decisao e amelhor resposta a estrategias dos outros;

• Jogos de Informacao Perfeita: aqueles no qual todos os jogadores conhecem osacontecimentos, ganhos e jogadas, do jogo feitos por todos ate entao. Em resumo,as funcoes de payoff de todos os jogadores sao de conhecimento comum a todos;

• Jogos de Informacao Incompleta: pelo menos 1 jogador esta incerto sobre as funcoesde payoff dos outros jogadores. Assim, podemos dizer que ha assimetria de in-formacao, ou seja, um dos participantes pode ter informacoes que os outros naopossuem.

3.2 Metodos 17

Apos a apresentacao de todos esses conceitos importantes, podemos dar continuidadeao assunto principal, voltando a citar John Nash e o caso do Dilema do Prisioneiro [3].

Em 1950, John Nash [8] desenvolveu uma nova estrategia otima, aquela que maximizaa recompensa esperada de um jogador, para jogos com varios jogadores, e essa novaestrategia ficou conhecida como “Equilıbrio de Nash”, em que um dos seus exemplos maisfamosos e o caso do Dilema do Prisioneiro. Nesse caso, o equilıbrio de Nash se encontrapresente apesar do mesmo ser um problema de estrategia estritamente dominante, ouseja, ha sempre uma estrategia que gera um melhor payoff independente da estrategiaescolhida pelo outro jogador.

O Dilema do Prisioneiro diz sobre a seguinte situacao: dois suspeitos A e B saoacusados de um mesmo crime. Ambos sao postos em salas separadas e sem possibilidadede comunicacao para com o outro. E feita a mesma proposta para ambos, em que elespodem escolher entre confessar ou negar o crime. Se os dois negarem, serao presos apenaspor 1 ano. Se ambos confessarem, serao presos por 6 anos. Mas se um deles confessar eo outo negar, o que confessou sera liberado imediatamente enquanto o que negou pegara9 anos de prisao. A Tabela 1 mostra a esquematizacao desse dilema:

Tabela 1: Dilema do Prisioneiro

Prisioneiro 2Negar Confessar

Prisioneiro 1 Negar -1, -1 -9, 0Confessar 0, -9 -6, -6

Nesse exemplo, como em muitos outros jogos, se supoe que cada jogador, de modoindependente, quer aumentar o seu payoff, sem importar o resultado do outro jogador.Porem, a melhor saıda para os dois jogadores, nesse exemplo, seria a menos aceitavel poisrequer uma cooperacao mutua dos participantes. Resumidamente, o Equilıbrio de Nashe a solucao em que nenhum dos jogadores pode melhorar seu resultado com um desviounilateral de estrategia. Esse conceito e fundamental na Teoria dos Jogos e comumenteusado para estimar resultados de interacao estrategica.

No presente trabalho, a Teoria dos Jogos foi essencial para toda a esquematizacao doprocesso de migracao, pois os mesmos usavam dessa teoria como base. Na subsecao (3.2.2),vamos descrever a Teoria dos Jogos Evolucionaria e o inıcio dos processos e modelosutilizados no trabalho.

3.2 Metodos 18

3.2.2 Dinamica Evolucionaria

Primeiramente, e necessario evidenciar que a parte principal dos conceitos que va-mos usar neste trabalho deriva da Teoria dos Jogos Evolucionaria. Essa teoria e umaramificacao da Teoria dos Jogos apresentada anteriormente e que tem como motivacao adinamica entre populacoes. A sua grande contribuicao e a racionalidade limitada1 parapoder avaliar a evolucao do comportamento estrategico envolvendo dinamica populacio-nal.

A teoria dos Jogos Evolucionaria foi originada devido a aplicacao da Teoria dos Jogosja conhecida na area biologica, e com isso, foi percebido que podemos introduzir umaspecto estrategico na evolucao das especies. Os estudiosos que fizeram as primeirasgrandes contribuicoes a essa teoria foram John Maynard Smith [9] e o matematico JohnNash [8]. Outros estudos importantes tambem foram feitos por Taylor e Jonker [10], nocampo da matematica aplicada a biologia, e por Friedman [11], na economia.

Diferentemente do esperado, a “evolucao” nao necessariamente precisa se referir aoconceito de evolucao das especies, mas pode tambem ser uma “evolucao cultural” atravesdo tempo quando nos referimos a mudancas de habitos e regras.

Dando continuidade a dinamica evolucionaria, John Smith [5] criou o conceito impor-tante de Estrategia Evolucionariamente Estavel (ESS) que e uma estagnacao evolucionariacom respeito aos comportamentos considerados, ou seja, nao existe mudanca na frequenciarelativas das estrategias com o tempo. Alem disso, esse tipo de estrategia pode ocorrerde duas maneiras. As mesmas se encontram explicitadas abaixo:

• ESS Pura: um comportamento e mais apto que todos os outros;

• ESS Mista: uma combinacao especıfica de comportamentos onde nao ha um com-portamento que seja mais apto que qualquer um dos demais.

Em suma , na teoria evolucionaria podemos concluir as seguintes informacoes [12]:

• Os jogadores sao racionais (racionalidade limitada);

• O jogo base (stage game), dado pela matriz de payoffs, e repetido infinitas vezes;

• Os jogadores possuem uma dinamica de adaptacao de estrategia, ou seja, podemmudar sua estrategia ao longo do jogo, de acordo com o seu ganho.

1A incapacidade do agente de compreender todas as informacoes

3.2 Metodos 19

A Teoria dos Jogos Evolucionaria foi utilizada no presente trabalho para criar o cenariode interacao entre os agentes e a dinamica do migracao entre as areas rural e urbana. Naproxima subsecao, vamos descrever o modelo de Harris-Todaro [6] que foi utilizado noprocesso de geracao e simulacao dos dados como passo da dinamica migratoria.

3.2.3 Modelo de Harris-Todaro

O modelo de Harris-Todaro [6] e um modelo economico, que e amplamente utilizadopara explicar problemas de migracao entre areas rurais e urbanas.

O modelo foi desenvolvido pensando no notavel fenomeno de exodo rural para o cenariourbano que e recorrente em paıses subdesenvolvidos e por isso, ainda e comumente usadonos dias de hoje. O fato curioso e que a migracao de trabalhadores entre as areas rural eurbana ainda existe e esta em processo acelerado apesar de nıveis significantes de desem-prego urbano e da existencia de produtos marginais2 positivos na agricultura, isto e, avariacao na producao total decorrente da variacao de uma unidade no fator de producaovariavel [14].

Alem disso, sabemos que modelos economicos convencionais sao difıceis de forneceraplicacoes comportamentais para esses nıveis consideraveis e crescentes de desempregourbano na ausencia de mao-de-obra na economia como um todo. Por fim, essa falta deum modelo analıtico adequado para explicar o fenomeno do desemprego, muitas vezesleva a explicacoes equivocadas sobre o assunto e fez com que o modelo de Harris-Todarose destacasse.

