“O poder da seção áurea em criar harmonia deriva de sua propriedade única de unir partes diferentes de um todo, de forma a que cada uma delas preserva sua identidade própria, mas amolda-se a um padrão maior de um todo.” György Doczi - O Poder dos Limites

Um segmento se divide em média e extrema razão quando todo o segmento está para a parte maior como esta última está para menor. A razão entre o segmento maior e o segmento menor chama-se razão áurea.

RAZÃO ÁUREA

AB

C

AC ABAB BC

=

Obs.: A razão continua áurea ( com as mesmas propriedades ) ao se dividir os segmentos menores pelos maiores.

A razão áurea foi denominada como tal pelas propriedades que apresenta – harmonia, continuidade e beleza. Além de estar presente nas obras humanas ( artes, construções, etc. ), a razão áurea pode ser encontrada no mundo natural, através das proporções dos seres humanos e dos padrões de crescimento de muitas plantas, animais e insetos. Fora do nosso mundo natural a razão áurea também se manifesta como na relação entre as estrelas em uma galáxia.

POR QUE RAZÃO ÁUREA?

Razão áurea entre o lado e a diagonal do pentágono se autopropagando.

Razão áurea entre segmentos que formam os lados da estrela ( diagonal do pentágono ).

PENTAGRAMA

Símbolo dos Pitagóricos

O resultado da divisão do segmento maior pelo menor na razão áurea é denominado de número de ouro. Sua representação é feita pela letra grega phi ( símbolo acima ). O número de ouro, que também é irracional, pode ser escrito de duas maneiras devido a forma dupla de se encontrar a razão áurea – segmento maior sobre o menor ou menor sobre o maior. A mais comum é a do maior sobre o menor, o que origina um valor maior que um.

NÚMERO DE OURO

1,618033 ... ( mais comum )= =

= = 0,618033 ... ( menos comum )

A partir da proporção áurea ou divina já mostrada anteriormente teremos:

O CÁLCULO DO NÚMERO DE OURO

1,618033 ... = = = = 0,618033 ...

b a - b

a

A CB

cuja raiz positiva será:

para a/b ou para b/a

O RETÂNGULO ÁUREO

A partir de um quadrado ABCD e do ponto médio E de CD, traça-se um arco de raio EB que intercepta o prolongamento de CD no ponto F. Completando o retângulo BDFG com paralelas determina-se as diagonais dos retângulos ACFG e BDFG que propagarão os próximos retângulos áureos no sentido anti-horário como o BGHI.

I

Sendo o quadrado ABCD de lado a, ED = a/2 (ponto médio) e DF = b, então no triângulo retângulo BDE teremos EB = EF ( raio do arco BF ) = a/2 + b. Aplicando o teorema de Pitágoras neste triângulo teremos:

( + b )² =( )² + a² => + ab + b² = + a² => a² - ab – b² = 0Resolvendo a equação do 2º grau para a teremos:

= = = b.( ) => =

a

ba/2

Um retângulo cuja razão entre a medida do comprimento e a medida da largura é de aproximadamente 1,618... chama-se retângulo de ouro ou retângulo áureo.

DEMONSTRAÇÃO:

A ESPIRAL DE FIBONACCI

Uma característica do retângulo de ouro ou áureo é que ele pode ser sempre dividido num quadrado e em outro retângulo de ouro, se autopropagando indefinidamente e mantendo a razão. Desta propriedade é que surge a espiral de Fibonacci construída a partir da união dos quartos de circunferências traçados nos quadrados.

A ESPIRAL DE FIBONACCI

Originalmente a espiral de Fibonacci é traçada a partir da sequência de números (0,1,1,2,3,5,8,13,21, ... ) onde cada termo a partir do terceiro é igual à soma dos dois anteriores. Nesta sequência, quando se divide o posterior pelo anterior, a partir do terceiro termo, os resultados vão se aproximar do número de 1,618 ... ou, dividindo anterior pelo posterior, do número 0,618 ... que representam a razão áurea.

Leonardo Fibonacci, também conhecido como Leonardo de Pisa ( 1170 - 1250), foi um talentoso matemático italiano que ficou conhecido pela sequência que leva seu nome e pela introdução dos algarismos arábicos na Europa.

Novo quadrado

EXEMPLOS DE ONDE APARECE A RAZÃO ÁUREA 1. Na pirâmide de Quéops em Gisé, Egito, quando se divide a altura

de uma face e a metade do lado da base da grande pirâmide; 2. O Partenon, em Atenas, Grécia, se encaixa perfeitamente no

retângulo áureo; 3. No aumento do diâmetro das espirais das sementes de um

girassol;4. Na diminuição das folhas de uma árvore à medida que se sobe

de altura;5. Na relação entre estrelas de uma galáxia; 6. No estudo do comportamento da luz e dos átomos.

FONTES

1. Oliveira, Edson de; Ferreira, Thiago Emanoel. O número de ouro e suas manifestações na natureza e na arte. Revista Complexus – Instituto Superior de Engenharia Arquitetura e Design – CEUNSP, Salto, ano. 1, nº2, setembro de 2010. http://engenho.info/revista/ed02/dartigos/5-Artigop64-81.pdf. Acesso em 29 de agosto de 2013.

2. Carvalho, Jurandir Jacques de. Razão Áurea. Belo Horizonte: Universidade Federal de Minas Gerais, 2008. Trabalho de conclusão de curso de especialização. http://www.mat.ufmg.br/~espec/monografiasPdf/Monografia_Jurandir.pdf. Acesso em 29 de agosto de 2013.

3. LÍVIO, Mario. Razão Áurea: A história de Fi, um número surpreendente. Rio de Janeiro: Record, 2008.

4. Queiroz, Rosania Maria. Razão Áurea: A beleza de uma razão surpreendente. Londrina: Universidade Estadual de Londrina, 2008. Artigo Final apresentado ao Programa de Desenvolvimento Educacional. http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/674-4.pdf . Acesso em 30 de agosto de 2013.

O blog aborda assuntos de Matemática, Astronomia, Natureza, Humor, História e Esportes, além de trabalhos e projetos realizados nas escolas em que atuei e atuo. É mais um canal aberto de comunicação com os alunos e demais visitantes que queiram se inteirar de outras experiências realizadas em escolas públicas.

Prof. Jonas

PEDRO VELHO/RN/BRSETEMBRO DE 2013

SLIDES PRODUZIDOS PARA O BLOG:jfgf2011.blogspot.com

FIM