Razão Surpreendente [Proposto Por Um Aluno]
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RAZÃO SURPREENDENTE
Os círculos w1 e w2 se interceptam nos pontos A e B. O segmento PQ é tangente à w1 em P, e tangente à w2 em Q, e o ponto A está mais perto de PQ do que B. O ponto X está em w1, tal que PX é paralelo a QB, e o ponto Y está em w2, tal que QY é paralelo a PB.
Considerando APQ =30º e PQA = 15º, calcule a razão AX
AY .
RESOLUÇÃO
Inicialmente, com os dados do enunciado, construímos a figura auxiliar abaixo.
As medidas dos ângulos que aparecem nesta figura são obtidas a partir de APQ =30º , PQA = 15º , QY// PB e PX// QB
[enunciado] ,e as bem conhecidas propriedades de ângulos na circunferência.
Aplicando o teorema dos senos, aos triângulos AXC e ACY, tem-se respectivamente:
o
o
AX sen
AC sen
15
30 e
o
o
AC sen
AY sen
15
30
Multiplicando-se , membro a membro, as equações acima, obtém-se
obtém-se o
o
AX AX AC sen
AY AC AY sen.
215
30 o o. .
cos cos
2
1 1 1 12 3
2 22 15 1 30
Portanto, de AX
AY 2 3 .
RESPOSTA : 2 3
AUTOR: LUIZ ANTONIO PONCE ALONSO
Notas:
1. Problema proposto por um aluno do anglo de ITU [15-08-2015]