O modelo basico consiste em um modelo de comercio interno de dois setores comdesemprego. A caracterıstica que distingue esse modelo dos demais e que a migracaoprocede em resposta as diferencas rurais-urbanas em ganhos esperados. Alem disso, ataxa de emprego urbana age como uma forca de equilıbrio nesse processo de migracao.

Dentre as finalidades do modelo, as mais utilizadas sao:

1. Mostrar que apesar do desemprego, a migracao continua a existir dado um salariomınimo urbano determinado;

2. Mostrar que existe um padrao nas polıticas economicas adotadas;

3. Avaliar nao so as implicacoes para o bem-estar de polıticas alternativas, como2O produto extra gerado por 1 unidade adicional desse fator de producao, quando os outros se mantem

constantes. [13]

3.2 Metodos 20

tambem o impacto da migracao e do desemprego no bem-estar do setor rural comoum todo;

4. Argumentar que na ausencia de flexibilidade no salario, uma boa polıtica seria umpacote incluindo subsıdios parciais de salario e medidas para restringir a livre mi-gracao.

Os dois setores analisados no modelo de Harris-Todaro [6] sao o setor rural e o setorurbano. Para fins analıticos, iremos diferenciar os setores pelo ponto de vista de producaoe renda e tambem considerar que o produto marginal agrıcola e sempre positivo e inver-samente relacionado ao tamanho da mao-de-obra rural. Alem disso, vale explicitar quea variavel do salario mınimo inserida no modelo e exogena, ou seja, e definida fora domodelo e o mesmo nao e capaz de explica-la e que uma das hipoteses importantes domodelo e que nao ha a oferta de propriedade privada de terra.

O setor urbano e aquele especializado na producao do bem manufaturado (indus-trializado), parte do qual e exportado para o setor rural em troca por bens agrıcolas. Osetor rural, por sua vez, tem a escolha de usar toda sua mao-de-obra disponıvel paraproduzir um bem agrıcola, parte do qual e exportado para o setor urbano ou usar ape-nas parte da sua mao-de-obra para produzir esse bem enquanto exporta a mao-de-obrarestante para o setor urbano em troca de salarios pagos na forma do bem manufaturado.

A suposicao crucial a ser feita no modelo e de que a migracao rural-urbana continuaraenquanto a renda real urbana esperada exceder o produto real agrıcola, ou seja, os pros-pectivos migrantes rurais vao se comportar como maximizadores da utilidade esperada3.

Para fins analıticos, devemos supor tambem que a forca de trabalho urbana totalconsiste de um proletariado urbano permanente sem vınculo com o setor rural mais aoferta disponıvel de migrantes rurais.

A partir disso, assumimos que existe um processo periodico de selecao aleatoria detrabalho sempre que o numero de trabalhos disponıveis e excedido pelo numero de pessoasprocurando emprego. Assim sendo, o salario urbano esperado e igual ao salario mınimofixo (expresso em termos de bens manufaturados) vezes a proporcao da forca de trabalhourbana efetivamente empregada, dada pela equacao 3.6.

Por fim, assumimos um comportamento perfeitamente competitivo por parte dos pro-dutores em ambos os setores, com a simplificacao adicional que o preco do bem agrıcola

3A utilidade esperada de um jogo e a utilidade de seus possıveis resultados ponderada por suasrespectivas probabilidades, isto e, e o valor esperado da utilidade de seus resultados. [2]

3.2 Metodos 21

(expresso em termos de bens manufaturados) e determinado diretamente pela quantidaderelativa dos dois bens produzidos.

3.2.3.1 Formulacao do Modelo

As funcoes e variaveis do modelo original seguem descritas abaixo:

A producao do bem agrıcola, definido por Xa, e uma funcao do trabalho rural usadopara produzir esse produto (Na), da disponibilidade fixa de terra (L) e do estoque decapital fixo (Ka). A sua equacao segue definida abaixo:

Xa = q(Na, L,Ka), q′ > 0 e q′′ < 0, (3.1)

sendo q′ e a derivada de q com respeito a Na, unico fator variavel.

Analogamente, a producao do bem manufaturado, definido por Xm, e uma funcao dotrabalho total (urbano + migrante rural) necessario para produzir esse produto (Nm) edo estoque de capital fixo (Km). A equacao segue definida abaixo:

Xm = f(Nm, Km), f ′ > 0 e f ′′ < 0, (3.2)

sendo f ′ e a derivada de f com respeito a Nm, unico fator variavel.

Sabendo disso, o Preco (P ) e o preco do bem agrıcola em termos do bem manufatu-rado, isso fica evidente de acordo com a equacao mostrada abaixo:

P = ρ(Xm

Xa

), ρ′ > 0. (3.3)

Definimos tambem Wa, que e o salario real agrıcola, e e igual ao valor do produtomarginal do trabalho na agricultura expresso em termos do bem manufaturado comopodemos verificar abaixo:

Wa = P × q′. (3.4)

Por sua vez, o salario real na industria, expresso em termos de bens manufaturados,e equiparado ao produto marginal do trabalho na industria por causa da maximizacaodo lucro por parte dos produtores perfeitamente competitivos [15]. Porem, esse salario e

3.2 Metodos 22

restrito para ser maior ou igual ao salario mınimo urbano fixado, como mostrado a seguir:

Wm = f ′ ≥ Wm. (3.5)

Em nossa analise, nos lidaremos apenas em casos que f ′ = Wm, ou seja, nunca ha umexcesso de demanda de trabalho (mao-de-obra) ocasionado pelo salario mınimo.

O salario real esperado no setor urbano, W eu , e igual ao salario mınimo real Wm

ajustado para a proporcao da forca de trabalho total urbana (urbano permanente +migrantes, denotados por Nu) realmente empregados (efetivamente), Nm/Nu.

W eu = Wm ×

(Nm

Nu

),

Nm

Nu

≤ 1. (3.6)

so no caso de pleno emprego4 no setor urbano (Nm = Nu), o salario esperado e igual aosalario mınimo (W e

u = Wm).

Ademais, existe uma restricao trabalhista que diz que a soma dos trabalhadores efe-tivamente empregados no setor agrıcola (Na) mais a forca de trabalho urbana total (Nu)deve ser igual a soma das dotacoes iniciais de trabalho rural (Nr) e do urbano permanente(Nu) que, por sua vez, e igual a dotacao total de mao-de-obra (trabalho) (N) como vemosabaixo:

Na +Nu = Nr +Nu = N. (3.7)

A condicao do equilıbrio e derivada da hipotese que a migracao para a area urbanae uma funcao positiva da diferencial dos salarios esperados rural-urbano. A mesma podeser vista abaixo:

Wa = W eu . (3.8)

pode ser escrito formalmente tambem como:

Nu = ψ

(Wm ×Nm

Nu

− P × q′). (3.9)

em que Nu e uma derivada de tempo. A migracao so terminara quando o diferencial derenda esperado for zero.

4Pleno Emprego refere-se a utilizacao total dos fatores de producao ou seja, quando todos os fatoresde producao encontram-se no ponto de equilıbrio entre oferta e demanda. [13]

3.2 Metodos 23

Finalmente, temos 8 equacoes descritas e 8 variaveis desconhecidas, sao elas: Xa, Xm,Na, Nm, Wa, W e

u , Nu e P .

Dado as funcoes de producao e um salario mınimo fixo (Wm), e possıvel resolver oemprego por setor, a taxa de desemprego de equilıbro e, consequentemente, o salarioesperado do equilıbrio, os nıveis de producao relativos e os termos de troca.

Fica evidente no modelo de Harris-Todaro [6] que o salario mınimo causa uma perdade emprego e, tambem de producao em ambos os setores rural e urbano. Alem disso,vemos que o equilıbrio so e alcancado com a presenca do desemprego inserido no modelo.

O modelo de Harris-Todaro [6] demonstrado acima foi implementado de maneira ajus-tada no trabalho e serviu de base para a geracao de todo o processo de simulacao ate ocalculo dos salarios para cada setor. O processo utilizado esta descrito na subsecao 3.2.7.Apos essa implementacao, e possıvel iniciar a dinamica de replicacao de agentes porimitacao descrita na proxima subsecao (3.2.4).

3.2.4 Modelos de Agente-Iteracao

Os modelos de Agente-Iteracao sao mais conhecidos na literatura como “Agent-BasedSimulations”, ou em sua melhor traducao, Replicacao por Imitacao. Os estudos sobreesse tipo de modelagem se iniciaram em torno de 1940, porem somente em 1971, ThomasSchelling [16] desenvolveu um dos primeiros modelos baseados na iteracao de agentes,que foi o chamado modelo de segregacao. A popularizacao se deu nos anos 90, com osavancos tecnologicos e dos softwares, que permitiram que o tema fosse melhor exploradoe desenvolvido.

De acordo com a literatura, grande parte das pesquisas envolvendo o uso desses mo-delos descrevem sistemas em equilıbrio ou que tem um movimento durante o processo deequilıbrio [17]. Ademais, assim como na Teoria dos Jogos, os modelos de Agente-Iteracaotem aplicacoes cada vez mais constantes em areas como biologia, negocios, tecnologia,economia, ciencias sociais e ciencias da computacao.

Inicialmente, duas definicoes importantes sobre o assunto devem ser esclarecidas, adefinicao de “Agent-Based” e “Agent-Representative”, em melhor traducao, Baseado emAgentes e Agente Representativo. O Baseado em Agentes e modelado de acordo comcada indivıduo, pois os agentes que fazem coisas diversas e fogem do padrao, enquanto oAgente Representativo e o agente que age tipicamente como esperado e realiza as mesmasacoes previstas sobre ele.

3.2 Metodos 24

Ao falarmos sobre a replicacao por imitacao na analise do equilıbrio evolucionario,sabemos que o processo se torna estocastico [18], ou seja, varia de forma aleatoria, emalgum grau, com o decorrer do tempo. A proposito, durante a implementacao dessesmodelos sabemos que sua dinamica e comandada somente pela interacao dos participantesdo sistema, sem a necessidade de interferencia posterior ao seu inıcio.

No presente trabalho, a replicacao por imitacao foi utilizada para ajudar no processode tomada de decisao do agente sobre a migracao.

Supondo a sua implementacao, dado um instante no tempo (t = 0 para inıcio), adinamica evolutiva e inserida em uma sequencia e a cada passo da replicacao, um agentedenominado Focal i, que tem o poder de mudar a sua localizacao, e escolhido de formasistematica (seguindo a ordem de cada elemento na matriz por colunas) dentro da po-pulacao. Ao mesmo tempo, um Agente j e aleatoriamente escolhido na sua rede espacialcomo agente Referencia j. O agente Focal i compara Wi e Wj, os salarios esperados decada agente, e analisa a possibilidade de imitar o Referencia em duas etapas formuladasabaixo:

• Wi > Wj, o agente i se mantem na sua localidade;

• Wi < Wj, o agente i imita o agente j e migra para a regiao do agente j.

Numa rede espacial, espaco que sera utilizado no trabalho e conforme pode ser vistonos trabalhos de Hauert e Doebeli [18], temos o conceito de vizinhanca local e por isso, osindivıduos nao interagem com toda a populacao por causa da maneira que estao dispostose o tipo de interacao que estamos realizando.

A proxima subsecao apresenta a descricao do processo de Equilıbrio Bayesiano, usadopara criar a aprendizagem dos agentes sobre o processo de migracao, ajudando os mesmosna sua tomada de decisao.

3.2.5 Equilıbrio Bayesiano

O Equilıbrio Bayesiano e uma das representacoes do equilıbrio de Nash. Inicialmente,para explicarmos a sua ideia e aplicabilidade no presente trabalho, e preciso definir algunsoutros conceitos que antecedem e deram origem a esse tema.

Em 1967, John Harsanyi [4] desenvolveu a ideia de Jogos Bayesianos, que de umaforma geral, sao uma generalizacao dos jogos em sua forma normal, porem onde os jo-

3.2 Metodos 25

gadores planejam as suas estrategias com informacoes privadas sobre o jogo. Algumasdefinicoes importantes sao:

• Informacao Incompleta: ao menos um jogador e incerto sobre a funcao de payoff deoutro jogador;

• Informacao Imperfeita: as estrategias de pelo menos um outro jogador nao e deconhecimento comum;

• Sinal Publico: todo jogador recebe o mesmo sinal de informacao correto;

• Sinal Privado: diferentes jogadores recebem diferentes sinais.

De um modo mais abrangente, um jogo Bayesiano e um jogo no qual, antes dos jogado-res comecarem a planejar suas estrategias, alguns jogadores recebem alguma informacaosobre o jogo, que o resto dos jogadores nao sabe. Por isso, os jogos Bayesianos tambempodem ser chamados de jogos de informacao incompleta, pois ao menos um agente eduvidoso sobre as intencoes dos outros jogadores.

De acordo com a literatura, o metodo da “transformacao de Harsanyi” [4], modo comoficou conhecido, ganhou destaque pois mostra uma solucao para jogos de transformacaoincompleta. Essa transformacao consiste em atribuir probabilidades aos eventos do jogo,fixando as opinioes dos jogadores sobre as estrategias dos oponentes. As probabilidadesque expressam o aprendizado dos jogadores a partir das acoes dos oponentes sao atuali-zadas a partir do Teorema de Bayes.

O Teorema de Bayes [19] diz que dado os eventos B1, B2, ..., Bk tal que P (Bj) > 0para j = 1, ..., k, e A um evento tal que P (A) > 0. Entao, para i = 1, ..., k temos que:

P (Bj | A) = P (Bj)× P (A | Bj)∑P (Bj)× P (A | Bj)

(3.10)

A partir dessas informacoes, temos que o equilıbrio derivado desse processo tem ocomportamento parecido com o equilıbrio de Nash, e podemos concluir que ao incluiro processo bayesiano de probabilidades, os jogadores nao tem incentivo para mudar suaestrategia original. Em suma, o equilıbrio Bayesiano aplicado em jogos de informacaoincompleta e um equilıbrio de Nash num jogo de informacao imperfeita com as informacoessobre os jogadores agregada.

Em um equilıbrio Bayesiano, as crencas dos jogadores se comportam como uma dis-tribuicao a priori por serem consistentes. Uma hipotese importante em jogos bayesianos

3.2 Metodos 26

e que os espacos de estrategia, as funcoes de payoff, os possıveis tipos de jogadores e asdistribuicoes de probabilidade a priori sao sempre ditas de conhecimento comum.

De acordo com a inferencia Bayesiana, podemos aperfeicoar o conhecimento sobre umasituacao, incorporando informacoes e com a ajuda do teorema de Bayes. Esse teorema[19], diz que para dois eventos quaisquer A e B, dado P (A) > 0, podemos definir aprobabilidade condicional de A dado B como sendo:

P (Bj | A) = P (Bj ∩ A)P (A) (3.11)

Seja θ, o vetor de parametros de interesse desconhecido, assume valores em Θ porcausa da sua incerteza, e aleatorio e, por isso, podemos atribuir uma distribuicao paraθ pelo ponto de vista bayesiano. Sabemos que todo o conhecimento inicial adquiridopelos parametros de interesse desconhecidos e representado por p(θ). Alem disso, suadistribuicao a priori e qualquer informacao relevante sobre o mesmo e expressa pela suafuncao de verossimilhanca. Atraves do Teorema de Bayes e da combinacao da distribuicaoa priori e da funcao de verossimilhanca, podemos obter a distribuicao dos parametros deinteresse atualizada, que e chamada de distribuicao a posteriori [20]. A mesma se encontradescrita abaixo:

p(θ | X) = L(θ | X)× p(θ)p(X) , (3.12)

em que p(θ | X) e a distribuicao a posteriori de θ, L(θ | X) a sua funcao de verossi-milhanca e p(X) e a distribuicao marginal de X.

Sabemos que, 1 \ p(X) e uma constante normalizadora de p(θ | X) pois nao dependede θ, ou seja, podemos reescrever a equacao 3.12 como:

p(θ | X) ≈ L(θ | X)× p(θ). (3.13)

Nesse estudo, o processo de aprendizado Bayesiano e utilizado como spin do modelo.Em termos comparativos com os artigos descritos na subsecao 3.2.6, os mesmos tinhamcomo spin um modelo de Ising [21], um spin de mecanica-estatıstica que tinha comoobjetivo principal alinhar os grupos. Analogamente, o que utilizamos alem de manteressa configuracao, mantem a propriedade de ferro magnetico existente no modelo Ising[21] e adiciona a parte de estatıstica bayesiana sobre o processo de aprendizado do jogo,

3.2 Metodos 27

tornando-o uma versao mais coerente com a teoria Estatıstica em comparacao aos modelosja propostos.

3.2.6 Artigos relacionados

No presente trabalho, foram usados alguns artigos relacionados para pequena com-paracao inicial sobre o comportamento do modelo de Harris-Todaro [6]. Apesar dasaplicacoes serem em areas distintas, podemos tirar algumas conclusoes importantes deri-vadas do uso do modelo.

Nos artigos descritos a seguir, a ideia principal era testar diferentes cenarios e modelosjunto com o modelo de Harris-Todaro [6] a fim de se observar as diferencas migracionaisentre as areas rural e urbana. Um fato importante e que todos estudam a dinamica domodelo e sao “Agent-Based Simulations”, ou seja, aplicam o processo de replicacao porimitacao. Abaixo, cada artigo esta resumido brevemente, mas antes alguns conceitosimportantes serao definidos para o entendimento completo de seus assuntos tratados.

• Dimensao de uma matriz: refere-se ao seu tamanho, e definido pelo seu numero delinhas e colunas.

• Modelo Ising: e um modelo de mecanica estatıstica que estuda o comportamento decomo elementos individuais (em paralelo com o nosso trabalho, os agentes), alteramo seu estado de acordo com o estado de seus vizinhos.

• Macroestados: e um pequeno numero de variaveis de um sistema que sao suficientespara descrever o sistema na escala atual usada. Em outras palavras, e o estado dosistema utilizado em termos das ligacoes externas impostas ao sistema.

Apos a definicao desses conceitos, temos que no primeiro artigo “Rural-urban migra-tion in D-dimensional lattices” [22], em sua melhor traducao, “Migracao rural-urbana emmatrizes D-dimensionais”, o modelo de Harris-Todaro e implementado de uma maneiradiferente do modelo proposto no nosso trabalho. Os autores, Espınola, Penna e Silveirapropoem estudar os diferentes comportamentos em relacao ao equilıbrio do processo demigracao em matrizes de dimensoes que variam entre 3 e 7. Por fim, pode-se concluir quea variacao na dimensao das matrizes pouco modifica alguns dos resultados encontrados noestudo com matrizes bidimensionais. Porem, quanto maior a dimensao da matriz, maiora vizinhanca que cada trabalhador (indivıduo) tera, ou seja, essa e a causa da pequenadiferenca nos resultados.

3.2 Metodos 28

Ja no artigo “Agent-based model to rural-urban migration analysis” [21], ou na suaforma traduzida, “Modelo baseado em agentes para analise da migracao rural-urbana” omodelo de migracao rural-urbano foi analisado no cenario basico e o processo foi forma-lizado como um modelo Ising. No geral, foi visto que as decisoes de migracao descen-tralizados podem levar ao surgimento de macroestados de equilıbrio, com caracterısticasobservadas em economias em desenvolvimento.

Analogamente, no artigo “A Harris-Todaro Agent-Based Model to Rural-Urban Mi-gration” [23], em traducao livre, “Um modelo de Harris-Todaro baseado em agentes paraa migracao rural-urbana”, o mesmo modelo Ising foi utilizado com a implementacao com-putacional do modelo de Harris-Todaro baseado em agentes e com a inclusao de um salariomınimo na area urbana. Por fim, a condicao generalizada do Harris-Todaro e satisfeitaquando o equilıbrio a longo prazo e atingido, dado que o mesmo e criado pelos agentes quetentam se adaptar ao cenario economico. Ademais, foi visto tambem um padrao agregadonao encontrado no modelo original, fenomeno conhecido como migracao reversa.

3.2.7 Implementacao no trabalho

No presente estudo, uma diferenca relevante em relacao ao modelo tradicional deHarris-Todaro [6] foi a implementacao do mesmo sem a utilizacao do salario mınimo fixo.As variaveis utilizadas no modelo seguem descritas abaixo de acordo com a ordem degeracao utilizada no processo de simulacao dos dados:

1. Nıvel de producao do produto agrıcola:

Ya = Aa ×Nφa , (3.14)

em que:

• Na e a quantidade de trabalhadores usados na producao agrıcola;

• Aa > 0 e 0 < φ < 1 sao constantes parametricas.

2. Nıvel de producao do produto manufaturado (industrializado):

Ym = Am ×Nαm, (3.15)

em que:

3.2 Metodos 29

• Nm e a quantidade de trabalhadores empregados na producao de produtosmanufaturados (industrializados);

• Am > 0 e 0 < α < 1 sao constantes parametricas.

3. Salario Real Agrıcola:Wa = φ× Aa ×Nφ−1

a × p, (3.16)

em que:

• Wa e o salario real desse setor, expressado em unidades do produto manufatu-rado (industrializado);

• p e o preco do produto agrıcola, expressado em unidades do produto manufa-turado (industrializado).

4. Salario Real Manufatura:

Wm = α× Am ×Nα−1m . (3.17)

em que:

• Wm e o salario real desse setor;

• Nm e a quantidade de trabalhadores no setor urbano.

5. Preco relativo do produto agrıcola em termos do produto manufaturado:

p = ρ(YmYa

)γ. (3.18)

em que:

• ρ > 0 e γ > 0 sao constantes parametricas;

• γ e a elasticidade de p com relacao a YmYa

.

Apos a aplicacao do modelo descrito acima, sera implementado o modelo de agente-iteracao descrito na subsecao 3.2.4, em que o agente tem a possibilidade de realizar atomada de decisao sobre a migracao.

3.2 Metodos 30

Alem disso, concomitantemente, sera aplicado o processo de aprendizagem Bayesiana,mostrado na subsecao 3.2.5, para que essa tomada de decisao seja sempre aperfeicoada acada replicacao do modelo. Para todos os cenarios apresentados no capıtulo 4 assumiu-sea seguinte distribuicao a posteriori:

θ|x ∼ N(µ1, τ21 ) (3.19)

em que,

µ1 = τ−20 µ0 + nσ−2x

τ−20 + nσ−2 ; (3.20)

e,τ 2

1 = τ−20 + nσ−2. (3.21)

Essa distribuicao a posteriori representa o salario esperado para ambas as zonas efoi escolhida por seguir em linha com as distribuicoes ja implementadas no estudo. Nosmodelos implementados, temos que os erros e a matriz de salarios, que contem os salariosde toda a populacao, seguem distribuicao Normal.

Logo, assumiu-se que:

• X ∼ N(µ, σ2), onde σ2 e conhecido e segue o valor definido para a variancia doserros do modelo;

• µ ∼ N(µ0, τ20 ), em que µ0 = 0 e τ 2

0 = 0, 001, ambos definidos arbitrariamente.

A respeito dos parametros utilizados para gerar a distribuicao, temos que µ0 foi defi-nido como 0 devido a incerteza inicial do agente sobre as zonas rurais e urbanas e τ 2

0 foidefinido com um valor bem pequeno para que os salarios esperados para ambas as zonasnao apresentssem referencias iniciais e, tampouco vies.

31

4 Analise dos Resultados

Neste capıtulo serao apresentados os resultados obtidos a partir de um estudo desimulacao realizado utilizando os metodos apresentados no capıtulo anterior. Essas si-mulacoes foram realizadas no software R [7], demandando um tempo computacional deaproximadamente 40 minutos para cada cenario/caso.

4.1 Definicao dos cenarios estudados

Primeiramente, determinou-se quatro cenarios de interesse a fim de se investigar asmudancas no processo de migracao. Os cenarios investigados diferem quanto ao tipo e aquantidade dos indivıduos que o agente utiliza como referencia, conforme abaixo:

• Cenario 1: Focal e 4 referencias vizinhos1;

• Cenario 2: Focal e 5 referencias aleatorios;

• Cenario 3: Focal e 10 referencias aleatorios;

• Cenario 4: Focal, 4 vizinhos e 10 referencias aleatorios.

Foram feitas 2 milhoes de replicacoes, em cada cenario, com 10.000 indivıduos em queos erros sao normalmente distribuıdos. Com o intuito de verificar se existia influencia dosvalores inicias escolhidos para o desvio padrao (ou variancia) dos erros, investigou-se 4valores para cada cenario. Definiu-se entao:

• σ = 10−10 (valor definido inicialmente);

• σ = 0.0001;1Seguindo o conceito de vizinhanca de Von Neumann, a escolha dos 4 referencias vizinhos consiste em

selecionar as quatro celulas ortogonais ao redor do indivıduo focal em uma grade bidimensional (matrizde indivıduos).

4.2 Resultados por cenario 32

• σ = 0.1;

• σ = 1.

4.2 Resultados por cenario

Nesta secao serao apresentados os resultados separados por cenario. Em cada cenarioserao avaliados diferentes valores iniciais para as proporcoes dos indivıduos em areas ruraise urbanas, alem dos valores das constantes φ e α. Ademais, os testes para os quatro valoresde σ e os testes com outros valores iniciais serao apresentados logo em seguida.

4.2.1 Cenario 1: Focal e 4 vizinhos

Neste cenario, testou-se a influencia da informacao transmitida pelos 4 referenciasvizinhos, escolhidos pela vizinhanca de Von Neumann, no processo de migracao. Osparametros iniciais utilizados foram:

• Proporcao de indivıduos na zona rural: 0, 9 (indivıduos em cinza)

• Proporcao de indivıduos na zona urbana: 0, 1 (indivıduos em branco)

• α = 0, 9 e φ = 0, 1

• σerros = 10−10

Os valores descritos acima para as constantes parametricas α e φ foram escolhidos deforma arbitraria a fim de se criar um cenario de migracao extremo, ou seja, a inversao dosparametros iniciais. Na Figura 1 e apresentado o plano dimensional2 antes e depois dassimulacoes, em que e possıvel verificar o movimento migratorio realizado dos indivıduosda zona rural para a zona urbana.

2Representacao grafica da matriz que contem posicao dos indivıduos


Figura 1: Cenario 1: Planos Dimensionais (Antes x Depois).

Pode-se observar na Figura 1 que assim como esperado inicialmente, a transicao dosindivıduos da zona rural para a zona urbana acontece maneira clusterizada, pois vemosno plano dimensional final a formacao de pequenos clusters devido aos referencias iniciaise suas posicoes em relacao ao indivıduo focal. Essa formacao tambem pode ser explicadapela variancia dos erros ser pequena e nao incentivar a dispersao dos indivıduos no plano.

Na Figura 2, e possıvel ver a quantidade de indivıduos por zona ao longo das re-plicacoes.

Figura 2: Cenario 1: Populacao por Area.


As novas proporcoes sao em torno de 0, 1 e 0, 9, para a zona rural e urbana, respecti-vamente. Fica evidenciado a mudanca rapida dessas proporcoes nas primeiras replicacoese em seguida, ambas seguem constantes ao longo do processo.

Pode-se observar na Figura 3 os salarios de ambas as zonas (rural e urbana) ao longodas replicacoes.

Figura 3: Cenario 1: Salarios por Area.

Ao analisarmos os salarios, verifica-se que ambos tendem a um equilıbrio apos choqueinicial. O processo de troca dos indivıduos entre as zonas estudadas e dificultado naoso pela diferenca entre os salarios, mas tambem pelo cenario escolhido ja que o focal aoter somente 4 vizinhos como referencia num cenario extremo fica estatico, ocasionando aformacao dos clusters.

4.2.2 Cenario 2: Focal e 5 referencias aleatorios

Neste cenario, foi testada a influencia da informacao transmitida pelos 5 referenciasaleatorios3 no processo de migracao. Os parametros iniciais utilizados foram:

• Proporcao de indivıduos na zona rural: 0, 9 (indivıduos em cinza)3Seguindo o mesmo processo de escolha do indivıduo focal, os referencias foram selecionados a partir

de um sorteio aleatorio, de modo que todos fossem diferentes um do outro.



• α = 0, 9 e φ = 0, 1

• σerros = 10−10

Na Figura 4 e apresentado o plano dimensional antes e depois das simulacoes, em quee possıvel verificar o movimento migratorio realizado dos indivıduos entre as zonas ruraise urbanas.


Pode-se observar na Figura 4, novamente, que a transicao dos indivıduos da zonarural para a zona urbana foi realizada seguindo os parametros definidos inicialmente.Diferentemente do cenario 1, vemos que o plano dimensional final apresenta os indivıduosdispersos e nao clusterizados, isso se deve ao tipo de referencia adotado, pois o mesmoincentiva a aleatoriedade no processo de interacao entre os agentes.

Na Figura 5, e possıvel ver a populacao por zona ao longo das replicacoes.



Similarmente ao cenario 1, temos que as proporcoes sao em torno de 0, 1 e 0, 9, paraa zona rural e urbana, respectivamente. Fica evidenciado a mudanca rapida dessas pro-porcoes nas primeiras replicacoes, mantendo-se constantes posteriormente.




Temos que os salarios referentes as zonas rural e urbana sofrem um choque iniciale tendem a um equilıbrio logo em seguida. A migracao dos indivıduos entre as zonas einibida principalmente por causa da diferenca entre os salarios entre as areas.

4.2.3 Cenario 3: Focal e 10 referencias aleatorios

Neste cenario, testou-se a influencia da informacao transmitida pelos 10 referenciasaleatorios para o agente no processo de migracao. Os parametros iniciais utilizados, assimcomo nos cenarios anteriores, sao:



• α = 0, 9 e φ = 0, 1

• σerros = 10−10

Na Figura 7 e apresentado o Plano Dimensional antes e depois das simulacoes, emque e possıvel verificar o movimento migratorio realizado dos indivıduos entre as zonasrural e urbana.


Na figura 7, observa-se a alteracao nas proporcoes dos indivıduos da zona rural e dazona urbana. Temos que o aumento de referencias aleatorios tampouco altera a dispersaodos indivıduos no plano dimensional. Em suma, seguindo a mesma linha do exemplo


anterior, que foram utilizados 5 referencias aleatorios, conclui-se que a aleatoriedade dosreferencias conjuntamente com a posteriori sem referencias iniciais inibe a formacao declusters no processo.

As novas populacoes podem ser confirmadas na Figura 8, que mostra a quantidade deindivıduos por zona ao longo das replicacoes.


A atualizacao da populacao segue em linha com os parametros definidos inicialmente,ou seja, temos que as novas proporcoes sao em torno de 0,1 e 0,9 para as zonas rural eurbana, respectivamente.

Na figura 9, e possıvel observar a variacao dos salarios em relacao as zonas estudadasao longo do processo.



Analisando os salarios, temos que ambos tendem ao equilıbrio no decorrer do processo.Comparando com o cenario 2, vemos que ao se acrescentar mais referencias aleatorios nomodelo a diferenca entre os salarios das zonas rural e urbana e ampliada. Este exemploso ratifica a explicacao anterior de que ao inserirmos referencias aleatorios em um casoextremo (em relacao as proporcoes iniciais da populacao) e uma posteriori inicial semreferencias, a tomada de acao do agente e inibida por estes fatores.

4.2.4 Cenario 4: Focal, 4 vizinhos e 10 referencias aleatorios

Neste cenario, realizou-se a juncao dos cenarios 1 e 3 para analisar a influencia dainformacao transmitida por 4 vizinhos e 10 referencias aleatorios para o agente no processode migracao. Mais uma vez, os parametros iniciais utilizados foram:



• α = 0, 1 e φ = 0, 9

• σerros = 10−10

Na Figura 10, apesenta-se o Plano Dimensional antes e depois das simulacoes, em quee possıvel verificar o movimento migratorio realizado dos indivıduos entre as zonas rural


e urbana.


Observa-se na Figura 10 a juncao das caracterısticas dos planos dimensionais finaisdos cenarios 1 e 3, pois temos a formacao de 2 clusters relevantes e a outra parte deindivıduos dispersados de forma aleatoria no plano.

Na Figura 11, vemos a quantidade de indivıduos por zona ao longo das replicacoes.



Observando a populacao, vemos que a atualizacao da populacao segue em linha com osparametros definidos inicialmente e com os cenarios anteriores, ou seja, observa-se que asnovas proporcoes sao em torno de 0,1 e 0,9 para as zonas rural e urbana, respectivamente.

Na Figura 12 verifica-se a variacao dos salarios em relacao as zonas estudadas ao longodo processo.


Observando o grafico dos salarios, temos que ambos sofrem um choque inicial, poremtendem ao equilıbrio no decorrer do processo. Comparando com o cenario 3, vemos que aose acrescentar 4 vizinhos no modelo a diferenca entre os salarios das zonas rural e urbanae minimizada, apesar do salto inicial. Este exemplo confirma as explicacoes anterioresde que a tomada de acao do agente e prejudicada pelos referencias aleatorios devido aoaumento do diferencial salarial e, que a insercao de vizinhos torna o modelo estatico,levando a formacao de clusters.

4.2.5 Comparativo dos cenarios

Ao analisarmos os diferentes tipos e quantidades de referencias do indivıduo focal,conclui-se que ambos influenciam no processo de migracao. Temos no cenario 1, com 4vizinhos, a formacao de pequenos clusters e uma pequena variacao salarial entre as zonas.

4.3 Teste com as variancias dos erros 42

Nos cenarios 2 e 3, respectivamente com 5 e 10 referencias aleatorios, temos que osindivıduos se encontram dispersos aleaoriamente no plano dimensional apos o processo.Observando os salarios, vemos que em ambos a diferenca salarial e ampliada, principal-mente no cenario 3. Com isso, conclui-se que a insercao de referencias aleatorios inibe atomada de decisao do agente cojuntamente com a posteriori inicial ”sem referencias”.

Por fim, no cenario 4, com 4 vizinhos e 10 referencias aleatorios, temos a combinacaode 2 cenarios anteriores, com isso, o seu resultado tambem deriva dos dois outros cenarios.Ao verificarmos o plano dimensional temos tanto indivıduos distribuıdos aleatoriamentequando pequenos clusters evidenciados. Ao inserirmos 4 vizinhos novamente no modelo,temos que a diferenca salarial entre as zonas e minimizada, apesar de choque inicial.

4.3 Teste com as variancias dos erros

Para fins de comparacao e analise da influencia do parametro da variancia (desviopadrao) dos erros do modelo, selecionou-se o caso mais completo em relacao a quantidadede referencias, ou seja, o Cenario 4: Focal, 4 vizinhos e 10 referencias aleatorios.

4.3.0.1 Teste com σerros = 0.0001

Neste teste, seguiu-se os parametros iniciais utilizados no Cenario 4, os mesmos foram:



• α = 0, 9 e φ = 0, 1



Figura 13: σerros = 0.0001: Planos Dimensionais (Antes x Depois).

Pode-se observar na Figura 13, que assim como esperado inicialmente e similarmenteresultado do cenario 4, ocorre a transicao entre os indivıduos da zona rural para a zona ur-bana. Em linha com os resultados anteriores, temos a formacao de clusters conjuntamentecom indivıduos dispersados aleatoriamente.

A mudanca na populacao ao longo das replicacoes, por zonas, pode ser visualizada naFigura 14.

Figura 14: σerros = 0.0001: Populacao por Area.


Analisando a Figura anterior, temos que as novas proporcoes sao em torno de 0, 05 e0, 95, respectivamente. Esses resultados seguem em linha com os anteriores e sao poucoalterados pela variancia.


Figura 15: σerros = 0.0001: Salarios por Area.

Verifica-se que ambos tendem a um equilıbrio apos choque inicial, e assim, a trocados indivıduos entre as zonas e dificuldada pois alem da informacao da zona em menorproporcao ser pequena demais para o agente realizar a troca, temos tambem uma diferencasignificativa entre o salario das zonas rural e urbana.

4.3.0.2 Teste com σerros = 0.1

Assim como no Cenario 4 anteriormente analisado, os parametros iniciais utilizadosforam:



• α = 0, 9 e φ = 0, 1



Figura 16: σerros = 0.1: Planos Dimensionais (Antes x Depois).

Pode-se observar na Figura 16 que diferentemente do cenario mostrado anteriormente,a transicao entre os indivıduos da zona urbana e zona rural ocorre de modo que suas novasproporcoes sao em torno de 0, 5, ou seja, a variacao dos erros limitou que a migracao fosserealizada de forma que ocorresse inversao das proporcoes definidas inicialmente.

A transicao da populacao ao longo das replicacoes e evidenciada na Figura 17.


Figura 17: σerros = 0.1: Populacao por Area.

E evidente a simetria da populacao entre as areas ao longo do processo e o quanto avariancia dos erros ao ser definida como ”alta” interfere no processo de migracao.


Figura 18: σerros = 0.1: Salarios por Area.

Verifica-se que ambos tendem a um equilıbrio, porem apresentam uma distancia sig-nificativa entre si, e assim, temos que a troca dos indivıduos entre as zonas estudadas


e inibida por esse fator. Conclui-se tambem que a alteracao para uma variancia maiorminimizou as diferencas entre os salarios ao longo do processo.

4.3.0.3 Teste com σerros = 1

Os parametros iniciais utilizados sao similares aos testes anteriores e derivam doCenario 4, estes sao:



• α = 0, 9 e φ = 0, 1


Figura 19: σerros = 1: Planos Dimensionais (Antes x Depois).

Pode-se observar na Figura 19 que diferentemente do que era esperado inicialmente edo Cenario 4, ocorre a transicao entre os indivıduos da zona urbana e zona rural, poremsuas novas proporcoes sao em torno de 0, 5.

Essas novas proporcoes ficam evidenciadas na Figura 20, em que e possıvel ver apopulacao, por zona, ao longo das replicacoes.


Figura 20: σerros = 1: Populacao por Area.

Observa-se que ambas ao serem proporcionamente iguais, seguem um padrao de si-metria ao londo do processo. Com isso, verificamos novamente a influencia da varianciano processo migracional dos agentes.


Figura 21: σerros = 1: Salarios por Area.

4.4 Teste com outros valores iniciais 49

Novamente, verifica-se que ambos tendem a um equilıbrio, apesar de apresentar umadistancia significativa entre si. Conclui-se entao que nao so a troca dos indivıduos entreas zonas estudadas e inibida por esse fator, mas tambem temos que a variancia maiorminimizou as diferencas entre os salarios das zonas estudadas.

4.3.0.4 Comparativo dos testes com variancias

Ao analisarmos as variancias dos erros em um mesmo cenario, conclui-se a mesmainfluencia o processo de migracao. Temos que, ao aumentarmos o seu tamanho, os in-divıduos nao realizam a migracao seguindo os parametros inicialmente definidos.

Ao testarmos σerros = 0.0001 vemos que o resultado e similar ao teste no Cenario 4realizado anteriormente, ou seja, podemos dizer que essa variancia ainda e considerada”baixa”para causar alguma mudanca no modelo.

Nos casos em que testamos variancias consideradas ”altas”, σerros = 0.1 e σerros = 1,vemos que a nova proporcao da populacao de ambas as zonas tende a 0, 5. Alem disso,observa-se que a distancia salarial entre as zonas e minimizada por esse fator.

4.4 Teste com outros valores iniciais

Para fins de analise dos resultados quando os parametro iniciais sao alterados, selecionou-se o caso mais completo em relacao a quantidade de referencias, ou seja, o Cenario 4: Focal,4 vizinhos e 10 referencias aleatorios.

4.4.0.1 Proporcao: 0, 1 x 0, 9

Neste teste, o unico parametro que se manteve o mesmo em relacao ao primeiro testecom o Cenario 4 foi a variancia dos erros. Os novos parametros utilizados neste testeforam:



• α = 0, 1 e φ = 0, 9

Na Figura 22 e apresentado o Plano Dimensional antes e depois das simulacoes, em


que e possıvel verificar o movimento migratorio realizado dos indivıduos entre as zonasrural e urbana.

Figura 22: Proporcao: 0, 1 x 0, 9: Planos Dimensionais (Antes x Depois).

Pode-se observar na Figura 22 que apesar da proporcionalidade entre as zonas parecera mesma, no plano dimensional atual vemos uma configuracao clusterizada dos indivıduosao fim das replicacoes.

Essas proporcoes estaticas podem ser vistas na Figura 23, em que e possıvel observara populacao ao longo do processo.

Figura 23: Proporcao: 0, 1 x 0, 9: Populacao por Area.


Temos que apesar das variacoes iniciais que ocorrem entre os indivıduos da zonaurbana e zona rural, as proporcoes se mantem proporcionais as definidas anteriormente(0, 05 e 0, 95).


Figura 24: Proporcao: 0, 1 x 0, 9: Salarios por Area.

Analisando a figua anterior, fica evidenciado que o salario da zona urbana apresentauma queda antes de entrar em equlıbrio, ao contrario do salario da zona rural que semprese manteve estavel. Essa queda inicial no salario da zona urbana pode ser explicada pelavariacao inicial no tamanho das populacoes.

4.4.0.2 Proporcao: 0, 3 x 0, 7

Neste teste, seguindo a mesma linha do teste anterior, o unico parametro que semanteve foi a variancia dos erros. Os novos parametros utilizados neste teste foram:



• α = 0, 3 e φ = 0, 7

Na Figura 25 e apresentado o Plano Dimensional antes e depois das simulacoes, em


que e possıvel verificar o movimento migratorio realizado dos indivıduos entre as zonasrural e urbana.


Na Figura 25, observa-se a diferenca visıvel na configuracao dos indivıduos nos planosantes e depois das replicacoes. Nota-se uma clusterizacao apos a realizacao do processo.

Na Figura 26, e possıvel observar a populacao ao longo do processo.



A diferenca nas populacoes ficam evidenciadas e, e possıvel observar que ambas sofremuma alteracao durante as replicacoes iniciais, ate se chegar a um equilıbrio (0, 9 para zonarural e 0, 1 para zona urbana).



Analisando a figura acima temos que o salario da zona urbana, similarmente com oteste anterior, apresenta uma queda antes de entrar em equlıbrio, ja o salario da zonarural se manteve estavel no processo.

4.4.0.3 Proporcao: 0, 5 x 0, 5

Seguindo a mesma linha dos testes anteriores, o unico parametro que se manteve igualfoi a variancia dos erros. Os novos parametros utilizados neste teste foram:



• α = 0, 5 e φ = 0, 5




Observa-se que as transicoes que ocorrem entre os indivıduos de ambas as zonasseguem as proporcoes definidas inicialmente. E possıvel notar uma mudanca na disposicaodos indivıduos no plano dimensional apos a realizacao do processo, porem os mesmos naose encontram visivelmente clusterizados como nos testes anteriores.

Essas variacao na populacao ao longo do processo pode ser vista na Figura 29.



Temos que ambas sofrem pequena alteracao durante as replicacoes iniciais, ate al-cancar um equilıbrio constante no resto do processo. As proporcoes seguem em linha comas definidas inicialmente, com pequena variacao (0, 53 para zona rural e 0, 47 na zonaurbana).




Fica evidenciado que o salario da zona urbana apresenta um aumento notavel antesde entrar em equlıbrio, ja o salario da zona rural sofre uma leve queda inicial e, tambemse mantem estavel durante o processo. Essa diferenca salarial pode ser explicada pelaproporcao dos indivıduos em cada zona, que inibe o processo de migracao.

57

5 Conclusao

O objetivo deste trabalho foi avaliar e testar por meio de um estudo de simulacao umcaso particular da aplicacao da teoria dos jogos a demografia, a migracao entre areas ruraise urbanas, aplicando tecnicas de aprendizado bayesiano as probabilidades de migracao afim de auxiliar na tomada de decisao de cada agente.

Este trabalho possibilitou o entendimento da dinamica do processo de migracao eevidenciou quais parametros afetam os modelos propostos. Alem disso, foi possıvel veri-ficar a relevancia da informacao previa na tomada de decisao pela diferenca dos cenariosestudados. Com intuito de melhor compreender e comparar os casos aqui estudados foirealizado um estudo de simulacao para quatro cenarios, variando a quantidade de referen-ciais do agente, a fim de analisar o comportamento destes, alem de se empregar valoresdiferentes para as variaveis iniciais e a variancia dos erros do modelo.

No estudo realizado observou-se que os 4 cenarios apresentaram bons resultados, poistodos se mantem em linha e convergem para o equilıbrio proposto em seus respectivosmodelos. Nos primeiros testes realizados, todos os parametros iniciais foram adotadosiguais para os quatro casos, ja que o objetivo era analisar somente o comportamento deacordo com a quantidade e tipo dos referenciais do agente.

Foi adotado como proporcoes iniciais para as zonas rurais e urbanas as seguintes pro-babilidades: 0, 9 e 0, 1, respectivamente. Isso se deve ao fato de supormos uma sociedademajoritariamente agrıcola se transformando em uma sociedade industrial.

No primeiro cenario, com somente 4 vizinhos, e visto que a proporcao da populacaoe rapidamente invertida e, em seguida, se mantem no equilıbrio. Ademais, observa-seno plano dimensional final a formacao de pequenos clusters e pouca diferenca e variacaosalarial entre as zonas rural e urbana. Isso acontece devido a falta de informacao suficientepara realizar a migracao e pode ser relacionado a priori sem referencia inicial que foiimplementada no processo.

5 Conclusao 58

No Cenario 2, com cinco referencias aleatorios, conclui-se a populacao segue o mesmopadrao do caso anterior, porem ao compararmos seus planos dimensionais finais, vemosque ambos diferem quanto a variacao dos indivıduos da zona rural, pois nesse caso elesnao se encontram concentrados como anteriormente e sim dispersados aleatoriamentepelo plano. Ao analisar os salarios, vemos que ambos tem um choque de variacao inicial edepois seguem constantes com uma diferenca maior de valor entre as zonas. Isso se devea aleatoriedade dos referencias que provocam essa diferenca salarial e inibem o processode migracao.

O mesmo comportamente tambem e encontrado no Cenario 3, em que temos o focal e10 referencias aleatorios. A unica diferenca vista entre os cenarios 2 e 3 e que no terceirocenario ha uma diferenca salarial ainda maior entre as zonas. Isso so comprova a conclusaoanterior sobre a influencia dos referencias aleatorios no modelo.

No Cenario 4, que temos 4 vizinhos e 10 referencias aleatorios, vemos que os resultadosseguem uma combinacao entre o primeiro e terceiro cenarios pois vemos que entre osindivıduos da zona rural uma pequena clusterizacao, conjuntamente com uma dispersaode forma aleatoria no plano. Ademais, temos que a diferenca entre os salarios e minimizadapela insercao dos 4 vizinhos no modelo.

Apos observar os quatro cenarios tem-se que o cenario mais indicado dentre todos oscasos e o Cenario 4, pois o mesmo apresenta a maior quantidade de informacao dado oseu numero de referencias total.

Alem dos testes com os referenciais do agente, tambem foram realizados testes com avariacao dos erros do modelo e analise com outras probabilidades iniciais.

Nos testes com a variancia dos erros do modelo, conclui-se que a mesma e relevantenesse processo de migracao estudado. Temos que quanto maior a variacao, o processotende ao seu equilıbrio (0, 5 x 0, 5), nao sendo respeitadas as condicoes iniciais definidas.Isso de deve ao fato do gatilho da incerteza implementado no processo pela distribuicaoa posteriori.

Ao testarmos diferentes probabilidades iniciais no cenario 4, temos que os indivıduosrealizam a migracao seguindo os parametros definidos e apresentam uma diferenca signifi-cativa nos salarios que, em linha com os resultados no cenario 4, inibem o fluxo migracionalentre as zonas.

Como trabalhos futuros seria interessante averiguar o impacto do salario mınimo nomodelo proposto e as trocas nos metodos de aprendizado bayesiano, a fim de se com-

5 Conclusao 59

parar a influencia de como os dados simulados se adequam a essas distribuicoes. Outroponto possıvel seria realizar a adequacao desses modelos e metodos com dados reais paracontrapor os modelos tradicionais existentes.

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